Sigma 2006/2 Araştırma Makalesi / Research Article THE SOLUTION OF MULTI-OBJECTIVE FUZZY OPTIMIZATION PROBLEMS USING GENETIC ALGORITHM

Transkript

1 Jorna of Engneerng and Natra Scences Mühendsk ve Fen Bmer Dergs Sgma 2006/2 Araştırma Makaes / Research Artce THE SOLUTION OF MULTI-OBJECTIVE FUZZY OPTIMIZATION PROBLEMS USING GENETIC ALGORITHM Ömer KELEŞOĞLU * Fırat Ünverstes, Teknk Eğtm Fakütes, Yapı Eğtm Böümü, ELAZIĞ Geş/Receved: Kab/Accepted: ABSTRACT In ths stdy, the appcaton of genetc agorthms for sovng a fzzy mt-obectve optmzaton probem s nvestgated. An agorthm provdng the soton of the mt-obectve probem was deveoped. The proposed agorthm was formed by sng C/C++ programmng angage. The soton of a nmerca exampe s presented to demonstrate the appcaton of the agorthm. Keywords: Mt-obectve optmzaton, fzzy sets, genetc agorthm. BULANIK ÇOK AMAÇLI ENİYİLEME PROBLEMLERİNİN GENETİK ALGORİTMA KULLANILARAK ÇÖZÜMÜ ÖZET B çaışmada banık çok amaçı enyeme probemnn çözümü çn genetk agortmaarın yganabrğ nceenmştr. Çok amaçı enyeme probemnn çözümünü yapan br agortma geştrmştr. Öneren agortma, C/C++ programama d e oştrmştr. Geştren agortmanın yganabrğ, çözüen sayısa örneke göstermştr. Anahtar Sözcüker: Çok amaçı enyeme, banık kümeer, genetk agortma.. GİRİŞ 20. yüzyıda, brçok aanda odğ gb enyeme aanında da önem geşmeer yaşanmıştır. Bnn sonc oarak çeşt enyeme teknker ortaya çıkmıştır. Enyemenn kask yapısı ber kısıtayıcıar atında amaç fonksyonnn mnmm veya maksmm hae getrmesdr. Bna rağmen çoğ boytandırma probemer brçok amaç fonksyon e tanımanmaktadır. Çok amaçı enyeme probemernn çözümü k oarak Pareto tarafından ee aınmıştır [-3]. Bgsayar teknoos ve yapay zeka teknkernn geşmne parae oarak, enyeme probemernn çözümüne yönek ygamaarın ve bmse çaışmaarın son yıarda gderek yaygınaştığı gözenmektedr. B çerçevede, enyeme probemernn çözümüne yönek ymşak ve esnek yakaşım teknkernn kanımı yaygınaşmaktadır. B kapsamda banık mantık, yapay snr ağarı ve genetk agortmaar gb yakaşımar enyeme probemernn çözümü çn yaygın oarak kanımaya başanmıştır [4-8]. * e-ma/e-et: okeesog@frat.ed.tr, te: (0424) /

2 The Soton of Mt-Obectve Fzzy Optmzaton Yapay zeka yöntemernden oan banık mantık br kra tabanı sstem oarak düşünüebr. İk defa Zadeh tarafından ortaya atıan banık küme teors, esas oarak nsan düşünce ve agıamadak berszğ sayısaaştırmaya çaışır [9]. Banık mantık, banık küme teorsne dayanır ve b teor asında daha gene br matematkse küme yakaşımıdır. B yakaşıma çözümes çok zor oan probemer gene br yapıya kavştrarak daha koay sonca gdr [0]. Mühendskte ve dğer bm daarında probemer, kesn matematkse formüasyonar kanıarak tanımanırar. Oştran b formüasyonar atında probemn veya sstemn göstereceğ davranış bçm bazen çok karmaşık br yapıya sahp oabr. Yetersz ver, sstemn kısıtayıcıarı, boytandırma amaçarının yetersz formüasyon ve amaçar arası bağı önem değerendrememe hassasyet ekskğne sebep or. Boytandırma probemnn bersz ve karmaşık yapısını modeemek çn banık küme teors kanımaıdır [,2]. Banık küme e modeenen probemer genetk agortmaar kanıarak çok amaçı enyeme ede edmştr [3-5]. Sakawa, evrmse agortmaar e banık çok amaçı enyemenn breşm e yen br yöntem önermştr [6]. Genetk agortmaarın mtasyon ve çaprazama operatörer, banık parametreer e neer omayan probemern çözümü çn br yakaşım önermştr [7]. Banık enyeme e karar probemernn çözümü çn genetk agortmaar yganmıştır [8]. B çaışmada, son yıarda enyeme probemernde yaygın oarak kanımakta oan genetk agortma ve banık küme yakaşımının breştrmesye yen br agortma oştrmştr. Çok amaçı br enyeme probemnn çözümü çn br ygama yapımıştır. Geştren çok amaçı enyeme agortması çn bgsayar programı yazımıştır. Banık çok amaçı br enyeme probemnn çözümü çn geştren genetk agortmanın etknğ ve geçerğ nceenmştr. 2. ALGORİTMANIN TANIMI Günümüz enyeme probemer eskye nazaran daha karmaşık ve berszdr. B probemer, amaç fonksyonarının, kısıtarın karmaşık ve bersz yapısını çözmek çn banık kümeer kanıarak modeenmştr. Geştren yöntemn matematkse formüasyon ve adımarı aşağıdak gb fade edmştr. Banık çok amaçı fonksyon f (x) ve x boytandırma değşkenn drm: T = { f( x), f,..., f k ( x () mn f 2 )} Boytandırma kısıtayıcıarının drm: g( x), =,2..., p (2) b g( x), = p,..., m (3) b Brada, b, b. banık kısıtayıcı fonksyonarın at ve üst sınır değerer oarak tanımanır. Üyek fonksyon µ (x) n at ve üst sınır değerer oan b, b Şek de gösterdğ gbdr. Şek de banık karar bögesnn at ve üst sınır çn zn verebr böges d ve d omaıdır. B banık karar değerer, üyek fonksyonn maksmm yapan değerdr. g b + d, =,2,..., p (4) g( x) b d, = p,..., m (5) oarak tanımanır. 03

3 Ö. Keeşoğ Sgma 2006/2 µ(x) g d d 0 d g + d Şek. Üyek fonksyon Amaç fonksyonarının mnmm ve maksmm değerer, değşkenern at ve üst sınır mn değer tarafından f, f bnr. Bnan b değerer denkem (6) da yerne yazıır, banık amaç fonksyonarının, üyek fonksyonarı: µ f = f mn f > f < f f f f mn se se se 0. f + f f f. mn, =,2,..., k (6) şeknde fade edr. Banık kısıtayıcı fonksyonarın. sınır değerer b ve banık eny karar bögesnn müsaade edebr böges d denkem (7) de vermştr. µ g = b g > b + d < g b + d g b se se se g b, d. 0. =,2,..., m mn λ = [f f (x)]/[f f ] =,2,..., k (8) ede edr. λ parametresnn maksmm oması drm, banık kararın en büyük değere aşmasını sağar. Denkem (8) e, her br amaç fonksyonn λ değerern brbrne eşteyerek, b eştğ sağayacak [0,] araığında brçok λ değerer bnr. Bnan b λ değerernden en büyüğü (λ) banık eny kararı verr. B karar boytandırma probemnn amaç fonksyonarını mnmze eder. λ λ µ λ µ f g 0, 0, =,2..., k =,2..., m değerer arasında bnr. Banık parametre e veren kısıt ve amaç fonksyonarının, üyek fonksyonarı yardımı e doğrsa omayan programama probem oştrmştr. B oşm e ortaya çıkan dışbükey omayan probem sezgse br metot oan genetk agortma e çözüm yapımıştır. Breyer 0, değerernden oşan dzer şeknde kodanmıştır. (7) (9) 04

4 The Soton of Mt-Obectve Fzzy Optmzaton Öneren agortmanın adımarı:. Adım Rasgee br başangıç popasyon oştr. 2. Adım Popasyondak her br breyn, üyek fonksyonarını denkem (8) göre hesapa. 3. Adım Banık çok amaçı eny çözümer kümesn bere. 4. Adım Trnva seçmne göre ebeveyn breyer bere, b breyere çaprazama yga ve oşan breyer mtasyona ğrat. 5. Adım Yen popasyonn üyek değerern hesapa. Br öncek popasyonda her br amacı eny yapan breyer yen nes popasyona eke. Banık çok amaçı eny çözümer kümesn yene. 6. Adım Maksmm enerasyon sayısına kadar şeme devam et ve en büyük üyek fonksyon oan λ yı getr. Aks takdrde enerasyon sayısını artırarak 2. adıma ger dön. 3. ÖRNEK PROBLEM Geştren banık çok amaçı agortmayı test etmek çn teratürdek örnek probem seçmştr [0,,9]. f = 2 2x + x2 mn = f 2 20 x + 2x2 x2 + 2x = x + 2xx2 g () = 20 x + 2x2 g (2) 2 x2 = x + 2xx 2 g (3) 3 Enyeme değşkener 0. x 5 =, 2 banık kısıtayıcıarın at ve üst değerer 5 g 20 =,2,3 aınmıştır. Kask enyeme e değşkenern at ve üst sınır değererne göre mn f = 9.42, f = , f2 = 4.679, ve mn f 2 = değerer ede edr. Bnan b değerer üyek fonksyon denkem (8) de yerne yazıırsa, [ 9.42 ]/[ ] [.679 ]/[ ] λ (4) = f λ (5) 2 = 4 f2 ede edr. Brada, λ ve λ 2 banık parametreer, genetk agortma çersne yereştrerek parametreern eştk şartı λ = λ2 çn brçok λ değer bnr. Bnan b değererden en büyük parametre ( λ ), amaç fonksyonarının mnmm değere aşmasını sağayacaktır. Probemn eny boytandırmasında kanıan genetk parametreer; popasyon büyüküğü 00, çaprazama tp ünform, çaprazama oasıığı 0.85, mtasyon oasıığı oarak aınmış ve 000 enerasyon şemne tab ttmştr. Şek 2 de görüdüğü gb her br amaç fonksyonn banık parametreernn eştkern λ = λ2 sağayan br çok değer ede edr. Ede eden b değerern en büyük oanı, λ = ve amaç fonksyonarımızın mnmm değerer f = ve f 2 = oarak ede edmştr. Şek 3 de görüeceğ gb enerasyon sayısına bağı oarak amaç fonksyonarı arasındak değşm göstermştr. Banık parametrenn en büyük değer λ = odğ zaman, amaç fonksyonarını mnmze edecek (0) 05

5 Ö. Keeşoğ Sgma 2006/2 değşken değerer, x = ve x 2 = oarak bnr. B değşkenern enerasyona bağı değşm Şek 4 de göstermştr. Şek 2. Amaç fonksyonarının karşıaştırıması Şek 3. Jenerasyon sayısı Amaç fonksyonarı değşm Şek 4. Jenerasyon sayısına bağı oarak x x2 değşm Genetk parametreern probeme yganması e brkte, genetk agortmanın pratk ve hızı çözüm veren yapısının breşm sonc, Çzege dek eny sonçara aşımıştır. Çzege de C/C++ programama d e geştren agortma sonçarı e teratürdek sonçar karşıaştırımıştır. Rao ve arkadaşarı α-kesme yakaşımı e λ-formüasyonn kanmış, Shh ve Chang se ağırıkı katsayı kanmış ve Keeşoğ se λ-formüasyonn kanmıştır. Geştren agortma e teratürdek enyeme sonçarının yüzdeer karşıaştırıdığında her üç çaışma soncna göre %99 yakınsama başarısı göstermştr. Enyeme sonc; Pentm IV 2.40 Ghz br PC de hazıranmış ve hesapama zamanı 8 sanye oarak berenmştr. 06

6 The Soton of Mt-Obectve Fzzy Optmzaton Çzege. Banık çok amaçı enyeme sonçarının karşıaştırıması Rao ve dğerer [] Shh ve Chang [9] Keeşoğ ve Üker [0] Fzzy + Genetk B Çaışmada λ 0,8484 0, f f x x SONUÇLAR Sonç oarak; b çaışmada karmaşık ve bersz probemern çözümü çn üyek fonksyonarı kanıarak br genetk agortma oştrmştr. Geştren b agortma gene op çok amaçı enyeme probemne yganabrğ göstermştr. Banık çok amaçı enyeme probemerne, genetk agortmaarın yganması üzernde drmştr. Öneren agortmanın en teme avantaı küçük br yazıım e çok kısa sürede sonca aşmasıdır. Ayrıca, geştren agortmanın enyeme probemnde daha etk çözüm verdğ görümüştür. Geştren agortma e, doğrsa omayan probemern çözümünde kanıan üyek fonksyonnn en büyük değer en y performansı sağamıştır. B nedene dışbükey omayan probemern b metota etk çözüm vereceğ gözenmektedr. KAYNAKLAR [] Pareto, V., 906, Manae d Economca Pottca, Soceta Edtrc Lbraa, Man, Itay; Transated nto Engsh by A.S. Schwer, as Mana of Potca Economy, Macman, New York, 97. [2] Kosk, J., Mtcrtera Optmzaton n Strctra Desgn, Proceedngs of The Internatona Symposm on Optmm Strctra Desgn th ONR Nava Strctra Mechancs Symposm. Tcson, AZ,98. [3] Kosk, J., Mtcrteron Optmzaton n Strctra Desgn, n New Drectons n Optmm Strctra Desgn. pp John Wey New York, 984. [4] Eddy, J., Lews, K., Effectve Generaton of Pareto Sets Usng Genetc Programmng, ASME 200 Desgn Engneerng Technca Conferences and Compters and Informaton n Engneerng Conference Pttsbrgh, PA, September 9-2, 200. [5] Mattson, C.A., Messac, A., Concept Seecton Usng s-pareto Fronters, AIAA Jorna Vo. Vo. 4, No. 6. Jne, [6] Eshwar, K., Kmar, Veank, S.S., Optma Depoyment of Constrcton Eqpment Usng Lnear Programmng wth Fzzy Coeffcents, Advances n Engneerng Software, Vo. 35, 27-33, [7] Xong, Yng., Rao, S.S., Fzzy Nonnear Programmng for Mxed-Dscrete Desgn Optmzaton Throgh Hybrd Genetc Agorthm, Fzzy Sets and Systems, [8] Keeşoğ, Ö., Çok Amaçı Banık Optmzasyon Teknğ çn Br Agortma, SAÜ Fen Bmer Ensttüsü Dergs, Ct 7(3), 37-42, [9] Zadeh, L., Fzzy Sets, Informaton and Contro Vo. 8, , 965. [0] Keeşoğ, Ö., Üker, M., Çok Amaçı Banık Optmzasyon Teknğ e Düzem Kafes Sstemern Boytandırıması, Poteknk Dergs,Ct 6(2), 505-5, [] Rao, S.S., Sndarara, K., Prakash, B.G., Baakrshna,, C., Mtobectve Fzzy Optmzaton Technqes for Engneerng Desgn, Compters & Strctres, Vo. 42, No., pp ,

7 Ö. Keeşoğ Sgma 2006/2 [2] Keeşoğ, Ö., Lneer Omayan Uzay Kafes Sstemern Banık Mantık Yöntem e Optmzasyon, Doktora Tez, Fırat Ünverstes Fen Bmer Ensttüsü, Eazığ, [3] Sakawa, M., Ingch, M., Snada, H., Sawada, K., Fzzy Mtobectve Combnatora Optmzaton Usng Improved Genetc Agorthms, J. of the Japan Fzzy Socety, Vo.6, No., pp , 994. [4] Sakawa, M., Kato, K., Snada, H., Sonoda, Y., Interactve Fzzy Satsfacton Method by Improved Genetc Agorthms for Mtobectve 0- Programmng Probems, J. of the Japan Fzzy Socety, Vo. 7, No. 2, pp [5] Sasak, M., Gen, M., Fzzy Mtpe Obectve Optma System Desgn by Hybrd Genetc Agorthm, Apped Soft Comptng, Vo. 2/3F, pp , [6] Sakawa, M., Genetc Agorthms and Fzzy Mtobectve Optmzaton, Kwer Academc Pbsher, Boston, 200. [7] Monda, S., Mat, M., Mt-Item Fzzy EOQ Modes Usng Genetc Agorthm, Compters & Indstra Engneerng, Vo. 44, pp. 02-7, [8] Ln F.T., Yao, J.S., Appyng Genetc Agorthm to Sove the Fzzy Optma Proft Probem, J. of Informaton Scence and Engneerng, Vo. 8, pp , [9] Shh, C.J., Chang, C.J., Pareto Optmzaton of Aternatve Goba Crteron Method for Fzzy Strctra Desgn, Compters & Strctres, Vo. 54, No. 3, pp ,