Yrd.Doç.Dr. Leven ÖZBEK danışmanlığında, Snem ÖZKARA ORUN arafından hazırlanan bu çalışma //5 arhnde aşağıda jür arafından İsas Anablm Dalı nda yüse l

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ YÜKSEK LİSANS EZİ UYKU EEG SİNDE KARŞILAŞILAN İĞCİKLERİN SPINDLE SEZİMİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Snem ÖZKARA ORUN İSAİSİK ANABİLİM DALI ANKARA 5 Her haı salıdır

2 Yrd.Doç.Dr. Leven ÖZBEK danışmanlığında, Snem ÖZKARA ORUN arafından hazırlanan bu çalışma //5 arhnde aşağıda jür arafından İsas Anablm Dalı nda yüse lsans ez olara abul edlmşr. Başan: Prof.Dr. Hamdullah AYDIN Yrd.Doç.Dr. Leven ÖZBEK Yrd.Doç.Dr. Hall AYDOĞDU Yuarıda sonucu onaylarım Prof. Dr. Men OLGUN Ensü Müdürü

3 ÖZE Yüse Lsans ez UYKU EEG SİNDE KARŞILAŞILAN İĞCİKLERİN SPINDLE SEZİMİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Snem ÖZKARA ORUN Anara Ünverses Fen Blmler Ensüsü İsas Anablm Dalı Danışman: Yrd.Doç.Dr. Leven ÖZBEK Uyu ğclernn sezm ve ncelenmes onusunda farlı yönemler önerlmşr. Bu çalışmada uyu EEG snde arşılaşılan uyu ğclernn belrlenmes amacıyla uyu EEG s br zaman sers olara ele alınıp ğclern belrlenmes araşırılmışır. Bu amaçla ardışı ahmn yönemler Kalman Flres, Ağırlılandırılmış Ardışı En Küçü Kareler Yönem, En Küçü Oralamalar Kares ve Normalleşrlmş En Küçü Oralamalar Kares, Uyarlı Kuup ahmn Yönem ullanılmışır. 5, sayfa ANAHAR KELİMELER: Kalman Flres, Ağırlılandırılmış Ardışı En Küçü Kareler Yönem, Uyarlı Kuup ahmn, EEG, İğc

4 ABSRAC Maser hess A SUDY ON HE DEECION OF SLEEP SPINDLES OF EEG Snem ÖZKARA ORUN Anara Unversy Graduae School of Naural and Appled Scences Deparmen of Sascs Supervsor: Ass.Prof.Dr. ÖZBEK I s been proposed several dfferen mehods for deecng and analyzng sleep spndles. In hs sudy, he deecon of spndles, ang he sleep EEG as a me seres was examned. o hs effec, recursve esmaon mehods Kalman Fler, Recursve Leas Squares, Leas Mean Square, Normalzed Leas Mean Square, Adapve Pole Esmaon has been used. 5, pages Key Words: Kalman Fler, Recursve Leas Squares, Pole Esmaon, EEG, Spndle

5 EŞEKKÜR Bana araşırma olanağı sağlayan, ben bu onuda çalışmaya yönlendren ve çalışmanın her safhasında yaın lgsn gördüğüm danışman hocam, Yrd.Doç.Dr. Leven ÖZBEK e eşeürlerm sunarım. Çalışmada ullandığımız verler bze veren ve yardımlarını esrgemeyen Anara Gülhane Aser ıp Aadems Ruh Sağlığı ve Hasalıları Anablm Dalı Uyu Araşırmaları Merez nden Uzman Dr. Leven SÜÇÜGİL e eşeürlerm sunarım. Çalışmalarım süresnde bana göserdler anlayış ve deseen dolayı aleme ve aradaşlarıma eşeürlerm sunarım. Snem ÖZKARA ORUN Anara, Şuba 5

6 İÇİNDEKİLER ÖZE... ABSRAC... EŞEKKÜR SİMGELER DİZİNİ... v ŞEKİLLER DİZİNİ v ÇİZELGELER DİZİNİ... x. GİRİŞ BAZI ARDIŞIK AHMİN YÖNEMLERİ Ağırlılandırılmış En Küçü Kareler Yönem Kalman Flres En üçü haa areler oralaması ölçüüne göre alman flresnn elde edlmes Kalman flres le paramere veörünün ahmn Kovaryans Marslernn En Ço Olablrl ahmn Ölçüm gürülü ovaryansının ahmn Durum gürülü ovaryansının ahmn Wener Flres Performans Alanı En D İnme Algorması Sepes Descen Algorhm En Küçü Oralamalar Kares LMS Algorması LMS algormasının uygulanması Normalleşrlmş En Küçü Oralamalar Kares NLMS Algorması NLMS algormasının uygulanması... 6 v

7 3. UYARLI KUUP POLE AHMİNİ MODEL BELİRLEME SİMÜLASYON ÇALIŞMASI UYKU, UYKU DÖNEMLERİ ve UYKU EEG SİNYALLERİNİN ANALİZİ ARIŞMA ve SONUÇ KAYNAKLAR EKLER...99 EK EK EK EK EK EK EK ÖZGEÇMİŞ v

8 SİMGELER DİZİNİ µ V MroVol AAEKK AIC AR ARMA ARX EEG EOG EMG Hz KF LMS NLMS RLS WN Ağırlılandırılmış Ardışı En Küçü Kareler Aae Informaon Crera Auo-Regressve Auo-Regressve Movng Avarage Auo-Regressve Exogeneous İnpus Eleroensefalograf Elerooulograf Eleromyograf Herz Kalman Flres Leas Mean Square Normalzed Leas Mean Square Recursve Leas Squares Whe Nose v

9 ŞEKİLLER DİZİNİ Şel 5.. Ürelen ser... 4 Şel 5.. Gözlenen haa... 4 Şel 5.3. AAEKK yönem le paramere ahmn λ... 4 Şel 5.4. AAEKK yönem le paramere ahmn λ Şel 5.5. AAEKK yönem le paramere ahmn λ Şel 5.6. LMS yönem le paramere ahmn µ Şel 5.7. LMS yönem le paramere ahmn µ Şel 5.8. LMS yönem le paramere ahmn µ Şel 5.9. NLMS yönem le paramere ahmn µ Şel 5.. NLMS yönem le paramere ahmn µ Şel 5.. NLMS yönem le paramere ahmn µ... 5 Şel 5.. KF le paramere ahmn Farlı R değerler çn... 5 Şel 5.3. KF le paramere ahmn Farlı R değerler çn... 5 Şel 5.4. R nn ahmn Şel 5.5. Uyarlı Kuup ahmn yönem le armaşı ölern gerçe ve gerçe olmayan ısımları Şel 5.6. Uyarlı Kuup ahmn yönem le ahmn edlen yarıçaplar ve açılar Şel 5.7. Uyarlı Kuup ahmn yönem le ahmn edlen paramereler Şel 5.8. Karmaşı düzlemde öler Şel 6... Evre uyu EEG s 7. epo üse, KF yönem le R nn ahmn ala. 6 Şel 6.. Arıların hsogramı... 6 Şel 6.3. KF yönem le paramere ahmn Şel 6.4. AAEKK yönem le paramere ahmn Şel 6.5. NLMS yönem le ahmn edlen model paramereler Şel 6.6. Uyarlı Kuup ahmn yönem le ahmn edlen model paramereler Şel 6.7. Uyarlı Kuup ahmn yönem le ahmn edlen yarıçaplar ve açılar Şel 6.8. Uyarlı Kuup ahmn yönem le ahmn edlen armaşı öler Şel 6.9. Karmaşı düzlemde öler v

10 Şel 6... Evre uyu EEG s 47. epo üse, KF yönem le R nn ahmn ala Şel 6.. Arıların hsogramı Şel 6.. KF yönem le paramere ahmn... 7 Şel 6.3. AAEKK yönem le paramere ahmn... 7 Şel 6.4. NLMS Yönem le ahmn edlen model paramereler... 7 Şel 6.5. Uyarlı Kuup ahmn yönem le ahmn edlen model paramereler... 7 Şel 6.6. Uyarlı Kuup ahmn yönem le ahmn edlen yarıçaplar ve açılar Şel 6.7. Uyarlı Kuup ahmn yönem le ahmn edlen armaşı öler Şel 6.8. Karmaşı düzlemde öler Şel Evre uyu EEG s 47. epo un ğcsz ısımları ve KF yönem le R lernn ahmn Şel 6.. Arıların hsogramları Şel 6.. KF yönem le paramere ahmn Şel 6.. AAEKK yönem le paramere ahmn Şel 6.3. NLMS yönem le paramere ahmn Şel 6.4. Uyarlı Kuup ahmn yönem le paramere ahmn... 8 Şel 6.5. Uyarlı Kuup ahmn yönem le ahmn edlen yarıçap ve açılar... 8 Şel 6.6. Uyarlı Kuup ahmn yönem le ahmn edlen armaşı öler... 8 Şel 6.7. Karmaşı düzlemde öler Şel Evre uyu EEG s 47. epo un ğcl ısımları ve KF yönem le R lernn ahmn Şel 6.9. Arıların hsogramı Şel 6.3. KF yönem le paramere ahmn Şel 6.3. AAEKK yönem le paramere ahmn Şel 6.3. NLMS yönem le paramere ahmn Şel Uyarlı Kuup ahmn yönem le paramere ahmn Şel Uyarlı Kuup ahmn yönem le ahmn edlen yarıçaplar ve açılar... 9 Şel Uyarlı Kuup ahmn yönem le ahmn edlen armaşı öler... 9 Şel Karmaşı düzlemde öler... 9 Şel Karmaşı düzlemde öler v

11 ÇİZELGELER DİZİNİ Çzelge 3.. a ρ ısm ürev Çzelge 3.. AR modeller çn Uyarlı Kuup ahmn Algorması...33 Çzelge 4.. Model Belrleme İçn Malab Programından Elde Edlen FPE Değerler..38 x

12 . GİRİŞ Uyu, uyanılı dönemne göre beyn avesnn daha durağan olduğu durumdur. Uyu sürec çeşl evreler çermee ve bu evrelern araerze edlmesnde snr hücrelernn oluşurduğu elersel avelernn yapısal bleşm rol oynamaadır. Uyu sürecnn peşrlmesnde öneml rolü olduğuna nanılan uyu ğcler sleep spndles se REM hızlı göz hareeler, Rapd Eye Movemen olmayan uyu evresnde görülen ve uyunun nc evresne a araers dalga şellerdr. İğclern yoğunluğunun uyu sürecnn başlamasıyla brle arması, ğclern uyunun urulmasında ve sürdürülmesnde öneml br rol oynadığını düşündürmeedr. İğclern oluşumu ve şlev haında am br fr brlğ oluşmamala brle abul gören varsayım vardır. Brnc varsayıma göre ğcler, moor çıışın ve algı geçşlernn basırılması yoluyla uyu halnn sürdürülmesn sağlayan salınımlardır. İnc varsayıma göre se ğcler, alamo-oral alanda önce deneymlern büünleşrlmes çn gereen şlevlern braraya gerlmesne yardımcı olur. Hpersomnya ve nsomnya deneler üzernde yapılan çalışmalar ğc yoğunlularının hasalığın ürü le bağlanılı olara değşğn gösermee ve ğclern uyu sürecn düzenleyc şlevnn olduğu bulgusunu uvvelendrmeedr Eroğul vd 999. İğclern geçc rejm özelllern ve ara plan EEG eleroansefalograf şarelerne göre daha düşü genllere sahp olmaları gözle ayır edlmelern ve ayrışırmalarını güçleşrr. İğclern ooma sezm ve dalga bçmlernn analz nesnel olara değerlendrleblmeler çn önemldr Eroğul vd 999. Uyu ğclernn sezm ve ncelenmes onusunda farlı yönemler önerlmşr Eroğul vd 999. İğcler modelleme çn Zygerewcz uyumlu dalgacı yönemn ullanmışır. Eroğul vd 999 dalgacı dönüşümü le brle eager enerj şlecn ğclern yernn belrlenmes çn ullanmışır. Görür vd ısa zamanlı Fourer dönüşümünü öznel bulma çn, ğclern yernn belrlenmes çn de Ço Kamanlı Persepron ve Dese Veör Manes ullanmışlardır.

13 Bu çalışmada uyu EEG snde arşılaşılan uyu ğclernn belrlenmes amacıyla uyu EEG s br zaman sers olara ele alınmışır. Bu amaçla ardışı ahmn yönemler Kalman Flres, Ağırlılandırılmış Ardışı En Küçü Kareler Yönem, Lneer Oralamalar Kares ve Normalleşrlmş Lneer Oralamalar Kares ve Uyarlı Kuup ahmn Yönem ullanılmışır.

14 . BAZI ARDIŞIK AHMİN YÖNEMLERİ Çıısı {y} olan br ssemn a y + a y a y n v y n +. doğrusal far denlemyle modellendğ abul edlsn. Burada {v} beyaz gürülü sürecn ve,,...,n zaman noalarını gösermeedr.. eşlğn q - gecme şlec; q - y y- ullanılara Aq - y v. bçmnde yazılablr. Burada; Aq - +a q a n q -n ve n modeln merebes, a,...,a n modeln blnmeyen paramerelerdr.. veya. model grd ve çıı arasında dnam lşy gösermee ve leraürde AR Auoregressve model olara blnmeedr.. veya. model θ a,..., a n ϕ y,..., y n olma üzere y θ ϕ + ν.3 şelnde yazılır Ljung ve Södersröm Ağırlılandırılmış En Küçü Kareler Yönem Eşl.3 le verlen modelde, paramereler ahmn eme amacıyla V N N θ β N, [ y θ ϕ ],,..., N.4 N olara verlen malye fonsyonu θ ya göre mnmze edlrse θ nın EKK ahmn edcs, VN θ θ N N β N N β N, y N, y [ θ ϕ ] ϕ [ θ ϕ ] ϕ 3

15 N N β β N N y ϕ, β N, θ ϕ ϕ N N, y ϕ β N, θ ϕ ϕ N N ˆ θ N [ β N, ϕ ϕ ] [.5 β N, ϕ y ] olara bulunur. Yen vernn geçmşe verye göre daha ço blg çereceğ varsayımı alında β, λ β,,.6 olara seçleblr..6 eşlğnn yerne β, λ j, β,.7 j + olara alınablr. Eğer her çn λ ve λ λ alınırsa.7 eşlğnden β λ,.8 elde edlr..8 eşlğ V θ malye fonsyonunda ullanılırsa, yen verlern N esnn malye fonsyonunda daha fazla olduğu varsayımı yapılır. Yan es verler unuuluyormuş gb düşünüleblr. Bu nedenle λ ya unuma faörü denr. Bulunan ˆ θ N ardışı br ahmn edc değldr. Ardışı ahmn edcy elde eme çn, olara alınırsa R β, ϕ ϕ.9 R ϕ λ R +ϕ. elde edlr..9 ve. eşlğ.5 eşlğnde ullanılara gerel şlemler yapıldıan sonra, ˆ θ ˆ θ + R ϕ [ y ϕ ˆ θ ]. olara bulunur. P R alınıp,. eşlğne mars ers lemması uygulanırsa, 4

16 P ϕ ϕ P P λ λ + ϕ P P ϕ elde edlr Ljung ve Södersröm 983. Böylece AAEKK algorması, [ y ϕ ˆ θ ]. ˆ θ ˆ θ + L.3 P ϕ L P ϕ.4 λ + ϕ P ϕ P ϕ ϕ P P λ λ + ϕ P P ϕ.5 olara verlr..3.5 algorması çoğunlula ssem paramereler zamanla değşen ssemler çn ullanılır. Algormadan görüleceğ gb P mars üçüldüğü zaman algorma azancı azalmaa, dolayısı le ahmn gerçe değerden uzalaşablmeedr. λ unuma faörü, bu problemn esn oradan aldırma çn ullanılır. Genellle unuma faörü λ, e yaın br değer olara seçlmee ve λ.9, λ.95 veya λ.99 olara alınmaadır. Goodwn ve Sn 984, Ljung ve Södersröm 983, Kumar ve Varaya 986. Ljung vd Ljung ve Södersröm 985;. 99 α λ + α α ve. 95., λ olma üzere λ.6 olara, Asrom Ljung ve Södersröm 985; ε y ϕ ˆ θ ; öngörü haası, ε ; ε nn belenen değer ve α / olduça üçü br sab olma üzere λ ε α.7 ε olara, Forescue vd Forescue 98, Sanoff vd 983, Ydse vd 986; Σ üçü br sab örneğn Σ.5 olma üzere L ] ε [ϕ λ.8 Σ olara seçlebleceğn önermşlerdr. o 5

17 .. Kalman Flres Bu bölümde, durum-uzay modelnde yer alan haa ermlernn ve θ başlangıç durumunun normal dağılıma sahp olduğu varsayımı alında, en üçü haa areler oralaması ölçüüne göre Kalman Flres nn elde edlş ve Kalman Flres le paramere veörünün ahmn edlmes anlaılmışır.... En üçü haa areler oralaması ölçüüne göre alman flresnn elde edlmes Durum-uzay model, θ + Φ θ +G w,,,..., n.9 y ϕ θ + v. olma üzere haa ermlernn w ~ N, R v ~ N, R θ ~ o N, P şelnde normal dağılıma sahp olduğu, haa ermlernn ve başlangıç durumunun aşağıda varsayımları sağladığı abul edlsn. [ ] E. v E [ ]. E E w [ w w s ] R [ v v s ] R δ.3 s s δ.4 E [ w v s ].5 E [ θ ] θ.6 Eθ θ θ θ ].7 [ P [ w ] [ ] Eθ.8 Eθ.9 v 6

18 Y { y, y,..., y } gözlemler verldğnde, θ durumunun, ˆ θ ahmnnn ylğ, haanın P θ ˆ θ Y E θ ˆ θ ovaryans mars le ölçülsün. Bu durumda, ˆ oşullu ovaryansı çn θ ˆ θ θ θ ahmnne arşılı gelen haanın ˆ θ Y racep E race E θ ˆ θ Y olacağından, oşullu belenen değer ahmn, haanın bu ovaryans marsn en üçü yapar. Yan haa areler oralaması E θ ˆ θ Y.3 ölçüünü en üçü yapan ahmn ˆ θ E[ θ y, y,..., y ] E[ θ Y ] olara bulunur Anderson ve Moore ölçüüne göre elde edlen ahmn en üçü varyanslı ahmn olara da blnr. Haa areler oralaması rerne göre oşullu belenen değer ahmn ˆ θ E [ θ y, y,..., y ] E[ θ Y ] E[ θ y, y,..., y ] E[ θ Y ] ˆ θ P E θ ˆ θ θ ˆ θ Y θ ˆ θ θ ˆ θ Y P E değerlernn belrlenmes aşağıda adımların uygulanması le elde edlr. Adım-. Durum-uzay modelnde yer alan haa ermler ve başlangıç durumu normal θ dağılıma sahp olduğundan çn, y rasgele veörü, belenen değer 7

19 θ ϕ θ ve ovaryans mars P P ϕ ϕ P ϕ P ϕ + R le normal dağılıma sahpr. Bu durumda θ ın y le oşullu dağılımı da normaldr. Belenen değer θ θ + P ϕ [ ϕ P ϕ + R ] [ y ϕ ] ˆ θ ve ovaryans mars dır. P P P ϕ [ ϕ P ϕ + R ] ϕ P Adım-. Benzer düşünce le çn, y gözlem verldğnde, θ n y le oşullu dağılımı da normal dağılıma sahpr. Belenen değer ˆ θ Φ ˆ θ ve ovaryans mars dır. P Φ P Φ + G R G Adım-3. Yne benzer düşünce le çn, y n y le oşullu dağılımı da normal dağılıma sahpr. Belenen değer y ˆ ϕ ˆ θ ve ovaryans mars dr. Ayrıca ϕ P ϕ + R E [ ˆ θ θ y yˆ y ] P ϕ 8

20 olduğundan, normal dağılıma sahp dağılımının belenen değer ˆ θ ϕ ˆ θ ve ovaryans mars θ y rasgele veörünün, y le oşullu dır. P P ϕ ϕ P ϕ P ϕ + R Adım-4. Yuarda adımlarda benzer düşünce le, çn, y ve y gözlemler verldğnde, θ n y ve y le oşullu dağılımı da normal dağılıma sahpr. Belenen değer θ ˆ θ + P ϕ [ ϕ P ϕ + R ] [ y ϕ ˆ ] ˆ θ ve ovaryans mars dır. P P P ϕ [ ϕ P ϕ + R ] ϕ P Adım-5. çn adım- erar uygulanırsa ve elde edlr. ˆ θ Φ ˆ θ P Φ P Φ + G R G Herhang br anında adım- le adım-4 arasında şlemler genelleşrlrse [ ϕ P ϕ + R ] ˆ θ ˆ θ + P ϕ [ y ˆ θ ] ϕ.3 ˆ θ + Φ ˆ θ.3 9

21 [ ϕ P ϕ + R ] P P P ϕ ϕ P.33 P + Φ P Φ + G R G.34 olara bulunur. Burada, ve [ ϕ P ϕ + R ] K P ϕ.35 [ y ϕ ˆ θ ] ˆ θ ˆ θ + K.36 elde edlr. Algormanın başlangıç değerler olara P P ˆ θ θ alınır Anderson ve Moore 979, Kumar ve Varaya Kalman flres le paramere veörünün ahmn Eşl.3 le verlen modelde paramerelern ahmn edlmesnde ullanılan yönemlerden brs de Kalman Flresdr. Bu amaçla paramere veörü rasgele yürüyüş sürec olara abul edlrse.3 eşlğ, θ + θ + w.37 y ϕ θ + v.38 durum-uzay model bçmnde yazılablr. Burada, durum veörü paramere veörüdür. { w },{ v } beyaz gürülü süreçlern gösermeedr. Haa ermlernn ve başlangıç durumunun. -.9 varsayımlarını sağladığı abul edlsn. Ssem geçş mars brm marsr. En y flreleme problem y, y,... y gözlemler verldğnde, θ durumunun en y ahmnn belrleme problemdr. y,..., y verldğnde θ nn en üçü varyanslı ahmn θ olma üzere Kalman Flres,

22 θ θ.39 θ θ + K [ y ϕ θ ].4 K P ϕ [ ϕ P ϕ + R ].4 P + P + R.4 P [ I K ϕ ] P.43 eşller le verlr. Ssem durum ve ovaryans ahmnlernn hesaplanması çn, durum ve ölçüm gürülü ovaryans ve varyanslarının blnmes geremeedr. Çoğu zaman bunların gerçe değerler blnmedğnden, ardışı ahmnler ullanılır. Eşl.38 de durum gürülü ovaryans marsnn, varsayımı alında q parameres, e q h E[ e q ] ϕ ϕ le hesaplanır. Burada, x, x h x, d. y. ve E[ e q ] R +ϕ P ϕ R qi şelnde olduğu.44 bçmndedr. α düzelme parameres ve ölçüm gürülü varyansı R nn ardışı ahmn, e ϕ P ϕ R αr + α h.45 olma üzere q nun ardışı ahmn, e q αq + α h E[ e ϕ ϕ q ]

23 e R ϕ P ϕ α q + α h.46 ϕ ϕ le verlr Isasson 988, Penny ve Robers 998, Penny denlemlernde R yerne; R [ Ι K ϕ ] P.47 λ ve R yerne de; R λ.48 alınırsa denlemlerne geçş olduğu görülür..3. Kovaryans Marslernn En Ço Olablrl ahmn En Ço Olablrl ahmn yönemnde amaç arıların ovaryans mars en üçü olaca bçmde, R ve R marslernn ahmn edlmesdr. Arılar veörü, z y ϕ ˆ θ.49 olara alındığında.49 un ovaryansı, + R S E [ z z ] P ϕ ϕ.5 olara bulunur. Arıların dağılımının, f z exp z π S S m z.5 normal olduğu varsayımı alında, mln + ln S + z S z ln f z π.5 fadesnn masmum olması çn, eşlğn sağ arafının mnmum olması gerer. Yan, ln S + z S z.53

24 3 mnumum olmalıdır. Bu amaçla,.53 eşlğnde R ve R nn elemanı olan α ya göre ürev alınıp sıfıra eşlenrse, ln + z S z S α α olur. x A A r x A A x A ln ve A x A A x A olduğu blndğnden, z S S S z S S r ] [ α α.54 elde edlr. Burada r, marsn z operaörüdür..54 eşlğnden de açıça görüldüğü üzere Kalman Flres problemnn uyumu S nn belrlenmes problemne ve α ya göre ısm ürevnn alınması problemne ndrgenr..5 eşlğnn α ya göre ısm ürevnn alındığında, P R S ϕ α ϕ α α +.55 elde edlr. Burada, R P P + Φ Φ olduğu blndğnden, α ya göre ürev alınırsa R P P α α α + Φ Φ elde edlr. Sürecn durağan olması şarı alında, eşlğn sağ arafında l erm yo sayılablmee ve aşağıda şelde yenden yazılablmeedr. R P α α eşlğ.55 eşlğnde yerne onulursa R R S ϕ α ϕ α α +.57

25 4 elde edlr..57 eşlğ.54 eşlğnde yerne onulursa.58 eşlğ elde edlmee ve Uyarlı Kalman Flres çn En Ço Olablrl ML denlem bulunmaadır. r ]} ][ {[ + R R S z z S S ϕ α ϕ α.58 Böylece durum ve ölçüm gürülü varyans ve ovaryansı R ve R, α ya bağlı olara ahmn edleblr Mohamed ve Schwarz Ölçüm gürülü ovaryansının ahmn Ölçüm gürülü ovaryansı R nn ahmn çn, R nn amamen blndğ ve α dan bağımsız olduğu varsayımı alında ve I R α olduğunda yan, ölçüm gürülü marsnn sadece öşegen elemanları dae alındığı durumda.58 eşlğ aşağıda gb yazılır. + I S z z S S r ]} ][ {[ S z z S S r } ] [ {.59 Kalman Flres eorsnden, z R z S.6 eşlğ.59 eşlğnde yerne onulursa; R z z R S R R r } ] [ {.6 elde edlr. Yne Kalman Flres eorsnden, R P S P ϕ ϕ

26 5 eşlğnn her arafı ϕ le çarpılırsa R P S P ϕ ϕ ϕ ϕ elde edlr. Burada P ϕ ϕ yerne.5 eşlğnden R S onulursa, R P S R S ϕ ϕ.6 elde edlr..6 eşlğ düzenlenp her arafı R mars le çarpılırsa, P R R S R ϕ ϕ.63 elde edlr..63 eşlğ.6 eşlğnde yerne onulursa, R z z P R R r } ] [ { ϕ ϕ.64 elde edlr..64 eşlğnn çözümünden ölçüm gürülü ovaryansının uyarlı ahmn, ˆ ˆ P S R ϕ ϕ.65 olara bulunur. Burada ˆ S ölçümlerden hesaplanan ovaryans olma üzere, z z ve z z z z S ˆ le verlr Mohamed ve Schwarz Durum gürülü ovaryansının ahmn Ölçüm gürülü ovaryansı R nn ahmnnde ap edlen yol burada da zlenr. Durum gürülü ovaryansı R ahmn edlren, R nn amamen blndğ ve α dan bağımsız olduğu varsayımı alında ve I R α olduğunda yan, ssem gürülü marsnn sadece öşegen elemanları dae alındığı durumda.58 eşlğ,

27 6 S z z S S r } ] [ { ϕ ϕ.66 şelnde yazılır. Kalman azanç mars, K, S P K ϕ.67 eşlğ le hesaplanır..6 eşlğnde yen düzenleme yapara; K P S ϕ ve ranspoz şlem le P K S ϕ.68 elde edlr..66 eşlğ aşağıda şelde erar düzenleneblr. S z z S S r } { ϕ ϕ ϕ ϕ eşlğnde.67 eşlğ ve.68 eşlğ yerne onulursa { } P K z z K P K P r ϕ { } P K z z K P K P r ϕ.7 elde edlr. Öngörü durum ovaryansı en az pozf yarı anımlı olduğundan.7 eşlğ { } K z z K P K r ϕ.7 şelnde yazılır. Kalman Flres eorsnden, z K θ.7 ve

28 P P P K ϕ P P P K ϕ.73 olduları blnmeedr..7 ve.73 eşller.7 eşlğnde yerne onulursa elde edlr. r { P P θ } θ.74 P Φ + R P Φ eşlğnde öngörü durum ovaryansı.74 eşlğnde yerne onulur ve R eşlğn soluna alınırsa, durum gürülü ovaryansının uyarlı ahmn, θ ˆ θ ˆ θ olma üzere, ˆ R θ θ + P Φ P Φ.76 olara bulunur Mohamed ve Schwarz Wener Flres Uyarlı flre çn denlemler oluşurablme çn opmum flrenn ne olduğunu açıça anımlama gerer. Wener flres en ço ullanılandır. Wener flres y ˆ olara blnen y nn en y ahmn edcsnn bulunmasını sağlar. Belenen haa e, grd snyal y den, Wener flresnn ahmn edcs y ˆ çıarılmasıyla bulunur ve.77 eşlğ le fade edlr. N e y yˆ y θ. ϕ.77 Burada θ Wener flresnn. asayısıdır. Kesl değerlerle lglendğmzden dolayı grd snyal ve Wener Flres asayıları mars noasyonu le aşağıda şelde göserleblr. nn 7

29 N N y y y θ θ θ θ ϕ.77 eşlğ mars noasyonları ullanıldığında belenen haa denlem aşağıda şele dönüşür. y y e θ ϕ ϕ θ.78 Söz onusu snyaln anlı haalar ares.78 eşlğnn ares alınara bulunur ve aşağıda şelde göserlr. y y e θ ϕ ϕ θ ϕ θ +.79 Haa areler oralaması MSE, ξ, haaların aresnn belenen değerdr ve.8 eşlğnde göserlmşr. [ ] E e ξ [ ] [ ] [ ] E y E y E θ ϕ ϕ θ ϕ θ +.8 Haa areler oralaması,.8 eşlğnde [ ] E ϕ ϕ yerne aşağıda verlen ooorelasyon mars R yazılara daha uygun br şelde fade edlr. [ ] E R ϕ ϕ n y n y n y y n y y y n y y y y y y n y y y y y E M K O K K M M Ayrıca.8 eşlğnde [ ] y E ϕ yerne.8 eşlğnde göserldğ gb P orelasyon mars de yazılablr. [ ] [ ] n y y y y y y E y E P L ϕ.8 Sonuç olara.79 eşlğnde MSE aşağıda şelde fade edlr. { } { } R P y E e E θ θ θ ξ +.8 Bu fadeden de anlaşılacağı üzere haa areler oralaması θ paramere veörünün aresel fonsyonudur Hayn 99.

30 9.5. Performans Alanı Karesel haa fonsyonu, başa br deyşle performans alanı op θ Wener flre asayıları veörünün belrlenmes çn, gradyan meodu da paramere veörünün mnumumunu bulma çn ullanılır. şelyle göserlen performans alanının haa areler oralamasının gradyanı.8 eşlğnn, paramere veörünün her bleşenne göre ürevnn alınmasıyla aşağıda şelde elde edlr.... N θ ξ θ ξ θ ξ θ ξ.83 Haa areler oralaması nın.8 eşlğnde haa ares fonsyonunun belenen değernden bulunduğu blnmeedr. Alernaf meod olara gradyan aynı zamanda haa areler fonsyonunun belenen değernn paramere veörüne göre ürevnn alınmasıyla da bulunablr ve aşağıda gb göserlr. y y E e e E e E θ ϕ θ θ ϕ θ θ { } y E ϕ θ ϕ { } { } E y E θ ϕ ϕ ϕ + R P θ +.84 Paramere veörü op θ olduğunda haa areler oralaması mnumum noada olaca, böylece gradyan sıfır değern alacaır. Sonuç olara.84 eşlğ sıfıra eşlenrse; op R P θ + P R op θ.85 elde edlr.

31 .85 eşlğ Wener-Hoff denlemnn mars formu şelnde blnmeedr ve θ op flres Wener flresdr. Genellle bu prae hesaplanmaz. Buna e olara θ op durağan olmayan snyaller çn ardışı olara hesaplanma zorundadır ve bunun hesaplanması olduça zordur Hayn En D İnme Algorması Sepes Descen Algorhm Wener-Hoff denlemnn bulunması çn en uygun çözüm en d nme algormasıdır Sepes Descen Algorhm. Prae opmum flre θ op un.85 eşlğ ullanılara bulunması olağan değldr. Burada problem, R n yan N N boyulu br marsn ersnn bulunmasının zorluğudur. Bunun öesnde eğer snyal sasler durağan değlse genelde bu böyledr, hesaplama değşen oşulların ap edlmes çn peryod olara yapılmalıdır. Bunun da yapılması çn en d nş meodu ullanılmalıdır. Bu meodda ağırlılar ardışı olara gradyanın yönünde ayarlanmaadır. θ p+ θ p µ p.86 Burada θ p p. erasyondan sonra parameredr ve p.84 eşlğnn θ p ye dönüşürülmesyle bulunan gradyan veörüdür. µ parameres, adım genşlğn düzenleyen ve böylece durağanlığı onrol eden sabr. Aynı zamanda yaınsama oranıdır Hayn En Küçü Oralamalar Kares LMS Algorması LMS algorması hesaplama olaylığından dolayı olduça sı ullanılır. Bu algorma adından da anlaşılacağı üzere haa aresnn belenen değern mnmze emey önerr ve bunu dener.

32 Algorma paramere veörü çn bazı eyf başlangıç değerlernden başlar ve en d nme algormasına göre ayarlanan paramereler erasyon numaralarının armasıyla yleşrlr. Böylece paramere veörü Wener çözümünde oralama son değer olara hesaplanır Hayn 99. Paramere veörünün güncellenmes ve ahmn haasının hesaplanması çn gerel olan eşller.84 ve.86 eşllerdr..84 eşlğnde R ve P nn esn değerler genellle elde edlemez, sadece ahmn edleblr. R ve P çn en bas ahmn edc seçm anlı ahmnler ullanmaır. R ve P nn anlı ahmnler Eşl.87 ve.88 den elde edlr. Rˆ Pˆ ϕ ϕ.87 ϕ y.88 Eşl.87 ve eşl.88,.84 eşlğnde yerne onulursa, P+ Rθ ϕ y + ϕ ϕ θ.89 elde edlr. Eşl.89,.86 eşlğnde yerne onulursa paramere veörünün güncellenmes çn aşağıda ardışı lş elde edlr. ˆ θ ˆ θ + µϕ y ϕ ˆ θ ˆ θ + µϕ e.9.9 eşlğ LMS algorması olara blnr. Daha önce de belrldğ gb µ parameres durağanlığı ve yaınsalı oranını düzenleyen br sabr..9 eşlğne göre LMS algormasının uygulanması olduça olaydır. Çünü are almayı, oralama almayı ya da ürev almayı çermez..7.. LMS algormasının uygulanması LMS algormasının hesaplama aşaması,. Başlangıç flre asayılarının sıfıra eşlenmes. Her örneleme peryodunda:

33 a Flre çıısının hesaplanması: yˆ ϕ ˆ θ.9 b c Belenen haanın hesaplanması: e y yˆ.9 Paramere veörünün güncellenmes ˆ θ ˆ θ + µϕ e,,,..., N.93 şelnde verlr Hayn Normalleşrlmş En Küçü Oralamalar Kares NLMS Algorması LMS algorması oluşurulması bas olmala brle, grş snyalnn özdeğer değşm hızlı olduğunda öü br yaınsamaya sahpr. Bu algormanın şlem armaşılığının braz arırılmasıyla elde edlen NLMS algorması bu problem çözer. Çünü NLMS algormasında adım büyülüğü grş gücü le normalze edldğnden dolayı, yaınsamanın grş snyalne olan bağımlılığı oradan alar. NLMS algorması ısılı opmzasyon mnmzasyon problemn çözümü olara düşünüleblr. ϕ grd veörü ve senen cevap y verldğnde, θˆ değerne bağlı olara ˆ θ + paramere veöründe değşmn aresel Öld normunu mnmze eme çn, paramere veörü ˆ + δ ˆ θ θ, + ˆ θ + ˆ θ eşlğ le hesaplanır. Sınırlamaya bağlı olara, + ϕ y ˆ.94 θ dr. Bu ısılı opmzasyon problemnn çözümü çn Lagrange çarpanları meodu ullanılablr. ˆ θ + paramere veöründe ˆ θ + δ değşmnn aresel normu,

34 δ ˆ θ ˆ + δθ + δθˆ + [ ˆ θ + ˆ θ ] ˆ θ + ˆ θ N ˆ θ ˆ + θ [ ] bçmnde fade edleblr.,,,..., ˆ θ N paramere veörü, a + b,,,..., N ˆ θ.95 olaca bçmde gerçe ve sanal ısımları le anımlanır. Buradan, δ ˆ θ elde edlr. N + [ a + a ] + [ b + b ] Grd veörü ϕ ve senen cevap y y y y + n ϕ n + ϕ n, reel ve sanal ısımları le ϕ.96 bçmnde anımlanır. Buna göre.94 eşlğnde oplex sınırlama, ve N a + ϕ + b + ϕ y N a + ϕ b + ϕ y bçmnde reel sınırlamalarla yenden yazılablr. Bu durumda, ısılı opmzasyon problem çn, K, reel değerl malye fonsyonu K N [ a + a ] + [ b + b ] N λ y a + ϕ + b + ϕ 3

35 N + λ y a + ϕ b + ϕ.97 şelnde formülze edleblr. Burada λ ve + λ Lagrange çarpanlarıdır. + a ve b n opmum değerlern bulma çn K malye fonsyonunun bu paramereye göre ürevler alınır ve elde edlen sonuçlar sıfıra eşlenr. K Buna göre, dan a + [ a + a ] λ ϕ λϕ K ve dan b + [ b + b ] λ ϕ + λϕ elde edlr. Elde edlen bu sonucun brleşrlmes le.95 ve.96 eşller, [ ˆ ˆ * + θ ] λϕ,,,..., N θ.98 olara hesaplanır. Burada λ omplex Lagrange çarpanı, λ λ + λ bçmndedr. Blnmeyen * λ ın çözümü çn,.98 eşlğnn her yanı ϕ le çarpılır ve daha sonra nın üm olası am değerler üzernden oplam alınır. Buradan; ϕ, grd veörü ϕ nn Öld normu olma üzere, λ elde edlr. N * ˆ N + ϕ θ ϕ ˆ θ N ϕ [ ˆ θ + ϕ ˆ θ ϕ ].99 ϕ 4

36 .94 eşlğnde omplex sınırlama.99 eşlğnde ullanılırsa, bulunur. [ y ˆ θ ϕ ] * λ. ϕ e ahmn haası, e y θˆ ϕ dr. Buna göre. denlem * λ e. ϕ olara fade edlr. Sonuç olara,. de verlen,,..., N çn δ ˆ θ + ˆ θ + ˆ θ ϕ ϕ e * λ,.98 denlemnde yerne onulursa,. elde edlr.. eşlğnn veör formu, δ ˆ θ + ˆ θ + ˆ θ şelnde yazılır. ϕ e.3 ϕ Yönü değşmeszn br erasyondan dğerne paramere veöründe değşm üzernde onrol denemes çn, µ olara anımlanan pozf reel durum faörü oraya onulur. Buna göre ˆ θ + δ değşm aşağıda şelde yenden anımlanır. δθˆ + ˆ θ + θ 5

37 ϕ µ ϕ e Buradan, ˆ µ θ + ˆ θ + + ϕ e.4 ϕ yazılır. ϕ grd veörünün üçü olmasından dolayı aynalanablece sorunu çözme çn, a sab ullanılır. Böylece.4 eşlğ ˆ µ + + ϕ e.5 a+ ϕ ˆ θ + θ şelnde yenden yazılır. Burada a > ve <µ < dr Hayn NLMS algormasının uygulanması NLMS algormasının hesaplama aşaması,. Başlangıç flre asayılarının sıfıra eşlenmes. Her örneleme peryodunda: c d c Flre çıısının hesaplanması: yˆ ϕ ˆ θ.6 Belenen haanın hesaplanması: e y yˆ.7 Paramere veörünün güncellenmes ˆ ˆ θ + µ + + ϕ e.8 a+ ϕ θ şelnde verlr Hayn 99. 6

38 3. UYARLI KUUP POLE AHMİNİ Bu bölümde polnomun ölernn asayılarına göre neden öneml olduğu anlaılmış ve Uyarlı Kuup ahmn Algorması nın elde edlş verlmşr. Prae araers polnomların öler asayılarından daha belrleycdr Nehora, Sarer 99. Aşağıda verlen örnelerde gb durumlarda snyaller ya da ssemler uupları aracılığı le emsl eme asayıları aracılığı le emsl emeen daha doğrudur.. Konuşma analzlernde; ooregresf AR polnom ölernn pozsyonu örneğn uuplar forman freansları ve ban genşllern anımlar bunlar öneml paramerelerdr.. Konuşmaların şfrelenmes alanında; gürülülü leşm analları üzernden paramerelern lelmes gönderm sırasında snyallere elenen rahasız edc parazlern alanılır hale gerlmes çn, snyallern daha sağlam şelde paramerze edlmesne hyaç duyar. Konuşma ales, dğer şeylern yanı sıra AR modeln uuplarının pozsyonuna bağlıdır. Anca uup pozsyonları AR asayılarına duyarlı fonsyonlardır ve asayılarda üçü arışılılar uupların öneml ölçüde aymasına sebep olablr. Deme, asayıların gürülülü anallar üzernden lelmes alede öneml ayıplara neden olablr. Daha sağlam br yalaşım se gerçe uup pozsyonlarını lemer ve bu da onuşmanın vercde uupları aracılığı le paramerze edlmesn çerr. 3. Algılayıcı aralı süreçlernde; yalaşım yönü ahmnler ve edüze doğrusal dzler ullanan z sürme, uyarlı polnom öler alma problemler gb formüle edleblr. 7

39 4. Bomedal mühendslğnde, EEG snyallernn AR modelnn ölernn yörünges zlenere hasalığın aa yapmaya başladığı zamanı belrleme çn ullanılmaadır. Köler, arezyen yada uupsal oordnalarda olablmeedr. Kuupsal oordnaa paramereler, yarıçap ve öler arasında açıdır. Genellle, öler evrel süreçe yer alır. Başlangıç olara polnom asayılarının RLS gb blnen enlerle ahmn edlmes ve daha sonra, son polnomun ölernn sandar faörzasyon yönemler ullanılara bulunmasıdır. Böylece, asayıları ahmn emeense doğrudan ssemn ölern ahmn eden ve her br ver ümes çn yen ahmnler elde eden br algormaya hyaç duyulmaadır. Durağan süreçler çn, ahmnlern her br güncellemeyle daha doğru olması; durağan olmayan süreçler çnse ahmnlern, paramerey zleyeblmes gereldr. Burada, sadece AR model ullanılacaır. p -nc dereceden br ooregresf AR süreç, e 3. A q y şelnde yazılablr. Burada, e ~ WN, σ ve q A, mon polnomunu belrmeedr. Polnom, a olma üzere, p p j a jq jq A q j j q gecme operaörünün λ 3. olara yazılablr. λ j, j,..., p : ssemn uupları olup den üçü olmaları y sürecnn durağan olmasını gererr. a j asayıları gerçe, λ j uuplar se gerçe sayılardan yada armaşı eşlen çflerden oluşmaadır. 8

40 Algormanın amacı y verlernden hesaplanan λ j uuplarının on-lne ahmnlern elde emer. Farzedelm, q A polnomunun m ane armaşı eşlen ö çf ve n ane de gerçe öü olsun. Dolayısıyla p m+ n olacaır. q jq * q q λ q A q polnomu, F j ζ 3.3 S nc ve brnc bölümler olma üzere, λ 3.4 n m Fj q S q A q j şelnde yazılablr. Yıldız şare armaşı eşlenğ fade emeedr. 3.5 ρ le w sırasıyla yarıçap le q A polnomunun -ıncı armaşı eşlen ö çfnn pozf açısını belrme ve olma üzere, S q armaşı öler, λ ρ e * λ ρ e w w şelnde yazılablr. Böylece, ρ w ζ ρ, ρ,..., ρm w, w,..., wm ζ, ζ,..., ζ n olma üzere polnomun blnmeyen paramere veörü, ρ, w ζ θ, şelnde olacaır. a ve ϕ y y,..., y a,..., haası, a p, p olma üzere, AR sürecnn öngörü ε y p + a y 9

41 3 a y ϕ 3.6 şelnde yazılır. Haa gradyanı; θ θ ϕ ε / ˆ y y y eşllernden Ψ p y θ ε θ ε θ ε θ θ... ˆ / olara yazılır. Zncr uralından, a a θ ε Ψ şelnde yazılablr. 3.3 eşlğnden a ϕ ε ve ısm ürev anımından, a w a a a ζ ρ θ,, yazılablr. Önce, a ρ ürevn ele alalım. 3. ve 3.5 eşllernn ürevlenmes ve q F q S q S q A n j j m ρ ρ 3.7 p a q ρ 3.8 eşllernden, nc bölüm q e q e q S w w ρ ρ + + q q e e w w ρ ρ cos + q q w ρ ρ şelnde yazılablr ve böylece,

42 S ρ q cos w q + ρ q elde edlr. 3.8 ve 3.7 eşllernn q ullanılması le, S q yazılır. Böylece a S p q p q ρ ρ a ρ ısm ürev, a q hesaplanablr. Sonuçlar Çzelge 3.. de sunulmuşur. S le hesaplanması ve 3. eşlğn 3.9 q nn asayılarının eşlenmesyle ardışı olara Çzelge 3.. a ρ ısm ürev 3.9 eşlğnn sol arafı 3.9 eşlğnn sağ arafı a ρ a a ρ cos w ρ ρ a a a ρ cos w + ρ ρ ρ ρ cos w a ρ a cos w a M M M a ρ ρ cos w a ρ a + ρ ρ ρ a cos w a Dolayısıyla a başlangıç değer le ardışı hesaplama, a ρ a a ρ cos ρ ρ w ρ + ρ a cos w a a ρ 3

43 3 w a cos ρ şelnde özeleneblr. Dğer ürevler de benzer şelde, sn cos + a w a a w w a ρ ρ ρ ρ ρ w a w w a sn ρ ve a a a ζ ρ ζ a ζ olara bulunur. Sonuça, Kuup ahmn algorması Bölüm- de AAEKK algormasıyla benzer olara, a y ˆ ε ϕ 3. θ θ θ θ θ θ λ / / / ˆ ˆ ˆ y P y y P K + 3. / ˆ P y K I P θ θ λ 3. a θˆ ˆ Φ 3.3 a a θ θ θ θ ˆ ˆ 3.4 / ˆ ˆ ˆ + + a y ϕ θ θ θ 3.5 K ε θ θ + ˆ ˆ 3.6

44 şelnde yazılır. ˆ θ ˆ ρ, ˆ, ˆ paramere veörünü ve w ζ Φ de polnomun asayılarını, ölere eşleyen fonsyonu belrmeedr Nehora ve Sarer 99, Karjalanen 996. θˆ Aşağıda abloda ahmn eme haasını ve yuarıda ürelen gradyanı ullanara dre uup ahmn edcs çn Gauss-Newon ardışı ahmn haası RPE algorması verlmsr Nehora ve Sarer 99. Çzelge 3.. AR modeller çn Uyarlı Kuup ahmn Algorması Başlangıç değerler; ˆ θ, a ˆ, P, ψ, ϕ, w, w, w,,..., N y aˆ ϕ ε K P P ψ / w + ψ P ψ P L ψ P / w ˆ θ L ε ˆ θ + â lern θˆ den hesaplanması / ˆ θ [ a / θ ] θ ˆ θ ˆ a hesaplanması ϕ ψ w + [ y, y,..., y n+ ] [ ] ϕ aˆ / ˆ θ w w w w 33

45 4. MODEL BELİRLEME Bu bölümde uygulamada ço ullanılan model belrleme rerlernden bahsedlmş ve smulasyonda ullanılan EEG verlernn modellernn nasıl belrledğnden bahsedlmşr. Zaman serlernn ahmn ve sonuç çıarma şlemler çn sonlu dereceden ooregresyon AR modeller leraürde ço yaygın br şelde ullanılmaadır. Bunun neden, modeln dereces blnden sonra en üçü areler ya da en ço olablrl yönemleryle ooregresyon paramerelernn ahmnnn elde edlmesnde br sorun yaşanmamasıdır. Anca burada sassel problem modeln derecesnn, yan modelde değşenlern gecme sayılarının espnde oraya çımaadır. Modeln dereces olması gereğnden daha üçü seçldğnde paramerelern ahmn uarlı olmamaa, olması gereğnden daha büyü seçldğnde se paramerelern ahmnnn varyansı büyü çımaadır. Bu durumda da modelden elde edlen sonuçlar güvenlr olmamaadır. Modeln derecesnn seçmnde en ço olablrl yönem her zaman model çn olablece en büyü derecey seçmeedr. Dolayısıyla bu yönem le derece seçm haalı sonuçlara neden olmaadır. En ço olablrl yönemnn gelşrlmş bçm Aae 974 arafından önerlmşr. Bu yönemde farlı sayıda paramereye sahp olan farlı modeller arasından seçm yapılmaadır. Bu yönem, herbr modeln ayrı ayrı en ço olablrl fonsyonunu bulup olablrl fonsyonunun değer en büyü olan model en uygun model olara seçmeedr. Bu öneml soruna br çözüm gereblme çn Aae gb brço sasç 96'lı yıllardan günümüze adar, özellle yen modeller önerldçe bu onu üzernde durmuşlardır Kadılar vd. Herhang br zaman sers verldğnde, önce bu zaman sersnn araersler ncelenmeldr. Bunlar, belenen değer h ρ. Verlen herhang br sırası le, µ, varyans σ ve ooorelasyonlardır Y zaman sers çn bu paramerelern ahmn edcler 34

46 ve n n n Y ˆµ : Y, 4. Y Y n σ ˆ n n n, 4. ˆ h : r h n Y Yn Yh Yn h+ ρ n 4.3 n Y Yn dr. Box ve Perce 97 br grup ooorelasyonun sıfır olup olmadığını sınama çn, Q n h r 4.4 sasğn önermşr. Sernn durağanlı varsayımı alında bu sasğn dağılımı serbesl dereces h olan -aredr. Yan, Q h n r ~ χ h 4.5 dr. Daha sonra Ljung ve Box 978 modfe edlmş Q sasğn önermş ve bu modfe edlmş sasğn üçü örnelemlerde daha y sonuçlar verdğn gösermşlerdr. Bu sas Q n h n+ r / n 4.6 şelnde verlmeedr. Bu sas de yne serbesl dereces h olan -are dağılımına sahpr. Görüldüğü gb bu sasler örnelem ooorelasyonlarına bağlıdır. Dolayısı le örnelem ooorelasyonları ve örnelem ısm ooorelasyonlarına baılara önce model haında sezgsel olara br arara varılır ve bu model üzernde sassel sonuçlar çıarılmaya yan uygun model bulunmaya çalışılır. Bazen örnelem ooorelasyonları ve örnelem ısm ooorelasyonlarına baılara model dereceler haında sezgsel de olsa brşey söyleyemeyz. Bu durumda pra de ço ullanılan model belrleme rerler olan, Aae Blg Krer AIC, Aae Informaon Creron, Schwarz Bayesan Krer SBC, Schwarz Bayesan Creron ve En Son Kesrm Haası FPE, Fnal Predcon Error ullanılmaadır. 35

47 Verlen herhang br zaman sersn ARMA p, q olara modelleme sedğmzde, yan model; y p q a y + e + j b e j j 4.7 şelnde verldğnde AIC sasğ aˆ, bˆ + p q AIC nl değern mnmum yapan p ve q değerler seçlere bulunur Ad 3. aˆ aˆ,..., ˆ ve b b,..., a p ˆ ˆ ˆ en ço olablrl ahmn edclerdr. Buna göre, b q AIC y mnmum yapan p ve q değerler aranan modeln derecelerdr. SBC rer se SBC nl SSE + r ln n 4.9 olara anımlanmaadır. Burada SSE modelden elde edlen arıların areler oplamıdır ve r de ahmn edlen paramerelern sayısıdır. Gere AIC ve gerese SBC negaf değerler alablr ve bunlardan en üçü değer veren p ve q değerler model dereceler olara seçlr. Brço sassel pae program bu saslern aldıları değerler hesaplamaadır. Dğer rermz olan FPE sasğ n+ p FPE ˆ σ 4. n p olara verlmeedr ve yne FPE sasğn en üçü yapan değer model dereces olara alınır. Burada n σˆ / σ nn asmpo dağılımı sebesl dereces p n olan are dağılımı olduğundan dalayı FPE nn aldığı değer -are ablo değer le arşılaşırıldığında modeln AR p ye uygunluğu sınanablr. Burada da edlrse FPE sasğ AR serler çn geçerldr. Bunun daha genel br durumu se yuarıda bahsedlen AIC sasğdr. Dğer arafan bu sasler arasında br lşnn olduğunu söyleyeblrz. Dolayısı le br meoda göre belrlenen model derecelernn dğerne göre pe farlı çıması belenmemeldr. Model derecelernn belrlenmesnde ullanılan br başa yönem se sandar regresyon enlerdr. Özellle ooregresf zaman serlernde bu meod uygulama ve anlaşılması 36

48 açısından erch edlen br meour. Örneğn, verlen herhang br sernn AR m yosa AR p m olduğunu sınama çn önce AR p model yazılır. Yan, model p X α X µ + e µ 4. şelnde verldğnde yolu hpoez, H α α... α olara yazılır. Eğer, : 3 p bu yolu hpoez, H : En az br çn α, alernafne arşı es edldğnde, H yolu hpoez red edlemez se, sernn AR olduğu söyleneblr. Bunun çn model Y µ α Y µ + α Y µ + α 3 Y3 µ + e 4. den elde edlen arıların areler oplamı SSE full ve model Y µ α Y µ + α Y µ + e 4.3 den elde edlen arıların areler oplamı SSE red olma üzere, H yolu hpoezn es eme çn, F * SSE red SSE full p 4.4 SSE full n p sasğ ullanılır. Bu durumda sernn durağan olduğu varsayılırsa, H yolu hpoez alında * F sasğ asmpo olara serbesl dereceler p ve n p olan F dağılımına sahpr. Dolayısı le * F sasğnn aldığı değer ablo değernden büyü se H yolu hpoez red edlr. As halde sernn brnc dereceden ooregresf zaman sers olduğu söyleneblr. Benzer şelde sernn, p X α X µ + e µ 4.5 şelnde br AR p m yosa, X α X µ + e µ 4.6 şelnde br AR, < p, sers m olduğu sınanma senrse, H : + + p α α... α yolu hpoezn es eme gerer. Yne bu durumda, 37

49 F * SSE red SSE full p 4.7 SSE full n p sasğ ullanılır. Burada SSE red, H yolu hpoez alında regresyondan elde edlen arıların areler oplamı ve SSE full se yne yuarıda gb en genş model olara abul edlen AR p modelne göre regresyondan elde edlen arıların areler oplamıdır Ad 3. Bu çalışmada, lglenlen sürecn modelnn belrlenmesnde FPE yönem ullanılmışır. EEG verler Malab programlama dl ullanılara, p den p 4 e adar modellenmşr. Çzelge 4.. den de görüldüğü gb, onyednc epo ve ıryednc epo verler çn FPE sasğn en üçü yapan değer olan p 4 değer model dereces seçlmş ve modeln AR 4 olduğu bulunmuşur. Çzelge 4.. Model belrleme çn Malab programından elde edlen FPE değerler Model 7. Epo İçn FPE 47. Epo İçn FPE AR AR AR AR

50 5. SİMÜLASYON ÇALIŞMASI Bu bölümde, ardışı ahmn yönemler ullanılara oluşurduğumuz model çn paramere ahmnler yapılmış ve en y sonucu veren algorma belrlenmeye çalışılmışır. Bunun çn Şel 5.3., Şel 5.4. ve Şel 5.5. unuma faörünün değş değerler çn AAEKK yönem ullanılara elde edlmşr. Adım genşlğ parameresnn değş değerler çn, LMS algorması ullanılara; Şel 5.6., Şel 5.7. ve Şel 5.8., NLMS algorması ullanılara; Şel 5.9., Şel 5.. ve Şel 5.. elde edlmşr. Şel 5.. ve Şel 5.3. ölçüm ve durum ovaryanslarının değş değerler çn, Şel 5.4. durum ovaryansının ahmn çn KF yönem ullanılara elde edlmşr. Şel 5.5., Şel 5.6., Şel 5.7. ve Şel 5.8. Uyarlı Kuup Algorması ullanılara elde edlmşlerdr. Bu bölümde,.3 model ele alınmış ve paramerenn zamanla değşğ durumda, AAEKK, KF, NLMS ve LMS algormaları ullanılara paramere ahmn ve Uyarlı Kuup ahmn algormasını ullanara hem paramere hem de uup ahmn çn smülasyon çalışması yapılmışır. Smülasyon çalışması çn AR4 model ele alınmışır. Buna göre model, y a y + a y + a y 3 + a y 4 + v 3 4 şelnde olsun. Burada; v ~ N,, y.3, y., y 3., y 4.4, ˆ θ, P ve a.4,.6, 3 3< a.3,.73, 3 3< 39

51 a 3.,.444, 3 3< a 4 olara alınmışır..468,.556, 3 3< Uyarlı Kuup ahmn çn polnom, 3 4 q a q a q a q a q A 5..5 şelnde olacaır..5 ˆ θ başlangıç değerler ullanılmışır. p / 3 p / Ürelen ser ve gözlenen haa Şel 5.. ve Şel 5.. de verlmşr y zaman Şel 5.. Ürelen ser 4

52 .3.. e zaman Şel 5.. Gözlenen haa AAEKK yönemnde λ alındığında algormadan elde edlen ahmn değerler Şel 5.3. de verlmşr. Şel 5.3. den görüldüğü gb λ durumunda paramerenn ahmn değerler gerçe değerlere yalaşamamaadır. Yan algorma bu değşm zleyememeedr. 4

53 lamda a a a a zaman Şel 5.3. AAEKK yönem le paramere ahmn λ λ.99 alındığında algormadan elde edlen ahmn değerler Şel 5.4. de verlmşr. Şel 5.3. le Şel 5.4. arşılaşırılırsa paramere ahmnde br yleşme görülmele beraber ço y br sonuç elde edlememeedr. 4

54 lamda.99 a a a a zaman Şel 5.4. AAEKK yönem le paramere ahmn λ.99 λ.95 alındığında algormadan elde edlen ahmn değerler Şel 5.5. de verlmşr. Şel 5.5. den görülebleceğ gb paramere ahmn değerlernn gerçe değere yalaşığı görülmeedr. 43

55 lamda.95 a a a a zaman Şel 5.5. AAEKK yönem le paramere ahmn λ.95 LMS yönemnde µ. alındığında algormadan elde edlen ahmn değerler Şel 5.6. da verlmşr. Şel 5.6. dan görüldüğü gb µ. durumunda paramerenn ahmn değerler gerçe değerlerden uzalaşmaadır. Yan algorma bu değşm zleyememeedr. 44

56 mu. a a a a zaman Şel 5.6. LMS yönem le paramere ahmn. µ µ.4 alındığında algormadan elde edlen ahmn değerler Şel 5.7. de verlmşr. Şel 5.6. le Şel 5.7. arşılaşırılırsa paramere ahmnnde br yleşme görülmele beraber ço y br sonuç elde edlememeedr. 45

57 mu.4 a a a a zaman Şel 5.7. LMS yönem le paramere ahmn µ. 4 µ alındığında algormadan elde edlen ahmn değerler Şel 5.8. de verlmşr. Şel 5.8. den görülebleceğ gb paramere ahmn değerlernn gerçe değere yalaşmasına rağmen ço y br sonuç elde edlememşr. 46

58 mu a a a a zaman Şel 5.8. LMS yönem le paramere ahmn µ NLMS yönemnde µ. alındığında algormadan elde edlen ahmn değerler Şel 5.9. da verlmşr. Şel 5.9. dan görüldüğü gb µ. durumunda paramerenn ahmn değerler gerçe değerlerden uzalaşmaadır. Yan algorma bu değşm zleyememeedr. 47

59 mu. a a a a zaman Şel 5.9. NLMS yönem le paramere ahmn µ. µ. alındığında algormadan elde edlen ahmn değerler Şel 5.. da verlmşr. Şel 5.9. le Şel 5.. arşılaşırılırsa paramere ahmnde br yleşme görülmeedr. 48

60 mu. a a a a zaman Şel 5.. NLMS yönem le paramere ahmn µ. µ alındığında algormadan elde edlen ahmn değerler Şel 5.. de verlmşr. Şel 5.. den görülebleceğ gb paramere ahmn değerlernn gerçe değere ço yalaşığı görülmeedr. 49

61 mu a a a a zaman Şel 5.. NLMS yönem le paramere ahmn µ Şel 5.. de R olara seçlp, R nn farlı değerler çn KF algorması ullanılara yapılan paramere ahmnnn sonuçları vardır. Şelden görüldüğü gb en y paramere ahmn R. olduğunda elde edlmeedr. R değerler üçüldüçe ahmn değerler gerçe değerlerden uzalaşmaadır. 5

62 R. a a a3 a zaman R. a a a3 a zaman R. a a a3 a zaman Şel 5.. KF le paramere ahmn Farlı R değerler çn 5

63 R.5 a a a3 a zaman R a a a3 a zaman R4 a a a3 a zaman Şel 5.3. KF le paramere ahmn Farlı R değerler çn 5

64 Şel 5.3. de R. olara seçlp, R nn farlı değerler çn KF algorması ullanılara yapılan paramere ahmnnn sonuçları vardır. Şelden görüldüğü gb R.5 olara alındığında ahmn değerlernn paramere değerlerne daha yaın çıığı görülmeedr. Şel 5.4. de R nn.45 eşlğ ullanılara elde edlen uyarlı ahmn verlmeedr. R nn ahmn, α parameresnn seçmne bağlı olara değşmeedr..4. R nn ahmn zaman Şel 5.4. R nn ahmn Şel 5.5. de 5. polnomunun MALAB da roos omuu ullanılara elde edlen λ ρ e ± ω.3±.3,.6±.6, 3 3< 53

65 ve λ ρ e ± ω.±.5, 3.3±.8, 3< armaşı ölernn Uyarlı Kuup ahmn algorması le ahmnlernn gerçe ve gerçe olmayan ısımlarının grafler bulunmaadır. Şel 5.7. den görüldüğü gb algorma öler ço y ahmn emşr..8. o real. o real o mag. o mag Şel 5.5. Uyarlı Kuup ahmn yönem le armaşı ölern gerçe ve gerçe olmayan ısımları Şel 5.6. da 5. polnomunun yarıçap ve açı paramerelernn ahmn görülmeedr. Şel 5.7. de model paramerelernn Uyarlı Kuup ahmn yönem ullanılara ahmn edlen değerler görülmeedr. ahmn değerlernn gerçe değerlere yalaşığı görülmeedr. 54

66 . o. o.8.8 yarcap.6.4 yarcap ac ac Şel 5.6. Uyarlı Kuup ahmn yönem le ahmn edlen yarıçaplar ve açılar a a a a Şel 5.7. Uyarlı Kuup ahmn yönem le ahmn edlen paramereler 55

67 Şel 5.8. de Uyarlı Kuup ahmn yönem le ahmn edlen armaşı öler armaşı düzlemde görülmeedr Şel 5.8. Karmaşı düzlemde öler AAEKK yönemnde λ unuma faörü, KF yönemnde durum gürülü ovaryansı ve ölçüm gürülü varyansı, LMS ve NLMS yönemlernde µ asayılarının çalışmaya başlanmadan seçlmes geremeedr. Smulasyon çalışmasından da görüldüğü gb bu paramerelern değş seçmler algormaların farlı sonuçlar vermesne neden olmaa, hang seçmlern y olduğu önceden blnememeedr. 56

68 6. UYKU, UYKU DÖNEMLERİ ve UYKU EEG SİNYALLERİNİN ANALİZİ Bu bölümde uyu ve uyu dönemler anlaılmış, uyu EEG verlernn analz çn ardışı ahmn yönemler ullanılara ahmnler yapılmışır. Uyu EEG verlern analz ederen uyu ğclernn ahmnlere br esnn olup olmadığı sınanmaya çalışılmışır. Bunun çn ğc çeren ve çermeyen uyu EEG verler ullanılmışır. Uyu, merez snr ssemnn af br sürecdr. Beyn avesnn ölçümünü olanalı ılan enolojlern gelşrlmes sayesnde beynn uyu ve uyanılı sırasında maro ve mro analz mümün olmuşur. Uyu sırasında fzyoloj ave, elersel ayılar aracılığıyla zleneblr: Koral nöronların oplu aves eleroansefalograf EEG, göz hareeler elerooulograf EOG as aves se eleromyograf EMG le zlenr Görür vd. EEG ayılarının baslangıcından ber, beyn ara plan avesnde değş pe salınımlar olduğu gözlenmşr. EEG zgesnde specrum dör freans bandına a araers dalga bçmler vardır:. Dela δ dalgaları: Freansları,5-4 Hz, genller -4 µ V aralığında olan bu dalgalarla dern uyu, genel anesez durum gb beynn ço düşü ave göserdğ durumlarda arşılaşılmaadır.. ea θ dalgaları: Freansları 4-8 Hz, genller 5- µ V arasında olan bu dalgalarla normal breylerde rüyalı uyu, ora dernle anesez durum gb beynn düşü ave durumlarında ve ayrıca brey br sres alında en arşılaşılmaadır. 3. Alfa α dalgaları: Freansları 8-3 Hz, genller - µ V arasında olan bu dalgaların bçmler snüzodal bçme en yaındır. Uyanı breylern, fzsel ve zhnsel olara am dnlenmde bulunduğu, dış uyaranların olmadığı, gözlern apalı 57

69 olduğu durumlarda görülürler. Occpal bölgeden alınan ayılarda en belrgn bçmde gözlenrler. 4. Bea β dalgaları: Freansları 3 Hz den yüse, genller -5 µ V arasında olan bu dalgalara odalanmış da, zhnsel ş, duyusal enformasyon şleme ve uyunun hızlı göz hareeler evrelernde arşılaşılmaadır. Bu dalgalar beynn en yüse ave düzeyne arşılıır. Uyu başlıca dönemden oluşmaadır: hızlı göz hareeler REM, Rapd Eye Movemen evres ve REM olmayan evre NREM. REM, beynn af olduğu evredr. NREM se uyunun görece sessz ya da durağan evresdr. NREM, EEG ayıları sayesnde de sapanablen, gdere dernleşen dör döneme ayrılmışır:.,., 3. ve 4. dönemler.. Dönem, uyanılıan uyu fazına geçş göserr.. Dönem EEG s nspeen düşü genll, arışı freans avesyle ea bandı öne çıar ve ayrıca as onusunun düşüşüyle anımlanır.. Dönemde as onusu daha da azalablr. Bu dönemde, benzer ara plan avesnn üsüne elenmş uyu ğcler ve K-omplesler bulunur. Ara plan aves çnde palamalar şelnde görülen uyu ğcler, yüse freanslı -4 Hz, nspeen düşü genll, en az.5 sn. sürel dalgalardır..5 sn. den daha ısa dalga bçmler uyu ğcler olara anımlanmamalıdır. K-omplesler yüse genll fazlı dalgalardır. 3. ve 4. Dönemler yüse genll 75 µν yavaş dalga dela avesyle belrgnleşr. Bu ave br epoun 3 ya da 6 sn. olara belrlenmş ayı % snden fazlasında varsa 3. dönem, % 5 snden fazlasında varsa 4. dönem olara değerlendrlr. Uyu ğcler ve K-omplesler 3. dönemde seyreleşr ve 4. dönemde amamen yo olurlar. Bu dönemde as onusu daha da düşer Görür vd. 58

70 Uyu sürecnn peşrlmesnde öneml rolü olduğuna nanılan uyu ğcler REM Rapd Eye Movemen - Hızlı Göz Hareeler olmayan uyu evresnde görülen ve uyunun nc evresne a araers dalga şellerdr. İğclern yoğunluğunun uyu sürecnn başlamasıyla brle arması, ğclern uyunun urulmasında ve sürdürülmesnde öneml br rol oynadığını düşündürmeedr. İğclern ooma sezm ve dalga bçmlernn analz nesnel olara değerlendrlmeler çn önemldr. Bu amaçla değş yönemler gelşrlmşr Eroğul vd 999. Romero vd çalışmalarında uyu ğc dalgalarını, uvve speral yoğunlu fonsyonu ve NREM-REM sırasında uyu ğcler arasında farlarla, EEG snyallernn değş parçaları arasında eleşmn elde eme çn bsperum ullanara araerze emşlerdr. Caspary vd 994 çalışmalarında uyu EEG ğclernn speral bleşenlern anımlayan br meod arışmışlardır. Yüse çözünürlü speral meodların Fourer dönüşümüne ya da paramer ahmn edclere göre daha y sonuç verdğn söylemşlerdr. Agul vd çalışmalarında nsanların uyuları sırasında aydedlen EEG lernde gözlenen; yüse derecel sas ve sperumlara dayanan zaman ve freans ağırlılı meodları ullanara uyu ğclernn dnamlern araerze emşlerdr. Aın vd 998 çalışmalarında dalgacı dönüşümünü, ğc avelern sapama üzere alernaf br meod olara sunmuşlardır. EEG snyaller beynn dnamğnn ncelenmes ve modellenmes onusunda ço öneml br rol oynamaadır. Beynn değş uyarılara verdğ eplern zamana göre veya freans çerlerne göre ncelenmes üzernde çoça durulmaa olan br onudur. EEG snyallernn analz freans ve zaman boyuunda yapılablmeedr. Snyaller br zaman sers model olara düşünüldüğünde, snyallern zaman çnde değşller ölçüleblr ve modelleneblr. Böylece fzyoloj veya paoloj durumlarda, aydedlen 59

71 EEG snyallernde zaman çnde oluşan değşller anımlanablr, öngörüleblr. 8 saal uyu süres boyunca elde edlen verlern ço büyü marda olması ardışı ahmn yönemlernn ullanılmasını gerermeedr. Çalışmada ullanılan uyu EEG verler Anara Gülhane Aser ıp Aadems Ruh Sağlığı ve Hasalıları Anablm Dalı Uyu Araşırmaları Mereznde yapılan uyu çalışmalarında aydedlmşr. Örneleme hızı Hz dr. İncelenen ayılar 3 sn. l verden oluşmaadır. Bu bölümde uyu EEG snde arşılaşılan uyu ğclernn belrlenmes amacıyla, ğc çermeyen. Evre uyu EEG snden 7.epo ve ğc çeren. Evre uyu EEG snden 47. epo verler a y + a y + a y 3 + a y 4 e 3 4 y + şelnde modellenmş ve ardışı ahmn yönemlernn sonuçları arşılaşırılmışır. Uyu EEG verlernn paramere ahmnler çn KF, AAEKK, NLMS ve Uyarlı Kuup ahmn yönemler, yarıçap açı ve ö ahmnler çn uyarlı Kuup ahmn yönem ullanılmışır. Şel 6.. de. Evre uyu EEG s 7. epo ve KF yönem ullanılara ardışı olara ahmn edlen gürülü varyansı görülmeedr. 6