T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GAZ DİNAMİK DENKLEMLERİNE YENİ BİR YAKLAŞIM: DİFERANSİYEL TRANSFORM METODUNUN BİR UYGULAMASI HÜLYA ESER YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Koa 8

2 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GAZ DİNAMİK DENKLEMLERİNE YENİ BİR YAKLAŞIM: DİFERANSİYEL TRANSFORM METODUNUN BİR UYGULAMASI HÜLYA ESER YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu tez / /8 tarihide aşağıdai jüri tarafıda obirliği / oçoluğu ile abul edilmiştir. Doç. Dr. Galip OTURANÇ ( Daışma ) Yrd. Doç. Dr. Adı KURNAZ Yrd. Doç. Dr. Ramaza TÜRKMEN ( Üe ) ( Üe )

3 ÖZET Yüse Lisas Tezi GAZ DİNAMİK DENKLEMLERİNE YENİ BİR YAKLAŞIM: DİFERANSİYEL TRANSFORM METODUNUN BİR UYGULAMASI Hüla ESER Selçu Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matemati Aabilim Dalı Daışma: Doç. Dr. Galip OTURANÇ 846 Safa Jüri: Doç. Dr. Galip OTURANÇ Yrd. Doç. Dr. Adı KURNAZ Yrd. Doç. Dr. Ramaza TÜRKMEN Bu çalışmada diferasiel döüşüm ötemi homoje gaz diami delemlerii çözme içi ullaılmıştır. Delemi bezer aaliti çözümü olalıla hesaplaabile bileşeleri ola bir formda hesaplaır. Bilie diğer teiler ile metodolojii arşılaştırılması göstermiştir i bu alaşım etili ve güçlüdür. Matematisel fizite lieer ve lieer olmaa ii öre problem öerile ötemi performasıı ve etisii gösterme içi bu çalışmada araştırıldı. Aahtar Kelimeler: Diferasiel Döüşüm Yötemi Adomia Arışım Metodu Gaz Diami Delemleri iii

4 ABSTRACT MS Thesis A NEW APPROACH TO THE GAS DYNAMICS EQUATIONS: AN APPLICATION OF THE DIFFERANTIAL TRANSFORM METHOD Hüla ESER Selçu Uiversit Graduate School of Natural ad Applied Scieces Departmet of Mathematics Supervisior: Assoc. Prof. Dr. Galip OTURANÇ 746 Page Jur: Assoc. Prof. Dr. Galip OTURANÇ Asst. Prof. Dr. Adı KURNAZ Asst. Prof. Dr. Ramaza TÜRKMEN I this stud the differetial trasformatio method is used to implemet the homogeeous gas damics equatios. The approimate aaltical solutio of the equatio is calculated i the form of a series with easil computable compoets. Comparig the methodolog with some other ow techiques shows that the preset approach is effective ad powerfull. Two test modelig problems from mathematical phsics both liear ad oliear are discussed to illustrate the effectiveess ad the performace of the proposed method. Ke Words: Differetial Trasform Method Adomia Decompositio Method Gas Damics Equatios iv

5 ÖNSÖZ Diferasiel delemler özellile birici ve iici mertebede lieer diferasiel delemler teori ve prati baımda büü öem taşımata ve bütü fe ve mühedisli bilim dallarıda ço geiş bir ugulama eri bulmatadır. Bu çalışmada Gaz Diami delemlerii çözümüde diferasiel döüşüm ötemi ullaılmıştır. Ve bu ötemi ullaılmasıla lieer ve lieer olmaa diferasiel delemler cebirsel delemlere döüştürülebilmiş ve elde edile cebirsel delemler de bazı basit işlemlerle çözülmüştür. Tez ousuu seçimi ve ürütülmesi ousudai ardımları ve aı ilgiside dolaı saı hocam Doç. Dr. Galip OTURANÇ a Arş. Gör. Yıldıra KESKİN e Arş. Gör. Our KARAOĞLU a ve Öğr. Gör. Sema SERVİ e teşeürlerimi suarım. Hüla ESER Koa 8

6 . GİRİŞ.. Amaç ve Kapsam Kütle oruumu mometum oruumu eerji oruumu v.b. gibi mühedisli ugulamalarıda bulua oruum aularıı matematisel ifadeleri gaz diami delemleri olara biliir. R. Courat ve K.O. Friedrichs i çalışmasıda gaz diami delemleri uzasal bir düzlemde alı halile u u = f ( u t ) t (.) şelide azılabilir. Solu far teileri oloaso ötemleri Adomia Arışım teileri gibi bir ço saısal ötem lieer olmaa bu tür ısmi diferasiel delemleri çözümü içi geliştirilmiştir. Bu çalışmada diferasiel döüşüm ötemi (.) türüdei delemleri alaşı çözümüü elde etme içi hızlı ve verimli bir ol olara ortaa çıarılmıştır. Diferasiel Döüşüm Yötemii popülerliği so ıllarda artara büümüştür. Bu ötemi geel apısı il olara 98 leri başlarıda Zhou tarafıda ortaa çıarılmıştır. Fosioel delemi bu ötemde çözümü sosuz bir Talor serisii toplamı gibi düşüülmete ve bu paralelde çözüme ulaşılmatadır. Bu çalışmaı apısı aşağıdai gibi düzelemiştir. İici bölümde Diferasiel Döüşüm Yötemii temel taımları teoremleri ve (.) delemi içi öerile ötemi ullaımıla başlaacağız. Üçücü bölümde ise Adomia Arışım Metodu haıda bazı temel taımlar ve teoremler verilmiştir. Dördücü bölümde ise Diferasiel Döüşüm Yötemii e adar etili olduğuu gösterme içi ii tae gaz diami delemide bu ötemi ugulaması ve arıca Adomia Arışım Metoduu ugulaması ile bulua souçları grafisel olara arşılaştırılması verilmiştir.

7 .. Literatür özeti Kuraz A. Oturaç G. Kiriş M. E.; (5). Bu çalışmada PDEs çözümleri içi boutlu diferasiel metodu geelleştirilmesi verilmiştir. Bu metodu diğerleride arı olara özelliği özellile lieer olmaa diferasiel delemleri çözmete etili olmasıdır. Kuraz A. Oturaç G.; (5). Bu çalışmada adi türevli diferasiel delem sistemlerii çözümleri içi diferasiel döüşüm metoduu bir geellemesi verilmiştir. Che C. K Ho S. H.; (999). Bu Çalışmada ii boutlu diferasiel döüşüm teorisie giriş apıldı. Aaz F.; (). Bu çalışmada Kismi türevli diferasiel delemleri başlagıç değer problemlerii ii boutlu diferasiel döüşüm metodu çözümü araştırıldı. Bu metot lieer ve lieer olmaa problemler içi olaca ugulaabilir. Adomia G. ve Rach R. (996). Bu çalışmada homoje ve lieer olmaa diferasiel ve itegral delemlerii arışım metodula çözümü araştırıldı. Abbaoui K. ve Cherruault Y.; (994). Bu çalışmada Adomia metodu ullaılara lieer olama fosioları bazı özellileri ispat edilmiş ve bazı somut örelere souçları ugulamıştır. Eser H. Oturaç G. Kuraz A. Kesi Y. Servi S. Çeesiz Y. (6). Bu çalışma esas alıara gaz diami delemlerii diferasiel trasform metodu ile çözümüe e olara bu delemleri Adomia arışım ötemile bulua souçları elemiştir.

8 . DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ..TEMEL KAVRAMLAR Mühedislite ugulamalı bilimlerde sosal bilimlerde ve daha birço bilim dalıda ço saıda problemi çözebilme içi öce bu problemleri matematisel ifadelerle formüle etme ve sora da bularla ilgili bazı sıır şartları başlagıç şartlarıı ullaara problemleri çözümleri oluştura fosioları bulup ortaa oma gereir. Bilie bir problemi formüle ede bu matematisel ifadeler baze araa fosiou e azıda birici mertebede vea daha üse mertebede türevlerii içermetedir. İşte bu çeşit bir matematisel ifadee diferasiel delem deir.... Adi Türevli Diferasiel Delem Adi diferasiel delem F(... () )= şelide azılır. Bu diferasiel delem. mertebede adi diferasiel delem olara adladırılır. Bir diferasiel delemde bir vea daha fazla saıda bağımlı değişe olmasıa arşı eğer alız bir bağımsız değişe varsa bu deleme adi diferasiel delem deir.

9 4... Kısmi Türevli Diferasiel Delemler Bir diferasiel delem bir te bağımlı değişei ii vea daha fazla saıda bağımsız değişe ciside türevlerii içeriorsa bu deleme ısmi türevli diferasiel delem deir A B C D E F ve G ve bağımsız değişelerii fosioları olma üzere iici mertebede doğrusal ısmi türevli diferasiel delem; u u u u u A B C D E Fu =G() (..) şelidedir. G()= ise (..) delemi u u u u u A B C D E Fu = (..) şelie idirgeir. (..) ısmi türevli diferasiel delemi paraboli elipti ve hiperboli olma üzere farlı tipi vardır. A B C D E ve F atsaıları gerçel sabitler olma üzere ve değişelerie göre A BC DEF= (..) şelide iici derecede cebirsel delemi Δ a baılara tipi belirleebilir. Bu durumda; Δ = B 4AC Δ < Δ = Δ > ise ise ise elipti paraboli hiperboli diferasiel diferasiel diferasiel delem delem delem gösterdiği bilimetedir. Öreği; a-) u u C = (..4)

10 5 iici derecede ısmi türevli diferasiel delemi C= içi B -4AC=-4< olduğuda elipti tip diferasiel delemdir. (..4) delemi ii boutlu Laplace delemi olara biliir. Aışalar meaiğide sııştırılamaa ideal aışaı aım fosiou didörtge levhadai ararlı sıcalı fosiou gibi fizisel olalar tarafıda sağlaa delemdir. (..4) delemii çözümü; u=f(i)g(-i) olara elde edilebilir. b-) u u =h() (..5) delemi elipti tiptedir. İi boutlu Poisso delemi olara biliir. Çevritili ideal sııştırılamaa aışaı aım fosiou tarafıda sağlaa delemdir. c-) (..6) u u = t delemide B -4AC= olduğuda paraboli delemdir. Bir boutlu ısı (difüzo) delemi olara biliir. Homoje bir çubuğu sıcalığı (..6) delemi ile belirleir. d-) u u t = (..7) delemide B -4AC> olduğuda hiperboli delemdir. Bu delem bir boutlu dalga delemi olara biliir. Titreşe bir teli üzeridei tüm otaları üçü er değiştirmeleri ideal aışaı üze dalgalarıdai hızı (..7) delemi ile belirleir. Bu delemi çözümü

11 6 U=f( c )g(- c ) (..8) olara azılabilir.... Başlagıç Değer Problemi Kısmi türevli diferasiel delemlerle birlite t bağımsız değişei t= değeri içi u=u çözümü verilirse bu oşula başlagıç oşulu bu oşul altıdai delemi çözmee Başlagıç Değer Problemi deir. u u = t u()=f() Başlagıç oşulu..4. Sıır Değer Problemi Diferasiel delemlerle birlite çözüm bölgesi sıırlarıda fizi problemi belirleece şeilde çözüm fosiou vea türevlerii değeri verilmişse bu oşullara Sıır Koşulları bu oşullar altıda delemi çözmee Sıır Değer Problemi deir. u = u t u( t) = u( L t) = Sıır Koşulları ısmi türevli diferasiel delemleri çözümü Diferasiel Döüşüm Yötemi Değişelerie Aırma Yötemi Laplace Döüşümü Fourier Döüşümü Heel Döüşümü Melli Döüşümü ötemleride biri ardımıla buluabilir. Bu çalışmada Diferasiel Döüşüm Yötemi ullaılmıştır

12 7.. DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İl olara burada Diferesiel Döüşüm ötemii taımı ve geel özellileri ifade edilecetir. Lieer lieer olmaa adi türevli ve ısmi türevli diferasiel delemleri çözümü içi ullaıla bu ötemde diferasiel delemler cebirsel delemlere döüştürülebilir ve elde edile cebirsel delemler de bazı basit işlemlerle olalıla sistemati bir şeilde çözülebilir. Arıca diferasiel delemleri cebirsel delemlere döüştürere çöze itegral döüşüm ötemleri (Laplace ve Fourier döüşümleri) gibi metotlarda vardır ama diferesiel döüşüm metodu bu metotlarla arşılaştırıldığıda daha ola çözüme ulaştırır çüü itegral ötemleri ullaıldığıda armaşı ifadeleri itegrallerii alıması zor olabilir ve ters döüşümlerii alımasıda problemler ortaa çıabilir. Souçta bu ötem ile lieer ve lieer olmaa problemleri çözümüü aı sıra süreli olmaa sıır şartlarıa sahip problemleri çözümüde de çalıştığıı görülebilir.... Te Boutlu Diferasiel Döüşüm Yötemi Bu ötem te değişe içerdiğide adi türevli diferasiel delemleri çözümleri içi ullaılır bu öteme geçmede öce diferasiel operatörüü özellileri iceleelim. d d d d ± (α efi sabit) d d. ( u( ) α v( ) ) = u( ) ± α v( ) d d d. u( ) = u( ) d d d d d d d d d d d. ( u ) v( ) ) v( ) u( ) v( ) u( )... ( = d d v( ) d d d u( ) u( ) d u( )

13 8 Taım...[Che 996] Te bileşeli w() fosiouu diferasiel döüşüm fosiou W() olma üzere w() i te boutlu diferasiel döüşümü olara taımlaır. d W ( ) = ( )! w (...) d = Taım... [Che 996] W() döüşüm fosiouu tersi; diferasiel ters döüşüm fosiou = w( ) W ( ) = (...) biçimde taımlaır (...) ve (...) eşitlileri diate alıara aşağıdai (...) eşitliği elde edilir. d w ( ) = (...) w( ) =! d = (...) ve (...) delemleri ullaılara temel matematisel operasolar ardımıla te boutlu diferasiel döüşümü içi aşağıdai teoremleri verebiliriz. Teorem... [Che 996] Te bileşeli w() u() ve v() fosiolarıı alalım. Eğer w()=u() ± v() ise sırasıla W() U() ve V() verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W()=U() ± V() Teorem... [Che 996] Te bileşeli w() ve u() fosiolarıı alalım. c R olma üzere eğer w()= c.u() ise sırasıla W() ve U() verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere

14 9 W()=c U() Teorem... [Che 996] Te bileşeli w() ve u() fosiolarıı alalım. Eğer d w()= u() d ise sırasıla W() ve U() verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W()=()U() Teorem...4.[Kesi 5] Te bileşeli w() ve u() fosiolarıı alalım. r N olma üzere eğer r d u( ) w()= r d ise sırasıla W() ve U() verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere ( r)! W()=()()...(r) U(r)= U(r)! Teorem...5. [Che 996] Te bileşeli w() u() ve v() fosiolarıı alalım. r N olma üzere eğer w()=u()v() ise sırasıla W()U() ve V() verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W()= U ( r) V ( r) r= Teorem...6. [Che 996] Te bileşeli w() fosiouu alalım. m N olma üzere eğer w()= m

15 ise sırasıla W() verile fosiou diferasiel döüşüm fosiou olma üzere verilmiştir. = m W()= δ ( m) = asi halde w() i bazı değerleri içi elde edile W() değerleri aşağıdai tabloda w() w()=6 w()=8 w()=5 w()=7 5 w()= W() W()=6δ() W()=8δ(-) W()=5δ(-) W()=7δ(-5) W()=δ(-8) 4δ(-)- 9δ() Teorem...7 [Kesi 5] Te bileşeli w() u() ve v() fosiolarıı alalım. Eğer d w()= u() v() d ise sırasıla W() U() ve V() verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W()= ( r )( r ) U(r)V(-r) r= Teorem...8.[Kesi 5] Te bileşeli w() u() ve v() fosiolarıı alalım. Eğer d d w()= u( ) v( )

16 ise sırasıla W() U() ve V() verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W()= ( r )( r ) U ( r ) V ( r ) r= Teorem...9.[Kesi 5] Te bileşeli w() u() v() ve s() fosiolarıı alalım. Eğer w()=u()v()s() ise sırasıla W() U() V() ve S() verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W()=U() V() S()= r r= t= U ( r) V ( t) S( r t) Teorem...[Kesi 5] Te bileşeli w() u() v() ve s() fosiolarıı alalım. Eğer d w()= u()v() s() d ise sırasıla W() U() V() ve S() verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W(h)= r r= t= ( r t )( r t ) U(r)V(t)S(-r-t) Teorem...[Kesi 5] Te bileşeli w() fosiouu alalım. λ R olma üzere eğer w()=a λ ise W() verile fosiou diferasiel döüşüm fosiou olma üzere λ (l a) W()=!

17 Teorem... [Abdel-Halim 4] Te bileşeli w() fosiouu alalım. λ R olma üzere eğer w()=e λ ise W() verile fosiou diferasiel döüşüm fosiou olma üzere λ W()=! Teorem...[Kesi 5] Te bileşeli w() fosiouu alalım. λ R olma üzere eğer w()=e λb ise W() verile fosiou diferasiel döüşüm fosiou olma üzere λ W()=! e b Teorem...4. [Kesi 5] Te bileşeli w() fosiouu alalım. Eğer w()=sh(λ) ise W() verile fosiou diferasiel döüşüm fosiou olma üzere λ W()=! te çift ise ise Teorem...5. [Kesi 5] Te bileşeli w() fosiouu alalım. Eğer w()=ch(λ) ise W() verile fosiou diferasiel döüşüm fosiou olma üzere te ise W()= λ çift ise!

18 Teorem...6. [Abdel-Halim 4] Te bileşeli w() fosiouu alalım. ab R olma üzere eğer w()=si(ab) ise W() verile fosiou diferasiel döüşüm fosiou olma üzere W()= a π si b! Teorem...7. [Abdel-Halim 4] Te bileşeli w() fosiouu alalım. ab R olma üzere eğer w()=cos(ab) ise W() verile fosiou diferasiel döüşüm fosiou olma üzere W()= a π cos b! Teorem...8. [Arioglu 4] Te bileşeli w() ve u() fosiolarıı alalım. N olma üzere eğer w()= u( t) dt ise W() ve U() verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere U ( ) W()= Teorem...9. [Arioglu 4] Te bileşeli w() u() ve v() fosiolarıı alalım.eğer w()= v() u( t) dt

19 4 ise W() U() ve V() verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere Teorem... [Arioglu 4] U ( ) W()= V() Te bileşeli w() u() ve v() fosiolarıı alalım. Eğer w()= u( t) v( t) dt ise W() U() ve V() verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere U ( ) V ( ) W()=... İi Boutlu Diferasiel Döüşüm Yötemi Taım... [Zhou 986] İi bileşeli w() fosiouu diferasiel döüşüm fosiou W(h) olma üzere w() i ii boutlu diferasiel döüşümü olara taımlaır. h W ( h) = w( ) h (...)! h! = =

20 5 Taım... [Zhou 986] W(h) döüşüm fosiouu tersi; diferasiel ters döüşüm fosiou w( ) = = h= W ( h) h (...) biçimde taımlaır. (...) ve (...) eşitlileri diate alıara aşağıdai (...) eşitliği elde edebiliriz. h h w ( ) = w( ) (...) h = h=! h! (...) ve (...) delemleri ullaılara temel matematisel operasolar ardımıla ii boutlu diferasiel döüşümü içi aşağıdai teoremler ispat edilebilir. Teorem... [Zhou 986] İi bileşeli w() u() ve v() fosiolarıı alalım. Eğer w()=u() ± v() ise sırasıla W(h) U(h) ve V(h) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W(h)=U(h) ± V(h) Teorem... [Zhou 986] İi bileşeli w() ve u() fosiolarıı alalım. c R olma üzere eğer w()=c u() ise sırasıla W(h) ve V(h) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W(h)=cU(h) Teorem... [Zhou 986] İi bileşeli w() ve u() fosiolarıı alalım. Eğer u( ) w()= = =

21 6 ise sırasıla W(h) ve U(h) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W(h)=()U(h) Teorem...5. [Aaz ] İi bileşeli w() ve u() fosiolarıı alalım. rs N olma üzere eğer r s u( ) w()= r s ise sırasıla W(h) ve U(h) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W(h)=()()...(r)(h)(h)...(hs) U(rhs) Teorem...5. [Aaz ] İi bileşeli w() u() ve v() fosiolarıı alalım. Eğer w()=u()v() ise sırasıla W(h) U(h) ve V(h) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere h W(h)= V ( r h s) U ( r s) r= s= Teorem...6. [Aaz ] İi bileşeli w() fosiouu alalım. m Z olma üzere eğer w()= m ise sırasıla W() verile fosiou diferasiel döüşüm fosiou olma üzere Teorem...7. [Aaz ] = m ve h = W(h)= δ ( m h ) = asi halde İi bileşeli w() u() ve v() fosiolarıı alalım. Eğer

22 7 v( ) w()= u() ise sırasıla W(h) U(h) ve V(h) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W(h)= h r= s= ( r )( r ) U(rh-s)V(-rs) Teorem...8. [Aaz ] İi bileşeli w() u() ve v() fosiolarıı alalım. Eğer u( ) v( ) w()= ise sırasıla W(h) U(h) ve V(h) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere h W(h)= ( r )( r ) U ( r h s) V ( r s) r= s= Teorem...9. [Aaz ] İi bileşeli w() u() ve v() fosiolarıı alalım. Eğer u( ) v( ) w()= ise sırasıla W(h) U(h) ve V(h) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere h W(h)= ( s )( h s ) U ( r h s ) V ( r s ) r= s= Teorem... [Aaz ] İi bileşeli w() u() ve v() fosiolarıı alalım. Eğer u( ) v( ) w()=

23 8 ise sırasıla W(h) U(h) ve V(h) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere h W(h)= ( r )( h s ) U ( r s) V ( r h s ) r= s= Teorem... [Aaz ] İi bileşeli w() u() v() ve s() fosiolarıı alalım. Eğer w()=u()v()s() ise sırasıla W(h) U(h) V(h) ve S(h) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere r h h s W(h)= U ( r h s p) V ( t s) S( r t p) r= t= s= p= Teorem... [Aaz ] İi bileşeli w() u() v() ve s() fosiolarıı alalım. Eğer s( ) w()= u()v() ise sırasıla W(h) U(h) V(h) ve S(h) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W(h)= r h h s r= t= s= p= ( r t )( r t ) U(rh-s-p)V(ts)S(-r-tp)

24 9... Üç Boutlu Diferasiel Döüşüm Yötemi Taım... [Aaz 4] Üç bileşeli fosio w(t) olma üzere w(t) i üç boutlu diferasiel döüşümü h m W(hm)=!!! h h m t m w( t) () (...) olara taımlaır. Burada daha öcede olduğu gibi diat edilece olursa döüşüm fosiouu temsil etme içi büü harfler orijial fosiou ifade etme içi de üçü harfler ullaılmıştır. Taım... [Aaz 4] W(hm) döüşüm fosiouu tersi; diferasiel ters döüşüm fosiou h m w(t)= W ( h m) t (...) = h= p= olara taımlaır. İi boutlu diferasiel döüşüm ötemide olduğu gibi (...) eşitliğie bezer şeilde (...) (...) delemleri diate alıırsa h m w(t)= h = h= p=! h! m! t w( t) m () h t m (...) azabiliriz. Üç boutlu diferasiel döüşüm fosiou içi aşağıdai teoremler ispat edilebilir. Teorem... [Aaz 4] Üç bileşeli w(t) u(t) ve v(t) fosiolarıı alalım. Eğer w(t)=u(t) ± v(t)

25 ise sırasıla W(hm) U(hm) ve V(hm) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W(hm)=U(hm) ± V(hm) Teorem... [Aaz 4] Üç bileşeli w(t) ve u(t) fosiolarıı alalım. c R olma üzere eğer w(t)=c u(t) ise sırasıla W(hm) ve U(hm) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W(hm)=c U(hm) Teorem... [Aaz 4] Üç bileşeli w(t) ve u(t) fosiolarıı alalım. Eğer u( t) w(t)= ise sırasıla W(hm) ve U(hm) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W(hm)=()U(hm) Teorem...4. [Aaz 4] Üç bileşeli w(t) ve u(t) fosiolarıı alalım. Eğer u( t) w(t)= ise sırasıla W(hm) ve U(hm) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W(hm)=(h)U(hm) Teorem...5. [Aaz 4] Üç bileşeli w(t) ve u(t) fosiolarıı alalım. Eğer

26 w(t)= r s p u( t ) r s p t ise sırasıla W(hm) ve U(hm) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere ( r)! ( h s)! ( m p)! W(hm)= U(rhsmp)! h! m! Teorem...6. [Aaz 4] Üç bileşeli w(t) u(t) ve v(t) fosiolarıı alalım. Eğer w()=u(t)v(t) ise sırasıla W(hm) U(hm) ve V(hm) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W(hm)= h m r= s= p= U ( r h s m p) V ( r s p) Teorem...7. [Kesi 5] Üç bileşeli w(t) u(t) ve v(t) fosiolarıı alalım. Eğer w(t)= u(t) v(t) ise sırasıla W(hm) U(hm) ve V(hm) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere h m W(hm)= r= s= p= ( r )( h s ) U ( r s p) V ( r h s m p)

27 ..4. Boutlu Diferasiel Döüşüm Yötemi Taım..4.. [Kuraz 5] bileşeli fosio w(... ) olma üzere w(... ) i boutlu diferasiel döüşümü W(... )=!!...!... w( ) = = = (...) olara taımlaır. Burada daha öcede olduğu gibi diat edilece olursa döüşüm fosiouu temsil etme içi büü harfler orijial fosiou ifade etme içi de üçü harfler ullaılmıştır. Taım..4.. [Kuraz 5] W(... ) döüşüm fosiouu tersi; diferasiel ters döüşüm fosiou w(... ) =... W(... )... (...) = = = olara taımlaır. Üç boutlu diferasiel döüşüm ötemide olduğu gibi (...) eşitliğie bezer şeilde (...) (...) delemleri diate alıırsa w(... )=... = = =!!...!... w( ) = = =... (...) azabiliriz. boutlu diferasiel döüşüm fosiou içi aşağıdai teoremler ispat edilebilir. Teorem..4.. [Kuraz 5] bileşeli w(... ) u(... ) ve v(... ) fosiolarıı alalım. Eğer

28 w(... )= u(... )± v(... ) ise sırasıla W(... ) U(... ) ve V(... ) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W(... )= U(... )± V(... ) Teorem..4.. [Kuraz 5] bileşeli w(... ) ve u(... ) fosiolarıı alalım. c R olma üzere eğer w(... )= c u(... ) ise sırasıla W(... ) ve U(... ) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W(... )= c U(... ) Teorem..4.. [Kuraz 5] bileşeli w(... ) ve u(... ) fosiolarıı alalım. Eğer w(... )= u(... ) ise sırasıla W(... ) ve U(... ) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere W(... )= () U(... ) Teorem [Kuraz 5] bileşeli w(... ) ve u(... ) fosiolarıı alalım. Eğer w(... )= r r r... r r... r u(... ) ise sırasıla W(... ) ve U(... ) verile fosioları diferasiel döüşüm fosioları olma üzere ( r )! ( r )! ( r )! W(... )=... U( r r... r )!!!

29 4.ADOMİAN AYRIŞIM YÖNTEMİ..TEMEL KAVRAMLAR 98 de G.A. Adomia tarafıda ortaa oula ve daha sora Yves Cherruault ve eibi tarafıda geliştirile arışım metodu özel tip poliomları (Adomia poliomları) ullaılmasıla terimleri idirgeere belirlee bir seri formuu bilimee fosiouu arıştırılmasıa daaır.bu ötem fizi problemlerii göstere diami sistemlerle ilgili geiş bir alada aaliti çözümü verir.bu metodu lieer ve lieer olmaa diferasiel itegral far delemlerie itegro-diferasiel delemlere ve sistemlere ugulama mümüdür.[adomia ve Rach99; Wazwaz 997a]Arıca birço metotla orta aları vardır. Ve lieer ve lieer olmaa fosioel delemleri (cebirsel ısmi türevli adi diferasiel delemler itegral delemler ısmi diferasiel delemleri vs.) çözer. Aaliti bir metotla lieer olmaa delemleri çözülebilmesi öemlidir. Çüü lieerleşme iceleece problemi değiştirir ve bir esileme bizi zor ararlılı ve aısalı problemlerie götürür.bu durum eğer lieer olmaa delemlerle uğraşılıorsa ortaa çıar.arıca bu so metotlarla(lieerizaso ve esileme) saısal hesapları apılması zordur ve zama alır. Arışım metoduu temel presibi ço basit olup orijialliği öğeleri terarlaa bir şeilde hesaplamış bir seri içide lieer olmaa operatörü arışmasıa daaır. [İçM.] Taım... (Adomia 994) Bir değişeli saler bir fosio içi Adomia poliomu aşağıdai gibidir. f fosiou -defa türevleebilir bir fosio olma üzere Adomia poliomları A =! f i u i i= λ λ=

30 5 formülü ile taımlaır. Taım...(Kicaid ve Chee 99) Eğer otası p() fosiouu bir teil otası değilse civarıda p() fosiou P() = p( ) = p () m =!! p ( ) ( ) ( ) ( ) p ( ) ( )( )! p L! şelide Talor serisie açılabilir... YÖNTEMİN SUNUMU G.Adomia ı aptığı gibi öce ötemi apısal olara taıtalım. Buu içide [ u( t) ] g( t) delemii göz öüe alalım. Burada ( t) F = (..) u bilimee fosio ve g t süreli bir fosio olup F ise lieer ve lieer olmaa terimleri içere lieer olmaa bir diferasiel operatörü göstersi. Lieer terim LR şelide arıştırılır R lieer operatörü geri ala ısmıdır. L üse mertebede ve tersi alıabile bir diferasiel operatör olsu. O zama (..) delemii Lu Ru Nu = g (..) şelide verebiliriz. Burada N lieer olmaa operatör ve L de tersi alıabile bir operatör olduğuda (..) i her ii tarafıa L buluur. Arışım metodu u ( t) i çözümüü L () ivers operatörü ugulaırsa Lu = L g - L Ru-L Nu (..) = u(t)= (..4) şelide seri formuda hesaplar ve lieer olmaa Nu terimlerii de u

31 6 Nu = A (..5) = biçimide arıştırır. Burada A ler u u u lere bağlı ola ve Adomia K poliomları olara adladırıla poliomlardır. u ve Nu lar sırası ile = u λ i ui i= N( u) = N i u i = i λ λ Ai (..6) i= i= olara elde edilir. Burada λ ugulu içi alıa bir parametredir. (..6) da λ= A ler d! A = N λ u (..7) dλ = İfadesile buluur. (..4) ve (..5) ifadelerii (..) de erie azarsa elde ederiz. Burada = u( ) u = θ L g L R u L = = = A (..8) θ dır. u = serisii terimleri idirgeme formülü ile u u M u = L = θ L = L R u g R u L L A A. şelide azılır. Bölece (..) ifadesii doğru çözümü seri formuda belirtilmiş olur. Faat ugulamada edele esme seriside başlaara alaşı çözümü; = u serisii bütü terimlerii hesaplama zordur. Bu vea = φ u i= (..)

32 7 şelide buluruz. φ = u φ = u u φ = u u u M φ = u u u L u (..)... Adomia Poliomlarıı Hesaplaması A leri hesabıda Rach (984) Adomia (984994) Gabet(99) Guellal ve Cherruault (994) çeşitli metotlar geliştirmişlerdir. Aca bu metotlar armaşı olmaları ve ortaa omasıı imasızlığı edei ile pe ullaışlı değildirler. Wazwaz () tarafıda lieer olmaa operatörleri Adomia poliomlarıı hesaplamasıda ço daha ullaışlı bir ötem geliştirildi. Wazwaz ı metodua göre A Adomia poliomlarıı hesaplaması aşağıdai ötemle apılır....a. Lieer Olmaa Poliomlar І. Durum : Eğer ( ) F = ise = = (...) olma üzere lieer olmaa ( ) buluur. Eşitliği sağ tarafı açılırsa F = terimi (...) de erie azılırsa ( ) = ( ) F (...) L ( ) L F (...) = elde edilir. (...) dei açılımda idis toplamları aı ola terimleri bir araa getirilirse

33 8 F ( ) = 5 4 L 4 (...4) olur. (...4) de ( ) F = içi Adomia poliomları A = A = A = A = A = 4 4 M (...5) formuda buluur. ІІ. Durum: Poliom tipide verile lieer olmaa terimler içi Z olma üzere aşağıdai geelleme apılabilir: A A = = ( ) ( ) ( ) ( ) A = ( )( ) ( ) ( ) A = 6 M ( ) ( ) (...6) ІІІ. Durum : Eğer Z ise bu tadirde Adomia poliomları

34 9 A A = = ( ) ( ) ( ) ( ) A = ( )( ) ( ) ( ) A = 6 M ( ) ( ) (...7) formülüle buluur. ІV. Durum : Eğer odalılı bir saı ise bu tadirde Adomia poliomları A = ( ) A = ( ) A = A 6 A4 = 4 ( ) ( )( ) = ( ) ( )( ) (...8) 4 4 ( )( )( ) 4 M olara hesaplaır. V. Durum : Eğer lieer olmaa terim F ( ) = ise = = = = (...9) olma üzere (..9) ifadesi F ( ) = de erie azılırsa

35 ( ) ( ) = L F ( ) L L = 4 4 (...) ve idis toplamları aı ola ifadeler grupladırılırsa (...) A A A A A = = = = = M buluur....b. Üstel Lieer Olmaalı І. Durum : Eğer ise bu tadirde terimii diğer terimlerde arılması gereir. ifadesi (...) de erie azılırsa e F = ) ( ) ( e F = e F = ) ( ) ( ) ( L = e F (...) vea L ) ( e e F = (...) elde edilir. Bu so ifade de terimi Talor serisie açılırsa L e L L L L = = 4 4 4!!!!! ) (! ) ( ) ( e e e e e e F (...4)

36 buluur. Burada da A A = e = e A = e! A = e! 4 A4 = 4 e!! 4! M (...5) elde edilir. ІІ. Durum : Eğer F( ) = e ise bu tadirde Adomia poliomları A A = e = e A = e! A = e! 4 A4 = 4 e!! 4! M (...6) şelide olur...c. Bileşe Fosioları İçi Adomia Poliomları u u Eğer F( ) = e ise bu tadirde u = dielim bölece F( ) = e olur. ve içi Adomia poliomları sırasıla (...6) ve (...5) delemleride e

37 ve A A = e u = ue u A u ( e = u u ) M B = B = B = M şelide azılabilir. Bua göre A( u) = A B ( ) ( ) ( ) [ ] A( u u) = A B B A ( u u u ) = A B ( ) B ( ) B ( ) M (...7) elde edir. Burada da F( ) = e fosiou içi Adomia poliomları A = e = e A A = ( ) e M (...8) formülüle buluur.

38 4. UYGULAMALAR Bu bölümde lieer olmaa başlagıç oşulları verilmiş ii tae gaz delemii çözümüde diferasiel döüşüm ötemi ve Adomia arışım ötemi ugulamıştır.bu ugulamaları hesaplamasıda Maple bilgisaar paet programıda ararlaılmıştır. Ugulama. Aşağıdai lieer olmaa gaz delemii ( ) u t u ( t) u = < t (4..) başlagıç oşulları u()= u(t)= (4..) içi düşüelim. Bu problemi esi çözümü u(t)= (4..) t şelidedir. Bu problemi döüşüm ötemi ve Adomai arışım ötemi ile çözere souçları aaliti çözümle arşılaştıracağız. İl olara delemimizi Diferasiel Döüşüm Yötemi ile çözelim. (4..) delemii diferasiel döüşümüü alırsa h h (h)u(h) ( r ) U ( r s) U ( r h s) r h h s r= p= s= z= r= s= U ( r h s z) δ ( p s ) U ( r p z) h h r= s= U ( r s) U ( r h s) =δ(-h) (4..4)

39 4 şelide elde edilir. Burada U(h) u(t) i döüşmüş halidir. (4..) başlagıç şartıda = h = U ( ) = δ ( h) = asi halde ve U ( h) = (4..5) azarız. ve h i farlı değerleri içi geri ala atsaılar (4..) te sırasıla h ( ) = U(h)= (4..6) asi halde U()= U()=- U()= U()= U(4)= şelide elde edilir. Burada ısaca aşağıdai formülü azarız. (4..6) ı h ( ) = içi U(h)= (4..7) asi halde u(t)= = h= U ( h) t delemide erie oara aşağıdai gibi seri çözüme ulaşırız. u(t)= U ( h) t = h= u(t)= h= ( ) t h u(t)=(-tt -t t 4 -t 5...)= t bulduğumuz bu souç aı zamada aaliti çözümdei souçla aıdır. h h Şimdi (4..) delemii Adomia arışım ötemii ullaara çözelim.

40 5 L t = ve t L = operatörleri ardımı ile (4..) delemii terar azalım. L ( u ( t)) =- t ( u ( t)) ( t) u L (4..8) L t ivers operatörü (4..8) delemii her ii tarafıa ugulaırsa u ( t) = u() - elde edilir. L t ( ( u ( t))) L ( t) A L ( ) (4..9) Bölece (4..) delemii alaşı çözümü; L u ( ) = u() L ( ) t u ( ) =- t L t t t t ( L ( u ( t))) L ( t) A (4..) idirgeme formuda buluur. =... içi ve ile u( t) = lim φ şelidedir. φ = u φ = u t u( t) = u ( t) (4..)... φ = u u u = u u... (4..) idirgeme formuda geçe A Adomia poliomları A = u A = u u A = u u u şelidedir. Şimdi iterasoa geçerse (4..)

41 6 u = u( ) Lt ( = dt = ) t u ( u ( t)) dt ( t) u = ( t) dt içi u = t = ( t).( t) dt ( t) t t t t t 5 4 t 5 t t 4 4 t ( t) dt t 4 t 4 t şelide buluur. u u... souçlarıı bilgisaar ardımı olmasızı bulma olduça zordur.buda dolaı Maple paet programıda > restart:digits:=: G:=(t)^:m:=: [lambda]:=sum([b]*lambda^bb=..m): G[lambda]:=subs((t)=[lambda]G): s:=epad(g[lambda]lambda): ft:=uappl(slambda): for i from b while i<=m do a[i]:=((d@@i)(ft)()/i!): prit(a[i]a[i]); od: []:=^*t: for from to m do []:=simplif(-it(diff(a[])t=..t)/.it((t)^*a[]t=..t)); od: f:=: for from to m do f:=f[]: od: prit(simplif(f)): şelide azıla od ile çözümde apıla bazı değişililer soucu t t u = t.958t.t t. t Buluur.Bezer şeilde u u4... souçları buluabilire uarıdai od çalıştırıldığıda u ( t) = u( t) =

42 7 = t.87t.t.5t....74t.47 t şelide diret u(t) çözümüe ulaşılır. Adomia arışımı ve esi çözümü t içi arşılaştırılması aşağıdai grafite gösterilmiştir. > with(plots): > plotd([f/(t)]=..t=..color=[blacwhite]); Grafi. ve t içi Siah Adomia Beaz Aaliti Aşağıdai grafite ise u(t) i ve t içi diferasiel döüşüm ve esi çözümü üç boutlu arşılaştırılması verilmiştir. Grafi. 8.Derecede Diferasiel T. DT Aaliti

43 8 Aşağıdai grafilerde farlı değerleri ve t.5 içi esi souçlar gösterilmiştir. Grafi. =. içi arşılaştırma (--- DT A.D Aaliti) Grafi 4.=. içi arşılaştırma (--- DT A.D Aaliti) Grafi 5. =.5 içi arşılaştırma (--- DT A.D Aaliti)

44 9 Ugulama. Aşağıdai lieer olmaa gaz delemii [Evas D. J. Bulut H.] u t ( u ) u( u) = f ( t) < t (4..) başlagıç şartı u()=a(-e ) (4..) içi düşüelim. Burada u=u(t) ve t değişeli bir fosiodur. (4..) delemii diferasiel döüşümüü alırsa isteile bağlatı elde edilebilir. h h (h)u(h) ( r ) U ( r s) U ( r h s) -U(h) h h r= s= r= s= U ( r s) U ( r h s) = (4..) (4..) başlagıç oşuluda = U()= ( ) (4..4) a =...! azarız. Geri ala farlı ve h atsaıları içi (4..) te sırasıla = ve h= içi U()= = ve h= içi U()= a a ( a a = ve h= içi U()=! ( a a = ve h= içi U()=! ( a a =4 ve h= içi U(4)= 4! ) ) ) = ve h= içi U()= ( ) ( a a )!

45 4 = ve h= içi U()= = ve h= içi U()= a a = ve h=içi U()= a 4 = ve h= içi U()= =4 ve h= içi U(4)= a 48 4 a a a 48 a a 6 a a 4 a = ve h= içi ( ) ( ) ( ) U()= a a! = ve h= içi U()= = ve h= içi 7 4 U()= a a a a 6 6 = ve h= içi 7 4 U()= a a a a = ve h= içi 7 4 U()= a a a a =4 ve h= içi 7 U(4)= a a a a ( ) 7( ) ( ) 4( ) = ve h= içi U()= a a a 6! 6!!! gibi elde edilir. Bu souçla h= 6 içi 6 terimli u(t) içi aşağıdai eşitliği azabiliriz. u(t)= U ( ) U ( ) t 6 U ( 6) t (4..5) = = = > restart:m:=7: for from to m do u[]:=coeftal(a*(-ep())=): od: for h from to m do for from to m do 4 a a 4

46 4 u[h]:=(u[h]-sum(sum(u[-rs]*u[rh-s]s=..h)r=..)-sum(sum((-r)*u[rs]*u[rh-s]s=..h)r=..))/(h)*.: od:od: s:=: for from to m do for h from to m do s:=su[h]*^*t^h: od:od: prit(simplif(s)): odu ardımıla 6 u( t) =.76 ta ta t a (4..6) çözümü buluur. (4..) delemii Adomia arışım ötemile çözece olursa Lt ( u( t)) = L ( u ( t)) u u f ( t) (4..7) L t ivers operatörü (4..7) delemii her ii tarafıa ugulaırsa u( t) = u( ) Lt ( L ( u ( t)) Lt ( u) Lt ( u ) Lt ( f ( t)) (4..8) elde edilir. Bölece (4..) delemii alaşı çözümü; u ( t) = u( ) Lt f ( t) u ( t) = Lt ( L ( u ( t))) Lt ( u ( t)) Lt ( A ) Lt ( f ( t)) idirgeme ilişilerile verilir. Burada u u = u( ) L t ( f ( t)) = a( e = a ( e ) e t a( e ) t a ( e ) Çözümü tamamıı > restart:digits:=: G:=(t)^:m:=6: [lambda]:=sum([b]*lambda^bb=..m): G[lambda]:=subs((t)=[lambda]G): s:=epad(g[lambda]lambda): ft:=uappl(slambda): for i from b while i<=m do ) t (4..9)

47 4 prit(a[i]b[i]); od: []:=a*(-ep()): for from to m do []:=simplif(-it(diff(b[])t=..t)/.it([]t=..t)-it(b[]t=..t)); od: f:=: for from to m do f:=f[]: od: prit(simplif(f)): odu ardımıla u( t) = at 4t a e... t a t a e (4..) şelide buluruz. Soruu aaliti çözümü olmadığıda arşılaştırmaı ii ötem üzeride a= içi apalım. Adomia arışımı ve döüşüm ötemi arasıdai çözümü arşılaştırılması t içi aşağıdai grafite gösterilmiştir. > a:=; with(plots): > plotd([fs]=..t=..color=[blacwhite]); Grafi 6. ve t içi Siah Adomia Beaz Döüşüm

48 4 5. SONUÇ Bu çalışmada diferasiel döüşüm ötemi ve Adomia arışım ötemi ile başlagıç şartları verile gaz delemlerii homoje olmaa durumları içi saısal çözümleri araştırılmıştır. Diferasiel döüşüm ötemii ullaım açısıda ve bilgisaara ugulaabilirliği ousuda Laplace Fourier Melli gibi diğer döüşüm ötemlerile ıaslaması apıldığıda söz ousu ötemi daha ola bir ötem olduğuu söleebiliriz. Diğer ötemlerde arşılaşıla armaşı itegralleri erii bu ötemde cebirsel delemler alır ve bu cebirsel delemler ile problem olaca bilgisaara taıtılıp çözümler hesaplaabilir. İl ugulamada açı bir şeilde döüşüm ötemii aaliti çözüme daha aı souçlar verdiği görülmetedir. Buula beraber Adomia arışım ötemide problemde arşılaşıla lieer olmaa terimlere ilişi Adomia poliomlarıı belirlemeside aşaa güçlüler göz öüde buludurulmalıdır.

49 44 6. KAYNAKLAR Abbaoui K. Cherruault Y. 994 Covergece of Adomia s method applied to differetial equatios Computers Math. Applic. 9(7) -9 Abbaoui K. Cherruault Y. Ve Ndour M. 995 The decompositio method applied to differatial sstems Kberetes 4(8)-4. Abdel-Halim Hassa I.H. Differet applicatios for the differetial trasformatio i the differetial equatios Applied Mathematics ad Computatio; Abdel-Halim Hassa I.H. O solvig some eigevalue problems b usig a differetial trasformatio Applied Mathematics ad Computatio; 7 -. Abdel-Halim Hassa I.H. 4 Differetial trasformatio techique for solvig higher-orde iitial value problems Applied Mathematics ad Computatio; Adomia G. ve Rach R. 996 Modified Adomia polomials Math. Comput. Modellig 4() A Smolier 98 Shoc Wave ad Reactio Diffusio Equatio SprigerVerlag NewYor. Arioglu A. Özol I. 5 Solutio of boudar value problems for itegrodifferetial equatios b usig differatial trasform method Applied Mathematics ad Computatio vol.68 pp. 45 Aaz F. O the Two- dimesioal differetial trasform method Applied Mathematics ad Computatio; Aaz F. Oturaç G. Kuraz A. Kiriş E. M. Isı İletim Delemii Döüşüm Yötemile Çözümü 4.Ulusal Isı Bilimi ve Teiği Kogresi Isparta-5 Elül. Aaz F. 4. Solutios of the sstem of differetial equatios b differetial trasform method Appl. Maths. Comput; Aaz F. 4 Applicatio of differetial trasform methods to differetialalgebraic equatios Applied Mathematics ad Computatio; Aaz F. Oturaç G. 4 A Approimate Solutio of burgers equatio b Differetial Trasform Method Selçu Joural of Applied Mathematics Aaz F. Solutios of partial differetial equatios b usig two dimesioal trasform method Third Iter. Smp. Math&Comput. Appl. September 4-6 Koa- Ture. Che C. K. Ho S. H. 996 Applicatio of Differetial trasformatio to eigevalue problems Applied Mathematics ad Computatio;

50 45 Che C. L. Liu Y. C. 998 Differetial trasformatio techiqeu for stead oliear heat coductio problems Applied Mathematics ad Computatio; Che C.L. Ju S-P. 4 Applicatio of differetial trasformatio to trasiet adjective-dispersive trasport equatio Applied Math. Ad Computatio (55) 5-8. Che C. K. Ho S. H. 999 Solvig partial diferetial equatios b twodimesioal differetial trasform method Applied Mathematics ad Computatio; Debath L. 998 Noliear Partial Differetial Equatios for Scietists ad Egieers Birhauser Berli. Deeba E. ve Khuri S.A. 996 A decompositio method for solvig the oliear Klei-Gordo equatio J. Comput. Phsics Eser H. Oturaç G. Kuraz A. Kesi Y. Servi S. Çeesiz Y. 6 A New Approach To The Gas Damics Equatio A Applicatio Of Differetial Trasform Method Proceedigs of Iteratıoal Coferece o Modelig ad Simulatio Evas D. J. Bulut H.; Iter J. Computer Math Vol:79(7) İç M Arışım metoduu matematisel temelleri ve bazı ugulamaları Türie Fırat Üiversitesi. Jag M. J. Che C. L. 997 Aalsis of the Respose of a strogl Noliear Damped sstem usig a differetial trasformatio techique Applied Mathematics ad Computatio; Jag M. J. Che C. L. Liu Y. C. Two Dimesioal differatial Trasform for Partial Differetial Equatio Appl. Maths. Comput Jag M. J. Che C. L. Liu Y. C. O the iitial-value problems usig the differetial trasformatio method Applied Mathematics ad Computatio; Kaa D. Yous A. A umerical compariso of partial solutios i the decompositio method for liear ad oliear partial differetial equatios Maths. Comput. Simul Kamel Al-Khaled 7 M. Naim Awar Numerical compariso of methods for solvig secod-order ordiar iitial value problems Appl. Math. Mod. 9-. Kesi Y. 5 Diferasiel Döüşüm Yötemile Diferasiel Delemleri ÇözülmesiYüse Lisas Tezi Selçu Üiversitesi Koa. Kuraz A. Oturaç G. Kiriş M.E. 5 dimesioal differetial trasformatio method for solvig PDEs İteratioal joural of Computer Mathematics vol.8. No.69-8 Kuraz A. Oturaç G. 5 The differetial trasform approimatio for the sstem of ordiar differetial equatio Iteratioal Joural of Computer Mathematics

51 46 Maple V (c) Maplesoft 7 paet program. R. Courat K.O. Friedrichs 976 Super soic Flows ad Shor Waves SprigerVerlag NewYor. Seg v. Abbaoui K. Ve Cherruault Y. 996 Adomia s polomials for oliear operators Math. Comput. Modellig 4() Strauss W. A. 99 Partial differetial Equatios A itroductio Joh Wille & Sos Sigapore. Özışı M. N. 98 Heat Codictio Joh Wille & Sos New Yor. Wazwaz A.M. 995 A ew approach to the oliear advectio problem: A applicatio of the decompositio method Appl. Math. Comput Wazwaz A.M. 998 A comparıso betwee Adomia decompositio method ad Talor series method i the series solitio Appl. Math. Comput Wazwaz A.M. A ew algorithm for calculatig Adomia polomials for oliear operators Appl. Math. Comput. -5. Wazwaz. A.M. b Approimate solutio to boudar value problems of higherorder b the modified decompositio method Comput. Math. Applic Wazwaz A.M. A reiable algorithm for obtaiig positive solitios for oliear boudar value problems Comput. Math. Applic Wazwaz A. M. Eact solutios to o liear diffusio equatios abtaied b the decompositio method Applied Mathematics ad Computatio; 9-. Yu L.T. Che C.K. 998 The solutio of the Blasius equatio b the differetial trasformatio method Math. Comput. Model Zauderer E. 98 Partial Differetial equatios of applied mathematics Joh Wile&Sos USA. Zhou J. K. 986 Differetial trasformatio ad İts Aplicatios for Electical Circuits Huazhog Uiversit Press Wuha Chia.