BÖLÜM 1 ADĐ DĐFERANSĐYEL DENKLEMLERĐN SAYISAL ÇÖZÜMÜ

Transkript

1 BÖLÜM ADĐ DĐFERANSĐYEL DENKLEMLERĐN SAYISAL ÇÖZÜMÜ. Grş. alor sers ötem. Euler ötem. Ruge-Kutta ötemler. Ço adımlı ötemler.6 Yüse-derecede delemler ve delem sstemler.7 Sıır değer problemler

2 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü - BÖLÜM ADĐ DĐFERANSĐYEL DENKLEMLERĐN SAYISAL ÇÖZÜMÜ. Grş Gerçe aatta brço problem, türevler arasıda lş görme daa ola olduğuda derasel delemlerle modeller. Öreğ Newto u c auu ma vme ızı zamala değşm olduğu atırlaara a dv dt dv dt m şelde brc derecede ad derasel delem, vea ızı da mesae türev olduğu atırlaara v ds dt d s a dt m şelde c derecede br ad derasel delem ale getrleblr. Đvme sabt olması alde bu delemler aalt çözümler sırasıla v ( t) at v s ( t) ½ at v t s şelde olup, çözümlerde er ala v ve s sabtler sırasıla ız ve oumu başlagıç değerlerdr. Bu delemler ullaılara, bağımsız değşe ola t zamaıı erag br değerde v ızıı ve s oumuu saısal değerler elde edleblr. Brço derasel delem aalt olara çözüleblr ve bulua geel çözümde delem derecese eşt saıda e tegral sabt er alır. Şaet sabt saısıca oşul ortaa oulursa sabtler değerler elde etme mümü olur. Bütü oşulları bağımsız değşe aı değer ç belrlemes alde problem başlagıç değer problem olara adladırılır. Koşullar bağımsız değşe arlı değerde, özellle lglele br bölge sıırlarıda verldğ tadrde problem sıır değer problem olara teledrlr. Bu bölümde ad derasel delemler çözümü ç ullaıla saısal teler ele alıacatır. Problem saısal olara çözümü ç gerel saıda oşulu blmes ve bu oşulları saısal çözümde ullaılması gereldr. Çözüm telere alor-sers ötem le başlaacatır. alor sers ed başıa br ötem olmala almaıp dğer başa brço ötem esasıı teşl eder. Öce brc-derecede başlagıç-değer problemler celeece, daa sora üse-derecede problemler ve sıır değer problemler ele alıacatır. M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

3 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü - Başlagıç-değer problemde saısal çözüm br başlagıç otasıda başlar. Bu otada tbare bağımsız değşe değer arttırılara çözüm adım adım devam ettrlr. Sıır değer problemde se çözüm br sıırda başlatılara dğer sııra doğru lerletlr ve bu sıırda oşul sağlamaa çalışılır. Bu da aca terat olara gerçeleştrlr. Br derasel delem çözülme stedğde gerçete br çözümü olduğuda ve bu çözümü te olduğuda em olumalıdır. Bu usus d/ (,) eştlğde (,) osouu Lpsctz şartıı sağlamasıı gerel ılar: (,) osouu (, ) otasıı çe ala br R bölgesde taımlı ve sürel olduğuu varsaalım. Bölge apalı ve br ddörtgele sıırlı olduğuu abul edelm. Şaet R bölgesde bütü, ve ler ç (, ) (, ) < L eştszlğ sağlaaca br L varsa (,) osou Lpsctz oşuluu sağlar. Bu bölümde bütü örelerde ve problemlerde bu oşul sağlamatadır. Br sıır-değer problem çözümüü var ve te olması ç bezer oşullar söz ousudur. p, q ve r büülüler sadece osou olduğu d u pu' qu r, a b u( a ) ul, u( b ) ur bçmde br leer problem, şaet: - p, q ve r büülüler [a,b] aralığıda sürel se ve [a,b] aralığıda q > se çözümü vardır ve tetr.. alor-sers ötem Bldğ gb alor sers çoğu osou uvvet sers şelde ade etme br oludur. a cvarıda alor açılımıda (-a) büülüğüü üslerde oluşa termler atsaıları osou türevler a da değerler çerr. Buu alamı, br osou ve türevler a otasıda değerler blorsa bu osou bütü otalarıda değerlerle aı değerler verece br uvvet sers azılableceğ demetr. Burada celemelerde a ere ullaılacatır. Br () osouu brc türev (,) şelde ve osou başlagıç değer de ( ) şelde verlmş olsu. Bu blgler ullaılara () osouu cvarıda alor açılımı azılablr. Bu açılım ç gerel ola (,) büülüğüü stele derecede türevler alıablr ve da değerler esaplaablr. Aca () türevde aıda değer blmee büülüğüü de er alması alde türev değer esaplaması pe ola olmaacatır. Bu gb durumlarda üse derecede türevler csde ve daa üçü derecede türevler csde ade edlr. d Öre olara, () (.) problem ele alalım. Bu delem aalt çözümü ( ) e M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

4 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü - şelde olup, da alor açılımı apılırsa ( ) ( ) ' ( )( ) ( ) ( ) ' '' ( ) ( ) L ' '!! Şaet - delrse ( ) ( ) ' ( ) ( ) ' ''( ) '' L (.)!! Burada ( ) term değer başlagıç şartıda ()- olara blmetedr. (Açılım da apıldığıda bu örete ser aslıda br Maclaur sersdr). Serde c term atsaısı (.) delemde ve - oulara şelde elde edleblr. ( ) ' ( ) ( ) ( ) ' Đc- ve daa üse derecede türevler, brc türev ç verle (.) eştlğde ardarda türevler alıara elde edlecetr. Bu türevler değerler da esaplaara ser üse derecede termler atsaıları elde edlr: ' ' ' ' ' ( ( ) ( ) ' ' )( ) ' ' ' ' ' ' ' '' ( ( ) ( ) ) ( ) Bölece otasıda osou değer elde etme ç ser çözümü ( ).... ata şelde azılır. Aşağıda tabloda le.6 arasıda saısal ve aalt çözümler er almatadır. Görüldüğü gb <. ç uum e >. alde ar gdere artmatadır. Serde daa azla term alıması alde uumlu bölge geşleeceğ açıtır. Öreğ serde ( )..... ata şelde beşc derecee adar türevler alıması alde souçlar tablou sağ ololarıda görülmetedr.. türeve adar saısal. türeve adar saısal Aalt () Hata () Hata Bu esapta ata serde ullaıla e so termde sora term değer le arasıda erag br otada esaplaara elde edleblr: () ata < ( ξ), < ξ M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

5 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü - So otada ataı e büü olacağı düşücesle ataı tam değer.6 otasıda ata (. 6). 9 olara elde edlr tabloda mevcut ata değere aıdır. () türev ade ede osou uarıda gb bast olmadığı allerde üse derecede türevler esaplaması da ola olmaz. Öreğ ( ) ' Blgsaarlar bu gb türevler esaplaaca şelde programlamamala brlte Maple ve Matematca gb azılımlarla türevler elde etme mümüdür. Öre Derasel delem d ( ) Aalt çözümü d [ ] [( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) d d d d otasıda ardarda türevler,,, olup, alor açılımı ( ) ( ) Öre Derasel delem Aalt çözümü otasıda türevler d ) ( ) e ( d d d KK d d d d d ( ) d ( ) d d 8 M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

6 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü - alor açılımı ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )! (!! ) 8 K (! ) K Aalt çözümde espoasel ade ser açılımı e ( ) ( )!! K olup alor açılımıı aalt çözümle aı çözümü verdğ görülmetedr. Aca çözümü ser olara verlmes alde assaset serde alıaca term saısıa bağlı olacatır. Öre Derasel delem Aalt çözümü d ( ) C e ( ) e e Başlagıç şartı ( ) olma üzere C esaplaara [ ] ( ) ( ) e Vea otasıda değer [ ] ürevler d d d K d ( d ) ( ) alor açılımı ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )]!! K Vea [ ] ( ) ( ) K!! Burada öşel paratez çde er ala term aslıda e espoasel büülüğüü açılımı olup e alor açılımıla aalt çözümü aıı elde edldğ, sadece çözümü ser ormda verldğ görülmetedr.. Euler ötem Euler ötem alor-sers sadece brc derecede term ullaa br ötemdr: ( ) ( ) ' ( )( ) ata, ata ' ' ( ξ) O( ) M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

7 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü -6 Bu ade ( ) ( ) ( ) ' şelde düzelerse osou otasıda değer [,( )] otasıda çzle br teğet le elde edlmete olduğu ve bu baımda br mtar ata çereceğ olalıla görüleblr. Şaet - artımı eterce üçü tutulursa ata üçü olacatır. Br ez otasıda değer elde edldte sora e br adımda aı esap terar edleblr: () Euler ötem le esaplaa ota da eğm Gerçe çözüm otası ( ) ' O (.) Burada ata loal ata olup, ço saıda adım atıldıta sora ata O() mertebesde olacatır. Yötem, ( ) başlagıç değer le verlmş br () (,) osou ç programlaması gaet oladır. Öreğ öce paragrata da celee d, ( ) delem. ç çözümler aşağıda tabloda suulmuştur. ' ' Aalt Hata Bu tabloda er br satırda değer, br öce satırda er ala değere öce satırda esaplamış ola değer eleere elde edlmştr. Görüldüğü gb. otasıda oso değer.66 ata le elde edlmştr. Buu ede adım uzuluğuu ço büü olmasıdır. Hata le oratılı olduğua göre vrgülde sora dördücü aede assasetle çözüm elde etme ç adım uzuluğuu 6 at üçültme geremetedr. Öreğ adım uzuluğu arı azaltılara elde edle souçlar aşağıda tabloda görülmetedr. ' ' Aalt Hata, -,,, -,,, -,9,8, -,969 -,69, -,97,77,8 -,9 -,7, -,87,7,86 -,88 -,, -,8,,8 -,869 -,67, -,8,,67 -,86 -,6, -,88,8,6 -,8 -,78, -,79,9,7 -,86 -,9, -,796 -,97 -,9 -,896 -,7 M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

8 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü -7.. Bast Euler ötem leştrlmes Çoğu bast ötem soruu adım uzuluğuu so derece üçü olmasıa geresm duulması ve büü adım uzuluğuda eterce doğru souç vermemesdr. Şelde bast Euler ötem üçü br lave çabala asıl br mtar leştrlebleceğ görülmetedr. Euler ötemde başlagıç otasıda esaplaa brc derecede türev aslıda gerçe osou temsl ettğ eğr bu otada teğetdr. Bu teğet üzerde doğrultusuda adar lerleere bulua otası, adımıı büülüğüe bağlı olara eğr uzağıa düşmetedr. Bu otaı eğre alaştırmaı, a daa doğru çözüm elde etme br olu da türev ere ortalama br türev ullamatır. Bast Euler ötem le esaplaa ota da eğm Gerçe çözüm otası Euler ötemle bulua ullaılara de esaplaa eğm Euler ötemde leştrme erag br otasıda eğm ere, buula br sora otasıda elde edlece türev ortalamasıı ullaara ' ' (.) şelde apılablr. Aca ormülü bu şelde doğruda ugulaması mümü değldr. Zra burada türev otasıda türev olup, türev değer aı zamada büülüğüe bağlı olablr çözümü bu aşamasıda eüz blmemetedr. Dolaısıla çözüm aşamada gerçeleştrlecetr. Brc aşamada bast Euler ötem le alaşı br değer elde edlece, bu değer ve brlte ullaılara türev esaplaaca, daa sora (.) ormülüle e değer esaplaacatır. Aslıda bu ötem brc aşamasıda elde edle değer ata çerdğde buu ullaılmasıla elde edle türev de br mtar atalı olacatır. Dolaısıla ortalama türevle apıla esaplamada da ata söz ousu olacatır. Aca bast Euler öteme ıasla bu ata daa üçü olacatır. Ortalama türevle elde edle değer terar ullaılara türev ede esaplaması ve buu da br öce esaplaa türevle ortalaması alıara değer ç daa br tam apılması, atta bu şlem terat olara devam ettrlere çözümü ço daa leştrlmes mümüdür. Aca ler paragralarda za edlece gelşmş ötemler date alıırsa bu ötem zamete gere olmadığı görülür. Öre olara öce paragralarda ele alıa d, ( ) problem ç bu leştrlmş ötem aşamalı olara ugulamış ve souçlar aşağıda tabloda verlmştr. M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

9 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü -8 ' ' 'ort Aalt Hat a Đleştrlmş Euler ötem atası, alor ser ötemle arşılaştırılara elde edleblr. ( ξ) ' '' ' '', < ξ < 6 Burada c türev ere şelde ler ar alaşımı alıırsa '' ' ' ' ' ( ) O( ) ' O ( ) O( ) ' ' ' O ' ' ( ) O Görüldüğü gb leştrlmş Euler ötem atası O( ) mertebesde olup, bast öteme göre br mertebe daa dr. Aca bu ata loal ata olup, adım adım apıla br tegraso sırasıda ata brmes olacatır. Đtegral aralığıda toplam ata O( ) mertebesde olacatır... Bast Euler ötem ç arlı br leştrme ötem Yuarıda görüldüğü gb leştrme ötem Euler ötemde ullaıla eğm ortalama br değer ve otalarıda eğmler ardımıla bulma esasıa daamatadır. Buu uarıdade başa br olu da orta-ota ötemdr. Bu ötemde tegral adımıı orta otasıda eğm ortalama eğm olara ullaılır. Buu ç bast Euler ötemle / otasıda değer esaplaır. Bu otada eğm esaplaara ullaılır... Ruge-Kutta ötemler Bast Euler ötem alor sersde br term alıara çıartılmıştı. Değştrlmş Euler ötem de alor sersde term ullaılara çıartılablr: ( ) ( ) ' ( ) ' ' ( ) Şaet c türev br ger ar alaşımı le temsl edlrse ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

10 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü -9 ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) şelde öce paragrata çıartıla leştrlmş Euler ötemle aı ormülaso elde edlr. Alma matematçler Ruge ve Kutta alor sersde de azla term alara Euler ötem daa da leştrlebleceğ görmüşlerdr. Đleştrlmş Euler ötem c derecede br Ruge-Kutta ötemdr. Bu paragrata sadece dördücü- ve beşc-derecede Ruge-Kutta ötemler celeecetr. Đc-derecede Ruge-Kutta ötemlerde osou br otasıda ( ) değere ve gb büülüğü ağırlılı ortalamaları lave edlmetedr. a b (, ) ( α, β ) (.8) Burada ve büülüler değşe adar artığıda de görüle değşmler olara düşüeblrz. Çüü bular de değşm le eğr çeştl erlerde alımış d/ türev çarpımlarıda oluşmatadır. Ruge-Kutta ötemler de artımı l term olara ep Bast Euler ötemle elde edle değer ( ) ullamatadır. Artımda c term ( ) se ve değerler, adımıı sırasıla α ve β çarpaları oraıda arttırılmasıla elde edle e ve değerlerle bulua eğmle lgldr. a, b, α ve β parametreler seçme bağlı olara değş Ruge-Kutta şemaları elde edlr. alor sers (, ) (, ) L (,) türev ' d d olup, uarıda ullaılara L (.9) Geel Ruge-Kutta şeması (.8) a (, ) b [ α, (, )] β (.) Bu so bağıtıı (.9) le arşılaştırablme ç so term brc mertebede alor serse açılırsa [ α β (, )] ( α β ), (.) a, b α β ve bu açılım (.) da erleştrlrse ( ) ( ) a b αb βb (.) Bu so bağıtı düzeleere ( ) ( ) Şmd (.) bağıtısı (.9) le arşılaştırılırsa bu bağıtıı eşdeğer olması ç a b, αb, βb M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

11 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü - olması geretğ görülür. Aca bu üç bağıtıa arşılı belrlemes geree dört parametre mevcuttur. Br parametre e seçlere c-derecede çeştl Ruge-Kutta ormülasoları elde edleblr: Öreğ verr. a, b, α, β Orta-ota ötem a, b, α, β Đleştrlmş Euler ötem a, b, α, β br başa ötem E ço ullaıla Ruge-Kutta ötemler dördücü-derecede ötemlerdr. Bu ötemler ormülasouu elde edlmes ç de uarıdae bezer şlemler apılır ve parametrel, deleml br sstem elde edlr. Đ parametre e seçlere dğer parametreler esaplaır. E ço ullaıla dördücü-derece Ruge-Kutta ormülasolarıda brs aşağıda gbdr: 6 ( ) (, ),, (, ) Bu ormülaso, öre olara brc-derecede d, ( ) deleme. olma üzere [.-.6] aralığıda ugulamış olup souçlar aşağıda tabloda verlmştr. ort Aalt Hata Görüldüğü gb saısal souçlar aalt souçlarla vrgülde sora beşc aee adar umata olup, daa öce za edle ötemlere ıasla al tatmar souçlar elde edlmetedr. Dördücü-derecede Ruge-Kutta ötem loal atası O( ) ve global atası O( ) da mertebesdedr. Đc-derecede ötemlere ıasla ço daa et olması daa üse derecede ötemler de daa avatajlı olableceğ ala getrmele brlte, derece büüdüçe oso esaplama saısıı da artacağı uutulmamalıdır. M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

12 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü -.. Ruge-Kutta-Felberg ötem Ruge-Kutta ötemle apıla tegrasou doğruluğuu tespt etme br olu br adımda esaplaa souç le bu adım e bölüere adımda apıla e br esapla elde edle soucu arşılaştırılmasıdır. Đ souç arasıda ar eterce üçüse apıla esabı doğru ve seçle adım uzuluğuu ugu olduğu abul edlr. Far büüse adım uzuluğu terar e bölüür ve aı şlem terar edlr. Aca bu ötem apıla şlem saısıı al arttırır. Farlı br alaşım da arlı derecede Ruge-Kutta ötemler ugulamasıdır. Bu tp alaşımlarla şlem saısıda tasarru sağlaablr. Öreğ, dördücü- ve beşc-derecede brer Ruge-Kutta ormülasoula esap apılıp souçlar arşılaştırılablr Ruge-Kutta- Felberg ötem bu tpte br alaşımdır. Ruge-Kutta-Felberg ormülasou aşağıda gbdr: (, ), 9, , , , global ata ( ) O O ( ) Hata: E Ruge-Kutta-Felberg şeması, ve / adımlarıla esap apma ere arlı ata mertebesde dördücü- ve beşc derecede Ruge-Kutta ormülasoula esap apıp souçları arşılaştırma esasıa daamatadır. Bu ötem avatajı er esaplamada da aı ları ullaılması suretle şlem saısıda tasarru sağlamatır. d Öre olara br ez daa, ( ) delem ele alımış olup,. olma üzere atıla br adımla elde edle souçlar aşağıda tabloda suulmuştur. M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

13 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü -.. (RK) -.9 ata (RK) (RK) -.9 ata (RK) tam çözüm -.9 E Görüldüğü gb dördücü-derecede Ruge-Kutta şemasıla elde edle souç tam souca vrgülde sora edc aee adar uare, beşc-derecede şemala bulua souç vrgülde sora sezc aee adar umatadır. Buu ç lave esap ( ve 6 ) etmştr... Ruge-Kutta-Merso ötem Ruge-Kutta-Merso ötem arlı değer esapladığı br başa dördücü-derecede Ruge-Kutta şemasıdır: (, ),, 6 6, 8 8, O 6 ( ) ( ) Hata: E 9 8 ( ).. Ruge-Kutta-Gll algortması. mertebede ötemler arasıda e ço terc edle brs de Ruge-Kutta-Gll algortmasıdır: (, ),,, 6 M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

14 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü -. Ço adımlı ötemler Euler ve Ruge-Kutta ötemler, br adımda tegral değer esaplama ç sadece e so adımda bulua değerler ulladılarıda te-adımlı ötemler olara teledrlmetedr. Bu özelllerde dolaı er br adımda esabı arlı br adım uzuluğu ullaara apablmete ve arıca başlagıç şartlarıı br otada verlmes alde çözümü başlatablmetedrler. Derasel delem çözümü br otada başlatılıp l adımlar atıldıta sora çözüm apılmış ola otalarda oso ve türevler aıda br blg sağlamış olmatadır. Bu blgler blgsaar aızasıda salaara tegrasou devamı ç ullaılablr. Bu şelde öce otalarda elde edle blgler sora otalarda tegraso ç ullaa ötemler ço adımlı ötemler olara adladırılır. Ço adımlı ötemler, daa açı br adele, ve ü öce değerler ullaara türev osoua br polom udurup, bu polomu sora adım ç estrapole edere tegral alma esasıa daaırlar. Bu tpte çoğu ötemde polomu oluşturulmasıı olalaştırma açısıda eşt adım uzuluğu ullaması terc edlr. Kullaıla geçmş otaları saısı polomu dereces ve dolaısıla esme atasıı mertebes belrler. Yötem dereces global ata termde büülüğüü üssüe eşt olup polomu derecesde br büütür... Üçücü-derecede Adams-Basord ötem Ço adımlı tp br ötem Adams-Basord ötem dr. Bu öteme at ormülasou çıartma ç brc derecede br derasel delem d (, ) şelde düzeleelm ve le aralığıda tegral alalım: d (, ) Bu eştlğ sağ taraıı tegral alablme ç (,) osou bağımsız değşe csde br polomla alaşı olara ade edlecetr. Polom, esaplaa so üç otada ararlaılara esaplaırsa uadr, dört ota ullaılırsa üb olur. Ne adar ço ota ullaılırsa (uvarlatma ataları öeml olmadığı müddetçe) çözümü doğruluğu da o adar artacatır. Iterpolaso polomlarıı elde edlmese öel çeştl ötemler vardır. Đterpolaso polomlarıı Matematca azılımı vasıtasıla da olalıla elde etme mümüdür. Kuadr alaşım ç terpolaso polomu otası başlagıç otası olma üzere taımlaa br ese taımıda geel olara - - (, ) P( ) a a a şelde ade edlrse, üç otaı oordatları bu polomu sağlaacağı ç ( ) a ( ) a a a ( ) a ( ) a a ( ) a ( ) a M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

15 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü - Brc delemde a Đc ve üçücü delemlerde a a a a Katsaılar çözülere a a ( ) ( ) Bölece terpolaso polomu ç (, ) ( ) ( ) ve bu oso da - aralığıda tegre edlere ( 6 ) O( ) (.) elde edlr. Bu ormül te-adımlı ormüller adırmala brlte türev atıla adımda bazı otalarda esaplaa değerler ere daa öce adımlarda esaplaa değerlerde ararlaılmatadır. d Öre olara daa öce olduğu gb, ( ) delem ele alara.6 da değer esaplaalım. Bu delem. ve. de çözümler te-adımlı br ötemle elde edlere bu değerler ardımıla Adams-Basord ötem ugulaablr. e-adımlı ötem olara Ruge-Kutta- Felberg ötem ullaıldığı esap souçları aşağıda tabloda er almatadır. Aalt (,) Hata Hataı azaltma ç adım uzuluğu üçültüleblr.. ç souçlar aşağıda tabloda suulmuştur: Aalt (,) Hata M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

16 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü -.. Dördücü-derecede Adams-Basord ötem Ad derasel delem çözümüde geçmş dört otada değerlerde ararlaılması alde üb poloma eşdeğer br tegral söz ousu olup bu durumda Adams-Basord ötem dördücü-derecededr. Bu ötem ormülasou belrlememş atsaılar ötemle elde edleblr. Buu ç ( ) c c c c eştlğde C sabtler değerler araştırılacatır. Bu amaçla apılaca şlemler olalaştırma ç ese taımı olaca şelde adırılırsa, - olma üzere ( ) c ( ) c ( ) c ( ) c ( ) azılablr. Formülaso, polom üb vea daa üçü derecede e geçerl olacağıda () ere sırasıla,, ve osoları alıara atsaılar araştırılacatır: ( ) ç c ( ) c ( ) c ( ) c ( ) ( ) ç c ( ) c ( ) c ( ) c ( ) ( ) ç c ( ) c ( ) c ( ) c ( ) ( ) ç c ( ) c ( ) c ( ) c ( ) Delemler matrs bçmde azılırsa ve çözülürse 7 8 c / 9 c / c / c c, c, c, c elde edlr. Bölece dördücü derecede Adams-Basord ötem ormülasou ç 9 (.) [ 9 7 ] O( ) buluur. Bu ötem atası da üb terpolaso polomu tegre edlere: M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

17 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü -6 şelde elde edlr. E 7 () ( ξ) d Öre olara e daa öce, ( ) problem ele alımış olup,.;.;.; ve. otalarıda esaplaa değerler uarıda ormülde ullaılara.6 otasıda elde edle oso değer aşağıda tabloda suulmuştur. Hataı e adar azaldığıı gösterme üzere aı tabloda üçücü-derecede Adams-Basord ötem le elde edle souca da er verlmştr. Aalt Hata (. Derece) (. Derece).. Adams-Multo ötem Adams ötem leştrlmş br şel Adams-Multo ötemdr. Bu ötem Adams-Basord ötem ögörücü predctor olara ullaıre, lavete br de düzeltc corrector şeması ullaır. Düzeltc aşaması br başa üb polom ullaılmasıa daamatadır. 7 () Ögörücü aşaması [ ] ( ξ ) (.6) 9 7 () Düzeltc aşaması [ 9 9 ] ( ξ ) (.7) Bu ormüller ullaılara d /, ( ) problem ç. ve. de elde edle souçlar aşağıda tabloda er almatadır. Bu otalarda öce çözümler Ruge-Kutta-Felberg ötem ullaılara elde edlmştr. (,) Ruge-Kutta-Felberg Ögörülmüş Düzeltlmş Aalt Hata Görüldüğü gb ögörüle değerle düzeltlmş değer vrgülde sora beşc aee adar umatadır. (.6) ve (.7) bağıtılarıda ata termler, bularda beşc türevler aı olduğu varsaılara brbrle arşılaştırılırsa gerçe değer ögörüle ve düzeltlmş değerler arasıda olacağı görülür. Düzeltlmş değerde ata da, düzeltlmş değerle ögörülmüş değer arasıda arı 9 / 7 / 7 9 / M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

18 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü -7 atı cvarıda olacatır. Ögörülmüş ve düzeltlmş değerler arasıda ar stee doğruluta daa üçü se adım uzuluğu arttırılara şlem saısıda tasarru sağlaablr. Vea as durumda adım uzuluğu azaltılır. Adams-Multo ötem, Ruge-Kutta-Felberg ve Ruge-Kutta ötemlere ıasla at daa etdr..6 Yüse-derecede delemler ve delem sstemler Müedslte arşılaşıla ad derasel delemler çoğu zama üse derecededr. Bölümü başıda verle Newto auu öreğ atırlaırsa, bu auu temsl ede delem zama değşe csde düzeledğde c derecede br ad derasel delem şele gelmşt: d dt m Bu delem adet brc derecede ad-derasel deleme döüştürere saısal çözümüü apma mümüdür. Buu ç dt u şelde e br değşe taımlaırsa uarıda delem du dt m şele gelr. Bölece c-derecede ola orjal delem ere brc-derecede ola bu so delem çözülür. Bu delemler çözümü ç, başlagıç oumu ve u başlagıç ızı gb adet başlagıç oşulua taç vardır. Bölece /dt delem çözümü le ve du/dt delem çözümü de uu le başlatılır. Đc br öre olma üzere şelde a-ütle sstem ele alalım. m ütles aıı otrolü altıda ata üze üzerde sürtümesz olara areet etmetedr. r arıçaplı teerle şelde m ütles se aıa bağlıdır. m,r Bu sstem areet delemler sırasıla d dt d dt ( m.m ).m d d.m.m dt dt m şelde azılablr. Bu delemler c-derecede ad-derasel deleml br delem taımı oluşturmatadır. Bu sstem saısal olla çözme ç dört adet brc-derecede ad derasel deleme döüştürülmes gerer. M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

19 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü Brc-derecede delem sstemler: Yüse derecede delemler de souçta brc derecede delem ssteme döüştürülere çözüldüğüe göre öcelle brc-derecede ad derasel delem sstemler asıl çözüleceğ üzerde durma gerer. Buu ç öre olara d d,, ( ) ( ) (.) Delem sstem ele alalım. Bu delem sstem. de gerçe çözümü.996, olara blmetedr..6. alor-sers ötem: Yuarıda öre problemde bu ötem ugulaması ç ve osolarıı çeştl derecelerde türevler da değerlere taç vardır. Bölece,,,,,, () ( ) () ( ) () ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) ( ) 7 () ( ) ( t) L ( t) L 7 (.) elde edlr. Bu bağıtılar ullaılara. de çözüm ç de.99 ve -.99 buluur. Yuarıda (.) bağıtılarıı elde edeblme amacıla ve osolarıı erag br derecede türevler esaplare bu osoları daa düşü derecede türevler daa öcede esaplamış olması geretğ dat çecdr. Ya brc türevler esaplamada c türevler vea üçücü derecee adar türevler esaplamada dördücü derecede türevler esaplaması mümü değldr. alor-sers ötem ata mertebes serlerde aç term alıdığıa bağlı olacatır..6. Euler ögörücü-düzeltc ötem: Bu ötemde öce er deleme ögörücü algortması ve ardıda da düzeltc algortması ugulaacatır. Bu aşamalar sırasıla M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

20 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları -9 Ögörü algortması: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Düzeltc algortması ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) şeldedr. da ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olup. ç ögörü aşamasıda ( ) ( ) ( ).. ( ) ( ) 9..9 elde edlr. Bu değerler derasel delemlerde ve düzeltc algortmalarda sırala ullaılara ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).7. ( ) 9. ve ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).8. ( ) 988. elde edlr. Burada düzeltc aşamasıda () esabıda geree () esaplaıre () e so bulua düzeltlmş değer ullaılmıştır. Düzeltlmş değerler terar türev esabıda ullaıp br ez daa düzeltc algortmaları ullaara daa değerler elde etme mümüdür: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).7. ( ) 9. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).86. ( ) 989. Aca zlee bu ol daa uvvetl br ötem adar et değldr.

21 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü -.6. Ruge-Kutta-Felberg ötem: Burada da () ve () ç ardarda döüşümlü olara ürütüle br esaplama söz ousudur. Aı zamada er deasıda e so esaplaa değerler ullaılmatadır. Ya esaplarda (), (), (), (),... şelde br sıra zlemetedr. Öre problemde delemler d () d () g (,, ), ( ) () (,, ), ( ) () () () () () () () olduğu atırlaara Ruge-Kutta-Felberg ötemde atsaılarıa at ormüller () () g (, (), ) ( ) () () () (,, ) ( ) () () şelde düzeleeblr. Burada () () () () 6,, 8,,,, ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 9( ) 7 ( ) ( ) ( ) L, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8( ) L, ( ) ( ) 6 8( ) ( ) ( ) ( ) L, ( ) 6 6 ( ) 7 ( ) ( ) 9 ( ) 9( ) L 97 9( ) 8( ) L 6 8( ) ( ) L 7 dr. Bu durumda ötem beşc derecede ormülasou da () ve () osoları ç sırasıla () () () () 6 6 () () () () () () 9 9 () () () 6 () 6 şelde azılablr.. olma üzere. ç apıla esap souçları aşağıda tabloda er almatadır. ( ) ( ) ( ) ( ) M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

22 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü - Bu delem sstem. de tam çözümü daa öce de ().996, () olara belrtlmş olup, ögörücü-düzeltc Euler ötemle elde edle souçlar vrgülde sora sadece üçücü aee adar doğru e Ruge-Kutta-Felberg ötemle elde edle souçları vrgülde sora beşc aede ble daa sorasıa adar doğru olduğu görülmetedr. Ruge-Kutta-Felberg algortmasıı br adımıda elde edle souçlar br sora adım ç başlagıç değer oluşturacatır. Bölece çözümde adım adım lerleme mümüdür. Aşağıda tabloda bu şelde dört adımda gerçeleştrle şlemler souçları er almatadır. Ruge-Kutta- Felberg şeması Adams-Moulto şeması. ( ) ( ) ' ( ) ( ) ' Adams-Moulto ötem: Başlagıçta dört adımda esaplamalar erag br ötemle apıldıta sora Adams- Moulto ötem e () ve () ç döüşümlü şlemlerle ugulaablr. Ögörücü aşaması [ ] ( ) ( ) ( ) 9 ( ) 7 ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) 7 ( ) 9 ( ) Düzeltc aşaması [ ] [ ] ( ) ( ) 9 ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) 9 ( ) ( ) ( ) [ ] Yuarıda tabloda Ruge-Kutta-Felberg şemasıla esaplamış l dört otada değerler Adams-Moulto şemasıda ullaılara elde edle souçlar görülmetedr..7 Sıır değer problemler Daa öce de görüldüğü gb c derecede br ad derasel delem vea brcderecede ad-derasel deleml br sstem çözümü ç sıır oşulua geresm vardır. Şmde adar bütü örelerde bu oşullar başlagıç otası olara taımlaa otada verld. Bu problemler sıır oşullarıı başlagıç otasıda verlmes edele başlagıç değer problem olara adladırıldı. Bazı allerde sıır oşullarıı br ısmı başlagıç otasıda verlre ala ısmı başa otada (çoğu zama dğer sıırda) verlr. Bu tp problemlere de sıır değer problem adı verlr. Bu paragrata sıır değer problemler asıl çözülebleceğ za edlecetr. Bu amaçla şelde gösterle üorm est dağılımıa sap çubu üzerde br uçta dğer uca doğru ısı letm problem ele alıacatır. Çubuğu çevres ısı ç zole edldğ varsaılmatadır. Çubuğu sol ucuda adar uzalıta geşlğde br çubu elemaıı date alara çubu bouca erag br otada sıcalığı verece br delem çıartılablr. M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

23 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü - L Bldğ gb ısı letm - est alaıa A - [m²] - malzeme ısıl letel özellğe [cal/s.m²] - sıcalı gradatıa d/ - [ C/m] bağlı bell br ızla (cal/s) gerçeleşr. geşlğde çubu elemaıa gre ısıı letm ızı ç d A azılablr. Burada es şaret, d/ türev öüde sıcalı artışıı belrtre ısıı sıca ortamda daa soğu ortama doğru aışıla lgldr. Elemaı ter ede ısı ç de uarıdae bezer br ade azılablr. Bu ez sıcalı gradatı estde belrtlecetr. d A d d Burada c term sıcalı gradatıı estde este gelcee adar değşm belrtmetedr. Çubu elemaıa ve de d estler arcde br ısı lave edlmedçe (vea çıartılmadıça) bu estlerde gre ve çıa ısıları eşt olması gerer. (As alde sıcalığı zamala değşmes gerer bu örete ısı letm olaıı zamada bağımsız olduğu abul edlmetedr). A d d A d d Bu delem düzeleere d d A, A şele gelr. Bu c-derecede ad-derasel delem çözümü olalıla a b şelde elde edleblr. Bölece çubu bouca sıcalığı sol uçta br L değerde sağ uçta br R değere adar leer olara değştğ görülmetedr. Şaet çubu elemaı çevresel üzede de ısı abetsed, brm ala başıa brm zamada abedle ısı Q [cal/m²s] olma üzere bu ısı, çubu elemaıı d üzüde gre ve çıa ısılar arasıda ara eşt olacatı: M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

24 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü - d d d d A A Q p Burada p elemaı çevre uzuluğuu belrtmetedr. (Q büülüğü çubuğu sıcalığıla çevre sıcalı arasıda ara da bağlı olablr. Aca bu usus mal edlmştr). Bu delem düzeleere d Q p A (.) elde edlr. Bu delemde Q büülüğü osou olablr bu durumda delem daa armaşı ale gelmetedr. Problem daa da zorlaştıraca başa ususlar da olablr bularda brs çubuğu est alaıı bouca değşmes, br dğer büülüğüü bouca malzeme değşme bağlı olara değşmesdr. Kest değşm alde çubu elemaıı ter ede ısı da d A d şelde azılablr. Bu ade ısı letm delemde ullaılara d da d da d A Q p vea sadeleştrme le ve c mertebede ola üçücü term mal edlere d da d A Q p (.) Isıl letel atsaısıı () şelde değşmes alde bu delem d da d d A A Q p (.6) şele gelr. Şaet çubuğu çevresel üzede oluşa ısı abı, çubula çevre arasıda sıcalı arıla Q q ( s ) şelde doğru oratılı se bu ez ısı letm delem ç d A da d d A q p q p s (.7) elde edlr. Bu bölümde uarıda örelee tpte delemler çözümü ç arlı te celeecetr. M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

25 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü -.7. Sootg ötem: (.7) delem terar d d A B C D (.8) şelde azalım. Burada A, B, C ve D atsaıları aslıda uarıda ısı problemler ç değşe osou olup bu bağımlılı edele delem çözümüü zorlaştırmatadırlar. Bu atsaılar sıcalığıı da osou olablrler. (.8) delem çözümü ç sıır oşulua taç vardır. Şaet ve ü değerler başlagıç otasıda verlrse br başlagıç değer problem söz ousu olur. Burada örete se değer, br sıır değer problem teşl etme üzere arlı oumuda verlecetr. Burada, başlagıç değer problem çözme ç ullaıla şlemler sıır değer probleme asıl adapte edlebleceğ za edlecetr aslıda zlee ol basttr. sıcalığıı değerler a ve b gb arlı otada bldğ varsaalım. Problem br başlagıç değer problem olması ç a otasıda değer de blmes gerer. ü bu otada değer blmemele brlte tam doğru olmasa da tam alaşı br değer, problem geel blglere daaara seçleblr. Hatta bua ma osa rastgele br seçmle problem çözümüe grşme mümüdür. Bu şelde oluşturula başlagıç değer problem ble telerde brsle çözülere b de esaplaa değer verle değerle aı olup olmadığıa baılır. Hesaplaa değer verle değerde az vea ço olmasıa bağlı olara a da eğm değştrlere aı şlemler verle değere alaşılıcaa adar terat bçmde terarlaır. Öre: '', ( ), ( ) sıır değer problem Ruge-Kutta-Felberg ötem ve sootg teğ brlte ullaara çözüüz. Verle delem c derecede olup öcelle değşe döüşümüle d d şelde brc derecede ad-derasel deleme döüştürme gereldr. Arıca verle sıır şartlarıa göre () osou gdere azaldığıı date alara başlagıç otasıda türev ç ()-. gb br tamde buluablrz. Bu l tamle, Ruge-Kutta-Felberg ötem ullaılara apılmış esap souçları aşağıda tabloda er almatadır. Görüldüğü gb () ç esaplaa değer sıır oşuluda verle değerde arlıdır. M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

26 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü - ' () ' ' ' Đc tam olara seçle ()- değer le apıla esap souçları da aı tabloda er almata olup, görüldüğü gb () değer ale verle değerde arlıdır. Elde edle souçlarda terpolasola üçücü br tamde buluma mümüdür. Ntem '( ) '( ) '( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] () () şelde elde edle üçücü tam değerle apıla esaplama souçları da tabloda erleştrlmş olup, görüldüğü gb ()- şelde stele sıır oşulu sağlamıştır. () () () () - Soucu bu şelde l tam souçlarıda terpolaso apara ço ızlı br bçmde elde edlmes br rastlatı değldr. Aslıda verle delem leer br delem olup, leer delemler sootg ötemle araa tam çözümler, esme ve uvarlatma ataları arç, tam souçlarıı leer br ombasoudur. Öre: '' ', ( ), ( ) sıır değer problem Ruge-Kutta-Felberg ötem ve sootg teğ brlte ullaara çözüüz. Bu ez delemde türev öüde atsaıda büülüğü er almata olup bu edele delem o-leerdr. Çözüm ç apıla esaplama souçları aşağıda tabloda er almatadır. M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

27 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü -6 ' () () ' Solda sütularda () ç ullaıla tam değerler ve () ç esaplaa değerler er almatadır. Đl tam e seçlmş, sora tamler se öce örete olduğu gb leer terpolasola esaplamıştır. Görüldüğü gb teraso bu ez üç adımda aısamamıştır. Aca edc tam değerle () sıır şartı sağlaablmştr. Buu ede delem oleer oluşudur. Sağda sütularda dış sıır şartı sağladıta sora doğru çözüm görülmetedr..7. Solu arlar ardımıla çözüm: Sıır değer problemler çözme br dğer olu da türevler solu ar alaşımlarıı ullaara delemler arılaştırma suretle çözmetr. Bu ötem baza sootg öteme terc edlr. Aca ötem leer delemler ç ullaılır. Yötem o-leer delemler ç ullaılmaa çalışılması alde arılaştırılmış o-leer delemler ortaa çıar buları çözümü de al güçlü aratır. Öre: '', ( ), ( ) sıır değer problem, türevlerde merez solu-ar açılımlarıı ullaara çözüüz. Çözüm ç le sıır otaları arasıda çözüm avzasıı dört eşt aralığa bölelm. Bu durumda düğüm otaları.,.,.,. ve. olacatır. Sıır otalarıda osou çözümü verlmş olup ç düğüm otalarıda oso değerler çözümü verle derasel delem ardımıla apılacatır. Herag br () osouu br düğüm otası cvarıda c derecede türev merez-solu-ar açılımı d şelde olup, problemde verle delem, ve otalarıda arılaştırılara azılırsa sırasıla otasıda M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları

28 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları -7 otasıda otasıda elde edlr. Bu delemler erag br otası ç geelleştrlere azılablr. Vea blmeelere göre düzeleere,,, şele getrleblr. Seçle düğüm otası oordatları ullaılara delemler atsaıları esaplaırsa ve - sıır değerler erleştrlere vea matrs bçmde düzeleere üç-dagoall delem sstem elde edlr. Çözüm avzasıı daa ço saıda aralığa bölümes alde bezer br üç-dagoall delem sstem daa azla saıda delem çerme adıla elde edlr. Bu delem sstem çözümü., -., -.96 olara elde edleblr. Aı problem. ç elde edle çözümü aşağıda tabloda suulmuştur SF RKF Aı tabloa arşılaştırma amacıla Ruge-Kutta-Felberg ötem souçları da oulmuştur. Görüldüğü gb souçlar brbre al aıdır.

29 Bölüm - Ad derasel delemler saısal çözümü -8 Öre: '', ( ). 7, ( ). 787 sıır değer problem, solu-ar ötemle çözüüz. Souçları Ruge-Kutta-Felberg ötem ve sootg ullaara elde edle souçlarla arşılaştırıız.. Solu ar delem ( ) olup, ;.;. ç solu ar ötem ve RKFsootg ötem ullaılara elde edle çözüm souçları aşağıda tabloda suulmuştur. Delem aalt çözümü ()s() olup bua at değerler c sütuda verlmştr. ablou e altıda se otasıda atalara er verlmştr. Bu otada ata verle aralıta masmum atadır.... Aalt Sootg Solu ar Sootg Solu ar Sootg Solu ar de ata Görüldüğü gb sootg ötem aı aralı saısıda solu ar öteme göre 8 la at daa az ata vermetedr. Solu ar ötem adım uzuluğu arıa drldğde at daa az atalı souç vermetedr. M.A. Yüsele, UCK8 Müedslte Blgsaar Ugulamaları Ders Notları