İçerik-temelli ağlar üzerinde analitik hesaplar

Transkript

1 itüdergii/c fen biimeri Cit:5, Sayı:1, Kaım 2007 İçeri-temei ağar üzerinde anaiti heapar Duygu BALCAN *, Ayşe ERZAN İTÜ Fen Biimeri Entitüü, Fizi Mühendiiği Programı, 34469, Ayazağa, İtanbu Özet Bu maaede içeri-temei ağar üzerinde, ağın topooji özeierini beireme için, ortaamaaan yaaşımarıya yapıan anaiti heaparın güveniiriği tartışıacatır. İçeri-temei ağarı, tanıma ve bağanma meanizmaarının beireyici oduğu ontro çizgeerinin topooji özeierini tavir etme için önermişti. Birço armaşı ağ yapıının bu tür enformayon payaşımına dayaı bir prenibe göre inşa edidiğini öyeyebiiriz. Örneğin gen ifadeinin düzenemeinde, anahtar/iit oara niteeyebieceğimiz eemanarın özeeşmiş etieşimeri öz onuudur. Bu ebepe modeimizin biyooji çizgeer de dahi oma üzere, birço gerçe ağ yapıının taviri için uygun oduğunu düşünüyoruz. İçeri-temei ağımızda, ağın düğümerini bir ya da birden faza ratgee dizi ie eşeştirip, düğümer araındai etieşimeri onara atanan dizierin birbireri içinde teraranma oşuu atında inşa ediyoruz. Böyece, bu dizierin uzunuarı ve içerieri, ortaya çıaca oan çizgenin tüm topooji özeierini beiremetedir. Düğüm çifteri araındai bağanma oaııarının heabında yapıan ortaama-aan yaaşımarının ie, dizierin uzunu dağıımarına bağı oara, varıan onuçarda ağın gerçe özeierinden önemi farıaşmaara yo açabieceği görüüyor. Bu yaaşımarda, dizierin farı enformayon içerieri ihma edimete ve oaııar adece dizierin uzunuarı cininden ede edimetedir. Habui her onu dizi için, dizinin içerdiği farı embo ayıı e bir enformayon içermetedir. Burada ergiemeye çaışacağımız, abaaştırımış ortaama-aan türünden yaaşımarın, bei etrem durumarda, tavir etmeyi amaçadıarı ağın özeierinden uza onuçar verebieceğidir. Anca gerçe biyooji ağ yapıarının modeenmeinde arşımıza çıan uzunu dağıımarında ortaya çıan hataar hiçbir zaman burada ergieyeceğimiz örneerde oduğu adar büyü omamış, biai ortaama-aan yaaşımı imüayon onuçarına oduça yaın onuçar vermiştir. Anahtar Keimeer: Karmaşı ağ yapıarı, içeri-temei ağar, ortaama-aan yaaşımı. * Yazışmaarın yapıacağı yazar: Duygu BALCAN. bacand@itu.edu.tr; Te: (212) Bu maae, birinci yazar tarafından İTÜ Fen Biimeri Entitüü, Fizi Mühendiiği Programında tamamanmış oan "İçeri-temei ağarın özeieri" adı dotora tezinden hazıranmıştır. Maae metni tarihinde dergiye uaşmış, tarihinde baım ararı aınmıştır. Maae ie igii tartışmaar tarihine adar dergiye gönderimeidir.

2 D. Bacan, A. Erzan Anaytica cacuation on contentbaed networ Extended abtract Content-baed networ have been propoed (Bacan and Erzan, 2004; Mungan et a., 2005) to mode the topoogica propertie of compex networ buit on the principe of information haring, where the interaction between ytem component aume the imutaneou fufiment of a erie of contraint (Mezard et a., 2002). n content-baed networ, the contraint-atifaction probem i reaized by mean of a equence-matching rue between equence aociated with the node of a networ. n the cae of trancriptiona gene reguation, the trancription factor recognize pecia ubequence of DNA and bind them. Thi i one intance of contraint-atifaction, which can be reaized with a equence-matching rue between two different cae of equence (Bacan et a., 2006). Another exampe i the o caed the RNA interference (Bacan and Erzan, 2004), where equence-pecific gene iencing occur at the eve of pot-trancriptiona gene reguation. n our content-baed networ, n inear code are aociated with each node of the networ. For n=2, one of the equence aociated with the node repreent the ey-equence through which the node recognize other node, wherea the econd equence repreent the oc-equence through which the ame node i recognized. An interaction between a pair of node i etabihed if the ey-equence aociated with the firt node i repeated a an uninterrupted ubequence in the oc-equence aociated with the econd node. Thu, the ength ditribution of thee equence are the mot important parameter determining the topoogica propertie of the content-baed networ. n thi artice we wi dicu the vaidity of anaytica cacuation performed on the topoogica propertie of content-baed networ in the mean-fied approximation (Bacan and Erzan, 2007), by mean of two exampe. n thi mean fied approach (Mungan et a., 2005) the pair-wie connectivity probabiitie are ony function of the repective ength of the equence which mut atify an incuion requirement, and of the ize r of the aphabet from which the ymbo are drawn. Thi approximation ignore the correation between the overapping ubequence within a equence. Moreover the fuctuation in the information content of finite equence are negected. n Bacan and Erzan (2007), the correation between the edge co-incident on the ame node were ao ignored. n the firt exampe, the ey- equence of unit ength (thu, they conit of inge etter) are earched in oc-equence of an arbitrary fixed ength. Via thi impe exampe it i poibe to how that the probabiity that oc-equence wi be recognized by a ey-equence depend not ony on the ength of the oc-equence but ao on the number of ditinct ubequence embedded in it. At thi point the coare grained approximation negecting the fuctuation in the information content of the finite oc equence about their mean information content, mie the behavior of the in-degree ditribution. Thi error i in fact identica to negecting the correation between edge incident upon a given node. n the econd exampe, the ength of the ey equence are fixed at an arbitrary vaue, and the oc-equence are choen to be of ength =+1, one character onger than the ey-equence. n thi exampe, it i cear that the correation between the two ubequence of ength cannot be negected. t ha aready been hown (Guiba and Odyzo, 1981; Mungan et a., 2005; Mungan, 2007; Bige et a., 2004) that the connection probabiity of a eyequence depend on the hift-match number which meaure the auto-correation within a equence, in other word, the degree to which ucceive ubequence are correated with each other. We how here by an expicit and rather tranparent cacuation that, negecting thi correation yied out- and in-degree ditribution that are totay in error. The mean-fied approximation ued in the cacuation of the topoogica propertie of the doubetring mode (Bacan and Erzan, 2007) yied reut that are in good agreement with the imuation, ince i) the ength of the oc equence far exceed r, ii) the number of ditinct ubtring contained in any given oc tring i arge ( - >> r ) and iii) the fine tructure of the topoogica propertie are determined by the fact that there i a diribution of oc- and ey-tring ength. Keyword: Compex networ, content-baed networ, mean-fied approach. 42

3 İçeri-temei ağara anaiti yaaşımar Giriş İçeri-temei ağar (Bacan ve Erzan, 2004; Mungan vd., 2005; Bacan vd., 2006) tanınan/tanıyan veya anahtar/iit oara niteeyebieceğimiz türden eemanarın birbireriye etieşimerini ve bu etieşimer onunda ortaya çıan ağarın topooji özeierini tavir etme amacıya önerimiştir. Bu tür itemer biyoojide yaygın oara yer amatadır. RNA girişimi (RNA interference) -RNAi (Hannon, 2002) oara iimendirien tranripiyon onraı gen uturumaı bunun en çarpıcı örneerinden biridir. Bir başa örne gen ifadeinin i ontro notaı oan tranripiyone gen düzenemeinden (Abert vd., 2002; Wray vd., 2003) gemetedir. Burada tranripiyon fatörü oara iimendirien proteiner DNA üzerinde regüayon (promoter) bögei diye biinen öze dizieri tanıyıp bağanmata ve gen ifadeinin düzenenmeine atıda buunmatadırar. Bugüne de en ayrıntıı biçimde çaışımış ve haında en ço veri buunan Maya nın (Saccharomyce cereviiae) gen düzeneme ağını modeeme için önerdiğimiz (Bacan vd., 2006) çift-dizii içeri-temei ağ modeinde, çizgedei her düğüm, biri anahtar diğeri iit vazifei gören, orta bir afabeden geişigüze türetien ii dizi ie eşeştirimetedir. Eğer bir anahtar dizi bir iit dizinin içinde en az bir ere teraranıra, anahtar dizinin eşeştiridiği düğümden iit dizinin eşeştiridiği düğüme doğru bir enar yereştiriere ağ ouşturuur. Böyece, bu dizierin birbireri içinde teraranma oaııarı ii düğüm araındai bağın (enarın) ouşma oaıığına arşıı gemetedir. İçeri-temei mode ağar üzerinde yapıaca anaiti heapar düğümer araındai bağanma oaııarının, yani anahtar-dizierin iit-dizier içinde teraranma oaııarının, heabıya başama zorundadır. Daha önce yayınanma üzere unuan bir çaışmada (Bacan ve Erzan, 2007) içeri-temei ağarın (Bacan ve Erzan, 2004; Mungan vd., 2005; Bacan vd., 2006) topooji özeierini heapayabime için bir ortaama-aan teorii yaaştırımı önerimiştir. Bu yaaştırımda, dizierin içerieri tamamen ihma edimiş ve birbireriye örtüşen atdizierin bağımız oduğu varayımış oup, eşit uzunuu tüm dizierin birbirerine özdeşiği varayımıştır; bunarın başa dizier içinde buunma oaııarı ya da başa dizieri içerinde buundurma oaııarının birbiriye aynı oduğu ve bunarın adece arşıaştırıan dizierin uzunuarına bağı oara ifade ediebieceği varayımıştır. Buna göre uzunuğu oan ratgee eçimiş bir dizinin uzunuğu oan yine geişigüze eçien bir dizide en az bir ere teraranma oaıığı p(,, ) 1 p (, ) = 1 1 r + 1 (1) ie ifade ediebimetedir. Bu ifadede r, dizierin türetidiği orta afabedei harferin ayıını götermete oup tüm harferin eşit oaııa gerçeendiği varayımatadır. Habui, başa yazarar (Guiba ve Odyzo, 1981; Bige vd., 2004; Mungan, 2007) tarafından göteridiği üzere, dizierin başa dizier içinde teraranma yada başa dizieri barındırma oaııarı, içerindei at-dizier araındai oreayonara bağı oara değişii götermetedir. Yuarıda bahi geçen çaışmaarda, bu ortaama-aan yaaştırımına e oara, bütün topooji özeierin heabında, düğüm çifterinin bağanma oaııarı birbirerinden bağımız oara ee aınmıştır; bir düğümün omşuarı araındai iintiiier (oreayonar) ihma edimiştir. Burada ii tane, ço bait faat yo göterici, ein çözüebiir örne üzerinde, dizierin içerierinden aynaanan, ince-yapı oara tabir ediebiece farııarın ihma ediemeyeceği durumar ergienecetir. Örneerde vurguanan notaar şöye özetenebiir: i) Kiit dizierin onu uzunuta oduğu durumda enformayon içerierinin ortaama enformayon içeriğinden farı omaarı. ii) At-dizierin araındai oreayonarın, - >> r omadığı durumda ihma ediemeyeceği. Burada beirtme iteriz i, ortaama-aan yaaştırımının içeri-temei ağın özeierini ne adar yaından izeyeceği anahtar ve iit dizierin uzunu dağıımarıya, öze oara da, iit dizierin uzunuarının anahtar diziere ıaya ne adar daha büyü oduğu ie beirenmetedir. 43

4 D. Bacan, A. Erzan Sabit uzunuu dizier Örneerde, item büyüüğü N oan içeritemei ağar üzerinde, anahtar dizier abit bir uzunuğunda, iit dizier ie yine abit bir > uzunuğunda tutumuştur. Dizierin içerieri r tane, eşit ağırıandırımış, harf içeren orta bir afabeden türetimiştir. Dizierin birbireri içinde teraranma oaııarını içerierine bağı oara heapayara, bunar ışığında, ağın giriş- ve çıış-derece dağıımarını anaiti oara ede edip onuçarımızı bigiayar deneyeriye yani imuayonara arşıaştıracağız. Giriş ve çıış dereceeri, bir düğüme giren ve çıan yöneimi enar ayııdır. Düğümün derecei, giren veya çıan enarara o düğüme bağı oan düğümerin ayııdır. İçeri-temei bir ağda, bir düğümün çıış-derecei o düğüme eşeşmiş oan anahtar-dizinin aç iit dizi içinde terarandığı, giriş-derecei ie onuna eşeşen iitdizinin aç anahtar diziyi barındırdığıya beirenir. Birim uzunuu anahtar dizier İçeri-temei modede, her düğümün =1 uzunuğunda bir anahtar ve geişigüze abit bir uzunuğunda bir iit dizi ie eşendiği bir ağ topuuğu düşüneim (Cacott vd., 2005). Burada, anahtar dizier 1 uzunuu oduğu için (yani te te harferden ouştuarı için) verii bir anahtarın uzunuu ratgee eçimiş bir iit dizide buunma oaıığı, hiç bir yaaşıı geretirmeden, (1) de veridiği gibidir, 1 p(1, ) = 1 1 r. Göterme mümün oacatır i, bir iit diziye ratgee eçien bir anahtarın (bu durumda, bir harfin) oturma oaıığı p (1, ) = r ie veriip, burada iit dizinin içinde buunan farı haferin (yani anahtararın) ayııdır. Ağdai düğüm ayıının ço büyü oduğu imitte (böyece, uzunuu tüm iit dizier gerçeenece), giriş- ve çıışdereceeri binom dağıımarını taip edecetir. Çıış-derece dağıımı P ç d yi hemen yazma mümündür, [ ] [ ] Pç d = CNd (, ) p(1, ) 1 p(1, ) (2) burada CNd (, ) N! [ d!( N d)! ] =, ombinatori fatör oup, çıış-derece dağıımı P ç d, ratgee eçien bir düğümün dereceinin d oma oaığını vermetedir. Giriş-derece dağıımının heabında ie daha diati oma geremetedir. Uzunuğu oan iit dizierin içinde buunabieceeri farı onfigürayonarın topam ayıını ω = r ie içinde farı harf buunduran iit dizierin onfigürayonarının ayıını ie ω ( ) ie götereim. Hemen görüeceği üzere, bu ii büyüü birbirine; min( r, ) ω = ω ( ) (3) = 1 biçiminde bağıdır. Eğer bir dizinin içinde farı harf buunduğu biiniyora, geişigüze eçien bir harfin bunardan biri oma oaıığı r dir. Böyece bu tür iit dizierin girişderece dağıımı P g ( d ), g P ( d) = CNd (, ) 1 r r (4) ie veriecetir. Topam giriş-derece dağıımı ie; ω ( ) P d = P d (5) min( r, ) g g = 1 ω şeindedir. Burada ω( ) ω ratgee eçien bir iit dizinin içinde farı harf buunma oaıığıdır. Görüdüğü üzere, iit dizier aynı uzunuta oaar dahi içerinde buundurduarı farı at dizierin ayıına göre, gene durumda, max( ) min( 1, = + r ) tane at gruba ayrımatadır. Şimdi yapmamız gereen, ω ( ) yı, yani içinde farı harf buunan uzunuu dizierin ayıını heapamatır. Uzunuğu oan bir dizi içinde, " a i " harfinin teraranma ayıını n a i ie götereim. İçinde tane farı harf buunduran dizierin ayıını, bu harfer ve teraranma ayıarı { n a i } veridiği durumda ω ( { na i }) ie beirteim. Bu harfer uzunuu bir dizi üzerinde; 44

5 İçeri-temei ağara anaiti yaaşımar ω( { n } )= M (, n, n,..., n ) (6) ai a1 a2 a farı onfigürayonda ıraanabiece oup, burada M(, na, n,..., )!(!!...!) 1 a 1 n 2 a = n a n 1 a n 2 a mutinom fatörüdür. Kiit dizierin uzunuğu ve içerindei farı harferin ayıı veridiğinde, ii oşuu ağamamız geretiğini hatırayaım, Poion yaaşımı daha az iabet ağamatadır. Görüdüğü üzere giriş ve çıış-derece dağıımarı tamamen birbirerinden farıdırar. Eğer giriş-derece dağıımının heabında dizierin içerierini ihma eteydi (ortaama-aan yaaşımında oduğu gibi), giriş-derece dağıımı için ede ediece oan anaiti ifade çıış-derece dağıımıniye aynı oacatı ve ağın yapıında tamamen yanımış oacatı. = na, 1 n 1. i a + (7) i i= 1 Şimdi buradai iinci oşuu da uanara, tüm mümün harf { a i } ve teraranma ayıarı { n a i } uzayını tarayara ω ( ) yı heapayacağız, ω ( ) = C( r, ) ω ( { n }), ai { na i } + 1 ( na n ) 1 1 a 2 = Cr (, )... ω ( { n}), na = 1 n 1 1 a = 1 ai (8) burada Cr (, ), r harften taneini aç farı şeide eçebieceğimizi ayan ombinatori fatördür. Topamarı yapmaya en ondai eemandan başara, P ç (d) Binomia Poion (a) d Gauian Simuation 1 n (9) ω ( )= C(, r ) C(, n) n 1 ede ederiz. n= (b) Şei 1 de, 10 6 gerçeeşim üzerinden ortaama aınara ede edien imüayon onuçarı, çıış ve giriş-derece dağıımarı için ede ettiğimiz anaiti heapara arşıaştırımatadır. Burada 3 unuan onuçar N = 10 düğümden ouşan ağ üzerinde, =3 ve r=10 aınara ede edimiştir. Aynı şei üzerinde, binom dağıımarı yerine yaaşı Gau ve Poion dağıımarı uanıara ede edien onuçar da göterimetedir. Denem (2) ve (5) in grafiği denem (9) uanıara heapanmış ve binom eğrii oara göterimiş oup, imüayon onuçarı ie tamamen örtüşmetedir. Binom dağıımına Gau yaaşımı oduça yaın amata buna arşın P g (d) Şei 1. Çıış- (a) ve giriş- (b) derece dağıımarı d 45

6 D. Bacan, A. Erzan At-dizier araındai oto-oreayonar İçeri-temei ağın her düğümünün geişigüze abit uzunuu bir anahtar diziye ve =+1 uzunuu bir iit diziye ahip oduğunu düşüneim. Bir öncei örneten öğrenieneri uanara ve geneeştirere öyeme mümün i, içinde farı at dizi buunduran uzunuu dizierin giriş-derece dağıımı; g P ( d) = CNd (, ) 1 r r oacatır. Topam giriş dağıımı ie; min( + 1, r ) g g = 1 ω (10) ω ( ) P d = P d (11) şeinde veriecetir. Bu örne için, -=1 oduğundan, 1 ve 2 değererini aabiecetir. Hemen görüeceği gibi içinde uzunuu te örne anahtar dizi buunan uzunuu iit dizierin ayıı ω ( = 1) = r oup geriye aan tüm iit dizierin içinde en az ii tane birbirinden farı uzunuu anahtar dizi buunmatadır, ω ( = 2) = r r. Göterme mümün i, anahtar dizier içerinde buunan at dizier araındai oreayonarı öçen otooreayon ayıarı (Mungan vd., 2005; Mungan, 2007), başa bir deyişe bit-vector er (Guiba ve Odyzo, 1981) ya da aydırma-eşeme ayıarına (Bige vd., 2004) ( Shift-Match Number SMN oara ıatıacatır) göre özdeşi ınıfarına ayrımatadırar. Buna göre SMN i aynı oan tüm anahtar dizierin endierinden uzun dizier içinde buunma oaııarı aynıdır. Kayna (Bige vd., 2004) dei notayonu taip edere, uzunuğu oan bir anahtar diziyi a = aa a ie ve onun SMN ini = ie götereim, nin i inci eemanı i = j = δ i a1 + i j, a ie j veriirecetir. Buradan görüeceği üzere, bir dizinin SMN i onuna eşit uzunuta ve i eemanı 1 oan iii-tabandai ayıdır. Örneğin, a = xxy ie = 100 oacatır. Buna göre, SMN i oan anahtar dizierin çıış-derece dağıımı P ç ( d ); [ ] [ ] P ç ( d) = CNd (, ) p(, ) 1 p(, ) (12) ie veriip buradai p (, ) uzunuğu ve SMN i oan bir anahtar dizinin ratgee eçien uzunuu bir iit dizide buunma oaıığıdır. Topam çıış-derece dağıımı ie; ω () P d = P d (13) ç ç ω şeinde ede ediir. Burada ω SMN i oan uzunuu dizierin onfigürayonarının ayıı oup, ω() ω ratgee eçien bir dizinin SMN inin oma oaıığını vermetedir. Şimdi p ( yı, ) heapama için şöye bir yo izenecetir: Uzunuğu ve SMN i oan bir anahtar dizi verimiş oun. Bu dizinin ağına ve ouna bir harf eeyere ondan türetiebiece =+1 uzunuu iit dizieri ayaım. i) Eğer bu verii dizinin SMN i = = ie, yani anahtar dizi a = x...x...x gibi te bir harf (x) içeriyora, bu dizinin ağına ya da ouna yereştireceğimiz her y x için yeni bir =+1 uzunuu iit dizi ede ederiz. Böyece, bu verii diziyi içeren iit dizierin ayıı n (, ) = 2( r 1) + 1 ve ratgee eçimiş bir iit dizide bu verii diziyi buma oaıığımız p (, ) p, n (, ) 2r 1 (, ) = = (14) ω r our. Böye anahtar dizierin ayıı ω ( ) = r dir. ii) Şimdi SMN i oan bir anahtar dizi veridiğini varayaım. Böye bir dizinin ağına ya da ouna yereştireceğimiz her harf için yeni bir =+1 uzunuu iit dizi ede ederiz. Böyece, bu verii diziyi içeren iit dizierin ayıı n (, ) = 2r ve ratgee eçimiş bir iit dizide bu verii diziyi buma oaıı- ğımız p (, ), n (, ) 2r p (, ) = = (15) ω r 46

7 İçeri-temei ağara anaiti yaaşımar oacatır. Böye anahtar dizierin ayıı ω ( ) = r r dir. Burada diat ediece huu, bu onuca nin değerini deği yanızca onun dan farı oduğunu biere uaştı. Bu her durumda geçeri değidir. Denem (14) ve (15) dei onuçar -=1 durumu için geçeridir. Burada ede ettiğimiz onuçarı uanıra; ç 2r 1 2r 1 P ( d) = CNd (, ) 1 r r (16) P ç (d) 3x Binomia Poion (a) Gauian Simuation ve ç 2r 2r P ( d) = CNd (, ) 1 r r our. Sonunda, topam çıış-derece dağıımı, ω ( ) ω ( ) P d P d P d ç ç ç = + ω ω (17) (18) oara ede ediir. Burada gördüğümüz yozu, yani SMN i oan anahtar dizierin aynı giriş-derece dağııma tabi omaarı, bu örneğe hadır, - arttıça bu yozu ortadan aacatır (Bige vd., 2004). P g (d) x d (b) Şei 2 de, 10 5 gerçeeşim üzerinden ortaama aınara ede edien imüayon onuçarı, çıışve giriş-derece dağıımarı (denem (11) ve (18)) için ede ettiğimiz anaiti heapara arşıaştırımatadır. Burada unuan onuçar N = 1280 düğümden ouşan ağ üzerinde, =2 ve r=2 aınara ede edimiştir. Aynı şei üzerinde, binom dağıımarının Gauian ve Poion yaaşııarı da göterimetedir. Görüdüğü üzere, teori eğrier (ürei çizgi) imüayonara tamamen örtüşmetedir. Eğer bu dağıımarın heabında dizierin içerierini ihma eteydi, giriş-derece dağıımı için ede ediece oan anaiti ifade çıış-derece dağıımıniye aynı, (1) dei oaıı ifadeinde r=2 aınıra, maimumu Np (2,3) de oan bir binom dağıımı ede edeceti Şei 2. Çıış- (a) ve giriş- (b) derece dağıımarı Sonuçar Ede edien onuçar şöye özetenebiir: Dizi içerierini ihma edere yapıan heapar, içeri-temei ağarın topooji özeierini tavir etmeten uzaaşabimetir. Burada diat ediece huu, bunun dizierin uzunu dağıımarına bağı oduğudur. d 47

8 D. Bacan, A. Erzan Giriş-derece dağıımının heabında, iit dizier içerinde buunan farı at dizierin ayıarına göre grupandırıabiirer. Aynı gruba dahi oan tüm iit dizier aynı derece dağıımına tabidir. Çıış-derece dağıımının heabında, anahtar dizier SMN erine göre grupandırıabiirer. Aynı SMN ye ahip tüm anahtar dizier aynı derece dağıımına tabidir. Kaynaar Abert, B., Johnon, A., Lewi, J., Raff, M., Robert, K. ve Water, P., (2002). Moecuar bioogy of the ce, Garand Science, New Yor. Bacan, D. ve Erzan, A., (2007). Content-baed networ: a pedagogica overview, ubmitted to Chao. Bacan, D., Kabaçıoğu, A., Mungan, M. ve Erzan, A., (2006). A content-baed approach to modeing the topoogica propertie of the trancriptiona reguation networ of yeat, ubmitted to PLoSONE; q-bio.mn/ Bacan, D. ve Erzan, A., (2004). Random mode for RNA interference yied cae free networ, European Phyica Journa B, 38, Bige, A.H., Erzan, A. ve Bacan, D., (2004). The hift-match number and tring matching probabiitie for binary equence, unpubihed; q-bio.gn/ Cacott, B., Bacan, D. ve Hohenohe, P., (2005). Modeing the evoution of deveopment in Compex Sytem Summer Schoo Fina Project Paper, Santa Fe ntitute, Santa Fe, NM. Guiba, L.J. ve Odyzo, A.M., (1981). Period in tring, Journa of Combinatoria Theory A, 30, Hannon, G.J., (2002). RNA interference, Nature, 418, Mézard, M., Parii, G. ve Zecchina, R., (2002). Anaytic and agorithmic oution of random atifiabiity probem, Science, 297, Mungan, M., (2007). String matching and 1d attice gae, Journa of Statitica Phyic, 126, Mungan, M., Kabaçıoğu, A., Bacan, D. ve Erzan, A., (2005). Anaytica oution of a tochatic content-baed networ mode, Journa of Phyic A, 38, Wray, G.A., Hahn, M.W., Abouheif, E., Baho., J.P., vd., (2003). The evoution of trancriptiona reguation in euaryote, Moecuar Bioogy and Evoution, 20,