Mekanik Titreşimler Ders Notları

Transkript

1 MAK MEKANİK TİTREŞİMER DERS NOTARI Dooçç..Drr.. Zeeii KIIRA

2 Meai Titreşiler Ders Notları MAK MEKANİK TİTREŞİMER Titreşi iaiği bir alt olu olup terarlaa hareetler ile ilgileir. Bu ers içeriğie eai yapılar ile ilgili titreşi probleleri ele alıala birlite titreşi iletişii teelie buluataır. (Kula zarı ve ilişili eaiza işite işleii gerçeleştire aacı ile titreşir, il ve ses telleri ouşa içi titreşir). Müzial estrüaları birçoğua, özellile telli estrüalara, titreşi isteile bir olayır. Diğer tarafta titreşi birço eai siste içi isteeye, bazı urulara a yııcı bir uruur. Öreği uça gövesiei titreşiler yorulaya ee olur ve souç olara hasara yol açar. Depre ayalı titreşiler bialara çatlalara ve hasarlara sebep olabilir. Gülü hayatta titreşi sıça arşılaşıla bir etiir ve geellile titreşi seviyelerii azaltılası teel ilgi alaıır. Titreşi, cisileri sabit bir referas esee veya oial bir pozisyoa (ege ouu) göre terarlaa hareeti olara ifae eilir. Titreşi her yere evcut ola ve üheisli tasarılarıı yapısıı etileye bir olguur. Titreşi arateristileri üheisli tasarıları içi belirleyici fatör olabilir. Titreşi baze zararlı olabilir ve açıılalıır, baze e oluça yararlıır ve isteilir. Her ii urua a titreşii asıl aaliz eileceği, ölçüleceği ve otrol eileceği üheisli içi öeli bir bilgiir. Titreşi teorisi cisileri ve ilgili uvvetleri salıılı (oscillatory) hareetleri ile ilgileir. Şeil e görüle salıılı hareet Haroi Hareet olara alaırılır ve aşağıai forül ile ifae eilir. Şeil. Basit haroi hareet. (t) X cost Buraa X hareeti geliği, hareeti freası ve t zaaır. Şeil e periyoi (perioic) hareet, Şeil e periyoi olaya (operioic) veya geçici (trasiet) hareet, Şeil e ise gelişigüzel veya uzu zaalı periyoi olaya hareet eğrileri görületeir. Kayalar: Theory of Vibratios-W.T.Thoso, Eleets of Vibratio Aalysis-. Meirovitch, Vibratios of Cotiuous Systes- S. Rao, Fuaetals of Mechaical Vibratios-S.G. Kelly, Vibratio Probles i Egieeri-W.Weaver, S.P. Tiosheo, D.H. Youg, Egieerig Vibratios-D.J. Ia, Müheisli Sistelerii Moelleesi ve Diaiği-Yücel Erca /5

3 Meai Titreşiler Ders Notları Şeil. Periyoi hareet. Şeil. Geçici (trasiet) hareet. Şeil. Gelişigüzel (rao) veya uzu zaalı periyoi hareet. Titreşi olayı potasiyel eerjii ieti eerjiye, ieti eerjii ise potasiyel eerjiye öüşüüü içereteir. Bu eele titreşi yapa sisteler potasiyele eerji ve ieti eerji epolaya elealara sahip olalıır. Potasiyel eerji epolaya elealar yay veya elasti elaalar, ieti eerji epolaya elealar ise ütle veya atalet elealarıır. Elasti elealar potasiyel eerji epolar ve bu eerjiyi atalet eleaıa /5

4 Meai Titreşiler Ders Notları ieti eerji olara geri verir. Şeil 5 e bir ütle yay sisteii ege ouu etrafıai hareeti görületeir. Şeil 5a a yay ile zeie bağlaış ütle ege ouua görületeir. Kütle verile il yer eğiştire ile ouua getiriliştir. ouua yayı e uzaış hale oluğu ve olayısı ile yaya epolaa potasiyel eerjii e yüse üzeye oluğu, bu oua ütle sıfır hıza sahip oluğu içi ise ieti eerjii sıfır oluğu bilieteir. Kütle ouua serbest bıraılığıa ütlesi ouua oğru arta bir hızla hareet eer. Kütle ouua geliğie yay uzaaış boyua ulaşır ve epolaığı potasiyel eerjiyi taae ütlesie atarıştır. Bu oua eerjii oruuu presibie göre ütlei ieti eerjisi olayısı ile hızı e büyü eğerie ulaşır. E p : Potasiyel Eerji E Kieti Eerji E p, E E p (i) E (a) E p (a) E (i) Ea Eerji E p E E p (a) E (i) E Kou Şeil 5. Yay-ütle sisteii hareeti. Yuarıa verile yay-ütle sisteiei eerji eğişii Şeil 6 a gösterile basit saraç ile bezerir. F y F O l g E p (a) E (i) θ lsiθ g Şeil 6. Basit saraç. /5

5 Meai Titreşiler Ders Notları Titreşi yapa sistelere uygulaa başlagıç zorlaası ütleye uygulaa başlagıç eplasaı ve/veya hızı şelie olabilir. Bu başlagıç girisi sistee potasiyel ve/veya ieti eerji azaırılasıa ee olur. Bu başlagıç girisi sistei serbest titreşi olara alaırıla salıılı bir hareete sürüler. Serbest titreşi aıa potasiyel ve ieti eerji arasıa bir eğişi söz ousuur. Eğer siste oservatif/oruulu (coservative) ise sistei potasiyel ve ieti eerjisii toplaı sabittir ve zaaa göre eğişii sıfırır. Bu urua siste teori olara sosuza e titreşir. Pratite ise titreşi yapa sistelere söü veya sistei çevreleye ortaa ayalaa sürtüe (öreği hava ireci) evcuttur ve bu etiler hareet sırasıa sistei eerjisii aybetesie sebep olur. Söü etisi sistei topla eerjisii süreli olara azalasıa ve sıfırlaasıa (hareeti solaığı ota) sebep olur. Eğer sistee saece il hareet şartları ile (yer eğiştire/hız) giri sağlaış ise ortaya çıa salıılı hareet soua solaacatır. Bu şeilei başlagıç girilerie geçici zorlaa (trasiet ecitatio) ve souç olara ortaya çıa hareete ise geçici hareet (trasiet otio) aı verilir. Eğer siste belirli bir gelitei cevapta tutula isteiyor ise süreli bir ış aya ile uyarılalıır. Diai ve alt alaı ola titreşi ousua çalışa ve bu alaa öeli atılar sağlaya bili isaları Tablo e veriliştir. Tablo. Süreli sisteleri titreşii ousua atı yapa başlıca bili isaları. /5

6 Meai Titreşiler Ders Notları Tablo. (Devaı) SERBESTİK DERECESİ Bir sistei serbestli erecesi, sistee ait her parçaı herhagi bir t aıai oularıı taılayabile içi gereli ola iiu bağısız ooriat sayısıır. Şeil 5 ei yay ütle sisteiei ütlei ouu saece ooriatı ile ifae eilebilir, 5/5

7 Meai Titreşiler Ders Notları olayısı ile yay ütle sistei te serbestli ereceliir. Şeil 6 a verile basit saraçı hareeti e θ ooriatı ile ifae eilebilir. Buula birlite saraç hareeti ve y ooriatları ile e taılaabilir. Faat ve y ooriatları arasıa y l bağıtısı a varır. Bu ele bir ısıtlaaır ve ve y birbirie bağısız eğilir. Dolayısı ile basit saraç sistei te serbestli ereceliir. Şeil 7 e ço serbestli ereceli sistelere öreler veriliştir. Şeil 7. Ço serbestli ereceli siste öreleri. 6/5

8 Meai Titreşiler Ders Notları Ço serbestli ereceli bir siste yay ve söüleyiciler ile ayrılış otasal ütlelere oluşa bir siste olara üşüülebilir. Bu urua siste paraetreleri ayrı ve solu sayıaır. Bu tip sisteler topalaış paraetreli (lupe-paraeter), ayrı (iscrete) veya solu boyutlu (fiite-iesioal) sisteler olara alaırılır (Şeil 7). Diğer tarafta, süreli sistelere ütle, elastili (fleibility) ve söü siste üzerie ağılış uruaır. Titreşi sırasıa sosuz sayıai otasal ütleler birbirlerie göre farlı hareetler yapabilir. Bu tip sistelere ağıtılıış (istribute), süreli (cotiuous) veya sosuz boyutlu (ifiite-iesioal) sisteler aı verilir. Süreli sisteler içi teel bir öre Şeil 8 ve gösterile aastre (catilever) iriştir. Kiriş sosuz sayıa aesel ütleye sahiptir ve buu soucu olara iriş hareetii (çöesii) ifae eebile içi sosuz sayıa ooriata ihtiyaç varır. Bu sosuz sayıai ooriat irişi elasti çöe eğrisii oluşturur. Birço eai ve yapısal siste süreli eseli ve ütle ağılııa sahiptir ve sosuz serbestli erecesie sahiptir. Şeil 8. Aastre iriş (süreli siste). TİTREŞİMİN SINIFANDIRIMASI Titreşi probleleri aşağıai şeile sııflaırılabilir.. Söüsüz ve söülü titreşiler: Eğer sistee sürtüe veya bezeri ireçler sebebi ile eerji aybı ve söüüe sebep olaca bir eti yo ise titreşi problei söüsüz (uape) olara alaırılır. Eğer sistee söü evcut ise siste söülü (ape) olara alaırılır. Titreşi problelerii icelere söü ihal eilere çözü basitleştirilebilir, faat söü etileri özellile rezoas uruu içi oluça öeliir.. Serbest ve zorlaış titreşiler: Eğer siste il şartlar eticesie titreşiyor ise (t> içi sistee eti ee ış zorlaa yo) siste titreşilerie serbest titreşi aı verilir. Eğer siste ış zorlaa etisi ile titreşiyor ise oluşa titreşilere zorlaış titreşi aı verilir. 7/5

9 Meai Titreşiler Ders Notları. ieer ve lieer olaya (oliear) titreşiler: Eğer titreşi yapa sistei tü bileşeleri oğrusal (lieer) avraışa sahip ise oluşa titreşilere lieer titreşi aı verilir. Eğer siste elealarıa herhagi biri oğrusal olaya avraışa sahip ise oluşa titreşilere lieer olaya (oliear) titreşi aı verilir. Bu tip sisteleri hareetii ifae ee iferasiyel eleler lieer olaya foraır. Birço titreşi sistei, büyü titreşi gelileri içi lieer olaya avraışa sahiptir. TİTREŞİM ANAİZİ Bir titreşi sistei cevabı zorlaalara (ecitatios) ve siste paraetrelerie (ütle, iregeli ve söü) bağlı ola iai bir sisteir. Zorlaa ve cevap zaaa bağlıır. Titreşi aalizi belirtile bir ış zorlaaya bağlı olara siste cevabıı belirleesiir. Bu aaliz ateati oellee, hareet elelerii oluşturulası (erivatio of the goverig equatios of otio), hareet elelerii çözüü ve siste cevabıı yorulaası aşaalarıı içerir. Mateatisel oelleei aacı hareet elelerii oluştura aacı ile sistee ait tü öeli arateristi özellileri suatır. Mateati oel, siste özellilerie göre lieer veya lieer olaya biçie olabilir. Eğer sistee ait ateati oel lieer ise süperpozisyo presibi uygulaabilir. ieer sistelere f (t) ve f (t) şeliei bağısız girilere verile cevap sırasıyla (t) ve (t) ise, f(t)f (t)f (t) şeliei bir giriye arşılı siste cevabı (t) (t) (t) ir. Mateati oel oluşturuluta sora, iai presipleri hareet eleii oluştura aacı ile ullaılır. Bu aaçla, tü ış zorlaaları, reasiyo uvvetlerii ve atalet uvvetlerii içerece şeile ütlelere ait Serbest Cisi Diyagraları oluşturulur. D Alebert presibi, Newto u. yasası, agrage veya Hailto presibi gibi yöteler hareet elelerii oluştura aacı ile ullaılır. Siste cevabıı aaliti (close-for) veya üeri olara ele ete aacı ile hareet eleleri eğişi yöteler ullaılara çözülür ve souç olara sistee ait yer eğiştire (isplaceet), hız (velocity) veya ive (acceleratio) cevapları ele eilir. MATEMATİK MODE OUŞTURMA Titreşi yapa sisteleri aalizi içi il olara siste yapısıı yeterli erecee ifae eece içerite bir ateati oel oluşturulur. Oluşturula oel sistei teel titreşi hareetlerii yeterli yalaşılıla ifae eilece itelite basitleştireler içerebilir. Mateati oel oluşturulur ie titreşi sisteie bulua eleaları lieer veya lieer olaya özellileri belirtilir. Şeil 9 a bazı sisteleri ve bulara ait ateati oeller veriliştir. 8/5

10 Meai Titreşiler Ders Notları E, I, l, Şeil 9. Bazı sisteler ve ilgili ateati oelleri. 9/5

11 Meai Titreşiler Ders Notları TİTREŞİM SİSTEMERİNİN TEME EEMANARI Titreşi yapa sistelere potasiyel ve ieti eerji epolaya elealar ile söülü sistelere eerji söüüü sağlaya elealar evcuttur. Bu elealara ait eleler aşağıa veriliştir. a) Elasti Elealar (Yaylar): Yaylar titreşi sisteleriei ütleleri birbirie bağlaya ve ütleleri bağıl hareetlerii sağlaya elealarır. Yaylar lieer ve olieer arateristiğe sahip olabilirler. ieer arateristiğe sahip yaylar Hooe yasasıa uygu avraırlar ve yaya oluşa elasti uvvet yayai şeil eğişii ile oratılıır. Faat titreşi gelilerii yüse oluğu zaa ve/veya etal olaya alzeeler ullaılığıa yaylar lieer avraışa sahip olayabilirler. Şeil a bazı yay arateristileri gösteriliştir. F F ( ) E p ( ) F F() Şeil. Elasti elea.. F(). F(). F(). F() b) Atalet Eleaları : Atalet eleaları ieti eerji epolaya elealarır. Atalet eleaları ötelee ve öe hareetlerii ayrı ayrı yapabileceleri gibi, he ötelee he e öe hareetii birlite gerçeleştirilebilirler. Atalet elealarıa ait elea elei aşağıa veriliştir. F(t) E F c) Söü eleaları : Söülü sistelere eerji yutuuu sağlaya elealarır. Aortisör tipi elealar aışa sürtüesi ile eerji aybıı sağlarlar ve titreşi gelilerii epoasiyel olara azaltırlar. Söü elealarıa eai eerji ısı eerjisie öüşür. Elea elei aşağıa veriliştir. c F F /5 F c ( )

12 Meai Titreşiler Ders Notları Titreşi sistei elealarıa ait bezer eleler öe hareeti içi e yazılabilir. Döe hareetie öel iregeli ( θ ), ütle atalet oeti (I), ve öel söü (c θ ) avraları evcuttur. Döüş hareeti yapa titreşi sistelerie ış zorlaalar oet girileri şelieir. Dis tipi ütle elealarıı ütle atalet oetleri: Titreşi sisteleriei araşı geoetrilere ait ütle atalet oetleri güüüz atı oellee prograları ile hesaplaabilir. Buula birlite is tipi yapıları ütle atalet oetleri is ütlesi ve yarıçapıa bağlı olara aşağıai şeile yazılabilir. Disler saece belirli bir ese etrafıa öüş hareeti yapabileceleri gibi, he öe he e ötelee hareeti yapabilirler. Bu urua, isi ütle atalet oeti ile birlite ütlesii e iate alıası gereliir. θ, θ I R is R θ E I θ, R E Iisθ Kayaa yuvarlaa Titreşi yapa eai sistelere hooje ice çubu tipi elealar sıça ullaılataır. Bu elealar belirli bir otasıa geçe ese etrafıa öüş hareeti yapabileceleri gibi, bir üzle içerisie he ötelee he e öe hareeti yapabilirler. Saece öüş hareeti yaptılarıa öe otasıa geçe ese etrafıai ütle atalet oetleri, he öe he e ötelee hareeti yaptılarıa ise he ötelee çubu ütlesi he e çubuğu ütle erezie geçe ese etrafıai ütle atalet oeti iate alıır. θ, θ B r O ρ / / / / / I O ρ / 8 8 / / Hooje ice çubu şeile görüle bir B otası etrafıa öüyor ise, öüş eseie göre ütle atalet oeti paralel eseler teorei (Steier teorei) ile hesaplaabilir. I I B O r /5

13 Döe hareeti yapa bir çubu içi ieti eerji ifaesi G G I I E θ θ Buraa I öe otasıa geçe ese etrafıai ütle atalet oeti, I G ütle erezie geçe ese etrafıai ütle atalet oeti, G ütle erezii hızıır. Ese elea ofigürasyoları: Titreşi yapa eai sistelere potasiyel eerji epolaya ese eleaları paralel ve seri ola üzere farlı ofigürasyoları buluabilir. Bu urulara eşeğer iregelileri ele eilesi gereliir. Seri ve paralel bağlatı uruları içi eşeğer hesapları aşağıai gibi ifae eilir. Paralel Bağlatı: Bir eai sistee paralel yay ofigürasyou söz ousu ise eşeğer yay atsayısı şu şeile hesaplaabilir. Paralel bağlatıa tü yaylarai çöe eşittir ve eğerie sahiptir. Dolayısı ile yayları tepi uvvetleri toplaır. ( ) F eş i i Seri bağlatıa tü yaylarai uvvet ayı olup topla çöe tü yaylarai çöeleri toplaıa eşittir. eş... F F eş F F F F F F N i i eş i i eş i eş i Meai Titreşiler Ders Notları /5

14 Meai Titreşiler Ders Notları Helisel yayları yay atsayıları: Bir helisel yayı yay atsayısı yay alzeesie ait alzee özelliği ile yay geoetri boyutlarıa bağlıır. r D N sarı G G D 6 r N E ( υ) E: Elastisite oülü G: Kaya oülü υ: Poisso oraı YAY OARAK KUANIAN YAPISA EEMANAR Titreşe eai sistelere bulua yapısal elealar çoğu ez yay eleaı gibi avraataırlar. Kiriş tipi elealar bu tip yapısal elealara öretir. Bu elealara ait iregeli ifaeleri uvvet-şeil eğiştire ilişileri ile ele eilebilir. Eseel titreşiler içi iregeli ifaesi. A, E, F F Δ ε σ F A E ε E F E A F F F E A E A Eğile titreşileri içi iregeli ifaeleri F E, I, F y δ y y E I M() F δ E I F F δ F EI /5 EI

15 Meai Titreşiler Ders Notları E, I, F F y δ y y E I M() δ F 9 E I F F 9 EI δ F 9 EI E, I, F F y δ y y E I M() δ F 8 E I F F δ F 8 EI 8 EI E, I, F F y δ a y -a y E I M() δ ( a) Fa E I F δ /5 F EI ( a) a ( ) a Fa E I

16 Meai Titreşiler Ders Notları Torsiyoel Sisteler J, G, M, θ θ M G J θ M θ M M G J G J Buraa J esit utupsal (polar) ala atalet oetiir. TİTREŞİM PROBEMERİNİN DOĞRUSAAŞTIRIMASI (KÜÇÜK YER DEĞİŞTİRMEER) Titreşi probleleri, üçü öteleeler ve üçü yer öeler abulü ile oğrusal iferasiyel eleler ile iceleeteir. Büyü yer eğiştireler söz ousu oluğua oğru çözü içi iferasiyel eleleri oliear forları göz öüe buluurulalı ve çözüler bu şeile yapılalıır. θ R θ R si θ ta θ cosθ R si θ R. Buraa siθ ifaesi Taylor serisie açılır ise cosθ 5 θ θ θ si θ, θ << içi, iğer θ ı yüse erecee uvvetleri sıfıra ço!! 5! yaı eğerler alır. Dolayısı ile üçü açısal yer eğiştireler içi si θ θ alıabilir. cosθ ifaesi içi Taylor serisi yazılır ise θ θ cosθ, θ << içi, iğer θ ı yie yüse erecee uvvetleri sıfıra ço!! yaı eğerler alır. Dolayısı ile üçü açısal yer eğiştireler içi cosθ alıabilir. Bu urua θ R Rθ yazılabilir. 5/5

17 Meai Titreşiler Ders Notları Bir ota etrafıa öüş hareetie sahip irişler içi e bezer ifaeler geçerliir. A O θ A A siθ OA A OA si θ OA θ HAREKET DENKEMİ OUŞTURMA YÖNTEMERİ: Titreşi aalizi yapılaca sistei ateati oelii oluşturulasıı taibe literatüre evcut yötelere biri ullaılara sistei hareetii taılaya iferasiyel eleler (hareet eleleri) oluşturulur. Hareet eleleri oluşturulur ie farlı yöteler ullaılabilir. Bu yötelere sı ullaılaları aşağıa veriliştir. Bu bölüe eai titreşi problelerie teel olara ele alıa yay-ütle sistei ele alıacatır. F(t) g (t) c. Newto u. yasası ile: Şeile görüle siste te serbestli ereceli sisteir ve ütlesii hareeti ooriatı ile taılaabilir. Newto u. yasası gereği cise etiye uvvetleri toplaı cisi ütlesi ile ivesii çarpııa eşittir. ütlesi yayı üzerie oulaa öce yay şeil eğiştireiş serbest ouaır. g ağırlığıai ütle yay üzerie yerleştirilite sora yay bir itar stati çöeye uğrar ve F(t) ış zorlaası ile bu çöei üzerie iai yer eğiştireleri oluşur. Dolayısı ile ütlesii topla yer eğiştire ifaesi (t) s şelie stati ve iai yer eğiştirelerii toplaı şelie ifae eilebilir. 6/5

18 Meai Titreşiler Ders Notları (t) (t) (t) s (t) olara yazılabilir. g F(t) (t) s (t) Cisi Serbest Cisi Diyagraı çizilir ise, ( s ) Newto u. yasası gereği ötelee yapa sisteler içi c F Döe hareeti yapa sisteler içi M I θ Aşağı yö pozitif abul eilere g F(t) g ( s ) c F (t) g c Buraa ütlesi içi hareet elei c F(t) şelieir. Görülüğü gibi hareet eleie cise eti ee yer çeii uvveti ve yaya oluşa stati çöe reasiyoları buluaata, hareet elei ütlesii stati ege ouua (yayı çöüş hali) itibare ölçüle iai yer eğiştirelerii içereteir. Dolayısı ile yer çeiie arşı çalışa sistelere ütle yer eğiştiresi stati ege ouua ölçülür ve titreşi hareetii taılaya yer eğiştire ifaesi ir. Dolayısı ile hareet elei c F(t) şelie yazılır.. Diai Dege Yötei (D Alebert Presibi): Bu yötee cise eti ee atalet uvvetleri e serbest cisi iyagraıa gösterilir ve cisi stati egee abul eilere F veya M eşitlileri ullaılır. g F(t) D Alebert veya atalet uvveti g F(t) g c yie ile (t) s (t) c F(t) ( s ) c 7/5 Olara ele eilir.

19 Meai Titreşiler Ders Notları. Eerji Yötei : Bu eto ile eerjii oruuu presibi uygulaır. Bir sistei topla eerjisii artış hızı sistee verile güce eşittir. E t t P et Buraa Et sistei potasiyel ve ieti eerjilerii toplaı, Pet ise sistee verile et topla güç olup; ış uvvetler ve oetleri sistee verileri güç işaretli, sistei ışarıya veriği eai güç ve söüleyici elealar tarafıa çevreye yayıla ısı gücü işaretliir. P et Pg Pv P Sistee verile eai güçleri toplaı Sistei ışarıya veriği eai güçleri toplaı Söüleyici elealara ışa atıla ısıl güçleri toplaı Yay ütle sistei içi bu ifaeleri yazar ise (stati ege ouu etrafıai hareet ele alııyor) E, E p, E t, P et F(t) c t F(t) c F(t) c c F(t) olara ele eilir.. agrage Yötei: Bu yötee e icelee sistee ait ieti ve potasiyel eerjiler iate alıır. Ayrıca Saal İş ilesi ile ış uvvetleri ve söü uvvetlerii sistei geel ooriatlarıa gerçeleştiriş oluları saal işler iate alıara türetile geel uvvetler hareet eleii türetilesi içi ullaılır. Sistee ait agrage ifaesi ieti eerji ile potasiyel eerji farıa eşittir. E E p Kieti eerji-potasiyel eerji farı aşağıai agrage eleie yazılara ele alıa sistee ait hareet elei ele eilebilir. t q i q i Q i 8/5

20 Meai Titreşiler Ders Notları agrage ifaesi açılır ise agrage elei aşağıai fora ele eilir. t E q i E p E qi q i E q p i Q i Buraa q i bir sistei i. geel ooriatıı, Q i ise bu ooriata eti ee uvvetleri toplaıı (Geel Kuvvet) ifae eer. Geel uvvet ifaesi Saal İş ile ele eilir. Müheisli sistelerie geel olara potasiyel eerjii geel ooriat hızı ve ieti eerjii e geel ooriat ile ilişisi olaığıa agrage eleiei bu teriler sıfır alıara, bu ers apsaıa iceleece eai sisteler içi agrage elei aşağıai gibi ele eilir. t E q i E p q i Q i Bu ele ötelee yapa sisteler içi bir uvvet, öe yapa sisteler içi ise bir oet egesiir. Geel uvveti ele ete içi ış zorlaaları ve söüleyici uvvetleri geel ooriatlar üzeriei saal işleri iate alıır. Geel ooriatlara zaaa bağısız olara üçü eğişiler iate alıara (δ) bu uvvetleri yaptığı iş δ W F(t) δq i cq iδq i ifaesi yazılabilir. Geel olara saal iş ifaesi W Q i δq i ilgili geel ooriata ait Geel Kuvvet ifaesi oluşturuluş olur. Öre alıa yay ütle istei içi δ yazılara E, E p, δ W F(t) δ cδ [ F(t) c] δ t F(t) c c F(t) iferasiyel eleie ulaşılır. Q Öre: Basit Saraç İçi Hareet Deleii Ele Eilesi: Aşağıa verile basit saraç içi hareet eleii D Alebert ve agrage yöteleri ile ele eeli. 9/5

21 Meai Titreşiler Ders Notları SCD O l g l θ l (-cosθ) Referas pozisyo F F y O θ l lsiθ g l θ g lθ Basit saraç öüş hareetie sahip bir eai sisteir. Atalet uvvetleri ve sistee eti ee iğer uvvetler SCD a gösteriliştir. O otasıa göre topla oet sıfıra eşitleere. Saat ibresi tersi yö pozitif alıara M O l θ l glsi θ l θ glsi θ l θ gsi θ, siθθ g θ θ l Basit saraç haroi bir hareet yapataır. Dolayısı ile θ( t) θo si( t) abulü ile θ ( t) θo si( t) ifaeleri elee yerie yazılır ise basit saracı yapacağı haroi hareeti açısal freası g g g θo si( t) l ra / s olara ele eilir. l l Görülüğü gibi basit saraç içi salıı hareeti saraç boyua etileeteir. agrage yötei ile hareet elei: Basit saraç probleie ütlesii ieti eerjisi E ( lθ) ir. Potasiyel eerji ifaesi E p t gl( cosθ) ır. Saraç üzerie ış zorlaa veya söü yotur. ( l ) glsi θ θ g θ si θ l siθθ g θ θ l olara ele eilir. /5

22 Meai Titreşiler Ders Notları Öreler: Öre: Şeile gösterile saraç içi (copou peulu) hareet eleii ele eiiz, oğal freasıı belirleyiiz. E I O θ E p g ( cos θ) O E E p,, I O Qθ t θ θ θ G g O θ g si θ I I O saracı öe otasıa göre ütle atalet oetiir. Küçü açısal yer eğiştireler içi si θ θ θ g I O θ Serbest titreşileri foru saf haroi şelieir θ t) θ si t ve θ ( t) θo si t ir. Bu ifaeler hareet eleie yerie yazılır ise, ( g g (ra/s), f (Hz) olara ele eilir. I π I O O Öre : Şeile verile te serbestli ereceli sistei hareet eleii yazıız ve oğal freas ifaesii ele eiiz. f(t) A O B t / / Döel yay B θ A θ İce hooje bir çubu içi I O 9 E IO 5 /5

23 Meai Titreşiler Ders Notları E p t 9 t 9 t δ W f (t) δ agrage elei uygulaığıa 5 9 t f (t) Doğal freas serbest titreşileri freası oluğu içi ış zorlaa yotur ve titreşi hareeti freası sistei oğal freasıa eşit ola haroi bir hareettir. Dolayısı ile yuarıai te serbestli ereceli sistei oğal freası 9 t (ra/s) 5 Öre: Şeile verile te serbestli ereceli sistei hareet eleii ele eiiz. c c s g si α s g α gcosα g 9-α gsiα gcosα Newto u. yasasıa göre c c ( ) s gsi α gsi α c gsi α Kooriat stati ege ouua itibare ölçülüğüe yerçeiii etisi yotur. /5

24 Meai Titreşiler Ders Notları Öre: Şeilei te serbestli ereceli siste içi hareet eleii ele eiiz. R O M(t) E δ W M(t) δ R E p R R c δ E, p, Q M(t) c t R Sistee ait hareet elei c M(t) R Öre: Şeilei ii serbestli ereceli sistee ait hareet elelerii ele eiiz. f c E δ W f δ c,, E p ( ) ( ) δ( ) Ço serbestli ereceli sistelere agrage elei her bir geel ooriat içi yazılır. içi agrage elei yazılır ise, E E p Q t ( ) f c( ) c c f içi agrage elei yazılır ise, E E p Q t ( ) c( ) c c Hareet eleleri atris forua yazılır ise, c c f c c M C K f Kütle Matrisi Söü Matrisi Diregeli Matrisi Zorlaa Vetörü ieer sisteler içi Kütle, Söü ve Diregeli atrisleri sietritir. /5

25 Meai Titreşiler Ders Notları Öre: Şeilei ii serbestli ereceli sistee ait hareet elelerii ele eiiz. f θ E p δ W fδ E ( θ) g( cosθ) agrage elei ooriatı içi uygulaır ise t ( θ ) f ( ) θ f agrage elei θ ooriatı içi uygulaır ve üçü açısal yer eğiştireler abulü ile t ( θ ) gsi θ θ gθ θ f g θ Öre: Aşağıai ii serbestli ereceli sistei hareet elelerii yazıız. / / θ / θ / /5

26 ( ) ( ) E θ θ ( ) ( ) p cos g cos g E θ θ θ θ W δ agrage elei θ içi uygulaır ise, gsi θ θ θ θ g θ θ θ θ gsi θ θ θ θ g θ θ θ θ θ θ θ θ g g Öre: Aşağıai ii serbestli ereceli sistei hareet elelerii yazıız. G I E p E, δ δ f W agrage elei içi uygulaır ise f I t G G / / f(t) G Meai Titreşiler Ders Notları 5/5

27 f f f 6 agrage elei içi uygulaır ise f I t G f f f 6 f f 6 6 RAYEIGH YÖNTEMİ : EFEKTİF KÜTE Eerji yötei sisteei otaları hareetlerii biliesi uruua gere topalaış ütleli, gerese yayılı ütleli sistelere uygulaabilir. Birbirleri ile oğrua ilişili ütlelere sahip ola sistelere sistee ait ieti eerji te bir ooriat hızı ullaılara yazılabilir ve siste te serbestli ereceliir. Bu urua ieti eerji şu şeile yazılabilir eff E Buraa eff efetif ütle veya belirli bir otaya topalaış ütle olara alaırılır. Eğer bu otaai iregeli biliiyor ise, sistee ait oğal freas şu şeile hesaplaabilir. eff Yay ve iriş gibi yayılı sistelere, titreşi gelilerii biliesi ieti eerjii hesaplaası içi gereliir. Rayleigh, süreli sistelerei titreşi gelilerii yalaşı olara ögörülebiliği urulara, ihal eiliş ütleleri e oğal freas hesaplarıa hesaba atılabileceğii ve aha oğru freas hesaplaaları yapılabileceğii gösteriştir. Meai Titreşiler Ders Notları 6/5

28 Meai Titreşiler Ders Notları Öre: Aşağıai ütle-yay sisteiei yayı ütlesii sistei oğal freası üzeriei etisii gösteriiz. y y y v y y Yayı ütlesiei teas otasıai hızı, sabit ucuu ise hızı ır. Sabit uçta y esafeei yay parçasıı hızı ise oğrusal hız eğişii abulü ile v y y olara ifae eilebilir. yay ütlesie sahip yayı titreşi hareeti esasıai ieti eerjisi aşağıai şeile hesaplaabilir. E _ yay v y y yay yay y y yay Kütle ve yay içi topla ieti eerji ifaesi Yaya epolaa potasiyel eerji ise E yay E p ir. Koruulu bir sistee sistei potasiyel eerji ve ieti eerji toplaıı zaaa göre eğişeiği göz öüe buluurulur ise t yay t ( E E ) p 7/5

29 Meai Titreşiler Ders Notları yay yay yay Yay ütlesi iate alıığıa yay-ütle sisteii oğal freası aşağıai gibi hesaplaır. (ra/s). yay Öre: Şeile gösterile iriş-ütle sisteie M ütlesi irişi orta otasıai topalaış ütleyi, ise iriş ütlesii göstereteir. Bu sistee iriş orta otası içi efetif ütleyi hesaplayıız. Kiriş orta otasıa eti ee P yüü içi çöe ifaesi P δ ile verileteir. 8EI / M Kiriş orta otasıai bir yüte olayı oluşa iriş çöesi aşağıai fosiyo ile ifae eilebilir. y y a Kirişi eisie ait asiu ieti eerji T a y a /.857 y a Dolayısı ile iriş orta otası içi efetif ütle eff M.857 ir. Kiriş orta otasıai iregeliği alıığıa oğal freas ifaesi 8EI oluğu iate 8/5

30 Meai Titreşiler Ders Notları 8EI (ra/s) ir. ( M.857) Saece iriş üşüülüğüe oğal freas ifaesi 9.9 EI (ra / s) ir. Öre: Şeilei aastre irişte iriş uç otası içi taılaış efetif ütleyi buluuz ve irişi oğal freasıı belirleyiiz. Kiriş uç otasıa eti ee P yüü ile bu otaai P çöe eğeri δ ır. EI M y y ya Kirişi eisie ait asiu ieti eerji T a y a y a M ütlesi ile birlite irişi topla ieti eerjisi E _ a M y a Dolayısı ile iriş uç otası içi efetif ütle eff M olara hesaplaır. Kiriş uç otası içi iregeli eğerii EI oluğu iate alıır ise irişe ait oğal freas ifaesi EI (ra/s) olara ele eilir. M Saece iriş üşüülüğüe oğal freas ifaesi.567 EI (ra / s) ir. 9/5

31 Meai Titreşiler Ders Notları Titreşi Sistelerii Moelleesi : Mateati Moel Müheisli sisteleri ile ilgili titreşi aalizlerii gerçeleştire içi öcelile siste serbestli erecelerii yapılaca titreşi aalizi ile uyulu olara tesil eece bir ateati oele ihtiyaç varır. Mateati oel ile ilgili aha öce verile örelere e öreler aşağıa veriliştir. Aşağıai öve aiesi içi farlı serbestli ereceli ateati oeller oluşturulabilir. Koç Kalıp Elasti taba Zei bloğu Döve alıbı oeli. Topra Koç Koç Elasti taba iregeliği Kalıp Elasti taba söüü Kalıp ve zei bloğu Zei bloğu Topra iregeliği Topra söüü Topra iregeliği Topra söüü Te serbestli ereceli oel İi serbestli ereceli oel Aşağıai bir otorsilet-sürücü sisteie ait ateati oel veriliştir. Kayalar: Theory of Vibratios-W.T.Thoso, Eleets of Vibratio Aalysis-. Meirovitch, Vibratios of Cotiuous Systes- S. Rao, Fuaetals of Mechaical Vibratios-S.G. Kelly, Vibratio Probles i Egieeri-W.Weaver, S.P. Tiosheo, D.H. Youg, Egieerig Vibratios-D.J. Ia, Müheisli Sistelerii Moelleesi ve Diaiği-Yücel Erca /5

32 Meai Titreşiler Ders Notları Motorsilet-sürücü oeli. sürücü sele c sele otor sürücü C otor, I otor G θ A B süsp_ara c süsp_ara süsp_ö c süsp_ö süsp_ara c süsp_ara süsp_ö c süsp_ö jat jat jat jat lasti lasti lasti lasti Üç serbestli ereceli oel Beş serbestli ereceli oel /5

33 Meai Titreşiler Ders Notları TİTREŞİM ANAİZİ: Te Serbestli Dereceli Sisteler: Te Serbestli Dereceli Söüsüz Bir Sistei Serbest Titreşileri: Te serbestli ereceli söüsüz bir sistei hareet elei aşağıa veriliştir. (t) st Hareet eleii çözüü içi (t) a e abulü yapılır ve a ve s sabitleri belirleir. Kabul eile çözü ve türevleri hareet eleie yerie oara, (t) s a e st st [ s ] a e ir. Başlagıçta abul eile çözüü geçerli ve işe yarar bir çözü olabilesi içi ae st i sıfıra farlı olası gereliir. Bu urua ae st teriii çarpaı, arateristi ele, sıfıra eşit olalıır ve bu elei sıfır yapa s eğerleri sistei özeğerleri olara alaırılır ve her ii s eğeri e arateristi elei sağlar. s s, ± ± i ± i Te serbestli ereceli sistei serbest titreşilerii freası (ra / s) ir. Doğal freas stati çöe eğeri ullaılara a ifae eilebilir. g δstati g δ stati g δstati g g (ra/s) f δ π δ (Hz) stati stati Her ii ö e arateristi elei sağlaığı içi hareet eleii geel çözüü aşağıai şeile ifae eilebilir. /5

34 Meai Titreşiler Ders Notları it e (t) a veya (t) a e i t Yay-ütle sisteie ait iferasiyel ele lieer oluğu içi yuarıai ii çözüü toplaı a hareet eleii çözüüü verir. (t) a i t e a e i t Buraa a ve a oples sabitlerir. Trigooetri fosiyolar içi Euler ilişileri aşağıai gibi ifae eilir. si e i t i t t ( e i t it e ), cos t ( e e ) it i cost isi t (t) çözüü aşağıai gibi ifae eilebilir. (t) (t) a [ cos t isi t] a [ cos t isi t] ( a a ) cos t i ( a a ) si t Yuarıa verile (t) çözüü aşağıai şeillere e ifae eilebilir. ( φ) (t) Asi t veya (t) A cos t A si t Buraa A, φ, A ve A gerçe sabitlerir. Yuarıa verile çözülerei atsayılar arasıai ilişiler aşağıa veriliştir. A a a ve φ ta a a A, ( a a )i a a A a A A i, a A A i Yuarıa verile ii çözü içerisie bulua gerçe eğerli atsayılar, A, φ, A ve A başlagıç şartları ullaılara (t) ve (t ). Eğer yay-ütle sisteie ütleye eti ee bir ış uvvet yo ise siste urağa hale alacatır. Kütle t a aar yer eğiştirilir ise yay uvveti siste serbest bıraılığıa hareeti sağlayacatır. Buula birlite, t a ütleye bir başlagıç hızı v verilir ise oetu eğişiie olayı siste hareet eecetir. Başlagıç yer /5

35 Meai Titreşiler Ders Notları eğiştiresi ve hızı Başlagıç Şartları (Iitial Coitios) olara alaırılır ve bu urua çözü aşağıai şeile ele eilecetir. () Asi( φ) Asi φ ve v () A cos( φ) Bu ii elee A ve φ aşağıai gibi ele eilir. A, φ ta φ A A (t) si t ta veya (t) cos t ta.5 (t) ( φ) Asi t ra/s.5, v /s..5, v /s..5 Geli () , v /s. -.5, v - /s Zaa (s) Te serbestli ereceli sistei farlı başlagıç şartları içi yer eğiştire cevabı. /5

36 Meai Titreşiler Ders Notları Diğer forai çözü ullaılır ise, t a () ve t a () () (t) A cos A si A A cost A si (t) A si t A cos t A si A cos (t) cos t si t t A.5 (t) A cos t A si t.5, v /s..5, v /s. ra/s.5 Geli () , v /s. -.5, v - /s Zaa (s) Te serbestli ereceli sistei farlı başlagıç şartları içi yer eğiştire cevabı. Bu otaai eği Cevap (t) π T A φ Zaa (s) - A 5/5

37 Meai Titreşiler Ders Notları Te Serbestli Dereceli Söülü Bir Sistei Serbest Titreşileri: Te serbestli ereceli söülü bir sistei oeli ve hareet elei aşağıa veriliştir. (t) c c st Hareet eleii çözüü içi (t) a e abulü yapılır ve a ve s sabitleri belirleir. st Kabul eile çözü ve türevleri hareet eleie yerie oara, (t) sa e, (t) s a e st st [ s cs ] a e ır. Başlagıçta abul eile çözüü geçerli ve işe yarar bir çözü olabilesi içi ae st i sıfıra farlı olası gereliir. Bu urua ae st teriii çarpaı, arateristi ele, sıfıra eşit olalıır ve bu elei sıfır yapa s eğerleri sistei özeğerleri olara alaırılır ve her ii s eğeri e arateristi elei sağlar. s cs c s, ± c Köler iceleiğie öleri gerçe veya oples olabileceği görülür. Buraa belirleyici ola c ir. M, c ve ı pozitif sayılar olası göz öüe buluurulur ise c > içi öler birbirie farlı gerçe sayılar olacatır. Eğer c < ise öler egatif reel ısılı oples bir çift şelieir. Eğer c ise öler ayı ve egatif gerçe sayılarır. Bu üç farlı uru iceleiğie c içi riti söü eğerii taılaa uygu olacatır. criti ir. Kriti söü eğeri yuarıa bahseile üç farlı çözü içi belirleyici bir eğerir. 6/5

38 Meai Titreşiler Ders Notları Sistee evcut bulua söü eleaı atsayısıı, riti söü atsayısıa oraı söü oraı olara alaırılır. c ζ c riti c c Bu taılaalar ile arateristi elei öleri yeie ifae eilir ise, s, ζ ± ζ Bu taılaaya göre söü oraıı siste öz eğerlerii reel veya oples olacağıı belirleiği açıça görületeir. Söü oraıa bağlı olara üç farlı uru söz ousuur.. Kriti Altı Söülü Cevap (Uerape Respose): Bu urua söü oraı e üşütür (<ζ<) ve areö içerisiei ifae egatif ve öler oples çift olara ele eilir. s ζ ζ ζ i, s ζ i ( )( ) ζ i ζ ζ Söüsüz uru içi izlee yol taip eilere söülü uru içi cevap aşağıai şeile ifae eilebilir. (t) (t) e e ζ t ζ t a i ζ t e a e i ζ t [( a a ) cos t i( a a ) si t] Buraa a ve a oples atsayılar olup olara alaırılır. ζ sistei söülü oğal freası A a a ve A (a -a )i olara seçilere çözü aşağıai şeile ifae eilebilir. (t) e ζ t ( A si t A cos t) olara ifae eilebilir. Buraa A ve A gerçe sayılarır. İfaeyi basitleştire içi yei taılaalar yapılır ise A A A ve faz açısı olara A φ ta, A A cosφ, A Asi φ A si a cos b cosa si b si(a b) [ ] (t) A e ζ t ( t φ) si olara ifae eilir. 7/5

39 Meai Titreşiler Ders Notları Yie başlagıç şartlarıa göre çözü araır ise t a () ve t a () ise, (t) ifaesie t eğeri oulara ve başlagıç yer eğiştire şartı ullaılara ( φ) A φ Ae si si (t) cevabıı zaaa göre türevi alıır ve t a il hız şartı ve our ise (t) ζ Ae ζ t si ζt ( t φ) Ae cos( t φ) A ifaesi yerie si φ ζ si φ cosφ ζ cot φ si φ si φ Buraa φ faz açısı çözülür ise ta φ ζ ele eilir ve φ ta ζ ( ζ ) ( ) φ si φ ( ζ ) ( ) ζ Buraa A ( ζ ) ( ) ( ζ ) ( ) olara ele eilir. Buraa riti altı söülü te serbestli ereceli bir siste içi cevap (t) ( ζ ) ( ) e ζ t si t ta ζ ir. 8/5

40 Meai Titreşiler Ders Notları.5. ra/s,.5, / s. ζ.8 Geli () ζ. ζ Zaa (s) Te serbestli ereceli siste içi riti altı söülü cevap..8 ra/s,, / s Geli () ζ.8 ζ ζ Zaa (s) Te serbestli ereceli siste içi riti altı söülü cevap. 9/5

41 Meai Titreşiler Ders Notları. Kriti Üstü Söülü Cevap (Overape Respose) : Söü oraıı e büyü oluğu uru içi reel ve farlı ii ö evcuttur. s ζ ζ ve s ζ ζ Bu urua cevap aşağıai gibi ele eilir. (t) e ζ t ae ζ t a e ζ t Buraa a ve a atsayıları başlagıç şartlarıa aşağıai gibi ele eilebilir. a ζ ζ ζ ve a ζ ζ ζ Geli () , /s ra/s, ζ.., /s -., /s Zaa (s) Te serbestli ereceli sistei riti üstü söülü cevabı Kriti üstü söülü sisteler ege ouu etrafıa salıı gösteresizi başlagıç oularıa öerler. /5

42 Meai Titreşiler Ders Notları. Kriti Söülü Cevap (Critically Dape Respose) : Söü oraıı e eşit olası uruu salıılı cevap ile salıısız cevap arasıa bir sıır teşil eer. Bu uur içi öler atlı ö halieir. s s Bu urua çözü foru aşağıai gibiir. (t) t ( a a t) e t ai başlagıç şartları yerie our ise a ve a atsayıları ele eilebilir. a ve a. Bu urua başlagıç şartları altıai serbest cevap t [ ( ) t] e (t) şelieir..6.5 ra/s, ζ Geli ()....., /s.., /s.., /s Zaa (s) Te serbestli ereceli sistei riti söülü cevabı (t) (, ) Uerape Critically ape (t) Overape /5

43 Meai Titreşiler Ders Notları OGARİTMİK DEKREMAN (OGARITHMIC DECREMENT) : Meai bir sistei sahip oluğu söü oraıı belirleei uygu yötelerie biri, sistei serbest titreşileriei salıı gelilerii azala oraıı ölçetir. Kriti altı söülü bir siste içi titreşi cevabı aşağıai gibi yazılabilir. (t) A e ζ t si ( t φ) Buraa A ve φ başlagıç şartlarıa ele eilebile eğerlerir. Bu forai bir titreşi cevabı eğrisi aşağıa veriliştir. 5 (t) [] - T Zaa [s] Salıılı titreşi cevabı üzerie ar ara gele ii tepe otasıı birbirie oraıı logaritasıı (oğal logarita) ogatiri Derea (ogarithic Decreet) olara taılar ve aşağıai şeile ifae eerse e δ l l ζ (t e ζt T ) si si ( ) t φ ( (t T ) φ) Siüs fosiyou içi t aıai eğer ile tt ıai eğerler eşit olacağı içi ifae aşağıai şele öüşür. δ l e e ζt ζt e ζt l e ζt ζ T /5

44 Meai Titreşiler Ders Notları Söülü oğal periyot T π oluğu içi ζ ζ π πζ δ olara ele eilir. Söü oraı ζ i üçü eğerleri içi bu ifae ζ ζ δ πζ ve sistee ait söü oraı δ ζ π olara yalaşı şeile ele eilebilir. Ta ifae ullaılığıa ise sistee ait söü oraı, eeysel olara ele eiliş logariti erea eğeri ullaılara, δ ( ζ ) π ζ ( δ π ) ζ δ δ ζ δ π ζ δ δ π olara ele eilebilir. 5 δ πζ ζ δ 5 δ πζ ζ c riti Şeil. ogariti erea içi yalaşı ve ta ifaei söü oraı ile eğişii. c ogariti erea ifaesi aralarıa aet ta salıı bulua tepe otaları ullaılara a ele eilebilir. Birbirii taip ee tepe otaları oralarıı ayı oluğua hareetle arasıai ora buraa. salıı geliği ile. geli (. salıı souai) /5

45 Meai Titreşiler Ders Notları δ δ δ ( e ) e l( e ) l l δ δ l olara ele eilebilir. Buraa ta salıı sayısı, başlagıç salııı geliği, ise. salıı souai gelitir. Diate alıa başlagıç salııı geliği ile gösterilir ise ele δ l olara a ifae eilebilir. Öre: Bir titreşi sisteie titreşi geliğii %5 azalası içi gereli salıı sayısıı sistei söü oraıa göre ifae eiiz. πζ δ l ζ.69 πζ ζ Bu elee ait grafi aşağıa veriliştir. Bu grafi, titreşi geliğii %5 azalası içi gereli ta salıı sayısıı söü oraı ile eğişiii göstereteir si /5

46 Meai Titreşiler Ders Notları TEK SERBESTİK DERECEİ SİSTEMERİN ZORANMIŞ TİTREŞİMERİ: Müheisli sistelerie eti ee uvvetler geellile haroi foraır. Şeile haroi bir uvvet görületeir. 5 f (t) F si t Geli (N) 5 Buraa F zorlaa geliği, ise zorlaa freasıır Zaa (s) Buula birlite üheisli sisteleri üzerie sılıla etili ola iğer bir zorlaa tipi e periyoi zorlaalarır. Fourier serileri ve öüşüleri ullaılara, periyoi fosiyoları bir izi haroi fosiyou toplaı şelie ifae ete üüür. Zorlaaı bir izi haroi fosiyou toplaı oluğu bilgisi ullaılara, oğrusal (lieer) sisteleri periyoi zorlaalara veriği cevabı, sistei periyoi zorlaayı oluştura her bir haroi zorlaaya veriği cevapları toplaı oluğu söyleebilir Periyoi zorlaa f (t) a t i Periyoi zorlaayı oluştura haroi bileşeler ( ai si t bi cos ) Zaa (s) Şeil. Periyoi zorlaa ve haroi bileşeleri. Fourier serileri ve te serbestli ereceli sisteleri periyoi zorlaalara cevabıa bölü soua eğiilecetir. Kayalar: Theory of Vibratios-W.T.Thoso, Eleets of Vibratio Aalysis-. Meirovitch, Vibratios of Cotiuous Systes- S. Rao, Fuaetals of Mechaical Vibratios-S.G. Kelly, Vibratio Probles i Egieeri-W.Weaver, S.P. Tiosheo, D.H. Youg, Egieerig Vibratios-D.J. Ia, Müheisli Sistelerii Moelleesi ve Diaiği-Yücel Erca, Dyaics a Vibratio-M.A.Wahab. 5/5

47 Meai Titreşiler Ders Notları Söüsüz Zorlaış Titreşiler (Haroi Zorlaa): Yaai te serbestli ereceli siste üzerie zorlaa freasıa haroi bir uvvet eti eteteir. Newto u. yasası ullaılara hareet elei aşağıai gibi ifae eilebilir. F si t buraa F si t F si t f(t)f sit (t) Yuarıai. ertebee iferasiyel ele içi geel çözü hooje ve özel çözüleri toplaı şelie ifae eilebilir. (t) (t) h ö (t) Hooje çözü il şartlar etisi ile ele eile çözüür ve başlagıç şartlarıa bağlı olara h (t) A cost A si t olara ifae eilişti. Özel çözüü ele ete içi zorlaa tipie bir çözü abul eilebilir. ö (t) Xsi t oluğu abul eilere, abul eile çözüü türevleri iferasiyel elee yerie oulur ise (t) Xcost, (t) Xsi t F F X si t X si t si t [ ] X elei her ii tarafı ile çarpılır ise ( r ) X F F X buraa ( r ) r ir ve freas oraı olara alaırılır. Başlagıç şartları sıfıra farlı bir siste haroi zorlaa altıai geel çözü; 6/5

48 Meai Titreşiler Ders Notları F (t) A cos t A si t si t ir. Geel çözüei A ve A atsayıları başlagıç şartlarıa ele eilebilir. F A cos A si si A r F A si A cos cos F A r r r F F (t) cos t r si t si t r r.5 h (t) ö (t) g N/ 5 ra/s.5 v. /s (t) Zaa (s) Şeil. Te serbestli ereceli siste içi geel çözü. Başlagıç şartları sıfır ise çözü ö (t) forua haroi bir cevap olacatır. Freas oraıa bağlı olara yer eğiştire gelileri çizilir ise X F r 7/5

49 Meai Titreşiler Ders Notları X F / X F / Freas oraıa bağlı olara aşağıai urular geçerliir. < < uruua yer eğiştire zorlaa ile ayı yöeir. (i-phase) 5 F(t) [N] 5 ra/s ra/s I-Phase cevap (t) [] Zaa (s) cevap sosuza gier. > uruua yer eğiştire zorlaa ile zıt yöeir. (ati-phase) 8/5

50 Meai Titreşiler Ders Notları 5 f(t) [N] Ati-Phase cevap (t) [] Zaa (s) Öre: Şeile verile iriş üzerie bulua bir eletri otorua olayı irişe eti ee uvvet f (t) si t (N) şelieir. F t Çeli alzee E GPa Motor ütlesi 5 g. Bu uvvet etisi altıa otoru buluuğu otaai yer eğiştire gelilerii hesaplayıız. Motor irişi ortasıaır. Kiriş ütlesi ihal eilebilir eğereir. Kiriş orta otasıai iregeli 9EI. *. 7, Kiriş ala atalet oeti I.666 ( ) 9 * * (N / ). Motor iriş sisteii oğal freası (iriş ütlesi ihal eiliyor) (ra /s) 9/5

51 Meai Titreşiler Ders Notları Zorlaa freası ra/s ir. Bu urua zorlaa ile yer eğiştire ati-phase uruuaır. Yer eğiştire geliği F X ().6 () Söülü Zorlaış Titreşiler (Haroi Zorlaa): Şeile verile te serbestli ereceli haroi zorlaa etisiei söülü bir siste içi hareet elei aşağıai gibi yazılabilir. f(t)f sit c F si t c Söü oraı içi ζ ifaesi ullaılara c (t) hareet elei şu şeile e yazılabilir. F ζ si t Diferasiyel elei çözüü hooje çözü ile özel çözüü toplaı şelie ifae eilebilir. Hooje çözü başlagıç şartlarıa bağlıır, özel çözü ise ış zorla ile oluşur. Başlagıç şartlarıa bağlı çözü, söülü uru içi zaa ilerleiçe aybolacatır ve siste cevabı saece zorlaa ile ele eile çözü olacatır. Bu eele özel çözüe (zorlaaya bağlı çözü) üzgü reji cevabı a eir. Özel çözüü foru zorla forua abule ilere. ( ϕ) ö (t) (t) Xsi t abul eilere, çözüü türevleri iferasiyel elee yerie our ise. (t) Xcos( t ϕ), (t) Xsi( t ϕ) F Xsi( t ϕ) ζ ( Xcos( t ϕ) ) Xsi( t ϕ) si( t) Trigooetri açılılara yararlaılara si cos ( t ϕ) si t cosϕ si ϕcost ( t ϕ) cost cosϕ si tsi ϕ 5/5

52 Meai Titreşiler Ders Notları Xsi t cosϕ F Xsi cos t ϕ si t Xsi ϕcost ζ X cost cosϕ ζ F [ cosϕ ζ si ϕ cosϕ] Xsi t si t [ si ϕ ζ cosϕ si ϕ] Xcost [ si ϕ ( ) cosϕ] F X F si cos X ζ ϕ ϕ ζ, [ ζ cosϕ ( ) si ϕ] X Xsi t si ϕ [ ζ cosϕ ( ) si ϕ] X [ ζ cosϕ ( ) si ϕ] X Xsi t cosϕ [ ( ) ] ζcosϕ si ϕ X ζ cosϕ si ϕ ζr ta ϕ r ( ζ r) ( r ) ζ r r ζr si ϕ, ( ζr) ( r ) cosϕ r ( ζr) ( r ) ζr r F ζr ( r ) X ( ζr) ( r ) ( ζr) ( r ) ( ζr) ( r ) ( ζr) ( r ) ( ) ( ) X ζr, ϕ ta F ζr r r 5/5

53 Meai Titreşiler Ders Notları 6 5 ζ ζ. X/F / ζ. Arta söü ζ.5 ζ r φ Rezoas uruu iceleir ise; r Rezoas uruua geli e büyü eğere sahiptir. E büyü geliği ele eiliği freas eğerie REZONANS FREKANSI aı verilir. Bu freas eğerie cevap geliği eğrisii türevi sıfıra eşittir. X F r * 8ζ r r r ( ζr) ( r ).5 ( ζr) ( r ) ( ζr) ( r ) 5/5

54 Meai Titreşiler Ders Notları r ζ r ζ Rezoas Freası aha sorası içi rezoas tepesi gözleez. ζ ζ. 77 ve R Rezoasai geli eğerii hesaplaa içi bulua r eğeri geli oraı ifaesie yerie oulur ise X F ζ R X F R ζ olara ele eilir. ζ ele eilir. Küçü soü oraları içi Rezoas Geliği Te serbestli ereceli bir sistei freasa bağlı cevap gelilerii hesaplaa içi aşağıai progra otepa prograıa yazılara tt foratıa ayeilir. ANSYS e çalıştırılır. Farlı oel paraetreleri içi (ütle, iregeli, söü) cevap gelileri icelebilir. of_har.tt /prep7 et,,ass et,,cobi r,,, r,,,,,,,,,,, type, real, e, type, real, e,, eplot /solu atype,,all,u,,all,uz,,,uy, f,,fy,- harfrq,,6 subst,6 bc, solve /post6 sol,,,uy plvar, f(t)f sit c (t) 5/5

55 Meai Titreşiler Ders Notları Kütle Degesizliğie Kayalaa Kuvvetler İle Oluşa Titreşiler: Kütle egesizliği hee hee tü öel aialara arşılaşıla teel bir probleir. Şeile ütle egesizliği ile uyarıla te serbestli ereceli bir siste görületeir. e t (t) e t F(t) (N) t (ra) c F(t) e si t c e si t F si t (t) Xsi( t ϕ), (t) Xcos( t ϕ), (t) Xsi( t ϕ) Xsi Trigooetri eşitlilere ullaılara c e si t e ζ si t e ( t ϕ) ζ Xcos( t ϕ) Xsi( t ϕ) si t Xsi t cosϕ Xsi ϕcost ζx cost cosϕ ζxsi t si ϕ Xsi t cosϕ e Xsi ϕcost si t sit ve cost terilerii atsayıları oluşturulara e [ cosϕ ζ si ϕ cosϕ] Xsi t si t [ si ϕ ζ cosϕ si ϕ] Xcost [ si ϕ ( ) cosϕ] e e ζ X ζ si ϕ cosϕ X ζr [ ζ cosϕ ( ) si ϕ] X ζ cosϕ si ϕ ta ϕ r si ϕ ve cos ϕ içi eğerler yerie our ise 5/5

56 ( ) ( ) r r r si ζ ζ ϕ, ( ) ( ) r r r cos ζ ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r e X r r r r r r ζ ζ ζ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r r r r r e X ζ ζ ζ 5 5 r Arta Söü Rezoas uruuai r oraıı bula içi geli ifaesii r ye göre türevi alııp souç sıfıra eşitleir ise, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r r 8 r r r r r e X ζ ζ ζ İşleler yapılır ise REZONANS uruu içi r oraı () rez rez r ζ Buraa R ζ, Bu freas geli ifaesie yerie oulur ise REZONANS geliği içi rez e X ζ ζ ir. Küçü söü oraları içi ζ e X rez ir. ζ ζ. ζ. ζ.5 ζ.77 ζ e X Meai Titreşiler Ders Notları 55/5

57 Meai Titreşiler Ders Notları Zeie İletile Kuvvet: Haroi uvvet etisi altıai bir eai siste, hareet sırasıa yay ve aortisöre oluşa reasiyo uvvetlerii bağlatı otalarıa zeie iletir. Zorlaa uvveti geliği ve zeie iletile uvvet arasıai ilişi aşağıai şeile ele eilebilir. f(t)f sit f(t)f sit (t) (t) c c F F c Haroi zorlaa etsiei üzeli reji titreşileri iate alıara haroi yer eğiştire ve bua ait hız ifaesi ile; (t) Xsi( t ϕ), (t) Xcos( t ϕ) F tr F F c F tr ( t ϕ) cxcos( ϕ) Xsi t Aşağıai trigooetri ilişi ullaılara z(t) Asi t Bcost A B si t ( β) B, β ta A 5-5 z(t) A B 8.85 Asi t Bcost Zaa (s) 5-5 z(t) A B sit ta B Z Zaa (s) 56/5

58 Meai Titreşiler Ders Notları Dolayısı ile zeie iletile uvvet aşağıai şeile ifae eilebilir. F (t) F tr TR si ( t φ' ) Zeie iletile uvvet geliği üzerie uruluğu içi F TR geliği F F F F TR TR TR TR X c X ( X) ( cx) ( X) ( ) c X ( ) X X F c ( ζr) r ( ζr) ( r ) X X r ( ζ ) F F ( ζr) TR T (Kuvvet ileti Oraı, Trasissibility) ( ζr) ( r ) F TR /F.5 Arta Söü r Arta Söü 57/5

59 Meai Titreşiler Ders Notları Kuvvet ileti oraı grafiği ile ilgili özelliler: ise ya ya a ur. olası uygulaa uvveti sabit gelili oluğuu gösterir. Hız sıfır oluğua söüleyici uvveti sıfır olur ve uvvet yay üzerie zeie iletilir. uruu ya yay iregeliğii sosuz ya a ütle eğerii olası haliir. Bu urua bağlatı rijit oluğua uvvet iret olara iletilir. uygulaa uvvet iret olara yapıya iletilir. özel bir freas oraı olup bu urua söü oraı e olursa olsu ileti oraı olataır. < ise T> ir. Bu freas bölgesie ζ artar ise T uvvet ileti oraı azalır. Bu bölgee ı eğeri üçü oluğu içi haroi hareet sırasıa ortaya çıa hızlar üşütür. Bu eele söüleyicii ilettiği uvvet yayı ilettiği uvvete göre aha üşütür. > ise T< olur. Bu freas bölgesie ileti oraıı azaltılası içi ζ i üü oluğuca azaltılası gereliir. Bu bölgee büyü oluğua hızlar a büyütür. Dolayısı ile ileti ağırlılı olara söüleyici üzerie olur. T sıfıra yalaşır. Bu uru ya, ya a ile sağlaabilir. Geçe üheisli sisteleri içi zorlaa freası belli eğerlere aar büyültülebilir. i sıfıra yalaşası içi ya eğeri sıfıra yalaşalı ya a ütle eğeri sosuza giteliir. K eğerii sıfıra yalaşası ütle ile zei arasıai bağı zayıflaası şelie yorulaabilir, eğerii sosuza gitesi uruua a ütlei eylesizliği sosuza gittiğie uvvet zeie iletileeyecetir. Kayalar: Theory of Vibratios-W.T.Thoso, Eleets of Vibratio Aalysis-. Meirovitch, Vibratios of Cotiuous Systes- S. Rao, Fuaetals of Mechaical Vibratios-S.G. Kelly, Vibratio Probles i Egieeri-W.Weaver, S.P. Tiosheo, D.H. Youg, Egieerig Vibratios-D.J. Ia, Müheisli Sistelerii Moelleesi ve Diaiği-Yücel Erca, Dyaics a Vibratio-M.A.Wahab. 58/5

60 Meai Titreşiler Ders Notları Kütle Degesizliğie Kayalaa Kuvvetleri Zeie İletii: Haroi bir uvvet zorlaası uruu içi zeie iletile uvvet ifaesi F TR ( ζr) X forülü ile ifae eilişti. Kütle egesizliğie ayalaa uvvetler ile zorlaa te serbestli ereceli bir siste içi ütleye ait yer eğiştire geliği X e r X ii. ( ζr) ( r ) Bu yer eğiştire geliği yuarıa verile zeie iletile uvvet ifaesie yerie our ise F TR e ( ζr) r e r ( ζr) ( ζr) ( r ) ( ζr) ( r ) F TR e r ( ζr) ( ζr) ( r ) Kütle egesizliğie ayalaa uvvetleri zeie iletilesi, freas oraı ve söü oraıa bağlı olara aşağıai şeile eğişeteir. 6 5 Arta söü Arta söü F e TR r 59/5

61 Meai Titreşiler Ders Notları Şeile görülüğü gibi, r< uruua zeie iletile uvvet söü oraı arttıça azalata, r > içi ütle egesiliği ayalı uvvetleri zeie iletile oraı söü oraı arttıça yüse oraa artataır. Haroi Zei Zorlaası: Müheisli sisteleri farlı forlarai zei zorlaalarıa aruzurlar. Bir araç içi yola gele uyarılar, epre ayalı zei uyarıları zei zorlaalarıa verile tipi örelerir. Bu bölüe haroi forai bir zei zorlaası ile te serbestli ereceli bir sistei yer eğiştire cevabı arasıai ilişi iceleiştir. c (t) y y(t) Y si t E E ( ) y δ W c ( y ) δ( y) t Zei ( y) ( y) c c y cy c Y si t cy cost c Y c ( c) sit ta Y ( c) si t ta c Hareet elei giri foru iceleiğie, zei zorlaalı te serbestli ereceli bir sistei, ütle üzerie eti ee Y ( c) geliğie sahip haroi forai bir zorlaaya aruz siste ile ayı hareet eleie sahip oluğu görülebilir. Diğer tarafta hareet eleii il foru üşüülüğüe söü oraı ve sistei söüsüz oğal freası cisie ele c ζ Ysi t c Ysi t ζ Y cost Y cos t şelie yazılabilir. Bu ele te serbestli ereceli bir sistei ii farlı haroi zorlaaı toplaıa aruz alası uruuu yasıtataır. İcelee sistei lieer bir siste oluğu iate alıara, ii farlı haroi zorlaa toplaıa verile cevabı ii farlı zorlaaya verilece cevapları toplaı oluğu bilgisi ullaılara, ö ö (t) (t) ö (t) 6/5

62 Meai Titreşiler Ders Notları Y ö (t) si( t ϕ), ( ) ( ζ) ϕ ta ζ ta ζr r ö ζy (t) cos t ( ) ( ζ ) X ( ϕ) ö ( ζ) ( ) ( ζ ) ( t θ) ( ζr) (t) Y si Y si t θ ta ζr ( ) ζ r ( r ) ( ζr) ( θ) X Y ( ζr) (Hareet ileti oraı) ( r ) ( ζr) Hareet ileti oraı ile Kuvvet ileti oraı ifaelerii ayı oluğu görülebilir. Hareet ileti oraıı freas oraı ve söü oraıa bağlı eğişii aye Kuvvet ileti oraı içi bahseile şeileir X Y F TR /F.5.5 Arta Söü Arta Söü r 6/5

63 Meai Titreşiler Ders Notları Haroi forai zei yer eğiştiresi olayısı ile ile ütlesie eti ee uvvet freas oraı ve söü oraıa bağlı olara aşağıai şeile eğişeteir. 6 5 Arta söü Arta söü F T /Y Bu eğişi ütle egesiliği ayalı uvvetleri zeie iletilesi ile ayı foraır. Şeile görülüğü gibi, r > içi haroi yer eğiştire olayısı ile ütleye uygulaa uvvet söü oraı arttıça yüse oraa artataır. Eğrii sıfıra başlaası üşü freas eğerleri içi yer eğiştire ve hız gelileri arasıa far olaasıa ayalaataır [ ( y) c( y ) ] F T Öre: Şeile görüle bir araç oeli siüs forua sahip bir yola ilerleeteir. Siüs foruai yol içi geli eğeri (-a) c ve yol profili içi alga boyu 6 olara verileteir. Araç titreşi geliğii hesaplayıız. (t) r y(t) c Y si t g 5 N/ ζ. v araç /h Y. λ6 Y 6 6/5

64 Meai Titreşiler Ders Notları v araç v araç 7.77 v araç 7.77 / s, λ f.69 Hz.6 f λ 6 π ra / s ra / s, r. 6. X Y ( ζr) *. *.6 X..5.6 *. *.6 ( r ) ( ζr) ( ) TEK SERBESTİK DERECEİ SİSTEMERİN PERİYODİK ZORAMAAR CEVABI Meai sisteler üzerie eti ee ış zorlaalar sılıla zaa içerisie üzgü terarlı (periyoi) foraır. Periyoi bir fosiyo f(t) T f(t) t c (t) Daha öce e ısaca bahseiliği gibi periyoi bir fosiyo f(t) Fourier seri açılıı ullaılara saf haroi siyalleri toplaları şelie ifae eilebilir. Periyoi bir f(t) π fosiyou terarlaa periyou T ve teel freas eğeri ola üzere T a f (t) a cos t b si t şelie ifae eilebilir. Buraa f(t) fosiyouu oluştura atsayılar 6/5

65 Meai Titreşiler Ders Notları T a f (t) t T a b T T T T f (t)cos( t) t,,, f (t)si ( t) t,,, şelie taılaır. Daha öcei bölülere, te serbestli ereceli söülü bir sistei haroi uvvet zorlaasıa veriği cevap ousua eğiiliş ii. f (t) Fsi t şeliei bir zorlaa içi cevap F (t) si t ( r ) ( ζr) ζr şelie ele eilişti. Buraa ϕ ta ii. r Buraa H büyüte fatörü taılaası yapılır ise r ζr ( ) ( ) F (t) Hsi ( t ϕ), veya giri f (t) Fcost ( ϕ) forua ise (t) H cos( t ϕ) yazılabilir. Sistei, periyoi zorlaa uvvetii seri açılııai her bir haroi zorlaaya cevabı yuarıai şeile hesaplaır ise, lieer sisteler içi periyoi giriye topla cevabı a bu cevapları toplaı olacağıı söylee üüür. ieer sistelere süperpozisyo presibi geçerliir. Periyoi bir zorlaaya aruz te serbestli ereceli bir lieer sistei üzgü reji cevabı aşağıai şeile yazılabilir. F a ss (t) H [ a cos( t ϕ ) b si( t ϕ )] ir. Buraa Teel freas H, r ( r ) ( ζr ), ϕ Doğal freas ζr ta ir. r 6/5