DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004

Transkript

1 DEÜ MÜHEDİSLİK FKÜLTESİ FE ve MÜHEDİSLİK DERGİSİ Clt: 6 Saı: 1 sh Oca 00 DİFERSİYEL QDRTRE METOD İLE DİKDÖRTGE VE KRE PLKLRI STTİK HESI (THE STTIC LYSIS OF RECTGLR D SQRE PLTES Y THE METHOD OF DIFFERETIL QDRTRE) Ömer CİVLEK, Hmet H. ÇTL* ÖZET/STRCT Çalışmada dferansel quadrature metodu, çeştl mesnet şartları çn ddörtgen ve are plaların stat analzne ugulanmıştır. Dferansel quadrature metodu; oordnat doğrultusuna göre br fonsonun türev, çepeçevre saran br çözüm bölgesnde üse dereceden br polnom ardımıla alaşım urablen sürel br fonson ve o doğrultu bounca bütün ağ notalarında fonson değerlernn tümünün lneer toplamı olara fade edlr. ğırlı atsaıları blnmeenler olara bulunur. Plağın eğlmesn fade eden dferansel denleme metot sınır şartları altında tatb edlere lneer denlem taımları elde edlmştr. Elde edlen sonuçlar mevcut analt ve dğer alaşı öntem değerler le arşılaştırılmıştır. Metot sonuçları baımından eter doğruluta olup hesaplaıcı baımından vermldr. The dfferental quadrature method has been presented n ths paper to solve the problem of the deflecton analss of rectangular and square plates for varous support condtons. In the method of dfferental quadrature, partal space dervatves of a functon appearng n a dfferental equaton are appromated b means of a polnomal epressed as the weghted lnear sum of the functon values at a reselected grd of dscrete ponts. The weghtng coeffcents are treated as the unnowns. pplng ths concept to partal dervatve of the bendng dfferental equaton of plates gve a set of lnear smultaneous equatons, whch are solved for the unnown weghtng coeffcents b accountng for the boundar condtons. Results are compared wth estng solutons avalable from other analtcal and numercal methods. The method presented gves accurate results and s computatonall effcent. HTR KELİMELER/KEYWORDS Dferansel quadrature, Deplasman analz, Pla Dfferental quadrature, Deflecton analss, Plate * Douz Elül Ünverstes, Müh. Fa., İnşaat Müh. öl., uca, İZMİR

2 Safa o: 116 Ö. CİVLEK, H.H. ÇTL 1. GİRİŞ Mühendsl ugulamalarında temel amaç; nsan aşamını olalaştıraca sstemler ortaa omatır. u sstemlern gelştrlmesnde temel eten nsan htaçlarının arşılanmasıdır. garlaşma önünde olumlu gelşmeler ve tenolonn günümüzde geldğ nota htaçların farlılaşmasına neden olmuştur. Değşen bu htaçlara cevap verme çn teor ve prat çalışmalar apan mühendslerde farlı tenler üzernde oğunlaşmışlardır. Mühendsl sstemlernn analz en genel anlamda aşamaı çermetedr. Mevcut br fzsel sstem fade eden matemat modeln urulması ve elde edlen matemat denlemn analt olara vea çeştl alaşı saısal metotlar ullanılara çözülmesdr. u aşamadan brncs tecrübe, sezg ve br matemat alt apı; ncs se modelleme de ullanılan sezg ve blge laveten hızlı ve apsamlı br hesaplaıcıı geretrr (Crandall, 1968). Yapılan modellemenn gerçe model ansıtıp ansıtmaması, gerçe fzsel ola le uumlulu derecesle ölçülür. u modellern büü br çoğunluğu, sınır değer formunda dferansel denlemlerdr. u matemat denlemlern fzsel modele en aın sunuş bçm se varasonel problemlerdr (Hasanov, 001). Grş verler üzerne onulan sürell ve türevleneblrl oşuları açısından, varasonel problem end özdeş olan sınır değer problemle arşılaştırıldığında, ugulama alanı daha genş olan problemler sınıfına htap eder. Matemat modelleme şlemnn, modeln varasonel problem olara fade edlmesnden sonra aşaması, hesaplaıcıa tanıtımı ugun olan arı modeln oluşturulmasıdır. Günümüzde, dferansel denlemlerle lgl matemat modellern arı benzeşlernn oluşturulması ve elde edlen arı problemn blgsaarda çözümlenmes açısından en apsamlı ve blnen öntem Sonlu elemanlar öntemdr. u öntemn las sonlu farlar öntemnden başlıca aırt edc özellğ, sonlu elemanlar öntem sınır değer problemn değl varasonel problem temel alır. En genel anlamda, mühendsl problemler, süresz ve sürel ortam problemler olma üzere sınıfa arılır. Serbestl dereces sonsuz büü olan sürel ortam problemlernn çözümü br dferansel denlem, br ntegral denlem vea denlem sstemnn çözümünü geretrdğ halde, serbestl dereces sonlu olan süresz ortam problemlernn çözümü lneer denlem taımının çözümüle elde edleblmetedr. Sonsuz serbestl derecel sstemlernn çözümünde çeştl matemat güçlüler ortaa çımata buna arşın süresz ortam problemlernn çözümünde gerel olan hesaplaıcı apastes ve hesap süres artmatadır. unlardan başa mühendsl problemler evrensel br alaşımla; ararlı durum problemlern çeren denge problemler, ararlı durum problemlernde bazı parametrelern rt değerlernn bulunmasını geretren özdeğer problemler ve başlangıç değer formunda problemler çeren propagason problemler olara üç temel gruba da aırma mümündür. u tarz br sınıflandırmada da elde edlen denlem; apalı ada açı sınır ve/vea başlangıç değerne sahp ısm vea ad türevl br dferansel denlem ada lneer br denlem taımı olara elde edlr (aın, 000). Lneer br dferansel denlem taımını sağlaan fonsonların br bölgede değerler tan edlren, bazı matemat güçlülerle arşılaşılır. unun çn bu hallerde, önce bu fonsonların verlen bölgenn sonlu uzunluta bazı notalarına at değerler aranır. Daha sonra, bu değerler ullanılara dğer blnmeen notalarda değerler elde edlr. u şelde sürel br ortam erne, cebrsel br denlem taımının çözümünü geretren arı br ortam alınmış olur. Hızlı ve üse apastel hesaplaıcıların gelşmes, ve ullanımının agınlaşması nedenle sürel ortam erne süresz ortam model üzernden şlem apmaa elverşl öntemler artmıştır. u öntemler çnde sonlu farlar, sonlu elemanlar ve sınır elemanlar günümüzde agın olara ullanılablmetedr. Karaterst büülülern ortam

3 Fen ve Mühendsl Dergs Clt : 6 Saı : 1 Safa o: 117 çnde değşmesn fade edeblmes ve armaşı sınır şartlarının çözüme atılablmesne olana vermes baımından sonlu elemanlar daha agındır. Kurulan matemat model çoğunlula sstem fade eden a br ntegral denlem ada ısm vea ad türevl br dferansel denlemdr. Sınır oşullarının armaşılığı nedenle elde edlen dferansel denlemn analt çözümü çoğu durumda mümün olmaz. u nedenle saısal analz tenlerne başvurulur. lgsaar tenğnde gelşmeler ve denlemlern matrs formda fade edleblmes saısal analz metotlarında büü br gelşmee neden olmuştur. u metotlar çnde; sonlu farlar, sonlu elemanlar, sınır elemanlar, varasonel (değşm) hesap, Ralegh-Rtz gb alaşı metotlar günümüze adar etn olara ullanılmıştır. Çoğu saısal hesap öntemnde sürel denge problem sonlu saıda serbestl derecel br ssteme ndrgenere çözüme ulaşılır (Mtchell, 1976).. MÇ VE KPSM Kısm dferansel denlemlern çözümü çn; sonlu elemanlar, sonlu farlar, sınır elemanlar gb braç saısal çözüm öntem mevcut olup, bu metotlar günümüze adar mühendslte ve fzte ugulama alanı olan ttreşm, stablte, aışanlar meanğ, sürel ortam meanğ, sıvı vea termal etler maruz apıların analz gb pe ço probleme başarıla ugulanmıştır. Gere sonlu elemanlar ve gerese sonlu farlar metodunda düğüm notası saısı arttıça elde edlen çözümlern hassasetnn arttığı blnmetedr. ununla brlte, daha hassas sonuçlar elde etme çn düğüm notası saısının arttırılması, gerel olan blgsaar apastes ve hesap süres de anı oranda arttırmatadır. nca pe ço problemde gerçe değere aın hassas sonuçlar fzsel anlamda anca braç özel notada geremetedr. lgsaar tenğnde gelşmelere paralel olara denlemlern matrs formda fade edlmes ve blgsaar ortamına atarılmasında olalılar netcesnde hesap öntemler saısal analz lehne gelşmeler göstermştr. Hesap tenlernde bu gelşmeler nedenle lneer abul erne parça parça lneerleştrere adım adım hesaplama, ardışı alaşım vea bu tür sstemlerde süperpozson metodu geçerl olmadığından ardışı ü artım metotları gb lneer olmaan saısal analz öntemler ço agın olara ullanılmaa başlanmıştır. u metotlar çnde sonlu elemanlar ve sonlu farlar metotları ullanım alanı dğerlerne göre daha fazla olan analz tenğdr. Sonlu elemanlar metodunda çözüm çn alaşı br fonson seçlere çözüme başlanır. nca sonlu elemanlar metodunda seçlen enterpolason fonsonları loal düzede olup elemanlar çn geçerldr (Cvale, 1996). Sonlu elemanlar metodunda çözüm bölges ço fazla elemana arılara eter hassasette sonuçlar elde etme mümündür. Özellle pla vea abu elemanların hassas çözümler anca üse saıda elemana bölünere sağlanır (Cvale, 1998). Elemanın ço fazla bölgee arılara (mesh generaton) çözüme ulaşılması durumunda se gerel olan hesaplaıcı apastes ve zaman artacatır. ununla brlte eter alaşıta sonuçlar an gerçe değere ço aın sonuçlar mühendsl ugulamalarında çoğunlula br vea braç spesf notada stenr (Cela ve Gra, 199). Daha az ızgara nota saısı ullanılara eter hassasette sonuçlar vereblece br metot olan Dferansel Quadrature Metodu (DQM) Rchard ellman tarafından gelştrlere lneer ve lneer olmaan ısm türevl dferansel denlemlern çözümüne ugulanmıştır. Dferansel quadrature metodu; oordnat doğrultusuna göre br fonsonun türev, çepeçevre saran br çözüm bölgesnde üse dereceden br polnom ardımıla alaşım urablen sürel br fonson ve o doğrultu bounca bütün ağ notalarında fonson değerlernn tümünün lneer toplamı olara fade edlebleceğ prensbne daanır.

4 Safa o: 118 Ö. CİVLEK, H.H. ÇTL ununla brlte dferansel quadrature metodunda elde edlen matrsler band matrs olup smetr değldr. enzer saısal alaşım öntemlernde olduğu gb, DQ metodu da mevcut türev denlem, çözüm bölgesnde önceden seçlen düğüm notalarında blnmeen fonson değerler cnsnden, lneer denlem taımına dönüştürür. u denlemlere laveten sınır şartları da DQ metoduna ugun formda azılır. Sınır şartlarının Drchlet ve/vea euman ada arışı olması herhang br güçlü doğurmaz.. DİFERSİYEL QDRTRE YÖTEM Dferansel quadrature metodu; br fonsonun verlen br arı notada br uza değşenne göre ısm türev, o değşen bölgesnn bütün arı notalarında fonson değerlernn ağırlılı br lneer toplamı le fade edlr, şelnde tanımlanan düşüncee daanır (ellman ve Cast, 1971; Cvan ve Slepcevch, 198). Yeter alaşıta sonuçlar elde etme çn daha az saıda ızgara ullanan dferansel quadrature metodu ; fz ve mühendslte arşılaşılan başlangıç değer ve sınır değer problemler çn farlı br alaşım ortaa omuştur. u amaçla te boutlu br u ( ) fonsonun brnc türevn (1,,...,) notalarında arı nota çn göz önüne alırsa nc arı nota çn brnc türev, u ( ) u 1 u( ) ; 1,,..., (1) olacatır. urada değşen bölgesnde arı notaları, u( ) bu notalarda fonson değerlern, ve brnc dereceden türev çn bu değerler fonson değerlerne bağlaan ağırlı atsaılarını fade eder. ğırlı atsaılarının hesabı, arşılı gelen oordnat önlernde fonsonel alaşımlar le gerçeleştrlr. Test fonsonu ada alaşım fonsonu olara blnen bu fonsonların seçmnde sürell şartına dat edlmeldr. enzer zorunlulu sonlu elamanlar öntemnde enterpolason fonsonlarının seçmnde de vardır. nca DQ metodunda, seçlen fonsonlarının Rtz metodunda olduğu gb sınır şartını sağlaması zorunluluğu otur. Yalaşım fonsonları, alan değşenlernn olası ararlı an ünform durumlarını tanımlaablmel ve dferansel denlemde ada sınır şartlarında mevcut en üse derecel dferansele adar türevnn alınablmes gerer. Yan sürell şartı çn, br oordnat önünde düğüm saısı, dferansel denlemde arşılı gelen bağımsız değşene göre en üse derecel türevn br fazlasına eşt olmalıdır. elmann ve aradaşları ağırlı atsaılarının hesabı çn farlı öntem önermşlerdr (ellman vd., 197). unlardan brncsnde Eştl 1 tam olara alındığında, test fonsonu olara (-1) vea daha üçü dereceden seçlen polnom fonsonu çn, u () -1,,,..., () verlen Eştl 1 de erne azılırsa aşağıda belrtldğ formda br lneer denlem taımı verr 1 1 ( ) () 1 1,,..., ve,,..., çn nca bu denlem sstemnn atsaılar matrsnn determnantı Vandermonde formunda olduğundan tel br çözüme sahptr. Denlem ağırlı atsaıları çn analt olara

5 Fen ve Mühendsl Dergs Clt : 6 Saı : 1 Safa o: 119 Hammng n önerdğ metotla ada Vandermonde denlemler çn orc ve Parera nın önerdğ gb blnen bazı özel algortmalar le saısal olara çözüleblr (Hammng, 197; orc ve Parera, 1970). u tellğ gderme çn, ağırlı atsaıları, değş ızgara nota saıları le Eştl ün eşt ızgara değerler çn hesaplanmalıdır. Eştl () aşağıda matrs formda da verleblr. { } [ { } ] () enzer şlemler ve daha fazla derecen türev fadeler çn de azılablr. ölece, her br dereceden türev çn ağırlı fadeler brnc dereceden türev fadesnden farlı olmatadır. İnc dereceden türev çn metot u ( ) u 1 u( ) ; 1,,..., (5) olara verlr. urada nc dereceden türev çn ağırlı atsaısıdır. Denlem (5) brnc dereceden ağırlı atsaıları cnsnden u ( ) u 1 u( ) ; 1,,..., (6) Eştl le verlen polnom fonson ugulanara nc dereceden türev fades, 1 ( )( ) 1 (7) 1 olmatadır. u eştl uarıda verlen Eştl e benzer alaşımla çözülür. İnc, üçüncü ve dördüncü dereceden ağırlı atsaıları, C, D, aşağıda formda hesaplanır (8) C (9) D C ellman ve aradaşları tarafından ağırlı atsaılarının hesaplanması çn önerlen nc öntem de brnce benzer olup farlı br test fonsonu seçlr. Eştl 1 sağlaaca şelde ötelenmş Legendre polnomunun öler olara u L () (), 1,,..., (11) ( ) ( 1 ) L ( ) (10)

6 Safa o: 10 Ö. CİVLEK, H.H. ÇTL fonsonu seçlr. urada ızgara nota saısı, L (). Dereceden legendre polnomu, L ( 1 ) () se bu polnomun brnc türevdr. Denlemde ötelenmş legendre polnomunun öler olara seçlp Eştl 11 le verlen polnom fonson Eştl 1 de azılırsa ağırlı atsaıları; L ( ) çn (1a) ( ) L ( ) 1 çn (1b) ( 1), 1,,..., u nc alaşımda, Eştl 1a ve Eştl 1b le tanımlanan ağırlı atsaıları brncde olduğu gb herhang br tell problem ve lneer denlem taımı çözmeden elde edlr. r boutlu problemlere benzer olara boutlu problemler çnde dferansel quadrature metodu gelştrleblr. Şel 1 de görülen ddörtgen düzlem çn, -doğrultusunda ızgara ve -doğrultusunda ızgara saısı olma üzere türev fadeler azılablr. a... b (, ) Şel 1. İ boutlu bölge çn ızgara notaları u amaçla u(,) fonsonunun r-nc mertebeden e göre, s nc mertebeden e göre ve (r+s) nc mertebeden ve değşenlerne göre (, ) arı notaları çn türev fadeler; r u s r u s (r) u(, ) ; r 1,,..., (s) u(, ) ; s 1,,..., 1 1 (1) (1)

7 Fen ve Mühendsl Dergs Clt : 6 Saı : 1 Safa o: 11 + s) u r s su s (r r (r) r m 1 (s) m u(, m ) ; (15) 1,,...,, ve 1,,..., olara verlr. (r ) ve (s ) u(,) fonsonunun sırasıla e ve e göre r nc ve s nc mertebeden ve arı notaları çn azılan türev ağırlı atsaılarıdır. u atsaılar l olara Shu ve Rchards tarafından gelştrlmştr (Shu ve Rchards, 199; Shu ve Du, 1997). u ağırlı atsaıları, (r) r (r 1 ) ( 1 ) (r 1 ) ;, 1,,...,, ; ve r,,..., -1 (16) (s) s (s 1 ) ( 1 ) (s 1 ) ;, 1,,.,, ; ve s,,..., -1 (17) (r) 1, ; (r) 1,,..., ve r 1,,..., 1 (18) (s) 1, ; (s) 1,,..., ve r 1,,..., 1 (19) olmatadır. Dat edlmeldr örne notaların saısı verlen bağıntıların performansında an ağırlı atsaılarının hesabında etl değldr. Hesap performansını gelştrme açısından önemldr. undan başa, bazı durumlarda bu notalar çözümün doğruluğunu etleeblmetedr. Örneğn eşt aralılı notalar le şlem ısmen daha ola ve ugulaması daha basttr, anca eşt olmaan nota aralığı çn az da olsa sonuçların hassaslığı düşür. Düğüm notalarının seçmnde sıça ullanılan ve önerlen metot her doğrultuda an her br oordnat önünde (te boutlu problemler çn br önde) eşt aralılı seçlen 1 ; 1,,... (0) 1 1 ; 1,,... (1) 1 olara verlr. azı durumlarda eşt aralılı olmaan notaların seçmnn daha sonuç verdğ blnmetedr. Yne boutlu problemler çn eşt olmaan ızgara notaları Chebshev-Gauss-Lobatto notaları çn

8 Safa o: 1 Ö. CİVLEK, H.H. ÇTL cos π, 1,,..., () cos π, 1,,..., () 1 şelnde seçlr. ununla brlte dferansel quadrature çözümlernde farlı oordnat önlernde ızgara notaları saısı ve tp baımından farlı seçlebleceğ gb, farlı oordnat önlernde farlı test fonsonları da seçleblr. 5. SYISL YGLMLR İnce, ddörtgen br plağın eğlmesn fade eden dferansel denlem, u u u q(, ) + + D olara verlr (Şel 1) (Tmosheno ve Krege.,1959). urada, u plağın orta düzlemnn deplasmanı D plağın eğlme rtlğ olup, D Eh /1(1-ν ) le verlr. Eştl boutsuz formda X q a + + X Y Y D şelnde azılır. urada X /a ve Y /b boutsuz oordnatlar, a ve b plağın ve doğrultusunda boutları, a / b pla enarlarının oranıdır. Yuarıda boutsuz formda verlmş olan Eştl 5 e DQ metodu ugulanara () (5) D + + D m 1 m m q a D (6) 1,,..., ve 1,,..., çn urada ve sırasıla ve doğrultularında ızgara notaları, ve D, D,, m değerler se dferansel quadrature alaşımı çn dördüncü ve nc dereceden ağırlı atsaılarıdır (Şel 1). Verlen Eştl 6 dördüncü dereceden olup her br enar çn lave sınır şartı azılmalıdır. Sınır Koşulları 1- Dört enarı tutulmuş (C-C -C-C) : Deplasmanlar ve dönmelern enarlarda sıfır olması şartından (X,0) (X,1) 0 ve (0,Y) (1,Y) 0 (7a)

9 Fen ve Mühendsl Dergs Clt : 6 Saı : 1 Safa o: 1 Y Y ( X, 0) ( X,1) 0 X X ve ( 0, Y ) ( 1, Y ) 0 azılır. DQ metodu bu sınır oşullarına ugulanırsa 1 0 ve ve (7b) (8a) (8b) (8c) (8d) 1,,..., ve,,..., 1 çn - Dört enar bast mesnetl (S-S -S-S) : Deplasman ve momentlern enarlarda sıfır olması şartından (X,0) (X,1) 0 ve (0,Y) (1,Y) 0 (9a) Y ( X, 0) ( X, 1) 0 ve ( 0, Y ) ( 1, Y ) 0 Y X X elde edlr. DQ metodu bu sınır oşulları çn terar ugulanırsa 1 0 ve ve (9b) (0a) (0b) (0c) (0d) 1,,..., ve,,..., 1 çn - Kenarlar serbest mesnetl (F-F-F-F) : u mesnet oşulu çn sınır şartları + υ X Y 0 ve + ( ) 0 X υ (1a, 1b) X Y X 0, 1 notalarında

10 Safa o: 1 Ö. CİVLEK, H.H. ÇTL + υ 0 ve + ( υ ) 0 (a, b) Y X Y X Y Y 0, 1 notalarında ve btş enarın öşe notası çn XY 0 Dğer sınır şartları çn azılan sınır oşullarına benzer olara () m 1 + υ 0 (a) m m ( ) 0 C + υ (b) m m 1 m m m X 1 enar notası çn nm m m n m 1 + υ 0 (5a) υ (5b) C + nm m nm m m 1 m 1 Y 1 enarı çn İ btş enarın brleştğ öşe çn m 1 m ( ) 0 m 0 olara verlr. Yuarıda verlmş olan denlemler ddörtgen ve are geometrsne sahp nce pla çn çözülmüştür. Kenar boutları eşt are br pla çn orta nota deplasmanı (Çzelge 1) ve ddörtgen br pla çn deplasman değer bütün enarların bast mesnet ve bütün enarların anastre mesnet olması durumunda b/a nın çeştl değer çn elde edlmştr (Şel, Şel ). Elde edlen değerler mümün olduğu durumda esn değerler le ve dğer saısal öntemler le bulunan sonuçlar le arşılaştırılmıştır. Izgara saısı 15 çn bulunan sonuçlar esn değerler le çaışmıştır. (6)

11 Fen ve Mühendsl Dergs Clt : 6 Saı : 1 Safa o: 15 (Deplasman) 0,01 0,01 0,008 0,006 0,00 0, , 1,8 b/a Kesn Değer DQ(7) Şel. ast mesnetl ddörtgen pla çn deplasman değerler (Deplasman) 0,00 0,005 0,00 0,0015 0,001 0, , 1,8 b/a Kesn Değer DQ(7) Şel. nastre mesnetl ddörtgen pla çn deplasman değerler b/a1 Kare pla Çzelge 1. Kare br plağın a / notasında deplasman değer Kesn değer (Tmosheno, 1959) DQM(7*7) u çalışma DQM(9*9) u çalışma DQM(15*15) u çalışma Sonlu elemanlar (Cvale,1998) GDQ(9*9) Du ve dğ,199 (S-S-S-S) (C-C-C-C) Çalışmada dferansel quadrature metodu le ddörtgen ve are plaların stat analz verlen sınır oşulları altında çözülmüştür. Sonuçların alaşılığı, geretrdğ hesaplaıcı apastes ve ugulama alanının çeştlğ date alınınca, metodun son ıllarda agın olara ullanılmasının nedenler anlaşılmatadır. Dğer alaşı öntemler le ıaslandığında ço üçü ızgara saısı le üse hassasette sonuçlar bulunablmes omple problemler çn metodun geretreceğ hesaplaıcı apastes ve hesap süresnde eonom sağladığını göstermetedr (Lew vd., 1999; Kuret vd., 199; Jang, 1989). Yen alaşım fonsonları ve ağırlı atsaılarının hesaplanmasında en alaşımların ortaa onulması le metot artı evrensel olara blnen ve ugulanan br öntem olmuştur (Farsa vd., 199, Du ve Ln, 199, ert vd., 199; Cvale, 001). 7. TRTIŞM VE SOÇ Fzsel br sstemn matemat modelnn elde edlmes, mühendsl ugulamalarında l aşamadır (Cvale, 00). u denlem; sstemn sürel ve arı abul çözümüne göre, ısm vea ad türevl br dferansel, br ntegral vea br lneer denlem olur. Mühendslğn; aışanlar ve atı csmler meanğ, sürel ortamlar meanğ gb

12 Safa o: 16 Ö. CİVLEK, H.H. ÇTL alanlarında arşılaşılan denlemler genelde lneer ada nonlneer türde br ısm dferansel denlem olmata ve problem br sınır değer vea başlangıç değer problemnn çözümüne ndrgenmetedr. Elde edlen sınır değer formunda bu tür denlemlern çözümü nc br aşama olup, apalı matemat çözüm çoğu durumda mümün olmamatadır. u aşamada mevcut saısal analz tenlernden fadalanılır. Günümüzde, sonlu farlar ve sonlu elemanlar daha hassas sonuçlar vermete anca hala üse saıda ızgara (mesh generaton) geremetedr. u se çözüm çn gerel hesaplaıcı apastes htacını ve analz süresn artırmatadır. Daha az ızgara ullanara daha ısa sürede sonuca ulaşma çabaları netcesnde 1970 l ılların l arısında Rchard elmann tarafından dferansel quadrature öntem önerlmştr. ununla brlte öntem; ağırlı atsaılarının hesaplanmasında güçlülern gderlmes ve ullanılan alaşım fonsonlarının bulunmasından sonra agınlaşmış ve anca 1987 ılında apı meanğ ve aışanlar meanğ problemlerne başarıla ugulanmıştır (ert ve Mal., 1996; ert vd., 199; ert ve Mal, 1996; Cvan ve Slepcevch, 198; Han ve Lew, 1997; Mngle, 1977). Günümüze adar son on ıl çnde pla ve rşlern stat, dnam ve stablte hesabına başarıla ugulanmış olup, metodun harmon DQ, genelleştrlmş DQ gb farlı versonları gelştrlmştr. Sonlu elemanlarda seçlen alaşım fonsonu eleman bazında en DQ metodunda tüm sstem çn geçerldr. Rtz metodunda seçlen polnom fonsonu sınır oşullarını sağlamalıdır. ununla brlte DQ metodunda böle br zorunlulu otur. Sonlu farlar metodu problemn çözümüne serler le alaşım uraren, DQ metodunda polnom alaşım urulur. unlara laveten daha az ızgara notası le daha ısa sürede ve daha düşü apastede hesaplaıcı le ço hassas sonuçlar elde edleblmes metodun en belrgn avantaıdır (ert ve Mal, 1996; Sherbourne ve Pande, 1991). Yüse saıda düğüm notası ullanılan problemlerde ağırlı atsaılarının hesaplanmasında güçlüler se metodun gözüen te dezavantaıdır. nca metodun genelleştrlmş dferansel quadrature ve harmon dferansel quadrature adıla blnen versonu bu güçlüğü de ortadan aldırmıştır (Lew,1999; Shu ve Rchards, 199). KYKLR aın S.Ş. (000): Fen ve Mühendsl lmlernde Matemat Yöntemler, ODTÜ Gelştrme Vafı Yaınları, nara. ellman R., Cast J. (1971): Dfferental Quadrature nd Long-Term Integraton, Journal Of Mathematcal nalss and pplcatons,, pp ellman R., Kashef.G., Cast J. (197): Dfferental Quadrature: Technque For The Rapd Soluton Of onlnear Partal Dfferental Equaton, Journal of Computatonal Phscs, 10, pp ert C.W., M Mal (1996): The Dfferental Quadrature Method For Irregular Domans nd pplcaton To Plate Vbraton, Int. J. Mech. Sc., Vol. 8(6), pp ert C.W., Wang Z., Strz. G. (199): Dfferental Quadrature For Statc and Free Vbraton nalss of nsotropc Plates., Internatonal Journal Of Solds and Structures, 0(1), pp örc., Perera, V., (1970): Soluton of Vandermonde Sstem of Equatons, Math. comput., Vol., pp Cela M.., Gra W.G. (199): umercal Methods for Dfferental Equatons, Fundamental Concepts for Scentfc and Engneerng pplcatons, Prentce Hall, ew Jerse. Cvale Ö. (1998): Pla ve Kabuların Sonlu Elemanlar Metodula nalz, Yüse lsans semner, Fırat Ünverstes.

13 Fen ve Mühendsl Dergs Clt : 6 Saı : 1 Safa o: 17 Cvale Ö. (1996): Düzlem Kafes ve Çerçeve Elemanların Sonlu Elemanlar Metodula nalz, Lsans Tez, Fırat Ünverstes. Cvale Ö. (001): Dferansel Quadrature Metodu le Elast Çubuların Stat, Dnam Ve urulma nalz, XVI Mühendsl Ten Kongres, Kasım, ODT, nara. Cvale Ö. (00): Düzlem Kafes ve Çerçeve Sstemlern Lneer Olmaan nalz, Dotora Semner, Douz Elül Ünverstes Fenblmler Ensttüsü, İzmr. Cıvan F., Slepcevıch C.M. (198): pplcaton of Dfferental Quadrature To Transport Process., Journal of Mathematcal nalss nd pplcatons, 9, pp Cvan F., Slepcevch C.M. (198): On The Soluton of The Thomas- Ferm Equaton Dfferental Quadrature., Journal of Computatonal Phscs, 56, pp. -8. Crandall S.H. (1968): Mühendsl nalz, Saısal Hesap Metotlarına Genel aış, Çevrenler: tu, Ş., Özden, E.Y., erso matbaası. Çaıroğlu., Özmen G., Özden E. (197): Yapı Sstemlernn Hesabı İçn Matrs Metotları Ve Eletron Hesap Manası Programları, Clt II, Matbaa Tensenler asımev, İstanbul. Du H. Lm, Ln M.K., R.M. (199): pplcaton of Generalzed Dfferental Quadrature Method To Structural Problems., Internatonal Journal For umercal Methods In Engneerng, 7, pp Farsa J., Kuret.R., ert C.W. (199): Fundamental Frequenc nalss of Lamnated Rectangular Plates b Dfferental Quadrature Method., Internatonal Journal for umercal Methods In Engneerng, 6, pp Hasanov.H. (001): Varasonel Problemler Ve Sonlu Elemanlar Yöntem, Lteratür aınları, İstanbul. Hammng R.W. (197): umercal Methods for Scentsts and Engneers, McGraw-Hll, ew Yor. Han J.., Lew K.M. (1997): nalss of Moderatel Thc Crcular Plates sng Dfferental Quadrature Method, Journal of Eng. Mech., SCE, Vol. 1 (1), pp Jang S.K., ert C.W., Strz.,G. (1989) pplcaton of Dfferental Quadrature to Statc nalss of Structural Components, Internatonal Journal For umercal Methods n Engneerng, 8, pp Kuret.R., Farsa J., ert C.W. (199): Fundamental Frequenc of Tapered Plates Dfferental Quadrature., Journal of Engneerng Mechancs, SCE, 118(6), pp Lew K.M., Teo T.M., Han J.. (1999): Comparatve ccurac of DQ nd HDQ Methods for Three- Dmensonal Vbraton nalss of Rectangular Plates, Internatonal Journal for umercal Methods n Engneerng, 5, pp Mıtchell.R. (1976): Computatonal Methods n Partal Dfferental Equatons, John Wle. Mngle J.O. (1977): The Method Of Dfferental Quadrature For Transent onlnear Dffuson., Journal of Mathematcal nalss and pplcatons, 60, Sherbourne.., Pande M.D. (1991): Dfferental Quadrature Method n The uclng nalss of eams and Composte Plates., Computers & Structures, 0(), pp Shu C., Rchards.E. (199): pplcaton of Generalzed Dfferental Quadrature to Solve Two- Dmensonal Incompressble aver -Stoes Equatons, Internatonal Journal for umercal Methods In Fluds, 15, pp Shu C., Du H. (1997): Implementaton of Clamped and Smpl Supported oundar Condtons n GDQ Free Vbraton nalss of eams nd Plates, Internatonal Journal Of Solds and Structures, (7), pp Tmosheno S., Kreger W.S. (1959): Theor of Plates and Shells, nd Ed. McGraw-Hll, ew Yor.