TEZ ONAYI Nur ÇELİK tarafıda hazırlaa ANOVA Modellerde Çarpık Dağılımlar Kullaılarak Dayaıklı İstatstksel Souç Çıkarımı ve Uygulamaları adlı tez çalış

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ EN BİLİERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ANOVA MODELLERİNDE ÇARPIK DAĞILIAR KULLANILARAK DAYANIKLI İSTATİSTİKSEL SONUÇ ÇIKARIMI VE UYGULAMALARI Nur ÇELİK İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her hakkı saklıdır

2 TEZ ONAYI Nur ÇELİK tarafıda hazırlaa ANOVA Modellerde Çarpık Dağılımlar Kullaılarak Dayaıklı İstatstksel Souç Çıkarımı ve Uygulamaları adlı tez çalışması 7/0/0 tarhde aşağıdak jür tarafıda oy brlğ le Akara Üverstes e Blmler Esttüsü İstatstk Aablm Dalı da DOKTORA TEZİ olarak kabul edlmştr. Daışma : Prof. Dr. Brdal ŞENOĞLU Akara Üverstes İstatstk ABD Eş Daışma : Prof. Dr. Olcay ARSLAN Akara Üverstes İstatstk ABD Jür Üyeler: Başka : Prof. Dr. ahrett ARSLAN Akara Üverstes İstatstk ABD Üye: : Prof. Dr. Brdal ŞENOĞLU Akara Üverstes İstatstk ABD Üye : Doç. Dr. Özlem Müge AYDIN Başket Üverstes İstatstk ve Blgsayar Blmler ABD Üye : Doç. Dr. Mehmet YILMAZ Akara Üverstes İstatstk ABD Üye : Yrd. Doç. Dr. İlha USTA Aadolu Üverstes İstatstk ABD Yukarıdak soucu oaylarım Prof. Dr. Özer KOARICI Esttü Müdürü

3 ÖZET Doktora Tez ANOVA MODELLERİNDE ÇARPIK DAĞILIAR KULLANILARAK DAYANIKLI İSTATİSTİKSEL SONUÇ ÇIKARIMI VE UYGULAMALARI Nur ÇELİK Akara Üverstes e Blmler Esttüsü İstatstk Aablm Dalı Daışma: Prof. Dr. Brdal ŞENOĞLU Varyas aalz (ANOVA) üç ya da daha fazla grup ortalaması arasıda statstksel olarak farklılık olup olmadığıı test etmek amacıyla kullaıla br yötemdr. Acak ANOVA tekğ kullaılarak yapıla aalzler bazı temel varsayımlara dayaır. Bularda e öemls ε hata termler 0 ortalama ve σ varyas le ormal j dağılıma sahp olmasıdır. Model parametreler tahm hata termler ormal dağılıma sahp olduğuda e küçük kareler (Least square ) yötemyle yapılmaktadır. Normallk varsayımı altıda tahm edcler e etk tahm edclerdr. Acak ormallk varsayımı sağlaamazsa ANOVA modeldek parametreler tahm edcler etklğ ytrmektedr. Dolayısıyla tahm edclere dayaa test statstğ de gücüü kaybedecektr. Uygulamada ormal olmaya dağılımlar ormal dağılıma göre daha yaygıdır. Ble dağılımlara çarpıklık katsayısı ekleerek oluşturula çarpık (skew) dağılımlar ales statstk lteratürüe Azzal (985) tarafıda dahl edle ve lteratürde çok sık kullaıla br sürekl dağılımlar alesdr. Söz kousu dağılımlar ales öem ble smetrk dağılımları hem keds hem de komşuluğudak dağılımları modelleyerek uygulamacıya ver modellemede eseklk sağlamasıdır. Bu çalışmada br-yölü varyas aalz ve kyölü varyas aalz modellerde hata termler çarpık ormal ve çarpık t dağılımıa sahp olduğu durumlarda parametre tahm e çok olablrlk (maxmum lkelhood ) ve ou uyarlamış versyou le gerçekleştrlp bu tahm edclere dayalı test statstkler öerlmştr. Ayrıca br yölü deey tasarımıda II. tp sasürlemş verler ç hata termler dağılımıı çarpık ormal ve çarpık t olması durumuda model parametreler elde edlmş ve bezer şeklde bu tahm edclere dayaa test statstkler gelştrlmştr. Ekm 0 65 sayfa Aahtar Kelmeler: ANOVA Çarpık ormal Çarpık t Aykırı Değer Sasürleme

4 ABSTRACT Ph. D. Thess ROBUST STATISTICAL INERENCE IN ANOVA MODE USING SKEW DISTRIBUTIONS AND APPLICATIONS Nur ÇELİK Akara Uvesty Graduate School of Natural ad Appled Sceces Departmet of Statstcs Supervsor: Prof. Dr. Brdal ŞENOĞLU Aalyss of varace (ANOVA) s a aalyss whch s used to test f there s ay sgfcat dffrecece betwee three or more group meas. We geerally assume that the error terms are ormally dstrbuted wth mea 0 ad varace σ. The estmators of the model parameters are obtaed by usg the least square () estmato method whe the error terms have ormal dstrbuto. estmators of ANOVA parameters are the most effcet uder the ormalty assumpto. However whe the ormalty assumpto s ot satsfed estmators of the parameters ad the test statstcs based o them lose ther effcecy. I applcatos oormal dstrbutos are more prevelat tha the ormal dstrbuto. The famly of skew dstrbutos orgated by Azzal(985) are obtaed by addg skewess parameter to kow dstrbutos. The mportace of these dstrbutos s to provde flexblty to statstcas for modelg symmetrc dstrbutos ad the egboorhood of them. I ths work whe the error terms have skew ormal ad skew t dstrbutos the estmators of the model parameters ad the test statstcs based o them are obtaed wth maxmum lkelhood () estmato methodology ad the modfed verso of t oe-way ad two-way ANOVA models. Also type II cesorg expermetal desg s vestgated ad the the estmators of the model parameters ad the test statstcs based o them are obtaed whe the error terms have skew ormal ad skew t dstrbutos. October 0 65 pages Key Words: ANOVA Skew Normal Skew t Skewess Outler Cecorg

5 TEŞEKKÜR Doktora tez çalışmasıda hçbr zama desteğ esrgemeye akademk karyermde emekledğm döemlerde elmde tutup baa yürümey öğrete gerek statstk blg brkm gerekse kşlk özellkleryle her zama yoluma ışık tuta değerl hocam Prof. Dr. Brdal ŞENOĞLU a (Akara Üverstes İstatstk Aablm dalı) tez çalışmasıı fkr aşamasıda büyük katkıları ola daha sora da eş daışmalığımı kabul edp baa her türlü desteğ vere değerl hocam Prof. Dr. Olcay ARSLAN a (Akara Üverstes İstatstk Aablm dalı) hçbr zama desteğ esrgemeye değerl hocam Prof. Dr. ahrett ARSLAN a (Akara Üverstes İstatstk Aablm dalı) olumlu eleştrler ve desteklerde dolayı Doç Dr. Özlem Müge AYDIN (Başket Üverstes İstatstk ve Blgsayar Blmler Aablm Dalı) ve Doç. Dr. Mehmet YILMAZ a (Akara Üverstes İstatstk Aablm dalı) smülasyo çalışmalarımı temeller ata değerl arkadaşım Araş. Gör. Şükrü ACITAŞ a matematksel çıkarımlarda katkıda bulua değerl dostum Araş. Gör. Mehmet ÜNVER e maev destekler hçbr zama esrgemeye kardeşlerm Araş. Gör İklm GEDİK BALAY ve Araş. Gör. Gül OLGUN KARACAN a ve be bugülere kadar getre hçbr zama destekler esrgemeye yaşamımı her alaıda y k varlar dedğm aem Eme ÇELİK e babam Mehmet ÇELİK e kardeşlerm Pıar ve Our ÇELİK e ve e öemls kıymetlm Kerem ÇELİK e Sosuz teşekkürler. Nur ÇELİK Akara Kasım 0

6 İÇİNDEKİLER ÖZET.. ABSTRACT TEŞEKKÜR KISALTMALAR DİZİNİ.. v ŞEKİLLER DİZİNİ... v ÇİZELGELER DİZİNİ. v. GİRİŞ.. Br Yölü Varyas Aalz ve Normal Teor... Parametre tahm... Hpotez test 3. Br Yölü Varyas Aalz ve Normal Olmaya Teor. 5.. E çok olablrlk yötem Uyarlamış e çok olablrlk yötem. 6.3 Lteratür Taraması 8.4 Çalışmaı Amacı. 9.5 Çarpıklaştırma Çarpık ormal dağılım Çarpık t dağılımı II. tp sasürleme 7. BİR YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ 9. Hata Termler Dağılımıı Çarpık Normal Olması Durumuda Br Yölü Varyas Aalz Parametre tahm 9... E küçük kareler yötem 9... E çok olablrlk yötem Uyarlamış e çok olablrlk yötem.. Mote Carlo smülasyo çalışması Dayaıklılık 8..3 Hpotez test 3. Hata Termler Dağılımıı Çarpık t Olması Durumuda Tek Yölü Varyas Aalz Parametre tahm E küçük kareler yötem E çok olablrlk yötem Uyarlamış e çok olablrlk yötem 40.. Mote Carlo smülasyo çalışması Hpotez test İKİ YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ Hata Termler Dağılımıı Çarpık Normal Olması Durumuda İk Yölü Varyas Aalz Parametre tahm E küçük kareler yötem 54 v

7 3...3 E çok olablrlk yötem Uyarlamış e çok olablrlk yötem Mote Carlo smülasyo çalışması Hpotez test 6 3. Hata Termler Dağılımıı Çarpık t Olması Durumuda İk 65 Yölü Varyas Aalz. 3.. Parametre tahm E küçük kareler yötem E çok olablrlk yötem Uyarlamış e çok olablrlk yötem Mote Carlo smülasyo çalışması Hpotez test II. TİP SANSÜRLEMENMİŞ VERİLER İÇİN BİR YÖNLÜ 84 VARYANS ANALİZİ 4. Hata Termler Çarpık Normal Olması Durumuda Sasürlü 85 Verlerde Tek Yölü Varyas Aalz 4. Hata Termler Çarpık t Olması Durumuda Sasürlü Verlerde Tek Yölü Varyas Aalz UYGULAMA 0 5. Radyo rekası Gücü Vers ASG Değerler Vers G Değerler Vers Hayvaları Yaşam Süreler Vers Çmeto Kuruma Süreler Vers 5.6 ıdık Mktarları Vers SONUÇ. 8 KAYNAKLAR EKLER 5 EK NORMAL t ÇARPIK NORMAL ve ÇARPIK t DAĞILIARI 6 EK t ÇARPIK NORMAL ve ÇARPIK t DAĞILIARI İLE İLGİLİ BAZI ÖNEİ TEOREER VE İSPATLARI. 36 EK 3 İKİ YÖNLÜ VE BİR YÖNLÜ SANSÜRLENMİŞ ANOVA İÇİN MATLAB PROGRAM KODLARI 44 ÖZGEÇMİŞ 64 v

8 KISALTMALAR DİZİNİ ANOVA df SST SSE MSE IRA RE Varyas Aalz Serbestlk Dereces Geel Kareler Toplamı Hata Kareler Toplamı Hata Kareler Ortalaması E Küçük Kareler E Çok Olablrlk Uyarlamış E Çok Olablrlk Iteratf Yede Ağırlıkladırılmış Algortma Görel Etklk v

9 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekl. Çarpık-ormal olasılık yoğuluk foksyou Şekl. Çarpık-t olasılık yoğuluk foksyou... 6 Şekl 5. Radyo frekas gücü vers ç Q-Q grafğ; λ Şekl 5. ASG değerler vers ç Q-Q grafğ; v 5 λ Şekl 5.3 G değerler vers ç Q-Q grafğ; λ Şekl 5.4 Hayvaları yaşam süreler vers ç Q-Q grafğ ; v 5 λ. 0 Şekl 5.5 Çmeto Kuruma Süreler vers. deeme ç Q-Q grafğ ; λ Şekl 5.6 Çmeto Kuruma Süreler vers. deeme ç Q-Q grafğ ; λ Şekl 5.7 Çmeto Kuruma Süreler vers 3. deeme ç Q-Q grafğ ; λ Şekl 5.8 ıdık vers. deeme ç Q-Q grafğ ; λ 0.7 v Şekl 5.9 ıdık vers. deeme ç Q-Q grafğ ; λ 0.7 v 6. 5 Şekl 5.0 ıdık vers 3. deeme ç Q-Q grafğ; λ 0.7 v 6 5 v

10 ÇİZELGELER DİZİNİ Çzelge. Çarpık ormal dağılımı çarpıklık ve basıklık değerler Çzelge. Çarpık t dağılımı çarpıklık ve basıklık değerler.. 5 Çzelge. w j ağırlıklarıı ortalama değerler... 5 Çzelge. Çarpık ormal dağılıma sahp X rasgele değşke ç P( X > E( X )) olasılığı 6 Çzelge.3 parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler.. 30 Çzelge.4 σ parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler.. 3 Çzelge.5 ve test statstkler I. tp hataları; α 0.05 a Çzelge.6 ve test statstkler gücü (a3 0; α 0.050) Çzelge.7 Model () ç ve test statstkler gücü (a3 0;α 0.050) Çzelge.8 Çarpık t dağılımıa sahp X rasgele değşke ç P( X > E( X )) olasılığı 43 Çzelge.9 parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. 44 Çzelge.0 σ parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler 46 Çzelge. ve test statstkler. tp hataları (a3 0;α 0.050) Çzelge. ve test statstkler gücü ( a 3 0) 5 Çzelge.3 Br yölü varyas aalz ç CPU( ˆ )+CPU( ˆ σ ).. 5 Çzelge 3. j parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler Çzelge 3. αβ parametres ç ve tahm edcler j ortalama varyas ve MSE değerler.. 60 Çzelge 3.3 σ parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler.. 6 Çzelge 3.4 ve test statstkler I. tp hataları ( a 3 b 3 5 α 0.050) Çzelge 3.5 deeme blok ve etklesm test statstkler gücü ( a 3 b 3 5) Çzelge 3.6 j parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler v

11 Çzelge 3.7 αβ j parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler Çzelge 3.8 σ parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. 75 Çzelge 3.9 ve yötemleryle elde edlmş deeme blok ç I. tp hatalar ( a 3 b 3 5 α 0.050) ve etklesm 79 Çzelge 3. Deemeler ç ve test statstkler gücü ( a 3 b 3 5) Çzelge 3.3 Bloklar ç ve test statstkler gücü ( a 3 b 3 5)... 8 Çzelge 3.4 Etkleşm ç ve test statstkler gücü ( a 3 b 3 5)... 8 Çzelge 4. parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. 9 Çzelge 4. σ parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. 9 Çzelge 4.3 ve test statstkler I. tp hataları ( a 3 0 α 0.050).. 9 Çzelge 4.4 parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. 98 Çzelge 4.5 σ parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. 99 Çzelge 4.6 ve test statstkler I. tp hataları ( a 3 0 α 0.050).. 00 Çzelge 5. Radyo frekas gücü vers. 0 Çzelge 5. Radyo frekası gücü vers ç ( x ) ve 0 0( x) ( x) değerler. 03 Çzelge 5.3 Radyo rekası gücü vers ç parametreler ve tahm değerler ve bu tahm değerler kullaılarak elde edle test statstğ değer 04 Çzelge 5.4 Parametre tahm edcler ortalama varyas MSE değerler; λ Çzelge 5.5 ASG değerler vers. 05 Çzelge 5.6 ASG değerler vers ç parametreler ve tahm değerler ve bu tahm değerler kullaılarak elde edle test statstğ değer. 06 Çzelge 5.7 Parametre tahm edcler ortalama varyas MSE değerler ; λ 0.7 v 7 ve 7 06 Çzelge 5.8 G değerler vers. 07 x

12 Çzelge 5.9 G değerler vers ç ( x ) ve 0 0( x) ( x) değerler. Çzelge 5.0 G değerler vers ç parametreler ve 08 tahm değerler ve bu tahm değerler kullaılarak elde edle test statstğ değer. Çzelge 5. Hayvaları yaşam süreler vers 09 Çzelge 5. Hayvaları yaşam süreler vers ç parametreler 0 ve tahm değerler ve bu tahm değerler kullaılarak elde edle test statstğ değer. Çzelge 5.3 Çmeto Kuruma Süreler vers. Çzelge 5.4 Çmeto Kuruma Süreler vers ç ( x ) ve 0 0( x) ( x) 3 değerler.. Çzelge 5.5 Çmeto Kuruma Süreler vers ç parametreler ve tahm değerler ve bu tahm değerler kullaılarak elde edle test statstğ değer (tam ver) Çzelge 5.6 Çmeto Kuruma Süreler vers ç parametreler ve tahm değerler ve bu tahm değerler kullaılarak elde edle test statstğ değer (sasürlemş ver) Çzelge 5.7 Parametre tahm edcler ortalama varyas MSE değerler 4 λ ve 5 q 0.. Çzelge 5.8 ıdık mktarları vers 4 Çzelge 5.9 ıdık mktarları vers ç parametreler ve tahm değerler ve bu tahm değerler kullaılarak elde edle test statstğ değer (sasürlemş ver) 6 Çzelge 5.0 ıdık mktarları vers ç parametreler ve tahm değerler ve bu tahm değerler kullaılarak elde edle test statstğ değer (tam ver). 6 Çzelge 5. Parametre tahm edcler ortalama varyas MSE değerler λ 0.7 v 6 ve q x

13 . GİRİŞ Bu bölümde kouu akışı çersde htyaç duyulacak temel taımlar ve ö blgler ele alımıştır. Ayrıca kou bütülüğüü bozmayacak şeklde bazı öeml çıkarımlar ve teoremler verlmştr.. Br Yölü Varyas Aalz ve Normal Teor Varyas aalz (Aalyss of Varace ANOVA) üç ya da daha fazla grup ortalaması arasıda statstksel olarak farklılık olup olmadığıı test etmek ç kullaıla br yötemdr. Amaç deey etkleye faktör veya faktörler etks belrlemesdr. Deey etkleye yalız br tae faktör olduğuda br yölü varyas aalz kullaılmaktadır. Br yölü varyas aalz ç kullaılacak matematksel model y + α + ε... a ; j.. (.) j j şekldedr. Burada y j. deemedek j. gözlem değer geel ortalamayı α. deeme etks ε j rasgele hata termler göstermektedr. Br yölü varyas aalz bazı temel varsayımlara dayaır. Bu varsayımlar () ε j hata termler 0 ortalama ve σ varyas le ormal dağılıma sahptr () Hata termler varyasları homojedr () Hata termler brbrde bağımsızdır.

14 şeklde sıralaablr. Bu varsayımlar kısaca ( ) ε ~ NID 0 σ (.) j şeklde de gösterlmektedr. Bu çalışmada (.) model sabt etkl model olduğu varsayılmıştır. Br başka deyşle a α 0 (.3) olarak alımıştır... Parametre tahm ANOVA modeldek parametreler e küçük kareler (Least Squares-) tahm edcler ormallk varsayımı altıda e etk tahm edcler olduğu ç parametre tahmler geleeksel olarak yötemyle yapılır. Br parametre tahm edcs modeldek hata termler kareler toplamıı lgl parametreye göre mmum yapa değerdr. (.) model ç hata kareler toplamı a a Q ε ( ) j yj α (.4) j j dr. Bu durumda model parametreler tahm edcler a Q ( ) ( yj α) 0 j Q ( ) ( yj α) 0 α j (.5)

15 deklem sstem çözümüdür. (.) model sabt etkl br model olduğu göz öüe alıarak ve α parametreler tahm edcler sırasıyla % y.. α y. y.. % (.4) olur. Burada y a y j j j.. y. N y j ve Na (.5) bçmdedr. Hata varyası σ% tahm edcs a ( y ) j y. j % (.6) σ N olarak elde edlr. (.6) deklemde verle tahm edcs yalıdır. Gerekl ya düzeltmes yapılırsa a ( y ) j y. j % (.7) σ N a olur... Hpotez Test (.) modelde amaç deemeler arasıda alamlı br farklılık olup olmadığıı sıamaktır. Bu durum ç kullaıla hpotez test 3

16 H 0 : α α... α 0 H : E az brα 0 a (.8) bçmdedr. (.8) hpotez a j ( y ) j y.. (.9) toplam değşkelğ br ölçüsü ola geel kareler toplamıı (Sum of Squares Total SST) deeme kareler toplamı (Sum of Squares Treatmet SS Deeme ) ve hata kareler toplamı (Sum of Squares Error statstğ yardımıyla sıaır. SST SS Hata ) olarak bleşelere ayrılmasıyla elde edle test SS Deeme ve SS Hata ı toplamıdır. Br başka deyşle a a ( ) ( )... j. (.0) SST y y + y y j SS + SS Deeme Hata şekldedr. (.) modelde (.8) hpotez sıamak ç SSDeeme a SS N a Hata (.) test statstğ kullaılır. Hata termler ormallk varsayımı altıda dağılımıa sahptr. Bezer şeklde ( ) SST σ N- serbestlk derecel k-kare a... / veya br başka fade le y y σ a ( SSDeeme σ ) a- serbestlk derecel k-kare dağılımıa ( ) yj y. / σ veya j 4

17 br başka fade le ( SSHata ) σ de N-a serbestlk derecel k-kare dağılımıa sahp olduğu kolayca gösterleblr. Dğer tarafta Cochra teorem yardımıyla bu k rasgele değşke bağımsız olduğu spatlaablr Cochra (934). K-kare dağılımıa sahp bağımsız k rasgele değşke serbestlk dereceleryle brbre oraıı olduğu blmektedr. Dolayısıyla (.) test statstğ a- ve N-a serbestlk derecel dağılımıa sahptr. Bua göre Hesap > Tablo se (.8) hpotez reddedlr. Br başka deyşle test statstğ değer α alam sevyesde a- ve N-a serbestlk derecel tablo değerde büyükse hpotez reddedlr ya deemeler arasıda alamlı br farklılık vardır delr.. Br Yölü Varyas Aalz ve Normal Olmaya Teor Br öcek bölümde de bahsedldğ gb ANOVA tekğ kullaılarak yapıla aalzler ormal dağılım varsayımı altıda yapılmaktadır ve bu varsayım altıda yötemyle elde edle tahm edcler e etk tahm edclerdr. tahm edclere dayalı test statstğ se e güçlü test statstğdr. Acak uygulamalarda görülmektedr k ormal olmaya dağılımlar ormal dağılıma göre daha yaygıdır (Pearso 93 Geary 947 Elveback 970 Huber 98 Tku ve Ta 986). (.) model ç ormallk varsaymı sağlaamazsa tahm edcler etklkler hızla düşmektedr. test statstğ I. tp hatası çok fazla etklememekle beraber gücüü oldukça düştüğü görülmüştür (Geary 947 Tku 97). Bu bölümde hata termler ormal dağılmadığı durumlarda br yölü varyas aalz ç parametre tahm yötemlerde bahsedlecektr. 5

18 .. E çok olablrlk yötem Br parametre tahm edcs olablrlk foksyouu bu parametreye göre maksmum yapa değerdr. Bu değer olablrlk foksyouu lgl parametreye göre türev alıp sıfıra eştlemekle buluur. Bua göre X X... X olasılık veya olasılık yoğuluk foksyou f ( x; θ ) ola ktlede br öreklem olsu. θ ı olablrlk foksyou ( ) X X X X %... ' olmak üzere L X x f x; f x; % % % ( θ ) ( θ) ( θ) (.) dr. θ ı e çok olablrlk tahm edcs ( θ X) ˆ θ max L θ Θ % (.3) şeklde buluur. Geellkle olablrlk foksyouu maksmzasyou yere mooto artalık özellğ ve şlem kolaylığı sağladığı ç foksyou logartması (loglkelhood) maksmze edlr. Bu yötemle elde edle tahm edcler araa özellklerde (etklk yasızlık tutarlılık) brçoğua sahp olmakla brlkte maksmum yapma problem çözümüde ortaya sıkıtılar çıkablmektedr. (.) model ç blmeye parametreler θ ( α σ) ormallk varsayımı altıda tahm edcleryle ayıdır. tahm edcler.. Uyarlamış e çok olablrlk yötem Bazı durumlarda olablrlk foksyouu maksmum yapa değer açık olarak buluamayıp teratf yötemler yardımıyla buluablmektedr. Bu durumda tahm edc kapalı formu yoktur veya olablrlk deklemler yede düzelemes le elde edle tahm edcler dğer parametreler tahm edclere bağlı bulumaktadır. Acak teratf yötemlerde 6

19 () () () Yakısayamama Brde fazla çözüme sahp olma Yalış değere yakısama problemler ortaya çıkablecektr Barett (966). Bezer şeklde Puthepura ve Sha (99) eğer ver setde uç değer varsa olablrlk deklemler yakısamadıklarıı göstermştr. Bütü bu zorluklarda kurtulmak ç se yötem terch edlmştr Tku ( ) Tku ve Suresh (99). tahm yötem Tku ( ) tarafıda öerle ve Tku ve Suresh (99) tarafıda gelştrle br yötemdr. Yötem yötem çözüm zorluğuda kurtula ayı zama da ou güzellğ de koruya br yötemdr. tah edcler e çok olablrlkle elde edle tahm edcler özellklere asmptotk olarak sahptr ve bu yötemle parametreler tahm edcler aaltk olarak elde edlmektedr. yötem geel olarak üç aşamada özetleeblr: () () () E çok olablrlk deklemler sıralı statstkler csde yazılır sıralı statstkler toplama şleme göre değşmezlk özellğde dolayı olablrlk deklemlerde herhag br değşklk olmayacaktır. Olablrlk foksyolarıda yer ala doğrusal olmaya fadeler tahm edcler açık olarak buluamamasıa sebep olur. Bu edele doğrusal olmaya foksyolar Taylor sers lk k term yardımıyla doğrusal foksyolarıa yaklaştırılır. Elde edle doğrusal fadeler olablrlk deklemlerde yere kodukta sora deklem sstem çözülür. Bu çözümlerde elde edle tahm edclere tahm edcler der. tahm edcler gözlemler foksyolarıdır ve kolaylıkla hesaplaablr. Bu tahm edcler tahm edclerde (özellkle öreklem büyük olduğuda) çok daha etk 7

20 asmptotk olarak tam etklğe (yasız ve e küçük varyaslı) sahp ve dayaıklıdır (Smth v.d. 973 Ta 985 ve Vaugha 99)..3 Lteratür Taraması Lteratürde yötem kullaılarak yapıla brçok çalışma mevcuttur. Acak deey tasarımıda yapıla çalışmalar şu şekldedr: Şeoğlu ve Tku (00) br yölü ve k yölü etkleşml deey tasarımıda hata termler dağılımıı Webull ve Geelleştrlmş Lojstk olarak almıştır. Model parametreler tahm edcler elde etmştr. Daha sora lgl hpotez testler ç tahm edclere dayaa test statstkler taımlamıştır. Mote-Carlo smülasyou yardımıyla öerle tahm edcler geleeksel tahm edclerde ve tahm edclere dayaa test statstklerde daha etk olduğuu göstermştr. Ayrıca elde edle tahm edcler ve bu tahm edclere dayaa testler daha dayaıklı olduğuu göstermştr. Şeoğlu ve Tku (00) deey tasarımıda tek yölü varyas aalz ç heteroje varyas yapısı altıda hata termler Geelleştrlmş Lojstk dağılması durumuda doğrusal karşılaştırmaları celemştr. Daha sora Şeoğlu ve Tku (004) tek yölü varyas aalz modelde I. tp ve II. Tp sasürlemş verler kullaarak hata termler ormal dağılıma sahp olmaması durumuda tahm edcler elde etmştr. Ye ayı çalışmada hata termler budamış dağılıma sahp olması durumuda tahm edcler elde etmştr. Ayrıca bu tahm edcler daha etk olduklarıı göstermştr. Şeoğlu (005) k faktöryel tasarımlarda hata termler Webull dağılıma sahp olması durumuda yötem kullaarak dayaıklı tahm edcler elde etmştr. Ayrıca bu tahm edclere dayalı test statstkler gelştrmş ve bu test statstkler daha güçlü olduklarıı göstermştr. Şeoğlu (007) hata termler dağılımıı kısa kuyruklu smetrk dağılıma sahp olması durumuda tek yölü kovaryas aalzde tahm edcler elde etmş ve söz kousu tahm edcler tahm edclerde daha etk olduklarıı göstermştr. Şeoğlu ve Avcıoğlu (009) br yölü kovaryas aalz modelde hata termler dağılımıı Geelleştrlmş Lojstk dağılımlar alesde br olduğuu varsaymış ve bu durumda yöteme dayalı olarak parametre tahmler yapmıştır. Deemeler 8

21 arasıdak farkı test etmek ç br test statstğ gelştrmştr. Elde edle souçlar öerle test statstğ ormal teorde kullaıla test statstğde statstksel olarak daha y souçlar verdğ göstermştr. Buu yaı sıra Şeoğlu (007) kovaryas aalz modellerde bağımsız değşke stokastk olması durumuu celemştr. Çalışmasıda hem hata termler hem de bağımsız değşkeler Geelleştrlmş Lojstk dağılımlar alesde br dağılıma sahp olduğuu varsaymış parametre tahmler yapmış ve test statstkler gelştrmştr. Souçlar gelştrle test statstkler ve parametre tahm edcler ormal teor souçlarıda statstksel olarak daha y olduğuu göstermştr..4 Çalışmaı Amacı Bu çalışmada br öcek bölümde alatılalarda farklı olarak br yölü ve k yölü ANOVA modelde hata termler çarpık ormal dağılıma ve çarpık t dağılımıa sahp olması durumu ele alımıştır. Çalışmaı kc bölümüde br yölü varyas aalzde hata termler çarpık ormal ve çarpık t dağılması durumuda parametre tahmler ve yötemleryle elde edlmştr. Ayrıca elde edle tahm edclere dayalı test statstkler gelştrlmştr. Mote Carlo smülasyo yötemyle ve tahm edcler tahm edclerde daha etk olduğu gösterlmştr. Çalışmaı üçücü bölümüde k yölü varyas aalzde hata termler çarpık ormal ve çarpık t dağılması durumuda br öcek bölümde alatıldığı gb parametre tahmler ve yötemleryle ele edlmştr. Bu tahm edclere dayalı test statstkler öerlmştr ve ormal teor le elde edle souçlar le karşılaştırılmıştır. Çalışmaı dördücü bölümüde II. tp sasürlemş verlerde br yölü varyas aalz ç hata termler çarpık ormal ve çarpık t dağılması durumu celemştr. Parametre tahmler tahm yötemyle elde edlmştr. Bu tahm edclere dayalı test statstkler öerlmştr. 9

22 Uygulama kısmıda se gerçek ver setler le br öcek bölümde bulua souçlar desteklemştr..5 Çarpıklaştırma (Skewess Procedure) Lteratürde brçok çarpıklaştırma şlem mevcuttur. Bu çalışmada Azzal(985) tarafıda öerle çarpıklaştırma şlem göz öüe alımıştır. Lemma.: f 0 etrafıda smetrk olasılık yoğuluk foksyou ve G mutlak sürekl dağılım foksyou olmak üzere h( x) G( λ x) f ( x) x R (.4) şeklde taımlaa foksyo da λ R ç olasılık yoğuluk foksyou özellkler taşır (Azzal 985). Tez çalışmasıda çarpık ormal dağılım ve çarpık t dağılımı ele alımıştır..5. Çarpık Normal Dağılım Çarpık ormal dağılımda lk olarak O'Haga ve Leohard (976) tarafıda yayılaa makalede söz edlmştr. Daha sora Azzal (985) yayıladığı makalede çarpık ormal dağılımı teors geşletmştr. Çarpık ormal dağılım matematksel şlem kolaylığı ve ormal dağılımı da çermesde dolayı lteratürde oldukça yer almaktadır. Azzal ( ) Choga (998) ve Heze (986) çarpık ormal dağılımı matematksel çıkarımlarıı ve karakterstk özellkler araştırmışlardır. Azzal ve Dalle Valle (996) ve Azzal ve Captao (003) dağılımı teorksel olarak geşletmş ve çok değşkel çarpık ormal dağılım üzere çıkarımlar yapmışlardır. Loperfdo (00) Geto (00) ve Gupta ve Hug (00) çarpık ormal dağılıma sahp br rasgele değşke karesel formları üzerde durmuştur. Azzal ve Captao (999) Pewsey (000) ve Gupta ve Cohe (00) çarpık ormal dağılımı dağılım foksyou ve uyum ylğ testler üzere çalışmalar yapmıştır. 0

23 Lemma. de hareketle (.4) dek foksyoda f yere φ (x) G yere de Φ (x) yazılırsa elde edle ye dağılıma çarpık ormal dağılım der ve X ~ SN ( λ) olarak gösterlr. Bua göre çarpık ormal dağılım h( x) Φ( λ x) φ( x) x R (.5) şeklde gösterlr. Burada φ (x) stadart ormal dağılımı olasılık yoğuluk foksyouu Φ (x) stadart ormal dağılım foksyouu fade etmektedr (.4) foksyouda λ çarpıklık parametres göstermekte olup λ arttıkça dağılımı çarpıklığı da artmaktadır. Pratkte Y + σx döüşümü uygulaarak çarpık ormal dağılım ç daha kolay çıkarımlar yapılması sağlamıştır. Burada koum parametres ke σ ölçek parametresdr. Söz kousu koum ve ölçek parametreler le elde edle çarpık ormal dağılımı olasılık yoğuluk foksyou y y h( y; σ λ) φ Φ λ σ σ σ (.6) şeklde fade edlmektedr ve Y ~ SN ( σ λ ) şeklde gösterlmektedr. Çzelge. çarpık ormal dağılımı çeştl çarpıklık parametreler ç elde edle çarpıklık ( γ ) ve basıklık ( γ ) değerler göstermektedr. Çzelge. Çarpık ormal dağılımı çarpıklık ve basıklık değerler. λ γ γ Çzelge. de görüldüğü gb dağılımı çarpıklık değerλ arttıkça artış göstermekle beraber maksmum değer alırke basıklık e fazla değere ulaşmıştır.

24 Çarpık ormal dağılım çarpıklık parametres sıfır ke ble stadart ormal dağılıma sosuz ke yarı ormal (half-ormal) dağılıma döüşmektedr. Şekl. değşk çarpık parametreler ç çarpık ormal dağılımı olasılık yoğuluk foksyolarıı göstermektedr λ ---- λ ---- λ λ ---- λ Şekl. Çarpık-ormal olasılık yoğuluk foksyou. Şekl. de de görüldüğü gb çarpık ormal dağılım çarpıklık parametrese göre değşmektedr. Çarpıklık katsayısı egatf olduğuda sola çarpık poztf olduğuda se sağa çarpık br hale gelmştr. Buula beraber çarpıklık katsayısı sıfır olduğuda dağılım stadart ormal dağılıma döüşmektedr. Çarpık ormal dağılımı beklee değer ve varyası sırasıyla ( λ λ ) ( λ λ ) E( X ) / + π V ( X ) / + π (.7) dr. Çarpıklık ve basıklık sırasıyla

25 3 (4 ) ( ) λ γ π sg λ (.8) π π + λ ( 3) λ γ π (.9) π π + λ şekldedr. Bu çalışmada çarpık ormal dağılım kullaılmasıı sebeb çarpık ormal dağılımı ormal dağılımı ve ormale yakı dağılımları da modelleyerek uygulamacıya eseklk katmasıdır..5. Çarpık t dağılımı Çarpık t dağılımı Azzal (985) tarafıda öerle br dağılımdır. Lteratürde brçok çarpık t dağılımı mevcuttur. Çarpık t dağılımı ç çarpıklaştırma prosedürü Gupta (003) Nadarajah ve Kotz ( ) tarafıda geşletlmştr. Azzal ve Captao (003) çarpık t dağılımı ç daha geşletlmş br taım vermştr. Wag(004) ve errerra ve Steel (006) değşk çarpıklaştırma foksyoları taımlamıştır. So olarak Arsla (0) lteratürde kullaıla çarpık t dağılımları ç geel br değerledrme makales yayılamıştır. Bu çalışmada kullaıla çarpık t dağılımı ormal dağılımı yayılım karmasıda (scale mxture) gelmektedr (Gupta 00 Braco ve Dey 00 Azzal ve Captao 003 ve Azzal 005). Bua göre Y stadart çarpık ormal dağılıma ve V v serbestlk derecel k-kare Y dağılımıa sahp olsu. Y ve V brbrde bağımsız olmak üzere X rasgele V v 3

26 değşke çarpık t dağılımıa sahptr ve X ~ St ν ( λ) olarak gösterlmektedr. Bua göre X rasgele değşke olasılık yoğuluk foksyou f st ( x; λ) ν + t ν ( x) Tν λx (.0) ν + x + olarak taımlaır. Burada t v v serbestlk derecel Studet s t olasılık yoğuluk foksyouu T v + v+ serbestlk derecel Studet s t dağılım foksyouu göstermektedr. Çarpık ormal dağılımda olduğu gb λ çarpıklık parametres göstermekte olup λ arttıkça dağılımı çarpıklığı da artmaktadır. Pratkte U + σ X döüşümü uygulaarak çarpık t dağılımı ç daha kolay çıkarımlar yapılması sağlamıştır. Burada koum parametres ke σ ölçek parametresdr. Söz kousu koum ve ölçek parametreler le elde edle çarpık t dağılımı olasılık yoğuluk foksyou u u v+ fst ( u; λ) tv Tv+ λ σ σ σ u v+ σ (.) şeklde fade edlmektedr ve ~ ( ) U St σ λ şeklde gösterlmektedr. Çzelge v. de çarpık t dağılımıı çeştl şekl parametreler le elde edle çarpıklık ve basıklık değerler verlmştr. Çzelge. de serbestlk dereces 4 te başlatılmasıı sebeb v< 4 ç basıklığı ve çarpıklığı taımlı olmamasıdır. 4

27 Çzelge. Çarpık t dağılımıı çarpıklık ve basıklık değerler. λ v γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ Çzelge. de de görüldüğü gb dağılımı basıklığı ve çarpıklığı serbestlk derecese ve çarpıklık parametrese bağlıdır. Çarpıklık parametres sıfır ke dağılım ble Studets t dağılımı olur ve çarpıklığı sıfır değer alır basıklığı se serbestlk dereces arttıkça düşmektedr. Acak çarpıklık parametres arttıkça dağılımı çarpıklığı ve basıklığı artmaktadır. Çarpıklık parametres artarke her çarpıklık parametres ç de serbestlk derecelere bağlı olarak basıklık ve çarpıklık celedğde serbestlk dereces arttıkça dağılımı basıklığı ve çarpıklığı düşmektedr. Çarpıklık parametres λ sosuz olduğuda se dağılım yarı t ( half-t) olmaktadır. Çzelgede de görüldüğü gb serbestlk dereces ve çarpıklık parametres arttığıda dağılım çarpık ormale yakısamakta ve dağılımı basıklık ve çarpıklık değerler çarpık ormal dağılımı basıklık ve çarpıklık değere ulaşmaktadır. Şekl. değşk çarpık parametreler ç çarpık t dağılımıı olasılık yoğuluk foksyolarıı göstermektedr. Çarpık t dağılımı çarpık ormal dağılımda olduğu gb çarpıklık parametres poztf ke sağa çarpık egatf ke sola çarpık olmaktadır. Çarpıklık parametres sıfır ke dağılım ble Studets t dağılımı olur. 5

28 λ λ λ λ λ Şekl. Çarpık-t olasılık yoğuluk foksyou. Çarpık-t dağılımıı beklee değer ve varyası ) ( Γ + Γ ν λ ν λ π ν X E > ν (.) ) ( Γ Γ + ν ν λ λ π ν ν ν X V > ν (.3) şeklde hesaplamaktadır. Ayrıca Γ + Γ ν λ ν λ ν x (.4) olmak üzere dağılımı çarpıklığı ve basıklığı sırasıyla

29 ν ( 3 δ ) 3ν ν γ + > 3 3 ν (.5) ν ν ν γ 3ν ( ν )( ν 4) 4 ν ν 3 3 ( 3 δ ) 6 ν 4 ν ν > 4 ν ν (.6) olarak hesaplamaktadır (Gupta 00). Bu çalışmada çarpık t dağılımıı kullaılmasıı sebeb çarpık t dağılımıı ormal dağılım çarpık ormal dağılım ve Studets t dağılımıı da çe ala br dağılım olması ve ormal dağılıma y br alteratf olmasıdır. Çarpık t dağılımı hem çarpıklığı hem de kalı kuyruklu olması sebebyle dağılımda bulua aykırı değerler de modellemektedr..6.3 II. Tp Sasürleme Br sstem güvelrlğ ç souç çıkarımı yaparke sstem oluştura tüm bleşeler bozulma zamalarıı gözlemlemek her zama mümkü olmayablr. Öreğ; br klkte tedav göre hastalara lşk verler eksksz gözleemeyeblr veya pahalı br elektrok parçaı yaşam zamaı hakkıda blg edmek ç yapıla yaşam testde parçaları heps bozulmalarıı gözlemes malyet ve test zamaıı artıracağıda stemeyeblr. Tıp byoloj sgortacılık mühedslk kalte kotrol ve brçok alada sasürlemş verlerle karşılaşılmaktadır. Sasürleme zama ve malyet gb brtakım sıırlamalar edeyle kes olarak blmeye herhag br sebeple gözleemeye verler göz ardı edlmesdr. Lteratürde brçok sasürleme türüyle karşılaşılmaktadır. I. tp sasürleme olarak adladırıla sasürleme model t gb öcede belrlemş br zamada öce sstemdek bozula brmler bozulma zamaıı gözlemes durumudur. II. tp sasürleme olarak adladırıla sasürleme model brmde oluşa br sstem bozula k brm bozulma zamaıı gözlemes durumudur. 7

30 Bu çalışmada II. tp sasürlemş verler ç hata termler çarpık ormal ve çarpık t dağılması durumuda br yölü varyas aalz ele alımıştır. 8

31 . BİR YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ Bu bölümde br yölü varyas aalz ç hata termler çarpık ormal ve çarpık t dağılması durumuda parametre tahm edcler bulumuştur. Ayrıca bulua tahm edclere dayalı test statstkler öerlmştr. Mote Carlo smülasyo yötem kullaılarak tahm edcler etklkler karşılaştırılmıştır.. Hata Termler Çarpık Normal Dağılması Durumuda Br Yölü Varyas Aalz (.) modelde hata termler dağılımı çarpık ormal dağılım olarak alıırsa br başka fade le ε ~ SN (0 σ λ ) (.) j olduğu varsayılırsa Y j ~ SN ( + α σ λ) (.) şeklde olacaktır... Parametre tahm Bu bölümde (.) model ç parametre tahmler hata termler çarpık ormal dağılması durumuda ve yötemleryle elde edlmştr.... E küçük kareler yötem Hata termler ormal dağılıma sahp olması durumuda ve σ parametreler tahm edcler (.4) ve (.6) eştlklerde verldğ gbdr. Acak hata termler 9

32 dağılımıı çarpık ormal olması durumuda tham edcler ç ya düzeltmese gerek vardır. Bua göre E( Y ) + σ E( ε ) (.3) olduğuda ve σ parametreler tahm edcler ve λ % Y.. % σ (.4) π ( + λ ) % σ % σ (.5) λ π( + λ ) şeklde fade edlr. düzeltmese gerek yoktur. α parametres tahm edcs ç herhag br ya... E çok olablrlk yötem Br yölü ANOVA model ç hata termler çarpık ormal dağılıma sahp olması durumuda olablrlk foksyou a yj α yj α N N L( yj; α σ λ) σ φ Φ λ (.6) j σ σ bçmdedr. Olablrlk foksyouu logartması alıarak elde edle log-olablrlk foksyou se 0

33 a N yj α l L N l N lσ l( π) j σ a y + l Φ λ j j α σ (.7) şekldedr. Model parametreler tahm edcler log-olablrlk foksyouu α ve σ ya göre türevler alııp sıfıra eştlemesyle elde edle olablrlk deklemler çözümüdür. Bua göre olablrlk deklemler a a φ( λzj) zj λ j j Φ( zj) φ( λzj) zj λ 0 j j Φ( λzj) l L 0 λ l L α ( zj) ( λz ) l L φ λ N+ z z 0 σ a a j λ j j j Φ j (.8) şeklde elde edlr. Burada z j yj α (.9) σ bçmde taımlaır. (.8) dek eştlkler yede düzelemesyle bulua tahm edcler ˆ y λ w ˆ σ.... ( ) ˆ α y y λ w w ˆ σ ˆ σ a ( y ) j y. j N( λ t) (.0)

34 şeklde elde edlr. σ ç ya düzeltmes yapılırsa ˆ σ a ( y ) j y. j ( N a)( λ t) (.) olur. Burada w j ( zj) ( λ zj) φ λ Φ w. j w j w.. a j N w j t a a w. (.) bçmde taımlaır....3 Uyarlamış e çok olablrlk yötem (.) model ç parametreler tahm edcler (.0) dak gb buluur. Acak görüldüğü üzere tahm edcler dğer tahm edclere bağlı olup teratf yötemlerle çözüme ulaşılablecektr. yötem tahm edcler açık çözümü olmadığı zama kullaıla ve yötem özellkler koruya br yötemdr. Daha öcek bölümde alatıldığı gb yötem sıralı statstklere dayaır. Bua göre y y... y a (.3) () () ( ) sıra statstkler olmak üzere sıralı statstkler toplama şleme göre değşmezlk özellğde br başka deyşle a a yj y( j) (.4) j j olmasıda dolayı olablrlk deklemler

35 a a l L z λ w( z ) 0 ( j) ( j) j j l L z λ w( z ) 0 α ( j) ( j) j j l L N+ z z w( z ) 0. σ a a ( j) λ ( j) ( j) j j (.5) şeklde yede yazılablr. Burada z ( j) y( j) α şeklde taımlaır. σ tahm edcler açık olarak çözülememese sebep ola term olablrlk deklermde yer ala w( z) ( λz) ( λz) φ (.6) Φ dr. w( z ( j) ) foksyou doğrusal olmaya br foksyodur ve Taylor sers lk k term kullaarak t E ) etrafıda açılmasıyla doğrusallaştırılablmektedr. Bua göre ( j) ( z ( j) d w( z( j) ) w( t( j) ) + z( j) t( j) w( z) (.7) dz z t( j ) olmak üzere w( z ) α γ z (.8) ( j ) j j ( j) olarak elde edlr. Burada γ j ( ) ( ) Φ( λt j ) φ( λt( )) λ t jφ λt j j + λφ λt j Φ( λt( j) ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.9) 3

36 α ( z( j) ) ( λz( j) ) φ λ + t Φ γ ( j) ( j) ( j) (.0) şekldedr. t E ) değerler j. sıra statstğ beklee değerdr ve büyük ( j) ( z ( j) öreklem geşlğ ç t( j ) f ( z) dz (.) + tegral çözümüdür. Çarpık ormal dağılım ç tegral çözümü oldukça zor olduğuda çalışmada t E ) değerler (.) tegralde f ( z ) yere çarpık ormal dağılımı olasılık ( j) ( z ( j) yoğuluk foksyou yazılarak smülasyo yoluyla hesaplamıştır. Bua göre w( z ( j) ) foksyou uyarlamış olablrlk deklemlerde yere yazıldığıda l L * l L α * l L σ * a a ( α γ z ) z λ ( j) ( j) ( j) ( j) j j ( ) λ ( α( j) γ ( j) z( j) ) z j j j a a ( ) λ ( j) ( α( j) γ ( j) ( j) ) N+ z z z j j j (.) deklemler elde edlr. Deklem sstemler çözümüyle bulua tahm edcler λ ˆ ˆ.. ˆ σ m ˆ.. α ˆ. ˆ ˆ σ B+ B 4NC N( N a) (.3) 4

37 şeklde elde edlr. Burada λ α( j) ; β( j) λγ ( j ) j j + ; m β( j) a a α ( )( ˆ j ( j). ) ; C β ( ˆ ) ( j) y( j). ; A N B y j j ˆ. j β y ( j) ( j) m ˆ a ˆ... a şeklde taımlaır... Mote Carlo smülasyo çalışması (.0) da elde edle tahm edcler açık çözümü yoktur. Dolayısıyla tahm edcler tahm değerler bulmak ç br terasyo yötem gerekmektedr. Çzelge. de tahm edclerde yer ala ve teratf olarak hesaplaa değşk λ değerler ç ortalama değerler yer almaktadır. w j ağırlıklarıı Çzelge. λ w j ağırlıklarıı ortalama değerler. w j Çzelge. de görüldüğü gb çarpıklık parametres arttıkça w j ağırlıkları hızla sıfıra yakısamaktadır. Buu sebeb çarpıklık parametres arttıkça çarpık ormal dağılım 5

38 yarı-ormal dağılıma yakısamakta dolayısıyla tahm edcler le tahm edcler brbre dek olmaktadır. Deey tasarımıda ( X E(X )) P > olasılığıı 0.4 le 0.6 arasıda olduğu durumlar le lglelmektedr. arklı λ parametreler ç çarpık ormal dağılımda elde edle ( X E(X )) P > olasılıkları çzelge. de verlmştr. Çzelge. Çarpık ormal dağılıma sahp X rasgele değşke ç P( X E( X )) λ P ( X > E( X )) > olasılığı. Çzelge. de de görüldüğü gb deey tasarımıda çarpık ormal dağılım ç çarpıklık parametres - le arasıda celemes uygu olacaktır. Bu sebeple bu çalışmada < λ< olduğu durumlar üzerde durulacaktır. tahm edcler dğer parametreler tahm edclere bağlı oldukları ç tahm edcler teratf yede ağırlıkladırılmış algortma (Iteratvely Reweghtg Algorthm IRA) kullaılarak elde edlmştr. IRA yötem M tahm edcler bulmak ç kullaıla br yötemdr. Çalışmada IRA kullaılmasıı sebeb kolay hesaplamasıdır. Ayrıca eğer amaç foksyou ormal dağılımıı yayılım karmasıda (scale mxture) gelyorsa (çarpık t dağılımı gb) IRA ble EM algortması olur. EM algortması so yıllarda brçok farklı alada kullaıla br algortmadır. Algortma 6

39 parametre tahmler hesaplamak ç e çok olablrlk tahmler çere yelemel br yötemdr (Dempster Lard ve Rub 977 Arsla 995). Çalışmada kullaıla IRA ç gelştrle algortma se şu şekldedr: () α ve σ ç başlagıç değerler belrler (0) (0) α (...a) ve (0) σ () Başlagıç değerler kullaılarak w ( m) j ( m) ( zj ) ( m) ( λzj ) φ λ (...a; j...) Φ ve t z ( m) j ( m) y a ( m) ( w ). a α (m0..). değerler hesaplaır. Burada ( m) ( m) j olarak taımlaır. ( m) σ () w ve t ( m) termler yardımıyla ( m). + ( y. y.. ) ( w. w.. ) y λ w σ ( m+ ) ( m) ( m).... ( m ) ( m ) ( m ) ( m ) α λ σ ve ( σ ) a ( yj y. ) ( m) N( λ ( t )) ( m+ ) j değerler hesaplaır. (v) koşulu sağladığıda terasyoa so verlr. Burada m terasyo sayısıı s öcede belrlemş br sabt ve ormuu gösterr. vektörü Bu smülasyo çalışmasıda koum parametres 0 (... a) ve ölçek parametres σ ola çarpık ormal dağılımda sayı üretlerek 00000/ smülasyo yapılmıştır. Çalışma boyuca λ parametres blyor varsayılmıştır. Çarpıklık parametres blyor varsayılmasıı sebeb küçük öreklem büyüklükler ç (deey tasarımı modeller gb) şekl parametres tahm etme etk souçlar 7

40 vermemesdr. Smulasyo souçları ç Matlab (The Laguage of Techcal Computg) programlama dl 7. sürümü kullaılmıştır...3 Dayaıklılık (Robustess) Öcek bölümlerde de alatıldığı gb tek yölü varyas aalz bazı temel varsayımlara dayaır. Bu varsayımlarda e öemls hata termler ormal dağıldığı varsayımıdır. Hata termler ormal dağılmadığı durumuda Box- Cox ormalleştrme döüşümü parametrk olmaya yötemler veya dayalıklı (robust) yötemler kullamak etk souçlar vermektedr. Dayaıklılık geel olarak; br statstğ statstksel varsayımlarda sapmalara karşı duyarsız kalablmesdr. İstatstk modeller çoğu rasgelelk bağımsızlık ormal dağılma ayı dağılımlı olma gb bell varsayımlar altıda oluşturulur. Acak uygulamalarda bu varsayımları çoğu adre yere gelmektedr. Dayaıklılık kavramı ked çde dağılımsal dayaıklılık ve aykırı değere dayaıklılık (outler resstat) olmak üzere kye ayrılır. Geel olarak dağılımsal dayaıklılıkla celee dağılımı şekl varsayıla modelde geelde çok az bçmde sapması le lglelmektedr. Aykırı değere dayaıklılıkta se ver setde bulua uç değerlerde etklemeye parametre tahmler yapmak akla gelmektedr. Acak Dağılımsal dayaıklılık ve aykırı değere dayaıklılık kavramsal olarak farklı olmasıa rağme heme heme eş alamlı kavramlardır (Huber 98). Bu çalışmada söz kousu tahm edcler dayaıklı olup olmadıklarıı tespt etmek ç dört adet alteratf model taımlamıştır. Bu modeller Model () : Dxo aykırı değer model Bu modelde (-) gözlem SN (0) dağılımıda gerye kala gözlem (hag gözlem olduğu blmeye) se SN (0 ) dağılımıda gelmektedr Model () : Dxo aykırı değer model 8

41 Bu modelde (-) gözlem SN (0) dağılımıda gerye kala gözlem (hag gözlem olduğu blmeye) se SN (0 4) dağılımıda gelmektedr Model (3) : Karma model (Mxture model) ((0.90) SN () +(0.0) SN (0.4) ) Burada gözlemler % 90 ı çarpıklık parametres ola stadart çarpık ormal dağılımda gerye kala %0 uu çarpıklık parametres 0.4 ola stadart çarpık ormal dağılımda gelmektedr Model (4) :Bulaşık model (Cotamated model) ((0.90) SN () +(0.0) N (0) ) Bu modelde gözlemler % 90 ı çarpıklık parametres ola stadart çarpık ormal dağılımda gerye kala %0 uu stadart ormal dağılımda gelmektedr. şeklde seçlmştr. Çzelge.3-.4 te ve tahm edcler ortalama değerler varyasları hata kareler ortalamaları (Mea Square Error MSE) ve ve tahm edcler tahm edclere göre etklkler (relatve effcecy-re) verlmştr. RE değerler ve RE RE MSE 00 (.4) MSE MSE 00 (.5) MSE şeklde hesaplamıştır. 9

42 Çzelge.3 parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. % Ortalama Varyas MSE RE ˆ ˆ % ˆ ˆ % ˆ ˆ ˆ ˆ λ λ λ λ Model : Dxo Model; (-)SN(0)+SN(0) Model : Dxo Model; (-)SN(0)+SN(04) Model 3 :Karma Model ; 0.90SN()+0.0SN(0.4) Model 4 : Bulaşık Model: 0.90SN()+0.0N(0)

43 Çzelge.4 σ parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. Ortalama Varyas MSE RE σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ ˆ σ ˆ σ λ λ λ λ Model : Dxo Model; (-)SN(0)+SN(0) Model : Dxo Model; (-)SN(0)+SN(04) Model 3 : Karma Model ; 0.90SN()+0.0SN(0.4) Model 4 : Bulaşık Model: 0.90SN()+0.0N(0)

44 Çzelge.3 te de görüldüğü gb bekleldğ üzere çarpıklık parametres arttıkça ve yötemyle bulua ( + α ) parametres etklğ yötemyle bulua tahm edcler etklklere göre artış göstermektedr. Ayrıca deemelerdek deey brm sayıları arttıkça da parametre etklğ artmaktadır Islam Tku ve Yıldırım (999). Alteratf modellere bakıldığıda se ye ve tahmler tahmlere göre daha etk olduğu kolayca görüleblmektedr. Çzelge.4 de se σ parametres ç souçlar celedğde bezer çıkarımlar yapılmakta ya ye bekleldğ çarpıklık parametres arttıkça ve tahm yötemleryle elde edle σ ı etklğ artmaktadır. Ayrıca alteratf modeller ç de bezer souçlar elde edlmektedr...3 Hpotez test Br öcek bölümde de alatıldığı gb (.8) hpotez test etmek ç ormallk varsayımı altıda kullaıla a j ( ) y y a k... ( ) yj y. N a (.6) test a- ve N-a serbestlk derecel dağılımıa sahp olacaktır. (.6) test dek olarak tahm edcler yardımıyla a % α ( a ) % σ (.7) şeklde fade edleblr. Bu çalışmada hata termler çarpık ormal dağılması durumuda ve tahm edclere dayalı test statstkler öerlmştr. 3

45 Çarpık ormal dağılıma sahp br rasgele değşke kares br serbestlk derecel kkare dağılımıa sahptr (Azzal 985). Br başka deyşle X ~ SN(0 λ) X ~ χ (.8) () dr. Bu özellkte yola çıkarak tahm edclere dayalı test statstğ a ( a ) ˆ α ( t) λ ˆ σ (.9) şeklde öerlmştr. tahm edcler se asmptotk olarak ormal dağılmaktadır (Tku ). Bu teoremde yola çıkarak tahm edclere dayalı test statstğ se a m ˆ α ( a ) ˆ σ (.30) şeklde öerlmştr. Büyük öreklem değerler ç (.9) ve (.30) test statstkler asmptotk olarak a- ve N-a sebestlk derecel dağılımıa sahptr. Küçük öreklem büyüklükler ç se ve tahm edcler le smülasyo soucuda bulua statstkler. tp hataları çzelge.5 de verlmştr. I. tp hatalar buluurke gerçek değer olarak alımıştır.. tp hatalar { α( ) 0 } ve α( ) P a N a H { 0 } P a N a H (.3) olasılıkları yardımıyla hesaplamıştır. Burada öreklem büyüklükler ve 0 olarak deeme sayısı se 3 olarak belrlemştr. 33

46 Çzelge.6 ve test statstkler. tp hataları ; α 0.05 a 3. λ Çzelge.6 da görüldüğü gb her br deemedek deey brm sayısı 5 05 ve 0 olduğuda I. tp hatalar ye çok yakı değerler almaktadır. Bu durum öerle test statstğ küçük değerler ç de y br test statstğ olduğuu göstergesdr. So olarak hata termler çarpık ormal dağılması durumuda (.8) hpotez test etmek ç öerle ve le ormal teor altıda kullaıla test statstkler güçler hesaplamıştır. hesaplaırke ve testler güçler { α( ) } ve α( ) P a N a H { } P a N a H (.3) olasılıkları kullaılmıştır. Çzelge.6 değşk λ değerler ve öcek bölümde öerle alteratf modeller ç ve güç değerler göstermektedr. Güçler buluurke öcelkle gözlemler stadartlaştırılmıştır. Stadartlaştırılmasıı sebeb güç değerler ayı yerde e yakısamasıdır. Böylelkle tabloda görsel olarak br uyum sağlamıştır. Burada deeme sayısı 3 ve her br deemedek deey brm sayısı 0 olarak alımıştır. 34

47 Güç hesaplamaları ç. ve 3. deemedek gözlemlere d(d>0) değer eklerke. deemedek gözlemlerde d değer çıkarılmıştır. Böylelkle H 0 hpotez doğruluğu bozulmuştur. Çzelge.6 ve statstkler gücü (a3 0; α 0.050). λ 0 λ 0.4 λ 0.7 λ d Model() Model() Model(3) Model(4) d Çzelge.6 da da görüldüğü gb tahm edcler le bulua ve tahm edcler le bulua test statstkler gücü tüm λ değerler ç test statstğ gücüde az da olsa daha yüksektr. güçler arasıdak farkλ değer ç e büyüktür. le ve testler Alteratf modellere bakıldığıda se 3. model ç le ve testler güçler arasıdak farkı oldukça büyüdüğü görülmektedr. Ye. ve 4. alteratf modeller ç ve testler gücü test gücüde yüksek çıkmıştır.. alteratf modele bakıldığıda se test statstğ I. tp hatası 0.03 buluduğu ç I. tp hata bakımıda dayaıklı değldr. 35

48 . alteratf model ç test statstğ I. tp hatası olacak şeklde tekrar smülasyo yapılmıştır. Bua göre sadece. alteratf model ç değerler çzelge.7 de verlmştr. ve güç Çzelge.7 Model () ç ve statstkler gücü ;a3 0; α Model() d Çzelge.7 ye göre. alteratf model ç test statstğ I. tp hatası olsa ble ve testler gücü test gücüde yüksek çıkmıştır.. Hata Termler Dağılımıı Çarpık t Olması Durumuda Tek Yölü Varyas Aalz Hata termler çarpık t dağılması durumuda (.) modelde ε j ~ St ν (0 σ λ ) (.33) olmak üzere Y j ~ St ν ( + α σ λ) (.34) olacaktır. Burada + α dağılımı koum parametres σ se ölçek parametres göstermektedr. 36

49 .. Parametre tahm Bu bölümde hata termler çarpık t olması durumuda (.) model ç parametre tahmler ve yötemler le elde edlmştr.... E küçük kareler yötem (.) model ç parametreler tahm edcler (.4) ve (.6) eştlklerde verlmştr. Acak tahm edcler ormallk varsayımı altıda bulumuştur çarpık t dağılımı ç ya düzeltmes gerekmektedr. Bua göre E( Y ) + σ E( ε ) (.35) olmak üzere ve ν λγ ν % Y.. % σ (.36) π ν ( λ + ) Γ % σ % σ (.37) ν ν ν λ Γ ν π ( + λ ) ν Γ şekldedr. Çarpık ormal dağılımda olduğu gb α parametres tahm edcs ç herhag br ya düzeltmese gerek yoktur. 37

50 ... E çok olablrlk yötem Model parametreler tahm etmek ç e çok olablrlk yötem kullaıldığıda hata termler çarpık t dağılıma sahp olması durumuda br yölü varyas aalz ç olablrlk foksyou a yj α yj α v+ L( α σ ) σ tν Tν + λ j σ σ yj α v+ σ (.38) şekldedr. Log-olablrlk foksyou se + v+ + + π Γ (.39) v Γ v a a v v l L N l N lσ N l + + ( v zj ) l T zj v ν+ λ j j v+ zj şeklde elde edlr. Bua göre log-olablrlk foksyouu lgl parametrelere göre türev alımasıyla ( λ ) ( ) l L v t z w + λ a a v+ j j 3 w j zj λ wj j v j Tv+ zj wj 0 l L v α + ( λ ) ( λ ) t z w v+ j j 3 w jzj λ wj j v j Tv+ zj wj 0 (.40) ( λ ) ( λ ) l L v t z w N+ w z z w σ + a a 3 v+ j j j j λ j j j v j Tv+ zj wj 0 olablrlk deklemler elde edlr. Burada 38

51 z j yj α v+ ve wj (.4) σ v+ z j bçmde taımlaır. Bu çalışmada (.) model ç hata termler çarpık t dağılması durumuda a wα j 0 olduğu varsayılmıştır. (.40) deklemler yede düzelemesyle tahm edcler v ˆ ˆ ˆ.. λ g.. σ v+ ˆ v ˆ ˆ ˆ σ v+ α λ ( g g ) ˆ σ a wj ( yj ˆ ) j a v λ wj g. v+ j N (.4) şeklde elde edlr. ˆ σ ç ya düzeltmes yapılırsa ˆ σ ( ) a wj ( yj ˆ ) j a v λ j. v+ j N a w g (.43) bçmde elde edlr. Burada a w y j ˆ.. m j j wj yj j ˆ. m g a tjw 3 j j.. m g. t w j j m 3 j ve t j t λz λz v+ T v+ v+ z v+ v+ z v+ m a w j j m j w j 39

52 bçmde taımlaır....3 Uyarlamış e çok olablrlk yötem (.) modeldek blmeye parametre tahm ç uyarlamış e çok olablrlk yötem kullaıldığıda se (.) dek sıralı statstkler elde edldkte sora olablrlk deklemlerde yer ala leer olmaya termler belrlemştr. Bua göre v+ tv+ λz v+ v+ z v+ g( z) z ve g ( z) v + z v+ v+ z Tv+ λz v+ z 3 (.44) olmak üzere ( ) g z ve g ( z ) foksyoları Taylor sers t E ) etrafıda açılmasıyla doğrusallaştırılablmektedr. ( j) ( z ( j) d g ( z( j) ) g ( t( j) ) + z( j) t( j) g( z) dz z t( j ) (.45) d g ( z( j) ) g ( t( j) ) + z( j) t( j) g( z) dz z t( j ) olmak üzere g ( z ) α + β z (.46) ( j) j j ( j ) ve g ( z ) α β z (.47) ( j) j j ( j) olarak elde edlr. Burada 40

53 ve β ( v+ )( v t ) ( j) ( v+ t ) ( v+ ) t ( v+ t ) α( j) tβ ( j) (.48) c λt v+ v+ t (.49) olmak üzere ve β α ( ) ( ) ( v+ ( )) ( v+ ( )) t ( ) v v t c v+ c Tv+ c λ t v+ v ( v+ ( + λ) t )( v+ t ) ( v+ t ) v+ tv+ ( c) ( v+ ) t ( j) v+ t T ( ) v+ c ( ) ( ) 3 t v+ c v+ ( j) t + β( j) Tv+ c v+ t T c ( v+ t ) (.50) (.5) şekldedr. t E ) değerler ( j) ( z ( j) t( j ) f ( z) dz (.5) + tegral çözümüdür. t E ) çarpık t dağılımı ç sıralı statstkler ( j) ( z ( j) beklee değerdr. (.5) tegral çözümü oldukça zor olduğuda çalışmada t E ) değerler smülasyo yoluyla hesaplamıştır. Bu durumda çarpık ormal ( j) ( z ( j) dağılımda farklı olarak tegral smülsayo yoluyla çözülmemş çarpık t dağılımıa sahp ver üretldkte sora sıra statstkler ortalamaları alımıştır. 4

54 Bua göre g (.) foksyoları olablrlk eştlklerde yere yazılırsa ( α ( ) β ( ) z j) λ ( α j j ( j) β( j) zj) * a a d l L v d j v+ j + 0 ( α ( ) β ( ) z j) λ ( α j j ( j) β( j) zj) * d l L v dα j v+ j 0 (.53) + ( α ( ) β ( ) ) λ ( α j j ( ) β( ) ) * a a d l L v N+ + zj zj j j zj zj dσ j v+ j 0 uyarlamış olablrlk deklemler elde edlr. Deklem sstemler çözülmesyle bulua tahm edcler ˆ ˆ ˆ.. σ ; ˆ α ˆ ˆ... m ˆ σ B+ B 4NC N( N a) (.54) şekldedr. Burada v α λ α α v+ ( j ) ( j ) ( j ) v α β( j) β( j) + λ β( j) m β( j) ; v+ ; ( j) j j B α ( ˆ ) ( ˆ ) ( j) y( j). ; C β ( j) y( j). A N; a a j j ˆ. j β y ( j) ( j) m ˆ a ˆ... a bçmde taımlaır. 4

55 .. Mote Carlo smülasyo çalışması Hata termler çarpık t dağılması durumuda model parametreler tahm edcler açık çözümü yoktur. Dolayısıyla br öcek bölümde olduğu gb tahm değerlere ulaşmak ç IRA öerlmştr. Çarpık t dağılımı ç IRA ble EM algortmasıa döüşür ve bu durum parametre tahmler yakısamasıı garat eder. Smülasyo çalışmasıda koum parametres 0 (... a) ve ölçek parametres σ ola çarpık t dağılımıda sayı üretlmştr. Br öcek bölümde olduğu gb 00000/ smülasyo yapılmıştır. Bu bölümde çarpıklık parametres λ ve serbestlk dereces ν blyor varsayılmıştır. λ ı blyor varsayılmasıı sebeb küçük öreklem büyüklükler ç şekl parametres tahm etme etk br yötem olmamasıdır. Bezer şeklde serbestlk derces blyor varsayılmasıı sebeb se dayaıklılığı kaybetmemektr. Deey tasarımı modeller ç P( X E X ) 0.4 > ( ) 0.6 koşulu çarpık t dağılımı ç celedğde çarpık ormal dağılımda olduğu gb çarpıklık parametres - le arasıda tutulması daha doğru olacağı görülmektedr. Çzelge.8 çarpık t dağılımı ç söz kousu olasılıkları vermektedr. Çzelge.8 Çarpık t dağılımıa sahp X rasgele değşke ç P( X E( X )) > olasılığı λ P ( X > E( X )) Bua göre Çzelge.9 da serbestlk dereces ve 0 ola çarpık t dağılımı ç değşk λ değerler ve değşk deey brm büyüklüklerde parametres smülasyo soucuda elde edle tahm değerler verlmştr. Çzelge.9 da öce tahm edcler daha sora ve tahm edcler ortalama değerler varyasları hata kareler ortalamaları ve ve tahm edcler tahm edclere göre etklkler verlmştr. RE değerler (.4) ve (.5) eştlklerde olduğu gb hesaplamıştır. Çzelge.0 se ayı serbestlk dereceler ç σ parametres ortalama varyas MSE ve RE değerler göstermektedr. 43

56 Çzelge.9 parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. % Ortalama Varyas MSE RE ˆ ˆ % ˆ ˆ v 3 % ˆ ˆ ˆ ˆ λ λ λ λ % ˆ ˆ % ˆ ˆ v 5 λ 0 % ˆ ˆ ˆ ˆ λ λ λ

57 Çzelge.9-devam parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. % Ortalama Varyas MSE RE ˆ ˆ % ˆ ˆ v 7 λ 0 % ˆ ˆ ˆ ˆ λ λ λ % ˆ ˆ % ˆ ˆ v 0 λ 0 % ˆ ˆ ˆ ˆ λ λ λ

58 Çzelge.0 σ parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. Ortalama Varyas MSE RE σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ v 3 σ% ˆ σ ˆ σ ˆ σ ˆ σ λ λ λ λ σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ v 5 λ 0 σ% ˆ σ ˆ σ ˆ σ ˆ σ λ λ λ

59 Çzelge.0-devam σ parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. Ortalama Varyas MSE RE σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ v 7 σ% ˆ σ ˆ σ ˆ σ ˆ σ λ λ λ λ σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ v 0 λ 0 σ% ˆ σ ˆ σ ˆ σ ˆ σ λ λ λ

60 Çzelgele.9-.0 a göre parametres ç serbestlk dereces arttıkça dağılım çarpık ormal dağılıma yakısadığıda parametre etklkler de çarpık ormal dağılımda bulua etklklere yaklaşmaktadır. Serbestlk dereces 3 ke parametres ç ve tahm edcler etklkler tahm edcs etklğe göre oldukça yüksektr. Serbestlk dereces arttıkça dağılım çarpık ormale yakısadığıda etklkler arası fark azalmakla beraber ye oldukça yüksek etklkler bulumuştur. Her br deeme çdek deey brm yöüde celedğde se her br serbestlk dereces ve her br çarpıklık parametres ç deey brm arttıkça ve tahm edcler etklkler artmaktadır. σ parametres ç se çzelgelere bakıldığıda serbestlk derecese göre yapıla değerledrmede küçük serbestlk derecelerde ve tahm edcler etklkler düşüktür. Acak serbestlk dereces artıkça etklkler artmakta ve çarpık ormal dağılıma yakısamaktadır. Çarpıklık parametres yöüde celedğde özellkle çarpıklık parametres 0 ke ve tahm edcler tahm edclere göre daha az etk bulumuştur. Acak çarpıklık parametres arttıkça tahm edcler etklkler düşmekte ve tahm edcler etklkler yükselmektedr. Özellkle çarpıklık parametres ke ve tahm edcler e göre daha y souçlar vermektedr. Deey brm yöüde celedğde her br deemedek deey brm sayısı büyüdükçe ve tahm edcler etklkler artmaktadır. Bazı serbestlk dereceler ve çarpıklık parametre değerlerde σ parametres daha az etk bulusa da parametresyle beraber celedğde ve tahm edcler tahm edclere göre daha y souç verdğ gözlemektedr...3 Hpotez test Daha öcek bölümlerde alatıldığı gb varyas aalz toplam varyası bleşelere parçalaması le yapılmaktadır. tahm edclere dayaa test statstğ a % α ( a ) % σ (.55) 48

61 şekldedr. Çarpık t dağılımıa sahp br rasgele değşke karesel formu k-kare dağılımıa sahptr (Gupta 003 Geto ve Loperfdo 005). Dolayısıyla tahm edclere dayaa test statstğ k ( ) a w j j a v j. v+ j N a λ w g (.56) olmak üzere a ˆ α ( a ) k ˆ σ (.57) asmptotk olarak a- ve N-a serbestlk derecel dağılımıa sahp olacaktır. tahm edcler asmptotk olarak ormal dağılması özellğde tahm edcler ç kullaıla statstğ a m ˆ α ( a ) ˆ σ (.58) ye asmptotk olarak a- ve N-a serbestlk derecel dağılımıa sahp olacaktır. Küçük öreklem büyüklükler ç test statstkler değşk λ değerler değşk deey brm büyüklükler ve değşk serbestlk dereceler ç I. tp hataları (.3) eştlğdek olasılıklar yardımıyla hesaplamıştır. Çzelge. bu test statstkler I. tp hatalarıı göstermektedr. 49

62 Çzelge. ve test statstkler I. tp hataları; a 3 0 α v λ 0 λ 0.4 λ 0.7 λ Çzelge. de de görüldüğü gb. tp hatalar etrafıdadır. So olarak her üç tahm edcyle hesaplaa test statstkler güçler (.40) eştlğde verle olasılıklar yardımıyla hesaplamış ve çzelge. de verlmştr. Burada her br deemedek deey brm 0 ve deeme sayısı 3 olarak alımıştır. Çzelge. ye göre ve tahm edclere dayaa test statstkler gücü tahm edcler le elde edle test statstkler gücüde yüksektr. Güçler arasıdak fark e fazla serbestlk dereces 3 ke gerçekleşmektedr. Serbestlk dereces arttıkça bu fark azalmakta ve çarpık ormal dağılımda elde edle güç farklarıa yaklaşmaktadır. Serbestlk derecesde bağımsız olarak çarpıklık parametres arttıkça güç farkı artmaktadır. 50

63 Çzelge. ve test statstkler gücü ( a 3 0). λ 0 λ 0.4 λ 0.7 λ v3 d v5 d v7 d v0 d Souç olarak hata termler çarpık ormal ve çarpık t dağılması durumuda br yölü varyas aalz ç parametre tahmler ve yötemleryle elde edlmştr. Parametreler tahmler ormallk varsayımı bozulduğu ç bekleldğ gb etklkler ytrmektedr. Her k dağılım ç ve 5

64 yötemleryle elde edle parametreler etklkler yötemyle elde edle parametreler etklklerde yüksek çıkmıştır. Ayrıca ve tahm edclere dayaa test statstkler gücü de tahm edclere dayaa test statstğ gücüde yüksek çıkmıştır. ve tahm edcler kıyaslayacak olursak tahm edcler tahm edclere göre az da olsa bekleldğ üzere daha etk olduğu görülmüştür. Ayrıca tahm edclere dayaa test statstkler de tahm edclere dayaa test statstklerde az da olsa daha güçlü olduğu tespt edlmştr. Acak tahm edcler drek yötemlerle buluamamakta dolayısıyla teratf yötemlere htyaç duyulmaktadır. Dğer tarafta tahm edcler terasyoa gerek kalmada drek olarak bulumakla beraber tahm edcler de özellkler taşımaktadır. İk tahm edcy kıyaslamak ç smülasyo programıda tahm edcler bulmak ç harcaa süre (CPU) Çzelge.3 te verlmştr. Harcaa süreler tek yölü varyas aalz ç ve deey brm büyüklüğü 0 olarak alıarak hesaplamıştır. Çzelge.3 Tek yölü varyas aalz ç CPU ( ˆ ) + CPU ( ˆ σ ). Çarpık Normal Dağılım Çarpık t Dağılımı Bua göre hata termler çarpık ormal dağılması durumuda harcaa süreler açısıda br fark yokke hata termler çarpık t dağılması durumuda tahm edcler elde etmek ç harcaa süre değşmezke tahm edcler ç harcaa süre yaklaşık 5 katıdır. 5

65 3. İKİ YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ İk yölü varyas aalzde tek yölü varyas aalzde olduğu gb etks araştırmak stee br faktör vardır. Acak deey brmler arasıda sstematk farklılıklar söz kousudur. Bu farklılıklar sebebyle deey brmler ked çde homoje ked aralarıda heteroje bloklara ayrılması deeysel hataı azaltılmasıa olaak sağlayacaktır (Şeoğlu ve Acıtaş 0). İk-yölü ANOVA ç matematksel model y + α + β + αβ + ε... a; j... b; k... (3.) jk j j jk şekldedr. Burada y jk. deeme j. bloktak k. gözlem değer geel ortalamayı α. deeme etks β j j. bloğu etks αβ j. deeme le j. blok arasıdak etkleşm etks ε jk rasgele hata termler göstermektedr. (3.) model sabt etkl br modeldr. Br başka deyşle a b α 0 β j 0 ve j a αβ 0 αβ 0 j j b j olduğu varsayılmaktadır. Burada amaç deemeler ve bloklar arasıda alamlı br farklılığı olup olmadığıı ve etkleşm etks alamlı olup olmadığıı saptamasıdır. Buu ç tek yölü varyas aalzde olduğu gb ANOVA tablosu kullaılır. Tek yölü varyas aalzde olduğu gb temel varsayım hata termler ormal dağıldığı varsayımıdır. 53

66 3. Hata Termler Çarpık Normal Olması Durumuda İk Yölü Varyas Aalz Bu bölümde k-yölü varyas aalzde hata termler çarpık ormal dağılması durumu celemştr. Bölüm.. de olduğu gb hata termler çarpık ormal dağılması durumuuda br başka deyşle ε ~ SN(0 σ λ ) (3.) jk olmak üzere Y ~ SN ( + α + β + αβ σ λ) (3.3) jk j j dr. Burada + α+ β j + αβj koum parametres ke σ ölçek parametresdr. 3.. Parametre tahm Bu bölümde k yölü varyas aalzde hata termler çarpık ormal dağılması durumuda blmeye parametre tahmler ve yötemleryle elde edlmştr E küçük kareler yötem (3.) model ç tahm edcler a b a b ε ( ) j yj α β j αβj (3.3) j k j k hata kareler toplamıı mmum yapa değerlerdr. Bua göre (3.) model sabt etkl br model olduğu göz öüe alıarak α β j ve αβ j parametreler tahm edcler sırasıyla 54

67 % y... α y.. y... % % β j y. j. y (3.4).. ve ~ αβ y y y + y (3.5) j j.... j.... şeklde elde edlr. Burada a b b a y y y y y y y y N b a jk jk jk jk j k j k k k j. j. ve Nab bçmdedr. Hata varyası σ% tahm edcs a b ( y ) jk yj. j k % (3.6) σ N ab Br yölü varyas aalzde olduğu gb σ% paydası N olarak bulumuş acak N- ab le ya düzeltmes yapılmıştır. Acak tahm edcler ç ya düzeltmes yapmak gerekmektedr. Ya düzeltmes sadece ve σ parametres ç gerekldr. Dğer tahm edcler ç herhag br ya düzeltmese gerek yoktur E çok olablrlk yötem (3.) modelde parametreler tahm edcler bulmak ç öcelkle olablrlk foksyouu elde etmek gerekmektedr. Bua göre hata termler çarpık ormal dağılması durumuda k yölü varyas aalz ç olablrlk foksyou 55

68 a b yjk α β j αβ j yj α β j αβ j L( yjk ; θ ) σ φ Φ λ % j k σ σ (3.7) şekldr. Log-olablrlk foksyou se a b N yj α β j αβj l L N l N lσ l( π) j k σ a b yj α β j αβj + l Φ λ j k σ (3.8) bçmde elde edlr. Log-olablrlk foksyouu lgl parametrelere göre türev alımasıyla olablrlk deklemler Bua göre z jk Y α β αβ j j j (3.9) σ olmak üzere a b a b φ( λzjk) zjk λ j k j k Φ( zjk) b b φ( λzjk) jk λ j k j k Φ( λzjk) a a φ( λzjk) jk λ k k Φ( λzjk) φ( λzjk) zjk λ 0 k k Φ( λzjk) l L 0 λ l L z 0 (... a) α l L z 0 ( j... b) β j l L αβ j ( zjk) ( λz ) l L φ λ N+ z z 0 σ şeklde elde edlr. a b a b jk λ jk j k j k Φ jk (3.0) 56

69 (3.0) dak eştlkler yede düzelemesyle parametreler tahm edcler ˆ y y ( w w ) ˆ y λ w ˆ σ ^ ˆ j y. j. y... ( w. j. w... ) α λ ˆ σ ( y y y y ) ( w w w w ) αβ + λ + σ ˆ j j.... j.... j.... j.... β λ ˆ σ ˆ σ a b ( y ) jk yj. j k ( N ab)( t) λ (3.) bçmde elde edlr. Burada w jk a b φ( λ zjk) j k Φ( λ zjk) w.. b j k b w jk k w. j. a a w jk w j. k w jk w.. a b j k N w jk t a b j ab w j. bçmde taımlamır Uyarlamış e çok olablrlk yötem tahm edcler bulmak ç öcek bölümlerde alatıldığı gb lk adım verler sırlamasıdır. Daha sora olablrlk foksyolarıda yer ala doğrusal olmaya fade w( z) ( λz) ( λz) φ (3.) Φ şeklde belrler. w( z ( j) ) foksyou t E ) etrafıda Taylor serse açılıp gerekl düzeltmeler yapıldığıda ( j) ( z ( j) w( z ) α γ z (3.3) ( j ) j j ( j) 57

70 olarak elde edlr. Burada ( ) ( ) Φ( λt j ) φ( λt( )) λ t jφ λt j j + λφ λt j γ j Φ( λt( j) ) ( ) α ( z( j) ) ( λz( j) ) φ λ + t Φ ( j) ( j) ( j) ( ) ( ) ( ) γ (3.4) (3.5) şekldedr. w( z ( j) ) foksyou (3.0) dak olablrlk deklemlerde yere yazıldığıda a b a b l L z λ ( α( ) γ ( ) z ( )) 0 jk j j j k j k j k b b l L zjk λ ( α( j) γ ( j) zj( k )) 0 α j k j k a a l L zjk λ ( α( j) γ ( j) zj( k )) 0 β j k k l L zjk λ ( α( j) γ ( j) zj( k )) 0 αβ j k k l L N+ z z ( α( ) γ ( ) z ( )) 0 σ a b a b jk λ jk k k j k j k j k (3.6) uyarlamış olablrlk deklemler elde edlr. Deklem sstemler çözülmesyle bulua tahm edcler λ ˆ ˆ... ˆ σ m ˆ α ˆ ˆ β ˆ ˆ j. j ^ αβ ˆ ˆ ˆ + ˆ j j.... j.... ˆ σ B+ B 4NC N( N ab) (3.7) şeklde elde edlr. Burada λ α β + γ m β ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) k k 58

71 a b a b B λ α ( )( ˆ k yj ( k ) j. ) ; C β ( ˆ ) ( k ) yj ( k ) j. A N; j k j k ˆ.. b j k β bm y ( k ) j( k ) a k ˆ. j. β am y ( k ) j( k ) ˆ k j. β y ( k ) j( k ) m ˆ... a b j ab ˆ j. bçmde taımlaır. 3.. Mote Carlo smülasyo çalışması İk-yölü ANOVA modelde tahm edcler etklkler karşılaştırılması ç Bölüm.. de alatıldığı gb koum parametres 0 ölçek parametres ola çarpık ormal dağılımda sayı üretlmştr. tahm edcler ç ye Bölüm.. de öerle IRA kullaılmıştır. IRA ç başlagıç değerler parametreler tahm edcler olarak alımıştır. Bua göre çzelge de tahm edcler değşk deey brmler ve değşk çarpıklık parametreler ç ortalamaları varyasları MSE değerler ve tahm edcler ve tahm edclere göre etklkler verlmştr. RE değerler buluurke (.4) ve (.5) eştlklerde faydalaılmıştır. Çzelge 3. e göre j ( α β j) + + parametres ç çarpıklık parametres arttıkça etklk artmaktadır. λ 0 değer ç dağılım stadart ormal dağılım olacağıda öcek bölümde alatıldığı gb etklkler eşt bulumuştur. Ayrıca bekleldğ gb arttıkça ve tahm edcler etklkler tahm edcse göre daha y olduğu görülmektedr. İk yölü varyas aalzde öeml ola br dğer tahm edc se etkleşm etks tahmdr. Çzelge 3. ye göre çarpıklık parametres arttıkça ve yötemyle bulua etkleşm etks etklğ yötemyle bulua tahm edclere göre az da olsa daha yüksek bulumuştur. σ parametres ç çzelge 3.3 celedğde ye çarpıklık parametres ve öreklem büyüklüğü arttıkça ve tahm edcler etklkler e göre artmaktadır. 59

72 Çzelge 3. parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas j ve MSE değerler. % j Ortalama Varyas MSE RE ˆj ˆj j % ˆj ˆj j % ˆj ˆj ˆj ˆj λ λ λ λ Çzelge 3. αβ j parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. αβ j j Ortalama Varyas MSE RE αβ αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ λ λ λ λ j 60

73 Çzelge 3.3σ parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. Ortalama Varyas MSE RE σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ ˆ σ ˆ σ λ λ λ λ Hpotez test (3.) model ç geel kareler toplamı a b j k ( ) jk... SSToplam y y (3.8) dr. SS Toplam fades SSDeeme SSBlok SS Etklesm ve SS Hata şeklde parçalaablr. Böylece k-yölü ANOVA da tek-yölü ANOVA da farklı olarak test edlecek üç hpotez elde edlecektr. Bular; deemeler ç H0 α α α a :... 0 (3.9) bloklar ç 6

74 H0 β β β b :... 0 (3.0) ve etkleşm ç H03 αβ αβ αβ ab :... 0 (3.) bçmdedr. Hpotezler test etmek ç toplam varyası parçalamasıyla elde edle ANOVA tablosu kullaılır. (3.9) hpotez ç a b % α deeme ( a ) % σ (3.) (3.0) hpotez ç b a % β j blok ( b ) % σ (3.3) ve (3.) hpotez ç j j etklesm ( a )( b ) σ a b αβ % % (3.4) kullaılmaktadır. (3.) de verle test statstğ a- ve N-ab serbestlk derecel dağılımıa (3.3) de verle test statstğ b- ve N-ab serbestlk derecel dağılımıa ve (3.4) de verle test statstğ se (a-)(b-) ve N-ab serbestlk derecel dağılımıa sahptr. Söz kousu test statstkler tek-yölü ANOVA da olduğu gb tahm edclere dayamaktadır. Bua göre ve tahm edclere dayaa test statstkler (3.9) hpotez ç 6

75 b ( a ) ˆ α ( t ) deeme ˆ a λ σ a bm ˆ α deeme ˆ ( a ) σ (3.5) (3.0) hpotez ç ( b ) ˆ β j j ( t ) a blok ˆ b λ σ b am ˆ β j j blok ˆ ( b ) σ (3.6) ve (3.) hpotez ç ˆ αβj j ( ) etklesm ( a )( b ) λ t ˆ σ a b m αβˆ j j etklesm ( a )( b ) ˆ σ a b (3.7) şeklde öerlmştr. Çzelge 3.4 deeme blok ve etkleşm ç (.3) eştlğde verle olasılıklar yardımıyla hesaplaa test statstkler I. tp hatalarıı vermektedr. Bua göre her üç test statstğ ç. tp hata değerler cvarıdadır. Çzelge 3.4 ve test statstkler I. tp hataları ; a 3 b 3 5 α test statstğ λ Deeme Blok Etkleşm

76 So olarak çzelge 3.5 deemeler ve bloklar arasıdak farklılığı sıamak ç kullaıla test statstkler gücüü ve ye çzelge 3.5 etkleşm alamlılığıı sıamak ç kullaıla test statstkler gücüü göstermektedr. Güçler (.3) eştlğde verle olasılıklar yardımıyla hesaplamıştır. Bua göre tek yölü-varyas aalzde olduğu gb her üç durum ç ve tahm edclere dayaa test statstkler güçler az da olsa tahm edclere dayaa test statstkler güçlerde fazladır. Buula beraber çarpıklık parametres artıkça güçler arasıdak farklılık artmaktadır. Bu fark e fazla λ de görülmektedr. Çzelge 3.5 deeme blok ve etklesm test statstkler gücü; a 3 b 3 5. λ 0 λ 0.4 λ 0.7 λ deeme d blok d etklesm d

77 3. Hata Termler Çarpık t Olması Durumuda İk Yölü Varyas Aalz İk yölü varyas aalzde hata termler çarpık t olması durumuda (3.) model ç ε ~ St (0 σ λ ) (3.8) jk v olmak üzere ( ) Y ~ St ( + α + β + αβ σ λ) (3.9) jk v j j şekldedr. 3.. Parametre tahm Bu bölümde (3.) model ç hata termler çarpık t dağılması durumuda parametre tahmler ve yötemler le elde edlmştr E küçük kareler yötem (3.) model ç parametreler tahm edcler (3.4) (3.5) ve (3.6) eştlklerde verlmştr. Acak tahm edcler ormallk varsayımı ç olup çarpık t dağılımı ç daha öcek bölümlerde alatıldığı gb ya düzeltmes yapmak gerekmektedr E çok olablrlk yötem (3.) modelde parametre tahmler tahm edcler bulmak ç öcelkle olablrlk foksyouu elde etmek gerekmektedr. Bua göre z jk ( ) yjk α β j αβ j (3.30) σ 65

78 olmak üzere olablrlk foksyou N a b v+ L tv( zjk) Tv+ λzjk σ j k v+ z (3.3) jk bçmdedr. Burada t v( ) v serbestlk derecel t dağılımıı olasılık yoğuluk T v + foksyouu ( ) v+ serbestlk derecel t dağılımıı dağılım foksyouu göstermektedr. Olablrlk foksyouu logartmasıı alarak bulua log-olablrlk foksyou se v+ v Γ v a b v+ l L N l N lσ + N l ( v zjk ) v + j k πγ a b v+ + l Tν + λzj j k v+ z jk (3.3) şeklde elde edlr. Log-olablrlk foksyouu lgl parametrelere göre türev alımasıyla ( λ ) ( ) l L v t z w + λ a b a b v+ jk jk 3 wjk zjk λ wjk j k v j k Tv+ zjk wjk 0 l L v α + ( λ ) ( λ ) t z w b b v+ jk jk 3 wjk zjk λ wjk j k v j k Tv+ zjk wjk 0 l L v β + ( λ ) ( λ ) t z w a a v+ jk jk 3 wjk zjk λ wjk j k v k Tv+ zjk wjk 0 l L v αβ + ( λ ) ( λ ) t z w v+ jk jk 3 wjk zjk λ wjk j k v k Tv+ zjk wjk 0 66

79 ( λ ) ( λ ) l L v t z w N+ w z z w σ + a b a b 3 v+ jk jk jk jk λ jk jk j k v j k Tv+ zjk wjk 0 (3.33) olablrlk deklemler elde edlr. Burada w jk v+ v + z jk (3.34) şeklde taımlaır. (3.33) de verle deklemler yede düzelemesyle tahm edcler ˆ v ˆ ˆ... λ g... v+ σ ˆ v α ˆ ˆ ˆ..... λ..... σ v+ ( g g ) ˆ ˆ ˆ v β..... (.....) ˆ j j λ g j g σ v+ ^ v αβ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ j j j + λ gj g g j + g σ v+ ˆ σ a b wjk ( yjk ˆ j. ) j k a b v λ wjk gj. v+ j k N (3.35) şeklde elde edlr. Burada 67

80 ˆ... a b j k m w y jk jk ˆ.. b j k m w y jk jk jk k ˆ. j. m j a w y jk ˆ k j. w y m jk j jk g.. a b t w jk j k m 3 jk g.. b t w jk j k m 3 jk g. j. a t w jk k m j 3 jk g j. t w jk k m j 3 jk t jk t λz λz v+ T v+ v+ z v+ v+ z v+ ve m a b wjk j k m b wjk j k m j a wjk k m j k w jk bçmde taımlaır Uyarlamış e çok olablrlk yötem Parametre tahm ç uyarlamış e çok olablrlk yötem kullaıldığıda se olablrlk deklemlerde yer ala v+ tv+ λz v+ v+ z v+ g( z) z ve g ( z) v + z v+ v+ z Tv+ λz v+ z 3 (3.36) foksyolarıı t E ) cvarıda Taylor serse açılıp gerekl düzelemeler yapıldığıda ( j) ( z ( j) β ( v+ )( v t ) ( j) ( v+ t ) ( v+ ) t ( v+ t ) α( j) tβ ( j) (3.37) ve 68

81 c λt v+ v+ t (3.38) olmak üzere ve β ( ) ( ) ( v+ ( )) ( v+ ( )) t ( ) v v t c v+ c Tv+ c λ t v+ v ( v+ ( + λ) t )( v+ t ) ( v+ t ) v+ tv+ ( c) ( v+ ) t ( j) v+ t T ( ) v+ c T c ( v+ t ) α ( ) ( ) 3 t v+ c v+ ( j) t + β( j) Tv+ c v+ t (3.39) şeklde elde edlr. g (.) foksyoları olablrlk deklemlerde yere yazıldığıda l L v + v+ a b a b ( α( k ) β( k ) zj( k )) λ ( α( k ) β( k ) zj( k )) 0 j k j k l L v + v+ b b ( α( k ) β( k ) zj( k )) λ ( α( k ) β( k ) zj( k )) 0 α j k j k l L v + v+ a a ( α( k ) β( k ) zj( k )) λ ( α( k ) β( k ) zj( k )) 0 β j k k l L v + v+ ( α( k ) β( k ) zj( k )) λ ( α( k ) β( k ) zj( k )) 0 αβ j k k a b a b l L v N+ ( α( k ) + β( k ) zj( k )) zj( k ) λ ( α( k ) β( k ) zj( k )) zj( k ) 0 σ j k v+ j k (3.40) uyarlamış olablrlk deklemlere ulaşılır. Deklem sstemler aaltk olarak çözülmesyle tahm edcler 69

82 ˆ σ ˆ ˆ ˆ... σ ; ˆ α ˆ ˆ..... ˆ β..... m ˆ ˆ j j B+ B 4NC N( N a) ^ αβ ˆ ˆ ˆ + ˆ j j.... j.... (3.4) şeklde elde edlr. Burada v α λ α α v+ ( k ) ( k ) ( k ) v β( k ) β( k ) + λ β( k ) m β( k ) ; v+ ; α( k ) k k a b a b ( ) ( ) ( k ) j( k ) j. ( k ) j( k ) j. A N; B α y ˆ ; C β y ˆ j k j k ˆ... a b j k β abm y ( k ) j( k ) ˆ.. b j k β bm y ( k ) j( k ) a k ˆ. j. β am y ( k ) j( k ) ˆ k j. β y ( k ) j( k ) m olarak verlr. 3.. Mote Carlo smülasyo çalışması Tahm edcler etklkler karşılaştırmak ç koum parametres 0 ölçek parametres ola çarpık t dağılımıda sayı üretlmştr. tahm edcler ç ye IRA kullaılmış ve başlagıç değerler parametreler tahm edcler alımıştır. Çzelge 3.6 (3.) model ç hata termler dağılımıı 357 ve 0 serbestlk derecel çarpık t olması durumuda j( α β j) + + parametres ç ve tahm edcler ortalamaları varyasları MSE değerler ve (.4) te verldğ gb RE değerler göstermektedr. 70

83 Çzelge 3.7 etkleşm etks ve tahm edcler ortalamalarıı varyaslarıı MSE değerler ve RE değerler göstermektedr. Çzelge 3.8 se σ parametres ç ortalama varyas MSE ve RE değerler göstermektedr. Çzelge 3.6 j parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. % v 3 Ortalama Varyas MSE RE ˆ ˆ % ˆ ˆ λ 0 % ˆ ˆ ˆ ˆ λ λ λ % ˆ ˆ % v 5 ˆ ˆ λ 0 % ˆ ˆ ˆ ˆ λ λ λ

84 Çzelge 3.6-devam j parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. % v 7 Ortalama Varyas MSE RE ˆ ˆ % ˆ ˆ % ˆ ˆ ˆ ˆ λ λ λ λ % ˆ ˆ % v 0 ˆ ˆ λ 0 % ˆ ˆ ˆ ˆ λ λ λ

85 Çzelge 3.7 αβ j parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. j v 3 Ortalama Varyas MSE RE αβ αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ λ λ λ λ j v 5 αβ αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ λ λ λ λ j j 73

86 Çzelge 3.7-devam αβ j parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. j v 7 Ortalama Varyas MSE RE αβ αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ λ λ λ λ j v 0 αβ αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ j αβ λ λ λ λ j j 74

87 Çzelge 3.8 σ parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. v 3 Ortalama Varyas MSE RE σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ ˆ σ ˆ σ λ λ λ λ σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ v 5 ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ ˆ σ ˆ σ λ λ λ λ

88 Çzelge 3.8-devam σ parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. v 7 Ortalama Varyas MSE RE σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ ˆ σ ˆ σ λ λ λ λ σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ v 0 ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ ˆ σ ˆ σ λ λ λ λ Çzelge 3.6 da görüldüğü gb hata termler çarpık t dağılması durumuda j parametres ç k yölü varyas aalzde bulua souçlar br yölü varyas 76

89 aalzde bulua souçlarla bezerlk göstermektedr. Br başka deyşle küçük serbestlk dereceler ç ve yötemleryle bulua tahm edcler etklkler yötemyle bulua tahm edcler etklklerde oldukça yüksektr. Serbestlk dereces arttıkça dağılım çarpık ormal dağılıma yakısadığıda çarpık ormal dağılım ç bulua souçlara dek souçlar bulumuştur. Bezer yorumlar αβ j ve σ parametres ç de söyleeblr. Ya bulua souçlar br yölü varyas aalzde bulua souçlarla bezerlk göstermektedr Hpotez test İk yölü varyas aalz ç Bölüm 3..3 de alatıldığı gb deemeler ç (3.) test statstğ bloklar ç (3.3) test statstğ etkleşm etks alamlılığı ç se (3.4) test statstğ kullaılmaktadır. tahm edcler ç test statstkler k N λ a b w jk j k a b v wjk gj. v+ j k (3.4) olmak üzere hpotezler ç sırasıyla a b ˆ α deeme ( a ) k ˆ σ (3.43) a a ˆ β j blok ( b ) k ˆ σ (3.44) 77

90 j etklesm ( a )( b ) k ˆ σ a ^ αβ (3.45) şeklde öerlr. Bezer şeklde tahm edcler asmptotk olarak ormal dağılması özellğde tahm edcler elde edlmş test statstkler sırasıyla a bm ˆ α deeme ˆ ( a ) σ (3.46) b am ˆ β j j blok ˆ ( b ) σ (3.47) m αβˆ j j etklesm ( a )( b ) ˆ σ a b (3.48) bçmde öerlmştr. Çzelge 3.9 test statstkler (.3) eştlğde verle olasılıklar yardımıyla bulua I. tp hatalarıı göstermektedr. Büyük öreklem büyüklükler ç öerle test statstkler dağılımı asmptotk olarak dağılımdır. Acak çzelgede de görüleceğ gb deemeler bloklar ve etkleşm ç bulua test statstkler I. tp hataları cvarıdadır. Ya küçük deey brmler ç öerle test statstkler dağılımları dağılımıdır. 78

91 Çzelge 3.9 ve yötemleryle elde edlmş a 3 b 3 5 α Deeme deeme blok ve etklesm ç I. tp hatalar v λ 0 λ 0.4 λ 0.7 λ Blok v λ 0 λ 0.4 λ 0.7 λ v Etkleşm So olarak (.3) eştlğde verle olasılıklar yardımıyla hesaplaa güçler hesaplamıştır. Çzelge 3.0 deemeler arasıda farklılığı sıamak ç kullaıla test statstğ güçler çzelge 3. bloklar arasıda farklılığı sıamak ç kullaıla test statstğ güçler çzelge 3. se etkleşm etks alamlılığıı test etmek ç kullaıla test statstğ güçler göstermektedr. 79

92 Çzelge 3.0 Deemeler ç ve test statstkler gücü ; a 3 b 3 5. λ 0 λ 0.4 λ 0.7 λ v3 d v5 d v7 d v0 d

93 Çzelge 3. Bloklar ç ve test statstkler gücü ; a 3 b 3 5. λ 0 λ 0.4 λ 0.7 λ v3 d v5 d v7 d v0 d

94 Çzelge 3. Etkleşm ç ve test statstkler gücü ; a 3 b 3 5. λ 0 λ 0.4 λ 0.7 λ v3 d v5 d v7 d v0 d Çzelge 3.0 a göre ve tahm edclere dayaa test statstğ gücü tahm edclere dayaa test statstğ gücüde fazladır. Bu fark e fazla serbestlk dereces 3 ke görülmektedr. Serbestlk dereces arttıkça dağılım çarpık ormale yakısayacağıda güçler arası farklılık azalmakla beraber çarpık ormal 8

95 dağılımda bulua güçlerle tutarlı hale gelmektedr. Çzelge de de Çzelge 3.0 da bulua souçları bezerler gözlemektedr. 83

96 4. II. TİP SANSÜRLENMİŞ VERİLER İÇİN BİR YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ Gözlemler br takım edelerde dolayı tam olarak gözleememes veya kısme elde edlmes sasürlü verler elde edlmese sebep olur. Deey tasarımı modellerde se sasürleme bazı pratk durumlarda ortaya çıkmaktadır. Öreğ hava veya su krllğ çalışmalarıda bazı zorululuklar sebebyle gözlemler kısıtlıdır II. tp sasürleme öcede belrlemş sayıdak e büyük ve e küçük gözlemler sasürlemesdr. ANOVA modeller ç. deemede e küçük r gözlem ve e büyük r gözlem deey kısıtları yüzüde gözleemeyeblr. Bu sebeple. deemedek gözleemeye e küçük r very ve e büyük r ver sasürler. Sasürlemede sora her br deemede (gözlem sayılarıı eşt varsayarsak) r r gözlem kalacaktır. a deemeye sahp br yölü varyas aalz ç sasürlememş ver yapısı.deeme.deeme a. deeme Y ( ) ( ) Y ( ) ( ). Y a( ) a( ) Y. Y. Y. Y ( ) Y ( ) Y( ) Y ( ) Ya( ) Y a( ) olsu. Her br deeme çersde r ve r belrledkte sora br yölü varyas aalz ç kullaılacak olablrlk foksyou a r r a a r (4.) L( z α σ ) c f ( z ) ( z ) ( z ) j j j j j r + şeklde elde edlr. Burada f olasılık yoğuluk foksyouu se dağılım foksyouu göstermektedr. 84

97 4. Hata Termler Çarpık Normal Olması Durumuda Sasürlü Verlerde Tek Yölü Varyas Aalz Bu bölümde hata termler dağılımıı çarpık ormal olması durumuda II. tp sasürlemş verler ç br yölü varyas aalz ele alımıştır. Bua göre a deemeye sahp br yölü varyas aalz ç r. deemedek solda sasürlemey r. deemedek sağda sasürlemey göstermek üzere (4.) de f yere çarpık ormal dağılımı olasılık yoğuluk foksyouu yere çarpık ormal dağılımı dağılım foksyou yazılırsa olablrlk foksyou r r a r a a L( z θ ) c φ( z ) Φ( λz ) Φ( z ) T ( z ; λ) ( Φ( z ) T ( z ; λ) ) j j j j j j j % j r + σ (4.3) şeklde elde edlr. (4.3) te T ( x; λ) Owe foksyou olarak blmektedr. Owe foksyou sıırları x h y 0 y ax ola k değşkel ormal dağılımı altıda kala aladır. Bua göre Owe foksyou λs T ( x λ) φ( s) φ( t) dtds (4.4) x 0 şeklde fade edlmektedr. Olablrlk foksyouu logartması alırsa r r l L r r l z + lφ z a a a ( ) σ j ( λ j) j r + j r + a ( ) a ( λ ) ( λ ) + r l Φ( z ) T ( z ; ) + r l Φ( z ) T ( z ; ) j j j j (4.5) log-olablrlk foksyou elde edlr. Burada z y α j j şeklde taımlaır. Log-olablrlk foksyouu lgl parametrelere göre türev alımasıyla σ 85

98 r r l L λ + 0 a a a a zj g( zj) r g( z) r g( z) σ σ σ σ j r + j r + r r l L λ zj g( zj) r g( z) + r g( z) 0 (4.6) α σ σ σ σ j r + j r + a + r g( z) z 0 σ a r r a r a r a l L λ + zj g( zj) zj r g( z) z σ σ σ σ σ j r + j r + olablrlk deklemler elde edlr. Burada φ λ φ λ φ( λz) g( z) g ( z) σ g ( z) σ Φ( λz) Φ( z ) T ( z ; λ) Φ( z ) T ( z ; λ) ( zj) Φ( zj) ( zj) Φ( zj) ( ) j j j j şekldedr. Söz kousu eştlkler yede düzelemesyle elde edle tahm edcler tahm edclerdr. Acak eştlkler açık çözümler yoktur ve teratf yötemlerle çözmek olablrlk deklemlerde a+ adet leer olmaya fade olmasıda dolayı zordur. Bu bölümde dğer bölümlerde farklı olarak tahm edcler celemştr. Bua göre her br deeme çdek deey brmler y y... y ;... a (4.7) ( r + ) ( r + ) ( r ) 86

99 şeklde sıralaır. Daha sora olablrlk deklermde yer ala doğrusal olmaya fadeler t E ) etrafıda Taylor sers lk k term kullaılarak ( j) ( z ( j) doğrusallaştırılır. Daha öcek bölümlerde de alatıldığı gb foksyolar ve g( z ) α γ z j r +... r ( j) j j ( j) g ( z ) α β z ( r + ) ( r + ) ( r + ) ( r + ) g ( z ) α + β z (4.8) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) şeklde doğrusallaştırılır. Burada ve α φ( λt ) ( λt j ) t λ t( j) Φ ( λt( j) ) + λφ( λt( j) ) Φ( λt j ) ( ) ( ) Φ( λt j ) ( j) j + ( j) Φ ( ) ( ) λ t Φ λt + λφ λt γ β γ ( λt j ) φ( λt( j) ) ( j) ( j) ( j) j j + j Φ ( ) ( ) (4.9) α α f ( t ) f '( t + t β β ) ( f ( t )) ( r + ) q q q ( f ( t )) q r ( + ) f ( t ) f '( t ) r ( r ) tβ β + q q q q + ( ) (4.0) (4.) şeklde taımlaır. (4.9)-(4.) eştlkler (4.6) da yere yazılırsa 87

100 a r a r l L* λ z α γ z σ σ j j j ( j) j r + j r + a a r ( α ) ( ) 0 + β + z r z + + α + β σ ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) σ r r l L* λ z α γ z α σ σ j j j ( j) j r + j r + r ( α( r ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + β r + z r + + r α r + β r z r σ σ a l L* r r λ σ σ σ σ a r a r + zj ( αj γ jz( j) ) zj j r + j r + a a r ( α β z ) z + r ( α + β z ) z 0 σ ( r + ) ( r + ) ( r + ) ( r + ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) σ (4.) uyarlamış olablrlk deklemler elde edlr. (4.) deklem sstem çözülmesyle tahm edcler B B 4AC ( ) ( ) ˆ M + ˆ σ ˆ α M M ˆ σ + + ˆ σ A( A a) (4.3) şeklde elde edlr. Burada r a M βj y ( j) r β( r ) ( ) ( ) ( ) + y r + + r β r y r m M m M m j r + r a λ αj r α( r ) r ( ) + + α r m m m j r + 88

101 r m β r β + r β m m j ( r + ) ( r ) j r + a ( ) A r r a r a a j( ( j) ) ( r ( ) ( ) + ) ( r + ) ( r ) ( r ) B λ α y M + rα y M r α y M j r + a r a a βj( ( j) ) β( r ( ) ( ) + ) y ( r + ) M + r β( r ) y( r ) M C y M r j r + a şeklde taımlaır. Eğer r r 0 ( a) alıırsa tahm edcler Bölüm...3 de bulua tahm edclerle ayı olacaktır. Çzelge de değşk deey brm büyüklükler değşk çarpıklık parametreler ve değşlk sasürleme oraları le tahm edcler ortalama değerler varyasları MSE değerler ve RE değerler verlmştr. Acak Bölüm... de alatıldığı gb tahm edcler ç düzeltme yapmak gerekmektedr. Bua göre E( Y ) + σ E( ε ) (4.4) olmak üzere hata termler terork olarak bulua beklee değere htyaç duyulacaktır. Smülasyoda lk r very gözlem setde sasürlemeye karşılık sıra statstğ beklee değerde budamak (trucated) ayı alama gelmektedr. Br başka deyşle ye oluşa dağılım t le t arasıda budamış dağılıma döüşmektedr. Bu sebeple sasürlemş verler ç budamış çarpık ormal dağılımı beklee değer ve varyası gerekmektedr. Ya düzeltmes yapmak ç E( X t < X < t) ve Var( X t < X < t ) fadeler teork olarak fade etmek gerekldr. Lemma 4.: Z stadart ormal dağılıma sahp rasgele değşke olmak üzere r m ( a b) E( Z a< Z < b) a le b arasıda budamış Z rasgele değşke r. r momet göstermek üzere 89

102 b k z φ( z) a mk ( a b) (k )!! k... b ( )!! [ Φ( z) ] a b k ( k)!! z φ( z) a mk+ ( a b) k 0... b (4.4) 0 ( )!! [ Φ( z) ] a bçmde taımlamıştır. Burada 0!! ( )!! (4.5) şeklde taımlamıştır (Arfke 985). Lemma 4. de hareketle (uv) aralığıda budamış çarpık ormal dağılıma sahp br rasgele değşke mometler p ( p )!! s ( u v) ( p )!! + r ( u v) p... λ p λk k (k )!! p ( p)!! sλ p+ ( u v) r ( u v) p 0... (4.6) ( k)!! λk+ k şeklde taımlaır. (4.6) da verle r ( u v) λ r [ ( )] π λ u ( λ ) v ( λ x ) u r ( λ λ ) ( ) r v x f ( x) Φ + λ u λ rλ r ( u v) + m + u + v v r v x + λ x u (4.7) 90

103 şeklde fade edlr. Çzelge 4. parametres ç çzelge 4. σ parametres ç ve yötemler ç karşılaştırmalı souçları vermektedr. Çzelgede sasürleme oraı r q olarak alımıştır. Burada q sasürleme oraı olup çalışmada çarpıklık tarafıda ya kuyrukta sasürleme yapıldığı ç sadece sağda sasürleme ele alımıştır. Çzelgelerde I II ve III deemeler göstermektedr. Çzelge 4. parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. λ 0.4 λ 0.7 λ Sasürleme Oraı (q) Ortalama Varyas MSE RE I II III Çzelge 4. σ parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. λ 0.4 λ 0.7 λ Sasürleme Oraı (q) Ortalama Varyas MSE RE I II III Çzelge ye göre tahm edcler tahm edclere göre daha etkdr. 9

104 Daha öcek bölümlerde de alatıldığı gb (.8) hpotez test etmek ç kullaıla tahm edclere dayaa test statstğ a % α ( a ) % σ (4.8) şekldedr. tahm edclere dayaa test statstğ de a m ˆ α ( a ) ˆ σ (4.9) şeklde öerlmştr. Bua göre (.3) de verle olasılık yardımıyla hesaplaa I. tp hatalar çzelge 4.3 te verlmştr. Çzelge 4.3 ve test statstkler I. tp hataları ( a 3 0 α 0.050). λ 0.4 λ 0.7 λ Sasürleme Oraı I II III Çzelge 4.3 te de görüldüğü gb tahm edclere dayaa test statstğ I. tp hataları cvarıda olup tahm edclere dayaa test statstğ I. tp hataları de yüksek çıkmıştır. Bu durum da küçük öreklem büyüklükler ç tahm edclere dayalı test statstğ dağılımıı dağılımı olduğuu göstergesdr. Acak tahm edclere dayalı test statstğ dağılım dağılımı değldr. 9

105 4. Hata Termler Çarpık t Olması Durumuda Sasürlü Verlerde Tek Yölü Varyas Aalz Bu bölümde hata termler çarpık t dağılması durumda sasürlemş verler ç br yölü ANOVA ele alımıştır. Bu sebeple (4.) de f yere çarpık t dağılımıı olasılık yoğuluk foksyouu yere çarpık t dağılımıı dağılım foksyouu yazılırsa elde edle olablrlk foksyou a r a a v+ L( zj θ ) c tv( zj) Tv+ λzj ( z( r ) ( ( )) ) + z ( r ) j r + σ v z % + j r r (4.0) şeklde elde edlr. Burada ( ) çarpık t dağılımıı dağılım foksyoudur. Olablrlk foksyouu logartması alıarak bulua log-olablrlk foksyou se a a r a r v+ v+ l L ( r r ) lσ l( v+ zj) + l Tv+ λzj j r + j r + v+ z j a a ( ( )) ( ) + ( ) + r l z + r l z ( r ) ( r ) (4.) şeklde elde edlr. Bua göre log-olablrlk foksyouu lgl parametrelere göre türev alımasıyla a r a r a a l L λ v g( zj) g( zj) r g( z) + r g( z) 0 σ σ v+ σ σ j r + j r + r r l L λ v g( zj) g( zj) r g( z) + r g( z) 0 α σ σ v+ σ σ j r + j r + 93

106 a + r g( z) z 0 σ a r r a r a r a l L λ + g( zj) zj g( zj) zj r g( z) z σ σ σ σ σ j r + j r + (4.) olablrlk deklemler elde edlr. Burada v+ tv+ λz 3 v+ v+ z v+ g( z) z g ( z) v + z v+ v+ z Tv+ λz v+ z f ( z) f ( z) g ( z) g ( z) ( z) ( z) (4.3) şekldedr. (4.) de yer ala ve doğrusal olmaya fadeler Taylor sers lk k term kullaılarak doğrusal hale getrlrse ve g ( z ) α + β z j r +... r ( j ) ( j) ( j) ( j) g ( z ) α β z j r +... r ( j) ( j ) ( j ) ( j) g ( z ) α β z ( r + ) ( r + ) ( r + ) ( r + ) g ( z ) α + β z (4.4) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) doğrusal deklemler elde edlr. Burada 94

107 ve β ( v+ )( v t ) ( j) ( v+ t ) α ( v+ ) t ( v+ t ) β ( j) t ( j) (4.5) c λt v+ v+ t (4.6) olmak üzere β α ( ) ( ) ( v+ ( )) ( v+ ( )) t ( ) v v t c v+ c Tv+ c λ t v+ v ( v+ ( + λ) t )( v+ t ) ( v+ t ) v+ tv+ ( c) ( v+ ) t ( j) v+ t T ( ) v+ c ( ) ( ) 3 t v+ c v+ ( j) t + β( j) Tv+ c v+ t T c ( v+ t ) (4.7) ve α α f ( t ) f '( t + t β β ) ( f ( t )) ( r + ) q q q ( f ( t )) q r ( + ) f ( t ) f '( t ) r ( ) r t β β + q q q q ( + ) (4.8) (4.9) şeklde buluur. (4.4) eştlkler (4.) de bulua olablrlk deklemlerde yere yazıldığıda a r r l L* λ v + σ σ v+ a ( α( j) β( j) z( j) ) ( α( j) β( j) z( j) ) j r + j r + a a r ( α ) ( ) 0 + β + z r z + + α + β σ ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) σ 95

108 r r l L* λ v + α σ σ v+ ( α( j) β( j) z( j) ) ( α( j) β( j) z( j) ) j r + j r + r ( α( r ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + β r + z r + + r α r + β r z r σ σ a l L* r r λ σ σ σ σ a r a r + ( α( j) + β( j) z( j) ) z( j) ( α( j) β( j) z( j) ) z( j) j r + j r σ σ a a r ( α( r ) ( ) + ) β( r + ) z( r + ) z( r + ) r α( r ) β( r ) z( r ) z ( ) 0 r (4.30) uyarlamış olablrlk deklemler elde edlr. (4.30) da bulua deklem sstem çözüldüğüde tahm edcler ( ) ( ) ˆ M + ˆ σ ˆ α M M ˆ σ ˆ σ B+ B + 4AC A( A a) (4.3) şeklde buluur. Burada α v λ v α + α j ( j ) ( j ) v v+ β β j ( j ) + λ β ( j ) r a M βj y ( j) + r β( r ) ( ) ( ) ( ) / + y r + + r β r y r m M m M m j r + r a λ αj+ r α( r ) r ( ) / + + α r m m m j r + 96

109 r m β + r β + r β m m j ( r + ) ( r ) j r + a ( ) A r r a r a a j( ( j) ) ( r ( ) ( ) + ) ( r + ) ( r ) ( r ) B λ α y M rα y M + r α y M j r + a r a a βj( ( j) ) β( r ( ) ( ) + ) y( r + ) M + r β( r ) y ( r ) M C y M + r j r + a şeklde taımlaır. Tahm edcler etklkler karşılaştırmak amacıyla daha öcek bölümlerde de alatıldığı gb düzeltme yapmak gerekldr. Bua göre II. tp sasürlemş verler ç dağılım asmptork olarak t le t arasıda budamış çarpık t dağılımıa yakısamaktadır. Dolayısıyla ya düzeltmes yapmak ç E( X t < X < t) ve Var( X t < X < t ) fadeler teork olarak fade etmek gerekldr. Bua göre budamış çarpık-t dağılımıı mometler geel br fadeyle + b ν b E( X ) ; ; ν ν ( + ) ν B D + a ν a ; ; ve çft ν ν ( + ) ν B D (4.3) şeklde gösterlmektedr (Nadarajah 004). Burada k 0 ( ) ( ) k ( c) k a b k x ( a b; c; x) (4.33) k! k 97

110 şeklde taımlaa gauss- hpergeometrk foksyou ve ( z) z( z+ )...( z+ k ) şeklde taımlaa arta faktöryeldr. k Çzelge 4.4 serbestlk dereces 4 ve 6 ola çarpık t dağılımıda ç çzelge 4.5 σ parametres ç ortalama varyas MSE ve RE değerler göstermektedr. Çzelge 4.4 parametres ç ve tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler. λ 0.4 λ 0.7 λ λ 0.4 λ 0.7 λ v4 Sasürleme Oraı Ortalama Varyas MSE RE I II III v

111 Çzelge 4.5 σ parametres ç ve tahm edcler ortalama. varyas ve MSE değerler. v4 Sasürleme Oraı Ortalama Varyas MSE RE I II III σ σ σ σ σ σ σ λ 0.4 λ 0.7 λ λ 0.4 λ 0.7 λ v Çzelge e göre tahm edcler tahm edclere göre daha etk olduğu görülmektedr. Bu bölümde tahm edclere alteratf olarak tahm edcler asmptotk olarak ormal dağılması özellğde tahm edclere dayaa test statstğ de a m ˆ α ( a ) ˆ σ (4.35) şeklde öerlr. Eştlk (.3) de verle olasılık yardımıyla hesaplaa I. tp hatalar çzelge 4.6 da verlmştr. 99

112 Çzelge 4.6 ve test statstkler I. tp hataları ; a 3 0 α λ 0.4 λ 0.7 λ λ 0.4 λ 0.7 λ Sasürleme Oraı I II III v v Çzelge 4.6 da da görüldüğü gb tahm edclere dayaa test statstğ I. tp hataları cvarıda olup tahm edclere dayaa test statstğ I. tp hataları de yüksek çıkmıştır. 00

113 5. UYGULAMA Bu bölümde lteratürde veya daha öce yapıla çalışmalarda derlemş gerçek ver setler kullaılarak öcek bölümlerde gelştrle teor uygulamaları yapılmıştır. 5. Radyo rekası Gücü Vers Motgomery (005) mühedslk alaı le lgl elektrolz düzeyler arasıdak farkı saptamak ç br başka deyşle radyo frekası güçler açısıda H : α α α α hpotez test etmek ç çzelge 5. de verle ver set kullamıştır. Bu amaçla her br elektorz düzey yarı letke levhalara rasgele olarak atamıştır. Söz kousu ver set 4 deemel br yölü ANOVAmodele örektr. Her br deemede 5 deey brm olmak üzere toplam 0 gözlem elde edlmştr. Deeye lşk gözlem değerler Çzelge 5. Radyo frekas gücü vers Elektrolz düzeyler 60 W 80 W 00 W 0 W şeklde elde edlmştr. Öcelkle hata termler dağılımıı belrlemek ç Q-Q grafğ tekğ kullaılmıştır. Q-Q grafğ tekğ br ver set bell br dağılımda gelp gelmedğ belrlemek ç kullaıla görsel br tekktr. Q-Q grafğ tekğ aşağıdak adımlar zleerek yapılır: () Verler küçükte büyüğe doğru sıralaır 0

114 X < X <... < X. () () ( ) ( ) Z () t( ) E Z( ) ( ) X σ ( ) değerler yaklaşık olarak t( ) ( t( ) ) f ( z) dz eştlğ kullaılarak t + hesaplaır. Burada X rasgele değşke dağılım foksyoudur. ( ) + şeklde () X ( ) değerler y eksee ve t ( ) değerler x eksee gelecek şeklde grafğe yerleştrlr. Eğer verler düz br doğru üzerde yayılım gösteryorsa verler belrtle dağılıma uyduğua karar verlr. Değşk λ değerler ç radyo frekas gücü verse at Q-Q grafkler elde edlmş ve bular arasıda çarpıklık parametres λ 0.8 ola çarpık ormal dağılımı hata termler dağılımıa e y uyum gösterdğ belrlemştr bkz Şekl 5.. Şekl 5. Radyo frekas gücü vers ç Q-Q grafğ; λ 0.8. Ayrıca Q-Q grafk tekğ kullılarak elde edle soucu desteklemek ç Kolmogrov test yapılmıştır. Burada sıfır hpotez 0

115 H : 0 Ver set çarpık ormal dağılıma uymaktadır. şeklde fade edlr. H 0 hpotez test etmek ç D sup{ ( x) 0 ( x) } statstğ kullaılır. Burada x 0 x< X () ( x) X x< X x X ( ) ( ) ( + ) dır. Çarpık ormal dağılıma uyguluk test ç gerekl ola ( x) P( X x) değerler 0 Gupta ve Cohe (00) tarafıda hesaplamıştır. Ayrıva λ 0.8 ç 0 ( x) ( x) değerler çzelge 5. te verlmştr. Çzelge 5. Radyo frekası gücü vers ç ( x ) ve 0 0 ( x) ( x) değerler. x ( x ) 0 0 ( x) ( x)

116 Çzelge 5. ye göre D test statstğ değer olarak elde edlmştr. Tek öreklem Kolmogrov tablosuda öreklem çapı 0 ç tablo değer 0.35 olarak verlmştr. Burada D 0.346< D 0.35 olduğuda dolayı α 0.0 alam hesap Tablo düzeyde ver set λ 0.8 parametres le çarpık ormal dağılıma uymaktadır der. Bu durum Q-Q grafk tekğ le elde edle souçla örtüşmektedr. Elektrolz düzeyler radyo frekas güçler açısıda farklılığıı alamak ç ve yötemleryle elde edlmş tahm değerler ve bu tahmlere dayalı test statstkler çzelge 5.3 te verlmştr. Çzelge 5.3 Radyo rekası gücü vers ç parametreler ve tahm değerler ve bu tahm değerler kullaılarak elde edle test statstkler değer. α α α 3 α 4 σ * * * * H 0 red Bua göre α 0.05 alam düzeyde her üç tahm edc le yapıla aalz soucuda yokluk hpotez reddedlr. Buula beraber ve tahmler kullaılarak elde edle σdeğerler tahm kullaılarak elde edle σdeğerde daha düşüktür. Ayrıca ve tahm değerlere dayaa test statstğ p-değer tahm değerlere dayaa test statstğ p-değerde daha düşüktür. Uygulamada elde edle souçları smülasyo çalışmasıda elde edle souçlar tarafıda desteklep desteklemedğ görmek ç çzelge 5.4 te λ 0.8 ve 5 ç ç elde edle souçlar verlmştr. Çzelge 5.4 Parametre tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler; λ % Ortalama Varyas MSE RE ˆ ˆ % ˆ ˆ % ˆ ˆ ˆ ˆ σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ ˆ σ ˆ σ

117 Çzelge 5.4 te de görüldüğü gb ve tahm edcler etklkler tahm edcler etklklerde daha yüksek çıkmıştır. Bu durum smülasyo souçlarıı uygulamada elde edle soucu destekledğ göstermektedr. 5. ASG Değerler Vers Üç farklı serum bleşe hastaları kaıda bulua ASG değerlere ola etks araştırılmak stemektedr. Bua göre hastaya farklı serumlar rasgele olarak uygulamaktadır. Deey soucuda elde edle verler çzelge 5.5 te verlmştr. Çzelge 5.5 ASG değerler vers. Serum Tpler Serum Serum Serum Öcelkle hata termler dağılımıı belrlemes gerekldr. Br çok farklı λ ve v değerler ç çzle Q-Q grafkler arasıda verler ormal dağılıma sahp olmadığı acak 7 serbestlk derecel ve 0.7 çarpıklık parametrel çarpık t dağılıma uyduğu saptamıştır. Çükü elde edle oktalar düz br doğru etrafıda yayılım göstermektedr. Şekl 5. ASG değerler vers ç Q-Q grafğ; v 7 λ

118 ve tahm edcler değerler ve bu tahm edclere dayalı test statstkler değerler çzelge 5.6 da verlmştr. Çzelge 5.6 ASG değerler vers ç parametreler ve tahm değerler ve bu tahm değerler kullaılarak elde edle test statstkler değer. α α α 3 σ Bua göre α 0.05 alam sevyesde her üç tahm edc le yapıla aalz soucuda yokluk hpotez reddedlr. Buula beraber ve tahmler kullaılarak elde edle σ değerler tahm kullaılarak elde edle σ değerde daha düşüktür. Ayrıca ve tahm değerlere dayaa test statstğ p- değerler tahm değerlere dayaa test statstğ p-değerde daha düşüktür. Çzelge 5.7 se 0.7 çarpıklık parametres 5 serbestlk dereces ve 7 deey brm sayısı ç smülasyo souçlarıı göstermektedr. Çzelge 5.7 Parametre tahm edcler ortalama varyas ve MSE değerler ; λ 0.7 v 7 7. % Ortalama Varyas MSE RE ˆ ˆ % ˆ ˆ % ˆ ˆ ˆ ˆ σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ σ% ˆ σ ˆ σ ˆ σ ˆ σ Çzelge 5.7 de de görüldüğü gb smülsayo souçları uygulamada elde edle soucu desteklemektedr G Değerler Vers Uygulama de uygulaa serum türler G değerler üzerdek etks araştırılmak stedğ br deeyde toplam 36 hastaya farklı serumlar uygulamıştır. Acak hastaları homojelğ sağlamak amacıyla hastalar (8-5) (6-40) ve 40 ve 06

119 üstü olmak üzere toplam 3 farklı yaş grubua ayrılmıştır. Deey soucuda çzelge 5.8 de gösterle souçlar elde edlmştr. Çzelge 5.8 G değerler vers. Serum Türler Yaş Grupları S S S arklı λ değerler ç çzle br çok Q-Q grafğde hata termler dağılımıı λ 0.6 ola çarpık ormal olduğu tespt edlmştr. Şekl 5.3 G değerler ç Q-Q grafğ; λ 0.6. Daha sora Uygulama de olduğu gb Q-Q grafğ kullaılarak verle kararı desteklemek ç Kolmogrov test uygulamış ve souçlar Çzelge 5.9 da gösterlmştr. 07

120 Çzelge 5.9 G değerler vers ç ( x ) ve 0 0 ( x) ( x) değerler. x ( ) 0 0 ( x) ( x) x ( ) 0 0 ( x) ( x) Çzelge 5.9 a göre D test statstğ değer 0.3 olarak bulumuştur. Tek öreklem Kolmogrov tablosuda öreklem çapı 36 ç tablo değer 0.65 olarak verlmştr. D hesap 0.3< D tablo 0.65 olduğua göre α 0.0 alam düzeyde sıfır hpotez reddedlemez. Ya hata termler λ 0.8 parametres le çarpık ormal olduğu soucua varılır. ve tahm yötemleryle elde edle tahm değerler ve bulua test statstkler çzelge 5.0 da gösterlmştr. Çzelge 5.0 G değerler ç parametreler ve tahm değerler ve bu tahm değerler kullaılark elde edle test statstkler değerler ( αβ ) α ( αβ ) α ( αβ ) α ( αβ ) β ( αβ ) β ( αβ ) β σ ( αβ ) deeme ( αβ ) blok * 3.99* ( αβ ) etklesm * H 0 Red 08

121 Çzelge 5.0 da görüldüğü gb α 0.05 alam düzeyde her üç yötemle de serumlar arasıda alamlı br fark buluamamıştır. Yaşlar arasıda yötem kullaırak elde edle test statstğe göre alamlı br fark buluamazke ve yötemyle yaşlar arasıda G bakımıda alamlı br farklılık saptamıştır. Etkleşm etks her üç tahm yötem çde alamsız bulumuştur. Uygulamada elde edle souçlar smülasyo souçları le örtüşmektedr. Acak burada smülasyo souçları verlmemştr. 5.4 Hayvaları Yaşam Süreler Vers Box ve Cox (964) 3 farklı zehr türüü bell br hayva türüü yaşam sürese ola etks araştırmak ç zehrler toplam 48 hayva üzere uygulamıştır. Her br zehr türüü rasgele olarak 4 hayvaa uygulayarak toplam dört tekrar yapmıştır. Souç olarak hayvaları yaşam süreler 0 saat csde Çzelge 5. dek gb elde etmştr. Çzelge 5. Hayvaları yaşam süreler vers.. blok. blok 3. blok 4. blok Zehr Zehr Zehr Hata termler dağılımıı ormal olmadığı acak 5 serbestlk derecel ve çarpıklık parametrel çarpık t dağılıma uyduğu Q-Q grafğ yardımıyla bulumuştur. 09

122 Şekl 5.4 Hayvaları yaşam süreler vers ç Q-Q grafğ; v 5 λ. Zehr türler hayvaları yaşam sürelere ola etks araştırıldığı deeyde ve tahm değerler ve bu tahm edclere dayalı test statstkler değer çzelge 5. de verlmştr. Çzelge 5. Hayvaları yaşam süreler vers ç parametreler ve tahm değerler ve bu tahm değerler kullaılarak elde edle test statstkler değer ( αβ ) α ( αβ ) α ( αβ ) α ( αβ ) β ( αβ ) β ( αβ ) β σ ( αβ ) deeme 7.39* 0.50* 8.35* ( αβ ) blok 6.0* 7.68* 6.34* ( αβ ) etklesm * H 0 Red Bua göre α 0.05 alam düzeyde zehrler ve bloklar arası farklılığı sıamak ç kullaıla test statstklere göre 0

123 H H H : α α... α 0 : β β... β 0 : αβ αβ... αβ 03 a b ab olarak fade edle sıfır hpotezler reddedlmştr. Acak görüldüğü gb ve tahm edclere dayaa test statstkler değer daha yüksektr. Buula beraber ve tahmler kullaılarak elde edle σ değerler tahm kullaılarak elde edle σ değerde daha düşüktür. 5.5 Çmeto Kuruma Süreler Vers Üç tür çmeto markasıı kuruma süreler üzerde br araştırmada 5 ayrı yere rasgele olarak çmetolar dökülmüş ve kuruma süreler çzelge 5.3 te verldğ gb elde edlmştr. Çzelge 5.3 Çmeto Kuruma Süreler Vers (dk). Çmeto Türler A B C Kuruma süreler açısıda çmeto markaları arasıda alamlı br farklılık olup olmadığıı test ç öcelkle hata termler dağılımıı saptaması gerekr. Her br deeme ç Q-Q grafklere bakıldığıda deemlerdek hata termler λ.0 çarpıklık parametres le çarpık ormal dağıldığı görülmektedr. Acak grafklere bakıldığıda her br deemede br tae aykırı değer olduğu görülmüş ve bu aykırı değerler sasürlemştr. Bra başka deyşle r r r 3 olarak alımıştır.

124 Şekl 5.5 Çmeto Kuruma Süreler vers. deeme ç Q-Q grafğ; λ. Şekl 5.6 Çmeto Kuruma Süreler vers. deeme ç Q-Q grafğ; λ. Şekl 5.7 Çmeto Kuruma Süreler vers 3. deeme ç Q-Q grafğ; λ.