ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Cilt/Vol.:5-Sayı/No: 2: (2004)

Transkript

1 ANADOLU ÜNİERSİTESİ BİLİM E TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIERSITY JOURNAL OF SIENE AND TEHNOLOGY lt/ol.:5-syı/no: : (004) DERLEME/REIEW KESİKLİ DEĞİŞKEN İÇEREN GRAFİKSEL MODELLER Hüly BAYRAK 1, Fr GÖKPINAR ÖZ Grfsel modeller değşe çftler oşullu bğımsızlılrı le çıl ısıtlrl belrler. Grfsel model hyerrş logleer modeller br lt sııfıdır. Bu modeller yö verlmemş grfle gösterleblr. Hyerrş logleer model mml yeterl sttstler br ümese shtr. Bu üme mrjl olumsllı tblolrıı br ümesdr. Bu çlışmd oşullu bğımsızlılrı test şlemde ullıl sm fdes rdelemştr. Ahtr elmeler: Koşullu bğımsızlı, Logleer model, Mrov özelller, Sm GRAPHIAL MODELS FOR DISRETE ARIABLES ABSTRAT Grhl models rse from restrtos tht re exressble s odtol deedees of vrbles rs. Grhl model s sublss of herrhl log ler models. These models be rereseted by udreted grh. Herrhl log ler model hs set of mml suffet sttsts, whh s set of roer mrgl otgey tbles. I ths study, deve, whh s used to test odtol deedees, s studed. Keywords: odtol Ideedees, Log ler model, Mrov roertes, Deve 1. GİRİŞ Grfsel modeller, değşeler rsıd oşullu bğımsızlı lşler bulmt ullılır. Grfsel modeller temel ve geel olr uygulblrlğ brç etee bğlıdır. Bulrd brs, grfler verle br model blmsel çerğ görsel olr betmler ve rştırmı le sttstç rsıd letşm olylştırır. İ olr modeller modüler olduğud rmşı modeller bst elemlrı ombsyolrıyl ele lıır ve trf edlr. Grfsel modeller e öeml vtjlrıd br görsellğdr. Bud dolyı rştırmı, br sttstç yrdımı olmd bu görsellte dolyı model oly yorumlyblr. Kullım lı gü geçtçe çoğl bu modeller sttstsel fz, geet, tı ve özellle de sosyl blmlerde yygı br bçmde ullılmtdır. So yıllrd yy sr ğlrı, me öğremes (mhe lerg) ve geet lgortmlr gb oüler oulrd ço sı ullılmtdır. (Mühlebe d Mhg, 000). Ayrı Bleert, Oel ve Slzseder (1998) byoloj sstemler belrlere rm değşeler çere grfsel modeller uygulmıştır. Br grfte, öşe ümes, E öşeler rsı er ümes temsl eder. Eğer br öşe çft rsı brde fzl er yos grf bsttr. Br er α,β olm üzere hem (α,β) E hem de (β,α) E şelde se E yö verlmemş er, (α,β) E şelde olu (β,α) E se yö verlmş br erdır. Br grfğ tüm öşeler rsıd çzg yd o vrs bu grfğe tm grf der. br lt ümese lş grf tm se bu lt üme tmdır delr. tm lt ümelere l der. 1, Gz Üverstes Fe Edebyt Fültes İsttst Bölümü Teoullr Ar e-ost: fr@gz.edu.tr, hbyr@gz.edu.tr Gelş: 30 Hzr 003 Düzeltme: 8 Arlı 003 Kbul: 11 Myıs 004

2 196 α d β y br o vrs α y β ı les, β y d α ı çouğu der. β ı le ümes (β), α ı çoulr ümes h(α) şelde gösterleblr. α le β rsıd br çzg vrs α ve β y btş yd omşu der. α öşes omşu ümes e(α) şelde gösterleblr. bd(a), sıır ümes, \A d bulu le ve omşu ümeler brleşmdr, bd(a)(a) e(a)dır. A ı ışı se l(a)a bd(a)dr Grfsel modeller temel rsgele değşeler oşullu bğımsızlığı dyır. Bu modellere lş grfler oşullu bğımsızlı lşler gösterr. X, Y ve Z esl rsgele değşeler olsu. X Y/Z oşullu bğımsızlı fdes şğıd gb yzılır. P(Xx,Yy/Zz) P(Xx/Zz) P(Yy/Zz) (1) Burd tüm Z ler ç P(Zz)>0 dır. X, Y, Z sürel rsgele değşeler ç X Y/Z oşullu bğımsızlığı X Y/Z f XY / Z ( x, y / z) f X / Z ( x / z) fy / Z ( y / z) () bçmde fde edlr. X Y/Z lşs şğıd özelllere shtr. () X Y/Z Y X/Z dr. () X Y/Z ve Uh(X) U Y/Z dr. () X Y/Z ve Uh(X) X Y/(Z,U) dr. (3) (v) X Y/Z ve X W/(Y,Z) X (W,Y)/Z dr. Burd X,Y,Z,W brer t olr düşüüldüğüde X Y/Z fdes dh y lm ç şu şelde yorumlm ym mümüdür. X Y/Z lşs ç; Z tbıı oumuş olmsı durumud X tbıı blme ç Y oumsı gere yotur yorumu yılblr. ()-(v) fdeler şğıd gb yorumlblr. () Z blmes durumud, Y y oum ç X oum geresz se X oum ç Y y oum gereszdr. () Z blmes durumud, X tbıı oum ç Y y oum geresz olduğud, X herhg br bölümüü oum ç de Y y oum gereszdr. () Z blmes durumud, X tbıı oum ç Y y oum geresz olduğud X herhg br bölümü U yu oudut sor X oum ç Y y oumt gereszdr. (v) Z blmes durumud, X oum ç Y tbıı oum geresz se ve Z yıd Y y de blme X oum ç W y oum geresz se, Y ve W X oum ç gereszdr. Adolu Üverstes Blm ve Teoloj Dergs, 5 () (χ α ) α Rsgele değşeler olesyou ve yö verlmemş grf ç çeştl mrov özelller vrdır. Bu özelller şğıd gbdr; χ üzerde olsılı ölçümü P olm üzere; Btş olmy herhg br öşe çft (α,β) ç şğıd oşul sğlıyors l mrov(p) özellğe shtr. α β / \{ α, β} Herhg br öşe α ç şğıd oşul sğlıyors yerel mrov(l) özellğe shtr. α \l(α) / bd(α) bğltısız ltümeler herhg br üçlüsü (A,B,S) şğıd oşulu sğlıyors üresel mrov(g) özellğe shtr. A B/S X(X 1, X,...,X ) vetörüü yoğulu fosyou f v (X v )f(x 1,...,X ) mevut se, f v (x v ) yoğuluğu, G(,E) grfğe göre şğıd gb çrlrı yırılblr. f ( x ) Ψ ( x ) (4) Burd ; G de ller ümes ve Ψ ( x ) ; X üzerde x ye bğlı egtf olmy fosyodur. Bleş yoğulu fosyou f v (x v ) es oztf se ftorzsyo özellğ ve üresel mrov özellğ detr (Lurtze,1996).. ÇOK YÖNLÜ TABLOLAR Ço yölü tblolrı grfsel modellerle elemesde yrdımı olmsı mıyl, üç yölü tblolr ç grfsel modeller göz öüe lısı. Üç esl değşe A,B ve ç N te gözlem elde edldğ vrsyılsı. A, #A sevyeye, B, #B sevyeye ve # sevyeye sh olsu. A,B ve olumsllı tblosud her hürede brm syısı lısı. Burd, 1,,...#A, j, 1,,..#B ve 1,,...,# rsıd br değer lır. Bezer şelde gözlem hüreye düşme olsılığı ve hürede belee brm syısı m N şelde buluur. Burd N gözlem syısıdır. Gözlem syısı sbt ol öreleme düze ço terml öreleme düze olr dldırılır. Üç yölü tblolr ç e bst model, (5) de verle hüre olsılığıı logrtmsıdır. l( ) u + u + u + u (5) A B j Burd; u lr, blmeye rmetrelerdr ve etleşm termler olr dldırılır. İlglele bğımsız-

3 Adolu Uversty Jourl of Se d Tehology, 5 () 197 lı y d oşullu bğımsızlı gb özelller yd hüre olsılılrı, çrz çrım orlrı vey html orlrı gb ellerdr. Logrtm ölçümde tolm şlem, orml ölçümde çrm şleme eşt olduğud model; ++ +j+ ++ (6) şelde terr yzılblr. Burd + şret o ds üzerde tolmyı gösterr. Br bş deyşle (5) de model A,B, tmme bğımsız olduğuu fde eder. Dh rmşı log leer model; l( ) u + u + u + u + u + u AB u j A u (7) şelde yzılblr. Burd, msml etleşm termler olduğud model formülü AB,A şeldedr. Model hüre olsılılrı sde j + + (8) ++ yzılblr, vey ++ yd j+ ++ A + ++ (9) P(Bj,/A) P(Bj /A)P(/A) (10) şelde yzılblr. (Byr d Erbş, 1998). (10) fdes A bldğde B ve oşullu bğımsızlığıı verr. Br bş deyşle, B /A dr. Model grfğ Şel 1 de olduğu gbdr. A B j AB j A şeldedr. erle model ç bu fdey msmze ede değere e ço olblrl thm (EÇOB) der ve ˆ şelde gösterlr. Logrtm fosyo mooto olduğud EÇOB ler yı zmd logolblrlğ de msmze eder (Edwrds Ad Kreer, 1983). Tblou log-olblrlğ şğıd gb yzılblr. N! l ({ } /{ } ) l l + (1) j Grfsel modellerde br erı çırılı çırılmyğı lş testte sm sttstğde fydlılır. Br M 0 model smsı M f ısıtsız(doymuş) modele rşı M 0 ı olblrl orı testdr. M 0 model smsı geel olr ( lˆ ˆ f l0 ) şelde yzılblr. Burd l ˆ ve l ˆ f 0, Mf ve M 0 ltıd msmze edlmş log olblrllerdr. Aşğıd üç özellğde dolyı sm uyum ylğ ölçme ç uygudur.(lurtze, 1989) 1. M 0 M f olduğud sm 0 dır.. M 0 ı doğruluğu olduğud sm smtot χ ( ) dğılır. Burd M 0 le M f rmetre syılrı rsıd frlılıtır. M 0 ı doğruluğu ltıd smı belee değer y eşttr. 3. M 0 doğru olmdığıd, smı smtot dğılımı stost olr χ d dh büyütür. smı ( ) belee değer d dh büyütür. M f doğruluğu ltıd EÇOB /N dr. Böylee sm G (13) l( / N ) l( ˆ ) l B ˆ le verlr. ; M0 ltıd ı EÇOB udur ve, mˆ Nˆ dr. mˆ İç çe (ested) br model (M 0 M 1 ) ç sm, Şel 1 B /A grfğ N gözlemle ço terml öreleme yılmsı durumud, verle tblou { } olblrlğ ({ / }) N!! (11) 1 mˆ l (14) d 0 ˆ ˆ 0 1 eştlğ le tımlır. Burd m ve m sırsıyl M0 ve M 1 ltıd EÇOB lerdr. M 0 doğruluğu ltıd d smtot olr χ dr. Kısıtsız br model doğruluğu ltıd ( ) olsılı A B AB ex( u + u + u + u )ex( u + u j A ) (15)

4 198 şelde çr yrılblr. İl çr y, çr B y çermemetr. Dh geel olr, herhg br hyerrş model ltıd, rşılı gele ftörlü etleşm termler, sıfır olduğud bu ftörde çr ger llr verldğde oşullu olr bğımsızdır. Bu souç grfsel modeller olr dldırıl hyerrş modeller ltsııfıı temel oluşturur. Böyle modeller, ftörlü etleşm termler ümes (yrı dh yüse sırdler) sıfır olr belrler. Br bş deyşle, modelde, yüse sır etleşmler ftörlü etleşm termler trfıd belrler. Böyle modeller lgç ıl özell, oşullu bğımsızlı termleryle te olr yorumlblmesdr.(edwrds,001) Üç yölü tblolrı lzde elde edle souçlrı ço yölü tblolr ç geşletlmes, brço otsyo zorluğuu d berberde getrr. Üç yölü tblolrd olsılı, etleşm ve brm syısı sırsıyl B, u j,ve şelde yzılblmetedr. Ft ço yölü tblolr ç dh geel br otsyo htyç vrdır. Δ, te esl değşe çere üme olsu. Bu değşe ç gözlee N brml ver olumsllı tblolrı hlde derledğ düşüülsü. 1,,..., ç, - değşe sevyes gösterme üzere tblod br hüre (16) dı gb verlr. ( 1,,... ) (16) Ayrı. hürede gözlem syısı, olsılığı ve belee brm syısı m N le gösterlr. I tblod tüm elemlrı ümes gösters. I d hüreler syısı Δ d ftörler sevye syılrıı çrımıdır. Ço terml öreleme ltıd, { } I tblosuu olblrlğ şğıd gbdr. N!! I I (17) Burd mrjl hüreler otsyou htyç vrdır. I ümes ve Δ lt ümes ç değerl br lt vetörüdür. I, tüm olsı lrı ümesdr. u Geel olr, etleşm term şelde yzılblr. Burd u sdee de y bğlıdır. Böylee ftör ç tm (doymuş) log leer model (18) de gb yzılblr. l( ) (18) u Δ Adolu Üverstes Blm ve Teoloj Dergs, 5 () Bu model ç, EÇOB u ˆ / N olduğuu gösterme olydır. Model şğıd gb belrleeblr. d 1, d,..., d r Burd d Δ ümeler, grfğ llerdr ve model formülüde üreteç dye dldırılır. d ler sıfır olmy msml etleşmlerdr. Böylee model (19) de gbdr. l( ) u (19) Δ: dj bzı j'ler ç.1 Ço Yölü Tblolr ç Sm M 0 ltıd, sm G l (0) 0 I. şeldedr. M 0 M 1 ç sm frı d G 0 G1 l l 0 1 I I 1 mˆ l (1) 0 I le verlr. Burd { m ˆ 0 } ve { } 1 I mˆ, M I 0 ve M 1 ltıd uygu brm mtrıdır. M 0 ltıd d, smtot χ dğılımı shtr. ( ) 3. UYGULAMA Uygulmd l rze ede ol rs ftörler rsıd lşler belrlemeye çlışılmıştır. Buu ç, 1841 şç gözlemlemş ve şğıd değşelere t blgler tolmıştır. Değşeler; A: Sgr çme, B: yoruu zhsel flyet, : yoruu fzsel flyet, D:sstol bsııı 140mm de üçü olu olmmsı, E: lf lorote bet lorotee orıı 3 te üçü olu olmmsı, F: lede l rz geçre olu olmdığı şeldedr. Burd tüm değşeler düzeyldr(1evet hyır). Bu ver, stesde öre ver olr bulumtdır. Orjl verler Res vd. (1981) de yer lmtdır. Edwrd ve Hvre(1985) bu ver set ullr ço boyutlu olumsllı tblolr ç br model rm yötem elemştr. Bu çlışmd yı ver set üzerde değşeler rsı lşler grfsel model ylşımı le elemeye çlışılmıştır.

5 Adolu Uversty Jourl of Se d Tehology, 5 () 199 Burd testler ç MIM et rogrmı ullılmıştır. Bu rogrmd ullıl gerye doğru dımsl test şu şeldedr. İl dımd doymuş modele rşı, her erı doymuş modelde yrı yrı çırr elde edle modeller test edlr (öreğ AB modele rşı AB,A; AB,B; A,B) modeller yrı yrı test edlr). Almlılı düzey α d üçü ye sh ol erlr modelde lır. Ger llr çde e büyü ye sh er modelde çırılır.. dımd α d büyü ye sh ve modelde çırıl erı öşeler le lşl dğer er üzerde şleme devm edlr ve ye bulr çde e büyü ye sh ol er çırılır. s α d üçü ol erlr modelde lır. 3. dımd, α d büyü ye sh ve 1. ve. dımd çırıl erlrı öşeler le lşl erlr üzerde test şleme devm edlr. Bu şlem, l dımd tüm erlrı modele dhl edl yd çırılmsı dr devm eder. Kullıl lmlılı düzey 0.05 dr. h-squred tests. DFs djusted for srsty. rtl vlue: Model: bdef Deve: DF: 0 P: Exluded Sttst DF P [b] [] [d] [e] [f] [b] [bd] [be] [bf] [d] [e] [f] [de] [df] [ef] Removed edge [bd] Model: def,bef Deve: 1.56 DF: 16 P: Exluded Sttst DF P [b] [be] [bf] [d] [df] Removed edge [d] Model: def,bef Deve: DF: 4 P: Exluded Sttst DF P [be] [e] [f] [df] Removed edge [be] Model: def,ef,bf Deve: DF: 3 P: Exluded Sttst DF P [e] [df] Removed edge [df] Model: de,ef,bf Deve: DF: 36 P: Exluded Sttst DF P [ef] Removed edge [ef] Model: de,e,bf Deve: DF: 40 P: Exluded Sttst DF P [f] [f] Removed edge [f] Model: de,e,bf,b Deve: DF: 44 P: Exluded Sttst DF P [f] Removed edge [f] Seleted model: de,e,bf,b Burd l dım souu elde edle smlr bıldığıd e büyü smı [bd] erı t olduğu görülür. Bu durumd çırıl er [bd] olur. Dolyısıyl b ve d ger l değşeler verldğde oşullu olr bğımsızdır yorumu yılblr. Bu şlem sürdürüldüğüde ulşıl model de,e,bf,b şeldedr bu modele t grf şğıd gbdr. b d Şel. Rs ftörler rsıd lşler göstere grf Bu grfğ ller {(,b,), (,,e), (,d,e), (b,f)} şeldedr. Bu durumd değşelere lş olsılı fosyou P ( x ) Ψ ( x ) Ψ(, b, ) Ψ(,, e) Ψ(, d, e) Ψ( b, f ) P(, b, ) P( e /, ) P( d /, e) P( f / b) e f

6 00 le verlr. Koşullu bğımsızlılr se Tblo 1 de gb yzılblr. Tblo 1. Şel de grfğe lş oşullu bğımsızlılr İl Mrov Özellğ Yerel Özellğ Mrov Globl Mrov Özellğ f/(b,,d,e) f/(b,,d,e) b e/(,) b d/(,,e,f) b (d,e)/(,,f) d/(,e) b e/(,,d,f) (d,f)/(,,e) (,) f/b d/(,b,e,f) f/(,b,d,e) d f/(,b,,e) e f/(,b,,d) d (b,,f)/(,e) e (b,f)/(,,d) f (,,d,e)/(b) Tblo 1 eledğde, yoruu zhsel flyet, sgr çme lışlığı ve yoruu fzsel flyet bldğde lf lorote bet lorotee orıd oşullu olr bğımsız olduğu görülmetedr. Yoruu fzsel flyet, sgr çme lışlığı ve lf lorote bet lorotee orı bldğde sstol bsııd oşullu olr bğımsız olduğu yorumu yılblr. Ayrı sgr çme lışlığı ve yoruu fzsel flyet, yoruu zhsel flyet bldğde, lede l rz geçrme durumud oşullu olr bğımsız olduğu souu vrılblr. KAYNAKLAR Byr, H., d Erbş, S. (1998). Dfferet tters wth zero rtl ssoto for fve vrbles. Fr Est Jourl of Theoretl Sttsts (1), Adolu Üverstes Blm ve Teoloj Dergs, 5 () Res, Z. vd. (1981). Progost sgfe of the rs rofle de reveto of orory hert desese ( zeh). Brts. Le. Lsty 76, Hüly Byr, 1980 yılıd lss,1985 yılıd yüse lss ve 1991 yılıd se dotor derees Krdez Te Üverstesde ldı. Gz Üverstes İsttst bölümüde 199 yılıd Yrdımı Doçet, 1997 yılıd Doçet ve 003 yılıd Profesör uvıı ldı. Grfsel modeller ve Deey tsrımı üzere çlışmtdır. Fr Göır, 1999 yılıd lss, 00 yılıd yüse lss derees Gz Üverstesde ldı. Ayı bölümde Dotor eğtm sürdürmete olu rştırm görevls olr çlışmtdır. Arştırmlrı, Grfsel modeller ve Deey tsrımı le odlm teors rsıd lş üzeredr. Bleert, G., Oel U.G., Slzseder E. (1998). Mxed grhl models for smulteous model detfto d otrol led to gluose-sul metbolsm. omuter Methods d Progrms Bomede 56, Edwrds, D. (001). Itroduto to Grhl Modellg. d Edto, Srger-erlg, New Yor Edwrds, D. Ad Hvre A. (1985). Afst roedure for model serh multdmesol otgey tbles. Bometr 7, Edwrds, D. Ad Kreer, S., 1983, The lyss of otgey tbles by grhl models. Bometr, 70, Lurtze S.L. (1996). Grhl Models, lredo ress, Lodo Lurtze S.L. (1989). Letures o otgey tbles (3 rd ed), Tehl reort R-89-9, Isttute for Eletro Systems, Alborg Uversty Mühlebe, H., Mhg, T. (000). Evolutory Otmzto Usg Grhl Models, New Geerto omutg, Ohmsh,