T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GRAF PARAMETRELERİ VE CEBİRSEL YAPILARA GRAFSAL YAKLAŞIMLAR Nihat AKGÜNEŞ DOKTORA TEZİ Matematik Aabilim Dalı Aralık-013 KONYA Her Hakkı Saklıdır

2

3 TEZ BİLDİRİMİ Bu tezdeki bütü bilgileri etik davraış ve akademik kurallar çerçeveside elde edildiğii ve tez yazım kurallarıa uygu olarak hazırlaa bu çalışmada baa ait olmaya her türlü ifade ve bilgii kayağıa eksiksiz atıf yapıldığıı bildiririm. DECLARATION PAGE I hereby declare that all iformatio i this documet has bee obtaied ad preseted i accordace with academic rules ad ethical coduct. I also declare that, as required by these rules ad coduct, I have fully cited ad refereced all material ad results that are ot origial to this work. Tarih: Nihat AKGÜNEŞ

4 ÖZET DOKTORA TEZİ GRAF PARAMETRELERİ VE CEBİRSEL YAPILARA GRAFSAL YAKLAŞIMLAR Nihat AKGÜNEŞ Selçuk Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı Daışma: Prof. Dr. Ahmet Sia ÇEVİK 013, 81 Sayfa Jüri Prof. Dr. Ahmet Sia ÇEVİK Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Prof. Dr. İsmail Naci CANGÜL Doç. Dr. Ayşe Dilek MADEN Doç. Dr. Büyami AYDIN Teorik veya uygulama alaıdaki problemleri çoğuu icelemeside ve çözümüde, graf teori iyi bir model olmuştur. Geel maada graflar zor bir problemi daha alaşılır şekillere döüştüre bir araç olarak düşüülebilir. Bu sayede çok daha karmaşık yapılar ve ifadeler, graf yötemleri kullaarak kolay bir şekilde çözülebilmektedir. Tez toplam altı aa bölümde oluşmaktadır: Birici Bölüm, tüm tezde kullaılacak stadart taım ve özellikleri vermektedir. İkici Bölümde, özel bir cebirsel graf ola sıfır-böle grapfları bazı parametreleri icelemiştir. Üçücü Bölümde, başka bir referas tarafıda yei taıtılmış düzesizlik ideksi ve özellikleri verilmiş, ayrıca düzesizlik ideksi kullaılarak bir grafı yarıçapı içi kuvvetli bir sıır elde edilmiştir. Dördücü ve Beşici Bölümler ise bu tezi diğer aa teması ola moojeik yarı gruplar üzeride taımlaa özel graflar ve bu grafları topolojik idekslerie ayrılmıştır. Özellikle 5. Bölümde, bu graflar içi elde edile ideksleri, sadece moojeik yarı grubu mertebesi ile ifade edilebileceği gösterilmiştir. So bölümde, tüm tezde elde edile souçlar, öeriler eşliğide tartışılmıştır. Aahtar Kelimeler: Cebirsel Graflar, Graf, Graf Parametreleri, Düzesizlik İdeksi, Moojeik Yarı Gruplar, Sıfır-böle Graflar, Topolojik İdeksler. iv

5 ABSTRACT Ph.D THESIS APPROACHES TO GRAPH PARAMETERS AND ALGEBRAIC STRUCTURES BY GRAPHS Nihat AKGÜNEŞ THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCEOF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY IN MATHEMATICS Advisor: Prof. Dr. Ahmet Sia ÇEVİK 013,81Pages Jury Prof. Dr. Ahmet Sia ÇEVİK Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Prof. Dr. İsmail Naci CANGÜL Assoc. Prof. Dr. Ayşe Dilek MADEN Assoc. Prof. Dr. Büyami AYDIN The graph theory has become a good model for ivestigatig ad solvig of may problems give i the meaig of theoretically ad applicatioal. I geeral, graphs ca be thought as a good tool which covert a diffucult problem to more easier ad uderstadable. Therefore, may complex structures ad expressios ca be easily solved by usig graph theory methods. This thesis cotais six mai sectios. The stadard defiitios ad properties are give i the first sectio. I the secod sectio, some parameters of a special algebraic graph amely zero-divisor graphs are ivestigated. I the third sectio, we preset the irregularity idex that described very recetly i aother referece, ad the we obtai a strict boud for the radius of a graph by usig this importat idex. The special graphs over moogeic semigroups ad their topological idices that are actually other mai goals of this thesis are give i fourth ad fifth sectios. Specially i the 5th sectio, we poit out that these topological idices ca oly be stated by meas of the order of moogeic semigroups. The fial sectio discusses the whole results of the thesis with some suggestios. Keywords: Algebraic Graphs, Graphs, Graphs Parameters, Irregularty Idex, Moogeic Semigroup, Topological Idices, Zero-divisor Graphs. v

6 ÖNSÖZ Graf Parametreleri ve Cebirsel Yapılara Grafsal Yaklaşımlar isimli bu çalışma, Selçuk Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi, Prof. Dr. Ahmet Sia ÇEVİK yöetimide hazırlamış ve Selçuk Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü e Doktora tezi olarak suulmuştur. Yapıla tüm çalışmalarımda bilgi, tecrübe ve samimiyetii esirgemeye sayı hocam Prof. Dr. Ahmet Sia ÇEVİK e saygı ve şükralarımı suarım. Ayrıca bilimsel açıda çok faydaladığım sayı Prof. Dr. Kikar Chadra DAS a teşekkürlerimi suarım. Hayatım boyuca hiçbir emeklerii esirgemeyip bei bugülere getire aem ve merhum babama, desteğii ve sabrıı esirmeye sevgili eşim Özlem e ve kızım Fatma ya sosuz saygı ve sevgilerimi suarım. Doktora öğreimim boyuca maddi destek sağlayıp yükümü hafiflete TÜBİTAK a teşekkürlerimi bir borç bilirim. Nihat AKGÜNEŞ KONYA-013 vi

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... iv ABSTRACT...v ÖNSÖZ... vi İÇİNDEKİLER... vii SİMGELER VE KISALTMALAR... ix ŞEKİLLER DİZİNİ... xi 1. GİRİŞ Grafı Taımı ve Yapısı Alt Graf Yürüme ve Yol Kavramı Graf Çeşitleri Graf Parametreleri Kayak Araştırması Graf Parametreleri Üzerie Çalışmalar Sıfır-Böle Graflar İle İlgili Kayak Araştırması SIFIR-BÖLEN GRAFLARIN BAZI PARAMETRELERİNİN İNCELENMESİ Gerekli Taımlar ve Problemi Kısa Geçmişi Temel Souçlar GRAFLARIN DÜZENSİZLİK (İRREGULARTY) İNDEKSİ VE RADİUSU(YARIÇAPI) İÇİN ÜST SINIR Bölüm Taımları ve Problemi Taıtılması Temel Souçlar MONOJENİK YARI GRUPLARIN GRAFLARI Giriş ve Temel Taımlar Moojeik Yarı gruplar Üzeride Graflar i Bazı Graf Parametreleri S M 4.4. S M i Mükemmel (Perfect) Graf Özelliği MONOJENİK YARI GRUP GRAFLARININ TOPOLOJİK İNDEKSLERİNİN İNCELENMESİ Algoritma I. Durum: Köşeleri Derecelerii Temel Ala Souçlar vii

8 5.3. II. Durum: Köşeleri uzaklığıı temel ala souçlar SONUÇLAR VE ÖNERİLER Souçlar Öeriler KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ viii

9 SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler Reel Sayılar Tam Sayılar G ( V, E) Graf K m, İki parçalı tam graf T S W d( u, v ) e( v ) Rad(G) diam( G ) ( G) ( G) ( G) Ağaç Yıldız Graf Tekerlek graf u ve v köşeleri arası uzaklık v köşesii eksatriği G i radiusu G i diametresi Rekledirme sayısı Maksimum derece Klik Sayısı id( G ) Bağımsızlık sayısı ( G) Köşe bağlatılılık sayısı ( G) Örtü sayısı ( R) Sıfır-böle graf R Z( R ) N( x) N[ x ] N[ S] DS( G ) t t( G) G ABC( G ) W ( G) Halka Sıfır-böle elemaları kümesi x elemaıı komşuluğu x elemaıı kapalı komşuluğu S kümesii kapalı komşuluğu Derece dizisi İrregularty(düzesizlik) ideksi Erişilebilirlik sayısı Bir grafı ABC ideksi Bir grafı Wieer ideksi deg ( G ) x köşesii derecesi Miimum derece G[ S] S kümesi tarafıda idüklemiş graf r r i üst tam değeri ix

10 Simgeler (devamı): M1 G G grafıı birici Zagreb ideksi M G G grafıı ikici Zagreb ideksi Ra( G) G grafıı Radic ideksi GA ( G) G grafıı Geometrik-Aritmetik ideksi H( G) G grafıı Harary ideksi E ( 1 G grafıı birici eksatrik ideksi E ( G grafıı ikici eksatrik ideksi C ( G) Eksatirik bağlatı ideksi D( ( S M )) Derece uzaklığı S M Moojeik yarı grup girth(g) G grafıı girth i C Devir graf P Yol graf x

11 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 1.1 Çoklu graf öreği... Şekil 1. Basit graf...3 Şekil 1.3 Yöledirilmiş graf...3 Şekil 1.4 Alt graf...5 Şekil 1.5 Bir graf ve idüklemiş alt grafı...6 Şekil 1.6 Bir G grafı...7 Şekil 1.7 Tam graf örekleri...7 Şekil 1.8 Tamamlayıcı graf...8 Şekil düzgü ve 4-düzgü graflara örek...8 Şekil 1.10 C 7 grafı...8 Şekil 1.11 Yol Graf...9 Şekil 1.1 İki parçalı graf...9 Şekil 1.13 Ağaç graf örekleri Şekil 1.14 Yıldız graf örekleri Şekil 1.15 Tekerlek graf Şekil 1.16 G grafı diameter ve radius... 1 Şekil 1.17 Rekledirme ve klik sayısı Şekil 1.18 Bir G grafı Şekil 1.19 G bir graf ve H, G i idüklemiş alt grafı Şekil.1 Sıfır-Böle graf öreği... 5 Şekil köşeli bir graf... 7 Şekil 4.1 Şekil 4. S Moojeik yarı grubuu grafı M S Moojeik yarı grubuu grafı M xi

12 1 1. GİRİŞ Euler 1736 yılıda yazdığı Köigsberg i Yedi Köprüsü isimli makale ile graf teori kavramıı literatüre girmesii sağlamıştır. Euler, problemi çözerke somut bir olayı modelleyip soyut bir şekle döüştürerek graf kuramıı temellerii atmıştır. Dolayısıyla, graf teorisii çıkış ve gelişmesi alışılagelmiş biçimde olmamıştır. Aslıda, kediside çok daha eski bir problemi çözümü içi ortaya komuştur. Graflar 0.yy da itibare elektrik mühedisliği, kimya kimya mühedisliği ve ekoomi gibi birbiride bağımsız alalarda karşımıza çıkmıştır. Yakı geçmişte ve güümüzde bu teori, moder cebiri içide yer ala problemleri çözümü içi öemli bir yer işgal etmektedir. Graf teori her şeyde öce çözümü araa bir problemi ya da bir işi e etki şekilde temsil edebilmeye, düzelemeye ve çözmeye yardımcı olur. Buu içi bir problem, graf yapısıa döüştürüldükte sora, problemi tüm amaçlarıı yerie getirecek e hızlı veya e masrafsız yolu bulmak içi sistematik yötemler araır. Bu durumu doğal bir soucu olarak, graf teori pek çok değişik uygulama alalarıa sahiptir. Bularda bazıları; ulaşım ağlarıı optimizasyouda (yol ya da bilgi ulaşımı), elektrik şebekeleri kavramıda, haberleşme ağlarıda, istatistiksel mekaikte, kimyasal formüllerde, bilgisayar kuramıda, toplumsal bilimlerde, coğrafyada, mimarlıkta, vb. Çizge kuramı olarak da bilie graf teorii gelişmesii e öemli edei, diğer pek çok bilim dallarıa uygulaabilir olmasıdır. Çükü öreği; teorik bilgisayar bilimlerideki karmaşık problemleri çoğu, graf teori problemlerie döüştürülerek çözülebilmektedir. Buu dışıda, matematiği diğer bilim dallarıyla ortak alaa sahip olması da graf teorii öemii arttırmaktadır. Yukarıda sayıla bir çok sebepte dolayı, teorik ve uygulamalı matematik alalarıda öemli bir yer tuta Graf Teori belirli oktalar eşliğide bu oktaları belirli özelliklerle birleştirmeye çalışa bir aladır. Bu alada taımlamış birçok graf çeşidi mevcuttur. Biz bularda bazı özel graf türlerii icelemesi ve bu özellikleri grafları sııfladırmadaki öemii göstermek üzeride duracağız. Bua ek olarak bu özel graf türlerii geel özelliklerii bir arada toparlayarak bular üzeride yei bulgular elde etmeye çalışacağız. Bu bölümde ki bütü temel taımlar Gross ve Yelle (Gross ve Yelle, 004) ve Harris ve arkadaşları (Harris ve ark., 008) ı kitaplarıda aktarılmıştır.

13 1.1. Grafı Taımı ve Yapısı V elemaları oktalar ola boşta farklı bir küme, E de V i elemalarıda oluşa sıralı olmaya bir küme olsu. V yi köşe kümesi, E yi kear kabul edecek şekilde taımlaa G ( V, E) ikiliside oluşa diagrama graf deir. G grafıda bir köşeyi yie kedisiyle birleştire keara ilmek deir. Ayı köşe çiftii birleştire iki ya da daha fazla keara çoklu kear deir. Bir graf çoklu kear ve ilmek içermiyorsa basit graf, aksi duruma ise çoklu graf deir. Graf yapısıdaki her bir köşede diğer köşelere bir kear varsa o graf bağlıdır deir. Köşe kümesi ve kear kümesi solu ola bir graf solu graf olarak adladırılır. Solu bir grafta V G v1 v v ( ) {,,..., } köşe kümesi olmak üzere V ( G) E G e1 e e m ( ) {,,..., } kear kümesi olmak üzere E( G) Şimdi bu özellikleri bir örek üzeride iceleyelim. sayısıa grafı mertebesi, m sayısıa grafı boyutu deir. Örek Köşe kümesi V { v1, v, v3, v4, v5} ve kear kümesi E { e, e, e, e, e, e, e, e } olarak verile bir G ( V, E) grafıı şekli aşağıdaki gibidir Şekil 1.1 Çoklu graf öreği

14 3 Şekil 1. Basit graf Kearları doğrultuya sahip veya kearları sıralamış ola graflara yöledirilmiş graf deir. Burada herhagi iki köşe v i, v j arasıdaki kear ola e viv j içi viv j v jvi dir. Köşelere bağlı kearlar, köşede dışarı doğru çıkıyorsa bu köşeye başlagıç oktası, köşeye doğru giriyorsa bu köşeye fial oktası deir. Şekil 1.3 Yöledirilmiş graf Şekil 1.3 de görüldüğü gibi v 1 köşesi e kearı içi başlagıç oktası, e 1 kearı içi varış (fial) oktasıdır. Görüldüğü gibi graf çizimleride şekli çizimi öemli değildir. Öemli ola oktalar ile kearlar arasıdaki ilişkiyi tam olarak ortaya koyabilmektir. Bir G grafıı köşe kümesi ola V de alıa iki köşe vi ve Alıa bu köşeler arasıda bir kear varsa bu köşelere komşudur deir. Bir G grafıda herhagi bir v j olsu. v i köşesii derecesi bu köşeye komşu ola köşeleri sayısıyla buluur ve der( v i ) ile gösterilir. Eğer köşe sıfır dereceli ise bu köşeye izole okta, 1 dereceli ise bu köşeye uç okta (pedat) adı verilir. Burada her bir köşe komşu olduğu köşeye bir 1 derece kazadırır. İlmekte ise köşe kedisie komşu olduğuda köşeye derece kazadıracaktır. Derecesi tek sayı ola bir köşeye tek okta, derecesi çift sayı ola bir köşeye çift okta olarak adladırılır. Bir grafta e az

15 4 dereceli köşeye miimum dereceli deir ve ( G) ise maksimum dereceli deir ve ( G) olursak ( G) 1 ve ( G) 5 tir. ile gösterilir. E çok dereceli köşeye ile gösterilir. Şekil 1.1 deki grafı ele alacak Teorem 1.1. (Gross ve Yelle, 004) V ( G) { v1, v,..., v } köşe kümesi ve E G e1 e e m ( ) {,,..., } kear kümesi üzeride taımlaa bir G grafıda aşağıdaki eşitlik mevcuttur: der v m i İspat: G grafı, mertebeli ve m boyutlu bir graf olduğuda dolayı her kear, iki köşeye komşudur. Bu edele köşeleri dereceleri toplaırke her bir kear iki köşeyi temsil eder. Dolayısıyla tüm köşeleri toplamı, kear sayısıı iki katıa eşittir. Yai kısaca m dir. Bu teoremi bazı souçlarıı aşağıda vermek mümküdür. Souç (Gross ve Yelle, 004) Herhagi bir G grafıda bütü köşeleri dereceleri toplamı çifttir. İspat: Teorem 1.1. de görüleceği gibi köşeleri dereceleri toplamı kearları iki katıdır. Buda bir çift sayıdır. Souç (Gross ve Yelle, 004) Bir G grafıda tek dereceli köşeleri sayısı çifttir. İspat: G grafıı tek dereceli köşelerii kümesi A( G ) ve çift dereceli köşelerii kümesi B( G ) olsu. Teorem 1.1. de der( v) der( v) der( v) m va( G) vb ( G) vv ( G) olur ki, bu der( v) der( v) va( G) vb ( G)

16 değerii çift sayı olduğuu gösterir. vb ( G) der( v) 5 toplamı terimler çift olduğuda dolayı çift sayı gelmek zorudadır. O halde der( v) toplamı çift olmalıdır. va( G) Toplamdaki tüm elemalar tek olduğuda dolayı toplamı çift sayı gelebilmesi içi çift sayıda terim toplamalıdır. Burada da A( G ) i çift olduğu bulumuş olur. Bir G grafıda her kear iki köşeyi birleştirdiğide köşeleri dereceleri toplamı kear sayısıı iki katı olup ve bütü köşeleri dereceleri toplamı çift sayıdır. Bu edele bir grafı bütü derecelerii toplamı her zama çift sayıdır. G bir graf ve v V olmak üzere v köşesii açık komşuluğu kümesi N( v ) olarak gösterilir ve v ye komşu ola V deki tüm köşeleri içerir. N[ v] N( u) { v} kümesie de v i kapalı komşuluğu kümesi deir. 1.. Alt Graf G ( V1, E1 ) ve H V E (, ) birer graf olsu. Eğer V V1 ve E E 1 sağlaıyorsa, H grafı G grafıı alt grafıdır deir. Kısaca H grafı köşeleri G de bulua ve kearları da G deki ayı köşe çiftleri arasıdaki ilişkiyi koruya graftır. G grafıa ayı zamada H grafıı süper grafı deir. Şekil 1.1 deki grafı bir alt grafı aşağıdaki gibi gösterilebilir. şartı Şekil 1.4 Alt graf G bir graf ve S de bu grafı okta kümesii boşta farklı alt kümesi olsu. G i idüklemiş alt grafı (iduced subgraph), köşe kümesi S ve kear kümesi de G

17 6 i S deki köşe çiftleriyle komşu ola kearlarda oluşa kümedir ve S ile gösterilir. S kümesi S i köşelerii tümüü ve G i kearlarıı kapsar. Şekil 1.5 Bir graf ve idüklemiş alt grafı Bir grafı alt graflarıı, o grafa ait köşe veya kearları silerek de bulmak mümküdür Yürüme ve Yol Kavramı Köşe kümesi V { a, b, c,..., y, z} ola bir G grafı içi her biri birbiriyle sırasıyla bağlaa köşeler dizisie yürüme deir. G deki ab, bc,..., yz formudaki yürümei uzuluğu, k tae kearı bir araya gelmeside oluştuğu içi bu yürümei uzuluğu k dır. Bu şekildeki yürüme abc... yz şeklide gösterilir ve a ile z arasıda bir yürüme olarak adladırılır. Başlagıç ve bitiş köşeleri ayı ola yürümeye kapalı yürüme deir. Bir yürümede hiçbir köşe tekrar etmiyorsa bu yürümeye yol adı verilir. G grafıda alıa farklı iki köşe arasıda bir yol varsa bu iki okta bağlatılıdır deir. Teorem (Harris ve ark., 008) Bir G grafıda alıa tüm u ve v köşeleri arasıdaki u v yürümesi, bir u v yoluu içerir. Eğer yürüe tüm kearlar farklıysa bu yürümeye gezi deilmektedir. Tek bir köşe kedi başıa bir yol teşkil eder. O halde her yol bir gezi olurke her gezi bir yol olmaz. Başlagıç ve bitiş oktaları hariç tüm köşeleri farklı ve tüm kearları farklı ola kapalı yürümeye ise devir deir. k uzuluğudaki bir devire k sayısıı durumua göre bu devir tek devir veya çift devir olarak adladırılır. Bir G grafı aşağıdaki gibi verilsi. devir deilir. k

18 7 Şekil 1.6 Bir G grafı Burada abebc asıl itibariyle 4 uzuluğuda bir yürümedir fakat dikkat edersek bir gezi değildir. Buula beraber abedbc bir gezi acak bir yol değildir. Ayrıca abed bir yol olup, bdeb bir devirdir diyebiliriz Graf Çeşitleri Bir grafta her bir köşe çifti birbirie komşu ise bu grafa tam graf deir. köşeli bir tam graf K ile gösterilir. köşeli bir tam grafı kear sayısı ( 1) ile ve köşe derecesi de ( 1) ile buluabilir. Şekil 1.7 Tam graf örekleri Köşe kümesi G i okta kümesiyle ayı ola, kear kümesi ise G de olmaya kearlarda oluşa ve komşu olmaya köşeleri birbirie komşu yapa grafa tamamlayıcı (tümleye) graf deir. Bir G grafıı tamamlayıcısı G ile gösterilir.

19 8 Şekil 1.8 Tamamlayıcı graf Bir grafta tüm köşeler ayı dereceye sahipse bu tür graflara düzgü graf deir. Grafı tüm köşelerii derecesi r ise bu grafa r -düzgü graf deir. köşeli bir tam graf içi her bir köşei derecesi 1 olduğuda dolayı 1 dereceli düzgü graftır. Şekil düzgü ve 4-düzgü graflara örek Başlagıç ve bitiş oktaları ayı ola ve tüm köşeleri derecesi ola grafa devir veya çevre graf deir. Özel olarak, gösterilir. köşeli bir devir ya da çevre graf C ile Şekil 1.10 C 7 grafı

20 9 Başlagıç ve bitiş köşelerii derecesi 1 ve diğer köşeleri dereceleri ola grafa yol graf deir. köşeli bir yol graf P ile gösterilir. Şekil 1.11 Yol Graf Bir grafı köşe kümesi V 1 ve V şeklide iki kümeye ayrılmış olsu. Eğer kearları V 1 deki köşelerle V deki köşeleri birleştirilmesiyle oluşuyorsa, bu grafa iki parçalı graf deir. V1 m ve V ola iki parçalı bir graf K m, ile gösterilir. V1 ve V deki tüm köşeler karşılıklı olarak birbirleriyle birleştirilmiş ise bu tür graflara iki parçalı tam graf deir. Şekil 1.1 İki parçalı graf Teorem (Body ve Murty, 1978) Bir graf acak tek devir içermiyorsa iki parçalı bir graftır. gösterilir. Bir bağlatılı grafta hiç devir yoksa bua ağaç graf deir. Ağaç graflar T ile

21 10 Şekil 1.13 Ağaç graf örekleri Teorem 1.4. (Body ve Murty, 1978) Bir ağaç grafta herhagi iki köşe tek bir yolla birbirie bağlıdır. Teorem (Body ve Murty, 1978) Eğer G bir ağaç graf ise E( G) V ( G) 1 eşitliği vardır. Yukarıdaki teoremi öemli bir soucu olarak aşağıdaki soucu verebiliriz. Souç (Body ve Murty, 1978) Tüm aşikar olmaya ağaç graflarda, derecesi bir ola e az iki köşe vardır. köşeli bir ağaç grafı, bir köşesii derecesi 1 ve geriye kala diğer tüm köşelerii dereceleri 1 ise bu şekilde ki graflara yıldız graf deir. Yıldız graflar tam iki parçalı graf olarak da adladırılırlar. İki parçalı graflarda özel olarak m 1 alıırsa oluşa K1, grafı bir yıldız graftır ve S ile gösterilir. Şekil 1.14 Yıldız graf örekleri

22 11 köşeli bir C çevre grafıı tüm köşelerie tek bir kearla komşu ola yei bir köşe eklemesiyle elde edile grafa tekerlek(wheel)graf deir ve W ile gösterilir. Şekil 1.15 Tekerlek graf 1.5. Graf Parametreleri G ( V, E) bir graf ve u, v V ( G) olmak üzere bu iki köşe arasıdaki e kısa yolu uzuluğua u ile v arasıdaki uzaklık (distace) deir ve d( u, v ) ile gösterilir. Bir G ( V, E) grafıda alıa v köşesi ile v köşesie e uzak köşe arasıdaki uzaklığa v köşesii eksatiriği (eccetricity) deir ve e( v ) ile gösterilir. Kısaca, şeklide matematiksel olarak gösterilir. e( v) max d( v, x) x V ( G) Bağlatılı bir grafı köşeleri arasıdaki miimum eksatriğe G i yarıçapı (radius) deir ve ile gösterilir. rad ( G) mi e( v) v V ( G) Bağlatılı bir grafı köşeleri arasıdaki maximum eksatriğe G i çapı (diameter) deir ve diam( G) max e( v) v V ( G)

23 1 ile gösterilir. Tam bir grafta tüm köşeler birbirie komşu olduğuda dolayı her zama diam( G) 1 dir. Teorem (Ostrat, 1973) Herhagi bir G grafı içi eşitsizliği mevuttur. rad( G) diam( G) rad( G) Teorem 1.5. (Hayes ve ark., 1998) Bir G grafıı yarıçapıı 1 olması içi gerek ve yeter şart G grafıı diğer bütü köşelere komşu bir düğüm içermesidir. İspat: G yarıçapı 1 ola bir graf olsu. Varsayalım ki G i diğer bütü köşelere komşu bir düğümü buluması. O halde G i herhagi bir u köşesi içi e( u) olacaktır. Bu ise G i yarıçapıı 1 olması ile çelişir. O halde u köşesi v köşesi ile komşudur. u, G grafıı diğer tüm köşelere komşu bir köşe olsu. e( u) 1 olacağı açıktır. Üstelik bu değer, G i köşeleri arasıdaki miimum eksatriktir. O halde rad( G) 1 dir. Şekil 1.16 G grafı diameter ve radius Şekil 1.16 da verile G grafıı köşeleri arasıdaki uzaklığa bakarsak, d(5,6) 1, d(1,3), d(4,7) 3, d(1,7) 4 bazı köşeleri uzaklıkları olarak verilebilir. Çap bu köşeler arasıdaki e büyük değer olduğuda dolayı G grafıı çapı diam( G) 4 dür. Bu G grafıı yarıçapı şekilde de alaşılacağı gibi rad( G) olarak buluur.

24 13 G grafıı köşe kümesi V ( G ) ve S V ( G) boşta farklı bir küme olmak üzere G deki tüm kearları e az bir köşesi bu kümede ise bu kümeye örtü kümesi deir. Bir grafta e az bir tae örtü kümesi buluur. Bu kümeler içide e az elemaa sahip ola kümei elema sayısıa G grafıı örtü sayısı (coverig umber) deir. ( G) ile gösterilir. Bir G grafıda, G i tüm köşelerii rekledirmek içi gerekli ola e az sayıdaki rek sayısıa kromatik sayı (chromatic umber) deir ve ( G) ile gösterilir. Yai komşu ola iki köşe farklı reklerle etiketledirilir. Teorem (Body ve Murty, 1978) Herhagi bir G grafı içi ( G) ( G) 1 eşitsizliği mevcuttur. ile gösterilir. Bir G grafıı klik sayısı, graftaki e büyük tam grafı köşe sayısı olup, ( G) Şekil 1.17 Rekledirme ve klik sayısı Şekil 1.17 de verile G grafıı köşelerii K (kırmızı), S (sarı) ve Y (yeşil) ile rekledirecek olursak, kromatik sayı 3 olarak buluur. Klik sayısı da e büyük tam alt grafı olduğuda dolayı e büyük tam alt grafı köşe sayısı 3 dir. Bir G grafıı bağlatısız veya izole oktalı bir graf halie getirmek içi grafta çıkarılması gerekli ola e az sayıdaki köşe sayısıa bağlatı oktaları sayısı (vertex coectivity) deir ve ( G) ile gösterilir. G grafı mertebeli tam graf ise ( G) 1

25 14 dir. Eğer G grafı bağlatısız bir graf ise ( G) 0 dır. Buula birlikte G grafı bağlatılı acak tam graf değil ise 1 ( G) dir. A bir küme ve A V ( G) olsu. G grafıdaki birbiriyle komşuluğu olmaya köşeleri kümesi A ise, özel olarak bu kümeye bağımsız küme deir. Bu kümelerde e geiş olaı elema sayısıa ise bağımsız sayı (idepedet umber) deir ve id( G ) ile gösterilir. Şekil 1.18 Bir G grafı Şekil 1.18 deki belirtile G grafı içi A d, A d, d, A d, d, d , A d, d, d, d, d birer bağımsız küme örekleridir. Acak A 4 kümesi G i bağımsız kümelerii e geişidir. Dolayısıyla id( G) 5 olarak buluur. Bu grafı bağlatı oktaları sayısıı bulmak içi e az komşuluğa sahip ola köşei kearlarıı silmemiz yeterlidir. Ayı G grafı içi ( G) 1 dir. Teorem (Body ve Murty, 1978) S V \ S aslıda G grafıı bir örtüsüdür. V kümesi, G i bağımsızlık kümesi ise, Souç (Body ve Murty, 1978) G bir graf olmak üzere ( G) ( G) v eşitliği vardır. İspat: S, G i e büyük bağımsız kümesi ve K da G i e küçük örtüsü olsu. V \ K bir bağımsız küme ve V \ S bir örtüdür. Burada v ( G) V \ K ( G) v ( G) V \ S ( G) elde edilir. Bu iki eşitsizlikte isteile souca ulaşılabilir.

26 15 Bir G grafı içi her idüklemiş alt grafıı klik sayısı ile kromatik sayısı eşitse G grafı mükemmeldir deir. Şekil 1.19 G bir graf ve H, G i idüklemiş alt grafı Şekil 1.19 da verile G grafıı idüklemiş alt grafı ola H içi ( H ) ve ( H ) dir. Yai ( H ) ( H ) olduğuda, G grafı mükemmeldir deir Kayak Araştırması Çalışmamızı bu kısmıda bir çok araştırmacıı çalışma kousu olmuş graf parametreleri ve sıfır-böle graflar üzeride literatürde var ola bazı çalışmalarda bahsedilecektir. Öcelikle graf parametreleri ile ilgili çalışmalarda bahsedelim Graf Parametreleri Üzerie Çalışmalar Wieer (1947), Structural determiatio of para± boilig poits adlı eseride kimyasal özelliklerde ve molekülleri yapılarıda faydalaarak bulumuş ve yazarı ismi ile aıla Wieer ideks ortaya komuştur. Bu parametrei graf teoride diğer parametrelerde arasıda sıkı bir ilişki olduğu içi popülerliği azalmada devam etmiştir. Berge (196), The Theory of Graphs ad Its Applicatios adlı eseride kedi ismi ile aıla ve mükemmel graflar içi bir kıstas vasıtası ola Berge Graflarıı ve özelliklerii taıtmıştır. Ayrıca geel graf bilgisi bu eseri içide yer almaktadır.

27 16 Gutma ve Triajstić (197), Graph theory ad molecular orbitals: Total π- electro eergy of alterat hydrocarbos isimli çalışmalarıda graf teoride ve kimsayal matematik kousuda öemli bir yere sahip olacak ola Birici Zagreb ideksi ortaya koydular. Lovász (197), Normal hypergraphs ad the weak perfect graph cojecture ormal hipergraflar üzeride çalışmış ayrıca grafları üzeride zayıf mükemmellik koşuluu ortaya koymuştur. Ostrad (1973), Graphs with specified radius ad diameter isimli çalışmasıda radius ve diameterle ilgili ilişkiye rad( G) diam( G) rad( G) şeklide ortaya koymuştur. Gutma ve ark. (1975), Graph theory ad molecular orbitals. XII. Acyclic polyees isimli çalışmalarıda da yukarıdaki çalışmalarıı ışığıda İkici Zagreb ideksi taımlamışlar ve çeşitli özelliklerii ortaya koymuşlardır. Radić (1975), O characterizatio of molecular brachig çalışmasıda kedi ismi ile aıla Radić ideksi taımlamıştır. Bu çalışmaı ışığıda Radić ideksi ve matrisi ilgi odağı olmuş ve bir çok graf teorist buu üzeride çalışmış ve çalışmaya devam etmektedir. Erdös ve ark. (1989), Radius, diameter ad miimum degree isimli öemli çalışmalarıda hala çoğu zama kullaıla Radius ve diameterle ile ilgili grafı yalızca köşe sayısıı ve miimum derecesii içere sıırlar literatüre kazadırmışlardır. Plavšić ve ark. (1993), O the Harary idex for the characterizatio of chemical graphs adlı eserleride kimyasal grafları karakterizasyou içi Harary ideks adıyla bilie graf parametresii ortaya koymuşlardır. Bu parametre yardımıyla çeşitli kimyasal graflar üzeride sııfladırma gerçekleştirmişlerdir. Ivaciuc ve ark. (1993), Reciprocal distace matrix, related local vertex ivariats ad topological idices isimli çalışmalarıda yukarıda bağımsız olarak Harary ideksi taımlamışlardır. İki çalışmada da Harary ideks ismii koulmasıı sebebi çok öemli bir kimyacı ve matematikçi ola Harary i 70. Doğum yılı olmasıdır. Estrada ve ark. (1998), yılıda yayıladıkları A atom-bod coectivity idex: modellig the ethalpy of formatio of alkaes isimli makaleleride yei bir graf ideksi ola atom-bağ bağlatılılık (atom-bod coectivity) ideksi taımlamışlar ve kimya da alkaları etalpisi alaıda uygulmasıı çalışmışlardır.

28 17 Dakelma, ve ark. (000), Average distace, miimum degree ad spaig trees isimli eseride bir grafı ortalama uzaklığı içi miimum derece ve grafı köşe sayısı ile ilgili öemli bir sıır ispat etmiş ayrıca kulladığı ispat tekiği bir çok araştırmacı içi yol gösterici olmuştur. Düdar (001), Accessibility umber ad the eighbor-itegrity of geeralised Peterse graphs adlı çalışmasıda bir grafı komşulukları ile ilgili olarak erişilebilirlik sayısı adlı parametreyi taıtmış ve bazı grafları Peterse grafları üzeride çalışmıştır. Chudovsky ve ark. (006), The strog perfect graph theorem isimli makaleleride güçlü mükemmel graf kojektürüü ispat etmişlerdir. Bu çalışma mükemmel graflar içi bir referas kayağı olmuştur. Vukičević ve Furtula (009), Topological idex based o the ratios of geometrical ad arithmetical meas of ed-vertex degrees of edges adlı eserleride matematik alaıda iyi bilie aritmetik ve geometrik ortalama ifadeleride faydalaıp graflar içi yei parametre taımlamışlardır. Geometrik-aritmetik ideks isimli bu parametre ile, geel aritmetik ve geometrik ortalamalarıı da özellikleri ile bir çok sıırı daha iyi hale getirmişlerdir. Vukičević ve Graovac (010), Note o the compariso of the first ad secod ormalized Zagreb eccetricity idices adlı eserleride birici ve ikici ormalize edilmiş Zagreb eksatrik (ecceticity) idekslerii taımlamış ve bular ile ilgili sıırlar ortaya koymuş ayrıca diğer topolojik ideksler ve parametrelerle ola ilişkilerii icelemişlerdir. Lai ve ark. (011), Degree sequeces ad graphs with disjoit spaig trees, adlı eserleride derece dizisi ile bir graf gere ağacı arasıdaki ilişkileri çalışmışlardır. Derece dizisi yardımıyla hagi koşullar altıda gere ağacıı parçaladığıı ortaya koymuşlardır. Ghorbai, ve ark. (01), A ew versio of Zagreb idices isimli eserleride yıllardır çalışıla Zagreb idekslerii uzaklık parametreleri yerie eccetricity parametrelerii yerleştirmişler böylece Zagreb ideksleri yei bir versiyouu elde etmişlerdir. Bu versiyola ilgili diğer sıırları karşılaştırmışlardır. Mukwembi (01), A Note o Diameter ad The Degree Sequece of a Graph adlı makaleside yei bir graf parametresi ola düzesizlik(irregularity) ideksi kavramıı taımlamış ve buu yardımıyla öemli graf parametreleride diameter içi bir sıır elde etmiştir.

29 18 Akgüeş ve Çevik (013), A ew boud of radius of irregularity idex isimli yei çalışmalarıda graf teorii öemli parametreleride biri ola radius kavramı içi yukarıda yakı geçmişte taımlaa düzesizlik(irregularity) ideks kavramı yardımıyla kuvvetli bir üst sıır elde etmişlerdir. Şimdi de sıfır-böle graflarla ilgili kayakları özetleyelim Sıfır-Böle Graflar İle İlgili Kayak Araştırması Beck (1988), Colorig of Commutatig Rigs adlı eseri sıfır-böle grafları başlagıç oktasıdır. Bu çalışmasıda yazar halkaları sıfır-böle grafıı taımlamış bu grafı rekledirmesi problemi üzeride durmuştur. Aderso ve Naseer (1991), Beck's colorig of a commutative rig adlı eserleride Beck i yukarıdaki eseride sıfır-böle grafları rekledirme sayı içi bıraktığı açık problemi çözmüşlerdir. Ayrıca rekledirme sayısı 4 ve 4 te küçük ola halkaları listelemişlerdir. Aderso ve Livigsto (1999), The Zero-divisor Graph of Commutative Rig adlı eserleri değişmeli halkaları sıfır-böle grafları içi çok temel teşkil eder. Bu çalışmalarıda çok sayıda teorem ve öreklerde bu graflar iyice taıtılmıştır. Eğer R solu ve cisim değil ise ( R) i de solu olacağıı göstermiştir. Dahası R i değişmeli olduğu durumda ( R) i daima bağlatılı olduğuu ortaya koymuştur. DeMeyer ve ark. (00), The Zero-Divisor Graph of a Commutative Semigroup adlı eserleride halkalarda taımlaa sıfır-böle graf taımıı yarı gruplara aktardılar ve bu grafı bağlatılı olduğuu ortaya koydular. Ayrıca bu grafları parametreleri içi sıırlar ve koşullar elde ettiler. DeMeyer, F. R. ve DeMeyer, L., (005), Zero-Divisor Graphs of Semigroups adlı çalışmalarıda yukarıda ki çalışmaı devamı iteliğide değişmeli olması gerekmeye yarı gruplar içi sıfır-böle graflarıı özelliklerii icelemişlerdir. Aderso ve Badawi (008), O the Zero-Divisor Graph of a Rig isimli çalışmalarıda sıfır olmaya sıfır-bölee sahip R halkası içi, R i elemaları arasıda kesi bölüebilirlik şartlarıı ve R ideal veya asal ideallerii karşılaştırılabilirlik koşullarıı ( R) grafı ile ortaya koymuşlardır.

30 19 Akbari ve ark. (003), Whe a Zero-Divisor Graph is Plaar or a Complete r-partite Graph adlı eserleride sıfır-böle grafları e zama Plaar graf ve e zama r-parçalı graf olduklarıı göstermişlerdir. Akgüeş (01), Aalyzig special parameters over zero-divisor graphs adlı eseride p ve q farklı asalları içi ( ) sıfır-böle graflarıı çeşitli parametrelerii yalızca p ve q ya bağlı olarak ortaya koymuştur. Das, Akgüeş ve Çevik (013), O a graph of moogeic semigroup adlı yei eserleride moojeik yarı gruplar içi graf taımı vermişlerdir. Bu grafı çeşitli özelliklerii icelemişlerdir. Ayrıca bu grafı mükemmel bir graf olduğuu ortaya koymuşlardır. Bu graf üzeride Kartezye çarpımı (graf çarpımı) sağladığı özellikler icelemiştir. Akgüeş, Das ve Çevik (014), Topological idices o a graph of moogeic semigroups adlı eserleride yukarıdaki çalışmalarıda taımladıkları moojeik yarı grupları graflarıı topolojik idekslerii yalızca moojeik yarı grubu mertebesi ile ifade edilebileceğii ortaya koymuşlardır. Dahası bu grafları topolojik idekslerii hesaplamışlardır. p p

31 0. SIFIR-BÖLEN GRAFLARIN BAZI PARAMETRELERİNİN İNCELENMESİ Sıfır-Böle Graflar cebirsel graflarda öemli bir yer teşkil eder. Bizde bu bölümde p ve q farklı asallar olmak üzere, ( R) burada R p q, grafıı bazı özel parametrelerii ortaya koyacağız. Bular, ( ) sıfır-böle grafıı, derece dizisi, düzesizlik(irregularty) ideksi, örtü sayısı (coverig umber), erişilebilirlik sayısı (accessible umber), atom-bağ bağlatılılık ideksi ve Wieer ideksidir. p q.1. Gerekli Taımlar ve Problemi Kısa Geçmişi Irwi Beck(Beck, 197), öcü çalışmasıda değişmeli halkalar üzeride sıfırböle graf teorisi ve ( R) otasyouu ilk defa ortaya koydu. Ardıda, bu taım cebirsel yapıları grafları üzeride deri merak uyadırdı ve bir çok araştırmacı hem değişmeli hem de değişmeli olmaya halkaları üzeride sıfırböle grafları ile ilgili çalışmalar meydaa getirdi. Şimdi bu taımı verelim. Taım.1.1 R, sıfır elemaıa sahip, değişmeli bir halka ve Z( R ), R halkasıı sıfırbölelerii kümesi olsu. Sıfır-böle graf ( R), köşe kümesi xy 0 koşuluu sağlaya * x, y Z( R) Z( R) \ 0 elemalarıda oluşa(bu koşulu ayı zamada kear oluşturma koşulu olduğu aşikardır), graflara deir. Eğer R itegral bölgesi ise ( R) i boş(empty) graf olacağı açıktır. Çükü itegral bölgeleri sıfır-böle elemaa sahip değildir. Ayrıca (Aderso ve Livigsto, 1999) eğer R solu ve cisim değil ise ( R) i de solu olacağıı göstermiştir. Dahası R i değişmeli olduğu durumda ( R) i daima bağlatılı olduğuu ortaya koymuştur.

32 1 Daha sora Aderso ve Badawi (Aderso ve Badawi, 008), sıfır olmaya sıfır-bölee sahip R halkası içi, R i elemaları arasıda kesi bölüebilirlik şartlarıı ve R ideal veya asal ideallerii karşılaştırılabilirlik koşullarıı ( R) grafı ile ortaya koymuşlardır. Sharma ve arkadaşları (Sharma ve ark., 01), solu değişmeli halkaları sıfırböle graflarıı komşuluk matrislerii temel özelliklerii icelemişlerdir. Aslıda sadece p asalı içi p p hakası üzeride çalışmışlardır. Değişmeli halkalar üzeride daha bir çok yazarlar sıfır-böle graflar, buları özellikleri ve bu graflar yardımıyla halkaları özelliklerii icelemişlerdir. (Akbari ve ark, 010) ve (Akgüeş ve Toga, 01) çalışmaları örek olarak verilebilir. Bizde bu bölümde p ve q farklı asallar olmak üzere, ( R) burada R p q, grafıı bazı özel parametrelerii ortaya koyacağız. Bular, ( ) sıfır-böle grafıı, derece dizisi, düzesizlik ideksi, örtü sayısı (coverig umber), erişilebilirlik sayısı (accessible umber), atom-bağ bağlatılılık ideksi ve Wieer ideksidir. p q.. Temel Souçlar Aşağıdaki teoremlerde kullaacağımız temel taımları Gross ve Yelle (Gross ve Yelle, 004) u kitabıa uygu olarak tekrar hatırlatalım. Basit bir G grafı içi, uzaklık d( u, v ) G i herhagi iki u, v G köşesi içi e kısa yol olarak adladırılır. Bir köşei derecesi ise deg( v ) o köşeye komşu ola tüm köşeleri sayısı alamıdadır. Bir köşei komşuluğu N( x ), x V ( G) köşesii içermeye x i tüm komşuluklarıı kümesidir. Eğer bu kümeye x V ( G) köşesii de ilave edersek kapalı komşuluğu N[ x ] elde etmiş oluruz. Bir S kümesii kapalı komşuluğu ise N x S [ x ] elemalarıda oluşa kümesidir ve N[ S ] ile gösterilir. Ayrıca G grafıı köşelerii derecelerii yazılması ile elde edile diziye derece dizisi ve bu dizii farklı elemalarıı sayısıa da düzesizlik(irregularity) ideksi deir ve sırasıyla DS( G ), t t( G) ile gösterilirler(mukwembi, 01). Burada açıktır ki; eğer t t( G) 1 ise G regüler graftır.

33 Aşağıdaki teoremler (Akgüeş, 01) çalışmasıda ki temel teoremlerdir. Şimdi ( ) sıfır-böle grafıı derece dizisi ve düzesizlik ideksi ile ilgili ola teoremi verelim. p q Teorem..1 G ( ) sıfır böle grafıı göz öüe alalım. p q 1) Eğer p q ise DS( G ), p q tae p 1 dereceli elemaı içerir, böylece t 1 dir. ) Eğer p ve q farklı asallar ise, DS( G ), p 1 tae q 1 dereceli elemaı ve q 1 tae p 1 dereceli elemaı içerir, böylece t dir. İspat: Öcelikle kabul edelim ki p q dur. Böylece G i bütü köşelerii dereceleri p 1 dir. Ayrıca düzesizlik ideksii taımı kullaırsak, t( ( )) 1 olur. p q Şimdi a Z( ) ve b Z( ), p ve q farklı asallar olsu. Bu aslıda bize i p i q G i tam iki parçalı graf p 1, q 1 K olduğuu verir. Çükü, herhagi bir ( i,0) a elemaı diğer bütü (0, b i ) formudaki elemalara komşudur. Bezer şekilde herhagi bir (0, b i ) elemaı diğer bütü ( a i, 0) formudaki elemalara komşudur. Bu gerçekler bize DS( ( p q)) p 1, p 1,, p 1, q 1, q 1,, q 1 q1 tae p1 tae sağladığıı gösterir. Dahası burada t( ( )) olduğuu elde ederiz. p q Taım.. Eğer G deki iki köşe birbirii komşusu ise bu köşeler birbirii örter (cover) deir. G i bir köşe örtüsü G i tüm köşe lerii örte bir kümedir. G i örtü sayısı (coverig umber) ise köşe örtü kümelerii miimum elemaa sahip olaıı elema sayıa deir. (Gross ve Yelle, 004) ( G) ile gösterilir.

34 3 Teorem..3 ( p q ) mi p 1, q 1. İspat: a, 1 i p 1 ve, 1 i q 1 olsu. Kabul edelim ki p q. i p G ( ) deki (,0) p q i b i q a elemaları içi, a,0. 0, b (0,0) olduğuu taımda görürüz. Dolayısıyla, ( ai, 0) elemaı q 1 farklı keara sahiptir. Bu yüzde ai p elemaları ( p 1)( q 1) tae kearı örter. Böylece kabul gereği, miimum sayılı örtü kümesi a, a,, p gösterir. a dir. Bu ise ( p q ) mi p 1, q i i olduğuu Aşağıdaki diğer temel teoremimiz erişilebilirlik(accessible) sayısı ile ilgilidir. Öcelikle erişilebilirlik sayısıı taımıı verelim. Taım..4 Bir A V ( G) verilsi, eğer her v V ( G) A köşesi N[ A] ya komşu ise A V ( G) kümesie erişilebilir(accessible) küme deir. Erişilebilir(accessible) kümelerde miimum köşeye sahip olaıı elema sayısıa da G i erişilebilirlik sayısı(accessible umber) deir ve G ile gösterilir. (Düdar, 001). Teorem..5 Z p Z q 1. İspat: G ( p q) sıfır-böle grafı içi A V ( G) olarak A {( a1,0)}, kümesi seçilebileceği kolaylıkla görülebilir, burada a 1 p dir. O halde N[ A] {( a1,0),(0, b1 ),(0, b ),,(0, bq 1)} olur. Böylece, yukarıda gösterdiğimiz gibi her ( a i, 0) elemaı her (0, b i ) elemaıa komşudur, burada biz her v { V ( ) A} elemaıı N[ A ] ya komşu olduğuu göstermiş oluruz. Böylece p q p q ( ) 1 eşitliği sağlaır.

35 4 Taım..6 (Estrada ve ark., 1998) Bir G ( V, E) bağlatılı grafı içi, ABC( G) d i j i j şeklide taımlaa ifadeye atom-bağ bağlatılılık (atom-bod coectivity) ideksi deir. i d d d j Aşağıdaki teorem bu taımla ilgilidir. Teorem..7 ABCZ p Z q p q 4p 1q 1. Proof: ( ), olduğuu yukarıdaki teoremlerde görmüştük. O halde p 1, q 1 p q K p 1 tae ( ) köşesi q 1 derecesie ve q 1 tae ( ) köşesi p 1 a i p dereceye sahiptir. Dolayısıyla, eşitliğii elde ederiz. ( p q) 1 1 ABC q p b i q p 1 q 1 p 1 q 1 p q 4 p 1 q 1 Taım..8 (Wieer, 1947) G grafıı Wieer ideksi 1 W ( G) d( u, v) u, v V ( G ) şeklidedir. So olarak aşağıdaki soucu verebiliriz.

36 5 1 p q. Teorem..9 W ( ( )) ( p 1)( q p 5) ( q 1)( p q 5) İspat: Teoremi ispatı içi bütü köşeler arasıdaki uzaklıkları toplamıı bulmamız gerekir. a, (1 i p 1) ve, (1 i q 1) içi ( a,0) ve (0, b ) köşeleri i p b i q içi uzaklıklar 1 dir. Ayrıca ( a i, 0) ve ( a j,0) köşeleri içi uzaklıklar dir. Bezer şekilde (0, b i ) ve (0, b j ) köşeleri içi uzaklıklar da dir. Böylece Wieer ideksi taımıı kullaırsak: 1 W ( p q ) [q 1 p 1 p p 1 q q 1 ] 1 ( p 1)( q p 5) ( q 1)( p q 5) olduğuu elde ederiz. Böylece teorem ispatlamış olur. i i Teoremleri ifadelerii pekiştirmek ve sağladığı kolaylıkları görmek bakımıda aşağıdaki öreği verelim. Örek..10 ( 3 5) sıfır-böle grafıı çizelim ve özelliklerii yukarıda verile teoremlerde bulalım. Şekil.1 Sıfır-böle graf öreği Yukarıdaki ( 3 5) sıfır-böle grafiği de göz öüe alırsak DS( ( )) {,,,, 4, 4} ve t( ( 3 5)) (Teorem.1 de), 1) 3 5 ( ) (Teorem.3 de), ) 3 5 ( ) 1 (Teorem.5 de), 3) 3 5

37 6 ABC ( ) 4 (Teorem.7 de), 4) 5) W ( ( )) (Teorem.9 de), olduklarıı elde ederiz. Dolayısıyla p ve q asallarıı bildiğimizde grafı çizmede yalızca p ve q asalları ile yukarıda teoremlerde verile graf parametrelerii hesaplayabiliriz.

38 7 3. GRAFLARIN DÜZENSİZLİK (İRREGULARTY) İNDEKSİ VE RADİUSU(YARIÇAPI) İÇİN ÜST SINIR Bu bölümde so zamalarda taımlaa bir graf parametresii taıtıp, o parametreyi kullaıp graf teorii her döemide öemli ola radius(yarıçap) içi daha öce elde edilmiş sıırlarda daha kuvvetli ola bir sıır bulup, o sıırı diğer sıırlarda daha iyi olduğuu göstereceğiz Bölüm Taımları ve Problemi Taıtılması G ( V, E) grafı V V ( G) köşe kümesi ve E E( G) kear kümesi ola bağlatılı ve basit bir graftır. G grafıı x, y oktaları arasıdaki uzaklık d ( x G, y ) ile gösterilsi. G i x oktasıı derecesi deg ( x) i x e komşu oktaları sayısı G olduğuu hatırlayalım. Tüm dereceler arasıda, bir G grafıda oktaları miimum derecesi ile temsil edilir. Ayı zamada biliyoruz ki G i oktalarıı derecelerii dizisi (degree sequece) DS(G) ile gösterilir. DS(G) taımıa dayaarak yakı zamada, (Mukwembi, 01) kısaca G i düzesizlik(irregularity) idex t t( G) olarak gösterile bir parametre taımladı. Taım (Mukwembi, 01) Bir G grafıı derece dizisii farklı elemalarıı sayısıa düzesizlik(irregularity) ideksi deir. Örek 3.1. Şekil köşeli bir graf Yukarıdaki graf içi DS( G) 1,,,,3 ve düzesizlik ideksi 3 tür.

39 8 Grafları derece dizileri üzerie bir çok sayıda çalışma mevcut olmasıa rağme düzesizlik ideksi üzerie gösterilecek referaslar çok azdır. G bağlatılı grafıı herhagi bir u köşesii diğer köşelerde arasıdaki uzaklık e büyük olaı uzaklığıa u oktasıı eksatriği(eccetricitysi) deir ve ( v) ile gösterilir. Bağlatısız bir graf içi tüm oktalar sosuz eksatriğe sahip olarak taımlamıştır. Giriş kısmıda taımladığımız gibi G i herhagi iki oktası arasıdaki maksimum mesafeye diameter deir ve diam( G ) ile temsil edilir. Açıkça görülür ki G i tüm oktaları arasıdaki maksimum eksatrik ile diam( G ) birbirie dektir. Diğer tarafta miimum eksatrik G ve rad( G) mi max d ( u, v) u ile gösterilir. v G i radiusu(yarıçapı) olarak adladırılır (Ostrad, 1973) de ki çalışmasıda G bağlatılı grafı içi rad( G) diam( G)< rad ( G) eşitsizliğii doğru olduğu ortaya koymuştur. Dikkatle icelediğimizde, grafları uzaklık içere parametreleri üzerie yazarlar geiş bir şekilde çalışmışlar ve bu kou her zama ilgi odağı olmuşdur. (bakıız (Aouchiche ve Hase, 013 ), (Kouider ve Wikler, 1997), (Krumme ve Fragopoulou, 001), (Radic, 001)). (Erdös ve ark., 1989 ) Radius içi bu kouu öcü makaleside, mertebeli ve ( ) miimum dereceli bağlatılı herhagi bir grafta, G i radius u içi 3 3 rad( G) 5 1 sıırıı ispatlamışlardır ve bu sıır uzu yıllar öemli yere sahip olmuştur. Bua ek olarak [(Kim ve ark., 01) teorem 1], yakı zamada gösterdi ki eğer, olursa dir. ve rad( G) 3 3 rad( G) 1 Bu çalışmada, [(Erdös ve ark., 1989), (Kim ve ark., 01)] makalelerideki souçlar dikkate alımış ve t, ve parametreleri kullaılmıştır. Bizde burada herhagi basit bağlatılı G grafıı radius u içi bir üst sıır bulacağız. Buu yapmak içi Dakelma ve Etriger (Dakelma ve Etriger, 000) çalışmalarıda kulladığı bir tekiği kullaacağız. Ayrıca radius içi yukarıda verile sıırlarda hagi durumlarda daha güçlü olduğuu göstereceğiz ve işaret edeceğiz.

40 9 3.. Temel Souçlar Aksi belirtilmedikçe G basit, bağlatılı, mertebeli ve miimum derecesi ola bir graf olarak temsil edilecektir. Aa souçları vermede öce başlıkla ilgili bazı diğer temel bilgileri verelim. (Aşağıdaki taımlar herhagi bir graf kitabıda temel olarak buluabilir. Biz otasyo olarak Gross ve Yelle i (Gross ve Yelle, 004) otasyolarıı kullaacağız.) x V ( G) köşesii komşuluğu N ( x ), x e komşu tüm oktaları kümesidir. G x V ( G) köşesii kapalı(closed) komşuluğu N [ x ], x ve x i tüm komşuluklarıı içere oktalar kümesidir. S G V alt küme olmak üzere, kabul edilim ki G[ S ], G i S tarafıda idüklemiş alt grafıdır. S kümesi ve bir x oktası arasıdaki uzaklık mi v S dg ( x, v) olarak taımlıdır ve dg ( x, S ) olarak gösterilir. xs NG[ x] kümesi S i kapalı komşuluklarıdır ve N [ S ] ile gösterilir. G i k. kuvveti G k G ile gösterilir ki bu graf G ile ayı köşe kümesie sahip graftır. G grafıı u v V ( G) iki köşesi eğer d (, ) G u v k ise bu köşeler k G grafıda komşudurlar. A V ( G ) alt köşe kümesi içi, k G k grafı A kümesi tarafıda idükleiyorsa G [ A ] ile gösterilir. Pozitif bir k tamsayısı içi, her a, b A içi d ( a, b) k oluyorsa A V ( G) alt kümesie k-packig kümesi deir. So olarak souçlarımıza geçmede öce reel sayılarla ilgili r r < r 1 ifadesii hatırlatmış olalım. G Aşağıdaki öerme bizim temel souçlarımızda öemli bir rol oyayacaktır. Öerme 3..1 (Mukwembi, 01) Eğer A bir maksimum -packig kümesi ise t 1 A 1 dır. Burada t, G i düzesizlik ideksidir. Yukarıda verdiğimiz temel hatırlatmalarda sora aşağıdaki teoremimizi verebiliriz.

41 30 Teorem 3..(Akgüeş ve Çevik, 013) t, G i düzesizlik ideksi olsu. G i radiusu içi 3 t 1 rad ( G) ( 1) 1 üst sıırı mevcuttur. İspat: Kabul edelim ki G grafıı derece dizisi DS(G) i farklı elema sayısı t olsu. Yai başka bir deyişle t, G grafıı düzesizlik ideksidir. İlk olarak G i maksimal - packigi ola A V ( G) kümesii bulmamız gereklidir. Buu aşağıdaki prosedür ile elde edebiliriz: A V ( G) kümesi seçimi içi A v olsu. V ( G ) de herhagi bir u köşesi dg( u, A) 3 durumua sahipse A V ( G) ya u ekleir. Tüm bu dg( u, A) 3 koşuluu sağlaya elemaları A V ( G) kümesie ekleriz. Bir diğer adım olarak T1 G, N A köşe kümesi ve A daki köşelere komşu G ola tüm kearlarda oluşa bir orma (forest) olur. A üzerideki bu yapıyla G de A -1 kear vardır ki bu kearlar A ı farklı komşusuu birbirlerie bağlar. Böylece buları T 1 e eklemesiyle T G ağacıı elde ederiz. Şimdi T de olmaya tüm u oktaları, T deki diğer bazı u oktalarıyla komşudur. T[ A ], E( T ) uu u V ( G) V ( T ) kear kümesie sahip G i gere ağacı(spaig tree) 3 olsu. Taımda dolayı T olarak özel elemalarda oluşturduk. Böylece aşağıdaki eşitsizliklerii elde etmiş oluruz. 3 T A bağlatılıdır. Çükü A kümesii -packig kümesi 3 rad( T A ) 3 rad( T A ) ve 3 A ( ) rad T A 1 Dikkat edelim ki, bu elde ettiğimiz eşitsizlikleri eşitlik durumu acak ve acak A bir yol(path) graf ise sağlaır. (E büyük radius yol graftadır, gerçeğii kulladık) O halde açıkça eşitsizliğii elde ederiz. A 1 rad ( T A) 3 Bua ek olarak üst tam değeri özelliğide

42 31 A 1 A 1 < 1 eşitsizliği elde ederiz. Lemma 3..1 ve so eşitsizlikte A 1 A 1 3 rad ( T A) A 1 3 ki burada 3 t 1 3 t 1 rad ( T A) olur. Acak T[A], G i gere ağacı (spaig tree) olduğuda (bir gere ağacı radiusu grafı radiusuda büyük ya da eşit olduğu radiusu taımıda açıktır) so olarak rad G 3 t 1 ( ) 1 1 rad T A eşitsizliğii elde ederiz, bu ise aradığımız souçtur. Aşağıdaki souçlar Teorem 3.. de bulua üst sıırı kuvvetli bir üst sıır olduğuu gösterir. Not 3..3 Teorem 3.. de elde edile sıır (Erdös ve ark, 1989) de verile sıırda daha iyidir. Düzesizlik ideksii taımıı ve 1 Z kullaarak aşağıdakii gösterebiliriz t t t 1 3 t

43 3 Bua ek olarak 3 t t 1 3 t t dır. Yukarıda ki eşitsizlikler bize; 3 t olduğuu gösterir. 5 8 Not 3..4 Eğer t ise Teorem 3.. de elde edile sıırlar (Kim ve ark., 01) 3 de elde edile sıırlarda daha iyidir. Buu Not 3..3 de kolayca görebiliriz. 5 8 t t olduğuda dolayı 3 t t eşitsizliğii elde ederiz. Burada açıkça görülüyor ki elde edilmiş olur t Souç 3..5 Eğer G bir regüler graf ise; Teorem 3.. de verile üst sıır şeklii alacağı açıktır. 3 rad ( G) ( 1) 1

44 33 4. MONOJENİK YARI GRUPLARIN GRAFLARI Bu bölümde Zero-Divisor Grafları yei bir versiyou olarak, Cebir aabilim dalıı öemli bir sııfı ola yarı grupları özel bir çeşidi ola moojeik yarı grupları grafları taımlaıp, bu grafları çeşitli özellikleri iceleecektir Giriş ve Temel Taımlar Değişmeli halkalar üzeride sıfır-böle graf çalışmaları Beck i (Beck, 197) çalışması ile başlamıştır. Bu çalışmaı ardıda Aderso ve arkadaşları (Aderso ve Livigsto, 1999), (Aderso ve Badawi, 008) değişmeli ve değişmeli olmaya halkalar üzeride sıfır-böle graflar alaıda öemli çalışmalarda bulumuştur. Bu çalışmaları ışığıda bir çok araştırmacı ve bilim adamı bu özel graflar üzeride çalışmalar ortaya koymuştur. Yukarıda ki çalışmalarda faydalaarak özellikle DeMeyer ve arkadaşları ayrıca diğer bazı yazarlar bu özel grafları değişmeli ve değişmeli olmaya yarı-gruplara taşımışlardır((demeyer ve Ark., 00), (DeMeyer ve Ark., 005), (Wright, 007)). Ardıda, bu çalışmaları ışığıda sıfır-böle graflar alaıda bir çok sayıda bilimsel makale literatüre kazadırılmıştır. Bu kouu öemi üzeride çalışıla karmaşık cebirsel bir ifadeyi karakterize etmek ve ou özellikleri icelemek içi kolay fırsat yakalamaktır. Şimdi yarı gruplar üzeride sıfır-böle grafları taımıı verelim. Bu taım (DeMeyer ve Ark., 00) ve (DeMeyer ve Ark., 005) çalışmalarıda şu şekilde verilmiştir Taım: Sıfırı içere (değişmeli) S yarı grubuu göz öüe alalım. Sıfırböle graf ( G) *, Z S Z S 0 köşe kümesie sahip, S i sıfırda farklı sıfırböleleri içi, farklı x, y Z S * olmak üzere x, y ile komşudur acak ve acak xy 0 dır, kuralı ile elemalar arasıda bağlatıyı kura yöledirilmemiş bir graftır. Biz de yukarıdaki taımda faydalaıp, aşağıdaki yei komşuluk kuralı ile vereceğimiz grafı taımlayalım.

45 Moojeik Yarı gruplar Üzeride Graflar Bu kısımda solu, çarpımsal, sıfır içere, M 3,,,, 0 S x x x x (4..1) moojeik yarı grubuu göz öüe alalım. Şimdi de (aslıda sıfır-böle graflara bezeye) yöledirilmemiş, moojeik yarı gruplar üzeride S V, E grafıı aşağıdaki şekilde verebiliriz. M Taım 4..1 S V, E, köşe kümesi M S M i sıfırda farklı sıfır-böleleri ( yai açıktır ki, sıfır olmaya tüm elemaları), kear kümesi ise birbiride farklı x i ve x j i j (1 i ve 1 j ) ler içi x. x 0 olacak şekildeki elemaları oluşturduğu i j kümedir. Burada x. x 0 koşulu içi şu kuralı kullaacağız: i j i j x. x x 0 i j. Taımı bir örekle pekiştirelim Örek 4.. S x, x, x, x 0 M moojeik yarı grubuu göz öüe alalım ve S M grafıı çizelim. Bu grafı köşe kümesi V SM x, x, x, x dir. Komşuluklar ise : x ile x komşudur, çükü x. x x 0 (7>4 olduğuda). Bezer matıkla x x, x x, x x, x x dir. Köşe ve komşulukları göz öüe alırsak aşağıdaki gibi grafı çizeriz. Şekil SM Moojeik yarı grubuu grafı

46 35 Böylece taımı pekiştirmiş oluruz S M i Bazı Graf Parametreleri Bu kısımda bir öceki kısımda taıtıla S M i özellikleri iceleecektir. Bu özellikler, diameter, girth, maksimum ve miimum derece, baskılık sayısı, ve düzesizlik ideksidir. Bu iceleyeceğimiz özellikler aslıda, grafları, uzaklık ve köşelerie bağlı parametrelerii özellikleridir. Bizde bu kısımda teoremleri ispatıı verirke bu gerçekleri kullaacağız. Öcelikle tüm kısım boyuca gerekli ola, temel kavramları taımlayıp, ifade ile ilgili teoremi ve ispatıı vereceğiz. Bu bölümde ki temel souçlar, (Das, Akgües ve Cevik, 013) çalışmalarıdaki literatüre kazadırılmış temel souçlarıdır. Taım Herhagi bir G basit grafı içi, G i herhagi iki köşesi u ve v uzaklık aralarıdaki e kısa yolu uzuluğu olarak adladırılır ve d ( u, v ) şeklide gösterilir. (Gross ve Yelle, 004) G Taım 4.3. Bir G grafıı diameter i diam(g) şeklide gösterilir ve diam( G) maks{ d ( x, y) : x ve y G i köşeleri} şeklide taımlaır. (Gross ve Yelle, 004) G Şimdi S M i diameteri ile ilgili teoremi ve ispatıı verelim. Teorem (4..1) de verile herhagi bir moojeik yarı grup S M içi, S M grafıı diameter i dir. İspat: S M grafıı x köşesi tek bir komşuluğa sahiptir yai pedat köşedir. Dolayısıyla diameter bu köşe ile arasıdaki uzaklık e fazla ola köşe kümesii herhagi bir elemaı ile buluabilir. x köşesi sadece x köşesi ile komşudur. x köşesi