OLASILIK. Temel Tanmlar ve Kavramlar-II. Temel Tanmlar ve Kavramlar-I

Transkript

1 OLASILIK Populasyon hakknda blg sahb olmak amac le alnan örneklerden elde edlen blgler bre br doru olmayp heps mutlaka br hata pay tamaktadr. Bu hata paynn ortaya çkmasnn sebeb seçlen örneklern ansa bal olarak farkllklar göstermes ve bunun sonucunda her deneyde farkl sonuçlarla karlalmasdr. Olaslk, herhang br deneyn sonucunda gözleneblecek farkl durumlar le hang sklkla karlalaca br baka fadeyle ortaya çkan olaylarn belrszlnn ncelenmes anlamna gelr. Olaslk br der fadeyle br olayn meydana gelme ansnn saysal fadesdr. yy. da ans oyunlaryla brlkte kullanlmaya balanan olaslk, uygulamal matematn br dal olarak gelm gösterm ve statstksel yorumlamada öneml uygulama alan bulmutur. Örnekler: Maden parann atlmas sonucu tura gelme olasl, Br deste skambl kadndan çeklen kadn en az brnn papaz olma olasl, Nanl olan br çftn evlenme olasl.??? Temel Tanmlar ve Kavramlar-I Tekrarlanablr Deney: Sonucu kesn olarak kestrmlenemeyen br tek çkt (ans deken) oluturan br eylem, gözlem ya da süreçtr. Örnek: maden para atlmas, çnde sar lacvert blye bulunan torbadan br top çeklmes. Bast Olay: Br deneyn çkts daha bast br çkt olarak ayrtrlamyorsa bast olaydr. Temel Tanmlar ve Kavramlar-II Olay: Brden fazla bast olayn br araya gelmes sonucu oluur. Örnek: hlesz br zarn atlmas sonucu asal say gelmes, çnde sar lacvert blye bulunan torbadan top çekldnde brnn sar brnn lacvert olmas. Örnek Uzay: Br deneyn sonucunda elde edlen tüm mümkün bast olaylarnn oluturduu kümedr. Genellkle S le tanmlanr. Örnek: Hlesz br zarn atlmas sonucu elde edlen örnek uzay; Örnek: hlesz br zarn atlmas sonucu gelmes, br deste skambl kadndan çeklen x: zarn üst yüzünde gelen say S { x; x,,,4,, } kadn maça as olmas. 4

2 Temel Tanmlar ve Kavramlar-III Ayrk Olay: Eer A ve B gb k olay ayn anda geçekleemyor se bu olaylara ayrk(brbrn engelleyen) olaylar denr Örnek: Maden para atlmas sonucunda yaz veya tura gelmes ayrk olaylardr. Zarn atlmas sonucu ve tek say gelmes olaylar ayrk olaylar deldrler. Çünkü ayn anda gerçekleeblrler. Et Olaslkl Olaylar: Br örnek uzayndak tüm bast olaylarn ortaya çkma olasl et se bu olaylara et olaslkl olaylar denr. Örnek: Br deste skambl kadndan br adet kat çeklmes. Olasln k Temel Kural; ) Tüm bast olaylarn olaslklar 0 le arasndadr. ) Br örnek uzayndak tüm bast olaylarn ortaya çkma olaslklarnn toplam e e,ttr. DKKAT!!!! Hç br olayn OLASILI0I den büyük olamaz!!!! Br A olayn ortaya çkma olasl; A) eklnde gösterlr. Olasln Gel,m A,amalar Klask (A Pror) Olaslk Frekans (A Posteror) Olasl Aksyom Olasl NOT:Bu sralama olaslk teorsnn tarhsel gelmn tanmlamaktadr. Klask Olaslk Eer br örnek uzay n(s) adet ayrk ve et olaslkla ortaya çkan bast olaylardan oluuyor ve örnek uzayndak bast olaylardan n(a) aded A olaynn özellne sahp se A nn olasl: A) n(a) / n(s) kesr le elde edlr Klask olaslk TÜMDENGELEME dayanan çkarmlar yaparak olasl bulur. 8

3 Örnek: Br kapta sar, lacvert ve adet yel blye bulunmaktadr. Çeklen br blyenn sar olma olasl nedr? A: Çeklen br blyenn sar olmas n(s): Örnek uzay eleman says n(a): Örnek uzayndak A eleman says Klask Olaslk Nçn Yeterszdr? Örnek uzaynn eleman says sonsuz olduu durumlarda, Et olaslkl olay varsaym yaplamad durumlarda, Tümdengelm çkarmlar yaplamadnda n( A) A) n( S) 9 klask olaslk le hesaplama yaplamayacandan dolay yeterszdr. 0 Ne Yaplablr? Frekans Olasl Aratrlan anakütle üzernde tekrarl deneyler gerçekletrlerek sonuçlar analz edlmek üzere kayt edlmeldr. Aratrlan anakütle üzernde n adet deney uygulanr. Yaplan bu deneylerde lglenlen A olay n(a) defa gözlenm se A olaynn görel frekans (yaklak olasl): A) n(a) / n olarak bulunur.

4 Örnek: Br fabrkann üretm olduu televzyonlarn hatal olma olasl p nedr? Önce örnek uzay oluturulur: S{salam,hatal} Klask olasla göre (et olaslkl olaylar) p0. olup gerçe yanstt üpheldr. Frekans Olaslnn Kararllk Özell Gerçekletrlen deney says arttkça A) olaslk deerndek dekenlk azalacak ve gderek br sabt deere yaklaacaktr. Bu duruma kararllk özell ad verlr. Br olayn olasl deneyn tekrarlama says sonsuza yaklarken o olayn görel frekansnn alaca lmt deer olarak tanmlanr: Yaplmas gereken örneklem alarak p n(h) / n olasln hesaplamaktr. p A) lm n n(a) / n 4 Frekans Olasl Nçn Yeterszdr? Olasln kararllk deerne ulat deneme says kaçtr? Sonsuz adet deneme yapmak mümkün deldr. Ayn deney k defa ayn tekrar says le gerçekletrldnde elde edlen olaslklardan hangs olayn olasl olarak kabul görecektr? Aksyom Olasl Nedr? Olasln matematksel teorsn tanmlar. Bu teornn oluturduu deal modeller yaadmz dünyann problemlern çözmede kullanlr. Olasln k genel tpnn sahp olduu öneml ortak nokta: Her ksnn de, benzer koullarda (teork olarak ayn koullarda) uygulanan deneylere gereksnm duymasdr. Bununla brlkte benzer koullarda tekrarl olarak uygulanamayan durumlarda olaslklarn hesaplanmasnda AKSEYOM OLASILIMI yardmc olur. 4

5 Benzer Ko,ullarda Tekrarl Olarak Uygulanamayan Durumlara Örnekler: Türkye nn hafta çnde Kuzay Iraa snr ötes operasyon düzenleme olasl nedr? Çok holandnz br arkadanzla çkma olasl nedr? Fenerbahçe - Galatasaray maçnn -0 btmes olasl nedr? Aksyomlar Aksyom : A) örnek uzay S dek her A olay çn A)0 olan br gerçel saydr. Aksyom : S) { )0 } Aksyom : Eer S,S,...Olaylarnn her br S dek ayrk olaylar se,der br deyle S S j tüm j çn se, S S...)S )+S ) Sadece Aksyomlar Yeterl m? HAYIR Bu aksyomlarn ve onlara bal teoremlern faydal br model geltrlmesnde bze yardmc olablmes çn, S örnek uzayndak her br A olay çn olasln hesaplanmasnda kullanlacak br FONKSEYONA ya da br KURALA gereksnm vardr Bu fonksyonlar Elglenlen anakütlenn Tanmlad ÖRNEK UZAYINA Göre Farkllk Gösterr. Sk karlalan üç farkl örnek uzay; Sonlu elemanl keskl örnek uzay (saylablr sonlu) Genel keskl örnek uzay (saylablr sonsuz) Sürekl örnek uzay (saylamaz sonsuz) olarak fade edlr. 9 0

6 x : herhang br gün çnde yamur yamas x 0 ( yamur yamaz ) x ( yamur yaar ) Örnek Uzay; S { x / 0, } veya S { x / Yamursuz, Yamurlu } olarak belrlenr ve saylablr sonlu br örnek uzaydr. x : br zar çn gelnceye kadar yaplan at says Örnek Uzay; S { x /,,,.. } olarak belrlenr ve saylablr sonsuz br örnek uzaydr. (keskl,ans de,ken) x: örenclern boylar Örnek Uzay; S { x / 0 < x < 00 } olarak belrlenr ve saylamaz sonsuz br örnek uzaydr. (sürekl,ans de,ken) Baz Temel Olaslk Aksyomlar. P ( S ). P ( ) 0. A olaynn tümleyen A olarak gösterlr. A) A) 4. A ve B herhang k olay olmak üzere; A U B ) P ( A )+ P ( B ) P ( A U B ) Örnek Uzay ve Olay Saysn Belrleyen Sayma Yöntemler Klask olasln der br fade le et olaslkl olaylarn geçerl olduu durumlarda: Örnek uzaynn eleman says, Elglenlen olayn eleman saysnn belrlenmes gerekldr.. A ve B ayrk k olay se; A U B ) P ( A ) + P ( B ) Kullanlan k temel prensp; ) Toplama Yöntem ) Çarpma Yöntem 4

7 Toplama Yöntem Br A olay m farkl eklde, baka br B olay da n farkl eklde oluablen ayrk olaylar se; A veya B olay n + m farkl eklde oluablr. Örnek: Estanbul dan Ezmr e farkl tren sefer, 4 farkl havayolu frmas, 40 farkl otobüs frmas ve adet denzyolu frmas le gdlebldne göre Estanbul dan Ezmr e kaç farkl eklde gdlr? Çarpma Yöntem Br A olay m farkl eklde, baka br B olay da n farkl eklde oluablen ve ayn anda olu,malar mümkün olaylar se; A ve B olay n * m farkl eklde oluablr. Örnek: Br skambl destesnden çeklen k kartn brnn Kupa dernn Maça olmas kaç farkl eklde gerçekleeblr? * 9 NOT: Çarpma yöntem bamsz olaylar çn kullanlr k farkl sonuç veren br deney r kez tekrar edlrse ortaya çkan tüm durumlarn says; k r olarak hesaplanr. Örnek: Br zar kez attmzda ortaya çkablecek tüm mümkün durumlarn says says; adettr. Örnek Uzay ve Olay Saysnn Büyük Olduu Durumlar Örnek uzay ve olay saysnn büyük olduu durumlarda kullanlan sayma yöntemler; Permütasyon Kombnasyon Örnek uzaynn eleman says dr. 8

8 Permütasyon Sraya konulacak n adet nesne olsun ve her br sadece br kez kullanlmak üzere kaç farkl sralama yaplablr? n n- n-... n nesnenn mümkün sralamalarnn says: n(n-)(n-)...()()n! n P n n! 9 n tane nesne arasndan seçlm x tane nesnenn permütasyon says P n x..olarak fade edlr. Toplam n tane nesne arasndan x tane nesne seçlr ve bunlar sraya konulursa ortaya çkablecek sralamalarn saysdr ve u eklde hesaplanr: n P x n! ( n x)! Kullanld durumlar Eadesz örnekleme Örnee çk sras öneml 0 Örnek: 8 atletn katld 00 metre yarmasnda lk üç dereceye grenler kaç farkl eklde belrlenr? 8! 8 P 8** (8 )! Örnek:,,,, ve 9 saylarn kullanarak 4 basamakl rakamlar brbrnden farkl kaç say oluturulur?! P4 ** 4* 0 ( 4)! 4 0 Kombnasyon n adet nesne arasndan seçlen x tanesnn kombnasyon says n C x le gösterlr. Sralama öneml olmakszn tüm durumlarn says olarak fade edlr. Bu say u eklde hesaplanr: n C x n! ( n x)! x! Kullanld durumlar; Eadesz örnekleme Örnee çk sras önemsz 8

9 Örnek: Be klk br topluluktan üç klk br komsyon kaç farkl eklde seçlr?! *4** ( )!! ** C 0 Örnek: 0 bay ve bayan arasndan bay ve bayan üye çeren br kurul kaç farkl eklde oluturulur? 0! 0*9 C (0 )!!! C ( )!! 0 4 ( 0 bay arasndan bay ) ( bayan arasndan bayan ) Çarpm kural uygulanarak 4 * farkl eklde oluturulur. Örnek: 0 letme ve 8 ktsat örencs arasndan klk br komsyon oluturulacaktr. Rasgele br seçm yapldnda komsyonda çounlukla letme örencs olma olasl nedr? letme 0 ktsat, 4 letme ktsat, letme ktsat C C C C C 8C 8C C C 0, Örnek: Al ve Can sml k arkada zar atarak oyun oynuyorlar. Oyuna Al balyor. Zar veya gelrse oyunu kazanyor.,4 veya gelrse oyuna devam etme hakkn kazanyor. gelrse zar atma sras Velye geçyor. Al nn bu oyunu kazanma olasl bulunuz. Al nn oyunu kazanma olasl p olsun, Al veya atar oyunu kazanr, olaslk : /,4 ve atar oyuna tekrar devam eder ve sonra oyunu kazanr olaslk: (/)p lk at,ta atar oyun cana geçer ve can oyunu kaybeder olaslk (/)(-p) p / + (/)p + (/)(-p) Z p /4 4 Aaç Dyagram Örnek: Al le Can masa tens oynamaktadrlar. set kazanann galp gelece maçn ortaya çkablecek tüm mümkün sonuçlarn gösteren aaç dyagramn oluturunuz. Olas Durumlar; Her brnn sonucunun sonlu sayda olduu brden fazla deneyn tüm mümkün sonuçlarn görsel br eklde ortaya koymak çn kullanlr. AAA,CCC AACA,CCAC ACAA,CACC ACCC,CAAA ACACA,CACAC AACCA,CCAAC AACCC,CCAAA ACACC,CACAA ACCAA,CAACC ACCAC,CAACA 0 A D E T 9

10 Fartl Olaslk A ve B gb k olaydan B olaynn gerçeklet blnd durumda A olaynn gerçeklemes olaslna A olaynn artl olasl denr. A / B ) le gösterlr. A B) A/ B) B) A nn gerçeklet blndnde B nn ortaya çkma olasl; B A) B / A) A) P ( BIA) AIB) A/ B). B) B/ A). A) Örnek: Br ünverstede okuyan örenclern % 0 tyatroya, % se snemaya lg duymaktadr. a) Br örencnn snemaya lg duyduu blndnde tyatroya lg duyma olasl 0,40 se her k aktvteye brden lg duyma olasl nedr? b) Br örencnn tyatro veya snemaya lg duyma olasl nedr? T:Tyatroya lg duyma S:Snemaya lg duyma P ( T ) 0,0 S ) 0, a) P ( T / S ) 0,40 P (T U S )? b) T S) T/S) S) T S) T/S) *S) 0,40* 0, 0,4 T U S) T) + S) - T S) 0,0 + 0,- 0,4 0,9 8 Fartl Olaslklarn Blnd Durumlarda Tek Br Olayn Olaslnn Bulunmas Aadak eklde A olaynn brbryle ayrk olan farkl olayn brlemnden meydana geld görülür. B B A B B4 B A olay her br B olay le kesmler cnsnden fade edldnde;(brbrn engelleyen olaylarn brlemnn olasl toplama kuralna göre) A) AB ) + AB ) AB ) P A B ) A/ B ). B ) ( A) A / B ) B ) + A / B ) B) + A / B ) B) + A / B ) B ) + A / B ) B )

11 Örnek: Br laç üç fabrka tarafndan üretlmektedr.. Fabrkann üretm. ve. fabrkalarn üretmnn katdr. Ayrca. ve. fabrkalar %,. fabrka % 4 orannda bozuk laç üretmektedr. Üretlen tüm laçlar ayn depoda saklandna göre bu depodan rast gele seçlen br lacn bozuk olma olasl nedr. A Seçlen lacn bozuk olma olasl P ( A )? B Seçlen lacn nc fabrkada üretlmes B ) B )+ B ) B )+ B )+ B ) olduundan; B ) 0,0 B ) B ) 0, olarak elde edlr. P ( A) A / B ) B ) + A / B ) B) + A / B) B) A)(0.0)(0.)+(0.0)(0.)+(0.04)(0.)0,0 Bayes Teorem Sonucun blnd durumda sebebn hang olaslkla hang olaydan meydana geld le lglenr. Ele alnan örnekte depodan rast gele seçlen br lacn bozuk çkmas halnde.fabrkadan gelmesnn olasl aratrldnda Bayes Teoremne htyaç duyulmaktadr. P ( B / A) P ( A B ) P ( A / B ) P ( B ) P ( A) P ( A / B ) P ( B ) k Depodan seçlen 000 ürünün tanesnn hataldr. 4 4 Depodan rasgele seçlen br lacn bozuk olduu blndne göre nc fabrkadan gelm olma olasl; A/B )B) B/A) A/B )B ) + A/B )B ) + A/B )B (0.0)(0. ) B /A) 0,40 (0.0)(0. ) + (0.0)(0. ) + (0.04)(0. ) 4 ) Bamsz Olaylar Ele alnan olaylardan brnn gözlenp gözlenmemesnn olasl der br olayn ortaya çkp çkmama olasln etklemyorsa bu olaylara bamsz olaylar denr. P ( A U B ) P ( A / B ). P ( B ) P ( B / A ). P ( A) A ve B olaylar bamsz se br baka fadeyle B olaynn meydana gelme olasl A olaynn meydana gelme olaslna bal del se ve k olay ayn anda meydana geleblyor se; P ( A / B ) P ( A) ve P ( B / A ) P ( B ) olur. Sonuç olarak A ve B olaylar bamsz seler P ( A G B ) P ( A ). P ( B ) etl elde edlr. Ayn eklde P ( A U B ) P ( A ). P ( B ) se A ve B 44 olaylar bamszdr denr.

12 Örnek: Al ve Can sml k avcnn br hedef vurma olaslklar srasyla 0, ve 0,40 olarak verlmtr. Ek avc hedefe brlkte ate ettnde hedefn vurulma olasl nedr? A Al nn hedef vurmas P ( A ) 0, C Can n hedef vurmas P ( C ) 0,40 P ( A U C )? A U C ) P ( A )+ P ( C ) P ( A U C ) Al le Can nn hedef vurmalar brbrnden bamsz olduundan; P ( A U C ) P ( A ). P ( C ) 0, * 0,40 0, Keskl ve Sürekl Fans De,kenler çn; Olaslk Dalmlar Beklenen Deer ve Varyans Olaslk Hesaplamalar A U C ) 0, + 0,40 0, 0,9 4 4 Keskl Fans De,kenlernn Olaslk Fonksyonlar X, ans deken ve x,x,..,x n bu tesadüf dekenn alablece deerler olsun X tesadüf dekennn herhang br x deern alma olasl Pr{Xx} eklnde gösterlr. Bu olaslk X n dalm ya da olaslk kanunu dye adlandrlr. Keskl X dekennn hang deerler hang olaslklarla alacan gösteren fonksyona olaslk fonksyonu denr. Br dalmn keskl olaslk fonksyonu olablmes çn. x) 0, tüm x deerler çn. P ( x ) Tümx artlarn salamas gerekr. 4 Örnek: Hlesz br zarn atldnda x ans deken üst yüze gelen sayy fade etmek üzere bu x ans dekennn olaslk fonksyonunu elde ednz. S { x /,,,4,, } P ( X x ) / X P ( X x ) X x) 0 / / x / x x x 4 x x d. d 4 / / / k farkl,eklde fade edlen x,ans de,kennn dalmna bakldnda X ) N 0 ve tüm x deerler çn OXx),artlar saland görülmekte ve Xx) n br olaslk fonksyonu olduu sonucu ortaya çkmaktadr. 48

13 Beklenen Deer Br ans dekennn herhang br olaslk fonksyonunda alm olduu tüm deerlern ortalamas o ans dekennn beklenen deerdr. X ans dekennn beklenen deer; le gösterlr. E (x) Br,ans de,kenn beklenen deer o,ans de,kennn ortalamasna e,ttr. E (x) Q 49 Var E Beklenen Deer Kullanarak Varyansn Elde Edlmes E(x ): x ans dekennn karesnn beklenen deer ( x) E( x ) [ E ( x ( x ) [ E ( x Var( x) E ( x µ ) )] )] 0 Keskl Fans De,kenler çn Beklenen Deer ve Varyans E ( x) x ) Var Var( x) Tümx x E ( x ) x ) Tümx x ( x) E( x ) [ E ( x )] x ( ) P x tüm x tüm x x ( ) P x Örnek: Br otomobl baysnn günlük araba satlarnn dalmnn aadak gb olduunu fade etmektedr. X X) 0,0 0,08 0, 0,9 0,4 0, 0,0 0,04 0,0 Bu dala göre baynn; a) ten fazla araba satmas olasln bulunuz X ) + P ( X ) + P ( X 8 ) 0, b) Satlarn beklenen deern hesaplayp yorumlaynz. E(X) x x ) (0)(0,0)+()(0,08)+()(0,)+.+(8)(0,0), Baynn 00 günde araba sat yapmas beklenr. c) Satlarn varyansn bulunuz. E(X ) x x (0 )(0,0)+( )(0,08)+.+ (8 ) )(0,0),8 Var(X) E(X ) - [E(X)],8 - (,),84

14 Sürekl Fans De,kenlernn Olaslk Fonksyonlar Sürekl dekenlerdek olaslk fonksyonuna sürekl olaslk fonksyonu, olaslk younluk fonksyonu, veya sadece younluk fonksyonu denr. Sürekl br ans dekenn olaslk younluk fonksyonu f(x) le gösterlr. Herhang br fonksyonun olaslk younluk fonksyonu olablmes çn; ) X n tanm aral çn f(x ) ` 0, ) f ( x) dx artlarn salamas gerekldr. tüm x Sürekl Fans De,kenler çn Olaslk Sürekl br dekenn tanml olduu aralkta sonsuz sayda deer vardr. Dekenn bunlar çnden belrl br deer alma olasl 0 olur. Bu sebepten dolay, sürekl dekenlere at olaslk fonksyonlar, keskl dekenlern aksne bu dekenn belrl br deer alma olaslklarnn hesaplanmasna mkan vermez. Bu fonksyonlarda dekenn belrl br deer yerne belrl br aralkta deer alma olaslnn hesaplanmas yoluna gdlr. Sürekl br x ans dekenn a le b arasnda olma olasl; b P ( a < x < b) f ( x) dx eklnde hesaplanr. a 4 Örnek: f(x) fonksyonu aadak gb tanmlanyor olsun x, x f ( x) 0, dger x' ler cn a) f(x) olaslk younluk fonksyonu mudur? f x dx se f(x) olaslk younluk fonksyonudur. tüm x ( ) x dx x olduundan f(x) olaslk younluk fonksyonudur. b) P (, < x <,8 )? 8, 8 x, < x <,8) x dx,,, 8,8, 0,04 Sürekl Fans De,kenler çn Beklenen Deer ve Varyans E ( x) x f ( x) dx E Var ( x) tüm x ( x ) x f ( x) dx x f ( x) dx tüm x tüm x x f ( x) dx 4