Bazı bağımlı aktüeryal risk süreçlerinin deneysel sonuçları

Transkript

1 İsttistikçiler Dergisi (8) 5-4 İsttistikçiler Dergisi Bzı ğımlı ktüeryl risk süreçlerii deeysel souçlrı Selim Dğlıoğlu T.C. Kültür ve Turizm Bklığı Strteji Geliştirme Bşklığı 63 Ulus Akr Türkiye Cep Erdemir Hcettepe Üiversitesi Fe Fkültesi Aktüery Bilimleri Bölümü 68 Beytepe Akr Türkiye Özet Bu çlışmd ir y d irde fzl ğımsız sigort kolud oluş portföyde ğımlı risk süreçlerii üç yrı model gruu ele lımıştır. Bu model gruplrı primler sit miktrlrl topldığıd hsr süreçlerii irici derecede otoregresif modeli prim ve hsr süreçlerii irici derecede otoregresif modelleri ve sigortcıı kzcı ile ilgili otoregresif-hreketli ortlm modelleridir. Bu modellere uy süreç dğılımlrıı süreç ortlmsıdki değişmeleri şlgıç sermyesideki ve fiz orlrıdki değişmeleri ve hsrlrı şimdiki döemle öceki döemler rsıdki ğımlılığı ifls olsılıklrı üzerideki etkiler üretilmiş ypy veri kullılrk icelemiştir. Deeysel souçlr ifls kurmıd elirtildiği gii her etmei ifls olsılıklrı üzeride özel öemi olduğuu göstermiştir. Ahtr sözcükler: Bğımlı ktüeryl riskle; Luderg-tipi eşitsizli; Doğrusl süreç modeller; İfls olsılıklrı. Astrct Experimetl outcomes of some depedet cturil risk processes I this study three groups of models of depedet risk processes i the portfolio tht cosists of idepedet isurce rches re cosidered. These model groups re fixed premiums d first order utoregressive model of clims first order utoregressive models of premiums d clims d utoregressive-movig verge models of isurce firm gis. The effects of the process distriutios chges i me chges i iitil cpitls chges i iterest rtes d depedecy of clims etwee the curret d previous terms o the rui proilities re ivestigted usig y geerted rtificil dt. Experimetl outcomes show tht ech fctor hs specil importce o the rui proilities s stted i the rui theory. Keywords: Depedet cturil risks; Luderg-type iequlity; Lier processes; Rui proilities.. Giriş Aktüeryl risk teoriside ireysel risk modelleri ve kolektif risk modelleri gii pek çok model ğımsızlık vrsyımı ltıd kurulmktdır. Ack ğımsızlık vrsyımıı klsik modellerde u kdr öemli rol oymsı rğme sigort ve resürs ürülerii rt krmşıklığı ve pek çok durumd ğımsızlık vrsyımıı sğlmmsı edeiyle ktüery litertürüde ğımlı riskleri modellemesie ilgi her geçe gü rtmktdır. Aktüeryl risk teoriside iki tür ğımlılık vrdır. İlk tür ğımlılık; sigortcıı portföyüde ulu frklı sigort kollrı it poliçeler y d frklı sigort kollrı rsıd ilişki oluşmsıd kykl ğımlılık şeklidedir. Örek olrk sigortcıı portföyüde frklı sigort kollrı ilişki poliçelere

2 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) ship ol ir kişii üyük ir kz geçirmesi durumud portföydeki frklı sigort kollrı ilişki poliçelerde hsr oluşur. Ayrıc sigortcıı portföyüde ir çifte (krı-koc) ve/vey elli ölgede yşy kişilere it çok syıd poliçei ulumsı durumud fırtı ptlm deprem slgı hstlık gii felketleri meyd gelmesi durumud portföyde ulu pek çok poliçede hsr oluşur. Bu gii durumlrd portföyde ulu poliçeleri y d sigort kollrıı tmme ğımsız olduğuu söylemek oldukç güçtür. Bu türde ğımlılığı olduğu risk modelleri; Dhee d Gooverts (997) Amgspitiy ( ) Wg (998) Deuit et. l. (999) Cossette d Mrceu () Cossette et. l. () Müller d Pflug () Gooverts d Ks () Wu d Yue (3) Ris et. l.(3) gii pek çok rştırmcı trfıd icelemiştir. İkici tür ğımlılık ise hsr ve/vey prim süreçlerii geçmiş döemde gerçekleşe hsr miktrı ve/vey prim miktrı ile rsıdki ilişkileride kykl ğımlılıktır. Mevcut hsr ile eski hsrlr rsıdki ğımlılık geel olrk geçmiş döemde portföyde ulu zı poliçeleri gelecek döemde de portföyde klck olmsıd kyklır. Bu türde ğımlı riskleri modellemeside zm serileri yklşımı kullılır ve ifls olsılıklrıı gösterimide mrtigle eşitsizlikleride yrrlılır. Bu türde ğımlılığı olduğu ğımlı risk modelleri; Gerer(98) Promislow(99) Bowers(997) Yg d Zhg (3) Zhg (5) Zhg et. l. (7) gii pek çok rştırmcı trfıd icelemiştir. Kurmsl irçok çlışm olmsı rğme risk süreçleri üzeride irçok etmei yı d icelediği deeysel çlışmlr yok deecek kdr z syıddır. Ayrıc ğımlı risk süreçlerii doğrusl durğ süreçler olrk ele lıp öemli etmeler ltıd süreçleri dvrışlrıı iceleye çlışmy ol ihtiycı kısme de ols krşılmk mcıyl u çlışmd ir y d irde fzl ğımsız sigort kolud oluş sigortcı portföyüdeki poliçelere it ğımlı risk süreçlerii irici derece otoregresif doğrusl modele uyduğu durum ile sigortcıı ir döemde (geellikle ir yıl) topldığı primlerde yı yıld ödediği hsrlrı çıkrılmsıyl elde ettiği kzcıı otoregresif-hreketli ortlm modelie uyduğu durumlrd ğımlılığı ve modellerdeki ht terimlerii dğılımıı şlgıç sermyesii ve fiz orı ifls olsılıklrıı üst sıırlrı üzerideki etkisi kurmsl olrk gözde geçiriliş ve modelleri dvrışlrı ypy olrk üretile syısl veri yrdımıyl icelemiştir. Mklei ikici ölümüde ğımlı risk süreçlerii zm serisi modelleri üçücü ölümüde rtık süreçleri ve ifls olsılıklrı gözde geçirilmiş dördücü ölümde ise sıl deeysel çlışmy ilişki souçlr verilmiştir.. Bğımlı risk süreçlerii zm serisi modelleri Bu ölümde ir y d irde fzl ğımsız sigort kolu it poliçelerde oluş ir portföydeki hsr ve/vey prim miktrlrıı irici derece otoregresif modele uyduğu zm serisi modelleri ile sigortcıı elli ir döemde (geellikle ir yıl) topldığı primlerde yı döemde ödediği hsr miktrlrıı çıkrılmsıyl elde ettiği kzç sürecii otoregresif hreketli ortlm modeli ve yrıc hsr ve/vey prim süreçleri ile kzç süreçlerii u modellere uymsı içi gerekli koşullr verilmiştir... Hsr ve prim süreçlerie ilişki otoregresif modeller Bu ölümde ir y d irde fzl ğımsız sigort kolu it poliçelerde oluş ir portföydeki hsr ve prim süreçlerie ilişki irici derece otoregresif modeller ile ğımlı risklerde u modelleri geçerli olmsı içi gerekli koşullr ele lımıştır.... Hsr süreçlerii irici derece otoregresif modeli Z [ ] rlığı oyuc y d. yıld gerçekleşe hsrlrı göstermek üzere Z...} hsr sürecii ir egtif olmy rstltı değişkeler dizisidir ve { Z

3 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) Z Z X = z + Z = = 3... () şeklideki irici derece otoregresif modele uyr. Burd { X } ğımsız ve yı dğılımlı (i.i.d) egtif olmy rstltı değişkeler dizisidir ve < şeklidedir. Bu modeldeki prmetresi ilişkii derecesii ölçer. Eğer = ise hsr süreci ğımsız ve yı dğılımlı rstltı değişkeleri dizisi olur ve herhgi zm rlığıd meyd gele hsrlr eski hsrlrd ğımsızdır. Eğer ise süreç çok ğımlı olur. Bşlgıç hsr miktrı ilie ir sit syıdır ve z ile gösterilir. Bğımsız ve yı dğılımlı X terimleri. döemde portföye ktıl poliçelerde oluş hsr miktrı olrk yorumlilir. İsttistiksel kış çısıd modeli ht terimi olrk tımlır. Ayrıc X i geel dğılım foksiyou F( x) = P( X x) şeklidedir. Burd keyfi ir X X ile gösterilir ve E (X ) < + olduğu vrsyılır [5].... Prim süreçlerii irici derece otoregresif modeli Prim süreçleri de Eş.() ile verile modele ezer şekilde W W Y = w + W = = 3... () Eş.() ile verile irici derece otoregresif modele uyr. Bu modelde { Y Y...} ğımsız ve yı dğılımlı egtif olmy rstltı değişkeleri dizisidir. İsttistiksel kış çısıd Y modeli ht terimi olrk tımlır. Y Y ile gösterildiğide Y i geel dğılım foksiyou G( x) = P( Y x) ve E (Y ) < olmk üzere prim sürecii göstere { W W... } egtif olmy rstltı değişkeleri dizisidir. Burd < dir. Bu modelde W i [ ] zm rlığıd y d. yıl oyuc topl primleri so yılı primi ile ht rstltı değişkeii (ht terimleri ğımsız ve yı dğılımlıdır) toplmıd oluştuğu vrsyılır. Bu modelde prmetresi geçmiş döemde kl poliçeleri mevcut portföydeki orı olrk yorumlilir. Diğer ir deyişle prmetresi mevcut döemde topl primler ile geçmiş döemde topl primler rsıdki ilişkii derecesii ölçer. Eğer sıfır ise prim süreci ğımsız ve yı dğılımlı rstltı değişkeleri dizisi olur. Bu durumd herhgi zm rlığıd topl prim eski ilgilerde ğımsızdır. Eğer e ykıs süreçte ğımlılığı çok fzl olduğu söyleeilir. Bu durumd eski müşterileri üyük ir kısmı yei zm dilimide portföyde klcktır deileilir. Ayrıc u modelde; Y. yıld portföye ktıl poliçeleri prim geliri olrk yorumlilir. Bşlgıç primii elli olduğu vrsyılır ve w ile gösterilir [5]. Birici derece otoregresif modellerde durğlık koşulu gereği ir döem gecikmeli seriye it prmetreler ( ) rlığıd değerler lır. Ack prim ve hsr rstltı değişkelerii egtif değerler lmmsı istediğide prim ve hsr süreçlerie ilişki modellerdeki ve prmetreleri rlığıd değerler lmktdır. [ )

4 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) Kzç modelleri Bu ölümde sigortcıı elirli ir döemde topldığı primlerde ydı döemde ödediği hsr miktrlrıı çıkrılmsıyl elde ettiği kzcıı zm serisi modelleri ve u modelleri kullılilmesi içi gerekli koşullr gözde geçirilmiştir.... Otoregresif hreketli ortlm modeli G sigort şirketii. yıld elde ettiği kzcı (. yıld topldığı primler eksi yı yıld ödediği hsr G süreci miktrlrı) olsu. { } G = G pg p + X + X q X q (3) şeklideki ARMA(pq) modelie uyr. Burd... p ve...q ler şğıd elirtile şrtlrı sğly kesi sitler ve urd X X... ler E ( X ) > olmk üzere ğımsız ve yı dğılımlı rstltı değişkeleridir. Bu modeli şlgıç değerleri g... g p + ve x... x q + ilie sit syılrdır. Burd G = g ( =... p + ) X = x ( =... q + ) şeklidedir. α =... p ; β = q ve B G j zm serisi üzeride gecikme sycı ( BG ; j =... ) j = G j ± ( P z p ) = z... z p (4) Q + ( z) = + z +... z q q (5) olmk üzere (.3) eşitliği şğıdki şekilde yzılilir: Ayrıc P ( B) G = Q( B) X (6)... p ve q. β = Q( ) > ;... ktsyılrı hkkıd vrsyımlr şğıdki giidir:. P ( z) = deklemii her çözümü kompleks düzlemi irim çemerii dışıddır; 3. P(z) ve Q(z) herhgi geel fktöre ship değildir. P ( ) = olduğud ikici vrsyımd α = P( ) > olduğu lmı gelir [ 3 6]. (3) modelide ( = q = ) p olduğu özel durumd ARMA() modeli G G X X = + + şeklidedir. Bu durumd ve prmetreleri içi koşullr + > < ve + şeklide yzılır[3].

5 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) Hreketli ortlm modeli Eş. (3) ile verile sigort şirketii. yıld elde ettiği kzcıı (. yıldki primler eksi hsrlr) ARMA(pq) modelide G ler tekrrlı ir şekilde yerie koyulrk (... içi formülü kullrk) sğ trftki G ler yok edeilir ve (3) eşitliğideki G ; X X X... terimleri ile çıklilir. Bu yoll krm ARMA(pq) model hreketli ortlm MA(q) modelie idirgeir. Bir şk deyişle eşitlik (3) te p = olduğu özel durum döüşür. Bu durumd Eş. (3) G = X + X +... X (7) + q q şeklide yzılır [3]. ike U olduğud emi olmk içi β = q olmk üzere β > koşulu urd d geçerlidir. Geişleme ktsyısıı göstere k Q( z) = + P( z) k= k z şeklide olmk üzere { } k G süreci hreketli ortlm ( MA ( )) süreci olrk (8) Q( B) X = + X k k = G = P( B) X (9) şeklide de yzılilir. k Eş. (9) ile verile model j p q içi X j = kurlıı sğlr ve u modelde x q... x q p+ şlgıç değerleri uygu ir şekilde seçilir. k ı k < ve β = ( q ) > koşullrıı sğldığıı gösterilmesi gerekir. k üstel olrk (ikici vrsyım kullılrk Eş.(8) deki geişlemede görüleildiği gii) sıfır yklşır. Buu soucud = k = k k < koşulu sğlır ve urd β k β β + Q() k = = () = () α k P şeklideki eşitliği sğlr; öylece k p+ q+ j k k= g = x + x ( j =... p + ) () j şeklide yzılır [ 3]. j j k

6 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) Artık süreçleri ve ifls olsılığı Bu ölümde kesikli risk modelleride ğımlı riskleri modellemeside kullıl zm serileri modelleri geçerli olduğud rtık (surplus) süreçlerii ve et-kâr şrtıı sıl olduğu ile düzeltme ktsyısıı ve ifls olsılıklrı içi üst sıırlrı sıl hesplcğı icelemiştir. 3.. Artık süreçleri Bu ölümde ir vey irde fzl ğımsız sigort kolud oluş portföyler içi rtık süreçleri gözde geçiriliştir Prı zm değerii içermeye ( r = ) rtık süreçleri Aktüery litertürüde ir sııf içi rtık süreci (risk rezervi) geellikle U = u + c S =... () içimide tımlır. Burd U : Sigort şirketii ıdki rtık sürecii u : Sigort şirketii şlgıç sermyesii c : Her döemde lı sit prim miktrıı S : döem oyuc poliçede oluş toplm hsr miktrıı gösterir. Ayrıc döem oyuc oluş toplm hsr miktrıı göstere S = Z i i= şeklidedir ve u modellerde prı zm değerii olmdığı vrsyılır ( r = ). Burd Z i i. döemdeki hsrlrı toplmıdır ve Z ler μ = E[ μ i ] < c ile ğımsız ve yı dğılımlı rstltı değişkelerdir []. i Ayrıc portföydeki ir poliçede oluş hsr miktrlrı süreci Eş. () ile verile irici derece otoregresif modele uyduğu durumd Z ler tekrrlı ir şekilde yerie koyulrk E[ X i ] < ( )c eşitliğii sğly ğımsız ve yı dğılımlı rstltı değişkeleri çısıd Z = X + X + X X + z şeklide yzılilir. Burd Eş. () ile verile rtık sürecideki döem oyuc oluş toplm hsr miktrı S S = X = X + S ( + ) X + L + ( + + L + ) X + ( + + L + ) + X + L + X + z z

7 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) 5-4 şeklidedir[]. Bşk ir gösterimle rtık süreci U = u + ( c Z ) + ( c Z ) ( c Z ) şeklide de tımlilir. Burd G yıld elde edile kzç olmk üzere rtık süreci U = u + G G = u + (3) şeklide tımlır [3]. G i i= (3) eşitliği ile verile rtık sürecideki kzç süreci (sigort şirketii herhgi ir yıld topldığı primler eksi yı yıld ödediği hsrlr) kzç modellerie uyr Prı zm değerii içere ( r ) rtık süreçleri () eşitliği ile verile rtık sürecie prı zm değeri eklediğide; yi fiz olmmsı kısıdı kldırıldığıd ir sigort şirketii ir y d irde fzl sigort kolu it poliçelerde oluş portföyüdeki ir sigort kolu içi kesikli rtık süreci U i+ ( + r) + W ( + r) Z ( + r) i= = u (4) i i= i i şeklide tımlır. Burd U ıdki rtık değeri; u sigort şirketii şlgıç sermyesi ve r ileşik fiz orı olmk üzere sit fiz orıı r şeklide olduğu Z i hsrıı döemi soud ödediği ve W i primii döemi şıd ödediği vrsyılır [5]. 3.. Net-kâr şrtı ve düzeltme ktsyısı Bir risk modeli içi ifls olsılıklrı göz öüde tutulduğud et-kâr şrtı ortlm olrk her sigort döemide prim gelirii hsr ödemelerii şcğıı ifde eder; yi her i =... içi E W ] > E[ Z ] [ i i şeklide olduğu vrsyılır. Ack zm serileri yklşımı ile modellee ğımlı risklerde prim ve hsr süreçlerii dğılımlrı geellikle ilimediği içi et-kâr şrtı ğımsız ve yı dğılımlı ht terimleri çısıd yzılır. Buu soucud düzeltme ktsyısı R de ht terimlerii dğılımlrı yrdımıyl elde edilir. Ayrıc ht terimleri ğımsız ve yı dğılımlı rstltı değişkeleri olduğud irici ht terimii dğılımı ile düzeltme ktsyısıı elde etmek yeterlidir. Bu ölümde ğımlı riskleri zm serisi modelleride et-kâr şrtı ve düzeltme ktsyılrıı sıl hespldığı ilişki yötemler ir rd iceleerek gözde geçirilmiştir Hsr ve primler irici derece otoregresif sürece uyduğud et-kâr şrtı ve düzeltme ktsyısı Hsr ve prim süreçlerii irici derece otoregresif sürece uyduğu durumd (yi hsr süreci Eş. () i ve prim süreci Eş. () yi sğldığıd) et-kâr şrtı E [ X ] + z < E[ Y ] + w (5)

8 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) 5-4 şeklidedir. Burd E [ Y ] > E[ X ] ve olur. Eş. (5) ile verile et-kâr şrtı de küçük ifls olsılıklrı içi yeterli ir şrttır ck de dh küçük ifls olsılıklrı içi gerekli koşul ike [ X ] ( + r) E[ Y ] E v r v v + r r ( + r) ( ) v < (6) şeklideki giidir; urd ( ) v = + r iskoto fktörüdür. X i momet çıkr foksiyouu uygu ölgede olduğu + < ( + v )/ v E [ Y ] > E[ X ] olduğu ve R > şeklide ir düzeltme ktsyısı R olduğu vrsyıldığıd R R RvX E exp Y exp = E (7) v v eşitliği yrdımıyl elde edilir. (7) eşitliğii çözülmesi ile elde edile R düzeltme ktsyısı olrk dldırılır. (7) eşitliğii çözülmesi ile irde fzl R elde edilirse e küçük pozitif syı R düzeltme ktsyısı olrk lıır [5]. (7) eşitliği dh sit olrk R Rv M Y M X = (8) v v şeklide yzılilir. Bu durumd R düzeltme ktsyısı ht terimlerii dğılımlrı ğlı olrk ht terimlerii momet çıkr foksiyolrı yrdımıyl elde edilir. Ht terimlerii dğılımlrıı orml dğılım y d üstel dğılım uyduğu durumlrd R düzeltme ktsyısı şğıdki gii elde edilir: X ve Y i dğılımlrı sırsıyl X ~ N ( μ σ ) ve ~ N( μ σ ) olduğud Eş.(8) Y şeklide orml dğılım ship e Ry Rxv ( ) v y μ / σ v ( x μ ) / σ dy e dx = σ e π σ e π şeklidedir. Burd e R R μ + σ / v v e Rv Rv μ + σ / v v = e Rv R R μ μ + σ v v v şeklide yzılilir. Rv μ μ v / R v R Rv + σ / + σ / v v Rv + σ v / = = (9) X ve Y i dğılımlrı ile dğılım prmetreleri fiz orı r ve ktsyılrı ilie sitler olduğud u değerler (9) ile verile eşitlikte yerie koyulrk deklem çözüldüğüde R düzeltme ktsyısı elde edilir.

9 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) X ve Y i dğılımlrı sırsıyl X ~ exp( λ) ve ~ exp( β ) R e λy λe R y v dy e βx βe Rv x v = eşitliğii çözülmesiyle elde edilir. İtegrlleri lımsıyl eşitlik Y şeklide üstel dğılım ship olduğud λ β R Rv λ + β v v = şeklide olur. Burd β R = ( v) λv( v) v () yzılır. Bu eşitlikte ilie sitler ol dğılımı prmetreleri ( λ ve β ) r fiz orı ile ve ktsyılrı yerlerie koyulduğud R düzeltme ktsyısı elde edilir Primler sit sürece hsrlr irici derece otoregresif sürece uyduğud et-kâr şrtı ve düzeltme ktsyısı Primleri sit miktrlrl topldığı hsr sürecii ise () eşitliği ile verile irici derece otoregresif sürece uyduğu; yi = (öreği Wi = Yi i =... ler ğımsız ve yı dğılımlı rstltı değişkeleridir) ve X i momet çıkr foksiyouu uygu ölgede olduğu vrsyıldığıd et-kâr şrtı E[ W ] > E + z [ X ] şeklidedir. Ayrıc düzeltme ktsyısı R RvX E [ exp ( RW )] E exp = () v eşitliğii çözülmesi ile elde edilir [ 5]. (3.) eşitliği Rv exp ( Rc) M X exp = () v şeklide de yzılilir. Bu eşitlikte lşılcğı gii R düzeltme ktsyısı X i dğılımı ğlı olrk X i momet çıkr foksiyou yrdımıyl yukrıd verile eşitlikleri çözülmesi ile elde edilir. X i dğılımı ~ N( μ σ ) X şeklide olduğud () eşitliği

10 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) exp Rxv / σ dx = v ( x μ ) ( Rc) e e σ π şeklide yzılilir. Bu eşitliği çözülmesiyle R düzeltme ktsyısı ( c [ v /( v) ]) ( v /( v) ) μ R = σ (3) şeklide elde edilir. X i dğılımı ~ exp( λ) X şeklide olduğud () eşitliği Rv x λx v exp( Rc) e λe = şeklide yzılır. Dh sit ir şekilde exp λ Rv = λ - - v ( Rc) (4) şeklide yzılilir. Bu eşitliği çözülmesiyle R düzeltme ktsyısı elde edilir Yıllık kzç süreçleride et-kâr şrtı ve düzeltme ktsyısı Sigort şirketii yıld elde ettiği kzçlrı ARMA(pq) modelie uyduğu durumd et-kâr şrtı ortlm olrk her sigort döemide prim gelirii hsr ödemelerii şcğı; yi her i =... içi E W ] > E[ Z ] şeklide olduğu vrsyımı uyr. Ack yıllık kzç modelleride primleri ilie [ i i sit miktrlrl toplmsı ve hsr dğılımlrıı ilimesi edeiyle yıllık kzç modelide et-kâr şrtı diğer ğımlı riskleri zm serisi modelleride frklı olrk hsr değişkei ve primler çısıd yzılır. Bu durumd et-kâr şrtı c döemsel olrk topl prim miktrlrı ve Z i hsr süreci rstltı değişkei olmk üzere her > içi şeklidedir [6]. E c Z i > (5) i= Net-kâr şrtıı sğldığı vrsyıldığıd düzeltme ktsyısı R ht terimlerii dğılımlrı yrdımıyl [ exp ( RX )] = E (6) eşitliğii çözülmesi ile elde edilir. Burd ğımsız ve yı dğılımlı X ht terimlerii dğılımı α =... p ve = q β olmk üzere X α = c β Y (7)

11 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) α eşitliği yrdımıyl elde edilir; yi E( X ) = c E( Y ) > β eşitliği α E exp R c Y = β şeklidedir. Burd E [ exp ( RX )] = (8) şeklide yzılilir []. G sürecide. yıld elde edile kzcı göstere G rstltı değişkei her döem ödee sit c primi eksi. döemde ödee hsrlrı göstere ğımsız ve yı dğılımlı Y rstltı değişkei olduğud; yi G = c Y şeklide olduğu içi X ht terimleri X = λ c Y şeklide tımlır. Bu eşitlikte λ ı değerii ulumsı gerekmektedir. λ ı değeri (3) ve (9) eşitlikleri ile verile modeller yrdımıyl şğıdki gii elde edilir: Burd öemli ir uyrı ypmk yeride olur: { } G = λ c + k Y ky k k k ( β / α ) E( )( β α ) E( G ) = λ c Y / α =... p ve = q (8) eşitliği β şeklidedir. Burd α α E exp R c Y = exp R c E = β β [ exp( RY )] şeklide de yzılilir. Bu eşitlikte de görüleileceği gii düzeltme ktsyısı R α λ = olur []. β M Y ( R) = exp R c β α (9) eşitliğii çözülmesiyle elde edilir; yi. yıld elde edile kzcı göstere G rstltı değişkei modellediği durumd G her döem ödee c primi eksi. döemde ödee hsrlrı göstere ğımsız ve yı dğılımlı Y rstltı değişkei olduğud (yi G = c Y şeklide olduğud) düzeltme ktsyısı. döemde ödee hsrlrı göstere ğımsız ve yı dğılımlı Y rstltı değişkeii dğılımı göre elde edile Y rstltı değişkeii momet çıkr foksiyou yrdımıyl elde edilir. Y rstltı değişkeleri ğımsız ve yı dğılımlı olduğud her ir Y i dğılımıyl elde edile momet çıkr foksiyou yıdır. Y i dğılımı ~ N( μ σ ) Y şeklide olduğud (9) eşitliği

12 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) e Ry σ y / σ ( y μ y ) e π y dy α = exp R c β şeklide yzılilir. Bu eşitliği çözülmesiyle R düzeltme ktsyısı α μ / σ β R = c (3) şeklide elde edilir. Y i dğılımı ~ exp( λ) e λ. y Y şeklide olduğud (9) eşitliği λe yr α = exp Rc β içimide yzılilir. Dh sit ir şekilde α λ exp Rc = (3) β λ R şeklide yzılilir. Bu eşitliği çözülmesiyle R düzeltme ktsyısı elde edilir İfls olsılıklrı Bu ölümde ury kdr icelee modeller içi ifls olsılıklrıı sıl hesplcğı gösterilmiştir Prim ve hsr süreçlerie ilişki otoregresif modeller içi ifls olsılıklrı Teorem : R düzeltme ktsyısıı olduğu hsr süreçlerii () eşitliğii ve prim süreçlerii ise () eşitliğii sğldığı vrsyılsı. Bu durumd ifls olsılığı içi üst sıır (her x içi) ( Ruˆ ) exp ϕ ( x y x ) (3) E [exp eşitsizliği yrdımıyl elde edilir. Burd T ( Rv Uˆ ) T < ] T Uˆ = U v W v { : U } T = if + Z v u ˆ = Uˆ şeklidedir. Fiz orı r = şeklide olduğud (3) eşitsizliği eşitliğe döüşür [5].

13 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) Eş. () de verile teoremi isptı Yg ve Zhg (3) de çık şekilde verildiğide urd verilmeyecektir. Ayrıc primleri sit miktrl topldığı hsr sürecii ise irici derece otoregresif modele uyduğu durumd ifls olsılığı içi üst sıır (her x içi) ( Ruˆ ) exp ϕ ( x y x ) (33) E[exp şeklie döüşür. Burd Uˆ = U v W v { : U } T = if u ˆ = Uˆ T ( Rv Uˆ ) T < ] şeklidedir. r = olduğud (33) eşitsizliği eşitliğe döüşür [5]. T Souç : < ve < şeklide olduğud prim ve hsr süreçlerie ilişki irici derece otoregresif modeller geçerli olduğud ifls olsılıklrıı üst sıırlrıı elde edilmeside kullıl (3) ve (33) eşitlikleri ( x y x ) exp( Ruˆ ) ϕ (34) şeklideki eşitsizliği sğlr [] Yıllık kzç modelleri içi ifls olsılıklrı Bu ölümde ir sigort şirketii. yıld topldığı primlerde yı yıld ödediği hsrlrı çıkrılmsıyl elde ettiği kzç modelleri gözde geçirilmiştir. T if( : U ) ifls ıı (her içi eğer > ise T = ) ve = U ϕ u; g... g ; x... x ) = P( T < ) ifls olsılığıı göstersi. Bu durumd kzç modelleri ( p+ q+ içi ifls olsılıklrı şğıdki teoremler yrdımıyl elde edilir. Teorem : R ( R > ) düzeltme ktsyısı olmk üzere Eş. (3) ile verile model içi ifls olsılığı v( u; g... g p+ ; x... x q+ ) ϕ ( u; g... g p+ ; x... x q+ ) = (35) E[ v( U ; G... G ) T < ] şeklide elde edilir. Burd p+ α ( ;... ;... ) exp ~ v u g g p+ x x q+ = Ru β α =... p β = q

14 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) u~ = u + α p q ( k p ) g k + ( k q ) k = şeklidedir[ 3]. Teoremi isptı Gerer (98) de çık ir şekilde verilmiştir. () modelide ( = q = ) α k = p olduğu özel durum geri döelim. Bu durumd Eş. () ile verile model x k G = G + X + X şeklidedir. Bu durumd ve prmetreleri içi koşullr + > < ve + şeklidedir. (.) modelide ( = q = ) v şeklide olur [3]. p olduğu u özel durumd v foksiyou ( u g x) = exp R u + g + x Teorem 3: R ( R > ) düzeltme ktsyısıı göstermek üzere Eş. (7) ile verile model içi ifls olsılığı v( u; x... x q+ ) ϕ ( u; x... x q+ ) = (36) E[ v( U ; X... X ) T < ] şeklide elde edilir. Burd v u x x ( ;... q+ β = q u ~ = u + q k = R ) = exp u~ β ( + ) k q x k q+ şeklidedir[ 3]. Teoremi isptı Gerer (98) de çık ir şekilde verilmiştir. 4. Bğımlı risk süreçlerii deeysel olrk icelemesi Bu ölümde ğımlı risk süreçlerii modellerie uyum gösterecek içimde ypy veri türetilerek vrlığı öcede kul edile etmeleri ğımlı süreçlerii sıl etkiledikleri icelemiştir. Her ir modele ilişki ypy veri üretme işlemi ve modeli etmeler ltıdki dvrışlrı irer örek olrk ele lımıştır. Öreklerde ifls olsılıklrıı hesplmd yş zorluklr edeiyle ifls olsılıklrı yerie ifls olsılıklrı içi elde edile üstel üst sıırlr vere Luderg tipi eşitsizliklerde yrrlılmıştır. Luderg tipi eşitsizlikler

15 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) ϕ ( u w z) exp( Ru) eşitsizliği ile elde edilir. İfls olsılıklrıı üst sıırıı hesplmsıd kullıl eşitsizlikleri pydlrı irde dh üyük olduğu içi Luderg tipi eşitsizlikler sğlır. Luderg tipi eşitsizlikler yrdımıyl elde edile üst sıırlr ifls olsılıklrıı çeşitli durumlrd (ğımlılık rttığıd fiz orlrı rttığıd v.) sıl ir dvrış gösterdiğie ilişki ilgi verdiği içi öemlidir. Öreklerde hsr ve prim miktrlrıı stokstik süreç olduğu durumd prim ve hsr süreçlerii irici derece otoregresif modele uyduğu durum ile primleri sit miktrlrl topldığı hsr süreçlerii ise irici derece otoregresif modele uyduğu durumd fiz orlrıı şlgıç sermyesii ilişki ktsyılrıı u ğlı olrk ğımlılığı ifls olsılıklrıı üst sıırlrı üzerideki etkisi icelemiştir. Zm serileri yklşımı ile modellee ğımlı risklerde primleri ve hsrlrı dğılımlrı geellikle ilimediği içi et-kâr şrtı ğımsız ve yı dğılımlı ht terimleri çısıd yzılır. Buu soucud düzeltme ktsyısı R de ht terimlerii dğılımlrı yrdımıyl elde edilir. Bu edele ht terimlerii dğılımlrıı ve ht terimlerii ortlmsıdki değişimi ifls olsılıklrı üzerideki etkisi de icelemiştir. Öreklerde Bowers ve diğerleri (997) ile Yg ve Zhg (3) i ezetim çlışmlrı soucud elde ettikleri modellerde yrrlılmıştır. Bu modeller kullılırke modelleri sğlmsı içi gerekli durğlık koşullrı ve et-kâr şrtlrı göz öüde uludurulrk ht terimlerii dğılımlrı ve modellere ilişki prmetrelerde değişiklik ypılrk her ir model içi ilgili rştırmcıı çlışmsıd icelemediği durumlr ele lımıştır. Ayrıc u modellerde özellikle ht terimlerii dğılımıı ifls olsılıklrıı üst sıırlrı üzerideki etkileri icelemiştir. Buu soucud modellerde fiz orlrıı şlgıç sermyesii primleri sit miktrlrl topldığı modellerde prim miktrlrıı ğımlılığı ve ht terimlerii dğılımlrıı ifls olsılıklrı üzerideki etkileri icelemiştir. 4.. Prim ve hsr süreçleri içi örekler Bu ölümde ir sigort kolud y d irde fzl ğımsız sigort kolud oluş ir portföydeki prim ve hsr süreçlerii uyduğu irici derece otoregresif modellere ilişki syısl örekler ve ir sigort kolud y d irde fzl ğımsız sigort kolud oluş ir portföyde primleri sit miktrlrl topldığı hsr süreçlerii ise irici derece otoregresif modele uyduğu durum ilişki syısl örekler verilmiştir. Bu örekler yrdımıyl fiz orlrıı şlgıç sermyesideki değişimi primleri sit miktrlrl topldığı modellerde u orlrdki değişimi primleri ve hsrlrı stokstik süreç olduğu durumlrd ht terimlerii ortlmsıdki değişimi ve ht terimlerii dğılımıı ifls olsılıklrı üzerideki etkileri rştırılmıştır. Bu ölümde verile öreklerde hsr ve prim süreçlerii irici derece otoregresif modele uyduğu (yi hsr sürecii () eşitliği ile verile modele prim sürecii ise () eşitliği ile verile modele uyduğu) vrsyılmıştır. Örek : Eş. () ve Eş. () ile verile modellerdeki prmetreler = 5 ; r = 8 ( ( ) v = + r = 96 ) ve = ( + < ( + v )/ v olduğud < 543 ) olsu. Ayrıc u : şlgıç sermyesi w : şlgıç prim miktrı ( w = ) ve z : şlgıç hsr miktrı ( z = ) olmk üzere ϕ ( u w z) : X ~ N( 9) ve ~ N( 9) ϕ ( u w z) : X ~ N( 54) ve ~ N( 9) ϕ ( u w z) : X ~ N( 9) ve ~ N( 9 ) Buu soucud 3 Y olduğud ifls olsılığı içi üst sıırı Y olduğud ifls olsılığı içi üst sıırı Y olduğud ifls olsılığı içi üst sıırı göstersi.

16 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) 5-4 Rv R R Rv μ μ + σ / + σ / = v v v v eşitliği yrdımıyl X ~ N( 9) ve ~ N( 9) olduğud R = 735 ve X ~ N( 9) ve ~ N( 9 ) Y olduğud = 8 ~ N 54 Y ~ N 9 Y olduğud R = 46 olrk elde edilir. Elde edile düzeltme ktsyılrı ve şlgıç sermyesi (u ) yrdımıyl Çizelge ile verile ifls olsılıklrı içi üst sıırlr elde edilir. R X ( ) ve ( ) Çizelge. Otoregresif modelde ht terimlerii ortlmlrıı ve şlgıç sermyelerii ifls olsılıklrı üzerideki etkisi u ϕ ( u ) ϕ ( u ) ϕ 3 ( u) Çizelge icelediğide şlgıç sermyeleri rttıkç üst sıırlrı zldığı görülür. Ack şlgıç sermyelerideki rtış orlrı ile ifls olsılıklrıdki zlış orlrı yı üyüklükte değildir. Bşlgıç sermyelerideki küçük ir rtış ifls olsılıklrıd üyük ir zlış ede olur. Ayrıc Y ~ N( 9) ike X ~ N( 9) d X ~ N( 54) e zltıldığıd; yi prim sürecie it ortlm sit olduğud hsr sürecie it ortlm küçültüldüğüde ifls olsılıklrı it üst sıırlrı d zldığı ve X ~ N( 9) ike Y ~ N( 9) de Y ~ N( 9 ) e zltıldığıd; yi hsr sürecie it ortlm sit olduğud prim sürecie it ortlm düşürüldüğüde ifls olsılıklrı içi üst sıırlrı rttığı görülür. Yukrıd elirtildiği gii şlgıç sermyeleri rttığıd ifls olsılıklrı zlır. Bşlgıç sermyelerideki küçük ir rtış ifls olsılıklrıı oldukç etkilemektedir. Ayrıc prim ve hsr süreçlerie ilişki modellerdeki ht terimlerii ortlmsı rttığıd y d zldığıd dolylı olrk prim ve hsr süreçlerii ortlmsı d rtmkt y d zlmktdır. Buu soucud ht terimlerii ortlmsıı değişim yöüe ğlı olrk ifls olsılıklrı rtr yd zlır. Prim süreçlerii ortlmsı rttığıd ifls olsılıklrı zlırke hsr sürecie it ortlm rttığıd ifls olsılıklrı ise rtmktdır. Örek : () ve () eşitlikleri ile verile modellerdeki prmetreler = 5 ; ( + < ( + v )/ v olduğud < 543 ) u = 3 ve X ~ exp( 4) ve Y ~ exp( 4) olsu. Ayrıc r : fiz orlrıı w : şlgıç prim miktrıı ( w = ) ve z : şlgıç hsr miktrıı ( z = ) göstermek üzere ( u w z) ϕ : = olduğud ifls olsılıklrı içi üst sıırı ( u w z) ϕ : = 3 olduğud ifls olsılıklrı içi üst sıırı 3 ( u w z) ϕ : = 5 olduğud ifls olsılıklrı içi üst sıırı göstersi. Buu soucud

17 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) 5-4 R = ( v) 4v( v) 4 v eşitliği yrdımıyl = = 3 ve = 5 olduğud çeşitli fiz orlrı içi düzeltme ktsyılrıı değerleri ve ifls olsılıklrı içi üst sıırlr Çizelge deki gii olur: Çizelge. Otoregresif modelde ğımlılığı ve fiz orlrıı ifls olsılıklrı üzerideki etkisi r R ( 3) ϕ R ( 3) ϕ 3 R ( 3) ϕ 3 Çizelge icelediğide fiz orlrı rttıkç ifls olsılıklrı içi elde edile üst sıırlrı zldığı; yi ifls olsılıklrıı zldığı görülür. Buul irlikte Çizelge de de görüleceği gii düzeltme ktsyısı ile ifls olsılıklrı rsıd ters ir ortı vrdır. Ayrıc içide uluul yıld toplck primler ile geçmiş yıllrd topl primler rsıdki ilişkii derecesii göstere prmetresi sit tutulup eski döemde gerçekleşe hsrlr ile mevcut hsrlr rsıdki ilişkii orıı göstere prmetresi rttırıldığıd; yi ğımlılık rttığıd ifls olsılıklrı içi elde edile üst sıırlr rtmktdır. Burd d lşıldığı gii ğımlılığı ifls olsılıklrı üzeride olumsuz ir etkisi vrdır; yi ğımlılığı rtmsı ifls olsılıklrıı rttırmktdır. 4.. Primler sit olduğud hsr süreci içi örekler Bu ölümde Bowers ve diğerleri (997) trfıd öerile modele ilişki syısl örekler verilmiştir. Primleri pozitif sit c miktrıyl düzeli olrk döem şıd ödediği hsr süreçlerii (.9) eşitliği ile verile irici derece otoregresif modele uyduğu X i momet çıkr foksiyouu uygu ölgede olduğu et-kâr şrtıı sğldığı ve R > şeklide şğıdki eşitliği sğly ir R olduğu vrsyılsı. Bu durumd R E RvX v [ exp ( Rc) ] E exp = eşitliğii çözülmesiyle elde edilir. Örek 3: Primleri pozitif c siti ile döem şıd topldığı hsr süreçlerii ise Eş. (.) ile verile irici derece otoregresif modele uyduğu durumd c = = 5 ve X ~ N( 9) olsu. Ayrıc z : şlgıç hsr miktrı ( z = ) olmk üzere ( w z) ϕ : = 3 ( w z) ϕ : = 5 3 ( w z) ϕ : = 8 Buu soucud = r ( v = ( + r) 97 = r ( v = ( + r) 95 = r ( v = ( + r) 96 ) olduğud ifls olsılığı içi üst sıırı ) olduğud ifls olsılığı içi üst sıırı ) olduğud ifls olsılığı içi üst sıırı göstersi.

18 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) 5-4 ( c [ v /( v) ]) ( v /( v) ) μ R = σ eşitliği yrdımıyl = 3 = ( = ( + r) 95 = r ( = ( + r) 97 v ) olduğud R = 73 r = 5 = v ) olduğud R = 33 ve = 8 v = + r R = 6 olur. Böylece Çizelge 3 ile verile ifls olsılıklrı içi üst sıırlr elde edilir: r ( ( ) 96 ) olduğud Çizelge 3. Primleri sit miktrl topldığı hsr süreçlerii ise irici derece otoregresif modele uyduğu durumd fiz orlrıı ve şlgıç sermyelerii ifls olsılıklrı üzerideki etkisi u ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) u u u Çizelge 3 icelediğide şlgıç sermyeleri rttığıd ifls olsılıklrı içi elde edile üst sıırlrı zldığı görülmektedir. Ayrıc fiz orlrı rttığıd d ifls olsılıklrı içi üst sıırlr zlmktdır; yi şlgıç sermyelerii y d fiz orlrıı rtışı ifls olsılıklrıı zltır. Örek 4: Primleri pozitif c siti ile döem şıd topldığı hsr süreçlerii ise Eş. (.) ile verile otoregresif modele uyduğu durumd c = = 5 ve X ~ exp( ) olsu. Ayrıc z : şlgıç hsr miktrı ( z = ) olmk üzere ( w z) ϕ : = 3 ( w z) ϕ : = 5 3 ( w z) ϕ : = 8 Buu soucud exp ( R) = r ( v = ( + r) 97 = r ( v = ( + r) 95 = r ( v = ( + r) 96 λ = Rv λ - - v eşitliği yrdımıyl = 3 ϕ ( ) ; = 5 ϕ ( ) ve = 8 ϕ olur. ( ) 3 = r ( = ( + r) 97 r ( = ( + r) = 95 r ( = ( + r) = 96 ) olduğud ifls olsılığı içi üst sıırı ) olduğud ifls olsılığı içi üst sıırı ) olduğud ifls olsılığı içi üst sıırı göstersi. v ) olduğud R ve u durumd v ) olduğud R ve u durumd v ) olduğud R ve u durumd Yukrd verile ϕ ( ) ϕ ( ) ve ( ) ϕ ifls olsılıklrı içi üst sıırlr ile 3 Örek 3 te verile ifls olsılıklrı içi üst sıırlr icelediğide primleri sit c miktrlrı ile topldığı hsr süreçlerii ise Eş. () ile verile irici derece otoregresif modele uyduğu durumd Eş. () ile verile modeldeki ht terimleri orml dğılım uyduğu durumd ifls olsılıklrıı ht terimleri yı ortlm ile üstel dğılım uyduğu durum göre çok dh küçük olduğu görülür.

19 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) Souç Bu çlışmd ir y d irde fzl ğımsız sigort kolud oluş portföyde primleri sit miktrlrl topldığı hsrlrı ise irici derece otoregresif modele uyduğu ğımlı risk modelleri prim ve hsr süreçlerii irici derece otoregresif modele uyduğu ğımlı risk modelleri sigortcıı kzç (elli ir döemde topl primler eksi yı döemde ödee hsrlr) modelleri ele lımıştır. Bu modeller geçerli olduğud ifls olsılıklrıı üst sıırlrıı sıl hesplcğı kousudki ilgiler verilmiş prim ve hsr süreçlerie ilişki dğılımlrı dğılım ortlmsıdki değişmeleri şlgıç sermyelerideki ve fiz orlrıdki değişmeleri ve mevcut döemdeki hsrlrl geçmiş döemde gerçekleşmiş hsrlr rsıdki ğımlılığı ifls olsılıklrı üzerideki etkisi icelemiştir. Arştırmı souçlrı şğıdki gii özetleeilir: Prim ve hsr süreçlerii irici derece otoregresif modele uyduğu durumd prim süreçlerii ortlmsı sit ike hsr süreçlerie ilişki ortlm üyüdüğüde ifls olsılıklrı içi üst sıırlrı rttığı görülmüştür. Tersi durumd hsr sürecii ortlmsı sit ike prim süreçlerii ortlmsı üyüdüğüde ifls olsılıklrı içi üst sıırlrı zldığı görülmüştür. Böylece eklediği gii prim süreçlerii ortlmsıdki rtışı ifls olsılıklrıı zlttığı hsr süreçlerideki rtışı ise ifls olsılıklrıı rttırdığı görülmüştür. Ayrıc yı modellerde şlgıç sermyesi rttığıd ifls olsılıklrı zlmkt ve fiz orı rttıkç ifls olsılıklrı zlmktdır. Buul irlikte prim süreçlerii uyduğu süreç modelideki ktsyısı sit tutulduğud mevcut döemdeki hsrlr ile geçmiş döemlerdeki hsrlr rsıdki ğımlılığı derecesii göstere ktsyısı üyüdüğüde ifls olsılıklrıı rttığı gözlemiştir. Primleri sit c miktrı ile topldığı hsr süreçlerii otoregresif modele uyduğu durumd şlgıç sermyeleri y d fiz orlrı rttığıd ifls olsılığıı üst sıırlrı zldığı görülmüştür. Ayrıc süreci orml dğılım ship olduğu durumd ifls olsılıklrıı üst sıırlrıı süreci yı ortlm ile üstel dğılım ship olduğu durumd elde edile ifls olsılıklrıı üst sıırlrıd çok dh küçük olduğu görülmüştür. Bu syısl souçlr dğılım türüü ifls olsılıklrı üzeride etkili olduğuu göstermektedir. Çlışmd elde edile souçlr doğrultusud öceki döemde portföyde ulu zı poliçeleri mevcut döemde de portföyde klmsı soucu mevcut döemde oluş hsrlr ile geçmiş döemde oluşmuş hsrlr rsıd ğımlılık oluşmsı edeiyle ğımlı riskleri uluduğu portföylerde ğımlı riskleri modellemeside zm serisi modellerii kullıldığı durumlrd ilişkili sigort ürülerii fiytldırılmsıd ğımlılığı etkisi göz öüde uludurulmlıdır. Ayrıc süreç dğılımlrıı ve süreç ortlmsıı ifls olsılıklrı üzerideki etkilerii de göz öüde uludurulmsı ğımlı risklerde oluş portföylerdeki riski miimize etmek çısıd öemlidir. Bu edele ğımlı riskleri uluduğu portföylerde risk lizi çlışmlrıd ğımlılığı ifls olsılıklrı üzerideki etkisii ve ht terimlerii dğılımıı etkisii göz öüde uludurmk gerekir. Kyklr [] Amgspitiy R.S. 998 O the distriutio of sum of correlted ggregte clims Isurce: Mthemtics d Ecoomics [] Amgspitiy R.S. 999 O the distriutios of two clsses of correlted ggregte clims Isurce: Mthemtics d Ecoomics [3] Bowers N.L. Gerer H.U. Hickm J.C. Joes D.A. Nesitt C.J. 997 Acturil Mthemtics Society of Acturies Schumurg IL.

20 S. Dğlıoğlu C. Erdemir / İsttistikçiler Dergisi (8) [4] Christ R. d Steiech J. 995 Estimtig the djustmet coefficiet i ARMA(pq) risk model Isurce: Mthemtics d Ecoomics [5] Cossette H. Deuit M. Mrceu E. Impct of depedece mog multiple clims i sigle loss Isurce: Mthemtics d Ecoomics [6] Cossette H. Mrceu E. The discrete-time risk model with correlted clsses of usiess Isurce: Mthemtics d Ecoomics [7] Deuit M. Geest C. Mrceu E 999 Stochstic ouds o sums of depedet risks Isurce: Mthemtics d Ecoomics [8] Dhee J. Gooverts M.J. 997 O the depedecy of risks i the idividul life model Isurce: Mthemtics d Ecoomics [9] Gerer H.U. 98 Rui theory i the lier model Isurce: Mthemtics d Ecoomics [] Müller A. Pflug G. Asymptotic rui proilities for risk processes with depedet icremets Isurce: Mthemtics d Ecoomics [] Promislow S.D. 99 The proility of rui i process with depedet icremets Isurce: Mthemtics d Ecoomics [] Ris C. Mri-Solo J. Alegre A 3 O the computtio of the ggregte clims distriutio i the idividul life model with ivrite depedecies Isurce: Mthemtics d Ecoomics 3-5. [3] Wg S. 998 Aggregtio of correlted risk portfolios: Models d lgorithms I: Proceedigs of the Csulty Acturil Society pp [4] Wu X. Yue K.C. 3 A discrete-time risk model with iterctio etwee clsses of usiess Isurce: Mthemtics d Ecoomics [5] Yg H. Zhg L. 3 Mrtigle method for rui proility i utoregressive model with costt iterest rte Proility i the egieerig d iformtiol scieces [6] Zhg L. 5 Rui proility i lier time series model Tsighu Sciece d Techology [7] Zhg Z. Yue K.C. Li W.K. 7 A time-series risk model with costt iterest for depedet clsses of usiess Isurce: Mthemtics d Ecoomics