Varyans Analizi ANALYSIS OF VARIANCE (ANOVA) Dr. Musa KILIÇ

Transkript

1 Varyans Analz ANALYSIS OF VARIANCE (ANOVA) Dr. Musa KILIÇ

2 VARYANS ANALİZİ İ örne ortalaması arasında farın önem ontrolü, örne büyülüğüne göre z veya t testlernden bryle yapılır. Bu testlerle, den fazla örne ortalamasını brlte test etme ve aralarında farın önem ontrolünü yapma mümün değldr. İ veya daha fazla örne ortalaması arasında farın öneml olup olmadığını test ederen varyans analzne başvurulur.

3 Varyans Analz (ANOVA) Varyans analz, ya da daha fazla ortalamanın eştlğn, varyansları ullanara test etmeye yarayan br yöntemdr. amamen rassal deney tasarımı modellern analz etmete ullanılır. Varsayımları: Örnelern elde edldğ populasyonlar normal ya da yalaşı olara normal dağılış gösterr. Örneler bağımsızdır. Populasyon varyansları eşttr.

4 EK YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ adet anaütleden n hacml bağımsız tesadüf örneler seçldğnde, bu örnelern ortalamalarından hareetle anaütle ortalamalarının brbrnden farlı olup olmadığı test edleblr. Öncelle adet anaütley belrl rterlere göre farlı şlem gruplarına ayırma gerer. Bu sınıflama şelnde, verler farlı şlem gruplarına ayrılıren şlem grubu çersnde verler brbrnden bağımsız olur. e yönlü sınıflama durumunda verler aşağıda gb gösterlr.

5 İşlemler.. n n n n oplam Ortalama est Hpotezler Kurulablece sıfır hpotez ve alternatf hpotez aşağıda gb olur. H : µ = µ =... = 0 µ H : En az anaütle ortalaması brbrne eşt değldr

6 Hpotezler H 0 : µ = µ = µ 3 =... = µ c üm populasyon ortalamaları eşttr (edav ets yotur) f() µ = µ = µ 3 H : üm µ j ler eşt değldr Populasyonlardan en az brnn ortalaması dğerlernnnden farlıdır. (edav ets vardır) f() µ = µ µ 3

7 est İstatstğ: Varyans analznde temel amaç, den fazla örne çn lern genel ortalama dan sapmalarının areler toplamını, bu sapmalara sebep olan unsurlar tbaryle ısımlara ayırma ve analz etmetr. Bu analz sonunda, örneler arasında uygunlu olup olmadığı yan söz onusu örnelern aynı anaütleye at brer şans örneğ olup olmadıları da ortaya onulmuş olur. n = j= ( ) j değernn, yan örnelerde bütün değerlernn genel ortalamadan gösterdler sapmaların areler toplamının aynağı vardır: j

8 oplam Değşenlğn Sebepler oplam Değşenl = Gruplar arası değşenl + Gruplar ç değşenl

9 n n ( j ) = n ( ) + ( j = j= = = j= ) GK GAK GİK Eştlğn sol tarafında fadeye genel areler toplamı (GK) denr. Eştlğn sağ ısmında fadelern brncs örne ortalamalarının genel ortalamadan gösterdğ sapmalar, dğer se her br örnete değerlern end örne ortalamalarından gösterdğ sapmalardır. Brncsne, gruplar arası areler toplamı ( GAK ), ncsne grup ç areler toplamı ( GİK ) denr. Eşt örneler durumunda GK n = = j= j GİK n( ) GAK = n = = GK GAK = j = j= n = n n( )

10 Gruplar arası areler ortalaması s, gruplar ç areler ortalaması s bölünere varyans analznn test statstğ olan F değer elde edlr. Eşt örne hacmler durumunda varyans analz tablosu; Değşm Kaynağı Kareler oplamı Serbestl Dereces İşlem GAK v =- Hata GİK v = (n-) oplam GK n()- Kareler Ortalaması GAK s = s = GİK ( n ) est İstatstğ F = s s :örne sayısı N:örne büyülüğü

11 Eşt olmayan örneler durumunda, toplam gözlem sayısı N le gösterlrse; GK N n j GAK = = j= = n N = GİK = GK GAK Bu eştllerde üç varyasyon aynağının her br uygun br serbestl dereces le bölünere brer varyans elde edlr. Değşm Kaynağı Kareler oplamı Serbestl Dereces şlem GAK v =- Hata GİK v = N- oplam GK N- = = j = Kareler Ortalaması GAK s = s GİK = N n est İstatstğ F = s s

12 KRİİK DEĞER Çeştl önem sevyeler ve örne büyülüler çn s / s nn hang notaya adar şansa verlebleceğ, hang notadan sonra öneml abul edlere örnelern farlı anaütlelere at oldularına hümedlebleceğ F cetvelleryle tespt edlmştr. Hesaplanan F değer, F tablosundan elde edlen rt değerden üçüse örne ortalamaları arasında farlılı tesadüf; yan şanstan ler gelmştr ve örneler aynı anaütleye attr.

13 Hesaplanan test statstğ, rt değerden büyüse örne ortalamaları arasında farlılığın öneml olduğuna hümedlr ve bu örnelern farlı anaütlelere at oldularına arar verlr. F değer, varyansın brbrne bölümü olduğu çn negatf değer almaz. Bu yüzden F dağılımı sağa çarpıtır. H 0 hpoteznn red bölges eğrnn sağ ucunda yer alır.