DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN VE MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 8 Sayı: 1 s Ocak 2006

Transkript

1 DEÜ MÜHEDİSLİK FKÜLTESİ FE VE MÜHEDİSLİK DERGİSİ Clt: 8 Saı: s Oca 6 GEELLEŞTİRİLMİŞ DİFERSİYEL QUDRTURE METODU İLE ZI SIIR DEĞER PROLEMLERİİ SYISL ÇÖZÜMÜ ÜZERİE (O THE UMERICL SOLUTIO OF SOME OUDRY VLUE PROLEMS VI GEERLIZED DIFFERETIL QUDRTURE METHOD) ÖZET/STRCT Ömer CİVLEK*, Seval ÇTL* Gere mühendsl sstemlernn analznde ve gerese ugulamalı dsplnlerde dferansel denlemlern çözümü büü br öneme sahptr. Çoğunlula br sınır değer ve/vea başlangıç değer formunda olan bu denlemlern analt çözümü çoğu durumda mümün değldr. u amaçla eter alaşılıta çözümler elde etme çn günümüze adar pe ço saısal analz öntem gelştrlmştr. u öntemlern her brnn; geretrdler blgsaar apasteler, zaman ve hassaset açısından br brne göre avantaları ve dezavantaları mevcuttur. Çalışmada genelleştrlmş dferansel quadrature metodu ısaca tanıtılmış, mühendslte ve temel blmlerde sıça arşılaşılan bazı tür sınır değer problemnn saısal çözümü sunulmuştur. Genelleştrlmş dferansel quadrature öntemnn blnen bazı tp dferansel denlemlern çözümünde ullanılaca alternatf br metot olduğu vurgulanmıştır. The soluton of dfferental equatons has a great mportance n the analss of engneerng sstems and appled dscplnes. It s not alwas possble to obtan the analtcal solutons of these equatons, whch has a boundar value and/or ntal value form as usual. For ths purpose, t has been mproved man numercal analss method to obtan the adequate solutons up to now. ll of these methods have a relatve advantage and dsadvantage wth respect to each other because of the tme aspect and the senstvt. In ths stud, Generalzed Dfferental Quadrature (GDQ) method was brefl ntroduced and presented the numercal solutons of some tpe boundar value problems that have been confronted n engneerng and basc scences often. It has been emphaszed that generalzed Dfferental Quadrature method s an alternate method for the soluton of nown tpe dfferental equatons. HTR KELİMELER/KEYWORDS Genelleştrlmş dferansel tümlev, Dferansel denlem, ümer analz Generalzed dfferental quadrature, Dfferental equatons, umercal analss *Douz Elül Ünverstes, Müh. Fa. İnşaat Müh. öl. uca (Kanalar), İZMİR

2 Safa o: Ö. CİVLEK, S. ÇTL. GİRİŞ Mühendsl ugulamalarında temel amaç nsan aşamını olalaştıraca sstemler ortaa omatır. u sstemlern gelştrlmesnde temel eten nsan htaçlarının arşılanmasıdır. Ugarlaşma önünde olumlu gelşmeler ve tenolonn günümüzde geldğ nota htaçların farlılaşmasına neden olmuştur. Değşen bu htaçlara cevap verme çn teor ve prat çalışmalar apan mühendslerde farlı tenler üzernde oğunlaşmışlardır. Mühendsl sstemlernn analz en genel anlamda aşamaı çermetedr. Mevcut br fzsel sstem fade eden matemat modeln urulması ve elde edlen matemat denlemn analt olara vea çeştl alaşı saısal metotlar ullanılara çözülmesdr. u aşamadan brncs tecrübe, sezg ve br matemat alt apı; ncs se modelleme de ullanılan sezg ve blge laveten hızlı ve apsamlı br hesaplaıcıı geretrr. Yapılan modellemenn gerçe model ansıtıp ansıtmaması, gerçe fzsel ola le uumlulu derecesle ölçülür. u modellern büü br çoğunluğu, sınır değer formunda dferansel denlemlerdr. u matemat denlemlern fzsel modele en aın sunuş bçm se varasonel problemlerdr. Grş verler üzerne onulan sürell ve türevleneblrl oşuları açısından, varasonel problem end özdeş olan sınır değer problemle arşılaştırıldığında, ugulama alanı daha genş olan problemler sınıfına htap eder. Matemat modelleme şlemnn, modeln varasonel problem olara fade edlmesnden sonra aşaması, hesaplaıcıa tanıtımı ugun olan arı modeln oluşturulmasıdır (Hasanov, ). Günümüzde, dferansel denlemlerle lgl matemat modellern arı benzeşlernn oluşturulması ve elde edlen arı problemn blgsaarda çözümlenmes açısından en apsamlı ve blnen öntem Sonlu elemanlar öntemdr. u öntemn las sonlu farlar öntemnden başlıca aırt edc özellğ, sonlu elemanlar öntem sınır değer problemn değl varasonel problem temel alır. En genel anlamda, mühendsl problemler, süresz ve sürel ortam problemler olma üzere sınıfa arılır. Serbestl dereces sonsuz büü olan sürel ortam problemlernn çözümü br dferansel denlem, ntegral denlem vea denlem sstemnn çözümünü geretrdğ halde, serbestl dereces sonlu olan süresz ortam problemlernn çözümü lneer denlem taımının çözümüle elde edleblmetedr (Çaıroğlu vd., 973). Sonsuz serbestl derecel sstemlernn çözümünde çeştl matemat güçlüler ortaa çımata buna arşın süresz ortam problemlernn çözümünde gerel olan hesaplaıcı apastes ve hesap süres artmatadır. unlardan başa mühendsl problemler evrensel br alaşımla; ararlı durum problemlern çeren denge problemler, ararlı durum problemlernde bazı parametrelern rt değerlernn bulunmasını geretren özdeğer problemler ve başlangıç değer formunda problemler çeren propagason problemler olara üç temel gruba da aırma mümündür (Crandall, 968). u tarz br sınıflandırmada da elde edlen denlem; apalı ada açı sınır ve/vea başlangıç değerne sahp ısm vea ad türevl br dferansel denlem ada lneer br denlem taımı olara elde edlr. Lneer br dferansel denlem taımını sağlaan fonsonların br bölgede değerler tan edlren, bazı matemat güçlülerle arşılaşılır. unun çn bu hallerde, önce bu fonsonların verlen bölgenn sonlu uzunluta bazı notalarına at değerler aranır. Daha sonra, bu değerler ullanılara dğer blnmeen notalarda değerler elde edlr. u şelde sürel br ortam erne, cebrsel br denlem taımının çözümünü geretren arı br ortam alınmış olur. Hızlı ve üse apastel hesaplaıcıların gelşmes, ve ullanımının agınlaşması nedenle sürel ortam erne süresz ortam model üzernden şlem apmaa elverşl öntemler artmıştır (Cela ve Gra, 99; Mtchell, 976; Hldebrand, 965). u öntemler çnde sonlu farlar, sonlu elemanlar ve sınır elemanlar günümüzde agın olara ullanılablmetedr. Karaterst büülülern ortam çnde değşmesn fade edeblmes ve armaşı sınır şartlarının çözüme

3 Fen ve Mühendsl Dergs Clt: 8 Saı: Safa o: atılablmesne olana vermes baımından sonlu elemanlar daha agındır. Kurulan matemat model çoğunlula sstem fade eden a br ntegral denlem ada ısm vea ad türevl br dferansel denlemdr. Sınır oşullarının armaşılığı nedenle elde edlen dferansel denlemn analt çözümü çoğu durumda mümün olmaz. u nedenle saısal analz tenlerne başvurulur. lgsaar tenğnde gelşmeler ve denlemlern matrs formda fade edleblmes saısal analz metotlarında büü br gelşmee neden olmuştur. u metotlar çnde; sonlu farlar, sonlu elemanlar, sınır elemanlar, varasonel (değşm) hesap, Ralegh-Rtz gb alaşı metotlar günümüze adar etn olara ullanılmıştır. Çoğu saısal hesap öntemnde sürel denge problem sonlu saıda serbestl derecel br ssteme ndrgenere çözüme ulaşılır (Crandall, 968).. MÇ Kısm dferansel denlemlern çözümü çn; sonlu elemanlar, sonlu farlar, sınır elemanlar gb braç saısal çözüm öntem mevcut olup, bu metotlar günümüze adar mühendslte ve fzte ugulama alanı olan ttreşm, stablte, aışanlar meanğ, sürel ortam meanğ, sıvı vea termal etlere maruz apıların analz gb pe ço probleme başarıla ugulanmıştır. Gere sonlu elemanlar ve gerese sonlu farlar metodunda düğüm notası saısı arttıça elde edlen çözümlern hassasetnn arttığı blnmetedr. ununla brlte, daha hassas sonuçlar elde etme çn düğüm notası saısının arttırılması, gerel olan blgsaar apastes ve hesap süres de anı oranda arttırmatadır. nca pe ço problemde gerçe değere aın hassas sonuçlar fzsel anlamda anca braç özel notada geremetedr. u metotlar çnde sonlu elemanlar ve sonlu farlar metotları ullanım alanı dğerlerne göre daha fazla olan analz tenğdr. Sonlu elemanlar metodunda çözüm çn alaşı br fonson seçlere çözüme başlanır. nca sonlu elemanlar metodunda seçlen enterpolason fonsonları loal düzede olup elemanlar çn geçerldr (Zenewcz, 977). Sonlu elemanlar metodunda çözüm bölges ço fazla elemana arılara eter hassasette sonuçlar elde etme mümündür. Özellle pla vea abu elemanların hassas çözümler anca üse saıda elemana bölünere sağlanır (Cvale, 998). Elemanın ço fazla bölgee arılara (mesh generaton) çözüme ulaşılması durumunda se gerel olan hesaplaıcı apastes ve zaman artacatır. ununla brlte eter alaşıta sonuçlar an gerçe değere ço aın sonuçlar mühendsl ugulamalarında çoğunlula br vea braç spesf notada stenr. Daha az grd nota saısı ullanılara eter hassasette sonuçlar vereblece br metot olan Dferansel Quadrature Metodu (DQM); oordnat doğrultusuna göre br fonsonun türev, çepeçevre saran br çözüm bölgesnde üse dereceden br polnom ardımıla alaşım urablen sürel br fonson ve o doğrultu bounca bütün ağ notalarında fonson değerlernn tümünün lneer toplamı olara fade edlebleceğ prensbne daanır (ert vd., 987; Mngle, 977). enzer saısal alaşım öntemlernde olduğu gb, DQ metodu da mevcut türev denlem, çözüm bölgesnde önceden seçlen düğüm notalarında blnmeen fonson değerler cnsnden, lneer denlem taımına vea ttreşm ve burulma problemlernde br özdeğer problemne dönüştürür. u denlemlere laveten sınır şartları da DQ metoduna ugun formda azılır. Sınır şartlarının Drchlet ve/vea euman ada arışı olması herhang br güçlü doğurmaz (ert ve Mal, 996; Cvale ve Çatal, a). 3. DİFERSİYEL QUDRTURE METODU Dferansel quadrature metodu; br fonsonun verlen br arı notada br uza değşenne göre ısm türev, o değşen bölgesnn bütün arı notalarında fonson

4 Safa o: Ö. CİVLEK, S. ÇTL değerlernn ağırlılı br lneer toplamı le fade edlr, şelnde tanımlanan düşüncee daanır. Yeter alaşıta sonuçlar elde etme çn daha az saıda grd ullanan dferansel quadrature metodu ; fz ve mühendslte arşılaşılan başlangıç değer ve sınır değer problemler çn farlı br alaşım ortaa omuştur. u amaçla te boutlu br u ( ) fonsonun brnc türevn (,,...,) notalarında arı nota çn göz önüne alırsa.nc arı nota çn brnc türev Eştl de gb olacatır. u ( ) u u( ) ;,,..., () urada değşen bölgesnde arı notaları, u( ) bu notalarda fonson değerlern, ve brnc dereceden türev çn bu değerler fonson değerlerne bağlaan ağırlı atsaılarını fade eder. ğırlı atsaılarının hesabı, arşılı gelen oordnat önlernde fonsonel alaşımlar le gerçeleştrlr. Test fonsonu ada alaşım fonsonu olara blnen bu fonsonların seçmnde sürell şartına dat edlmeldr. enzer zorunlulu sonlu elamanlar öntemnde enterpolason fonsonlarının seçmnde de vardır. nca DQ metodunda, seçlen fonsonlarının Rtz metodunda olduğu gb sınır şartını sağlaması zorunluluğu otur. Yalaşım fonsonları, alan değşenlernn olası ararlı an ünform durumlarını tanımlaablmel ve dferansel denlemde ada sınır şartlarında mevcut en üse derecel dferansele adar türevnn alınablmes gerer. Yan sürell şartı çn, br oordnat önünde düğüm saısı, dferansel denlemde arşılı gelen bağımsız değşene göre en üse derecel türevn br fazlasına eşt olmalıdır. elmann ve aradaşları. ağırlı atsaılarının hesabı çn farlı öntem önermşlerdr. unlardan brncsnde Eştl de verlen bağıntı tam olara alındığında, test fonsonu olara (-) vea daha üçü dereceden seçlen polnom fonsonu çn Eştl elde edlr. u () -,,,..., () u bağıntı Eştl de erne azılırsa Eştl 3 de belrtldğ formda brnc mertebeden ağırlı atsaıları olma üzere br lneer denlem taımı verr. ( ) ;,,..., ve,,..., çn (3) nca bu denlem sstemnn atsaılar matrsnn determnantı Vandermonde formunda olduğundan tel br çözüme sahptr. Denlem ağırlı atsaıları çn analt olara Hammng n önerdğ metotla ada Vandermonde denlemler çn orc ve Parera nın önerdğ gb blnen bazı özel algortmalar le saısal olara çözüleblr (Hammng, 973; orc ve Parera, 97). u tellğ gderme çn, ağırlı atsaıları, değş grd nota saıları le Eştl 3 eşt grd değerler çn hesaplanmalıdır. Eştl 3 matrs formda da Eştl de gb verleblr. { u( ) / } [ ]{ u( ) } ()

5 Fen ve Mühendsl Dergs Clt: 8 Saı: Safa o: 3 enzer şlemler ve daha fazla derecen türev fadeler çn de azılablr. ölece, her br dereceden türev çn ağırlı fadeler brnc dereceden türev fadesnden farlı olmatadır. İnc dereceden türev çn metot Eştl 5 de görüldüğü gb verlr. u ( ) u u( ) ;,,..., (5) urada nc dereceden türev çn ağırlı atsaısıdır. Eştl 5 brnc dereceden ağırlı atsaıları cnsnden Eştl 6 da gb azılablr. u ( ) u u( ) ;,,..., (6) Eştl le verlen polnom fonson ugulanara nc dereceden türev fades Eştl 7 de gb olmatadır. ( )( ) 3 (7) Eştl 7, uarıda verlen Eştl 3 bağıntısına benzer alaşımla çözülür. İnc, üçüncü ve dördüncü dereceden ağırlı atsaıları, C, D, sırasıla Eştl 8, Eştl 9 ve Eştl da göründüğü formda hesaplanır. C D C (8) (9) () ellman ve aradaşları tarafından ağırlı atsaılarının hesaplanması çn önerlen nc metotda brnce benzer olup farlı br test fonsonu seçlr (Jang vd., 989). Eştl sağlaaca şelde ötelenmş Legendre polnomunun öler olara fonsonu seçlr (Eştl ). u L () (),,,..., () ( ) ( ) L ( ) urada grd nota saısı, L (). dereceden legendre polnomu, L ( ) () se bu polnomun brnc türevdr. Eştlte ötelenmş legendre polnomunun öler olara

6 Safa o: Ö. CİVLEK, S. ÇTL seçlp Eştl le verlen polnom fonson Eştl de azılırsa ağırlı atsaıları Eştl a ve Eştl b de gb azılablr. L ( ) ( ) L ( ) çn (a) çn (b) ( ),,,..., u nc alaşımda, Eştl a ve Eştl b le tanımlanan ağırlı atsaıları brncde olduğu gb herhang br tell problem ve lneer denlem taımı çözmeden elde edlr. r boutlu problemlere benzer olara boutlu problemler çnde dferansel quadrature metodu gelştrleblr. Şel de görülen ddörtgen düzlem çn, - doğrultusunda grd ve -doğrultusunda grd saısı olma üzere türev fadeler azılablr. u amaçla u(,) fonsonunun r-nc mertebeden e göre, s.mertebeden e göre ve (r+s) nc mertebeden ve değşenlerne göre (, ) arı notaları çn türev fadeler Eştl 3 Eştl 5 de verlmştr. a... b 3 (, ) Şel. İ boutlu bölge çn grd notaları r u r (r) u(, ) ; r,,..., (3) s u s (s) u(, ) ; s,,..., () r s u s (r + s) u r (r) s r m (s) m u(, m ) (5),,...,, ve,,...,

7 Fen ve Mühendsl Dergs Clt: 8 Saı: Safa o: 5 (r ) ve (s ) u(,) fonsonunun sırasıla e ve e göre r nc ve s nc mertebeden ve arı notaları çn azılan türev ağırlı atsaılarıdır. u atsaılar l olara Shu ve Rchards tarafından gelştrlmştr (Shu vd., 99). ğırlı atsaıları Eştl 6 Eştl 9 da gb olmatadır. (r ) (r) r (r ) ( ) ;,,,...,, ; ve r,3,..., - (6) (s) s (s (s ) ) ( ) ;,,,...,, ; ve s,3,..., - (7) (r) (r) ;,,..., ve r,,..., (8), (s) (s) ;,,..., ve r,,..., (9),. GEELLEŞTİRİLMİŞ DİFERSİYEL QUDRTURE METODU (GDQ) Yuarıda temel prenspler verlen DQ alaşımında ağırlı atsaılarının hesaplanmasında çeştl güçlüler ortaa çımatadır. rnc öntemde elde edlen denlemn atsaılar matrs Vandermonde sstem olduğundan determnantının hesabında güçlü çıar ve denlemn çözümü teldr. Özellle grd saısı arttıça sonuçların hassaset azalablmetedr. grd saısı den büü olduğu durumlarda sonuçların güvenrllğ azalmatadır. unlara laveten, her br şlem adımında denlem taımını çözme zorunluluğu vardır. İnc alaşımda se farlı sınır şartları ve geometr çn metodun ugulanablrlğ azalmatadır. Yan; gere, daha az saıda grd notası seçlere her şlem adımında br lneer denlem taımı çözme geretren brnc öntemde gerese de düğüm notalarının dağılımını ısıtlaan Legendre alaşımında metodun ugulanablrlğ açısından çeştl güçlüler vardır. Dolaısıla; hem bu güçlüler gderme açısından hem de metodun ullanım alanı ve ugulanablrlğn olalaştırmaa önel çabalar sonucunda arı grup tarafından bağımsız olara metot gelştrlere ağırlı atsaılarının hesabı farlı grd notaları ve üse dereceden türevler çn ugun br formda elde edleblmş ve genelleştrlmş dferansel quadrature metodu ortaa çımıştır (Ln vd.,99). Shu ve Rchards ağırlı atsaıları çn herhang br tellğe neden olmaan ve büü saıda lneer denlem taımı çözümü geretrmeen analt fadeler önermşlerdr. u metotta brnc ve nc dereceden türevler çn bağıntılar Eştl ve Eştl de verlmştr. () () () M ( ) ;,,,...,,, () ( ) () M ( ) () P ( ) ;,,,...,,, () ( ) () P ( )

8 Safa o: 6 Ö. CİVLEK, S. ÇTL urada; M ve ( ) () ( ), () P ( ) (,, (r ) ), () (r) r [ (r ) () ];,,,...,, ; ve r,3,.., - çn (3) (s ) (s) s[ (s ) () ];,,,...,, ; ve s,3,..., - çn () (r), ; (r),,..., ve r,,...,, (5) (s), ; (s),,..., ve r,,...,. (6) Ünform grd notaları çn Eştl ve Eştl le verlen aşağıda forma ndrgenr (Eştl 7, Eştl8). + ( )(! )! ( )( )(! )! ( ),,,...,, (7) Δ + ( )(! M )! ( )( )(! M )! ( ),,,...,M, (8) Δ urada Δ - ve Δ - dr. ütün grd notalarında fonson değerler hesaplanınca herhang br notada türev alaşımlar Eştl 9 Eştl 3 de gb olur. U(, ) U(, )α () U(, ) U(, )β () (9) (3) U(, ) U(, ) α () β () (3)

9 Fen ve Mühendsl Dergs Clt: 8 Saı: Safa o: 7 urada α () ve β () değerler sırasıla ve doğrultularında Lagran enterpolason polnom fonsonlarıdır (Eştl 3 ve Eştl 33). ( )( )...( )( α () () M ( ) ( )( )...( )( β () () P ( ) + + )...( )...( ) ) (3) (33) enzer olara U(, ) fonsonunun ve oordnatlarına göre herhang br notada türev elde edlr. Eğer Eştl 3 de verldğ gb trgonometr br formda seçlrse Eştl ve Eştl bağıntıları Eştl 35 ve Eştl 36 da verlen forma ndrgenr. { cos, cos π/, cos π/,..., cos } (3) c ( ) c ( ) ( ) + ( ) + ; < < (35) ; ve (36) Dat edlmeldr ; örne notaların saısı verlen bağıntıların performansında an ağırlı atsaılarının hesabında etl değldr. Hesap performansını gelştrme açısından önemldr. undan başa, bazı durumlarda bu notalar çözümün doğruluğunu etleeblmetedr. Örneğn eşt aralılı notalar le şlem ısmen daha ola ve ugulaması daha basttr, anca eşt olmaan nota aralığı çn az da olsa sonuçların hassaslığı düşür. Düğüm notalarının seçmnde sıça ullanılan ve önerlen metot her doğrultuda an her br oordnat önünde (te boutlu problemler çn br önde) eşt aralılı seçlen Eştl 37 ve Eştl 38 de verlen değerlerdr (Du vd., 99; ert vd., 99a). ;,,... ;,,... (37) ;,,... ;,,... (38) azı durumlarda eşt aralılı olmaan notaların seçmnn daha sonuç verdğ blnmetedr. Yne boutlu problemler çn eşt olmaan grd notaları Chebshev-Gauss- Lobatto notaları çn Eştl 39 ve Eştl da verlen değerler seçlr (ert ve Mal, 996; Du vd., 996).

10 Safa o: 8 cos π cos π Ö. CİVLEK, S. ÇTL,,,..., (39),,,..., () ununla brlte dferansel quadrature çözümlernde farlı oordnat önlernde grd notaları saısı ve tp baımından farlı seçlebleceğ gb, farlı oordnat önlernde farlı test fonsonları da seçleblr. 5. SYISL UYGULMLR 5.. Örne Ünform aılı ü etsnde lneer elast rşlern çeştl notalarında düşe deplasman hesabını gözönüne alalım. Moment le eğrl arasında bağıntı Eştl de gbdr. ağıntı Eştl de gb olur. d M() q (L. ) () EI EI d X / L, Y / α ve d Y d X q α L çn boutsuz halde; EI X X () Elde edlen bu bağıntıa DQ metodu ugulanırsa Eştl 3 de sonuç elde edlr. Y X X (3) 5 grd değer çn çözüm aparsa, Sınır oşullarından X çn Y; XL çn Y; Yan, Y Y 5 olur. ölece Eştl 3 mevcut sınır şartları elmne edlere Eştl de gb azılablr. ağıntı matrs formda Eştl 5 de gb verleblr. Y X X, 3, () Y Y Y 3 X X X 3 X X X 3 (5)

11 Fen ve Mühendsl Dergs Clt: 8 Saı: Safa o: 9 urada nc dereceden ağırlı atsaıları olup uarıda tanımlanmış formüller ardımıla eşt aralılı grd notaları çn hesaplanır. ölece blnmeen Y değerler 3 bulunur. Problem çn esn sonuç Y ( X X X ) şelnde tanımlıdır (İnan,996). Hem her ucun bast mesnet olması çn hem de dğer bazı mesnet oşulları çn elde edlen sonuçlar arşılaştırmalı olara Çzelge de verlmştr. Çzelge. Ünform aılı ü etsnde rş çn arşılaştırmalı deplasman değerler Mesnet Şartı X / / 3/ Her uç bast mesnet Her uç anastre mesnet nastre mesnet-ast mesnet 5.. Örne GDQ(5) Kesn değer GDQ(5) Kesn değer GDQ(5) Kesn değer Eştl 6, Eştl 7a ve Eştl 7b de oşullar le verlen sınır değer problemn göz önüne alalım. d + + d () ; () (6) (7a;7b) Problemn öncelle agın olara ullanılan öntemlerle çözümünü elde edelm. VRYSYOEL Yöntem d ( ) d I d ( ) a ( ) quadrat polnom alaşımı le I (a) mnmum olmalıdır. di çn a 5/8 ve alaşı çözüm d a 5 ( ) 8 şelnde olur. ( ) ( ) + ( ) ( ) a a şelnde üb alaşımda a 7 / 369, a 7 / bulunara 7 7 ( ) ( ) + ( ) olur. 369

12 Safa o: 3 Ö. CİVLEK, S. ÇTL GLERKİ Metodu L f + + tanımlanır. Sınır şartları () () ( L f ) φ ( ) φ ( ) { ( ), ( ) } çn çözüm 5 ) ( ) GDQM le ( olara elde edlr. 8 5 nota çn GDQ metodu ugulanırsa. ve 5.notalarda değerler sınır oşullarından blndğnden GDQ formülasonu Eştl 6 a sadece 3 nota çn ugulanır. +, 3, (8) sınır oşullarından ve 5 çn değerler, 5 olara mevcuttur. ölece Eştl 8, Eştl 9 da gb hesaplanır Y Y Y 3 X X X 3 (9) urada ; atsaıları nc dereceden türev ağırlı atsaılarıdır. Problem çn analt (esn) sonuç sn ( ) sn olara verlmetedr. Hesaplanan sonuçlar Çzelge de verlmştr. X Çzelge. GDQM le dğer alaşımların arşılaştırılması Quadrat Varasonel Küb Galern GDQM Kesn Değer / / / Kşsel br PC de GDQ metodu ullanılara denlemn çözümü sadece braç sane sürmüştür. Elde edlen sonuçlar esn çözüm değer le anıdır. Ço ısa br sürede ve hesaplaıcı baımından ço az br apaste ullanılara elde edlen bu hassas sonuçlar metodun en öneml avantaıdır. Daha önce apılan çalışmalarda örneğn elast br olonun burulma üü sonlu farlar metodunda grd değer çn, sonlu elemanlarda 7 arı nota çn % mertebelernde hata le elde edlren, GDQ metodunda 5 nota çn esn değer le

13 Fen ve Mühendsl Dergs Clt: 8 Saı: Safa o: 3 anı sonuç elde edleblmştr (Sherbourne ve Panda, 99; Cvale ve Çatal, ; Cho vd., ; Cvan ve Slepcevch, 983; Cvale, ) Örne 3 Hareetsz (durağan) br aışan çersnde çözünen (eren) br maddenn sabt (steadstate) aılışına at fzsel olaı fade eden matemat bağıntı sınır oşulları le brlte Eştl 5 de tanımlanmıştır. d u Ψ Ku d < < cm (5) u () u() ε Çeştl grd değerler çn GDQ metodula çözümü elde edelm (Şel a ve Şel b). U U U 3 U U U 3 U / 3 /3 3 /3 Şel. Probleme at grd notaları a) ( 3); b) ( 5) Seçlen 3 grd notası çn sınır oşullarından; U ve U 3 ε. Çözüm çn gereen d u üçüncü değer sstem fade eden Ψ Ku türev denleme 3 olma üzere d seçlece polnom fonsonu le GDQ metodunu tatb edere Eştl 5 elde edlr. K u u,...,- (5) Ψ urada u() çözünen maddenn onsantrasonu (M/L3), Ψ dfüzon (aılma) atsaısı (L/T), K reason dereces ada oranı (/T), ε se ( M/L 3 ) sınırda blnen onsantrason değerdr. Saısal değerler: Ψ. cm / s, K. s -, ε. g/cm olara verlsn. rnc ve üçüncü sınır şartları çn u değerler sınır oşullarından bulunduğundan GDQ çn denlem sadece.nota çn azılmatadır. enzer olara 5 çn (Şel b) üç farlı notada GDQ fadeler azılara blnmeen 3 nota çn değer elde edleblr. Problemn sonlu farlar le çözümü çn 5 arı grd notası çn sonlu far denlemlern azalım. Üç arı nota çn far denlemlern ugulaara, l ve son değer sınır oşullarından blndğnden far denlem nc nota çn Δ.5 olma üzere azılır (Eştl 5). U U + U Ψ Δ K U 3 (5)

14 Safa o: 3 Ö. CİVLEK, S. ÇTL urada U, U ε olduğundan Eştl 5 verlen sınır oşulları le brlte Eştl 53 de görüldüğü gb matrs formda azılablr. Ψ Ψ K Ψ U U ( Δ) ( Δ) ( Δ) U 3 ε (53) uradan U, U., U 3 ε olur. Problem çn esn sonuç an U.7 dr. Grd notası an sonlu far denlemler çn moleül saısı olara alınırsa bu ez sınır şartları U, U ε olur. ölece sonlu far denlemler U ve U 3 notaları çn azılır. u durumda Δ,333 olmatadır. u durumda elde edlen değerler U.9 ve U 3.9 olur. U ve U ε değerler se başlangıç oşullarından blnmetedr. Eşt aralılı notalar seçere 3 arı nota çn GDQ metodula bulunan sonuçlar ve sonlu farlar metodu le bulunan değerler Çzelge 3 de verlmştr. Görüleceğ üzere ço üçü grd saısı çn ble sonuçlar hal alaşıtır. grd saısı artırılara 5 çn GDQ metodu ugulanınca elde edlen sonuç esn değer le anıdır. 5.. Örne Çzelge 3. 3 ve 5 grd saıları çn hesaplanan sonuçların aınsamaları GDQ (3) GDQ (5) Sonlu Far (3) Kesn Değer (Cela vd., 99).5.76(%.33).7(%).(%9).7 Ugulamalı fzte, düzlem elastste teorsnde ve benzer pe ço ugulamada arşımıza çıan bharmon eştl, Eştl 5 ada Eştl 55 de gbdr. ΔΔF (5) F F + F + (55) u bağıntının sağ tarafının sıfırdan farlı olmasına göre çeştl fzsel olaların önetc denlemlern fade eder. Örneğn nce elast ddörtgen br plağın serbest ttreşmne at önetc bağıntı boutsuz formda olara tanımlıdır (Eştl 56). F F F + + Ω F (56) X X Y Y urada F ttreşmn boutsuz mod fonsonu, Ω boutsuz freans olup, Ω ω a ρh/d le verlr, X/a ve Y/b boutsuz oordnatlar, a ve b plağın ve doğrultusunda boutları, a/b pla enarlarının oranı, h pla alınlığı, ρ, malzeme oğunluğu, ve D pla

15 Fen ve Mühendsl Dergs Clt: 8 Saı: Safa o: 33 eğlme rtlğ olup DEh 3 /(-ν ) şelnde tanımlıdır. Metodun ugulanmasıla Eştl 57 de bağıntı elde edlr. D F,,..., ve + F + D F Ω m m m,,..., çn F (57) Dört enarı anastre tutulmuş (C-C-C-C) pla çn sınır oşulları olara verlen deplasmanlar ve dönmelern enarlarda sıfır olması şartından Eştl 58 ve Eştl 59 azılır. F (X,) F (X,) ve F (,Y) F (,Y) (58) F Y F Y ( X, ) ( X,) F X F X ve (, Y ) (, Y ) (59) DQ metodu bu sınır oşullarına ugulanırsa Eştl 6 Eştl 6 elde edlr. F F ve F F (6) F F ve F F (6) F F (6) Serbest ttreşm problem Eştl 63 de gb tanımlanır. azı düzenlemeler ve matrs şlemlernden sonra bağıntı Eştl 6 de hal alır. [ S bb] [ S bd] [ ] [ ] S db S dd F F b d Ω {} { } F d (63) ([ ] Ω [ I ]){ F } S d (6) urada [ S] [ ] [ ][ ] [ ] S dd S db S bb S bd ve b le d alt ndsler sınır oşulları ve önetc bağıntılarında dferansel quadrature analoglarında ullanılan grd notalarını belrtr ve toplam bağıntıda atısını gösterr. Elde edlen l freans Çzelge de Lessa tarafından verlen esn sonuçlar le brlte sunulmuştur (Lessa, 973). Grd nota saısı le %hata mtarı Şel 3 de eşt aralılı nota dağılımı ve Şel de Chebshev-Gauss-Lobatto nota dağılımına ugun olara her br freans değer çn hesaplanmıştır. Hata oranı Eştl 65 de verlen bağıntı esas alınara hesaplanır. GDQ değer - Kesn değer %Hata ( ) (65) Kesn değer Şelden görüleceğ üzere düğüm nota (grd) saısı arttıça hata mtarı düşmete an daha doğru sonuçlara ulaşılmata, anca belrl br değerden sonra düğüm nota saısının

16 Safa o: 3 Ö. CİVLEK, S. ÇTL artmasının hassaset üzerne pe br ets olmamatadır. rıca Chebshev-Gauss-Lobatto nota dağılımı çn hata mtarı daha esn ve hızlı br düşüş göstermetedr. Çzelge. Pla serbest ttreşm hesabı çn analz sonuçları. Ω (.freans) Ω (.freans) GDQ (5 5) GDQ (7 7) GDQ (9 9) GDQ ( ) GDQ (3 3) Kesn değer (Lessa,973) % Hata 8 6.freans.freans Her br önde grd saısı Şel 3. Grd saısına bağlı olara hata mtarının değşm (Eşt aralılı nota dağılımı) % Hata 8 6.freans.freans Her br önde grd saısı Şel. Grd saısına bağlı olara hata mtarının değşm (Chebshev-Gauss-Lobatto nota dağılımı) 6. SOUÇ Çalışmada genelleştrlmş dferansel quadrature metodu le bazı ısm türevl dferansel denlemler verlen sınır oşulları altında çözülmüştür. Sonuçların alaşılığı, geretrdğ hesaplaıcı apastes ve ugulama alanının çeştlğ date alınınca, metodun son ıllarda agın olara ullanılmasının nedenler anlaşılmatadır. Günümüzde, sonlu farlar ve sonlu elemanlar metotları da hassas sonuçlar vermete anca hala üse saıda grd (mesh generaton) geremetedr. u se çözüm çn gerel hesaplaıcı apastes htacını ve analz süresn artırmatadır. Daha az grd ullanara daha ısa sürede sonuca ulaşma çabaları netcesnde dferansel quadrature metodu önerlmştr. ununla brlte metot; ağırlı atsaılarının hesaplanmasında güçlülern gderlmes ve

17 Fen ve Mühendsl Dergs Clt: 8 Saı: Safa o: 35 ullanılan alaşım fonsonlarının bulunmasından sonra agınlaşmış ve anca 987 ılında apı meanğ ve aışanlar meanğ problemlerne başarıla ugulanmıştır. Günümüze adar son on ıl çnde pla ve rşlern stat, dnam ve stablte hesabına başarıla ugulanmış olup, metodun harmon DQ, genelleştrlmş DQ gb farlı versonları gelştrlmştr. Sonlu elemanlarda seçlen alaşım fonsonu eleman bazında en DQ metodunda tüm sstem çn geçerldr. Rtz metodunda seçlen polnom fonsonu sınır oşullarını sağlamalıdır. ununla brlte DQ metodunda böle br zorunlulu otur. Sonlu farlar metodu problemn çözümüne serler le alaşım uraren, DQ metodunda polnom alaşım urulur. unlara laveten daha az grd notası le daha ısa sürede ve daha düşü apastede hesaplaıcı le ço hassas sonuçlar elde edleblmes metodun en belrgn avantaıdır. Yüse saıda düğüm notası ullanılan problemlerde ağırlı atsaılarının hasaplanmasında güçlüler se, genelleştrlmş dferansel quadrature vea harmon dferansel quadrature metotlarının gelştrlmesle gderlmş olsa da bu onuda çalışmalar devam etmetedr. TEŞEKKÜR Yazarlar dferansel quadrature metotlarıla lgl bazı öneml belge ve maaleler sağlaan Olahoma Ünverstes Profesörlernden Saın C.W.ert e ve saısal hesaplar çn gerel programlar sırasında ardımlarını esrgemeen İnş. Müh..K. LTCIOĞLU na teşeür ederler. KYKLR ert C.W., Jang S.K., Strz.G. (987): Two ew ppromate Methods for nalzng Free Vbraton of Structural Components, I Journal, 6 (5), ert C.W., Mal M. (996): Dfferental Quadrature Method n Computatonal Mechancs: Revew, ppled Mechancs Revew, 9(), -8. ert C.W., Wang Z., Strz.G. (99): Statc and Free Vbratonal nalss Of eams and Plates b Dfferental Quadrature Method, cta Mechanca,, -. örc., Perera V. (97): Soluton of Vandermonde Sstem of Equatons, Math. Comput., Vol., Cho S.T., Wu J.D., Chou Y.T. (): Dnamc nalss of Spnnng Tmosheno eam b the Dfferental Quadrature Method, I Journal, 38(5),. Cela M.., Gra W.G. (99): umercal Methods for Dfferental Equatons, Fundamental Concepts for Scentfc and Engneerng pplcatons, Prentce Hall, ew Jerse. Cvale Ö. (998): Pla ve Kabuların Sonlu Elemanlar Metodula nalz, Yüse Lsans Semner, Fırat Ünverstes. Cvale Ö. (): Dferansel Quadrature Metodu le Elast Çubuların Stat, Dnam ve urulma nalz, XVI Mühendsl Ten Kongres, Kasım, ODTÜ, nara. Cvale Ö., Çatal, H.H. (a): Plaların Dferansel Quadrature Metodu le Stablte ve Ttreşm nalz, IMO Ten Derg, basıda. Cvale Ö., Çatal H.H. (): r ve İ outlu Yapıların Genelleştrlmş Dferansel Quadrature Yöntemle Dnam nalz, Türe İnşaat Mühendsler Odası, Mühendsl Haberler, Saı 7, s Cvan F., Slepcevch C.M. (98): Dfferental Quadrature For Mult Dmensonal Problems, Journal of Mathematcal nalss and pplcatons,, 3-3. Cvan F., Slepcevch C.M. (983): Soluton of The Posson Equaton b Dfferental Quadrature, Internatonal Journal for umercal Methods n Engneerng, 9, 7-7.

18 Safa o: 36 Ö. CİVLEK, S. ÇTL Crandall S.H. (968): Mühendsl nalz, Saısal Hesap Metotlarına Genel aış, Çevrenler: Utu, Ş., Özden, E.Y., erso matbaası. Çaıroğlu., Özmen G., Özden E. (97): Yapı Sstemlernn Hesabı çn Matrs Metotları ve Eletron Hesap Manası Programları, Clt I-II, Matbaa Tensenler asımev, İstanbul. Du H., Lm M.K., Ln R.M. (99): pplcaton of Generalzed Dfferental Quadrature Method to Structural Problems, Internatonal Journal for umercal Methods n Engneerng, 37, Du H., Lew K.M., Lm M.K. (996): Generalzed Dfferental Quadrature Method for uclng nalss, Journal of Eng. Mech., SCE, (), pp Hammng R.W. (973): umercal Methods for Scentsts and Engneers, McGraw-Hll, ew Yor. Hasanov.H. (): Varasonel Problemler ve Sonlu Elemanlar Yöntem, Lteratür aınları, İstanbul. Hldebrand F.. (965): Methods of ppled Mathematcs, Prentce-Hall. İnan M. (996) Csmlern Muavemet, 7.bası, erl Ofset, İstanbul. Jang S.K., ert C.W., Strz.G. (989): pplcaton of Dfferental Quadrature to Statc nalss of Structural Components, Internatonal Journal for umercal Methods n Engneerng, 8, Lessa.W. (973): The Free Vbraton of Rectangular Plates, Journal of Sound and Vbraton, 3, Ln R.M., Lm M.K., Du H. (99): Deflecton of Plates wth onlnear oundar Supports Usng Generalzed Dfferental Quadrature, Computers and Structures, 53(), Mtchell.R. (976): Computatonal Methods n Partal Dfferental Equatons, John Wle. Mngle J.O. (977): The Method of Dfferental Quadrature for Transent onlnear Dffuson, Journal of Mathematcal nalss and pplcatons, 6, Sherbourne.., Pande, M.D. (99): Dfferental Quadrature Method n the uclng nalss of eams and Composte Plates, Computers and Structures, (), Shu C., Rchards.E. (99): pplcaton of Generalzed Dfferental Quadrature to Solve Two-Dmensonal Incompressble aver-stoes Equatons, Internatonal Journal for umercal Methods n Fluds, 5, Zenewcz O.C. (977): The Fnte Element Method n Engneerng Scence, 3 rd Edton, McGraw-Hll, London.

19 Fen ve Mühendsl Dergs Clt: 8 Saı: Safa o: 37 KISLTMLR, ve doğrultularında grd saısı,,c,d rnc,inc, üçüncü ve dördüncü dereceden ağırlı atsaıları [ ] ğırlı atsaıları matrs u, u u fonsonunun e göre brnc ve nc türev D Pla eğlme rtlğ E Elastste modulü EI Eğlme Rtlğ M ν a,b h L () X,Y, Eğlme Moment Posson oranı Pla boutları Pla alınlığı a/b şelnde pla boutlarının oranı, polnom dereces Legendre polnomu ve önünde boutsuz değerler ve önünde grd aralığı (eşt grd aralığı) α () ; β () ve doğrultularında Lagran enterpolason polnomları DQ Dferansel Quadrature GDQ Genelleştrlmş Dferansel Quadrature U Ttreşmn boutsuz mod fonsonu Ω outsuz freans ω Doğal freans ρ Pla malzemesnn oğunluğu Ψ Dfüzon (aılma) atsaısı K Reason dereces ada oranı ε Sınırda blnen onsantrason değer