Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ BÖLÜM XIII

Transkript

1 BÖLÜM XIII DEVRE ANALİZİNDE FOURİER TRANSFORMU Bu bölümde devre analizinde Furier transfrmunun nasıl kullanılacağından bahsedeceğiz. Devre analizinde Furier tranfrmuna geçmeden önce Furier serileri hatırlatılacaktır. Bilindiği üzere bir periydik fnksiyn kendisini her T saniyede tekrar eden fnksiyndur ve bu fnksiynun aşağıdaki ilişkiyi sağlaması gerekir. f () t f ( t nt) burada, n 1,2,... ve T periyttur. Yani her hangi bir keyfi seçilmiş t anı için: f( t ) f( t T) f( t T) f( t 2 T)... sağlanır. 1

2 Pratikte birçk elektriksel kaynak periydik dalga frmları üretir. Örneğin, sinüzidal bir kaynakla sürülen filtrelenmemiş dğrultucular (tam dalga veya yarım dalga) sinüzidal lmayan ama periydik çıkış üretirler. Labratuvarlarda sıkça kullandığımız silatörler, sinyal jeneratörleri kare dalga, üçgen dalga veya dikdörtgen dalga periydik işaretler üretirler. Bir başka pratik örnek ise güç jeneratörleridir. Her ne kadar sinüzidal dalga üretmeleri için tasarlansalar da tam sinüzidal işaret üretmezler. Ayrıca, sinüzidal lmayan periydik fnksiynlar elektriksel lmayan sistemlerde de önemlidir. Mekanik titreşim, sıvı akışı, ısı akışı hepsi periydik fnksiynlarla ilişkilidir. Furier ( ) bir periydik fnksiynun trignmetrik seri temsilini ısı akışı için kullanmıştır. Bu seri nun ismini 2

3 taşımakta lup, elektrik devrelerinin periydik uyartım snucundaki kararlıdurum (steady-state) cevabının bulunmasında bir başlangıç nktasıdır. Bir periydik f() t fnksiynu için Furier serisi; f ( t) a a cs( nw t) b sin( nw t), n 1,2,3... larak ifade edilir. v n n n1 burada av, a n ve b n Furier katsayıları lup f() t kullanılarak hesaplanır. w 2 ise f() t periydik fnksiynun temel (fundamental) frekansıdır. T w ın katları, yani 2 w,3 w,4 w,... frekansları f() t nin harmnik frekanslarıdır. 3

4 2w 2 inci harmnik, 3w 3 üncü harmnik, larak ifade edilir. nw n inci harmnik Bir periydik fnksiynun Furier serisine açılabilmesi için (yani yakınsak Furier serisi için) aşağıda verilen Dirichlet kşullarının sağlanması gerekir. i. f() t, tek-değerli (single-valued) lmalıdır. ii. f() t, bir periytta snlu sayıda süreksizlik nktasına sahip lmalıdır. iii. f() t, bir periytta snlu sayıda maksimum ve minimum nktalara sahip lmalıdır. t iv. f () t dt lmalıdır (mutlak integrali alınabilir). t T 4

5 Dirichlet kşulları yeter kşullardır, gerek kşullar değildir. Böylece, f() t bu özellikleri taşıyrsa Furier serisine açılabilir. f() t nin gerek kşulları bilinmemektedir. av, a n ve b n Furier katsayıları bulunduktan snra, periydik kaynağı bir dc kaynak ( a v ) ve sinüsidal kaynakların tplamı ( a n ve b n) larak ayrıştırabiliriz. Periydik kaynağın bir dğrusal devreyi sürmesi nedeniyle kararlı durum cevabı için süperpzisyn tekniğini kullanabiliriz. Bu durumda her bir kaynağa karşılık gelen cevaplar tplanarak devrenin cevabı bulunabilir. Her bir kaynak dediğimiz Furier in temsili kaynaklarıdır. 5

6 Periydik ama sinüzidal lmayan kaynak, Furier serisi ile sinüzidal hale getirilir. Böylece kararlı durum cevabı, fazör analizi ile klaylıkla bulunabilir. 6

7 13.1 Furier Sabitleri Bir periydik fnksiynu temel periydu üzerinde ifade ettikten snra, Furier katsayılarını aşağıdaki eşitlilerle bulabiliriz: a v 1 T t t T f () tdt 2 t T ak f ()cs( t kwt) dt T t 2 t T bk f ()sin( t kwt) dt T t 7

8 Çift-fnksiyn simetrisi (evenfunctin): f() t f( t) 2 T 2 f () tdt T, bk 0, k 0 4 T 2 ak f ()cs( t kw ) 0 t dt T av Tek-fnksiyn simetrisi (dd-functin) f() t f( t) av 0 ak 0, k 4 T 2 bk f ()sin( t kw ) 0 t dt T 8

9 13.2 Furier Serisinin Üstel (Ekspnansiyel) Frmu f () t Cne n jnw t 1 t T jnwt Cn f () te dt T t 9

10 ÖZET: Furier serisi, bir sistem periydik bir sinyalle uyarılırsa, sistemin kararlı-durum cevabını tahmin etmek için kullanılır. Furier serisi, snsuz bir seridir ve snsuz sayıda harmnik ilişkili sinüs ve ksinüs tplamlarından luşur. Furier serisi steady-state cevabın (periydik uyartıma karşılık) bulunmasında analizi frekans dmenine taşımamıza müsaade eder. 10

11 13.3 Furier Transfrmu Furier transfrmu; Furier serisinin aksine periydik lmayan işaretlerin frekans dmeninde tanımlanmasını sağlar. Furier transfrmu, çift taraflı Laplace transfrmunun özel halidir. Burada kmpleks frekansın reel kısmı sıfıra kurulur. Furier transfrmu, Furier serisinin sınırlı halidir. jwt F( w) F { f ( t)} f ( te ) dt 1 jwt f () t F( w) e dw 2 Furier transfrmu aşağıdaki özelliklerin sağlanması gerekir. 11

12 i. f() t iyi/tam-davranan (well-behaved) bir fnksiyn lmalıdır. Nt: ii. İyi/tam davranan fnksiynun anlamı, f() t nin tek değerli lması ve integralinin alındığı aralıkta snlu bir alanı kapsamasıdır. f () t 2 dt iii. f() t nin süreksizlik sayısı snlu lmalıdır. Pratikte, Furier transfrmunun (strict sense de) lmadığı fnksiynlar mevcuttur. Bunlar fnksiynlar, sabitler, Ku() t basamak fnksiynu, sinüzidal fnksiynlardır. Fakat bu tip fnksiynlar, devre analizinde önemli bir yere sahiptir. Bu yüzden bu fnksiynlara en yakın fnksiyn tanımlanır ve Furier transfrmu alınarak limitine bakılır. 12

13 i. Bir Sabitin Furier Transfrmu (, ): Bilindiği üzere bir sabite aşağıdaki gibi üstel bir fnksiynla yaklaşılabilir. t f () t Ae, 0 burada 0 ise f () t A dır. Bu sayede, mümkün lduğunca küçük bir değeri için f() t fnksiynu sabit A değeri ile temsil edilebilir. 13

14 f() t fnksiynunun Furier Transfrmu: 0 t jwt t jwt 0 Fw ( ) Aee dt Ae e dt A A 2 A Fw ( ) jw jw w 2 2 Yukarıdaki denklemde verilen fnksiyn 0 iken w 0 da bir dürtü fnksiynu üretir. Bu snucu: 0 iken Fw nın ( ) w 0 da snsuza ulaştığını, 0 iken Fw nın ( ) sıfırdan farklı lduğu aralığın sıfıra ulaştığını, Fw nın ( ) altındaki alanın dan bağımsız lduğunu, 14

15 göstererek dğrulayabiliriz. Fw nın ( ) altındaki alan dürtünün gücüdür ve aşağıdaki gibi hesaplanır. 2 A dw 1 w 4 4 tan w w 0 1 1w tan /2 dw A A A f() t nin limitinde f() t A ya yaklaşır. F( w ) ise, 2 A ( w) darbe fnksiynuna yaklaşır. Snuç larak A sabitinin Furier transfrmu: F { A} 2 A ( w) 15

16 ii. Limit Durumunda Furier Transfrmuları a) Bir işaret fnksiynun Furier Transfrmu: Bir işaret fnksiynu öncelikle: 1, t 0 sgn( t) 1, t 0 larak tanımlanır. İşaret fnksiynu aynı zamanda birim basamak fnksiynu cinsinden ise aşağıdaki gibi tanımlanır t -1 sgn( t) u( t) u( t) 16

17 İşaret fnksiynun Furier transfrmunu bulmak için ilk larak limitte işaret fnksiynuna ulaşan bir fnksiyn tanımlarız. sgn( ) lim[ t t t e u( t) e u( t)], 0. 0 Yukarıda köşeli parantez içerisinde tanımlı lan fnksiynun Furier transfrmu mevcuttur çünkü Furier integrali yakınsamaktadır. +1 e -et u() t -et e u( -t) 0 t -1 17

18 f() t tek fnksiyn ve Furier Transfrmu: F{ f( t)} s 1 1 s sjw s jw 1 1 2jw 2 2 jw jw w burada 0 iken f () t sgn( t) ve dlayısıyla: 2 F {sgn( t)}. jw 18

19 b) Birim Basamak Furier Transfrmu: Birim basamak fnksiynunun Furier dönüşümünü bulmak için birim basamak fnksiynun öncelikle aşağıdaki gibi ifade edilmesi gerekir. 1 1 ut () sgn() t 2 2 Snuç larak F { A} 2 A ( w) ve 2 F {sgn( t)} lduğu için jw 1 1 F{ ut ()} F{ } F{ sgn( t)} 2 2 F{()} ut ( w) 1 jw 19

20 c) Bir Ksinüs Fnksiynun Furier Transfrmu: cs( wt ) nin Furier transfrmunu bulmak için önce aşağıdaki tanımlamayı yaparız. F { e jw t } 2 ( w w ) daha snra ise cs( wt ) nin Furier transfrmunu aşağıdaki gibi buluruz. 1 {cs( )} jwt jwt F wt F{ e } F{ e } ( ww ) 2 ( ) w w 2 ( ww ) ( w w ) 20

21 13.4 Laplace Transfrmundan Furier Transfrmunu Bulmak F() s in bütün kutupları s-düzleminin sl tarafında ise Furier integrali yakınsar. Eğer sağ tarafta veya jw ekseninde kutup varsa i) Eğer f() t 0, t 0 ise; s jw ile FT alınır. F{ f ( t)} L { f( t)} s jw f 2 () t dt lur. ii) Eğer f() t 0, t 0 ise; s jw ile FT alınır. F{ f ( t)} L { f( t)} s jw iii) Eğer f() t tek fnksiyn ise; F{ f ( t)} L{ f( t)} L { f( t)} s jw s jw Eğer f() t çift fnksiyn ise; F{ f ( t)} L{ f( t)} L{ f( t)} 21 s jw s jw

22 Örnek: i () t 1W i () t g 3W 1H i ( t) 20sgn( t) A ise; i () t ifadesini bulunuz. g Cevap: 2 40 Ig ( w) F 20sgn( t) 20 jw jw I 1 Hw ( ) I 4 jw g 22

23 40 1 I( w) Ig( w) H( w) jw 4 jw I K I 40 K1 K2 ( w) jw(4 jw) jw 4 jw , K ( w) jw 4 jw i t I w t e u t ( ) 1 ( ) 5sgn( ) 10 4 t F ( ) 23

24 i () t 5 5sgn( t) i 5sgn( t) 0 t t e

25 Örnek: Bir önceki örnekte kaynak i () t 50cs(3) t Alması durumunda i () t yi FT kullanarak bulunuz. Cevap: i ( w) 50 ( w3) ( w 3) g 1 H( w) 4 jw I ( w3) ( w3) ( w) 50 4 jw 1 50 () ( ) ( 3) ( 3) w w jwt i t F I w e dw 2 4 jw g 25

26 j3t j3t e e 25 4 j 3 4 j 3 25 e e e e 5 5 j3t j36.87 j3t j cs(3t36.87) i ( t) 10cs(3t36.87 ) Nt: Fazör analizi ile de çözülerek snuç dğrulanabilir. 26

27 13.5 Parseval Teremi Parseval terem snlu enerjisi lan zaman dmenine ilişkin enerji ile fnksiynun frekans dmenine ilişkin Furier transfrmu arasındaki ilişkiyi belirler. Yani zaman dmenindeki snlu enerji, frekans dmenindeki karşılığı arasındaki ilişkiyi tanımlar. f() t nin 1 luk bir direnç üzerinden geçen bir akım veya üzerine düşen bir gerilim larak düşünürsek; Bu f() t ye ilişkin enerji; 2 1 () W f t dt lur. Parseval Teremi bunu Furier Transfrmu ile; f () tdt Fw ( ) dw

28 ilişkilendirir. Yani her iki dmende de enerji (her iki integral lmak şartı ile) hesaplanabilir. Örnek: 40 luk bir dirençten geçen akım 2t i 20 e u( t) A ise 0 w 2 3 rad / sn frekans bandına ilişkin harcanan enerji ranı (40 üzerinde) nedir? Cevap: 40 da harcanan tplam enerji 4t W e dt 4t e J

29 Parseval teremi ile dğrularsak; 20 Fw ( ) 2 jw Fw ( ) W 20 4 w tan w dw 2 4 w J 0 w 2 3 rad / sn 29

30 W 2 3 w 2 4 w dw tan J %

31 Kaynak J. W. Nilssn and S. Riedel, Electric Circuits, Pearsn Prentice Hall. 31