1. KODLAMA KURAMINA GİRİŞ 1

Transkript

1

2 ÖNSÖZ Bu çalışmaı oluşumu esasıda emeğ, blgs ve sosuz desteğyle baa yol göstere değerl hocam Prof. Dr. Erol BALKANAY a; alayışı, desteğ ve atılarıda ötürü değerl hocam Yrd. Doç. Dr. Recep KORKMAZ a teşeürlerm sumayı br borç blrm. Çalışmalarım esasıda yardımıı ve hoşgörüsüü esrgemeye alem, araştırma görevls aradaşlarım Güray, Toguç, Esra, Fath ve bölüm aradaşım Selda ya teşeür ederm. Mayıs, 6 Gözde ŞARKBÜLBÜLÜ

3 İÇİNDEKİLER ŞEKİL LİSTESİ SEMBOL LİSTESİ ÖZET SUMMARY v v v v. KODLAMA KURAMINA GİRİŞ. Grş. Temel Kavramlar.3 Hammg Uzalığı.4 Leer Kodlar 8.4. Leer Kodlarda Del 9.4. Br Leer Kod le Kodlama.5 Dual Kod ve Eşl-Deetm Matrs. AĞIRLIK SAYAÇLARI. Grş. MacWllams Teorem 3. KRAWTCHOUK POLİNOMLARI 5 3. Grş 5 3. Krawtchou Polomları ı Özelller 5 4. DELSARTE ve MACWILLIAMS TEOREMLERİ 3 4. Grş 3 4. Delsarte ve MacWllams Teoremler le Krawtchou Polomları Arasıda İlş MACWILLIAMS ve DELSARTE TEOREMLERİNİN DÖNÜŞÜMLER YARDIMIYLA İNCELENMESİ Grş İl Kodlar Üzerde Grup Yapısı Karaterler Karaterler Özelller Leer Olmaya Kodlar ç MacWllams Teorem 49

4 6. LİNEER PROGRAMLAMA SINIRI Grş Ö Kavramlar Leer Programlama Leer Programlamaı Kodlara Uygulaışı Temel Probleme göre LP Sıırı Dual Probleme göre LP Sıırı 69 SONUÇLAR ve ÖNERİLER 74 KAYNAKLAR 75 ÖZGEÇMİŞ 77 v

5 ŞEKİL LİSTESİ Şel. Şel. : Blg güvel letm : İl Smetr Kaal ı şleyş Sayfa No 3 v

6 SEMBOL LİSTESİ C : C oduu dual GF( q), F q : Mertebes q= p (p asal, poztf tamsayı ) ola Galos Csm C : C oduu elema sayısı ( GF( q)), F q : q-lu, uzululu ve d mmum uzalılı br odu çerebleceğ masmum elema sayısı A (, ) q d : Br odu çerdğ masmum elema sayısı T G wa A C : G üreteç matrs traspozes : Br a sözcüğüü ağırlığı : C oduu ağırlı sayacı A : ağırlılı odsözcüğü sayısı Ham(r,) : İl Hammg odu K ( x ) :. derecede Krawtchou Polomu LP : Leer Programlama v

7 KODLAMA KURAMINDA LİNEER PROGRAMLAMA SINIRI ÖZET Kodlama uramıda br odu çereceğ odsözcüğü sayısı e fazla aç olablr? sorusu, bel de, cevabı araa e öeml sorudur. Bu soruda sora heme masmum sayıda odsözcüğü çere br od asıl şa edlr? sorusu ala gelr. Bu sorulara verlece stadart br cevap heüz yotur. Buula beraber, odu çerdğ elema sayısı ç çeştl alt ve üst sıırlar gelştrlmeye çalışılmıştır. Bularda l 95 de Hammg tarafıda ortaya oa Küre Paet Sıırı dır. Bu sıır gelştrle l üst sıır olmala brlte brço sııra temel oluşturmatadır. 95 de Glbert, 957 de Varshamov odu sözcü sayısıa lş ayı alt sıırı ortaya oymuşlardır ve bu alt sıır Glbert Varshamov Sıırı olara aılmatadır. 96 yılıda Plot, 96 de se Johso ye üst sıırlar eşfetmşlerdr. E ce üst sıırlarda br 977 yılıda McElece tarafıda ortaya omuştur. Ble e y üst sıırlar, bu çalışmaı temel oluştura Leer Programlama Sıırı ı esas alara gelştrlmştr. Bu edele bu sıır, odlama uramıı od sıırlarıı çere araştırma alalarıda ço öeml br yer tutmatadır. Phlppe Delsarte, solu csmler üzerde mmum uzalıta odları çerdğ sözcü sayısı ç br sıır belrleme şlem, br leer programlama problem olara ele almıştır. Delsarte ı 973 yılıda gelştrmş olduğu bu te, br odu çeştl ağırlıta odsözcüler sayısı le şa edle ağırlı sayaçları ve 99 da *Kravchu u taımlamış olduğu ortogoal yapıda ola Krawtchou Polomları uramıyla destelemştr. Bu edele çalışmaı. Bölümüde Ağırlı Sayaçları da 3. Bölümüde se Krawtchou Polomları da sözetme uygu görülmüştür.. Bölümde belrtldğ üzere br odu ağırlı sayacı le odu dual ağırlı sayacı arasıda bağlatı MacWllams Eştller le fade edlmetedr. Br odda, odu duale geçş Leer Programlama Sıırı ı spatıda öeml br yer tutması edeyle 4 ve 5. Bölümler MacWllams Teorem değerledrmeye ayrılmıştır. Ayı bölümler, MacWllams Teorem le bağlatısı edeyle Delsarte Teorem de açıladığı bölümlerdr. Leer programlama teler, yuarıda sözü edle oularla brleştrlmesyle LP Sıırı ortaya çımıştır. Bu sıırı e verml souçlar vere sıır olduğu blmetedr. Çalışmaı so bölümüde Leer Programlama Sıırı ı bazı uygulamalarıda söz edlmştr. * Kravchu, sm Frasızca dlde yazılarıda Krawtchou olara ullamıştır. Bu edele özellle Batılı ourlara yaı olması sebebyle lteratürde bu şelde yer almıştır [4]. v

8 THE LINEAR PROGRAMMING BOUND IN CODING THEORY SUMMARY I codg theory, the questo that s how may codewords ca a code cota at most? may be the oe most commoly searched. As well as ecouterg wth that questo, oe ca state aother whch s more geeral: How ca we costruct the code cotag maxmum umber of codewords for gve ad d? These questos are stll uaswered. Though they are ot solved, a large varety of lower ad upper bouds were developed. The frst upper boud troduced by Hammg 95 s called Sphere Pacg Boud. Most of the bouds are based o Sphere Pacg Boud. I 95 Glbert ad 957 Varshamov produced the same lower boud o the sze of a code wthout beg aware of each other. That s why, ths lower boud s called Glbert Varshamov Boud. After a -year tme of Plot s fdg a ew upper boud 96, Johso troduced a ew oe. Oe of the tghtest upper boud was produced by McElece 977. The best ow upper bouds are based o the lear programmg boud whch s the org of ths study. That s why, LP Boud taes a mportat role the feld of researches of the bouds o codes. The process of determg a boud of a sze of a code wth mmum dstace over fte felds was cosdered as a lear programmg problem by Phlppe Delsarte. The theory of ths method formed 973 cludes the weght eumerators whch s about the umber of codewords varous weghts ad the Krawtchou Polyomals havg a orthogoal structure troduced by *Kravchu 99. That s why t seems to be coveet to meto about the weght eumerators ad the Krawtchou Polyomals Chapter ad 3, respectvely. There s a coceto betwee a weght eumerator of a code ad a weght eumerator of ts dual as metoed Chapter. Ths coceto s expressed MacWllams Idettes. The trasto from a code to ts dual has a mportat role LP Boud, so Chapter 4 ad 5 there s a eough dea about MacWllams Theorem. These chapters clude also the Delsarte s Theorem because of ts coecto betwee MacWllams Theorem. By usg the theores metoed above ad the techques for lear programmg, Lp Boud has bee developed. LP Boud s famous for ts gvg effcet solutos. The last chapter of ths study cotas the dea of the LP Boud wth ts applcatos. * The traslterato Krawtchou of hs ame was the oe he used whe wrtg Frech, ad t s the traslterato wth whch Wester readers are famlar whch s why we used t [4]. v

9 . KODLAMA KURAMINA GİRİŞ. Grş Blg letm ve depolamasıda e ço dat edlmes geree otalar arasıda, bu süreçler etl ve güvel br şelde şlemes gelr. Resm, aser ve özel alalarda, blg hızlı ve geş çaplı ağ bağlatıları le şlemes, depolaması ve letlmes, bu yöde beletler arttırmatadır. Kodlama uramıı çıış otası sayıla bu süreçler esasıda oluşa hataları düzeltlmes zorululuğu söz ousudur. Kodlama uramıı heme her alada arşımıza çıtığıı söyleme olasıdır. E-mal, Iteret, radyo, uydu, uzayda çele fotoğraflar, uzata umada edle gem, uça gb araçlar, mağaza tarayıcıları (barodlar), uluslar arası stadart tap umarası (ISBN) v.s. C. E. Shao, 948 de, gürültülü br aalda letm sırasıda veya depolama ortamıda oluşa hataları gderlebleceğ ve buu ç uygu br odlama yapılması geretğ göstermştr. Blg, aşağıda şelde gösterldğ üzere güvel olara letlr veya depolaır. Şel.: Blg güvel letm Gürültü, bu süreçte e öeml ısımdır, çüü gürültüü olmayışı odlama uramıa ola htyacı ortada aldırır. Gürültü, te br term olup letm hatalı olmasıa sebep ola eteler geele der. Gürültüye öre olara radyo arışılıları, paraztler, teyp mayetğde ıvrılmalar verleblr.

10 . Temel Kavramlar Taım.: q elemalı br alfabede alıa sembollerle eşt uzuluta blolar urara odlar oluşturulsa da, çalışmamızda alfabe, q sayısı asal br sayıı uvvet olma üzere, GF(q) solu Galos Csm olara alıacatır. GF(q) da oluşturula sıralı -ller br ümes uzululu q-lu br od adıı alır. q sayısıı değer ç bazı avramları taımlayalım: Taım.: Göderlmes plalaa blg ve ler br dzs le letlr. Bu ve lere basama der. Sözcü se esas let, basamaları br dzs le letle ısmıdır. İl sözcülerde oluşa br C ümese l-od der. Uzuluğu 3 ola l sözcüler oluşturduğu C odu şeldedr. C = {,,, } Taım.3: Br odda tüm sözcüler eşt uzuluta se bu oda blo od adı verlr. (Sözcüler eşt uzuluta olmaya odlar ovolüsyo od adıı alır.) Koda at ola sözcülere odsözcüğü adı verlr. Br C oduda odsözcüğü sayısı C le gösterlr ve uzuluğu ola q-lu br odda C q dr..3 Hammg Uzalığı Taım.4: İ sözcüğü brbrde farlı ola oumlarıı sayısıa Hammg uzalığı der. Hammg uzalığı, (GF(q)) vetör uzayı üzerde br metrtr. d(v, w), v le w sözcüler arasıda Hammg uzalığıı belrts. ) d(v, w) > olup d(v, w) = v = w ) d(v, w) = d(w, v) ) d(v, w) + d(w, u) d(v, u) olduğu olaylıla görülür.

11 Öre.: ve sözcüler brbrde farlı oumu mevcuttur, bu edele Hammg uzalığı dr. Müemmel veya gürültüsüz br aalda, göderle let basamaları olduğu gb algılaır, dolayısıyla böyle br aalda hata düzeltme htyacı oluşmaz. Gürültüsüz br aal bulumamala beraber bazı aallar az gürültülü olmaları sebebyle daha güveldr. İl br aalda ve basamaları eşt olara dzl se bu aala İl Smetr Kaal (Bary Symmetrc Chael BSC) der. p reel sayısı, p olma üzere herhag br basamağı olduğu gb alıması olasılığıı fade eder. Aşağıda algortma İl Smetr Kaal ı asıl şledğ açılığa avuşturmatadır. Şel.: İl Smetr Kaal ı şleyş p = se aal müemmeldr. p sayısı < p < olduğu zama aalı celemes alam azaır. Ya hatasız göderlme olasılığıı hatalı göderlme olasılığıda daha büyü olması gerer. Taım.5: Br x odsözcüğü göderls, letm aalıda gürültüde dolayı y vetörü olara alısı. y çözülere x elde edlmes ç y y C oduda e yaı sözcüğe çevrme gerer. Bu yalaşıma e yaı omşulu çözümü adı verlr. Bu yalaşım aşağıda oşullarda Masmum Olablrl Çözümü ü (Maxmum Lelhood Decodg MLD) verr. ) İletle her sembolü hatalı olma olasılığı p < dr. 3

12 ) Eğer br sembol hatalı alıdıysa, bu hataı gerye ala q- sembolde br olma olasılığı ayıdır. Öreğ, q = 5 ve bell br oumda sembolü hatalı alımışsa, bu hatalı alıışta,, 3, 4 ler ortaya çıma şası ayıdır. Herhag v ve w sözcüler ç p ( vw, ) φ sayısı, v, p güvelrlle göderldğde w alıma olasılığıı göstermetedr. d(v, w) = d d tae basama hatasız, d taes hatalı letlmştr. Dolayısıyla (, ) ( ) d d =. (.) φ p vw p p Öre.: C, 5 uzululu br od olsu. v = göderls, w = alısı. p =.9 se ( vw) Çözüm: d(v, w) = d(, ) =, 3 3 φ p vw, = p p =..9 =.79. Taım.6: Br C oduu mmum uzalığı şeldedr. Teorem.: 4 φ, =? dc = m{ dxy (, ) xy, C; x y} (.) ) d(c) s + se C odu, s veya daha az hatayı sezeblr (error-detectg). ) d(c) t + se C odu, t veya daha az hatayı düzelteblr (error-correctg). İspat: ) Br x odsözcüğü göderls, s+ veya daha fazla hata oluşsu. Bu durumda alıa y vetörü le x odsözcüğü arasıda uzalı e az s+ olacağıda y de br odsözcüğü olablr. y odsözcüğü olduğu sürece x hatalı letldğ alaşılamayacağıda C odu s veya daha az hata sezer. ) Br x odsözcüğü göderls, y vetörü alısı. t veya daha az hata oluşsu. Bu durumda p

13 d(x, y) t olur. Eğer x', x te farlı br odsözcüğü ve d(x', y) t se üçge eştszlğ ullaaca olursa; d(x, x') d(x, y) + d(y, x') t + t = t olup d(x, x') t elde edlr. Bu durum d(c) t + oluşua ayırıdır. O halde d( x', y) t+ olmalıdır. Dolayısıyla y vetörüe e yaı sözcü x tr. y de hatalar e yaı omşulu çözümü le gderleblr. Souç.: Eğer d(c) = d se C odu ) e fazla d hatayı sezeblr, ) d hatayı düzelteblr. Öre.3: C = oduu ele alalım. Çözüm: d(c) = 3 olup d = 3 = hata sezlr. d = hata düzeltlr. 5

14 Not.: Br C oduda sözcü sayısı M, sözcüler uzuluğu ve mmum uzalı d se bu od (, M, d)-od olara aılır. Taım.7: ( GF ( q )) ümesde br u vetörü ve br r tamsayısı ele alısı. u merezl r yarıçaplı üre { } S u, r = v GF q d u, v r (.3) ümes le fade edlr. Not.: Br C oduu odsözcüler merez abul ede t yarıçaplı üreler ayrıtır. Ö Teorem.: r egatf olmaya tamsayısı ve u ( GF( q) ) { } S u, r = v GF q d u, v r ümes r yarıçaplı ürey fade etme üzere r e ç r = r r q q... ( q ) ( q ) = sayısı S(u, r) ( GF ( q )) İspat: ( GF( q) ) de elema sayısıı verr. uv, olsu. m r ç d(u, v) = m se u le v, m tae farlı ouma sahp olup sayısı bu şelde oluşturulable u ve v sayısıdır. Ayrıca u ve m v her farlı oumua q - tae oordat arşılı geldğde m ( q ) m büyülüğü elde edlr. m taım aralığı m r olduğuda bu büyülü m üzerde toplaırsa r m= m fades elde edlr. ( q ) m 6

15 Öre.4: a) elema sayısı edr? b) vetörler elerdr? Çözüm: 6 Z da S(, ) üres a) r =, = 6, q = olduğua göre = 7 vetör b) Bu vetörler S(u, r) taımıa göre lsteleecetr. Mereze, ya odsözcüğüe ve daha az uzalıta vetörler düşüülecetr. S(, ) = {,,,,,, } Not.3: q-lu br (, M, d)-oduda M masmum değer A q (, d) le gösterlr. Teorem.: (Hammg Sıırı veya Küre Paet) q-lu br (, M, t + )-od t M + ( q ) + ( q ) ( q ) q t (.4) eştszlğ sağlar. İspat: C, q-lu br (, M, t + )-od olsu. Farlı odsözcüler merez abul ede t yarıçaplı herhag üre orta vetöre sahp değldr. Dolayısıyla M tae odsözcüğüü merez abul ede t yarıçaplı M tae üre çerdğ vetör sayısı (.4) ü sol tarafıa eşttr. Bu sayı, ( ) eşt ya da ayı sayıda üçü olmalıdır. Burada GF q uzayıda tüm vetörler sayısıa M q t ( q )... ( q ) t elde edlr. 7

16 Not.4: (.4) fadesde eştl durumu sözousu olursa od, müemmel (yet) od adıı alır..4 Leer Kodlar Taım.8: GF(q) üzerde br leer od ( ) Bua göre ( GF ( q )) ) x, y C e x + y C, ) α GF ( q) br C alt ümes aca ve aca ve x C e α x C GF q vetör uzayıı br alt uzayıdır. se leer br oddur. Taım.9: Leer C odu, ( GF ( q )) vetör uzayıı boyutlu alt uzayı se C odua q-lu br [, ]-od der ve C mmum uzalığı d se C, br [,, d]-od olara fade edlr. Taım.: ( GF ( q )) de br x vetörüü ağırlığı dece x te sıfırda farlı semboller sayısı alaşılır ve w(x) le gösterlr. Mmum uzalı ve mmum ağırlı taımları ullaılara olayca spatlaable aşağıda ö teorem ve teorem verelm. Ö Teorem.: x, y ( GF( q) ) d( x, y) w( x y) = dr. Teorem.3: Br C leer odu göz öüe alısı. C sıfırda farlı sözcüler ağırlılarıda mmum olaı w(c) le gösterlme üzere d(c) = w(c). Taım.: Satırları, leer br [, ]-odu br tabaıı oluştura x matrse, odu br üreteç matrs der. Üreteç matrs G le gösterlr. Öre.5: C = 8

17 oduu ele alalım. C, üreteç matrs G = ola, l br [3,, ]-oddur..4. Leer Kodlarda Del İ x matrs verlmş olsu. Bu matrsler leer [, ]-odu üreteç matrsler olma üzere br dğerde A) Satırları permütasyou A) Br satırı sıfırda farlı br salerle çarpımı A3) Br satırı br salerle çarpımıı başa br satıra elemes B) Sütuları permütasyou B) Br sütuu sıfırda farlı br salerle çarpımı şlemler brtaımıı uygulamasıyla elde edlyorsa bu matrs ürettler odlar GF(q) üzerde detr. GF(q) üzerde br [, ]-odu üreteç matrs yuarıda şlemler uygu şelde uygulamasıyla [I : A] stadart formua döüştürüleblr. G, burada x matrs e, I : x brm matrs, A : x ( - ) matrs olmalıdır. Not.5: Leer odu stadart formu br te değldr. Öre.6: İl [7, 4, 3]-odu üreteç matrs G = şelde se stadart formu e olur? 9

18 Çözüm: r r + r r r + r r r + r r r + r r r + r = [ I4 : A]..4. Br Leer Kod le Kodlama 3 r r + r GF(q) üzerde C br [, ]-od olsu. C letebleceğ let sayısı C = q dır. Bu GF q ı vetörler le etetleeblr. q tae let ( ) u = u u u, ( GF ( q )) da br vetör e u, C üreteç matrs G le sağda çarpılara odlaır. G satırları r,, r se.... = ug = u r = u r + + u r C Öre.7: ( GF ) 4 aşağıda gb verlmetedr. u vetörü, u elde edlr. G = te u = br vetör olsu. Br C oduu üreteç matrs ug fosyou le odlaacağıa göre G ug = = Burada bulua x = vetörü GF ( q ) de br elemadır.

19 u = x = olduğua göre x so 3 basamağı u da farlı olup bu basamalara otrol semboller (redudacy) adı verlr..5 Dual Kod ve Eşl Deetm Matrs ( GF ( q )) de u = u u ve v = v v vetörler ç çarpımı < uv>= uv= uv+ + uv,.... şelde taımlamatadır. u.v elemaı br saler olup GF ( q ) br elemaıdır. Bu ç çarpım sıfıra eşt se u le v vetörler ortogoal olur. ( GF ( q )) de C elemalarıa d ola elemalar varsa bular C dual elemalarıdır. Taım.: C, q-lu br [,]-od olma üzere, ( GF ( q )) C odsözcülere ortogoal ola vetörler ümes C dual adıı alır. C le gösterlr. { ( )., } C = v GF q uv= u C (.5) İspatsız olara vereceğmz aşağıda teorem spatı, ortogoall ve taba taımlarıda yararlaılara olayca yapılablr. Teorem.4: C, üreteç matrs G ola br [, ]-od olsu. v ( GF( q) ) vetörüü C duale at olması ç gere ve yeter oşul v, G her satırıa ortogoal olmasıdır. T v C vg. = (.6) Teorem.5: Dual od boyutu - ola leer br oddur. Başa br deyşle q-lu br [, ] -oddur.

20 Öre.8: C = olsu. C üreteç matrs G = se v vv v3 = e T vg = 3 = ( v v v ) ( ) olacağıda v + v = v + v3 = buluur. Bu durumda v = v = v3 olur. Burada elde edlr. C = {,} Not.6: Herhag br [, ]-od C ç ( C ) = C. Taım.3: C br [, ] -od e C eşl-deetm (party-chec) matrs H, C dual ola C üreteç matrse arşılı gelr. H, C eşl-deetm matrs se olmalıdır. T x C xh = (.7)

21 Teorem.6: C br [, ] G [ I : A] = se C eşl deetm matrs -od e C stadart formda üreteç matrs T H = A : I (.8) şeldedr [7]. Not.7: H eşl-deetm matrs H = [ ] B I : şelde se H matrs stadart formdadır der. Bu şelde br eşl-deetm matrs ola odu üreteç matrs G = I : B le fade edlr. T Öre.9: Üreteç matrs stadart formu = [ I : A] olara elde edle odu eşl-deetm matrs aşağıda gb buluur. İl olara olduğua göre şeldedr. T A oluşturulur. A = T A = 4 3

22 ( ) x H matrs H = olara buluur. Not.8: { } F =,, x ( F ) olma üzere x= xx... x x F, y = y y... y y F se x + y = ( x + y, x + y,..., x + y ), x y = ( x y, x y,..., x y ) şelde taımlaır. ), xy F, d( x, y) = w( x+ y) ), xy F, d( x, y) = w( x) + w( y) w( x y) eştller vardır. Teorem.7: d br te sayı olsu. Bu durumda l br (, M, d)-odu varolması ç gere ve yeter oşul br l (+, M, d+)-odu varolmasıdır. İspat: d br te sayı, C se l br (, M, d)-od olsu. (+, M, d+) l oduu varolduğuu gösterelm. C de aşağıda yolla ye br Ĉ odu şa edelm: x C, ˆx Ĉ olma üzere x x x x xˆ =... = xx... x, w( x) çft sayı se xx... x, w( x) te sayı se şeldedr. 4

23 Böylelle C elemalarıı ağırlıları dama çft olur. Ĉ bu yolla elde edlş addg a overall party-chec adıı alır. Ya C tüm sözcülere br eşl - deetm sembolü elemetedr. d( xˆ, yˆ) = w( xˆ) + w( yˆ) w( xˆ yˆ), xˆ, yˆ Cˆ Ç Ç Ç d( xˆ, y ˆ) dama çft sayı olur. Dolayısıyla d te sayı olduğuda, d d( Cˆ ) d + T Ç Ç dc ( ˆ) de çft sayı olur. Burada dc ( ˆ) = d+ buluur. Ĉ, br l (+, M, d+)-od olur. Bu ez, d br te sayı olma üzere l br (+, M, d+)-od D olsu. Burada br (, M, d)-oduu varlığıı gösterelm: d( x, y) = d + olaca şelde x, y D seçls. x ve y farlı olduğu br oum belrles. Öreğ bu oum. oum olsu. D de tüm sözcülerde. oumda semboller slere ye br l (, M, d)-od oluşturulur. Öre.: C = oduda sözcüler herbre br eşl-deetm sembolü eleyelm: Oluşa ye od D = br (6,4,4)-oddur. 5

24 Dğer tarafta, D oduu sözcüğüü alalım. x = y = olup d( x, y ) = 4 tür. 3. oumlar farlı olduğua göre tüm sözcülerde 3. oumda semboller slelm. Oluşa ye od ' D = şelde (5,4,3)-oddur. Not.9: Eğer d te sayı se A ( +, d + ) = A (, d) ve d çft se A (, d) = A (, d ). Ö Teorem.3: ( F ) durumda E gösterelm. Bu yolla de çft ağırlılı vetörler ümes E le gösterls. Bu F oda br eşl-deetm sembolü eleere elde edldğ E br (,,) -od olduğuu belrleyelm. İspat: ( F ) e eşl-deetm sembolü eleere elde edle od C olsu. Bu durumda C tüm odsözcüler ağırlığı çfttr. Ya C E olduğu açıtır. E de her vetör F de br vetörde bu yolla elde edleblr. O zama C = E olur. Souç olara E F = = buluur. F mmum uzalığı olduğuda E mmum uzalığı dr. Ö Teorem.4: İl br leer odda ya tüm odsözcüler ağırlığı çfttr ya da yarısı çft, yarısı tetr. 6

25 İspat: İl ve leer br C odu alalım. Buu çft ağırlılı sözcüler ümes E v, te ağırlılı sözcüler ümes O d le gösterls. Ev C olduğuu abul edelm. O zama wy te sayı olaca şelde y C olmalıdır. Bu y elemaıı ele alıp y C ç E v + y ümes oluşturalım: v { v} E + y = x+ y x E, Ev + y C ( C leer olmasaydı bu toplamda çıa elemalar oda at olmayablrd). Br x + y Ev + y alalım. x Ev, w( x) çft sayı ve w( y) te sayı olduğuda.8 ) de Ya Ev wxy (, ) = dxy (, ) = wx + wy wx ( y). T Ç T Ç + y tüm elemalarıı ağırlığı tetr. Burada T, Not Ev + y Od Ev = Ev + y Od, (.9) d { d} O + y = x+ y x O, wx ( + y) = wx + wy wx ( y), Ç T T Ç Ç Od + y Ev Od Ev (.) olup (.9) ve (.) da elde edlr. Od = Ev = C 7

26 M. J. E. Golay, müemmel odları lstelemele uğraşıre, müemmel od şa etmes beledğ halde, böyle odlar oluşturmaya bazı parametreler varolduğuu göstermştr. Aşağıda teorem de bu duruma br öretr. Teorem.8: İl leer [9,78,5]-odu yotur [7]. İspat: =9, q=, M=78, d=5 ç Hammg Sıırı a baalım = 9 9 olup bu parametreler müemmel br od şa etmes beler. Böyle br odu varolduğuu abul edelm. Bu odu eşl-deetm matrs H olsu. Dolayısıyla H br ( x matrs olacağıda ) x 9 matrstr. d=5 olduğuda H 4 tae sütuuda oluşa her üme leer bağımsızdır. H sütularıı H, H,..., H 9 şelde gösterelm. { j } X =, H, H + H 9, j < 9, X 9 = + + = = Ayrıca V (,) = dr (, ler sıralı -ller sayısı). Bu durumda Ö Teorem.4 te te ağırlılı vetörler sayısı edelm. olur. Bu sayıyı başa br yolla elde H de te ağırlılı sütu sayısı m olsu. O zama H de çft ağırlılı sütu sayısı 9-m olur. wh ( + H) = wh + wh wh ( H) j j j olduğu blyor. wh ( + H) ı te olması ç wh le wh da yalız br j te olmalıdır. Te ola sütular m tae olduğua göre bularda br seçlrse, bu seçle te ağırlılı sütu, ağırlığı çft ola (9-m) tae sütu le toplaara ye te ağırlılı sütular elde edlr. Bu yolla elde edle te ağırlılıları sayısı m(9 m) olara buluur. X te, te ağırlılıları sayısı m+m(9-m)=m(9-m) olur. j 8

27 m(9 ) m = olması olaasızdır. Dolayısıyla böyle br m Z yotur. Ya leer l [9,78,5]-od yotur. Taım.4: u ve v ayı uzuluta l vetör olsu. Eğer v de ler, oumları le brlte desleme oşuluyla u da ler br alt ümes se u vetörü v y örtüyor der. Ya, u örter v u v= v. Öre.3: u= v= u v= v sağladığıa göre u, v y örter. 78 Teorem.9: İl br ( 9,,5)-od var mıdır? İspat: Böyle br od olduğuu varsayalım ve bu od C olsu. C leer br od olmasa da odları delğ sayesde sıfır vetörüü çerr. d=5 olduğuda C sıfırda farlı odsözcüler ağırlığı e az 5 tr. Y ümes, V(9,) l bleşe... ola 3 ağırlılı vetörlerde oluşsu. Y = 88 dr. d = t+ = 5 t = dr. Bu edele, Y de her y vetörü, x br odsözcüğü olma üzere yarıçaplı br te S(x,) üres çde buluur. Böyle br x odsözcüğüü mmum ağırlığı 5 olmalı ve y y örtmeldr. Bu ez l bleşe... ola 5 ağırlılı odsözcüler ümese X dyelm. {(, ),, örter } D= x y x X y Y x y. D de (x,y) ller türlü sayalım: Y de herbr y vetörü, X te br te x sözcüğü le örtülür. D = Y = 88 (y ye göre sayma). Dğer yada X te herbr x sözcüğü, Y de 3 tae y y örter (x e göre sayma). 9

28 Öreğ, x =... y =... y =... y =... 3 Bu ez Y = 3. X elde edlr. 88 = D = Y = 3 X 88 + X = Z 3 78 olup ( 9,,5)-od yotur.

29 . AĞIRLIK SAYAÇLARI. Grş Ağırlı sayaçları, daha sora üzerde durulaca ola MacWllams Eştlğ de olduça öeml br yere sahptr. Bu eştlte herhag C leer oduu ağırlı sayacıı, C dual ola C ağırlı sayacıda elde edlebleceğ fade edlmetedr. Yalızca hata sezme amacı le ullaıla br odu ağırlı sayacı, sezlemeye hataları olasılığıı hesaplamayı sağlar. Taım.: F br solu csm olma üzere C F, uzululu br od olsu. =,,, ç A, ağırlılı odsözcüler sayısıı belrts. C ağırlı sayacı C wa (.) A z = z = Az a C = olara fade edlmetedr. Burada ( ) adladırılır. AC ( x, y) Ax y = A = dzs, C ağırlı dağılımı olara = (.) homoje polomu da C ağırlı sayacıı belrtmetedr. Öre.: C = {,,, } odu l, 3 uzululu ve çft ağırlılı br od olara verlyor. C dual C = {, } olup C ve C ağırlı sayaçları C 3 3, = A z = Az = + z C 3 3. = A z = A z = + z

30 Yuarıda da belrtldğ üzere br C oduu ağırlı sayacı le C ağırlı sayacı brbryle bağlatılıdır. Bu bağlatıyı MacWllams Teorem ortaya oymatadır.. MacWllams Teorem Florece Jesse MacWllams, odlama uramı üzerde çalışmalar yapa l baya matematçlerde brdr. MacWllams dotora tezde, leer br odu ağırlı dağılımı le odu dual ağırlı dağılımı arasıda lşy ortaya oya br eştlte söz etmştr. Bu edele MacWllams, hem matematçler hem de mühedsler lgledğ Leer Programlama Sıırı ı spatıda ullaıla öeml br ölçütü ortaya oymuş olmatadır []. Öerme.: [] ct p = c ( t p ). (.3) = = Teorem.: (MacWllams Teorem) C, GF(q) üzerde br [, ]-od olsu. C = ve A z c z = = C = e = A z c z AC ( z) = c ( ( q ) z) ( z) +. (.4) C İspat: Teorem spatı bu bölümde q = ç yapılacatır. Öerme. de z p = ve + z t = + z olara alıırsa z z z c = cz = c = + z + z = = + z ( + z) cz = c ( + z) ( z ). = =

31 Öre.: Öre. de celedğmz od ç MacWllams Teorem uygulayalım. Çözüm: C 3 = + 3, A ( z) z A z z C = + olara elde edlmşt. AC z z c z z C = + 3 = ( + ) ( ) = 3 = c 3 z z + = 3 3 =. ( + z) +. ( z). = ( + 3 z ) = + 3 z. 3 ( ) ( ) Bu ez, teoremde C yere C alalım. 3 A z z c C z z C 3 3 = + = ( + ) ( ) 3. = = = ( + z)( 4 4 z+ 4 z ) 4 = + z ( z) ( z)( z) 3 Verle örete üçü br od ele alıdığıda bu odu ağırlı sayacıı MacWllams Eştlğ le buluması etl br yol değldr. GF(q) üzerde olabldğce büyü br parametrese sahp br od ç eştlğ ullama yerde olacatır. Öreğ, parametres (-) da olduça büyü se bu durumda odu dual ağırlı sayacıı bulma daha olay olacatır. Dolayısıyla, burada odu ağırlı sayacıa geçme daha matılı olacatır. Öre.3: C, [7,4]-Hammg od olsu. C üreteç matrs şeldedr. 3

32 AC, odsözcüler lsteleere buluduğuda, sıfırda farlı her odsözcüğüü ağırlığıı 4 olduğu görülür. Ya A z z 7z = + = +. C Burada C ağırlı sayacıı bulalım. elde edlr. 7 7 AC( z) = 3 c ( + z) ( z) = = = + 7z + 7z + z ( z) ( z) ( z) Souç.: Br Ham(r,) odu ağırlı sayacı ( z) ( z ) ( z r + + ) dr. İspat: C br Ham(r,)-od olsu. r r Br Hammg odu uzuluğu = le hesaplaır. Kodu boyutu r olduğuda odsözcüğü sayısı r r dr. r r ( ) ( r ) r Hammg odu dual = = tae elema çerr ve dual odda sıfırda farlı her sözcü r ağırlılıdır. Bua göre AC( z) = ( ) ( r c + z z) = = r + + = ( ) ( ) ( ) r + z + + z z + = ( z) ( z) ( z) r = ( z) ( z ) ( z r ) olara buluur. r r ( z) ( )( z) ( z) r 4

33 3. KRAWTCHOUK POLİNOMLARI 3. Grş Krawtchou polomları, 99 yılıda Urayalı matematç Mhalo Pylypovchy Kravchu tarafıda ullaılmıştır [4]. Bu polomlar, odlama uramıda olduça öeml br yer tutmatadır. Bu edele, çalışmaı bu bölümüde polomu bazı özelllerde söz edlecetr. Taım 3.: q br asalı uvvet, q,,,, q, x olaca şelde olma üzere ( )...( + ) x x x x j = j j! x x K x K x q q j j j= j j (3.) = ( ;, ) = ( ) ( ) olara taımlaa poloma Krawtchou polomu adı verlr. Özel olara q = seçlrse elde edlr. x x K x K x j= j j j = ( ) = ( ) ( ) 3. Krawtchou Polomuu Özelller ) =,,, ç ;, = ) K ( q) ( q ) 5

34 ;, = ) K ( q) ) =,,, + ç j + ;, = j= j ) K ( q) ( q ) j + + ;, = j= j ) K ( q) ( q ) 3) d =,,, ç ) K ( d;, q) = ( ) d ( q ) ) K ( + ;, q) = ( ) 4) ( ;, ) ( ) = d q + q + r K+ z q = z +! Öerme 3.: Krawtchou poloumuda x dereces olsu. x =,,, ç K x ;, q büyülüğü x ( u+ ( q ) v) ( u v) x fadesde u v lı term atsayısıdır. İspat: (3.) eştlğ her tarafı toplam alısı. u v term le çarpılıp üzerde sıfırda ye adar buluur. j j K ( x) u v = ( ) ( q ) u v = = j= j j x ( u v) ( u ( q ) v) x x x j x x j j x x + j j = ( ) u v u (( q ) v) = j= j j = + 6

35 Burada, x x K ( x) u v = ( u v) u+ ( q ) v (3.) = elde edlr. Not 3.: K x polomu x csde. derecededr ve başatsayısı q j j j j j = j!!! j j= j= olara buluur. Not 3.: Buda sora ϕ = ( q)! x ( xuv,,, ) ( u ( q ) v) ( u v) x ( q ) = + (3.3) olara fade edle fosyo, u =, v = z değerler ç göz öüe alıacatır. Böylece MacWllams Eştller de sembollerle uyum sağlamış oluur. Teorem 3.: ) K ( x) ( q) ( q ) ) j x = j j j= j j (3.4) + j x K x = q j j j= j j (3.5) eştller vardır. İspat: ) (3.) fadesde u =, v = z alıırsa x x K ( x) z = ( z) + ( q ) z (3.6) = eştlğ elde edlr. 7

36 olduğuda, şeldedr. qz + q z z = ( + q z) + ( q ) z x x ( ) z lı term atsayısı j j x j K ( x) = ( q) ( q ) j= j j qz x = ( + ( q ) z) j= + ( q ) z j j j x = ( qz) ( + ( q ) z) j= j j j j j j x j = ( q) z ( q ) z = j= j j x j = ( q) ( q ) z = j= j j x x qz ) ( + ( q ) z) ( z) = ( z) + z olduğuda z lı term atsayısı j j x j qz x = ( z) = j= z j + j x K ( x) = ( ) q j x j + j = ( qz) ( z) = j= j j + j x = ( ) q z = j= j j j j j= j j. j j x 8

37 Krawtchou polomu, aşağıda fade edle ortogoall lşse sahptr. Teorem 3.: ve l egatf olmaya tamsayılar e = l se δ l, = ve l se δ l, = olma üzere ( q ) K () Kl() = q ( q ), l (3.7) = eştlğ vardır. δ İspat: (3.7) fades sol tarafı l x y le çarpılsı. l ( q ) K () Kl() x y = = ( q ) ( + ( q ) x) ( x) ( + ( q ) y) ( y) = = ( ( q ) x) ( ( q ) y) ( q )( x)( y) + + = = ( + ( q ) x) ( + ( q ) y) + ( q )( x)( y) = q+ ( q ) xy+ ( q ) xy = q+ q q xy = q + q xy q ( ) ( q ) = elde edlr. Burada buluur. = ( xy) δ l, δ ( q ) K K = q ( q ), l l Teorem 3.3: ve l egatf olmaya tamsayılar olma üzere l l l q K = ( q ) K ( l) (3.8) eştlğ vardır [], [9]. 9

38 Teorem 3.4: K () K() l = q δ, l (3.9) = eştlğ vardır. İspat: (3.8) fades, (3.7) fadesde yere oursa olduğuda ( q ) K K = q ( q ) = l ( q ) K ( l) K = q ( q ) δ = l = l δl, = l δ = = elde edlr. l, () () =, K l K q δ l Not 3.3: (3.3) te sözü edle ϕ l δ, l, l x ( xuv,,, ) = ( u+ ( q ) v) ( u v) fosyouda yararlaara Krawtchou polomları ç brço reüras bağıtısı elde edlmştr. Aşağıda e öeml reüras bağıtılarıda br u =, v = z oşulu altıda verlmetedr. Dğer reüras bağıtıları ç [9] olu yayı celeeblr. Teorem 3.5: (Üç-Term Reürası) =,,... ç başlagıç oşulları le K x =, K ( x) = q qx ( + ) K ( x) = ( q ) ( q ) qx K ( x) ( q )( + ) K ( x) reürası vardır. + x (3.) İspat: (3.5) fades z ye göre türetlp eştlğ her tarafı ( ( q ) z)( z) çarpılsı. + le 3

39 = x x+ x ( ) ( )( ) x+ q x + q z z x z + q z = K x z + q z z Eştlğ sol tarafı, (3.5) fadesde yararlaara düzeles. + ( q )( x) K ( x) z ( q )( x) K ( x) z = = + xk ( x) z x( q ) K ( x) z = = + = K ( x) z + ( q ) K ( x) z ( q ) K ( x) z = = =, + ( q )( x) x K ( x) z ( q )( x+ x) K ( x) z = = = ( + ) K+ ( x) z + ( q ) K ( x) z ( q )( ) K ( x) z = = =, ( ( ) ) ( ) q qx K x z q K x z = = = ( + ) K+ ( x) z + ( q ) K ( x) z ( q )( ) K ( x) z = = =. Tüm toplamlar = de başlayaca şelde düzeles. ( ) q qx + q qx K x z q K x z = = ( ) + = q qx + + K x z = + q K x z q K x z = = eştlğde ( ( ) ( ) ) ( )( + ) q qx q K x z q K x z = = = ( + ) K + ( x) z = z lı termler atsayıları eştlerse; ( ) ( ) ( )( + ) = ( + ) q qx q K x q K x K+ x buluup spat tamamlamış olur. 3

40 4. DELSARTE ve MACWILLIAMS TEOREMLERİ 4. Grş MacWllams Teorem, daha öce Teorem. de fade edlmşt. Bu bölümde Delsarte ve MacWllams Teoremler, Krawtchou polomlarıda yararlaılara spatlaacatır. Phlppe Delsarte, 973 yılıda [7] le belrtlmş yayııda Hammg sıırıı öeml ölçüde gelştrere Leer Programlama Sıırı ı ortaya oymuştur. Bu bölümde, bu sıırda söz etmede sıırı fade etme ç gerel blglere yer verlecetr. Ö Teorem 4.: C, uzululu, C AC( z) = Az = ola br od olsu. Bu durumda = M odsözcülü ve ağırlı sayacı ) = A = M,. ) M A = d ( x, y) = x, y C İspat: Teorem ) le verle fades olaylıla görüleblr. ) le verle eştlğ varlığı ç [] olu ayağa başvurulablr. 3

41 4. Delsarte ve MacWllams Teoremler le Krawtchou Polomları Arasıda İlş Kolaylı sağlaması açısıda GF ( q ) = F q ullaımı söz ousu olacatır. Teorem 4.: (Delsarte Teorem) C F q oduu ağırlı sayacı olsu. b AC ( z) = Az Q ve = C A( + ( q ) z) ( z) = bz = = (4.) e ç b. İspatı vermede öce teorem Krawtchou polomu yardımıyla Teorem 4.3 te başa türlü fade edlebldğ gösterelm. (4.) eştlğde b sayısı, verle x ( u+ ( q ) v) ( u v) z lı term atsayısıı temsl etmetedr. (3.3) le x fadesde u =, v = z alıırsa oluşa polomu z lı term atsayısı x,,..., K x ;, q olara belrtlmetedr. Bu durumda (4.) eştlğ = ç sol tarafıda z lı term atsayısı AK C = olmalıdır. Burada ( ;, q) C = () b = AK (4.) elde edlr. Bu durumda, C leer br od e C = B se B ağırlı sayacı B =. = A z b z 33

42 Böylelle Teorem. de verle MacWllams Teorem, Krawtchou Polomu yardımıyla spatlamış olur. Teorem 4.: (MacWllams Teorem) C F q oduu ağırlı sayacı e AC ( z) = Az = AK () b =. C = Delsarte Teorem Krawtchou Polomu yardımıyla fade etmede öce br Ö Teorem e değelm. Ö Teorem 4.: t, C de brm q. lel öü ve olsu. Bu durumda x F q, ağırlılı sabt br sözcü () xy, t = K y Fq w y = (4.3) eştlğ vardır []. Teorem 4.3: (Delsarte Teorem) C F q oduu ağırlı sayacı AC ( z) = Az = olsu. ç İspat: AK (). (4.4) = x F q, ağırlılı br sözcü olsu. (4.3) eştlğ göz öüe alalım. Eştlğ her tarafı A ve C le çarpılıp üzerde da ye adar toplam alıırsa; 34

43 () = C AK t (, ) = = xy, C z Fq d x y = wz= x yz, = = d( x, y) x y, z x, z t t t z Fq = x, y C z Fq x, y C wz= = wz= yz, xz, yz, xz, = t t = t z Fq x C y C z Fq x C wz= wz= elde edlr. Delsarte Teorem, MacWllams Teorem leer olmaya hal fade eder. Buraya adar verle ö teorem ve teoremlerde q u eyf değerler göz öüe alıdı. Açılı getreblme ve LP sıırıa temel oluşturablme amacıyla q = oşuluu celeyelm. Ö Teorem 4.3: N, İspat: + Z ç < N se N N ( N ) <. (4.5) ( N ) = f olsu. f ' = N = ç ı masmumu = max N buluur. Burada N N N f = olacağıda N N ( N ) < elde edlr. 35

44 Teorem 4.4: Delsarte Teorem de K () polomuu değer olara alıırsa; ) = = K ;, A = A dır. ) C l leer br od olsu. b, C dualde ağırlılı sözcüler sayısıı gösterdğe göre İspat: = ( ) A = C b dr. ) C odsözcüler satır abul ede C x Matrs j. sütuuu ağırlığı = x, y C (, ) C A = d x y br matrs göz öüe alalım. w j olsu. Ö Teorem 4. ) de verle eştlğde şerl uzalıları sayısı, satırlar date alıara hesaplamatadır. Çüü A, ağırlılı odsözcüler sayısıı fade etmetedr ve odsözcüler, satırlara yerleştrlmştr. Bu durumda matrs x satırı le j. sütuuu orta elemaıı, x satırı le j. sütuuu orta elemaıı olup olmadığı otrol edlmeldr. İşerl uzalıları sayısıı bulma şlem, bu şlem ez terar edlmese eşdeğerdr. Burada yazılablr. d( x, y) = wj( C wj) xy, C j= w j : j. sütuda sıfırda farlı elema sayısı C : br sütuda elema sayısı olduğua göre C w j : j. sütuda sıfır sayısıı temsl eder. Burada A = w C w j j = C j= 36

45 olup Ö Teorem 4.3 te C C wj( C wj) < olacağıda A = C j= C 4 = C = = A elde edlr. Dolayısıyla, buluur. A = ( ) A = = ) C leer br od e brtaım C w j ler veya olur. Eğer, C dualde sıfırda farlı grds j. oumda bulua ağırlılı br sözcü varsa w j = olup böyle oumları sayısı b dr. Dolayısıyla A = w C w ( b ) j j = C j= = C elde edlr. Çüü, ( b ), dualde ağırlığı ola sözcüler tüm sözcülerde çıarılması le elde edlmetedr. Dual odda ağırlığı ola sözcüler dışıda C sözcüler ağırlığıa sahp olduğuda esas odda, ağırlığı ola sütuu eledğmzde yuarıda eştlğ varlığı ortaya omuş olmatadır. Böylece, = C A = C b = b C ( ) elde edlr. Buu br öre üzerde görme yararlı olacatır. 37

46 Öre 4.: C = {,,,} e C dual C = {,,, }'dr. Dualde, ağırlığı ola br sözcü dır ve sözcüğü sıfırda farlı grds. oumdadır. Dolayısıyla C odsözcüler le oluşturula matrs. sütuuu ağırlığı sıfır olacatır, w =. Dualde ağırlığı ola sözcü sayısı b = dr. Bu durumda 4 = A =. +. = 4 C 4 = (4 ) = 4 ( b ) olup eştl sağlaır. Teorem 4.4 te = ç celeme yapılmıştır. Bu ez ç br geelleme yapablme amacıyla ye br od taımlayalım. Taım 4.: x, C de br odsözcüğü olsu. C oduu sözcü uzuluğu olma üzere {,,...,} ümes ele alısı. Bu üme tae elemalı alt ümes vardır. Buda yararlaara sözcü uzuluğu ola ye br od taımlayalım. Her x C sözcüğü ç aşağıda yolla br x [ ] sözcüğü oluşturulsu. Oluşa ye [ ] od C le temsl edls. [ ] Br x sözcüğüü oumları (bleşeler) {,,...,} ümes -lı I alt ümeleryle desles. Herbr oumda sembol x [ ] I = x I olara taımlaır. Burada x C ç se x = xx... x [ ] x = x... x x [ ] [ ] [ ] ( ) 38

47 şeldedr.ya tae -lı alt üme I =,,..., [ ] Böylece C odu { } [ ] [ ] C = x x C şelde deslemetedr. olara belrlemş olur. Öre 4.: C = {,,,} oduu ele alalım. = olursa oluşturulaca elemalı I alt ümeler bular, I I I {, } I {,3} {,3} I {, 4} {, 4} I { 3, 4} = = 4 = = 5 = = 3 6 = 4 = 6 tae olacatır. Ya şeldedr. C de br x sözcüğü seçls. Öreğ, x = alısı. odsözcüğüü şa edelm. Bua göre [ ] [ ] [ ] [ ] x = x x... x I I I6 [ ] C de x e arşılı [ ] x şelde olacatır. Burada [ ] x = x = x + x = + = I [ ] I [ ] I3 [ ] I4 [ ] I5 [ ] I6 I I I3 I4 I5 I6 x = x = x + x = + = 3 x = x = x + x = + = 4 x = x = x + x = + = 3 x = x = x + x = + = 4 x = x = x + x = + = 3 4 elde edlr. Ya [ ] x = 39

48 [ ] şeldedr. Dolayısıyla C oduu br elemaı üretlmş olur. Ayı matıla dğer sözcüler de buluablr. Bu durumda [ ] C = {,,,} olara elde edlr. Delsarte Teorem de K () geellemes yapablme ç yuarıda oluşturula [ ] C odu ullaılacatır. Ö Teorem 4.4: ) [ ] [ ] [ ] x + y = z x + y = z, ) İspat: [ ] w x = w x = j te j j. ) [ ] [ ] [ ] ( ). x + y = x + y = x + y = z = z I I I I ) x, uzululu br sözcü olduğua göre x olduğu oumlar, {,..., } ümes br alt ümes oluşturur. Bu alt ümeye I ' adı verls. I le I ' ümeler j tae elemaı orta se j te br sayı e [ ] x = xi =, I j çft br sayı e olur. Bu şelde j ler olacağıda I x j [ ] = x = I taedr. j gerye ala seçmler j tae buluur. [ ] w x = j te j j [ ] C oduu elema sayısı le C oduu elema sayısı ayı olmala brlte [ ] C da br sözcüğü ağırlığı, C de sözcüğü ağırlığıa bağlıdır. Burada 4

49 w [ ] () = j te j j (4.6) eştlğ söz ousudur. Dolayısıyla, olur. d( x, y) = e [ ] C ı ağırlı sayacı olup C [ ] [ ] A z c z [ ] [ ] ( [, ) = ] () d x y w = r r (4.7) r c [ ] r = A. (4.8) [ w ] () = r (4.6) eştlğ = j j (4.9) j= Wadermode Bom uralıı hatırlatmatadır. Bu ural aşağıda verle teoremde ullaılacatır. Teorem 4.5: C F oduu ağırlı sayacı AC ( z) = Az = olsu. ç AK ( ;,). (4.) = 4

50 İspat: Teorem 4.4 ) de hareetle N r= [ N r c ] yazılablr. (4.8) fadesde N [ ] r = ( ) r r= r= [ w ] () = r N N r c N r A [ ( ] ()) N N w A, r= [ w ] () = r = N = olup = = [ ] w () A, (4,9) ve (4.6) da = A = j= j j j te j j j = = j= = = ( ;,) K A A j j elde edlr. Ö Teorem 4.4 ) de de alaşılacağı üzere C leer br od se C [ ] odu da leerdr. Yuarıda toplam, C [ ] [ ] de ağırlılı sözcüler sayısıı C = C defa sayar. N = olma üzere N F de ağırlılı br x sözcüğü seçelm. Dolayısıyla x te br tae olur. Bu sembolü I. oumda bulusu. Bu durumda {,,...,} ümes -lı br alt ümes ola I le deslemş olmatadır. O zama br x elemaıı [ ] C elemaı olması ç C [ ] da tüm odsözcüler I. oumuda sıfır bulumalıdır. Bu se her c C I ı oumlarıda çft sayıda buludurmasıyla mümü olur. Souç olara C [ ] de ağırlılı sözcüler tamamıyle C de 4

51 ağırlılı sözcülere arşılı gelr. Böylece Teorem 4. de verle MacWllams Eştlğ terar sağlamış olur. Öre 4.3: = 4, =3 olma üzere I I I I 3 4 = = = = şeldedr. {,, 3} {,3, 4} {,, 4} {, 3, 4} 4 N = = 4 3 e I alt ümeler N x = sözcüğü F br elemaı olsu. x buludura oumu I olsu. Bu durumda,3 ve 4. oumlarıda çft sayıda buludura br C odu ele alıırsa; oduu dual şeldedr. Bu ez C = {,,,} C = {,,,} [ 3] C oduu oluşturalım. [ 3] C = {,,, } olup sözcüler I. oumları sıfırdır. Bu durumda x, C elemaıdır. [ 3] C = {,,,} Souç olara C [ 3] te ağırlılı sözcüğü, C de 3 ağırlılı ola sözcüğüe arşılı gelmetedr. [ 3] 43

52 5. MACWILLIAMS ve DELSARTE TEOREMLERİNİN DÖNÜŞÜMLER YARDIMIYLA İNCELENMESİ 5. Grş Teorem. de verle MacWllams Teorem dğer br fades aşağıda verlmetedr. Teorem 5.: (İl Leer Kodlar ç MacWllams Teorem) C leer br l [, ]-od ve dual C olsu. Bu durumda A ( x, y) = AC ( x+ y, x y) (5.) C C veya eşdeğer olara veya C ' Ax y = A( x+ y) ( x y) (5.) = = w u w u w( u) w( u) ( x y = ( x+ y) ) ( x y) (5.3) u C C u C eştller vardır. Bu eştller MacWllams Eştller olara blmetedr. İspatı yapablme ç aşağıda verlece ola leer döüşümlerde yararlaılacatır. Taım 5.: F solu br csm olma üzere, f, Hadamard döüşümü f F de herhag br tasvr olsu. f uv. f ( u ) = ( ) f ( v ) v F olara taımlamatadır., u F (5.4) 44

53 Ö Teorem 5.: C l leer br [, ]-od olsu. Bu durumda f ( u) = f ( u ) (5.5) u C eştlğ vardır. İspat: C u C uv. f ( u) = ( ) f ( v) u C u C v F uv. = f v. v F u C v C u C olduğuda uv=. olup uv. u C = = u C C elde edlr. v C u = vw. olaca şelde br w C vardır. a C ( ). au C olaca şelde br a C varsa b= aw. ç... bv awv au = = C olduğuda b C dr. Bu durumda ( + = ) = ( ) ( ) wv. w b v wv. bv. w C w C w C ( ) = ( ) ( ) wv. wv. bv. w C w C b C. bv. = wv w C w C b C bv wv olduğuda ( ). = buluur. Burada olup. w C b C w C 45

54 uv., v C = C u C. uv v C = u C olara elde edlr. Bu durumda buluur. u C f ( u ) = C f ( v ) Teorem 5. spatı: v F Hadamard döüşümüü ullaara Teorem 5. spatlayablrz. e w( u) w u f u = x y uv. w( u) w( u) f u = x y v F uzululu u ve v vetörler u = u... u, v= v... v olara düşüülsü. Burada şua dat etme gerer: = ( v... v ) v v + + v v x y = x x y fadesde v v w( v) = olup. (5.6) v v w( v) w( v) x y = x y. (5.7) = (5.7) fades (5.6) deleme uygulaablr. = ( ) v F v= v= v = = uv uv v v f u x y = =... uv v v x y 46

55 ( ) = w= ( ) u u u... = x + y x+ y x+ y = uw w w x y. w w u = x y = x+ y w=, w w w w= u = x y = x y elde edlr. Böylece w ( u) w( u) f u = x+ y x y (5.8) buluur. Dolayısıyla (5.5) le verle eştl w( u) w( u) u C w u w u u C x y = x+ y x y C olara yede fade edleblr. 5. İl Kodlar Üzerde Grup Yapısı v, uzululu l br vetör olsu. v= v... v vetörü geellle v v... v z = z z şelde temsl edlr. Burada z..., zz 3... olara alaşılmalıdır. Ayrıca her ç z = dr. vw, F ç v+ w= v,..., + w v + w olup z. z = z... z z... z = z... z = z. v w v v w w v+ w v+ w v+ w 47

56 Bu şelde v z ler oluşturduğu çarpımsal grubu G le gösterelm. Taım 5.: G Q rasyoel sayıları üzerde QG grup cebr av Q, v z G ç v F az v v şelde tüm toplamları çerr. 5.3 Karaterler Taım 5.3: Her u F ç χu : G Q olara verle tasvr, u ve v vetörler Q üzerde saler çarpımı u.v olma üzere u v ( z ). χ = uv şelde taımlaır. Burada χ u ya G br arater adı verlr. χ u aşağıda gb QG üzerde etye, leerl ullaılara geşletleblr. Ayrıca v v uv χ az = aχ ( z ) = ( ). a χ u v v u v v F v F v F u yazılablr. v ( z ) ; uv. = se = ; uv. se 5.3. Karaterler Özelller v u ) χu( z ) χv( z ) =, ) ( v ) ( w ) ( v + χ w u z χu z χu z ) 3) C, C QG ç =, ( C ) ( C ) ( CC ) χ χ = χ, u u u 4) χ ( w ) ( w ) ( w u z χv z χ u + v z ) =,. (5.9) 48

57 5) C leer br od olup C = z u C u şelde se χ v ( C) C ; v C se = ; v C se olur. Daha es olara, abelye br G grubuu br χ arater G grubuda, mutla değer (modülü) ola omples sayıları çarpım grubua br homomorfzmadır. 5.4 Leer Olmaya Kodlar ç MacWllams Teorem C = cvz v F v, QG grup cebr herhag br elemaı ve M = c v F v olsu. A = wv= c v olma üzere { A,..., A }, (+)-ls C ağırlı dağılımı adıı alır. Burada = A = M olduğu açıtır. C ağırlı sayacı se şeldedr. (, ) w v w v C = v = v F = A x y c x y Ax y 49

58 Taım 5.4: C QG üzerde döüşümü C' = χu M v F C z u (5.) le taımlıdır. C = cvz v F v olduğua göre ' C' = cu z u F u şelde düşüülürse ' uv c = χ ( C) = ( ). c M M u u v v F (5.) elde edlr. Bu durumda C ' ü ağırlı dağılımı χ (5.) A c C ' ' = u = u wu= M wu= olup ağırlı sayacı ' AC' ( x, y) Ax y = = (5.3) şelde fade edlr. Teorem 5.: AC' ( xy, ) = AC( x+ yx, y) (5.4) M eştlğ vardır. 5

59 İspat: ' ' w v AC' ( x, y) = Ax y = cvx y = v F eştlğde (5.), (5,6) ve (5.8) ullaılırsa; olup spat tamamlaır. M AC ' ( x, y ) = ( ) u F u F u v F w( v) uv. w v w v c x y w u w ( u ) = cu x+ y x y M = AC x+ y x y M (, ) Taım 5.5: C, leer olması geremeye br od e D= M C olsu. D= dmz m F m olara düşüülürse D ağırlı dağılımı B = wm= d m şeldedr. Ö Teorem 5.: uv, C ç B =. M d u v = (, ) 5

60 İspat: u v D C z z M M = = u C v C u+ v = M u C v C M = (, ) z = u, v C duv= z u+ v = dmz m F m. Burada B = dm =. M (, ) wm= duv= Not 5.: B, geellle C uzalı dağılımı olara blmetedr. Teorem 5.3: B ' = s M wu= s χ u ( D) veya AD' ( xy, ) = AD( x+ yx, y) (5.5) M eştlğ vardır. İspat: D= dmz m F m olduğu blyor. Bu durumda D döüşümü, D' = χu D u F D z u (5.6) şeldedr. 5

61 ' D' = du z u F u (5.7) olduğuu abul edelm. (5.6) ve (5.7) de d ' u ( D) = u D χ (5.8) olmalıdır. Öte yada olup D dm = cv = M = M m F M v F M = M dr. Bu durumda ' uv d = χ ( D) = ( ). d D M u u v v F (5.9) olur. (5.5) eştlğ sağ tarafıı ele alalım: w m AD x+ y, x y = dm( x+ y) x y M M m F eştlğde (5.6), (5.8) ve (5.9) ullaılara w ( m ) M D ( +, ) = ( ) A x y x y M m F m v F mv. w v w v d x y = dm ( ) x y M v F m F mv. w v w v ' = dx v v F = A w v ( x y) D', w( v) y elde edlr. Teorem 5.4: (Delsarte Teorem) s=,..., ç B ' s M wu= s χu( D). (5.) = 53

62 İspat: B elde edlr. ' = s M wu= s = χu M wu= s wu= s χ u ( D) ( C ) = χu ( C) M 54

63 6. LİNEER PROGRAMLAMA SINIRI 6. Grş Br odu temsl etme ç uzulu (), mmum uzalı (d) ve odu elema sayısıı (M) göstere parametreler ullaıldığıı blyoruz. Bu parametreler değştçe odu şlev artmata veya azalmatadır. Herhag br odu br dğerde daha y olduğuu belrleyeblme ç odları parametreler arşılaştırma gerer. Br odda 3 parametre buluduğuda bu arşılaştırma şlem pe olay olmamatadır. Karşılaştırılaca her od ç, M, d parametrelerde ve d, ayı değerler aldığı zama M üzerde arşılaştırmalar yapılablr. Br odu çerdğ sözcü sayısı e adar ço olursa letşm o del ço yölü olur. Dolayısıyla M sabtlemeye parametre olmasıda ede budur. Başa br deyşle C: (, M, d ), C :(, M, d ) odlarıda M > M se C C de daha y br od olduğu söyleeblr. Bu otada odlama uramıı e temel problem ortaya çımatadır: Uzuluğu ve mmum uzalığı ble br od e fazla aç odsözcüğü çerr? Kodlama uramı büyü ölçüde, odu çerdğ sözcü sayısı üzerde sıır şa etme ve bu sııra e yaı sözcü sayısıa sahp odlar bulablme üzerde durmatadır. M ç. Bölüm de belrtle Hammg Sıırı ı yaı sıra Sgleto, Plot, Elas, Johso üst sıırları; Glbert-Varshamov gb alt sıırlar mevcuttur. M buluması ç belrlee e yet te Phlppe Delsarte ı Leer Programlama yötemdr. P. Delsarte, solu csmler üzerde mmum uzalılı odları sözcü sayısı ç sıırları belrlemes şlem br leer programlama problem olara ele almıştır. 55

64 Bu yötem, ortogoal br polom ola Krawtchou Polomu u ullaılması edeyle polomsal yötem olara da blmetedr. Ble e y üst sıırlar Delsarte ı 973 te gelştrdğ bu yötem esas alara ortaya oulmuştur. Bu bölümde leer programlama teler odlara uygulaışı üzerde durulara Leer Programlama Sıırı da söz edlecetr. 6. Ö Kavramlar Ad (, ) büyülüğü, leer olması geremeye herhag l, uzululu ve mmum d uzalılı br odu çerdğ odsözcüler sayısıı masmumuu gösterr. Adw (,, ) se d Hammg uzalılı, w sabt ağırlılı, uzululu l vetörler masmum sayısıı gösterr. Bu bölümde A( d, ) ve (,, ) A dw ye bağlı eştl ve eştszllerde yararlaılacatır. Bu edele aşağıda bu özelllere sıırlı olara değlmetedr. ) A (,δ, w) A (, δ, w) =, ) A (, δ, w) A (, δ, w) =, 3) w δ A( δ w) <,, =, 4) A (, δδ, ) 5) Johso Sıırı: = δ, w w δ + > olma oşuluyla (, δ, w) A δ w w+ δ, w, 6) A (, δ, w) = A (, δ, w ) 7) A (,δ) A (,δ ) =, 56

65 8) Ad (, ) A (, d), 9) Plot Sıırı: d olma oşuluyla δ 4δ > δ A(,δ) = 4 δ ve A 4 δ,δ = 8δ. 6.3 Leer Programlama Taım 6.: Leer Programlama, leer br fosyou br leer eştszller ümese veya eştszllerle fade edle ısıtlamalara bağlı olara optmze (masmze veya mmze) etme amacıyla ullaıla teler bütüüdür. Kouyu daha olay açılayablme açısıda aşağıda leer programlama problem ele alalım: Taım 6.: (I. Problem / Temel LP Problem) a x + a x a x b s s a x + a x a x b s s a x + a x asxs b (6.) x,..., xs ısıtları altıda cx + cx cx s s leer fosyouu masmze edlmes problem br leer programlama problemdr. 57

66 cx + cx cx s s fosyou, amaç fosyou adıı alır. c,..., c s ler fyat atsayılar, x,..., x s ler arar değşelerdr. s ax j j b,. ısıt adıı alır. j= a j atsayılarıa teoloj atsayılar demetedr. a a... as a a... a s... A = a a... as matrs, ısıt matrs adıı alır. Not 6.: Br masmzasyo problem, br mmzasyo probleme veya mmzasyo problem, masmzasyo probleme döüştürme olasıdır. Bu döüşüm s maxcx = m cx j j j j j= j= s şelde yapılablr. Masmzasyo problem matrslerle fade edlmesde yarar vardır. max s j= cx j j ç ısıtlar s j= ax = b, =,..., j j stadart formda olup x, j =,..., s j = [ ], x [ x x ] c c,..., cs =,..., s, 58

67 [ ] b= b,..., b, a a... as a a... a s... A = a a... as şelde olma üzere LP problem Ax T b x T (6.) ısıtları altıda max cx T (6.3) olara fade edlr. Taım 6.3: (II. Problem / Dual LP Problem) au+ au au c a u + a u a u c au+ au asu cs s s (6.4) u,..., u ısıtları altıda bu + bu bu leer fosyouu mmze edlmes problem br dual leer programlama problemdr. 59

68 Mmzasyo problem matrslerle fade edlece olursa; m = ub ç ısıtlar = ua = c, j=,..., s j j stadart formda olup u, =,..., = [ ], u = [ u u ], c [ c c ] b b,..., b a a... as a a... a s... A = a a... as,..., =,..., s, şelde olma üzere dual LP problem ua c, u (6.5) ısıtları altıda m ub T (6.6) olara fade edlr. Burada u ları ey fade ettğ göreblme amacıyla aşağıda öreğ ele alalım: Öre 6.: max 4x + 7x 3x 5x 6 x x 8 x, x problem dual 6

69 m 6u + 8u 3u u 4 5u u 7 u, u olara elde edlr. Taım 6.4: Br x vetörü (6.) le verle eştszller sağlıyorsa I. Problem ç uygu çözüm adıı alır. x vetörü ayı zamada cx T y masmze edyorsa optmal çözüm olur. Bezer durumlar II. Problem ç de geçerldr. Teorem 6.: x, (I) ç, u, (II) ç uygu çözüm olsu. Bu durumda cx T ub T olur [8]. Teorem 6.: x, (I) ç, u, (II) ç uygu çözüm olsu. x ve u u optmal çözüm olması ç gere ve yeter oşul cx T = ub T olmasıdır [8]. Teorem 6.3: x, (I) ç, u, (II) ç uygu çözüm olsu. x ve u u optmal çözüm olması ç gere ve yeter oşul j =,..., s ç x = veya = ua = c j j ve =,..., ç u = veya s j= ax = b j j olmasıdır [8]. 6

70 6.4 Leer Programlamaı Kodlara Uygulaışı C, l br (,M,d)-od olup odsözcüler arasıda uzalı t = < t <... < ts şeldedr. B, C de sabt br odsözcüğüde uzalıta odsözcüler sayısıı ortalamasıı gösterme üzere B =, j =,..., s ç B ve dğer durumlarda Dolayısıyla B = dır. t j C = M = + Bt s j= j eştlğde söz edleblr. ' C oduu döüşümüü dağılımı { B } B = D = BK χ ' u M wu= s M = M j = ( t ), Teorem 5.3 te () s = B K (6.7) tj j olara fade edleblr. Ayrıca Teorem 5.4 te =,,..., ç blyor. B ' olduğu C, odsözcüler arasıda uzalı { t j} = verle leer programlama probleme göre uygu çözümdür. s j ola br od se Bt, Bt,..., B t s, aşağıda 6

71 6.4. Temel Probleme göre LP Sıırı Taım 6.5: (III. Problem) s j= B t j masmzasyou ç B, j =,..., s, t j ( t) s BK tj j j=,,..., = (6.8) veya s j= ( t) BK t j j, =,..., (6.9) oşulları altıda B,..., t B t ler seçlr. s Teorem 6.4: (Leer Programlama Sıırı ı Temel Teorem) C, q-lu, uzululu, mmum d uzalılı br od olsu. Bu durumda III. problem optmal çözümü C üzerde br üst sıır belrler. Başa br deyşle C max B B =, B =, < d, B, BK (), = = eştszlğ vardır. q = ve d çft sayı se, B, tüm te ler ç sıfırdır. İspat: Teorem 4.3 veya (6.9) le verle eştszlte hareetle teorem l ısmıda eştszller sağladığıı söyleyeblrz. Ayrıca Ö Teorem 4. ) de = B = C olduğu bldğe göre C max B = durumu alamlı hale gelmetedr. 63

72 Dğer tarafta q = ve d çft e C geşletlmş C oduu ele alalım. C, C l odua br eşl-deetm sembolü eleere oluşturulduğuda C oduda ağırlığı te ola sözcüğü soua, çft ola sözcüğü soua eleere tüm ağırlılar çft hale getrlr. Dolayısıyla, bu odda ağırlığı te ola br odsözcüğü almaz. Bu durumda te e B = soucua olaylıla varılır. C oduda C odsözcüler uzuluğu artar, faat çerdğ odsözcüğü sayısı değşmez, C = C. Öre 6.: C, 8 uzululu l, mmum 4 uzalılı br od olsu. C ye at br üst sıır araştıralım. İl bölümde sözü edle Hammg Sıırı a göre 3 d = 4= t+ t = = olup C 8 8 = C 6 dır B =, B = B = B3 = B5 = B7 =, B4, B6, B8 olduğu blyor. = ve = ç celeme yapalım. = BK = 8 4B 8B 6 8 () 6 8, = 4B + 8B 8. (6.) = BK = 8 4B + 4B + 8B () 4 6 8, = 4B 4B 8B 8, (6.) B B 6 8 eştszlğde B6 olması ç B8 olmalıdır. (6.) ve (6.) de B 9+ 5B 4 8 elde edlr. 64

73 8 C B = B + B + B + B = B + B + B = + 4B 8, B8 buluur. 6 C 6 olduğu Hammg Sıırı ı dda ettğ souçtur. Öte yada, yuarıda toplamı 6 olması ç B 8 = alımalıdır. Burada B =, B elde edlr. Dolayısıyla 8 = B = B + B + B + B = 6 buluur. Leer programlama problem optmal çözümü B =, B = B = B = B = B = B =, B =, B = 4 (6.) 8 4 şeldedr. Dğer tarafta = 3 ç B K3 () hesaplaırsa; 6 8 = 4B + 56B 56 (6.3) şelde 3. eştszl elde edlr. (6.), (6.) ve (6.3) eştszllere smples yötem uyguladığıda optmal çözüm (6.) de belrtldğ gb bulumatadır. Dolayısıyla, (6.) ve (6.) ç yapıla muhaemelere gere almada souca gdlmş oluur. 65