MEKANİK BİR KOLUN BİLGİSAYAR İLE DİNAMİK SİMULASYONU VE BU SİMULASYON ÜZERİNDE ÇEŞİTLİ KONTROL YÖNTEMLERİNİN DENENMESİ

Transkript

1 MEKANİK BİR KOLUN BİLGİSAYAR İLE DİNAMİK SİMULASYONU VE BU SİMULASYON ÜZERİNDE ÇEŞİTLİ KONTROL YÖNTEMLERİNİN DENENMESİ Mehmet BODUR ve M Erol SEZER ODTÜ Elektrik ve Elektroik Müh. Böl., ANKARA ÖZET ir -j"-» ı u»ı ı * ı ı ve bulua türevsel deklemi Ruge Kutta yötemi 7 Edüstriyel robotları maipülatör kısmıı oluştura,,.* ile zamaa bağlı olarak çözmektedir. mekaik kolları, diamik deetimim icelemek uze- 6 y re, üç eklemli bir maipülatörü diamik simulasyo- Bezetim programı, üç bağıtılı bir kolu sabit kou, bilgisayar kullaılarak gerçekleştirilmiştir. PAS- um ve hız geribeslemeli deetimie uygulamıştır. CAL ile yazıla bezetim (simulasyo) programı, ma- CP/M işletim sistemli mikrobilgisayarlarda üç bağlaipulatörü her bağlatısıı eylemsizliğii ve coriolis tıda oluşa bir kol içi, bir ardışım 25 saiye sürbağdaşımlarıı, Lagrage bağıtılarıyla elde etmekte mektedir. ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 322/323 > 7

2 . GİRİŞ Mekaik kollar, teleoperatör uygulamalarıdaki gibi bir isa tarafıda, ya da iş robotu uygulamalarıdaki gibi doğruda bilgisayar ile deetleebile, birbirie eklem yerleride (joits) bağlı bağlatılarda (liks) oluşa mekaik bir yapıdır. Kolu eklemleride, bağlatıları birbirie göre hareket ettirecek uyargaçlar (actuators) buluur. Bu uyargaçlar ya üzerideki buruda (ya da kuvvet) etkilemeksizi adım motorları gibi amaçlaa durumu izler; ya da durumda bağımsız olarak DC motorlar gibi ekleme uygulaacak buruyu ayarlar. Kolu çalışırke uygulayacağı kuvvetler deetim altıa alıacaksa, eklemdeki buruyu ayarlaya uyargaçlar tercih edilir. Bir kolu diamik deetimi, uyargaçları, bağlatıları isteile koum (positio) ve hıza getirmesi içi uygulamaları gereke buruyu sağlamasıyla gerçekleşir. Kolu eklemlerie uygulaa kuvvetlere (ya da burulara) bağlı olarak, kolu zama içideki hareketii hesaplaması kol diamiği (Maipülatör Dyamics) olarak adladırılır. Kolu diamik formülasyou 965 yıllarıda Kah ve Uicker tarafıda Lagrage yötemiyle, ayı sıralarda Hooker ve Margulies tarafıda Newto-Euler yötemiyle çözülmüştür (2). Kolu diamik bezetimi, çevrim içi ters diamik çözüm ile ileribeslemeli deetimde, veya mekaik kollarda uygulaabilecek çeşitli deetim algoritmalarıı deemeside kullaılır. Basitleştirici varsayımlar yapılmamış tam bezetimler, bir ardışım içi birkaç saiye bilgisayar (VAX-) zamaı gerektirir (2). Eklemlerdeki buruları öemsemeyecek bazı bileşeleri ihmal edildiğide ardışım süresi ms.i altıa iebilmektedir. Kola uygulaacak e basit deetim, her eklem içi diğer eklemlerde bağımsız, sabit hız ve koum geribeslemesidir. Bu durumda bağlatıları hareketlerii birbirlerie etkisi ihmal edildiğide deetimi bozucu bir etkileşim içide buluurlar. Bağımsız eklem servodeetimi (Ideepdet Joit Servocotrol) olarak adladırılabilecek bu yötemde eklemdeki sürtüme ve yerçekim kuvvetlerii degelemek deetimi düzgüleştirir (). Deetimde, her eklem içi, diğer eklemleri hız ve koumları da göz öüe alıırsa, birleşik servo deetim (Servo with Joit Couplig) ortaya çıkar. Birleşik servo deetimde, her eklem, hız ve koum geribeslemesi matrisleri aracılığıyla diğer eklemlerle etkileşir. Mekaik kolları diamiği doğrusal değildir. Bu yüzde kolu doğrusallaştırılmış gösterimii parametreleri koum ve hıza bağlı olarak değişir. Geellikle sabit hız ve durum geribeslemesi, kolu her koumuda kararlılığı sağlayacak biçimde seçilir. Daha iyi bir yol, parametrelerdeki değişimleri sürekli izleyerek kol hareket ettikçe, ya da kolu taşıdığı yük değişice deetimi yei paremetrelere uyarlamaktır. Bu yötem uyarlamalı deetim (adaptive cotrol) olarak adladırılır (4). Bu çalışmada öce mekaik bir kolu kiematiği alatılacaktır. Daha sora bu kiematik kullaılarak Lagrage bağıtılarıı, ve kolu diamik bağıtılarıı elde edilişi gösterilicektir. Soraki bölümlerde, oluşturula bezetim programıı, sabit geribeslemeli birleşik servo deetimde uygulaışı sergileecektir. 2. KOLUN KİNEMATİĞİ Mekaik kol, birbirie oyak eklemlerle (joits) bağlı ola bir dizi bağlatılarda oluşur. Bağlatıları koumu ve yöü (orietatio) eklem değişkelerie (açı ya da uzama) kiematik bağıtılarla bağlıdır. Kiematik bağıtıları homoje koordiat sistemide (homogeous coordiate system) kullamak otasyoda kolaylık sağlar. Homoje koordiat sistemleride uzaydaki (x, y, z) oktası (x, y, z, )T vektörü ile gösterilir. İki koordiat sistemi arasıdaki ilişki bir matris ile gösterilebilir, öreği (x, y, z), koordiat sistemi (x, y, z) sistemie göre x eksei boyuca d kadar ötelemiş ise, bu iki sistem arasıdaki T döüşüm matrisi T = d (D olur. (x,y, z), koordiat sistemideki bir p oktasıı (x,y, z) sistemideki gösterimi ola r vektörü, r = Tp bağıtısıda buluur. Bir kolu her bağlatısıa, o bağlatıyla birlikte hareket ede bir koordiat sistemi eşleir. Tabaa (l_ ) bağlı N bağlatıda (L,. L ) oluşa bir kolda, Lj ^ ile Lj arasıdaki eklemi j olarak adladıralım. Bu adladırmaya göre, Lj'ye eşleecek (x, y, z)i sistemii Zj eksei, Jj + 'i döüş ekseide, Xj eksei ise Zj -j ile Zj arasıdaki dikme yöüde seçilir. Zj ^ ile Zj arasıdaki uzaklık aj, Xj ile Xj ^ arasıdaki uzaklık d {, Xj_j'de Xj'ye ola açı Qj, Zj -j'de Zj'ye ola açı Wj olarak adladırılırsa, Aj döüşüm matrisii geel biçimi (2) cosqj siqjcoswj siqjsiwj siqj cosqjcoswj -cosç)jsiwj j si W : cosw. d : olur. Koldaki i.ici bağlatıı tabaa göre döüşüm matrisi Tj ise, Aj'ye kadarki döüşüm matrislerii j 58 ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ - 322/323

3 r ŞEKİL. Dirsek eklemli Micromover robot kolu yapısı ve bağlatılarıı koordiat sistemleri. çarpımıdır. Tj = A,... (3) Bu çalışmada bezetimi gerçekleştirile Micromover robot kolu yapısı ve bağlatılarıa ilişki koordiat sistemlerii seçilişi Şekil 'de görülmektedir Şekilde (x, y,z)ı, (x, y, z) 'da z boyuca d, kadar kay mış, x ekseide 9 dömüş ve y ekseide Q, eklem değişkei açısı kadar dömüştür Bu işlemlere karşılık ola homoje döüşüm matrisi A, şöyledir. A,= di o' cosq, -siq, siq, cosq, O -siç), O siqı O cosq (4) t O O O d, O O O Bezer şekilde x, y, z) 2> (x, y, z)! 'de z t ekseide Q 2 kadar dömüş ve Xg yöüde a 2 kadar kaymıştır. Böylece A,= " -siq 2 o" siq 2 O O O O " a 2 döüşümü elde edilir. Ayi yötemle A 3 döüşümü -siq 3 O a 3 siq 3 O a 3 siq 3 A 3 = O (6) O olur. 3. LAGRANGE BAĞINTILARI Lagrage (L), bir sistemi kietik eerjisi (K) ile potasiyel eerjisi (Pj arasıdaki fark olarak taımlaır. Eerjileri kartezye koordiat sistemide yazılma zorululuğu olmadığıda, Lagrage kullamak diamik deklikleri basitleştirmektedir () Kolu i ici eklemie uygulaa buru ya da kuvvet (Fj) Lagrage türüde, Oj eklem değişkeii göstermek üzere, d 3L 3L F j = ( ) (7) eşitliğiyle verilir. 3.. Kolu Kietik Eerjisi Kolu j.ici bağlatısıı kietik eerjisi (K-), bağlatı hacmıda her oktaı kietik eerjilerii tümlevi olarak /tr(r; tj) drrij (8) siq 2 a 2 siq 2 a 2 siq 2 (5) biçimide verilir. Burada, T-, bağlatıı dm: kütlesie sahip oktasıı tabaa göre koordiatlarıı, r- ise bu oktaı zamaa göre türevii göstermektedir. ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ - 322/323 59

4 Deklem (6)'daki r-'ler (x, y, z)- koordiat sistemide Pj olarak adladırılırsa, r- = (d't-pj/dt) olacağıda 3T: 3T. \ " v i K. = / -tr(t ipi p T )dm : I I 3 2 T, 3T S / ' I = f~ tr (Tj (p. pjdr) T?") = - j t r (Tj J. T7) () elde edilir J- matrisi, bağlatıı eylemsizlik matrisidir. Souçta 3T. 3T- K 2 \.* ; = tr( Z _ J I 2 k= m = 3Q.'I 3Q. ve ' ' j- otj 3T- K = - S tr ( 2 2. ) Ö O 2 j= k= m=l3q '3Q. m buluur Kolu Potasiyel Eerjisi Kolu j ici bağlatısıı yerçekim alaı içideki potasiyel eerjisi Pj, bağlatıı kütlesi mj'ye, yerçekim ivmesi g'ye ve bağlatıı kütle merkezi r- = Tj p-'ye bağlıdır Böylece, ve olur Eklem Kuvvetleri (2) Eklemlerdeki buru kuvveti; (7), () ve (2) eşitlikleride F; = 2 m=l tr 2 k = 3Tj 3Tj 9T : ' r m olarak taımlamışlardır. Deklem (4) robotik yazııda Uicker/Kah biçimli Lagrage dekliği olarak adladırılır (2). Bu deklem geel olması ve toplu yapısıyla bilgisayar bezetimie çok elverişlidir. Deklemi Ruge Kutta yötemi ile sayısal olarak çözülebilmesi içi yeide biçimledirilmesi gerekir. X dt dt H (Ç)(F(t)-C(9,)Q-G(9) = f(x,t) (6) Çözümde X o =(Q(t ), Q (t ) ) başlagıç durumuda başlamakta ve At'lık ardışımlarla F (tj), F(t j+^ t y 2 ), F (t i + - ) vektörleri kullaılarak X(t i + ) elde edilmektedir. Suula bağıtılar, CP/M işletim sistemide çalışa COMPAS PASCAL derleyicisi ile programlamıştır. Program 3 aa bölümde oluşmaktadır. Birici bölümde Q kullaılarak Tj, (3TJ/3QJ), ve JJ(9TJ/3QJ) T matrisleri bulumaktadır. Bu bölüm mekaik kolu yapısıa bağlıdır, ikici bölüm, biricide elde edile matrisleri kullaarak deklem (6)'daki f(x,t)'i hesaplamaktadır. H "' ve C matrisleri ile G vektörü burada elde edilmektedir. Üçücü bölüm Ruge Kutta yötemi ile bir ardışım soraki 9 eklem açılarıı, 9 açısal hızlarıı hesaplamaktadır. T 9T İ 8 (3) "3QT P İ C olarak elde edilir. Bu bağıtılar topluca F = (F,..., F / = H Q +CP+G (4) matris deklemi gösterilebilir. Burada H, C matrisleri ile G vektörüü öğeleri SEKİ L 2. Sabit gerlbeslemeli birleşik servo deetimi blok gösterimi 76 ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 322/323

5 5 Zama m s 5 ms Zama ŞEKİ L 3. Sabit gerlbesleme matrisleriyle elde edile kapalı dögü basamak tepkeleri. Tepkeler yalız 3. eklem acısı 5 değiştirilerek (Q d = (. - 9, 5 ) T te (. - 9, 3 u ) T ' a ) elde edilmiştir. a. p =, v=2lci ; b. p =, v =4 içi; 4. BENZETİMİN SABİT KONUM VE HIZ GERİBESLEMELİ DENETİME UYGULANMASI Sabit koum ve hız geribeslemesi, kolu eklem değişkeleri vektörü (O) ile istee koumu (Q.) arasıdaki koum hatasıı (Q ) sabit K matrisi üzeride; gerçek açısal hız (Q) ile istee açısal hız ( Q d ) arasıdaki hız hatasıı (Q e )'da sabit bir K y matrisi üzeride eklem kuvveti olarak geribeslemesiyle oluşturulmuştur (Şekil 2.). Bu yötemde K matrisi koum vektörüdeki sapmayı, K y ise kolu hareketii söümüü etkilemektedir. Bezetim uygulamasıda K ve K y 'i seçimi içi öce deklem (5)'te verile sistem, O koumuda sabit hızlı bir yörüge (O = ) üzeride doğrusallaştırılmıştır. Doğrusallaştırma soucu d dt q 9 O ve karakteristik deklemi (d 2 + vd + p ) 3 = elde edilmiştir. Sistemde d,,..., 6 = - içi p =, v = 2 ile uygulaa deetimi soucuda, Şekil 3.a'daki basamak tepkesi bulumuştur. Koumdaki salıımı södürülmesi amacıyla v 4'e arttırılmış ve di,2,3 = 375, d 4 ) S ( 6 = 26 yapılmıştır. Bu durumda elde edile basamak tepkesi Şekil 3.b'de görülmektedir. Bu geribesleme matrisleri içi basamak tepkesideki taşmaı uygu düzeye idiği gözleerek souç yeterli bulumuştur. SONUÇLAR Lagrage bağıtılarıı kullaarak birçok bağlatıda oluşa bir mekaik kolu diamik bezetimi içi bir bilgisayar programı yazılmıştır. Bezetim programı, "Micromover" robot kolu üç bağlatısıa uygulamıştır. PASCAL ile yazıla program CP/M işletimli mikrobilgisayarlarda bir ardışım içi 25 saiye gerektirmektedir. Bezetim programı, kolu sabit koum ve hız geribesleme matrisli servodeetimie uygulamış; değişik koum ve hız geribesleme matrisleri içi kolu basamak tepkesi elde edilerek, tepkede taşmaya yol açmaya uygu sabit geribesleme matrisleri elde edilmiştir. Geribesleme matrisleri kolu koumua bağlı olduğuda, ilerideki aşamalarda bu matrisleri koum ve yüke uyarlayabilecek uyarlamalı deetim yötemlerii deemesi düşüülmektedir. =, A 2 = KAYNAKLAR () Paul, Richard P. Robot Maipülatörü, pp MİT Press, USA 982. bulumuştur. Deetleç tasar-mıı kolay gerçekleşmesi içi, A 2 = varsayılmıştır. Böylece K = p H ve K = v H seçilerek kapalı dögü sistemi doğrusallaştırılmış deklemi - f (8) dt (2) I. Brady, Michael. Robot Motio. pp MİT Press, USA 982. (3) ö. Hüseyi, E. Sezer. Elemetary Matrix Algebra ad Differetial Equatios. pp , Kalite Matbaası, Akara, 975. (4) Koivo, Atti J. "Adaptive Liear Cotroller for Robotic Maipulators". IEEE Tr. Automatic Cotrol, Vol AC-28, No:2.pp 62-7, 983. ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 322/323 6