BÖLÜM 2 EĞRİ UYDURMA VE İNTERPOLASYON

Transkript

1 BÖÜ EĞRİ UYDURA VE İTERPOASYO - Grş İterpolo polomlrı Bölümüş rlr 4 Eşt rlılı ot dğılımlrı ç bt rlr 5 Küb ple eğrler Kım üb ple eğrler 7 Br üze üzerde terpolo 8 E-üçü reler lşımı

2 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo - BÖÜ EĞRİ UYDURA VE İTERPOASYO Grş Br oou,, otlrıd ble,, değerlerde reetle erg br - r otıd blmee - r değer bulumı lmı gele terpolo teler ı zmd ıl türev ve tegro, d ve ım türevl derel delemler ıl çözümü gb bş ıl ötemler de eıı teşl eder İterpolo ötemler geellle mevcut, ver otlrı eğr ve eğrler udurulmı olul ugulır Bu mçl ullıl oolr terpolo oolrı der İterpolo oou olr çoğu zm çeştl mertebede polomlr ullılır Ac bzı llerde logrtm, epoel, perbol gb d özel oolr, perod ver değerler ç trgoometr oolr ullılblr Ver otlrı eşt rlılı olr dğılmış olu r elı terpolo ötemler, eşt rlılı değle doğrul terpolo, grge terpolou vb ötemler d ugu olur Bu bölümde eğr udurm ve terpolo ç ullıl teler geel olr tıtılctır İterpolo polomlrı Düzlemde det otd c derecede br polom geçrme mümüdür Öreğ P, P 7, 7 8 P, 4 P 4 8, 8 P , 5 7 otlrıı dte llım Bu otlrı l dördüde şelde üçücü derecede br polom üb geçrme mümüdür Herbr otı oordtlrı bu delem ğlcğı ç A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı

3 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı şelde dört delem elde edlr Bu leer delem tımı mtr ormd şelde düzelep, öreğ Gu-elmo ötemle çözülüre üb tılrı olr buluur Y terpolo oou şeldedr Bu göre öreğ otıd r değer ç elde edlr Ver değerler l dördü ere o dördüü ullılmı lde ı otd r değer mutemele br mtr rlı elde edlecetr Doğrul terpolo Br grup otd br polom geçrere terpolo pm ç urıd olduğu gb br leer delem tımı çözme ere, elde edle ormüller, ugu düzelemeler pr doğrud terpolo pm ugu br bçme om mümüdür Öreğ, ve, gb otd şelde br doğru geçrere urıd öteme göre terpolo pm tere, ot oordtlrı doğru delem ğlcğı ç gb delem elde edlr Bu delem tem çözülere tılr ç elde edlr Bölece doğru delem

4 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı - şele gelr Bu delem ve ç düzeleere şelde de zılblr grge polomlrı Şet,,, ve, gb üç otd şelde br prbol geçrlere terpolo pılm tere bu de ot oordtlrı rdımıl delem tem elde edlr bu delem tem çözümü oucud tılr olr buluur Bu durumd prbol delem, ve ç düzeleere e şelde d bt br bçme oulblr Burd büülüler şelde olup bu büülülere grge polomlrı dı verlmetedr Bu örete reetle d üe derecede eğrler ç şelde br geelleştrme pm mümüdür Burd grge polomu d urıd örelere bılr

5 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo -4 şelde zılblr Öre: Br oouu,, otlrıd değerler ırıl,,4 olr verlmş olu lımı lde grge oolrı olr eplblr Bu durumd terpolo oou şelde olup, bu oo ç düzelere 4 şele getrleblr Aı oou c derecede polomu şelde tımlıp, ver otlrı rdımıl zılc 4 4 leer delem tımıı çözere de elde etme mümüdür Urı Br ver dğılımı udurul eğrler, ullıl terpolo oolrı geellle ver otlrıı ürete gerçe ood rlıdır Bu bımd terpolo oouu betl eçlme o derece öemldr Öreğ terpolo ç urıd z edle polom lşımlr ullıldığı ttrde polomu derece gereğde üçü eçlre terpolo değerde t oluşur Polomu değer gereğde büü eçlre terpolo ooud umulmdı ve gerçe ood bulum dlglmlr ort çır İterpolo değer e tlı elde edlr İterpolo oou Gerçe oo A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı

6 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo -5 evlle Yötem Ate ötem evlle ötem grge ötem plı ormd rlı br ugulmı olup, grge ötem zlrıı gderme belee br ötemdr Bu ötemde terpolo değer, polomu derece rdrd rttırılr eplır Polomu değer er rttırıldığıd elde edle terpolo değer br öce değerle ııp ımdığı otrol edlr Yötem lşılblme ç br öre olm üzere,, gb üç ver otıd br oou değerler ırıl,, olr verldğ vrlım Şet l ot rıd doğrul terpolo pılır grge ormülü şelde zılblr Doğrul terpolo o ot rıd pılır grge ormülü ç bu ez elde edlr Üç ot rıd prbol br eğr geçrlere terpolo pılır grge ormülü şelde zılblr Bu ormülde c term tıı A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı şelde düzeleere grge ormülü şele getrleblr Bu ormülü şelde düzeleme mümüdür Burd öşel prtezler çde er l termler d öce doğrul terpolol bulu değerler olduğu dt çemetedr Bu göre:

7 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo - Ver otlrıd oo değerler P P P Ve l doğrul terpolol bulu değerler P P P P P P şelde ede mledrlre prbol lşım oucu elde edle o ormül de ıc P P P şelde düzeleeblr Bu de, çıç görüldüğü gb l doğrul terpololrl bulu değerler rıd pılmış e br doğrul terpolod brettr Souç olr, evlle ötem eıı doğrul terpolo ç zılmış grge ormülü teşl etmetedr grge polomuu derece rttırm ç br öce derecede bulumuş terpolo değerler rıd e br doğrul terpolo pılmtdır Öre: Yd ver otlrı rdımıl 75 otıd terpolo değer bulum te Öce otlrı terpolo otı ol uzlılrı göre ırllım: Yurıd z edldğ gb rdışı doğrul terpololr ugulr şğıd gb br tblo elde etme mümüdür: - P P P P P Burd e ütte tır terpolo otıd çeştl derecelerde grge ormüllerle elde edlece terpolo değerler çermetedr İterpolo değer derecede br grge ormülou dr bell br değere ıdığı, c dördücü derecede grge ormülüü ullılmı lde terpolo değerde br ırm oluştuğu dt çemetedr O lde bu terpolo otıd eplm ç derecede lşımı eterl olduğu lşılmtdır A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı

8 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo -7 tem, lıd bu örete verle değerler derece cde çılr rşılı ü oouu değerler olup terpolo otı ol 75 çııd ü oouu gerçe değer de dr Bölümüş rlr grge ve evlle ötemler bzı olumuz lrı vrdır: - İşlem ıı ço zldır bzı bş ötemlere ıl - Dt etde br ot lve ve çırtılmı lde bütü eplrı bşt eleme geremetedr - Her br terpolo otı ç bezer eplrı terrlmı geremetedr Bölümüş r tblolrı bu olumuzlulrı gdermete rrlı olmtdır,,,, şelde br dt et verlmş olu c derecede br polomu özel olr P şelde düzelemş olduğuu vrlım Burd tılrı ugu eçldğ ttrde urıd bütü dt otlrı bu oou ğlblr İşte bu tılr bölümüş r tblolrı rdımıl elde edlecetr Bölümüş r tblolrı İ omşu ot rıd [, ], [, ], [, ], şelde tıml şlemler brc-derecede bölümüş r olr dldırılmtdır Yüe derecede bölümüş rlr üçü-derecede bölümüş rlr rdımıl elde edlr Öreğ: [,, ] [, ] [, ] [,,, ] [,,, ] [,,, ] Bu vrm ıırıcı-derece ç [ ] şelde ugulır Bu göre öre br bölümüş r tblouu embol olr şğıd gb oluşturblrz: [, ] [,, ] [,,, ] [, ] [,, ] [,,, ] [, ] [,, ] [,,, 4 ] [, ] [,, 4 ] [, 4 ] 4 4 A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı

9 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı -8 Şet öre ıl değerler ullılır şğıd gb br tblo elde edleblr: [, ] [,, ] [,, ] [,, ] Polom tılrıı bulumı Yurıd özel olr P şelde düzelee c derecede polomd ere ırıl ver otlrıı oordtlrı oulduğud P,,, eştlğ ğlmı belemetedr Bu göre P P P P olup, burd l delemde [ ] ve bu değer ullılr c delemde [ ], buluur Bu değerler ullılr üçücü delem şele gelr, bu delemde çelp gerel düzelemeler pılır

10 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo -9 [, ] [, ] [,, ] olduğu görülür Dğer tılr ç de bezer şlemler pr [,,,, ] olduğuu göterme mümüdür Y polomu tılrı bölümüş r değerlere eşttr P [ ] [, ] [,, ] [,,,, ] Öre olm üzere urıd ıl bölümüş r tblou ullılır üçümcü derecede br polom P şelde elde edlr otı ç bu polom rdımıl terpolo pılır P değer elde edlr ot: Aı verlerle ı ot ç terpolo grge ötemle ve evlle ötemle pılmış oldı e ı ouç elde edlrd Bu durum şşırtıcı değldr Zr ullıl polomlr lıd ı olml brlte ötemler rıd dece ugulm rlılığı öz ouudur Bölümüş rlr ötem geel ugulmı Bölümüş rlr ötem le geel br ugulm pre urıd ormülou brz d değştrlere orgze edlmede rr vrdır Bu mçl det otd oluş,,,,, şelde br ver et çerde br otıı çe l m det otı dte llım,,,, m, m Bu otlrd geçrle m c derecede br polom P m m m m P m A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı

11 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo - m- m - m- m - şelde düzeledğ ttrde burd tılrıı bölümüş rlr eşt olcğı öce prgrt göterlmştr Bu göre oo P,,,, m [ ] m şelde zılblr Burd büülüğü bölümüş rı belrtmete olup, d bölümüş rı g mertebede olduğuu, d e bölümüş rlrı g ver otıd tbre eplmış olduğuu de etmetedr Ugulmd terpolo polomuu derece e zl ver etde ot ııd br üçü m olblr m < olm üzere pıl br ugulm ırıd terpolo otıı orml olr < < m rıd olmı gerer Ac terpolo ç ullılc otlrı mümü mertebe terpolo otı otlrı ort bölgede lc bçmde eçlme ugu olur Ac br ver et bşlgıç ve btm bölgelerde bu m otur Bu bımd bşt tbre lere ve od tbre gere doğru eter ıd otı, terpolo otı rd olc bçmde eçlme eterl olur Öre olm üzere şelde otlı ver etde üb br poloml pılc terpololr ç terpolod ullılc otlrı ver et bşlgıç bölgede ıl eçlebleceğ ıd r verlmetedr Bu göre le ve le otlrı rıd bütü otlrd pılc terpololr ç l dört otı lımı mümü e, ve otlrı rıd bölgede pılc A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı

12 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo - terpololr ç bu otlrı olud ve ğıd er l d ı otlrı,,, ve 4 otlrıı lımı d ugu olur ve 4 otlrı le 4 ve 5 otlrı rıd terpololr ç de o dört otı lımı ugu olctırbu durumd çeştl bölgelerde terpolo ormüller de < < P < < 5 P < < P 4 şelde ugulctır Öre: Aşğıd oouu -8 derece rıd verlmş 5 değerde rrlılr r otlrd brc, c ve üçücü derece polomlrl terpolo pılmıştır p dq 89 Ver otlrı Bölümüş rlr İterpolo P P P Eşt rlılı ot dğılımlrı ç bt rlr Ver otlrıı şelde eşt rlılı olmı lde polom ormüller d bt le gelr grge ormüller btleştğ gb bölümüş rlr ere de bt rlr ullılır grge ormüller: Frlı rlılı otlr ç d öce A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı

13 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı - şelde verle grge ormüller eşt rlılı ver otlrı ç olm üzere düzeleere şel lır Bt rlr: Eşt rlılı br,,,,, ver etde Brc-derecede bt rlr,,, İc derecede bt rlr,,, şelde eplır Herg br c derecede rlr e br öce - c derecede rlr cde ±,,,! şelde elde edlr Bölece c derecede br terpolo ormülü bu bt rlr cde P!!! şelde zılblr Burd

14 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo - Bu tp terpolo polomu ewto-gregor ler r polomu olr blr 5 Küb ple eğrler Bu ötemde, verle br [, ], [, ],, [, ],, [, ] ver dğılımı brço otd geçe polomlr udurm ere erbr [, ] rlığıd üçücü derecede br polom geçrlr Polomu ve ve türevler ve otlrıd ürel olduğu bul edlr Ylız, lerde de belrtleceğ gb ve uç otlrıd özel uç şrtlrı ullılır Küb Sple ılşımı Bu göre, [, ] rlığıd br üb polom g şelde tımlır, bu polomu br ve c türevler de g g şelde olur İc türev ve uç otlrıd değerlere ırıl ve delre bğıtılrıd g g A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı

15 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı -4 elde edlr Burd dr Öte d üb ple oouu ve uç otlrıd ve değerler lcğı düşüülüre bğıtılrıd d ırıl buluur Bölece üb oolrı tılrı br te prmetrelere bğlmış olmtdır Y blmeeler buluduğu ttrde üb oolrı tılrı elde edlmş olctır Bu mçl üb oolrı brc türevler uç otlrıd ürel olcğı oşulu dte lıır g g eştlğ ğlmlıdır Burd türevler ırıl g g olup, bulrı eştlğde ve tılr erleştrlere ve büülülere göre ede düzeleere elde edlr

16 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı -5 Brc türevler eştlğde bulu bu o delem ve uç otlrı rç bütü otlrıd ugulr, e br düzelemele,,, R U D şelde zılblr Burd R U D dr Görüldüğü gb, toplm det blmeee rşılı dece - delem mevcut olup, çözüm ç lve deleme d tç vrdır İlve delemler ç ugulblece br ötem ve uç otlrıd ve blmeeler ugu şelde omşu otlrd blmeelere bğlmıdır İlve delemler çeştl şellerde elde etme mümüdür: Uçlrd leer ple: Uç otlrıd üb eğrler brer doğru döüştüler vrılr c türevler ç lve delemler zılblr Uç otlrıd belrlemş brc türevler: Uç otlrıd eğrler eğmler bş br oll belrlep empoze edleblr Şet ol ve ğ uçlrd eğmler ırıl A ve B e üb ple oouu türev ç bulu S bğıtııd B A lve delemler elde edleblr Uçlrd prbol ple: Uç otlrıd üb eğrler brer prbole döüştüler vrılr c türevler ç

17 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı - lve delemler zılblr Uçlrd c türevler etrpolol bulumı: Uç otlrıd c türevler değerler omşu otd değerlerde etrpolo olul bulublr Bu göre lve delemler elde edlr Üçücü Türev Sürellğ: İc türev de br ez d türev lır S ve ve - otlrıd üçücü türevler S S S S şelde ürel olcğı bul edlere lve delemler elde edleblr Perod Küb Sple: ot dğılımıı perod olmı lde e brc üble oucu übğ uç otlrıd S S brc türevler S S şelde eştleere

18 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo -7 lve delem ve rıc e brc üble oucu übğ uç otlrıd c türevler eştleere lve delem elde edleblr Küb ple terpolou Yurıd lve delemlerde ullılmıl elde edle delem tem ler ç çözüldüte or tele erg br otıd terpolo ç e bşt zıl g üb ple oolrı ullılır Burd üb ple tılrı d öce de belrtldğ gb bğıtılrı rdımıl uç otlrıd c türevler cde eplctır Kım üb ple eğrler Küb ple ılşımı, uç otlrıd brc türevler d öcede br bş oll bulumı lde d ol br probleme döüşür ve ım üb ple ılşımı dıı lır T T T T - T T - T - T - T Kım üb ple ılşımı A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı

19 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı -8 Herg br [, ] rlığıd br üb ple ve türev ırıl g g şelde tımlmıştı X ve uç otlrıd polomu değerler ırıl ve, brc türevler değerler de T ve T olm üzere T T,,, delemler zılr bu delemlerde üb ple tılrı: T T T T T,,, şelde elde edlr 7 Br üze üzerde terpolo Br ço müedl problemde br üze üzerde terpolo pm zorululuğu doğr İ değşee bğlı br poloml oo z, şeldedr Böle br oo br üze tımlr Bz bğımız değşe ıı, öreğ zm değşe lvele d zl olblr ve oo d d rmşılşblr Bu durumd rmşılıt urtulm çer br değşe rı rı ele lıblr Öreğ urıd oo, b lıır b b b b z b şele gelr Burd, değşelerde br bt öreğ lr,,b gb br otd z ç terpolo pılbleceğ lşılmtdır Bu terpolo ç d öce z edle erg br te ullılblr Bu şlem,,, gb bş değerler ç de terr edlere z ç d br tblo elde edleblr Bu tblod d b ç terpolo pılblr Öre Aşğıd tblo rdımıl otıd değer tm edz Buu ç öüde udrt, öüde üb terpolo ullıız

20 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo -9 \ doğrultuud udrt terpolo öerldğ ç bu doğrultud üç ot lm eterl olctır otıd terpolo pılmı tedğ ç de bu e ı ol, 5 ve otlrıı lımı ugu olur doğrultuud e üb terpolo öerldğ ç 4 ot tç vrdır Bu göre otı e ı ol,, 4 ve 5 otlrıı lımı ugudur İterpolo şmd gerçeleştrlece olup l şmd ve doğrultulrd br bt tutulup dğer ç terpolo pılc, c şmd e terpolol bulu bu değerler rıd dğer öde terpolo pılctır Öce g doğrultud değer bt tutulcğı uuuu, uvrltm tlrı dışıd öem otur Burd ugulmd öce bt değerler ç terpolo pılctır bt üç rlı değer ç bt r tblolrı şğıddır: z z ²z ³z Bu tblod otlr eşt rlılı dğıldığı ç ewto-gregor ler r polomlrı ullılmış olup, er br değerde otı ç pıl terpololr oucu elde edle ouçlr ve bulr ullılr doğrultuud elde edle bt rlr şğıd tblod er lmtdır X z z ²z Bu tblod pıl terpolol,84 değer elde edlr Alıd bu öre problemde celee ver,e - oou t olup terpolo otıd gerçe değer,85 dr Bu göre terpolod pıl t 5 mertebededr Htı bu dr büü olmıı ede öüde udrt terpolou eterl olmışıdır Bu uu c derecede rlrı büü A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı

21 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo - olmıd d lşılmtdır Bu öde üçücü derecede br ool terpolo pılmı lde t d üçü olctır 8 E-üçü reler lşımı Bur dr z edle ötemler d zde düzgü dğılımlı verler ç ugudur O özellle deeel çlışmlrd üretle verlerde çoğu zm tlr mevcut olup, bu tlı verlere öce ötemler ugulmı lde çltılr ort çır Bu bölümde t çere verlere eğr udurulmı ç d ugu br ötem ol e üçü reler ötem üzerde durulctır Yötem tıtm ç bt br öreğ ele llım Br deeel çlışm ırıd br tel ıclığı le drec rlı öğrecler trıd ölçülere şğıd tblod verle değerler elde edlmştr T C R Om R Om T C 8 Ver otlrı ı zmd gr üzerde de belrtlmş olup, otlrı tm olm d leere ı br dğılım p olduğu görülmetedr Bu ver dğılımı e ugu doğruu udurulmı ç e üçü reler ötem ullılctır Ver otlrıı doğrud uzlılrı t olr teledrlre e ugu doğru, bu tlrı e üçü olduğu doğru olctır Dolııl bu problem br tı e üçüğe drme mmzto problemdr Şet deeel çlışmd ıclılrı doğru ouduğu vrılır tlrı dece dreç oumlrıd pılmış olduğu bul edleblr Ac bzı dreç değerler gerçe değerde büü oumuşe bzılrı d üçü oumuştur Bu durumd tlrı br ımı pozt şretl e bzılrı egt şretldr Şet toplm tı bulm ç tlr bu lle toplır egt ve pozt şretl büülüler br ımı brbr oedeceğde, toplm t olı gereede d üçü buluctır Bu edele tlrı toplm ere tlrı reler toplm ve bulu bu toplm t değer e üçü pm çlışm d doğru olur Şmd Bu göre - ver dğılımıı,,,, le belrtelm - bu udurulc doğruu şelde tımllım - Htlr e A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı

22 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı - - Htlrı reler [ ] e - Htlrı reler toplmı E olctır E üçü reler ötem bu E toplmıı e üçü değer bulumıı edeler buu ç problem prmetre ol ve büülüler e ugu değer bulumı gerer E büülüğüü mmum olmı ç bu büülüğü ve prmetrelere göre türevler ıır olmı gerer: E E Bu eştller ve ç zılmış brer delem olup düzeleere mtr ormd şelde zılblr Bu leer delem tımı çözülere ve büülüler ugu değerler elde edlr Ele lı örete olup delem tımıı çözümüde 95 7 elde edlr Y ver dğılımı e ugu doğruu delem 95 7 ve T R 95 7 şeldedr eer olm verler Bzı llerde ver et o-leer br dğılım götereblr Öreğ: b, b e gb Bu gb durumlrd e üçü reler ötem ugulmı zor olur Bu bımd o-leer delemler leerleştrldte or e üçü reler ötem ugulmı d doğru olur Öreğ urıd oolr logrtm lır

23 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo - l l b l, l l b şele getrleblr Bu oo rtı doğruldır E üçü reler polomlrı D öce poloml ılşım ugulmlrıd det otd - c derecede br polom geçrlebleceğ tırltılr bu lee d grge polomlrıd ve çeştlemelerde öz edlmşt Arıc - c derecede polomu bütü ver otlrıd geçtğ tırltılmıştı Ver et düzgü br dğılım p olmmı lde bütü otlrd geçe br polom çltı götereblr Ver ete d düzgü br eğr udurulmı tere polomu d düşü derecede olmı gerer Bu göre ılşım polomu şelde tımlır, bu polomu elde edleblme ç bütü,,,, tılrıı değerler bulumı gerer Y problemde blmee det prmetre mevcuttur Bu tımlml tlr e tlrı reler e reler toplmı E olup, reler toplmıı e üçü değer elde etme ç E toplmıı,,,, premetrelere göre türevler ıır olmı geremetedr: E [ ],,,, Bu şelde elde edle det leer delem eş-zmlı olr çözülere tılrı elde edleblr Buu ç urıd delem tem düzeleere,,,, şelde ve mtr ormd çı olr A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı

24 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı - ve şelde zılblr Bu delem tem Gu elmo ötem le çözüleblr Öre: Aşğıd ver otlrı e üçü reler lşımı le udrt br eğr uduruuz Çözüm ^ ^ ^ 4 ^

25 Bölüm - Eğr udurm ve terpolo -4 ot: Tblod erbr ütuu ltıd toplmlr er lmtdır Bu toplmlr lş tırı ltıd leer delem tımıı tılrı ve ğ tr vetörüe, d lt tırlrd d leer delem tımıı Crmer ötem le çözümüe er verlmştr Tblou e ğ ütuud e üçü reler ötemle elde edle prbol eğr üzerde otlrı oordtlrı er lmtdır Gr üzerde drelerle ver otlrı belrtlmş olup dolu çzg e üçü reler ötemle elde edle prbol eğr teml etmetedr A Yüele, H54 Ugulmlı Sıl Yötemler Der otlrı