FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 9. KİTAP UZAY ZAMAN SİMETRİLERİ

Transkript

1 FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 9. KİTAP UZAY ZAMAN SİMETRİLERİ 1

2 İÇİNDEKİLER SEMBOLLER VE İŞLEMLER LİSTESİ I. DİFERANSİYEL OPERATÖR ( DO ) TEMSİLLERİ A) Öteleme Jeneratörler B) Dönme Jeneratörler C) 3-Vetörler D) İtlme Jeneratörler II. UZAY ZAMAN ve GRUP YAPILARI A) Grup Hyerarşler B) 4-Vetörler C) Kütle ve Spn D) Uzay Zaman Tersnmeler E) Örneler ve Denlemler III. CLIFFORD CEBİRLERİ A) 3 - Byut B) Spn ve SU() Grubu C) Byut D) Denlemlern Syağacı EKLER VE NOTLAR

3 SEMBOLLER VE İŞLEMLER LİSTESİ A : 3-Vetör AB : İ 3-Vetörün salar çarpımı A A 1 A A A A : 3-Vetör Nrmu A A A : 4-Vetör A B AB A B : İ 4-Vetörün salar çarpımı A A A : 4-Vetör Nrmu A B AB BA : Kmütatör A B C : j j 1 3 A B C fadesnn estrme yazılışı a B C : a B C fadesnn estrme yazılışı A B c : A B j c j fadesnn estrme yazılışı 3

4 I. DİFERANSİYEL OPERATÖR ( DO ) TEMSİLLERİ A) Öteleme Jeneratörler Te byutlu Uzay-Zaman da ötelemelern hermtsel br jeneratörü ullanılara x exp ( a) x a lara gerçeleştrldğ ve nın dferansyel peratör temslnn lduğu görülmüştü. Üç byuta genellemenn x r exp ( a) r a lması ve jeneratörlernn [ j ] = 0 sağlaması dğaldır. le temsl edlen { 1 3 } Zamanda öteleme se t exp ( c) t bçmnde tanımlanır ve ın dferansyel peratör temsl 1 c t lur. B) Dönme Jeneratörler z - esen etrafında açısıyla saat yönünde döndürme şlem x x cs y sn ; y x sn y cs ; z z dönüşümüne yl açar. Bu dönüşüm glbal lara x y z exp ( L 3 ) x cs y sn x sn y cs z veya d yerel dönmeler çn x y z L 3 x y d y x d z x y z lara yazılır. d Önce bu fadenn payına sıfır etl br tplam eleyere 4

5 x y d y x d z x y d y z x y d y z x y z d snra da term çftlern brm etl değş termle çarpara x y d x d y z x y d y z x y z x y d y z x y x d y d elde edlr. Parantez çnde yer alan termlern ısm türev fadeler lduğu saptanara da x y z L 3 x y x y z y x snucuna ulaşılır. Böylece z -esen etrafında dönmelern jeneratörünün dferansyel peratör temsl L 3 x y y x lmatadır. x y z x rdnat çevrm dönüşümünden yararlanara dönme jeneratörlernn tamamı L 1 y z z y L z x x z L 3 x y y x le verlr. C) 3-Vetörler L peratörlernn num vetörü bleşenler le mütatörlernn [ L r j ] j r lduğu layca görülür. Vetör lma şartının dönmeler altında r gb davranma lduğu anlayışıyla vetörler [ L V j ] j V lara x y z tanımlanırlar. Buna göre { 1 3 } ve { L 1 L L 3 } ün ends de vetör lmatadır. Salar ların se dönmeler altında değşmez büyülüler lara tanımlanmaları dğaldır. Buna göre 1 R Salar R Salar veya Baer-Hausdrff Lemma sı ullanılara nˆ nˆ 5

6 [ L Salar ] = 0 lur. İ vetörün Salar çarpımının salar Vetör çarpımının se vetör lacağı layca gösterleblr. Ntem r L lduğu görülmetedr. Bundan böyle [ L V j ] j V fades estrme br yazılımla lara fade edlecetr. Benzer şelde j j Y U V çn se U V = Y çn U V Y ; Y U V estrme yazılımları ullanılacatır. D) İtme Jeneratörler x - esen byunca u u sabt hızı le hareet şlem tanh = c lma üzere ct ct csh x snh ; x ct snh x csh dönüşümüne yl açar. Bu dönüşüm glbal lara ct x exp M 1 = ct csh x snh ct snh x csh veya d yerel dönüşümler çn ct x M 1 ct x d x ct d ct x lara yazılır. d Önce bu fadenn payına sıfır etl br tplam eleyere ct x d x ct d ct x d x ct x d x ct x d snra da term çftlern brm etl değş termle çarpara ct x d x ct d ct x d x ct x d x ct x ct x ct d x d elde edlr. Parantez çnde yer alan termlern ısm türev fadeler lduğu saptanara da 6

7 ct x M 1 1 ct x ct x x c t snucuna ulaşılır. Böylece x - esen byunca sabt hızla hareet etme jeneratörünün dferansyel peratör temsl 1 M 1 ct x x c t dönüşümünden yararlanara jeneratörlern tamamı lmatadır. x y z x rdnat çevrm 1 M 1 ct x x c t 1 M ct y y c t 1 M 3 ct z z c t lara bulunur. İtme lara adlandırılaca M peratörlernn de sağlayan vetör peratörler lduları görülmetedr. L M M PROBLEMLER P.1.1 ) { x } { x cs sn x sn cs } dönüşümünün [ x ] 1 mütasyn bağıntısını aynı bıratığını göstern. özel durumu : { x } { x } dönüşümünü = 1x ) x 1 Legendre dferansyel peratörüne uygulayın ve snucu teşhs edn. P.1. ) L L fadesn değerlendrn. P.1.3 ) L U V 0 lduğunu göstern. P.1.4 ) L U V U V lduğunu göstern. 7

8 P.1.5 ) L V L V V ve L V V L + V özdeşllern elde edn. II. UZAY ZAMAN ve GRUP YAPILARI A) Grup Hyerarşler Zamanda öteleme ve uzayda öteleme dönme tlme jeneratörler L M 10 elemanlı br üme luştururlar. Bunların aralarında mütasyn bağıntıları byutta Eucld : " E " 31 veya ısaca Pncare grubu nun Le cebrn luşturur. (1) L M L L M 0 M M L Pncare grup jeneratör mütatörlernn end çnde apalı alt üme ler ayrı Alt Grup lar hyerarşs luştururlar : L M L M L L 3 "E"(31) SO(31) SO(3) SO() Pncaré Lrentz Dönme Dönme 8

9 veya L M L L3 1 1 "E"(31) E(3) E() E(1) Pncaré Eucld Eucld Eucld B) 4-Vetörler fades br 4-Vetör örneğ lara benmsenere 4-Vetörlern tanımı : L V 0 L V V ; M V V M V V lara yapılır. x ct r : 4-Knum 1 c t : 4-Türev p p p E p : 4-Mmentum c : 4 - Mmentum A A A V A : 4-Ptansyel c J J J c J : 4-Aım fzte sı arşılaşılan 4-Vetörlerdr. 4-Vetörlern salar çarpımlarında dğal lara Mnws metrğ devreye grer ve A B AB A B lur. () Bu salar çarpımların dönmeler ve tmeler altında değşmedler layca gösterleblr. Dğanın gözlemcden bağımsız dlayısıyla bjetf yasaları matematsel lara bu salar çarpımlara dayanma zrundadır. 9

10 C) Uzay Zaman Tersnmeler Değşenlern sınıflandırılmasında şu ana adar 3-Byutta L V V sağlayan 3-Vetörler ve L Salar 0 sağlayan salarlar lduğu anca 3+1 byuta geçnce bazı salarların br 4-Vetörün 0 ıncı bleşen rlünü üstlenere V lduları ve V V V 4-Vetörünün bleşenlernn L V 0 L V V ; M V V M V V sağladıları görülmüştü. Anca L M ve eletrmagnet alan benzer 3-Vetörlern brer 0 ıncı bleşen ednp 4-Vetöre tamamlanmadıları da rtadadır. Bu ntada daha dern br analz le değşenlern Uzay ve Zaman Tersnmeler altında davranışları ncelenecetr. Uzay tersnmes peratörünün 1-Byutta etler x x ; x x lara özetlenmşt. Zaman tersnmes peratörü uzay tersnmesnden farlı lara lneer br peratör değldr. Ant lneer br peratör lan nın özellğnn arasında r r ve p p dlayısıyla lduğu blndğne göre r 1 mütasyn bağıntısının aynı alablmes çn lması geretğ yatmatadır. x ct r ve zaman tersnmeler altında Knum 4-Vetörünün davranışı örneğ ele alınırsa uzay x lara gösterlecetr. Öneml 4-Vetörlern davranışları aşağıda tabl le özetleneblr : 10

11 p A J Bu tablnun bze öğrettğ şeylerden l zaman tersnmes davranışı beğenlmeyen br 4-Vetörü le çarpara arzu edlen snucun elde edlşdr. Ayrıca bu tabl p p p ea A J denlemlern sağlam br zemne turtmatadır. Sn lara bu tabldan lağan 4-Vetör davranışının V lduğu görülmetedr. Br 4-Vetörün parçası lmayan 3-Vetörler se Dönme İtme jeneratörler eletrmagnet alanlar ve dpl mmentlerdr. İtme jeneratörler eletr alan ve dpl mment bleşenler aynen num vetörü r gb altında şaret değştrp altında aynı alırlar bunlara Plar vetör denr. Öte yandan Dönme jeneratörler magnet alan ve dpl mment bleşenler se altında aynı alıp altında şaret değştrere ayırı br davranış serglerler. Bu ayırı 3-Vetörler Sözde vetör lara adlandırılırlar. Sözde lsun lmasın br 4-Vetörün parçası lmayan 3-Vetörler genelde antsmetr br tensörün (matrsn) elemanlarını luştururlar. 11

12 D) Kütle ve Spn Fzte öneml yer lan br 4-Vetörün önce sıfırıncı bleşen tanımlanır; daha snra W L lara W M V V bağıntısından L +M elde edlr. (3) Br Le grubunun tüm jeneratörler le mütasyn bağıntıları sıfır lan peratörler Casmr peratörü lara adlandırılır. Pncare grubunun Casmr peratörü vardır : Q 1 ve Q W W W W W. Bu Casmr peratörü de brer sabt lduları çn tüm jeneratörlerle mütatörler sıfır lmatadır. Q 1 n mc lduğu blnmetedr. Daha armaşı lan Q nn hesaplanmasında fadenn Mnws uzayında br salar çarpım lduğu ve Lrentz dönüşümler altında değşmezlğnden yararlanılır. 0 çerçevesnde = mc Lrentz 0 W r r +M lacağı çn Q 0 elde edlr. Anca lerde görülece bçmde açısal mmentumun cebrsel genelleştrlmes L J L S lara yapılınca 0 Lrentz çerçevesnde = 0 mc W S mc dlayısıyla mc Q W W S elde edlr. Bu snuç evrenn yapıtaşları lan temel parçacıların Kütle ve Cebrsel Açısal Mmentum (Spn) le sınıflandırılması gereğne şaret etmetedr. 1

13 E) Örneler ve Denlemler Bazı temel özdeşller ve denlemler : 1 c t : Dalga peratörü p : Planc-DeBrgle Kuantum asymu : Dferansyel peratör temsl p p qa : Mnmal Eletrmagnet etleşme 1 A A A 0 c t J J 0 t : Lrentz ayar şartı : Yerel yü runumu p p mc : Kütle tanımı mc : p qa p qa m c : Mnmal E-M Etleşmel Kütle tanımı 0 : Kaynasız dalga denlem A A J : Kaynalı dalga denlem mc : Klen-Grdn denlem 13

14 PROBLEMLER P..1 ) E() grubunun Casmr peratörünü nşa edn. P.. ) E(3) grubunun Casmr peratörlern nşa edn. P..3 ) L U V 0 ; M U V 0 lduğunu göstern. e ea ea p p E snucunu dğrulayın ve dlayısıyla eletr c P..4 ) alanın br Plar 3-Vetör lduğunu göstern. ea ea p p e B snucunu dğrulayın ve dlayısıyla magnet P..5 ) alanın br Sözde 3-Vetör lduğunu göstern. A 1 A 1 P..6 ) E c c A A r1 c t ve x y z x rdnat çevrm dönüşümler le A3 A B1 3 A A3 r r3 F A A le tanımlanan ant smetr Alan matrsnn ve rdnat çevrm dönüşümlern dğrulayın. F 0 E1 c E c E3 c E E E3 c c c 0 B3 B B3 0 B 1 B B1 0 1 lduğunu göstern. 14

15 III. CLIFFORD CEBİRLERİ A) 3 - Byut V vetörünün Nrm u cnsnden lneer lara V 1V 1 V 3V 3 V V V V V V vetörünün bleşenler 1 3 bçmnde yazılma stenrse atsayılarının bast sayılar lamayacağı görülür. Bu cebrsel atsayıların j 1 3 lma üzere V V 0 ve 0 varsayımları le 1 j j 0 0 j j V j veya ısaca 1 sağlamaları j j j geretğ görülür. Ant mütatf br cebr luşturan peratörlernn D D matrs temsllernn çft byutlu lması gereğnn ısa br spatı : j çn j j j j 1 Det Det j j D D D 1 Det j j 1 Det D : Çft lara verlr. Yuarıda özelller taşıyan ve hem hermtsel hem de ünter lan matrsler Paul Spn matrsler lara blnmetedr. Böylece 1 V Vz Vx Vy Vx Vy V z lma üzere le verlmete ve dlayısıyla 0 lmatadır. peratörlernn luşturduğu 0 ant mütatf cebr Clffrd cebr lara adlandırılır. C) Spn ve SU() Grubu bağıntısı da cebrsel br açısal mmentuma şaret etmetedr. 15

16 Hele ea ea p p 0 sağlayan eletrmagnet etleşme durumlarında Spn : S nn magnet alanla L ye benzer bçmde etleşmes uantum fzğnn büyü başarılarındandır. veya S tanımıyla S S S luşu syut br uzayda dönme jeneratörünün varlığına şaret eder. (4) Jeneratörler vetörler C lan grup SU() lara adlandırılır. Bu uzayın Cebrsel 1 3 V aynen rdnat uzayının Mean vetörlennce sağlanması gb V C C L V 0 ve C L V V M M S V sağlarlar. İ ayrı ntelte yapının elemanlarının melez tüm vetörler çn geçerl br ayraç lara tüm tüm S V 0 sağlaması dğaldır. Mean cebrsel veya M J L +S tanımlanara J V V şartı gelştrlr; bunların luşturacaları salarlar çn se J U V 0 elde edlr. tüm tüm 3-Byutta Clffrd cebr ürünü Spnör lara adlandırılır. Br örne lara özdeğerler p p rtnrmal spnörler se ve u 1 p 1 p p p3 p p 3 V gb melez br salar çarpımın özvetörler p p p p 3 1 p p1 p p 3 u 1 matrsnn p p 3 p p p3 p1 p le verlr. SO(3) grubunun Le cebrnn L L L lşsne paralel lara SU() grubunun jeneratörler de aynı mütasyn bağıntılarını exp 1 3 S S S lara sağlarlar anca öneml br far L lma gereğdr. İçnde yaşadığımız 3-Byutlu num uzayında 360 dönme bz aynı ntaya götürür halbu syut br spnör uzayında bu şart geçerl exp S 1 fades alır. lmayablr ve nun yern daha genel 3 16

17 C) Byut V V V V V le verlr. Mnws uzayında br 4-Vetörün Nrm u 1 3 V V V V V bçmnde Bu nrm bleşenler cnsnden lneer lara yazılma stenrse j j ; 0 j 1 3 ; j veya uzayın metrğ cnsnden ısaca ; j g lması gerer. Bu Clffrd cebrnn matrs temsllernn de çft byutlu lacaları açıtır. En üçü byutlu temsl anca 4 4 byutta mümün lmatadır. Bjren-Drell temsl lara adlandırılan özel temsl se le verlr. tanımıyla Drac denlemnn dlayısıyla relatvst uantum fzğnn temeln luşturan bu temsl de mdern fzğn büyü başarılarındandır. 3+1 Byutta se 4 4 matrslerden luşan 4-Vetörü ullanılara luşturulan p p p peratörünün 4-Byutlu spnörler br spn- 1 parçacı-ant parçacı çftn tasvr eder. p mc veya mc p ( Feynman ) Drac denlem eletrn-pztrn çftnn eletrmagnet etleşmelern büyü br başarı le açılamış ve Kuantum Eletrdnam ylunda l adımı atmıştır. D) Denlemlern Syağacı mc p Drac denlemnden. mertebe Drac denlem : p luşturulursa p p v 0 lduğu çn mc p p p özdeşlğ ullanılara pp mc Klen-Grdn denlem elde edlr. Matematsel fzğn brç temel denlem arasında benzer lşler ve geçşler vardır. Bu temel denlemlern syağaçları ütlel ve ütlesz durumlar çn aşağıda sunulmatadır. Bazı geçşler se gerel puçlar verlere prblem lara verlecetr. 17

18 ) Kütlel Durum Telegraph Klen-Grdn Schrödnger p p mc. mertebe Drac Paul Drac 18

19 ) Kütlesz Durum ( p) p p p Weyl 0 Q Kaynalı Dalga Dalga 0 Q Laplace Pssn 19

20 PROBLEMLER P.3.1 ) A B A B1 A B özdeşlğn dğrulayın. P.3. ) A A A özdeşlğn dğrulayın. P.3.3 ) SU(n) grubunun n 1 SO(m) grubunun se mm1 jeneratörü vardır. Bazı tamsayı çftler çn SU() SO(3) durumunda lduğu gb SU(n) ve SO(m) gruplarının benzeşm söz nusu lur. Bu benzeşm sağlayan l 5 nm çftn bulun. İpucu : #5 : SU(64) SO(91) P.3.4 ) SU() grubu elemanları a b c br matrs aracılığıyla dğrulayın. Le grup jeneratörler çn geçerl G nn z sıfır lan en genel hermtsel c a b G exp a b c lara fade edlebleceğn G 0 frmülünü ullanara SU() grubu jeneratörlernn Paul Spn matrsler lduğunu göstern. P.3.5 ) +1 Byutlu br evrende Drac denlemn nşa edn. Bu durumda Paul ve Schrödnger denlemlernn alacaları bçmler saptayın. P.3.6 ) Uzayın aynasız J 0 bölümlernde A r 4-Ptansyel bleşenler çn geçerl lan daha temel A 0 sağlayan denlemnn çözümlernn A lduğunu dğrulayın ve eletr alanının ˆ yönünde lduğunu göstern. [ Bu yüzden Plarzasyn 4-Vetörü lara adlandırılmatadır ] 0

21 P.3.7 ) Pncaré grubu jeneratörlernn genelleştrlmes : L ve M vetörlerne 'Cebrsel' ; 4-Vetörüne se 'Fnsynel' elemeler yapara sağlanır. L L S M MM M C e A genelleştrmelernde tablsunun M M S varsayımı le mütasyn C C J M J J M M e A e A 0 J M e e A A e A e A e A e e A A 0 e e B E c e E c 0 e A lduğunu göstern. 1 c mc P.3.8 ) rt t 0 Klen-Grdn denlemne mc r t exp t r t çözümünü yerleştrere w t w t a w bw Telegraph DD nn b 0 haln elde edn. 1

22 P.3.8 ) Yuarıda elde edlen Telegraph DD nn c lmtnde Serbest parçacı Schrödnger denlemne dönüştüğünü göstern. EKLER VE NOTLAR (1) Aslında " E " 31 çelşl br adlandırmadır. Eucld gemetrs temelde G = 1 demetr anca bunu başa metrlere de genelleme adlandırmalarda enm sağlar. Mnws uzayının sözde Eucld gemetrsnn yl açtığı 10 parametrel Pncaré grubuna da " E " 31 sm yaıştırılablr. () Metr çn yapılan seçm Parçacı Fzçlernn terch lup Genel relatvte uzmanlarının terchnden farlıdır. (3) W fades çn E 3 grubunun Casmr peratörünün seçlmes rastlantı değldr. (4) Tamamen cebrsel br peratör lan bleşenlernn aynen mean br peratör lan L bleşenler gb zaman tersnmes altında şaret değştrmes dat çecdr.