ÖZET Doktora Tezi FİBONACCİ VE LUCAS MATRİS DİZİLERİ VE ÖZELLİKLERİ HACI CİVCİV. Selçuk Üniversitesi. Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Transkript

1 ÖZET Doktora Tezi FİBONACCİ VE LUCAS MATRİS DİZİLERİ VE ÖZELLİKLERİ HACI CİVCİV Selçuk Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı Daışma: Yrd. Doç. Dr. Ramaza TÜRKMEN 9, 55 Sayfa Jüri: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Doç. Dr. A. Sia ÇEVİK Yrd. Doç. Dr. Ramaza TÜRKMEN Yrd. Doç. Dr. Saadet ARSLAN Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA Bu çalışmaı ilk adımıda, Fiboacci ve Lucas matris dizileri taımlamıştır. Daha sora, Fiboacci matris dizisii geelleştirilmiş Fiboacci sayı dizisi ile; Lucas matris dizisii de geelleştirilmiş Lucas sayı dizisi ile ola ilişkileri elde edilmiştir. Fiboacci ve Lucas matris dizileri içi özdeşlik ve eşitsizlikler elde edilerek, matrisleri çarpımı ve eşitliği kullaılarak bu özdeşlik ve eşitsizliklerde hareketle geelleştirilmiş Fiboacci ve Lucas sayı dizileri içi özdeşlik ve eşitsizlikler verilmiştir. iii

2 Ayrıca, Fiboacci ve Lucas matris dizilerii kombiatorik temsilleri oluşturulmuştur. Daha sora, matris cebirii kullaarak geelleştirilmiş Fiboacci ve Lucas sayı dizileri içi kombiatorik temsiller suulmuştur. Fiboacci ve Lucas matris dizilerii kısmi ve sosuz toplamları içi formüller elde edilmiş ve bu formülleri kullaarak, geelleştirilmiş Fiboacci ve Lucas sayı dizilerii kısmi ve sosuz toplamları içi formüller üretilmiştir. Literatürde geelleştirilmiş Fiboacci ve Lucas sayı dizileri içi yer ala Biet formülleri ve kullaım alalarıa çok sık rastlamaktadır. Bu formüller içi değişik ispatlar verilmekte Bu çalışmada, Fiboacci ve Lucas matris dizileri içi Biet formülleri elde edilmiştir. Burada hareketle, başka bir yol olarak geelleştirilmiş Fiboacci ve Lucas sayı dizileri içi Biet formülleri tekrar verilmiştir. Aahtar Kelimeler: Fiboacci, Lucas, Pell, Jacobsthal, Lucas-Jacobsthal, Pell- Jacobsthal, Mersee ve Fermat say dizileri, geelleştirilmiş Fiboacci ve Lucas sayı dizileri. iv

3 ABSTRACT PhD. Thesis FIBONACCI VE LUCAS MATRIX SEQUENCES AND PROPERTIES HACI CİVCİV Selçuk Uiversity Graduate School of Natural ad Applied Scieces Departmet of Mathematics Supervisor: Yrd. Doç. Dr. Ramaza TÜRKMEN 9, 55 Pages Juries: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Doç. Dr. A. Sia ÇEVİK Yrd. Doç. Dr. Ramaza TÜRKMEN Yrd. Doç. Dr. Saadet ARSLAN Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA I the first step of this study, Fiboacci ad Lucas matrix sequeces have bee defied. The, the relatios amog Fiboacci ad Lucas matrix sequeces ad the geeralized Fiboacci ad Lucas umber sequeces have bee obtaied. Some idetities ad iequalities for Fiboacci ad Lucas matrix sequeces have beee obtaied. Usig the product ad equality of matrices, the idetities ad iequalities for the geeralized Fiboacci ad Lucas umber sequeces have bee give from these idetities ad iequalities. v

4 Also, the combiatorics represetatios of Fiboacci ad Lucas matrix sequeces have bee established. Usig elematary matrix algebra, the combiatorics represetatios of the geeralized Fiboacci ad Lucas umber sequeces have bee preseted. The formulas for the sums of Fiboacci ad Lucas matrix sequeces have bee preseted, the usig these formulas, the formulas for the geeralized Fiboacci ad Lucas umber sequeces have bee derived. I literature, it has bee ecoutered the Biet s fourmulas of the geeralized Fiboacci ad Lucas sequeces ad the applicatios of these fourmulas. Differet proofs for these formulas have bee give. I this study, the Biet s formulas of Fiboacci ad Lucas matrix sequeces have bee obtaied, ad from this the Biet s formulas of the geeralized Fiboacci ad Lucas umber sequeces have bee give as a differet way. Keywords: Fiboacci, Lucas, Pell, Jacobsthal, Lucas-Jacobsthal, Pell-Jacobsthal, Mersee ve Fermat umber sequeces, the geeralized Fiboacci ad Lucas umber sequeces. vi

5 ÖNSÖZ Güümüzde Fiboacci sayı dizisi ve ou türevleri, sayılar teoriside büyük öeme sahip olmasıı yaı sıra, matematiği diğer dallarıda, fizik, mühedislik ve hatta saat bilimii de bir çok dalıda sıklıkla kullaıla ve uygulama alaı bula diziler Çalışmamızda, geelleştirilmiş Fiboacci sayı dizisi ile ilişkili ola Fiboacci matris dizisi ve geelleştirilmiş Lucas sayı dizisi ile ilişkili ola Lucas matris dizisi taımlamış ve taımlaa bu iki yei dizii özellikleri araştırılmıştır. Matris cebirii kullaarak, Fiboacci ve Lucas matrisleride hareketle de geelleştirilmiş Fiboacci ve Lucas sayılarıı bir çok özelliği elde edilmiştir. Çalışmamızda verile yei Fiboacci ve Lucas matris dizileri kavramları ilk defa, bu tezi parçalarıda oluşa ve 8 de SCI (Sciece Citatio Idex kapsamıdaki Ars Combiatoria isimli dergide yayılaa iki ayrı makalemiz ile literatüre girmişler Yaptığım bu çalışmada baa desteklerii esirgemeye daışma Hocam Yrd. Doç. Dr. Ramaza TÜRKMEN Bey e, Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Bey e, Yrd. Doç. Dr. Saadet ARSLAN Haım a ve bei sabırla destekleye aileme teşekkürlerimi suarım. Hacı CİVCİV Şubat, 9 vii

6 İÇİNDEKİLER ÖZET ABSTRACT ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER iii v vii viii. GİRİŞ.. Amaç ve Kapsam.. Kayak Araştırması. 3. Temel Kavramlar Bazı Sayı Dizileri Üreteç Foksiyou Matrislerde Spektral Ayrışım ve Schur Eşitsizliği. FİBONACCİ VE LUCAS MATRİS DİZİLERİ.. Fiboacci ve Lucas Matris Dizileri İçi Biet Formülleri 8.. Fiboacci ve Lucas Matris Dizilerii Kombiatorik Temsilleri. 3. Fiboacci ve Lucas Matris Dizilerii Üreteç Foksiyoları Fiboacci ve Lucas Matris Dizilerii Kısmi Toplamları Üstel Fiboacci Matris Dizisi 4 3. SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR 44 viii

7 . GİRİŞ Sayılar teorisii öemli bir kısmıı oluştura çalışma alaı, reküras ilişkileri ile verile sayı dizileri Bu şekildeki sayı dizilerii icelemek; bir karaağacı, ıhlamur, erik, badem ağacıı dallarıdaki yaprakları ya da bir ayçiçeğideki taecikleri şaşırtıcı ve görkemli düzeii ve bu düzei salyagozu sarmal kabuğudaki kıvrımlarla, çiçeği taçyapraklarıı, soğa zarıı, salatalık ya da çam yapraklarıı düzeiyle gösterdiği iaılmaz bezerliği bir altı sayı ile ifade etmek gibi baze bizleri çevremizi sara yalı şeyleri sayısız büyüleyici gizemlerie götürebilmekte Ayrıca, rasyoel foksiyoları temsil ede kuvvet serileri teorisi (va der Poorte 989, pseudo-rastgele sayı üreteçleri (Niederreiter, 99, 99, 995 ve (Tezuka, 996, k- düzgü (Beker, 994 ve otomatik diziler (Lipshitz ve va der Poorte, 99, lieer reküras dizileride oluşa Diophatie deklem sııflarıı çözüm dizileri (Shorey, 986, ve (Tijdema, 998,, solu cisim üzeride cebirsel değişkeli zeta foksiyoları (Lidl ve Niederreiter, 983, diamik zeta foksiyoları (Bowe ve Ladford, 97, (Hikkae, 994 ve (Maig, 97, grup teoride gele üreteç foksiyoları (du Sautoy, 993, 994, değişmeli cebirde Hilbert serileri (Matsumura, 989, Poicare serileri (Borevich ve Shafarevich, 966, (Deef, 984 ve (du Sautoy, 993, gibi bilimi temel başlıklarıı oluştura bir çok alaı ilerlemeside reküras sayı dizilerii öemi büyüktür. Bu şekildeki diziler ümerik aalizi öemli alaı ola yaklaşım teoride, şifre bilimide, bilgisayar ile grafik çizimleride (Mcllroy, 99 ve de zama serileri aalizide (Box ve Jekis, 97 sıkça kullaılmaktadır. Güümüzde, lieer reküras diziler içi elde edile bilgileri bir araya getirildiği ve

8 suulduğu bir çok kayak vardır (Cerlieco, Migotte ve Piras, 987, (Lidl ve Niederreiter, 983, (Migotte, 989, (Mikhalev ve Nechaev, 996, (Myerso ve va der Poorte, 995, (Necaev, 97, (va der Poorte, 989 ve (Shorey ve Tijdema, Amaç ve Kapsam Reküras ilişkileri ile verile matris dizileri taımlamak ve taımlaa matris dizilerii özelliklerii araştırmak bu çalışmaı temel amacıdır. Taımlaacak ola reküras ilişkili matris dizileri ile Fiboacci sayı dizisi ve türevleri arasıdaki bağlatıı kurulması ve böylece sayılar teorisi ile matris teorisi arasıda farklı bir köprü kurulacak olması, çalışmaı öemii kuvvetledirmekte Kurulacak bu ilişki sayeside, matris dizilerii özellikleri araştırılırke ayı zamada Fiboacci sayı dizileri ve türevlerii de özellikleri hakkıda bilgi sahibi oluacaktır... Kayak Araştırması Literatürde, matrisler ile reküras ilişkili sayı dizileri arasıdaki ilişkileri kurulduğu ve bu ilişkileri kullaılarak sayı dizilerii icelediği çalışmalar oldukça fazladır. Bu bölümde, bu tez çalışmasıı hazırlamasıı gerekliliğie işaret ede çalışmalarda söz edilecektir. Kig i (96 yüksek lisas tezide; literatürde Fiboacci Q-matrisi veya Altı Matris olarak bilie Q = matrisi ile klasik Fiboacci sayı dizisi { } f arasıda Q f + = f f f

9 şeklide bir ilişki suulmakta ve daha sora matris metodlarıı kullaılması ile de Fiboacci sayıları içi çeşitli özdeşlikler verilmekte Silvester (979, Kig i (96 çalışmasıa bezer olarak A = matrisii taımlayarak, A matrisi ile -ici klasik Fiboacci sayısı f arasıda f A = f + (. bağıtısıı sudu. Ayı çalışmasıda; (. ilişkiside hareketle, matris metodlarıı kullaarak klasik Fiboacci sayıları içi özdeşlikler verdi. Kalma (98 klasik Fiboacci dizisii bir geelleştirmesii matris temsilii suarak matris metodları ile bu dizii herhagi bir terimii vere bir formül üretmiştir. Er (984, k-mertebeli Fiboacci sayılarıı k-dizilerii taımlamış ve bu dizileri matris temsilleride hareketle, Fiboacci sayıları içi toplam formülleri elde etmiştir. Karaduma (4, k-mertebeli Fiboacci sayılarıı k-dizileri ve matris temsilleri içi yei özellikler sudu. (4 te Taşçı ve Kılıç, geelleştirilmiş k-mertebeli Lucas sayılarıı k- dizilerii taımladılar, bu dizileri matris temsillerii suup matris metodları ile taımlaa diziler ve temsil matrisleri içi özellikler elde ettiler. Bezer olarak, Kılıç ve Taşçı (6, geelleştirilmiş k-mertebeli Pell sayılarıı k-dizilerii taımladılar, taımlaa dizileri matris gösterimlerii sudular ve daha sora matris metodları ile taımlaa dizi ve temsil matrisi içi özellikler elde ettiler. Nallı (6, matrislerii Hadamard çarpım matrisi Q Q i elde ederek, Q Q Q ve Q matrisii bazı özelliklerii sudu. (4 de Stakhov ve Rozi tarafıda, simetrik hiperbolik Fiboacci siüs ve kosiüs foksiyoları taımladı, klasik Fiboacci sayıları ile ola bağıtıları açıkladı ve so olarakta taımlaa foksiyoları fizikteki uygulamalarıa değiildi. Altı matris teorisii gelişmeside büyük rol oyaya ve de çalışmalarıda, bu yapıdaki matrisleri fizikteki uygulamalarıa yer vere Stakhov u (6 daki çalışmasıda, elemaları simetrik hiperbolik Fiboacci siüs ve kosiüs foksiyoları ola 3

10 x cfs(x + sfs( x Q = sfs( x cfs(x ve x+ sfs(x + cfs(x + Q = cfs(x + sfs( x matrisleri taımladı, x Q ve x Q + matrisleri üzerie bazı matris metodları uygulaarak simetrik hiperbolik Fiboacci siüs ve kosiüs foksiyolarıı bazı özellikleri suuldu ve so olarak Q x ve x Q + matrisleri şifre bilimideki uygulamalarıa yer verildi. Nallı (7, x Q ve x Q + matrislerii Hadamard çarpımlarıı iceledi. Falco ve Plaza (7, öcelikle geometrik bir yaklaşımla, k tamsayısı içi klasik Fiboacci dizisii geelleştirilmesi ola k-fiboacci sayı dizisi { F, } i; k F k, =, F k, = ve Fk, + = kfk, + Fk, şeklide taımladı ve daha sora k Fk, + Fk, Fk, = k Fk, + Fk, Fk, + Fk, (. bağıtısıı sudular. Ayı çalışmaı kala kısmıda, (. bağıtısıı göz öüe alarak, matris metodları ile k-fiboacci sayıları içi özdeşlikler ve formüller sudular. (8 de Köke ve Bozkurt u çalışmasıda, Jacobsthal F-matrisi olarak isimledirile F = matrisi taımlamakta, F matrisi ile -ici Jacobsthal j ve Jacobsthal-Lucas sayıları arasıdaki c j+ j = F j j ve c+ c = F c c bağıtılar suulmakta ve bu bağıtılarda hareketle Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayıları içi özdeşlikler üretilmekte 4

11 . 3. Temel Kavramlar Bu bölümde, çalışmaı temel souçlarıı yer aldığı. bölümde adı geçecek temel kavramlar verilecektir Bazı sayı dizileri Bu bölümde, bir çok matematikçii çalışma kousu olmuş ve uygulama alaları geiş ola reküras ilişkili sayı dizileride bahsedilecektir. Taım f =, f = ve f, + = f + f f ile taımlaa { } elemalarıa, Fiboacci sayıları deir. sayı dizisie Fiboacci sayı dizisi deir. Bu sayı dizisii + 5 α = ve 5 β = olmak üzere -ici Fiboacci sayısı, f α β = α β şeklide bir formülle ifade edilmekte ve bu formüle Biet formülü deilmekte Biet i formülüde hareketle, lim f f + = α olduğu kolayca görülmekte Buradaki α sayısı Altı Ora olarak isimledirilmekte Fiboacci sayılarıı kısmi toplamları içi de, fk = f +, k = 5

12 fk+ = f+, k = k = f = f + k formülleri mevcuttur. Taım l =, l = ve l, + = l + l l ile taımlaa { } elemalarıa, Lucas sayıları deir. -ici Lucas sayısıı, sayı dizisie Lucas sayı dizisi deir. Bu sayı dizisii l = α + β şeklide Biet formülü ile ifade edilmesi ve bu formülde hareketle de l lim l + = α buluması, Lucas sayı dizisii de e az Fiboacci sayı dizileri kadar öemli hale getirmiştir. Fiboacci sayıları ile ola, = +, 5 f l l + f = fl, l 5 f = 4(, gibi bağıtıları ile de bu öem kuvvet kazamıştır. Fiboacci ve Lucas sayıları ve uygulamaları içi, Koshy i ( kitabı değerli bir kayaktır. Taım p =, p = ve p = p + p, + 6

13 p ile taımlaa { } elemalarıa, Pell sayıları deir. -ici Pell sayısı sayı dizisie Pell sayı dizisi deir. Bu sayı dizisii p içi Biet formülü, p (+ ( = şeklide Taım q =, q = ve q = q + q, + q ile taımlaa { } elemalarıa, Pell-Lucas sayıları deir. sayı dizisie Pell-Lucas sayı dizisi deir. Bu sayı dizisii -ici Pell-Lucas sayı dizisi q içi Biet formülü q = ( + (+ şeklide Pell ve Pell-Lucas sayıları arasıdaki bazı bağıtılar, p = pq ( p, m+ m m q = p + ( m, m m şeklide Taım j =, j = ve q = q ( m, m m j = j + j, + j ile taımlaa { } sayı dizisie Jacobsthal sayı dizisi deir. Bu sayı dizisii elemalarıa, Jacobsthal sayıları deir (Horadam,

14 -ici Jacobsthal sayısı j içi Biet formülü, ( ( j = 3 olarak verilir. Jacobsthal sayı dizisii terimleri içi bir kısmi toplam k = jk = ( j + 3 şeklide Taım c =, c = ve c = c + c, + c ile taımlaa { } sayı dizisie Jacobsthal-Lucas sayı dizisi deir. Bu sayı dizisii elemalarıa, Jacobsthal-Lucas sayıları deir (Horadam, ici Jacobsthal-Lucas sayısı içi Biet formülü, c = + ( olarak verilir. Jacobsthal-Lucas sayı dizisii ilk terimii toplamı, k = ck = ( c + 5 Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayı dizileri arasıda, c j = j, c 9 j = (, + c = j + j + bağıtıları mevcuttur. 8

15 Taım m =, m = ve ile taımlaa { } m = 3m m, + m sayı dizisie Mersee sayı dizisi deir. Bu sayı dizisii elemalarıa, Mersee sayıları deir (Robiso, ici Mersee sayısıı Biet formülü, Taım r =, r = 3 ve m = r ile taımlaa { } r = 3r r, + sayı dizisie Fermat sayı dizisi deir. Bu sayı dizisii elemalarıa, Fermat sayıları deir (Robiso, ici Fermat sayısıı Biet formülü, Taım s >, t ve F ( st, =, ( F st, = ve s r = t > olacak şekildeki s ve t reel sayıları içi, ( ( ( F st, = sf st, + tf st,,, (.3 + reküras ilişkisi ile taımlaa { F ( st, } reel sayı dizisie ( st, Fiboacci sayı dizisi veya geelleştirilmiş Fiboacci sayı dizisi deir ve dizii elemalarıa geelleştirilmiş Fiboacci sayıları deir (Koshy,. Taım s >, t ve içi, L ( st, =, ( L st, = s ve s + 4 t > olacak şekildeki s ve t reel sayıları ( ( ( L st, = sl st, + tl st,,, (.4 + reküras ilişkisi ile taımlaa { L ( st, } reel sayı dizisie ( st, Lucas sayı dizisi veya geelleştirilmiş Lucas sayı dizisi deir ve dizii elemalarıa geelleştirilmiş Lucas sayıları deir (Koshy,. 9

16 Çalışma boyuca, gösterimde kolaylık olması içi -ici geelleştirilmiş Fiboacci ve Lucas sayıları sırasıyla F ve L sembolleri ile temsil edilecekler Aşağıdaki tablo; ( st, Fiboacci ve Lucas sayı dizileri ile Taım de taımlaa sayı dizileri arasıdaki geçişi göstermekte (s,t F L (, Fiboacci sayı dizisi Lucas sayı dizisi (, Pell sayı dizisi Pell-Lucas sayı dizisi (, Jacobsthal sayı dizisi Jacobsthal-Lucas sayı dizisi (3,- Mersee sayı dizisi Fermat sayı dizisi Tablo. ( st, Fiboacci ve Lucas sayı dizileri ile Taım de taımlaa sayı dizileri arasıdaki ilişki Üreteç foksiyou Üreteç foksiyou, f( x = ax k k = k şeklide bir kuvvet serisidir ve f( x e ( a dizisii üreteç foksiyou deir. Taım arasıda taımlaa bazı sayı dizilerii üreteç foksiyoları, fx = x = x x lx = = x x x i= jx = ( x x i i

17 i= cx = (+ 4 x( x x i i Matrislerde spektral ayrışım ve Schur eşitsizliği Taım A herhagi kompleks matris ve A ı λ i, i, özdeğerleri birbirleride farklı olsu. Bu takdirde, A= PΛ P (.5 olacak şekilde A ı özvektörleride oluşa tersleebilir P matrisi ve A ı özdeğerleride oluşa { λ λ λ } Λ= köşege matrisi vardır. A ı (.5 köş,,..., formudaki ifadesie, A ı spektral ayrışımı veya özayrışımı deir. Teorem (Schur Eşitsizliği A herhagi kompleks matris, A ı özdeğerleri λ i, i, ve D, D { λ λ λ } = olacak şekilde köşege matris köş,,..., olsu. Bu takdirde. E sembolü ile matrislerdeki Euclidea orm gösterilmek üzere, D E A (.6 E (.6 eşitsizliği, A ı ormal matris olması ile eşitliğe döüşür (Prasolov, 994.

18 . FİBONACCİ VE LUCAS MATRİS DİZİLERİ Bu bölümde, Fiboacci ve Lucas matris dizileri taımlaacak ve bu matris dizileri içi elde edile özellikler suulacaktır. Aşağıda taımlaa Fiboacci matris dizisi kavramı ilk defa, bu tezi bir parçası ola ve 8 de SCI (Sciece Citatio Idex kapsamıdaki Ars Combiatoria isimli dergide yayılaa bir makalemiz ile literatüre girmiştir. Taım.. s + 4t > olacak şekildeki s > ve t tamsayıları içi; I, tipide birim matris olmak üzere, F ( st, = I, F ( st, ile taımlaa { ( st, } N ( ( ( + s = ve t F st, = sf st, + tf st,,, (. F matris dizisie (, st Fiboacci matris dizisi veya Fiboacci matris dizisi deir ve -ici Fiboacci matrisi F ile gösterilir. Aşağıda verile teorem, Fiboacci matris dizileri ile geelleştirilmiş Fiboacci sayı dizileri arasıdaki bağıtıyı sumaktadır. Teorem.. tamsayısı içi, F+ F F = (. tf tf İspat. İspat tümevarımla yapılacaktır. F =, F =, F = ve F = I olduğuda = içi iddia doğrudur. F = s, F = ve F = olduğuda, F F F = tf tf olup, = içi de (. bağıtısı doğrudur. Şimdi, N olacak şekildeki, N tamsayısı içi (. bağıtısı doğru olsu. Bu takdirde,

19 F = sf + tf N+ N N FN+ FN FN FN = s + t tf tf tf tf N N N N F F N+ N+ = tfn+ tfn olup, içi teoremi ispatı tamamlamış olur. Aşağıdaki teorem, Fiboacci matris dizisii m+ -ici terimii, m-ici terimi ile -ici terimii çarpımıa eşit olduğuu söylemekte Teorem. 3. m, tamsayıları içi, Fm+ = FF m İspat. İspat, üzeride tümevarımla yapılacaktır. F = I olduğuda, F = FF olup, = içi iddia doğrudur. Şimdi, N olacak şekildeki N m m tamsayısı içi teorem doğru olsu. Bu takdirde, F = sf + tf m+ N+ m+ N m+ N = sff + tff m N m N ( s t = F F + F m N N = FF m N+ olup, m, tamsayıları içi teoremi ispatı tamamlamış olur. Aşağıda taımlaa Lucas matris dizisi kavramı ilk defa, 8 de SCI (Sciece Citatio Idex kapsamıdaki Ars Combiatoria isimli dergide yayılaa ve içeriği bu tezi parçalarıda oluşa bir diğer makalemizde bir başka yei dizi taımı olarak literatüre girmiştir. Taım. 4. L ( st,, ( st, s s = t s + 4t > olacak şekildeki, s > ve t tamsayıları içi; s + t s L = ve st t ( ( ( L st, = sl st, + tl st,,, (.3 + 3

20 ile taımlaa { ( st, } N L matris dizisie, (, st Lucas matris dizisi veya Lucas matris dizisi deir ve -ici terimi L ile gösterilir. Aşağıdaki teorem, Lucas matris dizisi ile geelleştirilmiş Lucas sayı dizisi arasıdaki bağıtıyı sumaktadır. Teorem. 5. tamsayısı içi, L+ L L = (.4 tl tl s İspat. İspat tümevarımla yapılacaktır. L = t, L = ve L = s olduğuda, L L L = tl tl olup, = içi (.4 bağıtısı doğrudur. Şimdi, N olacak şekildeki N tamsayısı içi bağıtı doğru olsu. Bu takdirde, L = sl + tl N+ N N LN+ LN LN LN = s + t tl tl tl tl N N N N L L N+ N+ = tln+ tln olup, içi, teoremi ispatı tamamlamış olur. Aşağıdaki teorem, Fiboacci ve Lucas matris dizilerii terimleri arasıdaki bağıtıyı sumaktadır. Teorem. 6. tamsayısı içi, L = + LF İspat. İspat, üzeride tümevarımla yapılacaktır. F = I olduğuda = içi teorem doğrudur. Ayrıca, 4

21 s + t s s LF = st t t 3 s + 3st s + t = t( s + t ts L 3 = tl tl = L L dir ki teorem, = içi de doğrudur. Şimdi, N olacak şekildeki N tamsayısı içi iddiaı doğru olduğuu kabul edelim. Bu takdirde, Teorem. 3 ve varsayımımızda LF = LF F N+ N = L F N + (.5 yazılır. (, st Fiboacci ve Lucas matris dizilerii taımıda, Teorem. 5 ve (.5 eşitliğide L L s N+ N+ N + = tln L + N t LF L N+ 3 N+ = tln+ LN+ = L N + L eşitliği elde edilir ki, böylece içi iddiaı doğruluğu ispatlamış olur. Aşağıdaki souç, bir öceki teoremde hareketle geelleştirilmiş Fiboacci ve Lucas sayı dizileri arasıda bir bağıtı vermekte Souç. 7. L = sf + tf (.6 5

22 İspat. Teorem. 6 da içi, L = LF + L + ve LF matrislerii eşitliğide, bu matrisleri (, -ici pozisyoudaki elemaları eşit olacağıda (.6 eşitliği elde edilir. Aşağıdaki teorem, Fiboacci ve Lucas matris dizilerii terimlerii matrislerdeki çarpım işlemie göre değişebilirliği hakkıda bilgi vermekte Teorem. 8. m, tamsayıları içi, FL m + = L+ F m İspat. m, tamsayıları içi, FL = FLF m + m ( ti = F + F F + m + m+ ( ti F m = tf + F = + = LF F = L + F m m F + m olup Teorem. 8 ispatlamış olur. Aşağıdaki teorem, Fiboacci ve Lucas matris dizilerii terimleri arasıdaki bazı bağıtıları sumaktadır. Teorem. 9. içi, L LF (.7 = + L = LL ( L = FL ( İspat. Teorem. 6 ve Teorem. 8 de, L = L L = LFLF = LLF F (. = LF 6

23 olarak (.7 özdeşliği ispat edilmiş olur. Teorem. 6 ve (. özdeşliğide, L = LL + + şeklideki (.8 özdeşliğie ulaşılır. Ve so olarak Teorem. 6 ve Teorem. 8 de, L = LF + = LF F + = FLF = FL şeklideki (.9 özdeşliği elde edilir. Souç.. ( 4 L + tl = s + t F ( L + tl = L + tl ( L = F L + tf L (.3 + İspat. (., (.4 ve (.7 de, + + s t s + L L + F F = tl+ tl st t tf tf (.4 yazılır. (.4 eşitliğii sağ ve sol tarafıdaki matrisleri (,-pozisyoudaki elemaları eşitliğide, ( 5 4 ( 4 L + tl = s + s t + t F + t s + st F ( 4 ( = s sf+ tf st sf+ tf + s tf + 4t F + + = s F + 4stF + s tf + 4t F ( 4 ( = s sf+ tf+ t sf+ tf+ ( s 4 = + t F + 3 7

24 şeklideki (. eşitliğie ulaşılır. Bezer olarak, (., (.4 ve (.8 eşitlikleride, + + s t s + + L L + L L = tl+ tl st t tl+ tl (.5 yazılır. Böylece, (.5 eşitliğii sol ve sağ tarafıdaki matrisleri (,- pozisyoudaki elemaları eşitliğide, ( L + tl = s + t L + stl ( = s sl + tl + tl = sl + tl = L + tl şeklideki (. eşitliği elde edilir. So olarak, (., (.4 ve (.9 eşitlikleride, L+ L+ F+ F L+ L+ = tl tl tf tf tl tl + + (.6 yazılır. Burada, (.6 deki eşit ola iki matrisi (,-pozisyoudaki elemaları eşitliğide, (.3 eşitliğie ulaşılır... Fiboacci ve Lucas Matris Dizileri İçi Biet Formülleri Bu bölümde öcelikle, içi -ici Fiboacci matris dizisii, s + 4t > olacak şekildeki, s > ve t tamsayıları x sx t = deklemii kökleri ile ola ilişkisi ve daha sora -ici geelleştirilmiş Fiboacci ve Lucas sayıları ve de -ici Fiboacci ve Lucas matrisleri içi Biet formülleri suulacaktır. s+ s + 4t Teorem... α = ve s s + 4t β = olmak üzere, içi 8

25 + + α β α β α β α β F = (.7 α β α β t α β t α β İspat. F = I olduğuda = içi (.7 eşitliği doğrudur. F matrisii özdeğerleri karşılık gele özvektör s+ s + 4t α = ve u α α = t s s + 4t s = t β = olup, α özdeğerie ve β özdeğerie karşılık gele özvektör u β β = t F matrisii spektral ayrışımı, α β α β t t α t t F = β α β β t t t α t = α α β β t (.8 dır. Böylece Teorem. 3 ve (.8 de, (.7 eşitliği eldedilir. Aşağıdaki souç ile, literatürde yer ala -ici geelleştirilmiş Fiboacci sayısıı Biet formülü; -ici Fiboacci matrisi ile geelleştirilmiş Fiboacci sayıları arasıdaki bağıtı ve bir öceki teorem kullaılarak tekrar elde edilmiştir. Souç... içi, F α β = α β (.9 İspat. İspat, (. ve (.7 eşitlikleride açıktır. Aşağıdaki souç ile, literatürde yer ala -ici geelleştirilmiş Lucas sayısıı Biet formülü; Fiboacci ve Lucas matris dizilerii terimleri arasıdaki bağıtı ve 9

26 -ici geelleştirilmiş Fiboacci sayısıı Biet formülü kullaılarak tekrar elde edilmiştir. Souç.. 3. tamsayısı içi, L α β = + (. İspat. (.6 eşitliği üzerie bazı cebirsel işlemler uygulaırsa, L = sf + tf α β α β = s + t α β α β sα sβ + tα tβ = α β sα + α sβ β = α β = = = t t α β t t ( s+ α α ( s+ β α β α s+ t β s+ t ( α α ( β α β α + t β + t ( α α ( β α β β β β eşitliği elde edilir. Bu so eşitlikte, α t α αβ ad β t β αβ + = + = olduğu dikkate alıırsa -ici (s,t-lucas sayısı içi (. ile verile Biet formülü elde edilmiş olur. Aşağıdaki souç ile, geelleştirilmiş Fiboacci ve Lucas sayıları arasıda bazı bağıtılar suulmuştur. Souç.. 4. içi, ( F + + t F + tf L (. ( + L + + t L + tl tl + tl + L (

27 İspat. F matrisii özdeğerleri λ = α ve λ = β olduğuda, Teorem. 3 de F matrisii matrisii özdeğerleri eşitsizliği gereği, ( µ α = ve µ β + = olacaktır. Böylece Schur F + + t F + tf α + β (.3 yazılır. (. ve (.3 de, (. eşitsizliğie ulaşılır. Teorem. 6 da, ( ti L = LF = + F F + yazılır. Burada, L + matrisii özdeğerlerii, δ α α + = t + ve = + δ tβ β + olduğu görülür. Böylece, L + matrisii elemaları ve de özdeğerlerie içi, Schur Teoremi uygulaırsa, + + ( ( α α ( β β L t L tl t t = + + t L tl+ L+ 4 şeklide (. eşitliği elde edilir. Aşağıdaki teorem ile, -ici Fiboacci matrisi içi Biet formülü verilmiştir. Teorem.. 5. içi, F βf F αf F = α β, (.4 α β α β İspat. İspat, (s,t-fiboacci matris dizisii taımı ve (.7 eşitliğide açıktır. Aşağıdaki souç ile, -ici Lucas matrisii Biet formülü suulmuştur. Teorem.. 6. içi, L βl L αl L + = α β, (.5 α β α β İspat. İspat, Teorem.. 5 ve Teorem. 6 da açıktır.

28 .. Fiboacci ve Lucas Matris Dizilerii Kombiatorik Temsilleri Bu bölümde, Fiboacci ve Lucas matrisleri içi kombiatorik temsiller suulacak ve bu temsillerde hareketle geelleştirilmiş Fiboacci ve Lucas sayılarıı kombiatorik temsilleri verilecektir. Yardımcı Teorem... s ve t kompleks sayıları içi, i =, (.6 / y i i s t i= i ve ( / m m z =, z = s ( s 4 t, + m= m + (.7 ile taımlaa { y } ve { } z dizileri x = sx + tx (.8 + reküras ilişkisii sağlarlar. y İspat. s ve t kompleks sayıları ve tamsayısı içi, (.6 ile taımlaa { } y dizisii, (.8 ile verile reküras ilişkisii sağladığıı gösterelim. { } dizisii taımıda, ( k k i k i syk + tyk = s t + s t i= i i= i k / / k+ i i k i i+ ( k+ k i k i = s t + s t i= i i= i k / / k+ i i k+ i i (.9 elde edilir. (.9 de k çift olması durumuda, k = ( k + (.9 de, / / olacağıda,

29 ( k+ k k i k i syk + tyk = s + + s t i= i i / k+ k+ i i ( k+ / k+ i = s t i= i = y k+ k+ i i (.3 eşitliği elde edilir. Bezer olarak, (.9 de k tek olması durumuda, ( k k / = / olacağıda, (.9 de, ( k k k i k i syk + tyk = s + + s t i= i i / k+ k+ i i ( k+ ( k k / + s + / ( ( k+ k+ / k+ / t ( k+ / k+ i = s t i= i = y k+ k+ i i (.3 y eşitliği elde edilir. Böylece, (.3 ve (.3 de { } dizisii (.8 ile verile z reküras ilişkisii sağladığı görülür. Bezer şekilde, { } verile reküras ilişkisii sağladığı ispatlaır. dizisii de (.8 ile Aşağıdaki teorem, hem -ici Fiboacci matrisii bir kombiatorik temsilii suulduğu hem de { y } dizisi ile ola ilişkisii verildiği bir teorem Teorem... içi, F = yi + y (.3 t s İspat. İspat tümevarımla yapılacaktır. y = ve y = s olduğuda, 3

30 yi s + y = t s t = F olup, = içi (.3 eşitliği doğrudur. Şimdi, k olacak şekildeki k doğal sayısı içi (.3 eşitliği doğru olsu. = k+ içi (.3 eşitliğii doğru olduğuu gösterelim. (s,t-fiboacci matris dizisii taımıda ve Yardımcı Teorem.. de F = sf + tf k+ k k = s yki+ yk + t yk I+ yk t s t s t s = yk+ I+ yk elde edilir ve böylece teorem ispatlaır. Souç.. 3. içi, i F + = s t / i i i= i (.33 y İspat. İspat, { } dizisii taımı, (. ve (.3 eşitlikleride açıktır. Aşağıdaki teorem ile, (+-ici Lucas matrisi içi bir kombiatorik temsil suulmakla birlikte { y } dizisi ile ola ilişkisi de verilmekte Teorem.. 4. içi, s + t s st t L = y y + + st t (.34 t st 4

31 s + t s L = olduğuda, Teorem.. 4 ı ispatı; Teorem. st t İspat. ( st, ve Teorem.. de açıktır. Souç.. 5. içi, ( + / + + i i + i i L + = s + + s t i= i i (.35 İspat. Teorem. 5, Yardımcı Teorem.. ve (.34 eşitliğide, L = sy + ty + = y + ty + ( + ( + i i = s t + s t i= i i= i / / + i i i i+ ( + ( i i = s + s t + s t i i / / + + i i + i i i= i= ( + i i s + / + = s + + i= i i t + i i elde edilir ki, böylece (.35 eşitliği ispatlaır. -ici Fiboacci matrisii bir başka kombiatorik temsili ve { z } dizisi ile ilişkisi aşağıdaki teorem ile verilmekte Teorem.. 6. içi, F = z F + tz I (.36 İspat. İspat, tümevarımla yapılacaktır. { } z dizisii taımıda, z = ve z = olduğuda, = içi (.36 eşitliği doğrudur. < k olacak şekildeki k doğal sayısı içi (.36 eşitliği doğru olsu. Şimdi, = k+ içi, (.36 eşitliğii doğru olduğu gösterilecektir. (s,t-fiboacci matris dizisii taımı ve Yardımcı Teorem.. de, 5

32 F = sf + tf k+ k k ( F ( F = s z + tz I + t z + tz I k k k k ( F ( = sz + tz + t sz + tz I k k k k = z F + tz I k+ k yazılır ki, teorem ispatlamış olur. Souç.. 7. içi, z İspat. { } ( (.37 / m m F = s ( s 4t + m= m + dizisii taımı, (. ve (.36 eşitlikleri göz öüe alıarak, matris eşitliği bilgiside (.37 eşitliği elde edilir. Aşağıdaki teorem, (+-ici Lucas matrisii bir başka kombiatorik temsilii sumakta ve { z } ile ola ilişkisii vermekte Teorem.. 8. içi, L = z LF + tz L (.38 + İspat. İspat, Teorem. ve Teorem.. de açıktır. Souç.. 9. içi, ( + / i i L + = s + 4t s ( s 4t i= i+ i (.39 İspat. F ve L matrislerii taımlarıı göz öüe alarak, (.38 eşitliğide 3 s + 3 st s + t s t + t st L + = z z + (.4 s t + t st st t 6

33 eşitliği elde edilir. Burada, Teorem. 5, Yardımcı Teorem.. ve (.4 eşitliğii dikkate alarak, (+-ici (s,t-lucas sayısı içi, L = sz + tz + + = sz + tz + tz + = z + tz + ( ( + ( + / / i + + i t i = s ( s 4t s s 4t i= i+ i= i+ i ( / + i + / + i t + i = s ( s 4t s s 4t i= i+ i= i ( + ( / i = s + 4t s s 4t i= i+ i şeklide (.39 eşitliğie ulaşılır. i ( i (. 3. Fiboacci ve Lucas Matris Dizilerii Üreteç Foksiyoları Bu bölümde, Fiboacci ve Lucas matris dizilerii üreteç foksiyoları verilmiştir. Aşağıdaki teorem, Fiboacci matris dizisii terimlerii içere toplam içi bir formül sumaktadır. Teorem. 3. İspat. k Fkx = xf + tf + xf+ x sx F x x sx t (.4 k = ( [ ] ( + x sx t k α α = α k = + (β içi de bezer formül yazılır ve 7

34 ( α( β x x = x sx t olduğuda, k F k F βf α F αf = k k= k= k= β x α β x α β x + + F β F x α β + ( x β ( x α + ( F βf x F αf = α α β ( x α β = x α β x α F α F x α β ( + + β x β F βf x x sx t α β + + ( x α ( x β = F αf + + ( x β ( x α. α β elde edilir. So eşitlikte, bazı elemater işlemlerle (.4 formülüe ulaşılır. Aşağıdaki teorem, Lucas matris dizisii terimlerii içere toplam içi formül sumaktadır. Teorem. 3.. k Lk+ x = xl + + tl+ + xl + x sx L x x sx t k = ( [ ] ( x sx t İspat. L = + LF bağıtısı ve Teorem. 3. de ispat açıktır. Aşağıdaki souç ile, Fiboacci matris dizisii üreteç foksiyou verilmekte k Souç s + s + 4 x t > olacak şekildeki x reel sayısı içi, k F k x = x + ( x sx x sx t F F k = 8

35 Souç s + s + 4 x t > olacak şekildeki x reel sayısı içi, k x Fk + x = x sx t k = Aşağıdaki souç, Lucas matris dizisii üreteç foksiyouu sumaktadır. Souç s + s + 4 x t > olacak şekildeki x reel sayısı içi, k L k + x = x + ( x sx x sx t L L k = Aşağıdaki teorem ile, Fiboacci matris dizisii terimlerii r-ici kuvvetleride oluşa dizii üreteç foksiyou verilmekte Teorem F βf F X = ve αf Y = α β α β olmak üzere; r tek pozitif tamsayısı içi r r i k r k k i x ( XY i= k= k F = (.4 k ( ( α β r k r k r k r k r k r k X Y + t Y X x ( k r t Lr kx tx ve r çift pozitif tamsayısı içi r r i k k k i x ( XY i= k= r F = (.43 k ( r/ ( r/ r X Y k ( ( α β r k r k r k r k r k r k X + Y t Y + X x + ( k r t Lr kx+ tx r/ + r / t x 9

36 F βf F İspat. X = ve αf Y = olduğuda, (.4 formülüde, -ici (s,t- α β α β Fiboacci matris dizisi F = Xα Yβ şeklide yazılır. Bu takdirde Urx (, toplamı, r i Urx (, = F x olsu. i= i ( α β Urx (, = X Y x i= i i r i r r k = ( Xα ( Yβ x i= k= k r r = k r k i ( ( αβ k= i= r r = k= k i i r k i k k r k X Y x αβ k r k X ( Y (.44 k r k Urx (, içi elde edile (.44 formülüde r tek alıırsa, x r r r k r k ( ( k k r X Y X Y Urx (, = + k r k r k k k = k α β x α β x r k k k r k k r X Y XY = ( r k k k r k k = k α β x α β x r ( α β α β k r k r k k r r ( αβ α β αβ r k k k r k k r k r k k r k k k r k k r X Y XY + XY X Y x = ( k = k + x+ x r k ( ( α β k r k r k r ( ( β α r k k k r k k r k r k r k k r k k r X Y XY + t XY X Y x = ( k = k t + x tx r r k r k r k r k r k r k k k k r X Y + t Y X x ( XY k r k = k ( t Lr kx tx = k ( ( α β formülüe ulaşılır ki, böylece (.4 formülü ispatlamış olur. Bezer olarak, (.43 formülüü ispat edelim. Urx (, içi elde edile (.44 formülüde r çift alıırsa, 3

37 r r k k r/ k r k r r / ( ( r ( k r k r k k r/ r/ ( r X Y X Y X Y Urx (, = + + k = k α β x α β x t x ( r/ ( r k k k r k r/ r r X Y k X Y XY = ( + r k k k r k + k = k α β x α β x r/ t x r k r XY = ( k = k r ( r / ( r / r X Y ( r/ ( r/ r X Y + X k r k r k r / + r / t x r/ r/ k k r k r k k r k k k r k ( α β + α β k r k r k k r r ( αβ α β x αβx + + k ( ( α β k r k r k r ( ( β α k r k r k k k r k r k r k k r k k r XY + X Y t XY + X Y x = ( k = k t + x+ tx + r / t x = ( r/ ( Y XY X Y x r r k r k r k r k r k r k k k k r X + Y t Y + X x ( XY k r k = k ( t Lr kx+ tx r/ r X Y r/ + r / t x k ( ( α β formülüe ulaşılır ki, burada (.43 formülü ispat edilmiş olur.. 4. Fiboacci ve Lucas Matris Dizilerii Kısmi Toplamları Bu bölümde, Fiboacci ve Lucas matrislerii içere kısmi toplamlar içi formüller suulacaktır. Teorem. 4.. s+ t içi, F F+ + tf+ s t F+ + tf k = k = s+ t tf+ + t F t tf + t F t (.45 3

38 İspat. s+ t ve S = F olsu. Bu takdirde, k = k S = F F F F (.46 S kısmi toplamı ve (.46 eşitliğide, elde edilir. ( ( det ve böylece (.47 eşitliğide, S = + F F F F (.47 F F = s t olduğuda, F F matrisi tersleebilirdir ( ( = F F F F (.48 S + yazılır. F F F s F = tf+ t tf ve s ( F F = F F = t s+ t t s olup, (.48 de, S F+ + tf+ s t F+ + tf = s+ t tf+ + t F t tf + t F t elde edilir ki, bu (.45 eşitliği Souç. 4.. s+ t içi, F + tf s t ( Fk + = k = s+ t 3

39 F + tf + Fk = (.5 k = s+ t İspat. İspat, (. eşitliği ve (.45 formülüde açıktır. Teorem s t + içi, k + = ( aij L olmak üzere k = a = ( F+ 4 + tf+ 3+ tf+ + t F+ s ( s + t t ( 3s + t, s+ t a = ( F+ 3 + t ( F+ + F+ + tf s t st, s+ t t a = ( F+ 3 + tf+ + tf+ + t F s st t, s+ t t a = ( F+ + tf+ + tf + t F s t, s+ t İspat. s + t s L = olup, Teorem. 6 ve (.45 formülüde, st t s + t s F+ + tf+ s t F+ + tf L k + = (.5 k = s+ t st t tf+ + t F t tf + t F t yazılır. (.5 eşitliğii sol tarafıdaki matris çarpımı yapılır ve de (s,t-fiboacci dizilerii taımı göz öüe alıarak, k + = ( aij L matrisii elemaları, k = 33

40 a = s F + tf + s tf + t F + stf + st F s s + t t s + t s+ t ( ( ( 3 = s+ t ( s ( sf+ tf+ st ( sf+ tf tf+ t F+ s ( s t t ( 3s t = s+ t ( sf+ 3 stf+ tf+ t F+ s ( s t t ( 3s t = s+ t ( F+ 4 tf+ stf+ t F + s ( s+ t t( 3s+ t = ( F+ 4 + tf+ 3+ tf+ + t F+ s ( s + t t ( 3s + t, s+ t a = s F + s tf + tf + t F + stf + st F s t st s+ t ( + + = s+ t ( s ( sf+ tf st ( sf tf tf+ t F s t st = s+ t ( sf+ stf+ tf+ t F s t st = s+ t s+ t ( sf+ tf+ t ( sf+ tf tf+ t F s t st ( F+ + t F+ + F+ + tf s t st = ( 3, a = stf + st F + t F + t F s t st t s+ t 3 ( = s+ t 3 ( t ( sf+ tf+ t ( sf+ tf t F+ t F s t st t t = ( F+ 3+ tf+ + tf+ + t F s st t, s+ t a = stf + st F + t F + t F st t s+ t 3 ( + = s+ t 3 ( t ( sf+ tf t ( sf tf t F t F st t t = ( F+ + tf+ + tf + t F s t, s+ t 34

41 şeklide elde edilir ki, böylece Teorem ispatlaır. Souç s+ t içi, k = k = Lk = ( F 4 + tf 3+ tf + t F s ( s + t t ( 3s + t, + s+ t Lk = ( F 3 + t ( F + F + tf s t st, + s+ t İspat. İspat, (.4 eşitliği ve Teorem de açıktır. Teorem s t ve s t + içi, k = ( aij F olmak üzere k = a = F tf s + t t ( ( ( + + s t+ s+ t 3 a = t F + stf s ( ( ( s t+ s+ t ( + + a = tf t F st ( ( ( 3 + s t+ s+ t ( ( ( s t+ s+ t ( + a = t t F + st F + t t İspat. S = k = ( aij F olsu. Bu takdirde, k = ( F F = F F (.5 S + yazılır. s + t s F F = st t 35

42 F F Teoremdeki, s t ve s+ t olup, det ( = ( t s ( t+ s kabulümüz gereği det ( F F olup, ( (.5 eşitliğide, F F matrisi vardır. Böylece, S ( ( = F F F F (.53 + eşitliği elde edilir. Şimdi, + F F ve ( F F matrislerii açık bir şekilde yazıp, (.53 eşitliğii sağ tarafıdaki matris çarpımıı elde edelim. (. eşitliği ve de (s,t-fiboacci matris dizisii taımıda, F+ 3 s t F+ s F + F = tf+ st tf+ t ve t s = ( s t+ ( s+ t+ st s t ( F F (.53 deki matris çarpımıda, S = k = ( aij ( ( F matrisii elemaları, k = s t + s + t + a = F tf + stf s t + t ( = F t F sf s t + t = F tf s t+ t, ( ( s t+ s+ t+ a = sf + F tf s F s ( ( ( = s sf + tf + F tf s F s ( = t F + stf s, + + s t + s + t + a = tf t F + st F st ( = tf t sf + tf + st F st = tf t F st,

43 ( ( s t + s + t + a = stf + tf t F s tf + t t ( = st sf + tf + tf t F s tf + t t ( = t t F + st F + t t, + olarak elde edilir. Böylece, ispat tamamlamış olur. Souç s t ve s+ t içi, k = F = F tf s + t t k = ( ( ( s t+ s+ t k F = t F + stf s ( ( (( + + s t+ s+ t k İspat. İspat, Teorem. 4. ve (. eşitliğide açıktır. Teorem s t ve s t ( s t+ ( s+ t + içi, k + = ( aij L olmak üzere k = ( ( 3 4 ( a = F + t t F tf s + t s t 4 st, 5 3 ( s t+ ( s+ t ( ( a = F + t t F t F s + st 3 st, 4 a == stf + t F t F ( ( ( s t+ s+ t 3 a = stf + t t F + st F s t + t t, ( s t+ ( s+ t 3 3 ( + ( +, İspat. s t ve s+ t olsu de k + = ( aij L matrisii elemaları, k = s + t s L = olup, Teorem. 6 ve Teorem st t 37

44 a = s F + tf + stf s t F t F st F ( ( ( s t+ s+ t ( s t s t st = s sf + tf st sf + tf + tf t F ( s t+ ( s+ t ( s t s t st ( s t+ ( s+ t 4 s + t ( s t st ( ( ( ( = F + t t F tf 4, ( a = s t F + s tf + t t F + st F ( s t+ ( s+ t ( ( ( ( s t t F + s t F s + st st = s t sf + tf + s t sf + tf ( s t+ ( s+ t ( 3 ( t t F st F s st 3st ( s t ( s t ( ( ( ( 3 3 F+ 4 ( t t F+ t F s st st + + = + + a = stf st F + t F t F ( ( ( s t+ s+ t s t + st 5st 3 3 ( s t+ ( s+ t = stf + t F + t sf + tf st F t F s t + st 5st = + ( ( ( ( 3 4 stf + t F 3 + t F s t+ s+ t ( , 3, 38

45 a = st t F + s t F + t t F + st F ( s t+ ( s+ t ( s t+ ( s+ t ( s t+ ( s+ t ( ( ( ( st+ t t 3 = t t sf + tf + st sf + tf + t t F st F s t + t t 3 3 ( ( ( ( = + + +, 3 3 ( stf+ t ( t F+ st F s t t t olarak elde edilir ki, teoremi ispatı tamamlamış olur. Souç s t ve s+ t içi k = ( s t+ ( s+ t ( ( 3 4 ( L = F + t t F tf s + t s t 4 st, k k = ( s t+ ( s+ t ( ( 3 3 L = F + t t F t F s + st 3 st, k İspat. İspat, (.4 eşitliği ve Teorem de açıktır. r F i k r r i k r k k r k Teorem i x = X ( Y ( + α β x İspat. i= k= ( α β r i i i r i Fi x = X Y x i= i i= i r r k = ( Xα ( Yβ x i= i k= k r r = k= k i= i i i r k i r k i ( ( α β k k r k X Y x r r = + k = k r k ( ( α β k k r k X Y x 39

46 . 5. Fiboacci Matris Dizisii Üstel Matris Dizisi Bu bölümde, Fiboacci matris dizisi { } ici terimi F i, { } e F üstel matris dizisii - e F, formülüze edilmiş ve daha sora bu formülde hareketle geelleştirilmiş Fiboacci sayılarıı içere bir sosuz toplam içi formül suulmuştur. F Fk Fk Teorem. 5.. içi, e = F + t I k= k! F k= k! İspat. içi F matrisii özdeğerleri, α ve β olup, α β Böylece, α F = P P (.54 β olacak şekilde tersleebilir P matrisi vardır. (.54 eşitliği ve matris foksiyoları bilgiside hareketle, α e F e = P P β e (.55 yazılır. Ayrıca α e e β matrisi α e β α α β α e β e e e α = I β e α β α β β (.56 x şeklide bir ayrışıma sahiptir. f ( x = e foksiyouu Maclauri serisie açılımı ola, e x x =!, x (, (.57 k = formülüde hareketle, 4

47 α β k k e e α β = α β k = α β k! = k = Fk k! (.58 yazılır. αβ = t olduğuda (.57 formülüde, β k α e = α β k =, k! = α + α β + α β +... (.59 ( t = α + k = β k k! elde edilir. Bezer düşüce ile, α k β e = β + ( t α (.6 k! k = eşitliği yazılır. (.59 ve (.6 eşitlikleride, β α k k α e β e α β α β = + t α β α β k = α β k! = F + t k = Fk k! (.6 eşitliğie ulaşılır. (.54, (.56, (.58 ve (.6 eşitlikleride, teorem ispatlamış olur. Souç. 5.. içi, F F k! k! k + k = F + ( t F+ (.6 k= k= İspat. Teorem. ve Teorem. 5. de, 4

48 F F F F F F k! k! k! k k + k + k F + t = k= k= tf tf k= tfk tfk yazılır ki, burada F F F F + t F = k k k + + k= k! k= k! k= k! elde edilir ki, ispat tamamlamış olur. 4

49 3. SONUÇ VE ÖNERİLER Çalışmada, yei Fiboacci ve Lucas matris dizileri kavramları taımlamıştır. Bu taımlar ve bua bağlı bazı souçlar iki makale şeklide, SCI (Sciece Citatio Idex kapsamıdaki bir dergide yayılaarak, literatüre yei kavramlar ve souçlar kazadırılmıştır. Çalışmaı içeriğide de görülmektedir ki, Fiboacci matris dizileri, geelleştirilmiş Fiboacci sayı dizileri ile ve Lucas matris dizileri de geelleştirilmiş Lucas sayı dizileri ile ilişkili Çalışmamızı, araştırıcılara iki öeri suarak soladırmak istiyoruz. İlki; geelleştirilmiş Fiboacci ve Lucas sayı dizilerii her ikisi ile de ilişkili ola bir matris dizisi taımlamak ve souçlar elde etmek içi araştırma yapılabilir. İkicisi; çalışmada taımlaa geelleştirilmiş Fiboacci ve Lucas sayı dizilerii başlagıç değerlerii herhagi iki reel sayı alıması ile elde edile yei Fiboacci ve Lucas sayı dizileri ile ilişkili ola Fiboacci ve Lucas matris dizileri taımlamak ve souçlar elde etmek içi araştırma yapılabilir. 43

50 4. KAYNAKLAR [] Becker, P. G., k-regular power series ad Mahler-type fuctioal equatios, J. Number Theory, 49 (3 (994, [] Borevich, A. I. ad Shafarevich, I. R Number theory, Academic Press, New York. [3] Bowe, R. ad Ladford, O. E., Zeta fuctios of restrictios of the shift trasformatio, Global Aalysis (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIV, Berkeley, Calif., 968, Amer. Math. Soc, Providece, R.I., 97, [4] Box, G. E. ad Jekis, G. M. 97. Times series aalysis, Forecastig ad cotrol, Holde-Day, Sa Fracisco. [5] Cerlieco, L., Migotte, M., ad Piras, F., Suites recurretes liearies: proprietes algebriques et aritmetiques, Eseig Math. 33( (987, [6] Civciv, H. ad Türkme, R., Notes o the (s,t-lucas ad Lucas matrix sequeces, Ars Comb., 89 (8, [7] Civciv, H. ad Türkme, R., O the (s,t-fiboacci ad Fiboacci matrix sequeces, Ars Comb., 87 (8, [8] Deef, J., The ratioality of the Poicare series associated to the p-adic poits o a variety, Ivet. Math. 77 ( (984, -3. [9] Er, M. C., Sums of Fiboacci umbers by matrix method, Fiboacci Quarterly, (3 (984, 4-7. [] Falco, S. ad Plaza, A., O the Fiboacci k-umbers, Chaos, Solitos ad Fractals, 3 (7, [] Hikkae, A., Zeta fuctios of ratioal fuctios are ratioal, A. Acad. Sci. Fe. Ser. A I Math. 9( (994, 3-. [] Horadam, A. F., Jacobsthal represetatio umbers, Fib. Quart., 34 (996, [3] Kalma, D., Geeralized Fiboacci umbers by matrix method, Fiboacci Quarterly, ( (98, [4] Karaduma, E., A applicatio of Fiboacci umbers i matrices, Applied Mathematics ad Computatio, 47 (4,

51 [5] Kılıç, E. ad Taşçı, D., The geeralized Biet formula, represetatio ad sum of the geeralized order-k Pell umbers, Taiwaese J. Math., (6 (6, [6] Kig, C. H. 96. Some Further Properties of the Fiboacci Numbers. Sa Jose: CA: Sa Jose State. [7] Kolma, B. ad Hill, D. R.. Elemetary Liear Algebra, Pretice Hall. [8] Koshy, T.. Fiboacci ad Lucas umbers with applicatios, Wiley- Itersciece Publ, Caada. [9] Köke, F. ad Bozkurt, D., O the Jacobsthal umbers by matrix methods, It. J. Cotemp. Math. Scieces, 3(3 (8, [] Lidl, R. ad Niederreiter, H Fiite Fields, Addiso-Wesley Publishig Compay Advaced Book Program, Readig, MA, 983. [] Lipshitz, L. ad Poorte, A. J. 99. Ratioal fuctios, diagoals, automata ad arithmetic, Number theory (Baff, AB, 988, de Gruyter, Berli, pp [] Maig, A., Axiom A diffeomorphisms have ratioal zeta fuctios, Bull. Lodo Math. Soc. 3 (97, 5-. [3] Matsumura, H Commutative rig theory, secod ed., Cambridge Uiversity Press, Cambridge. [4] Mcllroy, M. D. 99. Number theory i computer graphics, the ureasoable effectiveess of umber theory (Oroo, ME, 99, Amer. Math. Soc, Providece. RI, pp. 5-. [5] Migotte, M Proprietes arithmetiques des suites recurretes lieaires, Theorie des ombres, Aee 988/89, Fasc., Uiv. Frache-Comte. Besaco, pp. 3. [6] Mikhalev, A. V. ad Nechaev, A. A., Liear recurrig sequeces over modules, Acta Appl. Math. 4( (996, 6-. [7] Myerso, G. ad Poorte, A. J., Some problems cocerig recurrece sequeces, Amer. Math. Mothly (8 (995, [8] Nallı, A., O the Hadamard product of Fiboacci Q matrix, It. J. Cotemp. Math. Scieces, (6 (6, Q matrix ad Fiboacci [9] Nallı, A., O the Hadamard product of Golde Matrices, It. J. Cotemp. Math. Sci., ( (7,

52 [3] Narkiewicz, W., Recurret sequeces, Algebra ad umber theory, Moskov. Gos. Ped, Ist. Uce. Zap. 375 (97, 3-3. [3] Niederreiter, H New developmets i uiform pseudoradom umber ad vector geeratio, Mote Carlo ad quasi-mote Carlo methods i scietific computig (Las Vegas, NV, 994, Spriger, New York, pp [3] Niederreiter, H. 99. Radom umber geeratio ad quasi-mote Carlo methods, Society for Idustrial ad Applied Mathematics (SIAM, Philadelphia, PA. [33] Niederreiter, H., Recet treds i radom umber ad radom vector geeratio, A. Oper. Res., 3(-4 (99, [34] Poorte, A. J Some facts that should be better kow, especially about ratioal fuctios, Number theory ad applicatios (Baff, AB, 988, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, pp [35] Prasolov V. V Problems ad Theorems i Liear Algebra, America Mathematical Society. [36] Robiso, R. M., Mersee ad Fermat Numbers, Proc. Amer. Math. Soc. 5 (954, [37] Du Sautoy, N. P. F., Fiitely geerated groups, p-adic aalytic groups ad Poicare series, A. of Math. 37( (993, [38] Du Sautoy, N. P. F., Coutig cogruece subgroups i arithmetic subgroups, Bull. Lodo Math. Soc. 6(3 (994, [39] Shipsey, R.. Expoetial Diophatie equatios ivolvig products of cosecutive itegers ad related equatios, Number Theory, pp [4] Shorey, T. N.. Expoetial Diophatie equatios ivolvig products of cosecutive itegers ad related equatios, Number theory, Birkhauser, Basel, pp [4] Shorey, T. N. ad Tijdema, R Expoetial Diophatie equatios, Cambridge Uiversity Press, Cambridge. [4] Shparliski, I. E Fiite fields: Theory ad computatio, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. [43] Silvester, J. R., Fiboacci properties by matrix method, Mathematical Gazette, 63 (979,

53 [44] Stakhov, A. ad Rozi, B., O a ew class of Hyperbolic fuctio, Chaos, Solitos ad Fractals, 3 (4, [45] Stewart, C. L., O the greatest prime factor of terms of a liear recurrece sequece, Rocky Moutai J. Math. 5( (985, [46] Taşçı, D. ad Kılıç, E., O the k-geeralized Lucas umbers, Applied Mathematics ad Computatio, 55 (4, [47] Tezuka, S Uiform radom umbers, Kluwer, Dordrecht. [48] Tijdema, R Expoetial Diophatie equatios , Number theory (Eger, 996, de Gruyter, Berli, pp [49] Tijdema, R.. Some applicatios of Diophatie approximatio, Number Theory for the Milleium, Vol.III, A. K. Peters, Natick. MA, pp