Sürekli değiģken kesite sahip eğri eksenli çubukların titre- Ģimlerinin incelenmesi

Transkript

1 tüdergs/d mühendslk Clt: 10, Sayı:, Nsan 011 Sürekl değģken keste sahp eğr eksenl çubukların ttre- Ģmlernn ncelenmes Öznur ÖZDEMİRCİ YİĞİT *, Ekrem TÜFEKÇİ İTÜ Fen Blmler Ensttüsü, Makna Mühendslğ Programı, 34469, Ayazağa, İstanbul Özet Eğr eksenl çubuk ttreşmlerne at genel denklemler, altı adet brnc dereceden lneer dferansyel denklemden oluşmaktadır. Denklemler eksenel uzama, kayma deformasyonu ve dönme eylemszlğ etklern çermektedr. Başlangıç değerler yöntem kullanılarak, çubuk eksen eğrlğnn ve kestn eksen boyunca değşm, mesnetleme şartları ve yükleme durumu belrl olan her çubuğa uygulanablecek genel br çözüm elde edleblmektedr. Elde edlen brnc dereceden değşken katsayılı lneer dferansyel denklem takımının kesn çözümü, sadece katsayıların sabt olması durumunda mevcuttur. Bu durum, sabt kestl çember eksenl çubuğu fade eder. Sabt eğrlk yarıçapı ve sabt kest alanına sahp çubuk çn blnen kesn çözüm yöntem, değşken eğrlk yarıçapı ve değşken kest alanına sahp çubukların düzlem ç ttreşm problemlernn çözümü çn de uygulanablr. Sürekl değşken kestl, smetrk ve asmetrk geometrye sahp çubuklar, sabt kest alanına sahp elemanlara ayrılarak çözüm yapılır. Eleman sayısı arttıkça doğru sonuca olan yakınsama da artmaktadır. Böylece eksenel uzama, kayma deformasyonu ve dönme eylemszlğ etkler hmal etmeden yaklaşık br çözüm elde edlmektedr. Bu çözüm, çubuk eksen eğrs, mesnetleme şartları ve yükleme durumu bell olan herhang br çubuğun ttreşmlern ncelemede uygulanablecek genel br çözümdür. Sürekl değşken keste sahp çember, parabol ve spral eksenl çubukların düzlem ç serbest ttreşmler, çember eksenl sabt kestl çubukların serbest ttreşmlern fade eden denklemlern kesn çözümü yardımıyla ncelenmektedr. Lteratürde verlen örnekler çözülmüş ve elde edlen sonuçlar tablolarla verlerek karşılaştırılmıştır. Elde edlen sonuçların, lteratürdeklerle uyumlu olduğu görülmektedr. Anahtar Kelmeler: Eğr eksenl çubuk, sürekl değşken kest, düzlem ç ttreşm. * YazıĢmaların yapılacağı yazar: Öznur ÖZDEMĠRCĠ YĠĞĠT. oznur.ozdemrc@gmal.com; Tel: (6) Bu makale, brnc yazar tarafından ĠTÜ Fen Blmler Ensttüsü, Makna Mühendslğ Programında tamamlanmıģ olan "Eğr eksenl değģken kestl çubukların statk ve dnamk problemler " adlı doktora teznden hazırlanmıģtır. Makale metn tarhnde dergye ulaģmıģ, tarhnde basım kararı alınmıģtır. Makale le lgl tartıģmalar tarhne kadar dergye gönderlmeldr. Bu makaleye Yğt, Ö. Ö., Tüfekç, E., (011) Sürekl değģken keste sahp eğr eksenl çubukların ttreģmlernn ncelenmes, ĠTÜ Dergs/D Mühendslk, 10:, Ģeklnde atıf yapablrsnz.

2 Ö. Ö. Yğt, E. Tüfekç Investgaton of vbratons of crcular arches wth varyng cross-sectons Extended abstract Arch elements are the most smple and the most commonly used structures due to ther mportant applcatons n many ndustral felds. In spte of the fact that consderable amount of attenton has been devoted to the analyss of such elements n recent years, there s very lmted number of studes avalable n the lterature on the dynamc behavor of arches of contnuously varyng curvature and cross-sectons. Most of works have been done wthn the scope of Bernoull-Euler beam theory. Ths theory s recognzed as adequate for common engneerng problems. However, Tmoshenko beam theory, whch takes nto account the rotatory nerta and the shear effects, gves a better approxmaton to the actual beam behavor for the arches havng large cross-sectonal dmensons n comparson wth ther span length and for arches n whch hgher modes of vbraton are requred. The most mportant effect on predctng the frequences of the vbratons of an arch s the axal deformaton effect. Only a few works have taken nto account the foregong effects. Almost all of them use the numercal methods and gve approxmate results. Guterrez et al. (1989) studed the n-plane vbraton of non-crcular arches by usng polynomal functons and the Rtz method. The classcal arch theory was employed. Aucello and Rosa (1994) appled the Euler-Bernoull beam theory to nvestgate free dynamcs of crcular beams. The cross-secton varatons and dfferent boundary condtons were consdered. Lu and Wu (001) appled the generalzed dfferental quadrature rule based on Krchhoff assumptons to solve n-plane free vbratons of crcular arches wth unform, contnuously varyng and stepped cross-sectons. Karam and Malekzadeh (004) appled the dfferental quadrature method to solve free vbratons of crcular arches wth varable cross-sectons by takng nto account the effects of axal extenson and rotatory nerta. The governng equatons of vbratons of arches are sx smultaneous lnear dfferental equatons of the frst order. However, t s more dffcult to fnd general closed form solutons for the dynamc response of arches wth arbtrarly varyng crosssectons, snce the governng equatons of such arches possess varable coeffcents. When the axal extenson, shear deformaton and rotatory nerta effects are taken nto account, the governng equatons of moton become very complcated. Because of ths complexty, most of the researchers calculated the natural frequences of vbratons of arches, based on the classcal theory n whch the foregong effects are neglected. The exact soluton of the governng dfferental equatons exsts only for a crcular arch of unform cross-secton. The equatons of moton, whch take nto account axal extenson, shear deformaton and rotatory nerta effects, have been solved exactly by Tufekc and Arpac (1998). The same procedure can be used to obtan the soluton for the arch wth contnuously varyng curvature and cross-secton. The boundary condtons may be arbtrary. In ths study, the exact soluton for n-plane free vbraton of crcular arches wth contnuously varyng curvature and cross-secton s presented. As an approxmaton, such an arch s dvded nto a number of stepped arches wth constant curvature and crosssectons. The cross-secton of each element s determned by averagng the dmensons of upper and lower bounds. The exact soluton of free vbratons for each stepped arch can be obtaned by usng ntal value method. Then overall soluton can be expressed n terms of the ntal values by satsfyng the boundary condtons and the knetc and knematc contnuty condtons between adjacent arch elements. For a non-trval soluton, the determnant of the matrx of coeffcents must be zero. The solutons are also performed for the classcal arch theory, whch neglects all the aforementoned effects, and for the theory, whch takes nto account only each effect n order to emphasze ther mportance. As the number of the stepped arches ncrease, the fast convergence to the frequences of the orgnal arch s observed. Fve dfferent boundary condtons are also studed for dfferent openng angles. The examples n the lterature solved and the results of several methods, such as the fnte element, the Raylegh-Rtz, the cell dscretzaton and dfferental quadrature methods are compared wth the results of ths study. Solutons of crcular, spral and parabolc beams are studed n symmetrc and asymmetrc geometry. The agreement among all these examples s generally good, even f there are some theoretcal dscrepances to be ponted out. Keywords: Curved beam, contnuously varyng cross-secton, free n-plane vbraton. 130

3 Sürekl değşken keste sahp eğr eksenl çubukların ttreşmlernn ncelenmes Grş Eğr eksenl çubukların düzlem ç statk ve dnamk davranıģını nceleyen pek çok çalıģma olmasına rağmen, bunların çoğu eğrlk yarıçapı ve kest alanı sabt çubukları ele almaktadır. DeğĢken kestl ve değģken eğrlğe sahp çubuklar oldukça az çalıģmaya konu olmuģtur. Elastste teors kullanılarak yapılan araģtırmalarda, problem bastleģtrmek çn çubuk eksen, çubuk kest ve çubuğa etkyen dıģ kuvvetlerle lgl varsayımlar ve kabuller yapılmaktadır. Böylece, sadece bazı özel hallerde uygulanablecek çözümler elde edlmektedr. Çubuğun eğr eksenl olarak seçldğ, dnamk problemlern büyük br kısmında bu tür bastleģtrmeler görmek mümkündür. ÇalıĢmalarda genellkle eksenel uzama, kayma deformasyonu ve dönme eylemszlğ etklern hesaba katmayan Euler- Bernoull çubuk teorsnn esas alındığı görülür. Böylece, eģtlkler daha bast hale dönüģmekte, ancak, elastste teorsnn sonuçlarından ve gerçek çubuk davranıģından uzaklaģılmaktadır. Bunun yanısıra, lteratürdek çalıģmalarda, teornn getrdğ denklemlern çözümünde Rtz, Galerkn ve sonlu eleman gb yaklaģık yöntemler kullanılarak sonuca ulaģılmıģtır. Özellkle, sayısal yöntemler ve blgsayar teknolojsnn gelģmesyle brlkte, yaygınlaģan sonlu eleman yöntem, çalıģmaların büyük bölümünde uygulama alanı bulmuģtur. Sadece bast problemler söz konusu olduğunda kesn çözüme baģvurulmuģtur. Guterrez ve dğerlerne (1989) at olan çalıģmada, kest kademel ve sürekl değģen, farklı eksen eğrlklerne sahp çubukların ttreģmler, polnom fonksyonlar seçlerek Rtz yöntemyle ncelenmektedr. ÇalıĢmada, eksen uzaması, kayma deformasyonu ve dönme eylemszlğ etkler hmal edlmģtr. Aucello ve Rosa (1994), çember eksenl çubukların ttreģmlern Euler-Bernoull teors yardımıyla ncelemekte, sonuçları dğer yöntemlernkyle karģılaģtırmaktadır. ÇalıĢmada, kademel ve sürekl değģken kestl çember eksenl çubuklar ncelenmektedr. Lu ve Wu (001), çember eksenl çubukların düzlemsel ttreģmlern, genelleģtrlmģ dferansyel kuadratür yöntemyle (generalzed dfferental quadrature rule) ncelemekte, eksenel uzama, kayma deformasyonu ve dönme eylemszlğ etklern hmal etmektedr. Sabt kestl, sürekl değģken ve kademel değģken kestl çubukların ttreģmlern nceleyerek lteratürdek dğer yöntemlern sonuçlarıyla karģılaģtırmıģtır. Karam ve Malekzadeh (004) de aynı geometrlern ttreģmn, dferansyel kuadratür yöntemn (dfferental quadrature rule) kullanarak ncelemģ, sonuçları Lu ve Wu (001) de elde edlen sonuçlarla karģılaģtırmıģtır. Eğr eksenl çubuk statğnn ve dnamğnn genel denklemler altı denklemden oluģan br lneer denklem takımıdır. Denklemler, eksenel uzama, kayma deformasyonu ve dönme eylemszlğ etklern çermektedr. BaĢlangıç değerler yöntem kullanılarak, çubuk eksen eğrlğnn ve kestn eksen boyunca değģm, mesnetleme Ģartları ve yükleme durumu belrl olan her çubuğa uygulanablecek genel br çözüm elde edleblr. Elde edlen brnc dereceden değģken katsayılı lneer dferansyel denklem takımının kesn çözümü, sadece katsayıların sabt olması durumunda mevcuttur. Bu durum, sabt kestl çember eksenl çubuğu fade etmektedr. Herhang br bastleģtrc varsayım yapılmadan, brnc dereceden sabt katsayılı lneer dferansyel denklem takımının kesn çözümü verlr. Elde edlen bu çözüm yöntem, dnamk davranıģların çözümünde uygulanacak baģka yöntemlern oluģturulmasına olanak verr. Çözüm yöntem Tufekc ve Arpac (1998) da ayrıntılı olarak ele alınmaktadır. Aynı çözüm yöntem, değģken eğrlk yarıçapı ve değģken kest alanına sahp çubukların düzlem ç ttreģm problemlernn çözümü çn de uygulanablmektedr. Çubuk, sabt kest alanlarına sahp bölgelere ayrılarak her bölge, eğr eksenl çubuğun düzlemndek ttreģmlern veren fadeler ve çözüm yolu kullanılarak nceleneblr. DeğĢken eğrlk yarıçapına sahp olan çubuklarda, eğrlk yarıçapları, bölgenn sahp olduğu ortalama yarıçap alınarak belrlenr, baģlangıç değerler yöntem kullanılır ve sonuca ulaģılır. Sabt eğrlkl ve kestl her eleman çn kesn çözüm yöntem uygulanablr. 131

4 Ö.Ö.Yğt, E.Tüfekç Çubuğun sınır Ģartları ve elemanların sınır noktalarında, knetk ve knematk Ģartlar sağlanmaktadır. Eleman sayısı arttıkça doğru sonuca olan yakınsama da artmaktadır. Sonuçlar, ankastre-ankastre, ankastre-sabt, sabt-sabt, serbest-serbest ve ankastre-serbest olarak beģ farklı sınır koģulu çn elde edlmekte, lteratürde yapılan benzer sayısal örneklerle kar- ĢılaĢtırmalar yapılmaktadır. Eksenel uzama, kayma deformasyonu ve dönme eylemszlğ etklern dahl eden ve etmeyen çözümler ayrı ayrı yapılmıģ, bunların sonuçlar üzerndek etks ncelenmģtr. Analz Eğr eksenl çubuğun kend düzlemndek ttre- Ģmlerne at denklemler, brnc dereceden değģken katsayılı lneer dferansyel denklemlerden oluģmaktadır. Tüfekç ve Arpacı (1998) da verlen bu denklemler; dw u R EA F t du RFn w GA k b R EI b dmb RF dft dfn n M b n R b Ib R A Fn R w Ft R u b (1) Ģeklndedr. Burada; u ve w normal ve teğetsel yerdeğģtrmeler; b bnormal eksen üzerndek dönme açısı, R Ģekl değģtrmemģ çubuğun eksen eğrsnn eğrlk yarıçapı; F n ve F b normal ve teğetsel tekl ç kuvvetler; M b bnormal eksen üzerndek tekl ç moment Ģeklnde tanımlanablr. Denklem 1 den faydalanarak, nds çubuğun bölündüğü sabt kest alanına sahp eleman numarasını göstermek üzere denklemler matrs Ģeklnde fade edldğnde; dy Ay ( ) () yazılablr. Burada y(), 6 elemanlı değģkenler vektörünü fade etmek üzere, her eleman çn, w u b y ( ) M b Ft F n Ģeklnde tanımlanablr. (3) A(), 6 6 elemanlı katsayılar matrsdr. Elde edlen A katsayılar matrs, eksenel uzama, kayma deformasyonu ve dönme eylemszlğ etklernn gözönüne alınması durumunda kullanılan matrstr. Etkler ayrı ayrı ele alınarak da çözüm yapılıp, doğal frekansları elde edleblr (Tüfekç ve Arpacı, 1998). A() matrsnn elemanları Denklem 4 dek Ģeklde tanımlanır R / EA R 0 0 Rk n / GA R / EI 0 0 b A 0 0 R ( Ib / A ) 0 0 R R R (4) 13

5 Sürekl değşken keste sahp eğr eksenl çubukların ttreşmlernn ncelenmes A katsayılar matrsnn tüm elemanlarının sabt sayılar olması durumunda, denklem takımının kesn çözümü; y e A y 0 ( ) ( ) y ( ) Y(, ) y (5) 0 olarak elde edlr. olarak belrlenen düģey doğrultu, sabt kestl her krģ elemanı çn referans doğrultusu olarak alınmaktadır. Burada, y ( ), koordnatındak blnen baģlangıç değerler vektörüdür. e A matematksel olarak fade edleblmektedr (Tüfekç ve Arpacı, 1998). 6xn blnmeyen, çubuğun sınır Ģartları, sabt kestl her krģ elemanının k ucu çn yazılan geçģ Ģartları yardımıyla elde edlr. Sınır Ģartları ve elemanlar arasındak geçģ Ģartlarından elde edlen 6xn denklem homojen denklem takımı oluģturduğundan, sstemn sıfırdan farklı tek br çözümünün olması katsayılar matrsnn determnantının sıfıra eģt olması durumunda mevcuttur. KrĢ eleman çn krģ açısı aģağıdak Ģeklde fade edlr.. krģ eleman çn; 1 Sabt mesnet, ankastre mesnet ve serbest uç çn sınır Ģartları aģağıdak gbdr. Sabt mesnet: w ( ) 0, u ( ) 0, M ( ) 0 Ankastre mesnet: w ( ) 0, u ( ) 0, ( ) 0 b b Serbest uç: Mb ( ) 0, Ft ( ) 0, Fn ( ) 0 Ġk uç nokta çn sınır koģullarından gelen 6 adet eģtlk mevcuttur. KrĢ elemanların sınır bölgelernde sürekllk koģullarını sağlayan fadeler aģağıda verlmektedr. Bu fadeye göre, komģu çubuk elemanların sınır noktalarındak büyüklükler brbrlerne eģt olmak zorundadır. y ( ) y ( ) 1 e y ( ) e y ( ) (6) A A ( 1) KomĢu elemanlara at asal matrsler arasında aģağıdak lģk bulunmaktadır. Y Y Y (7) 1 ( 1, ) ( 1,0) (,0) Y (,0) değer hesaplanablr. Eğr eksenl br çubuk n adet elemana ayırılıp, Denklem 5 her eleman çn uygulanırsa, her elemana at n adet çözüm elde edlr.böylece, sınır ve sürekllk Ģartlarından gelen 6xn adet eģtlk, matrs formunda fade edlr. Denklem 8 de, X1 ve Xn, 3 6 boyutunda eğr eksenl çubuğun A ve B ucundak sınır Ģartlarından elde edlen matrs; 01, 3 6 boyutunda ve 0, 6 6 boyutunda sıfır matrslerdr. y0 y ( 0 ) olarak tanımlanırlar. Elde edlen 6xn eģtlk, homojen denklem takımı oluģturduklarından, y 0 nn sıfırdan farklı çözümler ancak katsayılar matrsnn determnantının sıfıra eģt olması durumunda mevcuttur. Determnant fades, le smgelenen doğal frekansa bağlı br fadedr. Böylece doğal frekanslar elde edlr. Aynı çözüm yolu dğer kabuller çn de uygulanablr X y01 A11 A1 e e y0 A A3 0 e e y An-1n-1 Ann e e y 0( n-1) Xn y 6nx6n 0n 0 6n1 (8) 133

6 Ö.Ö.Yğt, E.Tüfekç h 1 h 0 h 1 h 0 h 0 n n (a) (b) Şekl 1. Lneer değşken kestl çubuklar (a) smetrk, (b) asmetrk Sayısal örnekler ve sonuçlar Yukarıda verlen çözüm yöntem uygu lanarak, ġekl 1 (a) da gösterlen lneer değģken kestl smetrk çubuk, referans geometr olarak ele alınmıģ ve bu çubuğa at boyutsuz frekans, değerler elde edlmģtr. Ġncelenen geomet-rye at ġekl de verlen grafkte, yatay eksen, sabt kestl krģ elemanların sayısını, düģey eksen frekans değern göstermektedr. c R (9) EI b değerlernn değģm ncelenmģtr. Smetrk ve asmetrk olarak k farklı geometrye sahp sürekl değģken kestl çember eksenl çubuklar (ġekl 1) ncelenmektedr. Kest alanı dkdörtgen olup, kest genģlğ eğr boyunca sabttr. Kest yükseklğ aģağıda verlen fadelere bağlı olarak değģr. ġekl 1 (a) çn; h( ) h (1 / ), / 0, o n n h( ) h (1 / ), 0 / o n n ġekl 1 (b) çn; (10) h( ) h o (1 / n ), n / n / (11) KrĢ açısı n =30 o ve =0.1 olan geometrye at, ankastre-ankastre sınır Ģartında, farklı eleman sayılarında, çubuğun lk doğal frekans Şekl. Ankastre-ankastre smetrk çubuğun brnc boyutsuz doğal frekans değernn eleman sayısı le değşm Çubuklar, ġekl 3 de gösterldğ gb sabt kestl krģ elemanlara bölünmüģtür. Her krģ elemana at eğrlk yarıçapı ve kest değerler, o elemanın sahp olduğu en büyük ve en küçük değerlern ortalaması alınarak hesaplara dahl edlmģtr. Bu yöntemle, doğal frekansları hesaplanan çubuklar, ankastre-ankastre, sabt-sabt, sabt-ankastre, ankastre-serbest ve serbest-serbest olarak beģ farklı sınır Ģartı gözönünde bulundurularak ncelenmģlerdr. Smetrk ve asmetrk değģken kestl eğr eksenl çubuklar çn lteratürde yapılan çalıģmalardak örneklere benzer olarak çember, spral ve parabol 134

7 Sürekl değşken keste sahp eğr eksenl çubukların ttreşmlernn ncelenmes A B tasına at, en küçük ve en büyük yükseklk değerlern vermektedr. Kest genģlğ b sabttr ve eksen boyunca değģmez. nnc elemana at olan kest alanı ve bnormal eksene göre alan eylemszlk momentler aģağıdak gb tanımlanır. Şekl 3. Sabt kestl krş elemanı le modellenen asmetrk çubuk eksenl çubuklar üzernde çalıģılmıģ, elde edlen sonuçlar karģılaģtırılmıģtır. KarĢılaĢtırmalarda çubuklar 70 elemana bölünerek ncelenmģtr. Analz =0.1 değerler çn, n = 10 o, 0 o, 30 o ve 40 o olmak üzere dört farklı krģ açısında ve beģ farklı sınır koģulunda gerçekleģtrlmģtr. Yapılan çalıģmalarda, dkdörtgen kestl çubuklar gözönüne alınmaktadır. ġekl 1(a) da gösterlen smetrk sürekl değģken keste sahp eğr eksenl çubukta, h 0 ve h 1 sırasıyla çubuğa at en büyük ve en küçük yükseklk değerlern gösterrken, ġekl 1(b) de gösterlen asmetrk sürekl değģken keste sahp eğr eksenl çubukta, h 0 ve h 1 çubuğun k uç nok- 3 A bh I bh /1 (1) b Smetrk ve asmetrk çember eksenl çubuğa at sonuçlar, ankastre-ankastre (), sabt-sabt (SS), sabt-ankastre (SA), ankastre-serbest (Asr), serbest-serbest (SrSr) sınır Ģartları çn. Tablo 1 de verlmektedr. Kolon (1) eksenel uzama, kayma deformasyonu ve dönme eylemszlğ etklern çeren; (), tüm bu etkler hmal eden; (3), sadece kayma deformasyonu etksn çeren; (4), sadece dönme eylemszlğ etksn çeren; (5) se sadece eksenel uzama etksn çeren çözümün sonuçlarını vermektedr. Aucello ve Rosa (1994) değģken kestl çember eksenl smetrk çubukların ttreģmlern Raylegh- Rtz (RR) ve hücre ayrıklaģtırma (cell dscretzaton method-cdm) yöntemler yardımıyla ncelemģtr. Geometr, Denklem 10 da verlen eģtlk Tablo 1. Smetrk sürekl değşken kestl çubuğun doğal frekansları (c=r (/EI b ) 1/ ) SS SA ASr SrSr Smetrk çember eksenl çubuk Asmetrk çember eksenl çubuk Açı (1) () (3) (4) (5) (1) () (3) (4) (5)

8 Ö.Ö.Yğt, E.Tüfekç gözönüne alınarak oluģturulmuģtur. Tablo de, ankastre-ankastre ve sabt-sabt sınır ko- Ģullarına sahp smetrk değģken kestl çubuk çn, k yönteme de at sonuçlara yer verlmektedr. Mevcut çalıģmadak etklern hmal edlmes durumunda elde edlen frekans değerler (Tablo, kolon ()) le lteratürdek sonuçlar oldukça yakındır. Tablo. Smetrk krş çn elde edlen boyutsuz frekans değerler (c=r (/EI b ) 1/ ) SS h( ) h (1 / ) / 0, o n n h( ) ho (1 / n) 0 n / Bu çalıģma Aucello, Rosa (1994) Açı (1) () R-R CDM Lu ve Wu (001) ve Karam ve Malekzadeh (004), smetrk geometrye sahp çubuklarınlk doğal frekans değerlern genelleģtrlmģ dferansyel kuadratür yöntemn (generalzed quadrature method-dqm) kullanılarak elde etmģtr. η=0.1 çn elde edlen frekans değerler, Tablo 3 de bu çalıģmadak sonuçlarla karģılaģtırmalı olarak verlmektedr. genelleģtrlmģ dferansyel kuadratür yöntem (generalzed quadrature method-dqm) kullanılarak elde etmģtr. Ankastre-ankastre, sabt-sabt ve ankastre-serbest senır koģullarında farklı krģ açılarında hesaplamalar yapılmıģtır. Mevcut çalıģmadak etklern hmal edlmes durumunda elde edlen frekans değerler le referans çalıģmalarda elde edlen sonuçlar oldukça uyumludur. Tablo 3. Lu,Wu (001) ve Karam, Malekzadeh (004) de smetrk krş çn elde edlen frekans değerlernn mevcut çalışma le karşılaştırılması (c=r (/EI b ) 1/ ) h( ) 1 / 0, h( ) 1 0 n / Karam, Malek.(004) Bu çalıģma Lu,Wu Açı (1) () (001) SS Tablo 4. Aucello ve Rosa (1994) da asmetrk krş çn elde edlen frekans değerlernn mevcut çalışma le karşılaştırılması (c=r (/EI b ) 1/ ) n Asmetrk değģken kestl çubuk (ġekl 1-b) çn de benzer hesaplamalar yapılmıģ, sonuçlar lteratürde yapılan çalıģmalarla karģılaģtırılmıģtır. Aucello ve Rosa (1994), değģken kestl çember eksenl asmetrk çubukların ttreģmlern de smetrk geometrye benzer Ģeklde, Raylegh-Rtz (R-R) ve hücre ayrıklaģtırma (cell dscretzaton method-cdm) yöntemler yardımıyla ncelemģtr. Tablo 4 de, ankastreankastre ve sabt-sabt sınır koģullarına sahp asmetrk değģken kestl çubuk çn, k yönteme de at sonuçlara yer verlmektedr Lu ve Wu (001) ve Karam ve Malekzadeh (004) asmetrk geometrye sahp, değģken kestl çubukların lk doğal frekans değerlern SS h( ) h o (1 / n ) Aucello, Rosa Bu çalıģma (1994) Açı (1) () R-R CDM

9 Sürekl değşken keste sahp eğr eksenl çubukların ttreşmlernn ncelenmes ġekl 1(a) dak eğr eksenl smetrk çubuğun eksen eğrsnn spral ve parabol olması durumlarında frekans değerler ncelenmģtr. Guterrez ve dğerlerne (1989) at çalıģmada kullanılan, krģ geometrsne at formulasyon kullanılmıģtır. Ф açısı, herhang br noktada eğrye çzlen normal doğrultudak vektörün, referans doğrultusu le yaptığı açıyı fade eder (ġekl 4). y Şekl 4. Spral ve parabol eksenl krşte geometrk büyüklükler Eğrlk yarıçapı spral çn, R 0 R (13) Cos Parabol çn, R0 R (14) Cos 3 Ģeklnde tanımlanır. Yukarıda verlen yöntemle elde edlen frekans değerler, Tablo 5 de, referans çalıģma le karģılaģtırılmaktadır. En yüksek hata oranı, ankastreankastre mesnet Ģartı çn gerçekleģmektedr. Sabtankastre mesnet Ģartında sonuçlar oldukça uyumludur. Tablo 5. Guterrez ve dğerlerne (1989) at çalışmada spral ve parabol eksenl çubuk çn elde edlen frekans değerlernn mevcut çalışma le karşılaştırılması (c=(ρa o /EI b ) 1/ R ) SS SA SS SA Smetrk spral eksenl çubuk Asmetrk spral eksenl çubuk Açı (1) () Guterrez vd.(1989) (1) () Guterrez vd.(1989) Smetrk parabol eksenl çubuk Asmetrk parabol eksenl çubuk Açı (1) () Guterrez vd.(1989) (1) () Guterrez vd.(1989)

10 Ö.Ö.Yğt, E.Tüfekç Sonuçlar ÇalıĢmada, sabt eğrlk yarıçapı ve sabt kest alanına sahp çubuk çn elde edlen kesn çözüm yöntem, değģken eğrlk yarıçapı ve değģken kest alanına sahp çubukların düzlem ç ttreģm problemlernn çözümü çn uygulanmıģtır. Sürekl değģken kestl, smetrk ve asmetrk geometrye sahp çubuklar, sabt kest alanına sahp elemanlara ayrılarak çözüm yapılmıģ, eleman sayısı arttıkça doğru sonuca olan yakınsamanın da arttığı görülmüģtür. Böylece, eksenel uzama, kayma deformasyonu ve dönme eylemszlğ etklern hmal etmeden, değģken eğrlk yarıçapı ve değģken kest alanına sahp çubuklar çn, yaklaģık br çözüm elde edlmektedr. Bu çözüm, çubuk eksen eğrs, kest değ- Ģm, mesnet Ģartları ve yükleme durumu bell olan herhang br çubuğun ttreģmlern ncelemede uygulanablecek genel br çözümdür. Çember eksenl, smetrk ve asmetrk çubuklar çn beģ farklı mesnet tpnde ncelemeler yapılmıģ, dört farklı krģ açısı çn çubuğun lk doğal frekans değerler hesaplanmıģtır. Ankastre-serbest ve serbest-serbest dıģındak mesnet tplernde küçük krģ açılarında eksenel uzama etksnn baskın olduğu görülmektedr. DeğĢken eğrlk yarıçapına sahp çubuklara örnek olarak, spral ve parabol eksenl çubuklar ncelenmģ, lteratürdek benzer örnekler çözülerek sonuçlar karģılaģtırılmıģtır. Lteratürdek sonuçlarla bu çalıģmada etklern hmal edldğ durumda elde edlen sonuçlar oldukça uyumludur. Kaynaklar Aucello, N.M., De Rosa, M.A., (1994). Free Vbratons of Crcular Arches: A Revew, Journal of Sound and Vbraton, 176, Guterrez, R.H., Laura, P.A.A., Ross, R.E., Berteo, R., Vllagg, A., (1989). In-Plane Vbratons of Non-Crcular Archs of Non-Unform Cross- Secton, Journal of Sound and Vbraton, 19,, Karam, G., Malekzadeh, P., (004). In-Plane Vbraton Analyss of Crcular Arches wth Varyng Cross-Sectons Usng Dfferental Quadrature Method, Journal of Sound and Vbraton, 74, Lu, G.R., Wu, T.Y., (001). In-Plane Vbraton Analyses of Crcular Arches by the Generalzed Dfferental Quadrature Rule, Internatonal Journal of Mechancal Scences, 43, Tüfekç, E., Arpac, A., (1998). Exact Soluton of In- Plane Vbratons of Crcular Arches wth Account Taken of Axal Extenson, Transverse Shear and Rotatory Inerta Effects, Journal of Sound and Vbraton, 09, 5, Tufekc, E., Ozdemrc O., (006).. Exact Soluton of Free In-Plane Vbraton of A Stepped Crcular Arch, Journal of Sound and Vbraton, 95, Yang, F., Sedaghat, R., Esmalzadeh E., (008). Free n-plane Vbraton of General Curved Beams Usng Fnte Element Method, Journal of Sound and Vbraton, 318,