İKİ BOYUTLU ELASTODİNAMİK PROBLEMLERİN SINIR ELEMAN METODU İLE FORMÜLASYONU

Transkript

1 az Ünv. Müh. M. Fa. Der. J. Fa. Eng. Arh. az Unv. Clt 5, No, 57-64, 00 Vol 5, No, 57-64, 00 İKİ BOYUTLU ELATODİNAMİK PROBLEMLERİN INIR ELEMAN METODU İLE FORMÜLAYONU İbrah Ö. DENEME * ve üeyn R. YERLİ ** * İnş. Müh. Böl., Müh. Fa., Aaray Ünverte, 6800/Aaray ** İnş. Müh. Böl., Müh.-M. Fa., Çuurova Ünverte, 0330/Adana denee@aaray.edu.tr, hryerl@uurova.edu.tr (elş/reeved: ; Kabul/Aeted: ) ÖZET Bu çalışada, boyutlu elatodna roblelern çözüü çn ürez uadrat ınır elean forülayonu yaılıştır. Fourer dönüşü uzayında yaılan forülayonda, ntegral denlelern çözüü au ayıal ntegrayon yönte le yaılatadır. P abt ve hareetl notalarının aynı elean üzernde olaı halnde ortaya çıan, /r tellğ aldırılara, Ln(/r) tellğ e uygun logart ve tandart au yöntelernn ullanılaıyla gderlştr. Yaılan forülayona dayalı, boyutlu dna analzler çn genel aaçlı blgayar rograı hazırlanıştır. Fourer dönüşü uzayında dna analz yaan rogra le freana üçü değerler verlere elatotat analz de yaılabletedr. İ adet dna roble çözülüş ve elde edlen onuçların, lteratürde verlen onuçlarla uyu çnde olduğu gözlenştr. Anahtar Keleler: Elatodna, ınır elean etodu, ürez uadrat ınır elean, Fourer uzayı. FORMULATION OF D ELATODYNAMIC PROBLEM WIT BOUNDARY ELEMENT METOD ABTRACT In th tudy, dontnuou quadrat boundary eleent forulaton reented for analy of elatodyna roble. In the forulaton, whh erfored n Fourer tranfor ae, the ntegral equaton are olved nuerally by auan quadrature. /r and Ln(/r) ngularte that ext when oure ont P and vared ont are wthn ae eleent ether reoved or anulated by ung logarth and tandard auan quadrature. Baed on the forulaton reented n th tudy, a general uroe outer rogra develoed, for two denonal dyna analye. The rogra erfor the analy n Fourer tranfor ae and the rogra whh develoed for elatodyna analy an alo be ued for elatotat analy by agnng a all value to the frequeny. Two dyna roble are olved and the obtaned reult are oared wth thoe n the lterature. Keyword: Elatodyna, boundary eleent ethod, dontnuou quadrat boundary eleent, Fourer ae.. İRİŞ (INRODUCTION) ınır elean yöntende, ele alınan n davranışını dare eden dferanyel denle, n ınırları üzernde tanılanan ntegral denlee dönüştürülere, yalnıza çözü bölge ınırının eleanlara bölüne yeterl olatadır [-5]. Böylee, çözülee denle ayıı önel ölçüde azalatadır. ınır elean yöntenn ullanılaı le roblen boyutlarının ndrgene, onuçlarda yüe enl ve onuzda yayıla şartlarının dolaylı olara heaba atılaı üün olatadır [6]. ınır elean yöntende ntegral denlelern çözüünde ullanılan büyülülere bağlı olara dret ınır elean yönte ve dret olayan ınır elean yönte ola üzere, farlı yalaşı yaılatadır []. Dret olayan ınır elean yalaşıında ntegral denleler fzel anlaı olayan büyülüler ullanılara çözülü, delaan ve gerl-

2 İ. Ö. Denee ve. R. Yerl İ Boyutlu Elatodna Problelern ınır Elean Metodu İle Forülayonu e gb ınır büyülüler belrlenetedr. Dret olayan ınır elean yalaşıında ya brn teel çözüün ya da n teel çözüün üerozyonları ullanılır. İn teel çözü (traton) ullanılara yaılan çözülee, delaan ürezlğ olara blnetedr [7]. hen [8] çalışaında zaan uzayında dret olayan yalaşı ullanılara boyutlu elatodna robleler çn analt çözüü neleştr. Dret yalaşıda e, ntegral denleler doğrudan ınır büyülüler nnden yazılı, blnen ve blneyen ınır büyülüler brbrne bağlanatadır. Bu çalışada forülayon, dret ınır elean yönte le yaılıştır. Bu yöntede, roblee at dferanyel denleler ntegral denlelere dönüştürületedr. Problede ha uvvetlernn bulunaı duruunda, ha ntegraller de ınır ntegralne dönüştürülere ntegral denlelern taaı ınır üzernde tanılanabletedr [9]. İntegral denlelern çnde yer alan teel çözüler, onuz ortada br yülee yönteyle analt olara elde edlebletedr [0]. İntegral denleler oluşturuldutan onra n adıda, çözü bölgenn ınırı üçü eleanlara bölünete ve roblee at blneyen ınır büyülüler ntegral denlelern ayıal çözüü le healanatadır. Frang [] ntegraller arçalara ayırara analt olara çözüleey taarlaıştır. İzotro elatte çn taaen farlı br yalaşı ullanılara aynı yüe dereel tell roblelernn (hyerngular) düzenlene çn forülayon gerçeleştrlştr []. Bu ten daha onra elatodna robleler çn genşletlştr [3]. Bu çalışada, boyutlu elatodna roble-ler çn ürez uadrat ınır elean forülayonu yaılıştır. Yaılan forülayon dna halde lteratürde verlen roblelere uygulanıştır. Fourer dönüşü uzayında yaılan forülayonda, abt notanın ve ntegrayon notaının aynı ınır eleanı üzernde bulunaından dolayı oluşan Ln(/r) ve /r tell duruları göz önüne alınatadır. Yaılan forülayona dayalı olara, boyutlu dna analz çn genel aaçlı FORTRAN77 dlnde br blgayar rograı hazırlanıştır. Ayrıa Fourer uzayında elde edlen onuçların zaan uzayına dönüştürüle çn FFT algortaı ullanılıştır.. FORMÜLAYON (FORMULATION).. Elatodna Probleler çn ınır Elean Denle (Boundary Eleent Equaton for Elatodyna Proble) Elatodna robleler çn ınır elean denlenn elde edle, lteratürde detaylı olara verletedr [, 4, 0, 4]. a uvvetler hal edlere, boyutlu br n elatodna analz çn ınır elean denlenn atr foru, u (P) (P,) t ()d (P,) u ()d () şelndedr. () fadende görülen n ınırını, ntegrall terlerde görülen ve () boyutunda atrler olu elatodna robleler çn elde edlş olan brn ve n teel çözüler, u ve t e () boyutunda delaan ve gerle vetörlern, P ve notaları e ntegral şlelernde ullanılan abt notayı ve ntegrayon notaını tel etetedr. () denle, Şel de görülen P notaında oluşan delaanları ınır yüzey () üzernde tanılanan ntegral fadelerne bağlaatadır. () denlenn ol tarafında görülen () boyutunda atrnn değer P notaının onuuna bağlı olara değşetedr []. Yardıı ten onuz orta olara tanılanaıyla elatodna robleler çn verlen ve teel çözüler analt olara healanatadır [0]. Fourer dönüşü uzayında elde edlen teel çözüler, r r () d r r n dr r n r d r n r r r r r r n dr n d d r n dr d r r şelnde tanılanatadır. Burada; aya odülünü, dalga hızının değern, P dalga hızının değern, ütleel yoğunluğu, Poon oranını, ve ıraıyla brn ve n teel çözüler, r abt nota (P) ve ntegrayon notaı () araında uzalığı, ve e Kroneer Delta yı göteretedr. ve fadelernde brn nd ( ), P notaında uygulanan br yüleenn yönünü, n nd () e notaında oluşan delaan ya da gerle vetörü bleşennn yönünü belrtetedr. Şel. İ boyutlu elat (-D Elat Body) (3) 58 az Ünv. Müh. M. Fa. Der. Clt 5, No, 00

3 İ Boyutlu Elatodna Problelern ınır Elean Metodu İle Forülayonu İ. Ö. Denee ve. R. Yerl (3) fadende görülen, ve r / n fadeler (4) eştllernde verletedr. ( ) r ; ; r n n (4) İndl notayonda yazılan (), (3) ve (4) eştllernde, ve gb ndler, ve değerlern alatadır. () ve (3) denlelernde görülen ve fonyonları r uzalığına bağlı olara değşetedr. Bu fonyonlar boyutlu analzde, K 0 (a ) K (a ) K (a ) (5) a K (a ) K (a ) (6) olara verletedr. (5) ve (6) da görülen a ve a değerler, a r ; a fadeler le tanılanatadır. r (7) (5) ve (6) denlelernde K 0, K ve K, n t odfye Beel fonyonlarını ve (7) fadelern-de e açıal freanı göteretedr. Düzle gerle roblelernde Poon oranı () yerne, efetf Poon oranı ( ) ullanılalıdır. Efetf Poon oranı, /( ) (8) olara tanılanatadır. onuç olara, () denle ndl notayonda, u (P) (P, ) t (P, ) u () d () d (9) notalarda ınır büyülüler çn ürell şartlarının ağlanaı gereeetr. Düğü notalarının eleanın ç bölgende eçle halnde e eleana ürez ınır eleanı denlete ve eleanlar araı ürell oşullarına htyaç duyulaatadır. Bu çalışada, ınır elean denlenn ayıal olara çözüü, ürez uadrat ınır elean forülayonu ullanılara yaılatadır. Bu aaçla, Şel de görüldüğü gb, n ınırı (), N adet ınır eleanına bölünetedr. Şel de, eleanı çn düğü notaları, P (=,,N ve =,, 3) le göterlştr. Burada, N elean ayıını, e her br elean üzernde düğü notaı ayıını belrtetedr. Şel de görülete olan n eleanın abt notaı çn () denle, u(p ) (P - (P, )t()d, )u()d şelnde fade edletedr. P (0) ınır elean forülayonunda, elean üzernde yer alan br notaının oordnatları, 3 x ( ) x () denle le, ınır eleanı üzernde ınır büyülüler e, 3 u ( ) u ; 3 t ( ) t () fadeler le verletedr. Yuarıda fadelerde yer alan x ntegrayon notaının oordnatlarını, x eleana at düğü notaının oordnatlarını, u ve t düğü notaında ınır büyülülernn değerlern, şel fonyonlarını ve e notaının boyutuz oordnatını tel etetedr. () ve () fadelernde verlen şel fonyonları ürez fadene dönüşür... ürez Kuadrat ınır Elean Forülayonu (Dontnuou uadrat Boundary Eleent Forulaton) ınır elean yöntende eçlen düğü notaları-nın onuuna göre ınır eleanları ürel veya ürez ınır eleanı olara adlandırılatadır. Dü-ğü notalarının eleanın uç notalarında eçle halnde ürel ınır eleanı öz onuu olatadır. Uç notalarında eçlen düğü notaları oşu eleanlar çn orta düğü notaları olduğundan bu Şel. C ınırının yüe dereel ınır eleanlarına bölüne (gher order boundary eleent dretzaton of the body) az Ünv. Müh. M. Fa. Der. Clt 5, No, 00 59

4 İ. Ö. Denee ve. R. Yerl İ Boyutlu Elatodna Problelern ınır Elean Metodu İle Forülayonu uadrat elean çn boyutuz oordnatlarda, ( ) ( ) 3( ) (3) şelnde tanılanatadır (- ve 0<<). ürez elean çn ve 3 no lu düğülern onuları etr olara değşetedr. Bu etrl araetre ullanılara belrlenetedr. araetre ve 3 nuaralı düğü notaları araı eafenn elean boyuna oranını tel etetedr. =.0 olaı ürel ınır eleanı duruuna arşılı geletedr. C ınırının N adet eleana bölünür ve () eştllernde verlen ınır büyülüler le lgl fadeler, (0) denlende yazılıra, N 3 u(p ) J( )(P, ) dt(n) n N 3 - J( )(P, ) d u(n) n (4) denle elde edlr. Burada şel fonyonları atr, 0 0 (=,, 3) (5) şelnde tarf edletedr. (4) eştlğnde verlen J(), Jaoban atrnn deternantını göteretedr. n n J( )(P J( )(P, ) d, ) d (6) tanılaaları ullanılara, (4) denle, P (=,, 3) abt notaları ve N adet ınır eleanı çn yazılara brleştrlre, elde edlen denleler atr forunda, u t (7) olara verlştr. (7) te denle 6N adet denle çeretedr. C ınırının N adet ürez uadrat ınır eleanına bölünenden dolayı, tola N adet ınır büyülüğü (u, t) olduğu çn, ınır şartları olara her br düğü notaı üzernde x (=,) doğrultuunda t veya u bleşenlernden brnn blne gereetedr. Böylee, blnen ınır şartları, (7) te denlende yerne onulara, tü blneyenler denlen ol tarafında tolanaa şelde ve atrlernn lgl olonlarının yer değştrleyle elde edlen A X=B Y forunda denle çözülere, n ınırı üzernde blneyen ınır büyülüler healanatadır..3. Tell (ngularty) (7) te denlende bulunan ve te atrlernn öşegen eleanlarını oluşturan ve atrler çn, (P, ) d (P, ) d (9) eştller yazılabletedr. Burada, abt düğü nota nuaraını, e şel fonyonu nuaraını göteretedr. Bu eştllerde, ntegral şlelernde ullanılan abt nota P ve ntegrayon notaı, aynı ınır eleanı ( ) üzernde bulunatadır. Ayrıa, bu eştller Cauhy uralına göre yazılata ve dolayııyla P ve notalarının çaışadığı abul edletedr [0]. Ana, P ve notaları aynı elean üzernde bulunaı duruunda, bu nota araında uzalı (r), ıfıra yaın değer alaatır. Bu duruda, teel çözüler çn verlen eştller göz önüne alınıra, (9) denlelernde görülen ntegrantlarda tell duruu ortaya çıatadır..3.. tat hal (tat ae) Tell hal, P ayna notaı le hareetl notanın aynı eleanda (=n) olaı duruunda ortaya çıtığı çn, elean forunda düğü notaları yerel oordnatların () fonyonu olara (0) eştllernde verletedr (Şel 3). x L ( ) ; y (L y / )( ) (0) x eştlğ bulunur. Burada, u n ; n I n n n u ; t t (,n,,..., N) (8) Yerel br teğet t ve br noral n fadeler aşağıda şelde elde edlr. dx ( ) dx t( ) ; n=t () d d J( ) 60 az Ünv. Müh. M. Fa. Der. Clt 5, No, 00

5 İ Boyutlu Elatodna Problelern ınır Elean Metodu İle Forülayonu İ. Ö. Denee ve. R. Yerl Burada, Kroneer deltayı, Poon oranını, aya odülünü, n ve n e br noraller tel etetedr. Tell duruunda r fade ıfıra yalaşaağından, ve fadelernn healanable çn özel tenler gereetedr. İl olara, (5) denlende ntegrall fade, Ln(/r) ve (/r) telllern çeren ayrı ntegrale bölünetedr. Eştl (0) fadeler ullanılara, r b = L x (- ) +L y / (+)j (7) r a = L x (- ) +L y / (-)j (8) r = L x ( - ) +L y / (+)j (9) Şel 3. Tel elean duruu çn r fadenn çıarılaı (Defnton of r for ngular eleent ae) Burada J() Jaoban olu, (dx +dy ) / fade le tanılanatadır. Ayrıa, Jaoban J() ve br noral n eştl (5) yardııyla da healanabletedr. J()=(4 L x +L y /4) / ; n()=(l y /+L x j)/j() () (7) denlende bulunan ve te atrlernn öşegen eleanlarını oluşturan ve atrler, P P (r ( )) ( ) J( ) d (3) (r ( )) ( ) J( ) d (4) fadelernden bulunaa olan alt atrlern brleştrleyle oluşturulatadır. Burada boyutlu hal çn, ve =, değerlern alaatır. ve brn ve n teel çözüler, P ve e ıraıyla abt ve hareetl düğü notaı nuaralarını tel etetedr. Şel fonyonu nuaraı olan hareetl nota nuaraı le aynı olaatır. Brn ve n teel çözüler eştl (5) ve (6) da verletedr. r r (3 4)ln (5) 8 ( ) r r r r r r ( ) n r r (6) 4( )r r r ( ) n n r r fadeler bulunur. P ve notalarının aynı elean üzernde olaı duruunda Şel 3 de göterldğ gb r fade r = r b -r a fadenden healanır. Benzer yönte ullanılara abt notanın. ve 3. düğüde olduğu hallerde r fadeler bulunur. abt notanın.,. ve 3. düğüde olduğu hallerde r fadeler (30a), (30b) ve (30) eştllernde verletedr. r () = (+) ((-) L x +L y /4) / = r () = () ( L x +L y /4) / = r () = (-) ((+) L x +L y /4) / =3 (30a) (30b) (30) Aynı elean üzernde ntegral şle yaılıren (+), () ve (-) büyülüler ıfıra yalaştığında tell roble ortaya çıar. P fade eştl (5) de verlen teel çözüü göteren fadenden dolayı doğal logarta forunda zayıf tell çeretedr. Eştl (3) fade eştl (3) foruna dönüştürülere logart au ayıal ntegrayon yönte ullanılablr [5]. ln( / ) f ( ) d f ( ) w (3) Burada bağıız değşen, f() nın fonyonu ve w ağırlı fonyonudur. (5) fade eştl (3) de yerne yazılıra, P (3 4)ln r 8( ) r r r r ( )J( ) d (3) fade bulunur. (3) eştlğnde yer alan Ln/ r ( ) faden çeren ter (3) de fora dönüştüre şle, eştl (30) da r () fadeler ullanılara ve uygun değşen dönüşüler yaılara gerçeleştrlştr. Bulunan fadeler; P çn, P abt nota ve hareetl nota ola üzere düğülern (0) herhang br onuu çn, az Ünv. Müh. M. Fa. Der. Clt 5, No, 00 6

6 İ. Ö. Denee ve. R. Yerl İ Boyutlu Elatodna Problelern ınır Elean Metodu İle Forülayonu Burada, ( ) ln(/ ) ( ( )) J ( ( )) d (33a) ( ) ln(/ t) ( t( )) J ( t( )) dt (33b) [ ln( ) / ln{(( ) Lx (33) L y / 4)}] ( ) J ( ) d / ( )ln{( ) /( )} ( z( )) J ( z( )) dz ( ) /( ) ; t ( ) /( ) z [( ) /( )] şelnde tanılanatadır. 3 Burada, (33d) ln(/ )[ ( ) ( )] J ( ) d (34a) x y ) / ln( L L / 4) ( ) J ( d (34b) ( ) ln(/ ) ( ( )) J ( ( )) d (35a) ( ) ln(/ t) ( t( )) J ( t( )) dt (35b) [ ln( ) / ln{(( ) Lx (35) L y / 4)}] ( ) J ( ) d / ( )ln{( )/( )} ( z( )) J ( z( )) dz ( ) /( ) ; t ( ) /( ) z [( ) /( )] (35d) şelnde tanılanatadır. Eştl (3) ve () de verlen şel fonyonları ve Jaoban terler;, t veya z ye bağlı ntegrayon araetreler olara değerlendrleldr. (33a), (33b), (34a), (35a) ve (35b) ntegraller tel ntegraller olu logart au ayıal ntegrayon yönte le healanatadır. (33), (33d), (34b), (35) ve (35d) ntegraller e tell bulunadığından dolayı tandart au ayıal ntegrayon yönte le healanatadır. (30) da fadeler (3) de yer alan r / r ve r /r terlernde yerne yazılıra lave br şlee gere aladan bu terlerde tell orunu çözülüş olatadır. Böylee, tel ntegraller çeren forülayon, tandart ve logart au ayıal ntegrayon yönteler ullanılara çözületedr. Denle (4) de verlen, n teel çözüler çeren P atrnn eleanları, abt nota ve hareetl notanın aynı düğü notaı olaı (P=) duruunda rjt hareet yönte yardııyla, N 3 PP n n P (n ve P çn) (36) eştlğ ullanılara çözületedr []..3.. Dna hal (Dyna ae) Dna duruda ortaya çıan tell roble, (37) fadende verlen ntegrallern çözülere ve atrlernde lgl yerlere yerleştrle şelnde ele alınatadır. () Dna d () tat d [() Dna () tat ] d (37) (4) fade aalı forda her teel çözü çn yazılıra, D D D D (38) şelnde tern tolaı olara fade edlebletedr. Burada, D ve D, dna analz çn teel çözüler, ve e tat analz çn teel çözüler göteretedr. Buna göre, (38) denlelernn ağ tarafında bulunan ve tat teel çözüler göteren brn terler, aynı zaanda dna teel çözülern tel olan ıılarını tel etetedr. Bu terler, tat duruda tellğn aldırılaı çn yaılan forülayon le healanabl-etedr. (38) denlelernn ağ tarafında n terlerde, tel olan ıı bulunadığından, bu terler, tandart au ntegrayon yönte le belrlenebletedr. D fade çn eştl (38) de belrtlen yöntele tell fade alıyora da bu çalışada, dna halde tell duruu çn de tat halde ullanılan rjt hareet yönte ullanılıştır [0, 4]. 3. AYIAL UYULAMALAR (NUMERICAL EXAMPLE) ayıal uygulaa olara ele alınan örnelerde, Şel 4a da görülen, ünfor P çee uvvetne aruz ddörtgen la roble göz önüne alınıştır. Pla, zaanla değş adı t ve üçgen t P çee uvvetnn etnde ele alınıştır. Şel 4a da görülen A notaında düşey delaanın zaanla değş nelenetedr. eçlen 4 l ddörtgen la Şel 4b de görüldüğü gb alt ve üt ınırlarda 3 er ağ ve ol enarlarda e 6 şar elean ola üzere tola 8 adet ürez uadrat ınır eleanına bölünetedr. Şel 4b de dare çernde verlen 6 az Ünv. Müh. M. Fa. Der. Clt 5, No, 00

7 İ Boyutlu Elatodna Problelern ınır Elean Metodu İle Forülayonu İ. Ö. Denee ve. R. Yerl Şel 5. P yüünün zaanla değş (Varaton of loadng wth te) A notaında elde edlen düşey delaan değerler, Chen ve Wu [6] dan alınan en onuçlar le Meng ve ar. [0] tarafından gelştrlen abt ele-an forülayonundan elde edlen onuçlarla Şel 6 da arşılaştırılatadır. Şel 6 nelendğnde, onuçların brbrler uyulu olduğu, hatta ürez uadrat ınır eleanlar le bulunan onuçların, en onuçlara daha yaın olduğu görületedr. (a) Şel 6. A notaında düşey delaanın zaanla değş (Varaton of vertal dlaeent at ont A) (b) Şel 4. Ddörtgen la ve ullanılan ınır elean ağı (Proble geoetry and boundary eleent eh) raalar forülayonunda ullanılan düğü notalarını göteretedr. Problelern analznde, ürezlğn ağlanaı çn boyutuz düğü notaı oord-natları =-0.75, =0., 3 =0.75 ve =0.75 olara eçlştr. ealaalarda Poon oranı =0, aya odülü =40Pa, ütleel yoğunlu =.0g/ 3, ve P 0 =N/ alınıştır. Fourer uzayında elde edlen onuçlar FFT algortaı ullanılara zaan uzayına dönüştürülüştür. 3.. Üçgen Yü Etnde Ddörtgen Pla (Retangular Plate Under Trangular Load) Problede nelenen ddörtgen la zaanla değş Şel 7 de görülen üçgen t P çee uvvetne aruz bıraılıştır. Şel 4a da görülen A notaında P çee uvvetnden dolayı oluşan düşey delaanın zaanla değş nelenetedr. A notaında elde edlen düşey delaan değer-ler, Chen ve Wu [6] dan alınan en onuçlar le Meng ve ar. [0] tarafından gelştrlen abt elean forülayonundan elde edlen onuçlarla Şel 8 de arşılaştırılatadır. 3.. Adı T Yü Etnde Ddörtgen Pla (Retangular Plate Under te Load) Proble, zaanla değş Şel 5 de görülen adı t P çee uvvetne aruz bıraılıştır. Şel 4a da görülen A notaında, P çee uvvetn-den dolayı eydana gelen düşey delaanın zaan-la değş nelenetedr. Şel 7. P Yüünün zaanla değş (Varaton of loadng wth te) az Ünv. Müh. M. Fa. Der. Clt 5, No, 00 63

8 İ. Ö. Denee ve. R. Yerl İ Boyutlu Elatodna Problelern ınır Elean Metodu İle Forülayonu KAYNAKLAR Şel 8. A notaında düşey delaanın zaanla değş (Varaton of vertal dlaeent at ont A) Şel 8 nelendğnde ürez uadrat ınır eleanları le bulunan onuçların, en onuçlarla ve abt elean forülayonu le bulunan onuçlarla uyulu olduları görületedr. 4. ONUÇLAR (CONCLUION) Bu çalışada, boyutlu elatodna roblelern çözüü çn ınır elean forülayonu yaılıştır. Fourer dönüşü uzayında yaılan forülayonda, ürez uadrat ınır elean yalaşıı ullanılıştır. Yaılan forülayonda, ntegral şlelernde ullanılan abt nota ve ntegrayon notaının aynı ınır eleanı üzernde bulunaından aynalanan tell durularının gderleble çn, logart tell duruunda değşen dönüşüü uygulayara logart ve tandart au ayıal ntegrayon yönte ullanılıştır. /r tellğn çeren ıı e bulunan r fadenn ullanılaıyla tell roble aldırılara tandart au ayıal ntegrayon yönte le healanıştır. Problelern çözüünde ullanılan ürez uadrat ınır elean forülayonunda; eçlen elean boyu, boyutuz düğü notaı oordnatları ve ayıal ntegrayon yöntende ele alınan au nota ayıı öne azanatadır. Bu yüzden ayıal uygulaalarda ürezlğn ağlanaı çn boyutuz düğü notaı oordnatları = -0.75, =0., 3 =0.75 ve =0.75 olara belrlenştr. İntegrayon nota ayıı olara da 0 notalı au değerler ullanılıştır. Bu çalışa aaında analz yaılan roble-lern çözüünden elde edlen onuçlarla lteratürde verlen onuçlar grafel olara arşılaştırılıştır. Bu arşılaştıralar onuunda yaılan forülayonun ve hazırlanan rograların doğruluğu göterlere hazırlanan forülayon ve rograın güvenle ullanılableeğ onuuna ulaşılıştır.. Beo, D.E., Boundary Eleent Method n Mehan. Elever ene Publher, Aterda, Brebba, C.A., and Donguez, J., Boundary Eleent an Introdutory Coure. Coutatonal Mehan Publaton, outhaton, Beer, A.A., The Boundary Eleent Method n Engneerng. Mraw-ll Boo Coany, London, Banerjee, P.K., The Boundary Eleent Method n Engneerng. Mraw-ll Boo Coany, London, Alabad, M.., The Boundary Eleent Method Alaton n old and truture. John Wley & on Lted, Wet uex, Brebba, C.A., Telle, J.C.F. and Wrobel, L.C., Boundary Eleent Tehnque. rnger, New Yor, ebrt, E., and Crouh, L., Two-Denonal Elatodyna Dlaeent Dontnuty Method. Int. J. for Nu. Meth. n Eng., 37: , hen,.y., An Indret Elatodyna Boundary Eleent Method wth Analyt Bae. Int. J. for Nu. Meth. n Eng., 57: , Partrdge, P.W., Brebba, C.A., and Wrobel, L.C., The Dual Reroty Boundary Eleent Method. Coutatonal Mehan Publaton, outhaton and Elever Aled ene, London, Meng, Y., Tanrıulu, A.., and Tanrıulu, A.K., Boundary Eleent Method for Elat Meda, An Introduton. ODTÜ Baı İşlğ, Anara, Frang, A., Elatodyna By BEM: A New Dret Forulaton. Int. J. for Nu. Meth. n Eng., 45: 7 740, Nedele, J.C., Integral Equaton wth Non Integrable Kernel. Integral Equaton and Oerator Theory, 5: 56-57, Nhura, N., and Kobayah,., A Regularzed Boundary Integral Equaton Method for Elatodyna Cra Proble, Co. Meh., 4: 39-38, Manol,.D., ve Beo, D.E., Boundary Eleent Method n Elatodyna. Unwn yan, London, Pre, W.., Flannery, B.P., Teuoly,.A., and Vetterlng, V.T., Nueral Ree, Cabrdge Unverty Pre, New Yor, Chen, C-C., and Wu, T-Y., A Partular Integral BEM/Te-Dontnuou FEM Metodology for olvng -D Elatodyna Proble. Int. J. of old and tru., 38, , az Ünv. Müh. M. Fa. Der. Clt 5, No, 00