UYUMLU SALINICI YA UYGULAMA. Tülin KAMAN

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BİLİŞİM ENSTİTÜSÜ MOLEKÜLSEL DİZGELERDE ENİYİLEMELİ DENETİM, KARARLILIK VE GÜRBÜZLÜK, ETKİLEŞİM SÜRESİNE GÖRE AÇILIM: UYUMLU SALINICI YA UYGULAMA YÜKSEK LİSANS TEZİ Tülin KAMAN Anabili Dalı Prograı : BİLİŞİM : HESAPLAMALI BİLİM VE MÜHENDİSLİK NİSAN 4

2 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BİLİŞİM ENSTİTÜSÜ MOLEKÜLSEL DİZGELERDE ENİYİLEMELİ DENETİM, KARARLILIK VE GÜRBÜZLÜK, ETKİLEŞİM SÜRESİNE GÖRE AÇILIM: UYUMLU SALINICI YA UYGULAMA YÜKSEK LİSANS TEZİ Tülin KAMAN Tezin Ensiüye Verildiği Tarih : 6 Nisan 4 Tezin Savunulduğu Tarih : 6 Mayıs 4 Tez Danışanı Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Mein DEMİRALP : Prof. Dr. Ulviye BAŞER Doç. Dr. N. Abdülbaki BAYKARA (M.Ü) NİSAN 4

3 ÖNSÖZ Yüksek lisans eğiii süresince bilisel alanda deseğini esirgeeyen, akadeik alanda gelişiie sürekli kakıda bulunan değerli hoca Prof. Dr. Mein Deiralp a, sevgi, saygı ve güven çerçevesinde beni bu günlere geiren ve herzaan yanıda olan sevgili ailee eşekkür ederi. NİSAN 4 Tülin KAMAN

4 İÇİNDEKİLER ŞEKİL LİSTESİ SEMBOL LİSTESİ ÖZET SUMMARY vi vii viii ix 1 GİRİŞ Çalışanın Aacı Kuvanu Mekaniğinin Teelleri İşlevsi, İşlevde Değişi, İşlevsel Türev Schrödinger Denkleinin İşleç Göserili Çözüü Ke ve Bra Büyüklükleri Türünden Göserili ENİYİLEMELİ DENETİM ALTINDAKİ DEVİNİM DENKLEMLERİ NİN ELDE EDİLİŞİ 8 3 SORUNUN ANALİTİK ÇÖZÜMÜ Evri İşlecinin Açık Yapısı Evri İşlecinin Sapırı Açılıı Yardııyla Belirlenesi Evri İşlecinin Çarpanlara Ayrılası Denei ve Erişi Denklelerinin Elde Edilişi Denei Denkleinin Çözüü Erişi Denkleinin Çözüü Açıklayıcı Uygulaa ÇÖZÜMÜN KARARLILIK ve GÜRBÜZLÜĞÜ NÜN İNCELENMESİ Kararlılık Çekirdeğinin Açık Yapısı Kararlılık İşlecinin Özdeğer Sorunu nun Türevli Denkle Yapısına Dönüşürülesi Kararlılık ve Gürbüzlük

5 5 ETKİLEŞİM SÜRESİNE GÖRE AÇILIM Zaana Göre Ölçeklee Ekileşi Süresine Göre Kuvve Serisi Tek Boyulu Kuvanu Uyulu Salınıcı ya Uygulaa SONUÇLAR 6 KAYNAKLAR 64 EKLER A Denei Denkleinin Çözüü için Sigesel Mupad Prograı Ekileşi Süresine Göre Açılıda Esas Çözüü 65 B Denei Denkleinin Çözüü için Sigesel Mupad Prograı Ekileşi Süresine Göre Açılıda Yaklaşırıı 67 v

6 ŞEKİL LİSTESİ Şekiller 5.1 Ekileşi Süresine Göre Açılıda Esas Çözüü Ekileşi Süresine Göre Açılıda Yaklaşırıı vi

7 SEMBOL LİSTESİ H H zaandan bağısız Hailon işleci dizgenin dış alan ekisi alındaki deviniini beileyen Hailon işleci µ dizgenin zaandan bağısız ikikuuplaşa işlevi Ô Heri ürü işleç Ô J ψ λ E() ekisi basırılak isenilen işleç opla aaç işlevsisi dalga işlevi eşdüzey işlevi dış alan genliği Planck değişezi küle yay değişezi vii

8 ÖZET Bu çalışada bir boyulu kuvanu uyulu salınıcının eniyileeli deneiiyle ilgilenilekedir. Salınıcının dış alan genliği ile ekileşiinin var olduğu ve ekileşiin ikikuuplaşa bağlaında beilenebileceği varsayılakadır. İkikuup işlevi doğrusal olarak seçilekedir. Dizgenin başlangıç anındaki duruunun, yalıılış duruundaki birinci uyarılış düzey olduğu öngörülekedir. Bu öngörüün sonuçları çok ekileediği de gözlenekedir. Eniyileeli deneide konu ve oenu işleçleri üründen doğrusal yapılı anlaılar aaç ve yapırı işleçleri olarak ele alınışır. Aaç işlecinin ekileşi zaan aralığının sonundaki beklenen değerinin erek(hedef) değer olarak öngörülen Õ değerine erişesi ya da olabildiğince yakınlaşası isenekedir. Denei denkleinin zaanla değişen alan genliği için elde edilen inegral denkle değişez kasayılı dördüncü basaakan doğrusal ürevli ve sınır koşullu bir denklee dönüşürülüşür. Sıradan ürevli bu denklein sınır koşulları inegral denkleden dönüşü sırasında elde edilişir. Sınır değer sorununun elde edilen çözülerinin kararlılığı ve gürbüzlüğü incelenişir. Kararlılık işlecinin çekirdeği oluşurulurken dalga ve eşdüzey işlevlerinin dış alan genliğindeki değişilere olan bağılılığını beileyen duyarlılık işlevleri sapanış ve kullanılışır. Kararlılık çekirdeği ve kararlılık özdeğer küesi için sınırlaalar çizilişir. Sınırlaalara dayanarakan gürbüzlüğün anıı verilişir. viii

9 SUMMARY This work deals wih quanu opial conrol of one diensional haronic oscillaor. The exernal conrolling field is assued o be sufficienly weak, herefore, characerizable by dipole polarizabiliy only. The dipole funcion is aken as linear and he iniial sae of he syse is considered o be he firs excied sae of he isolaed haronic oscillaor. Two operaors, linearly depending on posiion and oenu are aken as objecive and penaly operaors. The objecive operaor whose expecaion value is aied o reach a prescribed arge value a he final ineracion insan and he penaly operaor whose expecaion value is o be suppressed during he ineracion wih he field are assued o linearly depend on he posiion and he oenu operaor. Inegral equaion for he exernal field apliude is convered o a linear consan coefficien ordinary differenial equaion which can be analyically solved. The necessary boundary condiions for he soluion are obained fro he inegral equaion iself. Sabiliy and robusness analysis are invesigaed for he soulions of boundary value proble. While consrucing he kernel of he sabiliy operaor, sensiiviy funcions characerized he variaions in wave and cosae funcions wih respec o variaion in exernal field apliude are easured and used. We have consruced bounds for he kernel and hen for he specru. We have given quaniaive definiion of he robusness. ix

10 BÖLÜM 1 GİRİŞ 1.1 Çalışanın Aacı Çalışada gözönüne alınan kuvanu dizgenin dinaiği Schrödinger denklei arafından beilenekedir. Dizge yalıılış duruda ise Schrödinger denklei devini ve gizilgüç erkinden oluşakadır. Dış alan dizge ile ekileşiğinde, yalıılış dizgenin devinii dış alanın özelliklerine bağılı olarak yalıılış durudakinden sapa göserecekir. Ekileşi sonlu zaan aralığında sürdürüldükçe, dizgenin üzerinde deneliyici işlevler gören işleçlerin beklenen değerleri yeni değerlere ulaşacakır. Yeni değerler yalıılış dizge harekeinin bekleneninden farklı olacakır. Uygun dış alan genliği seçiiyle, sözü edilen işleçlerin beklenen değerlerinin isenilen beklenen değerlere ulaşırılabilesi olanaklıdır. Bu da, dış alanda esneklikler öngörülesi ve bu esneklikleri, ekileşi sonunda dizgeyi isenilen yapıya erişirecek ya da olabildiğince yaklaşıracak biçide seçerek, yani dizge deviniini eniyileeli deneleyerek sapaak olanaklıdır. Bu çalışada, dış alan genliği ile ekileşiin ikikuuplaşa[1] bağlaında beilenebileceği varsayılaka olup, dış alan genliği, ekileşi sırasında dizgenin dinaiğini denei için kullanılakadır. Eniyileeli denei denkleleri; ileriye doğru evrii kişiliklendiren dalga işlevinden (fonksiyon), geriye doğru evrii kişiliklendiren eşdüzey işlevinden, bunlara eşlik eden sınır koşullarından, ileri-geri evrileri birbine bağlayan denei denkleinden ve erişi denkleinden oluşakadır. 1. Kuvanu Mekaniğinin Teelleri Evri, kökleşik devibilide (klasik ekanik) durular arasında anılı iken kuvanu ekaniğinde duruların olasılıkları arasında anılıdır. Kuvanu ekaniğinin bilinen eel kuralları vardır. Birinci eel kural, dizgenin duruunun dalga işlevi ya da olasılık işlevi diye adlandırılan ve ψ sigesi ile göserilen bir aeaiksel büyüklükle beileniyor olasıdır. ψ işlevi he

11 zaana he de dizgenin konusal bağısız değişkenlerine bağılı olalıdır. ψ = ψ(x 1,, x n, ) (1.1) İkinci eel kural, olasılık genliği olarak bilinen ψ ψ büyüklüğünün ülevinin bir olasının gerekliliğidir. dx 1 dx n ψ (x 1,, x n, )ψ(x 1,, x n, ) = 1 (1.) V Kuvanu ekaniğinin eel kurallarından bir diğeri ölçülebilen ya da gözlelenebilen ü dizge özelliklerinin bir işleç (operaor) ile beilenesidir. Bu işleçlerin kendine eş olaları gerekekedir. Kendine eş işleçler[] ile ilgili bilgi vereden önce doğrusal işleçlere açıklık geireli. Eğer X ve Y aynı alan (cisi, field), F, üzerinde anılanış iki doğrusal yöney uzayı (lineer vecor space) ise X en Y ye anılanan bir işlev, L, L (α 1 x 1 + α x ) α 1 L(x 1 ) + α L(x ) ( x 1, x X ) ( α 1, α F) (1.3) koşulunu sağlıyorsa, L işlevine X en Y ye Doğrusal Dönüşü (Linear Transforaion), ya da Doğrusal İşleç (Linear Operaor) denir. Burada X doğrusal yöney uzayına sözkonusu işlecin anı bölgesi, Y doğrusal yöney uzayına ise değer bölgesi adı verilir. Eğer anı ve değer bölgelerinde ayırdee kaygısı yoksa işleci belirirken vurgulanalarına gerek duyulaksızın Doğrusal İşleç de denebilir. Doğrusal işlecin eş inden sözeek için işlecin aynı uzaydan aynı uzaya dönüşü yapıyor olası gerekekedir. Tanılaa, (x 1, Lx ) (L x 1, x ) x 1, x X (1.4) özdeşliğiyle verilir. Böylece öngörülen L işlecinin varlığı ve eşsizliği kanılanabilir. Yukarıda L ile sigelenen bu işlecin var ve eşsiz olduğunu düşüneceğiz. Bu işlece L işlecinin Eşi (Adjoin) adı verilir. Eğer X en yine X e dönüşü yapan bir L işleci gözönüne alınacak olursa ve bu işleç için L = L (1.5) yazılabiliyorsa bu işlece Kendine Eş (Self Adjoin) denir. Kuvanu dizgelerin devinilerinin incelenesinde bu eri yerine, Herie adlı bilicinin anısına, Heriian adı da verilekedir. Kuvanu ekaniğinin diğer bir eel kuralı gözlelenebilen bir büyüklüğün belli bir andaki değerinin, beklenen değer (expecaion value)

12 aracılığıyla beilenebilesidir. N bağısız değişkene bağlı dalga işlevi ψ olak üzere Q ile göserilen bir işlecin beklenen değer anıı aşağıdaki şekilde yapılır. Q = dx 1 dx N ψ Qψ ψ Q ψ (1.6) V Dizgenin devinii (olasılığın zaanla değişii), Hailonyen adı verilen bir işleç aracılığıyla anılanır. Bu işleç, klasik ekanikeki Hailon işlevi içindeki konu ve oenu yerine sırasıyla konu ve konua göre birinci ürev işleçlerinin gelesiyle üreilir. Klasik ekanikeki Hailon işlevi büyüklüğüne kuvanu ekaniğinde karşılık gelen Hailon işleci, H = H(p 1,, p n, q 1,, q n, ), (1.7) p ve q lar ˆp j i x j j = 1 n (1.8) ˆq j x j j = 1 n (1.9) ile anılanan işleçlere denk olak üzere aşağıdaki biçide anılanakadır. Ĥ = H( i x 1,, i x n, x 1,, x n, ) (1.1) 1.3 İşlevsi, İşlevde Değişi, İşlevsel Türev Tek boyulu kuvanu olekülsel devinilerin eniyileesi ile ilgilendiğiiz için dizgeyi beileyen Hailon işleci Ĥ = H( i, x, ) (1.11) x şeklinde ifade edilir. Dizgenin bir işlevler küe sinden gerçel sayılar küe sine bir dönüşü anılayan aaç işlevsisi J ile ifade edilsin. Aaç işlevsisini aşağıdaki biçide bir aeaiksel anlaı ile anılaak olanaklıdır. J df(u(), u (), ) (1.1) u() nin yukarıdaki aaç işlevsisine göre eniyileniş yapısını verecek olan denklelerin elde edilesi için aaç işlevsisinin birinci basaak değişiini belirleek ve onu sıfıra eşileek gerekir. Tülevlee ile değişi ala işleleri yerdeğişirebilir nielike olduğundan aşağıdaki eşilik yazılabilir. δj = dδf(u(), u (), ) (1.13) 3

13 Daha belirgin bir sonuç elde eek için aaç işlevsisi çekirdeğinin birinci basaak değişiinin açık olarak yazılası gerekir. Değişi ala eyleinin ürev ala eyleiyle eşdeğer sayılabilecek özellikleri bulunduğu akılda uularak bu görev yerine geirilebilir. Elde edilen yapının (1.13) kullanılası δu() ve δu () ile oranılı erilerin oplaı biçiinde bir işlevin ülevinin sıfırlanasının gerekiğini göserir. Ancak burada ürevin değişii ile işlevin değişii birbirinden bağısız değildir. Aslında, aşağıdaki ilişki geçerlidir. δu () = (δu()) (1.14) Bu nedenle değişi ürevli erilerin yalnızca değişi içeren eriler duruuna dönüşürülesi gerekir. Bu aaca kesisel ülevlee (kısi inegrasyon) ile erişilebilir. Bu doğruluda, g() ürevlenebilir ve ülevlenebilir bir işlev olak üzere dg()δu () = g(t )δu(t ) g()δu() özdeşliğinden yararlanılabilir. dg ()δu() (1.15) Verilen bir aaç işlevsisinin açık yapısı (1.13) denkleinde kullanılır ve oraya çıkan ülevlerde (1.15) özdeşliğinden yararlanılırsa ülevli anlaılarla ülev dışı anlaılarda δu(), δu(t ), ve δu() değişileri ile oranılı eriler bulunabilekedir. Sıfırlananın, değişiler ne olursa olsun, gerçeklenesi için bu değişilerin her birinin kasayısının ayrı ayrı sıfıra eşi kılınası gerekir. Böylelikle ürevli denkle ve ona eşlik eden sınır koşulundan oluşan bir Sınır Değer Sorununa karşılık gelekedir. Aaç işlevsisinin sıfıra özdeşliği enküçüklee ve enbüyüklee sorunudur. İşlevsinin değişii olup, δj δu() δj = d δj δu() (1.16) δu() eriine işlevsel ürev (funcional derivaive) denekedir. 1.4 Schrödinger Denkleinin İşleç Göserili Çözüü Zaandan bağısız Hailonyen, dizgenin opla enerjisi, devini erki (kineik enerji) ve gizilgüç erkinin (poansiyel enerji) oplaı olup aşağıdaki şekilde bağınılandırılakadır. H = H KE + H G = 1 ( i ) + 1 x x (1.17) Fiziksel birilerden arındırılış değişkenlerle çalışabilek içın değişken dönüşüü yapılası gerekekedir. Aşağıda verilen ölçeklendirelerin 4

14 yapılası duruunda Planck değişezi, küle ve gizilgüç erkinde yer alan yay değişezinden kurulabilek ükün olakadır. (k) 1 4 x x (1.18) 1 k (1.19) Bu ölçeklendirilelerin yapılası halinde zaandan bağısız Hailon işleç H = 1 ( i ) + 1 x x (1.) olakadır. H, Hailonyen işleci olak üzere Schrödinger denkle i ψ() = H ψ, (1.1) olarak yazılabilir. Eşlik eden başlangıç koşulu ψ(x, ) bilinek koşuluyla (1.1) sırasayılı denklein işleç göserilili çözüü elde edilebilir. Bu bağlada, ( i ψ() ) = (H ψ) = = H (ψ) = = H ψ(x, ) (1.) = ve böylece dalga işlevinin değişkenine göre birinci ürevinin = anındaki değeri yazılabilir. ( ) ψ() = = i H ψ(x, ) (1.3) (1.1) denkleinin iki yanının zaana göre ikinci ürevinin eşii işleçler üründen ψ() olup, = anındaki değeri ( ) ψ() = = i (H ψ) = i H ψ = i H (1.4) ( ) ( ψ = i ) = H ψ(x, ) (1.5) yukarıdaki şekildedir. Dalga işlevin zaana göre.inci ürevini aşağıdaki şekilde genelleyebiliriz. ( ) ψ() = = ( i H ) ψ(x, ) (1.6) Kuvanu ekaniğinde olasılık işlevleri sürekli işlevler olarak düşünülür. Yalıılış dizge içersinde dalga işlevi = civarında seriye açılabilekedir. MacLaurin açılıı gereği ψ(x, ) işlevini şu şekilde yazabiliriz. ψ(x, ) = ( ) ψ() n= = n n! = ( n i n ) n! H ψ(x, ) (1.7) 5 n=

15 Üsel bir işleçin seriye açılıını düsünecek olursak (1.7) sırasayılı eşilike çıkan yapıya benzer bir yapı ile karşılaşış oluruz. ( e i H n i n ) n! H = n= n= ( 1 i n ) n! H (1.8) Schrödinger denkleinin çözüü için kullanılan evri işleci H olak üzere dalga işlevinin işleç göserilii aşağıdaki şekilde elde edilir. ψ(x, ) = e i H ψ(x, ) (1.9) Ancak, bu açılı H nın ye bağlı oladığı varsayıı ile oluşuruluşur. Hailon işlecinin ye bağılı olası duruunda yukarıda verilen Schrödinger denkleinin işleç göserili çözüü geçerli değildir. 1.5 Ke ve Bra Büyüklükleri Türünden Göserili Dalgakei ve dalgabrasının sağladığı denkleler sırasıyla i ψ() = H ψ() (1.3) i ψ() = ψ() H (1.31) şeklindedir. Dalgakei ve dalgabrasının çözüü için eşlik eden başlangıç koşulları ψ() ve ψ() dir. U() evri işleçi, dalgakei denkleinin çözüü için anılanırsa, ψ() = U() ψ() (1.3) U() evri işlecinin sağladığı denkle ve eşlik eden başlangıç koşulu i U() = HU() U() = I (1.33) şeklindedir. V() evri işleçi, dalgabrası denkleinin çözüü için anılanırsa, ψ() = ψ() V() (1.34) V() evri işlecinin sağladığı denkle ve eşlik eden başlangıç koşulu i V() c seklindedir.(1.33) sırasayılı denkle soldan V() ile, i V() U() (1.35) sırasayılı denkle sağdan U() ile çarpılırsa = V()H V() = I (1.35) = V()HU() (1.36) i V() U() = V()HU() (1.37) 6

16 elde edilir. (1.36) ve (1.37) sırasayılı denkleler araf arafa oplanırsa V()U() = (1.38) olakadır. Değişez işlecin zaana bağlı ürevi sıfıra eşi olacağından V()U() = C V()U() = C = I (1.39) Böylece dalgabrasının evriini beileyen V() işleci, V() = e i H (1.4) dalgakeinin evriini beileyen U() işlecinin U() = e i H (1.41) evriğidir. U() ve V() evri işleçleri için ψ() = U() ψ() (1.4) ψ() = ψ() U() (1.43) yazılabilir. U() U() = I (1.44) Burada kaa(dagger) sigesi eş(adjoin) anlaındadır. Dolayısıyla, kaası evriğine eşi olan işleç birisel (uniary) olacağından U() evri işlecinin kendine eş olduğu oraya çıkakadır. 7

17 BÖLÜM ENİYİLEMELİ DENETİM ALTINDAKİ DEVİNİM DENKLEMLERİ NİN ELDE EDİLİŞİ Bu çalışada uyulu salınıcının eniyileeli deneii için önce zaandan bağısız Hailon işleci H ile, başlangıç anındaki dalga işlevi ψ ile, sigelenen bir dizge[3] gözönüne alınakadır. Bu dizgenin dış alan ekisi alındaki deviniini beileyen Hailon işleci aşağıdaki şekilde verilekedir. H = H + E()µ (.1) Dizgenin zaandan bağısız ikikuup işlevinin konu değişkenin bağılılığı doğrusal olarak seçileke ve µ ile sigelenekedir. Dizgenin başlangıç anındaki duruunun, yalıılış duruundaki birinci uyarılış düzey olduğu öngörülekedir. Bir işlevler küe sinden gerçel ya da karaşık sayılar küe sine bir dönüşü anılayan işlevlere işlevsi denileke ve J ile beilenen dizgenin aaç işlevsisi aşağıdaki J, J p (1), J p (), J c,d erileri ile anılanakadır. Burada işlevsi, alınakadır. ölçülebilirlik için, gerçel sayılar küe sine dönüşü olarak Ô işlecinin beklenen değeri ve Õ ile sigelenen bir erek değeri aaç işlevsisinin aaç eriini oluşuraka aşağıdaki şekilde kullanılakadır. J o = 1 ( Õ) ψ(t ) Ô ψ(t ) (.) Ekisi isenileyen bir Ô işlecinin beklenen değeri ve W p () ile sigelenen bir ağırlık işlevi, yapırı erilerinden beklenen değer basıra ile ilgili olanın oluşurulasında kullanılakadır. J p (1) = 1 dw p () ψ() Ô ψ() W p () > ; [, T ] (.3) İkinci yapırı erii için W E () ile sigelenen ağırlık işlevi kullanılakadır. J p () = 1 dw E ()E() W E () > ; [, T ] (.4)

18 Dizgenin kuvanu dinaiği aşağıdaki bağ eriiyle aaç işlevsisine girekedir. J c,d = d λ() i H() ψ() + d ψ() i H() λ() (.5) Topla aaç işlevsisi (funcional), bu erilerin oplaı olarak anılanakadır. J = J + J (1) p + J () p + J c,d (.6) İşlev yapısında yapılan sonsuz küçük değişi varyasyon olarak anılanaka olup, opla aaç işlevsisinin birinci değisii sıfırlanarak eniyileeli denei alındaki devini denkleleri elde edilebilekedir. δj = (.7) Aaç eriinin birinci değişii ( ) ( ) δj o = ψ(t ) Ô ψ(t ) Õ δ ψ(t ) Ô ψ(t ) Õ ( ) ( ) = ψ(t ) Ô ψ(t ) Õ δψ(t ) Ô ψ(t ) + ψ(t ) Ô δψ(t ) (.8) İlk yapırı eriinin birinci değişii δj p (1) = dw p () İkinci yapırı eriinin birinci değişii δj p () = ) ψ() Ô ψ() ( δψ() Ô ψ() + ψ() Ô δψ() W p () > ; [, T ] (.9) dw E ()E()δE() W E () > ; [, T ] (.1) Dizgenin kuvanu dinaiğinin birinci değişii + δj c,d = d + d δλ() i H() ψ() + λ() i H() δψ() + d ψ() µδe() λ() + d δψ() d d λ() µδe() ψ() i H() λ() ψ() i H() δλ() (.11) 9

19 Kesisel ülevlee sonrası devini kısı eriinin birinci değişii aşağıdaki şekilde ifade edilebilekedir. δj c,d = + d δλ() i H() ψ() + d λ() H() δψ() d δψ() d ψ() µδe() λ() + d δψ () i λ () + d λ() µδe() ψ() i H() λ() + d ψ() H() δλ() d δλ () i ψ () +i λ(t ) δψ(t ) i ψ(t ) δλ(t ) +i ψ() δλ() i λ() δψ() (.1) δj; λ(), ψ(), onların karaşık eşlenikleri ve E() nin birinci değişilerinin doğrusal birleşii olarak yazılabilekedir. Doğrusal bağısız değişi kasayıları sıfırlanarak, yalnızca kelerle ilgili olanları belirilen bralarla ilgili olanları da kolayca buradan çıkarılabilecek olan aşağıdaki denkleler elde edilekedir. i ψ() = [ H + E()µ ] ψ() (.13) ψ() = in (.14) i λ() = [ H + E()µ ] λ() W p () ψ() Ô ψ() Ô ψ() (.15) Burada Re gerçel kesii göserekedir. λ(t ) = i ηô ψ(t ) (.16) E() = Re ( λ() µ ψ() ) W E () (.17) η büyüklüğü, aaç eriinden üreyen ve ereken sapayla ilgili olan eride aaç işlecinin beklenen değerinin ereken sapasını nielee aaçlı olarak anılanakadır. ψ(t ) Ô ψ(t ) = Õ + η (.18) 1

20 BÖLÜM 3 SORUNUN ANALİTİK ÇÖZÜMÜ 3.1 Evri İşlecinin Açık Yapısı Bu bölüde aacıız; dalga ve eşdüzey işlevlerinin dış alan genliği, E(), ve η üründen çözülerin elde edilesidir. Bu aaçla, (.13) and (.14) eşilikleri yeniden ele alındığında ve U() nin dizgenin Evri uulduğunda, dalga işlevinin çözüü için İşleci olduğu gözönünde ψ() U() in (3.1) öngörüü yapıldığında U() aşağıdaki eşiliği sağlaakadır. i U() = [ H + E()µ ] U() (3.) Evri işlecinin başlangıç koşulu, (.14) ve (3.1) sırasayılı eşilikler yardııyla, I biri işleci göserek üzere, olarak yazılabilir. U() = I (3.3) Dalgakeinin Heri ürü eşleniği dalgabrası olduğundan yazılabileke ve (3.4) sırasayılı eşilik ψ() in U() (3.4) i U() = U() [ H + E()µ ] (3.5) U() = I (3.6) denkle ve koşulunun yazılasına olanak sağlaakadır. (3.), (3.3), (3.5), ve(3.6) sırasayılı eşilikler, U() U() = I (3.7) olduğu anlaına geleke ve bu da U() nin birisel (uniary) işleç olası gerekiğini anlaakdır. U(), Hilber uzayında dizgeyle ilgili büyüklüklerin zaanla değişiini beileyen bir aşkın döneli (hyperroaional) evri sağlaakadır.

21 3.1.1 Evri İşlecinin Sapırı Açılıı Yardııyla Belirlenesi Şidi (3.) ve (3.3) sırasayılı eşiliklerin gerçek sapırı açılıı yoluyla çözülesine çabalayabiliriz. Bu aaçla, daha sonra 1 olarak alınacak yapay sapırı değişirgeni[5], ν, devreye sokularak (3.) ve (3.3) aşağıdaki şekilde yazılabilir. U(, ν) i = [ H + νe()µ ] U(, ν) (3.8) U(, ν) = I (3.9) Burada inceleeleri kolaylaşırak için E() verilen bir büyüklük olarak düşünüleke olup aacıız verilen E() değerlerine bağlı U() yi elde eek olarak belirlenekedir. (3.8) sırasayılı eşiliğin çözüü için bilineyen U(, ν) ν nün eksi olayan kuvveleri üründen McLaurin serisine aşağıdaki şekilde açılabileke U(, ν) = ν k U k () (3.1) k= ve açılıın bilineyen kasayıları aşağıdaki özyinelee aracılığıyla belirlenebilekedir. i U k() = H U k () + E()µU k 1 (), k 1 (3.11) U k () = δ k I, k (3.1) Burada δ k Kroenecker in dela sigesini göserekedir. Son iki denklein çözüü olak üzere aşağıdaki biçide yazılabilekedir. O µ () e i H µe i H (3.13) ( U k () = i ) k k e i H d k d k 1 d 1 E( k ) E( 1 )O µ ( k ) O µ ( 1 ) k (3.14) Daha fazla ilerleyebilek için ikikuup işlevi, µ nün anılanası gerekekedir. Burada µ nün doğrusal olduğu varsayılaka ve yapısı aşağıda verilekedir. µ µ I + µ 1 x (3.15) Burada µ ve µ 1 verilen değişirgenler olup, x konua karşılık gelekedir. Bu anılaa O x () e i H xe i H (3.16) 1

22 olak üzere O µ () nin aşağıdaki biçide yazılasına olanak verekedir. O µ () = µ I + µ 1 O x () (3.17) O µ () and O x () işleçleri sırasıyla ikikuup işlevi ve konuun zaanla yayılasını beilendirekedir. Bu nedenden dolayı µ ve x al indisleri bu anlaılarda kullanılakadır. Sırayla O x () ve O µ () nin açık yapılarını elde edebilek için Hailonyen in açık yapısına gereksini duyulakadır. Uyulu salınıcının külesi nin, kuvve sabii nın poziif olduğu varsayılaka olup bir boyulu uyulu salınıcının Hailonyeni aşağıdaki şekilde yazılabilekedır. H x + x (3.18) (3.16) sırasayılı eşiliğin her iki yanının zaana göre ürevi olup, Ȯ x () e i H {H, x} e i H O p () (3.19) noka sigesi zaana göre ürevi gösereke ve aşağıdaki şekilde anılanan Poisson Sigeleesi (Poisson Bracke) kullanılakadır. Bu büyüklük H nin açık yapısı ele alınırsa {H, x} i (H x xh ) (3.) {H, x} = i x (3.1) olarak yazılabilekedir. (3.1) sırasayılı eşilik (3.19) da yerine yazılırsa O p () eşii aşağıdaki şekilde yazılabilekedir. ( O p () = e i H i ) e i H (3.) x Bu büyüklüğün zaana göre ürevi { Ȯ p () e i H H, i } e i H = x O x() (3.3) olacakır. Buradan ikinci basaakan sabi kasayılı ve işleç değerli bilineyeni olan ürevli denkle elde edilekedir. d O x () d + O x() = (3.4) Yukarıdaki denklee eşlik eden sınır koşulları, O x () ve O p () dan aşağıdaki şekilde elde edilekedir. O x () = x, 13 Ȯ x () = i x (3.5)

23 Bu denklelerin çözüü, O x () nin aşağıdaki açık yapısını verekedir. ( ) ( ) ( ) O x () = cos x + sin i x (3.6) (3.17) sırasayılı eşilike O x () yerine açık yapısı yazıldığında, p olak üzere, O µ () açık yapısı O µ () = µ I + µ 1 cos p i x (3.7) ( ) x + µ ( ) 1 sin p (3.8) olarak elde edilir. U k () işleçlerinin açık yapısını elde eek için yukarıda elde edilen sonuçlar kullanılakadır. U () = e i H (3.9) (3.14) sırasayılı eşilik yardııyla U 1 () nin eşii aşağıdaki şekilde yazılabilir. U 1 () = i e i H (3.8) eşilike verilen O µ ( 1 ) açık yapısı yardııyla d 1 E( 1 )O µ ( 1 ) (3.3) U 1 () = i [ ( ) i e H d 1 E( 1 ) µ I + µ 1 cos x + µ ( ) ] 1 sin p ( = i ) e i H [ α 1 ()x + α ()p + α 3 ()I ] (3.31) yazılabilir. Yine (3.14) sırasayılı eşilik yardııyla U () ( U () = i ) e i H d d 1 E( )E( 1 )O µ ( )O µ ( 1 ) = 1 ( i ) e i H d d d 1 E( 1 )O µ ( 1 ) d (3.3) yazılabilir. Buradan, U () işlecinin açık yapısı aşağıdaki şekilde elde edilir. ( U () = i ) [ e i H 1 α 1() x + 1 α () p α 3() I + +α 1 ()α ()xp + α 1 ()α 3 ()x+ ] +α ()α 3 ()p i dτȧ (τ)α 1 (τ) (3.33) 14

24 U 1 () ve U () nin açık yapısında kullanılan α 1 (), α () ve α 3 () ( ) α 1 () µ 1 dτe(τ) cos τ α () µ 1 ( dτe(τ) sin τ ) (3.34) (3.35) α 3 () µ dτ E(τ) (3.36) özdeşlikleriyle anılanakadır. V k () aşağıdaki eşilike olduğu gibi anılandığında yazılabilir. e i H e i ν α 1()x e i ν α ()p e i ν α 3()I e i ν R dα ()α 1 ()I = ν k V k () (3.37) k= U k () = V k (), k =, 1, (3.38) Sigesel progralaa dili, Mupad[6], yardııyla (3.38) nin geçerliliğini k = 1 a kadar değerleri için geçerli olduğunu göserek ükündür. Kuşkusuz, bu ü k değerleri için geçerli olacağı deek değildir. Aa, (3.37) nın sol yanındaki anlaıın U(, ν) nun sağladığı denklein çözüü olduğunu göserek hiç de zor değildir. Dolayısıyla, U(, ν) = e i H e i ν α 1()x e i ν α ()p e i ν α 3()I e i ν R dα ()α 1 ()I (3.39) yazak ükündür. Sapırı (Perurbaion) açılıı yardııyla dizgenin evri işlecini oluşurak ükündür. Bir kese yaklaşırıı yapılayıp ü sapırı açılıı kullanıldığından bu bir sapırı yaklaşırıı değildir. Elde edilen açılı yakınsaksa kesin çözüdür. ν = 1 alınasıyla dizgenin evri işleci için aşağıdaki eşilik yazılabilekedir. U() = e i H e i α 1()x e i α ()p e i α 3()I e i R dα ()α 1 ()I (3.4) 3.1. Evri İşlecinin Çarpanlara Ayrılası Evri işlecinin çarpanlara ayrıla yöneiyle belirlenebilesi için öncelikle yapılası gereken dönüşü U() = e i H U 1 () (3.41) şeklindedir. (3.41) sırasayılı eşilik (3.) eşiliğinde kullanılırsa U 1 () işleci için yeni bir denkle elde edilir. i U 1() = E()e i H µe i H U 1 () = E()O µ ()U 1 () (3.4) 15

25 U 1 () işlecinin sağladığı denklein çözüü için O µ () nin eşii yerine yazılırsa i U 1() [ ( ) = E() µ I + µ 1 cos x + µ ( ) ] 1 sin p U 1 () (3.43) elde edilir. Bu denklein çözüü için U 1 () = e i α 1()x U (), (3.44) dönüşüü yapılarak, U () işleci için aşağıdaki denkle elde edilebilir. i U () = ( E()µ + E() µ ( ) ) 1 sin e i α1()x pe i α 1()x U () (3.45) e i α 1()x pe i α 1()x = p α 1 ()I (3.46) (3.46), (3.45) sırasayılı eşilike yerine yazıldığı zaan i U () = (E()µ I + E()dα ()α 1 ()I + E()dα ()p) U () (3.47) sonucuna varılır. Bu denklein çözüü için dönüşüü yapıldığında U () = e i α ()p U 3 (), (3.48) i U 3() = (E()µ I E()dα ()α 1 ()I) U 3 () (3.49) denkleine ve buradan da U 3 () = e i R dτ(e(τ)µ I E(τ)dα (τ)α 1 (τ))i (3.5) çözüüne ulaşılır. Evri işleci, sonsuz boyulu uzayda sonsuz sayıda açısal bileşeni olan bir döneye karşılık gelir. Yapılan ü döneler bu ür açılarla kişiliklendirilekedir. Aaç, ükün olduğunca ilk aşaada döne işleini yapak ve kapanası gereken açıları kapaakır. Evri işlecinin çarpanlara ayrılasında kullanılan ü işleçler birisel işleç olacak şekilde seçilişir. Topla dör evri işleci döneler için kullanış olup, yapılan ü döneler sonucunda açı kapanakadır. U() evri işlecinin ilk çarpanı opla enerjiyi, ikinci çarpanı konuu, üçüncü çarpanı oenuu beileekedir. U() = e i H e i α 1()x e i α ()p e i α 3()I e i R dα ()α 1 ()I (3.51) 16

26 3. Denei ve Erişi Denklelerinin Elde Edilişi Bu bölüde aacıız; E() ve η nın bilineyen olarak gözüküğü denklelerin elde edilesidir. Bu denklelerinin elde edilebilesi için Ô ve Ô işleçlerinin açık yapılarına gereksiniiiz vardır. İşle kolaylığı için bu işleçler, konu ve oenu üründen doğrusal alınakadır. Ô a I + a 1 x + a p, Ô b I + b 1 x + b p (3.5) İlerleyebilek için dalgabrası ve dalgakei boyunca Ô nin beklenen değerinin hesaplanası gerekekedir. Bu, aşağıdaki işleçlerin açık yapılarının bulunası ile ilinilidir. Q x () U() xu(), Q p () U() pu(), (3.53) İşleçlerin değişi ilişkileri üzerinde özenli bir incelee, Q x () = e i α ()p e i α 1()x e i H xe i H e i α 1()x e i α ()p Q p () = e i α ()p e i α 1()x e i H pe i H e i α 1()x e i α ()p (3.54) (3.55) olduğunu gözönüne serekedir. Öe yandan, ( ) e i α1()x pe i α1()x = e i α 1()x α 1 ()e i α1()x I + e i α1()x p = p α 1 ()I (3.56) e i α ()p xe i α ()p = x + α ()I (3.57) eşilikleri Q x () ve Q p () açık yapısının yazıı için yardıcı olacakır. Q x () nin belirlenesi için sırasıyla aşağıdaki belirleeler gerçekleşirilekedir ( ) Q (1) x () = e i H xe i H = cos x + 1 ( ) sin p (3.58) Q () x () = e i α1()x Q (1) x ( ) = cos ( ) = cos ()e i α 1()x x + 1 sin x + 1 sin ( Q x () = e i α()p Q () x ()e i α()p = cos [ + α () cos ( ) e i α1()x pe i α 1()x ( ) 17 ) ( ) p e i α1() Q (1) x ()e i α1() α 1 ()I x + 1 ( sin α 1() sin ) p + ) ] I ( (3.59) (3.6)

27 Q p () nin belirlenesi için benzer işleler yapılırsa ( ) Q p () = cos p ( ) sin x [ ( ) α 1 () cos + ( ) ] α () sin I (3.61) elde edilekedir. Denei denkleinin elde edilebilesi için eşdüzeybrasının açık yapısına gereksini vardır. Eşdüzeybrasının belirlenebilesi için (.15), (.16) denkleleri ele alınaka ve aşağıdaki dönüşü yapılakadır. λ() U() λ() (3.6) Bu dönüşü sonrası (.15) ve (.16) eşilikleri aşağıdaki gibi yazılabilekedir. λ() = i W p() in U() Ô U() in U() Ô U() in (3.63) λ(t ) = i ηu(t ) ÔU(T ) in (3.64) [, T ] aralığında inegre edildiğinde bu denkle λ() = λ(t ) i dτw p (τ) in U(τ) Ô U(τ) in U(τ) Ô U(τ) in (3.65) yapısına bürünekedir. aşağıdaki şekilde yazılabilekedir. i Bu denklein evri işleçleri üründen anlaıı λ() = i ηu()u(t ) ÔU(T ) in dτw p (τ) in U(τ) Ô U(τ) in U()U(τ) Ô U(τ) in (3.66) Bu eşiliğin karaşık eşleniği denei denkleinde yerine yazılırsa { } Re ( λ() µ ψ() ) = η in U(T ) Ô U(T ), U() µu() in { } + dτw p (τ) in U(τ) Ô U(τ) in in U(τ) Ô U(τ), U() µu() in (3.67) elde edileke ve dış alan genliğinin ağırlık işlevi ile çarpıının evri işleçleri üründen eşii aşağıda verilekedir. { } W E ()E() = η in U(T ) ÔU(T ), U() µu() in + dτw p (τ) in U(τ) Ô U(τ) in { } in U(τ) Ô U(τ), U() µu() in 18 (3.68)

28 Ô,Ô, ve µ işleçleri için U(T ) ÔU(T ) = a I + a 1 Q x (T ) + a Q p (T ) (3.69) U(τ) Ô U(τ) = b I + b 1 Q x (τ) + b Q p (τ) (3.7) U() µu() = µ I + µ 1 Q x () (3.71) yazabilekeyiz. (3.69) ve (3.71) in Poisson Sigeleesi aşağıdaki şekildedir. { } U(T ) ÔU(T ), U() µu() = a 1 µ 1 {Q x (T ), Q x ()} + a µ 1 {Q p (T ), Q x ()} = a ( ) ( ) 1µ 1 sin (T ) I + a µ 1 cos (T ) I (3.7) (3.7) ve (3.71) nün Poisson Sigeleesi eşii de aşağıda verilekedir. { } U(τ) Ô U(τ), U() µu() = b 1 µ 1 {Q x (τ), Q x ()} + b µ 1 {Q p (τ), Q x ()} = b ( ) ( ) 1µ 1 sin (τ ) I + b µ 1 cos (τ ) I (3.73) Başlangıç ke ve bra sındaki sieriden dolayı konuun ve oenuun beklenen değerlerinin ekileşiin başlangıcındaki değerleri yokolakadır. in x in =, in p in = (3.74) Dolayısıyla Q x () ve Q p () için aşağıdaki eşilikler yazılabilekedir. ( ) in Q x () in = α () cos α ( ) 1() sin, (3.75) ( ) in Q p () in = α 1 () cos ( ) α () sin (3.76) Ô işlecinin beklenen değerinin belirlenesi için yukarıdaki eşiliklerden yararlanılaka ve in U(τ) Ô U(τ) in = b + b 1 in Q x () in + b in Q p () in ( ) = b + b 1 α (τ) cos τ b ( ) 1α 1 (τ) sin τ ( ) ( ) b α 1 (τ) cos τ b α (τ) sin τ = b b τ ( ) 1µ 1 dτ 1 E(τ 1 ) sin (τ τ 1) τ ( ) µ 1 b dτ 1 E(τ 1 ) cos (τ τ 1) (3.77) 19

29 sonucuna varılakadır. İleri ve geri evrii birbirine bağlayan eşiliği yazabilek için zaana bağlı E s () işlevi E s () olarak anılanakadır. yardııyla (3.68) eşiliği açık olarak W E ()E() = η a ( 1µ 1 sin + ( ) dτ 1 E(τ 1 ) sin ( τ 1), (3.78) Yukarıda yapılan bu anılaa ve hesaplaalar dτw p (τ) [ b µ 1 cos şeklinde elde edilekedir. (T ) aşağıdaki eşilike olduğu gibi elde edilekedir. ) ( ) + ηa µ 1 cos (T ) + ] [ b b 1µ 1 E s (τ) b µ 1 E s(τ) ( ) (τ ) + b ( )] 1µ 1 sin (τ ) (3.79) Buradan, daha sonra kullanılacak sınır koşulu W E (T )E(T ) = ηa µ 1 (3.8) = T anındaki diğer bir sınır koşulunun elde edilebilesi için (3.79) sırasayılı eşiliğin her iki yanının ye göre ürevi alınaka ve η a 1µ 1 cos W E ()E() + W E()E () = ( ) ( ) (T ) + ηa µ 1 sin (T ) + [ b µ 1 W p () b b ] 1µ 1 E s () b µ 1 E s () [ dτw p (τ) b b ] 1µ 1 E s (τ) b µ 1 E s (τ) ( ) [b µ 1 sin (τ ) b ( )] 1µ 1 cos (τ ) (3.81) W E (T )E(T )+W E(T )E (T )= η a 1µ 1 b b µ 1 W p (T ) + + b 1b µ 1 W p (T )E s (T ) + b µ 1 W p(t )E s(t ) (3.8) elde edilekedir. Dış alan genliği E() nin, bilinen bileşenler ve bilineyen η ya bağlı çözüünün (3.79) inegral denkleinden elde edilesi gerekekedir. Bu çözü η bilineyenini değişirgen olarak içereke olup, çözü için başka bir bağısız denklee gereksini vardır. Bu denkle, (.18) sırasayılı eşiliken yararlanarak aşağıdaki şekilde daha açık bir yapıda yazılabilekedir. in U(T ) ÔU(T ) in = Õ + η (3.83)

30 (3.69) sırasayılı anlaıdan yararlanarak yukarıdaki eşilik aşağıdaki şekilde yazılabilekedir. in a I + a 1 Q x (T ) + a Q p (T ) in = Õ + η (3.84) Q x (T ) ve Q p (T ) nin açık yapısından ve in x in = ve in i in = sonuçlarından yararlanarak erişi denklei aşağıdaki şekilde yazılabilekedir. ( ) ( ) a1 µ 1 a + E s (T ) a µ 1 E s (T ) cos T ( a1 µ ) ( ) 1 E s(t ) + a µ 1 E s (T ) sin T =Õ + η (3.85) Burada E s (T ), (3.79) sırasayılı eşiliken η ya bağlı olarak hesaplanabildiğinden bilinen olarak düşünülekedir. (3.79) ve (3.85) denkleleri sırasıyla Denei ve Erişi denkleleridir. Denei denklei, E() yi η ya ve bilinen bileşenlere bağlı olarak elde eek için kullanılakadır. Elde edilen çözü, (3.85) denklede yerine konulduğunda η bilineyeni hesaplanabilekedır. Bu çözü denei alındaki dizgeye bağılı olarak eşsiz ya da birden çok sayıda bağısız işlev olarak oraya çıkabilir. Bir sonraki bölüde denei ve erişi denklelerinin çözüüyle ilgilenilecekir. 3.3 Denei Denkleinin Çözüü (3.79) sırasayılı eşiliğin her iki yanının ye göre iki kez ürevi alınırsa ( ) d d (W E()E()) = ηa 1 µ 1 sin (T ) ( ) ηa µ 1 cos (T ) [ dw p () b µ 1 b b ] 1µ 1 E s () b µ 1 d E s() [ b µ 1 W p () b ] 1µ 1 E s () b µ 1 E s () + b [ 1µ 1 W p() b b ] 1µ 1 E s () b µ 1 E s () [ + dτw p (τ) b b ] 1µ 1 E s (τ) b µ 1 E s(τ) [ b µ 1 cos ( ) (τ ) b ( ) ] 1µ 1 sin (τ ) (3.86) 1

31 elde edilir. (3.79) eşiliğin her iki yanın ile çarpılır ve (3.86) eşiliğinin her iki yanı ile araf arafa oplanırsa ve w 1 (), w (), w 3 () aşağıdaki şekilde anılanırsa w 1 () b dw p () µ 1 (3.87) d ( ) b w () µ 1 + b 1 µ 1 W p () b 1b µ 1 dw p () (3.88) d dw p () w 3 () b b µ 1 b b 1 µ 1 d W p() (3.89) ve buradan da aşağıdaki şekilde ürevli denkle elde edilir. ( d d + ) I W E ()E() b µ 1 W p()e() + +w 1 ()E s () + w ()E s () + w 3 () = (3.9) (3.9) sırasayılı eşilik E() nin ürevlerini ve inegrallerini içerekedir. Sal ürevli denkleler ile çalışak daha yeğlenir bir durudur. Dolayısıyla, E s () nin yapısından üreilebilen, E() ( E s () + ) E s() (3.91) özdeşliği kullanarak, (3.9) sırasayılı eşiliğin aşağıdaki biçide bir ürevli denkle yapısına dönüşürülesi ükündür. ( d d + ) ( d I W E () d + I ( d b µ 1 W p() d + I Bu, dördüncü basaakan doğrusal, ) E s () ) E s () + w 1 ()E s () + w ()E s () + w 3 () = (3.9) hoojen olayan sıradan ürevli bir denkledir. Bu denklein çözüü dör başlangıç veya sınır koşulunu sağlayacak şekilde dör belirsiz değişirgen içerir. (3.78) sırasayılı eşilik yardııyla he işlevin kendisinin he de ürevinin = anındaki başlangıç koşullarının elde edilişi oldukça kolay olup, aşağıdaki şekilde sonlandırılabilir. E s () =, E s () = (3.93) (3.9) sırasayılı eşilik dördüncü basaakan olduğundan başlangıç veya sınır koşullarından biri E s () nin en çok üçüncü basaakan ürevini içerek zorundadır. Özenli ve biraz da ayrınılı bir araşıra = anı için başka bir koşul bulunasının ükün oladığını göserekedir. Bu da, = T son andaki konrolün yapılası gerekiğini göserekedir. (3.8) ve (3.8) sırasayılı

32 denkleler bu aaçla kullanılabilekedir. (3.91) özdeşliğinden yararlanılası duruunda, ( W E (T ) E s (T ) + ) E s(t ) = ηa µ 1 (3.94) ve ( W E (T ) (E s (T ) + E s(t )) + W E (T ) E s (T ) + ) E s (T ) = = η a 1µ 1 b b µ 1 W p(t ) + b 1b µ 1 W p(t )E s (T ) + b µ 1 W p(t )E s (T ) (3.95) yazılabilekedir. (3.9), (3.94) ve (3.95) dördüncü basaakan doğrusal bir sınır değer sorunu anılaakadır. Zaana göre değişi göseren W E () ve W p () nin davranışına bağlı olarak ürevli denklein analiik çözüü bulunabilir ya da sal sayısal çözüle yeinilek zorunda kalınabilir. Doğrusal sıradan ürevli denkleler kuraına dayanarak, birbirinden doğrusal bağısız bu işlevleri E j (), (j = 1,, 3, 4) ile göserirsek (3.9) sırasayılı denklein genel çözüü aşağıdaki şekilde yazılabilir. E s () = c 1 E 1 () + c E () + c 3 E 3 () + c 4 E 4 () (3.96) Eleanları aşağıdaki şekilde açık yapıda verilen dörde dörlük bir aris A 1j E j (), 1 j 4 A j E j (), ( 1 j 4 A 3j W E (T ) E j (T ) + ) E j(t ), 1 j 4 ( A 4j W E(T ) E j (T ) + ) ( E j(t ) + W E (T ) E j (T ) + ) E j(t ) ve iki vekör b 1b µ 1 W p(t )E j (T ) b µ 1W p (T )E j(t ), 1 j 4 (3.97) c T [ c 1, c, c 3, c 4 ] (3.98) [ r T,, ηa µ 1, η a ] 1µ 1 b b µ 1 W p (T ) (3.99) anılayarak, sınır koşulları karşılığı olarak aşağıdaki cebirsel eşilik elde edilebilekedir. Ac = r (3.1) 3

33 µ 1 in, a 1 ve a den en az birinin sıfıra eşi olaası duruunda sorunun fiziksel anlaı varolakadır. Dolayısıyla, r vekörünün sıfıra eşi oladığı varsayılakadır. Sonra, (3.1) sırasayılı eşiliğin çözüünün ü T değerleri için var ve eşsiz olduğunu ileri sürebiliriz. e j nin Euclid biri vekörü olası duruunda yani j inci eleanı 1 diğer eleanları olarak anılansa c j = e T j A 1 r, 1 j 4 (3.11) yazılabilekedir. (3.11) sırasayılı eşilik denei denkleinin çözüünü sonlandırakadır. A ve r nin eklenesi ile oluşan genişleiliş kasayılar arisinin ranklarının T değerleri için farklı olası halinde çözüün var oladığı söylenebilir. Rankların eşi olası halinde, rankın değerine bağlı olarak belirsiz değişirgen içeresine karşın, denklein çözüü vardır. Burada rank ın 4 olası durula ilgilenekeyiz. Sonuç olarak, (3.91) denkleden E s () ve E() nin eşsiz olarak elde edebileceğiizi ileri sürebiliriz. 3.4 Erişi Denkleinin Çözüü r vekörü η li ve η sız erii olarak iki parçaya ayrılabilir. r = ηr 1 + r (3.1) r 1 ve r [ r T 1,, a µ 1, a ] 1µ 1 [ ] k r T,,, b b µ 1 W p (T ) (3.13) (3.14) olduğundan (3.11) sırasayılı eşiliği aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz. c j = ηc (1) j + c () j, 1 j 4 (3.15) c (k) j = 1 dea et j A a r k ; k =, 1; 1 j 4 (3.16) Burada A a, A arisinin adjugae (işareli inörler arisinin devriği) arisidir. E s () () ve E s (1) (), η dan bağısız olup, E s () nin eşii bu eriler üründen aşağıdaki şekilde yazılabilekedir. E s () = ηe (1) s () + E () s () (3.17) η dan bağısız eriler daha açık olarak aşağıdaki şekilde yazılabilekedir. E s (k) () 4 j=1 c (k) j E j (), k =, 1 (3.18) 4

34 (3.85) sırasayılı erişi denkleini aşağıdaki şekilde yeniden yazabiliriz. a (dea) + d (T ) + η(t )d 1 (T ) = Õ (dea) + η(t ) (dea) (3.19) Yukarıdaki eşilike kullanılan d k (T ) aşağıdaki özdeşliklerle anılanakadır. d k (T ) 4 e T j A a r k D j (T ); k =, 1; 1 j 4 (3.11) j=1 D j (T ) ( ) ( a1 µ 1 E j (T ) a µ 1 E j (T ) cos ( a1 µ ) 1 E j(t ) + a µ 1 E j (T ) sin (3.19) sırasayılı denkleden η(t ) çekilecek olursa ) T ( ) T 1 j 4 (3.111) η(t ) = Õ (dea) d (T ) a (dea) d 1 (T ) (dea) (3.11) elde edilir. Bu eşiliğin sağ yanı T ye bağlı iki işlevin oranı duruundadır. Payda sıfırdan farklı iken payı sıfırlayan T değerleri (gerçel olarak varsa) kesin erişii yani en iyi duruu verir. Diğer yandan, pay sıfırdan farklı iken paydayı yok eden T değerleri de bulunabilir. Eğer varsa, bu değerler erek değerinden sonsuz sapa olarak oraya çıkaka ve en köü durua karşılık gelekedirler. 3.5 Açıklayıcı Uygulaa alınabilir. Açıklayıcı bir uygulaa olası açısından aşağıdaki en basi duru ele µ x, Ô x, Ô i x (3.113) İşleçleri doğrusal olarak ifade ederken kullanılan ü değişezlerin eşilikleri aşağıda verilekedir. µ, µ 1 1; a, a 1 1, a ; b, b 1, b 1 (3.114) İnceleeleri daha da kolaylaşırak adına aşağıdaki anılaalar da yapılakadır. 1, = 1, W E () 1, W p () 1 (3.115) 5

35 ve nin 1 alınası fiziksel boyusuz koordinaların kullanılaka olduğu anlaına gelekedir. Büün bu anılaalar; ve ürevli denklein eşlik eden sınır koşullarının w 1 (), w () 1, w 3 () (3.116) d 4 E s () d 4 yazılasına olanak sağlaakadır. + d E s () d + E s () = (3.117) E s () =, E s() =, E s (T ) + E s (T ) =, E s (T ) = η (3.118) (3.117) ürevli denkleinin birbirinden bağısız çözüleri karakerisik denklein kökleri yardııyla aşağıdaki şekilde yazılabilekedir. ( ) E 1 () e 3 cos, ( ) E () e 3 sin, ( ) E 3 () e 3 cos, E 4 () e sin ( 3 A arisinin açık olarak yazılabilesi için ) (3.119) E 5 (T ) 1 3 E 1(T ) E (T ), (3.1) 3 E 6 (T ) E 1(T ) 1 E (T ), (3.11) E 7 (T ) 1 E 3(T ) E 8 (T ) 3 E 4(T ), (3.1) 3 E 3(T ) 1 E 4(T ) (3.13) 6

36 anıları da yapılarak A E 5 (T ) E 6 (T ) E 7 (T ) E 8 (T ) E 1 (T ) E (T ) E 3 (T ) E 4 (T ) (3.14) özdeşliğine ulaşılabilir. r sağ yan vekörünün r ve r 1 bileşenlerinin açık yapıları bu duru için r =, r T 1 = [,,, 1 ] (3.15) olup, bu eşilikler dış alan genliğinin aşağıdaki şekilde yazılasına yardıcı olakadır. E() = η(t ) E nu(, T ) E den (T ) (3.16) Yukarıdaki eşilike yer alan E nu (, T ) ve E den (T ) nin açık anlaıları aşağıda verilekedir. ( ) ( ) T + 3(T ) E nu (, T ) cosh cos ( ) ( ) T 3(T + ) sinh cos ( ) ( ) T + 3(T ) 3 cosh sin ( ) ( ) T 3(T ) 3 cosh sin E den (T ) 3 4 ( e T + e T ) 1 cos ( 3T Erişi denkleinin yazılabilesi için öncelikle ) (3.17) + (3.18) d (T ) (3.19) d 1 (T ) sin(t ) 3 sinh(t ) cos(t ) + ( ) sin(( 3 + 1)T ) + ( ) sin(( 3 1)T ) (3.13) 7

37 açık anlaıları ve sonunda da η(t ) = ÕE den (T ) d 1 (T ) E den (T ) (3.131) anlaıı elde edilekedir. Kolaylıkla, T nin negaif olayan değerleri için E den (T ) = (3.13) eşiliğin sağlanadığı göserilebilir. Bu, hiçbir ekileşi süresi için erek değer Õ ya erişi oladığı anlaına gelekedir. Diğer yandan, d 1 (T ) E den (T ) = (3.133) eşiliği sonsuz sayıda T değerler küesi için sağlanakadır. 8

38 BÖLÜM 4 ÇÖZÜMÜN KARARLILIK ve GÜRBÜZLÜĞÜ NÜN İNCELENMESİ Bu bölüde aaç; dalga ve eşdüzey işlevlerinin dış alan genliğinin değişiine bağlılığından yararlanarak eniyilee çözülerinin kararlılık (sabiliy) ve gürbüzlüğünü (robusness) [7] inceleekir. Bu aaçla dalga ve eşdüzey işlevlerinin dış alan genliğine olan bağılılığı ilgili eniyilee denklelerini sağlayacak biçide ele alındığında aaç işlevsisinin yapısı, ikinci basaak değişi içeren erilerinin yokolası nedeniyle, olabildiğince yalınlaşakadır. Böylece elde edilen yapı aşağıda verilekedir. ( δ J = dw E ()δe() dδe() δλ() µ ψ() + ψ() µ δλ() ) + λ() µ δψ() + δψ() µ λ() (4.1) Aaç işlevsisinin ikinci değişiinde kullanılan üs çizgi, dalga ve eşdüzey işlevlerinin dinaik denkleleri kullanılarak bu işlevlerin değişilerinin E() nin birinci değişii üründen yazıldığında elde edilen denkledir. Diğer bir deyişle, δψ() δψ() dτ δe(τ) δe(τ); (4.) δψ() dτ δψ() δe(τ); (4.3) δe(τ) δλ() δλ() dτ δe(τ) δe(τ); (4.4) δλ() dτ δλ() δe(τ) (4.5) δe(τ) anılaaları, δψ() S ψ (, τ) = δe(τ) (4.6) S ψ (, τ) = δψ() (4.7) δe(τ) δλ() S λ (, τ) = δe(τ) (4.8) S λ (, τ) = δλ() (4.9) δe(τ)

39 işlevsel ürevler anılaaları yardııyla yeniden yazılabilekedir. δψ() δψ() δλ() δλ() dτ S ψ (, τ) δe(τ), (4.1) dτ S ψ (, τ) δe(τ); (4.11) dτ S λ (, τ) δe(τ), (4.1) dτ S λ (, τ) δe(τ) (4.13) Bu özdeşliklerin kullanııyla (4.1) sırasayılı eşilik aşağıdaki şekilde yazılabilekedir. δ J = dw E ()δe() dδe() dτ ( S λ (, τ) µ ψ() + ψ() µ S λ (, τ) + λ() µ S ψ (, τ) + S ψ (, τ) µ λ() ) δe(τ) (4.14) S ve I sırasıyla kararlılık ve biri işleçleri sigeleek üzere açık olarak aşağıdaki şekilde anılanakadır. If() Sf() dτδ( τ)f(τ) (4.15) dτk(, τ)f(τ) (4.16) Burada f(), [, T ] aralığında zaana göre karesi inegre edilebilir işlevler uzayında anılı bir işlevdir. Sorunuuzun sierik kararlılık işleci ( K(, τ) W E () 1 WE (τ) 1 S λ (, τ) µ ψ() + ψ() µ S λ (, τ) + λ() µ S ψ (, τ) + S ψ (, τ) µ λ() + S λ (τ, ) µ ψ(τ) + ψ(τ) µ S λ (τ, ) + λ(τ) µ S ψ (τ, ) ) + S ψ (τ, ) µ λ(τ) (4.17) olak üzere (4.14) eşiliği aşağıdaki eşilikle verilir durua dönüşürülebilir. δ J = dδe()w E () 1 [ I S ] WE (τ) 1 δe(τ) (4.18) Böylece aaç işlevsisinin ikinci değişiinin eniyileeyi sağlayan δe()w E () 1 işlevleri için değeri I S işlecinin beklenen değeri olarak oraya 3

40 çıkar. Bu beklenen değer, aynı zaanda, çekirdeği I S işleci olan bir kuvadraik for olarak da yorulanabilir. S kararlılık işlecinin [8] özdeğerleri ikinci değişiin alacağı değeri sapayan en öneli bileşenler konuuna gelekedir. Burada ilk olarak daha açık bir şekilde kararlılık işlecinin çekirdeğinin elde edilişi üzerinde durulacakır. İkinci olarak kararlılık işlecininin özdeğer sorununun dördüncü dereceden işlecin sınır değer sorununa dönüşürülesi incelenecekir. Üçüncü olarak; kararlılık işleç spekuru incelenecek ve gürbüzlük anıı verilecekir. 4.1 Kararlılık Çekirdeğinin Açık Yapısı Dış alan genliği E() ve erişi değişirgeni η yı içeren kararlılık işlecinin çekirdeği K(, τ) için açık bir anlaı elde eek olanaklıdır. Bu aaçla dalgakei, eşdüzeykei ve dizgenin evri işleci aşağıdaki şekilde yeniden yazılakadır. Burada çizgi, eniyilee sonucu elde edilen çözü olduğunu göserek için kullanılakadır. ψ() U() in (4.19) i λ() = i ηu()q b O (T ) in d 1 W p ( 1 )U()Q b O ( 1 ) in in Q b O ( 1 ) in (4.) Eniyileeli denei sonrası yeni işleçler aşağıdaki şekilde anılanakadır. Q bo () U() ÔU() (4.1) Q b O () U() Ô U() (4.) Dizgenin evri işlecinin,u(), açık yapısı bir önceki bölüde elde edilişir. γ 1 () µ 1 γ () µ 1 ( ) dτe(τ) cos τ olak üzere aşağıdaki şekilde yazılabilekedir. ( ) dτe(τ) sin τ (4.3) (4.4) γ 3 () µ dτ E(τ) (4.5) U() = e i H e i γ 1()x e i γ ()p e i γ 3()I e i R dγ ()γ 1 ()I (4.6) 31

41 E() ye bağlı (4.6) sırasayılı eşilikeki evri işlecinin birinci değişii aşağıdaki şekilde yazılabilekedir. δu() = Dalgakei için yazılan (4.19) eşiliğinden yararlanarak yazılabileceğini göserek olanaklıdır. dτ δu() δe(τ) δe(τ) = dτs U (, τ)δe(τ) (4.7) S ψ (, τ) = S U (, τ) in. (4.8) Eşdüzey işlevinin duyarlılık kasayı kei, (4.) sırasayılı eşiliğin her iki yanının birinci değişii alınarak belirlenebilir. için bağısız işleçlerin birinci değişii ile ilgilenek gerekir. değişirgeninin birinci değişii alınacak olursa elde edilir. δη dτ Bunun kolay hesaplanabilesi Öncelikle erişi δη T δe(τ) δe(τ) dτs η (τ)δe(τ) (4.9) Burada S η (τ), η nın duyarlılık kasayısına (sensiiviy coefficien) karşılık gelekedir. Erişi denkleinin her iki yanının birinci değişii alınarak bu eri belirlenebilir. Böylece S η (τ) in { Q µ (τ), Q b O (T )} in (4.3) sonucuna varılır. Burada küe ileri Poisson Sigeleelerine karşılık gelekedir ve olarak anılanakadır. Q µ () U() µu() (4.31) Aynı işle (4.1), (4.), ve (4.31) sırasayılı eşiliklere uygulandığı zaan, aşağıdaki denklikler yazılabilir. δq µ () dτh U ( τ)δe(τ) {Q µ (τ), Q µ ()} (4.3) δqo b () dτh U ( τ)δe(τ) { Q µ (τ), QO b ()} (4.33) δq b O () dτh U ( τ)δe(τ) { Q µ (τ), Q b O () } (4.34) Daha da ilerleyebilek için S U (, τ) açık olarak elde edilelidir. Bu aaçla evri işleci için geçerli olan (3.) sırasayılı denkleden yararlanak olanaklıdır. (3.) sırasayılı eşiliğin her iki yanının birinci değişii alınır i δu() = [ H + E()µ ] δu() + δe()µu(), (4.35) 3

42 evri işlecinin birinci değişii yerine (4.7) sırasayılı eşilike verilen ifade yazılır i dτs U (, τ)δe(τ) = ve eşiliğin her iki yanında düzenlee yapılırsa dτ [ H + E()µ ] S U (, τ)δe(τ) +µ dτδ( τ)u()δe(τ), (4.36) elde edilir. biçidedir. i S U(, τ) = [ H + E()µ ] S U (, τ) + µδ( τ)u() (4.37) Bu denklee eşlik eden başlangıç koşulu aşağıda belirildiği S U (, τ) = (4.38) Değişkenin eksi olduğu yerde, arı olduğu yerde 1, sıfır olduğu yerde 1 olan Heaviside biri basaak işlevi [9], H U ( τ), ile sigelenek üzere çözü aşağıda verilekedir. S U (, τ) i H U( τ)u()q µ (τ) (4.39) Büün bu işlelerden sonra eşdüzey işlevinin duyarlılık kasayısını elde eek için (4.) eşiliğinin her iki yanının birinci değişii alındığında aşağıdaki eşilik elde edilekedir. S λ (, τ) = i S η(τ)u()q bo (T ) in i ηs U(, τ)q bo (T ) in i i i i ηu()h U(T τ) { Q µ (τ), Q bo (T ) } in d 1 W p ( 1 )S U (, τ)qo b ( 1 ) in in QO b ( 1 ) in d 1 W p ( 1 )U()H U ( 1 τ) { Q µ (τ), Q bo ( 1 ) } in in Q bo ( 1 ) in d 1 W p ( 1 )U()Q bo ( 1 ) in in H U ( 1 τ) { Q µ (τ), Q bo ( 1 ) } in (4.4) (4.3), (4.39) sırasayılı denklikler yukarıda yerine yazılırsa, Q µ (), QO b () ve Q bo () üründen bir denkle elde edilekedir. τ, [, T ] aralığında anılı olduğundan ve bu aralık için H U (T τ) = 1 olacağından eşdüzey işlevinin duyarlılık kasayısı 33

43 denkleinin son hali aşağıdaki biçide yazılabilir. i i 1 H U( τ) S λ (, τ) = η H U( τ)u()q µ (τ)qo b (T ) in i in { Q µ (τ), QO b (T )} in U()QO b (T ) in i η U() { Q µ (τ), Q b O (T )} in d 1 W p ( 1 )U()Q µ (τ)q b O ( 1 ) in in Q b O ( 1 ) in d 1 W p ( 1 )H U ( 1 τ)u() { Q µ (τ), Q b O ( 1 ) } in in Q b O ( 1 ) in d 1 W p ( 1 )H U ( 1 τ)u()q b O ( 1 ) in in { Q µ (τ), Q b O ( 1 ) } in Verilen Q 1 ve Q gibi iki işlecin Poisson Sigeleesi (4.41) {Q 1, Q } i (Q 1Q Q Q 1 ) (4.4) olduğuna göre yukarıdaki denklede yer alan Poisson Sigeleelerinin her biri belirlenebilecek deekir. şekilde yazılabileceğini kanılaak olanaklıdır. Kararlılık çekirdeğinin her bir bileşenin aşağıdaki S ψ (, τ) µ λ() = η H U( τ) in Q µ (τ)q µ ()QO b (T ) in + 1 H U( τ) d 1 W p ( 1 ) in Q b O ( 1 ) in in Q µ (τ)q µ ()Q b O ( 1 ) in (4.43) ψ() µ S λ (, τ) = i in { Q µ (τ), QO b (T )} in in Q µ ()QO b (T ) in i η H U( τ) in Q µ ()Q µ (τ)q bo (T ) in i η in Q µ() { Q µ (τ), Q bo (T ) } in 1 H U( τ) d 1 W p ( 1 ) in Q bo ( 1 ) in in Q µ ()Q µ (τ)q bo ( 1 ) in i d 1 W p ( 1 )H U ( 1 τ) in Q b O ( 1 ) in in Q µ () { Q µ (τ), Q b O ( 1 ) } in d 1 W p ( 1 )H U ( 1 τ) in Q µ ()Q bo ( 1 ) in 34 in { Q µ (τ), Q bo ( 1 ) } in (4.44)

44 S ψ (, τ) µ λ() + ψ() µ S λ (, τ) = i in { Q µ (τ), Q bo (T ) } in in Q µ ()Q bo (T ) in +i η H U( τ) in {Q µ (), Q µ (τ)} Q bo (T ) in i η in Q µ() { Q µ (τ), Q bo (T ) } in i + i H U( τ) d 1 W p ( 1 ) in Q bo ( 1 ) in in {Q µ (), Q µ (τ)} Q bo ( 1 ) in i d 1 W p ( 1 )H U ( 1 τ) in Q b O ( 1 ) in in Q µ () { Q µ (τ), Q bo ( 1 ) } in d 1 W p ( 1 )H U ( 1 τ) in Q µ ()Q bo ( 1 ) in in { Q µ (τ), Q b O ( 1 ) } in (4.45) Q µ (), Q bo () ve Q bo ( 1 ) işleçler Heri ürü işleçlerdir. Ke in Heri ürü eşleniği brasıdır. İki Heri ürü işlecin Poisson Sigeleesi yine Heri ürüdür. Büün bunlar, aşağıdaki daha kapsalı eşilikleri yazabileke olduğuuz anlaına gelekedir. K(, τ) S ψ (, τ) µ λ() + ψ() µ S λ (, τ) + S λ (, τ) µ ψ() + λ() µ S ψ (, τ) (4.46) K(, τ) = ηh U ( τ) in { Q bo (T ), {Q µ (τ), Q µ ()} } in in { Q µ (τ), Q bo (T ) } in in { Q µ (), Q bo (T ) } in +H U ( τ) η in { Q µ (), { Q µ (τ), Q b O (T )}} in d 1 W p ( 1 ) in Q b O ( 1 ) in in { Q bo ( 1 ), {Q µ (τ), Q µ ()} } in d 1 W p ( 1 )H U ( 1 τ) in Q bo ( 1 ) in in { Q µ (), { Q µ (τ), Q bo ( 1 ) }} in d 1 W p ( 1 )H U ( 1 τ) in { Q µ (τ), QO b ( 1 ) } in in { Q µ (), QO b ( 1 ) } in (4.47) Heaviside işlecinin yapısından dolayı bu iki bileşenli işlevin parçalı bir doğası vardır. Bundan dolayı Heaviside ın biri işlevini içereyecek şekilde parçalı 35