ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ÇOK AMAÇLI STOKASTİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNE ETKİLEŞİMLİ BULANIK PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ÇOK AMAÇLI STOKASTİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNE ETKİLEŞİMLİ BULANIK PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI Kumru Ddem ATALAY İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 006 Her Hakkı Sakıdır

2 Prof. Dr. Ayşe APAYDIN Daışmaığıda, Kumru Ddem ATALAY tarafıda hazıraa Çok Amaçı Stokastk Programama Probemere Etkeşm Buaık Programama Yakaşımı adı tez çaışması 07//006 Tarhde aşağıdak ür tarafıda İstatstk Aabm Daı da DOKTORA tez oarak kabu edmştr. Başka : Prof. Dr. Güsüm HOCAOĞLU Hacettepe Üverstes, İstatstk Aabm Daı Üye : Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU Akara Üverstes, İstatstk Aabm Daı Üye : Prof. Dr. Fkr ÖZTÜRK Akara Üverstes, İstatstk Aabm Daı Üye : Prof. Dr. Hasa BAL Gaz Üverstes, İstatstk Aabm Daı Üye : Prof. Dr. Ayşe APAYDIN Akara Üverstes, İstatstk Aabm Daı Yukarıdak soucu oayarım Prof. Dr. Ükü MEHMETOĞLU Esttü Müdürü

3 Otuz yııı baa adaya Caım Aeme,

4 ÖZET Doktora Tez ÇOK AMAÇLI STOKASTİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNE ETKİLEŞİMLİ BULANIK PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI Kumru Ddem ATALAY Akara Üverstes Fe Bmer Esttüsü İstatstk Aabm Daı Daışma: Prof. Dr. Ayşe APAYDIN Doğrusa programama probem oarak modeee brçok gerçek hayat probemde katsayıar rasgee değşke oarak ortaya çıkar. Bu durumda kurua probeme stokastk programama probem adı vermektedr. Stokastk programamaı çözümüde teme yakaşım, probem oasııksa br yapıda determstk br yapıya döüştürüerek be yötemere çözümesdr. Stokastk programama tekkerde br oa şas kısıtı programama yakaşımı, rasgee kısıtarı ber sevyeere göre determstk hae getrmey amaçar. Rasgee değşke oa bu katsayıar ç gee oarak ee aıa dağıım orma dağıımdır. Bu çaışmada, A katsayıar matrs eemaarıı gamma dağıımıa sahp bağımsız rasgee değşke oması durumu göz öüe aımıştır. A katsayıar matrs sütu sayısı k oduğuda, bu değşkeer topamıı dağıımı ede ederek şas kısıtarıı determstk eştker buumuştur. İkde çok oduğu durumda, topamı dağıımı e orma dağıım arasıdak farkarı tahm yötem kuaıarak şas kısıtarıı determstk eştker ede edmştr. Katsayıarı orma ve gamma dağıımıa sahp modeer çözümü soucuda karar değşkeer brbre yakı souçar verdğ gözemştr. Optmzasyo probemerde, berszk rasgeekte veya buaıkıkta kayakamaktadır. Amaç foksyouu buaık oması durumudak berszk ç buaık etkeşm k ye agortma öermştr. 006, sayfa Aahtar Kemeer: Şas Kısıtı Stokastk Programama, Gamma Dağıımı, Essee Eştszğ, Etkeşm Buaık Programama, Çok Amaçı Doğrusa Programama.

5 ABSTRACT Ph.D. Thess INTERACTIVE FUZZY PROGRAMMING APPROACH TO MULTI OBJECTIVE STOCHASTIC PROGRAMMING PROBLEMS Kumru Ddem ATALAY Akara Uversty Graduate Schoo of Natura ad Apped Sceces Departmet of Statstcs Supervsor: Prof. Dr. Ayşe APAYDIN May rea fe probems whch are modeed as ear programmg probems where coeffcets appear as radom varabes. I ths case, such probems are caed as stochastc programmg probem. The basc approach the stochastc programmg s sovg the probem wth kow methods by a covertg the probem from a probabty structure to a determstc structure. The chace costrats ths programmg approach ca be forced from beg the radom coeffcets to determstc oe accordg to ther specfc eves. Geeray, the dstrbuto for these coeffcets whch are assumed to be radom varabes s orma. I ths study, members of the coeffcet matr A are cosdered as depedet radom varabes wth a gamma dstrbuto. Two approaches are suggested for fdg the determstc equvaet of the chace costrats. I the frst case, where the umber of coums of the coeffcet matr A s two, t s cosdered that determstc equates of chace costrats are foud by obtag the dstrbuto of sum of these varabes. I the secod case where there are for more tha two coums, determstc equates of chace costrats are obtaed by usg the estmato method of dffereces betwee the dstrbuto of sum of these varabes ad orma dstrbuto. As a cocuso from sovg these modes where the coeffcets are gamma dstrbuted ad orma dstrbuted, t s observed that each case appromate resuts are obtaed. I optmzato probems, the ucertaty arses from radomess or fuzzess. Two ew fuzzy teractve agorthms are suggested ths work for ucertaty uder the fuzzess of obectve fucto. 006, pages Key Words: Stochastc programmg wth chace costrat, Gamma Dstrbuto, Essee Iequaty, Iteractve Fuzzy Programmg, Mut Obectve Lear Programmg.

6 TEŞEKKÜR Çaışmaarım sırasıda desteker bede esrgemeye ve öerer e be yöedre daışma hocam Sayı Prof. Dr. Ayşe APAYDIN (Akara Üverstes Fe Fakütes İstatstk Böümü) a sosuz teşekkürerm suarım. Öerer e yardımarıı esrgemeye Sayı Doç. Dr. Fazı ALİOĞLU (Akara Üverstes Fe Fakütes İstatstk Böümü) a, Sayı Prof. Dr. Fkr ÖZTÜRK (Akara Üverstes Fe Fakütes İstatstk Böümü) e ve Sayı Prof. Dr. Güsüm HOCAOĞLU (Hacettepe Üverstes Fe Fakütes İstatstk Böümü) a e çte teşekkürerm suarım. Sosuz sabır ve desteker ç aeme bütü kabme teşekkür ederm. Kumru Ddem ATALAY Akara, Kasım 006

7 İÇİNDEKİLER ÖZET.... ABSTRACT... TEŞEKKÜR... SİMGELER DİZİNİ...v ŞEKİLLER DİZİNİ...v ÇİZELGELER DİZİNİ.... GİRİŞ VE ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR.... Grş.... Öcek Çaışmaar.... STOKASTİK PROGRAMLAMA...0. Grş...0. Şas Kısıtı Stokastk Programama.... Şas Kısıtı Stokastk Doğrusa Programama Modeerde Dağıımar..... Katsayıarı orma dağııma sahp oduğu şas kısıtı stokastk doğrusa programama probemer Katsayıarı k-kare dağııma sahp oduğu şas kısıtı stokastk doğrusa programama probemer.... ÇOK AMAÇLI ŞANS KISITLI STOKASTİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNE BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA VE ETKİLEŞİMLİ BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA YAKLAŞIMLARI.... Grş.... Buaık Kuramda Teme Taımar...4. Buaık Karar Buaık Doğrusa Programama...40 v

8 .4. Çok amaçı şas kısıtı stokastk programama modeere buaık doğrusa programama yakaşımı Etkeşm Buaık Doğrusa Programama Çok amaçı şas kısıtı stokastk programama probemere etkeşm buaık programama yakaşımı ŞANS KISITLI STOKASTİK PROGRAMLAMA MODELLERİNE GAMMA DAĞILIMI YAKLAŞIMI Grş Gamma Dağıımıa Sahp A Katsayıar Matrs Sütu Sayısı İk Oduğuda Şas Kısıtı Stokastk Programama Mode Bağımsız Rasgee Değşkeer Topamıı Dağıımı ve Norma Dağıım Arasıdak Farkarı Tahm Kuaıarak Şas Kısıtarıı Determstk Eştker Buuması A katsayıar matrs eemaarıı rasgee değşke oması durumuda şas kısıtı stokastk programama modeere gamma dağıımı yakaşımı ÇOK AMAÇLI ŞANS KISITLI STOKASTİK PROGRAMLAMA MODELLERİNİN ÇÖZÜMÜ İÇİN ÖNERİLEN ETKİLEŞİMLİ BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA YAKLAŞIMLARI E Büyük Üyek Çarpımı Yötem Yeeme Referas Üyek Sevyes Yötem UYGULAMA Gamma Dağıımıa Sahp A Katsayıar Matrs Sütu Sayısı İk Oduğuda Şas Kısıtı Stokastk Programama Mode Çözümü Gamma Dağıımıa Sahp a k Rasgee Değşkeer İçere Mode Determstk Eştğ Buuması ve Mode Çözümü ak Katsayıarıı K-Kare, b k Katsayısıı Norma Dağııma Sahp Oması Durumuda Çok Amaçı Şas Kısıtı Stokastk Programama Probemere Etkeşm Buaık Programama Yakaşımı...9 v

9 6.4 ak Katsayıarıı ve c k Amaç Katsayıarıı Gamma, b k Katsayısıı Norma Dağııma Sahp Oması Durumuda Çok Amaçı Şas Kısıtı Stokastk Programama Probemere Etkeşm Buaık Programama Yakaşımı TARTIŞMA ve SONUÇ...0 KAYNAKLAR...06 EK (6.) mode çözüm souçarı...0 ÖZGEÇMİŞ... v

10 SİMGELER DİZİNİ E () Bekee Değer ~ Buaık dd Dğer Durumarda u. şas kısıtı ç beree oasıık düzey Kartezye Çarpım P () Oasıık Öçüsü OL z Optma çözümde daha küçük değere sahp amaç foksyou OR z Optma çözümde daha büyük değere sahp amaç foksyou (.,.), parametre Gamma Dağıımı Γ K p Stadart orma dağıımı p oasıığı ç ters değer Var() Varyas v

11 ŞEKİLLER DİZİNİ Şek. Üçgese buaık sayı. 7 Şek. Yamuksa buaık sayı Şek. Üyek foksyoarıı gösterm.. 49 v

12 ÇİZELGELER DİZİNİ Çzege 6. (6.8), (6.0) ve (6.) determstk probemer çözümer. 86 Çzege 6. (6.) ve (6.4) determstk modeer çözümer.. 88 Çzege 6. (6.5), (6.4) ve (6.) determstk modeer çözümer... 9 Çzege 6.4 (6.8) mode çözümer Çzege 6.5 (6.0) mode çözümü Çzege 6.6 (6.5) probeme at souçar Çzege 6.7 Her br amaç foksyoua at üyek foksyoarıı ouşturuması ç gerek değerer Çzege 6.8 Karar aşaması ç yeemeer 0

13 . GİRİŞ VE ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR. Grş Doğrusa programama mode oarak taımaa probemer parametreerdek değşkker e yk sorası aazer yapıarak zeebmektedr. Acak bu aazer yapıabmes ç br doğrusa programama probem sağ ya değerer, fyat vektörüü ve A katsayıar matrs rasgee değerere sahp omaması gerekr. Bu tür modeere determstk mode der. Buua brkte matematkse programama probem oarak modeee brçok gerçek hayat probemde değşkeer rasgee oarak ortaya çıkmaktadır. Böye br durumda kurua probem, stokastk programama probem oarak adadırıır. Stokastk programama, grd verer (fyatar, htyaçar vektörü, tekoo katsayıarı) rasgee değşke oması durumu e ger. Parametreer rasgee değşke oduğuda, bu parametreer ç br oasıık dağıımı beremedr. Mode parametreer rasgee değşke çermes hade br berszk durumu ortaya çıkar. Bu berszğ, uygu sevyeer sabteyerek ortada kadırıması ve probem ora yapısıı bozmada çözüme uaştırıması mümküdür. Bu edee katsayıarı rasgee değşke oa mode, ber yötemere determstk br modee döüştürüebr. Stokastk programama modede her br kısıtı ber oasııka gerçekeşmes sağaya probeme şas kısıtı stokastk programama mode der. Be br doğrusa programama probemdek a b =,..., mkısıtarı şas = kısıtı modeerde, P a b u, =,..., m bçmde fade edr. Burada = ( 0,) u, =,..., m omak üzere vermş toeras değererdr. Kısıtarı ve amaç foksyouu (foksyoarıı) rasgee değşke oması buarı her br brer dağııma veya ortak br dağııma sahp omasıı gerektrr. Lteratürde, şas kısıtarıı ee aıdığı probemer çoğuda mode determstk eştğ

14 buuması koay oduğu ç orma dağıım seçmştr. Fakat farkı dağıımar ç şas kısıtı mode çözümü karmaşık br hae geebmektedr. Gerçek hayat probemerde karşıaşıa berszker gdermes br dğer you da buaıkık kuramıı kuaımasıya mümkü omaktadır. Buaıkık kuramı, bersz ve kes omaya karar durumarıda probeme kesk kazadırmaktadır. Buaıkık kuramıı kuaarak geştre etkeşm buaık programama probemer, karar verc etks atıda probeme br esekk taımasıda doayı çözüm aşamasıda daha y souçar ede eddğ gözemştr. Bu çaışmada, doğrusa programama probemerde gamma dağıımı katsayıarı şas kısıtı modeer ee aıarak determstk eştğ buuması üzerde duruacaktır. Tekoo katsayıarıı gamma dağıımıa sahp oması durumuda bağımsız rasgee değşkeer topamıı dağıımı ve orma dağıım arasıdak farkarı tahm kuaıdığı Essee eştszğde yararaıacaktır. Bu eştszk yardımı e şas kısıtı, orma dağıım yakaşımarıda br kuaıarak determstk hae getrecektr. Optmzasyo probemerde, berszk rasgeekte veya buaıkıkta kayakamaktadır. Katsayıarıı rasgee değşke oması e ortaya çıka kısıtardak berszk durumu, şas kısıtı stokastk programama probem determstk eştğ buuması e gderr. Amaç foksyou buaık oması durumudak berszk ç buaık etkeşm agortmaar öerecektr. İk berszğ de çere br probemde, öceke kısıtar determstk hae getrecek, buaık amaç değer bu mode çözümü ç k ye agortma verecektr. Çaışmaı İkc Böümüde stokastk programama mode taımaacak ve şas kısıtı stokastk programama mode üzerde duruarak, katsayıarı orma dağıım ve k-kare dağıımıa sahp oması durumuda determstk eştker buuması açıkaacaktır. Üçücü Böümde, buaık doğrusa programamaı matığıı kavrayabmek amacıya, buaıkık kuramı üzerde duruacaktır. Buaık kuramı teme kavramarı

15 vererek, buaık karar kuramı taımaacaktır. Buaık doğrusa programama taıtıarak, çok amaçı şas kısıtı programama probemere buaık doğrusa programama ve etkeşm buaık doğrusa programama yakaşımarı açıkaacaktır. Çaışmaı özgü yaıı ouştura böümerde k oa Dördücü Böümde, katsayıar matrs a eemaarıı gamma dağıımıa sahp rasgee değşke oması durumuda, Essee eştszğ ve Poya ı orma dağıım yakaşımı kuaıarak şas kısıtarıı determstk eştğ ede edecektr. Ayrıca katsayıar matrs k sütuu oması durumuda, şas kısıtı mode ç dağıım foksyou ede ederek farkı br çözüm suuacaktır. Beşc Böüm çaışmaı kc özgü yaıı ouşturmaktadır. Ede ede determstk modeer çözümü ç Üçücü Böümde vere fakat gamma ve kkare modeer determstk eştker çözümü ç yetersz kaa agortmaar geştrerek k ye agortma ede edecektr. Atıcı Böümde, tekoo katsayıarıı gamma dağıımıa ve sağ ya değerer orma dağııma sahp şas kısıtı br mode ee aıarak çaışmada öere yöteme determstk eştğ ede edecektr. Bu mode çözüm souçarı teratürde suua hem tekoo katsayıarı hem de sağ ya değerer orma dağııma sahp mode e karşıaştıracaktır. Ayrıca k farkı mode ee aıarak, Beşc Böümde öere agortmaar uyguaacaktır.. Öcek Çaışmaar Şas kısıtı stokastk programar k oarak Chares ve Cooper (959) tarafıda modeemştr. Burada kes omaya, e y stokastk karar kuraarıı geçc paamasıı çere ye br kavramsa ve aatk yötem öermşerdr. Geştrdker yötem tpk br edüstrye öreğ açıkamasıda kuamışardır. Çaışmaarıda probem k doğrusa omaya (ya da oa) parçaya ayırmışardır. Buar oasıık kısıtarıya amaç foksyouu e büyükeye dağıımarı beremek ve bu dağııma e yakı oa dağııma yakaşımda buumaktır.

16 Chares ve Cooper (96), beree koveks programama probemer yapısıda oa determstk eştker üç sııfta topaa amaçar atıdak doğrusa karar kuraarıı gee sııfı ç saptamışardır. Buar: ) E büyük bekee değer (E mode), ) E küçük varyas (V mode), ) E büyük oasıık (P mode) dır. Şas kısıtı programamaı dğer durumarıya brkte bu üç sııf ç souçar ede etmşerdr. Burada, Smo (959) u yeterk ç öerer, E ve V mode varyasyoarı e g e y amaçarı geştrmekte kuaımıştır. Şas kısıtı programama kousuu k oarak sırada doğrusa programama probem kuaarak sumuşardır. Symods (967), çaışmasıda şas kısıtı programama probemer ç determstk çözümer sumuştur. Şas kısıtı modee dek oa kes mode ede ederek, her k mode brbre bezer souçar verdğ gözememştr. Buu doğrusa programama probemer üzerde uyguamıştır. Segupta (970), şas kısıtı doğrusa programamaı bazı dağıımar açısıda geeeştrmes üzerde çaışmıştır. Şas kısıtarıı doğrusa omaya amaç foksyou e damk modeer üzerde uyguamış ve sayısa öreker sumuştur. Uyguamaarıda karar verc kuadığı foksyo karesedr. Rsk atıda karar ç uyumu krterer geştrerek şas kısıtı yakaşımı uyguaabrğ göstermştr. 97 yııdak çaışmaarıda, stokastk programama yötemer sstem güverğ yakaşımı atıda ceemş, uyguama ve yakaştırma yötemer sumuştur. Damk stokastk kotro probemer çdek güverk aaz probemer araştırmıştır. Resh (970), stokastk hesapama zamaarı e make yükeme probemer şas kısıtı programaması üzere çaışmıştır. Formüe dayaa matematkse aazer dışbükey oma zoruuuğu omaya kümeer üzerdek çözümer e oa dek oa doğrusa omaya probemere taşımıştır. Bu matematkse souçarı doğrusa yakaşımarı beremes ve çözümesde kuamıştır. Böyece probem geeeştrmş uaştırma probem modeemese uyaramıştır. 4

17 Kob (977), stokastk programama probemer açıkça taımamıştır. Paama ve yöetm probemerdek rsk ve berszğ ceemş, şas kısıtı programama modeer sumuştur. Ayı zamada k aşamaı ve çok aşamaı stokastk programama probemer, stokastk programama probemere oyu yakaşımıı, dua doğrusa stokastk programama probemer ve stokastk programama probemer çdek çözümer karar probemer ceemştr. Yaze (987), buaık matematkse programama ve stokastk programama arasıdak şker üzere çaışmıştır. Her k probem arasıdak farkııkarı ve bezerker ceemş ve buarı sayısa br örek üzerde göstermştr. Mohamed (99), sağ ya değerer farkı dağıımara sahp oması durumuda, şas kısıtı probemer çözümü ç buaık hedef programama yakaşımıı sumuştur. Çaışmasıda hedef kısıtarıı oasııksa ve buaık oarak ee amış ve bu şas kısıtı buaık hedef programama probem determstk eştğ ede ederek sayısa br örek üzerde uyguamıştır. Luhadua ve Gupta (996), optmzasyo probemerde verer buaık ve rasgee oması durumuu ceemşerdr. Bu tür probemer buaık rasgee değşkeer kavramıı ouşturmaktadır. Robust programama e buaık rasgee değşke katsayıarıa sahp probem çözümüü araştırmışardır. Gröwe (997), karar probemer ç doğrusa kısıtarı sağ ya değererde rasgee parametreer buuması durumuda, şas kısıtı stokastk programar ç parametrk omaya tahm prosedürüü ee amıştır. Kısıtar çersdek ayrı yapıya sahp stokastk programardak rasgee sağ ya ver souçarıı beşeer bağımsız oduğuu varsaymıştır. Arta hazard oraarıı sağ ya değerer zotok regresyo tahm e bmeye oasıık dağıımarıı tahm etmştr. Tahm ç ogartmk çbükey öçümere ve arta hazard ora dağıımarı arasıdak şky göz öüe aarak seçm yapmıştır. E y değerer ve tahm edmş programarı e y çözüm kümeer ç geş kapsamı souçar bumuştur. Tahm edmş şas kısıtı programarı sayısa uyguamaarıı tartışmış ve yaptığı tester souçarıı raporar hade sumuştur. 5

18 Husurkar, Bswa ve Sha (997), çok amaçı stokastk doğrusa programama probemer buaık programama yakaşımıı br uyguamasıı çaışmışardır. Öere br stokastk programama probem doğrusa oa veya omaya determstk br probeme döüştürdükte sora uzaşık çözümü bumak ç buaık programama yakaşımıı kuamışardır. Amaç foksyoudak ve kısıtardak karar değşkeer katsayıarıı, sağ ya değerer orma rasgee değşkeer oarak kabu edp oasııksa probem determstk probeme döüştürmüşerdr. Déak (998), stokastk programama probem e yemesde çoku orma dağıımar ç doğrusa regresyo tahm edcer sumuştur. Tahm edcer m boyutu orma dağıım veya br doğru boyuca dağıım foksyou bçmde tasaramıştır. Bu regresyo tahm edcer karese foksyoardır ve stokastk programama probemer e yemes sırasıdak sayısa probemere uyguaabr. Geştrdğ teme yötem, uygu küme sıırarıı ve doğruarı kesşmer bumak ç kuamıştır. Yöse türev ve çoku orma dağıımıı gradyatıı hesapaabrğ göstermş ve bazı sayısa souçar da sumuştur. Lu ve Iwamura (998), buaık parametreere şas kısıtı programama üzerde çaışmışardır. Şas kısıtı programamayı, stokastkte buaık ortama geşetmşerdr. Stokastk programamaya bezer oarak buaık ortamdak bazı şas kısıtarıı kes dekemer sumuşardır. Ayrıca geeke kes dekemere çevrmes zor oa şas kısıtarı ç buaık smüasyo tekğ öermşerdr. Souçta geetk agortmayı teme aa bu buaık smüasyoar bu tür probemer çözmek ve sayısa öreker tartışmak ç dzay edmştr. Wu (999), buaık rasgee değşkeer, oasıık yoğuuk foksyou kavramıı sumuştur. Be oasıık yoğuuk foksyoarıda, buaık rasgee değşkeer, buaık oasıık yoğuuk foksyoarıı ede etmşerdr. Buaık rasgee değşkeerde, buaık gözemer buaık oasıık yoğuukarıı üyeker bumak ç, ora probem doğrusa omaya programama probeme döüştürerek çözmüşerdr. 6

19 Mohammed (000), düzgü rasgee değşke katsayıarıa sahp sağ ya değerer çere şas kısıtı buaık hedef programama üzere çaışmıştır. Stokastk hedef programama ve şas kısıtı doğrusa hedef programama hakkıda teme düşücey sumuştur. Oasııksa hedef programamayı determstk hedef programamaya döüştürmüştür. Kısıtardak sağ ya değerer düzgü dağıımı rasgee değşke oduğu stokastk buaık hedef programama probem ee amıştır. Kes omaya stek düzeye sahp durumda şas kısıtı hedef programamayı göz öüe aarak bu düzey be oasıık dağıım foksyou e rasgee dağıdığıı göstermştr. Bua dek determstk hedef programamayı geştrmş ve buu öreker üzerde sumuştur. Sha, Husurkar ve Bswa (000), b er ortak orma dağıdığı durumda, çok amaçı stokastk programama probemere buaık programama yakaşımıı sumuşardır. Çaışmaarıda çok amaçı, şas kısıtı programama probem; b er orma rasgee değşke ve kısıtarı ortak dağıım foksyoua sahp oduğu durumda ceemşerdr. Bu oasııksa probem oa dek oa determstk doğrusa omaya programama probeme döüştürümüştür. Bu durumda buaık programama tekker uzaşık çözümer ede edmesde uyguamış ve sayısa örekere bu yötem açıkamıştır. Lu (000), buaık ortamda bağımı şas programama üzere çaışmıştır. Bağımışas çok amaçı programama ve bağımı şas hedef programamadak gb bağımı şas programamaı buaık ortamdak yapısıı vermştr. Ayrıca bersz ortamarı, oayarı şas foksyoarıı ve mevcut kısıtarı kapsamıı stokastkte buaık durumara geşetmştr. Çaışmasıda geetk agortmaya dayaa buaık smüasyou, bağımı-şas modeer bazı sayısa örekerye açıkamıştır. Lu ve Member (00), buaık rasgee şas kısıtı programama üzere çaışmışardır. Buaık rasgee programama e buaık rasgee karar probemere şk optmzasyo kuramıı kurmuşardır. Çaışmaarıda buaık rasgee oayarı şasıı ye br kavramıı ve buaık rasgee şas kısıtı programamaı gee yapısıı taımamışardır. Buaık rasgee programamaı aaıda kayakaa, bersz 7

20 foksyoarı hesapaması ç buaık rasgee smüasyou tayfıı geştrmşerdr. So oarak buaık rasgee programama modeer çözümer ç yeterce güçü ve etk, meez, akıı agortmaarı üretmde buaık rasgee smüasyou, sr ağarıı ve geetk agortmayı breştrerek buarı etkker bazı sayısa örekere vermşerdr. Moha ve Nguye (00), çok amaçı karmaşık, buaık stokastk probem çözmek ç etkeşm br yötem sumuşardır. Öere yötem doğrusa oaı çözdüğü gb karmaşık, buaık stokastk ortamdak doğrusa omaya probemer çözümüde de geçerdr. Burada rasgeek ve buaıkıka g oa çeşt berszker mevcut oduğu göstermştr. Geeeştrmş E mode tabaıda ve buaıkaştırımış şas kısıtarı ya stokastk kısıtarı ve stokastk amaçarı ee aarak buaıkık yakaşımı öermştr. Buu soucuda stokastk amaçara brkte stokastk kısıtar, buaıkık ortamıda ee aımış ve etkeşm yötem sürecde karar verc stokastk amaçar ve kısıtarı tatm edc br çözüm aayışı çersdeyke buaıkaştırıması öermştr. Yötemer kuaımıı verdker test örekerye açıkamışardır. Kampas ve Whte (00), çaışmaarıda trat krğ kotroü ç oasııksa programamayı öermşerdr ve buu farkı oasııksa kısıt yakaşımarıya kıyasamışardır. Yayıımı orma dağııma uygu oduğu varsayımı atıda oasııksa kısıt, trat yayıımı ç e y yakaşımı vermştr. Sakawa, Kato ve Nshzak (00), bekee değer mode kuaarak çok amaçı doğrusa stokastk programama probemer ç br etkeşm buaık yötem öermşerdr. Amaç foksyouda ve (veya) kısıtarda rasgee değşke oması durumuda çok amaçı probemere çözüm aramışardır. Jaa ve Bswa (004), katsayıarı sürek dağııma sahp rasgee değşkeer oa şas kısıtı stokastk programama probemer çözümü ç, geetk agortmayı teme aa stokastk smüasyo sumuşardır. Gee oarak determstk eştker ede edmes çok güç oduğuda öze oarak orma, üste ve ogartmk orma dağıım üzere çaışmışardır. Şas kısıtarıı uyguuğuu stokastk smuasyo ve geetk 8

21 agortmayı uyguayarak ede ettker e y çözümere doğruamışardır. Br sorak makaeerde Jaa ve Bswa (004), katsayıarı kesk dağıımara sahp rasgee değşke oması durumuu ceemşerdr. Sakawa, Kato ve Katagr (004), e büyük oasıık mode kuaarak katsayıarı rasgee değşke oa çok amaçı doğrusa programama probemer ç etkeşm buaık yeter yötem sumuşardır. Sahoo ve Bswa (005), katsayıarı cauchy dağıımıa sahp rasgee değşke oa stokastk doğrusa programama probemer çaışmışardır. Oasııksa çok amaçı doğrusa programama probemer çözümü ç k değşk yakaşım er sürmüşerdr. 9

22 . STOKASTİK PROGRAMLAMA. Grş Doğrusa programamaı uyguamaarıda karşıaşıa gee probemerde brs de mode parametreer ( c, ) a veb uygu değerer bereme güçüğüdür. Parametreer ç kes değerer aıır ve uyguaaa kadar doğruuğu bmeyebr. Bu baze araştırmaı yasızığıı etkeyebr. Buua brkte bu parametreer geeke öcede beremes mümkü omaya, rasgee değşkeer etks atıda kamaktadır. Kısacası modede bazı veya tüm parametreer rasgee değşke oabr. Bu tür probemere stokastk programama probemer adı verr ( Her ad Leberma 990). Determstk yakaşım, karmaşık sstemer araştırıması ve optmzasyou sırasıdak tasarama, proeedrme ve yöetm durumarıı ekoomde, tekoode ve asker yöetmde yaygı oarak kuaımasıa oaak sağar. Başagıç verer her kategors bazı özekere sahp oduğu kabu edrse, bu yakaşım gerçek karmaşık sstemer duatese öem vermez. Başka br deyşe amaç kuraarıı etks atıda geşrer ve bu durumda determstktrer. Fakat bu sstemer determstk geşmer sadece br eğmdr ve rasgee faktörere bozuurar. Bu edee gerçek hayat probemer çoğuda stokastk yakaşım kuamak daha doğru oacaktır (Kob 977). Rasgee değşke çere katsayıar spete küçük varyasa sahpse stadart yakaşım e duyarıık aaz yapıabr. Buua brkte eğer bazı katsayıar büyük varyasa sahp se, bu yakaşım yeter değdr. Probem modeemek ç gerek oa, optmzasyou berszğ doğruda hesaba katmaktır. Bu edee de stokastk programama yötem kuaımasıa gerek duyuur ( Her ad Leberma 990). Stokastk programamaı brçok uyguamasıda rasgee değşke oa katsayıarı oasıık dağıımarı bmez. Fakat amprk verde bmeye oasıık dağıımıı 0

23 tahm etmek mümküdür. Amprk dağıım veya orma dağııma bezeye dağıımarı sabtemş parametrk aesde gee oasıık dağıımarı üzerde tamamamamış bg oduğuda bu yötemer stokastk programarı çözümüde kuaıır. Dupacova (986), Kakova (994) ve Römsch ve Schutz (99) her k yakaşımı doğruaması ve şas kısıtı programarı durağaığıı çaışmışardır. Orta öçek öreker ç amprk dağııma sahp şas kısıtı programarı sayısa çözümü haa agortmaya ve hesapaabrğe dayamaktadır. Bu zoruğu üstesde geme tek you uygu bögede taımamış oasıık foksyoarıı yumuşatmaktır. Bu da başka br oasııka oa uygu oarak adapte edmş düzgü tahmer kuaımı e mümküdür. Karar değşkeer ç doğrusa kısıtarı sağ ya değerer üzerde ouşa rasgee parametreer oduğuda, şas kısıtı programar ç parametrk omaya tahm sürec geştrebr. Burada kuaıa varsayım, kısıtardak ayrıabr yapıya stokastk programardak sağ ya değerer ver souçarıı beşeer bağımsızığıdır. Logartmk çbükey ve arta hazard oraarı dağıımarı arasıdak şky kuaarak arta hazard oraarıı zotok regresyo tahmer e sağ ya değerer verer bmeye oasıık dağıımarıı tahm araştırımıştır. Burada kuaıa tahm seçmerde tahm edmş şas kısıtı stokastk programar doğrusa programara dektr. Eğer rasgee öreker sayısı sosuza gdyorsa tahm edmş stokastk programarı optma değerer ve çözümer asmptotk özeker kuaarak çözüme uaşıabr (Gröwe 997). Berszk atıdak doğrusa programar ç bazı yakaşımar geştrmştr. Berszk asıda parametreer kes oarak beremes zor oduğu durumarda ortaya çıkar. Stokastk programamada tüm kısıtarı br oasıığa sahp oması gerekmektedr. Burada gee yakaşım, probem oasııksa yapısıı, probem gerçek yapısıı bozmada oa eşdeğer oa determstk duruma döüştürmektr. Bu tp probemerde kesk ede edr ve smpeks yötem e çözüür (Taha 997). Stokastk programama geçmşte, çoku, uygu omaya ve geeke bütü amaçarı e büyükeye (e küçükeye) tek br uygu çözümü buumaya probemer ç kuaımıştır. Burada uygu çözüme götüre seçeek çözümerde herhag br seçmek söz kousudur. Böye br yötemde karar verc geeke soucu tatm

24 edcğe, amaçarı e büyükemesde (e küçükemesde) daha faza öem verr. Böyece parametreer stokastk oduğuda bu probemer daha karmaşık br ha aacaktır (Husukar et a. 997). Stokastk programama tekker çok aşamaı programama ve şas kısıtı programama omak üzere k çeşttr. Bu çaışmada ee aıa şas kısıtı stokastk programama tekğ Kesm. de açıkamıştır.. Şas Kısıtı Stokastk Programama Stokastk programama probem determstk programama probeme döüştürmek ç kuaıa yakaşımarda br şas kısıtı programama probemdr. Şas kısıtı programama rasgee verer çerr ve beree oasıık mtere kadar kısıt bozumaarıa z verr. Eğer doğrusa kısıtar, kısıtardak bozumaarı geşğ berte oasıık öçüer kümesye breştryorsa sırada doğrusa programama mode şas kısıtı oarak adadırıır. Kısıtarı kısm bozumasıa z vere yötemde, yakaşık güveğ sağamak ç şas kısıtı programama yakaşımı br tekk oarak görüebr. Bu yötem geeeştrmş ve brçok edüstrye ve ekoomk probemde uyguamıştır (Segupta 97). Sırada br doğrusa programama mode ma(m) z = = a b =,..., m 0, =,..., = c (.) bçmde fade edr. Burada c, =,..., er fyatar, b, =,..., m er sağ ya değerer ve a, =,...,, =,..., m er katsayıar vektörüü eemaarıdır. Şas kısıtı doğrusa programama mode se

25 ma(m) z = P a b u, =,..., m = 0, =,..., u 0,, =,..., m = c (.) bçmde taımaır. Burada c, a ve b rasgee değşkeer ve u er seçmş oasııkardır. Burada karar değşkeer determstk oduğu varsayımıştır. c, a ve b be varyas ve ortaamaara sahp rasgee değşkeer oduğu durumda yed farkı probeme karşıaşıır. Buar;. Sadece a er rasgee değşke oduğu,.. v. Sadece b er rasgee değşke oduğu, Sadece c er rasgee değşke oduğu, a ve b er brkte rasgee değşke oduğu, v. a ve c er brkte rasgee değşke oduğu, v. c ve b er brkte rasgee değşke oduğu, v. c, a ve b er tümüü rasgee değşke oduğu, modeerdr (Husurkar et a. 997).. Şas Kısıtı Stokastk Doğrusa Programama Modeerde Dağıımar (.) modede katsayıarı rasgee değşke oması durumuda her br be br dağııma sahp oması veya buarı ortak dağıımıı bmes gerekmektedr. Probem çözüm aşamasıda amaç, mode rasgee değşkeerde kurtararak şas kısıtı probeme dek oa determstk probem ede edmesdr.

26 Katsayıarı orma ve k kare dağıımıa sahp oması durumuda ede ede şas kısıtı probemer determstk eştker ede edmes at kesmerde vermştr... Katsayıarı orma dağııma sahp oduğu şas kısıtı stokastk doğrusa programama probemer Doğrusa programama probemerde katsayıarı rasgee değşke oduğu durumda gee oarak ee aıa dağıım orma dağıımdır. Bu varsayım atıda (.) mode e vere şas kısıtı stokastk doğrusa programama probemde c, a ve b er orma dağııma sahp rasgee değşkeerdr. Katsayıarı orma dağııma sahp şas kısıtarıı determstk eştker buuması aşağıdak dört durum e vermştr. Dğer durumar bu dört durumu kombasyou e ede edebr. Durum : Sadece a katsayıarı rasgee değşke se; a, ( ) osu. E a ortaamaı ve ( ) Var a varyası orma dağııma sahp rasgee değşke a ve a k rasgee değşkeer arasıdak kovaryası bdğ varsayısı. rasgee değşke d d = a, =,..., m = bçmde taıması. a,..., a katsayıarı orma dağıımı rasgee değşkeer ve,..., karar değşkeer omak üzere, d rasgee değşke ( ) E d = E a, =,..., m = 4

27 ve T =, =,..., Var d X V X m e orma dağıır. Burada V, V (, )... (, ) (, )... (, ) Var a Cov a a Cov a a Cov a a Var a Cov a a = Cov ( a, a) Cov ( a, a)... Var ( a ) bçmde taımaa c kovaryas matrsdr. Bu durumda (.) mode kısıtarı, [ ] Pd b u (.) oarak yazıabr. ( d E( d) ) Var ( d ) rasgee değşke ortaaması sıfır ve varyası br oa stadart orma dağııma sahp oduğuda, (.) e vere kısıt d E d b E d P u, =,..., m Var d Var d (.4) bçmde yazıır. φ ( z), stadart orma dağııma sahp z dağıım foksyou omak üzere, [ b] Pd b E d φ = Var d 5

28 oarak yazıır. Eğer K, ( K ) u φ = u oa stadart orma değşke değer oarak u aıırsa (.4) kısıtı, b E d φ Var d φ ( Ku ), =,..., m (.5) bçmde fade edr. (.5) eştszğ, sadece b E d Var d K u oduğu durumda sağaır, veya E d + K Var d b =,..., m (.6) u şekde de yazıabr. (.6) eştszğde kouarak, d rasgee değşke değer yere T E a + Ku X V X b,,..., = = m (.7) eştszğ ede edr. (.7) kısıtı, ora oasııksa doğrusa kısıtara dek, determstk doğrusa omaya kısıtardır. Bu durumda, oasııksa programama probem çözümü, ma(m) z = = T E a + K X V X b =,..., m u 0 =,..., = c (.8) 6

29 bçmde ouşturua determstk doğrusa omaya programama probem çözümü e ede edr. Eğer tüm orma dağıımı a rasgee değşkeer bağımsız se kovaryas termer heps sıfır oacaktır ve (.7) e vere kısıtar, E a + Ku Var a b,..., = = m (.9) bçme döüşecektr (Husurkar et a. 997). Durum : Sadece b katsayıarı rasgee değşke se; b, E( b ) ortaamaı ve Var b varyası orma dağııma sahp rasgee değşkeer osu. Bu durumda (.) modede vere şas kısıtı b E b P Var b = a Eb Var b p, =,..., m (.0) bçmde yazıır. Burada p = u ve ( b E( b) ) Var ( b ) stadart orma rasgee değşkedr. Bu durumda (.0) e vere eştszk b E b P Var b = a Eb Var b p veya 7

30 b E b P Var b = a Eb Var b p (.) bçme döüşür. Eğer, K, ( K ) p φ = p oa stadart orma değşke değer p oarak aıırsa (.) e vere kısıtar, φ = a Eb Var b φ ( K p ) (.) bçmde fade edr. (.) eştszğ sadece = a Eb Var b K p =,..., m oduğu durumda sağaır ya da, a Eb ( ) + Kp Varb,..., = = m (.) şekde de yazıabr. Böyece oasııksa doğrusa programama probeme dek oa determstk doğrusa programama probem, = ma(m) z = a Eb + K Varb =,..., m p 0 =,..., = c (.4) 8

31 bçmde fade edr (Husurkar et a. 997). Durum : Sadece c katsayıarı rasgee değşke se, c katsayıarı orma dağııma sahp rasgee değşkeer oduğuda z ( ), amaç foksyou da orma dağııma sahp oacaktır. z ( ) ortaaması, ( ), E z = E c (.5) = oacaktır. Böyece E-modee ( bekee değer optmzasyoua) sahp determstk amaç foksyou ( ), ma(m) E z = E c (.6) = bçme döüşecektr. Durum 4: a ve b katsayıarı brkte rasgee değşke se; h = a b şekde taımaa br rasgee değşke omak üzere, (.) modede = vere şas kısıtarı [ ] Ph 0 u =,..., m (.7) bçmde yazıabr. h orma dağııma sahp rasgee değşkeer doğrusa kombasyou oarak verdğde orma dağııma sahp oacaktır. Böyece (.7) e vere kısıt, 9

32 h E h E h P Var h Var h u =,..., m (.8) şekde yazıacaktır. Burada h E h Var h stadart orma dağııma sahp rasgee değşkeerdr. Böyece K, ( K ) u φ = u oa stadart orma değşke değer u oarak aıırsa (.8) kısıtı, φ ( ) E h Var h φ ( Ku ) =,..., m (.9) bçmde fade edr. (.9) eştszğ sadece, ( ) E h Var h K, =,..., m u oduğu durumda sağaır veya 0 E h + K Var h, =,..., m (.0) u şekde de yazıabr. Bu durumda oasııksa doğrusa programama probeme dek oa doğrusa omaya determstk programama probem, h rasgee değşkeer de yere yazımasıya 0

33 z ma m = = c E a b + Ku Var a 0,..., b = m = = 0 =,..., (.) bçme döüşür (Taha 997). Burada dört mode açıkamıştır. Dğer modeer bu dört mode kombasyoarıda ede edebr... Katsayıarı k-kare dağııma sahp oduğu şas kısıtı stokastk doğrusa programama probemer Katsayıarı k kare dağıımıa sahp oa şas kısıtı modeer bu kesmde ayrıtıı oarak verecektr. Şas kısıtı modeere at dört farkı durum açıkaacaktır. (.) e vere sırada doğrusa programama mode vektör otasyoarı e ma(m) z = c' A b 0 (.) bçmde yazıabr. Durum : Sadece b katsayıarı rasgee değşke se; ' a, A katsayıar matrs c satır vektörü ve u, 0 e arasıda sabt omak üzere, b rasgee değşke b eemaarı s parametres e bağımsız merkezse k-kare değşkeer osu. Bu durumda mode (.) e vere şas kısıtarı,

34 ' ( ) P a b u =,..., m (.) bçmde yazıabr. (.) e vere şas kısıtıı determstk eştğ ' a F u =,..., m 0 (.4) bçmde yazıır. Burada F ( w), w= u değer e s serbestk derece k-kare dağıım foksyouu tersdr. (.4) eştszğdek F ( u ) term k-kare tabosuda rahatıka buuabr. Buua brkte her br s değer veya buu tahmer bdğ varsayıır (Segupta 97). Durum : Sadece a ( ya a ' vektörüü eemaarı) katsayıarı bağımsız merkezse k-kare değşkeer se; ' a k, (.) modedek A matrs k ıcı satırıı göstermek üzere, d = a, k =,..., m (.5) k ' k eştker taıması. Her br a katsayısıı k-kare dağıdığı varsayıırsa, a rasgee değşkeer, orma dağıımı rasgee değşkeer kares oarak yazıabr. Bu durumda, k k ξ = τ τ = 0 k =,..., m =,..., bçmde taıması. Burada k sou ortaama ve varyasa orma dağıa rasgee değşkeerdr ve a k, k dağıımıa sahptr. Eğer τ er stokastk omaya karar değşkeer se ve k er bağımsız oduğu varsayıırsa, ξk, ξk,..., ξ k er

35 m k = E ( ξk ) ( ξ ),..., V = E m = k k k (.6) omak üzere sou bekee değer ve varyasa bağımsız orma rasgee değşkeer oduğu görüür. Bu durumda ξ (.7) d = = V q + m k k k k k = = bçmde yazıır. Burada ortaama ve q k m k m =, q = V ( ξk mk ) k k k Vk eştker e verr ve k N( mk, Vk ) d ı karakterstk foksyou, ( t) k ξ ve q N( 0,) Φ, k dr. Böyece (.7) e vere tξ k tvk qk + mk = = Φ t = E( e ) = E( e ) () ( q ) k tv k qk + m k = e e dqk = π (.8) şem çözümü soucuda () tvkmk = Φ t = tvk ep (.9) = tvk

36 ede edmektedr (Segupta 970). Burada d k ı her br momet koayca hesapaabmektedr. Be λ merkezse omama parametre ve serbestk derece tek merkezse omaya k-kare değşke karakterstk foksyou, λt Φ () t = ( t) ep t (.0) bçmdedr. Bu karakterstk foksyo yardımıya ortaama + λ ve varyas ( λ ) + oarak buuur. Merkezse omama parametres λ = 0 oarak aıırsa gee (merkezse) k-kare karakterstk foksyou ede edr. Bu durumda (.9) karakterstk foksyou (.0) karakterstk foksyoua bezer oarak merkez omaya k-kare dağıacaktır. (.9) karakterstk foksyou yardımıya ortaama, = ( Vk + Vkmk ) (.) ve varyas, = ( Vk + Vk mk ) (.) oarak ede edr. Burada, m k = ( E( ))( k ) V k ( ) k = k k, = V E E τ bçmdedr (Segupta 97). 4

37 Buraya kadar sadece a değşkeer rasgee oduğu durum ceemş ve (.7) e taımaa d k ı dağıımı ede edmştr. d k, (.) e vere ortaama ve (.) e vere varyasa merkezse omaya k-kare dağıır. Merkezse omama parametres λ = Vm dr. = k k Buua brkte eğer herhag br y rasgee değşke, h serbestk dereces e merkezse k-kare dağıımıa sahpse buu oasıık yoğuuk foksyou, f ( y) e = y h h Γ y ( h) bçmde gösterr. y er ( h) ortaamaarı ya E ( k ) er χ k e gösters. k a rasgee değşkeer ( k ) E = a k oarak aıırsa ve k a er ( ak ) χ e gösterrse, k k k d = χ h oacaktır. Burada k = = = a k a k ve h a k = = ak = bçmde taımamıştır (Patak 949). Böyece şas kısıtı probem, 5

38 ( ) P χ h b u k =,..., m k k k k fades yardımıya hesapaabr. Burada şemer koayaştırmak amacıya h ceğ ç ateratf yakaşım kuaıır. Bu yakaşım ç, = = ak ak = a k eştğ taımaır. Buua brkte D k stee br sabt omak üzere a k = = ak = D a k k = yazıabr. Bu durumda, seçmesye, D k ı br aımasıya, ya h ı e üst sıırıı ak = χ k ak = ak = fades buuur ve d k rasgee değşke yakaşık oarak dağıımı ede edebr. Böyece şas kısıtarı bk ak = P χk ak uk; bk 0 > = ak = (.) 6

39 bçme döüşür. Ateratf oarak (.) F b a a u k k k k k = = k =,..., m yazıabr. k u ar öcede beremş toeras öçümerdr. Burada F k w serbestk dereces N = a oa merkezse k-kare dağıım foksyoudur ve = k w ( N ) N N t 0 F w = Γ t ep dt k e gösterr. Seçe serbestk derecese göre w değerer merkezse k-kare tabosuda rahatıka buuur, ya da doğruda b w = a k k k = ak = eştğ ede edr. Böyece şas kısıtı eştk, k k k k = = b a q a 0 (.4) bçme döüşecektr. Burada qk = wo oarak aıır. Bu durumda eşdeğer determstk mode dışbükey programama probem omak üzere, m z = = k k k k 0; k = o = = 0 k =,..., m, =,..., c b a q a q w (.5) 7

40 bçmde modeer ( Segupta 970). Durum : a ( ya değşkeer se; ' a vektörüü eemaarı) ve b ortak bağımsız merkezse k-kare (.) modedek A b aısı. İk oarak, kısıtı ( ) P A b u omak üzere şas kısıtı oarak ee Q k d b k = = k = a b k k k =,..., m (.6) değşke taıması. Bu durumda şas kısıtı eştk P Q u k =,..., m k k bçmde yazıabr. Durum de verdğ üzere (.6) ı paydası merkezse omaya k-kare dağıımıa sahptr. Ayı zamada b er, b ortaamasıa sahp merkezse k-kare değşkeer oarak aıdığıda (.6) e vere ora merkezse omaya F dağıımıa sahp oacaktır. Merkezse omaya F dağıımıı oasıık yoğuuk foksyou, v ep + L L v v v ( ) f = g = 0 B! +, v ; eştğ e gösterr. Burada, g v + v = + v ( v+ v) 8

41 oarak aımıştır. Dğer otasyoar, B( m, ) v, L : Stadart beta foksyouu : Payı serbestk dereces ve payı merkezse omama parametres ( merkezse omaya k-kare parametres) v : Paydaı serbestk dereces göstermek üzere (.6) fades dağıımı, kχk k = ( b ) b h a χ k k k = ak = χk ( h) = akk = χ ( b ) b k k k a k oraıı dağıımıa eşttr. Bu durumda, r = ak ak bk ak k = = = (.7) ve serbestk dereceer M = a ; M = bk (.8) k = omak üzere Q k d k = oraı (, ) bk rf M M dağıımı e buuur. (, ) M ve F M M, M serbestk derece merkezse F dağıımıdır. Şas kısıtarı, ( ) P F M, M r u r > 0 k, 9

42 ya da ateratf oarak, G k ( r ) u k =,..., m (.9) k bçmde yazıır. Burada G k w, (.8) da vere serbestk dereceer e merkezse F değşke brkm dağıım foksyoudur. Böyece vere u k ve serbestk dereceer ç poztf sabt değer taboda buuabr. Şöye k, k = r 0 değer (.9) eştszğ sağar. Böyece eşdeğer determstk mode, ma z = c = bk akk k ak ak 0 = = = 0 k =,..., m, =,..., bçme döüşür (Segupta 97). Durum 4: a, b ve c er k-kare dağıımıa sahp rasgee değşke se, Durum de vere modede, a, b katsayıarı brkte rasgee değşke oduğu durum ceemşt ve dek determstk kısıt ede edmşt. O hade Durum 4 de amaç foksyouu rasgeeğ ceemek yeterdr. Amaç foksyou, z ' = c = = c e büyükemes her vere oasıık öçüsü v (0< v <) ve at mt f ç ee aımıştır. Burada, 0

43 ' ( c ) P z = f = v oasıığı, c fyat vektörüü rasgee oduğu durumda z amaç foksyouu bekee değer e büyükemes tems eder. Br e büyükeme probem ç eğer topam kar z, e azıda z 0 a eşt veya z 0 da büyükse ya, P z z = u 0 u (.40) 0 0, 0 eştğ e büyükemes se, seçmş u 0 oasıığı e karar verc stedğ maksmzasyou sağar. (.40) durumu ee aısı. u er öcede atası ve c eemaarı (c fyat vektörüü eemaarı) ortaaması c e ortak bağımsız dağıa k- kare değşkeer osu ve ( c ) χ e gösters. Böyece, = R = χ c ; c : c bekee değerdr. (.4) oraıı dağıımı Durum deke bezer oarak, R = χ ( h) ; burada = c = =, h= c = c bçmde taımamasıya ortaya çıkar. Bu durumda determstk amaç foksyou, 0 0 = = ma z w c c = (.4) probeme drger. Burada,

44 ( ) w = F u 0 0 omak üzere poztf sabttr ve F ( v ), dağıım foksyoudur. c ortaamaı merkezse k-kare değşke = (.4) foksyouu geştrerek, tz ( 0, ) foksyou, 0 = 0 0 = = (.4) tz (, ) z c w c bçmde taıması. Bu durumda z 0 ı e büyükemes, tz ( 0, ) e büyükemese döüşecektr. Böyece Durum 4 ç determstk mode, 0 = 0 0 = = ma tz (, ) zc wc bk akk dk ak ak 0 = = = 0 k =,..., m, =,..., (.44) oarak ede edr. Eğer (.44) modede amaç foksyou oarak (.4) eştğ kuaırsa probem doğrusa omaya kesr foksyoe programama e, eğer (.4) eştğ kuaırsa ç bükey programama probem oarak ee aıır ve çözüme uaştırıır (Segupta 970)..

45 . ÇOK AMAÇLI ŞANS KISITLI STOKASTİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNE BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA VE ETKİLEŞİMLİ BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA YAKLAŞIMLARI. Grş Gerçek düyaya şk probemer keskte çok berszk çerr. Bu berszk, probemer stokastk yapıarı ceeerek, karmaşık probemer çözümüde daha yeter souçar ede ederek gderebr. Berszğ gdermes br dğer you da buaıkık kuramıı kuaıması e mümküdür. Buaık küme kavramı, Arsto matığıı yetersz kadığı, bersz ve kes omaya karar durumarıda probeme kesk kazadırarak çözümdek soruu ortada kadırır. 0. yüzyıı ortaarıa doğru karmaşık düya probemer berszk çermeye kes parametreere sahp matematkse modeemes zor br ha amaya başamış ve yöeyem araştırması tekker güdeme gemştr. Fakat uyguama aaarıda kesk kavramı yetersz kamıştır. Geeekse yöeyem araştırması yakaşımarı uyguamaı karar verme probemerde stee souçarı vermemştr. Ortaya çıka bu berszker buaıkık ve rasgeek kavramıı doğurmuştur. 960 arda oasıık kuramıı yaygı oarak kuaımasıda sora, 965 yııda L.A. Zadeh buaık kuramı geştrmştr. Zadeh bu kuramıda sora buaıkık yöeyem araştırması, şetme, kotro kuramı ve statstkte yaygı oarak kuaımaya başamıştır. Karar sürecde buaık kümeer roüü e y ortaya koya Bema ve Zadeh omuştur. Güümüzde buaık kuram kate kotro, yapay zeka, ürü paaması, uaşım, yöetm bmer, fas, zraat, fesefe, ekoom, d bm aaarıda yaygı oarak kuaımaktadır. Buaık matık, temeer Arsto matığıa dayaa k matık ssteme karşı geştre güük hayatta karşımıza çıka değşkeere üyek dereceer atayarak

46 oayarı hag oraarda gerçekeştğ beremeye çaışa br çoku matık sstemdr ( La ad Hwag 99). Buaık kurama şk teme taımar, buaık karar kuramı, buaık doğrusa programama ve etkeşm buaık doğrusa programama kavramarıa at kesmerde yer verecektr.. Buaık Kuramda Teme Taımar Üyeer kes oarak ber omaya ama aday üyeer bu kümeye üyek dereceer bdğ kümeye buaık küme der. Buaık küme kuramıa şk gee taımar aşağıdak gb verebr. Taım. Buaık Küme: X, evrese küme, de evrese küme eemaı osu. A X kümes karakterstk foksyou, μ A, = 0, A A (.) bçmde gösterr. Karakterstk foksyou değer kümes { 0, } our. (.) eştğ eğer μ ( ) = se eemaı A kümese attr ve eğer μ ( ) A A =0 se eemaı A kümese at değdr aamıa ger. Bu foksyo 0 ve dışıda değer aamaz. Eğer karakterstk foksyou değer kümes [ 0, ] araığıda sürek se ve bu kapaı araıkta her gerçe sayıyı aabecek şekde taımaırsa A kümese buaık küme der ve A e gösterr. Taım. Üyek Foksyou: A kümes br buaık küme se, ( ) A kümese üyek dereces der. A kümes üyek foksyou, μ değere A [ ] X : μ 0, A 4

47 bçmde fade edr. Bu durumda A kümes A = {( μ ( A )), X } fades e taımaır. Buaık kümeerde üyek foksyou [ 0, ] araığıda değerer amasıa rağme, farkı araıkarda da üyek foksyoarı taımamak mümküdür. Her br üyek foksyouu eemaı X evrese kümes çde yer amaı ve taımaa araıkta gerçek sayıar omaıdır (Dubos ad Prade 980). Taım. Destek Kümes: A buaık kümes destek kümes { μa 0 } desa = > ve X = { üyek dereceer 0 da büyük oa er } oarak fade edmektedr. Taım.4 α - Kesme Kümes: A buaık kümes α kesme kümes { A } Aα = μ αve X = { üyek dereceer e az α kadar oa er } bçmdedr. Taım.5 Normak: A buaık kümes ç Buaık Akümes ormadr sup μ = A öermes geçerdr. sup μ = sağamıyorsa, A buaık kümes at ormadr. A At orma br A kümes bütü eemaarı A ı e büyük üyek derecese böüerek ormaze edebr. 5

48 Taım.6 Dışbükeyk: X evrese küme ve A br buaık küme osu. λ [ 0,] omak üzere, her, X ç ( + ( ) ) m (, ) μ λ λ μ μ A A A koşuu sağaıyorsa A kümes dışbükey br kümedr. Taım.7 Geşeme Presb: A, A,..., A sırasıya X, X,..., X uzayarıda buaık kümeer ve X = X X... X kartezye çarpım osu, { μ μ } A A... A = m,..., /,..., A A eştğe Geşeme Presb der. Taım.8 Buaık Sayı: A buaık küme ve A omak üzere. A kümes orma se,. A α ( 0,] se,. A ı destek kümes sıırı se, buaık sayıdır. Taım.9 Üçgese Buaık Sayı: A buaık küme, A ve μ, buaık sayısıı üyek foksyou omak üzere, μ 6

49 ( a) ( b a), a < b μ =, = b ( c ), b< c ( c b) bçmde taımadığıda br üçgese buaık sayıdır. Şek. de üçgese buaık sayısı ( abc,, ) b merkez, ( b a) so yayıım ve ( c b) = bçmde göstermştr. Burada sağ yayıımdır (Kr ad Yua 995). μ.0 0 a b c Şek. Üçgese buaık sayı Taım.0 Yamuksa Buaık Sayı: A buaık küme, A ve μ, buaık sayısıı üyek foksyou omak üzere, μ ( a) ( b a), a < b μ =, b c ( d ), b< d ( d c) 7

50 bçmde taımadığıda br yamuksa buaık sayıdır. Şek. de yamuksa buaık sayısı ( abcd,,, ) ( b a) so yayıım ve ( d c) = bçmde göstermştr. Burada sağ yayıımdır (Kr ad Yua 995). b = c oduğuda yamuksa buaık sayı üçgese buaık sayıya döüşmektedr. μ.0 0 a b c d Şek. Yamuksa buaık sayı. Buaık Karar Buaık karar kuramıı k oarak Bema ve Zadeh (970) üç aa teme üzere kurmuşardır. Buar buaık hedef, buaık kısıt ve buaık karardır. Buaıkık atıda karar verme sürecde bu üç kavramı uyguamaarıı araştırmışardır. Buaık hedef ve buaık kısıtara ası karar verebeceğ buaık ortamda karar verme oarak taımamışardır (Sakawa 000). Geeekse br karar verme probem özüü, mevcut durumu veya kısıt koşuarıı dkkate aarak, karar verc beredğ amaç veya hedef doğrutusuda ereme çabası ouşturur. Buaık ortamda karar verme kesde se, karar verc ve evrese kümede herhag br buaıkık omadığı kabu edr, acak amaç ve karar öçütü 8

51 (fayda, kar, ger veya mayet foksyoarı) beşeer se buaıkık çermektedr. Karar verc amaç foksyou ç uaşmak stedğ soucu buaık oarak bereyebr. Ayrıca karar öçüter probemde buaık oarak ortaya çıkabr. Brbr tamamaya amaç ve karar öçütü beşeer buaık br hedef oarak ee aıır (Özka 00). X evrese kümesde buaık G hedef buaık br kümedr ve : [ 0,] μ X G üyek foksyou e fade edr. Burada ( ) μ üyek foksyou, ber br foksyouu buaık hedefe oa üyek dereces gösterr. μ ( ) tamame uaşıdığı, μ ( ) = 0 ke hedefe uaşımadığı ve μ ( G ) kısme uaşıdığı söyer. G G G = ke hedefe 0 < < ke hedefe X evrese kümesde buaık C kısıtı buaık br kümedr ve : [ 0,] μ X C üyek foksyou e fade edr. Burada ( ) μ üyek foksyou, ber br foksyouu buaık kısıttak üyek dereces gösterr. μ ( ) tamame sağadığı, μ ( ) = 0 ke kısıtı sağamadığı ve μ ( C ) kısme sağadığı söyer. C C C = ke kısıtı 0 < < ke kısıtı Buaık br karar, vere hedefer ve kısıtarı uzaştırımasıda beree buaık br küme oarak taımaır. Buaık hedef ve kısıtarı br at kümes oa buaık D karar kümes, Bema ve Zadeh (970) tarafıda D= G C bçmde ve üyek foksyou se 9

52 = m (, ) μ μ μ D G C bçmde fade edr (Sakawa 000). Karar verc buaık karar kümes buaıkıkta arıdırımasıı veya ( ) μ üyek foksyouda geeekse br kararı D vermes ster. Böyece buaık karar kümes e yüksek üyek derece eemaıı beremes gerekr. Bua göre kararı maksmzasyou, = ( ) ma μ ma m μ, μ X D G C X bçmdedr (Sakawa 000)..4 Buaık Doğrusa Programama Doğrusa programama modeerdek buaıkık, amaç foksyou ve kısıtardak katsayıarı tam oarak bmedğ ve modedek bazı eştszker ç et omaya sıırarı taımaabeceğ aamıa ger. Buar eksk bgde veya yapısa durumda kayakaabr ( Özka 00). Gerçek hayat probemerde kısıt katsayıarı ve amaç foksyoarı katsayıarı kes omamakta ve br berszk çermektedr. Keskte kayakaa katı kuraar karar vercy çoğu zama sıkıtıya sokmakta ve probem çözümsüzüğe götürmektedr. Buaık doğrusa programama, karar verc ç kabu edebr sıırarda oması koşuuda, probem çözümsüzükte kurtara esekker taır. Gerçek düyaya şk berszğ modede yer aması ve çözümemes buaık küme termer kuaıdığı buaık doğrusa programama e mümküdür. Modedek berszker amaç foksyouda, kısıt katsayıarıda ya da her ksde de oabr. Bu berszğ çere karar verme ogusu buaık ortamda karar verme oarak fade edr (Bema ad Zadeh 970). Buaık doğrusa programama probemer, buaıkık kavramıı ee aıışıa göre farkı şekerde sııfadırıabr. Bu sııfadırmaı k Zmmerma tarafıda 40

53 yapımıştır. Zmmerma buaık doğrusa programama probemer smetrk modeer ve smetrk omaya modeer omak üzere k sııfta ceemştr. La- Huwag buaık doğrusa programama modeer üyek foksyoarıda yararaarak k sııfa ayırmıştır. Buarda brcsde üyek foksyoarıya teee buaık grdere gerke dğer, oabrk doğrusa programama adıı aa oabrk dağıımarıya teee kes omaya verere ger. Bema ve Zadeh buaık karar kümes taımıa dayaarak Taaka ve Zmmerma buaık hedef ve kısıtar atıda karar verme probem ee amışardır (İuguch ad Ramk 000). Kesm.. de vere (.) doğrusa programama modede tüm kısıtar ve amaç foksyou buaık oarak ee aıdığıda ma(m) z = c ' A b 0 bçmde fade edr. Burada şaret buaıkığı tems eder (La ad Hwag 99). Buaık doğrusa programamaı brçok çözüm yötem vardır. Geede modeer buaıkıkta kurtarıdıkta sora parametrk programama probemere döüşür ve bu yöteme çözüme uaştırıır. Çaışmaı çerğ açısıda şas kısıtı stokastk probemerdek buaık yakaşımar ceedğde doğruda buaık doğrusa programama çözüm yötemere değmeyecektr. 4

54 .4. Çok amaçı şas kısıtı stokastk programama modeere buaık doğrusa programama yakaşımı Sırada br çok amaçı programama mode ( ) ma(m) z = c =,..., K = = a b k =,..., m k k 0, =,..., bçmde taımaır. Burada vere kısıtar atıda brde faza amaç foksyouu e büyükemes veya e küçükemes arzuamaktadır. Şas kısıtarı e çok amaçı stokastk programama probem ma(m) z = c =,..., K = P ak bk uk k =,..., m = 0, =,..., u 0,, k =,..., m k (.) bçmde taıması. Burada c fyatar, a k er katsayıar matrs eemaarı ve b k ar sağ ya değererdr. u k ar se seçmş oasııkardır. Amaç foksyou buaık oması varsayımı atıda bua at üyek foksyou μ 0, z L z L =, L z U U L, z U (.) 4

55 bçmde, doğrusa üyek foksyou oarak seçs. Burada U ve L ar amaç foksyou her br ç sırasıya üst ve at sıırardır. (.) de vere çok amaçı şas kısıtı stokastk programama probem determstk eştğ buudukta sora, (.) e vere üyek foksyou yardımıya mode, = ma λ z L λ =,..., K U L a b k =,..., m k k 0, =,..., λ 0 (.4) bçme döüşür. Bua göre çok amaçı şas kısıtı stokastk programama probem çözümü ç kuaıa agortma aşağıdak gbdr: Adım : Öceke vere stokastk programama probem, şas kısıtı programama probem tekğ e determstk hae döüştürüür. Adım : Amaç foksyoarıı her br tek tek ee aıarak Adım de ede ede kısıtar atıda K tae mode çözüür. Adım : Adım de ede ede çözümer her br bütü amaçara verdğ değerer buuur. Adım 4: Adım de yararaarak amaç foksyouu her br ç at ve üst sıırar ( U ve L ar) buuur. Adım 5: Öere üyek foksyou ç probem yede düzeer ve uzaşık çözüme varıır. 4

56 Probemde ee aıa üyek foksyou stedğ gb değştrebr. Üyek foksyouu değşme bağı oarak (.4) mode de değşecektr (Husurkar et a. 997)..5. Etkeşm Buaık Doğrusa Programama Etkeşm kavramı sstem ç karar verc e y çözümü ked krterer doğrutusuda seçmes aamıa gemektedr. Karar verc ked probem ç e öem gördüğü faktörere dayaı oarak amacıı e yemek ster. Etkeşm buaık doğrusa programama sstemer, tüm oabrker kuamayı, buarı doğrusa programamaı öze aaarıdak probemere breştrmey ve yöedrmey, ayrıca özeker öğremey sağar. Eğer-se kuraıı uyguayarak probeme matıkı düzeemeer ve sıraamaar yapar. Etkeşm buaık doğrusa programama yöedrme probem ve kuaıcıya bağı oma yakaşımarıı çerr. Durumarı çeştğ faza oduğu varsayıırsa, karar verc buarı modee yereştrmey ve doğrusa programama probem çözmey arzuar. Etkeşm buaık doğrusa programama, etk ve sstematk yakaşımarı probeme yereştrmey sağar. Bua uygu oarak karar verc çözüm souçarıı ortaya koyar. Bu souçar karar vercye yeter geebr veya gemeyebr. Yeter gemes durumuda probem çözüme uaşmış our. Yeter gememes durumuda karar verc tatm oucaya kadar şemer tekraraır veya ora probem karar verc ouşturacağı ye krterer doğrutusuda değştrerek tekrar çözüür. Etkeşm yakaşımda karar verc keds buaık kuramı kuaımasıda öem br ro oyar. Böyece etkeşm süreç karar verc ve karar sürec arasıda br şkye oaak sağar. Bu şk probem çözümü ç gerekdr. Bua göre karar verc kede bağı oarak buaık doğrusa programama probemer geştrr ve buarı uyguar. Etkeşm buaık doğrusa programama metodu 980 de tbare uyguamaya başamıştır. Bu koudak çaışmaar Baptstea ve Oero (980), Faba, Cobau ve 44