COĞRAFYADA Olasılık ve Đstatistik Ders Notları Doç. Dr. Hasan. ÇOMÜ, Fef, Coğrafya Bölümü, Çanakkale

Transkript

1 COĞRAFYADA Olasılık ve Đstatistik Ders Notları Doç. Dr. Hasa ÇOMÜ, Fef, Coğrafya Bölümü, Çaakkale 1

2 Giriş Doğa bilimleri ve/veya sosyal olaylarda karşılaştığımız problemleri birçoğuda, gözlemlee veya ölçüle değişkeleri değerleri bilidiğide probleme kesi ve tek çözüm buluabilir. Öreği, bir oktasal katı cismi kütle merkezie etki ede kuvvet ve kütlesi bilidiğide kolayca cismi ivmesii hesaplayabiliriz. F = m a => a = F/m Oysa, bazıdurumlarda soucu kesi olarak bilmek mümkü olmayabilir. Öreği, bir ay sora bir bölgede yağışolup olamayacağı, olacaksa e kadar miktarda yağışolacağııkesi bilmek mümkü değildir. 2

3 Soucu kesi olarak bilimeye olayları belirsizlik içere olaylar şeklide, geiş alamda taımlayabiliriz. > Belirsizlik içere olaylar; olasılık teorisive istatistik bilimiyardımıile haklarıda bir yargıya varmamıza imka verirler. 2-TEMEL YAKLAŞIM 1. Soucuu kesi hesaplayabildiğimiz olay (veya süreç) DETERMĐNĐSTĐK 2. Soucuu belli bir olasılık (belirsizlik) altıda hesaplayabildiğimiz olay STOKASTĐK 3

4 Temel Yaklaşım Determiistik Olay Lieer No-lieer Kaotik Stokastik İstatistik Kaotik Rassal BU DERSĐN KONUSU 4

5 2. VERİLERİN SINIFLANDIRILMASI Toplum Örek R: Dağılım geişliği (igilizcesi. Rage) S: Sııf sayısı C: Sııf aralığı As: Sııfı alt sıırı Üs: Sııfı üst sıırı 5

6 Verileri Sııfladırılması(devamı) R = E büyük değer E küçük değer S = log (): Sııf sayısı : verisi sayısı C = R/S : Sııf aralığı AS 1 = E küçük değer ÜS 1 =AS2-B AS 2 = AS 1 +C ÜS 2 =ÜS 1 +C AS 3 =AS 2 +C ÜS 3 =ÜS 2 +C AS m = AS m-1 +C ÜS m =ÜS m-1 +C B= 1 Değerleri hepsi tam sayı ise B= 0.1 Değerlerde e az birii virgülde sora tek basamaklı odalıklı bir sayı olması B = 0.01 Değerlerde e az birii virgülde sora iki basamaklı odalıklı bir sayı olması B = 1/10 k Değerlerde e az birii virgülde sora k basamaklı odalıklı bir sayı olması 6

7 Verileri Sııfladırılması(Devamı) Sııf aralığıbelirleirke, değerleri hepsi tam sayıise == > Cde tam sayıdır. Aksi durumda, öreği değerleri e az bir taesi odalık sayıise == > Cde ayıtürde odalık sayıolmalıdır. Bu işlemlerde sora verileri sııfladırılmasıa geçilir. 7

8 Frekas Dağılım Tabloları Örek 1: Aşağıdaki tabloda verile 60 adet veriyi, sııf sayısı 10 olacak şekilde sııflayıız

9 Örek 1 (devamı) = 60 (veri sayısı) S = 10 (sııf sayısı) max = 13.9 (e büyük değer) mi = 8 (e küçük değer) R = max mi = = 5.9 (değişim aralığı) C = R /S = 5.9 /10 = 0.59 (sııf aralığı) C 0.6 Çükü veriler virgülde sora tek basamaklı olduğuda sııf aralığı da tek basamaklı olmalıdır. Bu edele C = 0.59 yerie C = 0.6 olarak, bezer şekilde B = 0.1 seçilmesi gerekir. Bu durumda sııflara ilişki alt ve üst sıırlar, As 1 = 8 Üs 1 = As 2 B = = 8.5 As 2 = = 8.6 Üs 2 = Üs 1 +C = = 9.1 As 3 = = 9.2 Üs 3 = = As 10 = = 13.4 Üs 10 = =

10 Örek 1 (devamı) Biraz öce hesaplaa sııflara ilişki alt ve üst sııflar dikkate alıarak frekas dağılım tablosu elde edilir. Sııf No As Üs f

11 Örek 1 (devamı) Biraz öce elde edile frekas dağılım tablosuda, dağılımıtaımlayıcıölçütler hesaplaırke SINIF ORTA NOKTASI (SON) ve SINIF ARA DEĞER (d) aşağıdaki gibi buluur. SON= (i. sııf alt sıırı+ ayısııfı üst sıırı)/2 d i = (i-1. sııf üst sıırı+ i. sııfı alt sıırı)/2 11

12 3. DAĞILIMI BETİMLEYİCİÖLÇÜTLER (Descriptive measures) Bir dağılıma ilişki gözlemler geelde ait olduklarıtoplumu özelliklerii göstermeleri bekleir. Bu özelliklerde yararlaarak dağılıma ilişki betimleyici bilgiler elde edilir. Bu ölçütler 2 gruba ayrılabilir: Yer göstere ölçütler Yaygılık göstere ölçütler 12

13 3.1 Yer Göstere Ölçütler Bu ölçütler gözlemleri aldıklarıdeğerlere göre dağılım içideki koumlarıı belirlemede ve dağılıma bağlımiktarsal bilgi edimede kullaılırlar. Bu ölçütler kedi içide 2 gruba ayrılırlar. 1. Merkezi ölçütler(beklee değerler, Medya, Mod) 2.Merkezi olmaya ölçütler(çeyrekler ve yüzdeler) 13

14 Merkezi ölçütler ARİTMETİK ORTALAMA:Merkezi ölçütlerde e sık kullaılaıve bir dağılımı diğer bir dağılımla karşılaştırılmasıısağladığıgibi; bir çok sayısal değerleri de özetler. Olasılığıaz ola (tesadüfi, rassal: radom) edelerde az etkileir. Acak, uç değerlerde çok etkileir. X = i x i = Gözlemleri toplamı Gözlemsayısı Not: Ortalamada büyük değerleri toplamı, ortalamda küçük değerleri toplamıa eşittir. Yai seriyi 2 eşit parçaya ayırır. 14

15 Aritmetik Ortalama (devamı) Eğer veriler sııfladırılmışsa, bu durumda ortalama, frekas dağılım tablosu kullaılarak buluur. x = fi i SON i SON i :i. sııf orta oktası f i : i. Sııf frekası 15

16 Örek 2: Bir işyeride çalışa 382 kişilik çalışaı bir yılda hastalık edeiyle almış oldukları sağlık raporları sayısıa göre frekas dağılım tablosu yada verilmiştir. Ortalama rapor sayısııbuluuz. Rapor sayısı Çalışa kişi ( f ) f i. x i X = 768 = rapor 8 9 Toplam: 5 3 =

17 Ağırlıklı ortalama Ortalama hesaplamaları frekaslar üzeride yapıldığı gibi hızları yüzdeleri de ortalamasıalıabilir. Bu durumda hızları toplamlarıalııp hız sayısıa bölerek ortalama buluduğuda yalışlık yapılmış olur. Bu gibi durumlarda ağırlıklı(tartılı) ortalama almak gerekir. Örek 3:Öğrecileri Matematik, İstatistik ve Bilgisayar dersidekli başarıyüzdeleri aşağıda verilmiştir. Bua göre öğreci başarıortalamasııhesaplayıız. 17

18 Örek 3 (devamı) Ders ismi Öğreci sayısı ( f ) Başarı yüzdesi (%) Matematik Đstatistik Bilgisayar Eğer üç dersi aritmetik Ortalaması alısa = % 36.4 Buluur ki bu souç yalış olur. Oysa, ağırlıklı ortalaması Alıırsa: TOPLAM P= = 0.371= %

19 Geometrik Ortalama Geometrik ortalamadada ortaloamalara gire bütü değerleri katılmasıyla elde edilir. Daima aritmetik ortalamada küçüktür. Veriler, bir geometrik diziyi takip ediyorsa gerçek ortalama, geometrik ortalama ile buluması gerekir. Aritmetik ortalamaya göre, uç değerlerde daha az etkileir. X = x x... G 1 2 x Her zama ici kuvvette kök almak kolay olamayacağıda, ayı işlem verileri logaritmalarıı aritmek ortalaması alıarak yapılır. l lx1 + lx lx X G = XG = exp(l X G ) 19

20 Harmoik ortalama Bu ortalama, ortalamaya gire verileri evrik değerlerii (Reciprocal values) ortalamasıı evrik değeridir. X H X = H 1 x + = 1 1 x i + 1 x i x 20

21 Örek 4: Bir sürücübir şehirde diğerie saatte ortalama 75 km hızla gitmişolsu. Döüşte ayıyolu kötühava koşullarıedeiyle saatte ortalama 60 km hızla aldığııvarsayalım. Bu sürücüü gidiş-döüş bütü yol boyuca ortalama hızı kaç km/sa olur? Çözüm: Dikkat etmemiz gereke gidiş ve döüş yoluu ayı uzulukta olduğudur. Ayrıca, hızı yol/zama şeklide bir ora olduğuu düşüürsek çözüm içi harmoik ortalama kullaılabilir mi? Yolu uzuluğua L km diyelim. Gidiş-döüşyol uzuluğu 2L km olacaktır. Yolda geçe süreler gidişte L/75 ve döüşte L/60 saattir. Öyleyse, ortalama hız: 2L L L = = 66.6 km / sa 21

22 Ortalamaları geel formülü X r = i x r i 1/ r X i : gözlem değerleri : öreklemi gözlem sayısı r : ile+ arasıda bir tamsayı r = -1 : Ters (harmoik) ortalama r = 0 : Geometrik ortalama r = 1: Aritmetik ortalama r = 2: Kareli ortalama Eğer r yakı bir değer alırsa, bu durumda ortalamaı değeri gözlem değerleri arasıdaki e küçük gözlem değerie yaklaşır. Buu tersie r + sosuza yakı bir değer alırsa, bu durumda ortalama da gözlem değerii e büyüğüe yaklaşır. Ortalamaı gözlem değerlerii e küçük ve e büyüğü arasıda bir değer alması zorululuğu burada da görülmektedir. 22

23 Örek: Ortalamaları geel formülüde r = 0 içi geometrik ortalama elde edilir. Formülde r yerie 0 koulduğuda X 0 =1 elde edilir. Bu durumda kurtulmak içi r ye doğruda sıfır değeri vermek yerie r -> 0 içi limit değerii kullamak gerekir. Her iki tarafı logaritması alıırsa; LX r r [ l( x ) l] = i / r ( l l) r = 0 içi lx0 = / 0= 0 0 Karşılaşıla bu belirsizlik durumuda Hospital kuralı uygulaır ve r -> 0 içi limit alıırsa r r LX = x lx / x lx 0 0 r = i ( lxi) Bu eşitliği X = i x i 1/ i / = atilogari tmasıalıırsa i i x i 23

24 Bütü Gözlem Değerleride Etkilemeye Ortalamalar Burada göreceğimiz ortalamalar, veri kümesideki gözlem değerlerii bazılarıöemli ölçüde değişse bile buda etkilemeyebilir. Bu özellikleri edeiyle aykırı(uç) değerleri ortalamayısaptırmasııegelleyebilir. Bu tür ortalamaları e çok kullaıldıklarıaşama, verileri ilk icelemeye aldığımız sorgulayıcıaşamadır. Bu çözümleme aşamasıda veriler, bir soraki aşama ola doğrulayıcıçözümleme aşamasıda daha ayrıtılıicelemek, bazıip uçlarııbuluması, araştırmaya değer bazıözellikleri ortaya çıkartılması, çabuk ama kaba bilgiler elde edilmesi v.b. Amaçlara yöelik olarak hazırlaır. Bu bölümde, bu tür ortalamalarda uygulamada sık kullaıla MOD, MEDYAN ve daha az kullaıla ama özellikle 1970 leri ikici yarısıda bu yaa öem kazaa dördebileler (çeyreklerveya kartiller) ve Yüzdeler (setiller) ve kırpık ortalama (trimmed mea)kousu işleecektir. 24

25 MOD (TEPE DEĞERİ) Verileri e yoğu olarak hagi gözlem değeri düzeyide topladığııgösterir. Modaykırıdeğerlerde pek etkilemez. Mod u diğer ortalamalarda ayıra öemlli özelliği, gözlem değerlerii sayısal bir değere ilişki olma zorululuğuu bulumamasıdır. Diğer tarafta mod yalız tek tepeli dağılımlar içi elverişlidir. Eğer bir dağılımda birçok tepe varsa, diğer bir deyişle, gözlem değerleri birde çok yerde yoğulaşırsa mod aalizi alamlıolmayacaktır. Mod sürekli bir rastgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou maksimumda geçtiği oktaı absisidir. 25

26 MOD (Devamı) f(x) X = Mod df ( x) dx x= modx = 0 26

27 Örek: Üçayrıyere ait sisli güleri aylık sayılarıaşağıdaki Tablo da verilmiştir. Bu çizelgede yararlaarak her bir yeri e sık sisli gü sayısıı buluuz. O Ş M N M H T A E E K A A B C

28 Örek (devamı) Çözüm: Tabloda A yeri içi her bir sisli gü sayısııikişer kere ortaya çıktığıgörülür. Her bir sisli gü sayısıı diğerie üstülüğüolmadığıda, A yeri içi Mod u olmadığı alaşılır. B yeri içi e fazla tekrarlaa sisli gü sayısı8 olduğuda modu 8 e eşittir. C yeri sisli gülerie göz atıldığıda 4 ve 12 sisli güleri 3 er kez ortaya çıktığıgörülmektedir. Dolayısıyla, bu yerde bir değil iki tae mod değerii olduğuu söyleyebiliriz. 28

29 MEDYAN (ORTANCA DEĞER) Gözlem değerlerii hepside etkilemeye ortalamalarda biri de medyadır. Medya, gözlem değerleri büyüklük sırasıdayke tam ortaya düşe değerdir. Herhagi bir gözlem değerii medyada büyük ya da küçük kalmasıolayıı olasılığı0.5 dir. Veri kümesii elema sayısıı tek veya çift olması durumuda medya hesabı: q = x x ( + 1) / ( / 2) x tek sayı ise çift sayı ise 29

30 Frekas Dağılım Tablolarıda Medyaı Hesabı Medya (M) sııfladırılmışverilerde aşağıdaki şekilde hesaplaır. F 1 M = D + 2 S. A. f D: Medyaı buluduğu sııfı başlagıç oktası F 1 : Medyaı buluduğu sııfa kadar ola Kümülatif Frekas S.A.:Sııf Aralığı 30

31 Örek Yada verile çizelgede 382 kişii bir yılda aldıklarırapor sayılarıı Medyaıı buluuz. Rapor sayısı (x) Çalışa kişi ( f ) Kümülatif frekas ( F ) M = = 1+ 1= TOPLAM