HİPERBOLİK TANJANT YÖNTEMİNİN KLASİK BOUSSINESQ SİSTEMİNE UYGULANMASI. Application of Hyperbolic Tangent Method to Classical Boussinesq System

Transkript

1 D.Ü.Ziya Gökalp Eğitim Fakültesi Dergisi 10, (008) HİPERBOLİK TANJANT YÖNTEMİNİN KLASİK BOUSSINESQ SİSTEMİNE UYGULANMASI Applicatio of Hyperbolic Taget Method to Classical Boussiesq System Mustafa MIZRAK 1 Abdulkadir ERTAŞ Özet Tah yötemi bir boyutlu lieer olmaya dalga ve değişimsel deklemlerii yöledirilmiş dalga çözümleride kullaıla çok güçlü bir çözüm yötemidir. Bu yötem çözümleri solu hiperbolik tajat kuvvet serileri şeklide yazılabilmesi temelie dayaır. Bu çalışmada, ayı yötem lieer olmaya Klasik Boussiesq kısmi diferasiyel deklem sistemie uyguladı. Aahtar kelimeler: Hiperbolik tajat (Tah) yötemi, değişimsel deklemler, dalga deklemleri, yöledirilmiş dalga çözümleri. Abstract Tah method is a powerful solutio method for the computatio of oedimesioal travellig wave solutios of evolutio ad wave equatios. This method is based o the fact that solutios may be writte as a fiite power series of a hyperbolic taget. I this work, we apply Hyperbolic Taget (Tah) method to solve Classical Boussiesq systems of partial differetial equatios. Keywords: Hyperbolic taget (Tah) method, evolutio equatios, wave equatios, travellig wave solutios. 1.GİRİŞ Lieer olmaya deklemler uygulamalı bilimi çok çeşitli alalarıda, öreği plazma fiziği, sıvı mekaiği, fiber optikler, katı hal fiziği, lieer olmaya optik vb. alalarda ortaya çıkmaktadır (Abdou, 007).Bu alalardaki karmaşık olayları taımlamasıda lieer olmaya değişimsel deklemler kullaılır. Lieer olmaya değişimsel deklemleri çözümleri de yöledirilmiş dalga olarak ortaya çıkar (Taoğlu, 007). Matematikte lieer olmaya değişimsel deklemleri çözümlerii bulmak içi birçok aalitik yötem geliştirilmiştir. Bu yötemlerde bazıları: Ters saçılım döüşümü 1 Dicle Üiversitesi, Fe-Edebiyat Fakültesi, Matematik Aabilim Dalı, 180 Diyarbakır, mmizrak@stu.dicle.edu.tr Doç. Dr.; Dicle Üiversitesi, Fe-Edebiyat Fakültesi, Matematik Aabilim Dalı, 180 Diyarbakır, aertas@dicle.edu.tr Lieer olmaya değişimsel ve dalga deklemleri zamaa bağlı birici veya ikici basamakta türevler içere kısmi diferasiyel deklemlerdir (Nuseir,1994). 159

2 (Ablowitz, Kaup, Newell ad Segur, 1974), Darboux döüşümü (Matveev ad Salle, 1991), Hirota bilieer yötemi (Hirota, 004), homoje degeleme yötemi (Wag, 1996), bezerlik idirgeme yötemi (Bluma ad Kumei (1989;Olver, 1986), Jacobi eliptik foksiyo yötemi (Li ad Liu, 00), Paileve açılımları (Cariello ad Tabor, 1989), Backlud döüşümü, Cole- Hopf döüşümü, sie-cosie yötemi (Ablowitz ad Clarkso (1991; Gu ad et al,1990) ve çeşitli tah yötemleridir. Bu yötemlerde e etkili olalarıda biri tah (hiperbolik tajat) foksiyou yötemidir. Bu yötem Malfliet(199),(004);Malfliet ad Herema (1996), (005); Che, Li ad Zhag (00);Fa(000);Wazwaz (00),(004) (005) gibi birçok araştırmacılar tarafıda çeşitli problemler üzeride uygulamıştır. Lieer olmaya kısmi diferasiyel deklemleri aalitik çözümlerii elde etmek içi geel bir yötem yoktur. Tah yötemi ile lieer olmaya değişimsel ve dalga deklemlerii tam ve yaklaşık çözümleri direkt ve sistematik bir şekilde elde edilebilir. Bu yötemi diğer yötemlere azara üstü olmasıı sebebi, çözümleri hiperbolik tajat foksiyolarıı seri toplamları şeklide yazılmasıdır. Bu da tahfoksiyouu türevlerii yie tah-foksiyou türüde yazılabilmesii bir soucudur. tah x 1 tah x tah x tah x tah x tah x tah x vb...hiperbolik TANJANT(TANH METHOD) YÖNTEMİ.1.Tah Yötemii Aa Hatları Tah yötemi, Willy Malfliet tarafıda ortaya komuştur (Malfliet,199). Daha sora Willy Malfliet ve Willy Herema tarafıda geliştirilmiştir (Malfliet ad Herema, 1996). Bu yötem yöledirilmiş dalga çözümlerii hiperbolik tajat foksiyoları şeklideki ilk kabulüe dayaır. Bu yötemi diğer yötemlere göre avatajı daha az cebirsel işlem ve çaba ile tam çözümleri kolaylıkla elde edilebilmesie dayaır Şimdi bu yötemi aahatlarıı adım adım iceleyelim: 1-Bir boyutlu lieer olmaya değişimsel ve dalga deklemleri geellikle u = G( u, u, u, u,...) veya u = G( u, u, u, u,...) (1) t x xx xxx tt x xx xxx şeklide gösterilir. Bu deklemleri çözümleri u( x, t) şeklidedir. - (1) deklemide iki farklı biçimde gösterile deklemleri yöledirilmiş dalga çözümlerii (travellig wave solutios) bulmak içi x ve t bağımsız değişkeleri tek bir k( x Vt) değişkei altıda birleştirilir. k( x Vt) değişke döüşümü yapıldığıda u( x, t ) 160

3 foksiyou,, ( ) u x t U k x Vt ifadesie döüşür. Buradaki k ( k > 0 ) dalga sayısıı, V dalgaı hızıı göstermektedir. u ( x, t) bağımlı değişkei U ile değiştirildiğide (1) kısmi diferasiyel deklemi - du du d U kv G( U, k, k,...) dx = dx dx veya k V d U = G( U, k du, k d U,...) dx dx dx adi diferasiyel deklemlerie döüşürler. -Adi diferasiyel deklemdeki tüm türevler içerdiğide, bu deklemi itegrali alıır. İtegral alıırke itegral sabiti sıfır olarak alıır. Böylece daha basitleştirilmiş bir adi diferasiyel deklem elde etmiş oluur. 4- Sora yei bir Y = tah x 4 bağımsız değişkei taımlaır ve d d (1 Y ) dx = - dy türev döüşümleri yapılır. 5-Daha sora d d d (1 Y )( Y (1 Y ) ) dx = - - dy + - dy N, ve tah tah 6 u x t U S Y ay Y k x Vt 0 adi diferasiyel deklemie yerleştirilir. 6- Buradaki N değeri, ( 6 ) deklemii adi diferasiyel dekleme yerleştirilmesiyle elde edile e yüksek dereceli lieer terim ile lieer olmaya terimleri eşitlemesi ile buluur. N değeri belirledikte sora, souç deklemideki Y i tüm kuvvetleri sıfıra eşitleir. Bu da bize ak, ( k = 0,1,..., N), k ve V ifadelerii içere cebirsel deklem sistemii verir. Bu deklem çözüldüğüde kapalı formda bir aalitik çözüm elde edilir. şeklide bir çözüm varsayılarak ( 5 ) ve ( 6 ) ifadeleri basitleştirilmiş ( 5) 161

4 Birçok durumda N değeri olarak buluduğuda, N = olması durumda 1. S Y F Y b 1Y 1bY 1 Y T Y ve T 1 0 7a ve 0 1 = = ( - ). S Y G Y d0 1 Y 7b şeklide olası iki çözüm elde edilir. 7-Uzu hesaplama işleride kurtulmak isteiyorsa bir ö kabul olarak d U içi U 0 ve 0 1,,,... 8 d sıır koşulları ekleebilir. Eğer çözüm ( Y 1 ) içi yok oluyorsa oluyorsa (6) serisi Nm m 1, 1,..., 9 F Y Y a Y m N 0 şeklidedir. Eğer çözüm ( Y 1 Nm )içi yok oluyorsa (6) serisi m 1, 1,..., 10 F Y Y a Y m N 0 şeklidedir. Her iki durumda da şok dalgası biçimide bir çözüm buluur. Eğer çözüm her iki tarafta da yok oluyorsa; yai ( Y 1 ) yok oluyorsa (6) serisi N p q p q 1 1, 0 0,..., 11 F Y Y Y a Y p q N 0 şeklidedir. Bu durumda ise tek dalga profili oluşur. Buula beraber her bir durum içi her zama tam souç elde etmeyebiliriz. S Y ifadesii bazı kısıtlamalarla gösterilmesi bize yöledirilmiş dalgaı hızıı belirlememizi sağlar. Bu hızı elde edilmesii pertürbasyo tekiğide öemli bir yeri vardır (Malfliet ad Herema (1996). Şimdi Tah yötemii çok iyi bilie lieer olmaya kısmi diferasiyel deklemleri çözümüde gösterelim. Ayrıca,.. Burgers Deklemi u u u u a 0 1 t x x şeklide ifade edile Burgers deklemi e öemli lieer olmaya yayılım deklemleride biridir. 16

5 Bu deklem akışkalar diamiğideki yayıla dalgalar içi e basit lieer olmaya deklem modelidir. İlk olarak Burger tarafıda bir boyutlu türbülası taımlamak içi kullaılmıştır (Debath, 1997). Öcelikle ux, t U Ukx Vt değişke değiştirmesi yapılarak kısmi diferasiyel deklem du du d U V U ak 0 1 d d d adi diferasiyel deklemie döüştürülür. Bu deklemi bir kez itegrali alıırsa, 1 du VU U ak C 14 d elde edilir. Bu deklemde itegral sabiti C = 0 alıarak Y tah tah k x Vt olmak üzere SY U N 0 a Y değişke değiştirmesi yapılırsa 1 ds Y - VS ( Y) + S( Y) - ak ( 1- Y ) = 0 15 dy elde edilir. Bu deklemde (6) açılımı yerleştirildiğide N N N N V ay ay ak a Y aka Y ifadesie ulaşılır. N Bu yerleştirmede sora, (16) deklemide ikici terimde Y ve so N 1 terimde Y + ifadeleri oluşur. N = N + 1 eşitliğide N = 1 buluur. S Y = b - Y şeklide bir tek çözüm elde edilir. Bu çözüm Burada, ( 1 0 ) ( 15 ) deklemide yerie koursa 1 V b0 Y b0 Y ak Y b0 elde edilir. Bu ise 1 V b 0 1Y b0 1Y ak 1Y b Y çarpaıı sadeleştirdiğimizde biçimide yazılır. Bu deklemde Vb 0 b0 Y akb 0 Y buluur. Burada Y 1 limit değeri alıırsa

6 - Vb0 + akb 0 ( + 1 ) = 0 ( a) V = ak ( 0b ) hız değeri elde edilir. ( 19 ) deklemi açık bir şekilde yazılırsa 1 1 ak V b0 ak b0 Y 0 1 olur. Buradaki tüm katsayılar; 0 1 Y terimli katsayılar: ak - V + b0 = 0 ( a) 1 1 Y terimli katsayılar: ak - b0 = 0 ( b ) sıfırı eşitleip çözüldüğüde b0 = V = ak ( ) buluur. Burada, şok dalgasıı bir çözümü F( Y ) ak(1 Y) ak1 tah( k( x Vt) (4) biçimidedir. Şekil 1. ( 4) deklemii [ ] [ ] x = - 5,5, t = - 0.5,0.5 ve a = k = V = 1 içi grafiği. 164

7 .. Korteweg-de Vries (KdV) Deklemi u u u u b 0 5 t x x şeklide yazılır. Buradaki b sabittir. Bu deklem sıvı diamiğide dikdörtge şeklideki bir kaaldaki sığ su dalgalarıı taımlamak içi kullaılır. İlk olarak iki Holladalı bilim adamı D.J.Korteweg ve G. de Vries tarafıda birleşik yölü sığ su dalgalarıı yayılımıı göstermek içi kullaılmıştır. Bu deklemi tam çözümüe solito 1 deir (Debath, 1997). Bu deklemi Tah yötemiyle çözelim. Öcelikle u x, t U U k x Vt değişke değiştirmesi yapılır. du du d U V U bk 0 6 d d d deklemi elde edilir. Bu deklemi bir defa itegralii alıırsa ( 6 ) deklemi 1 d U VU U bk C 7 d deklemie döüşür. Buradaki itegral sabitii C = 0 alıp, Y tah tah k x Vt olmak üzere SY U N 0 a Y değişke değiştirmesii yapılırsa 1 d ds( Y) VS Y S Y bk Y Y dy dy deklemi elde edilir. Daha sora bu deklem tah foksiyoua bağlı kuvvet serileri şeklide yazıldığıda N = N + eşitliğide; N = buluur. N = değeri içi ( 6 ) deklemi yazılırsa, uygu çözümlerde biri buluabilir yılıda Zabusky ve Kruskal tek dalgaları (Solitary waves) birbiriyle ola etkileşimlerii ve başlagıç durumlarıı korumalarıı araştırdılar. Zabusky ve Kruskal KdV deklemi üzerideki ümerik araştırmaları sırasıda; çarpıştıkta sora hızlarıı ve şekillerii koruya partikül bezeri bir davraış göstere dalgalar buldular. Bu dalgalara solito adıı verdiler. Solito kavramı Wadati tarafıda şöyle taımlamıştır: 1-Özelliklerii (şeklii, hızıı vb.) kaybetmede ilerleye yöresel bir dalgadır. -Çarpışmalarda özeliklerii koruya yöresel dalgalardır. Buu alamı solito partikül bezeri bir özelliğe sahiptir. Fizikte o so eki partikül bezeri davraış göstere kavramlarda (öreği foto, peako, compacto vb.) görülmektedir. Solitolar klasik olarak aalitik çözümlerdir (Kakutai ad Kawahara, 1970). 165

8 S ( Y) F ( Y ) b0 ( 1 Y )( 1 by 1 ) ( 8) deklemie yerleştirildiğide = = - + çözümüü ele alalım. Bu ifade 1 Vb 0 1Y 1bY 1 b0 1Y 1bY 1 d bk Y Y b b b b b dy deklemi elde edilir. Bu deklemi Y 1 limit değeri alıırsa V = 4 bk hızı elde edilir. ( 9 ) deklemideki tüm katsayılar sıfıra eşitlediğide, b0 = 1 bk ve b1 = 1 1 buluur. Burada F( Y) = 1bk 1- Y 1 + Y ve V = 4 bk a çözümü buluur. Ayrıca ( Y ) 1 sec - = h olduğuda u( x, t) = 1bk sec h k x - Vt b foksiyou ça şeklide iyi bilie bir tek dalgadır. Şekil. x = - 5,5, t = - 0.5,0.5 ve b = k = V = 1 içi ( b) deklemii [ ] [ ] grafiği. KdV deklemii diğer çözümüü bulmak içi ( 8 ) deklemie = = ( - ) ifadesii yerleştirilirse KdV deklemii ikici S Y G Y d 1 Y 0 çözümü olmadığı görülür. 166

9 . Tah Yötemii Klasik Boussiesq (CB) Deklemie Uygulaması Tah yötemi basit bir döüşüm ile lieer olmaya reaksiyo-yayılma deklem sistemlerii yöledirilmiş dalga çözümlerii elde edilmeside de kullaılabilir. Tah yötemii deklem sistemlerie uygularke farklı bir işlem uygulamayacağız. Sadece bu deklemlerde tek bağımlı değişke yerie u ve z şeklide iki bağımlı değişke ele alacağız. Şimdi bu yötemi Klasik Boussiesq (CB) 1 u 1 u u t x 4 x u u u 0 t x x deklemleri üzeride uygulayalım (Li, Ma ad Zhag, 000). Burada iki farklı k x Vt olmak foksiyo olduğuda, bu foksiyoları her biri içi üzere, x, t=, = U u x t değişke değiştirmesi yapıldığıda, d du d du 1 d U V U k =0 d d d d 4 d 5 V du U du d 0 d d d 6 deklemleri elde edilir. ( 5 ) ve alııp, itegral sabiti C = 0 alıırsa, 6 deklemlerii bir kez itegralleri 1 d U V U U. k =0 7 4 d 1 VU U 8 deklemleri elde edilir. Daha sora( 8 ) deklemi ( 7 ) deklemie yerleştirildiğide d U( ξ) =0 9 dξ ( - V ) U ξ + U ξ - U ξ

10 adi diferasiyel deklemi buluur. Daha sora Y tah döüşümü yapılırsa, ds Y 1 =0 dy dy 40 yazılır. Bu deklemde Y tah tah k x Vt olmak üzere V SY SY SY Y Y SY N U a Y açılımı yerleştirilerek, yüksek dereceli Y 0 terimlerii eşitliğide, N = N + Ş N = 1 buluur. Daha öcede belirtildiği üzere S ( Y ) = d 0 ( 1 - Y ) şeklide çözüm olabilir. Öcelikle bu ifade( 40) deklemide yazılırsa, V d0 Y d0 Y d0 Y d dy ifadesi buluur. Uygu sadeleştirmeler yapıldığıda d = V buluur. Böylece U S Y V 1 1 Y 4 1Y 1 Y d0 = 0 41 çözümü elde edilir. Bu eşitlik ( 8 ) deklemie yerleştirilirse ( ) foksiyou elde edilir. 1 V V 11 Y V 11 Y 44 Şekil x = - 5,5, t = - 0.5,0.5 ve V = içi grafiği. ( 4 ) deklemii [ ] [ ] 168

11 Şekil 4 x = - 5,5, t = - 0.5,0.5 ve V = içi grafiği. ( 44 ) deklemii [ ] [ ] SONUÇ Bu çalışmada, özellikle yayılımları içere lieer olmaya dalga deklemlerii çözümüde Tah yötemi kullaıldı. Bu yötemi temeli yöledirilmiş dalga çözümlerii hiperbolik tajat foksiyou (Tah) biçimide gösterilmesie dayaır. Bu yötemle uzu cebirsel işlemlerde kurtulmuş oluruz. Ayrıca, sıır koşullarıı uygulamasıyla hız daha kolay bir şekilde elde edilir. So bölümde, Tah yötemi Klasik Boussiesq deklemie uygulaarak çözülebileceği gösterildi. Bu yöteme dayaılarak, güümüzde birçok lieer olmaya kısmi diferasiyel deklemleri tam çözümüü araştıra çok güçlü sembolik bilgisayar yazılımları geliştirilmiştir. Bu programlar yardımıyla otomatik olarak tah, sech, c veya s foksiyoları şeklideki poliomları yöledirilmiş dalga çözümleri hesaplaabilir (Malfliet ad Herema, 005). Kayaklar Abdou, M.A. (007). The exteded tah method ad its applicatios for solvig oliear physical models, Applied Mathematics ad Computatio 190, Ablowitz, M.J., Clarkso, P.A. (1991). Solito, Noliear Evolutio Equatios ad Iverse Scatterig,Cambridge Uiversity Press, New York. Ablowitz, M., Kaup, D., Newell, A., Segur, H. (1974). The iverse scatterig trasform-fourier aalysis for oliear problems, Stud. Appl. Math.5, Bluma, G.W., Kumei, S.(1989). Symmetries ad Differetial Equatios, Spriger- Verlag, New York. Cariello, F., Tabor, M (1989). Physica D 9,

12 Che, Y., Li, B., Zhag, H.Q.(00). Commu. Theor. Phys. 8, 61. Che, Y., Li, B., Zhag, H.Q.(00). J Phys A: Math. Ge. 5, 85. Che, Y., Zheg, Y.(00). Geeralized exteded tah-fuctio method to costruct ew explicit exact solutios for the approximate equatios for log water waves, It. J. Mod. Phys. C 14 (4). Debath, L. (1997). Noliear Partial Differetial Equatios for Scietist ad Egieers, Birkhäuser, Bosto. Elwakil, S.A., El-labay, S.K., Zahra, M.A. ad Sabry, R.(00). Phys. Lett.99, 179. Fa, E.(000). Exteted tah-fuctio method ad its applicatios to oliear equatios. Phys. Lett. A.77,1. Fa, E. (00). Comput. Math. Appl. 4, 671. Fa, E., Zhag, J., Bey, Y.C.(001). Ho Phys. Lett. A 91, 76. Gao, Y.T., Tia, B. (001). Comput. Phys. Commu. 1, 158. Gu, C.H ad et al, (1990). Solito Theory ad its Applicatio, Zhejiag Sciece ad Techology Press,Zhejiag. Hirota, R. (004). The Direct Method i Solito Theory, Cambridge Uiversity Press, Cambridge. Kakutai, T. ad Kawahara, T.(1970). J. Phys. Soc. Japa 9, 1068 Khater, A.H., Malfiet, W., Callebaut, D.K., ad Kamel, E.S.(00). Chaos Solito. Fract. 14, 51. Li, Y., Ma, W. ad Zhag Ji, E.(000).Darboux trasformatio of classical Boussiesq system ad its ew solutios, Phys. Lett. A, 75, Li Z.B, Liu Y.P. (00). Comput Phys Commu,148,56. Li Z.B, Liu Y.P.(199). J. Phys. A: Math. Ge. 6, 607. Lou, S., Huag, G., Rua, H.(1991).J. Phys. A: Math. Ge. 4, L584 Malfliet, W. (199). Solitary wave solutios of oliear wave equatios, Am. J. Phys. 60, Malfliet, W. ad Herema, W.(1996). The tah method: I. Exact solutios of oliear evolutio ad wave equatios, Physica Scripta 54, Malfliet, W. ad Herema, W.(1996). The tah method: II. Perturbatio techique for coservative systems, Physica Scripta 54, Malfliet, W.(004). The tah method: a tool for solvig certai classes of oliear evolutio ad wave equatios, J. Comp. Appl. Math , Malfliet, W. ad Herema W. (005).The Tah Method: A Tool to Solve Noliear Partial Differetial Equatios with Symbolic Software, 9 th World Multicoferece o Systemics,Cyberetics ad Iformatics (WMSCI005), Orlado, Florida,July 10-1, pp Matveev, V.B., Salle, M.A. (1991). Darboux Trasformatio ad Solito, Spriger,Berli. Nuseir, A. (1994). Symbolic Computatio of Exact Solitios of Noliear Partial Differetial Equatios Usig Direct Methods, thesis of Doctor of Philosophy. Olver, P.J. (1986). Applicatios of Lie Groups to Differetial Equatios, Spriger- Verlag, New York. Parkes, E.J., Duffy, B.R.(1996). Phys. Lett. A 14, 71. Parkes, E.J., Duffy, B.R. (1997). Travellig solitary wave solutios to a compoud KdV-Burgers equatio, Phys. Lett. A 9,

13 Taoğlu, G. (007). Solitary wave solutio of oliear multi-dimesioal wave equatio by biliear trasformatio method, Commuicatios i Noliear Sciece ad Numerical Simulatio 1, Tia, B., Gao, Y.T. (00). Z. Naturforsch. A 57, 9. Wag, M.L. (1996). Applicatio of a homogeeous balace method to exact solutios of oliear equatios i mathematical physics, Phys.Lett. A16,67. Wazwaz, A.M.(00). Partial Differetial Equatios: Methods ad Applicatios, Balkema, The Netherlads. Wazwaz, A.M. (004). The tah method for travellig wave solutios of oliear equatios. Applied Mathematics ad Computatio. 154(), Wazwaz, A.M. (005). The tah ad the sie cosie methods for compact ad ocompact solutios of the oliear Klei Gordo equatio, Applied Mathematics ad Computatio 167, Ya, Z.Y.(001). New explicit travellig wave solutios for two ew itegrable coupled oliear evolutio equatios, Phys. Lett. A 9,