2. KISITLI KALMAN FİLTRELEME. 2.1 Ayrık Zaman Durum-Uzay Modellerinde Filtreleme Problemi Durum uzay modeli

Transkript

1 . GİRİŞ Modern aseri operasyonlarda uzun menzilden ve gerçe zamanda ara hareetlerinin gözetlenebilme yeteneğinin önemi gidere artmatadır. 2 yılında yedi devlet ve NAO Danışma, Komuta ve Kontrol Ajansının, NAO Consultation, Command and Control Agency, NC3A çeşitli gözlem platformlarından alınan hareetli yer hedefi belirleyicisi GMI - Ground Moving arget Indicator ve senteti açılı radarı SAR - Synthetic Aperture Radar verilerinin birleştirilmesi ve paylaşılması yolu ile oalisyon ordularının orta çalışabilirli interoperability abiliyetini arttırmayı amaçlayan CAESAR Coalition AErial Surveillance And Reconnaissance projesi ve 25 yılında CAESAR ın ardılı olara faaliyete geçen; opti, ızıl ötesi ve eletroni istihbarat sensörlerinin ullanımına odalanan MAJIIC Multi-sensor Aerospace ground Joint Interoperable ISR Coalition programı, arasal gözetlemeye yöneli güncel bir uluslararası ilgi oluştuğunu göstermetedir. Koller et al. 25 Kara gözetiminde uzay-zaman uyarlamalı işleme SAP - Space-ime Adaptive Processing işlemeli GMI uça radarları önemli bir sensör tenolojisidir Koller et al. 25. Bu tenoloji halihazırda bazı platformlarda çalışır durumda olmala beraber, yaın gelecete pe ço platformun da GMI sensörleri ile donatılacağı düşünülebilir. Dolayısıyla GMI sensörleri ile arada hareet eden araç, aseri eipman ve onvoyların tespit edilmesi ve oluşturulan tespitlerden çıarılaca hedef izlerinin süreli ve aliteli bir şeilde otomati hedef taip sistemleri tarafından üretilmesi ve güncellenmesi büyü önem arzetmetedir. Otomati hedef taip sistemleri genel olara hava hedeflerini taip etme amacıyla tasarlanmıştır. Kara hedeflerinin taibinde, hava hedeflerine ıyasla otomati hedef taip sistemlerini zorlayıcı bazı sorunlarla başa çıılması gereir. Bu sorunlar şu şeilde sıralanabilir:

2 Karasal bir alan üzerinde yapılaca gözlemler, eşdeğer bir hava alanına ıyasla ço daha yüse mitarda parazit yanı içermetedir. Hedef taip sisteminin, yüse mitarda parazit yanı arasından hedeflere ait ölçümleri tespit edere iz başlatması ve alınan ölçümleri taip edilen hedefler ile eşleştirere güncellemesi geremetedir. Bulgular bölümünde de gösterileceği üzere yüse sayıda parazit yanı arasından iz başlatılması, özellile işlem yüü ağır bir aşamadır. Kara trafiği, hava trafiğine ıyasla ço daha yoğundur. Yüse sayıda parazit yanı yanı sıra yoğun trafi hedef-ölçüm eşleştirilmesinde önemli bir sorun teşil eder. Güncel GMI radar sistemlerinin ölçüm alma sılıları düşütür. GMI Horizon sistemi için 5 saniyede bir ölçüm alınır Pannetier et al., 25. Düşü ölçüm alma freansı iz başlatma ve hedef ölçüm eşleştirme problemlerini zorlaştıracatır. Doğal-insan aynalı çeşitli yapılar radar sinyallerini bloe edere hedeflerden gözlem alınmasını zaman zaman engelleyebilir örn. dağ, tünel vb. yapılar, doğal engeller. aip edilen hedefin gözlem yapılamayaca bir bölgeye girmesi durumunda, hedef taip sisteminin hedefe ait izi, hedef bu bölgeden çıana adar oruması gereir. Hava hedeflerinde, hedef hareetinin, hedefin bulunduğu hava sahasından bağımsız olduğunun düşünülmesi abul edilebilir bir varsayımdır. Bu varsayım ara hedefleri için geçerli değildir. Kara araçları çoğunlula hareet edilen bölgedei yolları taip edecetir aseri araçların her an taip edilen yoldan ayrılabileceği unutulmamalıdır. Kara hedeflerinin belli bölgelerde dağ, deniz vs. hareet edemeyeceği varsayılabilir. Hedef hızı ve hareet yönü bölgenin topografi özellilerine sıı sııya bağlıdır. Sözü geçen zorlulardan dolayı ara hedef taip sistemlerinin, hedef merezli tasarlanması, her bir hedef için o ani hedef durumuna bağlı olara ullanılan taip algoritmasının düzenlenmesi geremetedir. Bu ihtiyaç ço modelli bir hedef taip algoritması ullanılara arşılanabilir. Etileşimli çolu model estirici IMM - Interacting Multiple Model Estimator Blom, 988 manevra yapan hedeflerin taibinde ullanılan başarılı bir estiricidir Bar-Shalom et al. 989, 2, Li 993. Algoritma, taip edilen hedef 2

3 hareetinin farlı zaman aralılarında, farlı hareet modelleri ullanılara modellenebileceğini varsayar. IMM, hedef taibini mümün olan tüm hareet modellerine göre uyarlanmış bir taip filtreler dizisini paralel bir şeilde çalıştırara gerçeleştirir. Kestirim, filtre tahminlerinin alınan ölçüme yaınlılarına göre ağırlılandırılıp birleştirilmesi ile elde edilir. Her an için yalnızca bir hedef hareet modunun geçerli olduğu düşünülürse, ço sayıda hareet modelinin ullanılmasının modeller arası reabete Li and Bar-Shalom, 996 neden olara estirim performansını düşüreceği görülebilir. Dolayısıyla, IMM algoritması sınırlı sayıda hareet modeli ullanılara gerçelenir. Kara hedef taibinde, estirici tarafından ullanılması gereen hedef hareet modeli, hedef onumuna bağlı olara değişecetir. Standart IMM algoritması bu durumda ço fazla sayıda hareet modelinin paralel bir şeilde çalıştırılmasına ihtiyaç uyar. Ço sayıda model çalıştırma hem işlem yüü açısından gerçeleştirilebilir değildir, hem de modeller arası reabet yapılan estirim başarımını düşürecetir. Li and Bar-Shalom 996, bu duruma çözüm olara değişen yapılı bir etileşimli çolu model estiricisi VS-IMM - Variable Structure Interacting Multiple Model Estimator önermiştir. VS-IMM, her estirim anında, tüm hareet modelleri ümesi arasından atif olması ihtimali yüse olan sınırlı sayıda hareet modelini seçere IMM algoritması yapısı altında ullanır. VS-IMM algoritması ullanara Bar-Shalom et al. 2 hedef taibinde ullanılan estirici filtrelerin, hedef onumuna bağlı olara adaptif bir şeilde değiştirdiği bir ara hedef taip sistemi ortaya oymuştur. Bu tez çalışmasında VS-IMM algoritması tabanlı otomati bir ara hedef taip sistemi tasarlanmıştır. Hedef taip sistemi, yüse sayıda parazit yanı içeren GMI radar verisini işleyere hedef tespit, iz başlatma ve taip yeteneğine sahiptir. Hedef taibinde, her hedef için ullanılan estirici algoritma, hedefin bulunduğu topografi onuma bağlı olara adaptif bir şeilde değiştirilmetedir. Örneğin, bir hedefin estirilen onumu etrafında ulaşabileceği bir yol bulunuyorsa, hedefe ait taip filtrelerine yol üzerinde hareet modeline ait bir filtre elenmetedir. Yol üzerinde hareeti modelleyen bu filtre Simon 22 tarafından önerilen izdüşüm tabanlı ısıtlı Kalman filtre yapısını taşır. Benzer şeilde, bir avşağa yalaşan hedef için dönüş yapabileceği tüm yollara ait ayrı birer izdüşüm tabanlı 3

4 filtre, hâlihazırda ullanılan hedef taip filtrelerine elenmete; dönüş gerçeleştiten sonra dönüşün gerçeleştiği yol haricindei yollar üzerinde hareeti modelleyen filtreler hedef taip yapısından düşürülmetedir. asarlanan otomati hedef taip sistemi, aseri araçları da göze alaca şeilde yollara giriş ve çıışın her an mümün olduğu varsayımı ile çalışır bu duruma bir istisna olara, yol haritası taip edilen yoldan çıışın mümün olmadığını gösteriyorsa, yalnızca yol üzerinde hareet modeli atifleştirilir. Otomati taip sistemi, hedef onumuna bağlı olara ortaya çıabilece gözlem engellerini tünel vb. değerlendirere, gözlemi engellenen hedefi taip listesinden düşürmez; hedefin taibi tahminler üzerinden devam ettirilir. Bu şeilde işlem maliyeti yüse iz başlatma modülünde tasarruf sağlanır. Hedef taip sistemlerinde başa çıılması gereen en önemli problemlerden biri iz-ölçüm eşleştirilmesidir. asarlanan otomati hedef taip sistemi ölçüm hedef eşleştirilmesini atama yöntemini ullanara Bar-Shalom et al. 996, 997 gerçeleştirir. Atama probleminin çözümünde açı arttırma algoritması auction algorithm ullanılır.bertseas, 992 Bu tez çalışması aşağıda gösterildiği şeilde gelişecetir. 2. bölümde öncelile filtreleme problemi açılanara, Kalman, genişletilmiş Kalman ve unscented Kalman filtrelerinden bahsedilditen sonra durum ısıtlarının Kalman filtreleme yapısı içerisinde nasıl uygulanabileceği gösterilecetir. 3. bölümde geliştirilen VS-IMM tabanlı ara hedef taip sistemi detaylı olara açılanacatır 4. bölümde hedef taip sisteminin test edildiği benzetim çalışması anlatılaca, benzetim bulguları ortaya oyulacatır. 5. bölümde benzetim sonuçları tartışılaca ve geleceğe yöneli öneriler verilecetir. 4

5 2. KISILI KALMAN FİLRELEME 2. Ayrı Zaman Durum-Uzay Modellerinde Filtreleme Problemi 2.. Durum uzay modeli Bu çalışmada aşağıda belirtilen durum-uzay modeli ullanılacatır: Θ sistemin zaman içerisinde değişen durum parametresini belirtir. Sistem durumu haında çıarsamalarda bulunabilme için Θ den { t, 2,...} Eşitlilerde, t ile belirtilen zamanlarda gözlemler alınmatadır. Θ, t anındai sistem durumunu; z ise bu anda alınan ölçümü belirtir. Durum, zaman içerisinde, Eş. 2. de ifade edilen stoasti denleme göre değişir. Bu denlem durum denlemi olara adlandırılır. Durum denlemi Marov yapısına sahiptir. Θ = f Θ, W 2. Durum denleminde W, bilinen bir olasılı dağılım fonsiyonuna göre bağımsız ve özdeşçe dağılımlı bir rasgele değişendir. Denlemin t anındai durum dağılımı olan p Θ ın bilindiği varsayılır. z gözleminin Eş. 2.2 ile verilen varsayılır. Bu denlem, gözlem denlemi olara adlandırılır. Z rasgele değişeninin bir gerçelenişi olduğu Z = g Θ, V 2.2 Gözlem denleminde dağılmış rasgele bir değişendir. V bilinen bir olasılı dağılım fonsiyonuna göre bağımsız özdeşçe 5

6 V ve W dizileri sırasıyla gözlem ve işlem gürültüsünü belirtmete olup, gürültülerin birbirlerinden bağımsız olduğu varsayılır. Aynı zamanda f ve g fonsiyonları da bilinen ii fonsiyondur. Gürültüler ve fonsiyonlar zaman içerisinde değişebilir, değişen dağılımların ve ilgili fonsiyonların bilindiği varsayılmatadır Filtreleme problemi ve Bayes çözümü Eşitliler 2. ve 2.2 ile ifade edilen sisteme ait t anındai Θ durumunun t anına adar alınan tüm gözlemler ullanılara estirilmesi problemi filtreleme problemi olara adlandırılır. Bu bölümde filtreleme problemine yöneli Bayes çözüm yöntemi açılanacatır. { z } : z D tanım olara t anına adar yapılan ölçümlerin ümesi olursa D =,...,, Bayes yönteminde amaç sonsal dağılım a posteriori dağılım olara adlandırılan p Θ D dağılımının bulunmasıdır Fearnhead, 998. p Θ D dağılımı parametrenin önsel dağılımı a priori dağılım olan p Θ ile gözlemler ümesinin sağladığı tüm bilgiyi ihtiva edecetir. p Θ D hesaplandıtan sonra Θ parametresi istenilen optimalite riterine göre estirilebilir. Örneğin estirimin en üçü aresel hata riterine göre yapılması isteniyorsa MMSE estiricisi, bu şartı E Θ D ] sağlar Van rees, 968. Buna göre estirim: [ Θ = E [ Θ D ] = Θ p Θ D dθ MMSE 2.3 şelinde elde edilir. MMSE yerine masimum a posteriori olasılığa MAP sahip parametrenin estirim olara ulanılması istenebilir. Bu estirici MAP estiricisi adını alır ve Θ MAP = arg max Θ { p Θ D } şelinde ifade edilir Sonsal dağılımın indirgemeli recursive hesaplanması 2.4 6

7 Eşitliler 2.3 ve 2.4 ile ifade edilen estirimlerin yapılabilmesi için öncelile p Θ D nın bulunması geremetedir. Bu bölümde p Θ D nın indirgemeli olara hesaplanışı formülleştirilecetir. İndirgemeli yöntem sayesinde sonsal dağılımın her bir yeni öçlüm ile güncellemesinin loal olara yapılması sağlanaca, böylece her adımda tüm ölçümlerin terar terar ullanıldığı toplu batch işleme gere duyulmayacatır. Durumuzay modelini uraren yapılan varsayımlar bu sonsal dağılımın indirgemeli yazılabilece şeilde parçalanmasını mümün ılar. Öncelile sistemin Marov yapısından dolayı: p Θ, Θ D = p Θ D p Θ Θ 2.5 şelinde yazılabilir. Eş. 2.5 de Θ entegre edilere atılırsa p D dağılımı: Θ marjinal p Θ D = p Θ D p Θ Θ dθ 2.6 ile hesaplanır. Eş. 2.6 literatürde tahmin prediction denlemi olara adlandırılır Sorenson, 988. z gözlemi alındıtan sonra filtreleme Eş. 2.7 ile gerçeleştirilir ve bu eşitli literatürde güncelleme update denlemi olara adlandırılır. p Θ D = p Θ p Θ D D p z p z Θ Θ dθ 2.7 Her ne adar 2.6 ve 2.7 eşitlilerinde gösterilen entegraller olay alınabilirmiş gibi görünse de bu entegrallerin apalı çözümleri özel durumlar haricinde yotur Optimal çözümü mümün olan bir durum Kalman filtresi 7

8 Eşitliler 2.6 ve 2.7 ile ifade edilen filtreleme denlemlerinin apalı form çözümü, durum ve gözlem denlemlerinin doğrusal; işlem ve gözlem gürültülerinin sinyalden ve birbirlerinden bağımsız normal dağılımlı olduğu durumda mümündür. Bu durum, Kalman filtresi olara bilinir Kalman, 96. Kalman filtresi özellile hedef taibinde en sı ullanılan durum estiricisidir. Kalman Filtresi Varsayımları: f ve g doğrusal birer fonsiyondur V ve W birbirinden ve estirilece parametreden bağımsız elenebilir sıfır ortalamalı ve sırasıyla R ve Q ovaryanslarına sahip beyaz gürültü süreçleridir p Θ, ortalaması ˆΘ, ovaryansı P olan normal dağılımlı bir rasgele değişen Bu varsayımlar altında Eş. 2. ve Eş. 2.2 ile ifade edilen durum ve gözlem denlemleri: Θ = F Θ + W 2.8 z = G Θ + V 2.9 şelinde yazılabilir. Bu durumda Eş. 2.6 ile belirtlen tahmin denlemi sonucu entegral almaya gere almadan: ˆ p Θ z = N F Θ, F P F 2. + Q Θˆ = F Θˆ, P FP F = + Q olursa, güncelleme denlemi hesabında gereli olan ˆ p z Θ = N G Θ, G P G 2. + R ile bulunur. p z Θ ve p Θ güncelleme denleminde ullanılara p Θ z dağılımı N Θ ˆ, hesaplanır Ho, 964. P G G P G + K = P R Θˆ ˆ ˆ = Θ + K z G Θ KG z P = P 2.2 8

9 Bu durumda hem MAP hem de MMSE riterlerinde aynı optimal estirim olan normal dağılımın ortalama değeri olaylıla bulunacatır. Bulunan estirimin ovaryansı sonsal dağılımın ovarsansına eşit olacatır. Sonsal dağılım ullanılara filtrenin bir sonrai tahmini hesaplanır ve ardından filtre tahmini yeni alınan gözlem ile güncellenere yeni estirim oluşturulur ve bu şeilde filtrelemeye devam edilir. İndirgemeli bu estirim yapısına Kalman filtresi adı verilir. Kalman filtresinin bazı özellileri Durum ve gözlem denlemleri doğrusal ve gürültüler normal dağılımlıysa MMSE ve MAP optimal ve yansız estirim üretilir. Durum ve gözlem denlemleri doğrusal, faat gürültüler normal dağılımlı değilse, estirim MMSE optimal faat MAP optimal değildir. Bu durumda estirim aynı zamanda yanlıdır Bar-Shalom, 2. Durum ve gözlem denlemleri doğrusal ve gürültüler normal dağılımlıysa verimli efficient estirim yapılır. A posteriori ovaryans, Cramer Rao alt sınırına CRLB eşit Bar-Shalom, 2. Filtre gürültü haında varsayımlar yaptığından gürbüz değildir. Modelleme hatalarına arşı olduça hassastır. Sistem haında bilinen e bilgilerin durum ısıtları vb. filtrelemeye ilave edilmesi oluça zordur Genişletilmiş Kalman filtre Kalman filtresi doğrusal modeller için tasarlanmış bir estirim algoritmasıdır. Eşitliler 2. ve 2.2 ile ifade edilen durum ve gözlem denlemlerinden herhangi biri doğrusal yapıda değil ise Kalman filtresinin gerçelenmesi mümün değildir. Bu durumda yaygın bir şeilde ullanılan ideal altı suboptimal estiricilerden birisi genişletilmiş Kalman filtresidir. EKF - Extended Kalman Filter EKF de doğrusal olmayan durum veya gözlem fonsiyonları aylor serisi açılımı ile doğrusallaştırılara Kalman filtre yapısı içerisinde 9

10 ullanılır. aylor açılımında sılıla birinci dereceden açılım ile yetinilir. Daha üst derecede aylor açılımı ullanımı mümün olmasına rağmen üst düzey türevlerin hesaplanmasının zorluğu, açılım sonucunda ortaya çıaca armaşı ifadelerin hesaplanmasında gereece işlem gücü ve yapılaca işlemlerin numeri stabilitesi açısından iinci derecenin üzerinde açılımlar genellile ullanılmaz. EKF de Kalman filtresi gibi gürültü dağılımlarının normal olduğunu varsayar. Birinci derece aylor açılımı ullanan EKF için doğrusallaştırılmış f ve g fonsiyonları aşağıdai gibi hesaplanır. F f = Θˆ Θ ˆ g G = 2.3 Θˆ Θ Genişletilmiş Kalman filtre ile ilgili en büyü problem, doğrusallaştırmanın doğasından aynalanan hatalar sebebiyle filtrenin ırasama ihtimalinin bulunmasıdır. ˆ 2..6 Unscented Kalman filtre Filtreleme probleminde durum veya gözlem denlemleri doğrusal olmatan uza ise içeriyorsa EKF algoritmasının estirim performansı düşece, filtre ırasaması problemi ortaya çıabilecetir. Filtre ırasaması gerçeleşmese dahi filtrenin yapmış olduğu estirim ile gerçe parametrenin istatistileri birbirlerini tutmayabilecetir Julier and Jeffrey, 997. Bu duruma bir örne Şeil 2. de gösterilmetedir. Şeilde doğrusal olmayan bir transformasyonun ardından EKF nin yapmış olduğu estirim ve ovaryansın gerçe parametre istatistilerinden uzata olduğu rahatlıla gözlenebilir. Bu soruna çözüm olara Julier and Jeffrey 997 unscented transformasyon U adında, örnelem tabanlı, Monte Carlo yöntemlerine benzer bir yöntem önerir. U metodu Monte Carlo yöntemleri gibi, olasılı dağılımlarının parçacı örnelem bazlı yalaşımlarını ullanır. U yöntemi, Monte Carlo metotlarından farlı olara yapmış olduğu örnelemleri rasgele oluşturmaz; Açılama [m]: Nonlinearite mi deme istedin?

11 bu yöntemde yalaşımı yapılan olasılı dağılımının ortalaması etrafında deterministi olara seçilen minimal sayıda parçacı ullanılır. Seçilen örnelerin ortalama ve ovaryanslarının gerçe dağılımın ortalama ve ovaryansına eşit olması amaçlanır. Bunun yanında, U ile yalnızca il ii momentin değil, daha üst düzey momentlerin orunması da mümündür. U örnelemleri daha sonra doğrusal olmayan transformasyona soulur ve bunun ardından örnelemlerden yeni olasılı dağılımının il ii momenti oluşturulabilir. Şeil 2. de U ile parçacı bazlı olasılı dağılım yalaşımının gerçe dağılım istatistilerini EKF den ço daha iyi oruduğu görülmetedir. Şeil 2. İi boyutlu normal dağılımlı bir rasgele değişenin doğrusal olmayan bir transformasyon ardından il ii momentin gerçe değerleri ile EKF ve unscented transformasyon U yalaşılamaları Wan and Van der Merwe, 2 Julier and Jeffrey 997, U ullanan Kalman filtresi tabanlı bir estirim algoritması önermiştir. Bu algoritma Kalman filtresi gibi tahmin ve gözlem güncellemesi ısımlarından oluşur.

12 2..6. ahmin İşlem gürültüsü vetörü parametre vetörüne elenere genişletilmiş parametre vetörü ve genişletilmiş parametre ovaryansı oluşturulur. ˆ Θ g = [ Θ E [ W ] 2.4 P g P = 2.5 Q Genişletilmiş durum ve ovaryanstan 2L+ tane sigma notası oluşturulur. L genişletilmiş parametre vetör boyutudur. Χ = Θ g g L + P, i L Χ,..., i g = Θ + λ = i 2.6 Χ g L + P, i = L,..., L i g = Θ λ + 2 i Sigma notaları doğrusal olmayan f fonsiyonu ile doğrusal olmayan transformasyona soulur. Χ i = f Χ, i,..., L 2.7 i = 2 ransformasyon sonrası sigma notalarının ortalaması ve ovaryansı bulunara tahmini parametre durumu elde edilir. 2L i i = WDΧ i= Θˆ 2.8 2

13 P = 2.9 2L i i i W ˆ ˆ K Χ Θ Χ Θ i= Notaların durum ve ovaryans hesabı için ağırlıları sırasıyla: λ W D = L + λ W i D W K = W i K = 2 L + λ λ = + α L + λ λ = α 2 L + κ L 2 + β 2.2 Gürültülerin normal dağılımda olduğu varsayılırsa α, β, ve κ için 3, 2 ve değerleri ullanılabilir Gözlem güncellemesi Gözlem gürültüsü vetörü tahmin edilen parametre vetörüne elenere genişletilmiş parametre vetörü ve genişletilmiş parametre ovaryansı oluşturulur. Genişletilmiş parametre ve ovaryans vetörlerinden Eşitliler aracılığı ile 2K+ tane sigma notası oluşturulur ve bu notalar doğrusal olmayan g transformasyonuna soulur. Χ i = g Χ, i,..., K 2.2 i = 2 ransformasyon sonrası sigma notalarının ortalaması ve ovaryansı bulunara öçlüm dağılım istatistileri elde edilir. Ardından filtrelemede ullanılma üzere durum-ölçüm ros-ovaryansı hesaplanır. 3

14 4 i L i i D W z 2 ˆ = Χ = 2.22 i i L i i K z z z z W P ˆ ˆ 2 = Χ Χ = 2.23 i i L i i K z z W P ˆ ˆ 2 = Θ Χ Θ Χ = 2.24 Kalman azancı hesaplanır. z z z P P K Θ = 2.25 Filtreleme gerçeleştirilir. ˆ ˆ ˆ + = Θ Θ z z K 2.26 z z K P K P P + = Kısıtlı Kalman Filtreleri Dinami sistemleri modelleren ullanılan durum değişenleri, modellenen sistemin içersinde hareet edebileceği özgürlü derecelerini degrees of freedom belirtir. Modelde ullanılan değişenlerin matematisel boyut avramında olduğu gibi birbirlerinden bağımsız olduğu varsayılır. Buna rağmen, ullanılan model gözlenen gerçe sisteme ait bir yaınsamadır. Model uruluren ullanılan değişenler arasında modellenen dinami sistemin yapısı gereği bulunan bazı ilişiler model armaşılığını beli seviyede tutma adına ihmal edilebilir veya bunun tam tersi yönde, model üzerinde çalışaca algoritmaların işini rahatlatma adına modelde geresiz değişenler ullanılabilir. Sonuçta, dinami sistem adına ullanılan modelde, değişenlerin hem endi özellilerinden bazıları, hem de diğer değişenler ile ilişileri ihmal edilmiş olabilir. Örneğin, apalı bir imyasal reatörde tepimeye girece maddelerin toplam ütlesinin sabit alması gereir, buna rağmen

15 imyasal tepime modeli içerisinde ütlenin orunuşunu sağlayaca bir ısıt ullanılmamış olabilir. Benzer şeilde, oordineli dönüş yapan bir uçağın hareetinde ivme vetörünün hareet yönüne di olması gereir, faat bu durum model tarafından ihmal edilmiş olabilir. Dinami modele ait değişenlerin estirilmesi amaçlanıyorsa, bu tarz e bilgilerin ullanılmasının estirici performansını arttıracağı düşünülebilir. Buna rağmen en ço ullanılan durum estiricilerinden biri olan Kalman filtresinde durum değişenleri arasında bulunan ilişilerin filtreleme süreci içerisinde ullanılması olduça zordur. Bu yüzden, e bilgiler çoğunlula Kalman filtrelemesi yapısı içerisinde ihmal edilir veya sağlam matematisel temellere dayamayan buluşsal yöntemler ile Massicotte et al. 995 düzeltmeler yapılmaya çalışılır. Bu bölümde Kalman filtrelemesi yapısı içerisinde durum ısıtlarının değerlendirilmesine yöneli yöntemler anlatılacatır. Özellile eşitli ısıtları olara adlandırılan: Doğrusal eşitli ısıtları Doğrusal olmayan eşitli ısıtları: D Θ = d durum ısıtları detaylı olara incelenecetir. e e 2.2. Doğrusal eşitli ısıtları Kalman filtrelemesinin parametre estiriminde ullanılacağı sistem dinamiğinin, her an için Eş ile gösterilen doğrusal eşitliği sağladığının bilindiği varsayılmıştır. Burada amaç Kalman filtresi estirimlerinin de Eş ile uyumlu sonuçlar üretmesidir. D eθ = d e 2.28 Eş de ullanılan D matrisi tam satır ranına sahip bir matristir. Bu şeilde ısıt denlemleri arasında geresiz denlemlerin doğrusal bağımlı denlem ullanılmayacağı varsayılmıştır. Problemin çözümünün apaçı trivial olmaması için, D matrisi ranının, Θ durum parametremizin boyutunun altında olduğu varsayılmıştır. D matrisi ranının parametremizin boyutunun üstünde olduğu ço fazla belirlenmiş durumlar genellile birbirleriyle çelişen ısıtlar ihtiva eder, bu tez çalışmasında bu durum incelenmeyecetir. 5

16 2.2.. Çözüm yöntemleri Model parametrizasyon değişimi Kalman filtrelemesinde durum değişenleri arasında D Θ = d ilişisi olduğu biliniyorsa, e e n durum denleminde estirilmesi geremeyen değişenler var demetir Θ R ve D matrisinin m satır ranına sahip bir matris olduğu varsayılırsa, estirilmesi gereen değişen sayısı n-m olacatır. Sorun, her zaman için, modelin geresiz değişenlerin ullanılmayacağı şeilde terar parametrize edilmesi ve yeni sistem üzerinde Kalman filtrelemesi yapılması ile çözülebilir. Bu yöntem ii açıdan uygun olmayabilir. İl olara, durum değişeninin her bir elemanının endine ait fizisel anlamı vardır. Bu anlamın orunması filtreleme sonucunda elde edilen bulguların yorumlanmasının olaylığı açısından önemlidir. İinci olara, D matrisi zaman içerisinde değişen bir yapıda olabilir. Her bir estirim adımında estirim denlemlerinin terar parametrize edilmesi olay olmayabilir Müemmel ölçüm ullanan Kalman filtresi Bu yöntem il ez ah 99 tarafından hedef taibinde inemati ısıt ullanma amacıyla önerilmiştir ah, 99. Yöntem, Chia et al. 99 tarafından eletrile uyarılan aslara ait parametrelerin estirilmesinde Chia et al. 99; Wen ve Durrant- Whyte 992 tarafından ise model bazlı çolu sensör füzyonunda Wen and Durrant Whyte, 992 ullanılmıştır. Bu yöntemde lasi Kalman filtresi algoritmasında herhangi bir değişili yapılmaz. Durum ısıtları gözlem denlemine müemmel ölçüm sıfır varyanslı olara elenir. Buna göre, gözlem denlemi 6

17 y d G = D Θ w + m 2.29 olaca şeilde değiştirilir. Bu yöntem ile gözlem denlemlerinin boyutu artırılmata ve gözlem ovaryansı teilleştirilmetedir. Kalman filtrelemesinde daha büyü boyutta ve teil ovaryans matrisi ullanılmasının nümeri ararlılı sııntılarına yol açabileceği rapor edilmiştir Simon and Chia, Simon-Chia ısıtlı Kalman filtresi izdüşüm metodu Simon ve Chia 22 tarafından önerilen bu yöntemde Simon and Chia, 22 durum ısıtları, Kalman filtrelemesinin her iterasyonunda yapılan estirimin ısıt yüzeyine izdüşümünün alınması ile uygulanır. Bu yöntem sayesinde gözlem denlemlerinde herhangi bir boyut artışı ya da gözlem ovaryansı teilleşmesi sorunu oluşmadığından nümeri stabilite sııntıları yaşanmaz Simon and Chia, 22. P D ~ N Θˆ Θ, P, anında Kalman filtresi tarafından yapılan estirimi, Eş de doğrusal durum ısıtlarını belirtsin. Simon-Chia izdüşümü üç şeilde yapılara ısıtlı estirim elde edilir: Masimum olasılı yöntemi: P Θ D ~ N Θˆ, P dağılımından: P Θ Z Θˆ Θˆ : exp Θ P Θ 2.3 olur. Buna göre P Θ D dağılımından ısıt oşullarını yerine getiren en yüse olasılılı nota arg max Θ { ˆ Θ Θ P Θ Θˆ } 7

18 D eθ = d e 2.3 optimizasyonu yardımı ile bulunur. Optimizasyona ait Lagrange denlemi yazılır ve gereen türevler alınırsa: ˆ ˆ L = Θ Θ P Θ Θ + 2λ D Θ d L = 2P Θ Θˆ + 2D Θ λ λ L = D Θ d 2.32 bulunur. Buradan Lagrange çarpanı ve estirim sırasıyla Θ λ = D PD = Θ D Θˆ ˆ PD D PD d D Θˆ d 2.33 bulunur Simon and Chia, 22. En üçü are hata yöntemi Bu durumda ısıt oşulunu sağlayan notalar arasında en üçü are hata belenen değerine sahip olan nota bulunacatır. Eş. 2.3 bu optimizasyonu ifade eder. arg min Θ E [ Θ Θ Θ Θ ] D eθ = d e 2.34 Optimizasyona ait Lagrange denlemi yazılır ve gereen türevler alınırsa: [ Θ Θ Θ Θ ] + 2 D Θ d L = E λ Θ L = 2 E[ Θ Θ ] + 2D λ = 2 Θ Θ + 2D λ λ L = D Θ d 2.35 bulunur. Buradan Lagrange çarpanı ve estirim sırasıyla : çıacatır. Θ λ = D D = Θ D Θˆ ˆ D D D d D Θˆ d

19 Genel izdüşüm yöntemi Bu yöntemde Simon ve Chia, Kalman filtresi estiriminin Eş yardımıyla ısıt yüzeyine izdüşümünü bulur. Eş 2.37 de W pozitif tanımlı ve simetri bir ağırlılandırma matrisidir. W problem ihtiyaçlarına bağlı olara seçilebilir, faat seçilişinde diatli olunmazsa, ısıtlı estirim ovaryansı ısıtsız estirim ovaryansının üzerinde olacatır. Chia, 99 arg min Θ { ˆ Θ Θ W Θ Θˆ } D eθ = d e 2.37 Genel izdüşüm estirimi masimum olasılı yönteminde gösterildiği gibi yapılara ısıtlı estirim Eş ile bulunur. Θ = Θ ˆ WD D WD D Θˆ d İzdüşüm ullanılara uygulan ısıtlar aşağıda belirtilen özellilere sahip olacatır Yansızlı: İzdüşüm ile bulunan ısıtlı estirimler yansızdır. İspat: E[ Θ ] = E[ Θ ] ˆ E[ Θ ] = E[ Θ WD D WD D Θˆ d ] = Θ ˆ WD D WD D E[ Θˆ ] d = E[ Θ ] Q.E.D. İspat: İzdüşüm ile bulunan ısıtlı estirimlerden, masimum olasılı yönteminin estirim ovaryansı ısıtsız Kalman filtresi estirim ovaransının altındadır. Θ Θ = Θ P isitli = E[ Θ Θ Θ ˆ + PD D PD Θ Θ ] ve D Θˆ d D Θ d 9

20 Θ Θ K = PD = I K Θ D PD Θˆ D Buna göre: P isitli = I K P I K olacatır. Aynı zamanda: İspat: I K P I K = I K P I K P I K = P KP PK + KPK KPK = PD = PD D D PD PD D D PD P D PD D P = P PD D PD D = PK Q.E.D. Buna göre P isitli = I K P olacatır. P simetri ve pozitif tanımlı olduğundan KP de pozitif tanımlıdır. Dolayısıyla ısıtlı Kalman filtresinin ovaryansı ısıtsız filtreden düşütür Simon and Chia, 22. Açılama [m2]:??? İzdüşüm ile bulunan ısıtlı estirimlerden masimum olasılı yönteminin estirim ovaryansı, diğer tüm W ağırlılandırma matrisleri ile yapılaca izdüşümlerin estirim ovaryansının altındadır. K= WD W isitli D WD D P = I K P I K K P P isitli = PD D PD P D P = I K P I K P 2

21 W isitli P P P isitli = I K I K = K K p p P K K P I K I K p p K K p = PD D PD D WD D WD D K K p tüm W matrisleri için pozitif yarı tanımlıdır Anderson, 979. Dolayısıyla W isitli P isitli P P Q.E.D. Simon and Chia, Bitmead-Ko ısıtlanmış Kalman filtresi Bu yöntem model parametrizasyon değişimi yönteminin otomati hale getirilmesi anlamında düşünülebilir. Ko ve Bitmead 27 çalışmalarında, izdüşüm yöntemleri ile optimal estirim ısıtlamasının sağlanamayacağını göstermiştir. Argümanları, aşağıdai gözleme dayanır: Kısıtlı Kalman durum denlemi terar yazılır ve ısıt denleminin - ve anları arasında değişmediği varsayılırsa, Eş. 2.4 da gösterilen eşitlilerinin bir arada sağlanması gereir. Bu durum D W e = d oşulunu zorunlu ılar. Dolayısıyla, doğrusal eşitli ısıtları işlem e gürültüsünü de ısıtlayıcı yapıda olma zorundadır. Simon ve Chia 22 yönteminde olduğu gibi yalnızca estirimin ısıt yüzeyine projesiyonu değil, dağılımların tamamının filtreleme sırasında ısıtlanması geremetedir. Ko ve Bitmead bu duruma betimleyici Kalman filtresi descriptor Kalman filter tabanlı bir çözüm önermiştir Ko and Bitmead, 27. Θ = F Θ + W 2.39 D e e eθ = e 2.4 D Θ = d d 2

22 Betimleyici Kalman Filtresi Betimleyici Kalman filtresi denlemleri Eşitliler 2.4 ve 2.42 de gösterilmiştir. Betimleyici Kalman filtresinde gerçe durum değişeni olan y Θ parametresi betimleyici vetör adını alır; sistemin = EΘ betimleyici vetörün bir E matrisi ile çarpımı sonucu elde edilir. Durum değişeni, betimleyici vetörden düşü bir boyuttadır Ko and Bitmead, 27. E Θ + = FΘ + W 2.4 z = GΘ + V 2.42 Kısıtlı Kalman Filtresi anım: Ranı r olan herhangi bir matris N N N= N N > N R nxm matrisi için aşağıda belirtilen ii şartı da birden sağlayan n r xn R matrisi olara tanımlanmıştır: Ko and Bitmead, 27 N matrisi doğrusal bağımlı satırlara sahip ise N matrisi vardır ve teil değer ayrışımı singular value decomposition yapılara N matrisi N matrisinin N =U 2 şelinde elde edilebilir. Burada, teil olmayan herhangi bir matristir; U 2 Eş de gösterilen teil değer ayrışımından bulunur. Ko ve Bitmead matrisini birim matris olara ullanmıştır. D matrisi tam satır ranına sahip olduğundan dolayı sahiptir. Dolayısıyla V N = [ U U 2 ] 2.43 V 2 D matrisi doğrusal bağımlı satırlara D matrisi bulunabilir. Kalman durum denlemleri D ile çarpılıp, durum ısıt denlemi ile birleştirilirse aşağıda verilen betimleyici Kalman denlemleri elde edilir. E Θ = F Θ + EW

23 z = G Θ + V 2.45 D D F E =, F = D 2.46 Bu denlemlerde Θ betimleyici vetör ve y = D Θ betimleyici sistemin durum değişenini ifade eder. Aynı zamanda D aresel bir matris olup tersi D + D D = D D ile bulunur Ko and Bitmead, 27. Buradan: elde edilir. Kalman durum denleminden: D Θ = y ve Θ + = y + D 2.47 Eş yardımıyla: y + = D Θ + = D FΘ + W 2.48 Θ + = D D FΘ + W = PN D FΘ + W 2.49 bulunur. PN D = D D = U 2U 2 D ısıt matrisinin sıfır uzayına null space ortogonal izdüşüm matrisidir. Ko-Bitmead yönteminde tüm Kalman estirim ve ovaryansları P N D ile çarpılara durum ısıtları uygulanır Doğrusal eşitli ısıtlarına yöneli bir benzetim çalışması Bu bölümde ısıtlı Kalman filtreleri basit bir ara hedef taip örneği üzerinde test edilere, performansları arşılaştırılacatır. Hedef taip benzetiminde, ii boyulu artezyen uzayda tanımlı doğrusal bir yol üzerinde hareet eden bir aracın onum ve hızının estirilmesi amaçlanmıştır. Kestirim algoritmaları olara ısıtsız ve ısıtlı Kalman filtreleri + D ifadesi Moore-Penrose matris tersini ifade eder. 23

24 ullanılmıştır. Kısıtlı filtreler, aracın estirilen onumunun Şeil 2.2 de gösterilen doğru üzerinde ve hızının bu doğru doğrultusunda olması şartını sağlayaca şeilde tasarlanmıştır. Şeil 2.2 Doğrusal yolda hareet eden araç Araç hareetine ait durum ve gözlem denlemleri Eşitliler 2.5 ve 2.5 de verilmiştir. Kestirim parametresi aracın esenlerdei onum ve hızlarını belirler. Ψ = [x v y ] x v y Denlemlerde geçen parametresi ölçüm alma periyodunu belirtir. Ölçümlerin 3 saniyede bir alındığı varsayılmıştır. W, sıfır ortalamalı, ovaryansı öşegen elemanları [4 4 ] olan Q öşegen matrisi Koşegen[4 4 ] ile modellenen normal dağılımlı işlem gürültüsünü; V ise sıfır ortalamalı, ovaryansı Koşegen[9 9] olan R matrisi ile modellenen normal dağılımlı gözlem gürültüsünü ifade eder. Aracın yol üzerinde hareet etmesi ısıtı Ψ + = Ψ + W 2.5 z = Ψ + V 2.5 DΨ = d denlemi ile ifade edilir. Bu denleme ait matrisler Eşitliler 2.52 ve 2.53 ile tanımlanmıştır. Yol eğim açısı o Θ = 6 alınmıştır. 24

25 tan Θ D = 2.52 tan Θ Aracın başlangıç estirim ve bu estirime ait ovaryans sırasıyla: Ψ = d = 2.53 [ 7 ] P = Köşegen[ ] alınmıştır. Araç hareeti Çizelge 2. de gösterilen filtreler tarafından, ölçüm örneği boyunca taip edilmiştir. Monte Carlo oşusu sonucunda filtrelerin toplam senaryo için yapmış olduğu etin değer rms estirim hataları Çizelge 2. de gösterilmiştir. Çizelge 2.. Filtre estirim hataları Monte Carlo Sonucu RMS x eseni onum hatası metre RMS x eseni hız hatası metre/saniye RMS y eseni onum hatası metre Kalman Filtresi Müemmel Ölçüm Filtresi İzdüşüm Filtresi Masimum Olasılı İzdüşüm Filtresi En Küçü Kare Hata Ko-Bitmead Filtresi RMS y eseni hız hatası Açılama [m3]: ablonun yorumlanmasına ilişin bir aç cümle onması iyi olur Çizelge 2. de ölçüm adımı ortalama etin değer onum ve hız hatalarının, Monte Carlo oşusu ortalaması gösterilmetedir. Çizelgede ısıtlı estiricilerin Kalman filtresinden daha düşü hata yapmış olduğu gözlenebilir. Kısıtlı filtreler arasında estirim performansı açısından herhangi bir far görülmemiştir. eori olara Ko-Bitmead filtresinin en iyi performansı vermesi, ardından sırasıla masimum olasılı riterini 25

26 ullanan izdüşüm filtresinin daha sonra en üçü are hata riterini ullanan izdüşüm filtresinin ve en son olara müemmel ölçüm ullanan ısıtlı filtenin gelmesi belenmele beraber tüm senaryo ortalaması sonuçlarında başlangıç ısıtlı estirimlerine ait ufa performans farlılılarının aybolduğu gözlenmiştir Doğrusal olmayan ısıtlar Kalman filtrelemesinin parametre estiriminde ullanılacağı sistem dinamiğinin, her an için Eş ile gösterilen doğrusal olmayan eşitliği sağladığının bilindiği varsayılmıştır. Burada amaç Kalman filtresi estirimlerinin de Eş 2.54 ile uyumlu sonuçlar üretmesidir. D Θ = 2.54 e d e Çözüm yöntemleri Doğrusallaştırma Yöntem EKF algoritmasında olduğu gibi doğrusal olmayan ısıt denleminin aylor açılımı yardımıyla doğrusallaştırılması esasına dayanır eşitliğinin Kalman estirimi etrafında birinci dereceden aylor açılımı ullanılara: D Θ ˆ + D Θˆ Θ Θˆ d 2.55 e e e D Θˆ Θ d D Θˆ + D Θˆ Θ ˆ 2.56 e e e e Yazılır Simon and Chia, 2. Eş doğrusallaştırılmış ısıt denlemini ifade eder. Doğrusallaştırılmış ısıt denlemi ullanılara bir öncei bölümde gösterilen yöntemler ısıtlı estirimi elde etme için uygulanabilir. Doğrusallaştırma hataları Geeter et al. 997, doğrusal olmayan durum ısıtlarının doğrusallaştırma yolu ile uygulanmasında ii tür hatadan dolayı estiriminin gerçe parametreye asla 26

27 yaınsamayabileceğini göstermiştir. Geeter et al. 997, hatalardan birincisini ırpma hatası truncation error olara adlandırır. Bu hata aylor açılımının doğrusal olmayan fonsiyonu tam anlamıyla arşılamamasından aynalanır. Kırpma hatası döngülü EKF Iterated EKF yönteminde olduğu gibi, ısıt uygulamasının, bulunan ii ardışı ısıtlı estirim arasındai far istenilen düzeye inene adar terar edilmesi ile minimize edilebilir. İinci hata, taban notası hatası base point error olara adlandrılmıştır. aban notası hatası, ısıt denlemi aylor açılımının gerçe parametre etrafında değil, Kalman estirimi etrafında yapılmasından aynalanır. Bu hatadan ötürü, ısıtlı Kalman filtresi gerçe parametreye asla yaınsamayabilecetir. Şeil 2.3 ırpma ve taban notası hatalarını göstermetedir. Şeil 2.3 aban notası ve ırpma hataları Geeter et al., 997 dan alınmıştır. Şeil 2.3 te esili çizgiler ile gösterilen ısıt uygulaması iterasyonları ile ırpma hatasının azaltılabileceği faat taban notası hatasından dolayı doğrusallaştırılmış ısıt yüzeyin gerçe parametreyi apsamayabileceği gösterilmiştir. Geeter et al. 997, bu probleme Smoothly Constrained Kalman Fitler SCKF algoritması ile yanıt vermiştir. SCKF de sert durum ısıtları yumuşa ısıtlara çevrilmete, yumuşa ısıtlar daha sonra iteratif bir yapı içerisinde daraltılmatadır. 27

28 Monte Carlo Yöntemi e notadan aylor açılımı yapmanın saıncaları Geeter et al 997 tarafından ortaya onulmuştur. Bu duruma çözüm olara Monte Carlo yalaşımları ullanılabilir. Kestirim dağılımından N tane rasgele parçacı üretilmesi ve bu parçacıların ısıt yüzeyine izdüşümlerinin yapılması ile ısıtlı olasılı dağılımının bir yaınsaması elde edilebilir. Kısıtlı estirim ve ovaryans, daha sonra izdüşümü alınan parçacıların ortalama ve ovaryansları bulunara hesaplanır. Bu yöntemde, parçacıların hepsinin ısıt denlemini sağlamasına arşın, parçacılara dayanara yapılan estirimin ısıt denlemini sağlayacağı garanti edilemez. Kullanılan parçacı sayısı arttıça yapılan estirimin alitesi de artacatır Sigma notası izdüşümü U tabanlı ısıt Monte Carlo yönteminde başarılı ısıtlama anca yüse sayıda parçacı ullanara gerçeleştirilebilmetedir. Kullanılan parçacı sayısını azaltma amacıyla unscented transform ullanılabilir. U ile Kalman estiriminden elde edilen sigma Eş. 2.6 notalarının ısıt yüzeyine izdüşümü yapılara ısıtlı estirim ve ovaryans elde edilebilir Doğrusal olmayan eşitli ısıtlarına yöneli bir benzetim çalışması Bu bölümde ısıtlı Kalman filtreleri basit bir ara hedef taip örneği üzerinde test edilere, performansları arşılaştırılacatır. Hedef taip benzetiminde, ii boyulu artezyen uzayda tanımlı dairesel bir yol üzerinde hareet eden bir aracın onum ve hızının estirilmesi amaçlanmıştır. Kestirim algoritmaları olara ısıtsız ve ısıtlı Kalman filtreleri ullanılmıştır. Kısıtlı filtreler, aracın estirilen onumunun Şeil 2.4 de gösterilen daire üzerinde olması ve hızının bu daireye teğet geçmesi şartını sağlayaca şeilde tasarlanmıştır. 28

29 Şeil 2.4 Dairesel yolda hareet eden araç Araç hareeti Eş ullanılara oluşturulmuştur. Hareet senaryosu oluşturuluren işlem gürültüsü ihmal edilere aracın her hareet anında daire üzerinde alması sağlanmıştır. Eş 2.57 de, ölçüm alma periyodunu; w ise açısal dönüş hızını belirtir. Aracın saniyede 2 o dönüş yaptığı ve ölçümlerin 3 saniyede bir alındığı varsayılmıştır. w sinw sinw w cosw Ψ + = Ψ 2.57 sinw w cosw cosw w sinw cosw - Aracın yol üzerinde hareet etmesi ısıdı D Ψ = d denlemi ile ifade edilir. Bu denleme ait ısıt fonsiyonları Eşitliler 2.58 ve 2.59 ile tanımlanmıştır. Denlemlerde r aracın hareet ettiği dairenin yarıçapını belirtir. 2 2 Θ + Θ3 D = Θ3 Θ Θ 2 r d = 2.59 Θ2 29

30 3 Araç taibi Eşitliler ile belirtilen esi zamanlı beyaz gürültü ivmelenme modeli ullanılara Kalman ve ısıtlı Kalman filtreleri ile gerçeleştirilecetir. Bu durum açıça filtrelemede model uyumsuzluğuna işaret eder. Model uyumsuzluğu altında taibin sağlanması için tüm filtreler için işlem gürültüsü ovaryansı yüse tutulmuştur. Gözlem denleminde V sıfır ortalamalı, ovaryansı Koşegen[9 9] olan R matrisi ile modellenen gözlem gürültüsünü ifade eder. W + Γ Ψ = Ψ V z + Ψ = 2.6 Γ = 2 / 2 / ,, ~ y x N N W σ σ 2.63 Kestirimler sırasında = /,3.5 /, s m N s m N W ullanılmıştır.filtre başlatması ii nota arası far alma two point differencing Bar-Shalom et al.,2 yöntemi ullanılara yapılmıştır. [ ] 7 = Ψ. Araç hareeti Çizelge 2.2 de gösterilen filtreler tarafından, 45 ölçüm örneği boyunca taip edilmiştir araç 9 o dönüş gerçeleştirmiştir. Monte Carlo oşusu sonucunda filtrelerin toplam senaryo için yapmış olduğu etin değer rms estirim hataları Çizelge 2.2 de gösterilmiştir.

31 Çizelge 2.2. Filtre estirim hataları Monte Carlo Sonucu RMS x eseni onum hatası metre RMS x eseni hız hatası metre/saniye RMS y eseni onum hatası metre RMS y eseni hız hatası metre/saniye Kalman Filtresi Müemmel Ölçüm Filtresi İzdüşüm Filtresi Masimum Olasılı İzdüşüm Filtresi En Küçü Kare Hata Ko-Bitmead Filtresi 5 Partiüllü Monte Carlo Sigma Notası İzdüşümü Çizelge 2.2 de görüldüğü üzere ısıtlı filtreler Kalman filtresinden daha başarılı estirimler gerçeleştirmiştir. En iyi estirim Monte Carlo yöntemi ile sağlanmıştır. Monte Carlo yönteminin ardından performans açısından sigma notası izdüşümü yöntemi gelir. Doğrusallaştırma ullanan ısıtlı filtrelerin performansı, bir öncei bölümde verilen doğrusal durum senaryosuna benzer şeilde eşdeğer çımıştır. Hem Sigma notası izdüşümü hem de Monte Caro yöntemi, doğrusallaştırma ullanan ısıtlı filtrelere ıyasla ço daha yüse işlem yüü geretirir. Monte Carlo yönteminde 5 ere, sigma notası izdüşümü yönteminde ise 8 ere izdüşüm işlemi gerçeleştirilir. Dolayısıyla, bu yöntemlerin sırasıyla 5 ve 8 at daha yüse işlem gücü geretireceği düşünülebilir. Kestirim performansı açısından değerlendirildiğinde, ilgilenilen senaryoda bu derece işlem mitarını arttıraca bir azancın ortaya çımadığı söylenebilir. 3

32 3. KARASAL HEDEF AKİP SİSEMİ 3. Hedef aibi Hedef taibi en basit anlamda hareet eden bir nesnenin uzatan alınan gözlemler yardımıyla durumunun pozisyon, hız, ivme, açısal hız vb. estirilmesidir Bar-Shalom 2. Otomati hedef taip sistemleri, radar, sonar ve benzeri sensörlerden alınan ölçümleri ullanara, gözlem yaptıları saha içerisinde hareet eden nesnelerin tespit ve taibinden sorumludur. Hedef taip sistemlerinin ullandığı sensörler doğaları gereği hatalı, esi sensörün gözlem alanında hareet eden bir hedeften ölçüm alamaması durumu - misdetection ve fazla sensörün gözlem alanında hedef olmayan bir bölgeden yanlış ölçüm çıarılması durumu, yanlış alarm - false alarm ölçümler üretir. Ölçümler, hedef taip sistemleri tarafından hedeflerle ilgili olabilece ölçümler ve parazit yanılar şelinde ii sınıfa ayrılır. Hedeflerle ilgili olabilece ölçümler ullanılara izler başlatılır ve başlatılmış izlerin estirim güncellemesi yapılara hedef taibi gerçeleştirilir. aip edilen bir iz ile belli sayıda estirim adımı boyunca eşleştirilebilece bir ölçüm bulunamıyor veya önceden arar verilen bir urallar ümesine bağlı olara hedefe ait izin sona erdirilmesi gereiyorsa örneğin, hedef estirim belirsizliğinin sensör sistem apasitesini aşaca seviyelere çıması veya daha sistemin iz apasitesinin sınırları yüzünden ço önem arz eden hedeflerin taibine yönelinmesi vb. durumlarında taip listesinden iz düşürülür. Şeil 3. de otomati bir hedef taip sistemine ait blo şema gösterilmiştir. Şeilde gösterilen hedef taip sistemi, iz başlatma ve hedef taip modülü olma üzere ii ana blotan meydana gelir. İz başlatma modülü, hedef taip sistemi tarafından ullanılan sensörlerin sağladığı ölçüm ve hedef taip modülü tarafından taip altında bulunan izlerin ölçümler ile eşleştirme bilgilerini ullanara gözetim altındai sahaya giren yeni hedeflerin tespit ve hedef taip modülüne bildirilmesinden sorumludur. Hedef taip modülü, yeni alınan ölçümlerin taip altındai izler ile eşleştirilmesi, izlerin estirim güncellemelerinin gerçeleştirilmesi ve taibi sona ermesi gereen izlerin hedef taip listesinden düşürülmesinden sorumludur. Hedef taip modülü ullanıcı arayüzüne güncelleştirilmiş iz 32

33 onumlarını rapor eder ve iz başlatma modülüne iz-ölçüm eşleştirme bilgisini iletere, hâlihazırda taip edilen hedeflerden yeni izlerler başlatılmasını engeller. Açılama [G4]: Ölçümlerle iz başlatma/hedef taip modülleri arasında veri ilişilendirme benzeri bir modül daha olmalı... Şeil 3. Otomati hedef taip sistemi blo şeması Bu tez çalışmasında arasal bir hedef taip sistemi tasarlanmıştır. Hedef taip sisteminin enformasyon aynağı olara bir GMI radar ullanılmıştır. Hedef taibi, estirimde VS- IMM algoritması altında çalışan unscented Kalman filtreleri ile dinami hareet ve topografi ısıt modelleri estirimde gerçeleştirilmiştir. Ölçüm-hedef eşleştirilmesi, atama yöntemi ile açı arttırma algoritması ullanılara yapılmıştır. İz başlatma 2/2 ve 2/3 uralı; iz sonlandırma, dört ardışı estirim adımında iz-ölçüm eşleştirilmesi yapılmaması uralına göre gerçeleştirilmiştir. Bu bölümde hedef taip sistem modülleri detaylı olara açılanacatır. 3.2 GMI Radar ez çalışmasında modellenen ara hedef taip sistemi, gözetleyici olara bir GMI radar ullanmatadır. Kara gözetlemesinde SAP işlemeli GMI uça radarları önemli bir sensör tenolojisidir. Koller et al. 25 GMI radar, Doppler etisi yardımıyla arada hareet halinde olan araçların tespitini gerçeleştirir. Özellile SAR tenolojisiyle beraber ullanıldığında, hem hareetli hem de durağan haldei hedeflerin tespit ve taibi 33

34 gerçeleştirilebilir. GMI tenolojisinin ara savaşlarında sağladığı avantaj hem Kosova hem de iinci örfez savaşında görülmüştür. İinci örfez savaşında Ira ara uvvetleri şu iilem ile arşı arşıya almıştır: Ira uvvetleri, bir araya gelere hareet etmeleri durumunda havadan tespit edilere yo edilme; bölgeye yayılıp amufle halde sabit beleme durumundaysa oalisyon ara birlileri tarafından teer teer yo edilme veya atlatılma rislerinden birini seçme durumunda bıraılmıştır. Özellile hava saldırısı orusu Ira birlilerinin ço sayıda aseri aracı ter etmesine neden olmuştur Dunn et al. 24. Şeiller 3.2 ve 3.3 te GMI radar eran görüntülerine ait örneler verilmiştir. Şeil 3.2 Yüse çözünürlülü radar ile arasal hedef gözetimi Dunn sunumundan alınmıştır Şeil 3.3 SAR + GMI radar görüntüsü Dunn sunumundan alınmıştır ez çalışmasında yapılan benzetimde ullanılan GMI radarın sinyal tabanında bir modellemesi yapılmamış; bunun yerine ullanılan radarın bilinen tespit ve yanlış alarm 34

35 olasılılarına göre ölçümler ürettiği varsayılmıştır. Hava radarının sinyal işleme ünitesi tarafından, gereen oordinat değişimlerinin yapılması suretiyle örneğin, World Geodetic System 84 WGS84 oordinatlarında alınan GMI ölçümlerinin, Universal ransverse Mercator UM oordinat sisteminde olduğu gibi artezyen bir oordinat sistemine dönüşümünün sinyal işleme birimi tarafından gerçeleştirilere hedef taip sistemine atarılması yoluyla oluşturulan GMI radar ölçümlerinin, ii boyutlu artezyen bir oordinat sisteminde, radar platform izdüşümüne göre polar olara alındığı varsayılmıştır. Bu durumda, GMI ölçümleri bilinen radar onumu referans alınara bulunaca menzil, erteriz ve menzil oranından range rate meydana gelir. R= ξr, ς r bilinen GMI radar izdüşüm onumunu metre, x = ξ, ς anında x hedefinin onumunu metre ve ξ &, ς& x hedefinin hızını metre/saniye belirtme üzere x hedefinden anında alınması gereen z ölçümü z = H x + w 3. ξ ξ r ς ς r ς ς 3.2 H x = a tan r ξ ξ r ξ ξr ξ& ξ& r + ς ς ς& ς& r r ξ ξ r ς ς r şelinde elde edilir. Bulunan ölçümde menzil metre, erteriz radyan ve menzil oranı metre/saniye cinsinden olacatır. Eş. 3. de ullanılan w gözlem gürültüsünü ifade etmete olup, radarın yapmış olduğu menzil, erteriz ve menzil oran hatalarından meydana gelir. Ölçüm hatalarının birbirlerinden ve hedef onumundan bağımsız, normal dağılımda olduğu varsayılmıştır. Her bir ölçüm anında, radarın gözlem sahasında hareet eden hedeflerden ölçüm gelip gelmeyeceğine arar verme amacıyla, her bir hedef için sıfır ile bir arasında düzgün dağılımdan rasgele bir sayı oluşturulur. Oluşturulan sayı GMI radarın tespit olasılığının 35

36 altında ise o hedefe ait ölçüm Eşitliler 3. ve 3.2 ullanılara bulunur. Bulunan ölçümün menzil oranı GMI radarın tespit edebileceği minimum menzil oranından yüse ise, ölçüm gözlemler listesine atılır. GMI radar, hedeflerden oluşturulan ölçümlerin yanı sıra parazit yanılar clutter da üretebilecetir. Parazit yanıların radarın gözetim sahası içerisinde düzgün bir şeilde dağıldığı varsayılmıştır. Parazit yanı oluşturuluren, radarın gözetlediği bölge içerisinden düzgün dağılımdan rasgele çeilen ξ, ς onumunda bir hedef varmış gibi menzil ve erteriz ölçümleri oluşturulur. Menzil oranı GMI radarın minimum menzil oran değeri ile arasal hedeflerin yapabileceği masimum hız 6 metre/saniye = 26 m/saat alınmıştır arasında düzgün dağılımdan bir sayı çeilere oluşturulur. Bulunan menzil oranına daha sonra eşit olasılıta pozitif veya negatif olma üzere rasgele bir yön atanır. Oluşturulaca parazit yanı sayısı Poisson yalaşım modeli ullanılara elde edilir Bar-Shalom, 995. Bu modele göre her bir ölçüm adımında oluşturulaca parazit yanı sayısı, ortalaması GMI radarın ortalamada oluşturması belenen parazit yanı sayısına eşit olan bir poisson dağılımından rasgele bir sayı çeilere elde edilir. Örneğin, GI radarın her bir ölçüm için ortalama parazit yanı üreteceği tahmin ediliyorsa, ortalaması olan bir poisson dağılımından rasgele sayı çeilir ve çeilen sayı adar parazit yanı o ölçüm adımında oluşturulur. Koller et al. 25 çalışmasında, NAO Strong Resolve 22 tatbiatında Fransız HORIZON heliopterinin yapmış olduğu GMI ölçümlerinin analizinden HORIZON radarının tespit olasılığının P d, probability of detection P d =.9, yanlış alarm olasılığınınsa P f, probability of false alarm P f =./m 2 olduğunu estirmiştir. Bu tez çalışmasında ullanılan GMI radar için de aynı tespit ve yanlış alarm olasılı değerleri ullanılmıştır. ez çalışmasında GMI radarın m x m ebadında bir sahada hareet eden 9 hedefin taibini gerçeleştirdiği varsayılmıştır. Şeil 3.4 te radar tarafından gözetlenen saha, bu saha üzerinde bulunan yol haritaları ve hedef hareet senaryoları gösterilmetedir. Bu parametrelere göre Şeil 3.4 ile gösterilen gözetim sahasından her bir ölçüm adımında ortalamada parazit yanı ve 8 hedeften gelece ölçüm olma üzere 36

37 yalaşı ölçüm radar modülü tarafından oluşturulara, hedef taip ve iz başlatma modüllerine atarılır. -.6 x 5 Yol Haritasi Y oordinatlari X oordinatlari x 4 Şeil 3.4 GMI radar tarafından gözetlenen saha, bu saha üzerindei yollar ve hedef hareetleri 3.3 Hedef aip Modülü Hedef taip modülü, yeni alınan ölçümlerin taip altındai izler ile eşleştirilmesi, izlerin estirim güncellemelerinin gerçeleştirilmesi ve taibi sona ermesi gereen izlerin hedef taip listesinden düşürülmesinden sorumludur. Modül, üç ana alt modülden oluşur. Bu alt modüller sırasıyla: Veri ilişilendirme alt modülü Kestirim alt modülü İz sonlandırma alt modülü 37

38 olara adlandırılır. ez anlatım aışının doğrusallığı açısından hedef taip modülünün, iz başlatma modülü ardından açılanması geremetedir. Buna rağmen, hedef taip modülünde iz başlatma modülü ile orta bazı yöntemler ullanılacatır. Bu yöntemlerin hedef taip modülünde açılanmasının daha doğal olacağı düşünülmüş, bu yüzden tez anlatımında aış sıralaması bozulmuştur. Bu bölümde iz başlatma modülü tarafından hâlihazırda bir iz listesinin oluşturulmuş olduğu varsayılmalıdır Kestirim alt modülü Bu modül, izlerin yeni alınan gözlemler ile güncellenere, estirimlerin yapılmasından sorumludur. Modül, veri ilişilendirme modülü tarafından taip altındai izler ile bu izlere ait gözlemlerin doğru bir şeilde eşleştirildiğini varsayar. Bu bölümde, öncelile hedef hareet ve radar gözlem modelleri yazılaca, ardından VS-IMM algoritması ile değişen yapılı ço modlu filtreleme yöntemi açılanaca, son olara da arasal hedef taibine yöneli topografi ısıt modlarından bahsedilecetir Hareet ve gözlem modelleri Doğrudan ayrı zamanlı inemati model direct discrete time inematic model Bar- Shalom et al. 2 ullanılır ve taip edilen hedefin ii boyutlu artezyen düzlemde doğrusal hareet yaptığı varsayılırsa hedef hareetine ait durum denlemi Eş. 3.3 ile yazılabilir. x + = Fx + Γv 3.3 Eş. 3.3 te v bilinen bir Q ovaryansına sahip beyaz gürültü sürecini belirtmetedir. x hedefin artezyen düzlemdei onum ve hızlarını içeren durum vetörüdür. İinci dereceden beyaz ivmelenme hareet modelinde ölçümler arası geçen süreyi belirtme üzere F ve Γ matrisleri: 38