T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN NÜMERİK İNTEGRASYONUNDA ADIM GENİŞLİĞİ TESPİTİ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİLERİ ENSTİTÜSÜ BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLELERİNİN NÜERİK İNTEGRASYONUNDA ADI GENİŞLİĞİ TESPİTİ Gülnur ÇELİK KIZILKAN YÜKSEK LİSANS TEZİ ATEATİK ANABİLİ DALI Kona 4

2 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİLERİ ENSTİTÜSÜ BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLELERİNİN NÜERİK İNTEGRASYONUNDA ADI GENİŞLİĞİ TESPİTİ Gülnur ÇELİK KIZILKAN YÜKSEK LİSANS TEZİ ATEATİK ANABİLİ DALI Bu ez 3/7/4 arnde aşağıda ür araından obrlğ / oçoluğu le abul edlmşr. Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN Danışman Pro. Dr. Şaze YÜKSEL Üe Pro. Dr. Al SİNAN Üe

3 ÖZET Yüse Lsans Tez BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLELERİNİN NÜERİK İNTEGRASYONUNDA ADI GENİŞLİĞİ TESPİTİ Gülnur ÇELİK KIZILKAN Selçu Ünverses Fen Blmler Ensüsü aema Anablm Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN 4 7 saa Jür: Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN Pro. Dr. Şaze YÜKSEL Pro. Dr. Al SİNAN Bu çalışmada Cauc problemnn nümer negrasonu çn Pcard eorem abanlı değşen adım genşlğ seçm ve aa analz abanlı değşen adım genşlğ seçm elde edlmşr. Bu seçmlere bağlı olara adım genşlğ ve alaşı çözüm esaplaan algormalar verlmşr. Bu algormalarda üzernde çalışılan onves ümenn apısına bağlı olara oluşablen bazı problemler oradan aldırma çn Pcard eorem ve aa analz abanlı değşen adım genşlğ seçm verlere bu seçme bağlı er br adımda adım genşlğ alaşı esap ve oluşan loal aaı esaplaan br algorma elde edlmşr. Verlen algormalarla lgl nümer örneler verlmşr. Anaar Kelmeler: Cauc Problem Adım Genşlğ Seçm Pcard Teorem Nümer İnegrason Loal Haa Global Haa

4 ABSTRACT aser Tess ON THE FINDING OF STEP SIZE IN THE NUERICAL INTEGRATION OF INITIAL VALUE PROBLE Gülnur ÇELİK KIZILKAN Selçu Unvers Graduae Scool o Naural and Appled Scences Deparmen o aemacs Supervsor: Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN 4 7 pages Jur: Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN Pro. Dr. Şaze YÜKSEL Pro. Dr. Al SİNAN In s sud we ave obaned a varable sepsze coce based on Pcard eorem and varable sepsze coce based on error analss or numercal negraon o Cauc problems. Dependng on ose coces we ave gven algorms a calculaes sepszes and appromaons or soluons. In order o deea some problems arsng rom e srucure o conve se on wc e sud s carred on gvng e varable sepsze coce based on Pcard eorem and error analss an algorm as been obaned wc calculaes dependng on s coce sepszes appromaons or soluons and local error aen place n eac sep. Some numercal eamples relaed o gven algorm ave been demonsraed. Ke Words: Cauc Problems Fndng o Inegraon Local Error Global Error Sepsze Pcard Teorem Numercal v

5 v

6 İÇİNDEKİLER ÖZET. ABSTRACT.. v ÖNSÖZ... v SEBOLLER v. GİRİŞ... BİRİNCİ ERTEBEDEN CAUCHY PROBLEİ.. 3. NÜERİK ETOTLAR VE HATA ANALİZİ eolar Euler meodu Runge- Kua meodu Haa Analz Euler meodu çn aa analz Runge-Kua meodu çn aa analz ADI GENİŞLİĞİ STRATEJİSİ Pcard Teorem Tabanlı Adım Genşlğ Seçm Haa Analz Tabanlı Adım Genşlğ Seçm Pcard Teorem ve Haa Analz Tabanlı Adım Genşlğ Seçm Pra Adım Genşlğ Seçm Adım Genşlğ Konrolü ALGORİTALAR Pcard Teorem Tabanlı Adım Genşlğ İçn Algorma Haa Analz Tabanlı Adım Genşlğ İçn Algorma Pcard Teorem ve Haa Analz Tabanlı Adım Genşlğ İçn Algorma NÜERİK ÖRNEKLER DEĞERLENDİRELER KAYNAKLAR..69 v

7 ÖNSÖZ Bu çalışma Selçu Ünverses Fen- Edeba Faüles aema Bölümü Öğrem Ües Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN önemnde apılara Selçu Ünverses Fen Blmler Ensüsü ne Yüse Lsans Tez olara sunulmuşur. Tezm büü br sabır ve zlle öneen ocam Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN a ez çalışmam süresnce arı gelenesel ale gelen Pro. Dr. Hadar BULGAK önemnde aalı apılan lsansüsü semner programında çalışmalarımı anlamama ırsa sağlaan ve bu veslele değerl öner ve eleşrlernden adalandığım Pro. Dr. Hadar BULGAK a eşeürlerm ve sagılarımı sunarım. Anı zamanda çalışma esnasında ben madd ve manev deseğnden osun bıramaan sevgl alem ve eşm usaa KIZILKAN a da eşeürü br borç blrm. Gülnur ÇELİK KIZILKAN v

8 KULLANILAN SEBOLLER : Grd noaları : nc adımda adım genşlğ : Cauc problemnn am çözümünün noasında değer :Cauc problemnn noasında nümer meo ullanara elde edlen alaşı çözümünün değer LE : nc adımda oluşan loal aa GE : nc adımda global aa * : Pra adım genşlğ parameres : İsenlen aa seves L : nc adımda loal aa çn senlen aa seves g : Global aa çn senlen aa seves v

9 . GİRİŞ Derensel denlemler brço zsel problem ve olaı maemasel olara anımlamaa arar. Dolaısıla derensel denlemlern anal çözümü çn doğru çözüm şlemler bulma öneml br problemdr. T. Cauc problemn ele alalım. Hemen şu sorular ala gelr: Problemn çözümü var mı? Eğer varsa ang şarlarda er? Leraürde bu soruların cevabını Pcard Teorem vermeedr. Arıca genellle prae am çözüm bulma a mümün değldr ada esaplanması ço zordur. Dolaısıla son ıllarda alaşı çözüm bulma çn nümer çözüm önemler olduça önem azanmışır... Problemn Tanıımı Nümer meolar era oldularından. Cauc problemnn çözümünün esaplanmasında büü olalılar sağlamasına rağmen nümer meo ullanılması le elde edlen çözüm problemn am çözümün erne ullanılablece adar aın olmaablr. Bu nedenle nümer meolarla esaplama apılıren adım genşlğ seçm öne çımaadır. Leraür çalışmalarının çoğunda sab adım genşlğ seçlere esaplama apılmışır. Faa sab adım genşlğ seçldğnde alaşı çözümün am çözümden uzalaşmaması çn adım genşlğnn ço üçü seçlmes geremeedr. Bu se pra değldr. - eğm öğrem ılında Ugulamalı aema Araşırma erez nde Pro. Dr. Hadar Bulga önemnde apılan lsansüsü semner çalışmalarında Cauc problemnn nümer negrasonunda Pcard Teorem üzernde emellenen adım genşlğ sraeler N. Cumaova H. Bulga A. Bulga ve K. Adın araından arışılmışır. Anca bu çalışmalar sonuçlandırılmamışır. Bu ez çalışması bu semnerden esnlenere apılmışır.

10 Bu çalışmada. Cauc problemnn nümer negrasonuda ullanılaca nümer meodun anal çözüme aın sonuçlar vermes çn ugun - adım genşlğ belrleme edelenmşr... Leraür Öze. Cauc problemnn nümer çözümü çn ullanılan brço nümer meo vardır. bunlardan brs üç adım BDF bacward derenaon ormulae meodudur. Guglelm ve Zennaro çalışmalarında; onsonlar olma üzere ler e bağlı u 3 u u u = omoen lneer ar denlemnn companon marsn ele alara üç adım BDF meodunun ararlı olmasını sağlaan arıçap ardımıla elde emşlerdr. = adım genşlğ speral Ben ve Gara ; omoen brnc merebeden derensel Cauc problemnden areele omoen olmaan arı lneer derensel Cauc problem çn adım genşlğ önermşlerdr. Anca amnlernn adım genşlğ seçmne emel br ural oluşurma çn eerl olmadığını belrmşlerdr. Rce ve Do 995 adım genşlğn onrol eden meoan basemşlerdr. Bunlardan brs Bale 969 araından önerlen br meour. Herang br negrason meoduna ugulanablen bu meoa = N T ve n = n veörü çn = n+ - n arı esaplanır. nn -nc bleşen çn a eğer / < se adım genşlğnn erne alınır. b Eğer / > se adım genşlğ erne / alınır. c a ve b şıları sağlanmıorsa adım genşlğ anı alır. Rce ve Do Bale n adım genşlğ onrolü le lgl önerdğ bu meo aında dealı blg vermemşr.

11 3 Rce ve Do nun baseğ nc meo celsen 976 nın önerdğ br 3 meour. celsen O esme aası le üçüncü merebeden br meo ullanara e n n olma üzere n n 7 n en elde emşr. Burada n ve n n+ noasında nümer meoa sırasıla ve / adım genşlğ ullanılara elde edlen çözümdür. n+ se n ve n çözümlernden elde edlen ve = n+ noasında gerçe çözüme daa aın olan br amndr. Verlen oleransı çn e n q ma anımlanmışır. Eğer q> se q< oluncaa adar n adımında şlemler adım genşlğ erne / alınara erarlanır. q< olduğunda adım genşlğn 4 mn[ 4 q n n 3] şelnde vermşlerdr. Sardar ve Hgam 997 Hunson denlemn ele almışlardır. R reel saılar cümles olma üzere N R de ısm ar Hucnson denlemn d d N [ ]

12 4 şelnde vermşlerdr. Burada > düzon asaısı > denlemde gecme marı ve çalışmalarında anımladıları N boulu aresel marsr. a alaşım çn q Lagrange enerpolason polnomu ullanmışlardır. q N q R N olma üzere n-nc adımda adım genşlğ çn aşağıda algormaı vermşlerdr: es n new n n n q n n TOL es n n n n n q n TOL: Kullanıcının belrledğ paramere n Eğer es n TOL se adım genşlğ abul edlr ve n = new alınara şleme devam edlr. es n > TOL se es n TOL oluncaa adar n = new alınara şleme devam edlr. Cone ve Boor 98 p-nc merebeden Runge- Kua meodunun loal asmpo aa açılımını = n n + C n p p + O şelnde vermşlerdr. Burada ; Runge- Kua meodunda adım genşlğ n le = n noasında çözümüne alaşımı göserr. C n = n noası le onsonuna bağlı olan br sabr ve Cn p n p n

13 5 dr. < olaca şelde ve verlen loal aa oleransları ve D n n n p olma üzere Runge- Kua meodu çn adım genşlğ onrolünü aşağıda şelde vermşlerdr: D < n < se; değer abul edlr ve anı adım genşlğ n ullanılara n noasından negrasona devam edlr. D n > se; bu durumda aa ço büüür. erne / alınır ve = n noasında enden negre edlr. D n < se; senenden daa br doğrulu elde edlmşr. Dolaısıla değer abul edlr. erne alınara n noasından negrasona n devam edlr. Cone ve Boor 98 çalışmalarında ele aldıları bu önem ullanara adım genşlğn le çarpma vea le bölme gb br sınırlandırma olmasızın adım genşlğ onrolü çn nc br önem vermşlerdr. Çözümde br adım sonra p C / olaca şelde adım genşlğ araşırmışlardır. n D n C n / p olduğunu göz önüne alara adım genşlğn / D n p olara bulmuşlardır.

14 6 Wlle 998 de Adams meoları çn aa onrolü ele alınmışır. Bu meolar çn n n n olma üzere aa amn E n le verlmşr. Wlle bu çalışmasında C< olaca şelde br sab ve ol ullanıcının belrledğ br sab olma üzere E * =Col şelnde br denlemn çözümü olan * adım genşlğn anımlamışır. Bölece E * =Col denlemnn çözümü non- rval polnomun öünü bulma problemne ndrgenmş olur. Harer ve Wanner 99 nümer meolar çn Rz ararlılı onsonu ve SC- ararlılı sep conrol sabl avramlarını anımlamışlardır. Rz ararlılı onsonu ardımıla nümer meoların SC- ararlılı şarını elde emşlerdr. Usman ve Hall 998 nümer çözümler çn sıça ullanılan br başa meo olan Adams meolarını ele almışlardır. En loal aa amn ve +-nc merebeden doğrulama ormülü arasında ar ve ol olerance ullanıcının belrledğ mal edleblen aa dereces olma üzere adım genşlğn; ol n n. E n olara vermşlerdr. Hall ve Usman de apıları çalışmalarında eor ullanara değşen merebel Adams odu çn mode edlmş adım genşlğ ve merebe sraes gelşrmşlerdr. Çalışmalarında ERK; ve +-nc merebeden doğrulama ormülü arasında ar ol olerance; ullanıcının belrledğ mal edleblen aa dereces ve rol; ullanıcının ol değernden oluşurduğu röla olerans aa olma üzere olma üzere. e benzer olara ac 5ol ERK

15 7 saısını anımlamışlardır. Buna göre en adım genşlğn new r old şelnde vermşlerdr. Burada r aşağıda gb seçlr: r ac ac< 9 9 ac< ac 5 ac<9 5 ac<5 Adım genşlğ ararlılıla sınırlandırıldığı zaman adım genşlğnde reşmler gözlenmeedr. Usman ve Hall adım genşlğnn davranışını düzleşrece alerna br adım genşlğ önermşlerdr. 998 de çalışmalarını Runge- Kua meodu çn Gusasson 98 araından gelşrlmş olan PI- adım genşlğ onrolcüsünü conroller le brle düşünere bu r Adams meoları çn değerlendrmşlerdr. E n ve +-nc merebeden doğrulama ormülü arasında ar H n = n ve ol olerance ullanıcının belrledğ mal edleblen aa dereces olma üzere Adams meoları çn H ol E n n n En ol H elde emşlerdr. Burada ve değerler ararlılı marsnn specral arıçapı er zaman den üçü olaca şelde seçlmeldr. Carroll ne başlangıç değer problemlernn çözümünün var ve e olması çn gereen avramlar verlmşr. Arıca e adım meoları aında genel blg verlere bazı e adım meolarının aa onrolü çn algorma verlmşr.

16 8 Adın e al. de. Cauc problemnn çözümünün nümer meola esaplanmasından analanan loal esme aası ve global aa avramları ele alınmışır. Sab adım genşll Euler meodu çn loal aa ve global aa analzler ncelenmşr. Bulga pra düzenl nerval mars avramı anımlamış ve nerval marsn pra düzenl olup olmadığını esp eden br algorma vermşr. Bulga ve Bulga de de nerval marslern pra ersleneblrlğ le lgl bu algormaa enden er verlmşr. Tez çalışmamızda nerval marsler çn verlen bu algorma ve pral avramı Cauc problem çn değerlendrlmşr. Cauc problemnn nümer çözümler le lgl leraür çalışmalarının çoğunda maalese çözümün varlığı ve elğ ncelenmeden çözümler araşırılmışır. Bu durum Cauc problemnn çözümler çn bazı saıncaları berabernde germeedr. esela çözümün olmadığı bölgede probleme çözüm aranablr ve aa br alaşı çözüm verleblr. Bu se olablece en öü değerlendrmedr. H. Bulga enüz basılmamış olan Derensel Denlemler sml abında Broc ve allars 989 ve Carroll Cauc problemnn çözümünün var ve e olduğunu göseren Pcard Teoremn vermş Cauc problemlernn çözümünde Pcard eoremnn onadığı rolü ncelemşlerdr..3. Tezn Yapısı Bu ez çalışması alı bölümden oluşmaadır.. bölümde; problem anıılmış ve leraür öze verlmşr.. bölümde; blnen a b.3

17 9 brnc merebeden Cauc problemnn çözümünün var ve e olduğunu göseren Pcard eorem loal varlı ve el eorem ve spaı ncelenmşr. Bu bölümde ncelenen Pcard eorem dördüncü bölümde ullanılmışır. 3. bölümde;.3 Cauc problemne alaşı çözüm bulma çn nümer meolar ele alınmış bu meolar çn loal esme aası ve global aa avramları ncelenmşr. 4. bölümde; Pcard eorem abanlı adım genşlğ seçm ncelenmşr. Daa sonra leraürde sıça arşılaşılan aa amnne göre adım genşlğ belrleme sraesnden r ednlmş ve üçüncü bölümde ncelenen aa analzne göre Haa analz abanlı adım genşlğ seçm verlmşr. Son olara verlen bu adım genşlğ seçm r brleşrlere Pcard eorem ve Haa analz abanlı adım genşlğ seçm verlmşr. 5. bölümde; dördüncü bölümde verlen adım genşlğ sraeler çn adım genşlğ ve.3 Cauc problem çn alaşı çözüm veren algormalar verlmşr. 6.bölümde; beşnc bölümde verlen algormalarla lgl nümer örneler verlmşr. Bu bölümde apılan esaplamalarda VC- ar Vecor Calculaor ullanılmışır. Gra çzmler çn de Grapcs Consrucor. programı ullanılmışır. 7.bölümde se bu ez çalışmasının değerlendrlmes apılara elde edlen sonuçlar verlmşr.

18 . BİRİNCİ ERTEBEDEN CAUCHY PROBLEİ D ={: a b} bölges üzernde. brnc merebeden Cauc problemn ele alalım. Derensel denlemlerde emel problemn çözümlern varlığı ve elğ üzerne olduğu blnmeedr. Bu ısımda. brnc merebeden Cauc problemnn çözümünün varlığı ve elğ le lgl avramlar ncelenmşr.. Cauc problemnn çözümünün varlığı ve elğ le lgl avramlardan brs Lpscz şarıdır. D olma üzere - L - olaca şelde br L> sab varsa onsonu R de D ümes üzernde değşenne göre Lpscz şarını sağlar denr. Burada L e de Lpscz sab denr Esep Carroll Bulga Henüz basılmadı Adın e al. raner 98 Broc and allars 989. Bu çalışma onves bölge üzernde çalışılmışır. Eğer ve noaları D ümes çndeen aralığında er br çn noası da D ümesne a oluorsa Carroll. R de D ümesne onves üme denr Konves üme aşağıda gb de anımlanablr:

19 Br ümee a olan noa düz br çzgle brleşrldğnde bu çzg üzernde büün noalar üme çnde alıorsa ümee onves üme denr. n Lpscz şarını sağladığı ısm ürev ardımıla pra olara aşağıda eoremle onrol edleblr. Teorem.. D onves ümes üzernde sürel olduğunu varsaalım. Arıca mevcu ve D bölges üzernde sürel olsun. Bu adrde D üzernde değşenne göre Lpscz şarını sağlar Broc and allars989. Faa bu eoremn ers doğru değldr. Yan onsonu Lpscz şarını sağlaablr anca bu bölgede derenselleneblr olmasına gere our. Örneğn; D ={ : < <} bölges üzernde = onsonunun Lpscz şarını sağlamasına -. - olduğundan rağmen değldr. anımlı Şmd çalışmamızda emel alınan Pcard eoremnn spaı çn gerel olan aşağıda lemmaı verelm. Lemma.. Eğer D bölgesnde sürel se. Cauc problem s s ds a. negral denlemne denr Broc and allars 989. D bölgesnde sürel olsun.. de verlen negral denlemnn br çözümünün oluşurulması çn ard arda alaşımlar meodu olara blnen meodu anıalım. Bu meo arıca erason meodu vea Pcard meodu olara da blnr. Bu meo; n onsonları. negral denlemnn dolaısıla. Cauc problemnn br çözümüne ard arda alaşımlar olma üzere

20 = n = + s s ds n=.3 n şelnde anımlanan onsonların br dzsn gererr..3 le anımlanan { n } onsonlarının dzs D üzernde. nn çözümü olan br lm onsonuna aınsar. Aşağıda verlen Pcard eorem.3 ard arda alaşımlar dzs üzerne urulmuşur. Teorem..Pcard eorem D ={ : a b} onves bölges üzernde. Cauc problemn ele alalım. Eğer D bölges üzernde sürel se ve bu bölgede Lpscz şarını sağlıorsa bu adrde noasını çne alan br al bölgede. Cauc problemnn çözümü var ve er. Bu bölge ma D = mnab/ olma üzere D ={ : b } dr Broc and allars 989 Bulga Henüz basılmadı Carroll Esep. +b -b D D -a -a +a +a Şel.

21 3 Örne.. D ={ : 5 - } bölges üzernde Cauc problemn ele alalım. Burada dr. onsonu D bölgesnde süreldr ve Lpscz şarını sağlar. O alde Pcard eorem gereğ noasını çne alan br al bölgede bu Cauc problemnn çözümü var ve er. Bu al bölge; ma D ma 3 ve mn{ 5 } D 3 olma üzere D { : } dr. Problemn br çözümünün varlığı emn edlden sonra arıca problemn onulmuş olması da emn edlmeldr. Yan verlen problemde üçü br perürbason apıldığında çözüme üçü br değşl olara ansımalıdır. İ onulmuşlu ço ararlı br şarır. Çünü arlı br problem çözüleblece şelde nümer alaşımda perürbasonlar apılablr ve perürbasonlar ne üçü alaca şelde çözümün elde edlmes senr. Lpscz şarı Cauc problemnn onulmuş olması çn eerl br şarır Gear 97. Bunu göserme çn ve üçü perürbasonlar olma üzere z = z + - <az = +.4 perürbe edlmş problemn ele alalım. z le çözümü arasında ar olsun. = z - + = Buradan z - + LLpscz sab

22 4 dr. Eğer < < se; bu eşszl dan e negre edlrse [L+ L e -] L elde edlr. Sonuç olara perürbe edlmş problemn çözümünde en büü değşl dan bağımsız br saı olma üzere ma a a [L+ La e -]= L le sınırlıdır. Bölece onulmuşlu anımı aşağıda gb verleblr. Tanım.. senldğ adar üçü ve < ve < olma üzere eğer.4 problemnn z- < - <a oşulunu sağlaan br e z çözümü ve poz sabler varsa. Cauc problem onulmuşur denr Gear 97. Cauc problemnn onulmuşluğunu göseren eorem aşağıda verlmşr. Teorem.3. D bölges üzernde sürel ve değşenne göre Lpscz şarını sağlarsa. Cauc problem onulmuş problemdr Gear 97. Örne.. = Cauc problemn ele alalım. Bu problemn Lpscz şarını sağladığı açıır: - =. L= Şmd bu problemn onulmuş olduğunu göserelm. z =-z + z = + perürbe denlemn alalım.

23 5 = -z+ + = = - + = + de e d de d d e d e e = e - olma üzere z- < olaca şelde poz sabler vardır. Dolaısıla ele alınan Cauc problem onulmuşur. problemler Çalışmamızın bundan sonra ısmında Lpscz şarını sağlaan Cauc ele alındığından Teorem.3 en dolaı bu problemlern onulmuşluğu erar ncelenmeecer.

24 6 3. NÜERİK ETOTLAR VE HATA ANALİZİ. Cauc problemn göz önüne alalım. Cauc problemnn am çözümlern bulma er zaman ola olmaablr. Teor olara am çözüm bulunsa ble prae bu çözümü esaplama zordur.teor olara çözümü esap edlemeen Cauc problemlernn esaplanması çn algorm apıa sap olan nümer meolara aç vardır. Nümer meolar Cauc problemler çn alaşı çözüm verrler. 3.. eolar Tez çalışmamızın dördüncü ve beşnc bölümlernde nümer meolara aç duulmaadır.. problemnn nümer negrasonu çn ullanılan br ço nümer meo vardır. Faa bu ısımda sadece çalışmamızda ullandığımız Euler eodu ve İnc erebeden Runge- Kua eodu ele alınmış ve bu meoların aa analzler ncelenmşr. Dğer nümer meolar çn de anı ncelemeler apılablr Euler meodu. Cauc problem çn [ a a] ve = olma üzere Euler meodu = n 3. şelnde anımlanır. Burada eğer meodu gerçe çözüme aınsamaz. adım genşller ugun seçlmezse Euler

25 7 Euler meodunu blgsaarda ugulama ço oladır. Geomer olara Euler meodu noasında çözüm le noasında çözüm eğrsnn eğenden medana gelr Şel Şel Runge- Kua meodu Cauc problemlernn çözümünde ullanımı en agın olan meolardan brs de Runge- Kua meodudur. Farlı merebelerde Runge- Kua ormüller vardır. Faa burada en ço ullanılan nc merebeden Runge- Kua ormülü verlecer. = s s s = n olma üzere nc merebeden Runge- Kua meodu a s +b s = n abq;a+b=

26 8 şelnde anımlanır. Leraürde genellle a=b=/ alınmaadır. Bu çalışmada da a=b=/ alınacaır. Buna göre nc merebeden Runge- Kua meodu enden azılaca olursa s + s = n 3. şelnde olur. Burada F = s + s denlrse F = s + s = + s 3.3 olur. F onsonuna arış onsonu denr. Runge- Kua meodu da Euler meodu gb programlanması ola olan br meour. Çözümün başında özel esaplamalar gerermez. Anca ç çe esaplamalar çerdğnden blgsaar çnde ullanımı zaman alır. 3.. Haa Analz Nümer meolarla esaplanan çözümün aalı olacağı açıır. Bu aanın emel anağı vardır:. Sonlu ar alaşımında ornal derensel denlemn değşennn erne oulablen elemanın sonucu olara oluşan aa. Far meolarının arme şlemlern esaplaren apılan uvarlama vea esme aası Şmd Cauc problemnn nümer meolarla çözümünde açınılmaz olara arşılaşılan öneml alaşım aası olan loal esme aası ve global aaı ele alalım. noasında nümer meola elde edlen alaşı çözüm le göserlsn. çözümünün gerçe çözümden ne adar uza olduğunu onrol eme çn z

27 9 onsonu anımlansın. [ - aralığında. Cauc problemnn çözümü z olsun. z z = z z = 3.4 şelnde alınsın. Loal aa LE le göserlr. noasında loal aa nümer meola elde edlen. Yan; çözümü le z çözümü arasında arır Adın e al. LE = z 3.5 şelndedr. Global aa se; GE = ; = 3.6 vea onun masmum değer GE [T] = ma GE şelnde ade edlr Golub and Orega 99 Adın e al.. Adın e al. de sab adım genşll Euler meodu çn apılan aa analzn şmd değşen adım genşll Euler ve Runge-Kua meoları çn enden nceleelm Euler meodu çn aa analz a Loal Haa Analz: Loal esme aası Euler ormülünde noasına adım üsünde noası verlmesle oluşur. Şel 3.

28 z z z z LE LE Şel 3. [ - ] aralığında z onsonu çn nc merebeden Talor açılımını azalım: z z z z ;! Euler meodu çn 3.5 ene benzer olara loal esme aası; LE = z LE = = [ z z ]! z şelnde elde edlr. Bu durumda loal aa çn; LE = z LE ma z ma z ma z 3.7

29 şelnde br üs sınır elde edlr. Bu eşszlen. Cauc problemnn [ - ] al aralığında loal aasının verlen problemn özelllerne ve olduğu görülmeedr. adımına bağlı b Global Haa Analz: Global aanın 3.6 eşlğ le ade edldğ belrlmş Şel 3.3. GE - - GE - - Şel 3.3. Cauc problemnde alalım. 3. Euler ormülünde L nn asalığı belrğ düşünülürse: L - = olur. O alde LE loal aası LE = z = z z = z z z

30 = L 3.8 şelnde olur. + nn Talor açılımı! d. Eğer; ma 3.9 se bu adrde Talor ormülünden ] [ olur. LE = L olduğundan LE O 3. eşszlğ doğrudur. O alde; GE ] [ L GE L L 3. Buradan noasında GE - aasından GE çn erarlanan br ormül elde edlr.

31 3. derensel denlemnn sağ araında nn e göre brnc ürev büün ler çn sınırlı ve < olduğundan dr. O alde oralama değer eoremne göre bazı çn dr. Bu se. başlangıç değer problem çn Lpscz şarının ısm ürev ardımıla ade edlmesdr. Yan; GE eşszlğ doğrudur. Buradan L GE GE GE GE GE 3. olduğu görülür. LE GE GE LE LE GE LE LE GE LE GE LE LE LE GE! 3

32 4 bulunur. Burada = alınmışır. GE = olduğundan LE GE 3.3 elde edlr. LE olduğundan bu eşszl GE 3.4 şelnde de azılablr. 3.. Runge- Kua meodu çn aa analz a Loal Haa Analz: [ - ] aralığında z onsonu çn üçüncü merebeden Talor açılımı 3!! 4 3 O z z z z z O z z z z şelndedr. z z. z.. z

33 5 olduğu göz önüne alınırsa z = O elde edlr. Arıca... 3 O olduğundan O dır. O alde Runge- Kua meodu çn loal esme aası LE = z = ].. 4. [ 3 - [ ]+ 4 O = O LE ] [ 3 ma elde edlr.

34 6 b Global Haa Analz: 3. Runge- Kua meodu çn L asalığı F arış onsonuna bağlı olara L = F şelnde azılırsa LE = z = + F - z = z + F z z = L 3.6 olur. O alde; GE 3.7 LE GE L F GE L F ] [ ] [ nn e göre brnc ürev büün ler çn sınırlı ve anı zamanda < olduğundan dır. Ço değşenl onsonlarda oralama değer eoremne göre;

35 7 GE ] [ ; ma ] [ olsun. D bölgesnde sürel olduğundan bu bölgede sınırlıdır. Yan; dr. O alde;. GE olur. ve e göre; ]. [ LE GE GE GE GE 3.8. GE + 3 ma.. olur. Euler meodunda apılan erasona benzer olara şlem apılırsa LE GE GE ]. [

36 8 elde edlr. GE = olduğundan [. LE ] GE 3.9 bulunur. Burada = olara alınmışır.

37 9 4. ADI GENİŞLİĞİ STRATEJİSİ Cauc problemlerne nümer meolarla çözüm aramaa başlamadan önce problemn çözümünün ang bölgede var ve e olduğu ncelenmeldr. Sadece çözümün var ve e olduğu esp edlen bölgede şlem apılmalıdır. Çoğunlula problem çözümlernde bu gözden açmaadır. onsonunun sonsuz sürellğe sap olduğu durumlarda Pcard eorem dae alınmadığı zaman genellle nümer meolar anlış çözümler bulmaadır. İnc bölümde ele alınan Pcard eorem e br adımda çözümün var ve e olduğu bölge garan eder. Dolaısıla bu bölümde Pcard eorem abanlı adım genşlğ seçm ncelenmşr. Çözümün var ve e olduğu bölge esp edlden sonra nümer meola anal çözüme ne adar alaşılacağı sorusuna anı aranmalıdır. Genel durumlarda sonlu ar meoları br e adımda ble aa üremee başlar. O alde adım genşlğ esp apılıren ele alınan nümer meodun aa analz dae alınmalı ve senlen aa seves geçlmeece şelde adım genşlğ seçlmeldr. Bu nedenle bu bölümde nc olara aa analz abanlı adım genşlğ seçm ncelenmşr. Daa sonra; Pcard eorem abanlı adım genşlğ r le aa analz abanlı adım genşlğ r brleşrlere Pcard eorem ve aa analz abanlı adım genşlğ seçm verlmşr. Verlen adım genşlğ seçmler le eor olara senlen bölge üzernde alaşı çözüm elde edleblr. Faa bu eore mümün olmaablr. Bulga de nerval marsler çn verlen pral avramı burada adım genşlğ çn verlmşr. 4.. Pcard Teorem Tabanlı Adım Genşlğ Seçm D ={ : a b } bölges üzernde. Cauc problemn

38 3 ele alalım. onsonu çn Pcard eoremnn şarlarının sağlandığını abul edelm.. Cauc problemnn çözümünün var ve e olduğu bölge D ={ : ĥ b} olsun. [ - aralığında. Cauc problemnn çözümü z olma üzere; ullanılan erang br nümer meodun l adımda adım genşlğ ma D olma üzere Pcard eoremnde ĥ =mn{ab/} parameres olara seçlere noası esap edlr ve D { z : a z b} bölges üzernde z z z 4. Cauc problem göz önüne alınır. Pcard eorem gereğ 4. Cauc problemnn çözümünün var ve e olduğu D { z : ˆ z b } bölges elde edlr. adım genşlğ ĥ alınara bu şelde devam edlrse nc adımda noası esaplanır. İşleme D { z : a z b}

39 3 bölges üzernde z z z 4. Cauc problemne ulaşılır. Pcard eorem gereğ bu problemn çözümünün var ve e olduğu bölge D { z : ˆ z b } dr. Adım genşlğ ĥ seçlere şlem apılır. Adım genşller bu şelde seçlere. Cauc problemnn alaşı çözümü D bölges bounca elde edlr. Bölece. Cauc problemnn çözümünün anal devamı sağlanmış olur Şel 4.. D N D D D N- N Şel 4. Örne 4.. D = { : 3 3} bölges üzernde =

40 3 Cauc problemnn çözümü Pcard eorem abanlı adım genşlğ seçere esaplanmışır. Hesaplamalarda olalı açısından Euler meodu ullanılmışır. Problemn çözümü çn aşağıda ablo elde edlmşr Tablo 4. Gra 4.. Tablo 4. den elde edlen splne onsonunun grağnn şel

41 33 onsonu sonsuz süreszl noasına sap değlse nümer esaplamalar çn Pcard eorem abanlı adım genşlğ seçm apılması ugundur. Faa onsonun sonsuz süreszl noası varsa adım genşlğ seçmnde l adımdan sonra anal çözüm erne esap edlen nümer çözüm ullanıldığından problemn çözümünün olmadığı br bölgede çözüm esaplanablmeedr. Bu se nümer esaplamalarda elde edleblece en öü sonuçur. Bu durumun daa anlaşılması çn aşağıda örneğ nceleelm Tablo 4. Örne 4.. D { : 5 } bölges üzernde

42 34 Cauc problemn ele alalım. Basl çn Euler meodunu ullanara Pcard eorem abanlı adım genşlğ seçelm. Problemn çözümü Tablo 4. de verlmşr. Tablo 4. de görüldüğü gb br { n }n=3 53 dzs elde edlmş ve [.856] aralığında verlen problemn çözümü alaşı olara esap edlmşr. Verlen problemn gerçee ln.693 değer çn çözümü olmamasına rağmen nümer meo le =.856 değerne adar san çözüm varmış gb şlem apılmış ve çözümün anımsız olduğu noa sonsuz süreszl noası alanmışır. Tablo 4. den elde edlen nc dereceden splne onsonu aşağıda Gra 4.. ve Gra 4.. de verlmşr. Gra 4... [ ]=[.6899] aralığında splne onsonunun grağnn şel

43 35 Gra 4.. Gra 4.. de se Tablo 4. nn [ ] aralığı çn splne onsonu verlmşr. Burada [ ] aralığında ln.693 noasında çözüm our. Dolaısıla şare edlen noadan baren çzlen gra gerçeen verlen problemn çözümünü ade emez. Pcard Teorem abanlı adım genşlğ seçmnde apılan espler: Her br adımda am çözümü erne nümer çözümle elde edlen alaşı çözümü ullanıldığından elde edlen alaşı çözüm problemn çözümüne eernce aın olmaablr. Çözümü sonsuz süreszl noasına sap olan problemlerde çözümün anımsız olduğu noaı da çne alan br bölgede çözümün var ve e olduğu görüleblr. Dolaısıla aslında çözümün var olmadığı br noada çözüm esaplanablr. Bu şelde elde edlen sonuç se anlışır.

44 Haa Analz Tabanlı Adım Genşlğ Seçm. Cauc problemnn çözümü nümer meo ullanılara esaplanacağında elde edlece alaşı çözümün problemn am çözümüne ne adar aın olacağı önemldr. Bu se loal ve global aa le ölçülür. Dolaısıla aa amnne göre adım genşlğ seçlere alaşı çözümün am çözümden azla uzalaşmaması sağlanablr. Problemn çözümünün var ve e olduğu blnen br bölgede aa analz abanlı adım genşlğ seçm erang br nümer meo çn verleblr. esela bu ısımda üçüncü bölümde aa analzler ncelenmş olan Euler ve Runge- Kua meoları çn aa analz abanlı adım genşlğ seçm verlmşr. a Loal aaa göre adım genşlğ seçm Loal aa çn Euler meodunda 3.7 üs sınırı elde edlmş. Loal aa verlen L saısından üçü alaca şelde adım genşlğ aşağıda şelde seçlr. LE < ma z < L L ma z [ ] L < ma z [ ] = N Runge- Kua meodunda se benzer olara adım genşlğ 3.5 elde edlmş. Euler meodundane L 3 < = N ma... [ ] şelnde seçlr.

45 37 bglobal aaa göre adım genşlğ seçm Euler meodu çn ma LE adelern göz önüne alalım. Arıca GE GE LE 4.3 eşszlğ verlmş. Euler meodunda 4.3 eşszlğ ullanılara global aa verlen br g saısından daa üçü alaca ve LE L olaca şelde adım genşlğ çn l adımda L ve bundan sonra adımlarda L g L eşszlğn sağlaaca şelde olma üzere g L L elde edlr. Runge- Kua meodu çn

46 38 ma ve olma üzere. LE GE GE eşszlğnden adalanara adım genşlğ seçme çn aşağıda şlemler apılır. C = g L L L ] [ olma üzere C < olaca şelde L seçlr. Buna göre A = B = ] [ L C = g L L L ] [ C B 4A olma üzere A B A B = N olaca şeldedr.

47 Pcard Teorem ve Haa Analz Tabanlı Adım Genşlğ Seçm D ={ : a b } bölges üzernde. Cauc problemn ele alalım. onsonu çn Pcard eoremnn şarlarının sağlandığını abul edelm.. Cauc problemnn çözümünün var ve e olduğu bölge D ={ : ĥ b} olsun. [ - aralığında. Cauc problemnn çözümü z olma üzere; ullanılan erang br nümer meodun l adımda adım genşlğ ma D olma üzere Pcard eoremnde ĥ =mn{ab/} parameres olara seçlere noası esap edlr ve D { z : a z } b bölges üzernde 4. Cauc problem göz önüne alınır. Burada b değer; ullanılan nümer meodun loal aa analznn l adımında elde edlen z b sonucunda değer gereğ bu problemn çözümün var ve e olduğu b olma üzere b mn{ b b} dr. Pcard eorem D { z : ˆ z } b bölges elde edlr. adım genşlğ ĥ alınara bu şelde devam edlrse nc adımda noası esaplanır. İşleme

48 4 D { z : a z b } bölges üzernde 4. Cauc problemne ulaşılır. Burada b değer; ullanılan nümer meodun loal aa analznn - nc adımında elde edlen z b sonucunda değerb olma üzere b mn{ b b } dr. Pcard eorem gereğ bu problemn çözümünün var ve e olduğu bölge D { z : ˆ z b } dr ve adım genşlğ ĥ seçlere şlem apılır. Adım genşller bu şelde seçlere. Cauc problemnn alaşı çözümü D bölges bounca elde edlr. Pcard eorem abanlı adım genşlğ seçm le lgl apılan espler ısım 4. de verlmş. Bununla lgl saıncaların oradan aldırılması çn Pcard eorem abanlı adım genşlğ r le Haa analz abanlı adım genşlğ r brleşrlmş ve bu ısımda Pcard eorem ve aa analz abanlı adım genşlğ seçm verlmşr. Şmd Örne 4. de ele alınan problemn çözümünü Pcard eorem ve aa analz abanlı adım genşlğ seçere enden esap edelm. Hesaplama çn ne Euler meodunu ullanalım. Örne 4.3. D { : 5 } bölges üzernde Cauc problemnn çözümünü Pcard eorem ve aa analz abanlı adım genşlğ seçere enden esap edlmş ve Tablo 4.3 e verlmşr. Hesaplama çn ne Euler meodunu ullanılmışır.

49 * Tablo 4.3 Görüldüğü gb [ ] aralığında alaşı çözüm esaplanmışır ve ln.693 noası geçlmemşr. Gra 4.3.Tablo 4.3 den elde edlen nc dereceden splne onsonunun grağnn şel

50 Pra Adım Genşlğ Seçm. Cauc problemnn alaşı çözümü çn ısım 4. ısım 4.. ve ısım 4.3. e verlen adım genşlğ seçmler le eor olara D bölges bounca çözüm elde edleblr. Faa prae bu mümün olmaablr. Cauc problemlernn çözümler nümer meolarla esaplanma sendğ zaman blgsaar saıları dae alınmalıdır. Blgsaar saıları ümesnn en üçü elemanının var olduğu blnmeedr Godunov e al. 993 Aın and Bulga 998 Adın e al. 3 Çıbıden. Blgsaarla şlem apılıren bu saıdan daa üçü br saıı * blgsaar sıır olara görür. ullanıcının belrledğ senldğ adar üçü br paramere olma üzere n < * olduğu zaman esaplama şlem sona erer. Burada n pra adım genşlğ parameres olara adlandırılır. Bulga de nerval marsler çn ullanılan pral avramı burada Cauc problemlernn nümer negrasonunda adım genşlğ çn enden değerlendrlere pra adım genşlğ parameres anımlanmışır. Şmd adım genşlğ onrolünü aşağıda verelm Adım genşlğ onrolü K genşlğ ve ; adım saısı ĥ ; ele alınan adım genşlğ seçmnde esaplanan adım şelde verlr. * pra adım genşlğ olma üzere adım genşlğ onrolü aşağıda K:. ˆ a se;.... ˆ * se ˆ alınır. ˆ * se = alınır ve şlem sona erer.

51 43. ˆ a se ˆ a alınır..... ˆ * se ˆ alınır. ˆ * se = alınır ve şlem sona erer.

52 44 5. ALGORİTALAR Bu bölümde dördüncü bölümde ncelenen adım genşlğ sraeler doğrulusunda D ={: a b} bölges üzernde verlen. Cauc problem çn adım genşlğ ve alaşı çözümünü esap eden algormalar verlmşr. Hesaplamalarda dae alınan nümer meo ne olursa olsun verlen algormalar ullanılablr. 5.. Pcard Teorem Tabanlı Adım Genşlğ İçn Algorma. Cauc problemnn nümer çözümü çn Pcard eorem abanlı adım genşlğ seçen ve problemn alaşı çözümünü esaplaan algormaı verelm. Bunun çn ] aralığı çn Pcard eoremnde verlen [ ma [ a a] [ b b] ĥ = mnab/ adelern göz önüne alalım. Algorma aşağıda şeldedr.. Adım Grş Elemanları: a b ve * saıları grlr..adım: saısı esaplanır... ĥ saısı esaplanır... K- onrolü apılır..3. = ve esaplanır.. Adım: saısı esaplanır... ĥ saısı esaplanır... K- onrolü apılır.

53 45.3. = ve esaplanır. Burada algormaı durduran adım K- onrol adımıdır. Konrol adımında N a vea * N olduğunda şlem durur. 5.. Haa Analz Tabanlı Adım Genşlğ İçn Algorma Dördüncü bölümde aa analz abanlı adım genşlğ sraes örne olara Euler ve Runge Kua meoları çn verlmş. Bu ısımda verlen algormanın da ne erang br meo çn verlebleceğn belrmele beraber örne olara Euler ve Runge-Kua meoları çn algorma verelm. Bu algormalar er br adımda aa analzne daalı adım genşlğ ve. Cauc problem çn alaşı çözüm esaplar. a Loal aa analz abanlı adım genşlğ çn algorma: Euler eodu çn; şelde olur. ma z olma üzere algorma aşağıda Algorma : *. Adım Grş Elemanları: a b ve L saıları grlr.. Adım: esaplanır... ĥ < L.. K- onrolü apılır. olaca şelde ĥ esaplanır.

54 46.3. = ve = esaplanır.. Adım: saısı esaplanır... L ĥ < olaca şelde ĥ saısı esaplanır... K- onrolü apılır.3. = ve = esaplanır. Runge- Kua meodu çn; ma [ ]... olma üzere algorma aşağıda şelde olur. Algorma : *. Adım Grş Elemanları: a b ve L saıları grlr.. Adım: esaplanır... ĥ < L 3.. K- onrolü apılır..3. = esaplanır. olaca şelde ĥ esaplanır..4. s s s ve s + s esaplanır.. Adım: saısı esaplanır... L 3 ĥ < olaca şelde ĥ saısı esaplanır... K- onrolü apılır..3. = esaplanır.

55 47.4. s s s ve s + s esaplanır. b Global aa analz abanlı adım genşlğ çn algorma: Euler meodu çn ma LE olma üzere global aaa daalı algorma aşağıda şeldedr. Algorma : *. Adım Grş Elemanları: a b ve L g saıları grlr.. Adım: esaplanır... ĥ < L.. K- onrolü apılır. olaca şelde ĥ esaplanır..3. = ve = esaplanır.. Adım: saısı esaplanır. L.. g olaca şelde L esaplanır. L.. ĥ < olaca şelde ĥ saısı esaplanır..3. K- onrolü apılır..4 = ve = esaplanır. Runge- Kua meodu çn

56 48 ma ve olma üzere global aaa daalı algorma aşağıda şeldedr. Algorma : *. Adım Grş Elemanları: a b ve g saıları grlr.. Adım: esaplanır... C = [ L ] L L g olma üzere C < olaca şelde.. A = L esaplanır. B = [ ] L C = [ L ] L L g B 4A C saıları esaplanır..3. B A ˆ.4. K- onrolü apılır..5. = B A esaplanır. ĥ olaca şelde esaplanır..6. s ve s s ve s + s esaplanır. Global aa göz önüne alınara adım genşlğ seçldğ zaman am çözüme olduça aın br çözüm elde edlmesne rağmen verlen bölgenn amamında

57 49 alaşı çözüm elde edlemeeblr. Seçlen L ve lere bağlı olara g adar aa apıldığı zaman şlem durur ve br sonra adıma geçlemez. Dolaısıla Global aa aban alara adım genşlğ apma pra değldr Pcard Teorem ve Haa Analz Tabanlı Adım Genşlğ İçn Algorma. Cauc problemnn nümer çözümü çn Pcard eorem ve aa analz abanlı adım genşlğ seçen problemn alaşı çözümünü ve er br adımda oluşan loal aaı esaplaan algormaı verelm. Bunun çn ] aralığı çn Pcard eoremnde verlen [ ma [ a a] [ b b] ĥ = mnab/ adelern göz önüne alalım. b ullanılan nümer meodun loal aa analznn nc adımında z üzerne elde edlen üs sınır olsun. Algorma aşağıda şeldedr. *. Adım Grş Elemanları: a b ve L saıları grlr..adım: saısı esaplanır... ĥ saısı esaplanır... K- onrolü apılır..3. = ve esaplanır.. Adım: b =mn{ b b } saısı esaplanır... ma [ a a] [ b b ].. ĥ saısı esaplanır..3. K - onrolü apılır. olaca şelde saısı esaplanır.

58 5.4. = ve esaplanır.. Adım: b =mn{ b b } saısı esaplanır... ma [ a a] [ b b].. ĥ saısı esaplanır..3. K - onrolü apılır..4. = ve esaplanır. olaca şelde saısı esaplanır.

59 5 6. NÜERİK ÖRNEKLER Bu bölümde verlen örneler VC- ar Vecor Calculaor Bulga and Emnov esaplama programı le apılmışır. VC programında ara şlemler vrgülden sonra4 raama adar alınmasına rağmen burada sonuçlarda vrgülden sonra 7 raam alınmışır. Öncelle verlen D bölges üzernde çözümü var ve e olan örneğ nceleelm. Örne 6.. D = { :.5 3 5} bölges üzernde Cauc problem verlsn. Dördüncü bölümde ncelenen adım genşlğ sraelern sırasıla 6. problemne ugulaalım. Çözüm 6... Pcard eorem abanlı adım genşlğ seçere D bölges üzernde 6. Cauc problemnn alaşı çözümü Tablo 6.. de şelde elde edlmşr. Burada şlem olalığı çn nümer meo olara Euler meodu ullanılmışır. z LE GE Tablo 6.. Gra 6.. de üse eğr Tablo 6.. den elde edlen splne onsonunun eğrsdr. Ala eğr se verlen problemn am çözümüdür.

60 5 Gra 6.. Gra 6.. de ala eğr problemn am çözümünü üse eğr se Pcard eorem abanlı adım genşlğ ullanılan nümer meo le elde edlen alaşı çözümünü göserr. Çözüm 6... Haa analzne göre adım genşlğ seçere D bölges üzernde 6. Cauc problemnn alaşı çözümünü esap edelm. Loal aa =.5 saısından üçü alaca şelde adım genşlğ seçelm. Elde edlen çözümler aşağıda verlmşr. z LE GE Tablo 6... a: Euler meodula elde edlen çözüm

61 53 Gra 6... a da üse eğr uarıda ablodan elde edlen splne onsonunun grağ ve ala eğr de problemn am çözümünü ade eden eğrdr. Gra 6... a: Tablo 6... a dan elde edlen splne onsonunun grağnn şel Haa analz abanlı adım genşlğ seçldğnde Pcard eorem abanlı adım genşlğ seçm le elde edlen alaşı çözümden daa br alaşı çözüm elde edlmşr. z LE GE Tablo 6... b: İnc merebeden Runge- Kua meodula elde edlen çözüm Tablo 6... b den elde edlen splne onsonu Gra 6... b de ala eğrdr. Üse eğr problemn am çözümüdür.

62 54 Gra 6... b Runge-Kua meodu ullanıldığında Euler meoduna göre daa az adımda çözüm esaplanmışır. Global aa g =.6 saısından üçü alaca şelde adım genşlğ seçelm. Elde edlen sonuçlar aşağıda verlmşr. z LE GE Tablo 6... a: L =.5 alınara Euler meodu le elde edlen çözüm

63 55 Gra 6... a Global aa göz önüne alındığında senlen bölgenn amamında çözüm esaplanamamışır. Çünü [.84] aralığında g =.6 adar aa apılmışır. Nümer meo ullanılara.84 noasından baren apılan esaplamalarda mulaa ne aa apılacağından bu noadan baren global aa g =.6 saısından üçü alaca şelde alaşı çözüm bulunamaz. Gra 6... a da üse eğr Tablo 6... a dan elde edlen splne ve ala eğr problemn am çözümüdür. z LE GE Tablo 6... b: Runge- Kua meodu le elde edlen çözüm

64 56 Gra 6... b Gra 6... b de ala eğr Tablo 6... b den elde edlen splne onsonudur. Euler meodunda olduğu gb Runge- Kua meodunda da global aa göz önüne alınara adım genşlğ belrlendğnde verlen bölgenn amamında alaşı çözüm esap edlememşr. Çünü l adımda apılmışır. Anı grae üse eğr problemn am çözümünü göserr. g =.6 adar aa Çözüm Pcard eorem ve aa analz abanlı adım genşlğ seçere D bölges üzernde 6. Cauc problemnn alaşı çözümü Tablo 6..3 de şelde elde edlmşr. Burada şlem olalığı çn nümer meo olara Euler meodu ullanılmışır. Tablo 6..3 den elde edlen splne onsonu ve problemn am çözümü Gra 6..3 de verlmşr.

65 57 z LE GE Tablo 6..3 Verlen problemn çözümünün anımsız olduğu br noa olmadığı çn Pcard eorem abanlı adım genşlğ seçldğnde elde edlen sonuç le emen emen anı sonuç elde edlmşr. Gra 6..3 Örne 6.. D = { : 4 5} bölges üzernde 4 6.

66 58 Cauc problem verlsn. Çözüm 6... Pcard eorem abanlı adım genşlğ seçere D bölges üzernde 6. Cauc problemnn alaşı çözümü Tablo 6.. de şelde elde edlmşr. Burada şlem olalığı çn nümer meo olara Euler meodu ullanılmışır. z LE GE Tablo 6.. Gra 6.. Burada ala eğr Tablo 6.. den elde edlen splne onsonunun eğrsdr.üse eğr se verlen problemn am çözümüdür.

67 59 Çözüm 6... Haa analzne göre adım genşlğ seçere D bölges üzernde 6. Cauc problemnn alaşı çözümünü esap edelm. Loal aa =.5 saısından üçü alaca şelde adım genşlğ seçldğnde elde edlen çözümler aşağıda verlmşr. z LE GE Tablo 6... a: Euler meodu ullanılara elde edlen çözüm Burada onsonunun masmum değer üm bölgede anı olduğundan adım genşlğ eş bulunmuşur. Gra 6... a

68 6 Gra 6... de üse şel problemn am çözümü ala eğr se Tablo 6... a dan elde edlen splne onsonudur. z LE GE Tablo 6... b:runge- Kua meodu ullanılara elde edlen çözüm Burada onsonunun masmum değer üm bölgede anı olduğundan adım genşlğ eş bulunmuşur. Gra Gra 6... b de ala şel Tablo 6... b den elde elde edlen splne onsonun şel üse se problemn am çözümünü göserr.

69 6 Global aa g =.6 saısından üçü alaca şelde adım genşlğ seçelm. Elde edlen sonuçlar aşağıda verlmşr. z LE GE Tablo 6... a: L =.5 alınara Euler meodu le elde edlen çözüm Gra 6... a Gra 6... a da üse eğr problemn am çözümünü ala eğr se Tablo 6... a dan elde edlen splne onsonunu göserr.

70 6 z LE GE Tablo 6... b: İnc merebeden Runge- Kua meodu ullanılara elde edlen çözüm Gra 6... bde şare edlen noaa adar olan ısım ablodan elde edlen onsonun şeldr. Görüldüğü gb neredese am çözümle anıdır. Gra 6... b Çözüm Pcard eorem ve aa analz abanlı adım genşlğ seçere D bölges üzernde 6. Cauc problemnn alaşı çözümü Tablo 6..3 de şelde elde edlmşr. Burada şlem olalığı çn nümer meo olara Euler meodu ullanılmışır. Tablo 6..3 den elde edlen splne onsonu ve problemn am çözümü Gra 6..3 de verlmşr.

71 63 z LE GE Tablo 6..3 Gra 6..3 olsun. Üçüncü örne çözümü sonsuz süreszl noasına sap olan br problem Örne 6.3. D = { : 5} bölges üzernde 6.3

72 64 Cauc problem verlsn. Çözüm Pcard eorem abanlı adım genşlğ seçere D bölges üzernde 6.3 Cauc problemnn alaşı çözümü Tablo 6.3. de şelde elde edlmşr. Burada şlem olalığı çn nümer meo olara Euler meodu ullanılmışır Tablo 6.3. Tablo 6.3. den elde edlen splne onsonunun grağ aşağıda verlmşr. = noası verlen problemn sonsuz süreszl noasıdır. Faa Tablo 6.3. de de görüldüğü gb bu noaı çne alan br bölgede problemn çözümü esap edlmşr. Gra 6.3. de şare edlen noadan baren verlen problemn çözümünü ade emez.

73 65 Gra 6.3. Çözüm Pcard eorem ve aa analz abanlı adım genşlğ seçere bölges üzernde 6.3 Cauc problemnn alaşı çözümü Tablo 6.3. de şelde elde edlmşr. Burada şlem olalığı çn nümer meo olara Euler meodu ullanılmışır. Tablo 6.3. den elde edlen splne onsonu Gra 6.3. de verlmşr Tablo 6.3. D

74 66 Gra 6.3. Pcard eorem ve aa analz abanlı adım genşlğ seçldğnde problemn çözümünün var ve e olduğu bölgede çözüm esaplanmışır.

75 67 7. DEĞERLENDİRELER Bu çalışmada brnc merebeden Cauc problemnn nümer negrasonunda adım genşlğ seçmnn önem üzernde durulmuşur. Cauc problemn nümer meola çözmee başlamadan önce çözümün var ve e olduğu bölge belrleme gereğ esp apılmışır. Çözümün var ve e olduğu bölge esp edlden sonra nümer meo ullanıldığında elde edlen esaplamaların problemn am çözümü erne ullanılablece adar aın olması genşlğnn ugun şelde seçlmes gereğ belrlmşr. çn adım Burada Cauc problem çn Pcard eorem loal varlı ve el eorem ele alınmışır. Pcard eorem aban seçlere adım genşlğ seçm verlmşr. Eğer ele alınan Cauc problemnn am çözümünün anımsız olduğu noa sonsuz süreszl noası osa Pcard eorem abanlı adım genşlğ seçldğnde sonuçlar elde edlmeedr. Faa problemn sonsuz süreszl noası varsa bu noalarda da çözüm varmış gb esap edlebldğ esp apılmışır. Daa sonra aa analz abanlı adım genşlğ seçm verlmşr. Global aa göz önüne alınara adım genşlğ seçldğ zaman am çözüme olduça aın br çözüm elde edlmesne rağmen verlen bölgenn amamında alaşı çözüm elde edlmeeblmeedr. Seçlen L ve lere bağlı olara g adar aa apıldığı zaman şlem durur ve br sonra adıma geçlemez. İl adımdan baren er br adımda L aaları ne adar üçü seçlrse bölgede o adar lerlerleneblr. Dolaısıla global aaa bağlı adım genşlğ seçme pra değldr. Arıca problem sonsuz süreszl noasına sap se Pcard eorem dae alınmadan şlem apıldığında ne çözümün olmadığı noada çözüm esaplama problem le arşılaşılmaadır. Verlen adım genşlğ sraelernden sonuncusu Pcard eorem ve aa analz abanlı adım genşlğ seçmdr. Pcard eorem ve aa analz abanlı adım genşlğ seçldğnde verlen Cauc problemne sadece çözümün var ve e olduğu bölge üzernde çözüm esaplanmaadır. Burada verlen adım genşlğ sraeler çn brnc merebeden Cauc problemnn nümer negrasonunda adım genşlğ ve alaşı çözüm esaplaan algormalar verlmşr. Arıca; Pcard eorem ve aa analz abanlı

76 68 adım genşlğ seçm çn verlen algorma er br adımda adım genşlğ ve alaşı çözüm le brle oluşan loal aaı da esaplamaadır. Son olara; verlen algormalarla lgl nümer örneler verlmşr.

77 69 8. KAYNAKLAR Aın Ö. ve Bulga H. Lneer Far Denlemler ve Kararlılı Teors Selçu Ünverses Yaınları Kona 998 Adın K. Bulga A. ve Bulga H. Blgsaarla aema Analz Selçu Ünverses Yaınları Kona 3 Adın K. Bulga A. Bulga H. Cumaova N.A. Global Error Esmaon n Numercal Inegraon o Ordnar Derenal Equaons Repor No.4/ Kona Ben Wol-Jürgen and Gara Barnabes. Esmaes o Varable Sepsze Runge- Kua eods For Secoral Evoluon Equaons W Nonsmoo Daa Appled Numercal aemacs 4: Broc W.A. and allars A.G. Derenal EquaonsSabl and Caos n Dnamc Economcs Elsever Scence Publsers Amserdam 989 Bulga A. İnerval arslern Pra Tersleneblrlğn Blgsaarda Tesp Eden Br Algorma Doora Tez Selçu Ünverses Fen Blmler Ensüsü Kona Bulga H. Derensel Denlemler Henüz basılmadı Bulga H. and Emnov D. Compuer dalogue ssem VC Selcu J. Appl. a. vol. No. pp Bulga A. ve Bulga H. Lneer Cebr Selçu Ünverses Yaınları Kona

78 7 Bulga A. and Emnov D. Grapcs Consrucor. Selcu J. Appl. a. vol. 4 no Cone S. D. and de Boor Carl Elemanar Numercal Analss c Graw-Hll Sngapore 98 Carroll J. webpages.dcu.e/~carroll/ms.ml Oulne Lecure Noes Numercal Soluon o ODE Inal Value Problems S- Numercal Analss II Çıbıden A. O. Elemaner ars İşlemlernde Haa Tamn Yüse Lsans Tez Selçu Ünverses Fen Blmler Ensüsü Kona Gear C. W. Numercal Inal Value Problems In Ordnar Derenal Equaons Prence- Hall New Jerse 97 Godunov S. K. Anonov A. G. Krlu O. P. And Kosn V. I. Guaraneed Accurac n Numercal Lnear Algebra Kluwer Academc Publsers Dordrec 993 Golub G. H. and Orega J.. Scenc Compung and DerenalEquaons Academc Pres Lmed London 99 Guglelm N. and Zennaro. On e Zero- Sabl o Varable Sepsze ulsep eods: Te Specral Radus Approac Numersce aema 88: Harer E. and Wanner G. Solvng Ordnar Derenal Equaons II S and Derenal- Algebrac Problems Sprnger- Verlag New Yor 99

79 7 Hall G. and Usman A. oded Ordeer and Sepsze Sraeges n Adams Codes Journal o Compuaıonal and Appled aemacs: raner W. L. Numercal eods or S Equaons and Sngular Perurbaon Problems D. Redel Publsng Compan Holland 98 Rao. Rama oana Ordnar Derenal Equaons Teor and Applcaons Indan Insue o Tecnolog Kanpur 979 Rce Rcard G. and Do Duong D. Appled aemacs and odelng For Cemcal Engneers Jon Wle&Sons Inc Canada 995 Sardar Tasneem K. and Hgam Desmond J. Dnamcs o Consan and Varable Sepsze eods For a Nonlnear Populaon odel W Dela Appled Numercal aemacs 4: Usman A. and Hall G. Equlbrum Saes or Predcor- Correor eods Journal o Compuaıonal and Appled aemacs 89: Usman A. and Hall G. Alernave Sepsze Sraeges or Adams Predcor- Correor Codes Journal o Compuaıonal and Appled aemacs6: 5- Wlle Davd R. Epermens n Sepsze Conrol or Adams Lnear ulsep eods Advances n Compuaonal aemacs 8: