ÇELİK UZAYSAL ÇERÇEVE YAPILARIN OPTİMUM TASARIMI

Transkript

1 ÇELİK UZAYSAL ÇERÇEVE YAPILARIN OPTİMUM TASARIMI M. Sedat HAYALİOĞLU *, S. Özgür DEĞERTEKİN * * Dcle Ünverstes, Müh.-Mm. Fak., İnşaat Müh. Böl., Dyarbakır ÖZET Bu çalışmada çelk uzay çerçevelern, Amerkan Çelk Yapılar Yönetmelğ ndek (AISCemnyet gerlmeler tasarımı) bleşk gerlme sınırlayıcıları ve ayrıca deplasman sınırlayıcılarına göre genetk algortma yöntemyle optmum tasarımını yapan br algortma ve blgsayar programı gelştrlmştr. Optmum tasarımda, düşey ve yatay yükler altında mnmum ağırlıklı çerçevelern elde edlmes amaçlanmıştır. Tasarım değşkenler ayrık değşkenler olup pratkte kullanılan hazır standart kestlerden seçlmektedr (Amerkan genş başlıklı W-kestler). Genetk algortmada üreme, çaprazlama ve mutasyon operatörler kullanılmaktadır. Algortmanın uygulanablrlğn göstermek üzere k çelk uzay çerçevenn optmum tasarım örneğ sunulmuştur. Anahtar Kelmeler: Optmum tasarım, Uzay çerçeveler, Genetk Algortma. OPTIMUM DESIGN OF STEEL SPACE FRAMED STRUCTURES ABSTRACT In ths study, an algorthm and ts computer program were developed for the optmum desgn of steel space frames usng genetc algorthm accordng to the combned stress constrants of AISC-allowable stres desgn and dsplacement constrants. Havng mnmum weght frames subjected to lateral and vertcal loads was amed n the optmum desgns. Desgn varables are dscrete and selected from practcally avalable standard set of sectons (AISC wde-flange W-sectons). Reproducton, crossover and mutaton operators were used n genetc algorthm. Optmum desgn examples of two steel space frames were presented to show the applcablty of the algorthm. Keywords: Optmum desgn, Space frames, Genetc algorthm.

2 1. GİRİŞ Yapıların ekonomk olarak tasarımı, yapı mühendslğnn öneml amaçlarından brdr. Yapıların mnmum ağırlıklı olarak tasarımı, ekonomk tasarımda öneml br yer tutmaktadır. Bu şeklde tasarlanan yapıların davranışlarının kabul edleblr sınırlar çersnde kalması gerekmektedr. Böylece, yapıya etkyen yüklere güvenlkle ve belrl rjtlkle dayanan ve mnmum malyetl olan br yapının belrlenmes problem, optmum tasarım problem olarak adlandırılır. Matematk programlama, yapısal optmum tasarımda en çok kullanılan optmzasyon teknklernden brdr. Bu teknkle gelştrlen algortmaların çoğunda tasarım değşkenlernn sürekl olduğu kabul edlmektedr. Fakat pratktek br çok tasarım problemlernde, özellkle çelk yapıların tasarımında, tasarım değşkenler ayrıktır. Bu yapısal elemanların standart ölçülerde üretlmesnden, yapım ve malattak sınırlamalardan kaynaklanmaktadır. Byolojk prensplern hesaplamalı algortmalara uygulaması olan genetk algortmalar, son yıllarda optmum tasarım çözümlernn elde edlmesnde kullanılmaktadırlar. Bunlar en sağlıklı (uygun) breylern hayatta kalma lkesn uygularlar ve aynı zamanda ayrık tasarım değşkenlern kullanırlar. Bu çalışmada, çelk uzaysal taşıyıcı çerçevelern Çelk Yapıların Hesap ve Yapım Kuralları-TS 648 [1], yönetmelğne esas teşkl eden AISC emnyet gerlmeler tasarımı (allowable stress desgn-asd) [2] yönetmelğndek gerlme, burkulma ve yanal burkulmayı kapsayan bleşk gerlme sınırlayıcıları ve ayrıca deplasman sınırlayıcıları altında optmum tasarımını genetk algortma yöntemyle yapan br algortma ve bunun blgsayar programı gelştrlmştr. Gelştrlen algortmanın uygulaması olarak k çelk uzaysal çerçevenn optmum tasarımı yapılmıştır. Optmum tasarımda profl lstelerndek kest seçeneğnn fazla olmasından dolayı AISC genş başlıklı kestler (W- kestler) kullanılmıştır. 2. GENETİK ALGORİTMA Bu çalışmada optmzasyon yöntem olarak genetk algortma kullanılmıştır. Genetk algortma (GA) br amaç fonksyonunu maksmze veya mnmze etmek üzere br optmzasyon yöntem olarak kullanılablmektedr. Genetk algortmalar, doğal genetk ve doğal seleksyon olayına dayanan araştırma teknklerdr [3-5]. Bunlar güçlü br araştırma mekanzması kurmak çn doğadan alınmış operatörler yardımıyla yapay br şeklde en sağlıklı (uygun) olanın hayatta kalma lkesn kullanırlar. GA da kullanılan değşk operatörler bulunmaktadır. Bu çalışmada; üreme (reprodüksyon), çaprazlama (krosovır) ve mutasyon gb genetk operatörler kullanılmıştır. GA larda br tasarım değşken (örneğn çelk profl tp ve numarası), belrlenmş br ayrık tasarım değşkenler takımında (örneğn çelk profl kestler lstesnde) br sıra numarasına sahptr. Bu numaralar çn kl kodlama sstem kullanılmaktadır. Br topluluktak breyler 1 veya 0 karakterlernden oluşan sonlu uzunluktak dzlerdr. Breyler kromozomlar, 1 ve 0 karakterler se yapay genler olarak adlandırılırlar. Br dz, her br br tasarım değşkenn temsl eden br takım alt dzlerden oluşmaktadır. GA da belrl sayıda breylerden (çelk çerçevelerden) oluşan br başlangıç topluluğu rasgele seçlr. Bu topluluğa üreme operatörü uygulanır: her brey uygunluk faktörü le orantılı olarak kopyalanarak eşleşme havuzuna gönderlr. Bu arada uygunluk faktörü düşük olan breyler topluluktan çıkarılır. Daha ağır, gerlme ve deplasman sınırlamalarını sağlamayan breyler uygunluk faktörü daha düşük olan breyler

3 olarak kabul edlrler. Bu yen kopyalar eşleşme havuzunda rasgele eşleştrlr ve her çfte çaprazlama (kromozomların belrl br bölgesnde karşılıklı genlern değştrlmes) uygulanarak yen evlatlar (yen çerçeveler) ve bunların oluşturduğu yen topluluk (nesl) elde edlr. Yen topluluktak her evlada mutasyon operatörü uygulanır. Bu operatör topluluktak her yen breye önceden belrlenmş br olasılıkla uygulanır. Bu operatörle breyden rasgele seçlen br gen 0 dan 1 e veya 1 den 0 a değştrlr. Yen topluluk başlangıç topluluğu le yer değştrr. Aynı şlemler yen topluluk (nesl) üzernde uygulanır. Bu şlemlere Bölüm 5 te anlatılan durdurma krter sağlanıncaya kadar devam edlr. Bu durumda toplulukta maksmum uygunluk değerne sahp brey (çelk çerçeve) optmum çözüm olarak belrlenr. 3. OPTİMUM TASARIM PROBLEMİ Deplasman ve gerlme sınırlayıcıları altında çelk uzaysal çerçevelern optmum tasarım problem; aşağıda fades verlen yapı ağırlık fonksyonunu mnmze eden A k (k no.lu eleman grubunun enkest alanı) tasarım değşkenler takımının bulunması şeklnde tanımlanablr. ng k = 1 mk W ( x) = A k ρ L (1) Burada mk k no.lu gruptak toplam eleman sayısını, ρ ve L no.lu elemanın yoğunluğunu ve boyunu, ng se çerçevedek toplam grup sayısını göstermektedr. GA lar sınırlayıcısız optmzasyon problemler çn uygundur. Bu nedenle buradak sınırlayıcılı optmzasyon problemn sınırlayıcısız probleme dönüştürmek gerekmektedr. Bu çalışmada sınırlayıcılar çn normalze edlen sınırlayıcıların hlal edlmes esasına dayanan bağıntılar verlecektr [4]. Normalze edlmş sınırlayıcılar aşağıdak şeklde fade edleblr. Deplasman sınırlayıcıları, = 1 δ j g j ( x) = 1,0 0 δ ju j = 1,...,p (2) şeklndedr. Burada δ j j nc sınırlanmış deplasmanın değern, δ ju se onun üst sınırını, p se çerçevedek sınırlanmış deplasmanların toplam sayısını göstermektedr. Bleşk gerlme sınırlayıcıları [2], eksenel basınç ve eğlmeye maruz çubuklar çn : fa Cmx f Cmy f bx by g ( x) = , = 1,, nc (3) Fa f 1 ' 1 ' a F fa bx F by Fex Fey f a f f bx by g ( x) = , = 1,.,nc (4) 0.60Fy Fbx Fby veya, f a /F b 0,15 olması durumunda, (3) ve (4) denklemlernn yerne (5) kullanılır.

4 Eksenel çekme ve eğlmeye maruz çubuklar çn : f a f f bx by g ( x) = , = 1,.,nc (5) Fa Fbx Fby f a f f bx by g ( x) = = 1,.,nb (6) Ft Fbx Fby Burada, nc eksenel basınç ve eğlmeye maruz çubukların, nb se eksenel çekme ve eğlmeye maruz çubukların toplam sayılarını göstermektedr. (3)-(6) denklemlernde, b,m ve e alt ndsleryle kullanılan x ve y alt ndsler kestlern eğlme eksenlern temsl etmektedr. (3)-(5) de F a yalnız eksenel basınç kuvvet etkmes halnde emnyet gerlmesn, F b yalnız eğlme moment etkmes halnde eğlme-basınç emnyet gerlmesn, ' F e emnyet katsayısına bölünmüş Euler gerlmesn, f a yalnız eksenel basınç kuvvet etkmes halnde hesaplanan gerlmey, f b yalnız eğlme moment etkmes halnde hesaplanan basınç-eğlme gerlmesn ve C m yanal ötelenmes önlenmemş çerçevelern basınç elemanları çn 0,85 olarak alınan br katsayıyı göstermektedr. (6) da f a hesaplanan eksenel çekme gerlmesn, f b hesaplanan eğlme-çekme gerlmesn, F b eğlme emnyet gerlmesn, F t hakm çekme emnyet gerlmesn belrtmektedr. Emnyet gerlmeler, Euler gerlmes ve dğer ayrıntılar AISC emnyet gerlmeler tasarımı [2] yönetmelğnde ayrıntılı olarak verlmektedr ve tekrarlanmayacaktır. Burada eksenel basınç kuvvet taşıyan çubukların etkl uzunluk faktörü K çn bast br denklem kullanılmıştır [6]. Sınırlayıcısız amaç fonksyonu se aşağıdak şeklde yazılablr. φ ( x ) = W ( x)(1 + KC), C = m c = 1 Burada K probleme özgü olarak seçlen sabt br değer olup bu çalışmada 10 olarak alınmıştır. Denklem (7) dek c hlal katsayıları se aşağıdak gb hesaplanır. Eğer g ( x) > 0 se c = g(x) Eğer g ( x) 0 se c = 0 (8) Denklem (7) dek m çerçevedek sınırlayıcıların toplam sayısını göstermektedr. Genetk algortma yöntem breyler arasında seçm yapablmek çn br uygunluk krter kullanmaktadır. Bu krter topluluktak en sağlıklı breyn uygunluğunun maksmum olması esasına dayanır. Buna göre topluluktak no.lu brey çn uygunluk fades aşağıdak formda yazılablr [4]. F = φ( x) + φ( x) ) φ( x) (9) ( max mn (7) Burada φ(x) max ve φ(x) mn topluluktak maksmum ve mnmum sınırlayıcısız amaç fonksyonlarının değerlern, φ(x) nc eleman çn aynı fonksyonun değern göstermektedr. F / F ort fades le burada her breyn uygunluk faktörü hesaplanır. Burada F ort topluluğun ortalama uygunluğudur. Br breyn uygunluğunun hesabı çn çerçevedek deplasman ve gerlme değerlernn blnmes gerekmektedr. Bu da uzaysal çerçeve sstemlern lneer-elastk analzlernn yapılmasıyla elde edlr.

5 4. UZAYSAL ÇERÇEVE SİSTEMİN ANALİZİ Uzaysal çerçeve sstemn analz matrs deplasman yöntem kullanılarak yapılmaktadır. Her düğüm noktasında altı serbestlk dereces, her elemanda se lokal koordnatlarda altı çubuk uç kuvvet göz önüne alınmaktadır. Bunlar; eksenel çekme, çubuğun (z-y) ve (z-x) düzlemlernde eğlme oluşturan kşer momentler, ve burulma momentdr ( x ve y çubuk kestnn asal eksenler, z se çubuk eksendr). Çerçevenn düğüm noktası deplasmanları ve çubuk uç kuvvetler yöntemn blnen adımları uygulanarak elde edlr. Dğer çubuk uç kuvvetler ve açıklık momentler se yukarıda elde edlenlere bağlı olarak hesaplanır. 5. OPTİMUM TASARIM ALGORİTMASI Çelk uzaysal çerçeve yapıların genetk algortma yöntemyle optmum tasarım algortması aşağıdak adımlardan oluşmaktadır: 1- Çerçevedek tasarım değşkenler ve profl lstesndek kest sayısına göre dz uzunluğunu belrlenr. Tasarım çn belrl uzunlukta br profl kest lstes düzenlenr. 2- İkl sayılardan (0 ve 1) oluşan başlangıç topluluğu rasgele oluşturulur. (Topluluğun her br brey br çerçevey oluşturan tasarım değşkenlern, yan çelk profl kestlern, temsl etmektedr) 3- Her br brey çn kl sstemde kodlanan tasarım değşkenlernn numarası onluk ssteme dönüştürülerek kest lstesndek sırası bulunur ve değşken bu numaradak standart kestle eşleştrlr. 4- Belrlenen bu kestlerle her breyn (çerçevenn) lneer-elastk analz br öncek bölümde anlatılan şeklde yapılarak her çerçeve çn düğüm noktaları deplasmanları ve elemanlardak gerlmeler hesaplanır. 5- Her brey çn (2)-(8) denklemlernden sınırlayıcısız amaç fonksyonu değerler hesaplanır. Toplulukta bu fonksyonların maksmum ve mnmum değerler belrlenr. 6- (9) denklemyle her breyn uygunluğu hesaplanır. Topluluğa optmum çözüme hızlı yakınsama çn, Lneer Uygunluk Ölçeklendrmes uygulanır [3]. Toplulukta ortalama uygunluk ve her brey çn uygunluk faktörü belrlenr. 7- Üreme operatörü uygulanır. Her brey uygunluk faktörü le orantılı olarak kopyalanarak eşleşme havuzuna gönderlr. Bu arada uygunluk faktörü düşük olan breyler topluluktan çıkarılır. Bu yen kopyalar br havuzda rasgele eşleştrlr ve her çfte ünform çaprazlama [7] uygulanarak yen evlatlar ve bunların oluşturduğu yen topluluk elde edlr. 8- Yen topluluktak her evlada mutasyon operatörü uygulanır. 9- Yen topluluk başlangıç topluluğu le yer değştrr. 3-9 arası adımlardak şlemlere, en son elde edlen topluluktak maksmum uygunlukla ortalama uygunluk arasındak fark belrl küçük br değern altına nnceye kadar devam edlr. Bu durumda maksmum uygunluk değerne sahp brey optmum çözüm olarak belrlenr.

6 6. TASARIM ÖRNEKLERİ Bu çalışmada çelk malzemesnn elastste modülü çn MPa, kayma modülü çn MPa, akma dayanımı çn 344,8 MPa, özgül ağırlığı çn se 76,98 kn/m 3 değerler kullanılmıştır. Yapıya etkyen dört farklı yük çeşd kullanılmıştır: Ölü yük (D), hareketl yük (L), çatı hareketl yükü (L r ) ve rüzgar yükü (W). AISC-ASD yönetmelğne göre tasarımda (D+L+L r +W) yük bleşm kullanılmıştır. Sunulan k tasarım örneğnde, D = 2,78 kpa, L = L r = 2,39 kpa olarak alınmıştır. En üst katın yatay ötelenmes toplam yapı yükseklğnn k yüz ellde br kadar sınırlandırılmıştır. Rüzgar yükünün hesaplanması çn Unform Buldng Code yönetmelğ kullanılmıştır [8]. Rüzgar yükler p = C e C q q s I denklemyle hesaplanmaktadır. Bu denklemde; p tasarımda kullanılan rüzgar basıncı, C e çerçeve yükseklğ, çerçevenn bulunduğu konum (çevresnde çok sayıda bna bulunması veya açık br arazde olması) ve sert rüzgar etkme faktörü gb etkenlern br arada bulunması durumunu göz önüne alan br katsayı, C q basınç katsayısı, q s rüzgar durgunluk basıncı, I se önem katsayısıdır. Örneklerde temel rüzgar hızı 113 km/s olarak seçlmş ve dolayısıyla rüzgar durgunluk basıncı q s =0.622 kpa değern almıştır. Bnanın,yerleşm bölgesnde yapılacağı kabulü le cephe durumu (exposure) B olarak seçlmştr. C e katsayısı cephe durumu B çn 0,7 değern almaktadır. C q rüzgarın çerçeveye doğru olması halnde 0.8 çerçeveden dışarı doğru olması halnde se 0,5 tr. Önem katsayısı I w se 1.0 olarak alınmıştır Dört Katlı Seksen Dört Elemanlı Uzay Çerçeve Şekl 1 de dört katlı uzay çerçevenn planı ve yan görünüşü verlmektedr. Çerçevenn 84 elemanı 8 eleman grubuna ayrılmıştır. Gruplar şu şeklde planlanmıştır: 1. grup: 4. ve 3. katların köşe kolonları, 2. grup: 4. ve 3. katların dış ve ç kolonları, 3. grup: 2. ve 1. katların köşe kolonları, 4. grup: 2. ve 1. katların dış ve ç kolonları, 5. grup: en üst katın dış krşler, 6. grup: en üst katın ç krşler, 7. grup: 3., 2. ve 1. katların dış krşler, 8. grup: 3., 2. ve 1. katların ç krşler. Rüzgardan oluşan yatay yükler tüm katlar boyunca AB ve CD kenarlarındak her düğüm noktasına z-yönünde etkmektedr. Deplasman sınırlayıcıları en üst kat sevyesndek düğüm noktalarında z-yönünde ±5,76 cm olarak verlmştr. Topluluk büyüklüğü (topluluktak breylern sayısı), çaprazlama ve mutasyon olasılığı sırasıyla; 60, 0,99 ve 0,001 seçlmştr. 94. neslde çerçevenn optmum ağırlığı 180,16 kn ve en üst katın yatay ötelenmes se 2,31 cm olarak hesaplanmıştır. Tasarımda gerlme sınırlayıcıları hakm olmuştur. Eleman grupları çn optmum kestler Çzelge 1 de verlmştr. Çzelge 1. Dört katlı seksen dört elemanlı uzay çerçeve çn optmum kestler G r u p n u m a r a l a r ı Optmum Kestler W 8 31 W10 49 W 8 35 W 8 31 W 8 18 W 8 35 W12 14 W12 45

7 Şekl 1. Dört katlı seksen dört elemanlı uzay çerçeve: (a) plan, (b) yan görünüş 6.2. On Katlı Yüz Otuz Elemanlı Uzay Çerçeve On katlı uzay çerçevenn dkdörtgen planı ve yan görünüşü Şekl 2 de görülmektedr. Çerçeve 130 elemandan oluşmakta ve 9 eleman grubuna ayrılmaktadır. Gruplar şu şeklde planlanmıştır: 1. grup: en üst katın dış krşler, 2. grup: en üst katın ç krşler, 3. grup: 1-9 katların dış krşler, 4. grup: 1-9 katların ç krşler, 5. grup: 10. ve 9. katların dış ve köşe kolonları, 6. grup: 8. ve 7. katların dış ve köşe kolonları, 7. grup: 6. ve 5. katların dış ve köşe kolonları, 8. grup: 4. ve 3. katların dış ve köşe kolonları, 9. grup: 2. ve 1. katların dış ve köşe kolonları. Rüzgardan oluşan yatay yükler tüm katlar boyunca AB ve CD kenarlarındak her düğüm noktasına z-yönünde etkmektedr. Deplasman sınırlayıcıları en üst kat sevyesndek düğüm noktalarında z-yönünde ±14,4 cm olarak verlmştr. Topluluk büyüklüğü, çaprazlama ve mutasyon olasılığı çn br öncek örnektek değerler seçlmştr. 97. neslde çerçevenn optmum ağırlığı 404,82 kn ve en üst katın yatay ötelenmes se 14,23 cm olarak elde edlmştr. Tasarımda deplasman sınırlayıcıları hakm olmuştur. Eleman grupları çn optmum kestler Çzelge 2 de verlmştr.

8 Şekl 2. On katlı yüz otuz elemanlı uzay çerçeve: (a) plan, (b) yan görünüş Çzelge 2. On katlı yüz otuz elemanlı uzay çerçeve çn optmum W-kestler G r u p n u m a r a l a r ı Optmum Kestler SONUÇLAR Bu çalışmada, AISC emnyet gerlmeler tasarımı (allowable stress desgn) standardı kullanılarak çelk çerçevelern genetk algortma yaklaşımıyla optmum tasarımı çn br algortma ve onun blgsayar programı gelştrlmştr. İk değşk çelk uzaysal çerçeve sstemn optmum tasarım sonuçları burada sunulmuştur. Genetk algortma yöntem ayrık tasarım değşkenler kullandığı çn pratk amaçlı optmum yapısal tasarımı çn oldukça uygundur. Gelştrlen algortmayla gerlme ve deplasman sınırlamalarının tasarım standartlarında belrtldğ şeklde şleme konulableceğ ve pratkte geçerl olan kestlern

9 kullanılableceğ gösterlmştr. Algortma genel olup ulusal veya değşk uluslararası çelk tasarım standartları ve profl kestler çn de uyarlanablr. GA da çözüme ulaşmak çn çok sayıda analzn ve dğer şlemlern gerektğ görülmektedr. Bu da hesaplama zamanının artması anlamına gelr. Bu çalışmada ayrıca şlemler belrl br ölçüde azaltmak çn uygun topluluk büyüklüğü, çaprazlama ve mutasyon olasılıkları belrlenmştr. Yapılan sayısal çözümlerden topluluk büyüklüğünün kromozom uzunluğunun br la k katı arasında seçlmesnn uygun olduğu görülmüştür. Her k örnekte de alt dz uzunluğu 6 seçlmş ve dolayısıyla profl kest lsteler 64 elemandan oluşmuştur. Brnc ve knc örnekte kromozom uzunlukları sırasıyla 48 ve 54 tür ve topluluk büyüklüğü çn 60 değer seçlmştr. Toplulukta uygunluk ölçeklendrmes (ftness scalng) [3] ve büyük çaprazlama olasılıklarının kullanılması optmum çözüme yakınsamayı hızlandırmaktadır. Örneklerde çaprazlama olasılığı olarak 0,99 değer kullanılmıştır. Yapılan sayısal örneklerden büyük mutasyon olasılık değerlernn çözümlerde ıraksamaya yol açtığı ve bunun çn 0,001 veya 0,002 gb küçük değerlern kullanılmasının uygun olduğu anlaşılmaktadır. GA da takp eden durdurma krter kullanılmıştır: (F max F ort ) F max ε, burada F max ve F ort en son elde edlen topluluktak en büyük ve ortalama uygunluk değerlern, ε belrlenmş küçük br sayıyı göstermektedr. ε çn küçük değerlern seçlmes yakınsamada geckmeye, büyük değerlern seçlmes se optmum değere ulaşmadan yakınsamaya yol açmaktadır. Sayısal örneklerden bu değern 0,01 la 0,015 arasında alınmasının uygun olduğu anlaşılmıştır. KAYNAKÇA [1] TS 648, Çelk Yapıların Hesap ve Yapım Kuralları, 1980, Ankara. [2] Amercan Insttute of Steel Constructon, Manual of steel constructon-allowable stress desgn, 1989, Chcago. [3] D. E. Goldberg, 1989, Genetc Algorthms n Search Optmzaton and Machne Learnng, Readng, Massachusetts, Addsson-Wesley. [4] S. Rajeev and C.S. Krshnamoorthy, 1992, Dscrete Optmzaton of Structures Usng Genetc Algorthms, J.Struct. Engrg.,ASCE,118, [5] H. Adel and N. T. Cheng, 1994, Augmented Lagrangan Genetc Algorthm for Structural Optmzaton, J. Aerospace Engrg., ASCE, 7, [6] P. Dumontel, 1992, Smple Equatons for Effectve Length Factors, Engneerng Journal, AISC, 3, [7] G. Syswerda, 1989, Unform Crossover n Genetc Algorthms, (Ed.,Schaffer), J., Proceedngs of the Thrd Internatonal Conference on Genetc Algorthms, 2-9, Los Altos, CA, Morgan Kaufmann Publshers. [8] Unform Buldng Code, 1997, Internatonal Conference of Buldng Offcals, Whtter, CA.