İşletme İstatistiği. [Type the document subtitle] Ege Yazgan ve Yüce Zerey 10/21/2003

Transkript

1 ISTANBUL BİLGİ UNİVERSİTY İşletme İstatstğ [Type the documet subttle] Ege Yazga ve Yüce Zerey 1/1/3 [Type the abstract of the documet here. The abstract s typcally a short summary of the cotets of the documet. Type the abstract of the documet here. The abstract s typcally a short summary of the cotets of the documet.]

2 İçdekler: Bölüm 1: Grş Bölüm : Temel Araçlar Bölüm 3: Tablo ve Grafklerle Ver Suumu (Sayısal Verler) Bölüm 4: Kategork Verler Düzelemes ve Tablolaştırılması Bölüm 5: Betmsel İstatstkler Bölüm 6: Olasılık ve Olasılık Dağılımları Bölüm 7: Öreklemleme ve Öreklem Dağılımları Bölüm 8: Tek Aakütlel Hpotez Test Bölüm 9: Aralık Tahm Bölüm 1: İk Aakütle Parametres ç Hpotez Testler Bölüm 11: Uyum veya Bağımlılık Testler Bölüm 1: İk veya Daha Fazla Aakütle ç Hpotez Testler: Varyas Aalz (ANOVA) ve F-Dağılımı 8-88 Bölüm 13: Bast Korelasyo Bölüm 14: Bast Doğrusal Regresyo Ek: İstatstksel Tablolar

3 Bölüm 1: Grş Nede İstatstk Öğrelmel? Üversteler farklı bölümlere at ders çerkler celedğde, brçok bölümde İstatstk ders zorulu olarak okutulduğuu görülmektedr. İstatstk ders bölümlere göre değşe yöü sadece derste kullaıla matematğ zorluk dereces ve ders çerğde kullaıla öreklerde barettr. Bu farklılığı harcde şlee koularla bölümler arasıda cdd br paralellk söz kousudur. İşletme yöetmde; malyetler, gelrler, ücretler; şaat mühedslğde; malzemeler dayaıklılık katsayıları, pskolojde se test ve deey souçları statstğ geş uygulama sahasıa gre koularda sadece brkaçıdır. İstatstk ders, çoğu bölümde zorulu ders olarak okutulmasıı sebeb, statstk blgler yaşamı her alaıda kullaılmasıa gereksm duyulmasıdır. Gazeteler, ekoomy, fas haberler ve dergler, spor çerkler, otomobl yarışlarıı, vb. dkkatl br şeklde celedğz takdrde, sayısal blg yağmurua tutulduğuuzu farkıa varırsıız. İşte bu sayısal blg yağmuruda ıslamak stemeyeler şemsye olarak statstğ gücüde faydalamaktadırlar. Gülük hayatımızda karşılaştığımız bu souçlar ve rakamlar e kadar doğrudur? Blgy elde etmek ç kullaıla öreklem düzeyler yeterce büyük müdür? Öreklemdek verler asıl seçlmştr? Bu tür sayısal blgler blçl br şeklde celeeblmes ç; tablolarda, grafklerde suula blgy alayablmek, sayısal özetler değerledreblmek, ve yaıltıcı blglerde asıl kaçıılacağıı öğremek gerekmektedr. Temel statstk kavramları, bu öğreme sürecde bze oldukça yardımcı olacaktır. İstatstğ kaçıılmaz kıla edelerde br dğer de gülük yaşamımızı etkleye bazı kararları alım sürecde statstksel yötemler kullaımıı gerekllğdr. Öreğ: Sgorta şrketler, hayat, otomobl, kout sgortaları ç ödeecek prmler belrlerke statstksel aalzlere başvururlar. Otomoblz çalımaya karşı sgorta prm belrlerke, kamet ettğz semtte hırsızlık olaylarıı boyutu, çalıa otomobl pols tarafıda buluması olasılığı, ve bulara bezer br çok blg kullaılır. Bu blgler de statstk çalışmalar le elde edlr. Çevre Koruma Örgütler, Terkos Gölü dek krllk düzey ölçmek ve sa sağlığıa tehlke oluşturup oluşturmadığıı alamak ç düzel aralıklarla su öreklemler alarak statstksel yötemlerle tetkk ederler. Tıp araştırmacıları bell br hastalığı yleştrmek ç hag laçları ve yötemler daha etkl olduğuu araştırırke ye statstksel süreçlerde yararlamaktadırlar. Öreğ Bel fıtığı amelyatla mı daha kolay ve kısa zamada yleşr yoksa fzk tedav metoduyla mı?, ya da Her gü br aspr almak kalp krz rsk azaltır mı? gb soruları cevaplarıı statstk blm le elde ederler. Özetle, statstk öğrememz ç e az 3 ede bulumaktadır: (1) İstatstk blgler hayatımızı her döemde her yerde karşımıza çıkacaktır.

4 () Gülük yaşamımızı etkleye kararları alırke statstk blglere htyaç duymaktayız. (3) Yaptığımız ş, görevmz e olursa olsu, ver toplamak ve bularda alamlı blg çıkartablmek ç statstk yötemler blmemz gerekmektedr. Betmsel İstatstkler Şekl 1.1 İstatstksel çalışmalar geellkle betmleyc statstkler ve tümevarımsal statstkler olmak üzere k aa grupta toplaımaktadırlar. Betmsel statstkler, ver toplaması, suulması ve alamladırılması süreçlerde oluşmaktadır. Verler, aket gb metodlar le toplaır, tablolarla grafklerle suulur ve so olarak ortalama gb statstklerle alamlı br şeklde kullaılablr br hale gelrler. Öreğ, Brleşk Devletler Hükümet raporua göre üfus sayımıda; 196 yılıda kş, 197 te kş, 198 de kş, 199 da se kş sayılmıştır. Bu blg betmsel statstkler fade etmektedr. Ayı şeklde büyüme oraları gb ekoomk parametrelerde betmsel statstkler alaıa grmektedr. Tümevarımsal İstatstkler Tümevarımsal statstkler aa amacı elmzdek öreklem verler kullaarak aakütle parametreler tahm etme presbe dayamaktadır. Öreğ, Marmara Bölgesde sgara çeler oraıı bularak Türkye dek sgara tüketm hakkıda br fkr sahb oluablr. Ver toplamak ç öcelkle lgledğmz değşkee at aakütle taımlaır. Aakütle, değşke bütü değerler çere evresel kümedr. Öreğ, araştırmak stedğmz kou MBA eğtm ola saları ortalama şe başlama maaşları se, blg elde etmek stedğmz aakütle, MBA yapa bütü saları eğtmler btce aldıkları maaşlarda oluşur. Bu maaşları toplamı aakütledr. MBA eğtm ala bütü breyler maaşlarıı brer brer öğremek çok zama alacağıda ve böyle br şlem malyet de yüksek olacağıda, geellkle bütü aakütley celemek yere lglele aakütlede öreklem seçlr. Öreklem, seçldğ aakütley temsl edebleceğ

5 düşüüle br altkümedr. Öreğ, MBA eğtm ala bütü salar arasıda seçlecek rastgele 5 kş maaşları br öreklem grup olacaktır. Şekl 1. Aakütleye lşk br parametrey (MBA eğtm ala saları ortalama şe başlama maaşı gb) öğremek ç; 1. Büyük küme aakütlede daha küçük br altküme ola öreklem seçlr ve öreklem verler kaydedlr.. Öreklem verlerde betmsel statstkler hesaplaır. 3. Öreklem statstklerde yola çıkılarak, tümevarımsal statstk yötemleryle, blmeye parametre tahm edlr. Ver Türler Sayısal ve Kategork Verler Geel olarak versetler büyük br kısmı ümerk olarak veya sayısal olarak fade edlrler. Sayısal verler, ümerk olarak br mktar olarak taımlamış ola ver türlerdr. Para brmler, ölçüm brmler, yüzdeler, maç statstkler, parfüm satışlarıı her br sayısal verlere brer örek teşkl etmektedrler. Kategork verler, tel olarak kategorler fade ede ver türlerdr. Csyet, gelr grupları, eğtm düzeyler kategork verlere örek teşkl etmektedr. Tablo 1. Sayısal ve Kategork verler öreklerle karşılaştırılması Sayısal Verler Rakamlar Souçlar Doğrulama Kapalı Sorular Kategork Verler Sözel İfadeler Yorumlar Araştırma Açık Sorular

6 Zama Serler ve Yatay Kest Verler Verler ayrı br perspektfte değerledrldğde zama sers veya yatay kest olup olmadıklarıa göre de sııfladırılmaktadırlar. Zama Serler, zama çersde gözlee, sıralamış versetlerdr. Mcrosoft u 1 yılıı lk çeyreğde so çeyreğe kadar Türkye de yapmış olduğu yıllık satış mktarları, tüketcler so br ay çersde saal markette yapmış oldukları gülük ortalama satış mktarları, Türkye 1987 de 3 e kadar ola tüketm mktarı, ülkeler bell zama aralıklarıdak büyüme oraları, eflasyo oraları, para arzları gb versetler tamamı brer zama sersdr. Yatay kest verler, sabt br zamada, gözleerek elde edlmş versetlerdr. Üverste mezuu öğrecler stedkler gb br ş bulması, br frmada çalışa şçler memuyet, e-tcarette yaşaa sorular, kalkımakta ola ülkelerde okuryazar oralarıı karşılaştırılması, Koblerde tekoloj kullaım düzey, büyük ölçekl frmalarla karşılaşrırılması, gb yapıla araştırmalarda kullaıla verler, yatay kest verlerdr. Ver Ölçüm Düzeyler Nomal Ver : Nomal ver, herhag br ver e lkel formuu fade etmektedr. Dolayısıyla omal ver le araştımalarda, gülük yaşamda çok sık karşılaşılmaktadır. Öreğ, br aket sorusuda bze mede durumumuzu sorulduğuu düşüelm: 1. Bekar. Evl 3. Boşamış 4. Dul Bu soruyu cevaplaya herkes cevabı 1,, 3, 4 olarak kaydedlecektr ve kaydedle bu verler bze omal verler fade etmektedr. Rakamlar sadece sorulmuş ola kategorler göstermektedr ve rastgele dzlmştr. Nomal verler sadece ümerk değerlerde oluşmazlar. Öreğ: B = Bekar E = Evl BO=Boşamış D= Dul gb kategork verlerde oluşablmektedr. Şekl 1.3 Sıralı Ver: Ver elemalarıı, aralarıdak lşkye göre elemalara ataa değerlerle brlkte sıralamasıyla elde edlmektedr. Sıralı ver, ver ölçüm düzeyde heme omal ver üzerde yeralmaktadır. Öreğ Türkye de kred kartı kullaımıı etkleye faktörler öğremek ç br araştırma yaptığımızı düşüelm. Kred kartıı kullaımı etkleyeblecek e öeml

7 değşkelerde br kşler gelr düzey olacağıda, hazırlamış olduğumuz aket vasıtasıyla tüketcler gelr düzey öğremeye çalışalım. Hazırlamış olduğumuz soruda: 4 mlyo ve daha az 4 mlyo le 8 mlyo arası 8 mlyo ve daha fazla ( 1 ) ( ) ( 3 ) 1, ve 3 kodları bell br gelr düzeyde bulua tüketcler fade etmektedr. Dolayısıyla bu kodlama bze farklı gelr düzeylere sahp gruplar ç farklı aalzler yapablme mkaıı sağlamaktadır. Nomal verlerde, kategorler heps ayı düzeydedr ve br sıralama yoktur, acak sıralı verlerde se kategorler aralarıdak lşkye göre sırlalamışlardır ve ayı düzeyde değllerdr. Aralık Ver: Aralık ver, ayı ölçeğe sahp ve sıralaable verlerdr. Öreğ, A öğrecs boyu 1.68 cm ke, B öğrecs boyu 1.9 olsu. Burada her k öğrec boyu ayı ölçekte ( cm ) olduğuda, B öğrecs A öğrecsde daha uzudur soucua varablrz. Dolayısıyla, A ve B öğrecler boyları hem ayı ölçeğe sahp olduğuda hem de sıralayabldğmzde bu verler aralık ver olarak taımlayablrz. Ora Ver: Aralık ver tüm özellklere sahp ola ora ver, aralık verde tek farkı rakamıı ora verde hçbr alamıı fade etmesdr. Ora ver, ölçüm düzey olarak e üst katmada yeralmaktadır (bkz şekl 1.3). Sıfırı taımıda dolayı, ora ver le aralık ver sık sık karıştırılmaktadır. Ora ver le aralık ver geel olarak ş çe sıfırı taımı grdğde dolayı karıştırılmaktadır. Ora ver le aralık ver arasıdak ce farkı brkaç örek le açıklamaya çalışalım. Elzde mlyo TL, kardeşzde de 1 mlyo TL varsa, kardeşz k katı kadar br paraya sahp olduğuuz soucua varırız. Kardeşzle brlkte paralarıızı dolara döüştürdüğüüz durumda da hale sz paraız dolar olarak da kardeşz k katı olarak kalacaktır. Araızda /1 gb br ora bulumaktadır. Hç paraız kalmadığıda se elzde TL kalmıştır. burada rakamsal olarak ked alamıda kullaılmaktadır ve hçlk fade etmektedr. Meteroloj tarafıda bugü İstabul da hava sıcaklığı 35 Fo (1.67 Co) olarak belrlemş ve yarı da hava sıcaklığıı 7 Fo (1.11 Co) olması bekleyorsa, yarı bugüde k kat daha sıcak olacak soucua varamayız. Çükü fahrehaytı dereceye çevrdğmz zama /1 oraı yere 1.64/1 gb br ora le karşılaşmaktayız. Aralık verde ı yokluk, hçbr alamı bulumadığıda Fo ( Co) ölçüsüde ortamda hç ısı bulumadığı alamıa gelmez. Dolayısıyla sıfırı yokluk, hçbr alamıı hmal etmektedr. Ora ver se hag ölçekte, hag brmde olursa olsu ı gerçek alamıı da korumaya, htva etmeye devam etmektedr. Bu yüzde de ver ölçüm düzeyde e üst sırada yeralmaktadır. Ver Kayakları

8 Şekl 1.4 Ver kayakları, brcl ve kcl ver kayakları olmak üzere k aabaşlıkta celeeblr. Brcl verkayakları araştırmaı daha çok ver toplaması fazıa odaklamış ke, kcl ver kayakları se araştırmaı ver derlemes, yorumlaması fazıa odaklamıştır. Öreğ Türk Hava Yolları ı Türkye dek bütü havaalalarıı tekk doaımı hakkıda elde buludurduğu blg brcl br ver ke bzm gazete Eseboğa havaalaı hakkıda gazetede okumuş olduğumuz br blg de kcl br very fade etmektedr. Ye, BDDK murakıplarıı br baka ç yapmış oldukları araştırma soucu elde ettkler ver brcl br ver ke, aahaber bültelerde o baka hakkıda elde etmş olduğumuz ver kcl br very fade eder. Iteret ortamıda kşler le doğruda letşm kurarak (chat, mal, vs) edle ver, brcl very fade ederke, bu ortamda çeştl web steler zyaret ederek okuduğumuz, celedğmz ve öğredğmz ver kcl ver grubua grmektedr. Ver Toplaması Güümüzde ver toplamasıda kullaıla çok farklı metod ve araçlar kullaılmaktadır. Geellkle kullaıla metod ve araçlar aşağıdak gbdr: Doğruda gözlem ve kşsel mülakat Aketler (elektrok ortamda, telefo le veya yüzyüze ) Iteret kaalıyla kşlere doğruda letşm Deeysel tasarım Belrtmş olduğumuz ver toplama metodları arasıda lk bakışta deeysel tasarım kulağa ve göze yabacı gelmektedr. Öğrecler geel olarak deey ortamı, deeysel tasarım gb kavramları görüce, haklı olarak akıllarıa labarotuvarlar ve deey tüpler vs. getrmektedrler. Bu karışıklığı etleştrmek ç br örek ele alalım. Güümüzde hayl yaygı ola uluslararası fast-food şrketler, frachsg sözleşmerde getrdkler çeştl stadartlar bulumaktadır. Bu stadartlar arasıda patatesler kızardığıda yaklaşık olarak alması gereke rek dah belrlemştr ve bu reg tutturmak ç asgar stadartlar taımlamıştır. Br fast food mağazasıda patatesler ortalama olarak bu stadartlar doğrultusuda kızartılıp kızartılmadığıa dar br deey tasarlayalım. Buu ç öcelkle patatesler brbrlere bezerlklere göre

9 grupladırılmalıdır. Daha sora kızartma esasıda kullaılacak yağ, tuz mktarı, frtözü ısısı, gb dğer faktörler kotrol altıa alımalıdır. Tüm bu faktörler stadart olarak taımlaıp kotrol altıa alıdığıda bezerlklere göre gruplamış patatesler kızartılıp deeysel souçlar kaydedlr. Artık kotrol değşkelermz taımladığımızda ve deeysel tasarımımızı gerçekleştrdğmzde bu deeyde farklı farklı versetler elde edeblrz. Öreğ, dğer tüm faktörler sabt tutarak, patatesler farklı ısılarda kızartıldığıda aldıkları rekler celeyeblrz. Ye dğer bütü faktörler sabt tutarak tuz mktarıı arttırdığımızda, farklı kategordek patatesler tuz artışı soucuda tatlarıı asıl değştğ celeyeblrz. Dolayısıyla tasarlamış olduğumuz deey soucuda çeştl değşkeler le oyarak farkı farklı versetler elde edeblrz. Aketler Aakütleler hakkıda etk br şeklde fkr sahb olablmek, versetlerde alamlı lşkler ortaya çıkarablmek, bezerlkler ve farklılıkları göstereblmek, ver brkm stadardze edeblmek, ve tüm bu versetde statstksel olarak çıkarımda buluablmek ç kullaıla e öeml araç aketlerdr. Aketler sayesde; duygular, tutumlar, yetler, düşüceler gb gözleemeye faktörlerde ortaya koyulablmektedr. Aket Tasarımı: Doğru ve amacıa uygu soruları sorulduğu, cevaplayaı kolaylıkla algıyableceğ şeklde hazırlamış ve ver kolaylıkla şleme koyulableceğ aketler statstksel olarak belrl br alamlılığı ola, ve araştırmacıyı hedefe ulaştıracak aketlerdr. Etk aket tasarım sürec Şekl 1.5 tek gb olmalıdır. Şekl 1.5 Aket tasarımı araştırma sürec e öeml parçalarıda brdr. Araştırmacılar hazırlayacakları aket, araştırma amaçlarıı paralelde doğru br şeklde hazırlayabldkler takdrde, araştırma souçlarıda alamlı bulgular elde edeblrler.

10 Iteret Iteret sayesde hayatımızda meydaa gele değşklklerde br de ver toplama alaıda yaşamaktadır. Artık tek tek saları telefo le aramak veya kapılarıı çalarak uzu uzu aketler yapmak yere, araştırmacılar verler teret aracılığıyla çok daha hızlı ve kolay br şeklde toplayablmektedrler. Iteret kullaıcıları grmş olduklarıı web steler zyaret ederke, o ste çerğ le veya başka br kou le alakalı ola aketler doldurablmektedr. Iteret ver toplama lteratürüe getrmş olduğu e öeml yelk verler çok daha hızlı br şeklde vertabaları tarafıda yorumlaıp souçları heme celeeblmes ve aketler çok fazla sayıda saa ulaşablmesdr. Öreğ büyük haber portaller açmış olduğu aketlerde br güde 3 b kş oy kullaablmektedr. Bu da çağımızı statstksel araştırma tekklere e öeml katkılarıda brdr. Bütü bu faydalalarıı yaısıra br blgsayarda brde fazla oy atılablmes (artık programcılar bua da z vermyorlar) veya br kş farklı blgsayarlarda oy atablmes, programcıda kayaklaablecek sstematk br hatada dolayı suucu tarafıda aket yalış yorumlaablmes gb dezavatajları da bulumaktadır. Nede Öreklemler? Araştırmacılar öreklemler kullaarak, daha az zama harcayarak, daha az malyetle, daha fazla pratk yapma şası bularak aakütle hakkıda kolaylıkla fkr sahb olablrler. Öreklemleme Metodları Şekl 1.6 Öreklemleme metodları, öreklem seçlrke ble olasılık değerler kullaılıp kullaılmamasıa göre k aa başlıkta toplaablrler. Şekl 1.6 da da görüldüğü gb öreklemleme metodları, olasılık kullaıla metodlar ve olasılık kullaılmaya metodlar olmak üzere k aa başlıkta toplamışlardır. Öreklem dağılımları kousuda öreklemleme kousu daha detaylı olarak celeecektr.

11 Bölüm : Temel Araçlar Bu bölümde, statstk dersdek bazı temel aalzler alamaıza yardımcı olacak temel kavramlar alatılmaktadır. Gerekl ola temel matematksel kavramlara ve asıl kullaılacaklarıa değlecektr. Eğer bu kavramlara hakm olduğuuza aıyorsaız, lütfe bu bölümü geçz. İspatlara ve detaylara fazla değmede sadece öreklerle temel kavramları celeyeceğz: Eğer taes 1b Lra da 1 somu ekmek alırsaız 1b Lra ödersz; (1.. x 1 = 1.. TL) Eğer saatte 8 klometre hızla araba kullaırsaız, 4 klometrelk yolu 5 saatte gdersz; (4 / 8 = 5) Eğer evz ç ayda $3, yemek ç $1, dğer şeyler ç $ harcıyorsaız, aylık harcamalarıız ayda $6 a ($3+$1+$=$6) tekabül eder. Ayı şeklde yıllık harcamaız 61=$7, veya haftalık harcamaız 7/5=$ a eşt olur. Eğer şrketz gelr yılda $1 mlyo dolar se ve yıllık malyet $.8 mlyo se, şrket yılda $. mlyo ($1 - $.8 = $.) veya $. kâr eder. Üslü ve Köklü Sayılar Br sayı keds le brkaç kere çarpıldığı takdrde, bu şlem tek br sayı olarak fade edeblrz. Elde etmş olduğumuz bu sayıya üslü sayı der. Örek olarak, b değşke, keds le çarpılırsa, karşımıza çıka souç b değşke karese eşttr ve b şeklde yazılır. Bezer şeklde: b kare = b b = b 3 b küp = b b b = b b dördücü kuvvet = b b b b = daha geel olarak fade edecek olursak: Eğer b = se b. kuvvet = b b ( kere) = b kares = = = 4 3 kübü = = = 8 dördücü kuvvet = = ve geel olarak :.kuvvet = ( kere) = 4 b 4 = 16 Şmd k tae üslü sayıı çarpımıı celeym. Öreğ 3 b le b çarpılacak olursa:

12 b = b b 3 b = b b b b b 3 = ( b b ) ( bbb ) = b b b b b = 5 b Dolayısıyla b b 3 = b 5 soucu elde edlr. Bu şlem geelleştrecek olursak: m m b b b 3 5 Bu yüzde 3 3 3, bu şlem braz daha detaylı br şeklde celeyelm. 3 5 şöylek: Üslü sayı şlemlerde yaılmamak ç dkkat edlmes gereke k temel kural vardır: m m b b b a b a b Bu özellkler a = 1, b =, m = 1 ve = 3 değerler kullaarak kotrol edelm. Şmd.5 örek olarak b alalım. Bu değer keds le çarparsak; b b b b b soucuu elde ederz. Keds le çarpıldığıda b soucuu vere bu fadeye ( b karekökü der. Dolayısıyla:.5 1/ b b b.5 ) b Hatırlaacağı gb stadart karekök şaretdr. Öreğ, 9 =3 se eştlğ de doğrudur. Toplama Operatörü İstatstkte çok sık kullaıla toplama operatörü, sgma şaret le gösterlr. Nasıl kullaıldığıı aşağıdak rakamları kullaarak celeyelm : 5, 1, 15, Bu rakamları br odadak 4 kş yaşlarıı temsl ettğ düşüelm. Bu değşke x le fade edelm. Bütü yaşları brbrde ayırmamız gerektğde x değşke altıa 1 ds yazarız ( x 1 ). Bu ds yaş değşkee at ser lk değer temsl eder. Bu yüzde x 1 = 5, x = 1, x 3 = 15, x 4= olur. Bu değşke ds kullaarak daha geel br şeklde yazablrz. x, = 1,, 3, 4. Dolayısıyla bütü bu dört değer toplamı aşağıdak gbdr. x1 x x3 x4 = = 5 Toplama Operatörü bütü bu şlemler daha kısa ve foksyoel br şeklde fade eder.

13 4 1 Geel olarak, eğer serde tae rakam varsa; x x x x x şeklde fade edlr. 1 x x x... x 1 Doğru Grafkler E sık karşılaşıla doğru grafkler k boyutlu ekselere çzlr. Şekl.1 de gösterldğ gb yatay ekse x ekse ve dkey ekse se y ekse fade eder. Şekl.1 x değşke bzm kotrol edebldğmz bağımsız br değşke ke, y değşke x değşke tarafıda belrlee bağımlı br değşkedr. Öreğ x değşke reklam harcamalarıı fade ederke, y değşke kotrol edemedğmz satış souçlarıı göstereblr; x faz oralarıı fade ederke, y değşke bakaları borçlama oraıı fade edeblr. Ekseler kesştğ ve x le y değerler sıfıra eşt olduğu oktaya orj adı verlr. Orj üzerde yer ala oktaları tamamıda y değerler poztf ke altıda yerala y değerler egatf değerlerdr. Orj soluda yer ala x değerler egatf ke, sağıda yer ala x değerler poztftr. Ekselerde çzlmş ola grafğ üzerdek herhag br oktaya koordat adı verlr. Bu koordatlarda yer ala lk rakam x eksede yerala rakamı fade ederke, kc rakam se y eksede yer ala br rakamı fade eder. x = 3, y = 4, oktası (3,4) şeklde fade edlr. Stadart otasyoumuz se ( x, y) şekldedr. Özellkle dkkat edlmes gereke husus koordatları yazılırke ters yazılmamasıdır. Öreğ (3,4) yere (4,3) yazmak gb. Bu hatayı Şekl. de celeyeblrsz:

14 Şekl. x eksede yerala oktaları koordatları ( x ; ) ke y eksede yerala oktaları koordatları ( ; y). Orj oktasıı koordatı se ( ; ) dır. Foksyolar bağımlı ve bağımsız değşkeler arasıdak lşky vere matematksel fadelerdr. Öreğ; y = 3+ x foksyou x le y arasıdak lşky göstere matematksel br fadedr. Bu foksyoa göre x, 1 değer aldığıda, bağımlı değşke ola y (y = 3+(1) = 5 olduğuda) 5 değer alması gerekr. Bezer şeklde x = - ke; y = ( y = 3+(-) = -1) x = -1 ke; y = ( y = 3+(-1) = 1) x = ke; y = ( y = 3+() =3) x = ke; y = ( y = 3+() =7) Bu yüzde, foksyoumuzu şekl.3 te olduğu gb çzeblrz. Şekl.3 Doğru üzerde her okta br y değer le eşlee br x değer çerr.

15 Bölüm 3: Tablo ve Grafklerle Ver Suumu (Sayısal Verler) Brc bölümde, verler, ver toplama tekkler celemştk. Acak, geellkle ham (hçbr şlemde geçrlmemş, topladığı şeklde dura) verlerde blg edmek zordur. Bu zorluğu ede verler geelde büyük mktarda ve karmaşık olmasıda kayaklamaktadır. Verler düzelemes, etk blg edme sürec kolaylaştıracaktır. Tablo ve grafklerde faydalamak, verler düzeleme e kolay ve e geel yoludur. Bu bölümde, tablo ve grafkler hazırlama sürec ve asıl yorumlaması gerektğ üzerde duracağız. Sayısal Ver Düzelemes Kullaacağımız tablo ve grafkler, elmzdek verler özellklere bağlı olarak değşr. Sayısal verler asıl düzeledğ ve yorumladığıı celedkte sora.dördücü bölümde, telk belrte verler (kategork verler) asıl düzeledğ ve yorumladığıı celeyeceğz. Örek olarak kedmze, br üverste kayıt şlerde brbr takp ede 13 güde harcaa kağıt mktarıı göstere br verset ele alalım. Tablo 3.1: Br üverste kayıt şlerde, brbr takp ede 13 güde harcaa kağıt mktarı İlk bakışta verler, çok blgledrc br verset gb durmamaktadır. Dolayısıyla bu verset braz daha kullaılablr hale getrmemz gerekmektedr. Sıralı Dz Verset daha blgledrc hale getrmek ç kulladığımız e temel araçlarda br verler küçükte büyüğe doğru sıraladığımız sıralı dz metodudur. Tablo 3.1 de yer ala verler sıralayacak olursak: Tablo 3. Br üverste kayıt şlerde, brbr takp ede 13 güde harcaa kağıt mktarıı sıralı dzs Sıralı Dz Bu bölümde, sayısal verlerle oluşturulablecek değşk tablo ve grafkler alatırke getr1 sm verdğmz verset kullaacağız. getr1.mtw dosyasıı MINITAB programıda açmak ç, blgsayarıızda programı çalıştırdıkta sora aşağıda görüldüğü gb Fle (Dosya) meüsüe grp Ope Worksheet (Çalışma Sayfası Aç) komutuu seçz, açıla pecerede dosyayı yükledğz klasöre grp dosyayı seçz. Blgsayarıızı Wdows gezg meüsüde, yükledğz dosyayı bulup üzere çft tıklayarak da dosyayı açablrsz.

16 Şekl 3.1 Ope Worksheet (Çalışma Sayfası Aç) komutu soucuda getr1.mtw dosyasıı açtığıızda ekrada şekl 3. de yerala ekra görütüsü çıkmaktadır. Şekl 3. Bu dosyada ABD fasal pyasalarıda şlem göre 59 kamu fouu 1 yıllık getr oraları yer almaktadır. Foları smler C1-T sütuuda, yüzdelk getrler se C sütuuda yer almaktadır. Böyle br verset le ede lglemekteyz? Potasyel yatırmcılara fo alım-satım tavsyeler vere br aracı kurumda çalıştığıızı ve görevz de bu foları kârlılıklarıı araştırmak, yatırım olaaklarıı değerledrmek olduğuu varsayalım. Müşterlerze akılcı tavsyeler vereblmek ç foları 1 yıllık getrler, dğer yatırım mkaları le mukayese ederek değerledrmez gerekmektedr. E temel değerledrme, foları getrler büyükte küçüğe doğru sıralamaktır. MINITAB programı bu sıralamayı sz ç hızlı ve kolay br şeklde yapablr. Örek olarak getr1.mtw dosyasıdak verler sıralayalım. Elzdek verler sıralamada öce, sıralı dzler yeralacağı sütulara brer sm vermelsz. Bu şlem gerçekleştrmek ç, Getr yazılı hücre heme sağıdak hücreye tıklayıp bu sütuu sm SIRA - Fo, ou sağıdak de SIRA - Getr olarak gr. Foları getrler sıraladığıda, bu sütularda yeralacaklardır.(bkz Şekl 3.3)

17 Şekl 3.3 Şmd se Map (çevrm) meüsüe grp Sort ( sırala) komutua tıkladığıızda se Şekl 3.4 tek gb br dyalog ekraı le karşılaşacaksıız. Şekl 3.4 Şekl 3.4 te yerala dyalog ekraıda, Sort Colum(s) (sıralaacak sütular) kısmıa tıklayıız ve sol tarafta değşkeler buluduğu kutucukta verler yeraldığı C1 Folar yazısıı üzere tıklayıp aşağıdak Select (seç) tuşua basıız. Ayı şlemler C Getrler ç de gerçekleştrz.

18 Şekl 3.5 Bu şlemde sora, Store sorted colum(s) (sırayı aşağıdak sütu(lar)da oluştur) kısmıa tıklayıp, ye solda göreceğz SIRA - Folar sütuuu seçp Select komutua tıklayıız, ayı şlem SIRA - Getrler ç de tekrarlayıız. Şekl 3.6 E so olarak da Sort by colum (sıralama yapılacak sütu) kısmıa tıklayıp, soldak pecerede C Getrler seçp Select e basıız.

19 Şekl 3.7 OK tuşua tıkladığıızda, verler Tablo 3.3 tek gb sıralaacaklardır. Buradak sıralı dzler buluduğu dosya sz ç getr.mtw smyle kaydedlmştr. Tablo 3.3 ABD fasal pyasalarıda şlem göre 59 kamu fouu 1 yıllık getr oralarıı sıralı dzs (%) Sayısal Verler Tablo Hale Getrlmes İstatstksel araştırma süreçlerde, araştırmacıları öcelkle karşılaştıklarıı lk soru ham verler şlemes ve verml br hale getrlmesdr. Bu süreçte, verler sıralaması, frekas dağılım tabloları, grafkler, ve özet tablolar kullaıla araçları başıda gelrler. Versetler uygu br şeklde özetlemesde e çok faydaladığımız araç frekas tablolarıdır. Frekas tablolarıı asıl oluşturulduğuu ve temel özellkler celemek ç öcelkle Tablo 3.1 de yerala versetmz 13 güde 16 güe geşletelm. Ye versetmz Tablo 3.4 tek gbdr: Tablo 3.4 Br üverste kayıt şlerde brbr takp ede 16 güde harcaa kağıt mktarı

20 Tablo 3.4 te karşımıza çıka 16 sayıda oluşa lste ye bzm ç çok blgledrc br boyutta değldr. Bu sayıları sıraladığımızda da soruumuzu çok fazla gderlmedğe taık oluyoruz. Bu farklı değerlerde hala br eğlm, br dağılım çıkaramamaktayız. Very yorumlaablecek hale getreblmek ç öcelkle gruplamaya çalışalım. 16 güde kullaıla kağıt mktarlarıı 1 de 16 a kadar, gruplarsak, verler geelde 13 le 15 kağıt grubu aralığıda topladıklarıı göreblrz. Bezer br şeklde, tablo 3.3 te yerala sıralamış getr oraları da çok fazla blgledrc br koumda değldrler ve bu verlerde gruplaıp frekas tablolarıı oluşturulması gerekmektedr. Frekas Dağılımı Tablosu Frekas dağılımı tablolarıı detaylarıı celemek ç, Tablo 3. de yerala br üverste kayıt şlerde brbr takp ede 13 güde harcaa kağıt mktarıı göstere verset tekrar ele alalım. gözlem sayısı küçük ola versetler, frekas dağılım tablolarıı çıkarmak çok faydalı değldr. Fakat prosedürümüzü kolay alaşılması ç 13 gözlemde oluşa bu verset celeyeceğz. Öcelkle, gözlemler gruplara ayırmamız gerekmektedr. Verler gruplara ayırdıkta sora, bu gruplarda yer ala gözlem sayısıı hesaplaması gerekmektedr. (k bu gözlem sayısıı frekas olarak adladıracağız) Öreğ, Tablo 3. dek versetmz her br 3 kağıt mktarı geşlğde ola 5 farklı gruba ayırablrz. Gruplar, 131 de fazla 134 te az, 134 te fazla 137 de az şeklde devam etmektedr. Brc grupta sadece br gözlem yeralmaktadır. Br başka fade le, 131 le 134 aralığıda yer ala br adet gözlem yeralmaktadır, bu grubu frekası 1 dr. İkc grupta yerala hçbr gözlem bulumamasıa rağme, üçücü grupta se k tae gözlem bulumaktadır. Tablo 3.5 te oluşturduğumuz frekas dağılım tablosu detaylı br şeklde celeeblr. Tablo 3.5: Özel br üverste kayıt şlerde, brbr takp ede 13 güde harcaa kağıt mktarıı frekas tablosu 13 Güde harcaa kağıt mktarı Frekas (Kağıt Mktarı) arası (134 te az) arası (137 te az) arası (14 ta az) arası (143 te az) 7

21 arası (146 da az) 3 Toplam 13 Frekas dağılım tabloları, very sıralayarak brbrde farklı gruplara ayırır ve eğlm erede olduğua dar fkr verr. Pek e uygu gruplama asıl yapılmalıdır? Verler kaç tae farklı gruba ayrılmalıdır? Grupları (veya sııfları) geşlğ (grup aralıklarıı boyutu) e olmalıdır? Yukarıdak öreğmzde, verler beş farklı gruba ayırdık ve grup geşlğ se 3 olarak seçtk. ( =3). Bu seçmlermz gerçekleştrrke aşağıdak kurallarda faydalaablrz: Aralık, grup veya sııfları seçm: Grup sayıları gözlem sayıları le doğru oratılıdır. Gözlem sayısı artarsa, grup sayısııda artması gerekmektedr. Geelde br frekas dağılımıda e az beş, e fazla yrm grup yeralır. Dkkat edlmes gereke br husus, çok fazla veya çok az grup sayısıa sahp ola br frekas dağılımı, verset geel şekl hakkıda br fkr sahb olmaı zorluğudur. Grup sayısıı belrlemes le alakalı öeml kurallarda brde Sturges Kuralı dır. Bu kural grup sayısıı belrlemesde kullaılmaktadır. Grup sayısı = 1+ log, versetde yerala gözlem sayısıı göstermektedr. Öreğ = 13 se bu formüle göre log 13 = = 5 Bu kural kes olarak grup sayısıı belrlememekte, araştırmacılara grup sayılarıı belrlemes kousuda fkr vermektedr. Grup aralıklarıı belrlemes: Grup sayısıı belrledkte ve plaladıkta sora aşağıdak formülü kullaarak grup geşlkler belrleyeblrz: E büyük gözlem-e küçük gözlem Grup Geşlğ Plalaa Grup Sayısı Grup sayısıı br öcek adımda 5 olarak belrledğmzde 14 Grup Geşlğ.8 5 Soucu tam sayı çıkmaması durumuda, bulduğumuz değer e yakı tamsayıya yuvarlayarak kullaırız. Öreğmzde de.8 değer farkıı almakla uğraşmak yere bu değer yuvarlayarak grup geşlğ 3 olarak aldık. Artık e küçük gözleme 3 ekleyerek (131+3=134 dolayısıyla lk grup şeklde olur) 5 grubu oluşturablrz. Şmd se Tablo 3.3 tek verler ele alalım. Grup sayısıı 6 olarak belrleyelm. (Struger log 59 = =7). Dolayısıyla grup geşlğ: kuralı bze 7 grubu öermese rağme: İşlem soucu yuvarlamıştır Grup geşlğ 4.7 6

22 Grup geşlğ 4.7 değer yuvarlayarak 5 olarak ele alablrz. Dolayısıyla e küçük gözlem ola de başlayarak ve 5 ekleyerek grupları oluşturablrz. Bu grupları Tablo 3.6 da göreblrz: Tablo 3.6: ABD fasal pyasalarıda şlem göre 59 kamu fouu 1 yıllık getr oralarıı frekas dağılımı 1-Yıllık Toplam Getr Frekas (Foları Sayısı) %-%5 arası (%5 te az) %5-%3 arası (%3 da az) 13 %3-%35 arası (%35 te az) 4 %35-%4 arası (%4 da az) 4 %4-%45 arası (%45 te az) 11 %45-%5 arası (%5 de az) 5 Toplam 59 Yüzdelk Frekas Dağılımı Yüzdelk frekas dağılım tablosu, her grupta, toplam ver sayısıı yüzde kaçıı buluduğuu gösterr. Mutlak sayılarda zyade, yüzdelk rakamlar daha kolay drak edleblr. Ayrıca, k veya daha fazla ver kümes karşılaştırma şlem de yüzdelk dağılımlarla daha kolay gerçekleştrleblr. Yüzdelk frekas değerler hesaplamak ç, her grubu frekasıı toplam frekasa oralamamız gerekmektedr. Öreğ % le %5 arasıda getr sağlaya foları yüzdelk frekasıı bulmak ç o gruba at ola frekas değer ola toplam frekasa ola 59 a oraıı bulmaz gerekmektedr. /59=,34 veya %3,4. Bu şlem her grup ç tekrarlayarak, Tablo 3.7 dek Yüzdelk Frekas Dağılım Tablosu u elde edeblrz. Tablo 3.7: Getrler Yüzdelk Frekas Dağılım Tablosu 1 Yıllık Getr Frekas % Hesap % Frekas %-%5 arası (%5 te az) (/59)1 %3,4 %5-%3 arası (%3 da az) 13 (13/59)1 %,3 %3-%35 arası (%35 te az) 4 (4/59)1 %4,7 %35-%4 arası (%4 da az) 4 (4/59)1 %6,8 %4-%45 arası (%45 te az) 11 (11/59)1 %18,6 %45-%5 arası (%5 de az) 5 (5/59)1 %8,5 Toplam 59 1.(%1) 1.(%1) Açıkça gözüldüğü gb, verler büyük br kısmı %3 le %35 arasıda yoğulaşmıştır (%4 ı). Ayrıca verler %6 ıda fazlası da %5 le %35 arasıda yer almaktadır. Bu tabloda yer ala değerler, 1 le çarpılmada da oluşturulablr (%3,4 yere,34 sayısıı yeralması gb).

23 Kümülatf Frekas Dağılımı Frekas dağılımlarıı göstermek ç br başka kullaışlı yötem de kümülatf frekas dağılımıdır. Bu dağılım, frekas dağılımıda elde edlr ve her br grubu kümülatf frekası, oda öcek grupları frekaslarıı da çermektedr. Tablo 3.8, kümülatf frekas hesaplamasıı ve buu soucuda ortaya çıka kümülatf frekas dağılımıı göstermektedr. Tablo 3.8: Getrler Kümülatf Frekas Dağılım Tablosu: 1 Yıllık Getr Frekas Kümülatf Küm.Frekas Hesap %-%5 arası (%5 te az) %5-%3 arası (%3 da az) %3-%35 arası (%35 te az) %35-%4 arası (%4 da az) %4-%45 arası (%45 te az) %45-%5 arası (%5 de az) Toplam Bu tablo, yüzdelk frekas dağılımda da yararlaılarak oluşturulablr: Tablo 3.9 Getrler Yüzdelk Kümülatf Frekas Dağılım Tablosu: 1 Yıllık Getr % Frekas Kümülatf Hesap % Küm.Frekas %-%5 arası (%5 te az).34 (3.4%).34 (3.4%) %5-%3 arası (%3 da az). (.%).54 (5.4%).+.34 %3-%35 arası (%35 te az).47 (4.7%).661 (66.1%) %35-%4 arası (%4 da az).68 (6.8%).79(7.9%) %4-%45 arası (%45 te az).186 (18.6%).915 (91.5%) %45-%5 arası (%5 de az).85 (8.5%) 1. (1%) Toplam 1. (1%)

24 Burada hareket ederek, foları %66 sıı %35 altıda getr sağladığıı, %4 ta fazla getr sağlaya foları toplamı acak %7 s kadar olduğuu, ayrıca foları 4 te 1 de %3 u altıda getr sağladığıı kolaylıkla göreblrz. Frekas Dağılımı İcelemş olduğumuz yüzdelk frekas ve kümülatf frekas dağılımlarıı Mtab ortamıda çok daha kolay br şeklde oluşturablrz. Öcelkle, fo getrler sıralı ve so hal kaydedldğ getr.mtw dosyasıı açıız. Daha sora graphs (grafkler) meüsüde character graphs (frekas grafkler) ve Hstogram a tıklayıız. (bkz. Şekl 3.8) Şekl 3.8 Her zamak verler grmek ç ye br dyalog ekraı le karşı karşıyayız. Bu pecerede Varables bölümüde, solda, C Getrler tıklayıp Select e basarak frekas dağılım tablosuda yer alacak değerler seçmş olacağız. MINITAB bzde bu verler yer alacağı grupları mdpot (orta oktalarıı) steyecektr. İlk grup aralığımız % - %5 olduğuda, Frst Mdpot (-lk grubu orta oktası) kısmıa, bu aralığı orta oktası ola.5 yazmalıyız. Buu heme altıda yer ala Last Mdpot (so grubu orta oktası) kısmıa da ayı şeklde 47.5 değer grmelyz. Iterval wdth (grup geşlğ) bze grup geşlğ fade etrmektedr. Yaptığımız şlemler Şekl 3.9 da yer ala dyalog ekraıda kotrol edeblrsz.

25 Şekl 3.9 OK tuşua bastığıızda Şekl 3.1 dak frekas dağılım tablosuu elde edeblrsz. Şekl 3.1 Elde ettğmz frekas dağılım tablosuu Tablo 3.6 da oluşturduğumuz frekas dağılım tablosu le ayı olduğu açıkça gözükmektedr. Burada farklı ola husus Mtab grup aralıkları yazmak yere grupları orta oktaları le fade etmştr. Aklımıza heme Grup aralıkları her zama ayı mı olmalıdır? sorusu geleblr. Cevabımız se mümkü olduğuca ayı olmalıdır olacaktır. Farklı grup aralıkları okumayı zorlaştırableceğ gb, buradak verler grafksel olarak sumak stedğmzde de problem yaratacaktır. Farklı grup aralıkları, acak tamame boş veya çok az sayıda gözlem çere gruplar olduğuda ve bu grupları brleştrlmesde kullaılmalıdır. Sayısal Verler Grafksel Yötemlerle Alatımı

26 Verler tablo hale getrlmes her e kadar blg elde etmey kolaylaştırsa da, dkkat çekmek ç, bu blgler başkalarıa aktarablmek ç, ya da kısıtlı zama çersde çok mktarda very celeyp yorum yapablmek ç grafksel yötemler deal olacaklardır. Hstogram Frekas dağılımıı göstermde e yaygı olarak kullaıla yötem hstogramdır. Gruplara ayrılmış verler, frekaslarıı yoğuluğua göre değşe yükseklkte, brbrlere btşk sütularla fade edlrler. Grafğ yatay X eksede, verler yer aldığı grupları sıırları veya orta oktaları şaretler. Grup geşlğ, bu grubu frekasıı göstere sütuu geşlğyle fade edlr. Dkey Y eksede se frekas değerler yer alır ve her grubu frekas değere gore sütu bu sayıya kadar yükseltlr. Hstogramı frekas dağılımıı grafksel gösterm olarak fade edeblrz. Öeml ola hususlarda brde sütuları, grup sıırlarıa ve frekaslara gore çzldğdr. Burada esas alıa gruplar ve değerlerdr, kategorler değldr. Bu yöü le hstogram, Bölüm 4 te şleyeceğmz bar grafkte ayrılır. Tablo 3.4 te yer ala ve özel br üverste kayıt şlerde brbr takp ede 16 güde harcaa kağıt mktarıı göstere versete at hstogramımız Şekl 3.11 dek gbdr. Şekl 3.11 Hstogram

27 Mtab ortamıda br hstogram çzerek, hstogramı daha detaylı celeyelm. Bu celeme ç verset olarak tekrar ABD fasal pyasalarıda şlem göre 59 kamu fouu 1 yıllık getr oralarıı kullaacağız ve so olarak sıralı haller de kaydettğmz getr.mtw dosyasıı açıız ve daha sora Graph (grafkler) meüsüde yer ala Hstogram seçeeğe tıklayıız. Şekl 3.1 Karşımıza çıka dyalog ekraıda, Graph Varables (grafğ çzlecek değşke) ç C Getrler sütuuu seçp Select e tıklayıız. Hstogramı formatıda daha detaylı ayarlar yapmak ç de Optos (seçeekler) tuşua tıklayıız. Şekl 3.13

28 Bu dyalog ekraıda yerala: 1. Frequecy seçeeğ seçerek Frekasları,. Percetage seçeeğ seçerek yüzdelk frekasları veya 3. Cumulatve seçeekler seçerek kümülatf frekasları veya kümülatf yüzdelk frekasları grafk hale getreblrz. Bu seçmde sora grupları ayırmamız gerekmektedr. Grupları ayırmak ç, 5, 3 gb grupları sıırlarıı kullaacaksak Type of Itervals (aralık türü) kısmıda Cutpot (kesm oktası) ı;.5, 7.5, 3.5 gb grupları orta oktalarıı kullaacaksak Mdpot (orta okta) seçmemz gerekmektedr. So olarak se Mtab aralıkları asıl taımlamak stedğmz sormaktadır. Automatc seçeeğ şaretledğmzde program kedse gore aralık sayısı oluşturacaktır. Number of Itervals (aralık sayısı) seçeeğ şaretledğmzde se Mtab aralık sayısıı bzm belrlememze z vermektedr. Mdpot/Cutpot postos (kesm oktaları veya orta oktalar) seçeeğ şaretledğmzde se daha öcede oluşturduğumuz frekas tablosuda yer ala orta oktaları kullaarak hstogram grafğ çzdreblrz. Şmd Mdpot/Cutpot postos seçeeğ şaretleyelz ve lgl sayıları arada brer boşluk bırakarak grz. OK tuşua bastığımızda, br öcek pecereye ger döeceğz. Şekl 3.14 Hstogram peceresde de OK tuşua tıkladığımızda, Şekl 3.15 te yer ala ve grupları frekas dağılımıı göstere hstogramı elde edeblrz.

29 Şekl 3.15 Hstograma bakarak, % le %5 arasıda az sayıda getr olduğuu ( getr), foları büyük çoğuluğuu getrs %5 le %35 arasıda olduğuu (13+4=37), 16 fou getrs de %4 ta yüksek olduğuu kısa zamada kavrayablyoruz. Sütuları yükseklkler, o gruptak fo sayısıı göstermektedr. Sz de bu hstogramı elde ettkte sora, alıştırma olarak Optos peceresde yer ala dğer seçeeklerle de değşk tpte hstogramlar oluşturablrsz. Dal ve Yaprak Düze Şekl 3.16 Hstogramlar, verset özetlemesde, dağılımı gözlemesde çok faydalı olmalarıa rağme, öeml br dezavatajı da barıdırmaktadır. Hstogramlarda versetde yer ala orjal ver gözleemez. Sadece verler gruplamasıda oluşa frekaslar gözleeblmektedr. İstatstkçler, bu dezavatajı ortada kaldırablmek ye br metod gelştrdler. Dal ve yaprak düze adı verle bu metrod, dağılımı hstogram gb gösterrke, orjal verlere erşm de sağlamaktadır. Dal ve yaprak düze, dallar (aa basamaklar) ve yapraklar (yardımcı basamaklar) olmak üzere verset kye ayırmaktadır. Dal ve yaprak düze oluşturmak ç:

30 Verler k kısıma bölerz. Brc kısımda verler yüksek derecedek basamakları yer alırke (k basamaklara dallar dyoruz), kc kısımda se ger kala basamaklar yeralmaktadır. ( bu değerlere de yapraklar dyoruz) Sayı doğrusu sırasıa göre yukarıda aşağıya dalları yazıyoruz. Her dal değer yaıa, o dal değer le başlaya bütü yaprak değerler yazıyoruz. Şmd erede çıktı bu dallar ve yapraklar dememez ç, alattıklarımızı br örekle pekştrelm. Aşağıdak verler br mağazada çalışa satış memurlarıı yaşlarıa attr Yaşları sıraladığımızda dzmz aşağıdak hal alır Örek olarak, brc gözlem olar basamağıda yer ala 1 değer dal değer, brler basamağıda yer ala 7 değer se yaprak değer olarak düşüeblrz. Ayı yötem zleyerek, kc gözlem dal değer 1 ke yaprak değer de 8 e eşttr. Dolayısıyla olar basamağıı dal değer, brler basamağıı se yaprak değer olarak kulladık. Dal ve yaprak düzemz oluşturacak olursak: Leaf Ut =1. (Yaprak Brm) (4) Dal ve yaprak düzemzde yerala kc sütu dal değerler temsl ederke, üçücü sütuda yer ala verler de yaprak değerler göstermektedr. Brc satırı ele alıcak olursak (brc sütuu dkkate almayıız), bu satır versetmzde 17, 18 ve 19 olmak üzere üç rakamı olduğuu fade etmektedr. AyI şeklde kc satır da bze, versetde 1,, 8, 9, ve 9 (tekrar) olmak üzere beş rakamı daha olduğuu fade etmektedr. Dal ve yaprak düzelerde e çok karışıklık yarata hususları başıda yaprak brm gelmektedr. Yukarıda oluşturduğumuz yaprak düzede de görebleceğz üzere yaprak brm 1 olarak ele alımıştır. Yaprak brm 1 olması, yaprakları değerler yazıldığı gb okuması alamıa gelmektedr. Öreğ, 8 değer 8 dye okumaktadır. Fakat, eğer yaprak brm.1 olsa

31 d (br sorak örekte görebleceğz gb), 8 rakamı bu sefer.8 olarak okuacak d. Dolayısıyla versetmzde yer ala lk rakam 1.7 kc rakam se 1.8 olacaktı. Brc sütüda yerala sayılar, o dala kadar kümülatf olarak data setmzde kaç tae sayı olduğuu göstermektedr. Öreğ dalıa at ola 8 sayısı data setde bu dala kadar sekz tae rakamı olduğuu söylemektedr (bu rakamlar 7, 18, 19, 1,, 8, 9, ve 9 dur). Bu ortaca dala, (öreğmzde 3) kadar bu şeklde devam etmektedr. Ortada yer ala dal değere gelce se sayma şlem br keara bırakıp sadece o dala at ola kaç yaprak değer olduğuuz tespt ederz ve bu değer parateze alırız. Öreğmzde e ortadak dalda 3, 33, 38, 39 olmak üzere 4 yaprak yer aldığıda, 4 paratez çe alımıştır. Bu dal değerde sora sayma şleme tekrar devam ederz. Fakat br öcekde farklı olarak aşağıda ortaya doğru sayma şlem gerçekleştrrz. Pek dal ve yaprak düze araştırmalarımızda bze asıl faydalı olmaktadır? Geel olarak dal ve yaprak düze, verler orgaze edlmesde, asıl dağıldığıı gözlemesde çok faydalı br araçtır. Öreğmzde yola çıkacak olursak, satış elemalarıı çoğuu yaşı le 3 değerler arasıdadır soucua varırız. Baze verler değerler brbre çok yakı olduğu ve frekasları bazı dal değerlerde yoğulaştığı durumlarda, dağılımı daha detaylı celeyeblmek ç, dal ve yaprak düzemzde yer ala dal değerler kye bölerz. da 5 e kadar ola yaprak değerler br dal değere, 5 te 1 a kadar ola dal yaprak değerler de dğer dal değere yazarak dağılımı daha detaylı celeyeblrz. Braz öce ele aldığımız öreğe bu uygulamayı gerçekleştrecek olursak: Leaf Ut =1. (Yaprak Brm) () de daha küçük br değer olmadığıda, brc 1 dal değere dek gele le 5 arasıda kala br yaprak değer bulumamaktadır. Ama kc 1 dal değere dek gele ve 5 le 1 arasıda kala üçtae yaprak değer olduğuda 7,8,9 değerler bu satıra grlmştr. Tabk dal ve yaprak düzede dezavatajları bulumaktadır. Bu dezavatajları başıda, bu uygulamaı büyük versetlerde kullaışsız olması gelr. Dğer br dezavatajı da, dal değerler sabt basamak değerlerde oluştuğuda grup aralıklarıı çok kısıtlı olmasıdır. Dal-ve-Yaprak Düze Tablo 3.3 te yer ala verler yede celedğmzde ve yaprak brm (leaf ut).1 olarak aldığımızda, dal ve yaprak düzemz; Tablo 3.3 te yer ala brc gözleme at ola dal değer, yaprak değer se 4 olur. Bezer şeklde, kc gözlemmze at ola dal değer 3 ke yaprak değer de 8 olur.

32 Mtab ortamıda dal ve yaprak düze oluşturmak ç öcelkle daha öcede kaydedlmş ola getr.mtw dosyasıı açıız. Şekl 3.17 de görüldüğü gb Graph (-grafk) meüsüe grp Stem-ad-Leaf (Dal-ve- Yaprak) seçeeğe tıklayıız: Şekl 3.17 Karşııza çıkacak ola dyalog ekraıda, Varables (değşkeler) yaza kısıma tıklayıp soldak pecerede C Getrler seçz. Icremet kısmıa da, dallar brer brer artacağı ç (8, 9, 3 gb.) 1 değer grz. Şekl 3.18 OK tuşua tıkladığıızda, yada yerala dal ve yaprak düze elde edeblrsz. E üstte sayısı dal değer, 4 sayısı da yaprak değer temsl eder. Bu bze.4 getrye sahp br fou olduğuu gösterr. Soluda yaza 1 rakamı se o dala kadar kaç tae yaprak olduğuu fade eder.

33 Dalı karşısıda yaprak yoksa, (öreğ 1) bu %1 getrye sahp hçbr fo olmadığıı belrtr. 9 a at dalda; 3, 3, 5, ve 9 rakamları, 9.3 getrye sahp fo; 9,5 ve 9,9 getrye sahp brer fo olduğuu gösteryor. Soldak 15 se 9,9 a kadar toplam 15 getr sıraladığıı belrtyor. 33 e at dalı soludak (5) rakamı yalızca bu daldak yaprak sayısıı gösteryor. Buu ede, verler yarısıı sıralamış olmasıdır. Buda sorak dalları soluda yaza rakamlar sorak dallarda bulua toplam yaprak sayısıı fade eder, öcekler fade etmez. Dal-ve-Yaprak Düzede e tür blgler elde edeblrz? Geellkle, dal-ve-yaprak büyük mktarda very br ada düzelemes ve bu verler asıl dağıldığıı, erelerde yoğulaştığıı göstermes bakımıda oldukça kullaışlıdır. Getr dosyasıdak örek verlerde hareket ederek şu souçlara varablrz: 1. E düşük br yıllık getr %.4.. E yüksek br yıllık getr % Bazı foları getrler ayıdır. %8.9, %31.6, %3.3, %3.9, %34 ve %34.7 getr sağlaya brde fazla fo vardır kamu fouu dağılımı, %8 le %34 arasıda yoğulaşmıştır. 5. %4 ı üzerde getr sağlaya foları sayısı %5 altıdaklerde fazladır. Burada yer ala yorumları lk ks sıralı dzde yola çıkılarak da yapılablr. 3. souç da braz çaba le oluşturulablr acak 4. ve 5. souçlar ç Dal-ve-Yaprak düze kaçıılmazdır. Nokta Dyagramı Nokta dagramı, dal yaprak dagramıı grafksel br fadesdr. Yatay eksede dallar yeralırke, dkey eksede se yapraklara at oktalar yeralmaktadır. Her okta, br dala tekabül ede yaprakları fade eder. Nokta dagramı çzlrke, grup frekasları dkey eksede (Y eksede) ölçeklemektedr. Grup lmtler yada grup orta oktaları yatay eksede (X eksede ) yeralmaktadır. Bütü bu şlemler heps otomatk olarak Mtab programı yardımı le graph meüsüde dot plot (okta dyagramı) seçeeğ tıklaarak da gerçekleştreblrsz. Bu seçmler yapıldığıda Şekl 3.19 dak dyalog ekraı le karşılaşacaksıız. Şekl 3.19

34 No groupg seçeeğ şaretledkte sora OK tuşua bastığıızda okta dagramıı elde edeblrsz. Frekas Polgou Şekl 3. Frekas Polgou da hstogram gb gruplara ayrılmış verler frekas dağılımıı göstermektedr. Acak buu yaparke sütular yere frekasları şaretledğ br çzg kullamaktadır. Aslıda hstogramda yer ala çubuklar üst orta oktalarıı brleştrlmesyle elde edle br grafkte başka brşey değldr. MINITAB programıda frekas polgou çzmek ç, hstogram çzmde kulladığımız yolları ayısıı kullaırız. Tek fark olarak, Şekl 3.1 de de görüldüğü üzere, Dsplay (gösterge) kısmıdak Bar (sütu) yere, sağ üsttek kutucuğa tıklayarak açıla meüde Coect (brleştr) seçmez gerekmektedr. Şekl 3.1

35 Bu şlem tamamladıkta sora OK tuşua tıkladığıızda, frekas polgouu elde edeblrsz: Şekl 3. Frekas Polgou u da Optos peceresde görebleceğz değşk tplerde elde etmek mümküdür. Alıştırma olarak Yüzdelk ve Kümülatf Frekaslarda oluşa polgoları çzmez tavsye ederz. Hstogram ve Frekas Polgou, elmzdek verler temel özellkler kolayca farketmemz sağlar. Verler erelerde yoğulaştığı, asıl dağıldığı, yükselme, alçalma oktalarıı görme mkaı verr.

36 Bölüm 4: Kategork Verler Düzelemes ve Tablolaştırılması Br öcek bölümde, sayısal verler asıl düzeledğ, tablo ve grafklerle asıl suulduğuu celemştk. Bu bölümde se sayısal olmaya kategork verler asıl düzeledğ ve tablolarla asıl özetledğ üzerde duracağız. Kategork ver edr? Kategork ver, eseler veya kşler kes br şeklde kategorlere drgeyebldğmz br ver türüdür. Öreğ, kategor olarak csyet (erkek ve kız olmak üzere) ele alalım, ve vermz br sııfta yer ala öğreclerde oluştuğuu düşüelm. Bu sııfta, beş kş buluurke, bu beş ksde üç taes erkek ger kalaı se kızdır. Kategor 1. Öğrec Kız. Öğrec Erkek 3. Öğrec Kız 4. Öğrec Erkek 5. Öğrec Erkek Tabloda da gördüğüüz gb verler hçbr sayısal br ver değldr, br başka fade le br öcek bölümde celedğmz sayısal yapıı tam tersdr. Başka br örek ele alalım, Marmara bölgesde rassal br şeklde seçlmş ola altı üverste kurumsal yapısıı celeyelm. Kategor 1. Üverste Özel. Üverste Özel 3. Üverste Kamu 4. Üverste Kamu 5. Üverste Kamu 6. Üverste Yarı Özel (özel fakat devlet tarafıda sübvase edlyor) Şmd se vermz, Özel, Kamu ve Yarı Özel olmak üzere üç kategorde oluşmaktadır. Ayı ver değere at brde fazla kategorde gözlemek mümküdür. Öreğ, sııf öreğmzde öğrecler mede haller de merak ettğmz düşüelm. Kategor 1 Kategor 1. Öğrec Kız Bekar. Öğrec Erkek Evl 3. Öğrec Kız Bekar 4. Öğrec Erkek Bekar 5. Öğrec Erkek Bekar Üverste öreğmzde, üversteler kampüsüü buluup bulumadığıı da celeyelm. Dolayısıyla:

37 Kategor 1 Kategor 1. Üverste Özel Kampüsü var. Üverste Özel Kampüsü yok 3. Üverste Kamu Kampüsü var 4. Üverste Kamu Kampüsü yok 5. Üverste Kamu Kampüsü var 6. Üverste Yarı Özel (özel fakat devlet tarafıda sübvase edlyor) Şehr çde Özet Tablo Kategork verler ç özet tablo, sayısal verler ç hazırlaa frekas tablosu le ayı formattadır. Ver tamamıı özet br şeklde göreblmemz mkaıı verr. (1 tae üverste veya öğrecmz olduğuu düşüelm) Bu tabloyu oluştururke, beş öğrec csyet ve mede haller dağılımıı ele alalım ve bu verler tablo 4.1 ve tablo 4. de olduğu gb özetleyelm. Tablo 4.1 Beş öğrec csyet dağılımıa lşk frekas ve yüzdelk özet tablosu Csyet Öğrec Sayısı Öğrecler Ora % s Kız 4. /5 Erkek /5 Toplam /5 Tablo 4. Beş öğrec mede hal dağılımıa lşk frekas ve yüzdelk özet tablosu

38 Mede Öğrec Sayısı Öğrecler Ora Hal % s Evl 1. 1/5 Bekar /5 Toplam /5 Bu tablolar le frekas ve görecel frekas dağılımı tabloları arasıdak fark dkkatzde kaçmamıştır. Tek fark, frekas tabloları lk sütuda aralılar veya rakamlar yer alırke, burada kategoler yer almasıdır. Şmd kc öreğmze at ola özet tabloları oluşturalım. Tablo 4.3 Altı üverste kurumsal yapısıı dağılımıa lşk frekas ve yüzdelk özet tablosu Kurumsal Üverste Üversteler Ora Yapı Sayısı % s Özel 33. /6 Kamu /6 Yarı Özel /6 Toplam /6 Tablo 4.4 Altı üverste kampüs durumuu dağılımıa lşk frekas ve yüzdelk özet tablosu Kampüs Üverste Sayısı Üversteler Ora Durumu % s Kampüsü 33. /6 Yok Kampüsü /6 Var Şehr /6 İçde Toplam /6 Kategork Verler Grafkler Tablo 4.1 de Tablo 4.4 e kadar elde ettğmz özet verlere at ola grafkler oluşturara kategork verler grafkler asıl olduğuu celeyelm.

39 Bar Grafk The Bar Chart Bar grafklerde, her kategor br sütuda oluşmaktadır. Bu sütüları uzuluğu, o kategorye at ola yüzde veya frekas mktarıı temsl etmektedr. Bar grafklere, kategork verler ç hazırlamış hstogramlardır da dyeblrz. Şekl 4.1, Tablo 4.1 e at ola bar grafğ göstermektedr. Şekl 4.1 Bezer br şeklde, Şekl 4. de, Tablo 4.3 te yer ala verye at ola grafğ serglemektedr. Şekl 4. Bar grafğ oluştururke aşağıdak hususlara dkkat etmemz gerekmektedr: Eğer kategorze edlmş gözlemler, kategork değşkeler brer çıktısı se; bar grafkte yer ala sütülar yatay olarak kouçladırılır. (Şekl 4.1 de olduğu gb) Kategorze edlmş gözlemler, sayısal değkeler brer çıktısı se bar grafkte yer ala sütular dkey olarak kouçladırılır. (Hstogram gb). Bütü sütuları geşlğ brbre eşttr. (Şekl 4.1 ve 4. de olduğu gb) Sadece, uzulukları brbrde farklıdır.

40 The Pe Chart Pasta Grafk Ayı verset, pasta grafk kullaılarak da özetleeblr. Şekl 4.3 ve 4.4, Tablo 4.1 ve 4.3 te yer ala verlere at (veya Şekl4.1 ve 4. dek bar grafklerdek) ola pasta grafkler temsl etmektedrler. Şekl 4.3 Şekl 4.4 Pasta grafk, br dare 36 olduğu blgs temel alıarak çzlr. Dolayısıyla dare, yüzdelere göre kategorlere bölümektedr. Pareto Grafğ

41 Kategork verler, yorumlama ve özetleme ç kullaıla br dğer grafk türü de Pareto grafğdr. Pareto grafğ aslıda, dkey özel br bar grafktr. Frekasları büyükte küçüğe doğru dzldğ ve ayı ölçekte kümülatf polgou da büyesde buludura br grafk türüdür. Pareto grafğ araştırmacıya, hem bar grafğde hem de pasta grafğde daha fazla görsel blg letr. Şekl 4.5 ve 4.6, Tablo 4.1 ve 4.3 tek verlere at ola pareto grafğ göstermektedr. Şekl 4.5 Şekl 4.6 Şekl 4.6 da da görüldüğü gb Pareto grafğ, hem bar grafğde hem de pasta grafğde yer ala blgler araştırmacılara sumaktadır. Ayrıca Pareto grafğ, kümülatf frekas polgouu da göstermektedr. (sütuları üzerde yer ala kırmızı doğru). Kategork Ver Düzelemes: Koteja Tablosu Geel olarak araştırmacılar, k farklı kategor brbrleryle ola etkleşm brbrlere göre oralarıı celemek sterler. Öreğ, öğrecler csyetler le mede haller arasıda br etkleşm olup olmadığıı araştıralım. İşte bu tarz k kategor etkleşm celedğ tablolara koteja tabloları delmektedr. Koteja tablosuu, beş öğrecye göre çzdğmz düşüelm. Tablo 4.5 Beş öğrec csyet ve mede haller göstere koteja tablosu Csyet Mede Durum Bekâr Evl Toplam

42 Kız Erkek 1 3 Toplam Tablo 4.5 şöyle değerledreblrz: Brc satır, brc sütuda başlayarak brc satır kc sütua devam etmelyz. Kızları ksde bekârdır aralarıda evl yoktur. Erkekler se ks bekâr, br evldr. Bezer şeklde altı üverste ç koteja tablosu oluştursak: Tablo 4.6 Altı üverste kurumsal yapısıı ve kampüs durumuu göstere koteja tablosu Kampüs Durumu Kurumsal Yapı Var Yok Şehrç Toplam Özel 1 1 Kamu 1 3 Yarı Özel 1 1 Toplam Bu koteja tablosu sadece frekas değerlere dayamaktadır. Kategorler arasıda olası br lşk ortaya çıkarmak ç bu souçları yüzdelere döüştürmek gerekmektedr. Ele almamız gereke üç okta vardır: Geel toplamı baz ala yüzdeler Satır toplamlarıı baz ala yüzdeler Sütu toplamlarıı baz ala yüzdeler Şmd bu oktaları ayrı ayrı üç tabloda, beş öğrec öreğ le celeyelm. Tablo 4.7 Beş öğrec csyet ve mede haller göstere koteja tablosu (geel toplamı baz ala yüzdeler) Mede Hal Mede Hal Csyet Bekâr Evl Toplam Yüzde Yüzde Yüzde Kız Erkek Toplam Tablo 4.7 y şöyle değerledreblrz: Brc satır, brc sütuda başlayarak brc satır kc sütua devam etmelyz. Sııftak öğrecler, %4 ı bekâr ve bayadır, % ı evl ve bayadır, %4 ı bekâr ve erkektr, % s se evl ve erkektr. Şmd ayı ver, satır toplamlarıa göre oluşturulmuş koteja tablosuu celeyelm.

43 Tablo 4.8: Beş öğrec csyet ve mede haller göstere koteja tablosu (satır toplamlarıı baz ala yüzdeler) Mede Hal Mede Hal Csyet Bekâr Evl Toplam Yüzde Yüzde Yüzde Kız Erkek Toplam Tablo 4.8 şöyle değerledreblrz: Brc satır, brc sütuda başlayarak brc satır kc sütua devam etmelyz. Sııftak baya öğrecler, %1 ü bekârdır, % ı evldr; sııftak erkek öğrecler %66 sı bekârdır, %34 ü se evldr. Şmd ayı ver, sütu toplamlarıa göre oluşturulmuş koteja tablosuu celeyelm. Tablo 4.9 Beş öğrec csyet ve mede haller göstere koteja tablosu (sütu toplamlarıı baz ala yüzdeler) Mede Hal Mede Hal Csyet Bekâr Evl Toplam Yüzde Yüzde Yüzde Kız Erkek Toplam Tablo 4.9 u şöyle değerledreblrz: Brc satır, brc sütuda başlayarak brc satır kc sütua devam etmelyz. Sııftak bekâr öğrecler, %5 s bayadır, sııftak evl öğrecler % ı baya öğreclerdr; bekâr öğrecler %5 s erkektr, evl öğrecler se %1 ü erkek öğreclerdr. Şmd, bu bölümde öğredğmz statstksel araçları, Mtab yazılımı sayesde asıl kolaylıkla hesaplaableceğ göreceğz. Bu hesaplamaları gerçekleştreblmek ç öcelkle br versetmz olması gerekmektedr. lseler.mtw adlı versetmzde, Marmara Bölges de rassal olarak seçlmş 45 tae lseye at blgler yeralmaktadır. Versetde, lseler çeştl özellklere göre farklı şeklde gruplamışlardır. Bu gruplar arasıda, kurumsal yapısı (özel, kamu), lse yerleşkes (köy lses, kasaba lses, şehr lses), akademk takvm (döemlk, yıllık), lse türü (DL: Düz Lse, AL: Aadolu Lses, ML: Meslek Lses, SL: Süper Lse, TCL: Tcaret Lses) yeralmaktadır.

44 Bütü değşkeler versetde kategork olarak yeralmaktadır. Sayısal olarak yer ala tek değşke okul ücret veya bağış mktarlarıdır ve dolar olarak fade edlmştr. Versetmzdek kategorlere at ola özet tabloları oluşturalım. Öcelkle, Stat (statstk) meüsüde Tables (tablolar) ı seçz ve daha sora Cross Tabulato (Çapraz Tablo) a tıklayıız. (bkz Şekl 4.7) Şekl 4.7 Karşııza çıkacak ola dyalog ekraıda, Classfcato varables (değşkeler sııfladırılması) adlı alaa tıkladığıızda sol tarafta değşkeler çıktığıı göreceksz. Öreğ, lse türler özet tablosuu oluşturmak stersek. C6 Lse Türü değşke üzere k kere tıklayıız veya Select komutu le seçz. Ekrada yer ala seçeeklerde, couts (frekas) ve total percets (toplam yüzdeler) seçeekler şaretleyz. (bkz Şekl 4.8) Şekl 4.8 OK tuşua bastığıızda aşağıdak çıktıyı elde edersz.

45 Şekl 4.9 Ayı yolu zleyerek dğer değşkeler de özet tablolalarıı oluşturablrsz. Bar Grafk Lse türü değşkee at ola bar grafğ çzmek ç, öcelkle Graph meüsüde Chart (çzelge) seçeeğe tıklayıız. Karşııza çıka dyalog ekraıda, X adlı başlığı altıa tıklayıız ve sol tarafta yer ala değşkeler aktf hale gelce, C6 Lse Türü değşke seçz. (bkz Şekl 4.1). Şekl 4.1 Şmd Optos (seçeekler) a tıklayıız ve traspose X ad Y (X ve Y devrğ) seçeeğe tıklayıız. (bkz Şekl 4.11)

46 Şekl 4.11 OK tuşua basıp br öcek meüye dödükte sora tekrar OK tuşua bastığıızda Şekl 4.1 dek bar grafğ elde edeblrsz. Şekl 4.1 Pasta Grafk Lse türü değşkee at ola pasta grafğ çzmek ç, öcelkle Graph meüsüde Pe Chart (pasta grafk)

47 seçeeğe tıklayıız. Karşııza çıka dyalog ekraıda, Chart Data (çzelge vers alıacağı yer) a tıklayıız ve sol tarafta yer ala değşkeler aktf hale gelce, C6 Lse Türü değşke seçz. (bkz Şekl 4.13). Şekl 4.13 OK tuşua bastığıızda şekl 4.14 te yer ala pasta grafğ elde edersz. Şekl 4.14 Ayı yolu zleyerek dğer değşkeler ç de pasta grafkler oluşturablrsz. Pareto Grafğ Lse türü değşkee at ola pareto grafğ çzmek ç, öcelkle Stat (statstk) meüsüde Qualty Tools (kalte araçları) seçeeğe ve orada da Pareto Chart (Pareto Grafğ) şeçeeğe tıklayıız. Karşııza çıka dyalog ekraıda, Chart defects data e tıklayıız ve sol tarafta yer ala değşkeler aktf hale gelce, C6 Lse Türü değşke seçz. (bkz Şekl 4.15)

48 Şekl 4.15 OK tuşua bastığıızda pareto grafğ elde edeblrsz (bkz Şekl 4.16). Şekl 4.16 Dğer kategorler ç de Pareto grafğ oluşturablrsz Koteja Tabloları Daha öce asıl oluşturulduğuu celedğmz koteja tablolarıı Mtab ortamıda asıl oluşturulduğuu öğreelm. Öcelkle, Stat (statstk) meüsüde Tables (Tablolar) seçeeğ seçp daha sora da Cross Tabulato (Çapraz Tablolama) seçeeğe tıklayıız. (bkz Şekl 4.17). Şekl 4.17

49 Karşııza çıkacak ola dyalog ekraıda, Classfcato varables (değşkeler sııfladırılması) adlı alaa tıkladığıızda sol tarafta ye değşkeler çıktığıı göreceksz. Şmd se aralarıdak lşky celemek sredğmz değşkeler seçeblrz. Öreğ, lse türler le lse yapısı arasıdak lşky celemek ç, C3 Lse Yapısı ve C6 Lse Türü değşkeler üzere k kere tıklayıız veya Select komutu le seçz. Ekrada yer ala seçeeklerde, couts (frekas) seçeeğ şaretleyz. (bkz Şekl 4.18). Şekl 4.18 OK tuşua bastığımızda çıktı aşağıdak çıktıyı elde edeblrsz. (Şekl 4.19) Şekl 4.19 Elde ettğmz koteja tablosuu şöyle yorumlayablrz. 3 ü aadolu lses, 11 düzlse, 1 tcaret lses olmak üzere toplam 15 tae kamuya at lse bulumaktadır. 1 aadolu lses, 11 düz lse, s meslek lses ve 16 taes super lse olmak üzere toplam 3 tae özel sektöre at lse bulumaktadır. Şmd dğer koteja tablolarıı oluşturalım. (toplam, satır ve sütu yüzdeler baz ala) Öreğ, geel toplam yüzdelere göre br koteja tablosu oluşturmak stersek, karşımıza çıka dyalog ekraıda total percet (toplam yüzde) kutucuğuu şaretleyz.

50 Şekl 4. OK tuşua bastığıızda toplam yüzdeler baz alıdığı Mtab çıktısıı elde edeblrsz. Şekl 4.1 Şmd tablomuzu yorumlayalım. Lseler %4,44 ü kasabada bulumaktadır. Kasabada bulua lselerde hçbr aadolu lses değldr. %8,89 u düz lsedr. %4,44 ü meslek lsesdr. Tablodak verlerde haraketle yorumlar arttırılablr. Satır yüzdeler ve sütu yüzdeler baz alıdığı koteja tablolarıı dyalog ekraıda row percet (satır yüzdeler) ve colum percet (sütu yüzdeler) kutucuklarıa tıklayarak elde edeblrsz. Satır yüzdeler baz alıdığı Lse yapısı ve türüe at ola koteja tablosu aşağıdak gbdr: Şekl 4. Kamu okullarıı %6,67 s tcaret lses ke, özel okulları se %53,33 ü süper lsedr. Sütu yüzdeler baz alıdığı Lse yapısı ve türüe at ola koteja tablosu Şekl 4.3 tek gbdr:

51 Şekl 4.3 Tcaret lseler %1 ü kamu okuludur. Kamuya at br süper lse ve meslek lses yoktur. Versetmzde yer ala dğer değşkeler ç de koteja tablosu oluşturablp yorumlayablrsz.

52 Bölüm 5: Betmsel İstatstkler Grş Üçücü ve dördücü bölümlerde, ham verler düzeleyp tablolarda özetleyerek, sora da grafklerle görsel olarak fade ederek betmsel statstklere grş yapmış olduk. Bütü bu yaptığımız şlemler, karmaşık ve kalabalık alamsız ver topluluğuda alamlı blgler çıkartablmek amacıa yöelkt. Bu bölümde, verlerde alamlı blgler çıkartablmek ç farklı yötemler deeyeceğz. Elmzdek verler geel özellkler yasıtablecek değerler bulmaya çalışacağız. Tablolarla, grafklerle çalışmak yere, temsl br değer hesaplamak araştırmacıları ş daha kolaylaştırmaktadır. Bu değerler, e az tablo ve grafkler kadar, versetde blg edmemze yardımcı olmaktadır. Temsl değerler hesaplayarak, verler öeml özellkler le lgl blglere ulaşablrz. Bu değerler k aa kategor altıda celeyeceğz: Yerleşm Ölçüsü Dağılım Ölçüsü Yerleşm Ölçüler Yerleşm ölçüsü, br ver kümesdek değerler temsl edeblecek, verler erede yoğulaştığıı göstereblecek br değerdr. Bu ölçüü, ver kümes özellkler y şeklde yasıtablmes ç, verler merkez temsl etmes ve merkezde yeralması gerekmektedr. Öreğ, geelde artmetk ortalama hepmz bldğ br kavramdır. Artmetk ortalama e çok ble yerleşm ölçülerde brdr. İy br yerleşm ölçüsü olması ver karakterstğ le doğruda lgldr. Br sııfta yer ala 5 kş yaşlarıı olduğuu düşüelm. Eğer sııftak öğrecler yaş profl artmetk ortalama le temsl etmek stersek, sııfı yaş ortalamasıı olarak buluruz. Bulduğumuz değer elmzdek verler merkezde (ortalarıda) yeraldığıda, yaş profl göstere y br yerleşm ölçüsüdür. Verset şeklde değştrrsek, artmetk ortalama değer 34 olarak hesaplarız. Bu değerde verset merkezde zyade 4 le 65 aralığıda merkez sağıda kalmaktadır. Dolayısıyla, yaş profl y br şeklde temsl edemez. İstatstkçler, değşk ver set özellklere göre, bu verler temsl edecek farklı yerleşm ölçüler bulmuşlardır. Bu ölçüler mümkü olduğuca bast ve kısa şeklde açıklamaya çalışacağız. Artmetk Ortalama Artmetk ortalama, merkez eğlm, ortalama değer göstere, e yaygı ve e öeml ölçüdür. Verler öreklemde elde edlmşlerse; öreklem ortalaması, bu değerler toplaarak dzde yer ala elema sayısıa bölüerek elde edleblr. Versetde yer ala. değer x olarak taımlarsak, öreklem ortalamasıı formülüü aşağıdak gb yazablrz: x 1 x

53 Formülümüzde pay kısmıı daha açık br şeklde x x1 x x3... x olarak fade edeblrz. Bu formülü kullaarak, br lkokulda yerala sııfları öğrec mevcutlarıı ortalamasıı hesaplayalım. Sııf mevcutları 46, 54, 4, 46, 3 se ortalama öğrec mevcuduu x 44 5 formülüü kullaarak 44 olarak hesaplayablrz. Dolayısıylar bu lkokulda br sııfta ortalama olarak 44 öğrec bulumaktadır soucua varırız. Düzeltlmş Ortalama Versetde uçuk gözlem değerler buluduğu durumlarda oldukça kullaışlı ola br ölçüdür. Çok büyük veya çok küçük değerler, artmetk ortalamaı merkezde uzaklaşmasıa, ortalamaı verler y br şeklde temsl edememese sebebyet verr. Bu tür durumlarda düzeltlmş ortalama daha y br merkez eğlm ölçüsü verr. Düzeltlmş ortalama, öreklem ver kümesdek çok büyük ve çok küçük değerler dışarıda bırakılarak yede hesaplaa artmetk ortalama değerdr. Öreğ, %5 lk br düzeltlmş ortalama, versetde yer ala e küçük değerler buluduğu %5 lk br dlm ve e büyük değerler buluduğu %5 lk br dlm, versetde çıkararak, drgemş versetde tekrar ortalama değer hesaplaması le buluur. Düzeltme (drgeme) şlem verset hem başıda hem de souda olmak üzere smetrk olarak yapılmaktadır. Örek olarak, 1 ye üverste mezuuu aylık maaşları aşağıdak gbdr: (mlyo TL) 5, 15, 5, 8, 1955, 191, 9, 33, 14, 55, 1, 8 Bu verset düzeltlmemş ortalamasıı hesaplayacak olursak: 568 x 14 1 Pek %5 lk br düzeltlmş ortalama değer hesapladığımızda e değşklk olacak? %5 lk düzeltlmş ortalama değer hesaplamak ç, verler.5x1 =.6 lık br bölümü smetrk olarak çıkarılmalıdır. Bu şlem gerçekleştrmede öce, düzeltlmş ortalama hesaplaırke, çıkarılacak ver mktarıı (eğer tamsayı değlse) e yakı tamsayı değere yuvarlarız. Öreğmzde de.6 değer 1 e yuvarlayablrz. E düşük (191) ve e büyük (55), brer değer versetmzde slersek, versetmzde 1955, 5, 8, 8, 9, 1, 14, 15, 5, 33 değerler kalacaktır. Bu değerler ortalamasıı hesaplar se düzeltlmş ortalama değere aşağıdak gb ulaşmış oluruz. Ortaca Değer 145 xdüz

54 Ortaca Değer, verler büyüklük sırasıa dzdldkte sora, tam ortada, ya merkezde kala gözlem değerdr. Eğer versetde bulua elema sayısı br tek sayı se, ortaca değer bu verset küçükte büyüğe dzlmş halde e ortada yer ala term ke, bu versetde bulua elema sayı br çft sayı se verset küçükte büyüğe dzlmş halde ortada yer ala k term artmetk ortalamasıdır. Örek olarak ye üverste mezularılarıı aldıkları maaşları küçükte büyüğe doğru sıralayacak olursak: 191, 1955, 5, 8, 8, 9, 1, 14, 15, 5, 33, 55 Öreğmzde versetde yerala ver sayısı çft br sayı olduğuda dolayı, ortaca değer bulablmek ç ortada yer ala k değer ola 9 ve 1 ortalamasıı hesaplamamız gerekmektedr. Bu k değer ortalamasıı 15 olarak hesaplayarak ortaca değer de bulmuş oluruz. Ortaca değer, artmetk ortalama gb aşırı uç değerlerde etklememektedr. Bu özellğ, ortaca değer e öeml avatajlarıdadır. Gelr verlerde geellkle ortaca değer kullaılmaktadır. Çükü versetde bulua yüksek br gelr düzey, artmetk ortalamayı yükseltp dağılımı merkezde zyade sağa yatık olmasıı sebebyet verr. Beş kşye at ola yıllık gelr düzeyler (mlyo TL), 3, 35, 4 ve 15 olarak alırsak, ortalama gelr düzey 554 olarak hesaplaır ve bu değer öreklem ortalamasıı etk br şeklde temsl etmemektedr. Ayı verset ortaca değer hesapladığımızda se 35 olarak buluruz. Açıkça görüldüğü gb ortaca değer, beşc kş yüksek gelr düzeyde etklememştr. Ortaca değer bulablmek ç aşağıdak formülde de faydalaablrz. 1 Ortaca Değer. gözlem değer Formülümüzde versetde yerala gözlem sayısıı fade etmektedr. Örek olarak, ye üverste mezularıı maaşlarıı göstere verler tekrar ele alalım. Bu öreğmzde gözlem sayımız 1 d. Dolayısıyla ortaca değer: Ortaca Değer 1 1 = 6,5. gözlem 6,5. gözlem değer bulablmek ç, 6. gözlem le 7. gözlem ortalamasıı alıması gerekmektedr. İşte bu yüzde burada ortaca değer hesaplarke 9 le 1 ortalamalarıı aldık. İkc öreğmzde = 5 d. Formülümüzü uyguladığımızda, ortaca değer 3. gözleme eşt olduğuu kolaylıkla göreblrz. Ortaca Değer 3. gözlem de versetde 46 değere dek gelmektedr. Mod 51 = 3. gözlem Mod, versetde e sık tekrar ede, frekası e yüksek değerdr. Mod u çoğulukla kategork verlerde kullaılması uygudur. Sayısal verlerde, e sık tekrar ede değer her zama merkez eğlm göstermeyeblr. Örek olarak br spor saloua gele öğrecler yaşlarıı 17, 18, 18, 15, 14 olduğuu düşüelm. Öğrecler yaşlarıda oluşa bu verset mod değer, e

55 sık tekrarlaa değer ola, 18 (k kere tekrarlamıştır) dr. Eğer versetmzde e sık tekrarlaa k tae gözlem var se, bu durumda her k gözlem de mod değer fade etmektedr ve bu tarz mod değerlere bmod delmektedr (17, 17, 18, 18, 15 gb). Br versetde, herhag br mod değer bulumayadablr (17, 1, 14, 15 gb). Orta Raj Orta Raj, br versetdek e büyük gözlem le e küçük gözlem değer ortalamasıı temsl etmektedr. Aşağıdak gb fade edlr: X Orta Raj e büyük değer X e küçük değer 5, 15, 5, 8, 1955, 191, 9, 33, 14, 55, 1, 8 versetmz orta rajıı hesaplayacak olursak: Orta Raj 17, 5 değer buluruz. Orta Raj, hem fasal aalzc hemde hava durumu suucusuu özet olarak kulladığı öeml br ölçüm metodlarıda brdr. Çükü Orta Raj verset hakkıda hızlı ve yeterl blg vermektedr. Ye de çoğu uygulamada artmetk ortalama gb orta rajı da kullaırke htyatlı davramak gerekmektedr. Sadece e küçük ve e yüksek gözlem barıdırdığıda merkez yöelm hakkıda fkr sahb olmamız zordur. Yüzdelkler Yüzdelk, versetdek br değer merkez eğlmde yeralmasıa gerek kalmada ölçülmes sağlamaktadır. Yüzdelk, ver e küçük değer le e büyük değer arasıda asıl br dağılım bçm sergledğ hakkıda bze fkr verr. p.yüzdelk, very yaklaşık olarak k parçaya böler. Ver yüzde p. kısmı, p. yüzdelkte küçükke; ver yüzde (1 - p) kısmı, p.yüzdelkte büyüktür. Örek olarak 5. yüzdelğ ortaca ( medya ) olduğu aşkardır. p. yüzdelğ hesaplamak ç öcelkle very küçükte büyüğe doğru sıralamamız gerekmektedr. Daha sora. deks değer aşağıdak gb hesaplaablr. p 1 Burada p yüzdelk ke, se gözlem sayısıı temsl etmektedr. Eğer değer br tamsayı değl se bu değer br sorak tamsayı değere yuvarlamak gerekmektedr. Eğer değer br tamsayı se, de büyük ola sorak tamsayı değer le. gözlem ortalaması alıır. Başka br deyşle le ( +1) ortalaması alıır. Öreğ,aşağıdak 8 gözleme at 3. yüzdelğ hesaplamaya çalışalım: Aşağıdak formulü kullaarak: 5, 1, 13, 14, 17, 19, 3, 8

56 Bu yüzde 3. yüzdelk.4 te br sorak tamsayı değer ola 3 e eşttr. Dzmzdek 3. gözlem 13 e tekabül etmektedr. Daha öcede de hatırlaacağı üzere ortaca değer 14 le 17 ortalaması ola 15.5 e eşttr. Bu blgmz teyd edelm. Ortaca değer 5. yüzdelk olması gerektğde: Bu rakam br tamsayı olduğuda 5. yüzdelk, 4. le 5. gözlemler ortalamasıa eşttr. Ya dzmzdek 14 le 17 ortalamasıa eşttr. Çeyrek Değerler Çeyrek değerler, ver grubudak gözlemler büyüklük sırasıa dzldğde, bu gözlemler 4 eşt gruba ayıra 3 değerde oluşmaktadır. Bulara sırasıyla 1. çeyrek (5. yüzdelk),.çeyrek (5. yüzdelk) ve 3. çeyrek (75. yüzdelk) adı verlr. Çeyrek değerler hesaplamak ç gerek ola formüller bulmak ç yüzdelk formüllerde faydalaablrz. Çeyreklkler, geellkle Q1, Q ve Q 3 olarak fade edlrler. Şmd se bu çekreklk değerler formüller celeyelm. (Bu aşamada kc çeyreklk değer formülüü daha öcede bldğmz ç celemyoruz. Uutulmaması gerekr k kc çeyreklk zate ortaca değere eştt!) 5 1 Q Q Yüzdelk formüllerde yola çıkarak çeyreklk değerlermze at ola formüller yukarıdak gb elde edeblrz. Çeyrek değerler hesaplamasıyla, hem merkez eğlme, hem de dağılıma lşk blg sahb olablrz. Dağılım ölçüler çersde çeyreklere tekrar değece ğz. Frekas Dağılım Tablolarıda Yerleşm Ölçüler Hesaplaması: Üçücü bölümde, büyük versetlerde frekas dağılım tablolarıda faydalamaı e etk yol olduğuu celemştk. Şmd se frekas dağılım tablolarıda faydalaarak, yerleşm ölçüler asıl hesaplayacağımızı celeyeceğz. Büyük versetlerde verler gruplaıp gruplamadığı öemldr. Baze gruplamamış verlerde yerleşm ölçüler hesaplamak daha etk br metod olarak karşımıza çıkablr. Dolayısıyla, öcelkle gruplamamış ham verlerde yerleşm ölçüler hesaplamasıı celeyeceğz. Daha sora se gruplamış verler yerleşm ölçüler asıl hesapladığıı celeyeceğz. Tablo 5.1 de yerala verler Taksm Meydaı da yapıla br akete katıla 36 kş yaşlarıı temsl etmektedr.

57 Tablo , 16 17, 17, 17 18, 18, 18, 18 19, 19, 19, 19, 19,,,,, 1, 1, 1, 1, 1,,, 3, 3, 3 4, 4, 5 36 x 7 1 Yapıla akette 15 yaşıda ola sadece br kş varke, 16 yaş grubuu temsl ede k kş yeralmaktadır gb tablo 5.1 yorumlayablrz. Br öcek bölümde öğredğmz gb bu verler frekas tablosu halde de fade edeblrz. Tablo 5. Yaşlar( x ) Frekaslar ( f ) fx Kümülatf f = = = = = = = = = = = f fx 7 Tablo 5.1 kullaarak artmetk ortalamayı aşağıdak gb hesaplayablrz: x x veya alteratf olarak Tablo 5. dek frekas değerler kullaarak ye ayı artmetk ortalama değer aşağıdak gb hesaplayablrz.

58 11 xf x f 1 Burada br öcek formülde farklı olarak toplama operatörüü sıırı 36 yere 11 olarak alımıştır. Buu sebeb, toplam yapılırke artık x ları yere fx ları baz alımasıdır. Düzeltlmş ortalama değer hesaplamak ç öcelkle, ver e kadarlık br kısmıı kesp çıkarmamız gerektğe karar vermemz gerekr. Bu kararı vereblmek ç (%5 lk düzeltlmş ortalama).5 x eştlğde.5 x 36 = 1.8 değer hesaplamamız gerekmektedr. Bulduğumuz 1.8 değer e yakı tamsayıya yuvarlayacak olursak, ver başıda ve souda k rakam çıkartmamız gerektğ soucua varırız. Verset başıda ve souda kşer rakam çıkartığımızda öreklem boyutumuz t = -4 = 36-4 = 3 ye drgemş olur. İdrgemş versetmz: Tablo , 17, 17 18, 18, 18, 18 19, 19, 19, 19, 19,,,,, 1, 1, 1, 1, 1,,, 3, 3, 3 4 t İdrgemş versetmze at ola frekas tablosuu oluşturacak olursak: Tablo 5.4 Yaşlar( x ) Frekaslar ( f ) fx = = = =95 6 6= =15 4 4= x f x f x f... x f

59 3 3 33= =4 9 1 f fx 64 Daha sora se düzeltlmş ortalama değer x düz = (= 64/3) şeklde hesaplayablrz. Ortaca değer hesaplayablmemz ç verset e ortasıda yer ala gözlem değer bulmamız gerekmektedr. Versetmzde 36 rakam buluduğuda, ortada yer ala 18. ve 19. gözlemler artmetk ortalaması bze ortaca değer (+)/ = olarak verr. İstedğmz gözlemler değerler bulmaı alteratf br yolu da kümülatf frekas değerlerde faydalamaktır. Öreğ Tablo 5. de, 19 yaşıa tekabül ede frekas değer 15 olması, 19 ve 19 yaşıı altıda yer ala 15 kş buluduğuu gösterr. Ayı şeklde, yaşıa tekabül ede kümülatf frekas değer 1 olması, ve yaşıı altıda toplam 1 buluduğuu gösterr. Dolayısıyla, ortaca değer de 18. ve 19. saları yaşları olduğuda, değere eşttr. Mod değerde, e sık tekrarlaa değer olduğuda dolayı ve sayısı versetmzde 6 kere tekrarlaa br sayı olduğuda dolayı, ye eşttr. Dolayısıyla: Ortalama Düzeltlmş Ortalama Ortaca Değer Mod Hesaplamış olduğumuz yerleşm ölçüler ede brbrlere eşt çıktıklarıı merak edeblrsz? Bu soruu cevabıı, dağılım ölçüler de şledkte sora verler çarpıklığı hakkıda yeterce fkrmz oldukta sora vereceğz. Çeyreklkler hesaplayacak olursak: 1 4 (36 + 1) = 9.5 c gözlem Q 1 e eşttr. Bu gözlem e yakı tam sayı değere yuvarlarsak, 9. gözlem 18 olarak elde ederz. Dolayısıyla Q 1 = 18 olur. Bezer brşeklde Q 3 değer bulmak ç: 3 4 (36 + 1) = 7.75 c gözlem Q 3 e eşttr. Bu gözlem e yakı tam sayı değere yuvarlarsak, 8. gözlem olarak elde ederz. Dolayısıyla Q 3 = olur. Frekas Dağılım Tablolarıda Yerleşm Ölçüler Hesaplaması (Gruplamış Verler): Şmd se ayı hesaplamaları gruplamış verler ç yapacağız. Klt oktalara rahatlıkla dkkat çekeblmek ç, tekrar Tablo 5.1 de yer ala verset kullaacağız. Tablo 5.1 dek verset gruplamak ç, öcelkle kaç adet grubumuzu olacağıa karar vermelyz. Bu karar aşamasıda da üçücü bölümde öğredğmz formülü kullaacağız.

60 Grup Sayısı 1 log 1 log Dolayısıyla grup sayımızı 6 olarak belrlemş olduk. Şmd se grup aralıklarıı belrlemelyz. Ye üçücü bölümde öğredğmz grup aralığı formülüü kullaarak: E Yüksek Değer - E Düşük Değer 5 15 Grup Aralığı = 1.66 Grup Sayısı 6 Dolayısıyla bu formül yardımıyla da grup aralığıı olarak belrledk. Şmd Tablo 5. dek verler gruplayarak yede düzeleyelm. Tablo 5.5 Yaşlar Frekaslar( f ) Orta fx Kümülatf Noktalar( x ) Frekas f 15-17(dahl değl) = (dahl değl) = (dahl değl) 11 11= 1 1-3(dahl değl) 9 9= (dahl değl) = (dahl değl) = f fx 738 Gruplamış verlerde artmetk ortalamayı asıl hesaplayacağız? Yapacağımız tek şey orta oktaları hesaplamak ve orta oktaları, hesaplamalarda ormal gözlem olarak ele almaktır. Orta oktalar, Tablo 5.5 te üçücü sütuda hesaplamıştır. Artık bu orta oktaları ormal gözlem değerler olarak ele alablrz. 6 xf x f 1 Toplam operatörüü sıırları 11 yere artık 6 grup yeraldığıda dolayı 6 dır. Artmetk ortalamayı, gerçek ortalama değerde () farklı br değer.5 olarak hesaplarız. Bu farkı ede, verler gruplarke br mktar blg kaybetmemzde kayaklamaktadır. Düzeltlmş ortalamayı hesaplamak ç ye öcelkle verset e kadarlık kısmıı drgememz gerektğ belrlememz gerekmektedr. Buu yapablmek ç öcelkle.5 36 = 1.8 değer hesaplarız. Daha sora verset başıda ve souda kşer rakam çıkartığımızda öreklem boyutumuz t = -4 = 36-4 = 3 ye drgemş olur. Tablo 5.6

61 Yaşlar Frekaslar( f ) Orta fx Kümülatf Noktalar( x ) Frekas f 15-17(dahl değl) = (dahl değl) = (dahl değl) 11 11= (dahl değl) 9 9= (dahl değl) = f fx 656 Verset başıda k gözlem çıkarılması, brc grubu frekas değer brm azalmasıa sebebyet verrke, souda k gözlem çıkarılması se beşc grubu frekas sayısıı br brm azalmasıa sebebyet verr. Dolayısıyla düzeltlmş ortalama değer x düz =.5(= 656/3) olarak hesaplayablrz. Ortaca değer hesaplarke ye 36 gözlem buluduğuda dolayı 18. ve 19. gözlemler artmetk ortalamasıı hesaplamamız gerekmektedr. Dolayısıyla, (36+1)/ =18.5 c gözlem değer hesaplamamız gerekmektedr. Bu gözlemler ye Tablo 5.5 te bulua kümülatf frekas değerlerde faydalaarak bulablrz. Yaş grubu ke kümülatf frekas değer 1 olması, öreklemde 19 yaşıda veya daha küçük toplam 1 kş vardır alamıa gelr. Bzm aradığımız gözlemler 18. ve 19. gözlemler olduğuda, kümülatf frekas değer 1 ola 19-1 yaş grubua bakmamız gerekr. Çükü yaş grubu sadece 1. gözleme kadar verset ele almıştır. 18. ve 19. gözlemler çermez. Dolayısıyla rahatlıkla ortaca değermz 19-1 yaş grubu çersde yeraldığıı belrteblrz. Acak gruplamış verlerde gözlemler keds göremedğmzde dolayı bu aşamada ortaca değer tam olarak değer bulamayız. Acak statstkçler bu soruu aşarak, gruplamış verlerde ortaca değer hesaplamak ç orta oktada da faydalaarak aşağıdak formülü gelştrmştlerdr. 1 U L Ortaca Değer L j f Bu formülde : L: ortaca değer yeraldığı grubu alt lmt temsl etmektedr. Öreğ, öreğmzde ortaca değer 19-1 grubuda yer aldığıda bu grubu alt lmt ola L değer 19 a eşttr. j: ortaca değer o grubu çde kaçıcı gözlem olduğuu göstermektedr. Öreğ, ortaca değermz buluduğu grupta 8.5 c gözlemdr. Normal de ortaca değermz 18.5 c gözlem d. Fakat, 18.5 te 1 taes br öcek grubu kümülatf frekasıa gtt ve gerye bu grup ç 8.5 c term kaldı. Dolayısıyla j değer 8.5 e eşt olmaktadır. U: ortaca değer yeraldığı grubu üst lmt temsl etmektedr. Öreğ, öreğmzde ortaca değer 19-1 grubuda yer aldığıda bu grubu üst lmt ola U değer 1 e eşttr. f: ortaca değer yeraldığı gruba at ola frekas değer temsl etmektedr. Öreğmzde bu değer 11 e eşttr. Formülümüzü kullaarak gruplamış verlerde ortaca değer hesaplayalım.

62 1 119 Ortaca Değer Görüldüğü gb sadece orta oktalarda faydalaarak hesapladığımız ortaca değer gayet gerçeğe yakı br değerdr. Dolayısıyla bu da kullamış olduğumuz formülü gücüü göstermektedr. Ayı formülde faydalaarak gruplamış verlerde çeyreklk değerler de hesaplayablrz. Prosedürümüz ayıdır. Fakat öcelkle çeyreklk değerler hag gözlemlere tekabül ettğ buluması gerekmektedr. Q 1 değer, 9.5 c gözleme ((36+1)/4 = 9.5) tekabül etmektedr. Brc grubu (15-17) kümülatf frekas değer 3 olduğuda brc çeyreklğ çeremez. İkc grubu se (17-19) kümülatf frekas değer 1 olduğuda brc çeyreklğ çerr ve brc çeyreklk bu grupta 6.5 c gözlemdr. (çükü lk üç gözlem brc gruba gtt) Kullaacağımız formülü yede ele alalım: Bu formülde : 1 U L Çeyreklk L j f L: çeyreklğ yeraldığı grubu alt lmt temsl etmektedr. Öreğ, öreğmzde çeyreklk grubuda yer aldığıda bu grubu alt lmt ola L değer 17 ye eşttr. j: çeyreklğ o grubu çde kaçıcı gözlem olduğuu göstermektedr. Öreğ, çeyreklğmz, buluduğu grupta 6.5 c gözlemdr. Normalde çeyreklğmz 9.5 c gözlem d. Fakat, 9.5 te 3 taes br öcek grubu kümülatf frekasıa gtt ve gerye bu grup ç 6.5 c term kaldı. Dolayısıyla j değer 6.5 e eşt olmaktadır. U: çeyreklğ yeraldığı grubu üst lmt temsl etmektedr. Öreğmzde çeyreklk grubuda yer aldığıda bu grubu üst lmt ola U değer 19 a eşttr. f: çeyreklk yeraldığı gruba at ola frekas değer temsl etmektedr. Öreğmzde bu değer 7 ye eşttr. Dolayısıyla Bezer şeklde Q 3 ü hesaplarsak: Q Q Mod değer hesaplayablmemz ç öcelkle modu yeraldığı grubu bulmamız gerekmektedr. Mod, frekas değer e yüksek ola grupta yeralmaktadır. Öreğmzde frekas sayısı 11 ola 19-1 yaş grubu modu yeraldığı yaş grubudur. Gruplamış verlerde mod değer hesaplamak ç aşağıdak formülü kullaarak ye orta oktalarda faydaalablrz. m m1 Mod L x fm fm 1 fm 1 f f

63 L: modu yeraldığı grubu alt lmt fade eder. Öreğmzde, L 19-1 grubuu alt lmt ola 19 a eşttr. f : modu yeraldığı grubu frekas değerdr. Öreğmzde 11 e eşttr. m m 1 f : modu yeraldığı grupta br öcek gruba at ola frekas değerdr. Öreğmzde 7 ye eşttr. f : modu yeraldığı grupta br sorak gruba at ola frekas değerdr. Öreğmzde 9 a eşttr. x : modu yeraldığı grubu geşlğe eşttr. Öreğmzde ye eşttr. m 1 Dağılım Ölçüler 11 7 Mod Üçücü bölümde, ham verler orgaze ederek frekas dağılım tabloları le grafklerle fade ettk. Verler dağılımları, eğlmler hakkıda fkr sahb olmaya çalıştık. Bu bölümde se, merkez eğlmler ölçümler ve dağılımlarıı celeyeceğz verler değşkelğ hesaplaması üzerde duracağız. Dağılım ede öemldr? Artmetk ortalama veya ortaca değer gb değerler sadece ver merkezde yeralmaktadırlar. Acak ver ortasıda yer ala değerler bze dağılım hakkıda br fkr vermezler. Öreğ br doğa gezse çıktıız, tur rehberz sze karşıızda dura ehr derlğ ortalama olarak 1. mt olduğuu söyled. Nehr hakkıda herhag başka br blg almada ehr çde geçer msz? Muhtemele geçmezsz. Yüzme blmyorsaız derlğ asıl değştğ hakkıda fkr sahb olmak stersz. Eğer derlk maksmum 1.6 mt, mmum.4 mt olarak değşyorsa, muhtemele geçmeye karar verrsz. Fakat, eğer derlk maksmum 3.5 mt le mmum.8 mt arasıda değşyorsa, muhtemele geçmezsz. Dolayısıyla bzm ç verler ortalamasıı yaısıra asıl farklılaştıkları, asıl dağıldıkları da çok öemldr. Dağılım ölçüler küçük çıkması, verler brbre yakı olarak, ortalamaya yakı değerler alarak dağıldığıı fade eder. Bu durumlarda ortalama değermz very yasıtablmes açısıda güvelrdr. Fakat, dağılım ölçüler büyük çıkması durumuda verler brbrde uzaklaşarak dağılır ve ortalamaı etrafıda toplamazlar. Dolayısıyla bu tarz durumlarda se ortalama very temsl edeblecek kadar güvelr değldr. Tablo 5.1 de yer ala guplamamış yaşları ortalaması dr ve bu yaşları dağılımıı hstogram le gösterm şekl 5.1 dek gbdr. 3 3 Tablo 5.5 gruplamış verlere at ola hstogram, şekl 5.1 dek gb smetrk olmadığıda aralarıda ayı verset olmasıa rağme farklılık gözler..

64 Şekl 5.1 Şmd Taksm Meydaı da yapıla akete katıla 36 kş dağıldığıı düşüelm. yaşlarıı tablo 5.7 dek gb Tablo , 18, 18, 18, 18, 18 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19,,,,,,,,, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,,,,, Ye bu verlere at ola ortalama değer ye eşttr. Şekl 5. Açıkça görüldüğü gb, Tablo 5.7 dek verler dağılımı daha çok ortalama etrafıda kümelemşlerdr. Şuaa kadar, verler dağılımları hakkıda fkr sahb olablmek ç hstogram gb görsel araçlarda faydaladık. Fakat bu araçlar baze bz yaıltablr ve dağılım hakkıda kes br yargıya varmamızı egelleyeblr. Dağılım hakkıda kes ve güvelr blgler elde edeblmek ç dağılım ölçüler celememz gerekmektedr. Raj Raj, versetde yer ala e küçük gözlem değer le e büyük gözlem değer arasıdak farktır. Serde yer ala e büyük gözlem değerde, e küçük gözlem değer çıkarılması le elde edlr. Raj = Xe büyük gözlem Xe küçük gözlem

65 Dolayısıyla hesaplaması çok kolay br ölçüdür. Fakat, versetde yer alablecek ola aşırı büyük veya aşırı küçük değerlere karşı çok hassastır, bz yaıltablr. Tablo 5.1 de yerala verler rajı kolaylıkla, 5-15 = 1 olarak hesaplaablr. Tablo 5.7 dek verler rajı se -18 =4 olarak hesaplaır. Raj değerlerde de tablo 5.7 dek verler daha az br farklılaşma çde olduğu verler brbre daha çok yakılaştığı gözlemektedr. Çeyrek Rajı (IQR) Çeyrek Rajı, rajda farklı olarak aşırı gözlem değerlere karşı duyarlıdır. 3. çeyrek le 1. çeyrek arasıdak fark alıarak hesaplaır. IQR = Q 3 Q 1 Çeyrek rajı ver kümesde yer alablecek uçdeğerlerde etklemedkler ç, çeyrek rajı kararlı br ölçüdür. Fakat, çeyrek rajı verler %5 s temsl etmektedr. Tablo 5.1 dek verlere at ola çeyrek raj değer -18 = 4 tür. Tablo 5.7 dek verlere at ola çeyrek raj değer 1-19 = dr. Açıkça görüldüğü gb kc tablodak verler dağılımıda daha az farklılaşma gözlemektedr. Varyas Varyas, bütü ver değerler dağılım hesabıa katması edeyle çeyrek rajıda farklı olarak e çok terch edle ölçüdür. Her gözlem değerde ortalamaı farkı alıması presbe dayamaktadır. Bu farka sapma delmektedr ve x x olarak fade edlr. Varyas değer hesaplaırke bütü sapmaları kares alıır, sora da bu kare sapmalar toplaır. Br çok statstk uygulamada elmzde aakütle değer değl öreklem değer bulumaktadır. Bu öreklem aakütle varyasıı (geellkle sembolü le gösterlr) tahm etmekte kullaılır. Aakütle varyasıı sapmasız br tahm edcs ( s ) sapmaları kares yere, -1 değere bölüerek buluur. s 1 x x 1 (5.1) İlkokul öğrecler sııf mevcutlarıı tekrar ele alalım: 46, 54, 4, 46, 3. Öreklem ortalamasıı daha öce hesaplamıştık x 44 5 Daha sora varyas değer aşağıdak gb hesaplayablrz: s 51 64

66 Stadart Sapma Stadart sapma değer, varyası karekökü alıarak hesaplaır. Böylece, (+) sapmalarla (-) sapmaları brbrler götürmeler egelledkte sora, sapmaları kareköküü alarak varyas değer stadardze ederz. Dolayısıyla, varyası ölçüm brm dezavatajıı ortada kaldırmış oluruz. s s (5.) Stadart sapma, ver kümesdek br değerde görüleblecek ortalama sapma mktarıı belrtr. Burada hareketle, örek ver kümemzdek değerler ortalama sapmasıı 64 8 olduğuu söyleyeblrz. Farklılaşma Katsayısı Varyas ve stadart sapma ölçüler, verler özellğe ve ölçüm brmlere göre farklılık göstereblr (saları ağırlıklarıı ortalaması le stadart sapmasıı 75kg a 15kg, ekler se 4kg a 3kg olması gb). Ayrı tplerdek verler değşkelkler kıyaslamak ç farklılaşma katsayısı hesaplaır. Stadart Sapma Faklılaşma Katsayısı (5.3) Ortalama Bu katsayı, stadart sapmaı ortalamaya bölümüyle elde edlr. Bu sayede, değşk ortalama ve stadart sapma ölçülere sahp ver kümelerdek dağılım mktarları karşılaştırılablr. Yüzdelk Oraları Yüzdelk oraı aşağıdak gb fade edlr. 9. yüzdelk Yüzdelk Oraı= 1. yüzdelk (5.4) Bu ölçü aşırı değerler gözardı ettğde dolayı kullaışlıdır. Frekas Dağılım Tablolarıda Dağılım Ölçüler Hesaplaması:

67 Frekas dağılım tablolarıda faydalaarak, yerleşm ölçüler asıl hesaplayacağımızı celeyeceğz. Büyük versetlerde verler gruplaıp gruplamadığı öemldr. Baze gruplamamış verlerde yerleşm ölçüler hesaplamak daha etk br metod olarak karşımıza çıkablr. Dolayısıyla, öcelkle gruplamamış ham verlerde yerleşm ölçüler hesaplamasıı celeyeceğz. Daha sora se gruplamış verler yerleşm ölçüler asıl hesapladığıı celeyeceğz. Tablo 5.1 de yerala verler Taksm Meydaı da yapıla br akete katıla 36 kş yaşlarıı temsl etmektedr. Tablo 5.1 dek verler kullaarak yerleşm ölçüler le gerçekleştrdğmz hesaplamaları, dağılım ölçülerde asıl gerçekleştğ celeyelm. Raj ve çeyrek raj değerler daha öce 8 ve 4 olarak hesaplamıştık. Tablo 5.7 dek verlere göre hesapladığımızda 4 ve olarak buluruz. Şmd ger kala dağılım ölçüler her k verset çde hesaplamaya çalışalım. Varyas değer hesaplamak ç, deklem (1) de de görüldüğü gb öcelkle ortalama değer hesaplaması gerekmektedr. Tablo 5.1 dek ortalama değer olarak hesaplamıştık, dolayısıyla varyas değer aşağıdak gb hesaplayablrz s Tablo 5. dek verler kullaarak frekas dağılımlarıda varyas değer asıl hesapladığımızı celeyelm. Tablo 5.8 Yaşlar( x ) Frekaslar ( f ) ( X X) f ( X X) =5 15= =16 16= =9 39= =4 44= =1 51=5 6 = 6= =1 51=5 4 =4 44= =9 39=7 4 4 =16 16= =5 15= f f X ( X ) 1 Tablo 5.8 dek şlemler yaparak varyas değer aşağıdak gb hesaplayablrz:

68 s 11 f x x f Ayı prosedürü takp ederek Tablo 5.7 dek verlere at ola varyas değer de aşağıdak gb hesaplayablrz. s f x x 1 f Şekl 5.1 ve şekl 5. de yerala hstogramlarda da alaşıldığı gb, Tablo 5.7 dek verler tablo 5. dek verlere göre daha az farklılaşmışlardır ve verler ortalamaı etrafıda toplamışlardır. Bu tezmz kc hesapladığımız varyas değer daha küçük olması da doğrulamaktadır. (dolayısıyla farklılaşma daha azdır) Her k versete at ola stadart sapma değerler de, bulduğumuz varyas değerler kareköküü alarak hesaplayablrz. Tablo 5.1 ç: Tablo 5.7 ç se: s s Ayı ortalama değer ç açıkça Tablo 5.7 dek verler daha az farklılaştığı gözlemektedr. Her k verset ç farklılaşma katsayısıı deklem (5.3) ü kullaarak hesaplayablrz. Tablo 5.1 ç: Tablo 5.7 ç se:.499 Farklılaşma Katsayısı Farklılaşma Katsayısı.66 Daha öce de belrttğmz gb, farklı versetler farklı ortalama değerlere sahp se ve bu versetler dağılımıı karşılaştırmak styorsak, farklılaşma katsayısı çok faydalı br ölçüdür. Yüzdelk oraları hesaplaması ç 9. ve 1. yüzdelk değerler bulmamız gerekmektedr. Daha soar bu yüzdelk değerler brbre ola oraıı hesaplayarak yüzdelk oraıı bulablrz. 9. ve 1. yüzdelk değerler:

69 ' ücü gözlem ' c gözlem ücü gözlem 33 e, 3.7 c gözlem 4 e yuvarlayablrz. Bu gözlemlere tekabül değe gözlem değerler 3 (tablo 5.1 de) ve 17 (tablo 5.1 de) olarak bulablrz. Tablo 5.1 dek verlere at ola yüzdelk oraı: 3 Yüzdelk Oraı Tablo 5.1 dek verlere at ola yüzdelk oraı: Yüzdelk Oraı Frekas Dağılım Tablolarıda Dağılım Ölçüler Hesaplaması (Gruplamış Verler): Eğer elmzde Tablo 5.5 te olduğu gb gruplamış br verset varsa, daha öce yerleşm ölçülerde yaptığımız gb, dağılım ölçüler de hesaplarke orta oktalarda faydalaırız. Öcelkle Tablo 5.5 tek verlere at ola varyas değer hesaplayalım. Bu verler ortalamasıı daha öce.5 ( x =.5) olarak hesaplamıştık, dolayısıyla artık varyası bulmak ç deklem (5) kullaablrz. Tek yapmamız gereke, hatırlayacağıız gb, X değerler orta oktalarla değştrmektr. Tablo 5.9 bu formülü süreçler göztermektedr. Tablo 5.9

70 Yaşlar Frekaslar f ) ( Orta Noktalar ( X ) ( X ) X Dolayısıyla varyas değer: s f x x f 1 daha öce hesapladığı mızda farklı olarak hesaplaır. Varyas değer 6.5 olarak hesaplarke elmzde gruplamış verler olduğuda, 6.5 yaklaşık br varyas değerdr. Bu değer hesapladığımız varyas değerlerde farklı olmasıı sebeb bu yakısamadır. Dğer dağılım ölçüler de ayı gruplamış ver prosedürler zleerek buluablr. f ( X X) =.5 3.5= = = = = =.5 9.5= = = = = f f X ( X ) 19 Dağılımı Şekl ve Çarpıklığı Daha öce merkez eğlm hakkıda fkr edeblmek ç ortalama, ortaca değer, ve mod değerlerde faydalamıştık. Verler dağılımı hakkıda bze fkr vere çeştl ölçüler de celedk. Şmd se dağılımı dğer br karakterstğ, çarpıklık dereces ve asıl ölçeceğmz celeyeceğz. Verler çarpıklığıa değmede öce smetrk dağılımlarda bahsetmek gerekmektedr. Smetrk dağılım, merkez her k tarafıııda eşt ölçüde ayı şeklde dağılmasıdır. Şekl 5.1 ve 5.3 te gördüğümüz dağılımlar brer smetrk dağılım öreğdr. Smetrk dağılımlarda, ortalama, ortaca değer ve mod her zama brbrlere eşttr. Eğer br dağılım smetrk se, bu dağılımı çarpıklığı yoktur veya çarpıklığı sıfırdır alamıa gelr. Şmd yaşları aşağıdak gb dağıldığıı düşüelm. Tablo , 17, 18, 19, 19, 19,,,,, 1, 1, 1, 1, 1,,, 3, 3, 3 Bu verlerde elde edeceğmz hstogram:

71 Şekl 5.3 Açıkça görüldüğü gb dağılım sola doğru çarpık veya egatf çarpıklığa sahptr. Table , 16 17, 17, 17 18, 18, 18, 18 19, 19, 19, 19, 19,,,,, 1, 1, 1, 1, 1,,, Tablo 5.11 dek verlere at ola hstogram:

72 Şekl 5.4 Dağılım hstogramda da görüldüğü gb sağa doğru çarpıktır veya poztf çarpıklığa sahptr. Herhag br çarpıklık durumuda, smetrk dağılım durumuda farklı olarak, ortalama, ortaca değer ve mod değerler brbrlere eşt değldr. ortalama > ortaca değer >mod: sağa doğru çarpık dağılımlar mod > ortaca değer >ortalama: sola doğru çarpık dağılımlar Sağa doğru çarpık dağılımlar, ortalama yüksek br değer aldığıda gerçekleşrke; sola doğru çarpık dağılımlar se ortalamaı çok aşırı küçük değerler tarafıda düşürüldüğü durumlarda ortaya çıkmaktadırlar. Verler smetrk olduğuda aşırı br değer ortaya çıkmadığıda bu ölçüler brbrlere eşt olmaktadırlar. Öreğ, Tablo 5.1 dak verlere at ola ortaca değer =.5 > ortalama =.417, verler egatf br çarpıklığa sahptr. Bezer şeklde Tablo 5.11 dek verler ele alırsak, ortalama =.789 > ortaca değer = olduğuda verler poztf br çarpıklığa sahptr. Kutu Dyagramı Kutu dyagramı, hem çarpıklığı hem de aşırı değerler teşhs edlmesde çok faydalı br araçtır. Kutu dyagramı, çeyreklkler taba ala verset geel çerçeves grafksel olarak göstermdr. Kutu dyagramıı oluşturablmemz ç, e küçük gözlem değer, Q 1 brc çeyreklk, ortaca değer, Q 3 üçücü çeyreklk ve e büyük gözlem değer olmak üzere sadece beş statstk değere htyacımız vardır. Tablo 5.1 dek verlere at ola kutu dyagramı aşağıdak gbdr.

73 Şekl 5.5 Kutu dyagramıı çzmek ç, öcelkle uygu ölçekte yatay ekse oluşturulması gerekmektedr. Daha sora, Q 1 de Q 3 e kadar kutuyu çzeblrz. Bu kutuu çe ortaca değer göstere dkey br çzg çzerz. Souç olarak, mmum ve maksmum değerler bu kutuya bağlaya yatay çzgy oluşturarak dyagramımızı tamamlarız. Bezer şeklde Tablo 5.1 a at ola kutu dyagramıı çzersek: Şekl 5.6 Bu dyagramda dağılımı sola doğru çarpık olduğu gözükmektedr. Bu souca asıl varablrz? Kutuu soluda yer ala brc çeyrekte 19.5 ( Q 1 ) mmum değer 16 ya kadar ola doğru, üçücü çeyrekte ( Q 3 ) maksmum değer 3 e kadar ola doğruda daha uzu olduğuda dağılım sola çarpıktır. Bezer şeklde Tablo 5.11 e at ola kutu dyagramıı çzersek:

74 Şekl 5.7 Şekl 5.7 dek kutu dyagramı poztf br dağılıma sahptr. Bu dyagramda yer ala k yıldız (**), versetde k tae aşırı büyük değerler olduğuu göstermektedr. Stadart Sapmaı Kullaımı: Amprk Kural Çoğu versetlerde, gözlemler büyük br kısmı ortaca değer etrafıda yeralırlar.sağa doğru yatık versetlerde, verler kümelemes ortaca değer soluda gerçekleşrke sola yatık versetlerde verler kümelemes ortaca değer sağıda yeralmaktadır.smetrk ola versetlerde se ortaca değer ve ortalama ayıdır. Gözlemler eşt olarak bu ölçüm parametreler etrafıda dağılırlar. Gözlemler bu tarz kümelemelerde kullaıla ve stadart sapmada da faydalaa kurala amprk kural der. Amprk kurala göre, çoğu versetlerde, her üç gözlemde ks ( %67s ) ortalamada br stadart sapma uzaklığıdak aralıkta yeralırlar ve kabaca gözlemler (9%-95%) se ortalamada stadart sapma uzaklığıdak aralıkta yeralırlar. Bu yüzde stadart sapma ve ortalamada ola farklılaşma bze gözlemler asıl dağıldığı hakkıda kabaca blg vereblr. Örek olarak, Tablo 5.1 dek ver ortalaması ve stadart sapması.449 olduğuu düşüerek amprk kuralı uygulayalım. Amprk kurala göre gözlemler 67% s aşağdak aralıkta yeralmaktadır. x 1 s; x 1 s 1.449; ;.449 Hakkate bu gözlemler %67 s yukarıdak aralıkta yeralmaktadır. Bu aralıkta yeralmaya aşağıda üç gözlem (15, 16, 17), yukarıda da üç gözlem (3, 4, 5 ) bulumaktadır. Gözlemler %95 se aşağıdak aralıkta yeralır. x s; x s.449; ; Bu bölümde şledğmz yerleşm ölçüler ve dağılım ölçüler çoğu MINITAB programı le hesaplaablr. Tablo 5.1, 5.7, 5.1, 5.11 de yerala verler yaslar.mtw dosyasıa Yas1, Yas, Yas3, Yas4, adı altıda kaydedlmştr. (Tablo 5.1 dek verler Yas1 adı altıda, tablo 5.7 dek verler Yas adı altıda kayıtlıdır.) N

75 Öreklem statstkler hesaplamak ç, Stat (statstk) meüsüde Basc Statstcs (Temel statstkler) seçeeğe ve Dsplay Descrptve Statstcs (Betmsel İstatstkler Göster) komutuu seçz. Şekl 5.8 Karşııza çıkacak ola dyalog ekraıda değşke olarak yas1 değşke seçz ve OK tuşua basarak aşağıdak çıktı elde edeblrsz. N: Gözlem sayısıı Tr Mea: Düzeltlmş Ortalamayı StDev: Stadart sapmayı SE Mea: Ortalamaı stadart hatasıı Mmum: Versetdek e küçük gözlem değer Maxmum: Versetdek e büyük gözlem değer Q 1 : Brc çeyreklğ Q 3 : Üçücü çeyreklğ Şekl 5.9

76 temsl etmektedr. Alteratf olarak Row Statstcs (satır statstkler) veya Colum Statstcs (sütu statstkler) değerler de kullaarak ayı ölçüler hesaplayablrz. Calc (hesapla) meüsüde (bkz. Şekl 5.1) bu k seçeekte br kullaarak ayı ölçüler hesaplayablrsz. Şekl 5.1 Gruplamış verler olduğu durumlarda, orta oktalarıı MINITAB ortamıda ayrı br sütu olarak belrtz. Kutu dyagramıa örek olması amacıyla şekl 5.4 tek kutu dyagramıı MINITAB yardımı le çzeblmek ç her zama olduğu gb öcelkle graph (grafk) meüsüde Boxplot (kutu dyagramı) seçeeğe tıklayıız. Karşııza çıka dyalog ekraıda Yas1 değşke seçerek Y eksee atayıız. Şekl 5.11 Şekl 5.11 dek dyalog ekraıda optos (seçeekler) seçeeğde traspose X ad Y butto (X ve Y ekseler devrğ al) özellğe tıklayıız ve OK tuşua basıız.

77 Şekl 5.1 Tekrar OK tuşua bastığıızda Şekl 5.13 tek kutu dyagramıı elde edeblrsz. Şekl 5.13

78 Bölüm 6: Olasılık ve Olasılık Dağılımları Olasılık, hakkıda başlı başıa ktap yazılacak kadar öeml ve geş br koudur. Olasılık blgs sadece br kısmı, statstksel süreçler alamak ç yeterldr. Bu yüzde olasılık kousuda çok fazla detaya mede sadece statstkle ola alakasıı rdeleyeceğz. Olasılıkta bahsettğmzde kes olmaya br olayda bahsedyoruz demektr. Kes ola olayları olasılıkları 1 e eşttr. Öreğ, br bozuk para attığımızda (eğer düyada sez) kes br şeklde bu para yere düşecektr. Acak paraı yazımı turamı geleceğ kes değldr ve paraı yazı gelme olasılığı da, tura gelme olasılığı da 1/ dr. Nede 1/? Bu soruu cevabıı brazda öğreeceğz. Hstogram ve Olasılık Br öcek bölümde de hatırlayacağıız üzere, statstksel aalzde e çok kullaıla dagramlarda br de hstogramdır. Hstogramda yaptıklarımızı tekrar hatırlayacak olursak; sııf aralıkları, bze ver frekas dağılımı şeklde özetlemş halyd. Her sııfı frekası yatay eksee herbr yükseklğ frekası fade edecek şeklde dkdörtgeler çzlerek bulumaktaydı. Hstogram, görel frekasları kullaarak da elde edleblr. Bu durumda se hstogram Şekl 6.1 dek gb olur. 4 Şekl 6.1 Şmd se dkey eksede yüzde csde görel frekaslar yeralmaktadır.(öreğ 5% fades.5 şeklde yazılmıştır.). Öreğ, 36 kşlk grupta rastgele 1 kşy seçelm. Bu kş yaşıı 15 olma olasılığı 1/36 =.7 dr ve hem görel frekası hem de olasılığı temsl eder. Bu hesaplamaları eye göre yapıyoruz bulara asıl karar veryoruz? Kısaca br sorak bölümde değeceğz. Olasılık Taımıa Farklı Yaklaşımlar 4 Şekl 6.1 MINITAB ortamıda elde edeblmek ç, Hstogram daylog ekraıda, optos (seçeekler) bölümüe tıkladıkta sora desty (yoğuluk) kutucuğua tıklayıız ve OK tuşua basıız.

79 İşlem ve uygulamalara geçmede öce bazı temel taımlamalara grş yapalım. Olasılık problemler celerke; deeylerle, olaylarla ve olası olayları kolleksyou le lglerz. Deey, araştırmacıı gözlemler elde etmek ç başvurduğu br metodtur. Olay se, deey souçlarıda veya çıktılarıda oluşa br demettr. Bast br olay parçalaamaz veya daha lerye götürülemez. Öreklem uzayı, olası bütü olayları çere br deeydr. Öreğ, br zar atalım bu br deeydr. Bu şlem soucuda 3 gelmes se, bast br souçtur, bast br olaydır, daha ler götürülemez. Zar atma deey 1,, 3, 4, 5 ve 6 gb bast olaylarda meydaa gelr. Eğer P y olasılık olarak ve A, B, C y se kede özgü brer olay olarak taımlarsak; P(A), A olayıı olma olasılığıı fade eder. Olasılık kavramı le alakalı k temel yaklaşım vardır. Görel Frekas Yaklaşımı: Öyle br deey tasarlayalım k çok fazla uyguladığıda, A olayıı kaç kere meydaa geldğ gözlemleyeblelm.bua bağlı olarak deeymzde; A olayıı olma olasılığı P(A) aşağıdak gb tahm edlr: A olayıı kaç kez meydaa geldğ f PA ( ) Rassal deeme kaç kez tekrarladığı Yazı ve tura öreğmze ger döelm. Parayı havaya attığımızda yazı gelme olasılığıı hesaplamak ç, öcelkle parayı, öreğ 1 defa, havaya atmalıyız ve bu deey esasıda kaç kere yazı geldğ gözlemlemelyz. Eğer, bu atışları 5 üde yazı gelyorsa, parayı havaya attığımızda yazı gelme olasılığı 5/1 = 1/ olur. Başka br örek le açıklamak ç, 36 öğrecde yaşı 15 olaları 36 defa seçelm. 36 seçmmzde 1 taesde yaşı 15 ola öğrecler le karşılaştığımızı gözlemlemşsek, 36 öğrec arasıda yaşı 15 ola öğrecler seçmek olasılığımızı 1/36=1/36 olarak hesaplayablrz. Klask Yaklaşım: Deeymz, tae farklı olaya sahp olduğuu ve herbr gerçekleşme şasıı eşt olduğuu varsayalım. Eğer A olayı, N farklı şeklde kere gerçekleşyorsa; A Olayıı Kaç Farklı Şeklde Gerçekleşebleceğ PA ( ) Mümkü Ola Souç Sayısı N, olayı kaç farklı seklde gerçekleşebleceğ gösterrke; N se, olası mümkü ola souç sayısıı göstermektedr. Bu yaklaşımıda yola çıkarak, para öreğmzdek olasılığı 1/, öğrec seçme öreğmzdek olasılığı da 1/ 36 olarak hesaplayablrz. Klask yaklaşımda her olayı olma olasılığı eşt olmalıdır. Eğer br deeyde bu şart sağlamazsa, görel frekas yaklaşımı uygulaır. Deeyde, toplam gözlem sayısı arttıkça, yaklaşık olasılık değerler gerçek değere doğru yaklaşma eğlm gösterr. Bu özellk, büyük sayılar yasası olarak ble teoremde kullaılır. Bu yüzde, deey tekrar tekrar yapıldığıda görel frekas olasılılığı, gerçek olasılık değere yaklaşır. Eğer olasılılık tahm az sayıdak gözleme dayadırılırsa, gerçek olasılık değerde sapmalar görüleblr. Olasılık Dağılımları

80 Olasılık dağılımı edr? Olasılık dağılımı, öreklem uzayıda yer ala her olayı tek tek göstere br çeşt foksyou (olasılık foksyou) grafğe verle smdr. Bu taımı braz daha açıklığa kavuşturmak amacıyla zar atma öreğ tekrar ele alalım. Öreklem uzayı, öreğmzde hatırlaacağı gb şu şeklde d: S = {1,, 3, 4, 5, 6}. Olasılık dağılımı se bze bu öreklem uzayıdak her olayı tek tek olasılığıı göstermeldr. Dolayısıyla olasılık dağılımıı şu şeklde göstereblrz: P = {1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6}. Çükü öreklem uzayıdak her altı rakam da 1/6 olasılık le gerçekleşeblr. Bu olasılık dağılımı Şekl 6. de olduğu gb grafk le gösterleblr. Şekl 6. Bu şekl, zar altıldığıda her değşke olası alablecekler göstermektedr (1,, 3, 4, 6 gb). Bu tarz olasılık dağılımları, yekesak (uform) olasılık dağılımı olarak adladırılırlar. Çükü her br olay eşt olasılıkla gerçekleşeblmektedr. Br dğer olasılık dağılımıa örek se şekl 6.1 de verlmektedr. Şekldek hstogram S={15, 16, 17, 18, 19,, 1,, 3, 4, 5} örekleme at ola olasılık değerler göstermektedr. Olasılık Yoğuluk Foksyou Olasılık yoğuluk foksyou, rassal br değşke olasıklarıı bze göstere foksyodur. Olasılık yoğuluk foksyou ve olasılık dağılımı arasıdak lşk, matematktek br foskyo ve ou grafğ arasıdak lşk le ayı doğrultudadır. Br başka fadeyle, olasılık yoğuluk foksyou olasılık dağılımıı bze vere matematksel fadedr ve matematkte karşılaşableceğz herhag br foksyoda farklı br yapıya sahp değldr. Acak daha lerde de göreceğmz gb bazı gerekl koşulları sağlaması gerekmektedr. Bu tartışmaı ardıda şu soruyu sorablrz: Şekl 6. de çzle olasılık dağılımıı asıl br matematksel fade le göstermelyz. Br dğer deyşle Şekl 6. dek olasılık dağılımıa karşılık gele olasılık yoğuluk foksyou edr? Bu matematksel fade de deklem (6.1) dek gbdr.

81 eğer x 1, f ( x) 1/ 6 eğer x, f ( x) 1/ 6 eğer x 3, f ( x) 1/ 6 f( x) eğer x 4, f ( x) 1/ 6 eğer x 5, f ( x) 1/ 6 eğer x 6, f ( x) 1/ 6 (6.1) Veya olasılık semboller le fade edecek olursak eğer x 1, P( x) 1/ 6 eğer x, P( x) 1/ 6 eğer x 3, P( x) 1/ 6 Px ( ) eğer x 4, P( x) 1/ 6 eğer x 5, P( x) 1/ 6 eğer x 6, P( x) 1/ 6 (6.) Bu foksyou hag özellkler ou br olasılık yoğuluk foksyou olmasıı sağlamaktadır? Temel olarak k özellk vardır: Bularda brcs aşağıdak gb fade edleblr. P( x1 ), P( x), P( x3), P( x4), P( x5 ), P( x6) Br başka deyşle olasılıklar sıfır veya poztf değerler almalıdır (ya egatf değer alamazlar). Burada x1 1, x,... İkc özellk se matematksel olarak aşağıdak gb fade edleblr 6 1 f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) 1 veya P( x ) P( x ) P( x ) P( x ) P( x ) P( x ) P( x ) Bu koşul br olasılık foksyou bütü değşkelere göre toplamı alıdığıda bu toplamı 1 e eşt olması gerekllğ fade etmektedr. Bu k koşul, br öcek dersmzde gördüğümüz, olasılık kurallarıı br başka fadesde başka br şey değldr. Açık olarak her k koşulda, zar öreğmzde sağlamaktadır Px ( ) Olasılık foksyolarıı dğer foksyolarda ayrıla br dğer özellğ de, rassal br değşke açıklayıcı değşke olarak foksyoda yer almasıdır. Rassal değşke edr? Normal br değşkede farkı edr? Bu kouyu br örek yardımıyla açıklamaya çalışalım. Açık br şeklde gözüktüğü gb, şekl 6.1 de ve olasılık foksyolarımızda (Deklem (6.1) veya (6.)) rassal değşkemz (zar atımı) göstermek ç X sembolüü kulladık. Rassal değşke X le fade

82 edlrke, X gerçekleşe değerler küçük x harf le gösterlmektedr. Bu örektek rassal değşkemz X gerçekleşe değerler, x = 1, x =,..., x =6 sayılarıda (her br 1/6 olasılıkla olmak üzere) herhag brs olablr. Öreğ zarı attığıızda deey gerçekleşe değer olarak 3 geleblr. Bazı rassal deemelere göre, souçlar rakamsal br fade olmayablr. Öreğ, statstkte sıkça kullaıla br öreğ, yazı-tura atma rassal deemes ele alalım. Bu deeme soucu, ya yazı gelmes ya da tura gelmesdr. Bu durumda yapılablecek tek şey rassal değşkemz X olarak taımlayarak, yazı gelmes durumuda X 1 değer alacağıı (x = 1), tura gelmes durumuda X değer aldığıı varsaymamızdır. Bu durumda olasılık foksyoumuzu aşağıdak gb yazablrz. x 1 se P( x) 1/ PX ( ) x se P( x) 1/ (6.3) Olasılık dağılımı se aşağıdak şekl alır. Şekl 6.3 Br rassal değşke, alacağı sayısal değşkee göre, sürekl veya süreksz olarak sııfladırılablr. Brc bölümde de hatırlaalacağı gb, rassal süreksz değşkeler acak solu asal sayıları gerçekleşe değerler olarak kabul edeblrler (öreğ: 1,, 3, 4...). Br malı satış mktarları, br mağazaya gre müşter sayısı, br zar atıldıkta sora geleblecek sayılar süreksz rassal değşkelere brer örek teşkl ederler. Ağırlık, uzuluk, ısı dereces veya zama gb gb rassal değşkeler sürekl rassal değşkelerdr. Çükü gerçekleşe değerler br aralık çersde taımlayablrz. Öreğ hava sıcaklığı bu yörede -5 derece le +1 derece arasıda değşr deleblr. Süreksz Olasılık Yoğulukları Süreksz br olasılık foksyou, smde de tahm edlebleceğ gb, süreksz br rassal değşke, açıklayıcı değşke olduğu br olasılık foksyoudur. Açıklayıcı değşke süreksz br değşke olduğuda, zar öreğ süreksz olasılık dağılımıa verleblecek br örektr. (alableceğ rakamlar 1,, 3, 4, 5, ve 6 le sıırladırılmıştır, Deklem 6.1 ve 6.). Süreksz br olasılık dağılımıa br başka örek se Deklem 6.3 tarafıda verlmştr. Bu fosyoları olasılık dağılımları se Şekl 6. ve Şekl 6.3 te gösterlmştr.

83 Örek 6.1: 3 haehalkıı kapsaya br araştırmaya göre, 54 haehalkıı çocuğu bulumamaktadır, 7 ale çocuğa sahptr, 4 ale 3 çocuğu vardır, 1 ale 4 çocukludur ve 3 ale se 5 çocuğu bulumaktadır. Eğer bu haehalklarıda rastgele br taes seçecek olursak, bu haehalkıı kaç çocuğa sahp olma olasılığıı hesaplayablrz. Tablo 6.1 bze gerekl ola blgy özetlemektedr. Tabloda X değşke çocuk sayısıı göstermek amacıyla kulladığımızı belrtrsek, f(x) de bu seçlecek ale farklı x değerler ç olasılık değerler gösterdğ alaşılablr. Öreğ f(1) değer bze rastgele seçle ale 1 çocuklu olma olasılığıı vermektedr. Bu örekte bu olasılık 117/3 =.39 a eşttr. Br olasılık dağılımıı sahp olması gereke koşulları (ya olasılıkları egatf olamaması ve toplamlarıı bre eşt olması) bu örek ç de sağlamış olduğu Tablo 6.1 de kolaylıkla görüleblr. Tablo 6.1: Hae Halkı Başıa Düşe Çocuk Sayısıı Olasılık Dağılımı x F f(x) 54 54/3= /3= /3= /3= /3= /3=.1 f 3 f( x) 1 Örek 6.: İkc br örek olarak br kırmızı dğer yeşl rekte ola k zarı beraber attığımızı düşüelm. Bu örekte rassal değşkemz k zarı üzerdek sayıları toplamıda baret olduğuu varsayalım. Bu durumda rassal değşkemz X gerçekleşe değerler, x=, x=3, x=4,..., x=1, sayılarıda baret olablr. Tablo 6. k zar atıldığıda gerçekleşeblcek X değerler br tablo halde sumaktadır. Tablo 6.: Br çft zarı toplamıı alableceğ değerler Kırmızı / Yeşl Tablo 6.3: Br çft zarı sıklık ve olasılık değerler x f f(x)

84 1 1/36=. 3 /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36=.8 11 /36= /36=. f 36 f( x) 1 Olasılık dağılımıı se aşağıdak gb çzeblrz. Şekl 6.4 Süreksz Rassal Değşke Ortalaması ve Stadart Sapması Rassal br değşke olasılık dağılımıı ortalamasıa beklee değer der ve E(X) veya le gösterlr. Eğer değşke olasılık dağılımıı blyorsak, aakütley de bldğmz alamıa gelr ve bu değşke ortalamasıa da beklee değer der. Bu yüzde beklee değer E(X) veya le gösterlerek aakütle ortalamasıı fade eder. Aakütle ortalamasıı veya beklee değer bulmak ç, görel frekasları p olasılıklar olarak kabul edldğ (6.4) formülü kullaılır. E( x) P( x ) x (6.4) Zar atma öreğmzdek ortalamayı, (6.4) ü kullaarak, aşağıdak gb hesaplayablrz:

85 Dolayısıyla, zarı attığımızda 3.5 gelmes beklerz. Açıkçası bu sayıda zar deeyde gözleeblr br sayı değldr. ( hçbr zama zarı attığıızda 3.5 elde etmezsz ). Buu yaıda eğer zarı çok fazla atarsaız, mesela 1. kere gb, bu 1. atışı da ortalaması 3.5 a eşt olmalıdır. Bu edede dolayı beklee değere baze uzu-vadel ortalama da delmektedr. Bu ortalama daha öcek bölümlerde bahsedle ortalamalarda, tahm edleceğ, üzere farklı br ortalamadır. X sadece öreklem ortalamasıı fade eder. Öreklem ortalamasıı hesaplamak ç zarı brkaç kez havaya atarız. Öcelkle beş kere havaya attığımızı düşüelm ( = 5) ve bu deey soucuda, 4, 5, 3, 6 souçları çıkmış olsu. Dolayısıyla, öreklem ortalamasıı 4 olarak x buluruz Bu ortalama da daha öce hesaplaa beklee değer (ortalama) ola 3.5 ta farklıdır. Şmd, Tablo 6.1 dek verlerde faydalaarak beklee değer hesaplayalım: Bu arada, Tablo 6.1 dek verler aakütleye at olduğuu kapalı br şeklde varsaydık. Öreğ aakütle 3 tae hae halkı çermektedr. Beşc bölümde s le fade edle varyas hesaplamasıda bahsetmştk. Eğer br değşke olasılık dağılımı hakkıda fkr sahb sek, aakütle varyası hakkıda da fkr sahb olablrz. Süreksz rassal br değşke aakütle varyasıı (6.5) dek gb hesaplayablrz. (aakütle varyasıı le fade ederz) (6.5) var( x) x P( x) Tablo 6.4: Haehalkıdak çocuk sayısıı varyasıı hesaplaması X x- x P(x) x P(x) x P( x) 1.5 Bua bağlı olarak, = 1.5tr ve bu fade karekökü her haehalkıda yerala çocuk sayısıı stadart sapmasıı verr: = 1.5 = Bu aalz ayısıı tek zar ve çft zar öreklerde de uygulayablrsz.

86 Bom Dağılımı Öreklermz çoğaltablrz, acak daha fazla lerlemede, şu soruyu sormalıyız: İstatstkte bu olasılık dağılımlarıı hag amaçla kullamaktayız? Öreklermzde de açık olarak görülebleceğ gb, eğer br rassal değşke X olasılık dağılımıı blyorsak, bu değşke hakkıda sorulablecek aşağıdak gb bazı sorulara rahatlıkla cevap vereblrz. 1. X bell br sayıya eşt olma olasılığı edr? Öreğ, zar öreğde x = 3 olma olasılığı edr? (P(x = 3)=?), veya k zarı buluduğu br örekte x = 1 olma olasılığı edr? (P(x = 1)=?).. X bell br sayıda büyük veya küçük olma olasılığı edr? Öreğ, zar öreğde x > 3 olma olasılığı edr?(p(x > 3)=?), veya k zarı buluduğu br örekte x > 1 olma olasılığı edr? (P(x > 1)=?). Yukarıdak soruları bezerler le çoğaltablrz. Acak bz şletme statstğde geellkle zar atma olayı gb olayları olasılıklarıyla pek fazla lglememekteyz. İşletme statstğde geellkle, şletme yöetmde karar almamıza yardımcı olablecek başka olasılık dağılımlarıyla lglemekteyz. Bu olasılık dağılımlarıı e ülülerde br de Bom dağılımıdır. Yüzyıllarda berdr kullaıla bom dağılımı, e y ble olasılık dağılımlarıda brdr. İsmdek b-fadesde de alaşılableceğ gb (İglzce de b- ötakısı kl alamıa gelmektedr), burada lgledğmz k souç vardır. Bu souçlarda br taes başarı dğer se başarısızlık olarak teledrlr. Acak bu adladırmalar kelme alamalarıda geelkle kullaılmamaktadır. Başarı, soucu mutlaka stele br durumu fade ederke, başarısızlık da stemeye durumu fade etmektedr. Bom dağılımı bze sayıda deemede X başarılı olay yakalama olasılığıı verr. Acak bom dağılımıı buu yapablmes ç aşağıdak varsayımları gerçekleşmes gerekmektedr. 1. Rassal deeme adet ayı deemey çermes gerekmektedr.. Her deeme sadece k olası souç barıdırmaktadır (başarı veya başarısızlık) 3. Her deeme br öcekde bağımsızdır. 4. Eğer p term herhag br deemedek, başarı olasılığıı gösteryor se; (q = 1 - p) da başarısızlık olasılığıı göstermektedr. 5. p ve q olasılıkları deemeler boyuca ayı kalmaktadırlar. Braz daha lerye gtmede, faktöryel kavramıı taımlamamız gerekmektedr. k faktöryel şu bçmde taımlıyoruz: k! k k 1 k k Sıfırı faktöryel bre eşttr:! = 1. Bom katsayılarııı da burada kullamak zorudayız. sayıdak deemede oluşablecek X sayıda, başarıı elde edlebleceğ farklı durumları sayısı aşağıdak formül yardımıyla hesaplaablr.

87 ! x! x! (6.6) Bu formül geellkle kombasyo formülü olarak blr ve X başarıı deemedek farklı durumlarıı sayısıı verr. Bu oktayı br örek yardımıyla açıklamamız faydalı olacaktır. Varsayalım k br mağazada herhag br müşter alışverş yapma olasılığı.3 tür. Mağazaya grecek lk üç müşterde k taes alışverş yapma olasılığı edr? Br başka fade le 3 deemede ( = 3, müşter sayısı) k başarı elde etme (x =, alışverş yapa müşter sayısı) olasılığı edr? Yukarıdak formülü kullaarak 3! ! 3! 11 Mağazaya grecek ola lk üç müşterde ks alışverş yapma, dğer alışverş yapmama olasılığıı aşağıdak gb bulablrz 5 : p p p p p (1 ) (1 ) Eğer p =.3 se bu olasılık.63 dr. Bu olasılık Tablo 6.5 de koyu harflerle belrtle her üç durum ç de geçerldr. Dolayısıyla, deemede x sayıda başarı vere her durum eş olasılığa sahptr. Geel olarak deemede x başarı elde etme olasılığı aşağıdak formülle hesaplayablrz. x x p (1 p) (6.7) Deklem (6.6) X başarıya sahp bom deey souç sayısıı, deklem (6.7) de her X başarısıa dek gele olasılık değerler fade ettğde dolayı her k deklem br araya getrerek bom olasılık foksyouu elde ederz. Bom Formulü:! x P( x) p (1 p) x!( x)! x (6.8) Burada P(x), sayıdak deeme de x sayıda başarı elde edlme olasılığıı göstermektedr. P(x) foksyou sze deemede x sayıda başarı elde olasılıklarıı ver p ve parametreler ç göstermektedr. Bu fade sze braz karmaşık gözüksede, temelde, sz lse matematğde de alışık olduğuuz aşağıdak leer foksyoda daha farklı değldr. y f ( x) a bx Burada a ve b k sabt değer fade ettğde dolayı, oları sabt brer değer olarak varsayablrz. Öreğ, a = ve b = 3 değerler alırsa foksyoumuz aşağıdak hal alır: y f ( x) 3x Foksyoumuz, belrl a ve b değerler ç farklı x değerler karşısıda y alableceğ değerler temsl etmektedr. Bom foksyou da ayı doğrultuda, farklı x değerler ve belrl ve p değerlere dek gele olasılık değerler temsl etmektedr. İk foksyo arasıdak tek farklılık 5 Temel olasılık yasasıda faydalaarak bulablrz

88 bom foksyouu, olasılık foksyolarıı geel şartlarıa uyması gerektğdr. (olasılık toplamları 1 olacak, olasılık değerler sadece veya poztf değerler alableceğ gb) Örek 6.3 (doğruda formülü kullaarak): Bu öreğmzde bom formülüü kullaarak olasılık değerler hesaplayacağız. Tablolarda ve blgsayarda faydalaarak kompleks formüller hesaplayacağız. Aşağıdak soruları cevaplayablmek ç bom formülüü kullaacağız. Soru 1: Herhag br müşter alışverş yapma olasılığı.4 se, mağazaya gre yrm müşter o tae ürü satı alma olasılığı edr? Px ( 1) gb. Bom formülümüzü kullamak ç = ve p =.4 değerler kullamamız gerekmektedr. Dolayısıyla bom formülümüz aşağıdak gb olur:! Px 1!( 1)! 1 1 ( 1).4 (.6) = müşter 1 adet ürü alma olasılığıı.11 olarak hesaplarız. Soru : Mağazaya gre müşter 3 veya daha az ürü alma olasılığı edr? Px ( 3)? gb Bu olasılığı hesaplamak ç Px P( x 3) P( x ) P( x 1) P( x ) P( x 3)!!( )! ( ).4 (.6).3656 Px! 1!(-1)! 1 19 ( 1).4 (.6) Px!!( )! 18 ( ).4 (.6).3874 Px! 3!( 3)! 3 17 ( 3).4 (.6) =.135 Daha sora Px ( 3) Dolayısıyla, mağazaya gre müşter 3 veya daha az ürü alma olasılığı.1 (yüzde 1) olasılık. Bu tarz olasılık değerlere, P(x 3), kümülatf olasılık değerler delmektedr. 3 değere kadar ola olasılık değerler göstermektedr. Soru 3: Mağazaya gre müşter 3 te daha az ürü alma olasılığı edr?

89 P( x < 3) =? Gb Açık olarak stedğmz olasılık değer ve P( x 3) P( x ) P( x 1) P( x ) Px ( 3) P( x ) P( x 3). Soru 4: Mağazaya gre müşter 17 de daha fazla ürü alma olasılığı edr? P(x > 17) =? gb; veya mağazaya gre müşter 17 ve daha fazla ürü alma olasılığı edr? P(x 17)? Bu olasılık değerler P( x 17) P( x 18) P( x 19) P( x ) P( x 17) P( x 17) P( x 18) P( x 19) P( x ) ve aşağıdak gb hesaplaablr Px! 17!( 17)! 17 3 ( 17).4 (.6).4 Px! 18!( 18)! 18 ( 18).4 (.6).4! 19!(-19)! 19 1 P(x=19)=.4 (.6).3 Px!!( )! ( ).4 (.6).1 ve Px ( 17) Px ( 17) Öreğmz olasılık yoğuluk foksyouu asıl elde edeblrz? Olasılık yoğuluk foksyou, satış mktarıda satış mktarıa kadar ola olasılık değerlerde oluşur. Brbaşka deyşle mmum satış mktarıda, maksmum satış mktarıa kadar satış yapma olasılıklarıı gösterr. Dolayısıyla bu yoğuluk foksyouu elde edeblmek ç 1 adet bom

90 P(X) olasılığıı P(x = ); P(x = 1); P(x = );...; P(x = ), hesaplayıp koordat düzlemde grafğ çzeblrz.,e-1 1,8E-1 1,6E-1 1,4E-1 1,E-1 1,E-1 8,E- 6,E- 4,E-,E-,E X Şekl 6.6 Örek 6.3 (tablo kullaımı): Br öcek öreğmzde hesapladığımız olasılık değerler hesaplamak ç daha kolay yötemler de vardır. Bu yötemler e öemllerde br de statstk tablolarıdır. Bell br değer ç aradığımız olasılılık değer hçbr hesaplamaya gerek kalmada doğruda bu tablolarda elde edeblrz. Tabloları kullaımıı daha detaylı celeyeblmek ç kc soruyu br daha rdeleyelm. Bu soruda bzde Px ( 3) değer bulmamız beklemektedr. Ekte yeralmakta ola bom tablosu, da 1 e kadar ola x değerler farklı ve p parametrelere göre kümülatf olasılık değerler ( P( x x ) gb) vermektedr. Tablodak bloklar farklı değerlere göre düzelemştr. Öreğmzde olduğuda, öcelkle tabloda bu öreklem boyutua dek gele bloğu bulmamız gerekmektedr. Bu blokta her farklı sütu, p farklı olasılık değerler temsl etmektedr. Her farklı satır se da ye kadar ola ( olduğuda) kümülatf olasılık değerler temsl etmektedr. Aşağıdak şeklde, ve p.4 ke Px ( 3) değer asıl buluacağı gösterlmektedr.

91 Şekl 6.7 Tabloda elde ettğmz, Px ( 3).16 değer daha öce kc soruu cevabıda elde ettğmz olasılık değer le ayıdır. Şmd se ayı yötem zleyerek üçücü soruya cevap vermeye çalışalım ve Px ( 3) olasılık değer bulalım. Bu durumda P( x ) P( x 3) özellğde faydalamamız gerekmektedr. Dolayısıyla Px ( 3) olasılık değer elde edeblmek ç, tabloda ye at kümülatf olasılık değer bulmamız yeterl olacaktır. Şekl 6.8 ve bekledğ gb daha öce hesaplamış olduğumuz olasılık değer ayısıı kolaylıkla elde edeblrz. Şmd se ayı şeklde brc soruya cevap vermeye çalışalım. Bu durum ç se olasığı k kümülatf olasılık değer farkı bast olasılık eştlğ vermektedr. P( x 1) P( x 1) P( x 9) özellğde faydalaacağız. Dolayısıyla tablomuzu da kullaarak P( x 1) P( x 1) P( x 9) değer Şekl 6.9 dak gb hesaplayablrz.

92 Şekl 6.9 So olarak dördücü soruyu, celemeye çalışalım. Öcelkle Px ( 17) olasılık değer bulmamız gerekmektedr. P( x 17) 1 P( x 17) özellğde faydalaarak. Bom tablosuu yardımıyla P( x 17) 1 P( x 17) 11 değer hesaplayablrz. Şekl 6.1 Daha öcek hesaplamalarımızda olasılık değer da zyade sıfıra çok yakı br değer (.4) olarak hesaplamıştık. Bom tablosu daha öce yaptığımız hesaplamalar kadar detaylı blg vermedğde ve souç çok küçük br değer olduğuda P( x 17) 1 P( x 16) değer sıfır olarak hesaplamıştır. Örek 6.3 (MINITAB): Hesaplamış olduğumuz olasılık değerler bulumasıdak e kolay yötem statstksel yazılımlar kullamaktır. Şmd se daha öce yaptığımız hesaplamaları Mtab yazılımı yardımıyla asıl gerçekleştreceğmz celeyeceğz. Brc sorudak ( Px ( 1)? ) olasılık değer MINITAB ortamıda hesaplayablmek ç, öcelkle çalışma sayfasıdak lk hücreye 1 (C1 altıa) değer grz. Daha sora se Şekl 6.11 de de gösterldğ gb Calc

93 (Hesapla) meüsüde Probablty Dstrbutos (Olasılık Dağılımları) seçeeğe tıklayıız ve bomal (bom) ıseçz. Şekl 6.11 Karşııza çıkacak ola dyalog ekraıda probablty (olasılık) kutucuğuu şaretleyz ve Number of Trals (deeme mktarı) kutucuğua yazıız ( =). Probablty of success (başarı olasılığı) kutucuğua se.4 yazıız (p=.4). Daha sora put colum (ver sütuu) kutucuğua se C1 yazıız. Karşıızdak dyalog ekraıı Şekl 6.1 dek gb doldurulmalıdır. Şekl 6.1 OK tuşua bastığıızda Şekl 6.13 tek soucu elde edersz. Şekl 6.13 Daha öce elde ettğmz soucu ayısıı kolaylıkla elde edeblrz.

94 Alteratf br metod olarak ayı soucu Şekl 6.14 dak dyalog ekraıda da gösterldğ gb put colum (ver sütuu) kutucuğua se C1 yazmak yere, put costat (ver sabt) seçeeğe tıklayarak yazdığıızda da ayı soucu elde edersz. Şekl 6.14 Üçücü sorudak olasılık değer Px ( 3) elde edeblmemz ç ayı şlemler Px ( ), Px ( 1), Px ( ) değerler ç tek tek hesaplayıp bu değerler toplamamız gerekmektedr. Veya alteratf olarak P( x ) P( x 3) eştlğ kullaarak Px ( ) kümülatf olasılık değer Mtab ortamıda hesaplayablrz. İkc sorudak Px ( 3) olasılık değer hesaplayablmek ç, Calc (Hesapla) meüsüde, Probablty Dstrbutos (Olasılık Dağılımlarıa) ve bomal (Bom) a tıklayıız. Karşııza çıka dyalog ekraıda Şekl 6.15 te olduğu gb Cumulatve probablty (kümülatf olasılık) seçeeğ seçz ve Number of Trals (deeme mktarı) bölümüe ( = ) değer grz. Probablty of success (başarı olasılığı) kutucuğua.4 (p =.4 ) değer grz. X değer grmek ç put costat (ver sabt) kutucuğua gelz ve 3 yazıız. Şekl 6.15 OK tuşua bastığıızda Şekl 6.16 dak çıktı soucuu elde edeblrsz.

95 Şekl 6.16 Dolayısıyla daha öce hesapladığımız olaslılık değer ayısıı elde ederz. Şmd se dördücü soruda stele olasılık değerler hesaplamaya çalışalım. Öreğ, P(x > 17) olasılık değer MINITAB ortamıda asıl hesaplayablrz? Bu olasılık değer hesaplayablmek ç P(x > 17) = 1 - P(x 17). P(x 17) eştlğ kullamamız gerekmektedr. Mtab bze daha öce de hesapladığımız yötemle P(x 17) = değer bulablrz. Dolayısıyla P(x > 17) = =.1 değer bezer şeklde P(x 17) değer hesaplayablmek ç P( x 17) 1 P( x 16) eştlğde faydalaablrz. Souç olarak, olasılık yoğuluğuu elde etmek ç, = (sabt müşter sayısı) ke x (farklı satış mktarlarıı) değerler da ye kadar ser olarak grmez gerekmektedr. C1 sütuua da ye kadar verler grp dyalog ekraıı da Şekl 6.8 de olduğu gb doldurduğuuz takdrde Şekl 6.17 dek çıktıyı elde edeblrsz. Şekl 6.17 Bu çıktı bze, mağaza gre müşter sayısı ke sıfırda satışa kadar satış yapma olasılığıı göstermektedr. Çıktıda görmüş olduğuuz 17 veya daha fazla satış yapma olasılıkları dört basamaklı ve sıfırda oluşa br sayı le fade edlmektedr. Bu fade olasılık değerler 6 Bu rakam brde çok farklı br rakam olmadığıda, Mtab bu rakamı tam değer doğruda belrtmemektedr. Olasılık değer tam değer Mtab ortamıda göstermek ve saklamak ç, Probablty Dstrbutos-Calc (Olasılık Dağılımları- hesapla) meüsüde bomal (bom) seçeeğe gelerek, karşııza çıka dyalog ekraıda Cumulatve probablty (Kümülatf Olasılık) değer seçmez ve put colum (ver sütuu ) bölümüe 1 de 17 kadar değerler grdğz süruu seçmez gerekmektedr. So olarak optoal storage (alteratf saklama) kutucuğua saklayacağıız yer ola C y grp OK tuşua bastığıızda bu değerler elde edeblrsz.

96 olmadığıa delalet etmemektedr. Tam terse bu fade Mtab ı dört basamakta daha küçük değerler raporlamadığıı belrtmektedr. Bu değerler tam değerler elde etmek stersez braz öce dyalog ekraıda yaptığımız şlemlere ek olarak optoal storage seçeeğe C yazıız ve OK tuşua basıız. Bulmuş olduğumuz olasılık değerlere at ola grafğ de Mtab yardımıyla elde edeblrz. 7 Bom Dağılımıı Ortalaması ve Stadart Sapması Bom dağılımıı beklee değer (ortalaması) le gösterlmekte ve aşağıdak formül yardımı le hesaplamaktadır: p Öreğ, = 1 ve p =.5, se = 5 olarak hesaplaır. Hatırlaacağı üzere beklee değer, bell br p olasılık değerde olayı beklee ortalama değer fade etmektedr. Bom dağılımıa at ola dağılım aşağıdak varyas formülü yardımıyla hesaplaablr: p(1 p) Öreğmzdek verlere at varyas değer hesaplayacak olursak: Stadart sapma değer de aşağıdak gb olur: Sürekl Olasılık Dağılımları Şu aa kadar sadece süreksz olasılık dağılımlarıı celedk. Süreksz olasılık dağılımları le sürekl olasılık dağılımları arasıdak tek fark; süreksz olasılık foksyoları, süreksz br sayı kümes üzerde taımlıyke, sürekl olasılık dağılımları sürekl değşkelerde oluşa br küme üzerde taımlamasıdır. Dolayısıyla, süreksz olasılık dağılımları gördüğümüz gb süreksz (keskl) çzglerde oluşurke, sürekl olasılık dağılımları sürekl (kesksz) br çzgde oluşur. Öreğ, bom dağılımı sürekl olarak taımlaacak olursa (k bu durumda 1.5 müşter alamsız olacaktır) dağılımı grafğ: 7 Olasılık yoğuluk grafğ Mtab ortamıda elde edeblmek ç, öcelkle daha öce bahsettğmz yötemle verler C de saklayıız. Daha sora graph (grafk) meüsüde chart (çzelge) seçeeğe tıklayıp Y yaza yere C (olasılık değerler) ve X yaza yere C1 ( da ye satış mktarları) grz. So olarak Dsplay (göster) seçeeğde project (proje) y seçp OK tuşua bastığıızda yoğuluk grafğ elde edeblrsz.

97 Şekl 6.18 Normal Dağılım Şuaa kadar, öreklermzde hep bom dağılımıı kulladık. Acak, gerçekte araştırmalarda e kullaıla dağılım, ormal dağılımdır. Normal dağılım sürekl br dağılımdır, brbaşka deyşle sürekl ola br rassal değşke üzerde taımlıdır. Normal dağılım, ağırlık, boy, yaşam süres, IQ gb pek çok sa özellğ dağılımıa uyum sağlaması le blr. Normal dağılım eğrs Şekl 6.19 dak gbdr. Şekl 6.19 Normal Yoğuluk = 6; = Normal dağılım eğrse baze ça eğrs de delmektedr. Değerler geellkle eğr orta kısımlarıda yoğulaşmıştır. X değşke değerler, eks sosuzda artı sosuza kadar değşr, fakat değerler büyük br kısmı ortalamaı etrafıda yoğulaşmaktadır ( ). Öreğ Şekl 6.19 dak ormal dağılımı ortalaması 6 ya eşttr. Normal br dağılımda ortalamaı olasılığı, e yüksek değere sahptr; brbaşka fade le eğr tepe oktası X ortalama değere karşılık gelmeldr. Şekl 6.19 da, ortalama 6 dır ve 6 ı olasılığı, eks sosuz le artı sosuz arasıda gözlemleeblecek e yüksek değer ola. ye eşttr. Ortalamada uzaklaştıkça, üstüe geldğmz oktaı (değer) gözlemleme olasılığı da düşecektr. Normal dağılımı br başka özellğ de ortalamaya göre smetrk olmasıdır. Başka br deyşle, ortalamaya sağda ve solda eşt

98 uzaklıkta k sayıı olasılıkları, eşt olmak zorudadır. Öreğ şekl 6.19 da, 5 ve 7 değerler, ortalama ola 6 ya eşt uzaklıkta oldukları ç (ks de 1 brm uzakta) olasılıkları ayıdır. Bom dağılımıı taımlamak ç k parametre yeterl d ( ve p) veya leer br foksyou (f(x) = a + bx gb) taımlamak ç k parametre (a ve b) yeterldr. Dolayısıyla, ormal br dağılımı tümüyle taımlamak ç de sadece k parametre yeterldr: ortalaması ( ) ve stadart sapması ( ). Bu parametreler değştrmek ormal dağılımı da değştrmek alamıa gelmektedr. Öreğ, Şekl 6.19 dak ormal dağılımda ortalamayı sabt tutup stadart sapmayı de.5 e drrsek, Şekl 6. y elde ederz x Şekl 6. Normal Yoğuluk = 6; =.5 Şeklde görüldüğü gb, stadart sapmaı azaltılması, olasılıkları ortalama etrafıda daha da yoğulaşmasıa yol açmaktadır. Başka br deyşle, ortalamaı yakııdak değerler gözlemleme şası fazlalaşmıştır. Şekl 6.19 a göre, ortalama değer ola 6 yı gözlemleme olasılığı (yaklaşık.8) daha öcek duruma göre (yaklaşık. d) 4 kat daha fazladır. Bezer şeklde, X dğer değerler ç de olasılık daha öcek duruma göre 4 kat artmıştır. Bu durum br tesadüf değldr. Nede, ortalamayı (6 sayısıda) sabt tutarke stadart sapmayı 4 kat ( de.5 e) azaltmamızdır. Normal br dağılımı olasılık yoğuluk foksyou aşağıdak gbdr: Normal Olasılık Foksyou 1 x 1 P( x) e (6.9) Burada ( ), X ortalaması, = ,, X stadart sapmasıdır ve e.7188 e eşt sabt br sayıdır. e ve sabt sayı oldukları ç, olasılık yoğuluk foksyou tümüyle ve tarafıda belrler. Bu formül sze braz karmaşık görüeblr. Ama souçta, verl ve değerler ç değşk X ler değerler vere başka br olasılık foksyoudur.

99 Örek 6.4 (formül kullaımı) İstabul Blg Üverstes de sıav otlarıı ormal dağıldığıı düşüelm. Sıav otlarıı, ortalaması (1 üzerde) 6 ve stadart sapmasıı olduğuu düşüelm. Rastgele seçtğmz br öğrec otuu 5 olma olasılığıı öğremek ç, ormal dağılım foksyouda X yere 5 değer verp aşağıdak soucu elde ederz: P( x 5) e.1763 (6.1) Bu öğrec geçer ot (5) almış olma olasılığı.1763 tür. Ortalaması 6 ve stadart sapması ola ormal br dağılım yukarıdak şekl 6.19 da gösterlmektedr. E yüksek olasılık, ortalamaya at ola olasılık değerdr ve şöyle buluur: P( x 6) e (6.11) Acak burada belrtmemz gereke çok öeml br husus bulumaktadır: Sürekl olasılık dağılımları taımıa göre yaptıklarımızı tamamı yalıştır! Sürekl olasılık dağılımlarıda foksyou tek br oktasıa at ola olasılık değer hesaplayamamaktayız. Örek olarak Px ( 5) gb olasılık değerler taım gereğ sıfırdır. Şmd bu hususu br örek le açıklamaya çalışalım. klometre uzuluğuda açık br yolda kaza yapma mkaıı değerledrelm ve yolu br kısmıda veya br yerleşkede kaza yapma olasılığımızı e olduğuu celemeye çalışalım. Bu deeyde ele aldığımız öreklem setmz da e kadar ola sürekl oktalarda oluşmakta olsu. Böyle br kazaı gerçekleşme olasılığıı, herhag br d aralığıda (d klometre olarak ölçülmektedr), d/ olduğuu varsayalım. Öreğmze göre, çok kısa br aralıkta mesela 1 satmetrelk br aralıkta kaza olma olasılığı,.5 tr ve bu çok küçük br olasılık değerdr. Aralığı uzuluğu sıfıra yakısadıkça, kaza olma olasılığı da sıfıra yakısayacaktır. Gerçekte de sürekl dağılımlarda tek oktaları olasılık değerler her zama sıfır olarak alırız. Bu durum olayları gerçekleşmeyeceğ alamıa gelmemektedr. klometrelk br yolda elbette kaza olablr acak 1.cm de kaza olma olasılığı sıfırdır. Yoksa bell aralıklarda elbette kaza olma olasılığı dkkate değerdr. Öreğ bu yolda kazalar geelde 5 le 55. km lerde oluyor deleblr. Bu yüzde (6.9) da taımladığımız foksyou olasılık foksyou olarak taımlamamız yalış br taımlamadır. Dolayısıyla olasılık foksyou olarak P(x) otasyouu kullamamız (her zama P(x) = olduğuda) yalıştır. Bu otasyo yere foksyou f(x) otasyou le göstereblrz. 1 P( x) f ( x) e 1 x Şekl 6.1 de de celeyebleceğz gb f(x) bell br değer alablrke bu değer olasılık değere, sürekl olasılığı P(x) = olarak taımladığımızda, eşt olmamaktadır.

100 Şekl 6.1 Öreğ daha öce yalışlıkla hesapladığımız P(x = 5) =.1763 değer ele alırsak, P(x = 5) = taım gereğ, doğrusuu f(x = 5) =.1763 olarak göstereblrz. Şekl 6. Sürekl dağılımlarda, P(5 < x < 6), veya P(x > 7) gb sadece bell aralıklara at ola olasılık değerler hesaplayablrz. Sürekl dağılımları br dğer özellğde bell br oktadak olasılık değer her zama sıfır olduğuda dolayı, x her hag br oktada büyük olma olasılığı le x her hag br oktaya eşt veya büyük olma olasılığıı brbre eşt olmasıdır. Öreğ P(x = 7) = se; P(x > 7) = P(x 7) ve P(x < 7) = P(x 7) eştlkler söz kousudur. Ayı özellkte dolayı P(5 < x < 6) = P(5 x 6) eştlğ elde edlr. Grafksel olarak, x x gb br değerde küçük olma olasılığı, eğr altıda kala taralı ala le gösterlmektedr. (bu tarz olasılıklara daha öce de öğredğmz gb kümülatf olasılık delmektedr) Şekl 6.3 P(x < x ) = P(x x ) Veya x x gb br değerde büyük olma olasılığı taralı ala le fade edlmektedr.

101 Şekl 6.4 P(x > x ) = P(x x ) Bezer şeklde k değer arasıda kala alaı da hesaplayablrz. Öreğ, x değer x 1 ve x değerler arasıda kalma olasılığı aşağıdak gbdr. Şekl 6.5 P( x1 x x ) = P( x1 x x ) Matematksel olarak bu alaları belrl tegraller yardımıyla hesaplayablrz. Öreğ Şekl 6.3 tek alaı aşağıdak tegral yardımı le hesaplamaktayız. x 1 x 1 P( x x) P( x x) e dx (6.1) Şekl 6.4 tek alaı se (6.13) umaralı tegral le hesaplayablrz. x 1 x 1 P( x x) P( x x) e dx (6.13) Şekl 6.5 dek alaı se (6.14 tek) tegral yardımı le bulablrz. x x1 1 x 1 P( x1 x x) P( x1 x x) e dx (6.14) veya alteratf olarak yukarıdak olasılık değerler aşağıdak kümülatf olasılık değerler farkı le de hesaplayablrz. P( x x x ) P( x x ) P( x x ) 1 1

102 Örek 6.5 (formül kullaımı) Öğrec 7 de daha az ot alma olasılığıı ormal dağılım formülüü kullaarak hesaplayalım x = 7. Grafksel olarak bu olasılığı Şekl 6.6 dak gb celeyeblrz. Şekl 6.6 (6.1) deklemde faydalaarak olasılık değer hesaplayablrz (ormal dağılımı ortalaması, = 6 ve stadart sapması, = ) x6 1 (6.1) P( x 7) P( x 7) e dx Örek 6.6 (formül kullaımı) Öğrec 7 de daha fazla ot alma olasılığıı ormal dağılım formülüü kullaarak hesaplayalım x = 7. Grafksel olarak bu olasılığı Şekl 6.7 dek gb celeyeblrz. Şekl 6.7 (6.13) deklemde faydalaarak olasılık değer hesaplayablrz (ormal dağılımı ortalaması, = 6 ve stadart sapması, = ). 1 x6 1 (6.13) 7 P( x 7) P( x 7) e dx.3854 P(x > 7) olasılık değer P(x > 7) = 1 - P(x < 7) eştlğde, P(x < 7) değer Örek 6.5 te olarak hesapladığımızda elde edeblrz. 8 Bom dağılımı gb süreksz dağılımlarda, bu olasılık değer P(x < 7) = P(x = 6) + P(x = 5) + P(x = 4) P(x =1) olarak yazablrz. Acak P(x < 7) değer P(x = 6) ve P(x = 5), veya P(x = 5) ve P(x = 4), gb değerler aralarıdak olasılık değerler de kapsadığıda dolayı sürekl foksyolarda bu yazım bçm yalıştır.

103 Örek 6.7 (formül kullaımı) İstabul Blg Üverstes de yapıla İstatstk sıavıı souçlarıı 4 le 5 arasıda olma olasılığıı hesaplayalım, ( x 1 4 ve x 5 gb). Grafksel olarak bu olasılık değer celeyecek olursak: Şekl 6.8 (6.14) deklemde faydalaarak olasılık değer hesaplayablrz (ormal dağılımı ortalaması, = 6 ve stadart sapması, = ). veya 5 1 ( x) 1 (6.14) 4 P(4 x 5) P(4 x 5) e dx x6 4 1x P(4 x 5) P( x 5) P( x 4) e dx e dx Doğal olarak bu tegral değerler hesaplamasıı szde beklememekteyz. Bom dağılımıda olduğu gb, ormal dağılımıda olasılık değerler hesaplarke zama zama statstksel tablolarda, zama zama da MINITAB yazılımıda faydalaacağız. Normal dağılımı olasılık değerler bulmak ç daha öce de müjdeledğmz gb karışık tegraller souçlarıı hesaplamıza gerek yoktur. Bu tarz hesaplamalarda MINITAB gb statstk programlarıda faydalaablrz. Örek 6.4 tek yalış olasılık değer (Deklem (6.1) dak P(5) değer gb) hesaplamak ç Calc (Hesapla) meüsüde Probablty Dstrbutos (Olasılık Dağılımları) ve Normal (Normal) dağılım seçeeğe tıklayıız. Karşııza çıka dyalog ekraıda Probablty Desty (Olasılık Yoğuluğu) seçeğe tıklayıız ve mea (ortalama) kutucuğua 6 ( = 6), stadard devato (stadart sapma) kutucuğua ( = ) değerler grz. Br sorak adım olarak, Iput Costat (Ver Sabt) kutucuğua 5 değer grdğzde Şekl 6.9 u elde edeblrsz.

104 Şekl 6.9 Dyalog ekraıda OK tuşua bastığıızda Şekl 6.3 dak çıktıyı elde edeblrsz. Şekl 6.3 Bu çıktı değer P(5) =.176 yı fade etmektedr. Sürekl dağılımlarda, tekbr oktaya at ola olasılık değer daha öcede belrttğmz gb sıfıra eşttr. Örek 6.5, 6.6, ve 6.7 dek olasılık değerler hesaplayablmemz ç Probablty desty (olasılık yoğuluğu) seçeeğ yere Cumulatve probablty (Kümülatf Olasılık) seçeeğe tıklamaız gerekmektedr. Şmd Örek 6.5 tek kümülatf olasılık değer (P( x < 7)) hesaplayalım. Bu hesaplamayı gerçekleştreblmek ç dyalog ekraıı Şekl 6.31 dek gb dolduruuz. Şekl 6.31 Dyalog ekraıda OK tuşua bastığıızda Şekl 6.3 dek çıktıyı elde edeblrsz.

105 Şekl 6.3 (6.1) deklemde hesapladığımız değere eşttr. Örek 6.6 dak olasılık değer (P(x > 7)) hesaplamak ç, P(x > 7) = 1 - P(x 7) eştlğde faydalamamız gerekmektedr. P(x < 7) =.6915 değer daha öce hesapladığımızda dolayı P(x > 7) değer P(x > 7)= =.385 olarak hesaplayablrz. So alıştırmamız olarak Örek 6.7 dek olasılık değer ( P(4 < x < 5) hesaplayalım. Bu olasılık değer hesaplayablmek ç P(4 < x < 5) = P(x < 5) -P(x < 4) eştlğde faydalaablrz. Şekl 6.31 de yerala dyalog ekraıdak verler değştrerek, P(x < 5) ve P(x < 4) olasılık değerler hesaplayablrz. Şekl 6.33 Şekl 6.34 Elde ettğmz çıktıları kullaarak P(4 < x < 5) değer, P(4 < x < 5)= P(x < 5) - P(x < 4) = =.1498 olarak hesaplayablrz. Stadart Normal Dağılım Stadart ormal dağılım, bütü ormal dağılıma sahp değşkeler döüştürebleceğ, sıfır ortalama ve br stadart sapma le taımlaa özel br ormal dağılım türüdür. Bütü ormal dağıla değşkeler döüştürelebleceğ stadart ormal dağılım değşke Z harf le gösterelm. Bu değşke, ortalama ( = ) ve 1 stadart sapma ( = 1) le ormal olarak dağıla stadartlaştırılmış br değşkedr. Normal dağılıma sahp herhag br X değşke döüşüm formülü aşağıdak gbdr: x z (6.15) Stadart ormal dağılımı (STND) şekl aşağıdak gbdr:

106 z 4 Şekl 6.35 STND ( =, = 1). Z-skoru, X değer ortalamada uzaklaştığı stadart sapma sayısıı fade etmektedr. Eğer X değer ortalamada küçük se, z skoru se egatf br değer; eğer X değer ortalamada büyük br değer olursa, z-skoru postf değer alır. Örek olarak, X değşkemz = 6 ortalaması ve = stadart sapması le ormal olarak dağıldığıı düşüelm. x herhag br değere tekabül ede z değer hesaplayalım. Eğer x = 7 se, bu değere tekabül ede z değer aşağıdak gb hesaplayablrz: x z x ve z değerler döüşümüü grafksel olarak fade edecek olursak Şekl 6.36 Grafkte de kolayca algılaacağı gb x 7 de küçük olma olasılığı le z değer ½ de küçük olma olasılığı brbre eşttr. P( x 7) P( z 1/ ) eştlğde dolayı P(x < 7) değer yere Pz ( 1/ ) değer hesaplayablrz. Pz ( 1/ ) değer hesaplaması P(x < 7) değer hesaplamasıa çok bezemektedr. Z skoru, ortalama ( = ) ve 1 stadart sapma le ( = 1) ormal olarak dağılıyorsa, deklem (6.9) da yer ala ormal dağılım foksyou aşağıdak gb olur: Stadart Normal Olasılık Foksyou 1 z 1 z f () z e e 1

107 Pz ( 1/ ) olasılık değer hesaplayablmek ç aşağıdak belrl tegral hesaplaması gerekmektedr. 1/ 1 z 1 1 P( z ) e dz Elde etmş olduğumuz souç daha öce Örek 6.5 te elde ettğmz P(x < 7) soucuu brebr ayısıdır. Doğal olarak, ede bu kadar karışık şlem br de z değer ç yapmaktayoz sorusu aklııza takılablr. Eğer MINITAB gb statstk yazılımları le olasılık değerler hesaplıyorsaız, X değerler yere Z değerler kullamaı hçbr avatajı yoktur. Araştırmacıları bu tarz programlar kullamadığı zamalarda, ellerde olasılık tabloları buluduğuda ve bu tablolarda bütü kümülatf olasılık değerler hesaplamış olduğuda X değerler bu tabloları kullaablmek ç Z değerlere döüştürülüyordu. Bu yüzde X yere Z değer kullamaı cdd br avatajı bulumaktaydı. Acak bz bu mekazmaı daha y alaşılmasıı sağlamak ç aralık tahm ve hpotez testlerde de X değerler Z döüşümü yaparak kullamaya devam edeceğz. İlerde kullaacağımız bazı öeml olasılık değerlere tekabül ede bazı özel z değerler blmez gerekmektedr. Yaygı br kullaım alaıa sahp ola z değerler 1.645, 1.96, ve.575 tr. Bu değerlere dek gele olasılık değerler se %9, %95, ve %99 dur. Şmd bu değerler grafk ortamıda celeyelm. Şekl 6.37 Şekl 6.38

108 Şekl 6.39 Şmd z değerler kullaarak öreklermz ç hesapladığımız olasılık değerler MINITAB ortamıda hesaplamaya çalışalım. P(x < 7), (Örek 6.5) olasılık değer br öcek MINITAB uygulamaları bölümüde gerçekleştrmştk. (bkz. Şekl 6.). Şmd se Pz ( 1/ ) değer MINITAB ortamıda asıl hesapladığıı celeyelm. P( x 7) P( z 1/ ) eştlğde dolayı, P(x < 7) ç hesapladığımız değer ayısıı hesaplamak zorudayız. Bu olasılık değer hesaplayablmek ç Calc-Probablty Dstrbutos seçeeğde ye Normal a tıklayıız ve karşııza çıkacak ola dyalog ekraıı Şekl 6.4 tak gb dolduruuz. Şekl 6.4 Şekl 6.9 le Şekl 6.4 ı arasıdak temel farklılık grlmş ola ortalama ve stadart sapma değerlerde kayaklamaktadır. Şekl 6.4 ta stadart ormal dağılım le karşı karşıya olduğumuzda dolayı ortalama olarak ve stadart sapma olarak 1 değer grerz. Pz ( 1/ ) olasılığıı hesaplamak stedğmzde dolayı put costat kutucuğua.5 değer grdğmzde Şekl 6.41 dek çıktı ekraıı elde ederz.

109 Şekl 6.41 Elde etmş olduğumuz çıktı, daha öce x değer ç elde ettğmz çıktı ekraıı tamamyle ayısıdır. Dolayısıyla x = 7 ve z = ½ değerler olasılıklarıı brbrlere eşt olduğuu göstermş olduk. Örek 6.6 da P(x > 7) değer hesaplayablmek ç, (P(x > 7) = P(z > 1/)) P(z > 1/) = 1 - P(z < 1/) eştlğde faydalaablrz. Örek 6.7 dek P(4 < x < 5) =? olasılık değer hesaplayablmek ç P(4 < x < 5) = P(x < 5) - P(x < 4) özellğde faydalaablrz. Şmd x = 4 ve x = 5 değerlere tekabül ede z değerler hesaplayalım. (6.15) tek döüşüm formülüü kullaarak z değerler aşağıdak gb elde edeblrz. z x z x P(-1 < z < -1/) = P(z < -1/) - P(z < -1 ) eştlğde faydalaarak MINITAB yardımı le de P(z < -1/) ve P(z < -1) olasılık değerler hesaplayablrz. (şekl 6.9 da.5 yere, put costat kutucuğua, -.5 ve -1 değerler grerek hesaplayablrz) Bu değerler Şekl 6.4 dek gb elde edeblrz. Şekl 6.4 Dolayısıyla P(-1 < z < -1/) değer P(z < -1/) - P(z < -1 ) =.385,1587 =.1498 olarak hesaplaablr. Normal Dağılımda İstatstksel Tabloları Kullaımı

110 Bu bölümde Örek y tekrar ele alarak olasılık değerler statstksel tabloları kullaarak hesaplamaya çalışacağız. Örek 6.5 tek Px ( 7) olasılık değer hesaplamak ç öcelkle x 7 (ormal dağılmış ola değşke) tabloda bütü olasılık değerler lstelemş olduğuda stadardze edelm ve z değere döüştürelm. x z Dolayısıyla artık dağılım tablosuu kullaarak Pz ( 1/ ) değer hesaplamamız gerekecektr. Ktabıızı Ekler bölümüde stadart ormal tablosuu bulablrsz. Bu tablo farklı z değerler ç kümülatf olasılık değerler vermektedr. Pz ( 1/ ) kümülatf olasılık değer Şekl 6.4 dek gb bulablrz. Şekl 6.4 Örek 6.6 da P(z < 1/) olasılık değer P(z > 1/) = 1 - P(z < 1/) özellğde faydalaarak hesaplayablrz. Dolayısıyla P(z > 1/) = 1 - P(z < 1/) = =.385 değer bulablrz.

111 Şekl 6.43 Örek 6.7 dek P(-1 < z < -1/) olasılık değer hesaplamak ç ye P(-1 < z < -1/)= P(z < -1/) - P(z < -1 ) özellğde faydalaablrz. Öcelkle P(z < -1/) ve P(z < -1) olasılık değerler tabloda hesaplamamız gerekmektedr. Tabloda egatf değerler bulumadığıda, ormal dağılımı smetr özellğde faydalaarak z P(z < - z ) = P(z > z ) deklğ elde edeblrz. Dolayısıyla, P(z < -1/) = P(z > 1/) ve P(z < -1/) = P(z > 1/) soucuu elde ederz. Şmd bu durumu grafksel ortamda celeyelm. Şekl 6.44 P(z < -1/) değer hesaplayablmek ç P(z > 1/) veya P(z < -1/) değer hesaplamamız gerekmektedr. P(z > 1/) değer hesaplarke P(z > 1/)= 1 - P(z < 1/) eştlğde faydalaablrz.

112 Şekl 6.45 Değşkemz bell br dağılıma göre dağılıp dağılmadığıı erede bleblrz? Olasılık dağılımı le uğraşa öğrecler e sık sordukları sorularda br hag olasılık dağılımıı kullaılacağıa asıl karar vereceğmz hususudadır. Bom olasılık dağılımı bölümüde, deey sadece k adet çıktısı olduğua dkkat çekmştk. Bu özellğe ek olarak, bezer deeme soucuda bu deemeler brbrde bağımsız olarak gerçekleştğde değşkemz bom dağılımıa sahptr fkr öe süreblyorduk. Pek değşkemz ormal olarak dağıldığıı hag özellklerde alayablrz? İstatstkte değşkeler ormal dağıldığıa dar kes varsayımlar bulumaktadır. Öreğ br sorak ütede deyeceğmz Merkez Lmt Teorem bu varsayımlarda brsdr. Bu teorem bell koşullar altıda öreklem ortalamalarıı ( x lar) ormal olarak dağıldığıı göstermektedr. Şmd se t dağılımı, k-kare dağılımı, ve F dağılımı olmak üzere dğer öeml sürekl olasılık dağılımlarıa deyeceğz. Bu dağılımlarda ormal dağılım gb bell statstksel teoremler doğrultusuda dağılmaktadır. Dolayısıyla bu teoremler hag değşke hag dağılım sahp olacağıı alama hususuda bze çok yardımı dokuacaktır. t, K-kare, ve F dağılımları Şuaa kadar sürekl dağılımlara örek olarak sadece ormal dağılımı rdeledk. Acak dersmzde sürekl dağılımlar başlığı altıda celeyeceğmz üç tae daha surekl dağılım bulumaktadır. Bu dağılımlar t dağılımı, k-kare dağılımı, ve F dağılımıdır. Bütü bu sürekl dağılımlar, serbestlk dereces olarak adladırdığımız br parametreye bağlı olarak dağılmaktadırlar. Belrl koşullar altıda, serbestlk dereces sayısı (geel olarak df veya D.F. le fade edlmektedr.) toplam kaç gözlem değer serbestçe kullaabldğmz gösterrke, toplam gözlem sayısıda aralarıda bağımsız lşk bulua kullaabldğmz gözlem sayısıı çıkardığımızda elde edleblr.

113 t dağılımıı yapısı, stadart ormal dağılıma çok bezemektedr. Bezer br şekle sahptr, sabt br ortalaması ve varyası vardır. Ortalama değer, stadart ormal dağılımda olduğu gb a eşttr ve varyası her zama ç /( ) değere eşttr. (hatırlaacağı üzere stadart ormal dağılımı varyası da her zama 1 e eşt d) Stadart ormal dağılımda farklı olarak, stadart ormal dağılım ortalama ve varyas olmak üzere k farklı parametreye bağımlı olarak dağılırke, t dağılımı tekbr parametreye, serbestlk derecese, bağlı olarak dağılmaktadır. t dağılımıı serbestlk dereces, ( gözlem sayısıı fade etmektedr) farklı durumlarıa göre farklı değerler almaktadır. Öreğ, serbestlk dereces duruma ve şartlara göre - 1, - gb değerler olablr. Dersmz amacıda, hem t dağılımıı hem de k-kare dağılımıı tek br parametreye (serbestlk derecese) bağlı olarak dağıldığıı göstermek yeterldr. Şekl 6.46, 4 serbestlk dereces ( -1 = 4) le dağıla t dağılımıı göstermektedr: Şekl 6.46 t dağılımı df = t 1 K-Kare dağılımı da t dağılımı gb tek br parametreye, serbestlk derecese bağlı olarak dağılmaktadır. K-kare dağılımıı serbestlk dereces, ( gözlem sayısıı fade etmektedr) farklı durumlarıa göre farklı değerler almaktadır. Eğer bu parametrey blyorsak, k-kare le dağıla değşke olasılık değerler hakkıda fkr yürüteblrz. Şekl 6.47, 4 serbestlk dereces ( - = 4) le dağıla k-kare dağılımıı göstermektedr: y u Şekl 6.47 K-kare df = 4 Şekl 6.47 de de alaşılableceğ gb k-kare dağılımı poztf ekselerde taımlamıştır. Dolayısıyla, ormal ve t dağılımıa sahp ola değşkelerde farklı olarak, k-kare le dağıla değşkeler sadece poztf değerler aldığıı varsaymaktayız. Üçücü sürekl dağılımımız se F dağılımıdır. F dağılımı, t dağılımı ve k-kare dağılımıda farklı olarak k farklı serbestlk derecese ( df1 ve df ) bağlı olarak dağılmaktadırlar. Şekl 6.48 de da yer ala F dağılımı 4 ve 49 serbestlk derecelere göre dağılma göstermektedrler.

114 Şekl 6.48 F dağılımı df 1 = 4, z df = 4. Şeklde de alaşılableceğ gb F dağılımı da poztf ekselerde taımlamıştır. Dolayısıyla, ormal ve t dağılımıa sahp ola değşkelerde farklı olarak, F le dağıla değşkeler sadece poztf değerler aldığıı varsaymaktayız. t dağılımı, K-kare dağılımı ve F dağılımı le dağıla değşkeler statstksel tabloları kullaarak olasılık değerler hesaplaması t dağılımı le dağıla ve serbestlk dereces df = 4 ola br değşkemz olduğuu varsayalım. Bu değşke de küçük olma olasılığıı hesaplamak stedğmz düşüelm (P(t < 1.533)). Bu hesaplamayı Ekler bölümüde yer ala t-tablosuu kullaarak gerçekleştreblrz. Bu tabloda farklı t değerlere (satırlar) ve serbestlk derecelere (sütular) dek gele olasılık değerler bulumaktadır. P(t < 1.533) olasılık değer tabloda asıl buluacağı şekl 6.37 de gösterlmektedr.

115 Şekl 6.49 P(t < 1.533) =.9 değer grafksel olarak gösterecek olursak: Şekl 6.5 P(t > 1.533) değer hesaplamak stedğmzde se bulduğumuz değer brde çıkarablrz. P(t > 1.533) = =.1. Grafksel olarak, Şekl 6.51 Şmd se değşkemz k-kare dağılımı le ve df = 4 serbestlk derecesyle dağıldığıı varsayalım. Bu değşke te küçük olma olasılığıı hesaplamak stedğmz düşüelm (P( < ). Bu hesaplamayı Ekler bölümüde yer ala k-kare tablosuu kullaarak gerçekleştreblrz. Bu tabloda farklı k-kare değerlere (satırlar) ve serbestlk derecelere

116 (sütular) dek gele olasılık değerler bulumaktadır. P( < ) olasılık değer tabloda asıl buluacağı Şekl 6.5 de gösterlmektedr. Şekl 6.5 P ( < ) =.9 değer grafksel olarak gösterecek olursak: Şekl 6.53 So olarak se değşkemz F dağılımı le ve df 1 = 4, df = 4 serbestlk dereceleryle dağıldığıı varsayalım. Bu değşke.99 da küçük olma olasılığıı hesaplamak stedğmz düşüelm (P(F <.99)). Malesef, F tablosuu braz daha karışık olmasıda dolayı F değerler olasılık hesaplamalarıda MINITAB programıı kullaacağız.

117 Şmd hesapladığımız olasılık değerler MINITAB ortamıda hesaplayalım. t dağılımıa sahp ve serbestlk dereces 4 ola P(t < 1.533) olasılık değer hesaplamak ç, Calc meüsüde Probablty Dstrbutos (Olasılık Dağılımlarıa) tıklayıız. t... dağılımıı seçtkte sora karşııza çıka dyalog ekraıı Şekl 6.54 tek gb dolduruuz. Şekl 6.54 OK tuşua bastığıızda aşağıdak çıktıyı elde edeblrsz.

118 Şekl 6.55 P(t < 1.533) =.9 daha öce hesapladığımız değer ayısıı elde ederz. K-kare dağılımıa sahp ve serbestlk dereces df = 4 ola P( < ) değer hesaplamak ç, Calc meüsüde Probablty Dstrbutos (Olasılık Dağılımlarıa) tıklayıız. Ch-Square... dağılımıı seçtkte sora karşııza çıka dyalog ekraıı Şekl 6.56 dak gb dolduruuz. Şekl 6.56 Elde edeceğz çıktı aşağıdak gb olacaktır. Şekl 6.57 F dağılımıa sahp ve serbestlk dereceler df 1 = 4, df = 4 ola to ola P(F <.99) değer hesaplamak ç, Calc meüsüde Probablty Dstrbutos (Olasılık Dağılımlarıa) tıklayıız. F... dağılımıı seçtkte sora karşııza çıka dyalog ekraıı Şekl 6.58 dek gb dolduruuz.

119 Şekl 6.58 Dolayısıyla elde edeceğmz çıktı aşağıdak gb olacaktır. Şekl 6.59 P(F <.99) =.9 Grafksel olarak; Şekl 6.6 Souç Bu bölümde farklı olasılık dağılımlarıı celedk. İlerleye bölümlerde hag dağılımı e zama kullaacağımızı celeyeceğz. Olasılık dağılımlarıı erede asıl kullaılacağı kousu;

120 hpotez testlere, aralık tahmlere temel teşkl edecektr. Dolayısıyla bu bölümde okuduklarıızı yce alamada geçmemeye çalışıız.

121 Bölüm 7: Örekleme ve Örekleme Dağılımları Grş Yedc bölümde, çıkarımsal statstk kavramıa daha detaylı br grş yapmaktayız. Çıkarımsal statstk, yötemler amacı blmeye br aakütle hakkıda blg toplama alamıa gelmektedr. Br başka deyşle, aakütleye at özellkler mümkü olduğuca y tahm edeblmektr. Brc bölümde hatırlayacağıız üzere, br aakütle tamamıı celemek ya tamame mkasızdır, ya da çok malyetldr, bu yüzde de blg elde etmek ç lgl aakütlede öreklem(ler) alıır. Öreklem verlerde hesaplaa özet blgler (ortalama, stadart sapma gb statstkler), aakütle özellkler (parametreler) tahmde kullaıldığı ç, bu statstklere ayı zamada tahm edc adı verlr. Öreğ br ampül üretm fabrkasıda, ye tasarım ampuller kullaım süres uzuluğuu araştırdığımızı düşüelm. Kullaım süres uzuluğu ç bütü ampuller aakütles celemek hem malyetl hem de uzu zama alacağıda dolasyı test ç öreklem olarak 1 adet ampul seçelm ve öreklem ortalamasıı hesaplayalım. Öreklem ortalamasıı 65 saat olduğuu düşüelm. 65 saat ola öreklem ortalamasıı kullaarak aakütle karakterstğ hakkıda fkr yürüteblrz. Burada öeml ola tahm edclermz e kadar y olduğudur. Tahm edcler de e kadar y olduğu uygu öreklem seçlp seçlmemes le alakalıdır. Bast rassal Örekleme, aakütlede öreklem seçlerek kullaılır. Eğer aakütle boyutuu solu olduğuu varsayarsak, N boyutlu br aakütlede seçle boyutlu rassal öreklemler heps seçlme olasılığı eşttr. Bast rassal Örekleme ger yerleştrmel veya ger yerleştrmesz olarak yapılablr. Ger yerleştrmesz Örekleme metodu e sık kullaıla Örekleme metodudur. Nokta Tahm Aakütle verler elde edemedğmzde dolayı, öreklem verlerde yola çıkarak aakütle karakterstğ hakkıda fkr yürüteblrsz. Tahm edcler formüller, bell kurallar altıda matematksel olarak türetlmektedr. Tahm sürec se bu formüllerde faydalaarak, öreklem verler kullama presbe dayamaktadır. Bu yüzde aakütle ortalaması ola değer ve aakütle stadart sapması ola değer tahm edeblmek ç bu değerlere dek gele, ortalamaı öreklem statstğ ola X değer ve stadart sapmaı öreklem statstğ ola s değer hesaplamamız gerekmektedr. Süreksz değşkelerde se ortalama verler orasal termlerle fade edlrler. aakütle oraıı fade ederke, p se öreklem oraıı fade etmektedr.

122 Tablo 7.1 Tahm Edcler Ortalama Varyas Stadard Sapma Şekl 7.1 Aakütle Parametres Tahm Edc 1 X 1 X s ( X X ) 1 1 Ora x p 1 1 s ( X X ) 1 Tahm edcler kousuda özellkle vurgulaması gereke husus, tahm edclerde rassal değşkeler olduğudur. Bu değşkeler rassal değşkeler özel br durumuu temsl etmektedrler. Pek ede rassallar? Öreklem ortalamasıı x matematksel formülüü ele alalım: x x ( x1 x x3... x ) 1 Formülümüzdek her x değşke (x 1, x vs.) rassal olduğuda dolayı, X öreklem ortalaması da rassal br değşkedr.

123 Dlersez şuaa kadar alattıklarımızı daha y alaşılablmes ç, alattıklarımızı br örek doğrultusuda celeyelm. Örek 7.1: Doğrulukta zyade kolaylık olması açısıda, yalızca üç verde oluşa br aakütle düşüelm. Aakütle büyüklüğüü N le gösterrsek, bu durumda N = 3 olur. Aakütle = {1,, 3} İlgledğmz tahm edc ortalama olduğuu düşüelm Burada aakütle ortalamasıı 9 olduğuu göreblrz. Bu aakütle dağılımı yekesak br dağılım olduğuda her sayıya tekabül ede olasılık değer 1/3 tür. Dağılımı aşağıdak gb görselleştreblrz: Şekl 7.1 Aakütle olasılık Yoğuluğu Şmd se aakütlemzde, ger yerleştrme le seçleblecek, boyutu = ola bütü öreklemler ele alalım. Tahm edc olarak şmdlk öreklem ortalamasıı ele alalım. Daha öcede belrttğmz gb öreklemmz ortalamasıı aşağıdak formül aracılığıya hesaplayablrz: 1 1 x x ( x1 x ) 1 Ger yerleştrme le boyutu = ola 9 farklı öreklem oluşturablrz: S 1 = {1, 1} S 5 = {, } S = {1, } S 6 = {, 3} S 3 = {1, 3} S 7 = {3, 1} S 4 = {, 1} S 8 = {3, } 9 Aakütle ortalamasıı veya beklee değer aşağıdak gb hesaplayablrz: EX ( )

124 S 9 = {3, 3} Bu öreklemler herbr seçme olasılığımız edr? Ger yerleştrme metodu kulladığımızda her br seçme olasılığımız 1/9 a eşt olur. Bu öreklemlere bağlı olarak hesaplaablecek öreklem ortalamaları se aşağıdak gb olacaktır: x 1, x 1.5, x 1 3 x 1.5, x, x x, x.5, x Gördüğüüz gb, örekleme seçle değerlere bağlı olarak, öreklem ortalaması 1, 1.5,,.5, veya 3 olablyor. Dolayısıyla öreklem ortalamasıı br rassal değşke olduğuu gözlemleyeblrz. Pek, bu değerler ortaya çıkma olasılıkları edr? 9 öreklem 3 taes aakütle ortalamasıı doğru tahm etmştr (3/9). İkşer tae öreklemmzde 1.5 ve.5 değerler bulumuştur (/9), brer öreklem de 1 ve 3 değerler vermştr (1/9). Öreklem ortalaması, her e kadar gerçek aakütle değer ortalama olarak doğru tahm etse de, ortalamaları br kısmı örekleme seçle verler şas eser hep küçük veya hep büyük olmaları edeyle (öreklem dalgalaması), br mktar öreklem hatası barıdırmaktadır (aakütle ortalamasıda farklılaşmaktadır). Bu bast örekte yola çıkarak, = boyutudak br öreklem ortalamasıa lşk olasılık dağılımıı (öreklem dağılımı) çzeblrz. Bu olasılık dağılımıa karşılık gele olasılık foksyou aşağıdak gbdr: X = 1, P( X ) = 1/9 X = 1.5, P( X ) = /9 P(X) = X =, P( X ) = 3/9 X =.5, P ( X ) = /9 X = 3, P( X ) = 1/9 Olasılık dağılımıı göstere foksyo se şu bçmde gösterleblr:

125 Şekl 7. Ortalamaı Öreklem Dağılımı Görüldüğü gb tahm edc de olasılık dağılımıa öreklem dağılımı delmektedr. Bu yüzde, şekl 7. öreklem ortalamasıı olasılık dağılımıı göstermektedr. Öreklem ortalamasıı öreklem dağılımı, lerde de daha detaylı celeyeceğmz gb, statstkte çok öeml br kavramdır. Örek 7.: Şmd se tablo 7.1 de kc tahm edc olarak gösterle ve öreklem varyası olarak smledrle tahm edcy celeyelm. Öreklem varyasıı matematksel formülü aşağıdak gbdr: 1 1 s x x x1 x x x... x x Öreklem ortalamasıda da bahsettğmz gb her x değermz rassal brer değşke olduğuda s de (öreklem varyası) rassal br değşkedr. Br öcek öreğmz verler kullaarak, öreklem varyaslarıı değerler hesaplayalım. Öreğ, brc öreklem öreklem varyasıı (S 1 ) aşağıdak gb hesaplayablrz: 1 1 s1 x x Açıkça görüldüğü gb aakütle varyasıı =/3 1 tahm etmek ç seçebleceğmz e kötü öreklemlerde br seçp varyas değer hesapladık. Bezer hesaplamaları ger kala öreklemlere uygulayıp öreklem varyasları öreklem dağılımıı elde edeblrz. s, s.5, s. 1 3 s.5, s, s.5, s, s.5, s, Tabloda da yer ala br dğer tahm edc, öreklem oraıdır. Adıda da alaşılacağı üzere bu tahm edc oralarla hesapladığıda kategork verlerde kullaılmaktadır. Öreğ, Türkye dek erkek seçmeler oraıı tahm etmeye çalıştığımızı düşüelm. Bu oraı tahm edeblmemz ç br öreklem set çekp tablo 7.1 de yerala öreklem oraı formülüde faydalaarak tahm de buluablrz. Bu formülde yer ala X değer öreklemde yer ala erkek seçme sayısıı temsl ederke, değer de öreklemde yer ala kş sayısıı göstermektedr. Örek 7.3: Aakütlemz, aakütle = {x 1, x, y 1 } gb üç değşkede oluştuğuu düşüelm. x 1, X partse oy vermey düşüe brc kşy temsl ederke; x, X partse oy vermey düşüe kc kşy, y 1 se Y partse oy vermey düşüe tek kşy temsl etmektedr. Bu bağlamda, X partse oy vereler oraı: X N 3 1 Daha öce öğredğmz gb : 1 EX ( )

126 Şmd ormalde de olduğu gb aakütley gözlemleyemedğmz, sadece boyutlu br öreklem gözlemleyebldğmz düşüelm. Seçtğmz brc öreklem S 1 = {x 1, x }şeklde se öreklem oraı formülümüzü bu örekleme uyguladığımızda öreklem oraıı aşağıdak gb elde edeblrz. X p 1 Böylelkle, /3 ola aakütle oraıı 1 olarak tahm etmş olduk. Aakütlemzde boyutu ola 9 farklı öreklem elde edeblrz. S 1 = {x 1, x 1 }; S = {x 1, x } ; S 3 = {x 1, y 1 }; S 4 = {x, x }; S 5 = {x, x 1 } ; S 6 = {x, y 1 }; S 7 = {y 1, y 1 }; S 8 = {y 1, x 1 } ; S 9 = {y 1, x } Öreklemlermz öreklem oralarıı hesaplayacak olursak; p 1, p 1, p 1/ 1 3 p 1, p 1, p 1/ p, p 1/, p 1/ Örek 7.4: Daha öcek öreklermzde aakütlelermz sadece üç elemada oluştuğuu varsaymıştık. Aakütle boyutuu bu kadar küçük almamızı ede seçebleceğmz bütü olası öreklem setler yazablmek d. Bu öreklem setler böyle detaylı br şeklde yazılması br sorak bölümde ayrıtılı br şeklde ele alıacak ola kavramlara br temel teşkl etmesde kayaklamaktadır. Aakütle boyutumuzu şuaa kadar N=3 olarak aldığımızda, bu aakütleye tekabül ede olası öreklemlermz sayısıı 9 (= 3 ) olarak hesaplamıştık. Şmd se aakütle boyutumuzu braz arttıralım ve aakütlemz (N = 1): P = {1,, 15, 15, 17, 18, 18,, 1, 35}gb olduğuu düşüelm. Aakütlemz aahtar parametreler heme aakütle ortalaması ( = 16.) ve aakütle stadart sapması ( = 9.13) olarak hesaplayablrz. Ye taımladığımız aakütle hakkıda fkrmz olmadığıı elmzde ye sadece boyutları 3 ola öreklemler olduğuu varsayalım. S = {15, 17, 18}gb öreklemlerde 1 adet elde 3 edeblrz. ( 1 = 1 boyutu 3). Elmzde sadece öreklem olduğuda öreklem ortalamasıı ve öreklem stadart sapmasıı x = ve s = 1.5 olarak hesaplayablrz. Öreklem ortalamasıı 16,66 bularak aakütle ortalaması ola 16, değere yakı br tahmde bulumuş olduk. Acak, aakütle stadart sapması ola 9.13 değer tahm ederke bulduğumuz öreklem stadart sapması (s) 1.5 bu değerde hayl uzaktır. Şmd ayı öreklem boyutuda ola br dğer öreklem daha alalım. ( = 3):S = {1,, 15}. Bu öreklemmze at ola öreklem ortalaması ve stadart sapma değer x = 6 ve s = 7.81 dr. Bu öreklemde aakütle stadart sapmasıı değer daha yakı br şeklde tahmde bulumuş olduk. Bu öreğmzde de alaşılableceğ gb seçtğmz öreklemler boyutua ve özellklere gore aakütle parametreler tahmde başarı derecemz artar veya azalır. Öreklem Dağılımları Aakütlede ayı boyutlarda rassal olarak öreklemler asıl çektğmz celedk. Nokta tahmlermz aye aakütle parametreler tahm etmeler bekleyemeyz. Öreklem ortalaması x, aakütle parametreler tahm deeymz rassal br çıktısı olarak teledrlmeldr. Öreklem ortalaması rassal br değşkedr. Bu yüzde, X ı kede at bt

127 ortalama değer, varyas değer ve olasılık dağılımı bulumaktadır. X ı olasılık dağılımı X ı öreklem dağılımı olarak da adladırılmaktadır. Bezer br şeklde, öreklem varyasıı olasılık dağılımı, s öreklem dağılımı olarak adladırılırke, öreklem oraıı olasılık dağılımı p öreklem dağılımı olarak adladırılmaktadır. Örek 7.5: Örek 7.1 de yerala x ı öreklem dağılımıda yola çıkarak ayı öreğ öreklem varyasıı öreklem dağılımıı elde edelm. Olası bütü öreklem varyaslarıı aşağıdak gb hesaplamıştık: s, s.5, s. 1 3 s.5, s, s.5, s, s.5, s, Öreklem varyaslarıa tekabül ede olasılık değerlerde oluşa olasılık foksyou aşağıdak gbdr: s se, P( s ) 3/ 9, P( s ) s.5 se, P( s ) 4 / 9, s se, P( s ) / 9, Dolayısıyla öreklem varyasıı olasılık dağılımıı şekl 7.3 tek gb elde edeblrz. Şekl 7.3 Varyası öreklem dağılımı Örek 7.6: Şmd se örek 7.3 tek öreklem oralarıı öreklem dağılımıı oluşturalım. Öreğmzdek olası öreklem oraları aşağıdak gbdr: p 1, p 1, p 1/ 1 3 p 1, p 1, p 1/ p, p 1/, p 1/ Dolayısıyla öreklem oraıı p olasılık dağılımıı şekl 7.4 tek gb elde edeblrz.

128 Örek 7.4 ÖreklemOraıı öreklem dağılımı X Öreklem Dağılımı Öreklem dağılımı ve özellkler, araştırmacılara öreklem ortalamasıı X aakütle ortalamasıa e kadar yakı olduğua dar olasılık çıkarımları yapma mkaı verr. Her öreklem ortalama ve varyası olduğuda, X ı da ortalama ve varyas değer bulumaktadır. Şmd se X ı öreklem dağılımıı ortalama ve varyasıı asıl belrledğmz celeyelm. Rassal değşke beklee değer ortalama olarak taımlamıştık. Dolayısıyla X ı ortalamasıı le fade edp ortalamasıı (7.1) dek gb olduğuu söyleyeblrsz. X EX ( ) (7.1) X Öreklem ortalamasıı beklee değer aakütle değere eşt olduğu spatlamıştır. (bkz. EK 7.1) EX ( ) (7.) Öreklem ortalamasıı beklee değer aakütle ortalamasıa eşt olması özellğe sapmasızlık delmektedr. Deklem (7.1) ve (7.) y br araya getrecek olursak: EX ( ) X Elde etmş olduğumuz bu fade, öreklem ortalamalarıı öreklem dağılımıı ortalasıı aakütle ortalamasıa eşt olduğuu veya bütü olası X değerler ortalamasıı, aakütle ortalamasıa eşt olduğuu göstermektedr. Örek 7.7 : Örek 7.1 de yer ala öreklem ortalamasıı beklee değer aakütle ortalamasıa eşt d EX ( )

129 Pek X ı öreklem dağılımıı varyası asıl hesaplayablrz? Aakütle varyasıı bldğmz takdrde, öreklem ortalamasıı varyasıı deklem (7.3) te olduğu gb hesaplayablrz. Bu formülü spatıı EK 7. de celeyeblrsz: var( X ) X (7.3) Burada, ble aakütle varyasıı fade ederke, se öreklem boyutuu fade etmektedr. Öreklem ortalamasıı stadart sapması bazı yerlerde stadart hata olarak da fade edldğde, bu stadart sapma dğer stadart sapmalarda farklılık göstermektedr. 11 (7.4) X Örek 7.8: Şmd Örek 7.1 dek öreklem ortalamalarıı varyasıı ele alalım. Bütü olası öreklem ortalamalarıı ve bu ortalamaları ortalamasıı bldğmzde dolayı, öreklem ortalamasıı varyasıı aşağıdak gb hesaplayablrz X X Stadart sapma değer se var( ) (1 ) (1.5 ) ( ) (.5 ) (3 ).33 Deklem (7.3) te faydalaarak X değer.33 olarak hesaplayablrz. X 3.33 X Deklem (7.3) yardımıyla hesapladığımız stadart sapma değer avatajı, elmzde kes öreklem dağılımıı olmadığı durumlarda veya bütü öreklemler ele alarak öreklem dağılımıı elde etme malyetl olduğu durumlarda ortaya çıkmaktadır. Burada lgç ola husus aakütle hakkıda fkr sahb olmadığımız halde aakütle varyasıı kullaılmasıdır. Acak çok adr olarak böyle durumlarla karşılaşırız ve deklem (7.3) ü kullaırız. Geelde se aakütle varyasıı tahm edcs kullaılmaktadır. Dolayısıyla formülümüz deklem (7.5) tek gb olur. s s (7.5) X s değer de tahm edcs temsl etmektedr. Öreklem ortalamasıı stadart X X hatasıı tahm edcs se aşağıdak gbdr: s s (7.6) X 11 Bu fadeye ayı zamada stadart hata delmes ede, tahm edcler hatalarıı hesaplamasıda rol sahb olmasıdır.

130 Dolayısıyla Tablo 7.1 e k tae daha tahm edc ekleyeblrz. Tablo 7.: Tahm edcler Ortalamaı öreklem varyası Aakütle Karakterstğ X Tahm Edc s 1 s s x x ; ( ) X 1 1 Öreklem ortalamasıı stadart hatası s 1 X s ; s ( ) x X x 1 1 Öreklem 7.9: Örek 7.1 dek öreklemlere ger döelm ve S 6 = {, 3}öreklem ele alalım. Aakütle varyasıı tahm edcs formülü tablo 7.1 de de hatırlayacağıız gb s 1 x x 1 Öreklem ortalamasıı X,.5 olarak hesapladığımızda dolayı, dğer değerler formülde yere koyalım. s Souç olarak öreklem ortalamasıı öreklem dağılımıı varyasıı tahm edcs.5 olarak aşağıdak gb hesaplayablrz. s.5 s.5 X Solu Aakütlelerde Örekleme Sürec Örekleme dedğmz aakütlede öreklem seçme şlem solu br aakütlede gerçekleştrlyorsa, değer deklem (7.7) dek gb hesaplamalıdır. Bu deklemdek N, solu X aakütle boyutuu fade etmektedr. N (7.7) X N 1 X ı stadart sapmasıı formülü de deklem (7.8) dek gb değşmştr.

131 X N N 1 (7.8) N fades solu aakütle düzeltme faktörü olarak adladırılmaktadır. Pratkte, solu N 1 aakütleler boyutları çok fazla büyük olduğuda ve öreklem düzeyler görecel olarak bu büyüklük le karşılaştırıldıklarıda küçük kaldıklarıda solu aakütle düzeltmek faktörü N 1 değere yakısamaktadır. Ktabımızda yerala bütü öreklerde aakütle solu N 1 olduğu ve boyutuu, öreklem boyutua göre çok fazla büyük olduğu varsayıldığıda, hesaplamalarımızda bu faktörü 1 olarak ele aldık. Bu yüzde hesaplamalarımızda her zama ç deklem (7.3) ü kulladık. Merkez Lmt Teorem Souda çok öeml br soruu cevabıı verme zamaı geld: Tahm edcler öreklem dağılımı le ede bu kadar lglemekteyz? Bu soruu cevabıı vereblmek ç spesfk br tahm edcy, öreklem ortalamasıı, ele alalım. Öreklem ortalamasıı dağılımı le ede bu kadar çok lglemekteyz? Şekl 7. de elde edlmş ola öreklem dağılımı e fade etmektedr? Bu soruları cevaplarıı öreklerde yararlaarak vermeye çalışalım. Örek 7.1 de sadece lk öreklem (S 1 = {1, 1}) gözlemleyebldğmzde dolayı doğal olarak aakütle hakkıda br gözlemde buluamamaktayız. Acak aakütle tahm edcs ola öreklem ortalamasıı, elmzdek öreklemde faydalaarak 1 olarak hesaplayablrz. Eğer öreklem ortalamasıı dağılımı hakkıda blgmz olsaydı, 1 değer gözlemleme olasılığımız 1/9 olacaktı. Şmd se sadece üçücü öreklem (S 3 = {1, 3}) gözlemleyebldğmz, brc öreklem artık gözlemleyemedğmz düşüelm. Tahm edlmş ortalama değer /9 olasılıkla 1.5 olarak hesaplaır. Pek bu olasılık değerler e fade etmektedr? Öcelkle bu olasılık değerler lerleye bölümlerde çok fazla kullaacağımızı belrtelm. Bu olasılık değerler çıkarımsal statstğ temeller oluşturmaktadırlar. Öreğ hesaplaa 1/9 olasılık değer aakütle ortalamasıı tahmde güvelmeyecek kadar küçük br olasılık değerdr. Güvelmeyecek kelmes e alama geldğ lerleye bölümlerde daha detaylı br şeklde rdeleyeceğz. Burada sorulması gereke krtk soru, gerçek hayatta hçbr zama aakütley gözlemleyememze rağme, aakütlede türetmş olduğumuz öreklem ortalamasıı dağılımıı erede blebleceğmzdr. N boyutua sahp ola aakütlede seçleble olası öreklem mktarı N adettr. Daha da öemls burada hale ede öreklem dağılımı le lglemekteyz? Eğer aakütley blyorsak, herhag br parametrey tahm etmemze gerek kalmamıştır. Gerçek hayatta elmzde sadece br öreklem olduğuda bu öreklem le öreklem dağılımı elde etmek mümkü müdür? EVET mümküdür! Bell koşullar altıda, Merkez Lmt Teorem (MLT) öreklem ortalamasıı öreklem dağılımıı ormal olarak dağıldığıı göstermektedr. Bu koşullar elerdr? Merkez Lmt Teorem koşulları (MLT): 1. Br aakütle dağılımı ormal se, o aakütlede seçlecek öreklemler dağılımı da boyutlarıda bağımsız olarak keslkle ormaldr.. Aakütle dağılımı e olursa olsu (bom, yekesak vs.), öreklem boyutu yeterce büyükse ( > 3), öreklem dağılımı ye de ormal dağılıma yakısar.

132 Merkez Lmt Teorem gücü Örek 7.3 ü tekrar celedğmzde daha kolay alaşılablr. Bu örekte aakütle ormal olarak dağılmadığı gözükmektedr. Gerçekte de, Aakütle = {1,, 3} ü 1/3 olasılıkla yekesak olarak dağıldığı gözükmektedr. Öreklem boyutu 3 da hayl uzak br değer ola kdr. Bu yüzde şekl 7. dek öreklem dağılımı ormal dağılıma bezememektedr. Bu yüzde, MLT ye göre eğer sayısı 3 da büyük se, bz öreklem dağılımıı aa dağılımda (aakütle dağılımıda) bağımsız olarak ormal dağıldığıı söyleyeblrz. Daha öcek bölümlerde de bahsettğmz üzere ormal dağılım, ortalama ve stadart sapma gb k parametreye bağlıdır. Eğer öreklem dağılımıı ortalamasıı ve stadart sapmasıı blyorsak, öreklem ortalamasıı gözleme olasılığıı hesaplayablrz. Bu olasılık değer hesapladıkta sora, bu tahm edc aakütle ortalamasıı tahm etmek ç y br parametre olup olmadığıı test etmş oluruz. Bu şlem gerçekleştreblmek ç öcelkle, öreklem dağılımıı ortalama ve stadart sapmasıı hesaplamamız gerekmektedr. Öreklem ortalamasıı öreklem dağılımıı ortalama ve stadart sapmasıı formüller daha öce türetmştk. Hatırlaacağı gb öreklem ortalamasıı ( x ) öreklem dağılımıı ortalamasıı formülü deklem (7.) dek gbdr. Commet [YZ1]: Şekl olarıı update et

133 EX ( ) Öreklem ortalamasıı varyasıı formülüü se deklem (7.3) tek gb hesaplayablrz: var( X ) X Varyas hesaplaırke kulladığımız bu formülü aakütle varyasıı bldğmz takdrde kullaablrz. aakütle varyasıı blmedğmz durumlarda se öreklem ortalamasıı dağılımıı varyasıı aşağıdak gb hesaplayablrsz. s 1 s s x x ; ( ) X 1 1 Bu durumda aakütle varyasıı yere, tahm edcs ola s öreklem varyası kullaılmaktadır. Örek olarak Türkye dek bebekler kouşma yaşıı araştır dığımızı düşüelm. Ortalama yaşı tahm edeblmek ç br öreklem ele alalım. Aldığımız öreklemde bebekler kouşma yaşı ortalama olarak 1. ( x 1. ) olarak hesaplamıştır. Öreklem ortalamalarıı dağılımıı varyasıı da hesaplayıp öreklem güverllğ hakkıda br fkr eddkte sora aakütle ortalaması hakkıda fkr yürütmeye çalışablrz. Aakütle ortalamasıı 1.5 ( 1.5 ) olarak ele alalım. Ortalamaı 1.5 olduğuu kabul ederek öreklem ortalamasıı 1. olarak elde etme olasılığıı hesaplayablrz. Böylelkle öreklemmz güvelrlğ hakkıda fkr yürüteblrz. Dolayısıyla bu olasılık değer hesaplamakla hpotezmz güvelrlğ hakkıda da fkr yürüteblrz. Ele aldığımız olasılık değer küçük br değer se, hpotezmz reddederz aks takdrde reddedemeyz. İzlemş olduğumuz bu matıksal süreç, lerleye bölümlerdek hpotez test arkasıda yata matığı fade edecektr. p öreklem dağılımı Bu bölümde, p rassal değşkee at ola ortalama ve varyas değerler geel formüller ele alacağız. Öreklem oraıı ortalamasıı ve varyasıı türreteceğz. p değşke beklee değer aşağıdak gbdr: E( p) Öreklem ortalaması le ayı doğrultuda, öreklem oraıı beklee değer aakütle oraıa eşt olmaktadır. Bu eştlğ erede geldğ EK 7.3 te gösterlmştr. Örek 7.1: Örek 7.3 tek öreklem oraıı (p ) beklee değer aakütle oraıa eşt olduğuu aşağıdak gb göstereblrz E( p) p değşke varyası deklem (7.9) dak gb taımlamaktadır 1 var( p) p (7.9)

134 Doğal olarak p değşke stadart hatası: (öreklem oraıı dağılımıı stadart sapması) gbdr. 1 p (7.1) Örek 7.11: Şmd se p varyasıı geel varyas formülüü kullaarak hesaplayalım var( p) p /3 (1/ /3) (1 /3) p deklem (7.9) dak varyas formülüde faydalaarak p varyasıı hesapladığımızda geel varyas formülü le ayı soucu elde ettğmz görürüz. 1 /31/3 1 var( p) p 9 Aakütle blmedğ halde aakütle oraı hakkıda yorum yapmamız aslıda pratkte çok zor br husustur. Dolayısıyla, ortalama durumuda olduğu gb, elmzdek öreklem kullaarak aakütle oraıı tahm etmeye çalışarak kullaırız. Bu yüzde hesaplamalarımızda daha gerçekç olmak ç deklem (7.9) yerde deklem (7.11) kullaablrz. s p 1 p p (7.11) Burada s p, p tahm edcs rolüü üstlemektedr. Stadart hataı tahm edcs se aşağıdak gbdr. s p p 1 p (7.1) Tablo 7. dek tahm edclermz lstese k adet daha tahm edc ekleyeblrz. Tablo 7.3: Tahm Edcler Öreklem oraıı varyası Öreklem oraıı stadart hatası Aakütle Karakterstğ 1 p p 1 Tahm Edc s s p p X ; p 1 p p p 1 p X ; p Örek 7.1: Örek 7.3 tek öreklemlerde faydalaarak S ={x, y} y ele alalım. Öreklem oraı p = 1/ ve tahm edcs aşağıdak gb hesaplaablr. p p p 1 1/ 1 1/ 1 s p = = 8

135 Bu değer sadece br tahm edc olduğuda aşkar br şeklde gerçek varyas değer ola /3 değerde farklı br değere sahptr. Solu Aakütlelerde Örekleme Sürec Örekleme dedğmz şlemmz solu br aakütlede gerçekleştrlyorsa, aşağıdak gb hesaplamalıdır. p değer p N N 1 1 (7.13) Daha öcede bahsetmş olduğumuz aakütle düzeltme faktörü sayesde deklem (7.9) ve (7.13) arasıdak fark oluşmuştur. Ye geel olarak, aakütle boyutuu öreklem boyutua gore çok daha fazla büyük olduğuu varsaydığımızda dolayı uygulamalarımızı ve öreklermz büyük br kısmıda deklem (7.9) u kullaacağız. X p değşke bom dağılımıa sahptr. MLT sayesde p değşke öreklem dağılımı, öreklem boyutu yeterce büyük olduğu takdrde, ormal olasılık dağılımıa yakısayablmektedr. p değşke öreklem boyutuu yeterce büyük olması ç aşağıdak k şartı sağlaması gerekmetedr. Öreklem Dağılımlarıı Kullaımı: Hpotez Teste Grş 5 ve (1 ) 5 Öreklem dağılımı kavramı, statstkte çok fazla öem teşkl ede br kavramdır. Bu bölümde, öreklem dağılımlarıı statstktek kullaımlarıı ve hpotez teste asıl temel teşkl ettğ öreklerle celeyeceğz. Öreklem dağılımlarıı kullaımıa geçmede öce, ormal dağıla değşkeler olasılık değerler asıl hesapladığımızı hatırlayalım. Örek 7.13: Br çay üretcs frmaı poşet çay üretmde, üretle poşet çaylarda ortalama 5.5 gram çay bulumaktadır. Çay mktarlarıı stadart sapması da.5 tr. (bu stadartlar şrket tarafıda belrlemştr) Poşetlerdek çay mktarlarıı ormal olarak dağıldığıı varsayalım. Br bardak çay çeblmek ç kulladığımız çay poşetdek çay mktarıı 5 gramda az olma olasılığı edr? Öreğmzde ele aldığımız X değşke (br çay poşetdek çay mktarıı ağırlığıı göstermektedr) = 5.5 ortalaması ve =.5 stadart sapması le ormal olarak dağılmaktadır. Aakütlemz, çay üretm frmasıda üretle bütü çay poşetlerde oluşmaktadır ve ormal olarak dağılmaktadır. Bzde stele olasılık değer grafksel olarak gösterek olursak:

136 Şekl 7.9 Şekl 7.9 dak taralı ala çay poşetlerde 5 gramda daha az çay mktarı olma olasılığıı göstermektedr. Bu olasılık değer asıl hesaplayacağız? Daha öcede de öğredğmz üzere x = 5 değer stadart ormal dağılım değşke ola z değşkee döüştürmemz gerekmektedr (ortalaması ve stadart sapması 1 ola stadart ormal dağılıma) x z.5 Bölüm 6 da da hatırlaacağı üzere, P( X < 5) = P(X < - ). Grafksel olarak fade edecek olursak: Şekl 7.1 Normal dağılım tablosuu kullaarak (veya MINITAB kullaılarak) P(Z < -) değer P(Z < -) =.8 olarak hesaplayablrsz. Dolayısıyla, 5 gramda daha az çay mktarı elde etme olasılığı yaklaşık olarak yüzde 3 tür. Şmd se öreklem dağılımı le alakalı öreğmz celeyelm. Örek 7.14: Üretle çay poşetler kalte cotrol şlemler le lgledğmz düşüelm. Bu bağlamda br çay poşetdek çay mktarı artık bzm ç çok öemldr. Çay poşetler ormal stadartları altıda doldurulduğu takdrde k soru le karşılaşılmaktadır. Brcs, müşterler çayı tadıı stedkler kıvamda hssedemeyeblrler. İkc soru se, etket üzerde belrtle gramaja uyulmadığıda etket bldrmde doğruluk kauu çğemş olmaktadır. Bu öreğmzde, çay poşetler etketlerde ortalama olarak 5.5 gram çay buluduğu ve bu mktarı.5 gram stadart sapmaya sahp olduğu belrtlmektedr.

137 Br başka fade le, eğer üretle çay mktarı etkette belrtle ortalama stadardı aşarsa, üretmde vazgeçlecektr. Çay mktarıı da tam olarak bell br stadartta üretme cdd zorlukları olduğu da aşkardır. Sıcaklık, em, farklı çay yoğulukları bu zorlukları başıı çekmektedrler. Şmd bu çay poşetler kalte kotrolüde bz sorumlu olduğumuza gore, frma bzde üretle çay mktarıı dda edle ortalama gramajda olmasıı tem etmemz beklemektedr. Aakütle ortalamasıı (üretle ortalama çay mktarıı) 5.5 gram olup olmadığıı alamak ç öcelkle uygu br öreklem seçp bu öreklem ortalamasıı hesaplamamız gerekmektedr. Br saat çersde üretle çay poşetlerde 4 taes öreklem olarak seçldğde, bu öreklemde bulua ortalama çay mktarıı gram olduğu gözlemştr. Bu bağlamda geel üretmde stadartları sağladığıı, ya ortalama olarak = 5.5 gram üretm yapıldığıı söyleyeblr myz? Aldığımız öreklem blgler braz daha statstksel sembollerle fade edecek olursak, öreklem boyutu =4 ve öreklem ortalaması x = olarak hesaplamıştır. Öreklem dağılımıı bldğmz takdrde, ( x ları olasılık dağılımı) bu öreklem elde etme olasılığımızı hesaplayablrz. X ı öreklem dağılımı hakkıda fkr yürüteblmek ç MLT de faydalaablrz. MLT ye gore öreklem boyutu 3 da büyük olduğu durumlarda, aakütle dağılımıda bağımsız olarak, X ı öreklem dağılımıı ormal olduğuu söyleyeblrz. öreklem boyutu 4 olduğuda bzm öreğmzde de X ı öreklem dağılımıı ormal olduğuu söyleyeblrz. MLT ayı zamada bze her zama ç aakütle ormal dağıldığı takdrde, öreklem boyutu e olursa olsu, öreklem dağılımıı da ormal olacağıı garat etmektedr. X ı ormal olarak dağıldığıı belrledkte sora daha öce öğredklermzde ) faydalaarak X ı stadart sapmasıı.5 ( = X.4 olarak hesaplayablrz. X 4 X ı ortalaması da, blmedğmz ama üretc = 5.5 olarak dda ettğ aakütle ortalamasıa eşttr. Elmzdek verlerde faydalaarak üretc bu ddasıı doğruluğuu araştırmaya çalışacağız. Dolayısıyla, X hpotetk ortalaması = 5.5 ve =.4 stadart X sapması le ormal olarak dağıldığıda, x = öreklem ortalamasıı elde etme olasılığımızı hesaplayablrz. Bu olasılık değer de P( X < 5.434) =? gb fade edeblrz. Şmd sorumuz br öcek öreğmzdek olasılık hesabıa bezer br hal almıştır. Tek öeml fark, br öcek öreğmzde X (çay poşetler ağırlığı) değşke ele almıştık, şmd se X (çay poşetler ortalama ağırlığı) değşke le çalışmaktayız. Bu olasılığı grafksel olarak gösterecek olursak: Şekl 7.11

138 Şekl 7.11 de taralı ala, ortalama çay mktarıı gramda az olma veya P( X < 5.434) olasılığıı göstermektedr. Bezer şeklde, bu olasılık değer hesaplamak ç öcelkle değer z değere döüştürmemz gerekmektedr 1. x z X P ( X <5.434) = P(Z < ) olduğuda Normal Dağılım Tablosu u kullaablrz. Grafksel olarak, Şekl 7.1 Normal Dağılım Tablosu u kulladığımızda (veya MINITAB) kulladığımızda P(Z < ) =.5 değer elde edeblrz. Bu olasılık değer braz düşük br olasılık değerdr. Düşük br olasılık değer olması bze e fade etmektedr? Bu olasılık değer, = 5.5 olduğu takdrde x = değere sahp br öreklem elde etme olasılığımızı yüzde 5 olduğuu belrtmektedr. Eğer, aakütle ortalaması 5.5 değldr dedğmz takdrde, (gerçekte aakütle ortalamasıı 5.5 olduğu durumda) yüzde 5 olasılıkla hata yapmak htmalmz bulumaktadır. Bu olasılık değer, gerçek aakütle ortalaması 5.5 olsa ble 5.5 değldr dyerek hata yapmamız ç küçük br olasılık değerdr. Dolayısıyla bu olasılık değer, gerçek ortalama değer 5.5 değere eşt olamaz soucua varmak ç düşük br hata değerdr. Yukarıdak paragrafta aakütle ortalamasıı 5.5 olamayacağı soucua varırız. Pek aakütle ortalaması 5.5 te büyük olablr m? Mesela 5.51 olablr m? Şmd se hpotetk ortalaması = 5.51 ve =.4 stadart sapması le ormal olarak dağıla, x = X öreklem ortalamasıı elde etme olasılığımızı hesaplamamız gerekmektedr. Bu olasılık değer grafksel olarak gösterecek olursak: 1 Br öcek öreğmzde z ye döüşüm formülüü z ( x ) / olarak ele almıştık. Fakat burada, ormal olarak dağıla değşkemz öreklem ortalaması ( X ) olduğuda, döüşüm formülü z ( x ) / / hal almaktadır ve bu formülde ( ) ye aakütle ortalamasıı fade ederke / stadart hatayı fade etmektedr.

139 Şekl 7.13 Şekl 7.13 te taralı ala, hpotetk ortalama =5.51 ke ortalama çay mktarıı gramda az olma veya P( X < 5.434) olasılığıı göstermektedr. Bu olasılık değer hesaplamak ç öcelkle değer z değere döüştürmemz gerekmektedr. x z X P( X < 5.434) = P(Z < ) olduğuda Normal Dağılım Tablosu u kullaablrz. Grafksel olarak, Şekl 7.14 Normal Dağılım Tablosu u kulladığımızda (veya MINITAB) kulladığımızda P(Z < ) =.9 değer elde edeblrz. Bu olasılık değer.5 değerde küçük br değerdr. Dolayısıyla ayı aolojde yola çıkarak eğer.9 olasılıkla br hata yapmayı kabul edyorsak, gerçek aakütle ortalamasıı 5.51 değere eşt olamayacağı soucua varırız. Ayı edede dolayı herhag br hpotetk ortalama değer 5.5 te büyük olamayacağı soucua varablrz. Souç olarak,.5 veya daha az br olasılık le hata yapmayı kabul edyorsak, aakütle ortalaması 5.5 değere eşt veya bu değerde büyük olamaz soucua varablrz. Şmd se hpotetk ortalamamızı 5.5 te küçük olma htmal ele aldığımızda eler olableceğ celeyelm. Bu durumda se hpotetk ortalaması = 5.49 ve =.4 stadart X sapması le ormal olarak dağıla, x = öreklem ortalamasıı elde etme olasılığımızı hesaplamamız gerekmektedr. Bu olasılık değer grafksel olarak gösterecek olursak:

140 Şekl 7.15 Şekl 7.13 te taralı ala, hpotetk ortalama =5.51 ke ortalama çay mktarıı gramda az olma veya P( X < 5.434) olasılığıı göstermektedr. Bu olasılık değer hesaplamak ç öcelkle değer z değere döüştürmemz gerekmektedr. x z X P ( X <5.434) = P(Z < ) olduğuda Normal Dağılım Tablosu u kullaablrz. Grafksel olarak, Şekl 7.16 Normal Dağılım Tablosu u kulladığımızda (veya MINITAB) kulladığımızda P(Z < ) =.83 değer elde edeblrz. Bu olasılık değer.5 değerde büyük br değerdr. Dolayısıyla eğer.83 olasılıkla br hata yapmayı kabul edyorsak, gerçek aakütle ortalamasıı 5.49 değere eşt olamayacağı soucua varırız. Eğer, yüzde 5 değer (aakütle ortalaması doğru olduğu takdrde) yapableceğmz maksmum hata mktarı olarak ele alacak olursak, 5.49 değer doğru ortalama değer olableceğ soucua varırız. Souç olarak.5 değer, hpotetk aakütle değer doğru olduğu takdrde reddederek maksmum hata yapma olasılığımız olarak görüyorsak, aakütle ortalamasıı 5.5 değere eşt veya bu değerde küçük olableceğ soucua varablrz.

141 Şuaa kadar yapmış olduğumuz aalzler br sorak bölümde alatılacak ola Hpotez Test kousua temel teşkl etmektedr. Elde ettğmz souçları özetleyerek hpotez test stadart formülasyouu elde etmeye çalışalım. Aalzmz başıda k farklı formda hpotez oluşturmuştuk: Hpotez 1: Aakütle ortalaması 5.5 değere eşttr veya bu değerde büyüktür, matematksel olarak fade edecek olursak 5.5 Hpotez : Aakütle ortalaması 5.5 değerde küçüktür, matematksel olarak fade edecek olursak < 5.5. Açık br şeklde burada k hpotez mücadeles gözükmektedr. Eğer br reddedersek, dğer kabul etmemz (veya tekk fade le reddedemeyz ) gerekmektedr. Hpotez test lteratürüde brc temel hpotezmz Sıfır Hpotez olarak adladırılmakta ve H : 5.5 şeklde gösterlmektedr. İkc hpotezmz se Alteratf Hpotez olarak adladırılmaktadır ve H A : 5.5 şeklde gösterlmektedr. Öreğmzde eğer sıfır hpotez reddedersek, ya aakütle ortalamasıı 5.5 değere eşt veya daha büyük olduğuu reddedersek maksmum yüzde 5 olasılıkla hata yapmış oluruz. Araştırmacılar tarafıda belrlee maksmum hata yapma olasılığıa test alamlılık düzey delmektedr. Öreğmzde test alamlılık düzey yüzde 5 olarak alımıştır. Alamlılık düzey değştrdğmzde test soucuu da değştrmektedr. Bu değşm asıl olduğua br sorak bölümde deyeceğz. Örek 7.15: Daha öce ele aldığımız çay poşetler öreğmze ger döüp 4 çay poşetde oluşa ye br öreklem seçelm. Öreklem verler cayposetler.mtw adlı MINITAB dosyasıda yer almaktadır. Bu dosyayı açtıkta sora Bölüm 5 te yaptığımız gb descrptve statstcs (betmleyc statstkler) kullaarak aşağıdak çıktı ekraıı elde edeblrz. Şekl 7.17 Bu souçta da takp edebleceğmz gb öreklem ortalaması Mea (Ortalama) ye eşttr. StDev (Stadart sapma) se 4 poşet stadart sapma tahmdr. Daha öcek otasyoda bu stadart sapmayı s, (= s ) term le göstermştk (aakütle stadart sapmasıı (= ), br tahm ). SE Mea se the öreklem ortalamasıı stadart sapmasıı tahmdr. Daha öcek otasyoda buu s s s X term le göstermştk.

142 .856 Eğer stersez MINITAB ı hesaplamalarıı, s şlem yaparak kotrol edeblrsz. X 4 Gerçekte de bu şlem çıktıda gösterle.45 soucuu verecektr. Aakütle ortalaması 5.5. ke MINITAB ortamıda değer elde etme olasılığımızı hesaplayablmek ç Calc (hesapla) meüsüde ormal probablty dstrbuto (ormal olasılık dağılımıa) tıklayıız. Şekl 7.18 Açıla dyalog ekraıda cumulatve probablty seçeeğ şaretleyerek, ortalama ve stadart sapma olarak 5.5 ve.45 değerler, put costat bölümüe se değer grz. Şekl 7.19 OK tuşua bastığıızda veya de küçük br değer gözlemleme olasılığıı elde etmş oluruz. Şekl 7.

143 5.468 veya de küçük br değer gözlemleme olasılığıı.4 olarak hesapladık. Bu değer grafksel olarak gösterecek olursak Şekl olasılık değer, belrlemş olduğumuz alamlılık düzey ola.1 değerde büyük olduğuda, 5.5 hpotez reddedemeyz. Şmd se aakütle ortalamasıı 5.6 veya daha fazla olduğu hpotez 5.6 ele alalım ve ayı hesaplamaları tekrar ederek Şekl 7. dek çıktıyı elde edeblrz. Veya grafksel olarak Şekl 7. Şekl olasılık değer alamlılık düzey ola.1 değerde küçük olduğuda, 5.6 hpotez reddedlmektedr. Örek 7.3 te aakütle çok bast br yapıya sahp olduğuu varsaymıştık. ( P 1,,3 ) Bu bast yapı sayesde bütü olası öreklemler elde edeblrz. Dahası, bütü olası öreklemler bldğmzde dolayı, öreklem ortalamalarıı olasılık dağılımı hakkıda da fkr yürüteblrz. Eğer aakütle boyutuu geşletecek olursak öreklem ortalamaları ve öreklem dağılımı hakkıda fkr yürütmek zordur. Alteratf br metot olarak; smulasyo adı verle bu metoda göre belrl br aakütlede rassal olarak öreklemler çeklr. Bu bölümdek yaklaşımı MINITAB yardımıyla Merkez Lmt Teoreme uygulayalım.

144 Örek 7.3 tek aakütle verse bezer olarak, tekrar burada aakütlede bulua eseler umaralaradırıldığıı varsayıyoruz. Buu yaıda bu sefer 3 ese yere 45 ese olduğuu varsayıyoruz. Bu yüzde daha öce de olduğu gb aakütley 1 de 45 ye kadar ola rakamlar le fade edeblrz. Bu verler aakütle.mtw sml dosya çersde bulablrsz. Bu aakütle Örek 7.3 tek gb yekesak br dağılıma sahptr. Bu yüzde her sayıya at ola olasılık değer 1/45dr. Aakütle olasılık yoğuluğu se (Şekl 7.1e bezer br şeklde) Şekl 7.4 te gösterlmektedr: Şekl 7.4 Şmd se öreklem boyutu ola değer belrlemelyz. Öreklem boyutumuz örek 7.3 te = d. Şmd se de daha büyük br öreklem set çekeblrz. MLT uygulamak ç = 4, olarak düşüelm k 3 da büyük olduğu ç öreklem ortalamalarıı da dağılımıı ormal olduğuu belrleyelm. Hatırlaacağı üzere değer 3 da büyük olduğuda aakütle dağılımı yekesak ble olsa öreklem ortalamalarıormal olarak dağılır. Örek 7.3 tek metodolojy burada uygulamak aakütlede bütü öreklemler çekme zorluğuda dolayı mkasızdır. Çükü burada karşımıza çıkacak ola olası öreklemler sayısı, aakütle boyutu 45, öreklem boyutu 4 ke 45 = 5.olarak karşımıza çıkar. Bu yüzde bütü olası öreklemler ormal dağılıp dağılmadığıı gözlemlemek olaaksızdır. Dolayısıyla MINITAB I kullaarak smulasyoa dayalı br deey oluşturablrz. Bu deey düzelemek ç MINITAB ta aakutle.mtw dosyasıı açıız. Şmd C1 sütuuda yerala verlerde, Calc meüsüde Radom Data ya gelerek orada da Sample From Colums ı seçerek rassal öreklem oluşturablrsz.

145 Şekl 7.5 Şekl 7.6 dak gb br dyalog kutusu karşııza gelecektr. Şekl 7.6 Öreklem boyutuu ( = 4), olarak grz ve OK tuşua basıız. Şmd aakütlede br öreklem çektz ve bu prosedürü yaklaşık 5 la 1 kere tekrarlamalısıız 13, her seferde öreklem ç ye br sütu seçmelsz. Bütü bu prosedürlerde sora, Calc meüsüde Row Statstcs e gelerek bütü öreklemlere at statstkler hesaplayablrsz: 13 Gerçek smlasyolarda bu umara 1 e kadar ulaşır

146 Şekl 7.7 Açıla dyalog ekraıda mea opsyouu seçz. C-C41 aralığıı Iput varables: kutusua yazıız (bu sütülar sz öreklemlerz sakladığıız sütülardır. Store result kutucuğua Şekl 7.8 dek gb C4 sütüuu yazıız: Şekl 7.8 OK dedğz ada C-C41 dek öreklemler ortalamaları, ya 4 öreklemz ortalamaları, C4 sütüuda saklamış olacaktır. Daha sora se hstogram oluşturup öreklem dağılımı hakkıda br fkr sahb olablrsz. Dolayısıyla MLT doğruluğu spatlamış olur. Dolayısıyla, büyük öreklemler, aakütle dağılımı e olursa olsu ormal olarak dağılmaktadırlar dyeblrz. Tahm edcler özellkler Öreklem ortalaması ( x ), öreklem stadart sapması (s) ve öreklem oraı (p) gb öreklem statstkler aakütle parametreler,, brer tahm edc olarak asıl tahm ettkler celedk. Bezer şeklde, tahm edlmş öreklem ortalamasıı stadart hatasıı ( s ) ve tahm edlmş öreklme oraıı stadart hatasıı ( s X p ), ve X p asıl brer tahm edcs olarak kullaıldığıı da celedk. Acak öreğ aakütle ortalamasıı tahm ederke ortaca değer veya düzeltlmş ortalama da kullaablrdk. Dolayısıyla bzm tahm

147 edcler karşılaştırablmemz ç ve hags(ler) daha y tahm gerçekleştrebleceğ alayablmek ç, bu tahm edcler özellkler hakkıda fkr sahb olmamız gerekmektedr. Bu özellklerde brcs sapmasızlık özellğdr. Sapmasızlık özellğe sahp br tahm edc değer tahm edlmeye çalışıla aakütle parametre değere eşt çıkmaktadır. Br başka fade le aakütlede yerala hedef tam olarak vurulmuştur. Br dğer öeml tahm edc özellğ se etklktr. Etklk özellğe sahp br tahm edc öreklem dağılımı daha çok aakütlle ortalamasıı etrafıda kümelemştr ve düşük br varyasa sahptr. So tahm edc özellğmz se tutarlılıktır. Bu özellk daha çok, öreklem boyutu değştğde öreklem dağılımıda meydaa gele değşmlerle alakalıdır. Br öreklem boyutu sosuza doğru yakısarke, öreklem parametres doğru aakütle parametrese yakısıyorsa, tahm edc tutarlılık özellğe sahptr. Tahmlermz küçük öreklem boyutlarıda sapmalı olsa dah, büyük öreklem boyutlarıda tahmlermz sapmasız olacağıı garat ettğde tutarlılık öeml br tahm edc özelllğdr. Sapmasızlık Tahm edcler özellkler hakkıda bazı geel yorumlarda buluablmek ç kullaacağımız otasyoa odaklaalım. Aakütle parametreler le, ve öreklem parametreler se ˆ le fade edelm. Herhag br öreklem tahm edcs aşağıdak özellkler taşıması tahm sağlıklı açısıda öemldr. Aşağıdak eştlk sağladığı takdrde, öreklem statstğmz parametres sapmasız tahm edcsdr soucua varablrz. E( ˆ ) Bu eştlkte E( ˆ ) fades, öreklem statstğ beklee veya ortalama değer fade etmektedr ve öreklem statstğ beklee bütü olası değerler tahm edlmş ola aakütle parametrese eşt olduğuu göstermektedr. Tahm edc her zama sapmasız olacak dye mutlak br kade olmadığı gb tahm edclerdek sapmayı ve büyüklüğüü aşağıdak gb fade edeblrz. Sapma E( ˆ ) Eğer bu eştlk poztf br değer alırsa, öreklem statstğ büyük br olasılıkla aakütle parametres olduğu değerde daha büyük olarak, egatf br değer alırsa olduğu değerde küçük br değer olarak tahm etmştr soucua varablrz. Öreklem Ortalamasıı Sapmasızlığı

148 X fades aakütle ortalamasıı sapmasız br tahm edcsdr. EX ( ) Bu eştlk açık br şeklde EK 7.1 de spatlamıştır. Öreklem Varyasıı Sapmasızlığı s fades aakütle varyasıı sapmasız br tahm edcsdr. ES ( ) Bu eştlk açık br şeklde EK 7.5 te spatlamıştır. Örek 7.16: Örek 7.1 de öreklem varyasıı beklee değer, aşağıdak gb hesaplamıştık. 3 4 ES ( ) Bütü olası öreklemlermz varyasları aşağıdak gb olduğuda s, s.5, s, 1 3 s.5, s, s.5, s, s.5, s, Açık br şeklde öreklem varyasıı beklee değer, aakütle varyasıa Öreklem Oraıı Sapmasızlığı p fades aakütle oraıı sapmasız br tahm edcsdr. E( p) Bu eştlk açık br şeklde EK 7.3 te spatlamıştır. Öreklem Ortalamasıı Stadart Hatasıı Sapmasızlığı, eşttr. s fades aakütle stadart hatasıı, sapmasız br tahm edcsdr. X X Es ( ) Bu eştlk açık br şeklde EK 7.6 da spatlamıştır. Öreklem Oraıı Stadart Hatasıı Sapmasızlığı s p fades aakütle stadart hatasıı p, sapmasız br tahm edcsdr. X X

149 Es ( ) p p Bu eştlk açık br şeklde EK 7.7 de spatlamıştır. Etklk Br aakütle parametres tahm etmeye çalışa k adet sapmasız tahm edc elmzde olduğuu varsayalım. Her k tahm edc de sapmasız br şeklde aakütle ortalamasıı tahm ettğe gore hag tahm edcy seçmemz gerekldr? İşte burada dkkat etmemz gereke husus, tahm edclerde varyası küçük olaı ele almaktır. Çükü varyası küçük ola tahm edc, aakütle parametrese daha yakı değerler etrafıda toplamıştır ve daha az yayvadır. Br tahm edc daha küçük varyas değere sahp olması, daha fazla görel etklğ olduğuu göstermektedr. E etk tahm edcler, varyası e küçük ola tahm edclerdr. Aşağıdak koşullar sağladığıda ˆ fades, parametres etk tahm edcsdr. (a) ˆ sapmasızdır (b) Var ( ˆ ) Var ( ), burada tahm eds de parametres sapmasız olarak tahm etmektedr. Tutarlılık Öreklem boyutu artarke okta tahm edc değer aakütle parametres değere doğru yaklaşması o tahm edc tutarlı olduğuu göstermektedr. Büyük öreklem boyutlarıda, tahm edcler tahmlerde küçük öreklemlere gore daha y souçlar elde edlr. x veya p öreklem dağılımlarıda, stadart sapmaları ( ve X p ) öreklem boyutu le ters br oratı çersde olduğuu belrtmek gerekmektedr. Souç olarak, öreklem boyutu arttığıda tahm edlmş ola stadart sapmalar daha küçük değerler alarak dağılımı daha çok aakütle parametres ( ve ) etrafıda olmasıı tem etmektedrler. Başka br fade le br tahm edc tutarlı olablmes ç, öreklem boyutuu sosuza gttğ durumda tahm edc değer gerçek aakütle parametres değere yakısaması gerekmektedr. Tahm Edcler Seçm Etklk krter celerke, k tahm edc sapmasız se varyası daha küçük olaıı seçerz soucua varmıştık. Fakat, tahm edclermzde br sapmalı br sapmasız se asıl br seçm gerçekleştrmemz gerekmektedr? Sapmasız ola tahm edcy m yoksa varyası küçük ola tahm edcy m seçmelyz? Ortalama Kareler Toplamı (OKT) bu tarz durumlar ç br krter belrlemştr. OKT y şöyle taımlayablrz. OKT ( ˆ ) E ˆ veya br başka şeklde fade edecek olursak (bkz EK 7.8) OKT ( ˆ ) var( ˆ ) Sapma

150 OKT krter, e düşük OKT değere sahp ola tahm edcy seçmemz gerektğ öğütlemektedr. Eğer k tahm edc sapmasız se, sapma mktarı sıfıra eşt olacak ve bu krter mmum varyas krtere (etklk krtere) drgeecektr. EK Ek 7.1 EX ( ) eştlğ spatı İspat: Deklem (7.) spatıı gerçekleştreblmek ç, öcelkle artmetk ortalama formülüü deklem çde yere koyalım.

151 E( X ) x 1 E 1 E X1 X... X 1 E ( X1 X... X ) 1 E( X1) E( X )... E( X ) değşkee at ola tae elemaı X 1 ;X ;...;X herbr ayı dağılıma, ayı ortalama ve varyasa sahptrler. X 1 değer X bütü olası değerlerde seçlmş ola brc gözlem fade ederke, X değer X bütü olası değerlerde seçlmş ola kc gözlem fade etmektedr. X 1 ;X ;...;X değerler heps X dahl olmak üzere ayı ortalama sahp olduğuu varsaydığımızda E(X 1 ) = E(X ) =... = E(X ) = eştlğ sağlamaktadır. Dolayısıyla deklemmz yede yazacak olursak; 1 EX ( )... 1 EX ( ) kere soucuu elde edeblrz. Ek 7. var( X ) eştlğ spatı İspat: Deklem (7.3) ü spatıı gerçekleştreblmek ç, geel varyas formüllerde faydalamamız gerekmektedr. var( ax) a var( x) a sabt br değer fade etmektedr. var( x y) var( x) var( y) eştlğ x ve y brbrde bağımsız olduğuu fade etmektedr. Deklem (7.3) ü fade edeblmek ç yukarıdak her k deklemde de faydalaacağız. x 1 1 var( X) var var x 1 Brc deklem kullaarak:

152 1 var( X) var x 1 fades elde ederke, kc deklem kullaarak 1 var X1 X... X 1 X X1 X X var( ) var( ) var( )... var( ) eştlğ elde ederz. Ayı matıkta yola çıkarak: var( X ) var( X )... var( X ) var( X) 1 1 var( X )... 1 Öreklem ortalamasıı varyası olarak elde edlr. Eğer bu fade kareköküü alacak olursak x ı stadart sapmasıı deklem (7.4) te olduğu gb elde edeblrz. kere Ek 7.3 EP ( ) eştlğ spatı X E( P) E( ) 1 EX ( ) İspat: Öcelkle E(X) değer belrlememz gerekmektedr. X ey fade etmektedr? X değer öreklemdek stee kategor sayısıı fade etmektedr. Örek olarak, öreklemdek baya sayısı veya oy verelerde bell br partye oy vereler sayısı gb. Bu yüzde X bom dağılımıa

153 sahptr. Bldğz gb bom dağılımıa sahp ola değşkeler ortalamaları E(X) = değere eşt d. Dolayısıyla; E( P) 1 Ek 7.4 var( p) 1 eştlğ spatı İspat: X var( p) var( ) 1 var( X ) Bom dağılımıa sahp br değşke varyası aşağıdak gbdr. Dolayısıyla; var( X) 1 1 var( p) 1 1 Ek 7.5 ES ( ) eştlğ spatı İspat: Eştlğ her k tarafıa değer ekleyp çıkaralım 1 E( S ) E x x E x x E x x x x E x x x x x ; değer rassal olmadığıda

154 1 E x x x x ; x değer rassal olmadığıda E x x x x x 1 E x x 1 1 x 1 1 E ; 1 x x x x x 1 1 E x x x E x x E x 1 1 E x 1 var( x) E x ; taım gereğ var( X ) E x var( x) var( x) ; taım gereğ var( x) E x 1 1 ; var( x) olduğuda ES ( ) x Ek 7.6 Es ( ) eştlğ spatı İspat: X X

155 s E( s ) E X 1 ES ( ) x X x X E ; daha öce spatladığımız gb E 1 1 Ek 7.7 Es ( ) eştlğ spatı p p İspat: E s ( p ) p 1 p E 1 E p 1 p 1 E p p 1 E( p) E( p ) 1 ; E( p) ve E( p ) E( p) olduğuda Ek 7.8 OKT ( ˆ ) E ˆ eştlğ spatı Eştlğ her k tarafıa da değer ekleyp çıkaralım

156 ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) OKT ( ˆ ) E ˆ E( ˆ ) E( ˆ ) E E E E E ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) E E E E E E ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ ) E E( ˆ ) E E( ˆ ) ( ˆ E E ) ˆ ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ; E E E E E E E E E E E E E E( ˆ ) ve rassal olmadığıda ˆ ( ˆ ) ( ˆ ) OKT ( ˆ ) var( ˆ ) Bas ; E E E taım gereğ E ˆ E( ˆ ) var( ˆ ) ve E( ˆ ) sapma olarak taımlamıştık Dolayısıyla OKT aşağıdak gb yazılablr. OKT ( ˆ ) var( ˆ ) Sapma

157 Bölüm 8: Tek aakütlel Hpotez Test Grş İstatstkte hpotez kavramı, aakütle karakterstğ hakkıda br öerme, br çıkarım yapma mkaı sağlamaktadır. Hpotez testde aakütle parametres hakkıda yaptığımız deeysel varsayıma sıfır hpotez delr ve H le gösterlr. Sıfır hpotez aslıda bze asıl test etmek stedğmz hpotez gösterr. Dğer hpotez se alteratf hpotez olarak adladırırız ve H A le fade ederz. Alteratf hpotez geellkle sıfır hpotez tam tersdr. Hpotez testde elmzdek öreklemde yararlaarak elde ettğmz data le alakalı ola k tae öerme yazarız. Bu öermelerde br H le fade edlr ve dğer H A le fade edlr. Aakütlede rassal br şeklde öreklem çekelm. Eğer öreklemmz verler sıfır hpotez le tutarlı se, sıfır hpotez reddetmeyz. Acak eğer, öreklemmz verler sıfır hpotez le tutarlı değlse sıfır hpotez reddederz ve brev terchmz alteratf hpotezde yaa kullaırız. Kavramları braz data detaylı celemek ç Bölüm 7 de yer ala Örek 7.14 ü tekrar ele alalım. Örek 8.1: Örek 7.14 tek le ayı boyuta sahp ve ortalaması ( x = ) ola farklı br öreklem ele alalım. Öreklem ortalamasıı stadart sapmasıda /.5/ 4.4 ve blmeye aakütle parametres = 5.5 olduğu X varsayımımızda hçbr değşklk bulumamaktadır. Daha öce de yaptığımız gb öcelkle, aakütle ortalaması 5.5 ( = 5.5) ke x = ola öreklem ortalamasıı elde etme olasılığıı hesaplamaya çalışalım P( X >5.5658) =? Bu olasılık değer grafksel olarak gösterecek olursak: Şekl 8.1 Şekl 8.1 dek taralı ala, ortalama olarak çay poşetler gramda daha fazla olma olasılığıı P( X > ) göstermektedr. Olasılık değer hesaplamada öce değer kedse dek gele z değere döüştürmemz gerekmektedr. X z X P( X > ) = P(Z > 1.645) olduğuda Normal Dağılım Tablosu u kullaablrz.

158 Grafksel olarak, Şekl 8. Normal Dağılım Tablosu da (veya MINITAB kullaarak) P(Z > 1.645) =.5 değer hesaplayablrz. Br öcek bölümde bahsettğmz edelerde dolayı, bu olasılık değer görecel olarak küçük br olasılık değerdr. Bu olasılık değer, = 5.5 olduğu takdrde x = değere sahp br öreklem elde etme olasılığımızı yüzde 5 olduğuu belrtmektedr. Eğer, aakütle ortalaması 5.5 değldr dedğmz takdrde, (gerçekte aakütle ortalamasıı 5.5 olduğu durumda) yüzde 5 olasılıkla hata yapmak htmalmz bulumaktadır.. Bu olasılık değer, gerçek aakütle ortalaması 5.5 olsa ble 5.5 değldr dyerek hata yapmamız ç küçük br olasılık değerdr. Dolayısıyla bu olasılık değer, gerçek ortalama değer 5.5 değere eşt olamaz soucua varmak ç düşük br hata değerdr. Dolayısıyla, aakütle ortalamasıı üretc dda ettğ gb 5.5 olmadığı soucua varırız. Br öcek bölümde yer ala örek 7.14 tek fadelermz hatırlayacak olursak: Pek aakütle ortalaması 5.5 te küçük olablr m? Mesela 5.49 olablr m? Şmd se hpotetk ortalaması = 5.49 ve =.4 stadart sapması le ormal olarak dağıla, x = X öreklem ortalamasıı elde etme olasılığıı P( X > ) =.9 olarak hesaplayablrz. Bu olasılık değer grafksel olarak gösterecek olursak: Şekl 8.3

159 = 5.49 ke hesaplamış olduğumuz olasılık değer.5 değerde küçük olduğuda, gerçek aakütles 5.49 değere eşt olmadığı soucua varırız. Şmd se aakütle ortalamasıı 5.51 gb 5.5 te büyük olduğu durumu ele alalım. = 5.51 durumuda öreklem ortalamasıı olma olasılığı hesaplayalım. = 5.51 durumuda P( X > ) olasılık değer.815 tr ve bu değer de.5 değerde büyük br değerdr. Bu değer grafksel olarak fade edecek olursak: Şekl 8.4 Dolayısıyla gerçek aakütle ortalamasıı 5.51 olduğu soucua varırız. Souç olarak.5 değer, hpotetk aakütle değer doğru olduğu takdrde reddederek maksmum hata yapma olasılığımız olarak ele alalım. H : 5.5 H : 5.5 A (8.1) Dolayısıyla hesaplamış olduğumuz olasılık değer hata yapma olasılığımız ola.5 değerde büyük br değer se sıfır hpotez kabul ederz. Bu olasılık değer hata yapma olasılığımız ola.5 değerde küçük br değer se sıfır hpotez reddederz. Eğer maksmum hata yapma olasılığımızı yüzde 1 a çıkarırsak, her k durumda da öreğmzdek sıfır hpotez reddederz. Test souçlarımızda alamlılık düzey çok büyük br öeme sahptr. Örek 7.14 te deklem (8.) de yer ala sıfır hpotezmz, öreklem boyutu = 4 ve öreklem ortalaması x = ke reddetmştk. H : 5.5 (8.) H : < 5.5 A Deklem (8.1) ve (8.) dek hpotezler tek br hpotez formatıa getrdğmzde deklem (8.3) ü elde ederz. H : 5.5 (8.3) H : 5.5 A

160 Örek 7.14 te aakütle ortalamasıı, 5.5 değerde daha küçük olma olasılığı.5 değerde büyük ke, dğer br yada bu bölümde ele aldığımız örekte se aakütle ortalamasıı, 5.5 değerde daha büyük olma olasılığı.5 değerde büyüktür. Dolayısıyla deklem (8.3) te yer ala hpotez reddettğmzde yüzde 1 luk br sevyede hataya düşmüş olacağımızda, yüzde 1 luk br alamlılık düzeyde = 5.5 hpotez reddedemeyz. Şekl 8.5 Deklem (8.1) ve (8.) de yerala hpotezler tek taraflı hpotezler ke, deklem (8.3) te yer ala hpotezmz se çft taraflı br hpotezdr. Hpotez testlermzdek karar mekazmasıı daha detaylı celemede öce br örek daha celeyelm. Örek 8.: Şmd tablo 8.1 dek hpotetk aakütley ele alalım. Tablo 8.1 Hpotetk aakütle N = 36, N daha öcek bölümlerde de hatırlayacağıız gb bze aakütle boyutuu fade etmektedr. Aakütle verler dağılımı tam olarak smetrktr. Aakütle dağılımıı Şekl 8.6 dak gb aalz edleblr. Şekl 8.6

161 Bu dağılımı, elde edebleceğmz hstogramı şeklde yola çıkarak, ormal olduğuu varsayalım. Burada uutulmaması gereke ormal dağılımı sürekl br dağılım olduğudur. Aakütlemz ortalaması ve stadart sapması kolayca aşağıdak gb hesaplaablr: 1 ve.449 Ayı aakütlede rassal br şeklde aşağıdak öreklem çektğmz düşüelm (tekrar yere koulablecek şeklde): Öreklem 1 ={7,9,9,1,1,15} öreklemmz boyutu = 6. Öreklem ortalaması se : X = Şmd se aakütle vers hakkıda blgmz olmadığıı ve sadece elmzdek öreklemde faydalaarak aakütle hakkıda çıkarım yapmamız gerektğ düşüelm. Acak sze blg olarak aakütle dağılımıı ormal olduğuu ve aakütle stadart sapmasıı.449 ( =.449) olduğu verlmş olsu. Daha öcek k bölümümüzde de hatırlayacağıız üzere eğer aakütle ormal br şeklde dağılıyorsa X ı öreklem dağılımı da öreklem boyutuda bağımsız olarak ormal br bçmde dağılmaktadır. Ya öreğmzde de olduğu gb = 6 da olsa X ı öreklem dağılımı ormaldr. Aakütle ortalamasıı blmedğmz düşüelm (ormal hayatta geelde blmyoruz ) ve aakütle ortalamasıı (gerçekte 1 a eşt olduğu halde ) 1 ye eşt olup olmadığıı test edelm. Formal olarak hpotezmz şöyle fade edeblrz: 14 H : 1 (8.4) Sıfır hpotezmz, aakütle ortalamasıı EX ( ) 1 ye eşt olduğuu X göstermektedr. Bu hpotez reddedeblrz (k bu doğru br karardır) veya reddedemeyz (bu karar yalış br karardır). Şmd se bu hpotez asıl test edeceğmz celeyelm. Aakütles tahm edeblmek ç elmzde sadece br tahm edc buluduğuda, hpotezmz test ederke bu tahm edcde faydalaacağız. Hpotetk aakütle ortalamamız 1 ke öreklem ortalamamızı 1.33 veya daha düşük br değere sahp olma olasılığıı hesaplamaya çalışalım. Bu olasılılık değer hesaplayablmek ç ele aldığımız öreklem ortalamasıı x ları olasılık dağılımı hakkıda fkr sahb olmamız gerekmektedr. Daha öcede rdeledğmz gb MLT de dolayı x ları dağılımıı ormal olduğu blmektedr. Br olasılık dağılımıda herhag br olasılık hesaplamak stedğmzde, o dağılımı ortalama ve stadart sapma değerler blmemz gerekmektedr. Bu yüzde olasılık değermz hesaplayablmek ç ormal olarak dağıla öreklem ortalamasıı x, ortalaması ve stadart sapmasıı blmemz gerekmektedr. Öreklem ortalamasıı stadart sapması buluurke aşağıdak formülü kullaıldığıı daha öce göstermştk: X Öreğmze döecek olursak, aakütle stadart sapması =.449 değere eşt olduğuda:.449 X 1 6 Br öcek bölümde öreklem ortalamasıı öreklem dağılımıı ortalamasıı aakütle ortalamasıa eşt olduğuu göstermştk ( EX ( ) ). Fakat, aakütley blmemz mümkü X olmadığıda, elmzdek öreklemde faydalaarak aakütle ortalamasıı tahm etmeye çalışırız. Bu tahm sürecde öreklem dağılımıı asıl kullaablrz? Bu soruu cevabıı bze, aakütle ortalaması hakkıda hpotez test sürecde elmzdek öreklem elde etme olasılığımızı 14 Şmdlk alteratf hpotez asıl yapıladırıldığıa deymedk. İlerleye bölümlerde alteratf hpotez asıl yapıladırıldığıı daha detaylı rdeleyeceğz.

162 hesaplaması verecektr. Öreğmzde aakütle ortalamasıı 1 olarak düşüdüğümüzde x = 1.33 değer elde etme olasılığıı hesaplayablrz. Bu olasılık değer büyüklüğüe gore hpotezmz = 1 kabul veya red edeceğz. Bu olasılık değer grafksel olarak gösterecek olursak; Şekl 8.7 H le aakütle ortalamasıı 1 ye eşt olduğu hpotez kurduğumuzda dolayı şekl 8.7 de dağılımı ortasıda 1 değer yeralmaktadır. Eğer bu olasılık değer hesaplarsak ve bu olasılık değer küçük br değer olarak bulursak, aakütle ortalamasıı 1 olduğuu belrttğmz sıfır hpotezmz reddederz. Nede reddederz? Çükü = 1 ke hesaplamış olduğumuz olasılık değer küçük olması, elmzdek öreklem ortalamasıı gözlemleme olasılığıı da düşük olduğuu göstermektedr. Br başka deyşle, aakütle ortalamasıı 1 olma olasılığı küçük br değer olduğuda, = 1 sıfır hpotezmz reddederz. Şekl 8.7 de yerala taralı ala = 1 hpotez reddettmemzle brlkte yapableceğmz hata htmal temsl etmektedr. Bu taralı ala, olasılık değer (veya p-değer) adladırılmaktadır ve doğru ola hpotez reddetme olasılığıı temsl etmektedr. Ayı zamada Tp I Hata olarak da blmektedr. Öreğmze ger döecek olursak, aakütle ortalamamız 1 ke (gerçekte bu değer 1 ke ) öreklem ortalamasıı 1.33 olarak elde etme olasılığımız düşüktür. Pek bu taralı ala asıl belrlemektedr? Daha öcek blglermzde de hatırlayacağıız gb bu olasılık değer z döüşüm formülü ve statstksel tablolarda faydalaarak hesaplayablrz. Döüşüm formülümüz: Veya grafksel olarak x z = = X Şekl 8.8 Her k şekldek taralı ala brbre eşttr P( X <1.33) = P(Z <-1.67). Dolayısıyla z- dağılım tablosuu kullaarak P(Z < -1.67) =.46 değer hesaplayablrz. Aakütle ortalaması = 1 ke öreklem ortalamasıı x = 1.33 olarak elde etme olasılığımız.47 dr ve küçük br

163 değer olduğuda dolayı sıfır hpotez = 1 reddederz. Olasılık değermz büyük veya küçük olmasıı alamlılık düzeyler le veya Tp I hata (doğru hpotez reddetme) yapma olasılığımızı üst sıırları le karşılaştırmaktayız. Geel olarak bu olasılıklar (sıırlar): %1, %5, veya %1 değerler almaktadırlar. Öreğmzde bu sıır değer (alamlılık düzey) %5 te alsak %1 da alsak sıfır hpotez = 1 reddederz. Acak bu sıır değer yüzde 1 olarak alırsak sıfır hpotezmz reddedemeyz. Çükü olasılık değermz.47, sıır olarak aldığımız yüzde 1 değerde daha büyüktür. Örek 8.3: Şmd se deklem (8.5) test edelm H : 1 (8.5) Sıfır hpotezmz aakütle ortalamasıı 1 a eşt olduğuu dda etmektedr (k gerçekte de aakütle ortalamamızı 1 olduğuu belrtmştk). Bu testte de daha öcek testlermzde de sorguladığımız gb; aakütle ortalaması 1 ola br aakütlede, öreklem ortalaması 1.33 ola öreklem seçme olasılığıı sorgulamalıyız. Br başka deyşle şekl 8.9 da yerala taralı alaı değer sorgulamamız gerekmektedr. Şekl 8.9 Aakütle ortalamasıı 1 olduğuu sıfır hpotezmzde dda ettğmzde şekl 8.9 dak öreklem dağılımıı ortasıa 1 değer yerleştrdk ve bu şekldek taralı alada bze aakütle ortalaması 1 ola br aakütlede seçle öreklem ortalamasıı 1.33 e eşt veya daha büyük olma olasılığıı vermektedr. Bu olasılığı hesaplarsak ve bu olasılık yeterce büyük olursa, aakütle ortalamasıı 1 olduğua dar kurduğumuz hpotezmz kabul edeblrz değere tekabül ede z değer hesaplayacak olursak: x z.33 1 X P( X >1.33) = P(Z >.33), eştlğde p değer Normal Dağılım Tablosu da.37 olarak elde edeblrz. Grafksel olarak:

164 Şekl 8.1 Aakütle ortalaması = 1 ola br aakütlede seçle öreklem ortalamasıı X =1.33 olma olasılığı.37 dr ve Tp I Hata yapmak ç yüksek br olasılıktır. Testmz soucu, alteratf alamlılık düzeyler tamamıda ( =.1; =.5, veya =.1 ) etklememektedr. Değerler tamamı hesaplamış olduğumuz p-değerde küçüktür. Hpotez Test: p-değer yaklaşımı Öreğmzde yola çıkarak bast br test kuralı gelştreblrz. (alfa olarak okuur) le temsl edle farklı olasılık değerler =.1; =.5; =.1 alamlılık düzey olarak ele aldığımızda aşağıdak kuralı kullaarak testmz gerçekleştreblrz. Hpotez testde p-değer yaklaşımı : Eğer p değer < se Ho hpotez reddedlr Eğer p değer > se Ho hpotez reddedlemez. Örek 8.4: Örek 8.1 de, alamlılık düzeyler =.5 ve =.1 ke.43 <.5;.43 <.1 olduğuda H : 1 hpotez reddetmştk. Alamlılık düzey =.1 olarak ele aldığımızda se,.43 >.1 olduğuda H : 1 hpotez reddedememz gerekrd. Örek 8.5: Örek 8. de, alamlılık düzeyler =.1, =.5, veya =.1 ke.37 >.1;.37 >.5;.37 >.1 olduğuda H : 1 hpotez reddetmemştk. H : 1 hpotez reddedeblmemz ç değer e az.4 olarak ele almalıyız. Hpotez Test: Krtk Değer Yaklaşımı

165 P-değer yaklaşımı sayesde hpotez test e kadar bast ve kolay gerçekleştrldğ celedk. Hpotez test alteratf olarak başka br yaklaşım ola krtk değer yaklaşımı le de gerçekleştreblrz. Temelde bu yaklaşım da, p-değer yaklaşımıda çok büyük farklılıklar çermez. Bu yaklaşımı daha detaylı celeyeblmek ç öcelkle krtk değer e olduğuu taımlamamız gerekmektedr. Krtk değer, seçlmş ola alamlılık düzeye tekabül ede özel z değer olarak taımlaablr. Örek olarak alamlılık düzey =.5 olarak seçtğmzde, Stadart Normal Dağılım Tablosu da (bkz Ek Tablo.) bu olasılık değere at ola z değer aşağıdak şekldek gb bulablrz: (geel olarak krtk değerler, alamlılık düzeylere bağlı olarak z sembolü le göstermekteyz) Şekl 8.11 Tabloda da gösterldğ gb yüzde 5 alamlılık düzeye tekabül ede krtk z değer (P(z > 1.645) =.5) olarak hesaplamaktadır. Krtk değer grafksel olarak gösterecek olursak: Şekl 8.1 Şekl 8.1 dek taralı ala, Tp I Hata yapablmemze z vere azam alaı, alamlılık düzey fade etmektedr. Öreklem ortalamasıa x tekabül ede z değer taralı alaı çersde yeralması; p değer, alamlılık düzeyde küçük olduğu alamıa gelmektedr. Dolayısıyla, bu souç doğrultusuda sıfır hpotez reddederz. Reddetme kararımızda etk br rol oyadığıda dolayı şekl 8.1dek taralı alaa REDDETME alaı da delmektedr. Krtk değer yaklaşımıı br örek 8.3 le ele alalım. Şekl 8.1 da, x = 1.33 değere tekabül ede z değer.33 olduğuu blmekteyz. Bu değer, reddetme alaıı sıırlarıı dışıda kalmasıda dolayı, sıfır hpotez reddedemeyz (kabul ederz). Bu çıkarımı Şekl 8.13 te görsel olarak celeym:

166 Şekl 8.13 Alamlılık düzey =.1 olarak belrlesek ble bu çıkarımımız değşmeyecektr, çükü bu alamlılık düzeye dek gele krtk z değer.36 dır ve bu değer hale.33 değerde daha büyük br değerdr. Bu kuralı geelleştreblmek ç, hesaplaa öreklem ortalamasıa x dek gele z değer (öreğmzde, z-skoru =.33 d), z-skoru olarak ve alamlılık düzeye dek gele z değer (öreğmzde z = 1.645), z olarak adladıralım. Geel olarak aşağıdak hpotez ele alalım: H : fades, aakütle ortalamasıı eşt olduğu varsayıla sayısal değer temsl etmektedr (Örek 8. de bu değer 1 ke, Örek 8.3 te 1 dr). alamlılık düzeyde hpotezmz ç reddetme (veya reddetmeme) kuralı aşağıdak gbdr. Hpotez Testde Krtk Değer Yaklaşımı: Eğer z-statstk skoru > z ; H Reddedlmektedr Eğer z-statstk skoru < z ; H Reddedlmemektedr Tekrar Örek 8. y ele alalım. Tabloda.5 olasılık değere tekabül ede k adet z değer bulumaktadır. Çükü bu olasılık değer olasılık dağılımıda sağ kuyrukta veya sol kuyrukta da yer alablmektedr. Bu olasılık değerler de ormal dağılımı smetr özellğde dolayı brbrlere eşttr. Şekl 8.1 de de olduğu gb,.5 olasılık değere tekabül ede sağ kuyruktak z-değer ve sol kuyruktak z değer tr. ( P(z < ) =.5) Grafksel olarak gösterecek olursak: Şekl 8.14

167 Örek 8. dek x = 1.33 değere tekabül ede z değer Şekl 8.15 te görüldüğü gb, (zskoru = -1.67) olduğuda, ve bu değer reddedlme alaıı çersde yeraldığıda sıfır hpotezmz reddederz. Şekl 8.15 Eğer alamlılık =.1 olarak seçlseyd, (P(z <-.575)=.1 ) Şekl değer reddetme alaıda yeralmadığıda sıfır hpotez kabul ederz (reddetmeyz). alamlılık düzeydek, öreğmzde ele aldığımız reddetme prosedürümüzü geelleştrecek olursak: Hpotez Testde Krtk Değer Yaklaşımı: Eğer z-statstk skoru > z ; H reddedlmektedr. Eğer z-statstk skoru < z ; H reddedlmemektedr. Bu prosedürüde z statstk skoruu şaret belrtlmemştr (bu değer poztf de olablr egatf de olablr, tekm örek 8. de egatf şarete sahptr ).

168 Krtk Değerler Hesaplaması Krtk değerler MINITAB programı le kolaylıkla hesaplaablmektedr. Bu değerler hesaplayablmek ç, Calc-Probablty dstrbutos (Hesapla-Olasılık Dağılımları) meüsüde Normal seçeeğe tıklayıız. Karşııza çıkacak ola dyalog ekraıda verse cumulatve probablty (ters kümülatf olasılık) seçeeğe tıklayıız ve put costat (ver sabt) bölümüe.5 değer grz. (alamlılık düzey.5 ). Şekl 8.17 OK tuşua bastığıızda Şekl 8.18 dek çıktıyı elde edeblrsz. Şekl 8.18 Elde etmş olduğumuz krtk değer ormal dağılımda sol kuyruğa at bt olasılık değerdr. Sağ kuyruğa at ola olasılık değer hesaplamak ç put costat bölümüe,5 yere.95 (1-,5) değer grmez gerekmektedr. Dolayısıyla çıktısı elde edleblr. Şekl 8.19

169 Alteratf Hpotez Seçm: H A Şuaa kadar ele aldığımız öreklerde sadece sıfır hpotezlere deydk. Herhag br sıfır hpotez, kabul veya reddettğmzde alteratf hpotez hakkıda da br yorumda bulumuş olmaktayız. Bu bağlamda örek 8.1 dek sıfır hpotez tekrar ele alalım. H : 1 Sıfır hpotezmze at 3 farklı alteratf vardır. H H H A A A : 1 : 1 : 1 = 1 öermes karşısıda bulua üç farklı durum alteratf olarak belrtlmştr. Dolayısıyla, araştırmacılar bu üç alteratfte br seçmek zorudadırlar. Hpotez Test Kurulumu Hpotez test kurulurke öce sıfır hpotez sora alteratf hpotez belrlemektedr. Sıfır hpotez her zama tek br değere eşt olmaktadır. Geel olarak sıfır hpotez fade edecek olursak: H : burada aakütle ortalamasıı eşt olduğu varsayıla değer temsl etmektedr (br öcek öreğmzde bu değer 1 d). Sıfır hpotez belrledğmze göre, amacımız doğrultusuda alteratf hpotezmz belrleyeblrz. Bu hpotez belrlemesde üç farklı seçeek vardır. H : A Yukarıdak alteratf hpotez, aakütle ortalamasıı bell br değerde farklı olup olmadığıı test etmek ç kullamaktayız. Aakütle parametres, bu belrl değerde büyük veya küçük olup olmaması le lglemeyz. Bzm ç öeml ola aakütle parametresde farklı olup olmamasıdır. Bu tarz hpotez testlere çft taraflı test delmektedr. H : A Bu durumda se, aakütle ortalamasıı bell br değerde küçük olup olmadığıı test etmek ç kullamaktayız. Bu tarz hpotez testlere tek taraflı test delmektedr. H : A Bu durumda se, aakütle ortalamasıı bell br değerde büyük olup olmadığıı test etmek ç kullamaktayız. Bu tarz hpotez testlere de tek taraflı test delmektedr. Dolayısıyla, hpotez test yapıladırablmek ç öcelkle sıfır ve alteratf hpotezler belrlemel ve bu doğrultuda testmz tek taraflı mı çft taraflı mı olup olmadığıa karar vermelyz.

170 Alteratf Hpotez p-değer ve krtk değer Yaklaşımlarıa Etks Hpotez testmze at ola belrlemş alteratf hpotez, hem p-değer hem de krtk değer yaklaşımlarıı etklemektedr. Şmd bu etk asıl gerçekleştğ celemek ç tekrar Örek 8. ve 8.3 ele alalım. Örek 8.6: Örek 8.3 te hpotez testmze at ola p-değer.37 olarak hesaplamıştık. Bu olasılık değer hesaplaırke, şekl 8.1 da olduğu gb sadece dağılımı sağ kuyruğudak olasılık değer ele almıştık. Br başka deyşle, aakütle ortalaması 1 ke öreklem ortalamasıı 1.33 veya daha büyük br değer alma olasılığıı hesaplamış olduk. Yalız burada dkkat edleceğ üzere dağılımı sol kuyruğuda yer ala olasılık değer hesaplamadık. Deklem (8.5) te belrtle sıfır hpoteze karşı olarak, alteratf hpotezmz aşağıdak gb belrleyecek olursak: H A : 1 (8.6) Bu alteratf hpotez bze, örek 8.3 te yerala hpotez test sağ taraflı br test olduğuu belrtmektedr. Alamlılık düzeyler, =.1,.5, veya.1 olarak ele aldığımızda, sıfır hpotezm reddedemeyz veya alteratf hpotezmz > 1 reddedeblrz. Fakat elde etmş olduğumuz olasılık değer (p-değer) dağılımı sağ kuyruğuu çermemektedr. Br başka fade le, sıfır hpotez kabul etme kararıı verdğmzde, bu karar ayı zamada alteratf hpotezmz de reddetme alamıa gelmektedr. Alteratf hpotezmz deklem (8.6) dak gb belrledğmzde, aakütle ortalamasıı 1 da küçük olma htmal < 1 gözardı etmş oluruz. Şmd bu durumu da çerecek şeklde sıfır hpotezmz tekrar belrleyelm. alteratf olarak H : 1 (8.7) H A : 1 (8.8) Hpotez testmz tamamyle sağ taraflı br testtr. Dolayısıyla, sıfır hpotez reddettğmz takdrde, doğru hpotez reddetme rskde artık < 1 durumu yeralmamaktadır. Kabul ettğmzde se aakütle ortalamasıı 1 değere eşt veya büyük olduğu soucua varırız. Örek 8.7: Örek 8. de hpotez testmze at ola p-değer.46 olarak hesaplamıştık. Bu olasılık değer hesaplaırke, şekl 8.8 de olduğu gb sadece dağılımı sol kuyruğudak olasılık değer ele almıştık. Br başka deyşle, aakütle ortalaması 1 ke öreklem ortalamasıı 1.33 veya daha küçük br değer alma olasılığıı hesaplamış olduk. Yalız burada dkkat edleceğ üzere dağılımı sağ kuyruğuda yer ala olasılık değer hesaplamadık. Deklem (8.4) te belrtle sıfır hpoteze karşı olarak, alteratf hpotezmz aşağıdak gb belrleyecek olursak: H A : < 1 (8.9) Bu alteratf hpotez bze, örek 8. de yerala hpotez test sol taraflı br test olduğuu belrtmektedr. Alamlılık düzeyler, =.5, veya.1 olarak ele aldığımızda, sıfır hpotezm reddederz. Fakat elde etmş olduğumuz olasılık değer (p-değer) dağılımı sol kuyruğuu

171 çermemektedr. Br başka fade le, sıfır hpotez reddetme kararıı verdğmzde, bu karar ayı zamada alteratf hpotezmz de kabul etme (reddetmeme) 15 alamıa gelmektedr. Alteratf hpotezmz deklem (8.9) dak gb belrledğmzde, aakütle ortalamasıı 1 de büyük olma htmal > 1 gözardı etmş oluruz. Şmd bu durumu da çerecek şeklde sıfır hpotezmz tekrar belrleyelm. alteratf olarak H : 1 (8.1) H A : < 1 (8.11) Hpotez testmz tamamyle sol taraflı br testtr. Dolayısıyla, sıfır hpotez reddettğmz takdrde, doğru hpotez reddetme rskde artık > 1 durumu yeralmamaktadır. Kabul ettğmzde se aakütle ortalamasıı 1 değere eşt veya büyük olduğu soucua varırız. Örek 8.8: Şmdye kadar öreklermzde hep tek taraflı hpotezler ele aldık. Şmdk öreğmz le brlkte çft taraflı test kuralıı asıl oluşturduğumuzu celeyeceğz. Örek 8. dek sıfır hpotezmz ele alacak olursak: alteratf olarak H : 1 H A : 1 Hpotezler kurduğumuzda, alteratf hpotezmz açık br şeklde 1 k durumu htva ettğ göreblrz. Dolayısıyla artık çft taraflı br test le karşı karşıya bulumaktayız. Dağılımı her k kuyruğuda da yer ala olasılık değerler dkkate almamız gerekmektedr. Bu k olasılık değer de dkkate alablmek ç 1.33 tahm edcs gb dağılımı dğer kuyruğua tekabül ede smetrk br tahm edc daha hesaplamalıdır. Şekl Her e kadar kabul etme yere termolojk olarak reddetmeme deym kullamamız gerekse de bazı yerlerde öğrec alamasıı kolaylaştırmak ç bu termolojk detayı aşıldığıı göreblrsz.

172 Şekl 8., 1.33 değer smetrk tahm edcs de gösterlmes ekleerek şekl 8.1 de elde edlmştr. Bu smetrk tahm edc değer 9.67 dr. Bu durumda p-değer daha öcek değer tam k katı br değer almaktadır. Dolayısıyla p-değer = =.74 değere eşt olur. Bu bağlamda, p-değer kullaarak sıfır hpotez = 1 kabul ederz (reddedemeyz). Ayı durumu krtk değer yaklaşımıda ele alalım. Aalzmze alamlılık düzey =.5 alarak başlayalım. değer dağılımı her k tarafıa eşt olarak paylaştırılması gerektğde, her kuyruktak maksmum yapableceğmz Tp I Hata mktarı / =.5 olmaktadır. Souç olarak toplamda maksmum yapableceğmz Tp I Hata mktarı ye değere eşt olacaktır. Daha öcek bölümlerde de hatırlayableceğz gb, Normal Dağılım Tablosu da her k kuyruk çde.5 olasılık değere dek gele z değerler 1.96 dır ( P(z > 1.96) = P(z < ) =.5). Grafksel olarak gösterecek olursak: Şekl 8.1 Öreklem ortalamasıa x tekabül ede z değer, z / krtk değerde küçük br değer alıyorsa ve böylece reddedlme alaıı çersde yer almıyorsa, sıfır hpotez kabul edlr (reddedlemez). Bu kuralı geelleştrmek ç, öreklem ortalamasıa x tekabül ede z değer z skoru olarak (öreğmzde z-skoru =.33), ve alamlılık düzeye tekabül ede z değerler de z / olarak adladıralım. (öreğmzde z /= 1.96). Geel olarak sıfır hpotezmz aşağıdak gb belrleyelm: alteratf olarak H : H : A fades, aakütle ortalamasıı eşt olduğu varsayıla sayısal değer temsl etmektedr. alamlılık düzeyde hpotezmz ç reddetme (veya reddetmeme) kuralı aşağıdak gbdr: Hpotez Testde Krtk Değer Yaklaşımı: Eğer z-statstk skoru > z / veya z-statstk skoru > z /; H reddedlr

173 Eğer z-statstk skoru < z / veya z-statstk skoru < z /; H reddedlemez Test Prosedürüü Özet: Öcelkle aakütle ortalaması hakkıdak hpotezmz belrlememz gerekmektedr. Bu hpotez belrlerke öümüzde üç olasılık yeralmaktadır: değer belrlemş değerde büyük br değer olablr, değer belrlemş değerde küçük br değer olablr, değer belrlemş değerde farklı br değer olablr. Bu üç durumda bre karar verdkte sora hpotezmz sembolsel olarak fade edeblrz. Eğer değer belrlemş değerde büyük br değer olduğuu dda edyorsak, alteratf tezmz de belrleyerek hpotezmz aşağıdak gb yazablrz. H : H A : Eğer değer belrlemş değerde küçük br değer olduğuu dda edyorsak, alteratf tezmz de belrleyerek hpotezmz aşağıdak gb yazablrz. H : H A : Eğer değer belrlemş değerde farklı br değer olduğuu dda edyorsak, alteratf tezmz de belrleyerek hpotezmz aşağıdak gb yazablrz. H : H A : Br sorak adımda, aşağıdak kurallarda uygu olaı teste adapte edlmeldr. Sağ Taraflı Testler: Öcelkle z skoru hesaplamalıdır H : H A : x z X Burada değer öreklem ortalamasıı stadart sapmasıı temsl etmektedr. X Şmd se bu z-skoru kullaılarak, z dağılım tablosuda (veya MINITAB programıda) p-değer hesaplamalı ve p-değer kuralı uygulamalıdır. P-değer kuralı ( alamlılık düzeyde): Eğer p-değer < ; H reddedlr Eğer p-değer > ; H reddedlemez

174 Alteratf olarak z-skoru kullaılarak krtk değer kuralı uygulaablr ( z krtk değer z bulmak ç ye z dağılım tablosuda veya MINITAB programıda faydalaablrsz) Krtk değer kuralı ( alamlılık düzeyde): z- statstk skoru > z ; H reddedlr z- statstk skoru < z ; H reddedlemez Sol taraflı test: H : H A : Öcelkle z skoru hesaplamalıdır x z X Burada değer öreklem ortalamasıı stadart sapmasıı temsl etmektedr. X Şmd se bu z-skoru kullaılarak, z dağılım tablosuda (veya MINITAB programıda) p-değer hesaplamalı ve p-değer kuralı uygulamalıdır. P-değer kuralı ( alamlılık düzeyde): Eğer p-değer < ; H reddedlr Eğer p-değer > ; H reddedlemez Alteratf olarak z-skoru kullaılarak krtk değer kuralı uygulaablr ( z krtk değer bulmak ç ye z dağılım tablosuda veya MINITAB programıda faydalaablrsz) z Krtk değer kuralı ( alamlılık düzeyde): z- statstk skoru < z ; H reddedlr z- statstk skoru > z ; H reddedlemez Çft Taraflı Testler: H : H A : Öcelkle z skoru hesaplamalıdır x z X Burada değer öreklem ortalamasıı stadart sapmasıı temsl etmektedr. X Şmd se bu z-skoru kullaılarak, z dağılım tablosuda (veya MINITAB programıda) p-değer hesaplamalı ve p-değer kuralı uygulamalıdır.

175 P-değer kuralı ( alamlılık düzeyde): Eğer p-değer < ; H reddedlr Eğer p-değer > ; H reddedlemez Alteratf olarak z-skoru kullaılarak krtk değer kuralı uygulaablr ( z krtk değerler z / bulmak ç ye z dağılım tablosuda veya MINITAB programıda faydalaablrsz) Krtk değer kuralı ( alamlılık düzeyde): z- statstk skoru > z / veya z- statstk skoru < z /; H reddedlr z- statstk skoru < z / veya z- statstk skoru > z /; H reddedlemez Şuaa kadar yapmış olduğumuz prosedürlerde üzerde durmadığımız husus uygu alamlılık düzey seçmdr. Bu kouya Tp I ve Tp II Hata ı alatıldığı bölümde daha detaylı olarak deyeceğz. Tablo 8. de farklı alamlılık düzeyler ç z / ve z (krtk değerler) fade edlmektedr. Tablo 8. Stadart Normal Dağılımı Krtk Değerler Alamlılık z ( Krtk Değer ) / Düzey z ( ) / Krtk Değer 1% % % % Örek 8.9: Örek 8.3 te aakütle ortalamasıı 1 de küçük olduğuu dda etmştk. Dolayısıyla sol taraflı br test gerçekleştrmştk. Şmd se aakütle ortalamasıı 1 de büyük olduğuu dda edelm. Bu dda doğrultusuda hpotezlermz: H : 1 H A : 1 Stadart prosedürümüzü kullaarak z-skoruu hesaplayacak olursak: z = Testmz artık sağ taraflı br test hal almıştır. P-değer aakütle ortalamasıı sağıda kala alaa eşttr. P( X >1.33) = P(Z > -1.67) =.954. Grafksel olarak gösterecek olursak: 16 Doğrusal eterpolasyo le bulumuştur

176 Şekl 8. Örek 8.3 te ayı aakütle parametres le ( = 1) sol taraflı test gerçekleştrmştk ve p- değer öreklem ortalamasıı soluda kala ala olarak hesaplamıştık. P( X <1.33) = P(Z <- 1.67) =.46 (bkz Şekl 8.8). Bu öreğmzde se, p-değer (=.954) seçle herhag br alamlılık düzeyde büyük olduğuda sıfır hpotez kabul ederz (reddedemeyz). Ayı souca krtk değer yaklaşımı le de ulaşablrz. Testmz sağ taraflı olduğuda dolayı alamlılık düzey olarak seçeblrz ve =.5 olarak belrleyeblrz Şekl 8.3 Dolayısıyla reddedlme alaıı dışıda kaldığıda ye sıfır hpotezmz kabul ederz (reddedemeyz). Örek 8.1: Örek 8. de aakütle ortalamasıı 1 da büyük olduğuu dda etmştk. Dolayısıyla sağ taraflı br test gerçekleştrmştk. Şmd se aakütle ortalamasıı 1 da küçük olduğuu dda edelm. Bu dda doğrultusuda hpotezlermz: H : 1 H : 1 Stadart prosedürümüzü kullaarak z-skoruu hesaplayacak olursak: A

177 z.33 1 Testmz artık sol taraflı br test hal almıştır. P-değer aakütle ortalamasıı soluda kala alaa eşttr. P( X < 1.33) = P(Z <.33) =.63. Grafksel olarak gösterecek olursak: Şekl 8.4 Örek 8. de ayı aakütle parametres le ( = 1) sağ taraflı test gerçekleştrmştk ve p-değer öreklem ortalamasıı sağıda kala ala olarak hesaplamıştık. P( X >1.33) = P(Z >.33) =.37 (bkz Şekl 8.8). Bu öreğmzde se, p-değer (=.63) seçle herhag br alamlılık düzeyde büyük olduğuda sıfır hpotez kabul ederz (reddedemeyz). Ayı souca krtk değer yaklaşımı le de ulaşablrz. Testmz sol taraflı olduğuda dolayı alamlılık düzey olarak seçeblrz ve =.5 olarak belrleyeblrz Şekl 8.5 Dolayısıyla.33 reddedlme alaıı dışıda kaldığıda ye sıfır hpotezmz kabul ederz (reddedemeyz).

178 Tp I ve Tp II Hataları Alamlılık düzeyler belrtlrke ede sadece 1%, 5%, 1% gb değerlerde bahsettk? Başka rakamlar alamlılık düzey olarak ele alıamaz mı? Daha öcede kısaca deydğmz gb bu olasılık değerler, doğru hpotez reddederek maksmum yapableceğmz hata mktarıı Tp I Hata yı fade etmektedr. Yalış ola br hpotez kabul ettğmzde se Tp II Hata şlemş olmaktayız. Tp II Hata yı (beta olarak okuur) le fade etmekteyz. ve değerler arasıda br klem yaşamaktadır. olasılık değer arttırdığımızda, olasılık değer düşürürüz. Veya, olasılık değer azalttığımızda, olasılık değer arttırırız. Bu klem grafksel olarak fade edecek olursak: Şekl 8. 6 A

179 Şekl 8.6 B Şekl 8.6 dak A ve B paellerde, hpotetk aakütle ortalamasıı ( ), gerçek aakütle ortalamasıa ( ) eşt olduğu gözlemektedr. Dolayısıyla, H : = h hpotez reddettğmzde gerçekte = h eştlğ söz kousu se yalışlıkla Tp I Hata yapmış oluruz. Ayı şeklde, eğer H hpotez kabul edersek (reddetmezsek) doğru souca varmış oluruz. Şeklde de gösterldğ gb bu durumda değer yüksek br değer olarak alırsak, Tp I Hata olasılığıı da arttırmış oluruz. Bu durumda sıfır hpotez doğru br şeklde fade edldğde Tp II Hata yapma mkaımız bulumamaktadır. Bu yüzde şekl 8.6 da gösterlmemştr. h

180 Şekl 8.7 A

181 Şekl 8.7 B Şekl 8.7 dek A ve B paellerde, hpotetk aakütle ortalamasıı ( ), gerçek aakütle ortalamasıda ( ) farklı olduğu gözlemektedr. Dolayısıyla, h h değer aakütle ortalamasıda büyük br değer de alablr, küçük br değer de alablr. H : = h hpotez reddettğmzde doğru souca varmış oluruz. Ayı şeklde, eğer H hpotez kabul edersek (reddetmezsek), gerçekte hpotetk aakütle ortalaması le gerçek aakütle ortalaması brbrde farklı değerlere sahp olduğuda Tp II Hata yapmış oluruz. Şeklde de gösterldğ gb bu durumda değer yüksek br değer olarak alırsak bu durumda tehlkel br şeklde Tp II Hata yapma olasılığı azalmaktadır. Sıfır hpotez doğru br şeklde fade edldğde ve doğru hpotez reddedlmedğde, bu durumda Tp I Hata yapma olasılığımız bulumamaktadır. Şekl 8.7 te değerler gösterlmese rağme, asle Tp I hata yapma olasılığımız bulumamaktadır, buradak değerler alamlılık düzey fade etmektedr. Dolayısıyla, alamlılık düzeye karar verrke k tp olasılık değer dkkate almamız gerekmektedr. Dkkat etmemz gereke hususlarda brcs, yalış br hpotez kabul etme olasılığıı maksmze ederek, doğru br hpotez reddetme olasılığımızı mmze etme durumu; kcs se yalış br hpotez kabul etme olasılığımızı mmze ederek, doğru br hpotez reddetme olasılığımızı maksmze etme hususudur. Dolayısıyla, eğer sıfır hpotez daha çok doğru olableceğe aıyorsaız, uygulamaız gereke lk stratej ( değer olabldğce küçük tutmaktır) gerçek tehlkey doğru hpotez reddetmey mmze

182 etmektr. Br dğer tarafta, eğer sıfır hpotez doğruluğuda tam olarak em değlsez, kc stratej olarak yalış hpotez kabul (reddetmeyerek) etmey mmze etmez (olası mktarda yüksek değer, dolayısıyla değer düşürmek) uygu olacaktır. Geel olarak statstkçler, Tp I Hata ı Tp II Hata da daha öeml olduğua amaktadırlar. Dolayısıyla olabldğce değer küçük tutmaya çalışmaktadırlar. Sıfır hpotez masum br suçlu olarak ele alırsak; Tp I Hata, masum ola br şuçlaması alamıa gelrke; Tp II Hata se suçlu br kş serbest bırakılması alamıa gelmektedr. Geel olarak bakıldığıda masum br suçlaması daha öeml olduğuda Tp I Hata, Tp II Hata ya orala daha öeml olarak gözükmektedr. Br şadamıı pyasaya grp grmemes le alakalı olarak br karar vermes gerekmektedr. Alteratf olarak başka br pyasaya grdğ takdrde bu şadamıı kar oraı 5% olacaktır. Kararıı aşağıdak hpotez teste göre belrleyecektr: H :.5 H :.5 A Sıfır hpotezmz reddettğmz takdrde, dğer pyasaya grmey düşümektedr. H doğru se ve reddedlrse, Tp I Hata şlemektedr. Bu hata soucuda, dğer pyasaya grer ve zarar eder. H doğru olmamasıa rağme kabul edlrse, Tp II Hata şler ve yüzde 5 te fazla kar etme olasılığı kaçırılmış olur. Tablo 8.3 hpotez testlerde Tp I Hata ve Tp II Hata yı özet br şeklde celeyeblrsz. Table 8.3: Hpotez Testlerde Tp I ve Tp II Hataları Durum H doğru se H yalış se Souç H Kabul edlr Doğru Souç Tp II Hata H Reddedlr Tp I Hata Doğru Souç Hpotez Test Gücü H hpotez, doğru olduğu halde reddetme olasılığımızı mmze edeblmemz ç dkkate alacağımız so krter, test gücüdür. H hpotez yalış olduğu takdrde, bu hpotez kabul etme olasılığımız e kadar küçük olursa testmz o kadar güçlü olmaktadır. Dolayısıyla testmz gücü, H hpotez yalış olduğu halde bu hpotez reddetme olasılığımız le ölçülmektedr. Tp II Hata olasılığı, yalış ola br hpotez kabul edlme olasılığıı temsl ettğde, test gücü de 1 -P(Tp II Hata) olarak hesaplaablr.

183 Ortalama Hakkıdak İddamızı Test: Öreklem Boyutuu Büyük Olduğu Durum Br öcek bölümlerde de bahsettğmz gb hpotez test amacı öreklem okta tahm (öreklem ortalaması gb) dda edle değerde statstksel olarak alamlı derecede farklı olup olmadığıa karar vermektr. Geçerl ola öreklem statstğ ( X ), test statstğe döüştürülür ve krtk değerle karşılaştırılır. Öreklermzde daha öce hep aakütle stadart sapmasıı bldğ ( blyor), ve aakütle ormal dağıldığıı varsaydık. Normal olarak test prosedürümüzde stadart sapmaı blp blmedğe göre veya öreklem boyutlarıa göre değşklkler meydaa gelecektr. Öcelkle büyük öreklemler olduğu durumu ele alalım ve bu durumda stadart sapmaı blp blmedğ durumları celeyelm. blyorsa Öreklem boyutuu büyük olduğu durumlarda ya 3 olduğu durumlarda, aa dağılımı şeklde bağımsız olarak ye merkez lmt teorem kullaılır. Bu yüzde doğruda x ları öreklem dağılımıı ormal olarak dağıldığıı varsayarız. Daha öcek durumlarda farklı olarak, 3 olduğuda ve bu durumda MLT te gore öreklem dağılımıı ormal olduğuu garatledğde, ayrıca br ormallk varsayımı yapmamıza gerek yoktur. Örek 8.11: Br kahve üretcs ürettğ kahve kavaozlarıı etketlerde dda ettğe göre her kahve kavaozu kahve 3 Lrasıı çermektedr.araştırmacı se bu ddaı geçerllğ test etmek stemektedr.öcelkle sıfır ve alteratf hpotezler kurulacaktır. Sıfır ve alteratf hpotezler aşağıdak gb fade edlmştr: H : 3 H : 3 A Açıkça görüldüğü üzere tek taraflı br hpotez testdr. Daha öcek çalışmalar aakütle stadart sapmasıı. lra olduğuu açıklamışlardır. Araştırmacı 49 kahve kavaozuu öreklem olarak almıştır ve bu öreklemler ortalamasıı da kavaoz başıa.95 lra ( X =.95) olarak hesaplamııştır. Araştırmacı, Tp I hata yapma olasılığıı azam =.1 olarak düşümüştür.reddetme alaıı sıırı 1% lk alamlılık düzeydedr ve z tablosu kullaılarak, -.33 olarak belrlemştr. Bu değer testmz ç krtk değerdr ve reddetme alaı le reddetmeme alaıı brbrde ayırmaktadır. Eğer hesaplaa z skoru bu değerde küçükse, reddedlme alaıda yeralır ve sıfır hpotez alteratf hpoteze göre reddederz. Öreklem değerlermz ( deklkte yere koyarak z-skoruu değere ulaşablrz. x.95 3 z 1.75./ 49 X ve buu z-skor statstk dye düşüeblrz. z-skoru > z.1. Burada sıfır hpotez reddedemeyz.bu yüzde üretc kavaoz etketlerde verdğ blgy reddedecek yeterl statstksel kaıta sahp değlz.

184 Testmz p değer hesaplayacak P(z > -1.75) =.41 ve alamlılık düzey =.1 le karşılaştıracak olursak, ye sıfır hpotezmz reddetmememz gerektğ soucua varırız. blmyorsa Eğer blmyorsa,, öreklem dağılımıı stadart hatasıı aşağıdak formülü kullaarak hesaplayamayız. X Dolayısıyla z-statstk skoruu hesaplayamayız ve testmz souçladıramayız. Bu soruu üstesde geleblmek ç değer br tahm edcs ola öreklem varyasıı s kullamamız gerekmektedr. Öreklem varyasıı daha öcede de hatırlayacağıız üzere aşağıdak gb hesaplayablrsz. s 1 ( x x) 1 (8.17) Bu yüzde, öreklem dağılımıı stadart sapması s s (8.18) X Aalzmze daha öce olduğu gb z skoruu, paydada yere s fades koyarak X X hesaplayarak devam edeblr myz? x z s (8.19) X Bu soruu cevabı malesef olumsuzdır. Çükü, delem (8.19) u paydasıda gerçek 17 değer / yere öreklem ortalamasıı tahm edcs olarak s s / X X kulladığımızda dolayı artık z stadart ormal dağılımıı kullaamamaktayız. x (8.) s/ Bu kouu ede braz daha açacak olursak; 3 olduğuda X ı ormal dağıldığıı blmemze rağme formülde s gb başka br tahm edc yer almaktadır. Pek s asıl br dağılıma sahptr? s değşke Gamma adı verle br dağılıma sahptr. Bzm burada soruumuz deklem (8.) de ormal olarak dağıla br değşke le Gamma dağılımı 18 le dağıla 17 Öreklem ortalamasıı stadart sapmasıı /, tahm edcs olduğuda, s değşke de stadart sapmasıı tahm edcs olduğuda bu şeklde fade edlmektedr. x 18 Deklem (8.) pay ve paydasıı değere bölerek fadey tekrar düzeledğmzde / 1 s /( 1) fades elde edeblrz. Bu fade payı, stadart ormal olarak dağıla z değşke fade ederke, paydası da

185 br değşke oraıı asıl dağılacağı hususudur. Deklem (8.) de bahsedle bu ora t dağılımı le dağılmaktadır. Dolayısıyla stadart sapmaı blmedğ durumlarda döüşüm formülümüz t dağılımı le dağılmaktadır ve döüşüm formülü aşağıdak gbdr. t 1 x s/ t dağılımı, ormal dağılım gb özel br dağılımdır. t dağılımıda Bölüm 6 da da deydğmz gb serbestlk dereces, ( 1) değere eşttr. Bu teste at ola krtk değerler, serbestlk dereces tarafıda belrlemektedr. Bu değerler z skorua bezer telktedrler acak z skoruu krtk değerlerde temel olarak farklılaştığı husus bu değerler serbestlk derecese gore belrlemesdr. Buu yaısıra sıfır ve alteratf hpotezler ayı şeklde belrlemektedr. Serbestlk dereces arttığıda ( artmasıyla) t dağılımı le stadart ormal dağılım arasıdak fark küçülmektedr. Dolayısıyla büyük öreklem boyutlarıda, t ve z değerler arasıda çok fazla fark görülmemektedr. Tahm edebleceğz gb t değerler de test kuralları z testklere bezemektedr. Farklılaşma, krtk değerler ve p-değerler hesaplamasıda görülmektedr. Artık krtk değerler ve p-değerler hesaplaırke t-dağılımı tablolarıda faydalamak gerekmektedr. t Dağılımı Tabloları ve MINITAB Kullaılarak Krtk Değerler Buluması t dağılımıa at ola krtk değerler tdf ; sembolü le fade etmekteyz. Krtk değerler buluableceğ t-dağılım tablosu Ek (Tablo 3.) te yeralmaktadır. Bu tablo farklı olasılık değerler ( ları) ve bu değerlere her farklı serbestlk dereces ç tekabül ede t değerler göstermektedr. Şekl 8.8 Gamma dağılımı le dağıla se t dağılımı le dağılmaktadır. 1 1 s / k-kare dağılımıı göstermektedr. x ~ t. s/ N(,1), elde edle bu değşke /( 1) 1

186 Tabloda da gösterldğ gb t5;.5.15 krtk değer kolaylıkla elde edeblrz. Bulduğumuz bu değer sağ taraflı br test çdr, eğer sol taraflı br test ç krtk değere htyacımız olsa d, ormal dağılımı smetrk özellğde faydaalarak bu krtk değer -.15 olarak bulacaktık. t krtk değerler MINITAB yardımıyla da kolaylıkla hesaplaablmektedr. BU hesaplamayı gerçekleştreblmek ç Calc-Probablty dstrbutos bölümüde t.. y seçz. Karşııza çıkacak ola dyalog ekraıda verse cumulatve probablty seçeeğe tıklayıp, degrees of freedom (serbestlk dereces) bölümüe 5 değer ve put costat bölümüe de.5 (alamlılık düzey.5 ) değer grz. Şekl 8.9 OK tuşua tıkladığıızda aşağıdak çıktıyı elde edeblrsz. Şekl 8.3 Elde ettğmz krtk değer sol taraflı br test olduğuda, sağ taraflı br teste at br krtk değer elde etmek stersek put costat kutucuğua.5 değer yere.95 değer grmemz gerekmektedr. Şekl 8.31

187 t Test Prosedürüü Özet Sağ Taraflı Testler: H : H A : Öcelkle t skoru hesaplamalıdır x t (8.1) s X s Burada s 19 değer öreklem ortalamasıı stadart sapmasıı temsl etmektedr. Şmd se X bu t-skoru kullaılarak, t dağılım tablosuda (veya MINITAB programıda) p-değer hesaplamalı ve p-değer kuralı uygulamalıdır. P-değer kuralı ( alamlılık düzeyde): Eğer p-değer < ; H reddedlr Eğer p-değer > ; H reddedlemez Alteratf olarak t-skoru kullaılarak krtk değer kuralı uygulaablr ( t krtk değer t 1; bulmak ç ye t dağılım tablosuda veya MINITAB programıda faydalaablrsz) Sol taraflı test: Krtk değer kuralı ( alamlılık düzeyde): t- statstk skoru > t 1; ; H reddedlr t- statstk skoru < t 1; H reddedlemez ; Öcelkle t skoru hesaplamalıdır H : H A : x t s X 19 Ayrıca öreklem boyutuu, aakütle boyutua orala oluştuğuu ( / N.5 ) ve solu br aakütle olduğuu varsaymaktayız.

188 s Burada s değer öreklem ortalamasıı stadart sapmasıı temsl etmektedr. Şmd se X bu t-skoru kullaılarak, t dağılım tablosuda (veya MINITAB programıda) p-değer hesaplamalı ve p-değer kuralı uygulamalıdır. P-değer kuralı ( alamlılık düzeyde): Eğer p-değer < ; H reddedlr Eğer p-değer > ; H reddedlemez Alteratf olarak t-skoru kullaılarak krtk değer kuralı uygulaablr ( t krtk değer t 1; bulmak ç ye t dağılım tablosuda veya MINITAB programıda faydalaablrsz) Krtk değer kuralı ( alamlılık düzeyde): t- statstk skoru < t 1; ; H reddedlr t- statstk skoru > t 1; ; H reddedlemez Çft Taraflı Testler: H : H A : Öcelkle t skoru hesaplamalıdır x t s s Burada s değer öreklem ortalamasıı stadart sapmasıı temsl etmektedr. Şmd se X bu t-skoru kullaılarak, t dağılım tablosuda (veya MINITAB programıda) p-değer hesaplamalı ve p-değer kuralı uygulamalıdır. X P-değer kuralı ( alamlılık düzeyde): Eğer p-değer < ; H reddedlr Eğer p-değer > ; H reddedlemez Alteratf olarak t-skoru kullaılarak krtk değer kuralı uygulaablr ( t krtk değer t 1; / bulmak ç ye t dağılım tablosuda veya MINITAB programıda faydalaablrsz) Krtk değer kuralı ( alamlılık düzeyde): t- statstk skoru > t 1; / veya t- statstk skoru > t 1; / H reddedlr t- statstk skoru < t 1; / veya t- statstk skoru < t 1; / H reddedlemez

189 Tablo 8.4, alamlılık düzeyde t 1; / ve t 1; değerler ç e çok kullaıla krtk değerler göstermektedr. Tabloda geel olarak kullaıla alamlılık düzeyler yüzde 1,.5, 5 ve 1 değerler alımıştır. t 1; / ve t 1; değerler ayı zamada t dağılımı ç krtk değerlerdr. Bu değerler (-1) serbestlk derecese gore değşmektedr. Tablo 8.4 Stadart t-dağılımıı Krtk Değerler Serbestlk dereces (v) = -1 = 6-1 =5 Alamlılık t 1; (Krtk Değer) / Düzey t 1; / (Krtk Değer) 1% % % % Serbestlk dereces (v) = - 1 = 39-1 = 38 Alamlılık t 1; (Krtk Değer) / Düzey t 1; / (Krtk Değer) 1% % % % Serbestlk dereces (v) = - 1 = 11-1 = 1 Alamlılık t 1; (Krtk Değer) / Düzey t 1; / (Krtk Değer) 1% % % % Tablo 8.4 te de görüldüğü gb serbestlk dereces arttığı takdrde le brlkte t dağılımı le stadart ormal dağılım değerler arasıdak fark azalmaktadır. Örek 8.1: Örek 8.3 ü ele alarak t-test uygulamaya çalışalım. Öreğmzde aakütle stadart sapmasıı bldğ varsaymıştık. Şmd se aakütle stadart sapmasıı blmedğmz varsayalım. Hpotez testmz ye: H : 1 H : 1 A Deklem (8.1) dek t skoruu hesaplayablmek ç öreklem stadart sapmasıı s hesaplamamız gerekmektedr. S 1 = {7, 9, 9, 1, 1, 15}. Deklem (8.17) de faydalaırsak:

190 1 s = = Dolayısıyla, s Tahm edcs stadart hatası da aşağıdak gb hesaplaablr: Souç olarak t-skoru:.77 s X x t 1.51 s 1.15 X Şmd se t-tablolarıı (veya MINITAB ı) kullaarak sol tarafta kala p-değer hesaplayablrz. T-tablosuda bu değer 5 (=-1) serbestlk dereces le P(t < -1.51) =.97 olarak bulablrz. Şekl 8.3 p-değer, stadart sapmaı bldğ duruma göre eredeyse k kat br değer almıştır. Dolayısıyla yüzde 1 ve 5 alamlılık düzeylerde sıfır hpotez reddedlmemektedr. Krtk değer kuralı le değerledrmemz yapacak olursak: Şekl Tablo 8.4 te (Ek te yerala Tablo 3. de veya MINITAB ta) =.5 alamlılık düzeyde t krtk değer t 1; t5;.5.15 olarak buluablr. Örek 8.13: Şmd se Örek 8.1 y kullaarak aşağıdak test gerçekleştrelm H : 1 H : 1 A

191 Testmz p-değer br öcek örekte yer ala p değer k katıdır. Dolayısıyla, p-değer =.97 =.194 ve bu p-değerde haraketle herhag br uygu alamlılık düzeyde sıfır hpotez reddedlmemektedr. Krtk değer kuralıa göre testmz gerçekleştrrsek Şekl 8.34 Tablo 8.4 te (Ek te yerala Tablo 3. de veya MINITAB ta) /=.5 alamlılık düzeyde t krtk değer t 1; / t5; olarak buluablr. Örek 8.14: 199 yılıda Türkye dek haehalkıı ortalama yıllık bez tüketm $6 d. Üst gelr düzeyde yer ala kşlerde rassal olarak 36 kşlk br öreklem seçlmştr. Bu grubu ortalama bez tüketm $85 olarak, tahm edlmş stadart sapması da $15 olarak hesaplamıştır. Acaba üst gelr düzeyde yer ala haehalklarıı bez tüketm daha fazla mı olmaktadır? Testmz açıkça görüldüğü gb sağ taraflı br testtr. Araştımamızda tahm edlmş stadart sapma yer aldığıda, t statstk değer kullamamız gerekmektedr. Bu durumdak sıfır hpotezmz: H : 6 (ortalama harcama mktarı, geel harcama mktarıda daha fazla değldr) H : > 6 (ortalama harcama mktarı, geel harcama mktarıda daha fazladır) Alamlılık düzey de =.5 olarak seçtğmz takdrde, bu alamlılık düzeye dek gele ve serbestlk dereces 35 ola t-krtk değer t 35;.5 = dır. t-statstk skoruu döüşüm formülüü kullaarak aşağıdak gb hesaplayablrz: 85 6 t 9 15 / 36 t statstk değer, t krtk değerde daha büyük olduğuda sıfır hpotez H reddederz. Dolayısıyla, yüksek gelr düzeydek aleler yıllık bez tüketm geel ortalamada daha yüksektr soucua varablrz. Aakütle ortalamasıı Hpotez Test: Küçük Öreklem Boyutu Durumuda Merkez Lmt Teorem (MLT) tahm aralığı yaparke çok öeml br rol oyamıştı, acak bu sadece 3 durumu ç sözkousu d. Eğer < 3 se, X ları öreklem dağılımı

192 aakütle dağılımıa bağlıdır. Daha öcek blglermze dayaarak eğer x değerler aakütle dağılımı ormal se X larıda öreklem dağılımı da öreklem boyutuda bağımsız olarak ormal dağılır. Bu yüzde öreklem boyutu küçük olduğu durumlarda X ları ormal dağıldığıa dar varsayım yapmamız gerekr. Bu varsayımı ötesde aalz ye aye devam ettrlr. Eğer aakütle stadart sapması ( ) blyorsa z dağılımıı ve deklem (8.13) kullaırız. deklk kullaılır. Eğer aakütle sapması blmyorsa, t dağılımı ve dolayısıyla deklem (8.1) kullaılmalıdır. Küçük öreklemler ç e öeml varsayımımız aakütle dağılımıı ormal olduğu varsayımıdır. Uutulmamalıdır k öreklem boyutu arttığıda, aakütle ortalamamız ormal dağılmasa ble test ç y souçlar elde edleblr. Aakütle Ortalaması ç Hpotez Test (Özet) Bu bölümde, z ve t testlerde detaylı olarak şledğmz test prosedürler özet olarak tekrar hatırlamaya çalışacağız. Herk testte de özet olarak aşağıdak adımları takp etmez gerekmektedr. 1. Öcelkle hpotezmz, aakütle hakkıdak ddamıza göre kurmamız gerekmektedr. Bu şlem ç öümüzde üç olasılık vardır: aakütle ortalaması, bell br değerde büyük olablr, aakütle ortalaması, bell br değerde küçük olablr veya aakütle ortalaması, bell br değerde farklı olablr. Bu üç durumda bre karar verdkte sora, hpotezmz sembolk olarak fade ederz. Eğer aakütle ortalamasıı, bell br değerde büyük olduğu ddasıı savuuyorsak, bu ddamızı aşağıda da olduğu gb alteratf hpotezmzde belrteblrz. H : H A : Eğer aakütle ortalamasıı, bell br değerde küçük olduğu ddasıı savuuyorsak, bu ddamızı ye alteratf hpotezmzde belrteblrz. H : H A : Eğer aakütle ortalamasıı, bell br değerde farklı olduğu ddasıı savuuyorsak, bu ddamızı alteratf hpotezmzde belrttğmzde: H : H A :. Testmz ç uygu ola test statstğ (z-skoru veya t-skoru) ve dolayısıyla öreklem dağılımı belrlemeldr. Şekl 8.7 hag durumlarda hag test kullaılableceğ özetlemektedr.

193 Şekl Seçmmze göre, bahsettğmz gb z veya t skoruu hesaplamalıdır. 4. Alamlılık düzey ( ), dolayısıyla Tp I Hata olasılığı hesaplamalıdır. 5. Seçlmş ola test statstğe dek gele krtk değerler hesaplamalıdır. 6. Test statstk değerler krtk değerlerde daha büyük se sıfır hpotez H reddedlmektedr. Aks takdrde reddedlmemektedr. 7. İsteldğ takdrde p-değer hesaplaablr ve p-değer, alamlılık düzeyde küçük olduğu takdrde sıfır hpotez H reddedlmektedr. Aks takdrde reddedlmemektedr. Aakütle Ortalaması ç Hpotez Test Örek 8. dek verler ele alalım. Öcelkle öreklem değerler S 1 = 7,9,9,1,1,15 aşağıda gösterldğ gb sütu C1 e grz. Şekl 8.36 Sıfır hpotezmz: H : 1

194 ve bua karşılık gele alteratf hpotezmz: H A : 1 Şekl 8.37 dak gb Stat meüsüde basc statstcs te 1-SampleZ ye tıklayıız. Şekl 8.37 Ekradak meüde gözüke C1 seçz ve daha sora Test mea tuş ua basıp 1 yazıız. Alteratve olduğu gb bırakıp sgma hücrese.449 u yazı. Bu sgma bze ble aakütle stadart sapmasıı göstermektedr ve şeklde fade edlr: Şekl 8.38 OK tuşua bastığıızda aşağıdak çıktı ekraı le karşılamaız gerekmektedr.

195 Şekl 8.39 So k satır yukarıda hesapladığımız z skoruu ve yukarıda hesaplaa p-değer gösterr. Çft taraflı test yaptığımızda dolayı yukarıdak olasılık değer le çarparız ve değermzdek farklılıklar programı hataları yuvarlamasıda kayaklamaktadır. Dyalog meüsüdek Alteratve değştrerek MINITAB programıda tek taraflı testte yapablrsz. Buu yaparsaız bulacağıız p-değer yaklaşık olarak yukarıda hesaplaa değerle ayı olduğuu göreceksz. Eğer p-değer alamlılık dereces ( ) altıda se sıfır hpotez reddedersz. Dolayısıyla eğer =.5se, sıfır hpotez kabul edersz. Öreğmzde aakütle stadart sapmasıı ( ) blmedğmz düşüelm. Böyle br durumda t dağılımıı kullaırsıız. Bu da MINITAB da Stat meüsüde basc statstcs seçlerek orada da 1-Sample t opsyou seçlerek gerçekleştrleblr. Br öcek durumda farklı olarak, stadard sapma öreklemde hesapladığıda dolayı dyalog ekraıda sgma stadart sapmasıı grlebleceğ br kutucuk bulumamaktadır. Şekl 8.4 Öreklem boyutuu küçük olmasıda dolayı z ve t testler p-değerler arasıda büyük farklılıklar görüleblr. Öreklem boyutu arttığıda bu farklılıklarda azalmaktadır. Alıştırma olarak, Bölüm 7 dek MINITAB uygulamasıı verler buluduğu teabag.mtw dosyasıı ele alalım. Ayı verler kullarak aşağıdak çft taraflı testler gerçekleştrelm. (hatırlayacağıız gb aakütle stadart sapmasıı =.5 olarak varsaymıştık) Bu hpotez test etmek ç: alteratf olarak H : 1 H A : 1 Br öcek bölümde elde ettğmz p-değer le ayı değer elde ettğmz aşağıdak çıktıda da gözükmektedr.

196 Şekl 8.41 Ayı test t dağılımıı kullaarak gerçekleştrdğmzde Şekl 8.4 Açıkça görüldüğü gb herk test de p-değerler brbrlere çok yakıdır. Aakütle Oraıı Test Edlmes : Aakütle oraı ( ) hakkıdak test prosedürü daha celedğmz test prosedürüe çok bezemektedr. H : H A : değer, aakütle oraıı hpotetk oraıdır. Br öcek bölümde de belrttğmz gb p öreklem dağılımı bom le dağılmaktadır. Örek 8.15: Ye br tedav metoduda hastaı 4 taes fayda görememştr..5 alamlılık düzeyde sıfır hpotez =.5, alteratf olarak.5 hpotez le brlkte test edelm. H :.5 H :.5 1 Öreğmzda yola çıkarak, öreklem oraı p 4/. değere eşttr ve bom le dağılmaktadır. (x değşke p (1/ ) x fades le bom dağılımı le dağılmaktadır) Bom dağılım formülü: olduğuda x x x b( x;, ) 1, for x,1,,...,

197 PX ( 4) PX ( 4).59 Bu olasılık değer 4 te daha az hasta mktarıı bu tedav metoduda yararlaamama olasılığıı temsl etmektedr. Brbaşka deyşle =.5 ke öreklem ortalamasıı p =. olarak elde etme olasılığımızı temsl etmektedr. Bu bağlamda p -değer = (.59) =.118 <.5 (test çft taraflı olduğuda hatırlayacağıız gb p-değer k le çarpmaktayız) olduğuda sıfır hpotez H reddederz. Büyük x değerler söz kousu olduğuda bom formülüü kullaımı blgsayar yardımı olmada çok zordur. Dolayısıyla bu tarz durumlarda bom dağılımıı ormal dağılıma yakısaması kullaılmaktadır. Bu yakısama aşağıdak teorem le gerçekleştrlmektedr. Teorem: Eğer X değşke, ve (başarı olasılığı) parametreler le rassal br şeklde bom dağılımıa sahp se, Z X 1 olduğuda teoremdek z formülü de ormal dağılıma yakısamaktadır. (hatırlaacağı ad 1 ) üzere bom dağılımıı ortalaması ve varyası Dolayısıyla büyük değerler aldığıda bom dağılımıı ormal dağılıma yakısama formülüü kullaablrz. Z x 1 veya bu fadey e bölerek aşağıdak gb kullaablrz. Z p 1 Örek 8.17: Br öcek öreğmz bom dağılımıı ormal dağılıma yakısama formülüe uygularsak: p..5 Z Stadart ormal dağılım tablosuu kullaarak P(Z <-.683) =.36 değer bulablrz. Bu bağlamda p-değer.36 =.7 dr. p değer, bom dağılımıda hesapladığımızda braz daha küçük br değere sahptr. boyutu küçük olduğuda yakısama y çalışmamaktadır. Ama tüm buu yaıda hala sıfır hpotez reddetmekteyz.

198 Oraları hpotez test ç test statstğ olarak deklem (8.) y kullamaktayız: p Z (8.) p 1 Burada p fades aakütle oraıı stadart hatası olarak br öcek bölümde hatırlayablrsz. Aakütle oraıı hpotez test prosedürü Sağ taraflı test: H : H A : Öcelkle z skoru hesaplamalıdır p p Z p 1 Şmd se bu z-skoru kullaılarak, z dağılım tablosuda (veya MINITAB programıda) p-değer hesaplamalı ve p-değer kuralı uygulamalıdır. P-değer kuralı ( alamlılık düzeyde): Eğer p-değer < ; H reddedlr Eğer p-değer > ; H reddedlemez Alteratf olarak z-skoru kullaılarak krtk değer kuralı uygulaablr ( z krtk değer bulmak ç ye z dağılım tablosuda veya MINITAB programıda faydalaablrsz) z Krtk değer kuralı ( alamlılık düzeyde): z- statstk skoru > z H reddedlr z- statstk skoru < z H reddedlemez Sol taraflı test:

199 H : H A : Öcelkle z skoru hesaplamalıdır p Z p p 1 Şmd se bu z-skoru kullaılarak, z dağılım tablosuda (veya MINITAB programıda) p-değer hesaplamalı ve p-değer kuralı uygulamalıdır. P-değer kuralı ( alamlılık düzeyde): Eğer p-değer < ; H reddedlr Eğer p-değer > ; H reddedlemez Alteratf olarak z-skoru kullaılarak krtk değer kuralı uygulaablr ( z krtk değer bulmak ç ye z dağılım tablosuda veya MINITAB programıda faydalaablrsz) z Krtk değer kuralı ( alamlılık düzeyde): z- statstk skoru < z H reddedlr z- statstk skoru > z H reddedlemez Çft Taraflı Testler: H : H A : Öcelkle z skoru hesaplamalıdır Z p p p 1 Şmd se bu z-skoru kullaılarak, z dağılım tablosuda (veya MINITAB programıda) p-değer hesaplamalı ve p-değer kuralı uygulamalıdır.

200 P-değer kuralı ( alamlılık düzeyde): Eğer p-değer < ; H reddedlr Eğer p-değer > ; H reddedlemez Alteratf olarak z-skoru kullaılarak krtk değer kuralı uygulaablr ( z krtk değer z / bulmak ç ye z dağılım tablosuda veya MINITAB programıda faydalaablrsz) Krtk değer kuralı ( alamlılık düzeyde): z- statstk skoru > z / veya z- statstk skoru > z / ; H reddedlr z- statstk skoru < z / veya z-statstk skoru < z /; H reddedlemez Burada dkkat edlmes gereke husus öreklem oraıı hesaplaması le alakalıdır. Öreklem oraıı stadart sapması oraları brer foksyoudur. p 1 Acak gerçek aakütle oraıı blmedğ durumlarda, z test uygulaırke aakütle oraıı yere ou hpotetk değer kullaılablmektedr. Örek 8.18: Bu yıl çersde İstatstk dersde öğrecler başarısızlık oraı 1% dur. Geçe see İstatstk dersde 75 öğrecde 1 s başarısız olmuştur. Bu see daha öcek seelere orala daha yüksek br başarısızlık oraıa sahp olup olmadığıı test edz. Bu amaç doğrultusuda sıfır ve alteratf hpotezlermz aşağıdak gb belrteblrz. H :.1 H :.1 A Testmz açıkça görüldüğü gb sağ taraflı br hpotezdr. Alamlılık düzeymz =.5 olarak belrlersek, bu alamlılık düzeye tekabül ede geçerl krtk z değermz de olarak buluruz. z-skoru, değerde büyük olduğu takdrde öğrecler başarısızlık oraıı öcek yıllara gore, daha yüksek olduğu soucua varablrz. 75 öğrecde 1 taes başarısız olma oraı 16% veya p =.16 dır. =.1 değer bldğmzde, = 7.5 ve (1 - ) = 67.5 olarak hesaplaablr. Her k durumda ormal dağılım kullaımıı sağladığıda, bu değerler deklem (8.) de yere koyalım: z z-skoru 1.73, krtk değerde büyük olduğuda, sıfır hpotez reddedlmektedr. Dolayısıyla, İstatstk ders başarısızlık oraı daha öcek seelere orala artmıştır soucua varablrz. Ayı souca p değer.418 hesaplayarak da varablrz. Aakütle Oraı ç Hpotez Test

201 MINITAB ortamıda Örek 8.18 dek ora test gerçekleştreblmek ç Stat- basc statstcs (temel statstkler) meüsüde 1-Proporto seçeeğe tıklayıız. Şekl 8.43 Daha sora Summarzed data (özet verye) gelz ve Number of trals (deeme sayısı) bölümüe 75 yazıız ve Number of successes (başarı sayısı) bölümüe de 1 değer örek 18 dek verlere dayaarak grz. Şekl 8.44 Daha sora Optos (Seçeekler) bölümüde hpotez belrleyeblrz. Şmdlk Cofdece Level (Alamlılık düzey) bölümüü boş bırakablrsz, bu buraya Bölüm 9 da deyeceğz. Test proporto (ora test) bölümüe se.1 değer sıfır hpotez olarak greblrz. Alteratf hpotez greater tha (büyüktür), seçeeğde faydalaarak oluşturablr.

202 Şekl 8.45 Şmdlk şekl 8.37 dek gb Use test ad terval based o ormal dstrbuto (ormal dağılımı baz alarak test ve aralık tahm gerçekleştrz) seçmemekteyz. Çükü şmdlk bom dağılımıı ormal dağılıma yakısamasıı kullamamaktayız. OK tuşua bastığımızda aşağıdak çıktıyı elde edeblrz. Şekl 8.46 Çıktıda da gösterldğ gb p-değer, seçle alamlılık düzeyde büyük olduğuda sıfır hpotez reddedemeyz. Ayı öreğ ormal dağılım yakısamasıı elde etmek ç MINITAB tak bütü adımları aye tekrar edz ve Use test ad terval based o ormal dstrbuto kutucuğua tıklayıız. Şekl 8.47

203 = 7.5 ve (1 - ) = 67.5 olduğuda, verler Şekl 8.48 dek gb grz. Şekl 8.48 Tek yapmamız gereke Summarzed data yere Samples colum kutucuğuu seçmek ve Şekl 8.44 tek gb ve br öcek adımları aye tekrar etmektr.

204 Bölüm 9: Aralık Tahm Grş 7. bölümde okta tahm kousuu şlerke aakütle ortalaması ( ) gb parametreler, okta tahmler asıl yapılableceğ celemştk. Ye 7.bölümde belrttğmz gb, aakütle parametreler okta tahmler ( x gb), tahm ettkler parametrelere ( gb) tam olarak eşt olmaları beklelmemektedr. Örek 7.1 de de gördüğümüz gb sadece üç elemalı br aakütlede alıa öreklemlerde hesaplaa örek ortalamalarıı değerler 1 ve 3 arasıda değşmekteyd. Bu örekte, alıa örekleme bağlı olarak, öreklem ortalamasıı 1, 1.5,,.5 veya 3 değerlerde brs olarak hesaplayablr ve a kütle ortalamasıı bularda br olarak tahm etmş oluruz. Acak bu tahmlerde sadece brs harç, heps aakütle ortalamasıı (tahm edle parametre) değerde farklıdır ( = ). Bu so derece bast örek dah, göstermektedr k okta tahm edcler her zama güvelr br tahm oluşturmakta uzaktır. Bazı öreklemlerde tahm edle parameter değerde çok farklı olablrler. Aralık tahm, okta tahm edcler bu dezavatajıı gdermeye çalışmaktadır. Aralık tahm edcler, adıda da alaşılableceğ gb, tek br tahm sumak (öreğ, x = 1.5) yere, br aralık çdek sayılarda oluşa br tahm sumaktadır (öreğ,, 1 le.5 arasıdadır gb). Aralık tahm br dğer özellğ de, aakütle parameteres çde yer alacağı aralığı belrtrke, bu aralığa bağlı br olasılık değer de söyleyeblmemzdr. Örek olarak, aakütle ortalamasıı % 9 olasılıkla 1 le.5 aralığıda olduğuu söyleyeblrz. Bu bölümde bu tür br aralık tahm asıl oluşturulableceğ üzerde duracağız. Heme belrtelm k aralık tahm br dğer sm de güve aralığıdır. İlerde bu k term brbrler kame eder bçmde kullaacağız. Br öcek bölümde celedğmz hpotez test ve aralık tahm arasıda yakı br lşk bulumaktadır. Örek 8.1 hatırlayacak olursaız, 5.5 te büyük olarak ögördüğümüz br değer bze.5 te büyük br p değer verecektr. Bezer br şeklde değer olarak ögörürsek, bu ögörümüz öreklem ortalamasıı tamamyle ayısıdır (öreklem ortalaması le ögördüğümüz aakütle ortalaması brbre eşttr), dolayısıyla p değer de.5 e eşt olur.

205 Şekl 9.1 Ye Bölüm 7 de yerala Örek 7.14 ü hatırlayacak olursaız, herhag br ögörülmüş değer 5.5 te küçük se p değer ye.5 te büyük br değer olur. Eğer değer olarak ögörürsek, k bu değer ye ortalamasıı tamamyle ayısıdır (öreklem ortalaması le ögördüğümüz aakütle ortalaması brbre eşttr), ve dolayısıyla p değer ayı şeklde.5 e eşt olur.

206 Şekl 9. Bu yüzde eğer %1 olasılıkla Tp I hata yapmayı kabul edersek, ögördüğümüz aakütle ortalamasıı le arasıda olduğuu söylersek, bu ögörümüzü reddedemeyz. Br başka fade le, %9 htmalle aakütle ortalamasıı le değerler arasıda olduğuda emz. Aakütle bell br olasılık değer le verdğmz aralıkta olduğua dar güvemz var. İşte bu edede dolayı bu aralıklara ayı zamada güve aralığı da delmektedr. Aakütle Ortalamasıı Aralık Tahm: Öreklem Sayısıı Yeterce Yüksek Olduğu Durum ( 3)

207 Aralık tahm, öreklem sayısıı küçük ( < 3) veya büyük olduğu ( 3) her k durumda da yapılablr. Acak bu k durumda uygulaacak formüller brbrlerde, küçük de olsa, farklılıklar gösterecektr. Buu dışıda uygulayacağımız formül, ye aakütle stadart sapmasıı blp blmemese ( ) göre farklılaşacaktır. Büyük öreklemler e öeml karakterstğ, X değşke aakütle dağılımı hakkıda herhag br varsayım yapmamıza gerek olmamasıdır. blyor ( 3) se Yukarıda da belrtldğ gb öreklem sayısı () 3 u üzerde olduğu durumu, 3, büyük öreklem olarak kabul etmekteyz ve br öcek bölümde de celedğmz gb, Merkez Lmt Teoreme (MLT) dayaarak X öreklem dağılımıı ormal dağılıma yakısadığıı kabul etmekteyz. Bu bölümde ayrıca aakütle stadart sapmasıı ( ) bldğ şeklde br dğer öeml varsayımda daha buluuyoruz. Şmd bu k varsayım altıda ( 3 ve blyor), X ı güve aralığıı oluşturmaya çalışalım. Br örekle kouyu ele alalım. İstabul Blg Üverstes 36 öğrecsde rassal br şeklde oluşa br öreklem seçelm. ( = 36). Amacımız Blg Üverstes öğrecler yaş ortalaması ç br aralık tahm gerçekleştrmek olsu. Öreklemde hesapladığımız ortalama yaş 5.5 yıldır ( X = 5.5). Bu örekleme at verler tablo 9.1 de özetlemektedr Tablo 9.1 İstabul Blg Üverstes 36 öğrecs yaşları: Daha öcek çalışmalarda blmektedr k öğrec yaşlarıı aakütle stadart sapması 6 ya eşttr ( =6). Br öcek bölümde de blmekteyz k 3 olduğu durumlarda; X ı öreklem dağılımı, ortalama, ve 6 stadart sapma (bu örekte 1) le yaklaşık X 36 olarak ormal dağılmaktadır. X ormal dağıldığıa göre, aakütle ortlamasıı örekte hesaplaa ortalamaya eşt varsayarsak ( = 5.5), X ı dağılımıı aşağıdak şekldek gb göstereblrz. Şekl 9.3 Burada dkkat edlmes gereke okta: X ı öreklem dağılımıı ortalamasıı (k bldğmz gb aakütle ortalamasıa eşttr) 5.5 olarak kabul ederek, gerçek aakütle

208 ortalamasıı 5.5 e, ya öreklem ortalamasıa eşt olduğuu dda etmyoruz. Böyle br dda, bütü çabamızı alamsız kılardı, çükü böyle br durumda zate bldğmz brşey tahm etmeye çalışıyor olurduk. Yapmak stedğmz, aakütle ortalaması 5.5 olsaydı, ya öreklem ortalamamıza (okta tahmmze) bre br eşt olsaydı, bu ortalamaı % 4.5 olasılığı sağıda ve soluda (toplam % 95) bıraka değerler e olurdu sorusua cevap aramaktır. Br başka deyşle, ortalaması 5.5 ve stadart sapması 1 ola, br ormal dağılımda %95 olasılığa tekabül ede güve aralığı değerler edr sorusua cevap arıyoruz. Şekl 9.3 te de görülebleceğ gb eğer X 1 ve X değerler bulablrsek bu soruya cevap vermş oluruz. Bu değerler bze aradığımız aralık tahm (veya br başka deyşle güve aralığıı vereceklerdr), çükü bu değerler bze eğer aakütle ortalaması 5.5 olsaydı, öreklem ortalamalarıı % 95 olasılıkla yer alacağı aralığı vermektedr. Bu fade zama zama şu şeklde de fade edlmektedr: % 95 olasılıkla aakütle ortalaması X 1 ve X aralığıda bulumaktadır. Her e kadar bu kc fade tam olarak doğru kabul edlemez se de, sık sık kullaıldığı ç brc fade le ayı alam da kullaıldığı düşüüleblr. Bu kou lerde daha fazla açıklığa kavuşturulacaktır Şmd bu değerler asıl bulableceğmz celeyelm. Bu oktada Stadart Normal Dağılım bze yardımcı olacaktır. 6.bölümde Stadart Normal Dağılım kousuu rdelemştk. Stadart Normal Dağılım, ormal dağılımı sadece özel br bçmdr. Stadart Normal Dağılım da, ormal dağılımı taımlaya k parametre değerde; ortalama sıfıra, stadart sapma se bre eşttr. Ya, Stadart Normal Dağılım ortalamaıı sıfıra, stadart sapmaı se bre eşt olduğu ormal dağılımı özel br bçmdr. Normal dağıldığıı bldğmz herhag br X değşke kolaylıkla Stadart Normal Dağılım a döüştüreleblr. Bölüm 6 da da gösterldğ gb % 95 olasılığa tekabül ede z değerler 1.96 ve dır. Şekl 9.3 ü şekl 6.4 le brleştrrsek aşağıdak şekl elde ederz. Şekl 9.4 Daha öce gördüğümüz z döüştürme formülüü kullaırsak x x z (9.1) / X

209 Burada dkkat edlmes gereke husus: daha öce celedğmz geel z döüştürme formülüde ormal dağıla değşke X olarak yazılmış d ve ortalaması, stadard sapması se d. Bu özel örekte se ormal dağıla değşkemz X dır. Ortalaması, ve stadart sapması se dır. Dolayısıyla deklem (9.1) öreğmzde kullaacak olursak: x15.5 x ; X 1 ve X değerler aşağıdak gb belrleyeblrz veya x ; x x1, Souç olarak, % 95 olasılık le aakütle ortalaması [3.54; 7.46] aralığıda olduğuu söyleyeblrz. Acak, yukarıda da görüldüğü gb bu souç, aakütle ortalaması öreklem ortalamasıa eşt olarak kabul edldğde buludu. Br başka öreklem alısaydı, büyük br olasılıkla 5.5 de farklı br öreklem ortalaması buluacağı ç bu aralık tahm [3.54; 7.46] de farklı br değer alacaktı. Acak, 5.5 toplaıp çıkarıldığı sayısı bütü öreklemler ç sabt kalacaktır. Bu sayı bze bütü öreklem ortalamalarıı aşağı ve yukarı (artı ve eks olarak) % 95 htmalle sapacağı aralığı vermektedr. Souç olarak, % 95 olasılıkla öreklem ortalamaları yıl fazla veya eksk olacaktır. Sadece % 5 olasılıkla öreklem hatası yılda daha fazla olablr dyeblrz. Bu souç bze elde ettğmz tahm edc hassasyet üzere br blg vereblr. Eğer araştırıcı olarak bu aralığı çok geş olduğuu ve bze br blg vermekte uzak olduğuu düşüüyorsak, yapableceğmz br tek şey vardır. O da, sayısıı arttırılarak öreklem ortalamalarıı stadart sapma değer düşürülmesdr. Öreğmzde stadart sapma görüldüğü gb 1 e eşttr. Eğer [3.54; 7.46] aralığıı çok geş olduğuu düşüüyorsak, sayısıı artırırarak stadard sapma değer 1 de aşağıya çekeblr ve aralığı küçülteblrz. İstatstkçler sembolüü öreklem hatası olasılığıı kullaırlar. Dolayısıyla, =.5 fades öreklem hatasıı % 5 e eşt olduğuu göstermektedr. Normal dağılım smetrk olduğu ç, ormal dağılımı her k kuyruğudak ala da / ye eşt olacaktır. Bu durumda 1- de bzm güve aralığıı olasılık değer verecektr. Daha öce de belrttğmz gb, z harf stadart ormal dağılıma sahp değşke temsl etmes ç kullaıyorsak, z harfe lşrlecek br / ds ( z /), stadard ormal dağılımı poztf kuyruğuda / olasılığıa dek gele z değer göstermek amacıyla kullaablrz. Bu durumda eğer (1- ) =.95 olarak kabul edlrse, z /=z.5 = 1.96 olacaktır. Dolayısıyla, (1- ) olasılıkla öreklem ortalaması (artı, eks) z / X kadar br öreklem hatası taşıyacaktır Bu otasyoları kullaarak, aralık tahm geel br fade le aşağıdak bçmde fade edleblr. (1- ) olasılıkla gerçek aa kütle ortalaması, aşağıdak aralıkta buluacaktır. x z / X Bu aralık tahm br dğer bçmde fade etme yolu se, olasılıkla aşağıdak aralığı gerçek aakütle ortalamasıı çermedğ söylemektr. Bu fade br öcek bölümde öğredğmz formülü kullaılarak, aşağıdak gb X yazılablr:

210 x z / (9.) Aşağıdak tablo, (1- ) ı geellkle kullaıla.9,.95 ve.99 değerler ç z / değerler göstermektedr. Tablo 9. Stadart Normal Dağılımı ç Güve Aralığı Değerler Güve Aralığı / z /(Krtk Değer) 9% % % MINITAB ortamıda güve aralıklarıı kolaylıkla hesaplayablrsz. Bu şlem asıl yapıldığıı celemede öce, lütfe Tablo 9.1 de yer ala verler buluduğu yaslar.mtw adlı MINITAB çalışma sayfasıı açıız. Güve aralığıı oluşturmak ç Stat (statstk) meüsüde basc statstcs (temel statstkler) ve 1-SampleZ (1 Örekleml Z) seçeeğe tıklayıız. Şekl 9.5 Karşııza çıkacak ola dyalog ekraıı şekl 9.6 dak gb dolduruuz

211 Şekl 9.6 Yaslar öğrec yaşlarıı gösterldğ ver sütüuu temsl etrmektedr. Cofdece Level (Güve Aralığı) kutusuu tıklamaız gerekmekte ve sz ç uygu ola olasılık düzey yazmaız beklemektedr. Bz burada % 95 olasılığıı uygu bulduk, çükü öreğmzde güve aralığı % 95 olasılık değer ç bulumuş d. Sgma kutusua 6 yazıldı. Bu kutu bldğ varsayıla aakütle stadard sapmasıı değer ç ayrılmıştır. Öreğmzde öğrec yaşlarıı stadard sapmasıı 6 ya eşt olduğuu varsaymıştık. OK tuşua tıkladıkta sora aşağıdak güve aralığıı elde etmez gerekmektedr. Şekl 9.7 blmyor ( 3) se Br öcek alt başlıkta, aakütle varyasıı ( ) bldğ varsayımı altıda çalışmıştık. Acak, daha gerçekç br yaklaşımla, blmedğ durum üzerde odaklamamız gerekmektedr. Eğer blmyor se, tek çare, br öcek bölümde de yaptığımız gb aakütle varyasıı br tahm öreklemde hesaplamasıdır. tahm formülü, hatırlayacağıız üzere, aşağıdak gb d:

212 Bu durumda, X x x 1 s 1 ı stadart sapmasıı aşağıdak formülle bulablrz. s X s Tekrar öreğmze ger döecek olursak, aakütle varyas tahm x X 1 s = olarak, X stadart sapması se s X s 6.4 = =1.4 6 olarak hesaplaacaktır. Şmd s/ fades, (9.1) olu deklem paydasıda / - yere- kullaarak bütü aşamaları tekrar edlmes gerektğ düşüeblrsz. Acak burada br farklılık meydaa gelecektr. s/ fades (9.1) olu deklem paydasıda kulladığımızda, ya X gerçek s stadard sapması ( / ) yere ou tahm kulladığımızda ( ), maalesef artık stadard ormal dağılımı kullamamız mümkü olmamaktadır. Nede? Buu açıklamak ç (9.1) olu deklem sağ tarafıı buraya tekrar yazalım t / x t 1 s/ krtk değer le brlkte, t dağılımı kullaarak güve aralığı formülü deklem (9.3) tek gbdr: s x t 1; / (9.3) (9.3) olu deklem uygulayarak % 95 olasılığa tekabül ede güve aralığıı bulablrz. Acak bu değer bulablmemz ç öcelkle, asıl deklem (9.1) de z / değer blmemz gerekmekteyse burada da t 1; / değer blmemz gerekmektedr. E sık kullaıla z / Tablo 9. de gösterlmş d. Acak t 1; / değerler daha öcede belrttğmz gb serbestlk derecese bağlı olarak değşmektedr (serbestlk dereces de ver sayısıa bağlı olarak değşmektedr). Oysa z / değerler, Tablo 9. de açıkça görülebleceğ gb, sadece seçle olasılık değere ( ) bağlı olmaktaydı. Dolayısıyla burada t değerler ç bezer br tablo sze göstermyoruz (Ktabı arkasıda yer ala ekte bu tabloyu bulablrsz). Acak yukarıdak şlem btrmemz ç gerekl t 1; / değer vermekle yeteceğz. Bu değer: t36 1;.5/.3. Dolayısıyla güve aralığıı aşağıdak gb hesaplayablrz. x1,

213 Aakütle ortalaması 95% htmalle [3.39; 7.61] aralığıda yeralmaktadır. Stadart sapma değer blmedğ durumua at güve aralığıı MINITAB çersde elde etmek ç bütü aşamaları tekrar etmememz gerekmektedr. Güve aralığıı oluşturmak ç Stat meüsüde basc statstcs ve 1-Sample t seçeeğe tıklayıız. Şekl 9.8 Daha sora karşılaştığıız ekraı Şekl 9.9 da gösterldğ gb dolduruuz. Şekl 9.9 Burada dkkat edleceğ gb aakütle stadard sapması blmedğ ç böyle br kutucuk da br öcek durumda olduğu gb aktf olmamıştır. OK tuşua bastığıızda aradığımız güve aralığıı elde edeblrsz.

214 Şekl 9.1 Aralık Tahm Küçük Öreklem Durumu ( 3) MLT güve aralığıı oluşturulması tartışmalarıda so derece öeml br rol oyamaktadır. Acak, sadece 3 durumuu ele aldık. Bu durumda bldğ gb aakütlede X ler dağılımı hakkıda br varsayım yapmamıza gerek kalmada X ı ormal dağıldığıı ( blyorsa) veya t dağılımı le dağıldığıı ( blmyorsa) varsayablyorduk. Acak sayısı 3 da küçük olursa bu durumda aakütlede X ler ormal dağıldığıı varsaymak zorudayız k X ı ormal dağıldığıı ( blyorsa) veya t dağılımı le dağıldığıı ( blmyorsa) varsayablelm. Aralık Tahmler ç Uygu Dağılımı Seçm Aralık tahm ç uygu dağılımı seçerke, hpotez testde kulladığımız prosedürü ayısıı kullamaktayız. Aşağıdak tablo, aralık tahm ç uygu dağılımı seçmde bze yardımcı olmaktadır. < 3 durumuda aakütle ortalamasıı ormal olarak dağıldığıı kapalı olarak varsaymaktayız. Şekl 9.11

215 Aakütle Oraı ç Aralık Tahm Şuaa kadar, aakütle ortalaması ç aralık tahmler herk dağılımı da kullaarak da celedk. Aralık tahmler geel yapısıı formülüze edecek olursak: öreklem Uygu ola dağılımı Öreklem parametres ± statstğ krtk değer stadart sapması Aakütle oraıı tahm edcs, bom dağılımı le dağılmaktadır (br öcek bölümü celeyeblrsz) ve stadart sapması p 1 formülü le hesaplamaktadır. Br öcek bölümde de tartıştığımız gb bom dağılımıı yere z dağılımı kullaılmaktadır. Dolayısıyla aakütle oraı ç güve aralığı formülüü gösterecek olursak: p z / 1 değer blmedğmzde dolayı, bu parametre yere tahm edcs ola p kullaılmalıdır. Dolayısıyla formülümüz aşağıdak gb değşmektedr. p z / p 1 p Örek 9.1: 8. bölümdek örek 8.18 tekrar ele alalım. İstatstk sıavıdak başarısızlık oraı %1 d. Geçe see se 75 öğrecde 1 s başarısız olmuştur. Aakütle oraı ç %95 lk br güve aralığı oluşturalım. 75 öğrecde 1 s başarısız se başarısızlık oraı %16 veya p =.16 dır. Bu doğrultuda güve aralığıı aşağıdak gb elde edeblrz ; bölümdek MINITAB uygulamasıı, güve aralığı hesaplamasıa kolaylıkla adapte edeblrsz.

216 Bölüm 1: İk Aakütle Parametres ç Hpotez Testler Grş 9. bölümde güve aralığı kavramıa grş yapmış ve aralık tahm aakütle parametreler tahm etmek ç asıl yapılacağıı göstermştk. Bu metod çıkarımsal statstğ öeml br özellğdr. 8.bölümde se aakütle parametreler tahm ç çıkarımsal statstğ dğer br özellğ ola hpotez metoduu kulladık, fakat burada kulladığımız hpotez test tek br aakütle parametres hakkıda çıkarım yapmaya yöelkt. Bu kouyu rdelerke zım olarak sadece br aakütle olduğuu varsaymıştık. Gerçekte k ver set karşılaştırılması çok daha fazla kullaıla ve karşılaşıla br durumdur. Öreğ, sıavda kala öğrecler farklı csyetlere göre oraları, özel sektörde çalışaları aldığı ücretlerle kamu sektörüde çalışaları aldıkları ücretler karşılaştırılması gb. Bu tp durumlarda tek aakütle parametres ç kulladığımız hpotez test yere çft aakütle parametres ç hazırlamış hpotez test kullamalıyız. İk örekleme dayalı hpotez test metodlarıı göz öüde buludururke, öreklemler brbrde bağımsız olup olmadıklarıı blmemz öemldr. Eğer br aakütlede seçle öreklem dğer aakütle le alakalı değlse, k öreklem bağımsızdır. Eğer bu öreklem dğer öreklem le alakalı se bu öreklemler brbre bağımlıdır delr. Bu tp öreklemlere, kl veya eşlek öreklemler delr. Hpotez test matığı aslıda seçle öreklem bağımlı ya da bağımsız olup olmadığıa bağlıdır. İk Aakütle Parametres ç Çıkarımlar: Varyas blyorsa (Bağımsız öreklemler) Büyük Öreklemlerde İk aakütle ortalaması le alakalı hpotez testlerde ve güve aralıkları yapıladırılırke,geellkle k aakütle ortalaması arasıda statstksel olarak alamlı derecede br fark olup olmadığı le lglerz. Eğer k tae bağımsız ( br ve k dye taımlaacak) ve her br büyük öreklem grubua greblecek büyüklükte ( 1 3 ve 3 gb) öreklemm varsa, uygulaacak ola hpotez test daha öcek derste öğredğmz tarza bezer br şeklde uygulaacaktır. Geel yapısı aşağıdak gbdr: öreklem statstğ -dda edle aakütle parametres öreklem parametres stadart sapması Daha öcede olduğu gb statstksel test uygularke öcelk sıfır ve alteratf hpotezler formülsel br şeklde fade edlmesde yaadır. Öreğ, eğer k ayrı aakütlede alımış k ayrı öreklem (1 ve ) kullaarak aakütle ortalamalarıı farklı olup olmadığıı test etmek stersek sıfır hpotezmz ve alteratf hpotezmz aşağıdak gb kurarız:

217 H : H 1 A : 1 alteratf olarak se : H : A 1 Sıfır hpotez ve alteratf hpotez daha farklı br şeklde fade edeblrz: H : H 1 A : 1 Veya alteratf olarak aakütle ortalamaları arasıdak farkı bell br değere eşt olup olmadığıı test etmek stersek: 1 X1 1 X H : H 1 A : 1 Buu akabde bu testte kullaılılacak test statstğ ( X1 X) şeklde yazılır. Burada da ye Merkez Lmt Teorem kullamak gerekmektedr (MLT). Eğer yeterce büyükse, öreklem ortalamaları( X lar) ormal dağılma eğlm gösterrler. Ayı teorem kullaarak öreklem ortalamaları arasıdak farkı fade edeblrz, ( X1 X) (burada X 1, brc öreklem ortalaması ve X de kc öreklem ortalamasıdır), ve bu fark ( 1 )da aakütle ortalamalarıyla brlkte, ( ve brc ve kc aakütle varyaslarıı temsl etmektedr) 1 varyaslarıyla ormal olarak dağılmaktadır. Aakütle dağılımıda bağımsız olarak, eğer 1, > 3 se x x ı öreklem dağılımıı bulmak ç aşağıdak teoremde faydalamaktayız. 1 Teorem: Eğer X 1, X,,X değşkeler brbrde bağımsız ve ormal olarak dağılıyorlarsa, X, X,,k sıfırda farklı sabt br sayı olmak üzere X = k 1 X 1 + k X +.+ k X fades de E( X ) k11 k... k ortalaması varyası le Z, ve k k k değşke ortalaması ormal olarak dağılmaktadır. Teoremmz, k öreklem farkıı dağılımı durumua uyguladığımız takdrde, X E X X 1 1 X 1

218 1 var X1 X X1X X1 X 1 ve varyası le ormal olarak dağıldığı açıkça gözükmektedr. (öreklem ortalamalarıı farkı teoremmz k 1 = 1, k = -1 ve X1 X1, X X olduğu özel br durumudur.) Dolayısıyla 1 ( X1 X ) N 1, 1 Hpotez test gerye kala prosedürü daha öce şledğmz test prosedürlere çok bezemektedr. X ve ( X1 X) ı öreklem dağılımlarıı karşılaştırılmasıda fayda bulumaktadır. Tek aakütlel durumda: X N, fades, X değşke ortalaması ve gelmekteyd. Grafksel olarak gösterecek olursak: varyası le ormal olarak dağıldığı alamıa Şekl 1.1 Bu durum ç z skorumuz se x z (1.1) / İk aakütle buluduğu durumlarsa se: 1 X1 X N 1, 1

219 fades ( X1 X) değşke, 1 ortalaması ve dağıldığıı göstermektedr. varyası le ormal olarak 1 1 Grafksel olarak gösterecek olursak: Şekl 1. Dolayısıyla deklem (1.1) dek geel yapıda haraketle, k aakütlel durumda z skoruu deklem (1.) de fade edldğ gb kullaablrz. z x x ( ) (1.) Test gerçekleştrmek ç sıfır hpotezdek aakütle parametreler ( ler) değerler formüle eklemelyz. Sıfır hpotezde, elmzde 1 = olduğuda dolayı bu deklğ (1.1) de yere koyarız ve stee z-skoruu elde etmş oluruz. Formülümüzde aşağıdak gb olur: z x x (1.3) Br sorak adımda, hpotez test doğruluğuu araştırmak ç z-tablolarıda gerekl krtk z değerler elde edlmesdr. Daha öcek blglermze dayaarak, öcelkle alamlılık dereces ola yı belrlerz. Çft taraflı br test uygulayacağımızda testmz aşağıdak gb formülüze edeblrz. H : H 1 A : 1

220 Deklem (1.) de hesapladığımız z skoruu, z dağılım tablosuda (veya MINITAB ta) faydalaarak, p değer hesaplamak ç kullaablrz. Hpotez testde p-değer yaklaşımı : Eğer p değer < se Ho hpotez reddedlr Eğer p değer > se Ho hpotez reddedlemez. Alteratf olarak z-skoru kullaılarak krtk değer kuralı uygulaablr ( z krtk değerler z / bulmak ç ye z dağılım tablosuda veya MINITAB programıda faydalaablrsz) Hpotez Testde Krtk Değer Yaklaşımı: Eğer z-statstk skoru > z / veya z-statstk skoru > z /; H reddedlr Eğer z-statstk skoru < z / veya z-statstk skoru < z /; H reddedlemez Ortalama farkları ç Güve Aralıkları 9.bölümde de hatırlayacağıız gb, büyük öreklem boyutlarıda ve aakütle stadart sapmasıı bldğ durumlarda, aakütle ortalamasıı ç güve aralığıı aşağıdak gb formülüze etmştk. x z / Güve aralıklarıı geel yapısıı yazacak olursak: öreklem Uygu ola dağılımı öreklem parametres x statstğ krtk değer stadart sapması Bu bağlamda k aakütle farkıa ( 1 ) at ola güve aralığıı deklem (1.4) tek gb elde edeblrz. 1 x1 x z/ 1 (1.4) =,5 alamlılık düzeyde güve aralığımızı; gerçek aakütle ortalamalarıı arasıdak farkı ( 1 ) % 95 htmalle bu aralıkta yer aldığı şeklde yorumlayablrz. Test Prosedürüü Özet: Test prosedürlermz sağ, ve sol taraflı testler de ele alarak özetlemeye çalışalım. Sağ Taraflı Testler:

221 H : H 1 A : 1 Öcelkle z skoru hesaplamalıdır z x x Şmd se bu z-skoru kullaılarak, z dağılım tablosuda (veya MINITAB programıda) p-değer hesaplamalı ve p-değer kuralı uygulamalıdır. P-değer kuralı ( alamlılık düzeyde): Eğer p-değer < ; H reddedlr Eğer p-değer > ; H reddedlemez Alteratf olarak z-skoru kullaılarak krtk değer kuralı uygulaablr ( z krtk değer z bulmak ç ye z dağılım tablosuda veya MINITAB programıda faydalaablrsz)

222 Sol taraflı test: Krtk değer kuralı ( alamlılık düzeyde): z- statstk skoru > z ; H reddedlr z- statstk skoru < z ; H reddedlemez Öcelkle z skoru hesaplamalıdır H : H 1 A z : 1 x x Şmd se bu z-skoru kullaılarak, z dağılım tablosuda (veya MINITAB programıda) p-değer hesaplamalı ve p-değer kuralı uygulamalıdır. P-değer kuralı ( alamlılık düzeyde): Eğer p-değer < ; H reddedlr Eğer p-değer > ; H reddedlemez Alteratf olarak z-skoru kullaılarak krtk değer kuralı uygulaablr ( z krtk değer bulmak ç ye z dağılım tablosuda veya MINITAB programıda faydalaablrsz) z Krtk değer kuralı ( alamlılık düzeyde): z- statstk skoru < z ; H reddedlr z- statstk skoru > z ; H reddedlemez Çft Taraflı Testler: Öcelkle z skoru hesaplamalıdır H : H 1 A : 1

223 z x x Şmd se bu z-skoru kullaılarak, z dağılım tablosuda (veya MINITAB programıda) p-değer hesaplamalı ve p-değer kuralı uygulamalıdır. P-değer kuralı ( alamlılık düzeyde): Eğer p-değer < ; H reddedlr Eğer p-değer > ; H reddedlemez Alteratf olarak z-skoru kullaılarak krtk değer kuralı uygulaablr ( z krtk değerler z / bulmak ç ye z dağılım tablosuda veya MINITAB programıda faydalaablrsz) Krtk değer kuralı ( alamlılık düzeyde): z- statstk skoru > z / veya z- statstk skoru > z /; H reddedlr z- statstk skoru < z / veya z- statstk skoru < z /; H reddedlemez Güve Aralığı: 1 x1 x z / 1 Örek 1.1: İk tae bezer make ürettğ parçalar mm csde yapılmaktadır. Aakütleler ormal dağıldığıı ve brc makaı varyasıı 9, kc makaı varyasıı 16 olduğuu varsayalım. Her k makada da öreklem olarak 35 tae parça alımıştır. 1 = = 35. Gerekl verler aşağıdak tabloda verlmştr: Maka 1,39,3 4,8,49 9,7,16 6,4 3,6 9,18 7,66 3,81 3,55 4,76 6,53 7,58 6,89 6, 8,7 4,16 3,51 7,43 4,53 5,43 1,95 6,49 3,4 8,99 9,31 6,68 5,3,9 9,88 6,16 1,7 Maka,4 5,78 1,56 4,4 9,7 7,9 5,17 1,38 6,9 7,54 7,81,44 8,36 4,31 4,57 4,5 1,9,1 7,1 3,9 6,36 9,38 8,79 3,3 7,3 5,35,96 6,44 8,79,81,5 4,33 4,34 8,54 9,49

224 İk tae makaı ürettğ parçaları ortalama uzulukları arasıdak fark ç yüzde 9lık br güve aralığıı buluuz. Aşağıdak testler gerçekleştrz. (a) her k makaıda ürettğ parçaları ortalama uzuluklarıı eşt olduğuu (b) her k makaıda ürettğ parçaları ortalama uzulukları arasıdak farkı yüzde 5 alamlılık düzeyde 1mm de az olduğuu test edz. Ortalamaları alacak olursak x 1 = ve x = Bu değerler deklem (1.4) te yere koyduğumuzda: z.1/ olduğuda dolayı güve aralığıı aşağıdak şeklde hesaplayablrz: = [-1.75; 1.55] Bua göre, yüzde 9 olasılıkla ortalama farkları [-1.75; 1,55] aralığıda yer alır. Hpotez aşağıdak gb yapıladırılır (1.3) formülde z-skoruu hesaplayablrz z H : H 1 A : = = Stadart ormal dağılım tablosuda p değer kolaylıkla P(Z >.138) =.446 =.89 olarak hesaplayablrz ve bu değer.1 <.89 olduğuda sıfır hpotez H reddederz. Veya, alteratf olarak krtk değer kuralıda faydalaarak, z statstk skoru < z / (.136 < 1.645) olduğuda ye ayı souca varablrz. Test prosedürüü grafksel olarak özetleyecek olursak:

225 Şekl 1.3 İkc hpotez se aşağıdak gb yapıladırılablr: Deklem (1.3) tek z skoruu uyguladığımızda: z H : 1 H 1 A : = =- = Stadart ormal dağılım tablosuda p değer kolaylıkla P(Z <1.47) = olarak hesaplayablrz ve bu değer.1 <.1475 olduğuda sıfır hpotez H reddedemeyz. Veya, alteratf olarak krtk değer kuralıda faydalaarak, z statstk skoru > z / ( 1.47 > 1.81) olduğuda ye ayı souca varablrz. Test prosedürüü grafksel olarak özetleyecek olursak:

226 Şekl 1.4 %1 luk br alamlılık düzeyde hpotezlermz hçbr reddedlememektedr. Bu k durumda, ede kabul etme yere reddedememe term kulladığımız alaşımaktadır. Çükü, matık olarak hem 1 hpotez hem de 1 1 hpotez ayı ada kabul edemeyz. Küçük Öreklemlerde Öreklem boyutuu her öreklem ç 3 da küçük olduğu ( 1 3 ve 3 ), eğer aakütle varyasları blyorsa, yukarıdak formülü yeterl br şeklde uygulayablmek ç aakütleler ormal dağıldığı varsayımıı extra olarak yapmamız gerekmektedr. Örek 1.: Örek 1.1 dek makaları ürettğ parçalar arasıda mm csde, brc makada 8 ( 1 = 8) ve kc makada 7 ( = 7) tae öreklem alımıştır. Aakütleler 9 ve 16 varyasları le ormal olarak dağıldığıı varsaymaktayız. Maka parçalarıa at ola verler aşağıdak gbdr: 1. Maka: Maka: İk tae makaı ürettğ parçaları ortalama uzulukları arasıdak fark ç yüzde 9lık br güve aralığıı buluuz ve aşağıdak testler gerçekleştrz. (a) her k makaıda ürettğ parçaları ortalama uzuluklarıı eşt olduğuu (b) her k makaıda ürettğ parçaları ortalama uzulukları arasıdak farkı yüzde 1 alamlılık düzeyde 1mm e eşt olduğuu test edz. Ortalamaları alacak olursak x 1 = 3.54 ve x = Bu değerler deklem (1.4) te yere koyduğumuzda:

227 z.1/ olduğuda dolayı aralığı aşağıdak şeklde hesaplayablrz: ;.15 Bua göre, yüzde 9 olasılıkla ortalama farkları [-3.93;.15]. aralığıda yer alır. Hpotez aşağıdak gb yapıladırılır (1.3) formülde z-skoruu hesaplayablrz z 1 A 1 H : H : = = P değer P(Z <-.48) =.3156 =.631 olarak hesaplaablmektedr. Böylelkle sıfır hpotez reddedemeyz. Veya, alteratf olarak krtk değer kuralıda faydalaarak, z statstk skoru < z / (-.48 > 1.645) olduğuda ye ayı souca varablrz. Dolayısıyla, yüzde 5 lk alamlılık düzeyde ortalamaları eştlğ kabul etmekteyz. Stadart ormal dağılım tablosuda p değer kolaylıkla P(Z <1.47) = olarak hesaplayablrz ve bu değer.1 <.1475 olduğuda sıfır hpotez H reddedemeyz. Veya, alteratf olarak krtk değer kuralıda faydalaarak, z statstk skoru > z / ( 1.47 > 1.81) olduğuda ye ayı souca varablrz. Test prosedürüü grafksel olarak özetleyecek olursak: İkc hpotez se aşağıdak gb yapıladırılablr: Deklem (1.3) tek z skoruu uyguladığımızda: z H : 1 H 1 A : = = Stadart ormal dağılım tablosuda p değer kolaylıkla P(Z < 1.) = x.1539=.378 olarak hesaplayablrz ve bu değer.1 <.378 olduğuda sıfır hpotez H reddedemeyz. Veya, alteratf olarak krtk değer kuralıda faydalaarak, z statstk skoru < z / (-1. > ) olduğuda ye ayı souca varablrz. Dolayısıyla, her k makaıda ürettğ parçaları ortalama uzulukları arasıdak farkı yüzde 1 alamlılık düzeyde 1mm e eşt olduğuu hpotez kabul edlmektedr.

228 İk Ortalama Hakkıda Çıkarımlar: Varyaslar Blmyorsa (bağımsız öreklemlerde) Varyasları blmedğ durumlarda (k pratkte dahat gerçekç br durumdur), bast br souç elde edeblmek ç varyasları eşt olduğuu varsaymaktayız. Bu varsayım kısıtlayıcı br varsayım olmasıa rağme, varyasları farklı olması tam güve aralığı değerler bulmayı zorlaştırmaktadır. Büyük Öreklemlerde : z dağılımı Eğer varyaslar blmyorsa, k bu daha gerçekç br durum, acak aakütle varyaslarıı eşt olduğuu varsayarsak br souca varablrz.bu varsayım gerçekte doğru olmayable kısıtlayıcı br varsayımdır.aakütle varyaslarıı eşt olmadığıa dar br kaıt varsa, güve aralığıı bulacak ya da hpotez test gerçekleştrecek kes br metot kullaamayız. Büyük öreklemlerde se öreklem varyasları aakütle varyaslarıı ble değerler yasıttığıda dolayı aakütle varyaslarıı eşt olduğu varsayımıa gerek yoktur. Bu varsayım altıda tahm edle s öreklem varyası ve dolayısıyla (1.) 1.4 tek gb gerçekleşr: x1 x 1 z (1.5) s1 s 1 s 1 öreklem varyası aşağıdak formül le hesaplamaktadır s 1 x X s öreklem varyası aşağıdak formül le hesaplamaktadır s x X 1,. Aşağıdak hpotez test etmek stedğmzde z-skoru H : H 1 A : 1 z x x 1 s s 1 1

229 şekl alır ve ayı test prosedürü uygulamaktadır. Örek 1.4: Öcelkle Örek 1. y tekrar ele alalım ve aakütle varyaslarıı blmedğ varsayalım. Bu yüzde aakütle varyaslarıı yere tahm edlmş ola öreklem varyaslarıı kullamamız gerekmektedr. Tahm edlmş varyas değerler s 1= 3.6 = ve s =.7 = 7.9 olarak hesaplamaktadır. Öreklem boyutlarımız çok küçük olduğuda ( 1 = 8; = 7), tahm edlmş ola varyasları bze ble gerçek varyaslar gb yorumlamamıza z vermezler. Öreklem boyutlarımız e azıda 3 olsalardı, varyaslarımız öreklemler yeter derecede fade edeblecek güçte olacaklardır. Deklem (1.4) te bulduğumuz değerler yere koyacak olursak: z.1/ = olduğuda ve daha öcek ütelerde öğredğmz gb aralığı aşağıdak gb hesaplarız ;1.41. Öreklem ortalamalarıı farkı %9 olasılık le [-1.11; 1.41] aralığıda yeralır. Hpotezmz aşağıdak gb oluşturulmalıdır. (1.3) te z skoruu hesaplayalım z H : H 1 A : = = P değer P(Z >.167) =.4337 =.8674>.1 olarak hesaplayablrz ve bu değer.1 <.1539 olduğuda sıfır hpotez H reddedemeyz. Veya, alteratf olarak krtk değer kuralıda faydalaarak, z statstk skoru < z / (.167 > 1.645) olduğuda ye ayı souca varablrz. İkc hpotez aşağıdak gb yapıladırılablr: H : 1 H 1 A : < 1 1 Deklem (1.3) ü kullaarak z skoruu hesaplayacak olursak:

230 z = = p-değer = P(Z < -1.91) =.98 >.1 olduğuda, sıfır hpotez reddedeblrz. Veya, alteratf olarak krtk değer kuralıda faydalaarak, z statstk skoru < z (-1.91 < -1.81) ayı souca varablrz ve ortalamaları yüzde 1 alamlılık düzeyde eştlğ reddederz. Büyük Öreklemlerde: t dağılımı Bazı statstkçler z dağılımıı yere t dağılımıı kullamayı terch etmektedr. Dolayısıyla t skoruu hesaplamak ç deklem (1.6) da faydalamaktadırlar. t x x 1 1 s s 1 1 (1.6) dağılımı serbestlk dereces hesaplamak ç se df s1 / 1 s / s1 / 1 s / deklem kullaılmaktadır. Bu bağlamda daha öce deymş olduğumuz test prosedürüde hçbr değşklk bulumamaktadır. Dğer br tarafta güve aralığı da aşağıdak gb hesaplaablr: x x s s t 1 1 / 1 (1.7) Örek 1.5: Örek 1.4 tek güve aralığıı t dağılımıı kullaarak tekrar hesaplayalım. Bu hesaplama da yapmamız gereke tekşey z / değerler yere t /değerler deklemde yere koymaktır. Dolayısıyla deklem (1.7) y kullaarak güve aralığıı aşağıdak gb elde edeblrz:

231 = -1.83;1.583 t.1/ ; serbestlk dereces se df s1 1 s s1 / 1 s / 1 / / / / / / şeklde hesaplayarak 67 olarak buluruz. Aakütle ortalamaları arasıdak farkı [-1.83; 1.583] arasıda yeralacağıda %9 htmalle emz soucua varırız. Hpotezler oluşturalım H : H 1 A : 1 ve bu bağlamda deklem (1.6) yı kullaarak t skoruu hesaplayalım. t = = P-değer = P(t >.167) =.4339 =.867 >.1, olduğuda, sıfır hpotez reddedemeyz. Veya, alteratf olarak krtk değer kuralıda faydalaarak, t statstk skoru < t.1/; 67 (.167 < ) ayı souca varablrz. İkc hpotezmzlermz se: (1.6) da t skoruu hesaplayacak olursak H : 1 H 1 A : t= P-değer = P(t < -1.91) =.16 >.1, olduğuda, sıfır hpotez reddedemeyz. Veya, alteratf olarak krtk değer kuralıda faydalaarak, t statstk skoru < -t.1/; 67 ( > ) ayı souca varablrz ve ye sıfır hpotez reddedemeyz.

232 Küçük Öreklemlerde: t dağılımı Eğer öreklem boyutları küçükse, öreklem varyaslarıı aakütle varyaslarıı ble değerlerymş gb düşüemeyz (1.4) veya(1.6) artık kullaamayız. Bu yüzde küçük öreklemlerde eşt aakütle varsayımıı ( 1 ) kullamak gerekldr. Aakütleler ormal dağılmaktadır. Burada ayrıca dkkat edlmes gereke br başka husus, z test yere geçerl dağılım olarak t dağılımı kullaılmasıdır ve t test yaparke ortak varyas kullaılmasıdır: t x x 1 1 s s p p 1 (1.8) df 1 s p s s (1.9) Dğer br tarafta güve aralığı deklem (1.1) dak gbdr. s s x x t p p 1 / 1 (1.1) Örek 1.6: Örek 1. y ele alalım ve aakütle varyaslarıı blmedğmz varsayalım. Küçük öreklemler durumuda olduğumuzda, aakütle varyaslarıı eşt olarak dağıldığıı varsaymak zorudayız. Bu bağlamda dekem (1.9) u uygulayarak ortak varyas değer hesaplayablrz. s p =18.38 Deklem (1.1) yardımıyla güve aralığıı hesaplayablrz: t.1/; 13 = 1.77 ve df = = 13 olduğuda güve aralığı: ;3 Aakütle ortalamaları arasıdak farkı [-4.8; 3] arasıda yeralacağıda %9 htmalle emz soucua varırız.

233 İlk hpotez oluşturacak olursak: H : H 1 A : 1 Daha sora deklem (1.8) de faydalaarak t skoruu hesaplayablrz t= = = t statstk skoru < t 1; / (-.4 > -1.77) olduğuda, sıfır hpotez reddedemeyz. İkc hpotez de bezer şeklde oluşturup test edeblrsz. Aakütle Ortalamaları ç Test İstatstkler Özet Şekl 1.5 te, k aakütle ortalamalarıı hpotez testlerde, e zama hag test kullaılacağıı, hag durumlarda varsayımları gerektğ özetlemektedr.

234 Şekl 1.5 İk Aakütle Ortalama Farkları Örek 1. ve 1.5 tek t testler MINITAB ortamıda gerçekleştrleblmes ç öcelkle kullaacağımız verset two-maches1.mtw dosyasıda bulablrsz. İk aakütle ortalamasıı farkıı hpotez test ve güve aralığıı hesaplamak ç Stat Basc Statstcs meüsüde -Sample t seçeeğe tıklayıız. Test edeceğmz hpotez: Şekl 1.6 H : H 1 A : 1 karşııza gele dyalog ekraıda samples dfferet colums seçeeğe tıklayıız ve brc sütu olarak Frst M1, kc sütu olarak Secod M değer grz ve Alteratve bölümüü varysalıla değer gb bırakıız. ( ot equal olarak bırakıız). Güve aralığı düzey se 9 olarak değştrdkte sora Assume equal varaces seçeeğe tıklamayıız. Bu şlemler soucuda karşıızdak ekra 1.7 dek gb olmalıdır.

235 Şekl 1.7 OK tuşua bastığıızda aşağıdak çıktı ekraıı elde edeblrsz. Şekl 1.8 Çıktı ekraıdak elde ettğmz güve aralığı Örek 1.5 tek [-1.83; 1.583] ayısıdır. Örek 1.5 tek t değer elde ettğmz çıktıda da.17 olarak, p-değer de ye.87 olarak hesaplayablrz. Dolayısıyla, p değer alamlılık düzeyde büyük olduğuda sıfır test reddedemeyz. Serbestlk derecemz de Örek 1.5 te olduğu gb serbestlk dereces (DF) 67 olarak belrtlmştr. Örek 1.5 tek kc test gerçekleştrmek ç : H : 1 H 1 A : 1 1 MINITAB programıı full sürümü ola 13. versyouu kullamaya htyacıız vardır. Şekl 1.9 dak dyalog ekraıı elde ettkte sora Optos bölümüe tıklayıp, Cofdece level (Güve aralığı) bölümüe 9, Test mea bölümüe 1 değer grerek Alteratve bölümüde de less tha (daha az) seçeğ seçz.

236 Şekl 1.9 OK tuşua basarak öcelkle aakütle dyalog ekraıa ger döüüz ve daha sora aşağıdak çıktıyı elde etmek ç tekrar OK tuşua basıız. Şekl 1.1 Souçlar celedğde çıktıda bell br güve aralığıı olmadığı yalızca %9 lık aralığı üst sıırıı verldğ açıkça gözleeblmektedr. Buu ede testmz tek taraflı br test olmasıdadır. Testmz çft taraflı br test olsaydı hem üst sıırı hem de alt sıırı belrtldğ güve aralığı souçlar arasıda belrtlecekt. Şmd örek 1.6 ya ger döelm ve 1.7 dek dyalog ekraıı ayı şeklde doldurarak, acak bu kez öreklem boyutu 3 da küçük olduğuda Assume equal varaces seçeeğe tıklayalım. Brc hpotezmz çıktısı bu durumda:

237 Şekl 1.11 Dğer br tarafta kc hpotez çıktısı aşağıdak gbdr. Şekl 1.1 Aakütle Ortalamaları Hakkıda Çıkarımlar: Bağımlı ve Küçük veya Büyük Öreklemler Bağımlı öreklemler, her kouda k değer çıkardığımız durumlarda ortaya çıkmaktadır. Örek olarak, öğrecler mkroekoom ve makroekoom derslerdek performasları ölçmek stedğmzde her öğrec k derste aldıkları otları brde celerz. Dolayısıyla elde ettğmz öreklemler brbrlere bağımlıdır. Öğrecler k farklı derste aldıkları otlar arasıda br farklılaşma var mıydı? Bu test gerçekleştreblmek ç bu farkı aakütle ortalamasıı temsl etmek amacıyla d değşke taımlayalım. Artık test etmek stedğmz hpotez sembollerle fade edeblrz: H : d H : A Öreklem olarak seçlmş ola öğrecler mkroekoom ve makroekoom derslerde aldıkları otlar kller halde (4,44), (48,54), (55,51), (64,64), (71,7), (39,9), (57,48), (58,53), (68,61), (6,57), (5,58) olarak fade edleblr. Test gerçekleştreblmek ç öcelkle bu k ders otları arasıdak farkları hesaplaması gerekmektedr. Bu farkları alacak olursak: -, -6, 4,, 1, 1, 9, 5, 7, 3, ve -8. Sıfır hpotez reddedldğ takdrde, k ders otları arasıda br farklılık olduğu soucua varırız. Fark değerler ç öreklem ortalamasıı ve öreklem stadart sapmasıı aşağıdak gb hesaplayablrz: öreklem ortalaması ç, d d 1 d

238 ve öreklem stadart sapması ç s d d d 1 1 formüller kullaılablmektedr. Verlermz ele aldığımızda, farkları ortalama ve stadart sapma değerler aşağıdak gb hesaplayablrz: d.91, s d Aakütle ormal olarak dağıldığı varsayıldığı takdrde, aakütle ortalaması hakkıdak test gerçekleştrlrke -1 serbestlk derecesde t test kullaılmalıdır. Hpotez testde kullaılacak ola test statstğ deklem (1.11) dek gb olacaktır: t d d değer yere sıfır hpotezmz dkkate alarak statstğmz: d (1.11) sd d = değer koyduğumuz takdrde test d t (1.1) s Verlermz deklem (1.1) de yere koyduğumuzda statstk değermz: d t.91 = Hpotez testmz yapılamasıda da alaşılableceğ gb testmz çft taraflı br testtr. 1 (-1) serbestlk derecesde ve =.5 alamlılık düzeyde t krtk değermz t.5/ ; 1 =.8 dr <.8 olduğuda aakütle ortalamalarıı arasıda br fark olmadığı sıfır hpotez reddedlememektedr. Alteratf olarak p-değer de hesapladığımızda da p-değer = P(t < ) =.198 =.596 olarak buluur ve bu değer de.5 alamlılık düzeyde büyük olduğuda ye ayı souca ulaşmış oluruz. Dolayısıyla, öğrecler mkroekoom ve makroekoom otlarıda aldıkları otlar arasıda br farklılık yoktur. Aakütle Ortalamaları Arasıdak Farklar (Bağımlı Öreklemler)

239 Mkroekoom ve makroekoom derslerde öğrecler aldıkları otları farklılığıı MINITAB ortamıda test etmek stersek öcelkle mcroadmacro.mtw verset açmamız gerekmektedr. Heme akabde Stat - Basc Statstcs meüsüde Pared t (eşl t) seçeeğe tıklayıız. Şekl 1.13 Frst sample (Brc Öreklem) kutucuğua Mcro ; Secod sample (İkc Öreklem) kutucuğua Macro değşke Şekl 1.14 te görüldüğü gb atayıız. Şekl 1.14 OK tuşua bastığıızda aşağıdak çıktı ekraıı elde edeblrsz.

240 Şekl 1.15 İk Ora Hakkıda Çıkarımlar İk farklı aakütle oraları arasıdak lşk hakkıda çıkarımlarda buluablmek ç, 5 ve (1 ) 5 koşullarıı sağladığı rassal olarak seçle brbrde bağımsız k öreklem set olduğu varsayılmalıdır. Brc aakütle ç: 1= brc aakütle oraı 1 = brc öreklem boyutu x 1 = brc öreklemdek başarı sayısı x1 p 1 = = brc öreklem oraı 1 İkc aakütle ç: = kc aakütle oraı = kc öreklem boyutu x = kc öreklemdek başarı sayısı x p = = kc öreklem oraı p 1 ve p ortak oraıı taımlarsak: x x p 1 1 Ortak ora, oralar ç hpotez test gerçekleştrldğde eşt oralar varsayımı sözkousuu olduğuda k öreklem ç e y tahm edc olarak kullaılmaktadır. Eşt aakütle oralarıı eştlğ test etmek stedğmzde hpotez test aşağıdak gb oluşturablrz: H : H 1 A : 1 Veya alteratf olarak aakütle oralarıı bell br değere eşt olduğuu test etmek stedğmzde se hpotez test aşağıdak gb oluşturablrz:

241 H : H 1 A : 1 Oralar arasıdak farkı test etmek ç, öreklem statstğ (p 1 -p ) şeklde fade edeblmemz gerekmektedr. Bu bağlamda öcelkle (p 1 - p ) öreklem dağılımıı bulmamız gerekmektedr. Br öcek bölümde hatırlayacağıız üzere oralarda her br p 1 ve p bom dağılımı le dağılmaktadır. Büyük öreklem boyutlarıda bu oralar ormal olarak dağılmaktadır. büyük değerler ç ( 5 ve (1 ) 5 ) p 1 ve p herbr; 1, ortalamaları ve 1(1 1) (1 ), varyasları le ormal olarak dağılmaktadırlar. 1 Öreklem oraları arasıdak fark (p 1 - p ), p (1 ) N1, 1 p (1 ) N, E( p p ) 1 1 ortalaması 1 1 var( p1 p) p1 p p 1 p 1 ve varyası le ormal olarak dağılmaktadır. 1 1 Dolayısıyla, ( p1 p) N 1, 1 Deklem (1.1) dek geel yapıyı ele alacak olursak, testte kullaılacak ola z-skoruu formülü deklem (1.13) tek gbdr: z ( p p ) (1.13) 1 ve aakütle oraları blmedğde, bu parametreler yere öreklem tahmler ola p 1 ve p kullaılmaktadır. Dolayısıyla deklem (1.13) aşağıdak gb olmaktadır. z ( p p ) p p p p (1.14)

242 Güve aralığı se aşağıdak gb hesaplamaktadır. 1 1 ( p p ) p p p p z / 1 (1.15) Aşağıdak gb hpotezler test edeblmek ç: H : veya H 1 1 A : veya 1 1 H : veya H 1 1 A : veya 1 1 H : veya H 1 1 A : veya 1 1 değer a eşt olduğu varsayıldığıda, her k aakütle oraları 1, eşt olmaktadır. Dolayısıyla deklem (1.13) 1 eştlğ kullaılarak aşağıdak skoru elde edeblrz. z ( p1 p) ( p1 p) = (1 ) 1 1 Fakat değer blmedğmzde bu değer yere bu değer ortak tahm edcs p y kullaırız: z ( p1 p) ( p 1 p) 1 p1 p p1 p 1 1 p(1 p) 1 1 (1.16) x x p 1 1 Örek 1.7: Frmamız üretm parkı ç alacağı makaı seçmde k farklı markaya sahp maka arasıda kararsız kalmıştır. Her k makaı üretm güvelrllğ ç her makaı ürettğ mallarda adet öreklem seçlmştr. Brc makaı üretmş olduğu mallarda 9 u, kc makaı üretmş olduğu mallarda 14 taes defoludur. Her k makaı defoluluk oraları arasıda br farklılık olup olmadığıı test edz? Fark olup olmadığı le alakalı ola sıfır ve alteratf testlermz oluşturacak olursak:

243 H : = H 1 A : 1 alamlılık düzey de =.5 olarak alıp, ortak oraı hesaplayalım p : p x x Hesapladığımız ortak ora değer deklem (1.16) da yere koyacak olursak, z statstk skoruu aşağıdak gb hesaplayablrz: z (.45.7) = Şmd se elde ettğmz z statstk skoruu, z statstk tablosuda elde ettğmz z krtk değer (- z.5/ = -1.96) le karşılaştırmamız gerekmektedr. z-statstk skoru >- z / olduğuda her k makaı defoluluk oralarıı arasıda br fark olmadığı sıfır hpotez reddederz. Güve aralığıı hesaplamak ç, p 1 = 9/ =.45 ve p =14/ =.7 değerler deklem (1.15) te kullamamız gerekmektedr (.45.7) 1.96 Dolayısıyla güve aralığı aşağıdak gb buluablr ;.

244 İk Ora Hakkıda MINITAB ortamıda örek 1.7 y uygulamak ç öcelkle Stat-Basc statstcs meüsüde proportos seçeeğe tıklayıız. Şekl 1.16 Karşııza çıkacak ola dyalog ekraıda Summarzed data (Özetlemş ver) seçeeğe tıkladıkta sora, Trals (Deeme Sayısı) kutucuğua, Successes (Başarı) kutucuğua brc öreklem ç 9, kc öreklem ç 14 değer grz. Şekl 1.17 Daha sora Optos tuşuu kullaarak Used pooled estmate of p for test (p ortak oraıı kulla) seçeeğ aktf hale getrz.

245 Şekl 1.18 OK tuşua basarak aakütle dyalog ekraıa döüp, aa ekrada da OK tuşua bastığıızda stedğmz çıktı ekraıı elde ederz. Şekl 1.19

246 Bölüm 11: Uyum veya Bağımlılık Testler Grş Bu bölüme kadar hep sayısal verlerle alakalı ola testler ele aldık. Bu bölümde se kategork verler kullaıldığı testler asıl yapıldığıı celeyeceğz. Kategork verler, sayısal olmaya farklı hücrelere göre grupladırıldığıda baze tel verler olarak da adladırılablrler. Kategork verlerde oluşa tablolara koteja tablosu adı altıda Bölüm 4 te braz değmştk. K-Kare Dağılımı ve Uyum Bağımlılığı Testler K-kare dağılımı, bell kategorlerde yer ala gözlee veya gerçek gözlem değerler, tahm edlmş veya beklee değerlerle karşılaştırılmasıı testlerde kullaılır. Uyum bağımlılığı test se gözlee frekas değerler le beklee frekas değerler arasıdak farklılaşmalara odaklamıştır. Beklee ve gözlee frekas değerler arasıdak büyük farklar, kategorler brbrde bağımsız olduğu hpotez kuvvetledrmektedr. K-kare test, gözlee frekas değerlerde meydaa gele farklılıkları alamlı olup olmadığıı test etme çabasıdadır. Gözlee frekasları, ble dağılımlara uyumuu celedğde dolayi ayı zamada uyum bağımlılığı test delmektedr. Uyum bağımlılığı test test statstğ aşağıdak gbdr: c 1 f e f : kategorsdek gözlee frekas değer, e : kategorsdek beklee frekas değer, (sıfır hpotez doğru olduğu baz alımıştır) c : kategor sayısı e (11.1) Test statstğ serbestlk dereces (c-1) dr ve k-kare dağılımıa sahptr. K-kare test gerçekleştrlrke aşağıdak adımlar zler: 1. Sıfır hpotez oluşturuuz.. tae gözlemde oluşa rassal öreklem kullaarak, her c kategorsde yer ala gözlee frekasları kaydedz. 3. Sıfır hpotez doğru olduğu varsayımı altıda, her c kategorse dek gele olasılığı veya oraı hesaplayıız. 4. Üçücü adımda hesapladığımız kategor oralarıı kullaarak beklee frekas değerler hesaplayıız. 5. K-kare test değer hesaplamak ç daha öcek adımlarda hesapladığımız gözlee ve beklee frekas değerler hesaplayıız.. 6. Reddetme kuralı ç aşağıdak krtk kuralı kullaıız:

247 Eğer, c 1 se, H hpotez reddedlr. ( alamlılık düzey göstermektedr) Örek Geçtğmz yılda brbre rakp ola üç perakede frmasıı (Mgros, Tesco, Gma) pyasa payları aşağıdak gbdr: Tesco u pyasadak payı (PT olarak fade edelm).4, Mgros u pyadak payı (PM olarak fade edelm).4, ve Gma ı pyasadak payı (PG olarak fade edelm) se. dr. Pyasa paylarıı açıklamasıda sora Gma yöetcler, pyasa paylarıı arttırmak ç drm yapa ve takst yapma mkaı taıya br kred kartı pyasaya sürmeye karar verr. Bu uygulamaı, Gma ı pyasa payıı arttırıp arttırmayacağıı öğremek ç Gma yöetm tüketcy kapsayacak br aket hazırlatmıştır. Acaba ye kart uygulaması Gma ı pyasa payıa br katkıda buluacak mı? Sıfır ve alteratf hpotezler oluşturacak olursak (adım (1)): H : PT =.4; PM =.4; PG =.: H : Aakütle oraları sıfır hpotezdek değerlere eşt olmadığı durum A Aket souçlarıa göre, 75 kş Tesco da alışverş yaparke, 71 kş Mgros ta, 54 kş se Gma da alışverş yapmaktadır (adım ()). Eğer sıfır hpotez doğru se (pyasa payları değşmemşse), 8 kş Tesco da ( e 1 =.4 = 8), 8 kş Mgros ta ( e =.4 = 8), ve 4 kşde Gma da ( e 3 =. = 4) alışverş etmes beklerz. (adım (3) ve (4)). Brc adımı kullaarak test statstğmz yazacak olursak (adım (5)): = 6.5 Üç farklı kategor buluduğuda (c = 3), k-kare dağılımı c - 1 veya serbestlk dereces le dağılmaktadır. Şmd se k-kare tablosuu kullaarak, =.5 alamlılık düzey ve serbestlk derecese tekabül ede krtk değer bulmamız gerekmektedr. Bulduğumuz k-kare krtk değer.5; = 5.99 olduğuda ve k-kare statstk değer ola 6.5 te küçük olduğuda sıfır hpotezmz reddetmemz gerekmektedr. Böylelkle, Gma ı pyasaya sürmey düşüdüğü kart sayesde pyasa payıda br değşklk meydaa gelecektr, soucua varılır (adım (6)). K-kare Dağılımı ve Bağımsızlık Testler Bu durumda se k kategork değşke arasıda br lşk olup olmadığıı (brbrde bağımsız olup olmadığıı) test ederz. Bağımsızlık test test statstğ deklem (1) e çok bezemektedr. Fakat bu durumda k farklı değşke olduğuda dolayı, r kategor br değşke ç, c kategorde br değşke ç yeralmaktadır. Bu durum Bölüm 4 te celedğmz koteja tabloları kousua çok bezemektedr. Gözlee ve beklee frekaslara dayalı değer hesaplamak ç:

248 r c f j ej 1 j1 e j (11.) Test statstğmz, (r-1)(c-1) serbestlk dereces le k-kare dağılımıa sahptr. Hpotez test ger kala adımlarıda br değşklk yoktur. Örek Şmd bağımsızlık test br örek le celemeye çalışalım. Öcelkle, poltk br aket düzeleyelm ve bu aketle üç aa syas part oylarıı dağılımıda saları terchler csyetlerde bağımsız olup olmadığıı araştıralım. Bu amacımızı statstksel olarak sıfır hpotez ve alteratf hpotez kavramlarıı göz öüde buludurarak aşağıdak gb oluşturablrz: H : Seçm terchler saları csyetlerde bağımsızdır H : Seçm terchler saları csyetlerde bağımsız değldr: A 15 kşlk rassal br şeklde potasyel oy verecek seçmelerde oluşa br aket yapıldığıı düşüelm. Bu aket hakkıdak blg Tablo 11.1 de özetlemştr. Tabloyu celeyecek olursak; 3 sütu saları oy vermey düşüdükler part türü hakkıda, k satır se akete katıla saları csyet hakkıda bze blg vermektedr. Bua bağlı olarak brc satır kc sütudak 5 sayısı bze, sağ eğlmde ola br partye kaç tae erkeğ oy vereceğ göstermektedr. Tablo 11.1: Csyete göre seçme gözlee oy frekasları Sosyal Demokrat Sağ Eğlm Merkez Toplam Erkek Baya Toplam Tablo 11.1, kategorlere at altı ( 3) sııfı gözlee frekaslarıı çermektedr. Ayı zamada bu tablo bütü potesyel oy terchler ve csyet kombasyolarıı veya bütü kotejaları lsteleye br tablodur. Bu yüzde bu tarz tablolar Bölüm 4 te de değdğmz gb koteja tabloları da delr. Aalzmz temel oktası oy terchler le csyet bağımsız olduğu varsayımı altıda beklee frekasları belrlemektr. Beklee frekaslarda kastımız, sıfır hpotezmz bağımsızlığı (oy terchler le csyet brbrde bağımsız se) gerçekte doğru olduğuda karşımıza çıkacak ola frekas değerlerdr. Uyum veya bağımlılık test, gözlee frekaslarla beklee frekasları arasıdak farka odaklaır. Gözlee ve beklee değerler arasıdak büyük farklılıklar elmzdek çıktıları doğru olup olmadığıa dar şüphe uyadırır. Bu farklılıkları statstksel olarak alamlı olup olmadığıı araştıra teste k-kare test der (t veya Z gb br olasılık dağılımıdır). Bu test geel olarak uyumluluk test olarak da fade edlr. Bu test gözlee ve beklee değerler arasıda alamlı br fark olup olmadığıı belrlemeye yaraya br testtr. Bu test gerçekleştrmek ç gerekl ola adımlar: 1. Sıfır hpotezde yerala oy terchler le csyet brbrde bağımsız olduğu doğru olarak varsayılır.

249 . Öreklemdek toplamlar ve her partye toplam oy verlme olasılıkları (csyet dkkate almada) hesaplaır. Mesela, Sosyal Demokratları oy alma olasılığı 5/15 = 1/3 tür. Bağımsızlık varsayımı altıda bulduğumuzu beklee frekas olarak ot ederz. Öreğmzde olduğu gb Sosyal Demokratlara oy vere 5 sa olduğuda, eğer csyet öeml değlse erkek veya baya saları bu partye oy verme olasılıkları 1/3 tür. Sağ eğlmdek br part ç se 6/15 = 6/15, ve merkez kesme at br part olasılığı se 4/15 = 4/15 tr. [Olasılık toplamlarıa dkkat edz 1/3 +6/15 + 4/15 = 1]. 3. Eğer bağımsızlık varsayımı geçerl se (. ) maddede hesaplaa oralar da her k csyet grubu ç de geçerl olmalıdır. Eğer oy terchler csyette bağımsız se, bu oraları kullaarak, her kategor ç beklee frekasları hesaplayablrz.. Öreğ, oy terchler le csyet bağımsız olduğu varsayımı altıda, Sosyal Demokratlara oy vere erkekler sayısı öreklemmzde 75 erkek olduğuda, (1/3) 75 = 5 tr. Bezer şeklde Sosyal Demokratlara oy vere bayaları sayısı öreklemmzde 75 baya olduğuda (1=3) 75 = 5 tr. 4. (3.) maddede yapıla hesaplamalara dayaılarak beklee frekas değe ler ç koteja tablosu oluşturulur. 5. Bağımsızlığı test etmek ç k-kare dağılımı kullaılır. Öreğmzde br sorak adıma geçmede bell otasyoları taımlayalım. f j : satırıda ve j sütüuda gözlee frekas değer fade ets. Öreğmzde yola çıkarak = 1; ve j = 1; ; 3. Tablodak f 1 eşt olduğu değer 5 tr. e j : satırıda ve j sütüuda beklee frekas değer fade ets. Öreğmzde yola çıkarak = 1; ve j = 1; ; 3. Bu frekasları rakamları yukarıda kc maddede hesaplamıştır. Tablodak hesaplaa e 11 = 5 ve e 1= 5tr. Şmd brc satır ve kc sütua at ola beklee frekas değer hesaplayalım.bağımsızlık varsayımı altıda bu değer daha öcede bulduğumuz (6/15) oraıı sayısı( bu da o satırı toplamıa tekabül eder ) le çarparak buluur: Geel termlerle: e e e , e , e , e Toplam Satır ej Toplam Sütu Öreklem Boyutu

250 e 1 ç yaptığımız hesaplamayı braz daha gelştrelm ve üstü le alttak oraları öreklem boyutu le çarparsak fade de br değşklk olmaz. e Aslıda bu fade marjal olasılıkları öreklem boyutu le çarpımıda başka br şey değldr. 75/15 rassal olarak seçle öreklemmzde erkek gelme olasılığı ke 6/15 se rassal olarak seçle öreklemmzde sağ eğlm partse oy verme olasılığıdır. Eğer k olay brbrde bağımsız se (k bz öyle varsaydık), erkek br sağ eğlm parts mesubuu brleşk olasığı ked marjal olasılıklarıı çarpımıa eşttr. Tabk bz bu hesabı bağımsızlık varsayımı altıda yapmış buluuyoruz. Eğer brleşk olasılığı öreklem boyutu le çarparsak (öreğmze göre 15) her hücreye at beklee frekas değerler hesaplamış oluruz. Beklee frekaslar sıfır hpotez bağımsızlığı varsayımı altıda hesapladığıda dolayı k-kare bu test gerçekleştrmek ç kullamamız gereke metodtur. Bu da bze sıfır hpotez geçerllğ hakkıda fkr verecektr. Geel termlerle fade edle deklem kullaarak beklee frekaslar ç koteja tablosuu oluşturalım: Tablo 11.: Csyete göre seçme beklee oy frekaslar Sosyal Sağ Eğlm Merkez Toplam Demokrat Erkek Baya Toplam Artık k-kare test gerçekleştrmek ç elmzde yeterce blg bulumaktadır. Bu test matığıa göre; eğer 11. de hesaplaa beklee frekas değerler 11.1 de hesaplaa gözlee frekas değerlere yeterce yakısa bu farklılık öreklem dalgalamasıda kayaklamaktadır. Dolayısıyla sıfır hpotezmz ( bağımsızlık ) doğrudur. Aks takdrde se sıfır hpotezmz reddederz. test statstğ beklee ve gözlee frekaslar arasıdak farkları kareler alıp toplayıp herbr ked beklee frekaslarıa bölüerek hesaplaır Bu hesaplamaları yapmak zama aldığıda dolayı bz sadece p-değere bakarak sıfır hpotez doğruluğuu test edeblrz. Tablo 11.1 dek verler yer aldığı k_kare.mtw Mtab çalışma sayfasıı açıız. Daha sora Stat (statstk) meüsüde Tables (tablolar) ı seçp Ch-square test (k-kare test) seçeeğe tıklayıız.

251 Şekl 11.1 Karşııza çıka dyalog ekraıda, Sol Eğlm, Sağ Eğlm ve Merkez Eğlme at ola değşkeler seçz. Şekl 11. OK tuşua bastığıızda Şekl 11.3 tek çıktıyı elde edeblrsz.

252 Şekl 11.3 P-değer,.5 ola alamlılık düzeyde küçük olduğuda dolayı sıfır hpotezmz reddederz. Dolayısıyla csyet le oy terchler brbrde bağımsız olmadığı soucua varırız. Br başka deyşle csyet oy terchler br belrleycsdr.

253 Bölüm 1 İk veya daha fazla Aakütle ç Hpotez Testler: Varyas Aalz (ANOVA) ve F-Dağılımı Daha öcek bölümlerde, hpotez test matığıı, tek br aakütle parametres asıl test edeceğmz, k aakütle parametres asıl test edeceğmz öğremştk. Pek karşımıza kde daha fazla aakütle parametres farkı le alakalı br test çıkarsa e yapacağız? Bu soruu cevabıı vereblmemz ç öcelkle bu bölümü btrmemz gerekmektedr. Şmd gerekl ola hpotez test asıl uygulayacağımızı öğreelm. Daha öcek bölümlerde k aakütle ortalaması arasıdak eştlğ aşağıdak gb test edyorduk: H : H 1 A : 1 Acak buradak test prosedürümüze kde daha fazla aakütle ortalamasıı eklemes gerekmektedr. Bua bağlı olarak sıfır ve alteratf hpotezler aşağıdak gb değşr: H : H : e az br dğerlerde farklıdır A Sıfır hpotezmz aakütle ortalamalarıı heps brbre eşt olduğu, alteratf hpotez se bu aakütle ortalamalarıda e az br farklı olduğuu göstermektedr. Kouyu braz daha açıklamak amacıyla br örek verelm. Brc döemde, Blg Üverstes Ekoom Bölümü e 6 tae öğrec, 3 farklı zorulu derse kayıt olmuştur. Öğrecler bu derslerdek başarıları bu derslerde alacakları fal otua göre değerledrlecektr. Bütü öğrecler br derse at fal otları rassal olarak değşerek dağılmaktadır. Her ders ortalama otu aakütle ortalaması olsu ve bua bağlı olarak da 3 farklı ders ortalama otları ayı öğreclere at olduklarıda brbr le alakalıdır. Bz burada bu ortalama otlar arasıda br fark olup olmadığı le lgleeceğz. Eğer bu brbr le alakalı aakütle parametler arasıda br fark varsa bu farkı ede e olablr? Aakütle parametreler arasıda fark oluşmasıa sebep te kl ede br faktör vardır. ANOVA bu faktörü aakütle ortalamaları üzerde e kadar etkl olup olmadığıı test eder. Az öcek öreğmzde de dersler zorluğuu ( faktör ) öğrecler ba arıları veya aldıkları fal otları üzerde br etks olup olmadığıı rdeledk. Faktör etks test etmek ç öcelkle öreklem vers elde etmelyz. Çükü bzm elmzde aakütler verler yoktur (bütü düyadak ekoom öğrecler otları). Şmd gerekl very elde ettğmz ve aşağıdak şeklde orgaze ettğmz düşüelm. Bu tablo şu şeklde değerledrlmeldr: gözlemlermz üç dersde ayı zamada ala br öğrecye tekabül etmekte ve derslere at her hücredek rakamlar se öğrec bu derslerde aldıkları fal otlarıı göstermektedr. Bazı öğrecler bazı derslere at fal otları olmadığıda o hücreler boş bırakılmıştı Gözlem/Ders Ekoom İşletme Matematk

254 Toplam Öreklem Otalaması x1 4/ 4 56 x 31/ 5 6 x3 15/ 3 5 ( x ) Öreklem ortalamaları yukarıdak tabloda da alaşılacağı üzere brbrde farklıdır. Pek bu farkı yarata ede e olablr? Bu soruu k olası cevabı olablr: Faktör Etks: Farklı zorluk düzeyler, bu grupları ortalamaları arasıdak farkı temelde yata etmedr. Matematk e zor derstr, bu yüzde bu ders öreklem ortalaması dğer derslerde daha düşüktür. Ayı yaklaşım dersler aakütle ortalamaları ç de geçerldr. Öreklem Dalgalaması : Öğrec otları değşkedr, bu yüzde rassal olarak öreklem seçtğmzde İşletme gözlemler ortalaması, Matematk gözlemler ortalamasıa orala daha yüksek olur. Bu rassal seçm öreklem ortalamaları arasıdak farklılaşmaı kayağıdır ama burada aakütle ortalamalarıı da brbrde farklı olduğu alamı çıkarılmamalıdır. Öreklem dağılımı öreklem ortalamalarıı arasıda fark oluşmasıı öeml br ede olmasıa rağme, faktör etks de öreklem ortalamaları arasıdak farklılaşmaı artmasıa ede olur. Faktör etks olup olmadığıı alamak ç öcelkle deklk şartı le başlarız. Ya, bütü grupları ayı aakütle ortalamasıa sahp olduğuu ve faktör etks olmadığıı varsayarız. Daha sora öreklemlermz seçer ve bu varsayımımızı e kadar doğru olup olmadığıı test ederz. Bu hpotezler öreğmze uygulayacak olursak: H : 1 3 H : e az br dğerlerde farklıdır A Şmd hpotezler asıl test edebleceğm öğreelm. Hpotezlermz test ederke öcelkle çok öeml br varsayımda bulumamız gerekmektedr. Bu varsayım, her üç grubu varyaslarııda brbre eşt olduğu, ortak br varyasları olduğu varsayımıdır ( 1 3 ). Ortak varyas tahm edcs aşağıdak formülü kullaarak hesaplayablrz. c x j X 1 j1 T 1 Formülümüzde yerala T, toplam gözlem sayısıı, se her sütuda (her grupta) yer ala toplam gözlem sayısıı fade ederke c se grup sayısıı (veya sütu sayısıı) fade etmektedr. X se geel ortalamayı göstermektedr. Tablomuzda yer ala 1 ver geel ortalamasıı hesaplayacak olursak: X

255 tahm edcs payıda yer ala fade verde meydaa gele toplam farklılaşmayı göstermektedr. Bu farklılaşmayı aşağıdak gb k parça halde yazalım: c c c xj X x X xj x 1 j1 1 1 j1 TKT GAKT GİKT TKT : Toplam Kareler Toplamı, verlerde meydaa gele toplam farklılaşmayı göstermektedr. GAKT : Gruplar Arası Kareler Toplamı, gruplar arasıda oluşa farklılaşmayı göstermektedr. GİKT: Gruplar İç Kareler Toplamı, grupları çersde meydaa gele farklılaşmayı göstermektedr. Gruplar Arası Farklılaşma (GAKT) Öreklem dalgalamasıda kayaklaa farklılıklar, ver farklılaşması le doğruda alakalıdır. Eğer gözlemler geş br dağılıma sahpse, seçlme şasıa gore bazı gruplarda büyük öreklem gözlemler yer alırke, bazı gruplarda da küçük öreklem gözlemler yeralır. Eğer gözlemler dağılımı daha dar se, öreklem değerler brbrlere yakıdır dolayısıyla grup ortalamaları arasıda öeml farklara rastlamayız. Öcelkle gruplar arasıdak farklılaşmayı ölçelm. Bu ölçümü gerçekleştrmek ç, 1. Geel ortalamayı ( X ) hesaplayıız (hag grupta yer aldığıa bakılmaksızı bütü verler ortalamasıdır). x X.. Her Grup ortalamasıı geel ortalamada sapmasıı hesaplayıız 3. Bu sapmaları kareler alıız x X. 4. Kareler alımış bu sapma değerler her gruba at ola öreklem boyutu ( j ) le çarpıız. 5. Gruplar arası kareler toplamıı (GAKT) hesaplamak ç br öcek maddede hesapladığıız değerler toplayıız x X. 6. Hesapladığımız GAKT değer, (c -1) serbestlk derecese bölersek, Gruplar Arası Ortalama Kare (GAOK) değer elde ederz: GAKT GAOK c 1 Öreğmzdek GAOK değer hesaplamak ç yukarıda belrttğmz prosedürü zlersek: GAOK Eğer sıfır hpotez doğru se, üç grup ç sadece ortak br ortalama olmalıdır ( 1 3 ), dolayısıyla GAKT ve tab GAOK değerler çok küçük mktarlarda olması bekler. Çükü her ( -1) serbestlk dereces matığıda yola çıkarak, gb c tae grup ortalaması olduğuda serbestlk dereces (c 1) olmaktadır.

256 grup ortalamasıı tahm edcs ( x 1, x, x 3 ) le geel ortalamaı ( X ) tahm edcs arasıdak farklılaşma sadece öreklem dalgalamasıda meydaa gelecektr. Gruplar İç Farklılaşma (GİKT) Gruplar arası farklılaşmaya bezer br şeklde, gruplar ç farklılaşmayı da aşağıdak adımları zleyerek hesaplayablrz: 1. Gözlemler ked grup ortalamalarıda sapmasıı hesaplayıız ( xj x ).. Bu sapmaları kares alıız x j X. 3. Kareler aldığımız sapma değerler toplayıız x j x j. Elde etmş olduğumuz değer br grubu çdek farklılaşma değerdr. Gruplar çdek toplam farklılaşmayı elde etmek ç: 4. Her grup ç x j x değerler toplayıız. (GİKT = x j x j c ). 1 j1 5. Hesapladığımız GİKT değer, (N -c) serbestlk derecese 1 bölersek, Gruplar İç Ortalama Kare (GİOK) değer elde ederz: GİOK GİKT N c Öreğmzdek verler kullaarak GİOK değer hesaplayalım: GİOK Daha öce de bahsettğmz gb eğer sıfır hpotez doğru se, GAKT değer küçük br farklılaşma göstereceğ bekledğmz söylemştk. Bu şartlar altıda verde meydaa gele farklılaşmaı tamamıı GİKT değerde geldğ gözükmektedr. Dolayısıyla sıfır hpotez ölçümü bu değerler karşılaştırılması le gerçekleştrleblr. Bu k temel term GAOK le GİOK oralayarak ve bu oraa da F-statstğ adıı vererek karşılaştırablrz. GAOK F GİOK Eğer sıfır hpotez doğru se, F statstk değer küçük çıkmasıı beklerz (küçük GAOK ve büyük GİOK değerde dolayı). Eğer sıfır hpotez doğru değlse, tam ters beklerz. Öreğmzdek verlere at F statstk değer: Aslıda bu serbestlk dereces her grubu ked serbestlk dereceler toplamıdır: c tae grubumuz olduğuda, bu grupları serbestlk dereceler toplamı [( 1 1) + ( 1) +( 3 1) + + ( 4 1) = (N - c)] değere eşt olur. N burada bütü değerler toplamıı fade etmektedr. İk öreklem varyasıı oraı F-dağılımı olarak dağılır. Bu yüzde bu oraa F oraı delmektedr ve bu dağılımı kullaarak k veya daha fazla aakütle arasıdak farklılıkları test edeblrz.

257 138 F F statstk değer büyük br değer olduğuda, aakütle parametreler üzerde faktör etksde bahsedeblrz. Pek faktör etksde bahsedeblmek ç F-statstk değer e kadar büyük olması gerekmektedr? Bu soruu cevabıı bulablmek ç F dağılımı tablosuda elde edlecek ola F krtk değer bulmamız gerekmektedr. GAOK ç serbestlk dereces (c - 1) ve GİOK ç serbestlk dereces (T - c) ke, bu serbestlk derecelerde brcs paya kcs paydaya attr. Bu serbestlk derecelerde yararlaarak F dağılımı tablosuda F krtk değer bulablrz ve bulduğumuz bu F krtk değer, F statstk değer le karşılaştırarak faktör etksde bahsedeblrz veya bahsedemeyz. Kuralımızı tekrar hatırlayacak olursak: Eğer Fstatstk > F, c 1, T c se H hpotezmz redederz ye burada alamlılık düzey göstermektedr. Alteratf olark p-değer kuralıı uygulayablrz. MINITAB programıı kullaarak, faktör etks ortaya çıkarmak ç yaptığımız şlemler çok daha kısa br sürede gerçekleştreblrz. Öcelkle aşağıdak gb öreklem verlermz grz: Şekl 1.1 Stat (statstk) meüsüde ANOVA ya tıklayıp, Oe Way (Ustacked) (tek yölü ANOVA) seçeeğe basıız.

258 Şekl 1. Şekl 1.3 Karşııza çıkacak ola dyalog ekraıda verler grdğz sütuları seçp OK tuşua basıız. Bütü bu şlemler soucuda MINITAB bze şekl 1.4 tek çıktıyı verecektr.

259 Şekl 1.4 Bu çıktıda faydalaarak hpotez testmz soucu bulablrz. Hpotezmz test edeblmek ç daha öcek bölümlerde de kulladığımız p-değer kullaalım. Çıktımızdak p-değer.97 dr. Eğer alamlılık düzey.5 olarak alırsak, sıfır hpotezmz ( H ) reddetmeyz. Bu da bze öreklem vers faktör etks tam olarak yasıtmak ç yeterl olmadığıı gösterr. Alteratf olarak alamlılık düzey yüzde 1 olarak alırsak sıfır hpotez reddederz ve faktör etks olduğu soucua varırız. Varyas aalz, kde çok ortalamaı karşılaştırılması gereke alalarda uygulaable öeml br metottur. Öreğ tarım sektörüde, ayı tarım alalarıa uygulaa farklı tarım yötemler ortalama olarak alıa ürüler üzerdek etklğ araştırablrz. Veya br araba üzerde deee farklı motor yağlarıı, arabaı hızı üzere ola ortalama etks araştırablrz.

260 Bölüm 13: Bast Korelasyo Grş Bu bölümde, değşkeler arasıdak lşk mktarıı celeyerek, bu lşk kuvvet üzerde duracağız. Tüm buları gerçekleştreblmemz ç öcelkle öreklem kovaryası ve bast doğrusal korelasyo katsayısı kavramlarıı taımlamamız gerekmektedr. Kovaryas ve Doğrusal Korelasyo Katsayısı Bazı durumlarda araştırmacılar k değşke arasıdak lşk şddet blmeye htyaç duyarlar. Korelasyo aalz bu htyacı karşılayacak e öeml araçlarda brdr. Korelasyo aalz, k değşke arasıdak edesellkte zyade, bu lşk kuvvet celemeye yöelktr. Doğal olarak bu aalz doğrusal lşkler baz alıdığıda çok faydalı olmaktadır. Fakat, doğrusal olmaya lşkler celemesde çok fazla başarı oraı bekleemez. Aakütke kovaryasıı (aakütle boyutu N olmak üzere) aşağıdak gb hesaplayablrz: XY N X X Y Y 1 Öreklem kovaryasıı se aşağıdak hesaplayablrz N (13.1) s XY X X Y Y 1 1 (13.) Bu formülde her X gözlem kedse tekabül ede Y gözlem le eşleşmştr. Kovaryası büyüklüğü, gözlemler ölçüm brmlerde etklemektedr. Aalzmz daha etk br şeklde yapablmek ç bu etky ortada kaldırmamız gerekmektedr. İşte Pearso korelasyo katsayısı bu problemmze br çözüm getrmektedr. Pearso korelasyo katsayısı öreklem verler ç aşağıdak gb hesaplamaktadır: sxy rxy (13.3) s s r XY s XY X = öreklem korelasyo katsayısı = öreklem kovaryası s = X değşke öreklem stadart sapması s Y = Y değşke öreklem stadart sapması Değşkeler stadart sapmalarıı hatırlayalım X Y s X ( X X ) ( Y Y ) 1 1 ve sy 1 1 Dolayısıyla Pearso korelasyo katsayısıı tekrar fade edecek olursak

261 r XY 1 ( X X ) Y Y / 1 ( X X ) ( Y Y ) (13.4) Deklem 13.4 te ölçüm brm stadardze edlmştr ve kovaryasta karşılaştığımız bu soru ortada kalkmıştır. Boyutu N ola br aakütleye at Pearso korelasyo katsayısı aşağıdak gb hesaplamaktadır: XY XY (13.5) X Y XY = aakütle korelasyo katsayısı = aakütle kovaryası XY = X değşke aakütle stadart sapması X = Y değşke aakütle stadart sapması Y Şmd bu korelasyo aalz br örek le celeyelm. Tablo 13.1 dek verler bell br mala ola talep le fyatları göstermektedr. Tablo 13.1 Fyat Talep X değşke fyatları, Y değşke se taleb temsl etmektedr. X se = 1 de 1 a kadar ola fyatlar arasıda. fyatı temsl ederke; Y, = 1 de 1 a kadar ola talep mktarları arasıda. talep mktarıı göstermektedr. X, fyatları öreklem ortalamasıı temsl ederke; Y talep edle mktarı öreklem ortalamasıı göstermektedr. Özet statstk değerler aşağıdak gbdr:

262 X 5.5, s 3.8 X Y 89.15, s 7.95 Ortalama fyat düzey 5.5 ke, ortalama talep mktarı tr. İlk etapta bu k değşke arasıdak korelasyo celerke e faydalı metodlarda br scatter dyagramı çzmektedr. Şekl 13.1 de, X eksede fyat yer alırke, Y eksede talep mktarı yeralmaktadır. Şeklde yer ala o tae okta, fyat ve talep kombasyolarıı göstermektedr. Açık br şeklde bu oktaları br paterde dağıldığı, rastgele dağılmadıkları gözükmektedr. Fyatlar artıca talep mktarıı düştüğü gözlemektedr. Y Şekl 13.1 Fyat ve Talep Mktarıı Scatter Dyagramı Şmd deklem (13.) pay kısmıa ger döelm ve paya odaklaalım: X X Y Y :.... Eğer X X ve Y Y se X X Y Y I Durum Eğer X X ve Y Y se X X Y Y II Durum Eğer X X ve Y Y se X X Y Y III Durum Eğer X X ve Y Y se X X Y Y IV Durum

263 DEMAND PRICE Şekl 13. Fyat ve Talep Mktarıı Scatter Dyagramı (Bölgelere Göre) Şekl 13. de yer ala dkey doğru, X değerler ortalaması (5.5) tarafıda belrlerke, yatay doğru se Y değerler ortalaması (89.15) tarafıda belrler. Şmd braz öce bahsettğmz dört farklı durumu şekl 13. y de kullaarak celeyelm. Kuzeydoğu bölgesde bulua oktalar brc durumu temsl ederler. Güeydoğu bölgesde bulua oktalar dördücü durumu temsl ederler. Güeybatı bölgesde bulua oktalar üçücü durumu temsl ederler. Kuzeybatı bölgesde bulua oktalar kc durumu temsl ederler. Şekl 13.1 de de açıkça görüldüğü gb oktaları çoğu kuzeybatı ve güeydoğu bölgelerde toplamıştır. Bu bölgelerde kc ve dördücü durum sözkousu olduğuda, X X Y Y egatf br değer alacaktır ve buda bze X ve Y deklem (13.) pay kısmı değşkeler arasıda egatf br lşk olduğuu gösterecektr. Bulgumuzu, aşağıdak gb öreklem kovaryasıı hesaplayarak teyd edelm: s XY 1 X X Y Y Öreklem kovaryasıı sayısal değer ölçüm brmlerde etkledğde böyle büyük çıkablr. Ama şaret egatf olması bze X ve Y değşkeler arasıda egatf br lşk olduğuu göstermektedr. Pek bu lşk şddet adr? Bu soruu cevabıı alablmek ç öcelkle öreklem kovaryas değer değşkeler stadart sapmalarıa bölüerek stadardze edlmes gerekmektedr: r XY sxy s s X Y

264 Hesaplamış olduğumuz öreklem korelasyo katsayısı, fyat ve talep mktarı arasıda kuvvetk br şeklde egatf br lşk olduğuu göstermektedr. Korelasyo katsayısı -1 le 1 arasıda değerler alablmektedr. Öreklem korelasyo katsayısıı +1 olması değşkeler arasıda tam poztf lşk olduğuu, -1 olması se tam egatf lşk olduğuu göstermektedr. Korelasyo katsayısıı statstksel alamlılık teste daha lerleye bölümlerde değlecektr. Bast Doğrusal Korelasyo Katsayısıa Alteratf br Yaklaşım X değşke, br ürüü Cuma geceler televzyoda yayımlaa reklam sayısıı, ve Y değşke de bu ürüü Cumartes güler ola satış mktarıı ($ ) temsl ettğ varsayalım. Bu örekte, her k değşke ç de sadece yed gözlem yeralmaktadır. Tablo 13.: Öreklem Kovaryasıı Hesaplaması X Y X X X Y Y XY X X Y Y Elmzdek verlerde, X = 1/7 = 3 ve Y = 175/7 = 5, ayrıca toplam ( X X) değer 18, toplam ( Y Y) değer olarak hesaplayablrz. Bulduğumuz souçları deklem (13.) de kullaacak olursak: s XY ( X X )( Y Y ) (13.6) Kovaryas term reklamlar le satışlar arasıda kuvvetl br poztf lşk olduğuu göstermektedr. X değşke reklam sayısı csde ölçülürke, Y değşke ödele dolar csde ölçüldüğü ç ye kovaryas termmz boyu ölçü brmlerde etklemektedr. Bu soruu aşılması ç daha öcede bahsettğmz gb bu term stadardze olması gerekmektedr. Hatırlaacağı gb bu stadardzasyou sağlamamızda yardımcı ola e öeml araç Pearso korelasyo katsayısı d: r XY = öreklem korelasyo katsayısı s = öreklem kovaryası XY s = X öreklem stadart sapması X r XY sxy s s X Y

265 s Y = Y öreklem stadart sapması X ve Y değşkeler stadart sapmaları: s X ( X X) s Y ( Y Y) Dolayısıyla Pearso öreklem korelasyo katsayısıı aşağıdak gb hesaplayablrz: r XY sxy s s X Y Tahm edlmş ola öreklem korelasyo katsayısı.854 bze Cuma güü ola reklam sayısı le Cumartes güü ola satışlar arasıda poztf br korelasyo ögörmektedr. Aalzmz br adım lerleterek, öreklem korelasyo katsayısıı statstksel olarak sıfırda farklı olup olmadığıı celeyelm. Öreklem korelasyo katsayısı ( r XY ), aakütle korelasyo katsayısıı ( XY ) br tahm edcsdr. X ve Y arasıdak doğrusal lşk alamlığıa yöelk br test aşağıdak gb gerçekleştrleblr: H : 1 XY H : XY Burada kullaacağımız statstk değer serbestlk dereces, X stadart sapması hem de Y stadart sapması elmzdek verlerde hesapladığıda dolayı (-) dr. Öreklem korelasyo katsayımızı da kullaarak, uygu ola test aşağıdak gb fade edlmştr. r XY 1 r XY (13.7) Değerler yere koyduğumuzda se: r XY r XY =.5 ve serbestlk dereces - = 5 ke çft taraflı bu test krtk değer.878 tr. Dolayısıyla, k değşke arasıda doğrusal br lşk olmadığıı belrte sıfır hpotez reddedlr. İstatstkçler, r XY öreklem dağılımıı sadece öreklem boyutua ( ye) bağlı olduğuu

266 göstermşlerdr. İstatstk tabloları da r XY, doğrusal lşk yoktur sıfır hpotez reddedecek kadar büyük br öreklem düzeyde başlaması presbe göre oluşturulmuştur. Öreğ, =.5 ve = 7 ke, tahm edlmş öreklem korelasyo katsayısı sıfır hpotez reddedeblmek ç.878 değerde büyük olmalıdır. Geelde karşılaşıla soru se =.5 ve, 1 e doğru artarke, tahm edlmş öreklem korelasyo katsayısı sıfır hpotez reddedeblmek ç sadece.196 değerde büyük olmalıdır. Tablo 13.3: Pearso Korelasyo Katsayısı ç Seçlmş Krtk Değerler N =.5 = H : XY = hpotez, H : XY hpoteze karşılık olarak reddedeblmemz ç, r XY mutlak değer tablo 13.3 dek kc veya üçücü sütuda yerala krtk değerlerde büyük olmalıdır. Şmd bu hpotezler statstksel alamlılığıı ölçmek ç her k yaklaşımı da ele alalım. X (fyat) ve Y (talep) arasıda statstksel olarak alamlı br doğrusal lşk olup olmadığıı test edelm: test statstk değermz bulmak ç H : XY = H : 1 XY r XY 1 r XY elmzdek değerler formülde yere koyarsak:

267 soucuu elde ederz. Serbestlk dereces 8 ve =.5 ke çft taraflı t-test krtk değerler.811 dr. Dolayısıyla sıfır hpotez reddederz. Ayı souca varmak ç tablo 13.3 tek Pearso korelasyo katsayıı krtk değerlerde de faydalaablrsz. = 1 ke korelasyo katsayısıı krtk değer.77 ve tahm değermz se.854 olduğuda dolayı sıfır hpotezmz bu yaklaşımla da reddederz. Mtab programı bze bu hesaplamalarda çok yardımcı olmaktadır. Tablo 13.1 de yer ala verler yeraldığı talep.mtw adlı dosyayı açıız. Şekl 13.1 dek scatter grafğz çzmek ç Graph (Grafk) meüsüde Plot (Çzme) a tıklayıız ve X başlıklı ola bölüme Fyat değşke seçz. Y başlıklı ola bölüme de Talep değşke seçz. Daha sora OK tuşua tıklayıız. Şekl 13.3 Mtab le korelasyo katsayısıı hesaplamak ç Stat (İstatstk) meüsüde Basc statstcs (Temel İstatstkler) seçz ve Correlato (Korelasyo) a tıklayıız. Karşııza çıka dyalog ekraıda da Talep ve Fyat değşkeler seçtkte sora OK tuşua basıız.

268 Şekl 13.4 Aşağıdak çıktı ekraıı elde etmez gerekmektedr: Şekl 13.5 Mtab çıktısıda yerala P-Value sıfır hpoteze at ola p-değer (olasılık değer) temsl etmektedr. Bu p-değer,.5 alamlılık düzeyde küçük olduğu ç H : XY = sıfır hpotez reddederz ve fyat le talep arasıda alamlı br şeklde egatf lşk olduğu soucua varırız.

269 Bölüm 14: Bast Doğrusal Regresyo Grş Br öcek bölümde, bast doğrusal korelasyo katsayılarıı kullaarak k değşke arasıdak doğrusal lşk asıl ölçüldüğüü celedk. Bu bölümü amacı se, k değşke arasıdak doğrusal lşky br adım ler götürerek, bu lşky daha detaylı açıklamak ve doğrusal lşk edeselleğ celemektr. Korelasyo aalzde lşk edesellğ celememektedr. Bu doğrultuda, bast doğrusal regresyo aalz altıda yata prespler, bast doğrusal lşky tahm etmek ç kullaılacak ola regresyo tahm edcler hesaplaması celeecektr. Korelasyo aalz, k değşke arasıdak derece hakkıda br çerçeve çzmektedr. Regresyo aalz se, k veya daha fazla değşke arasıdak foksyoel lşky belrlemeye, açıklamaya çalışmaktadır. E çok kullaıla ve e temel regresyo model bast doğrusal regresyo modeldr. Bu modelde, br değşke dğer br değşke tarafıda tahm edlmeye çalışılmaktadır. Dolayısıyla, korelasyo aalzde yaptığımız ve edesellğ yöüü belrte aalz bu durumda yetersz kalmaktadır. Tahm edle değşke bağımlı değşke (veya regresad) olarak taımlaır ve geellkle Y harf le fade edlr. Tahm edc değşke se bağımsız değşke, açıklayıcı değşke (veya regresor), olarak taımlaır ve X harf le fade edlr. Örek 14.1: Tüketm Harcamaları Regresyo aalz, ble ya da sabt ola açıklayıcı değşkeler (X ler) temel alarak, aakütle ortalamasıı ve/veya bağımlı değşkeler (Y ler) ortalama değerler tahm etme mücadelesdr. Bu mücadele doğrultusuda, statstğ her alaıda olduğu gb, geellkle erşemedğmz ve açıklamak stedğmz aakütlelerde seçle X ve Y öreklem değerler kullaırız. Bu prosedürü daha y alaşılablmes ç aşağıdak öreğ ele alalım. Toplam üfusu 6 alede oluştuğu br ülke düşüelm. Bu ülkedek aleler tüketm harcamaları (Y) le harcaablr gelrler (vergde arıdırılmış) (X) arasıdak lşky celeyelm. Bu lşky celeyerek, elmzdek haftalık gelr verler kullaarak, haftalık ortalama (aakütle) tüketm düzey tahm etmeye çalışacağız. Bu çalışmayı gerçekleştrrke, 6 aley yaklaşık olarak ayı gelr düzeye sahp 1 ayrı gruba böldüğümüzü düşüelm ve her gelr grubuda yer ala aleler tüketm harcamalarıı celeyelm. Elde ettğmz verler, Tablo 14.1 dek gbdr. Tablo 14.1: Aleler Haftalık Gelr Düzey X, Y/ X Aleler Haftalık Tüketm Mktarları Y,$

270 Toplam Yukarıdak tabloyu şöyle yorumlamalıyız: Örek olarak, 8$ lık haftalık gelre sahp beş ale, tüketm harcamaları 55$ le 75$ aralığıda değşmektedr. Bezer br şeklde, X = $ haftalık gelr düzeyde, haftalık tüketm mktarı 137$ le 16$ arasıda değşe altı ale yeralmaktadır. Souç olarak, Tablo 14.1 de yer ala her sütu sabt br gelr düzeye (X değere) tekabül ede, tüketm harcamalarıı (Y ler) dağılımıı göstermektedr. Bu gösterm de bze, verl X değerlere tekabül ede Y ler koşullu dağılımıı göstermektedr. Yukarıdak verlermz koşullu olasılık dağılımı presplere göre yede düzeleğmzde aşağıdak tabloyu elde ederz. Tablo 14. X Y Tablo 14. ye at ola scatter dyagramı aşağıdak gb çzlmştr: Şekl 14.1 Aakütle scatter grafğ

271 Scatter grafkte açık br şeklde poztf doğrusal lşk gözükmektedr. Bu doğrultuda br öcek bölümde açıkladığımız formülü kullaarak, aakütle korelasyo katsayısıı.951 olarak hesaplayablrz. Aakütle verler yeraldığı Tablo 14.1 kullaarak, Y ye at ola koşullu olasılık değerler hesaplayablrz. X = 8 değere tekabül ede beş tae Y değer vardır: ve 75. Bu yüzde, verlmş X = 8 ke, o sütua at ola herhag br tüketm değer elde etme olasılığı 1/5 tr. Sembolk olarak, P(Y = 55 / X = 8)=1/5. Ayı şeklde dğer olasılık değerler de hesaplayablrz. P(Y = 15 /X = 6) = 1/7, gb. Tablo 14.1 dek verler koşullu olasılıkları Tablo 14.3 te yeralmaktadır. Tablo 14.3: Tablo 14.1 dek değerler koşullu olasılık değerler P(Y / X ) P( Y / X) / X Koşullu Olasılıklar P( Y / X ) Y ç koşullu ortalama değerler Şmd, her Y değer koşullu dağılımları ç ortalama değer hesaplayablrz. Bu ortalama değer, koşullu ortalama veya koşullu beklet olarak taımlaır ve E(Y / X = X ) olarak fade edlr. Bu fade verl br özel X değer ç Y beklee değer olarak okuur ve E(Y / X ) şeklde de daha kısa olarak yazılablr. (Not: Beklee değer aakütle ortalaması olduğu uutulmamalıdır.) Elmzdek verler kullaarak, Tablo 14.1 dek Y değerler le bu değerlere at Tablo 14. dek koşullu olasılık değerler çarpıp, topladıkta sora koşullu ortalama veya koşullu bekletler değerler hesaplayablrz.

272 E( Y X 8) Örek olarak, verl X = 8 değer ç Y koşullu ortalaması veya koşullu beklets yukarıdak gb hesaplaablr. Dolayısıyla koşullu ortalamalar, Tablo 14. so satırıda hesaplamıştır. Tablo 14.1 dek verler le koşullu ortalamalarıı br arada göstere scatter grafğ çzldğde bu grafğ şekl 14.1 de çok farklı olmadığı görülmektedr. Aleler tüketm mktarlarıda farklılıklar olmasıa rağme, gelr arttıkça ortalama harcama mktarıı arttığı açıkça şekl 14. de gözükmektedr. Başka br şeklde fade edecek olursak, X değerler arttıkça, Y (koşullu) ortalama değerler de artmaktadır. Scatter grafğ, postf eğml br doğruu üzerde yerala koşullu ortalama değerler göstermektedr. İşte bu doğru aakütle regresyo doğrusu, veya braz daha geel br fade le, aakütle regresyo eğrsdr. Daha bast br fade le Y X üzere regresyoudur. Şekl 14. Aakütle Regresyo Doğrusu Geometrk olarak, aakütle regresyo doğrusu, bağımlı değşke koşullu ortalamaları le açıklayıcı değşke sabt değerler brlktelğde oluşur. Aakütle Regresyo Foksyou Kavramı Aakütle regresyo doğrusu, şekl 14. de doğrusal br foksyo olarak çzldğde ve aşağıdak gb doğrusal br foksyo olarak fade edlebldğde, br foksyodur. E( Y / X ) X (14.1) Deklem (14.1) bze aakütle regresyo foksyou u (ARF) göstermektedr. Aakütle regresyo doğrusu üzerde 1 tae vermz yeraldığıda bu verler aşağıdak gbdr. X E( Y / X )

273 ve değerler hesaplayablrz. Bu değerler bulablmek ç regresyo doğrusu üzerdek sadece k oktayı blmemz yeterldr. Öreğ, ve aşağıdak deklem sstem çözülerek buluablr. 65 = = + 1 Dolayısıyla = 17 ve =.6 olarak ve değerler hesaplayablrz. Bua bağlı olarak da Deklem (14.1) aşağıdak gb yazablrz. ARF Stokastk Olarak Düzelemes E( Y / X ) 17.6X Şekl 14. de de açıkça alaşıldığı gb, aleler gelr düzey arttıkça, ortalama tüketm düzeyler de arttığı gözlemektedr. Acak, br ale tüketm harcaması le gelr düzey arasıdak lşk edr? Tablo 14.1 de de görüldüğü gb br ale tüketm harcamalarıı artması ç lle de gelr düzey artmasıa gerek yoktur. Öreğ, Tablo 14.1 de 1$ lık gelr düzeye sahp ve tüketm harcamaları 65$ ola br ale harcama mktarı, gelr düzey 8$ ola k ale tüketm harcamalarıa kıyasla daha azdır. Fakat, gelr düzey 1$ ola aleler ortalama harcama mktarlarıı, gelr düzey 8$ ola alelere azara daha fazla olduğu da gözde kaçırılmamalıdır. Pek, tek br ale tüketm düzey le verl gelr düzey arasıdak lşk hakkıda asıl br yorum getrmelyz? Şekl 14. y celedğmzde, verl br X gelr düzey ç, br ale tüketm harcamaları, bütü aleler ortalama harcama mktarı ola X etrafıda veya koşullu beklets etrafıda kümelemştr. Dolayısıyla, hata term u olarak taımlayablrz. u N (, u) Bu term, br Y değerde beklee değer sapma mktarıı fade etmektedr. br başka fade le u Y E( Y / X ) Y E( Y / X ) u (14.)

274 olarak gösterleblr. u, gözleemeye (öreklemde) ve rassal olarak poztf ve egatf değerler ala br değşkedr. Dolayısıyla, u ya stokastk (rassal) bozucu term veya stokastk hata term de delmektedr. Pek Deklem (14.) y asıl yorumlayablrz? Br ale tüketm harcamaları, verl br gelrler varke, aşağıdak k kısımı toplamı olarak fade edleblr: 1. E(Y / X ), ayı gelr düzeye sahp ola aleler ortalama tüketm harcamalarıı fade etmektedr. Normal şartlar altıda salar br gelre sahp olacağıda bu parçayı sstematk kısım olarak fade edeblrz.. u yu se rassal ya da sstematk olamaya kısım olarak taımlayablrz. Bu kısım gelr değşkede başka, tüketm harcamalarıı etkleye değşkeler temsl etmektedr. ( modelde açıklayıcı olarak bulumaya bütü faktörler temsl etmektedr.) Sstematk olmaya faktörler yeralmadığı br durumda, ale ortalama olarak E(Y / X ) kadar tüketm yapmayı bekler. Öreğ, br ale gelr düzey 8$ se bu ale beklee tüketm harcamaları mktarı, E(Y / X ) = 17+.6(8) = 65 değere eşttr. u 1 = Y1 - E(Y / X = 8) = = -1 u = Y - E(Y / X = 8) = 6-65 = -5 u 3 = Y3 - E(Y / X = 8) = = u 4 = Y 4 - E(Y /X = 8) = 7-65 = 5 u 5 = Y 5 - E(Y / X = 8) = = 1 Bu rassal hataları e öeml özellğ, ortalamalarıı sıfıra eşt olmasıdır / 5. Bu özellkte dolayı regresyo modellerde aşağıdak varsayımı yaparız. Eu ( ) Öreğmzdek verler kullaarak br öcek sayfada gerçekleştrdğmz alıştırmayı tekrarlayablrsz ve ayı özellğ hala geçerl olup olmadığıı deeyeblrsz. Ek olarak, hata termler ( u ) dağılımları hakkıda da br varsayımda bulumamız gerekmektedr. Her gelr düzeyde öreklem olarak br ale seçelm. Aakütledek 6 alede 1 taes öreklem olarak alablrz. (1 farklı gelr sevyes buluduğuda). 8$ lık gelr düzeyde ve tüketm mktarı 7$ ola; 1$ lık gelr düzeyde ve tüketm mktarı $65 ola vb. aleler öreklem olarak seçeblrz. Her gelr düzeye at ola aleler tüketm harcamalarıı rassal olarak seçlme olasılıkları elerdr? 8$ lık br gelr düzeyde 7$ lık tüketm harcamasıa sahp ola br ale seçlme olasılığı, bu gelr düzeyde 5 tae ale buluduğuda, 1/5 tr. Bezer şeklde, 1$ lık br gelr düzeyde 7$ lık tüketm harcamasıa sahp ola br ale seçlme olasılığı, bu gelr düzeyde 6 tae ale buluduğuda,1/6 dır. Bu prosedür ayı şeklde bütü öreklemde devam etmektedr. Dolayısıyla u ları olasılık dağılımı her gelr düzey ç yekesak (tekdüze) br dağılıma sahptr. Bu dağılım aşağıdak şeklde de celeeblr.

275 Şekl 14.3 u ları dağılımı u lar burada yekesak br dağılıma sahp olmasıa rağme, regresyo modelmzde, hata termler ormal olarak dağıldığıı varsaymıştık. u termler ormal olarak dağıldığı durum Şekl 14.4 tek gbdr. Şekl 14.4 Normal Dağıla u Termler u termler ormal olarak dağıldığıı varsaymamızı brçok ede vardır. Bu edeler arasıda başı Merkez Lmt Teorem çekmektedr. Bu teoreme göre, eğer yüksek sayıda bağımsız ve brbre dek olarak dağıla rassal değşke varsa, brkaç stsa dışıda, bu değşkeler sayısı sosuza yakısadıkça toplamlarıı ormal olarak dağılma eğlm gösterdğ gözler. Daha öcede belrttğmz gb u lar, bağımlı değşke etkleye, hmal edle veya reddelle rassal değşkeler toplam etks temsl etmektedr. Gerçek hayatta aakütle değerler göremedğmzde, u değerler de gözlemleyememekteyz. Dolayısıyla bu da varsayımlarımızı geçerllğ test etmemz mkasız kılmaktadır. Normal dağılım varsayımımızı br öcek varsayımı E ( u ) = da kullaarak matematksel olarak yede fade edersek, aşağıdak şeklde olur.

276 u N (, u) Bu fade bze göstermektedr. u termler ortalama ve u varyası le ormal olarak dağıldığıı ve Tahm Edcler Bulmak ç Normal Deklemler Kullaımı Öreğmze tekrar döelm ve braz daha gerçekç br hale getrelm. Normalde, aakütle değerler elde etmemz çok zor olduğuda, aakütlede öreklem çekerek şlemlermz gerçekleştrmekteyz. Dolayısıyla aşağıdak tablo da, tablo 14.1 de yerala aakütle değerlerde çeklmş ola br öreklem verler göstermektedr. Tablo 14.4: Tablo 14.1 dek aakütlede çeklmş rassal br öreklem Y X Şmd se çıkarımsal statstğ çok karşılaştığı sorularda bryle karşı karşıyayız. Acaba, elmzdek öreklem kullaarak ortalama haftalık tüketm mktarıı E(Y / X ) tahm edeblr myz?. Başka br şeklde fade edecek olursak, elmzdek öreklem verler le ARF y tahm edeblr myz? Veya ve değerler tahm edeblr myz? Öreklem dalgalamalarıda dolayı bu tahm kusursuz br şeklde gerçekleştremeyeblrz. Fakat, e y, e doğruya yakı tahm bulablrz. Her zama ç Y ve X arasıda doğrusal br lşk olduğuu varsaydığımızda dolayı, Öreklem Regresyo Foksyo u (ÖRF), ARF ye bezemektedr ve bu foksyo aşağıdak gbdr. Y = a + b X + e (14.3) Bu deklemde; a öreklemle tahm edlmş katsayısıı fade ederke, ayı şeklde b de tahm edlmş ola katsayısıı fade etmektedr. e se, u hata termler öreklemde yer ala kısmıı oluşturmaktadır. Şmd se a ve b değerler hesaplamak ç gerekl ola formüller türetelm. Öcelkle, öreklem verlermz göstere scatter dagramıı çzelm. Bu scatter dagramı, şekl 14.5 te olduğu gbdr.

277 Y1 Y X1 5 Şekl 14.5 Brc Rassal öreklem grafğ ÖRF doğrusal br yapısı olduğuda dolayı, bu versete e uygu ola doğruyu çzmek stemekteyz. Pek e uygu doğru e demektr? E uygu doğru, bütü ver oktalarıa e yakıda geçe doğrudur ve scatter dagramda aşağıdak gösterlmştr X1 5 Şekl 14.6 E uygu doğru Eğr üzerdek oktalar (öreklem regresyo doğrusu) aşağıdak deklem le fade edleblr. Y = a + b X Burada Y ˆ, verl ˆ X değer ç Y tahm edlmş değer fade etmektedr. Br başka fade le Y ˆ, E( Y / X ) öreklemde yer ala kısmıdır. Y ˆ le Y arasıdak fark e y verr, bu termde öreklem hata termdr. Pek, şekl 14.6 da olduğu gb, doğrumuzu bütü verlere e yakı oktalarda geçeceğ asıl garat edeblrz? Bu garaty aslıda rahatlıkla vereblrz. Öcelkle, e ler toplamıı bulalım, ve bu toplamı ( e ) mmze etmeye çalışalım. Acak, hatırlayacağıız gb bu toplam bze her zama ç sıfır değer vermekteyd. Dolayısıyla öcelkle bu soruu halletmemz gerekmektedr. Hata termler, Y gerçek değer le Y ˆ tahm

278 edlmş değer arasıdak fark olduğuda bu farkı (ya hata termler) kareler alırsak, termler poztf de olsa egatve de olsa, brbrler sadeleştrmeler ve toplamı sıfır çıkmasıı egelleyeblrz. Hata termler kareler alımış bu toplamıa, hataları kareler toplamı delr ve kısaca HKT olarak gösterlr. HKT y aşağıdak gb taımlayablrz. ˆ ( ) 1 1 (14.4) HKT Y Y e Y ˆ değer deklemde yere koyarsak, Y ˆ = a + b X olduğuda ( ) (14.5) 1 HKT Y a bx HKT, bast ve çoklu regresyo aalzde, regresyo doğrusuu stadart hatasıı hesaplamasıda öeml br role sahptr. Artık, deklem (14.5) br başka fade le hataları kareler toplamıı, mmze ede a ve b değerler bulma zamaı geld. Bu şlem HKT a ve b değerlere göre kısm türevler alarak ve sıfıra eştleyerek gerçekleştreblrz. b katsayısıı formülüü aşağıdak gb göstereblrz (Ek 14.1 e bakıız). Y X XY b (14.6) X X X b formülü ayı zamada daha toplu br fade le aşağıdak gb de gösterleblr: b X X Y Y ( X X) (14.7) Deklem (14.7), b ç kısaltılmış br formül olmasıa rağme deklem (14.6) kullaarak hesaplama yapmak daha kolaydır. a katsayısıı formülü se aşağıdak gb gösterleblr (Ek 14.1 e bakıız). a Y bx (14.8) Şmd, tablo 14.3 tek öreklemmze ger döelm ve bu değerler ç a ve b katsayılarıı hesaplayalım. Bu hesaplamalar tablo 14.5 te gerçekleştrlmştr. Tablo 14.5 Y X X X X X Y Y X X Y Y

279 Y 111 X 17 X X X X 33 Y Y X X Y Y 168 Bu değerler deklem (14.7) de yere koyarsak: X X Y Y ( X X) 168 b Şmd de, bulduğumuz b değer deklem (14.8) da yere koyalım: Y a bx 111 a a 4.45 Dolayısıyla ARF y aşağıdak gb yazablrz: Y X e Grafksel olarak fade edecek olursak,

280 Şekl 14.7 Regresyo Doğrusu ve ı tahm edcler (a ve b) bulduğumuza göre, artık kolaylıkla u ler tahm edcler, e ler, hesaplayablrz. Bu hesaplamalar br sorak tabloda olduğu gbdr. Y a bx e (8)= (1) = (1) = (14) = (16) = (18) = () = () = (4) = (6) = Regresyo katsayılarıı hesaplaması MINITAB programıda çok daha kısa ve kolay br şeklde gerçekleştrlr. Ayı öreklem verler kullamak ç lütfe tuketm1.mtw adlı dosyayı açıız. Öcelkle, Stat meüsüde regresso ı seçeerek regresso seçeeğ üzere tıklayıız. Karşııza çıkacak ola dyalog ekraıda respose yaza yere (bağımlı değşke temsl eder) C1 (bzm öreklemmzdek Y1 değşke, tüketm harcamaları), predctor yaza yere de (bağımsız değşke fade eder) Y1 (bzm öreklemmzdek X1 değşke, gelr düzey) yazıız.

281 Şekl 14.8 Dyalog ekraıdak meüde storage seçerek aşağıda görüldüğü gb resduals ı şaratleyz. ( resduals bzm öreklemmzdek hata termlermz fade etmektedr) Şekl 14.9 İk kere OK tuşua bastığıızda aşağıdak çıktıyı elde etmez gerekmektedr.

282 Şekl 14.1 Karşılaştığımız regresyo çıktısıda, regresyo doğrusu hata termler harcde tamame hesaplamıştır. Hata termler bu program yardımı le asıl hesapladığıı daha detaylı br şeklde bu bölümde rdeleecektr. Regresyo aalz gerçekleştrke storage bölümüde resduals seçeeğ tıkladığımızda dolayı Mtab hata termler bulacak ve aşağıda olduğu gb çalışma sayfasıda RESID1 adı altıda kaydedecektr. Şekl Bu değerler bulmak stedğmz ( e ler) hata termlerdr. Daha farklı br yol takp edp ayı regresyo deklem, ye Mtab ı kullaarak, regresyo doğrusuu scatter dyagram le brlkte çzdrerek de hesaplayablrsz. Bu şlem gerçekleştrmek ç, Stat meüsüde regresso ı seçz ve ftted le plot (e uygu doğru) seçeeğe tıklayıız. Karşııza çıka dyalog ekraıda respose yaza yere (bağımlı değşke temsl eder) C1 (bzm öreklemmzdek Y1 değşke, tüketm harcamaları), predctor yaza yere de (bağımsız değşke fade eder) Y1 (bzm öreklemmzdek X1 değşke, gelr düzey) yazıp OK tuşua bastığıızda şekl 14.7 y elde edersz. Bu şekl üzerde regresyo deklem de göreblrsz. Şmd se tablo 14.1 dek aakütlemzde başka br öreklem seçelm. Bu örekleme at ola verler tablo 14.6 da yeralmaktadır.

283 Tablo 14.6: Tablo 14.1 dek aakütlede elde edlmş dğer br rassal öreklem Y X Bu öreklem kullaılarak, aşağıdak ÖRF elde edleblr. Y = X + e Açıkça gözükmektedr k ÖRF ler her ksde öreklem dalgalamalarıda dolayı ARF de sayısal olarak farklıdır. Ayrıca, kc öreklemde elde ettğmz ÖRF, ARF ye daha yakı olduğuda dolayı kc öreklem daha y olduğu soucua varablrz. Acak, gerçek hayatta bu kadar şaslı olmayablrz, dolayısıyla statstksel test prosedürler kullaarak aakütle parametreler tahm etmeye çalışacağız. Şmd bu testler asıl gerçekleştrldğ celeyelm. b Katsayısıı İstatstksel Alamlılığıı Test Edlmes Bu bölümde, b katsayısıı statstksel alamlılığıı asıl test edeceğmz celeyeceğz. Aslıda test ettğmz aakütle parametres ı değer sıfıra eşt olup olmadığıdır. b katsayısıı selmzdek öreklem verlerde b katsayısıı hesaplayıp, bu b katsayısıı kullaarak testmz gerçekleştreblrz. Pek aakütle parametres sıfıra eşt olması bze e fade etmektedr? Eğer değer, sıfıra eşt olması, açıklayıcı değşkemz bağımlı değşke üzerde hçbr etks olmadığıı gösterr. Dolayısıyla, bz bu test gerçekleştrrke açıklayıcı değşke bağımlı değşke gerçekte açıklayıp açıklamadığıı test etmekteyz. Bu test aşağıdak gb oluşturablrz: H : H A : Pek ede bu tarz testler gerçekleştrrke bu tarz testlere statstksel alamlılık test delmektedr? Öreğ, b katsayısıı. olarak hesapladığımızı düşüelm. Bu katsayı bze X değşke Y değşke üzerde poztf br etks olduğuu göstermektedr. X değşke br brm arttırdığımızda, Y değşke de. brm artmaktadır. İlk öreğmz kullaacak olursak, b =. olması, gelr düzeymz br brm arttığıda, tüketm harcamalarımızı. brm artması

284 alamıa gelmektedr. Tüm bu yorumları yaısıra, b katsayısı her e kadar. ye eşt olursa olsu aakütle parametres gerçekte a eşt olablr. Dolayısıyla, açıklayıcı değşkemz ola X (gelr düzey) değşke, Y değşke (tüketm harcamaları) üzerde br etks olmadığıı soucua varırız. Böyle br durumda X değşke, Y değşke açıklama gücüü ytrmektedr. Br başka fade le alamlılığıı kaybetmştr. Bu edede dolayı bu tarz testlere statstksel alamlılık testler der. Ayı yorumlar, a katsayısıı hesaplamasıda ve testde de geçerldr. Fakat, açıklayıcı değşke katsayısı olduğuda, testlerde b katsayısıa daha fazla odaklamaktayız. Bu alamlılık testler gerçekleştreblmek ç, model stadart sapmasıı blmemz gerekmektedr. (t test asıl yaptığımızı hatırlayıız. Aakütle ortalaması ( ) değer ç test s yapmak stedğmzde, stadart sapmasıı da blmemz gerekmektedr s ). Bu yüzde, b X katsayısıı stadart sapması ola s b y hesaplamamız gerekmektedr. s b değer hesaplamak ç öcelkle regresyou stadart sapması ola s bulmamız gerekmektedr. Hataları Kareler Toplamıı (HKT), uygu ola serbestlk derecese böldüğümüzde Ortalama Hataları Kareler (OHK) elde ederz. Bu fade karekökü se bze regresyo modelmz stadart hatasıı vermektedr. Y a bx HKT OHK (14.9) s Regresyou stadart hatası, aakütle bozucu (hata) termler, u ları tahm edcs stadart hatası alamıa gelmektedr ve her gözlem ç sabttr. 3 u ı tahm edcs stadart hatası le regresyou stadart hatasıı ayı sme sahp olmasıı ede; Y (koşullu) varyası, u ları varyasıa dek olmasıdadır. Bu stadart sapma (veya stadart hata), b katsayıı da stadart sapmasıı aşağıdak gb hesaplamamızda bze yardımcı olur: s s sb ( ) X X X X X (14.1) Tablo 14. dek verler kullaarak, stadart hatayı hesaplamaya çalışalım. s HKT 1 Hesaplamayı gerçekleştreblmemz ç öce HKT y, Y a bx e dekllğ kullaarak bulmamız gerekmektedr. Bu hesaplamada aşağıdak gb olmalıdır. (Uutmayıız k Mtab resduals (hata termler) seçeeğ seçtğmzde bze RESID1 adı altıda ayrı br sütu açarak bu değerler otomatk olarak hesaplamıştı.) Y a bx = e e 3 u ları varyasıı sabtlğ Şekl 14.4 te celeeblr. Bu şeklde, ormal olarak dağıla u termler, sabt varyasa sahptrler. (heps ayı şekle ve sıfır ortalamaya sahptr).

285 (8)= (1) = (1) = (14) = (16) = (18) = () = () = (4) = (6) = HKT e s Daha öce bu değer le Mtab çıktısıda karşılaşmıştık. Mtab çıktısıda dab u değer S le gösterlmekteyd. Şmd bulduğumuz bu değer, deklem (14.1) te yere koyarak b katsayısıı stadart sapmasıı bulalım. s sb ( X X) Ye hesapladığımız bu değerlede daha öce Mtab çıktısı sayesde taışmıştık. Bz taıştıra Mtab çıktısıı hatırlayacak olursak: Şekl 14.1 Eğer değer sıfırda farklı olup olmadığıı test etmek styorsak, bu test gerçekleştrmemz ç değer tahm edcs ve bu tahm edc stadart sapmasıı s b kullamamız gerekmektedr. Formal olarak bu hpotez şöyle fade ederz:

286 H : H : A ve bu hpotez test etmek ç t-test kullaırız. T-test, (-) serbestlk derecesyle aşağıdak gb fade edleblr: b t sb Sıfır hpotezmz = olduğuda: b t 14.4 s b Bu t değer, olasılık değer le brlkte Mtab çıktımızda yer ala değer le brebr ayıdır. Alamlılık düzey =.5 ve serbestlk dereces 8 ola, t krtk değer 1.86 ya eşttr. Dolayısıyla, souç olarak açık br şeklde sıfır hpotezmz reddederz. (Mtab çıktısıda yer ala p-değer de kullaılarak ayı souca varılablmektedr). Yapıla t-test, korelasyo katsayısı kullaılarak yapıla teste parallel souçlar vermektedr. Acak burada kulladığımız t-test avatajı alteratf hpotez belrtleblmesdr. Örek olarak, aşağıdak hpotez test etmeye çalışalım. H : 1 H : 1 Bu durumda ye t-test aşağıdak gb olur: A b t s Sıfır hpotezmz = 1 olduğuda t-statstk değer aşağıdak gb hesaplaır: b t s.3574 b Yukarıda belrledğmz t-krtk değer ye kullaacağımızda, tekrar sıfır hpotezmz reddederz. Belrleyclk Katsayısı b E küçük kareler yötem, X ve Y değşkeler arasıdak lşkye doğrusal br yakısama sağlamaktadır. Burada akıla gele öeml soru, regresyo doğrusuu bu yakısamayı e kadar y br şeklde gerçekleştrdğ, bu doğruu e kadar y çzldğdr? Bu soruu cevabıı vereblmek ç bazı kavramlara değmemz gerekmektedr. Hataları Kareler Toplamı ı daha öce aşağıdak gb taımlamıştık (Deklem 14.5): ( ) 1 1 HKT e Y a bx

287 Bu mktar, regresyou açıklaamaya kısmıı oluşturmuştur. ( bu kısım regresyo doğrusu tarafıda açıklaamamaktadır). Toplam kareler toplamı (TKT) se aşağıdak gb taımlaablr: TKT ( Y Y ) 1 Bu fade bze, bağımlı değşkedek (Y) toplam farklılaşmayı vermektedr. Toplam Kareler Toplamı ı (-1) e (at olduğu serbestlk derecese) böldüğümüzde, Y değşke varyasıı elde ederz. Regresyo doğrusu tarafıda açıklaa kareler toplamı, Regresyo Kareler Toplamı olarak taımlaır: RKT ( Yˆ Y ) 1 Bu fade, regresyou açıklaa kısmıı temsl etmektedr. Taımlamış olduğumuz bu üç mktar arasıdak lşk aşağıdak gbdr: TKT = RKT + HKT (14.11) Br başka fade le, toplam kareler toplamı, regresyo kareler toplamı (açıklaa kısım) ve hataları kareler toplamı (açıklaamaya kısım) olmak üzere k parçada oluşmaktadır. Dolayısıyla, regresyo doğrumuzu e kadar y olduğuu ölçmek ç deklem (14.11) kullaablrz. Eğer eştlğ her tarafıı toplam kareler toplamıa (TKT) bölersek: RKT HKT 1 TKT TKT RKT mktarı, Y değşkede meydaa gele farklılaşmaı, regresyo doğrusu TKT tarafıda açıklaa kısmıı fade etmektedr. Bu bze doğruu uyguluğua dar y br ölçektr. RKT Bu ölçeğe, farklılaşma katsayısı der ve R le gösterlr. R Yukarıdak deklğ yede TKT düzeleyecek olursak: R 1 HKT TKT R, le 1 arasıda değerler almaktadır. Hataları kareler toplamı azaldığıda, R artar ve daha y br regresyo doğrusu çzleblr. Tekrar, tablo 14.1 dek Tüketm/Gelr öreklemmzdek verler kullaarak R değer hesaplayablrz. Daha öcede HKT = hesaplamamız gereke TKT dır. TKT = ( Y Y) = Belrleyclk katsayısıı se aşağıdak gb hesaplayablrz: e = değer hesaplamıştık. Şmd se

288 HKT R TKT 889 Bu değer (R-Sq olarak) Mtab çıktısıda da göreblrz. Şekl Belrleyclk Katsayısı ı yaklaşık olarak %96 olarak çıkması, tüketm harcamalarıdak farklılaşmaı, gelr düzeydek farklılaşmada kayakladığıı yüzde 96 sıı açıkladığı alamıa gelmektedr. Düzeltlmş- R (geellkle R sembolü le fade edlr ), toplam kareler toplamıı le serbestlk dereces de ele alarak celer. Bast doğrusal durumu celedğmzde dolayı k= olarak, aşağıdak gb hesaplaablr: TKT 1 HKT k HKT R TKT k Bu ölçüm yötem, brde fazla açıklayıcı değşke durumu sözkousu olduğuda, çoklu regresyo modellerde belrleyclk katsayıa gore daha faydalıdır. Kestrm Regresyo aalzde amacımız, değşkeler arasıdak lşky ortaya çıkararak, verl br bağımsız değşke değer le bağımlı değşke tahm etmek d. ÖRF, Y tahm edlmş değer hesaplaya aşağıdak gb matematksel br deklemdr: Y = a + b X ˆ

289 Herhag br verl bağımsız değşke değer ç ( X ), regresyo foksyou, ( Y ) bağımlı değşke değer aşağıdak deklk le tahm eder: Y ˆ = a + b X Öreğ, daha öcede hesapladığımız ÖRF y ele alalım C = Y. Gelr düzey X = 35 ke, tüketm mktarıı tahm etmeye çalışalım, C =?. ÖRF foksyouda X ı yere koyarsak: C = =.65 ÖRF foksyou, tüketm mktarıı $.65 olarak tahm etmektedr. Bu ale gerçektede aşağı yukarı bu tüketm düzeyde br tüketm gerçekleşmektedr. E( Y ˆ ) = Y olduğuda Y ˆ, gerçek aakütle bağımlı değşke değer Y sapmasız br tahm edcsdr (Ek 14.3 e bakıız). Bu yüzde, ÖRF aşağı yukarı Y ı aşağıdak varyas le brlkte doğru br şeklde tahm etmektedr. Varyas formülü se aşağıdak gb verlmektedr (Ek 14.4 e bakıız). Hata termler varyası ˆ 1 var( Y ) u u, blmyorsa: X X x ˆ 1 est.var( Y ) s u X X x kullaılır. Hatırlaacağı (mutlaka hatırlamaız gerektğ) üzere, stadart hatayı veya tahm edlmş stadart hatayı bulablmemz ç, varyası veya tahm edlmş varyası kareköküü almak gerekldr. Şmd se Y değer ç güve aralığı oluşturablrz: Y Yˆ z SE( Yˆ ) / Y Yˆ t est. SE( Yˆ ) / ; Bu güve aralığı, ortalama olarak Y değer (1- ) olasılık le yer aldığı aralığı fade etmektedr. Brbaşka fade le, gelr düzey $1 ola aleler ele aldığımızda, ortalama tüketm düzey % (1 - ) kere bu aralığı çersde yeralacaktır. Bu edede dolayı, bu aralığa Ortalama Kestrm Aralığı delmektedr. Eğer Y değşke ortalama değerde zyade, tekbr değer ç br güve aralığı oluşturmak styorsak, Tekl Kestrm Aralığı aralığıı oluşturmamız gerekmektedr. Bu aralık verl br X değere tekabül edecek ola Y değer çermes bekledğmz aralıktır.

290 Öreğmzde yola çıkarak br başka fade le, sadece br ale tüketm düzey (1 - ) olasılıkla bu aralıkta olacağıı göstermektedr. Tekl kestrm gerçekleştrlrke, gerçek bağımlı değşke değer le tahm ettğmz bağımlı değşke değer arasıdak br fark oluşmaktadır. Bu fark kestrm hatası olup aşağıdak gb fade edleblr: e Y Y ˆ Tahmlermz doğru olması ç ortalama olarak kestrm hatalarıı beklee değer ^ olması gerekmektedr. Dolayısıyla, Y değşke Y ı sapmasız br tahm edcsdr. Bu sapmasızlığı gösterm ortalama kestrm aralığıı gösterm esasıda gerçekleştrmştk. Bu yüzde, şmd se sadece güve aralığıda kullamak üzere kestrm hatasıı varyasıı celeyelm. Bu varyas aşağıda verlmektedr. 1 var( e ) 1 X X x u Dolayısıyla, tekl kestrm aralığı aşağıdak gb elde edlr: Y Yˆ z SE( Y Yˆ ) / Hata termler varyasıı blmedğ durumda se, varyası tahm edcs dağılım olarak da ( -) serbestlk dereces le t-dağılımı kullaılmaktadır. Y Yˆ t est. SE Y Yˆ / ; s u ve Gerekl verler ç öcelkle tuketm1.mtw dosyasıı açıız. Stat meüsüde regresso ı seçeerek regresso seçeeğ üzere tıklayıız. Karşııza çıkacak ola dyalog ekraıda respose yaza yere (bağımlı değşke temsl eder) Y1 değşke ve predctor yaza yere de (bağımsız değşke fade eder) X1 yazıız.

291 Şekl Dyalog ekraıda yer ala Optos meüsüe tıklayarak özellkler aşağıdak gb belrleyz. Şekl OK tuşua basıp aakütle dyalog ekraıa ger dödükte sora tekrar OK tuşua basarak aşağıdak çıktı elde edersz.

292 Şekl Çıktıı çerçeve çe alımış kısmıa odaklaırsak, tahm edlmş değer,64 ( Ft adı altıda) ve bu değere at ola stadart sapma değer, ortalama kestrm aralığıı ( CI adı altıda), kestrm aralığıı ( PI adı altıda) göreblrz. Bu çıktıdak ortalama kestrm aralığı, gelr düzey 35$ ke, ortalama olarak tüketm düzey %95 olasılık le (187,6; 18,1) aralığıda yer aldığıı göstermektedr. Kestrm aralığı se, gelr düzey 35$ ke, tüketm düzey %95 olasılık le (181,3; 4,4) aralığıda yer aldığıı göstermektedr. Ekler Ek 14.1 Kolaylık sağlaması açısıda, dsler şmdlk görmezlkte gelelm. Her mmzasyo veya maksmzasyo şlemde olduğu gb fade türev alıp sıfıra eştleyelm. HKT Y a bx 1 ( E.1) a

293 HKT Y a bx X ( E.) b Deklem (E.1) ve (E.), ormal deklemlermz oluşturmaktadırlar. İk blmeye (a ve b ) ve k deklem buluduğuda bu deklem sstem brkaç küçük şlemde sora kolaylıkla çözüleblr. Öcelkle, deklem (E.1) -(1/) le çarpalım: a a olduğuda: Y a bx Y a b X Y a b X ( E.3) Y Y X (Y değşke ortalaması) ve X (X değşke ortalaması) olduğuda deklem (E.3) ü de kullaarak a ç gerekl çözümü aşağıdak gb bulablrz. ( E.4) Y X a b Y bx Bu şeklde Deklem (14.8) de türetmş olduk. Şmd tekrar deklem (E.) ye döelm ve her tarafı 1/ le çarpalım: Y a bx X Gerekl şlemler yaptıkta sora aşağıdak deklem elde ederz: YX ax bx toplam operaötürüü kullaarak paratez açacak olursak: YX a X b X ( E.5) Deklem (E.4) de elde ettklermz deklem (E.5) de yere koyacak olursak: Paratez açalım: Y X XY b X b X Y X X X XY b b X

294 Eştlğ her k tarafııda -1 le çarpıp fadey tekrar düzelersek: Y X X X XY b X b b y sol tarafta yalız bırakarak deklem çözdüğümüzde aşağıdak deklğ elde ederz: X X Y X bx b XY b Bu şeklde de Deklem (14.6) yı göstermş olduk. Y X XY X X X Ek 14. Deklem (14.6) pay kısmıı aşağıdak gb yede düzeleyeblrz: Y X XY X X Y Y ve payda kısmıı da aşağıdak gb yede düzeleyeblrz: X X X X X Bu kısaltılmış fadeler kullaılarak Deklem (14.7) elde edleblr. Ek 14.3 E( Y ˆ ) = Y fades kaıtlaması E( Yˆ ) Y koşulu aşğıdak bçmde de yazılablr Dolayısyla E( Y Y ˆ ) E( Y Yˆ ) E( X u a bx ) E( ) E( X ) E( u ) E( a) E( bx ) X X

295 1 Ek 14.4 var( Yˆ ) u X X x fades kaıtlaması var( Yˆ ) var( a bx ) var( a) X var( b) X cov( a, b) X u u u X X ( X ) x x x X X X X u x x x u X X X X x Payda, X ekleyp X çıkarsak ve X X döüşümüü yapsak: var( Yˆ ) X X X X X X u x u X X X X X XX x X ayırarak deklem tekrar düzeledğmzde:

296 X XX X X X X X ˆ var( Y ) u x X X X X X X fades kullaarak aşağıdak formül elde edleblr. X X X X ( X X ) x döüşümüü yapalım ve var( Yˆ ) î u x x X X Ek var( e ) 1 X X x u fades kaıtlaması var( e ) var( Y Yˆ ) var( Y ) var( Yˆ ) Yˆ ve Y brbrde bağımsız olduğuda dolayı varyas: 1 var( e ) u u X X x Dolayısıyla 1 var( e ) 1 X X x u

297 Bölüm 15: Çoklu Doğrusal Regresyo Grş Br öcek bölümde tek br bağımlı değşke le tek br açıklayıcı değşke arasıdak lşky celedk. Çoklu regresyo modelde se, açıklayıcı değşkelerde oluşa br set tek br bağımlı değşke le lşkler celeyeceğz. Öreğ, talep mktarıı bağımlı değşke olarak celerke, fyat sevyes le gelr düzey brer açıklayıcı değşke olarak ele alablrz. Talep mktarı le fyat sevyes ve gelr düzey arasıdak lşky celerke, açıklayıcı değşkeler brlkte etkler le kısm etkler brbrde ayırmak gerekldr. Örek olarak, gelr düzey sabt tutarak sadece fyatları talep üzerdek etks veya fyatları sabt tutarak sadece gelr düzey talep mktarı üzerdek etks celemek steyeblrz. Çoklu regresyo model bze bu steklermz çerçevesde çalışma mkaı verr. Çoklu Regresyo Model Varsayımları Modelmzde k tae açıklayıcı değşke olduğuu düşüelm ve modelmz aşağıdak gb oluşturalım: Y X Z u (15.1) Çoklu regresyoda,, ve ı tahm edc değerler (a, b, ve c gb) seçerek, hataları kareler toplamıı mmze etmeye çalışırız. Bölüm 14 te de celedğmz gb tahm edcler bulmak ç ormal doğrusal deklem set, a, b, ve c değerler çözmemz gerekmektedr. Bu bölümde yapacağımızı bölüm 14 tekde tek farkı burada çözmemz gereke k değl üç deklem bulumasıdır. Tahm edcler asıl bulacağımızı celemede öce, yukarıda yer ala deklem hakkıda brkaç yorumda bulualım. Hata termler, Y de meydaa gele ölçüm hataları, Y, X ve Z arasıdak lşk belrlemesde meydaa gele hataları heps kapsamaktadır. Çoklu regresyo aalzde, ayı bast regresyo alzde olduğu gb, hata termler le alakalı olarak brkaç temel varsayımda bulumamız gerekmektedr. Bu varsayımlar: E( u ) = (hataları beklee değer olduğu, hata ortalamalarıı sıfır olduğu). Bu varsayımı şlemedğ durumlarda katsayı tahm edcler sapmalı değerlere sahp olurlar. E( u )= (hataları kareler beklee değer sabt br değerdr, bu varsayıma hata termler homoskedastk (eş dağılması) olması varsayımıda deleblr). Bu varsayımı şlememes halde heteroskedastste (farklı dağılım) durumu söz kousu olur ve tahm edlmş stadart hata değerler sapmalı olurlar. E( uu j) = j ke

298 (hata termler arasıdak kovaryas sıfırdır. Bu varsayım özellkle zama serler le alakalı uygulamalarda çok öem teşkl eder. Bu varsayıma gore hatalar brbrlerde bağımsızdırlar). Bu varsayımı şlememes halde ser korelasyo durumu görülür ve tahm edlmş stadart hatalar sapmalı çıkar. E ( u, X ) = E( u, Z ) = (hata termler le açıklayıcı değşkeler arasıdak kovaryas değer sıfıra eşttr, brbaşka fade le u term, X ve Z değşkelerde bağımsızdır). Bu varsayımı şlememes halde tahm edlmş katsayılar sapmalı değerler alırlar. u N, (hata termler, sıfır ortalama ve sabt varyas se ormal olarak dağılırlar). Bu varsayımı şlememes halde, t ve F test souçları tutarlılığıı ve geçerllğ ytrr. Ktabımızı hedefler arasıda bu varsayımları detaylı br şeklde celemek yoktur. Fakat, hata termler hakkıdak bu varsayımları herhag br şlemedğ durumlarda souçlarıda eler olableceğ blmeldr. Çoklu Regresyo Aalz Kullaarak Tahm Edcler Buluması İk değşkel regresyo aalzde, aakütle termler ola ve ı tahm edcler formüller türettk ve oları a ve b dye adladırdık. Şmd se ayı şlemler çoklu regresyo aalz ç gerçekleştreceğz. Y X Z u (15.) Çoklu regresyo modelmzde se a ve b tahm edcler, ve aakütle parametreler tahm etmeye çalışırke; c tahm edcs se aakütle parametres tahm etmeye çalışmaktadır. Y a bx cz e (15.3) Tahm edclermz formüller br öcek bölümde bulduklarımıza bezerdr. Sadece şmd artık elmzde br tae daha açıklayıcı değşke daha vardır. Br öcek bölümdeke bezer br şeklde a tahm edcs formülüü aşağıdak gb elde ederz: a Y bx cz Bu formülü değer hesaplayablmemz ç öcelkle b ve c değerler bulmamız gerekmektedr. Şmd se b ve c değerler asıl bulacağımızı celeyelm. b tahm edcs hesaplamak ç aşağıdak formül kullaılırke: b X X Y Y Z Z Z Z Y Y X X Z Z X X Z Z X X Z Z

299 c tahm edcs hesaplamak ç aşağıdak formül kullaılır: c Z Z Y Y ( X X ) X X Y Y X X Z Z ( X X ) ( Z Z ) X X Z Z Notasyolarda braz değşklk yaparak bu sevmsz formüller braz daha sevece br hale getrelm. Sapma otasyolarıı kullaarak x X X, y Y Y, ve z Z Z, (küçük harfler ortalamada sapmaları göstermektedr) formüllerde yere koyalım. b c x z xz x y z z y x z x z x z z y x x y x z Acak hala bu formüller so derece karışıktır, eyse k hatırlamaları gerekmemektedr 4. Formüller türetmdek presp tamame k değşkel regresyo aalzde olduğu gbdr. HKT mmze edlmes presbe dayaır. Çoklu regresyo aalzde regresyou stadart hata formülü aşağıdaki gbdr. Y a bx cz e HKT s Ye bu stadart hata değer hem b hem de c stadart sapmalarıı bulurke kullaacağız. b tahm edcs stadart hatası s : b s b s z x z x z (15.4) c tahm edcs stadart hatası s c : s c s x x z x z (15.5) Formülü braz daha şmze yarayacak br hale getrmeye çalışalım. Deklem 4 ü payıı ve paydasıı karekökü çersde, 1/ z fadese bölelm. 4 Geel olarak bu tarz operasyolarda matrsler kullaıldığıda bu formüllere htyaç duyulmamaktadır. Acak, matrs cebr dersmz alaı çerse grmedğde dolayı bu hususa değlmeyecektr.

300 z z x z x z x z z z / 1 sb s s x z Daha sora payı ve paydayı 1/ x le çarpalım b 1/ x 1/ x x x z x z 1 x x z x z s s s (15.6) xz xz katsayıı karesdr. fades, Bölüm 13 te belrttğmz, X ve Y değşkeler arasıdak korelasyo r XZ xz x z Dolayısıyla deklem 15.6 yı tekrar fade edecek olursak: b 1/ x 1 1 rxz 1 rxz x s s s (15.7) ve deklem 15.5 yede fade edecek olursak c 1/ z 1 1 rxz 1 rxz z s s s (15.8) ve deklemler, b ve c tahm edcler stadart hatalarıa alteratf br gösterm tarzı getrmes yaısıra, öeml br gerçeğde ortaya çıkarmışlardır. Eğer açıklayıcı değşkeler arasıda doğrusal br lşk yoksa, br başka fade le aralarıdak korelasyo katsayısı sıfır se( r XZ = ); deklemler, k değşkel regresyo modeldek katsayıları stadart hata formüller le brebr ayı olmaktadır. Dolayısıyla eğer k açıklayıcı değşke arasıda, doğrusal br lşk yok se katsayıları stadart hataları k değşkel bast regresyo aalzde olduğu gbdr.

301 s b s 1 x s c s 1 z Eğer, k açıklayıcı değşke arasıda poztf veya egatf yöde tam br lşk varsa ( r XZ = 1 veya r XZ = -1), deklem 15.7 ve 15.8 sosuz değer alırlar ( s 1 ). Souç olarak, X ve Z açıklayıcı değşkeler arasıdak lşk arttıkça, r XZ arttıkça, stadart hataları azalmaktadır. Çoklu Regresyo Modelde Çoklu Belrleyclk Katsayısı Çoklu regresyo modelde belrleyclk katsayısı, br öcek bölümde olduğu gb, RKT regresyo kareler toplamı le HKT hatalar kareler toplamıı ayrı ayrı TKT ye toplam kareler toplamıa bölümes le elde edleblr: TKT = RKT + HKT Eştlğ her k tarafıı da toplam kareler toplamıa bölelm (TKT): RKT HKT 1 TKT TKT Daha öcede belrttğmz gb, Y dek farklılaşmaı açıklaa kısmı düzeltlmemş fadey elde ederz: R dr. Yukarıdak eştlğ tekrar düzeleyecek olursak, R 1 SSE SST RKT TKT, R veya SSR SST = R, aşağıdak Şmdye kadar br öcek bölümdekde farklı brşey yapmadık. Bu kouu çoklu regresyo aalzdek farkı, sadece HKT, RKT ve TKT ı taımlamalarıda ortaya çıkmaktadır. Bu taımlamalar aşağıdak gbdr:

302 ( ) 1 1 HKT e Y a bx Z TKT ( Y Y ) 1 RKT ( Yˆ Y ) 1 Ayı şeklde katsayımız ye, le 1 aralığıdadır. HKT ı küçük olması, R değer yükseltecek ve daha uygu br tahm sağlaacaktır. R dğer br öeml özellğ, açıklayıcı değşkeler sayılarıı azalmaya br foksyou olmasıdır. Açıklayıcı değşkeler sayısı arttıkça, geellkle R de artmaktadır ve hçbr zama azalmamaktadır. Br başka fade le ye eklee br açıklayıcı değşke hçbr zama R değer düşürmemektedr. Bu yüzde çoklu regresyoda, k tae R y karşılaştırıyorsak, ve k farklı modelde açıklayıcı değşkeler brbrde farklı se br öcek bölümde de gördüğümüz düzeltlmş -R y kullamamız gerekmektedr. Düzeltlmş R formülüü hatırlayacak olursak: TKT 1 HKT k HKT 1 R 1 1 TKT k Çoklu Regresyo Modellerde İstatstksel Çıkarım Çoklu regresyo modellerde de, br öcek bölümde deydğmz gb, regresyo katsayılarıı statstksel alamlılığıa dar testler gerçekleştrrz. Bu testler b ve c katsayılarıı statstksel alamlılığıa dar ola testlerdr. (daha öcede olduğu gb sabt katsayıyı dkkate almıyoruz) Bu alamlılık testler ayrı ayrı gerçekleştreblrz. ve H : H : A H : H : A olarak hpotezlermz belrteblr ve bu hpotezler test edecek ola uygu t-statstk değerler de aşağıdak gb belrteblrz: ve b t s b

303 c t s bölümümüzü başıda stadart hata formüllere ( s b ve s c ) deymştk. Her zama olduğu gb testmz soucuu bulmak ç hesaplamış ola t-statstk değerler le tabloda baktığımız t- krtk değerler karşılaştırırız. (veya p değer yaklaşımıı da kullaablrz). Bu testler souçları bze, X ve Z açıklayıcı değşkeler, Y değşke üzerde alamlı br etks olup olmadığıı göstermektedr. İlşk Alamlılığıı Bütüsel Olarak Test Edlmes Deklem (15.3) te yer ala model kullaarak, tahm edlmş regresyodak lşk bütüsel olarak alamlılığıı test etmek stedğmz düşüelm. Deklem yede yazacak olursak: c Y a bx cz e Her k açıklayıcı değşke, bağımlı değşke üzerdek brlkte ola lşk alamlılığıı test etmek stemekteyz. Bu test gerçekleştrrke, t-test yere Bölüm 1 de de hatırlayacağıız F-test kullaacağız. Hatırlaacağı üzere F-test k varyası brbre ola oraı le hesaplamaktaydı. Bu test kullaılırke hpotezler le alakalı olarak br takım kısıtlamalar yapılacaktır. Yukarıdak deklemde, hataları kareler toplamıı elde ettğmz ve HKT olarak fade ettğmz varsayalım. HKT, kısıtlamamış modelde elde edlmş ola, hataları kareler toplamıı temsl eder. Bu model kısıtlamamış olmasıı ede, deklem ye herhag br kısıtlayıcı parametre eklememş olmasıdadır. Açıklayıcı değşkeler bütüsel alamlılığıı test edeblmek ç gerekl ola sıfır ve alteratf hpotez oluşturalım: H : H : H ' ı yalış olması A Dolayısıyla tahm edlmş model aşağıdak gbdr: Y a e (15.9) Bu modele göre tahm edlmes gereke sadece sabt termdr. Bu bağlamda, a Y bx cz Sıfır hpotez olduğuda: a Y Şmd se bu modele at ola hataları kareler toplamıı, KHKT kısıtlamış hataları kareler toplamı olarak fade edeblrz ve bu değer:

304 ( ) ( ) 1 1 KHKT Y a Y Y TKT Hpotez test edeblmek ç, gerekl ola F test statstk değer hesaplamaya yöelk formül aşağıdak gbdr: F KHKT HKT df df HKT df Burada, df kısıtsız, kısıtlamamış model serbestlk dereces gösterr ve bu model ç 3 e eşttr. df kısıtlı, kısıtlamış model serbestlk dereces gösterr ve bu model ç 1 e eşttr. F test dağılımıda, pay ve paydada olmak üzere k tae serbestlk derecese htyacımız olduğuda; dfkısıtlı dfkısıtsız paya at ola serbestlk dereces, df kısıtsız da paydaya at ola serbestlk dereces fade etmektedr. Modelmzde, paya at ola serbestlk dereces ( - 1) -( - 3) = dr. Testmze at ola kısıtlama sayısı dr ( = ve = ). Paydaya at ola serbestlk dereces se 3 e eşttr. Geel fade le F-test aşağıdak gb belrteblz: kısıtlı kısıtsız kısıtsız F F( g, k) g testmzde yer ala kısıtlama sayısıı göstermektedr (kısıtlamış le kısıtlamamış modeller serbestlk dereceler arasıdak fark). k se kısıtlamamış modelmzdek parameter sayısıı fade etmektedr. Şmd F testmz formülüü yede yazalım: F KHKT HKT g TKT k Deklem 15.3 tek model tahm etmek stersek, öcelkle KHKT = TKT eştlğ kullaarak F test tekrar fade edelm: F Eğer payı ve paydayı TKT değere bölersek: F TKT HKT g TKT k 1 HKT / TKT 1 k R 1 HKT TKT HKT R 1 TKT g Eştlkler kullaarak, F test başka br şeklde de fade edeblrz:

305 F R g 1 R k Dolayısıyla, açıklayıcı değşkeler bütüsel alamlılığıa dar test R dekullaarak yapablrz. Eğer, F test değer, F krtk değerde büyük olursa sıfır hpotez reddederz ve açıklayıcı değşkeler bütüsel olarak bağımlı değşke etkledğ soucua varırız. F değer tahm edle model alamlılığı le alakalı olarak çok faydalı blgler edmemze yardımcı olur. Eğer R düşük çıkarsa, F test değerde küçülecektr dolayısıyla, test alamlılığıda da br düşüş gözleecektr. Çoklu Regresyo Modelde Regresyo Katsayılarıı Yorumu Deklem 1 da fade ettğmz regresyo model kullaarak, tahm edlmş katsayıları asıl yorumlaması gerektğ celeyelm. Q, bell br mala ola talep mktarıı; P fyat düzey gösterrke Y de gelr düzey gösterdğ düşüelm: Qt a bpt cyt et (15.1) Modelmzde ye, e t hata term göstermektedr. Şmd aklımıza takıla soru, b ve c katsayılarıı asıl yorumlamamız gerektğdr. b katsayısı, gelr düzey sabt ke fyatları talep mktarı üzerdek saf etks göstermektedr. c katsayısı se, fyatlar sabt ke, gelr düzey talep mktarı üzerdek saf etks göstermektedr. Dkkat edlmes gereke hususlarda br de b katsayısıı elastkyet olarak yorumlamaması gerektğdr. b yorumu yapılırke, b hem fyat hem de talep mktarıda kullaıla ölçü brme bağlı olduğuu uutulmamasıdır. b katsayısı, talep deklem fyata göre türev temsl etmektedr. Brbaşka fade le: Qt b P t c katsayısı se talep deklem gelr düzeye göre türev temsl etmektedr. Brbaşka fade le: Qt Y t c Bu fadelerde hçbr elastkyet temsl etmemektedr. Bu tahm edcler, elastkyet değer hesaplamak ç de kullaablrz. Öreğ, taleb fyat eseklğ hesaplamak ç, aşağıdak yötem kullaırız: Qt P P b P Q Q t Burada P ve Q, ortalama fyat ve ortalama talep mktarıı temsl etmektedr. Alteratf br yaklaşımı da, deklem 3 ü doğal logartmasıı alarak (l alarak) gerçekleştreblrz:

306 l( Q ) a bl( P) cl( Y ) e t t t Doğal logartmasıı aldığımız deklem, fyata göre türev alacak olursak: l( Qt ) Qt Q Qt Pt b l( P) P P P Q t t t t Dolayısıyla tahm edlmş ola katsayı burada, ayı zamada fyata göre talep eseklğe eşttr. Doğal logartmasıı aldığımız deklem, gelr düzeye göre türev alacak olursak: l( Qt ) Qt Qt Qt Yt c l( Y ) Y Y Y Q t t t t t Burada dkkat etmemz gereke husus elastkyet ölçüm brmlerde bağımsız olduğudur. Şmd se çoklu regresyo modelmzdek tahmler Mtab le gerçekleştrelm. Br pasta fabrkasıı geel müdürü olduğumuzu ve Marmara bölgesde ürüümüzü etkleye faktörler araştırdığımızı düşüelm. Modelmz aşağıdak gb olsu: Q P P Y A u c t t t t t t Q t : Talep mktarı. Bu bölgede satıla pasta sayısı (Mtab dosyasıda Talep olarak fade edlmştr) P : Br pastaı fyatı (Mtab dosyasıda fyat olarak fade edlmştr) t c P t : Rakp frmaı ürettğ pastaı fyatı (Mtab dosyasıda Rfyat olarak fade edlmştr) Y : Bölgedek kş başıa düşe ortalama gelr düzey (Mtab dosyasıda Gelr olarak fade edlmştr) t A : Reklam Harcamaları (Mtab dosyasıda Reklam olarak fade edlmştr) t Öreklem vermz, talep.xls, talep.mtw ve talep.sav dosyalarıda yeralmaktadır. Aakütle deklemmz tahm etmek ç kullaacağımız öreklem model aşağıdak gbdr. Q a bp cp dy fa e c t t t t t t Tahm ç öcelkle kullaacağımız verler buluduğu çalışma sayfasıı açalım. Daha sora Mtab programıda stat (statstk) meüsüde regresso (regresyo) u seçelm ve tekrar regresso (regresyo) a tıklayalım. Karşımıza çıkacak ola dyalog ekraıda, respose yaza kutucuğa (bu kutucuk bağımlı değşke fade eder Talep değşke, predctor yaza kutucuğa da (bu kutucuk da bağımsız açıklayıcı değşkeler yazıldığı yer fade eder) Fyat, Rfyat, Gelr, Reklam açıklayıcı değşkeler grelm.

307 Şekl 15.1 OK tuşua tıkladığımızda aşağıdak çıktı ekraıı elde etmemz gerekmektedr. Şekl 15. Regresyo katsayılarıı aşağıdak gb yorumlayablrz: a = Regresyo foksyouu sabt termdr her durum ç yorumlama yapılamaz. Bu örekte se, statstksel olarak alamlı olmadığıda dolayı herhag br yorum getrlemez. b -, 3. Fyat ı katsayısı olarak, pasta fyatlarıda br brmlk br artış olduğuda, talep mktarıı yaklaşık olarak,3 brm düşeceğ göstermektedr.

308 c, 4. Eğer rakp frma, fyat düzey br brm arttırırsa, Marmara Bölges de pastalarımıza ola talep mktarı,4 brm artacaktır. d, 86. Bölgedek kş başıa düşe ortalama gelr düzey br brm artarsa, saları,86 brmlk br ekstra pasta taleb olacaktır. f, 5. Reklam ç yapıla her ekstra brmlk harcama, satış mktarıda,5 brmlk br artışa yol açacaktır. Bu katsayıları statstksel alamlığıı test etmek ç ster t-statstkler stersez de p- değerler kullaablrsz. Öreğ, fyat değşke modelmz ç alamlı olup olmadığıı test edelm: H : H : A Her zama olduğu gb ye t-statstk değerler veya p-değerler kullaacağız. Mtab çıktısıda, fyat değşke alamlı br etks olmadığı sıfır hpotez açık br şeklde reddetmemz gerektğ alamaktayız. Şekl 15.3 Bezer br şeklde, sabt term harcde bütü katsayıları yüzde 1 luk alamlılık düzeyde, alamlı olduğuu söyleyeblrz. Yüzde beşlk alamlılık düzeyde se sabt term ve reklam katsayısı harcde dğer katsayıları tamamı alamlıdır. R ve R her ksde modelmz açıklayıcılığıı yüksek olduğua şaret etmektedr. So olarak, katsayıları bütüsel alamlılığıı F test kullaarak celemeye çalışalım. Hpotezlermz aşağıdak olmalıdır: H : H : H ı yalış olması A '

309 Mtab çıktısıda Aalyss of Varace (Varyas Aalz) başlığıı altıda F statstk değer ve p-değer bulablrz. Şekl 15.4 Çıktıda da görüldüğü gb, p değer çok küçük olduğuda veya F-statstk değer çok büyük olduğuda dolayı sıfır hpotezmz reddederz ve regresyo katsayılarıı bütüsel olarak alamlı olduğu soucua varırız.

310 EK İSTATİSTİK TABLOLARI TABLO 1 NORMAL DAĞILIM FONKSİYONU

311 TABLO 1 NORMAL DAĞILIM FONKSİYONU (Devam) TABLO t DAĞILIMI FONKSİYONU

312 TABLO t DAĞILIM FONKSİYONU (Devam)

313 TABLO t DAĞILIM FONKSİYONU (Devam)

314 TABLO 3 t DAĞILIM FONKSİYONUN YÜZDELİK NOKTALARA GÖRE DAĞILIMI

315 TABLO 4(a) %1 a GÖRE F DAĞILIMI

316

317 TABLO 4(b) %5 e göre F DAĞILIMI TABLO 4(c) %.5 a göre F DAĞILIMI

318

319 TABLO 4(d) %1 e göre F DAĞILIMI TABLO 4(e) %.5 e göre F DAĞILIMI

320 TABLO 4(f) %.1 e göre F DAĞILIMI

321 TABLO 5 Kİ-KARE DAĞILIM FONKSİYONU

322 TABLO 5 Kİ-KARE DAĞILIM FONKSİYONU (Devam)

323 TABLO 5 Kİ-KARE DAĞILIM FONKSİYONU (Devam)

324

325 TABLO 6 Kİ-KARE DAĞILIMININ YÜZDELİK DİLİMLERE GÖRE DAĞILIMI

326 TABLO 6 Kİ-KARE DAĞILIMININ YÜZDELİK DİLİMLERE GÖRE DAĞILIMI (Devam)

327 TABLO 7 BİNOM DAĞILIM FONKSİYONU

328 TABLO 7 BİNOM DAĞILIM FONKSİYONU (Devam)

329 TABLO 7 BİNOM DAĞILIM FONKSİYONU (Devam) TABLO 7 BİNOM DAĞILIM FONKSİYONU (Devam)

330 TABLO 7 BİNOM DAĞILIM FONKSİYONU (Devam)

331 TABLO 7 BİNOM DAĞILIM FONKSİYONU (Devam)

332 TABLO 7 BINOM DAĞILIM FONKSİYONU (Devam)

333 TABLO 7 BİNOM DAĞILIM FONKSİYONU (Devam)

334