TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

Transkript

1 4 TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER 4.. Merkez Eğlm Ölçüler 4... Artmetk Ortalama 4... Ağırlıklı Artmetk Ortalama Keslmş artmetk ortalama Geometrk Ortalama Harmok Ortalama Kuadratk Ortalama Medya Kartller Decle ve Percetle Mod 4.. Değşkelk Ölçüler 4... Varyas Ve Stadart Sapma: 4... Ortalama Mutlak Sapma OMS Nsp Varyasyo Ölçüler 4.3. Asmetr Ölçüler 4.3..Pearso Asmetr Ölçüsü Kartllerde Asmetr Hesaplaması Bowley Asmetr Ölçüsü 4.4. Taımlayıcı statstklere at grakler Bo plot 4.4. Q-Q plot 4.4. Bölüm Özet (Verler Özetlemes) Ek 4. Mometler Pro. Dr. Levet ŞENYAY IV - İstatstk

2 Taımlayıcı örek statstkler, örek verler kullaarak, bularda elde edle dağılışları sayısal olarak özetleye değerlerdr. Br ver grubuu taımlamak dğer tüm ver gruplarıda ayırt edleblecek e az sayıda örek statstğ le yapılmalıdır. Bu statstkler e geel olarak elde edlmes sağlaya değerler mometlerdr. Taımlayıcı statstkler üç aa grupta toplaır,. Merkez eğlm ölçüler (yer ölçüler). Değşkelk ölçüler 3. Asmetr ölçüler 4.. Merkez Eğlm Ölçüler Bularda merkez eğlm ölçüler, br ver grubua lşk değşke tüm arklı değerler etraıda topladığı merkez değerlerdr. Ver setler merkez değerler belrlemey sağlar. Çok çeştl ola ortalamalarda e öemller: - Artmetk ortalama (mea) - Ağırlıklı artmetk ortalama 3- Keslmş artmetk ortalama (tracated mea) 4- Geometrk ortalama 5- Harmok ortalama 6- Kuadratk ortalama. 7- Medya 8- Kartl (çeyrek) 9- Setl 0- Mod Ortalamalar (averages) başlıca k amaca hzmet ederler: ) Herhag br örekte elde edle kattat (sayısal) ver grubuu kısa açıklaması; ) İdrek (dolaylı) olarak ve bell br doğruluk derecesde populasyou açıklamasıdır. Örek ortalamaları, populasyo ortalamalarıı yakı tahmleycler (taktrcler) olduğuda geelleştrmeye müsattrler ve böylece örek lmtler dışıda açıklamaları yapılmasıa yarar. Kısa veya ekoomk şeklde açıklamayı ve daha öemls blmsel araştırmayı olaaklı kılar Artmetk Ortalama Örek verler toplamıı örek hacme bölümüdür. N = Populasyo hacm = Örek hacm Pro. Dr. Levet ŞENYAY IV - İstatstk

3 Bast serlerde artmetk ortalamaı hesaplaması populasyo artmetk ortalaması N N örek artmetk ortalaması Örek: 9 şç br gülük üretm mktarları aşağıda verlmştr. Bua göre şçler ç üretm mktarlarıı artmetk ortalaması edr? 5, 8, 0,, 3, 4, 7, 3, Artmetk Ortalama: 7, ü tahmleycsdr. Artmetk ortalamaı özellkler: - Örek elemaları ortalama etraıda toplama eğlmdedr ya öreğ e y temsl ede tek br elemadır ve smetr oluştura değerdr., - Artmetk ortalamada sapmaları toplamı sıırdır Sapma: Herhag br elemaı değerde artmetk ortalamaı veya br sabt çıkartılmasıdır. d ve Pro. Dr. Levet ŞENYAY IV - 3 İstatstk

4 d (... ) (... ) z 0 d a y y z d a... z y d a z y d a Σz=Σ(+y) Σz/=Σ/+Σy/ a d 3- Örek elemalarıı artmetk ortalamada sapmaları kareler toplamı mmumdur. m 4- Örek değerlerde meydaa gele değşm çok küçük de olsa artmetk ortalama bu değşmde etkler. 5- Verler tümüü br oksyoudur. Bu edele güçlü br statstktr. 6- Örek gözlemler tümü a gb br sabt le çarpılırsa bu ye ver set artmetk ortalaması da esk ver set artmetk ortalamasıı a le çarpımı kadar değşr. 7- Örek gözlemler tümü a gb br sabt le toplaırsa bu ye ver set artmetk ortalaması da esk ver set artmetk ortalamasıı a le toplamı kadar değşr. 8- Artmetk ortalama verlerdek uç değerlerde etklemes se bu statstğ zayı yöüü oluşturur. Grupladırılmış ve Sııladırılmış Frekas verlerde artmetk ortalamaı hesaplaması Örek: Br kuru üzüm üretcs ürüler 0,5 kg., kg., kg., 5 kg. ve 0 kg. poşetlerde satışa sumaktadır. Br hata boyuca ürüler satış mktarları aşağıdak tabloda verlmştr. Bua göre kurum üzüm ç ortalama satış mktarıı hesaplayıız. Poşet (Kg.)( ) 0,5 kg kg. kg. 5 kg. 0 kg. Satış Aded ( ) ,5*(50) *(3) *() 5*(9) 0*(6),77 kg. 00 Pro. Dr. Levet ŞENYAY IV - 4 İstatstk

5 Sııladırılmış rekas verlerde artmetk ortalama La Lü altlmt üstlmt (sıı orta oktası) Örek : A=9 A=4 =5 Sıılar d= -A L a L ü rekas d=(-a) d d Toplam = 7 = 003 d 355 d ' =- = 003 = Artmetk ortalaı Sııladırılmış verlerle kısa metotla hesaplaışı: d A A: varsayımlı ortalama (herhag br ) d: varsayımlı ortalamalarda sapmalar d A d : düzeltme aktörü Artmetk ortalamaı Sıı aralığı verler ve kısa metotla hesaplaışı: ' d A. =6-+= ' d : sııları varsayımlı ortalamalarıı çde buluduğu sııta yer arkı (sapma) L L : sıı aralığı (sıı hacm) 4... Ağırlıklı Artmetk Ortalama Gözlemler bell br krtere göre ağırlıkladırılmış se ağırlıklı artmetk ortalama kullaılır. Ağırlıklı artmetk ortalama kullaılırke tüm gözlemler ağırlıkları eşt se artmetk ortalama le ayı soucu verr. İde sayıları hesaplamasıda, yüzdeler ortalamasıda çarpımları ortalamasıı alımasıda kullaılır. w Bast serler ç w veya w Pro. Dr. Levet ŞENYAY IV - 5 İstatstk

6 Frekas verler ç X w w w w... w / w... ˆ w... w... w w... w Örek: Br öğrec w kredl, adet derste otu almıştır. Bua göre ot ortalamasıı hesaplayıız. W A(4) 4 90 B(3) 3 00 A(4) B(3) w C() 3 50 D() 3 0 F(0) 60 C() Örek: İstatstk Bölge Brmler Sııladırmasıa göre Türkye toplam bölgeye ayrılmaktadır. Aşağıda bu bölgelere lşk 000 yılı üus ve kş başıa düşe GSYİH (YTL) mktarları verlmektedr. Bu verlerde yola çıkarak Türkye geele lşk ortalama kş başıa düşe GSYİH mktarıı buluuz. Toplam üus ( mlyo) (w) w BÖLGE ADI GSYİH (000 YTL) () Kuzeydoğu Aadolu Ortadoğu Aadolu Güeydoğu Aadolu İstabul Batı Marmara Ege Doğu Marmara Batı Aadolu Akdez Orta Aadolu Batı Karadez Doğu Karadez TOPLAM Artmetk ortalama le hesaplaırsa: Burada artmetk ortalama ktle tüm ver gruplarıı eşt olduğuu varsaydığı ç gerçek ortalama değer vermez. ( = 59,9) Ağırlıklı artmetk ortalama le hesaplaırsa: Pro. Dr. Levet ŞENYAY IV - 6 İstatstk

7 w (..5) (.3 3.7)... (.7 3.) (,59 67,3 = 75.03) Örek: Br köydek 0 çtç döüme buğday vermler ve sahp oldukları buğday arazler aşağıda verlmştr. Çtç No Verm (kg/dö) Araz(dö) Sadece verm dkkate alıdığıda artmetk ortalama : kg / dö 0 Ağırlıklar (araz) dkkate alıdığıda se ağırlıklı artmetk ortalama : w kg / dö Görüldüğü gb ağırlıklı ortalama, artmetk ortalamada daha küçüktür. w Buu alamı; yüksek verm elde ede çtçler arazler spete daha küçüktür Keslmş Artmetk Ortalama Verler çersde e büyük ve e küçük değerler yaklaşık % 5 verlerde kopmuş olarak aşırı sapa değerler çeryor ve bu değerler verler doğal yapısıa çok uygu olmadığı kaaat var se, bu durumda verler e alt ve üst kısmıda % 5 lk kısmı atılarak ger kala kısmıı artmetk ortalamasıı alıması le elde edle artmetk ortalamadır. Öreğ, 00 kşlk br sııta derslere deva etmemş 5 yada 6 öğrec var ve bu öğrecler derslere sadece soruları öğremek ç gelmşler se, söz kousu bu öğrecler sıav otları ola sıır değerler ver setde çıkarılarak hesaplaa ortalama sııı gerçek perorması ola ot ortalamasıı daha doğru açıklar Geometrk Ortalama Geometrk dz şeklde artış ya da azalış göstere verler e y temsl ede merkez eğlm ölçüsüdür. Taım: Örek ver değerler çarpımıı, örek hacm derecesde köküe eşttr. G Özellkler: - 0 olmalıdır. Pro. Dr. Levet ŞENYAY IV - 7 İstatstk

8 - Serdek değerler her br yere geometrk ortalama koulduğuda ser çarpım soucu değşmez = 3768 = Geometrk ortalamaı orjal gözlemler logartmk sapmaları eşttr. Bu özellkte dolayı ortalama oralara, değşme oralarıa, logartmk dağılmış şekller uygulaır. Öreğ; yat dekslerde geometrk ortalama alamlı souçlar verr. 4- Artmetk ortalama gerçekte sp ola değerler yere mutlak değerlemş gb br şleme bağlı tutularak çok arta sp değerler olduğuda azla gösterr. Bu yüzde yukarı eğlmldr. 5- Logartmk br dağılımda geometrk ortalamaı terch ede böyle br dağılımda mutlak sapmaları değl acak merkez eğlm etraıda sp sapmaları smetrk olma eğlmdr. 6- G < 7- * *... G G G 8- G brmler değerler arasıdak oraa göre değer alır. 9- Uç değerlerde kadar etklemez G - G altıdak ve üstüdek orjal gözlemler logartmk sapmaları eşttr. Dğer br deyşle, G değer gözlemler G de sp sapmalarıı degeler. Bu özellk edeyle G, özellkle ortalama oralara, değşme oralarıa ve logartmk dağıla serlere daha uygudur. Öreğ, yat edeks. G G G G G Geometrk ortalamaı e yararlı olarak kullaıldığı alalarda br de ortalama değşklk oraıdır. Logartmaları alımış değşkeler tekrar orjal şekle döüştürülmüş ortalamasıa geometrk ortalama der. Bast serde geometrk ortalama hesabı : G / (.... ) Geometrk ortalama çözümü ç aşağıdak logartma şlem yapılır G log G log log...log log Pro. Dr. Levet ŞENYAY IV - 8 İstatstk

9 G at log! log G.... Örek : : 3, 9, 7 sayılarıı geometrk ortalaması G Örek : : 3, 5, 7, 80, 3, 6 sayılarıı geometrk ortalaması G ,747, 00 log G log,747,00 7 6,43 7 0,898 Frekas serlerde geometrk ser hesaplaması:. N G G N tae tae tae N N N log G log log... log log G at log log Geometrk ortalamaı terch ede; geometrk ortalamada merkez eğlm (mutlak sapma değl) etraıdak sp sapmaları smetrk olma eğlm/özellğdr. Pro. Dr. Levet ŞENYAY IV - 9 İstatstk

10 Dolar edeks Dolar edeks hesaplamasıda Japo Ye, Euro, Kaada Doları, İglz Poudu, İsveç Krou ve İsvçre Fragı olmak üzere 6 etkl para brm kullaılmaktadır. Bu para brmler Dolar edeks hesaplaması ç aşağıdak şeklde ağırlıkladırılmıştır; Parte Ağırlık % Euro (EUR) / USD %57,6 USD / Japo Ye (JPY) %3,6 İglz Poudu (GBP) / USD %,9 USD / Kaada Doları (CAD) %9, USD / İsveç Krou (SEK) %4, USD / İsvçre Fragı (CHF) %3,6 Dolar Edeks = EURUSD USDJPY 0.36 GBPUSD -0.9 USDCAD 0.09 USDSEK 0.04 USDCHF Yukarıdak ormülde doları altı para brm karşısıdak değer geometrk ortalaması alımaktadır. Hesaplamaı yapıldığı gükü parte sevyes dolar edeks çdek ağırlığı kadar üssü alımaktadır, doları baz para brm olduğu durumlarda üssü pozttr, ters durumda se üssü egat alımaktadır rakamı se sabt çarpadır. Bu sabt sayı dolar edeks hesapladığı lk gü edeks 00 sevyese eştleye çarpadır. Dolar edeks 0 sevyesde se bu doları edeks hesapladığı lk güde tbare altı para brmde oluşa dövz sepet karşısıda %0 değer kazadığıı gösterr. Edeks 90 se bu da doları %0 değer kaybettğ gösterr EURUSD USDJPY 0.36 GBPUSD -0.9 USDCAD 0.09 USDSEK 0.04 USDCHF tarhdek pardeler 50,4348 eur/dolar 0,576 usd/jpy 0,36 gbp/usd 0,9 usd/cad 0,09 usd/sek 0,04 usd/ch 0,036,0796,3,564,303 8,7485 0, tarhdek dolar edeks 99,56845 Bleşk Faz P 0=başlagıç mktarı r= az oraı =yıl (az döem) P = yıl sorak meblağ r P P r 0 P P 0 P P r 0 log P log Po log( r) r P P o Pro. Dr. Levet ŞENYAY IV - 0 İstatstk

11 e sayısı le bleşk az lşks 7. yüzyılda sayıları çarpımlarıı elde etmek çtoplama olarak ade edleblmes sağlaya logartma kr üzerde çok çalışma yapılmıştır. Bularda Jacob Beroull 683 yılıda bleşk az özellkler celerke logartma kr le e sayısı üzere çalışmalar yapmıştır. Bu çalışma soucu olarak aşağıdak souçlar görüleblr lraı br yıl soudak bleşk az ç arkl az döemler kullaılarak e sayısıı elde edldğ görülür. Faz döem döem az.d. sou.d.sou yıl sou Yıl %00 / yıl %50=%00/,5,5,5 ¼ yıl %5=%00/4,5,444 / yıl (aylk) %00/,6304 /5 yıl (hatalık) % 00/5,7457 /365 yıl (gülük) %00/365,7457 /365*4 (saatlk) %00/(365*4),783 /365*4*60 (dakkalık) %00/(365*4*60),788 /365*4*60*60 (sayelk) %00/(365*4*60*60),788 e sayısı le lgl bazı özellkler : ) ser açılım özellğ e = + / + /() + /(3) + /(43) + = + /! + /! + /3! + /4! + = /! =0 ) Euler özellğ e π + = 0 dır. 3) Lm ( - /) = e - dr. e sayısı ekoomk büyüme, popülasyo büyümes, üus büyümes, br ortamdak baktes mktarı değşm, radyoakt madde mktarıdak değşm, elektrk akımı gb tabatta br çok büyüklüğü değşm gb koularda kullaıla br sabttr. k üstel değşm mktarı ve a popülasyo başlagıç mktarı olmak üzere dy/dt = ky deklem çözümü y= a kt şekldedr. Burada k sabt + veya oluşua bağlı olarak üstel artma veya azalma olarak değşm elde edlr. Örek: 3 yılda 000$, 5000$ a artmıştır. Yıllık ortalama artış yüzdes edr? %500 gb gözükse de bu ortalama % artışı doğru değldr. Burada r ortalama artış 3 yüzdes göstermektedr. Başlagıç 000 yıl sora r000(+r) yıl sora 000(+r)+ 000(+r)r=000(+r) 3 yıl sora 000(+r) +000(+r) r=000(+r) 3 =5000 r 3 5 r 3 5 P P r 0 Pro. Dr. Levet ŞENYAY IV - İstatstk

12 Örek: mal baz yıl 945= A malı B malı A yatı %00 artmış B yatı %00 düşmüş A ve B malı art. ort. yorumu Yalış olur. A malı yatı %00 artmış, B malı yatı %50 düşmüş. G 00*50 00 Yorum : A ve B mallarıı eşt orada tükete br tüketc harcamasıda 945 le 955 yılları karşılaştırılırsa, bu mal grubua at harcamasıda br değşme olmamıştır ÖRNEK: Br doğru üzerde brbre btşk k doğru parçasıı uzulukları a ve b olsu. Bu k doğru parçası çap olmak üzere br yarım çember çzelm. Çember r yarıçapıı a ve b artmetk ortalaması olduğuu ve dk h uzuluğuu buları geometrk ortalaması olduğuu gösterz. h y a b r a b a b r artmetk ortalama a h b h y. psagor. psagor y ( a b) 3. psagor a b h a b ab h ab h ab ab geometrk ortalama Harmok Ortalama Taım: Gözlemler tersler artmetk ortalamasıı tersdr. elemaları brbre eşt olmadıkça Ser tüm G H bağıtısı mevcuttur. Eğer... se bu bağıtı G H olur. Pro. Dr. Levet ŞENYAY IV - İstatstk

13 Harmok ortalama küçük değerlerde çok, büyük değerlerde az etkler. Harmok ortalama aşağı eğmldr. H.O da 0 (=,,., ç) olmalıdır. H... veya H H.O bell koşullar altıda ve bell yat tpler altıda zama serler ortalamak ç kullaılır. Uygulamada sabt ve değşke brmler vardır. Zama sabt üretm değşke olduğuda, eşt zama peryodlarıdak üretm ortalaması ç kullaılır. Öreğ; brmlk mal A kşs taraıda 30 dk da ve ye brmlk mal B kşs taraıda 0 dk da üretlyorsa mal mktarı sabt, zama değşkedr. Ortalaması alıa değşkedr ya zamadır.. H dk da kg mal (ort.) üretlmektedr Uçakla 400 km, trele 60 km(570km) 4800 H. O 04km/ h Üretm brm sabt, malyet değşke olduğuda brm başıa ortalama malyet ç HO kullaılır. Öreğ br kş. markette 3 klo meyveye 0 lra, dğer markette aldığı 4 klo meyveye 0 lra öder ve 3. markette 5 klo meyveye 0 lra öderse, meyveler ortalama yatı HO dır. 3 HO lra Bu örek ağırlıklı artmetk ortalama le de hesapladığıda ayı doğru soucu verr. Harmok Ortalama uygulama yerler Zama brm başıa hız Para brm başıa satı alıa brm sayısı h 3,4,9 h Pro. Dr. Levet ŞENYAY IV - 3 İstatstk

14 Örek: A ve B gb k şehr arasıda 00km lk br yol vardır. Br otomobll yolu lk yarısıı 30 km/saat hızla gdyor. Dğer yarısıı 40 km/saat hızla gdyor. Hız ortalaması edr? v = ortalama hız ; t = geçe zama ; d = alıa yol d d=v*t d/ d v. t v. t t : Yolu lk yarısıda geçe zama A M B t : Yolu kc yarısıda geçe zama Burada d t ve t d v v d vt t t t. v v v v yazılır. Böylece hız ortalaması d vt v 34.8 t vt v v v v ortalama = Harmok Kuadratk Ortalama Taım: Gözlemler kareler artmetk ortalamasıı köküdür. Stadart sapmaı hesaplamasıda kullaılır. Ortalama değerler ortalamasıda kullaılmaz. K G H bağıtısı vardır. K Medya ( ) ab a b Büyüklük sırası le dzlmş br dz e ortadak elemaıı değerdr. Örek hacm tek se c elema değer Örek hacm çt se ve c elemaları artmetk ortalamasıdır. Pro. Dr. Levet ŞENYAY IV - 4 İstatstk

15 Medyaı özellkler : ) med m. Bu medyaı e öeml özellğdr. ) Brm sayısıdak değşmelerde etkler, uç değerlerde etklemez. 3) Medyaı stadart hatası, artmetk ortalamaıkde daha büyüktür. Not : Verler sürekl veya keskl olmasıa dayalı olarak medya ve bezer şeklde kartller de hesaplamasıda buluacak oktaı belrlemes ç öcelkl terch matematksel oktada zyade alamlı ola oktaı belrleeblmesdr. Bu amaçla doğru yorumlaablecek yer seçm dama daha doğru olacaktır. Uygulama yerler: gelr dağılımı, ücret dağılımı gb değerce tam ortada yer ala değerler blmesde pratk yarar ola durumlarda terch edlr. Bast serlerde medya hesabı Örek: tek se 6 0 medya 0 çt se medya Medya; rütbeler, ücretler, bçmde belrlemş gözlemler açıklamasıda alam taşır. Sgorta hadler geellkle medyalardır. Ulaşım soruuda merkez yer olarak medyalar seçlr. 3) Medya verler tümüü kullamaya ve tümüde etklemeye br statstk. Özellkle uç değerlerde etklemez, daha çok ortaca değerlerde etkler. Tüm verler br oksyou olmaması açısıda zayı br statstk olmasıı sağlar, dğer tarata uç değerlerde etklememes se bazı açılarda güçlü br özellktr. Örek: Br hastae geel cerrah bölümüde çalışa 6 doktoru br aylık süre çersde yapmış olduğu amelyat sayıları aşağıda verlmştr. Bua göre amelyat sayıları ç medya (Q ) değer hesaplayıız. 8,,, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 0, 0, 3, 5, 8, 9 = 6 ortalamasıdır. Medya = 7, 5 Medya : 8. gözlem değer le 9. gözlem değer artmetk 7 8 Grupladırılmış Frekas verler le medya hesaplaması: Örek: Matematk I ders ala öğrecler arasıda seçle 60 öğrec ders tekrar sayılarıı dağılımıı ade ede tablo aşağıda verlmştr. Matematk I ders ç tekrar sayısıı medya değer hesaplayıız. Tekrar Sayısı( ) Öğrec Sayısı ( ) Pro. Dr. Levet ŞENYAY 5 V- İstatstk I

16 Kümülat Frekas değerler hesaplaarak aşağıdak tablo oluşturulur Tekrar Sayısı( ) Öğrec Sayısı ( ) Σ / = 30 c elemaa karşılık gele gözlem değer ola medya değerdr. -Sııladırılmış rekas verler le artmetk (İterpolasyo) metotla medya hesaplaması: Medya değer çde buludura sııa medya sııı der. Medyaı gerçek değer bulmak ç, medya sıııda alt sıı lmtlerde medya oktasıa kadar dağılmış rekasları, medya sıııdak tüm rekaslara oraı tay edlr. / Medya L. L ( ) med =rekasları toplamı L=medya sıııı alt lmt ( / ' y geçe lk sııı alt lmt) med = medya sııı rekası medyada öcek rekasları kümülat toplamı = sıı aralığı med İterpolasyo metodu verler sürekl ve ser elemalarıı sıı aralıklarıda eşt dağıldığı varsayımıa dayadırılır. Veya sıı aralığı olarak medya sııı aralığı kullaılır. Örek: 30 ( ) medya L Medya : 5 + Sıılar Fr medya 30/ -0.3 = Medya sııı Pro. Dr. Levet ŞENYAY 6 V- İstatstk I

17 Sıı aralığıı belrlemes Tüm sıılarda sıı aralıkları eşt olablr veya olmayablr. Acak sıılarda kullaıla brmler ölçüm hassasyetlere (vrgülde sorak sayı mktarı) göre sıı aralığı da aşağıdak öreklerde olduğu gb aklılıklar gösterr. a. Sıılar =Lü-La+e küçük ölçüm aralığı - 5 = 5-+ (+ hassasyet brm) b. sıılar = (+0. hassasyet brm) 6.0 0, c. sıılar =5, (+0.0 hassasyet brm) d. sıılar 5 de az (=4) =4-+ (+ hassasyet brm) 5 0 da az (=9) 0 5 de az (4) e. Sıılar da az (=4.9) = (+0. hassasyet brm) da az (=9.9) -Frekas verler kullaılarak Grak (geometrk) metotla medyaı buluması: Grak : de daha az eğrs Pro. Dr. Levet ŞENYAY 7 V- İstatstk I 3 5 alt lmtler

18 Grak : de daha çok eğrs üst lmtler ve Medya sıı lmtler Grak 3: de daha az ve de daha çok eğrler brlkte çzldğ grak Pro. Dr. Levet ŞENYAY 8 V- İstatstk I

19 4..8. Kartller Çeyrek (Quarter) Ver set yüzdelk olarak dört eşt parçaya ayıra okta sırasıyla Q, Q, Q 3 olarak gösterlr. %5 %5 %5 e alt çeyrek alt-orta çeyrek üst-orta çeyrek Q Q Q 3 %5 e üst çeyrek Bast serlerde. Kartl hesaplaması. kartl (medya) pozsyou çt se (+)/4 ücü elamadır, medya pozsyou tek se veya tamsayı değl se (/4=a.) ücü elemaı tamsayı kısmı (a) alıır ve br sorak elma (a+) le artmetk ortalaması. Kartrldr. Örek: Br dershaede görev yapa Matematk öğretme hatalık ders saatler aşağıda verlmştr. Bua göre ders saat ç brc kartl (Q ) değer hesaplayıız., 5, 5, 8,,, 4, 7, 7, 30, 33 = Medya : 6. gözlem değerdr. (Q =) Brc Kartl: (+) / 4 = / 4 = 3. gözlem ola Q =5 dr Bast serlerde 3. Kartl hesaplaması. kartl (medya) pozsyou çt se 3(+)/4 ücü elamadır, medya pozsyou tek se veya tamsayı değl se (3/4=a.) ücü elemaı tamsayı pozsyou (a) le br sorak (a+) elemaı artmetk ortalamasıdır. Örek: Br spor mağazasıda çalışa 3 satış persoel br hatada yapmış olduğu satış mktarları aşağıda verlmştr. Bua göre ayakkabı satış mktarları ç üçücü kartl (Q 3) değer hesaplayıız. 0, 3, 4, 5, 7, 0,, 3, 3, 6, 8, 9, 30 = 3 Medya : 7. gözlem(q =) Üçücü Kartl: 3(+)/4=0 ve (+).c gözlem ortalaması Q 3=6,5 dr Brc Kartl: /4=3/4 =3 ücü ve (+) 4 ücü gözlem ortalaması Q =4.5 dur Pro. Dr. Levet ŞENYAY 9 V- İstatstk I

20 Grupladırılmış rekas verlerde Kartller hesaplaması.kartl Örek: Br otomobl galersde br ay boyuca gülük satış adetler dağılımıa lşk tablo aşağıda verlmştr. Gülük otomobl satış adetler ç brc kartl hesaplayıız. Otomobl Sayısı( ) Satış Aded ( ) Kümülat Frekas değerler hesaplaarak aşağıdak tablo oluşturulur Otomobl Sayısı( ) Satış Aded ( ) Σ /4 =,5 c elemaa karşılık gele gözlem değer ola brc kartl (Q )değerdr. 3.Kartl Örek: Br meşrubat üretcs rma ürüler arklı mktarda şşelemş şeklde satışa sumaktadır. Satıla 00 şşe meşrubat ç dağılım aşağıdak tabloda verlmştr. Meşrubat mktarı (ml) ( ) Satış Aded ( ) Kümülat Frekas değerler hesaplaarak aşağıdak tablo oluşturulur Meşrubat mktarı (ml) ( ) Satış Aded ( ) Σ /4 = 75 c elemaa karşılık gele gözlem değer ola 000 brc kartl (Q 3 )değerdr. Sııladırılmış rekas verlerde Kartller hesaplaması Q Q Q 3 4 L 3 Medya L 3 4 L Pro. Dr. Levet ŞENYAY 0 V- İstatstk I

21 Örek: Br mağazada br gülük satış tutarları ve alışverş yapa müşter sayısı aşağıdak gb sıılamıştır. Satış Müş. Mktarı Sayısı Q Q Q Q L L= kümlat rekas ¼ ü geçe sııı alt lmt Q ' de br öcek sııa kadar toplamı = Q sıı rekası = sıı aralığı 5 8 Q Q Medya L Q Q L 3 L=kümlat rekası ¾ ü geçe lk sııı alt lmt ' de br öcek sııa kadar r. Toplamı Q 3 3 = Q 3 sııı rekası Q Pro. Dr. Levet ŞENYAY V- İstatstk I

22 4..9. Decle ve Percetle Decle br dağılımı 0 eşt parçaya böler ve 9 tae decl vardır, Percetle se br dağılımı 00 eşt parçaya böle 99 taedr. Bast ve rekas serlerde hesaplaışları medya veya kartl hesaplamalarıa bezer şekldedr. rage percetle %70 % percetle Mod Dağılımı e çok tekrar ede değerdr. Mod u özellğ serde e yüksek olasılıklı br elema oluşudur. Halk dlde ortalama olarak e çok kullaıla mod dur. Brde azla değer ayı rekasa sahp olduğuda tek br mod saptaması olaaksızdır. Kesksz serde değerler brbr sürekl bçmde zledklerde, verler grupladırılmadıkça mod dye br elema olmayablecektır. Keskl verler durumuda ble brde azla tekrarlamaya değerlerle karşılaşılablr, bu durumda da tab mod yoktur. (öreğ şehr üusları). a. Bast sererde mod hesabı 3,3,5, 3 mod değer Mod tüm verler br oksyou olmaya br statstk, ya tüm verlerde etklemez. b. Grupladırılmış rekas verlerde Modu Hesaplaması: Örek: Kot patolo satı br mağazada baya kot patololarıı bedelere göre satış mktarları aşağıdak tabloda verlmştr. Bua göre satıla baya kot patoloları bedelere göre mod değer hesaplayıız. Bede( ) Satış Aded ( ) E yüksek rekas değere sahp ola ( 3 adet ) bede umarası 38 olduğuda dolayı baya kot patololarıı bedelere göre mod değer 38 dr. Pro. Dr. Levet ŞENYAY V- İstatstk I

23 c. Sııladırılmış rekas verlerde Modu Hesaplamasıda artmetk (İterpolasyo) metotu: Mod = L. L=mod sıııı alt lmt İ= sıı aralığı modal sıı rekası le premodal(mödda br öcek) sıı rekası arasıdak mutlak ark modal sıı rekası le postmodal(modda br sorak) sıı rekası arasıdak mutlak ark Sııladırılmış rekas verlerde Grak (Geometrk ) Metotla Mod hesaplaışı mode 3 L L /3 /3 Örek: sıılar rekaslar premodal sıı mod sııı postmodel sıı Pro. Dr. Levet ŞENYAY 3 V- İstatstk I

24 50 35 Mod= =0-5=5 Veya =5-+=5 Fr d. Deel (Amprk) Metotla Mod hesaplaışı Bu metod asmetrk dağılımlarda artmetk ortalama le mod arasıdak uzaklığı, artmetk ortalama le medya arasıdak arasıdak uzaklığı 3 katı olduğu varsayımıa dayaır. Fazla güvelr br soucu her zama vermeyeblr. 9 MOD 5 alt lmt mod 3* medya varsayıla eştlk Tek modlu rekas eğrlerde, moderate asmetr halde aşağıdak deeysel lşk vardır. Mod Medya 3 Smetrk dağılışlarda se; mod medya dağılımıda(+)asmetr varsa dağılımıda(-)asmetr varsa bağıtıları oluşur. medya mod medya mod Pro. Dr. Levet ŞENYAY 4 V- İstatstk I

25 (+) Asmetr (-) Asmetr mod med med=5 mod 3* med = 5.3 mod=3.8 med mod ve görüldüğü gb (+) asmetrk br dağılımdır. med mod Bu varsayım orta derecede asmetrk br dağılımda söz kousudur çükü; orta derecede br asmetrk dağılımda medya, mod a orala ortalamada üçte br kadar uzakta buluup asmetrk dağılımda, mod, ve medyaı brbrde uzaklaşma ede, mod dağılımıı e yüksek ordatıdır, medya se dağılımı k eşt parçaya ayıracağıda uzu ola taraa gder, ortalama se uç (etramum) değerlerde çok etkledğ ç küçük değerler yöüe doğru medyada daha uzaklaşır. Elemeter mod hesaplama metodlarıı ayrı souç vermes bekledğde, sery açıklama kousuda seçlecek mod değerler hakkıda araştırmacı ked yargılamasıı kullamalıdır. Merkez Eğlm Ölçüler ( Yer Ölçüler) çersde, hesaplamalarıda verler tamamıı kullaıldığı veya verler tamamıı oksyou ola ortalamalar Artmetk Ortalama Ağırlıklı artmetk ortalama Geometrk Ortalama Harmok Ortalama Kuadratk Ortalama Verler tamamıı hesaplamaya dahl olmadığı veya verler tamamıı oksyou olmaya ortalamalar se Keslmş artmetk ortalama Medya Mod Kartl Çeyrek (/4) Setl (/0) dr. Pro. Dr. Levet ŞENYAY 5 V- İstatstk I

26 4.. Değşkelk Ölçüler Taımlayıcı statstklerde merkez eğlm ölçüler verler öeml br çok özellğ açıklamasıa rağme, ver grubuu dğerlerde tam olarak ayıracak şeklde tam olarak açıklayamaz. Bu eksklk verler öcelkle değşkelk arklılığıda gelr ve so olarak da asmetr yapılarıı arklılıklarıda meydaa gelr. Dğer br deyşle, ayı merkez eğlm değerlere sahp ola arklı verler olablr ve bu arklılık ya değşkelk değerlerde veya asmetr değerlerde ya da hem değşkelk hem de asmetr değerler arklılığıda kayaklaablr Yukarıdak k dağılım ayrı raglı (ve yayılımlı) akat ayı ortalamalı k dağılımdır lmtler arasıdak dağılım homoge (türdeş) lmtler arasıdak dağılım hetoroge (ayrı tür) dağılımlardır. RANG: Üst lmt - Alt lmt + (+; keskl verler ölçümüde kullaıla e küçük hassasyet brm; 0,, 0,, 0,0, vb) Yukarıdak dağılımları ragları = =5 dğer se =7 dr. Varyasyo, yaygılık mktarıı ; asmetr se smetr bozulma mktarıı belrler. Değşkelk (yaygılık) dereces göstere taımlayıcı statstkler Bu grupta yer ala değşkelk statstkler, tek br değere dayalı statstklerdr. Dğer br değşkelk statstkler grubu se bu tek değere dayalı değşkelk statstkler br brlere değşk şekllerde oraları olarak ade edle ve yorumlaa değşkelk statstklerdr. -) Toplam rag -) Kartller arası rag 3-) Yarı kartller arası rag 4-)Stadart sapma 5-)Ortalama sapma(a.d) Pro. Dr. Levet ŞENYAY 6 V- İstatstk I

27 Nsp varyasyo (oralaa değşkelk) ölçüler -) Varyasyo katsayısı -) Ortalama sapma katsayısı 3-) Kartl sapma katsayısı Asmetr mktarı se mod da buluur. Dağılımlar Arasıda Dklk ya da Basıklık Ölçüsü lepta kurtk(azla dk) mezo kurtk (orta dklk) plat kurtk (yatk tepel) Kurtossler Kartller Arası Rag = Q 44,5 3,5, 5 Q3 Q3 Q,5 Yarı Kartller Arası Rag= Q.D 0, 63 Q.D (yarı kartller arası rag) çok küçük se merkez elemaları uak varyasa sahp olduğu alaşılır, ya da çok yüksek derecede tek düze olduğu alaşılır. Q QDacak dağılımı %50 e yakı br ragı kapsar. 33,43. 0,63=,8-44,6 dağılımı %50 s Varyas Ve Stadart Sapma: Artmetk ortalamada sapmaları kareler artmetk ortalamasıı kare köküe stadart sapma adı verlr.stadart sapmaı karese varyas der. Br alada sapma kareler ortalamasıdır. S =Örek stadart sapması = Populasyo stadart sapması S =Örek varyası populasyo varyas Pro. Dr. Levet ŞENYAY 7 V- İstatstk I

28 Pro. Dr. Levet ŞENYAY V- İstatstk I 8 Bast serlerde stadart sapmaı hesaplaışı Açıklama : ) ( ) ( ) ( ) ( Populasyo stadart sapması Örek stadart sapması N N N N N S

29 Frekas verlerde Stadart Sapmaı hesaplaması: veya S S. d ( ( ) ) ( d ) ( ) şeklde daha küçük sayısal değerler le hesaplaablr, burada = sıı aralığı ve d= (varsayımlı) ortalamada pozsyo arkıı göstermektedr. Örek: Sıılar Frekas S = (505) = = 9.4 Pro. Dr. Levet ŞENYAY 9 V- İstatstk I

30 %68.7 %95.45 % gözlemler %68 gözlemler %95 3 gözlemler %99 uu kapsar. Z-skoru Verle br gözlem değer ortalamaı kaç stadart sapma uzağıda olduğuu ölçer. Z= (-µ)/ Örek: = ( , ) = (6.5, 0.47) 50 ölçümü 34 uü ve ya %68 ortalamaı stadart sapması çersdedr = ( , ) = (4.53,.45) 50 ölçümü 47 s ya da %94 uu ortalama etraıda 3 stadart sapma aralığıdır k bu = ( , ) = (.55, 4.43) Burada tüm ölçümler çerr. Pro. Dr. Levet ŞENYAY 30 V- İstatstk I

31 Örek: A ve B malı S A B =4.03 A malı daha homojedr. Bu edele Amalıı kaltes B malıı kaltesde yüksektr. TCHEBYSHEFF TEOREMİ Eğer populasyou dağılışı tek tepel ola ya br ormal dağılışa bezemyor veya tek tepel cak sağa veya sola çok çarpık durumda se amprk kural bekledğ gb gerçekleşmez. Bu gb durumlarda popülasyodak ölçüm değerler belrlee br yüzde le çerle br aralığıı bulmak ç Chebyshev teorem kullaılablr Teorem : Ortalaması ve stadart sapması ola herhag br dağılımda, populasyo üyelğ e az %(-/k ) kadarı (k> ke) ortalamada e çok stadart sapma uzaklıktadır ya da herhag br populasyoda rastgele yapıla gözlemler () ölçümler e az aralığıda yer alır. 00( k )% s k a Bua göre popülasyo ölçümler e az %55,6 sı ortalamada,5 uzaklıktadır. %75 %84 ü,5 %88,9 u 3 Pro. Dr. Levet ŞENYAY 3 V- İstatstk I

32 Bu (µ-k < < µ+) >= %(-/k ) dr. Br örekle ade edersek 00( )% = 00( alır. )% = %75, aralığıda yer Ortalama Mutlak Sapma OMS (Average Devıatıo - AD): Ortalama sapma da der. O.M.S.= veya med O.M.S.>0 Frekas dağılımıda hesaplaması med O.M.S.= veya Odalık kesrler var se büyük öreklerde kullaılır. Normal dağılımda A.D. ragı ser elemalarıı %57,5 kapsar. A.D. küçük se ve dağılımı çok sıkışık ya da tek düze olduğu alaşılır. 3,9 O.M.S.=, 3 00 med 44,88 O.M.S.=, O. M. S. %57,5 d. 3,6,3 0,30 44,98 veya 33,43,45 0,98 45,88 veya persoel yıllık ücretler ortalama mutlak sapması $ 33500$ O.M.S=8800/7=87$ Pro. Dr. Levet ŞENYAY 3 V- İstatstk I

33 Bu ölçü yaygılık belrtr ve stadart sapmaya göre üstülüğü vardır. ) yorumlaa (kavram/mutlak) daha kolay ) σ, σ uç değerlerde çok etkler Nsp Varyasyo Ölçüler S -Varyasyo Katsayısı: V souç yüzdes azaldıkça tek düzelk artar. S V * 00 % ( ) şeklde bulua souçlarda; ayı kouda yapılmış başka araştırma souçlarıı karşılaştırmaya yarar. % ler azaldıkça araştırmaı hassasyet artar. Aks durumda azalır, ya üstü körü br çalışma deeblr. V S = Ortalama Sapma Katsayısı: V oms OMS.3 0, Kartl Sapma Katsayısı: V q Q Q 3 3 Q Q Dağılımı uçları açık olduğu zama ya da uç değerler buluduğuda ve dağılım çabuk br yorumu stedğde dağılma ölçüsüü ler br hesaplama ya da başka br maksatla kullaılmasıda gerek olmadığıda kullaılır. V q , Asmetr Ölçüler İk dağılımı ve S S olduğu haldek asmetrler arklı olablr. İstatstk teors geellkle ormal dağılış varsayımıa dayadırıldığıda asmetr öem kazamıştır Pearso Asmetr Ölçüsü 3 med 3 med mod S kp S S S 3,6 3,54 6 S kp 0,005 Mod 7 *9 3, 54 5, Pro. Dr. Levet ŞENYAY 33 V- İstatstk I

34 4.3.. Kartllerde Asmetr Hesaplaması Q Q Q 3 Q Q Q 3 Q Q Q 3 Q Q Q (+) asmetr (-) asmetr (0) asmetr yok Bowley Asmetr Ölçüsü S kb Q med med Q 3 Q3 Q Q S kb Q3 Q 67,75 33,43,5 0,04 Q 3 Q (+) as metr mod med (-) asmetr med mod Pro. Dr. Levet ŞENYAY 34 V- İstatstk I

35 4.4. Taımlayıcı statstklere at grakler 4.4. Kutu Dyagramı (Bo & Whsker Gösterm) Kutu göstermlerde e uç k ver le brlkte üç kartl de göstereblrz. Bu göstermlerde kutu yatay veya dkey olarak gösterleblr ve sol çzg 5 oraıda alt kartl ve sağ çzg 75 oraıdak üst kartl çerr Kutu dyagramı her k ucudak değerler e uç oktalardır. Örek hacm e az 50 veya 00 olduğu büyük ver setlerde, whskerler e uç değerler yere yüzde 0 veya 90 veya 5 veya 95 oralarıa ulaşır. Bo ad whsker gösterm le mmum, lk kartl, üçücü kartl, medya, mamum değerler ve çarpıklık yada smetr görüleblr. %5 %5 %5 %5 Fal Sıavı Souçları.yıl 3.yıl 4.yıl.yıl 3.yıl 4.yıl Q Q Q Bo Plot 00,0 Amout 80,0 60,0 Q 3 Q Q 40,0 C C C3 Varables Verler aalzde karşılaşıla durumlarda e öemls arklı populasyolarda elde edle k veya daha azla öreğ karşılaştırılması problemdr. Kutu dyagramları bu soua çözüm üretr. Pro. Dr. Levet ŞENYAY 35 V- İstatstk I

36 Örek: A 7,6 8,3 0,8 9, 8 39,4,4 9,9 3,7,7 3, 9,6 B,4 8,,5 7,8 6,7 6,8 5,6 3,7 6,9,,5 8,9 40,0 Bo Plot 8,3 Amout 6,7 5,0 A Varables B Quatle-quatle (q-q plot) Q-Q grağ çzlrke zlee adımlar; ) Öcelkle verler küçükte büyüğe doğru sıralaır. ) Verler ortalaması ve stadart sapması hesaplaır. 3) Sıralamış verlere sıra umarası (,,3,,) verlr. 4) Sıra umaraları toplam ver sayısıa bölüerek (/) değerler elde edlr. 5) Ortalama ve stadart sapma değerler kullaılarak ham verler ç z değerler elde edlr. 6) Z değerler le (/) değerler ayı grakte çzdrlr B A Pro. Dr. Levet ŞENYAY 36 V- İstatstk I

37 Örek: 0,5 İstedğde percetle ve katller de, =,,..., bu göstermde kullaılablr. Eğm br ola orjde geçe çzg karşılaştırmaya yardımcı olur. Eğer tüm oktalar bu 45 derecelk çzg üzerde seler o zama k örek arasıda tümüyle hçbr ark yoktur; özellkle merkezler ve geşlkler ayıdır. Eğer tüm oktalar bu çzg altıda se esk örektek katller yeye orala daha büyüktür. Başka br değşle, eğer bütü oktalar bu çzg üstüde se ye örek eskse orala daha büyüktür. Bu bo ad whsker dyagramıda çıkardığımız ayı souçtur. Quatle-quatle q-q plotuda k dağılımı yayılımı hakkıda da blg edeblrz. Eğer plot edle oktalar de büyük br eğm le artıyorsa bu yatay eksede plot edle öreğ dkey eksede plot edle öreğe azara daha az yayıldığıı gösterr. Bölüme at örekler Örek : Dağılımlar A B medya S 0 0 Her k dağılımı a) Stadart sapması ayı olduğu ç varyasyoları ayıdır. b) Asmetrler A ı Örek: 3 med S kb S S kb 3 B 0 A malı B malı Art.Ort. Ömrü Medya Ömrü mod 3 med A ç mod 3medya =3(3500)-(4000)=500 B ç mod 3medya =3(4000)-(3500)=5000 A ı kaltes B de daha düşük S kb Pro. Dr. Levet ŞENYAY 37 V- İstatstk I

38 mod med Mod< 3500< 4000 med mod 3500<4000<mod Pro. Dr. Levet ŞENYAY 38 V- İstatstk I

39 4.4. Bölüm Özet (Verler Özetlemes) Verler özetlemek aşağıdak şlemler tamamıı çerr Frekas tablosu Grakler Hstogram, (dağılımı şekl) Sütu, ala grakler Kutu grakler Özet statstkler (merkez eğlm ve yayılma) Ortalama, medya, mod Aralık, stadart sapma, varyas, yüzdelk Dağılımı şekl Smetrk dağılım: br orta değer etraıda eşt olarak dağılır. Hstogram grağde ça eğrs k taraı da smetrktr. Sağa eğml (pozt eğml): hstogram grağde ça eğrs kuyruğu sağa doğrudur. Sola eğml (egat eğml): hstogram grağde ça eğrs kuyruğu sola doğrudur. Merkez eğlm ölçüler Ortalama, Ağırlıklı ortalama Cebrseldr. Uc ve eğml değerlerde etkler Geometrk ortalama Ger döüştürülmede öce art.ort ayı özellktedr Sağa eğml verler ç uygudur Ortaca (medya) Uç değerlerde etklemez Cebrsel değldr. Öreklem dağılımıda etkler Artmetk ortalama Aralık (terval) ve ora (rato) verlerde hesaplaablr. Pro. Dr. Levet ŞENYAY 39 V- İstatstk I

40 Medya Kategork (ordal), aralık (terval) ve ora (rato) verlerde hesaplaablr. Mod Kategork (omal, ordal), Aralık (İterval) ve Ora (rato) verler ç hesaplaablr Öreklem dağılımı blmez Yaygılık ve sapma ölçüler Aralık Uc değerlerde etkler Öreklem sayısı arttıkça artma eğlm göstereblr Yüzdelk Uc değerlerde ve öreklemde etklemez Küçük örekler ç hesaplaamayablr. Eğml verler ç uygudur Stadart sapma ve varyas Uc değerlerde etkler Eğml verler ç uygu değldr H er gözlem ele alır Pro. Dr. Levet ŞENYAY 40 V- İstatstk I