FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 9. KİTAP UZAY ZAMAN SİMETRİLERİ

Transkript

1 60 FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 9. KİTAP UZAY ZAMAN SİMETRİLERİ

2 6 İÇİNDEKİLER SEMBOLLER VE İŞLEMLER LİSTESİ I. DİFERANSİYEL OPERATÖR ( DO ) TEMSİLLERİ A) Öteleme Jeneratörler B) Dönme Jeneratörler C) 3-Vektörler D) İtme Jeneratörler II. UZAY ZAMAN ve GRUP YAPILARI A) Grup Hyerarşler B) 4-Vektörler C) Kütle ve Spn D) Uzay Zaman Tersnmeler E) Örnekler ve Denklemler III. CLIFFORD CEBİRLERİ A) 3 - Byut B) Spn ve SU() Grubu C) Byut D) Denklemlern Syağacı EKLER VE NOTLAR

3 6 SEMBOLLER VE İŞLEMLER LİSTESİ A : 3-Vektör AB : İk 3-Vektörün skalar çarpımı A A A A A A A : 3-Vektör Nrmu A A A : 4-Vektör A B AB A B : İk 4-Vektörün skalar çarpımı A A A : 4-Vektör Nrmu A B AB BA : Kmütatör A B C : 3 A B j jk C fadesnn kestrme yazılışı k k a B C : a B C fadesnn kestrme yazılışı A B c : j j A B c fadesnn kestrme yazılışı

4 63 I. DİFERANSİYEL OPERATÖR ( DO ) TEMSİLLERİ A) Öteleme Jeneratörler Tek byutlu Uzay-Zaman'da ötelemelern hermtsel br k jeneratörü kullanılarak k larak gerçekleştrldğ ve k 'nın dferansyel peratör x exp ( a) x a temslnn lduğu görülmüştü. Üç byuta genellemenn x r exp ( k a) r a lması ve le temsl edlen k k k 3 k k 0 sağlaması dğaldır. Zamanda öteleme se jeneratörlernn j t exp ( k c) t bçmnde tanımlanır ve k 'ın dferansyel peratör temsl c t lur. B) Dönme Jeneratörler z- eksen etrafında açısıyla saat yönünde döndürme şlem x x cs y sn ; y x sn y cs ; z z dönüşümüne yl açar. Bu dönüşüm glbal larak L 3 x y z exp x cs y sn x sn y cs z veya d yerel dönmeler çn x y z x y d x d y z x y z L 3 larak yazılır. d Önce bu fadenn payına sıfır etkl br tplam ekleyerek x y d y x d z x y d y z x y d y z x y z d snra da term çftlern brm etkl k değşk termle çarparak

5 64 x y d x d y z x y d y z x y z x y d y z x y x d y d elde edlr. Parantez çnde yer alan termlern kısm türev fadeler lduğu saptanarak da x y z L 3 x y x y z y x snucuna ulaşılır. Böylece z -eksen etrafında dönmelern jeneratörünün dferansyel peratör temsl x y L 3 y x lmaktadır. x y z x krdnat çevrm dönüşümünden yararlanarak dönme jeneratörlernn tamamı y z L z y L z x x z x y L 3 y x le verlr. C) 3-Vektörler L peratörlernn knum vektörü bleşenler le kmütatörlernn L r r lduğu klayca görülür. Vektör lma şartının dönmeler altında j jk k k r gb davranmak lduğu anlayışıyla vektörler tanımlanırlar. Buna göre 3 L V V larak j jk k k 3 x y z k k k ve L L L 'ün kends de vektör lmaktadır. Skalar'ların se dönmeler altında değşmez büyüklükler larak tanımlanmaları dğaldır. Buna göre R R Skalar Skalar veya Baker-Hausdrff Lemma 'sı kullanılarak nˆ nˆ L 0 Skalar lur. İk vektörün 'Skalar' çarpımının skalar 'Vektör' çarpımının se vektör lacağı klayca gösterleblr. Ntekm r k L lduğu görülmektedr.

6 65 L V V fades kestrme br yazılımla Bundan böyle j jk k k larak fade edlecektr. Benzer şeklde U V Y çn U V Y ; j j Y U V çn se Y U V kestrme yazılımları kullanılacaktır. D) İtme Jeneratörler x - eksen byunca u u sabt hızı le hareket şlem tanh = lmak üzere c ct ct csh x snh ; x ct snh x csh dönüşümüne yl açar. Bu dönüşüm glbal larak M ct x exp ct csh x snh ct snh x csh veya d yerel dönüşümler çn ct x d x ct d ct x ct x M larak yazılır. d Önce bu fadenn payına sıfır etkl br tplam ekleyerek ct x d x ct d ct x d x ct x d x ct x d snra da term çftlern brm etkl k değşk termle çarparak ct x d x ct d ct x d x ct x d x ct x ct x ct d x d elde edlr. Parantez çnde yer alan termlern kısm türev fadeler lduğu saptanarak da

7 66 ct x M ct x ct x x c t snucuna ulaşılır. Böylece x - eksen byunca sabt hızla hareket etme jeneratörünün dferansyel peratör temsl M ct x x c t lmaktadır. x y z x krdnat çevrm dönüşümünden yararlanarak jeneratörlern tamamı x c t M ct x z c t M ct y y c t M 3 ct z larak bulunur. İtme larak adlandırılacak peratörlernn de görülmektedr. L M M sağlayan vektör peratörler ldukları M PROBLEMLER P.. ) x k x cs k sn k cs x sn dönüşümünün x k kmütasyn bağıntısını aynı bıraktığını göstern. x k k x dönüşümünü 90 özel durumu : k x k + x k x k + Legendre dferansyel = = peratörüne uygulayın ve snucu teşhs edn. P.. ) L L fadesn değerlendrn. P..3 ) L U V 0 lduğunu göstern.

8 67 P..4 ) L U V U V lduğunu göstern. L V L V V ve P..5 ) L V V L V özdeşlklern elde edn. + II. UZAY ZAMAN ve GRUP YAPILARI A) Grup Hyerarşler Zamanda öteleme ve uzayda öteleme dönme tlme jeneratörler k k L M 0 elemanlı br küme luştururlar. Bunların aralarındak kmütasyn bağıntıları 3 + byutta Eucld : 'E' 3 veya kısaca Pncare grubu nun Le cebrn luşturur. () L M k k L L M k 0 M M L k k k k k 0 0 k 0 k 0 0 Pncare grup jeneratör kmütatörlernn kend çnde kapalı alt küme ler k ayrı Alt Grup lar hyerarşs luştururlar :

9 68 L M k k veya L M L L 3 E 3 SO 3 SO 3 SO L M k k L k L k k 3 k E 3 E3 E E B) 4-Vektörler k k fades br 4-Vektör örneğ larak benmsenerek 4-Vektörlern tanımı : 0 L V L V V ; M V V M V V larak yapılır. x ct r : 4-Knum c t : 4-Türev p p p E p : 4-Mmentum c k k k : 4 -"Mmentum" A A A V A : 4-Ptansyel c J J J c J : 4-Akım fzkte sık karşılaşılan 4-Vektörlerdr.

10 4-Vektörlern skalar çarpımlarında dğal larak Mnkwsk metrğ devreye grer ve A B AB A B lur. () Bu skalar çarpımların dönmeler ve tmeler altında değşmedkler klayca gösterleblr. Dğanın gözlemcden bağımsız dlayısıyla bjektf yasaları matematksel larak bu skalar çarpımlara dayanmak zrundadır. 69 C) Uzay Zaman Tersnmeler Değşkenlern sınıflandırılmasında şu ana kadar 3-Byutta 3-Vektörler ve L 0 L V V sağlayan Skalar sağlayan skalarlar lduğu ancak 3+ byuta geçnce bazı skalarların br 4-Vektörün 0 'ıncı bleşen rlünü üstlenerek V V V 4-Vektörünün bleşenlernn 0 L V L V V ; V ldukları ve M V V M V V sağladıkları görülmüştü. Ancak L M ve elektrmagnetk alan benzer 3-Vektörlern brer 0 'ıncı bleşen ednp 4-Vektöre tamamlanmadıkları da rtadadır. Bu nktada daha dern br analz le değşkenlern Uzay ve Zaman Tersnmeler altında davranışları ncelenecektr. Uzay tersnmes peratörünün -Byuttak etkler x x k k x x k k ; larak özetlenmşt. Zaman tersnmes peratörü uzay tersnmesnden farklı larak lneer br peratör değldr. Ant lneer br peratör lan 'nın özellğnn arkasında r r ve p p dlayısıyla k k lduğu blndğne göre r k kmütasyn bağıntısının aynı kalablmes çn

11 70 lması gerektğ yatmaktadır. x ct r örneğ ele alınırsa uzay ve zaman tersnmeler altında Knum 4-Vektörünün davranışı x larak gösterlecektr. Öneml 4-Vektörlern davranışları aşağıdak tabl le özetleneblr : p k A J Bu tablnun bze öğrettğ şeylerden lk zaman tersnmes davranışı beğenlmeyen br 4-Vektörü le çarparak arzu edlen snucun elde edlşdr. Ayrıca bu tabl p k k p p e A A J denklemlern sağlam br zemne turtmaktadır. Sn larak bu tabldan lağan 4-Vektör davranışının V lduğu görülmektedr. Br 4-Vektörün parçası lmayan 3-Vektörler se Dönme İtme jeneratörler elektrmagnetk alanlar ve dpl mmentlerdr. İtme jeneratörler elektrk alan ve dpl mment bleşenler aynen knum vektörü r gb altında şaret değştrp altında aynı kalırlar bunlara 'Plar vektör' denr.

12 7 Öte yandan Dönme jeneratörler magnetk alan ve dpl mment bleşenler se altında aynı kalıp altında şaret değştrerek aykırı br davranış serglerler. Bu aykırı 3-Vektörler 'Sözde vektör' larak adlandırılırlar. Sözde lsun lmasın br 4-Vektörün parçası lmayan 3-Vektörler genelde antsmetrk br tensörün (matrsn) elemanlarını luştururlar. D) Kütle ve Spn Fzkte öneml yer lan br 4-Vektörün önce 0 'ıncı bleşen W L k larak tanımlanır ; daha snra M V V bağıntısından W L k + M k elde edlr. (3) Br Le grubunun tüm jeneratörler le kmütasyn bağıntıları sıfır veren peratörler 'Casmr peratörü' larak adlandırılır. Pncare grubunun k Casmr peratörü vardır : Q k k k k k ve () Q W W W W W. Bu k Casmr peratörü de brer sabt () ldukları çn tüm jeneratörlerle kmütatörler sıfır lmaktadır. () mc Q lduğu blnmektedr. Daha karmaşık lan () Q 'nn hesaplanmasında fadenn Mnkwsk uzayında br skalar çarpım lduğu ve Lrentz dönüşümler altında mc değşmezlğnden yararlanılır. k 0 k Lrentz çerçevesnde W r k k r k k M k lacağı çn = Q () 0 elde edlr. Ancak lerde görülecek bçmde açısal mmentumun cebrsel genelleştrlmes mc L J L S larak yapılınca k 0 k Lrentz çerçevesnde W = 0 mc S dlayısıyla mc Q W W S elde edlr. () Bu snuç evrenn yapıtaşları lan temel parçacıkların Kütle ve Cebrsel Açısal Mmentum (Spn) le sınıflandırılması gereğne şaret etmektedr.

13 7 E) Örnekler ve Denklemler Bazı temel özdeşlkler ve denklemler : c t : Dalga peratörü p k : Planck-DeBrgle Kuantum aksymu k : Dferansyel peratör temsl p p qa : Mnmal Elektrmagnetk etkleşme A A A 0 c t J J 0 t : Lrentz ayar şartı : Yerel yük krunumu p p mc : Kütle tanımı mc k k : " p qa p qa m c : Mnmal E-M Etkleşmel Kütle tanımı 0 : Kaynaksız dalga denklem A A J : Kaynaklı dalga denklem mc : Klen-Grdn denklem

14 73 PROBLEMLER P.. ) E grubunun Casmr peratörünü nşa edn. P.. ) E3 grubunun Casmr peratörlern nşa edn. P..3 ) ; L U V 0 M U V 0 lduğunu göstern. e P..4 ) ea ea E c p p snucunu dğrulayın ve dlayısıyla elektrk alanın br Plar 3-Vektör lduğunu göstern. p p snucunu dğrulayın ve dlayısıyla magnetk alanın P..5 ) ea ea e B br Sözde 3-Vektör lduğunu göstern. A A P..6 ) E c c A A r c t ve x y z x krdnat çevrm dönüşümler le A A B A A r r3 ve krdnat çevrm dönüşümlern dğrulayın. F A A le tanımlanan ant smetrk Alan matrsnn F 0 E c E c E3 c E E E3 c c c 0 B3 B B3 0 B B B 0 lduğunu göstern.

15 74 III. CLIFFORD CEBİRLERİ A) 3 - Byut V vektörünün Nrm 'u V V V V V V vektörünün bleşenler 3 cnsnden lneer larak V V V 3 V3 bçmnde yazılmak stenrse katsayılarının bast sayılar lamayacağı görülür. Bu cebrsel katsayıların j 3 lmak üzere V V 0 j j j ve V j 0 0 j varsayımları le veya kısaca sağlamaları j j j gerektğ görülür. Ant kmütatf br cebr luşturan peratörlernn D D matrs temsllernn çft byutlu lması gereğnn kısa br spatı : j çn j j j j Det Det j j D D D Det j j Det D : Çft larak verlr. Yukarıdak özellkler taşıyan ve hem hermtsel hem de ünter lan matrsler Paul Spn matrsler larak blnmektedr. Böylece V Vz Vx Vy Vx Vy V z 0 0 lmak üzere le verlmekte ve dlayısıyla ant kmütatf cebr Clffrd cebr larak adlandırılır. 0 lmaktadır. peratörlernn luşturduğu 0 C) Spn ve SU() Grubu bağıntısı da cebrsel br açısal mmentuma şaret etmektedr. p p 0 sağlayan elektrmagnetk etkleşme durumlarında Hele ea ea

16 Spn : S 'nn magnetk alanla L 'ye benzer bçmde etkleşmes kuantum fzğnn büyük başarılarındandır. veya S tanımıyla S S S luşu syut br uzayda dönme jeneratörünün varlığına şaret eder. (4) Jeneratörler 3 lan grup SU larak adlandırılır. Bu uzayın 'Cebrsel' 75 vektörler V C aynen krdnat uzayının 'Mekank' vektörlennce L V M V M sağlanması gb C C L V 0 C ve S V V sağlarlar. İk ayrı ntelkte yapının elemanlarının S V 0 sağlaması dğaldır. Mekank cebrsel veya M melez tüm vektörler çn geçerl br ayraç larak J L + S tanımlanarak J V V şartı gelştrlr ; bunların luşturacakları skalarlar çn se tüm tüm J U tüm V 0 tüm elde edlr. 3-Byutta Clffrd cebr ürünü V gb melez br skalar çarpımın özvektörler 'Spnör' larak adlandırılır. Br örnek larak p p p 3 p p p p 3 matrsnn özdeğerler p p rtnrmal spnörler se u p p 3 p p p3 p p ve u p p p p p3 p p 3 le verlr. SO3 grubunun Le cebrnn L L L lşksne paralel larak kmütasyn bağıntılarını exp 3 SU grubunun jeneratörler de aynı S S S larak sağlarlar ancak öneml br fark L lma gereğdr zra çnde yaşadığımız 3-Byutlu knum uzayında 360 dönmek bz aynı nktaya götürür. Halbuk syut br spnör uzayında bu şart geçerl exp S fades alır. lmayablr ve nun yern daha genel 3

17 76 C) Byut V V V V V le verlr. Mnkwsk uzayında br 4-Vektörün Nrm u 3 V V V V V Bu nrm bleşenler cnsnden lneer larak 3 3 bçmnde yazılmak stenrse j ve j j j veya uzayın metrğ cnsnden kısaca 0 3 çn çn g lması gerekr. Bu Clffrd cebrnn matrs temsllernn de çft byutlu lacakları açıktır. En küçük byutlu temsl ancak 4 4 byutta mümkün lmaktadır. Bjrken-Drell temsl larak adlandırılan özel temsl se le verlr. tanımıyla Drac denklemnn dlayısıyla relatvstk kuantum fzğnn temeln luşturan bu temsl de mdern fzğn büyük başarılarındandır. 3+ Byutta se 4 4 matrslerden luşan p p p peratörünün 4-Vektörü kullanılarak luşturulan 4-Byutlu spnörler br spn parçacık-ant parçacık çftn tasvr eder. p mc veya p mc ( Feynman ) Drac denklem elektrn-pztrn çftnn elektrmagnetk etkleşmelern büyük br başarı le açıklamış ve Kuantum Elektrdnamk ylunda lk adımı atmıştır. D) Denklemlern Syağacı p mc Drac denklemnden. mertebe Drac denklem : p mc luşturulursa v p p 0 lduğu çn p p p özdeşlğ kullanılarak mc p p

18 77 Klen-Grdn denklem elde edlr. Matematksel fzğn brçk temel denklem arasında benzer lşkler ve geçşler vardır. Bu temel denklemlern syağaçları kütlel ve kütlesz durumlar çn aşağıda sunulmaktadır. Bazı geçşler se gerekl puçlar verlerek prblem larak verlecektr. ) Kütlel Durum

19 78 ) Kütlesz Durum PROBLEMLER P.3. ) A B A B A B özdeşlğn dğrulayın. P.3. ) A A A P.3.3 ) özdeşlğn dğrulayın. SU n grubunun n SO m grubunun se mm jeneratörü vardır. Bazı tamsayı çftler çn SU SO3 örneğnde lduğu gb SU n ve SOm gruplarının benzeşm söz knusu lur. Bu benzeşm sağlayan lk beş n m çftn bulun. İpucu : #5 : SU 64 SO9

20 79 P.3.4 ) SU grubu elemanları a b c G 'nn z sıfır lan en genel hermtsel br matrs aracılığıyla dğrulayın. Le grup jeneratörler çn geçerl SU c a b G exp a b c larak fade edlebleceğn k G k 0 grubu jeneratörlernn Paul Spn matrsler lduğunu göstern. frmülünü kullanarak P.3.5 ) + Byutlu br evrende "Drac" denklemn nşa edn. Bu durumda Paul ve Schrödnger denklemlernn alacakları bçmler saptayın. P.3.6 ) Uzayın kaynaksız J 0 bölümlernde k A r 0 sağlayan 4-Ptansyel bleşenler çn geçerl lan daha temel k k A denklemnn çözümlernn A k k lduğunu dğrulayın ve elektrk alanının ˆ yönünde lduğunu göstern. [ Bu yüzden Plarzasyn 4-Vektörü larak adlandırılmaktadır ] P.3.7 ) Pncaré grubu jeneratörlernn genelleştrlmes : L ve M vektörlerne 'Cebrsel' ; k 4-Vektörüne se 'Fnksynel' eklemeler yaparak sağlanır. L J L S M M M k k M C e A genelleştrmelernde M M S varsayımı le kmütasyn tablsunun C C

21 80 k J M J J M M e A M e A k e A 0 k A J k A k e A k e A e k A 0 e e e k k e A e k A e B E c e E 0 c lduğunu göstern. c mc P.3.8 ) rt t 0 Klen-Grdn denklemne mc r t exp t r t çözümünü yerleştrerek w t w t k a w bw "Telegraph" DD nn b 0 haln elde edn. P.3.9 ) Yukarıda elde edlen Telegraph DD nn c lmtnde Serbest parçacık Schrödnger denklemne dönüştüğünü göstern.

22 8 EKLER VE NOTLAR () Aslında 'E' 3 çelşkl br adlandırmadır. Eucld gemetrs temelde G demektr ancak bunu başka metrklere de genellemek adlandırmalarda eknm sağlar. Mnkwsk uzayının sözde Eucld gemetrsnn yl açtığı 0 parametrel Pncaré grubuna da 'E' 3 sm yakıştırılablr. () Metrk çn yapılan seçm Parçacık Fzkçlernn terch lup Genel relatvte uzmanlarının terchnden farklıdır. (3) W fades çn E3 grubunun Casmr peratörünün seçlmes rastlantı değldr. (4) Tamamen cebrsel br peratör lan bleşenlernn aynen mekank br peratör lan L bleşenler gb zaman tersnmes altında şaret değştrmes dkkat çekcdr.