u(t) c(t) Kontrol edilen sistem τ! "# $# ξ = 0.2 civarında olacak

Transkript

1 PID Parametrelerii Deeysel Olarak Ayarlaması Edüstriyel uygulamalarda, PID kotrolörler geellikle deeysel olarak ayarlaır. PID kotrolör esek olarak ayarlaabile üç adet parametre orasal kazaç K p, itegral zama sabiti i ve türev zama sabiti d ye sahiptir. K p i arttırılması sistem cevap hızıı arttırır acak cevap osilasyouda artar. Ayı durum i, azaltıldıı zamada söz kousudur. d i arttırılması ile sistem cevabı daha yava acak daha kararlı olur. Bu bilgiler ııı altıda, matematik modeli mevcut olmaya sistemleri kotrolüde PID kotrolör parametreleri deeme yaılma yötemie dayalı olarak ayarlaabilir, acak bu yötemim baarısı tamame tasarımcıı deeyimie ve kiisel becerisie balıdır. PID kotrolör parametrelerii daha basit pratik ayarlaabilmesi içi Ziegler ve Nichols iki yötem sumulardır. Ziegler-Nichols metodları ile PID asarımı Bu metodları avatajı sistem modeli ile ilgili bilgiye ihtiyaç duymamasıdır. PID parametreleri K p, i ve d ayarlamak içi, kullaılacak yöteme göre, sadece sistemi açık çevrim veya kapalı-çevrim cevabı yeterli olmaktadır. Ayar kuralları sürekli-zama sistemlere dayamaktadır ve eer örekleme zamaı yeteri kadar küçük seçilirse ayrık-pid kotrolöre de uygulaabilir. ki adet yötem vardır. rasiet Cevap Metodu ile PID asarım (rasiet respose method) Öce sistemi basamak giri içi açık-çevrim cevabı elde edilir. Bu yötemi uygulaabilmesi içi sistem açık-çevrim cevabıı S-eklide olması gerekir. Yoksa bu yötem uygulaamaz. Kotrol edilecek ola sistemi açık-çevrim trasfer foksiyouda itegratör ve/veya kompleks eleik kutuplar bulumamalıdır. Sistem I. derecede ölü zamalı sistem olarak modelleir. A u(t) Kotrol edile sistem c(t) G( s) sl Ke τ s + K τ! "# $# KA C(t) L! "%&$& cevap eriside; ξ. civarıda olacak ekilde L τ t K,, tabloya göre seçilir. p i d Kotrol edilecek ola sistemi açık trasfer foksiyou G( s ) Cevap erisi c( t) '"$ ())*+,!( c( t) (-) )() (

2 rasiet cevap yötemie göre, K P, i d PID parametre tablosu. Kotrolör K P i D Orasal(P) τ - - KL Orasal-tegral(PI).9τ 3L - KL Orasal-itegral-türevsel(PID).τ L.5L KL Bu kurallar PID parametrelerii seçimide ilk deer vermeyi salar. Parametrelere so deerler aaıda ekilde gösterildii gibi, kapalı-çevrim sistemide gerçek zamada ice ayar Ki yava-yava azaltılarak ve K d arttırılarak yapılır. r(k) z z K p( + + d ) z z i e s s sistem c(t)! /,!"/$ Örekleme frekası, pratik olarak e yüksek bad geilii frekasıı takribe katı seçilmelidir. Eer örekleme frekası yeteri kadar büyük seçilmezse ayrık-zama PID kotrolör elverili cevap vermez Limit Kararlılık Metodu ile PID asarım ( he Stability Limit Method) Bu yötem kapalı-çevrim kotrol olarak uygulaır. PID parametre ayarıa, yalızca orasal kotolör K ile balaır,, olmak üzere. Sistem sürekli osilasyo yapıcaya kadar p I d K pyava-yava arttırılır. Sürekli osilasyo baladııda, bu oktada kazaç karılık gele osilasyo periyodu ise w,d aaıda verile tabloda seçilir. Ks ve w ye göre PID!arametreleri Ks K P ve, i.

3 Limit kararlılık yötemie göre K P, i d PID parametre tablosu. Kotrolör K i d p P.5K s - - PI.45K s w /. - PID.6K s w / w /8 Limit kararlık yötemii uygulaması içi aaıda ayrık-zama kapalı çevrim kotrol blok diyagramıda görüldüü basamak giri içi çıkı cevabı osilasyoa geliceye kadar orasal kotrol katsayısı artırılır, Osilasyoa gelmeye sistemlerde bu yötem uygulaamaz. r(k) z z K p( + + d ) z z i e s s sistem c(t) i d Limit kararlılık yötemi içi kapalı-çevrim kotrol blok diyagramı. Sistem aaıda gösterildii gibi osilasyoa geldiide tabloda sıır kazaç ve osilasyo periyodua göre, PID parametreleri hesabı içi gerekli katsayılar tabloda okuur.

4 Örek: Ω ( s) K )* V ( s) ( Js + b)( Ls + R) + K,!6(,6 Rotor atalet mometi J. km / s Mekaik sistem söüm oraı b. Nms Elektromotor kuvvet sabiti K K K. Nm / Amp Rotor direci R Ω Rotor edüktası L.5 H Rotor giri gerilimi v( t) e volt Motor açısal hız: w( t) rad / s t DC motor PID kotrol kurallı olarak kapalı-çevrim kotrol edilecektir. PID kotrolör parametre katsayılarıı 7 /8%trasiet cevap metodu&buluuz. Çözüm: Motor sabiteleri trasfer foksiyouda ilgili parametrelerde yerie koyulur. Ω ( s). V ( s) (.s +.)(.5s + ) +. Ω ( s). V s s s s s ( ) Ω ( s) V ( s) ( s + )( s + ) elde edilir. Birim basamak giri içi, V ( s) s Ω ( s) "& )(),!/6$ s( s + )( s + ) + /,55 ) V ( s) s + s + Ω( s) + #/#,!( w( t) %&(%#/6 7 /8%&)%) 55 )& + ) /,##,# V ( s) Ω( s) 3

5 + )& #& L, #τ #9)*,! w( t) ##,!( -)(6(! ;<! w( t) L s( s + )( s + ) d c( t) ( s s ) F( s) e m m st m i ( )! s si i m dz w( t) s st e ( s + )( s + ) s s + ( s + ) s ( s + ) e ( s + ) st s + ( s + ) s( s + ) ( s + ) e st s w( t) e e 8 4 (&, * t t + 5 ( ) dw( t) dt 4 4 d w t w t (6-) t t e e, 5 6-)( ( ) 5 5 e e e e e dt t t t t 8t +. * l(.) /( 8) t l(.) /( 8) t. dw(.) dt 4 4 (.) (.) e e.337 -)( t * (.) (.) w(.) e + e.97 -)( w( t) ( 8 4 :!(,!(%&6(,6

6 ( ).97 ta( α dw t ) dt x max dw( t) dt x.337 x.437 s #) )& L. x..437 L.574s '),( y( t) (* y( t).37* t.79 y( ).37* d.79., t &! * d.356 s #))) *τ d L τ.48 s K y( ) y(). K V ( ) V ( ). DC motor I.derecede ölü zamalı sistem olarak,.574s Ω ( s).e V ( s).48s + & ##,# :!*&,#(!6(! 6 K. L.574 τ.483 s s Kazaç ölü zama zama sabiti d.τ.*.48 K K K K L.*.574 p p p d i d 6.94 Kp i L. i 48 Ki Ki 73..5L. 87 K K K d p K p d

7 +! /, # % 6(,6 R( s) s K p i s d s V ( s) + s + Ω( s) 6( *& ) ) + )! /,##,#,6 &5(%#*7 /8% ) (,7 /8% ξ. * ),!!5 6 * K azaltılarak ve i K d arttırılarak yei deerlere göre birim basamak giri içi cevap aaıda verilmitir,. >

8 ; * #6% ( *! (6(,+,#,6 K p 6.94 K 39.6 K i d.6 PID parametreleride yapıla ayar sorası sistem cevabı. Ω ( s) V ( s) s + s +!!" #$%& $!"+ )) θ ( t) %6% v( t) 5 dθ ( t) Ω( s) 5 )# w( t) * sθ ( s) Ω( s) θ ( dt s θ ( s) 5 )) * V ( s) s s + s + '$$+!! /, # %6(,6 θ ref ( s) K p s + s + Ω( s) s θ ( s) + )! /, )?

9 Kapalı-çevrim sistemii osilasyoa getirecek ola sıır kazaç Routh kararlılık kriteri kullaılır. Karakteristik deklem, K p ( + s + ) Ks #)) 9) F( s) + G( s) + s s 3 F( s) s + s + s + K p 4 )# ) )6))) s s s s 3 K (4 K ) K p K p p p 6# )! 5 / 4 K p > K p < K p / K p > K p > < K p < Sıır kazaç K s B 5wd * )# )! s + K s s + 4s s, ± j3.6 s s, ± jwd ± j3.6 rad / s )()$$%&$' $ wd 3.6 rad / s B! )* w π π w w.9869 s dir. w 3.6 d θ ( t) θ ref ( t) '),6 * ) +! %66 * θ ref ( t) u( t), + )))(6,6 K *##%6+ θ ( t),# s!.9869 w s, K s K.6K K 7 K K K 7 p s p p p.5 i w K K K d w d d p d K p.9935 A i Ki Ki 7.47 i p d

10 ) +! )! /, # %6( R( s) s V ( s) K p i s + s + Ω( s) s θ ( s) d s 9#5%6+ θ ( t) %&(66(,6 &5( %#*7 /8% ) (,7 /8% ξ. *6%&(%# 6 * ) Birim basamak DC motor koum cevabı.,!!5 6 * K azaltılarak ve i K d arttırılarak yei deerlere göre birim basamak giri içi cevap aaıda verilmitir,(. C

11 ; *#6% ( *! (6(, +,#,6 K p 7 K.3 K i d 49.7 PID parametreleride yapıla ayar sorası sistem cevabı. ) + 55!* j θ ref ( t) tu( t)!%6 e ss ) 9%6+! * ) )%) Deeysel PID parametre ayar yötemleri Nichol-Ziegler, ayı zamada ayrık-zama PID kotrolörlerde uygulaabilir. s e s Sıfırıcı derecede tutucu e *, &%( s 6 ( *& L Lsistem + % # )) #7 /8%&* & #6% (,(*!5 ( %6#, % & () / && ) # 6( +, ) /! /, # %,6

12 z z Kp( + + d ) z z i s + s + Ω( s) z z Kp( + + d ) z z i s + s + θ ( ) %!#* & * /,,! ) # )()&,D, 6 E #)! ) )) & #!5 (! 5& ) #.

13 Dijital Kotrol Sistemleri. Doç. Dr. Ayha Özdemir Örek: d q Koum ölçer Karşılaştırma q ref q r PID Kotrolör F K Güç kuvvetledirici mg DC-motor pervae a) Sarkaç sistemi b) Basitleştirilmiş sarkaç kotrol gösterimi. Şekil a) da verile sistemde, DC motor ile tahrik edile sarkaç sistemide çıkış q açısı, istee q koumuda tutulmaya çalışılmaktadır. Sisteme ait diamik deklemleri yazıız. ref d [ m ] m[ kg] üzere, é ë û J kg. m Atalet Mometi a) Sistemi q dege oktasıda lieerleştiri. é Nms C Viskoz Söüm Katsayısı ë rad olmak û b) % kriterie göre yerleşme zamaı ts.67s ξ.77 olması istemektedir. PID kotrolör katsayılarıı buluuz. sarkaç hareket deklemi; d q dq J + C + mgd siq dt dt Lieerleştirilmiş model; q civarıda siq» q olduğu aşağıda verilmiş ola f ( q) siq p p eğriside görülebilir. Şekilde, - < q < aralığı içi siq» q yaklaşıklığı doğru souç verir, 4 4 acak aralık dışıda bu lieer model kullaılması hatalı souçlar verir. Yei çalışılacak okta etrafıda sistem doğrusallaştırılmalıdır.

14 Dijital Kotrol Sistemleri. Doç. Dr. Ayha Özdemir siq» q alıarak sarkaç hareket deklemi yeide, d q C dq mg K + + m d q V dt J dt J J olarak yazılabilir. K m é Nm volt V[ volt] bilidiğie göre, K. m V MotorMometi olmak üzere, é C mg ( s) q( s) s + s+ d > ë J J û J q ( s) i) J ( s) C mg s + s+ d J J ii) ( s) K. V( s) elde edilir. Sarkaç sistem modelie m ait blok diyagram aşağıda verilmiştir. V(s) (s) q ( s) Km J s C + s + mgd J J Sayısal değerler yerlerie koyulur ise trasfer foksiyou,

15 Dijital Kotrol Sistemleri. Doç. Dr. Ayha Özdemir K.7 N / V m d.3m J.9kgm m.43kg C.35 N / rad m ms q( s).89 V s s + s+ ( ) elde edilir. s s, +.39s ± j3.8 asarım: % kriterie göre yerleşme zamaı ts.67s ξ.77 olması istemektedir. Bu kriterleri sağlayacak ola kapalı-çevrim kutupları (kotrol kutupları) aşağıda elde edilmiştir. t s rad >.67 > w > w xw.77w.67*.77 s - - x.77 ise q cos x cos (.77) ise, q 45 dir. Kotrol kutuplarıı s-kompleks düzlemide gösterimi aşağıda verilmiştir. S-kompleks düzlemi jw Kotrol-kutupları.4j s 45 s j İstee geçici rejim kriterlerii sağlaya karakteristik deklem, ξ ve w içi F( s) s ws w + x + F s s s s ( ) s + *.77* s s+.5 > s, -.4 j.4 olarak elde edilir. Yada kompleks kotrol kutupları s w jw, - x ± - x ifadesi ile doğruda hesap edilebilir. 3

16 Dijital Kotrol Sistemleri. Doç. Dr. Ayha Özdemir Klasik PID İçi Geel Kotrol Blok Diyagramı: D(s) içi, sarkaç sistemie ait kapalı-çevrim kotrol blok diyagram; ( s) ( KDs + KPs+ KI )* r s s + + KD s + + KP s+ KI q q ( ) ( ) (3.6 ).89 elde edilir. PID li sistemi Karakteristik deklemi, F s s + + K s + + K s+ K dır ve 3. derecededir. 3-6 ( ) ( D) (3.6 P) I.89 İstee davraışı sağlayacak ola karakteristik deklem ise, F s s + s+ dır ve. derecededir. ref ( ) Dolayısıyla K, K ve K i hesap edilebilmesi içi F ( s ) i derecesi bir artırılacaktır. Acak p I D ilave kutup sistem cevabıda baskı olmayacaktır. Bu amaç içi, asarlaa sistemi örek. derecede sistem gibi davraabilmesi içi, ilave 3.kutup x s-kompleks düzlemide reel ekse üzeride kotrol-kutuplarıı reel kısımlarıı 5- kat arası uzağıa şekilde verildiği gibi yerleştirilir. ref 4

17 Dijital Kotrol Sistemleri. Doç. Dr. Ayha Özdemir S-kompleks düzlemi jw s Kotrol-kutupları s x -4 -,4 ilave kutup 5s < x <s.4j -.4j Kutup ilaveli karakteristik deklem: x-.4*-4 alıırsa F s s s s x s s s refx ( ) ( )( + ) ( )( + 4) F s s + s + s+ karakteristik deklem elde edilir. 3 refx ( ) F( s) F ( s) eşitleerek poliom katsayılarıda PID katsayıları elde edilir. refx s + ( K ) s + (3.6 + K ) s+ K.89 s + 8.8s s D P I K 8. 8> K 5.75 D K P 6.7 > KP K > I K I D Yukarıda klasik PID içi verilmiş ola kapalı-çevrim trasfer foksiyou, q q ( s) 8.74s s r ( s) s + 8.8s + 6.7s elde edilir. Aşağıda modifiye edilmiş PID içi kapalı-çevrim kotrol blok diyagram verilmiştir. 5

18 Dijital Kotrol Sistemleri. Doç. Dr. Ayha Özdemir D(s) q r ( s) s.89 s +.39s+.5 C(s) s Modifiye PID içi trasfer foksiyou: C( s) K G ( s) R( s) s+ é ëk s + K s+ K G I P D P I] P % kriterie göre yerleşme zamaı ts.67 s ξ.77 içi olması istee örek. derecede sistemi trasfer foksiyou, q( s).5 - ( s) dır. q ( s) s + 4.8s+. 5 r Klasik PID kofigürasyou kullaıldığıda elde edile kapalı çevrim trasfer foksiyou. - ( s) 8.74s s s s r ( s) s + 8.8s s ( s + 4.8s+.5) ( s+ 4) q ( s) q Modifiye edilmiş PID kofigürasyou kullaıldığıda elde edile kapalı çevrim trasfer foksiyou q( s) ( s) q ( s) s + 8.8s s ( s s+. 5) ( s+ 4) 3-3 r Aşağıdaki grafikte, örek.derecede sistem (istee), Klasik PID ve modifiye PID içi basamak cevapları verilmiştir. 6

19 Dijital Kotrol Sistemleri. Doç. Dr. Ayha Özdemir 7

20 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. MODERN KONROLE GİRİŞ Klasik kotrol sistemleride, aaliz, setez ve tasarımda trasfer foksiyou kullaılmaktadır. rasfer foksiyou, lieer zamala değişmeye (sabit katsayılı) kotrol sistemlerie ilişki diamiği sadece giriş ve çıkış büyüklükleri ile (aracılığı ile) verir. Sistemi giriş ve çıkış işaretleri belli koşullar altıda kotrol edilirke sistemi durum değişkeleri hiçbir şekilde kotrol edilememektedir. Öreği, çıkışıda kararlı değişim özelliği göstere bir kotrol sistemide, içide bulua bir elemaı gerilimi, akımı, basıcı ve hızı vb. elemaı dayaabileceği büyüklükleri üzerie çıkarak sistemi çalışamaz duruma gelmesie yol açabilir. RANSFER FONKSİYONU VE DURUM UZAY DENKLEM KARŞILAŞIRMA æ dx ( t) ö ç dt æ öæ x ( t) ö æö u( t) è ø ç è dt ø ç ç ç + dx ( t) x( t) ç ç è - ø èø æ x ( t) ö y( t) (- ) ç è x( t) ø - s- G( s) C( si- A) B ve impuls giriş içi çıkış yazılır ise, ( s- )( s+ ) s+ u( t) d( t) u( s) içi çıkı ş Y( s) s + ve t Çıkış t-domeide y( t) e - olur. Eğer, sadece çıkışa bakılır ise hiç bir problem olmadığı gözükür. BiBO (Bouded Iput Bouded Output) kararlılık kriterie göre sistem kararlıdır. Sıırlı giriş içi sıırlı çıkış vermektedir. Oysa durum değişkelerie bakılır ise, dx ( t) dt dx ( t) dt sx ( s) x ( s) x ( s) x ( s) dir. s x( t) sx ( s) x ( s) - x ( s) + u( s) s x ( t) - x( t) + u( t) ise s s + - x( s) s + s- ( s+ )( s-) s x( s) sx ( s) x( s) s s x ( s) x( s) s s( s+ )( s-) ise x ( s) ( s+ )( s-) olarak elde edilirler. Zama domeide sırası ile durum değişkeleri, x ( t) - e - 3 t t ( e )

21 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. t t x( t) ( e + e - ) elde edilir. Durum değişkelerie bakıldığıda ise, durumlar zamala 3 sosuza gitmektedir. Buda, eğer ölem alımamış ise, devrei yada sistemi bozulması yada bazı elemaları yaması alamıa gelmektedir. Halbuki trasfer foksiyou ile çıkışa bakıldığıda her hagi bir problem görülmemektedir. ÖRNEK: Aşağıda verile R,L,C devresii göz öüe alalım. Kotrol edile sistem I L E ort R L C I C Vo Şekil. R, L ve C devresi Öce t-domeide diamik deklemler yazılır ise,(ilk koşullar sıfır) di( t) ) Eort Ri( t) L i( t) dt dt C () ) Vo( t) i( t) dt Cò elde edilir. () s-domeide I( s) é RCs+ s LC+ ) Eort( s) RI( s) + sli( s) + Eort ( s ) I( s) sc sc I( s) ) Vo( s) sc I( s) Vo( s) sc so ifade düzeleir ise trasfer foksiyou, Eort( s) é s LC + RCs+ I( s) sc Vo( s) LC olarak elde edilir. Eort( s) R s + s+ L LC R,L,C devreside kodasatör gerilimi V(t) kotrol edilmek istesi. Geribeslemeli sistem klasik kotrole göre aşağıdaki işlem basamaklarıa göre verilebiliir.

22 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. İlk adım olarak, Eort( t ) giriş gerilimii elde edilmesi presip olarak ve basit devresi ile beraber açıklaacaktır. i) V ort (t) gerilimi E(t) dc gerilim kayağı ile beslee bir D.C kıyıcıda elde edilsi. S(t): Aahtar açık S(t): Aahtar kapalı E(t) S(t) E(t) E ort E ort E S(t) S(t) to toff Güç kayak Aahtarlama elemaı t Şekil. a) Basitleştirilmiş DC kıyıcı b) DC kıyıcı çıkış K Vsi(wt) Güç Kuvvetledirici C E(t) IGB sürücü E ort U(t) K E ort U(t) :Kotrol işareti Şekil 3. Güç Kuvvetledirici DC-Kıyıcı ı a) basit devre şeması t b) Kotrol blok gösterimi. Şekilde aahtar periyodu ile t o süresice kapalı off süresice açık tutulur ise, çıkış gerilimii ortalama değeri, t o Eort( t) E( t) dt Eort t E( t) ò ( ) elde edilir. t o S(t) aahtarı bir statik aahtar trazistörde oluşsu. R,L,C devreside V(t) gerilim kotrolüe ait güç devresii basit olarak aşağıda verildiği gibi çizilebilir. u( t ) üretilecek ola kotrol işaretidir. Sürücü devre üzeride trasistor base e uygulamış olsu. 3

23 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. Güç Kuvvetledirici Kotrol edile sistem Yük (bozucu) K Vsi(wt) C IGB sürücü R L I L C I C I y Vo R y Uort Güç işareti U(t) Kotrol işareti Şekil 4. Güç devresii basit devre şeması Vo: KotroL edile büyüklük. Güç katı bir güç elektroiği devresidir. Kotrol blok gösterimide sadece bir Güç kuvvetledirici kazacı K olarak gösterilir. Bazı durumlarda K kazacıı dışıda. veya. derecede bir sistem olarak modellemesi gerekebilir. Şekil 4 te basit güç şeması verile sistem yie basitleştirilmiş kapalı-çevrim kotrol devresi ile beraber şekil 5 teki gibi verilebilir. Yük Güç Kuvvetledirici Kotrol edile sistem (bozucu) K Vsi(wt) C IGB sürücü R L C I L I C I y Vo R y U(t) Uort Vo Kotrolör e(t) Voref Şekil 5. RLC devreside çıkış gerilim kotrolüe ait basitleştirilmiş güç ve kotrol devresi RLC devreside çıkış gerilim kotrolüe ait basitleştirilmiş güç ve kotrol devresi ile ilgili egatif geri beslemeli kapalı-çevrim kotrol blok diyagramı aşağıda verilmiştir. Voref e(t) u(t) Eort Kotrolör K LC s R + s + L LC Vo Şekil 6. Kapalı-çevrim kotrol blok diyagramı 4

24 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. Şekilde 6. daki kotrol sistemide çıkış gerilimi V ( t ) ölçülmekte ve kotrol edilmektedir. Dikkat edilir ise, sadece çıkış büyüklüğü ola kodasatör gerilimi ölçülmekte, bua karşılık edüktas akımı I( t) ölçülmemekte ve kotrol edilmemektedir. Yukarıda olu deklemde görüleceği üzere çıkış gerilimi akıma bağlıdır. Gerilim kotrol amacı ile eğer aşırı akım çekilir ise trasistor zarar görebilir. E öemlisi ise akım diamiği ile ilgileilmemektedir, sadece gerilim diamiği kotrol edilmektedir. Örekte görüldüğü gibi, trasfer foksiyou, sistemi durumları ile ilgili diamik yerie, sadece giriş-çıkış diamiğii göz öüe almaktadır. Verile örekte durum değişkeleri I ( t ) ve Vc ( t ) ike sadece çıkış gerilimi Vc ( t ) (ayı zamada V ( t ) ( ) ve diamiği ayarlamaktadır. c V t dir.) ölçülmekte Buda başka, trasfer foksiyou ile aaliz ve tasarımda bütü ilk koşullar ihmal edilmekte böylece sistemi geçmiş ve başlagıç durumua ilişki bilgide yararlaılmış olumamaktadır. Klasik aaliz ve iceleme yötemleri sistemi lieer olmaması, zamala değişmesi, çokgiriş, çok-çıkış olması halleride uygulamaz. rasfer foksiyou basitliği edei ile hala kullaılmaktadır ve kullaılmaya devam edecektir. Kotrol sistemlerii moder iceleme ve tasarımda, durum değişkeleri ve sistemi başlagıç koşullarıda oluşa durum uzayı yaklaşımı kullaılır. Durum uzayı modeli, başlagıç koşulları verilmiş, birici mertebede diferasiyel deklemler sistemide oluşur. Durum-Uzay Deklemleri: Durum-uzay aalizide diamik sistem modellemeside üç tip değişke göz öüde buludurulur. i) Giriş değişkeleri, ii) Çıkış değişkeleri, iii) Durum değişkeleri Ayı bir sistem içi tek bir durum-uzay gösterimi yoktur. Durum değişke sayısı ayı kalmakla beraber ayı sistem içi çok farklı sayıda durum-uzay gösterimi elde edilir. Kullaıla durum uzay elde etme yötemlerie ve kullaılabilecek lieer döüşümlere bağlı olarak farklı katsayılar matrisleri elde edilecektir. Acak ayı bir sistem içi katsayılar matrisleri farklı olmakla beraber karakteristik deklemleri ayıdır. Eğer durum deklem elde etme yötemi veya lieer döüşüm souda karakteristik deklem değişir ise o sistem zate başka bir sistem demektir, hata yapılmıştır. L 5

25 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. Lieer zamala değişe ayrık-zama ve sürekli-zama durum deklemi sırası ile; x( k+ ) G( k) x( k) + H( k) u( k) durum deklemi y( k) C( k) x( k) + D( k) u( k) çıkış deklemi dx( t) A( t) x( t) + B( t) u( t) durum deklemi dt y( t) C( t) x( t) + D( t) u( t) çıkış deklemi Ayrık-Zama Sürekli-Zama gibi verilebilir. Değişkeler ve katsayı matrisleri aşağıda açıklamıştır. x(k)-vektör (durum vektörü) y(k)m-vektör (çıkış vektörü) u(k)r-vektör (giriş vektörü) A(t),G(k)x matris (durum matris) B(t),H(k)xr matris (giriş matris) C(t),C(k)mx matris (çıkış matris) D(t),D(k)mxr matris (doğruda iletim matrisi, direct trasmissio matrix) Matris argümalarıdaki ( k ) ve ( t ), G( k) ve A( t ) deki gibi matrisleri zamala değiştiğii gösterir. Eğer zamala değişmeye bir sistem ise, durum ve çıkış deklemleri; x( k+ ) Gx( k) + Hu( k) y( k) Cx( k) + Du( k) Ve. x( t) Ax( t) + Bx( t) y( t) Cx( t) + Du( t) olarak yazılabilir. Katsayı matrisleri sabittir, zamala değişmez. Aşağıda şekil 7-8 de sırası ile sürekli-zama ve ayrık-zama durum deklemlerii blok diyagram gösterimi verilmiştir. 6

26 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. D u(t) B dx(t) dt ò dt x(t) C y(t) A Sistem Şekil 7 Sürekli-zama zamala -değişmeye sistemi durum uzay blok diyagramı gösterimi D u(k) H x(k+) z - I x(k) C y(k) G Sistem Şekil 8 Ayrık-zama zamala değişmeye sistemi durum uzay blok diyagram gösterimi; ÖRNEK-: Sürtüme katsayısı f Yay M Kütle Şekil 9 a) Kütle-yay mekaik sistemi. K:yay sabiti u(t):kuvvet y(t):koum M dy dt ky M u(t) B dy dt b) Serbest cisim gösterimi. Şekil 9 da, dege koumu da bulua sisteme ait, i- Sistemi davraışıı taımlaya diamik deklemleri yazıız. ii- Durum deklemlerii elde ediiz. (sistem dege koumuda ike u( t ) uygulaıyor.) i- Sistem davraışıı ifade ede diferasiyel deklem, 7

27 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. d y( t) dy( t) M + f + Ky( t) u( t) (3) dt dt olarak yazılır. Sistem durum değişkelerii koum ve hız olarak alırsak ve sırası ile x ( t ) ve x ( ) t ile gösterelim. x ( t) y( t) Koum dy( t) x( t) hız dt dx ( t) x( t). durum deklemi, dt (3) deklemide düzelemeler yapılır Þ dx ( t) + ( ) + ( ) ( ) dt dx ( t ) f K u ( t ) - x ( ) ( ) t - x t. durum deklemi elde edilir. dt M M M M fx t Kx t u t Elde edile. ve. durum deklemleri vektör-matris formuda aşağıda verildiği gibi yazılabilir. é dx ( t) dt é é é x ( t) K f u( t) dx ( t) x ( t) ë û û M M M ë û ë dt x( ( t ) A x B Kotrol edile sistem göz öüe alıdığıda, çıkış olarak alıa fiziksel büyüklük koumdur. y( t) x ( t) olarak yukarıda taımlamıştı. Çıkış deklemi durum değişkeleri ciside matris formuda aşağıda verilmiştir. é x( t) y( t) [ ] t ë x( ) û C x Kütle-yay sistemie ait dx( t) Ax( t) + Bu( t) dt y( t) Cx( t) + Du( t) durum deklemleri yukarıda vektör-matris formuda elde edilmiştir. 8

28 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. ÖRNEK-: K Vsi(wt) Güç Kuvvetledirici C IGB sürücü e (t) a R Rotor Kotrollu DC Makia L e (t) b i (t) a İfsbt J B q ( t) L U(t) Şekil Rotor kotrollü DC-makie ve DC-Kıyıcı i- Basitleştirilmiş rotor kotrollü DC-makieye ait diamik deklemleri yazıız. ii- Durum-uzay modelii vektör matris formuda elde ediiz.(l a alıacak) t-domei deklemler ) e ( t) Ku( t) a a( ) ) ea ( t) L di t a + Raia ( t) + eb ( t) dt 3) ( t) K i ( t) e a a 4) d q dq m ( t) J + B + ( ) L t d t dt dq ( t) 5) eb ( t) Kb dt 6) dq ( t) w( t) dt 7) ( t) ( t) (sürekli rejimde, üretile elektriki mometmekaik momet) m e s- domeide Ea ( s) - Eb ( s) i) Ia( s) sl + R ii) ( s) K I ( s) a e a a a iii s - s s J+ Bs s ) m( ) L( ) ( ) q( ) m ( s) -L ( s) q ( s) s( sj+ B) iv) E K W ( s) b b 9

29 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. v) ( s) ( s) m e L Bozucu momet U(s) K Ea(s) sl a +R a ia Ka e m Js+B w s q Güç Kuvvetledirici Kb Şekil Rotor kotrollü DC-makie ve DC-Kıyıcı kotrol blok diyagramı. Rotor kotrollu DC-makie Rotor kotrollü DC-makiei basitleştirilmiş modeli ( L a içi) aşağıda verilmiştir. L Bozucu momet U(s) K Ea(s) R a ia Ka e m Js+B w s q Güç Kuvvetledirici Kb Rotor kotrollu DC-makie Şekil Basitleştirilmiş rotor kotrollü DC-makie ve DC-Kıyıcı kotrol blok diyagramı. olarak elde edilir. ii- Durum-uzay deklemleri içi, (-7) deklemleri kullaılır ve makie çıkışı ola q ( t) ı davraışıı taımlaya deklem elde edilir (L a alıdı). ) olu deklemde; ea ( t) - eb ( t) i( t) R dq ( t) e ( ) ( ) ( ) a t - K e b a t - eb t ) de e ( t) K dt a Ka R R sürekli rejimde ( t) ( t) e a m a a Ka KaKb d t d t d t e ( t) - J + B a q( ) ( ) q( ) Ra Ra dt dt dt d q( t) æ KaK ö b dq Ka J - B e ( ) ç + + a t dt è Ra ø dt Ra

30 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. q( ) æ BR + K K ö q( ) K ea ( t) dt è R J ø dt R J d t a a b d t a - ç + a a Basitleştirilmiş model yardımı ile, rotor kotrollu DC-makie çıkışı q ( t) ifadesi elde d q ( t) edildi. Durum değişkeleri taımlaarak durum deklemleri deklemide elde dt edilecektir. x ( t) q( t) koum dq ( t) x( t) hız dt durum değişkeleri olarak belirleir ise; dx ( t) x( t). durum deklemi dt dx ( t) æ BRa + KaK ö b Ka - ç x( t) + ea ( t) dt è Ra J ø Ra J. durum deklemi Durum deklemlerii vektör-matris formuda aşağıda verildiği gibi yazılır. dx ( t) é é dt é é x ( t) BR K a KaKb a dx ( t) æ + ö + x( t) -ç R R aj aj ë dt û ë è øû ea ( t) Hız ve Koum çıkış olmak üzere seçilir ise, çıkış deklemi olarak C ve C ölçme ile ilgili sabitler olmak üzere, K s+ s u(s) Ks/(ss+) /s s x ( t) s x X(t) ( t) C c C c Y(t) y ( t) y ( t) (hız) Y(t) (koum) é y( t) éc é x ( t) y( t) y ( t) C x ( t) ë û ë û taımlaabilir.

31 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. Basitleştirilmemiş DC-makie durum deklemleri (-7) diamik deklemleri düzeleir ise, di( t) uort ( t) Ri( t) + L + Kbw( t) di ( t ) Kb - R i ( t )- w ( t ) + u ort ( t ) dt dt L L L dw( t) dw( t) Ki Kii( t) J + y ( t) i( t) - y ( t) ve durum değişkeleri dt dt J J taımlaır x ( t) i( t) akım x ( t) q( t) koum dq ( t) x3( t) w( t) Açısal hız dt ve durum deklemleri vektör matris formuda yazılır. é dx ( t) R Kb dt é é - - L L é x ( t) L dx ( t) x( t) + Uort ( t) dt K i x3( t) dx3( t) J ë dt û Ve Çıkış deklemi, y( t) qy( t) Cq m( t) Durum deklemleri é x ( t) y( t) [ C ] x( t) elde edilir. ë x3( t) û Durum deklemleri elde edilmiş ola rotor kotrollü DC-makie ye ait tüm durum geri beslemeli sayısal tabalı kotrol yapısıa ait basitleştirilmiş kotrol devresi fikir vermesi (ö bilgi) içi aşağıda verilmiştir. Amaç SayısaL Kotrolör ü tasarlamasıdır. K Vsi(wt) Güç Kuvvetledirici C IGB sürücü U(t) e (t) a R Rotor Kotrollu DC Makia L i a(t) İfsbt B e (t) b J akım X(t) q ( t) X(t) Ölçme Hız Koum X3(t) YÜK DAC ADC Sayısal İşlemci ADC ADC SayısaL Kotrolör Şekil 3 üm durum geri beslemeli Rotor kotrollü DC-makieye ait sayısal kotrol

32 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. MODİFİYE EDİLMİŞ PID KONROLÖR i- Klasik PID ile kotrol edile sisteme ait kapalı çevrim trasfer foksiyou, D(s) R(s) E(s) K K s I P+ + K s D G ( ) P s C(s) D(s) içi C( s) R( s) ifadesi gerekli ara işlemlerde sora, é K K KIG s s s ] C( s) olarak elde edilir. R( s) s + ( K s + K s + K ) G ( s) D P P( ) + + ë KI KI D P I P ii- Modifiye edilmiş PID ile kotrol edile sisteme ait kapalı çevrim trasfer foksiyou aşağıda verile ara işlemlerde sora elde edilmiştir.. Klasik PID olduğu gibi ''I'', itegratör ileri yoldadır. Acak, orasal kotrolör ''P'' ve türevsel kotrolör ''D'', geri-besleme yolu üzeridedir. D(s) içi C( s) R( s) elde edilir. ìé KI í R( s) -C( s) ] - C( s) [ KP+ KD s]} GP ( s) C( s) > ë s î RKIGP -CKIGP -CKPsGP - KDs CGP sc> { é I P D P I P ] } RK G C ës K + sk + K G + s >

33 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. C( s) K G ( s) ë é I P R( s) s KD skp KI] GP s Klasik, PID, kotrolörlü sisteme bakıldığıda, trasfer foksiyouda iki adet sıfır (Pay kısmıda. derecede poliom) olduğu görülür. Bu sıfırları etkileride dolayı, basamak girişe karşılık sistem cevabıı ayarlamak zor olabilir. Bu sıfırlar sistem cevap çıkışıda erke bir pik'e veya aşımı artmasıa ede olurlar. Bu aşım değeri kayda değer olabilir ve sıfırlar orjie yaklaştıkça aşım artar. Alteratif ise, Modifiye PID kotrol trasfer foksiyouda olduğu gibi pay daki sıfırları yok etmektir. é K K K G ( s) s + s+ ] C( s) R( s) s+ K s K + s) D P I P ë KI KI ( D + Ps KI ) GP ( Klasik PID C( s) K G ( s) R( s) s+ é ëk s + K s+ K Modifiye PID I P D P I] GP Örek: Sarkaç problemide elde edilmiş ola PID katsayılarıa karşılık cevaplar karşılaştırma amacı ile aşağıda verilmiştir. K , K , K 5.75 P I D

34 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. AYRIK-ZAMAN MODİFİYE EDİLMİŞ PID KONROLÖR Aşağıda verile kapalı-çevrim kotrol sistemide görüldüğü gibi, PID kotrolörü itegral kısmı ileri yolda, orasal ve türev kısmı ise geri-yol üzeridedir. R(z) z KI z- PID - e s -s G ( ) P z G ( ) P s Y(s) K P z- KD z ' Y ( z) ) ' R ( z) Y ( z) yie kapalı çevrim trasfer foksiyouu elde edilmesie dair işlem basamakları aşağıda R( z) verilmiştir. ) ( ) GP ( z) ( ) æ z-ö + GP ( z) ç KP+ KD è z ø iç çevrimi trasfer foksiyoudur. ' Y z ' R z Sadeleştirilmiş kotrol bloğu, R(z) GP ( z) z K æ I z- ( ) ç z-ö + GP z K P + K D è z ø Y(s) Elde edilir. Y ( z) R( z) elde etmek amacı ile idirgemiş blok aşağıda verildiği gibi düzeleirse, 3

35 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. æ z ö GP ( z) ç KI è z -ø æ é z ö GP ( z) KP KD Y ( z ) ç + + z ë - û è ø R( z) æ z-ö GP ( z) ç KI z + è ø æ z-ö + GP ( z) ç KP+ KD è z ø æ z ö GP ( z) KI Y( z) ç z- è ø R( z) æ z- z ö + GP ( z) ç KP+ KD + KI è z z-ø Y( z) GP ( z) KI R( z) æ z-ö ææ z-ö z- ö ç + GP ( z) ç KD+ KP+ KI è z ø ç è z ø z è ø Þ pay ve payda z- ile çarpılırsa; z Modife edilmiş PID kotrolör ile deetlee sisteme ait kapalı-çevrim trasfer foksiyou elde edilir. Klasik ve modifiye edilmiş PID kotrollü her iki sistem karşılaştırılır ise, Karakteristik deklemlerii ayı olduğu görülmektedir. æ z-ö ææ z-ö z- ö F( z) ç + GP ( z) ç KD+ KP+ KI è z ø ç è z ø z è ø Sürekli-zama PID kotrolörde ifade edildiği gibi, Klasik PID li kotrollü sistemde kapalıçevrim trasfer foksiyou pay kısmıda klasik PID kofigürasyouda dolayı iki adet sıfır gelmektedir. Buda kapalı-çevrim kotrol sistem cevabıda aşımı artmasıa sebep olmaktadır. Ayrık-Zama II. Derecede Örek Sistem Otomatik kotrol sistem cevabı geçici rejim kriterleri, birim basamak giriş içi ve II. derecede örek sistem içi verilmiştir. Doğal açısal frekas w ve söüm oraı x ye bağlı II. Derecede örek sistem trasfer foksiyou ( s ) i örekleme zamaıa göre ayrık-zama ifadesi sıfırıcı mertebede tutucusuz olarak elde edilişi < x < aralığı içi aşağıda verilmiştir. 4

36 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. R(s) w C(s) R(s) w s( s+ x w ) s( s+ x w ) C(s) II. derecede sistem. Öreklemiş II. derecede sistem. Öreklemiş II. derecede sistem rezidü teoremi ile örekleme zamaaı içi ayrıklaştırılacaktır. s + x w s+ w karakteristik deklem kökleri < x < içi olduğu göz öüde buludurulur ise, s w jw, - x ± - x ) w w ( s) s w s w ( s w jw )( s w jw ) + x + + x + - x + x - -x teoremi kullaılır ise, yazılır. Rezidü { } Z ( s) ( z) ( s+ xw + jw -x ) w ( s+ xw + jw -x ) ( s+ xw - jw -x ) z- e z s s-xw - jw -x + ( s+ xw - jw -x ) w ( s+ xw + jw - x ) ( s+ xw - jw -x ) z- e z s s-xw - jw -x w ( z ) ( -xw - jw -x - jw - x + xw z + - ) w jw z e -x - -x w z - ( xw jw x xw jw x ) z e x x w jw w é z z ( z) - - j ë z- e z- e - xw + jw -x -xw - jw -x x û 5

37 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. w é -x w- jw -x xw jw z - ze - z + ze ( z) j -x ë z - z( e + e + e - + -x - x w + jw -x -x w - jw -x -x w û -xw jwd jwd we e - e ( z) - x j - ( + ) + -x w jwd - jwd -x w z ze e e e Olarak elde edilir. w w x d - söüm osilasyo açısal frekası ve periyot olarak, üzere d w p -x olmak Osilasyo söüm periyodu. -xw we z si w ( z) -x d -x w -x w z - ze cos wd + e -x w w ze si( w -x ) ( z) -x z - ze cos( w - x ) + e -xw -x w sistem elde edilir. Bu trasfer foksiyouu daha sadeleştirirsek, ayrık-zama örek II. Derecede w e w c -x -xw si( -x ) ( z) taımlaırsa, - x ve -x d e w c o s w( cz z - dz+ e olarak elde edilir. e e - xw olarak Elde edile ayrık-zama II. Derecede örek sistem sürekli-zama örek II. derecede sistem ile ayı kazaca sahip olabilmesi içi birim basamak girişe karşılık so değeri e gitmesi gerekir. Buu içi so değer teoremi uygulaır ise, taımlaa K kazacı elde edilmiş olur. 6

38 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. C( z) ( z) K ( ) R z z dz e z K c( ) lim( z- ) z- z - + cz - + olduğua göre ve giriş ( ) z R z z z dz e - içi, - d+ e K Olarak elde edilir. II.Derecede sürekli-zama örek sisteme karşılık gele ayrıkzama II. derecede örek sistem, örekleme zamaı olmak c üzere, - d+ e cz ( z) ( ) - + c z dz e elde edilir. Örek: x.77 w.8 İçi örek II. Derecede sürekli-zama ve ayrık-zama trasfer foksiyolarıı elde ediiz. Örekleme zamaı yi seçiiz. Osilasyo açısal frekası p wd w - x burada osilasyo periyodu, d w seçilebiliir. p -x d dir. Örekleme zamaı ise yaklaşık olarak, (..5) d arasıda p wd.9943 d d 3.56s.* 3.56 örekleme zamaı.63s olarak hesaplaır. Sürekli-zama II. Derecede örek sistem trasfer foksiyou, w.8 ve x.77 içi, ( s) w s w s w + x + Olmak üzere, ( s) s 7.954s s Olarak elde edilir. 7

39 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir..63s, w.8 ve x.77 değerleri içi, w e w c -x -xw si( -x ).448 d e w - x.75 -xw cos( ) e e - xw.7778 Ve so değer teoremide kazaç hesaplaır ise, z K c( ) lim( z- ) z- z z -.75z ise K.63 elde edilir. Veya - d+ e K ( ) de ayı souç elde edilebilir. c ( z).63 z foksiyou.448z -.75z ise Ayrık-zama II. Derecede örek sistem trasfer ( z) z.785z -.75z ( s) s 7.954s s olarak elde edilir. II. derecede örek sistem birim basamak-giriş ve.63s, w.8 ve x.77 değerleri ve birim basamak giriş içi, sürekli-zama ve ayrık-zama cevap çıkışları aşağıda verilmiştir. 8

40 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. II. derecede sürekli ve ayrık-zama Matlab blok diyagramı Birim basamak giriş içi Ayrık zama ve sürekli zama cevapları,.63 s. 9

41 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir.

42 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Ayrık-Zama Sistemlerii Durum Uzay Gösterimleri Sürekli-zama sistem Diferasiyel Deklem Laplace Döüşümü Z-döüşümü S-domei Ayrık-zama sistem Sürekli-zama Durum Deklemleri Z-domei Fark (diferas) deklemi Ayrık-zama Durum Deklemleri Ayrık-zama durum uzay deklemlerii kaoik formları: Ayrık zama sistemleri durum-uzay gösterimlerii elde etmek içi birçok tekik mevcuttur. k. örekleme aıda u(k) giriş y(k) çıkış olmak üzere ayrık-zama sistem; y( k) + a y( k- ) + a y( k- ) a y( k- ) b u( k) + bu( k- ) +... b u( k- ) () fark deklemi ile verilsi. Açıklama: -Darbe trasfer foksiyou: çıkış darbe dizilerii z-döüşümüü giriş darbelerii z- Darbe trasfer foksiyou olarak; döüşümüe oraıa deir (ilk koşullar sıfır). y( k) Y( z) u( k) U( z) (şimdiki değer) y k - ( - ) z Y( z) - u( k- ) z U( z) (bir örek öceki değer) - - y( k- ) z Y( z) u( k- ) z U( z) ( örek öceki değer) Olmak üzere; Y( z) + a z Y( z) + a z Y( z) a z Y( z) b U( z) + b z U( z) b z U( z) > [ [ Y( z) ++ a z + a z a z û U( z) b + b z b z û

43 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir [ [ - - Y( z) b + b z b z û U( z) a z a z... a z û () Veya pay ve payda z z ile çarpılır > - b z + b z b - - Y( z) U( z) z + a z + a z a (3) (),(),(3) deklemlerii durum uzay gösterimleri bir çok yolda elde edilebiliir. Aşağıda sırası ile alatılacaktır.. Kotroledilebilir Kaoik Form (Cotrollable Caoical Form) (Faz-Değişke Kaoik Form: phase-veriable caoical form): Doğruda programlama metodu ile elde edilebilir. Y z b z + b z b U z z a z a z a X z ise, - ( ) X ( z) - - ( ) ( ) pay ve payda X(z) ile çarpılır ve ayrı ayrı yazılır - - U( z) ( z + a z + a z a ) X ( z) (*) - Y( z) ( b z + b z b ) X ( z) olur. X ( z), zx ( z)..., z X ( z ) i ters döüşümleri kullaılır ise; X ( z ) x( k) x ( k) olsu.. durum değişkei zx ( z) x( k+ ) x ( k) olsu.. durum değişkei z X z x k x3 k ( ) ( + ) ( ) olsu. 3. durum değişkei. x k+ 3 ( ) x ( k). 3 z X ( z) x( k+ 3) x ( k) x ( k+ ) x ( k) 4. durum değişkei z X z x k x- k+ x k ( ) ( + - ) ( ) ( ). durum değişkei z X ( z) x( k+ ) x ( k+ ) yei durum değişkeleri x ( k), x( k),..., x ( k ) olarak taımlamıştır.

44 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir x ( ) k+ ifadesi ise yei durum değişkeleri kullaılarak, - - U( z) ( z + a z + a z a ) X ( z) deklemide elde edilir. U( z) z X ( z) + a z X ( z) + a z X ( z) a X ( z) > - - u( k) x ( k+ ) + a x ( k) a x ( k) + a x ( k) > - x ( k+ ) u( k) - a x ( k) a x ( k) + a x ( k) - yei durum değişkeleri kullaılarak çıkış ifadesi olarak, Y z b z X z + b z X z + + b X z yazılır. - ( ) ( ) ( )... ( ) NO: pay derecesipayda derecesi- olsu y( k) b x ( k) + b x ( k) b x( k) - - z X z x k+ - x k ( ) ( ) ( ) olur. Elde edile durum deklemleri vektör-matris formuda yazılır. é x ( k+ ) é... é x ( k) é x( k )... x( k) + + u( k) x ( k+ ) -a -a -a...- a x ( k) ëû ë û ë - - ûë û kotrol edilebilir Kaoik form çıkış deklemi ise, [ ] y( k) b b b... b b - - Eğer pay ve payda derecesi eşit ise; é x ( k) x( k). ëx ( k) û yazılır. y( k) b x ( k+ ) + b x ( k) + b x- ( k) b- x( k) + b x ( k) x ( ) k+ yerie yazılır ve düzeleir, [ ] [ ] [ ] y( k) b u( k) + b - a b x ( k) + b - a b x ( k) b x ( k) + b - a b x ( k) - - é x ( k) y( k) [ b - ba... b - ba ]... + [ b] u( k) ë x ( k) û 3

45 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir durum değişkelerii sırasıı değiştirirsek, eski durum değişkelerie göre yeilerii; ^ é x ( k) é. é x ( k) ^. x( k) x( k)... ^ x ( k) ë. ûëx ( k) û taımlarsak durum deklemleri; ^ ^ é x ( k ) é + -a ( ) -a x k -a- -a ^ ^ x( k ) x( k) é. é. + + u( k) ^. ^ ëû x ( k+ ) x ( k) ^ é x ( k) ^ y( k) b ( ) - ab b - ab. b x k - ab + bu( k). ^ x ( k) çıkış deklemi; [ ] olarak yazılabilir. ÖRNEK: y( k+ ) u( k) +.7 y( k+ ) -.7 y( k) fark deklemi ile verile sistemi durum deklemlerii kotrol edilebilir kaoik form (faz-değişke kaoik form) da elde ediiz.. yol; Z- döüşüm trasfer foksiyouda ayrık-zama durum deklemlerii elde edilmesi; Z-domei Ayrık-zama Durum Deklemleri İlk koşullar sıfır alıarak trasfer foksiyou elde edilir y( k+ ) u( k) +.7 y( k+ ) -.7 y( k) z Y z U z zy z Y z ( ) ( ) +.7 ( )-.7 ( ) > Y( z) U z z - z+ ( ).7.7 X ( z) X ( z) Öce durum değişkeleri taımlaır: X ( z) x( k) x ( k) x ( ) k,. Durum değişkei 4

46 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Y( z) y( k) x( k) y( k) x ( k) çıkış deklemi zx ( z) x( k+ ) x ( k) x ( k+ ) x ( k). Durum deklemi, x ( ) k. Durum değişkeidir. z X z ( ) x( k+ ) x ( k+ ) ' dir. Y( z) X ( z) U( z) z X ( z) -.7 zx ( z) +.7 X ( z) > z X z U z + zx z - X z ( ) ( ).7 ( ).7 ( ) x ( k+ ) u( k) +.7 x ( k) -.7 x ( k). Durum deklemi. Derecede diferas(fark) deklemide.derecede iki adet diferas(fark) deklemi elde edilmiştir.. Derecede elde edile fark deklemleri vektör-matris formuda yazılır > é x ( k+ ) é é x ( k) é + u( k) x ( k+ ) x ( k) ë û ë û é x ( k) y( k) [ ] x( k) olarak elde edilir..yol doğruda fark deklemleri kullaılabiliir; Ayrık-zama sistem Fark (diferas) deklemi Ayrık-zama Durum Deklemleri y( k) x ( k) çıkışı şimdiki değeri x ( ) k olsu.. Durum değişkei. y( k+ ) x ( k) çıkışı bir örek soraki değeri x ( ) k olsu.. Durum değişkei. Yukarıdaki taımlara göre, x ( k+ ) x ( k). Durum deklemi. x ( k + ) y ( k + ) olur. aımlaa durum değişkeleri 5 y( k+ ) u( k) +.7 y( k+ ) -.7 y( k) deklemide yerlerie koulur > x ( k+ ) u( k) +.7 x ( k) -.7 x ( k). Durum deklemi. Elde edile durum ve çıkış deklemleri vektör-matris formuda aşağıda verildiği gibi yazılır.

47 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir é x ( k+ ) é é x ( k) é + u( k) x ( k+ ) x ( k) ë û ë û é x ( k) y( k) [ ] x( k) GÖZLENEBİLİR KANONİK FORM(OBSERVABLE CANONICAL FORM): Y( z) b + b z + b z b z Darbe trasfer foksiyou, G( z) olarak verilsi, G(z) - - U( z) + az az yeide düzeleir ise, içler-dışlar çarpımı yapılır. Y( z) + a z Y( z) a z Y( z) b U( z) + b z U( z) b z U( z) > [ ] [ - ] z [ z b )] Y( z) - b U( z) + z a Y( z) - bu( z) + z a Y( z) b U( z) a Y( )- U( z Veya X - - z ì ( ) ü - -ï - ï Y( z) bu ( z) + z ( bu ( z) - ay ( z) + z íbu ( z) - ay ( z) + z [ b3u ( z) - a3y ( z) +...] ý) î ï þ ï (*) yei durum değişkeleri aşağıdaki gibi taımlaır > [ ] - X - - ( z ) X ( z) - X ( z) z bu( z) - a Y( z) + X ( z). Durum değişkei X ( z) z b U( z) - a Y( z) + X ( z) (-). Durum değişkei [ ]... X ( z) z b U( z) - a Y( z) + X ( z). Durum değişkei [ ] ( ) - X ( ) ( ) z z bu z - ay z. Durum değişkei [ ] (*) Y(z) deklemi, Y( z) bu ( z) + X ( z) olarak yazılır ise ve " taraf ''z'' ile çarpılır ise ; zx ( z) X ( z) - a X ( z) + ( b - a b ) U( z) - zx ( z) X ( z) - a X ( z) + ( b - a b ) U( z) - - 6

48 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir... zx ( z) X ( z) - a X ( z) + ( b - a b ) U( z) zx( z) - a X ( z) + ( b - ab ) U( z) ters z- döüşümü alıır ve çıka deklemler ters sıra ile yazılır ise; x ( k+ ) - a x ( k) + ( b - a b ) u( k). Durum deklemi x ( k+ ) x ( k) - a x ( k) + ( b - a b ) u( k). Durum deklemi x ( k+ ) x ( k) - a x ( k) + ( b - a b ) u( k) (- ). Durum deklemi - - x ( k+ ) x ( k) - a x ( k) + ( b - a b ) u( k). Durum deklemi - çıkış deklemii ters z-döüşümü alıarak, y( k) x ( k) + bu( k) olarak yazılır. Durum deklemleri GÖZLENEBİLİR KANONİK FORM da vektör-matris olarak é x ( k+ ) é... -a é x ( k) é b - ab x( k+ )... -a x( k) - b- - a b u( k) x-( k+ )... -a x-( k) b - ab ë x ( k+ ) û ë... -a ûë x( k) û ë b - ab û yazılır. Çıkış deklemi olarak, y k [ ] é x ( k) x ( k)... x ( ) ë k û elde edilir. ( )... + bu( k) ÖRNEK: y( k+ ) u( k) +.7 y( k+ ) -.7 y( k) fark deklemi ile verile sistemi durum deklemlerii gözleebilir kaoik form da elde ediiz. elde edile Y( z) z U( z) z -.7z+.7 z - - idi. pay ve payda z z - - ile çarpılır ve - Y( z) z içler dışlar çarpımı yapılır. - - U( z) -.7z +.7z 7

49 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Y( z) -.7 z Y( z) +.7 z Y( z) z U( z) > Y z z U z z Y z z Y z ( ) ( ) +.7 ( )-.7 ( ) Durum değişkeleri taımlaır ì ü -ï - ï Y( z) z.7 Y( z) + z í { U ( z )-.7 Y ( z )}ý } ý ïî þ ï X ( z ) X ( z) olarak taımlaır> X z z U z - Y z. Durum değişkei. - ( ) ( ( ).7 ( )) X ( z) z (.7 Y( z) + X ( z)). Durum değişkei. - ve Y( z) X ( z) tir. Çıkış deklemi. X ( z ) ve X ( ) z te Y(z) yerie koyulur ve eşitlikleri " iki tarafı z ile çarpılır ise; zx ( z) U( z) -.7 X ( z) zx ( z).7 X ( z) + X ( z) ters z-döüşümü yapılır ise, x ( k+ ) u( k) -.7 x ( k). Durum deklemi. x ( k+ ).7 x ( k) + x ( k). Durum deklemi. y( k) x ( k) Çıkış deklemi. gözleebilir kaoik form vektör-matris formuda; é x ( k+ ) é -.7é x ( k) é + u( k) x ( k+ ).7 x ( k) ë û ë û é x ( k) y( k) [ ] x( k) elde edilir. Yada, Y( z) z b + b z + b z U( z) -.7z +.7z + a z + a z b b, b a -.7, a.7 yerlerie yazılır geel terimide katsayılar yazılır ise dir. Doğruda gözleebilir kaoik form geel matriside katsayılar 8

50 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Durum değişkelerii sırası değiştirilir ise, xˆ ( k ) yei durum değişkeleri olmak üzere; xˆ ( k). é x x ( k) xˆ ë ( k) û ë û é é é x ( k) xˆ ( k). taımlaır ise; ^ é é-a. é b - ab ˆ x ( k+ ) é x ( k) -a.. b - ab xˆ ( k) ^ x ( k ) a. ë + û ë- û ëb - abû [ ] é xˆ ( k) xˆ ( k)... ëxˆ ( k) û ( )... + bu( k) y k Elde edile durum ve çıkış deklemleri de GÖZLENEBİLİR KANONİK FORM dur.!no: Gözleebilir kaoik formda elde edile durum deklemleride x sistem matrisi Kotrole dilebilir kaoik formda elde edile x sistem matrisii raspoze'sidir. KÖŞEGEN KANONİK FORM (Diagoal Caoical Form): Y( z) G( z) darbe trasfer foksiyou ile verile sistemi kutupları farklı ise (katlı değil ise) U( z) durum-uzay gösterimi köşege kaoik formda gösterilebilir. - b z + b z b Y( z) darbe trasfer foksiyou; olarak düzeleir ise ve tüm payda U( z) z a z... a Y ( z) kökleri (kutuplar) farklı olduğua göre, basit kesirlere ayrılmış olarak aşağıda verildiği U ( z) gibi yazılabiliir. Y( z) c c c U( z) z- p z- p z- p b bu ifade, c c c Y z U z b U z U z U z ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) z- p z- p z- p X ( z) X ( z) durum değişkeleri olarak taımlaır ise; 9 X ( ) z

51 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir X( z) U( z) z - p X ( z) U( z) z - p... X ( ) ( ) z U z z - p bu deklemlerde sırası ile, zx ( z) p X ( z) + U( z) > x ( k+ ) p x ( k) + u( k) zx ( z) p X ( z) + U( z) > x ( k+ ) p x ( k) + u( k). durum deklemi. durum deklemi... zx ( z) p X ( z) + U( z) > x ( k+ ) px ( k) + u( k) yazılır.. durum deklemi olarak ifadeler çıkış deklemi; Y( z) b U( z) + c X ( z) + c X ( z) c X ( z) > y( k) b u( k) + c x ( k) + c x ( k) c x ( k) olarak elde edilir. durum deklemlerii vektör-matris formda aşağıda verilmiştir. é x ( k+ ) é p... é x ( k) é x( k ) p... x( k) + + u( k) ëx ( k+ ) û ë.... pûëx ( k) û ëû Ve çıkış deklemii [ ] é x ( k) x( k) y( k) c c... c + bu( k)... ëx ( k) û yazılır. ÖRNEK: y( k+ ) u( k) +.7 y( k+ ) -.7 y( k) fark deklemi ile verile sistemi durum deklemlerii köşege kaoik formda elde ediiz. verile fark deklemide trasfer foksiyou elde edilir ise; Y( z) A B + > A, B- dur U( z) z -.7z+.7 ( z-.9)( z-.8) z-.9 z-.8

52 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Y( z) U( z) - U( z) U( z) z-.9 z-.8 basit kesre ayrılır. Y( z) U ( z) - U ( z) U ( z) z-.9 z-.8 X ( z) X ( z) U( z) X( z) > zx( z) U( z) +.9 X( z) z -.9 U( z) X ( z) > zx ( z) U( z) +.8 X ( z) ters z döüşümü alıırsa; z -.8 x ( k+ ) u( k) +.9 x ( k). Durum deklemi x ( k+ ) u( k) +.8 x ( k). Durum deklemi. y( k) x ( k) - x ( k) Çıkış deklemi. durum deklemlerii vektör-matris formda é x ( k+ ) é.9 é x ( k) é + u ( k ) x ( k+ ).8 x ( k) ë û ë û yazılır. çıkış deklemi y( k) [ ] éx ( k) - x ( k) olarak elde edilir. Jorda Kaoik Form: Verile trasfer foksiyouda, z p 'de m katlı kök olsu ve diğer kutuplar birbiride farklı olsu. Bu şartlar altıda durum deklemi ve çıkış deklemi aşağıda verildiği gibidir. é x ( k+ ) ép é x ( k) x( k ) P x k) + é (. xm ( k+ ) P. x m ( k) + u( k) xm+ ( k+ ) P + x + k+ ) m m ( x ( k+ ) P ë x( k+ ) û

53 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir é x ( k) x( k) y( k) [ c c... c] + bu( k)... ëx ( k) û Kayak: discrete time cotrol systems Katsuhiko Ogata c c c c Y z b U z U z U z U z U z m m+ ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) m m- ( z- p ) ( z- p ) z- p z- pm+ c c U( z) U( z) z- p z- p m+ + m+ X ( z ) ( ) ( z- p ) U z > m X ( z ) U ( z ) ( z p ) m - - X( z) X ( z) z - p X ( z) X ( z) z - p X ( ) ( ) m z X m- U z ( z) z - p X ( z) z - P kala (-m) adet durum değişkeler; X m+ ( z) U( z) z - p m+ X m+ ( z) U( z) z - p m+ m X ( ) ( ) z U z z - p

54 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir LİNEER DÖNÜŞÜMÜN DURUM DENKLEMLERİNE UYGULANMASI Bezerlik Döüşümü Ayrık-zama sistemleri durum modellerii elde edilmeside farklı modelleri, kotrol edilebilir kaoik form, gözleebilir kaoik form, köşege kaoik form vb. gibi elde edilebilieceği daha öce ifade edilmiştir. Bezerlik döüşümü yardımı ile verile bir sistemi çok farklı sayıda ayrık-durum modeli elde edilebiliir. Durum deklemleri; x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) ve Çıkış deklemi y( k) Cx( k) + Du( k) olarak verilsi. Bu deklemlere lieer döüşüm, x k ' ( ) Px ( k) uygulası. ' x( k+ ) Px ( k+ ) olur. P x matris olmak üzere, x ' ( k) yei durum vektörüdür. Burada, P matrisi tersi alıabilir ve x boyutlu sistem matrisi A ile ayı boyutta matris olmak zorudadır. Lieer döüşümü durum deklemlerie uygularsak, Px '( k+ ) APx '( k) + Bu( k) " taraf P - ile çarpılır ise, - - x'( k+ ) P APx '( k) + P Bu( k) ü ý y( k) CPx '( k) + Du( k) þ yei durum deklemleri, elde edilir. A P AP, B P B, C CP, D D olarak taımlaırsa, - - p p p p x'( k+ ) Ap x'( k) + Bpu( k) üï ý y( k) Cpx'( k) + Dpu( k) ïþ olarak yei durum deklemleri yazılır. Böylece tersi ola her P matrisi içi farklı durum modeli elde edilebiliir. Lieer döüşümde sistemi karakteristik deklemi değişmez. A matrisii karakteristik deklemi; zi A z z z z z z - ( - )( - )...( - ) dır Özellik: - P A P A olduğu hatırlaır ise,

55 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir A p matrisii karakteristik deklemi; - - zi- Ap zp IP- P AP - - P zi A P zi- A Görüldüğü her iki sistem matrislerie ait karakteristik deklemler eşittir. ÖRNEK: é.8 é x( k+ ) x( k) + u( k).9 é x ( k) y( k) [ ] x( k) Durum değişke modeli verile sistemi lieer bezerlik döüşümü yardımı ile yei durum deklemii elde ediiz. Çözüm: Lieer döüşüm matris, x boyutuda tersi alıabile P matrisi keyfi olarak seçilir. é - P olarak seçilsi. P [ ] écof P - ë P û é.5.5 P é.5.5é.8 é - é Ap P AP > Ap Bp Cp - é.5.5é é.5 P B é - CP - [ ] [ ] yei durum deklemii yazarsak; é é.5 ( ) ( ) ( ) ' ' x k+ x k + u k [ ] ' y( k) - x ( k)

56 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir z-.8 - zi- A > z - z+ z İki karakteristik deklem eşittir. z zi- Ap > z - z+.45 z Böylece tersi ola her P matrisi içi farklı durum modeli elde edilebiliir. Lieer döüşümde sistemi karakteristik deklemi değişmez. Lieer Döüşüm İle Sistem Matrisi A ı Köşege Hale Getirilmesi Lieer Döüşüm sistem durum deklemlerii öz-değerlerii değiştirmez. A matrisii diagoal (köşege) hale getire özel lieer döüşüm matrisi elde edilecektir. aım: A matrisi x boyutlu ve öz-değerleri l, l,..., l olsu. Öz-vektörler her bir özdeğer içi taımlaırlar ve x boyutludur. " hagi bir li öz-değerie ilişki öz-vektör ise [ l ] Az l z > I- A z iö i iö i iö deklemii çözümleri ola zi ( x ) boyutudaki vektördür. Her öz-değer içi bir öz-vektör buluur. l içi z [ v v... v ] ö l içi z [ v v... v ]... ö l içi z [ v v v ]... ö x boyutlu A matrisii bütü öz-değerlerii basit ve gerçel olması koşulu halide özvektörlerde oluşa P lieer döüşüm matrisi ; z iö 3

57 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir P öz é v v... v v v... v v v... v ë ZÖ ZÖ ZÖû. sütu. öz-vektör,. sütu. öz-vektöre... aittir. P öz e Bezerlik döüşüm ya da model matris deir. ÖRNEK: é x ( k+ ) é.5 é x ( k) é x ( k+ ) -.5 x ( k) + u( k) ë x3( k+ ) û ë -.7 ûëx3( k) û é x ( k) y( k) [ ] x( k) ë x3( k) û Durum deklemi ile verile sistem lieer bezerlik döüşümü ile sistem matrisi A yı köşege hale getiriiz. ÇÖZÜM: Öce A matrisii Öz-değer ve Öz-vektörleri buluur. A-matrisii karakteristik deklemi; zi- A dır. Karakteristik deklem kökleri özdeğerlerdir. z-.5 - z+.5 - ( z-.5)( z+.5)( z+.7) > z+.7 öz-değerler; l z.5 l z -.5 l z Her bir öz-değere ilişki öz-vektörler aşağıda sırası ile hesap edilir. 4

58 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir z év v v öz z öz ë 3û z l 3 z l év év3 v z3öz v 3 ë v û ë v 33û z3 l3 Öz-vektörler belirlesi. [ l I- A] z [ l ] l z.5> ii- A ziöz > i iöz ì é é.5 üév é -év ï ï Þ.5 5 v v í - - ý - > ï.7 ï î ë - û þë v 3û ë. ûëv 3û - v 3 v- v3.v 3 deklemleri değerledirilir ise, v 3 v olur. Ve v 'i gelişi güzel alıabilirş v olsu, l.5 öz-değeri içi öz-vektör z öz é dir l z -.5 içi, ì é é.5 üév é- -év ï ï Þ.5 5 v v í- - - ý - > ï.7 ï î ë - û þ ë v 3û ë. ûëv 3û -v - v3 - v, 3 ve.v 3 deklemleri sırası ile değerledirilir. ise v v3, v gelişi güzel seçilir, é l -.5 öz-değeri içi öz-vektör zöz l 3 z3 -.7 öz-değeri içi öz-vektörü belirlersek; ì é é.5 üév3 é-. -é v3 ï ï Þ.7 5 v 3. v í- - - ý > ï.7 ï î ë - û þ ë v 33û ë ûëv 33û -.v 3- v33, -.v 3- v33 deklemler yazılır. v3-5v33, v33 -.v3 deklemleri sırası ile değerledirilir. v 33.4 seçilir ise v 3 -., v 3 -. olur. 5

59 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir l 3-.7 öz-değeri içi öz-vektör z3 öz é-.. - ë.4û é v v... v v v... v Pöz olduğu göz öüe alıarak öz-vektörler yerlerie yazılır ve v v... v ë ZÖ ZÖ ZÖû P öz é ë.4û öz-vektörlerde oluşa döüşüm matrisi yada model matris elde edilir. Pöz - é..4 5 > ve ë.4 û x ( k+ ) P AP x ( k) + P Bu( k) ' - ' - öz öz öz y( k) CP x'( k) + Du( k) öz P - öz AP öz é..4é.5 é -. é ë.7 ûë.4 û ë û ë.4 û A P - P P - öz é. é..4é.4 B 5 5 ë.4û ë.4 û - P CP öz é -. [ ]. - [.4] C ë.4 û P Öz-vektör hesabıda lieer bağımlı deklemlerde dolayı öz-değerler içi hesap edile öz-vektörlerde bazı değerler keyfi seçilmek zorudadır. Dolayısı ile her seçile değere bağlı olarak P öz döüşüm matrisi değişecektir. Acak sistem matrisi A yie diagoal (Köşege) olacaktır. P - öz AP öz ayı kalır acak - Pöz B ve CP öz matrisleri değişir. 6

60 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir é. ' ' é x ( k+ ) é.5 é x ( k).4 ' ' x ( k ) x ( k) + 5 u( k) ' ' x3 ( k ).7 x k) ë + û ë - û ë ( 3 û - P AP ë.4û - P B durum deklemleri ve ' é x ( k) ' y( k) [.4] x ( k) ' x 3( k) çıkış deklemi elde edilir. Durum Deklemleride rasfer Foksiyouu Elde Edilmesi: Sisteme ait durum deklemi, x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) ve çıkış deklemi y( k) Cx( k) + Du( k) olarak verilsi. Durum deklemii z-döüşümü alıırsa; zx ( z) - zx () AX ( z) + BU( z) trasfer foksiyou elde edilirke ilk koşullar sıfır alıır. X () ; [ zi- A] X ( z) BU ( z) > - [ ] X ( z) zi-a BU ( z) { } Z f ( t+ ) zf( z) - zf() { } Z f t z F z z F z F zf - ( + ) ( )- ()- () ( -) HAIRLAMA! - -k z F( z) - z å F( k) z k y( k) Cx( k) + Du( k) > Y( z) CX ( z) + DU ( z) X ( z ) ifadesi Y( z ) te yerie koyulur. - { [ ] } Y( z) C zi- A B+ D U( z) Y( z) U( z) - [ A] ( z) c zi- B+ D 7

61 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir AdjA [ cof ( zi- A)] B+ zi- A D G( z) ( z) C zi- A + G( z) H( z)! zi- A + G( z) H( z) Karakteristik Deklem. ÖRNEK: é é.5 x( k+ ) x( k) + u( k) y( k) [ - ] x( k) durum deklemi ile verile sistemi trasfer foksiyouu elde ediiz. éz z-.35 [ zi A] zi A z z cof:kofaktör cof [ zi A] éz z-.35 [ zi A] [ - A] - écof zi - ë zi- A û éz z+.7ë -.45 z-.35û z D olduğuda; - éz é.5 [ - ] [ - ] ( z) C zi A B z -.7z+.7 ë -.45 z-.35ûë.5û ( z) z -.7z+.7 Durum Deklemlerii Çözümü : İlk durumlar x() ve u(j) j,,,... biliiyor ise, x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) y( k) Cx( k) + Du( k) lieer-zamala değişmeye durum deklemlerii çözümüü elde etmeye çalışılsı. 8

62 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Çözüm elde edilirke sırası ile k,,,... değerleri verilsi. k x() Ax() + Bu() k x() Ax() + Bu() A x() + ABu() + Bu() k x A x A Bu ABu Bu 3 (3) () + () + () + () Çözüme devam edilirse, k. terim içi k- k ( k- - j) x( k) A x() +å A Bu( j) elde edilir. j k eğer A f( k) olarak taımlaırsa, f ( k) Durum geçiş matrisi olarak adladırılır. k- å f ifadesi elde edilir. j x( k) f( k) x() + ( k- - j) Bu( j) Bu ifade y(k)' da yerie koyulur ise, k- å y( k) Cf( k) x() + Cf( k- - j) Bu( j) + Du( k) j Çıkış ifadesi elde edilir. ÖRNEK: é é x( k+ ) x( k) + u( k) - -3 ve x(), u( k) k,,... [ ] y( k) 3 x( k) olarak verildiğie göre x(k) ve y(k) değerlerii ardışıl olarak elde ediiz. x() é x() + é u() > x() é

63 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir é y() 3 > y() [ ] x() é x() + é u() é é y() [ 3 ] > y() - é- x(3) y(3) - 5 é 5 x(4) y(4) 5 - Formül kullaarak hesaplası. é é é- -3 A k içi hesap yapalım. - j x() A x() A Bu( j) +å j é ë û é é- -3é é é é ë - - 3û A ë I BİRİMMARİS û é é + + > -3 é x() - - j 3 é- - é é é y() [ 3 ] [ 3 ] + å j f - -3 ë 6 9 ûë û C f A x ()

64 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir é é é f+ [- ] [ 3 ] + é + 3 > y() [ ] Durum Geçiş Matrisii z-döüşüm Metodu ile Elde Edilmesi: x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) olarak verilsi. Durum geçiş matrisi sitemi serbest davraışı ile ilgilidir. u(k) alıır. x( k+ ) Ax( k) > zx ( z) - zx () AX ( z) > - [ ] X ( z) z zi- A X () ve - { ( ) } { [ ] } elde edilir. x k X z z zi A X - - ( ) ( ) [ - () Durum geçiş matrisi sitemi serbest davraışı ile ilgilidir. u(k) alıır (kayak yok). { - [ ] } x k z zi A X - ( ) - () geel çözüm ile karşılaştırılır ise, k- j olur olduğ uda å ve x( k) f( k) X () + f( k- - j) B u( j) - { } - x( k) f( k) x() dır. Ve [ - ] karşılaştırılır > x( k) z zi A X () [ deklemi ile f( ) - { z[ zi ] } - k z zi- A Durum Geçiş Matrisi elde edilir. ÖRNEK:

65 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir A é - -3 verildiğie göre durum geçiş matrisii buluuz. éz - - z+ 3 [ zi A] ise zi A z z z z ( + )( + ) é [ ] é( z+ 3) z+ z+ z+ z+ zi A - ( z+ )( z+ ) z ë - û ë z+ z+ z+ z+ û ìé z z z z ü z z ï f( k) - ] } A { z[ zi A] } í ï z z ý ï - z z -z z + + ï ïî ë z+ z+ z+ z+ û ïþ k k k k é ( -) - (-) (-) - (-) k k k k ë-( - ) + ( -) -(- ) + ( -) û Hatırlatma: ters z-döüşüm içi d x( k ) ( z- z ) X ( z) z å i ( m- ) m- m k- é m- i! dz ë û z zi A éa b c d A é d b ad- dc -c a - - Hatırlatma:

66 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir f ( k) Durum geçiş matrisii matris özellikleri: ) ) f () I A f f f k+ k k k ( k + k ) A A A ( k ) ( k ) 3) - k k - - f( - k) A é ëa û f( k) veya f( k) f( - k) - Sürekli-zama Durum Deklemleride Zamala Değişmeye Ayrık-zama Durum Deklemlerie Geçiş Sürekli sistem durum deklemleri; x( ( t ) Ax ( t) + Bu( t) y( t) Cx( t) + Du( t) olarak verilsi. x ( t ) - Ax Bu Ax şeklide yazıp her iki tarafı At e - ile çarparsak; At e - At ( x ( t )- Ax ) e - Bu( t) ot: * ì d e - At ( t Ae - At x At ( t ) e - x t - + ( ) ïdtë ée x( ) û í * ï - At ïî e [ x( ( t ) - Ax ( t) ] olmak üzere, d e - At x At ( t ) e - é Bu ( t ) dt yazılabilir. Bu ifadei -t aralığıda itegrali alıır ise, t - At - At e x( t) x() +ò e Bu( t ) dt ve her tarafı At e ile çarparsak; t At - A( t-t ) ( ) () ( ) x t e x e But dt +ò At e f( t) taımlaır ve durum geçiş matrisi olarak isimledirilir. 3

67 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir t x( t) f( t) x() + ò f( t-t ) Bu( t ) dt { } edilir. t içi geel çözüm elde t ¹ içi t +ò f ( t-t ) t A( t-t ) A( t-t ) x( t) e x( t ) e Bu( ) d t t Çıkış ifadesi ise, elde edile x(t) geel çözüm y(t) ifadeside yerie koyulur ise, é t y( t) Cf( t- t) x( t) + òf( t- t ) Bu( t ) dt+ D( t) u( t) ë t û elde edilir. Ayrık-zama Durum deklemlerii elde edilmesi: İki örekleme zama aralığıı k t< k+ düşüelim. Bu amaç içi t k ve t k+ alıır ve bu aralıkta kotrol işareti u( t ) u( k ) sabit kabul ederek ( ZOH lu yaklaşım) u(t) t u(k) t k (k+) ( k+ ) [ + ] [ + - ] x ( k ) f( k k ) x( k ) f ( k ) t Bu( k ) dt ( k+ ) [ + ] + [ + - ] x ( k ) f( ) x( k ) f ( k ) t Bu( k ) dt ò k ò k 4

68 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir [ ] f ( k+ ) - t Bu( k ) dt f( ) x( k ) + g ( ) u( k ) u( k ) giriş örekleme aralığıda sabit alıdığıda, itegral ifadesi; ( k+ ) [ ] ò olarak taımlaır; g ( ) f ( k+ ) -t Bdt k ( k+ ) A( k+ ) - A e e t d g ( ) ò t dir. k ( k+ ) A( k+ ) - At g ( ) e ò e Bdt veya örekleme aralığı içi k alıır ise t aralığı içi; k é - At g ( ) e A é ò e dt B ë û é - At g ( ) e A é e dt B ò ë û olarak elde edilir. At A f ( t) e ve f ( ) e olduğu hatırlaır ise, f( ) f ( t) t dir ve Sürekli zama durum deklemleride ayrık zama durum deklemleri [ ] x ( k+ ) f( ) x( k ) + g ( ) u( k ) y( k ) Cx( k ) + Du( k ) elde edilir. Sürekli zamada Durum Geçiş matrisii elde edilmesi: Sistemi durum geçiş matrisi sadece serbest davraışı ile ilgilidir. Çözümde u(t) alıır. 5

69 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir x( ( t ) Ax ( t) Þ sx( s) - x() Ax( s) Þ sx( s) - Ax( s) x() Þ - [ ] x( s) si- A x() elde edilir. ers Laplace alıır ise, - { ( s) )}Þ x( é[si[ - ] x( t) - - x s Þ t) é A - x() ë [ si û serbest davraış içi elde edile çözüm x(t) ile u(t) içi geel çözüm içi elde edile x(t) karşılaştırılır ise, x( t) f( t) x() Burada, olduğu görülür. Sürekli zama durum geçiş matrisi, f( ) - { [si A] } [ dir. - At t si- A e Sürekli zama sistem durum geçiş matriside ayrık zama sistem matrisi f ( ), Ayrık zama durum geçiş matrisi, f( ) f ( t) t ile elde edilir. Örek: Sürekli zamada; é x ( t ) é- é x ( t) é u( t) t x( t) + ë x ( ) û ë - û é x ( t) y( t) [ ] x( t) durum deklemlerii elde ediiz. durum deklemleri ile verile sistemi Ayrık-zama 6

70 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Çözüm: İşlem basamakları kısaca aşağıda verildiği gibidir. ) f ( t),sürekli zama durum geçiş matrisi buluur, sora t verilerek ayrık zama f elde edilir.. durum geçiş matrisi ( ) ) g ( ) ifadesi, é - At g ( ) e A é ò e dt B ë û ile hesaplaır. f ( ) ve g ( ) ifadeleri kullaılarak ayrık-zama durum deklemleri, [ ] x ( k+ ) f( ) x( k) + g ( ) u( k) olarak elde edilir. Öce, sürekli zama durum geçiş matrisi, f ( t) elde edilir. é és+ - s+ ( s+ )( s+ ) - s Þ - ë + û ë s+ û - [ si A] [ si A] NO: ( ) A B + s+ ( s+ ) s+ s+ - s+ s+ dir. A, B- -t -t -t - - ée e - e ë é(si I- A) -t f( t) ë e û edilir. durum geçiş matrisi olarak elde ÖZELLİK: f () I olmalıdır. é f() olur. f ée e - e ( ) f( t) Þ f( ) t - ë e û 7

71 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir e ée e - e At f( - t ) - ë e û -t t t t é - At ée e - e ì ï ée e - e ïü é g ( ) f( ) ò e dt B dt - í t ý ë e ò ûïî ë e û ïë þ û ée e - e é t t t e dt ò( e - e ) t t t dt ò t e t ë û ë ò ò e dt dt û t t t ée e - e e ë t û t t t ée e - e ée e - e é - t e e ë û ée - e - e - ée e - e é - e e - ë û é- e - e - e + e - e - + e - é - e e - ë û - é- e g ( ) ë û [ ] [ ] é x ( k+ ) ée e - e é x ( k ) é- e u( k ) - x ( k ) + e x( k ) ë + û ë û Ayı g ( ) bağıtısı ikici yolda elde edilebilir. A - At A( -t ) ò ò g ( ) e e Bdt e Bdt değişke değiştirmesi yapılır ise, - t l dersek, d d t Þ l - t l ( sabit) ve 8

72 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir t Þ l sıır değerler göz öüe alıır ve d - d yazılır æ ö Al Al g ( ) (- e dl) Bç e dl B è ø ò ò bağıtısı elde oluur l -l - l é e e e æ ée e - e ö é g ( ) dl B -l - Þ ç ò e e è ø - + ë û - é- e g ( ) ë û t l 9

73 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir DURUM UZAY KARARLILIK ANALİZİ Kararlılık aalizi BIBO kriteri kullaılarak yapılabilir (bouded iput,bouded output). Sıırlı giriş içi sıırlı çıkış ürete sistem kararlıdır. Durum-uzay kararlılık aalizi yötemleride birisi trasfer foksiyouda yararlaarak yapılmasıdır. x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) y( k) Cx( k) + Du( k) ile verile sistemi trasfer foksiyou; Y ( z ) - ( z) C[ zi A] B D U( z) - +, [ ] trasfer foksiyoua eşitleir ise Adj( ( A ) [ ] cof ( zi- A) B+ zi- A D G( z) ( z) C zi- A + G( z) H ( z) zi- A - ifadesii açarak yazılır ve kapalı çevrim elde edilir. Bu ifadelerde kararlılık aalizi içi gerekli ola karakteristik deklem, F( z) + G( z) H( z) de t( zi- A) olduğu görülebilir. F(z) karakteristik deklem kökleri ayı zamada öz-değer olarak adladırılır. ÖRNEK: A.43 é iceleyiiz. sistem matrisi ile verile ayrık-zama sistemii kararlılığıı i) éz-.43 det( zi- A).37 z-. 64 det( zi- A) ( z-.43)( z-.64) Þ z.43 ve z.64 dir. karakteristik deklem köklerii tümü birim daire içidedir. SİSEM KARARLIDIR. jw z s z.43.64

74 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Jury kriteri ile karalılık aalizi yapılabilir; Karakteristik deklem F( z) z -.7z+.75,olmak üzere, karakteristik deklem derecesi dir. Gerek koşullar i) F() > Þ F().5 > ' dır ii) (-) (-) Þ (- ).345> ' F F dır Yeter koşullar i) - tae koşul sağlamalıdır. a > a, olmalıdır. >.75 dır. Gerek ve yeter koşul sağladığıda kapalı-çevrim trasfer foksiyouu tüm kutupları birim daire içidedir. SİSEM KARARLIDIR. Liapuov Kararlılık Kriteri No-lieer sistemleri kararlılığı icelemeside e öemli teorilerde birisi Rus Matematikçi Alexader Mikhailovich Liapuov tarafıda gösterilmiştir(89). Liapuov u. Kararlılık kriteri, diamik bir sisteme ilişki diferasiyel deklemi çözümüü elde etmeksizi deklemi biçimide diamik sistemi kararlı olup olmadığıı saptamasıı sağlar. Liapuov, sistemi içide biriktirile eerji ile sistemi diamiği arasıda bağlatı kuracak bir foksiyo taımlamıştır. Eğer toplam eerji, sistem dege durumua ulaşıcaya kadar sürekli azalır ise bu sistem kararlıdır. Sistemler içi yazıla eerji foksiyoları kesi pozitiftir (positive defiit). oplam eerjisi sürekli azala bir sistemde ise eerji foksiyouu zamaa göre türevi egatif olur. Liapuov eerji foksiyouu zamaa göre türevi egatif olur. Liapuov eerji foksiyouu kesi pozitif olma özelliğide ve kararlı sistemi eerji foksiyouu bu özelliğide yararlaarak. Kararlılık kriteri verilmiştir. Bu kriter sadece diferasiyel deklemi yapısıda kararlılık icelemesi yapma olaağı verdiğide Liapuov u Doğruda kriteri diye adladırılır. Bu teorem, eğer uygu bir Liapuov foksiyou buluabilirse kararlılık hakkıda bir şey söyleyebilir. Eğer foksiyo buluamazsa bir şey söyleyemez. Liapoov u. Kararlılık Kriteri: Bir kotrol sistemie ait diamik deklem,

75 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir dx bütü t ler içi f ( x, t) dt f (, t ) biçimide verilmiş olsu. v(x,t), Lyapuov foksiyou ağıdaki 3 şartı sağlamalıdır. - Sürekli ve birici mertebede türevi olmalı. -Kesi pozitif foksiyo olmalıdır. 3- dv( x, t) dt kesi egatif olmalıdır.,, ve 3 şartlarıı sağlaya bir skaler foksiyo (değeri skaler ola foksiyo, ff(p), p y bağlı olarak f i değeri skalerdir.) buluabilir ise, bu sistemi başlagıç oktasıdaki kararlılığı düzgü asimtotik kararlılık özelliğidedir. İlave olarak sosuza giderse, sistem düzgü asimtotik geiş alamda kararlıdır deir. x * içi v(x,t) x * / é ë x x û v(x,t) skaler Liapuov foksiyouu buluması içi doğruda doğruya bir yol olmadığı ve v(x,t) i elde edilmesii zorluğu göz öüde buludurulmalıdır. x, x,..., x i foksiyou ola skaler foksiyo v(x) - i) v(x)>, x¹ ii) v() x * / é ë x x û vektörü ormu deir. İse v(x) Kesi pozitif foksiyo olarak adladırılır. - i) v( x ) ³, x¹ ii) v() ise v(x) Yarı kesi pozitif foksiyo olarak adladırılır. 3- Eğer v(x) Kesi pozitif foksiyo ise v(x) Kesi egatif foksiyodur. 3

76 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir x ÖRNEK: ile iceleyiiz. dx ( x + x ) x - - x dt dx ( x + x ) x dt x- ÇÖZÜM:, x da kararlı ola sistemi, kararlılığıı Liapuov. Kriteri yardımı v( x ) Liapuov foksiyou ve ) v( x) x + x olarak seçelsi. i) v( x), x, x > ¹ ¹ ü ý þ ii) v(), x, x olduğuda v(x) skaler foksiyou kesi pozitiftir ) dv( x) dx x + x dt dt dx dt ì ( x + x ) x ü ì ( x + x ) ü xí- - xý+ xíx - xýþ î þ î þ ( x + x ) x ( x + x ) -x - x x + x x - x -x - x x - x x - x ( x + x x + x ) 4 4 dv( x) - ( x + x ) kesi egatif foksiyodur. dt Yukarıdaki taımda ifade edildiği fibi seçile v(x,t) skaler foksiyou koşulları sağladığıda ve x içi v( x ) da olacağıda sistem başlagıç dege durumuda geiş alamda asimtotik olarak kararlıdır. 4

77 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir ÖRNEK: Bir sarkaç sistemii ele alalım ve karalılığıı Liapuov kararlılık kriteri ile iceleyelim. q l Dq l mg siq x mg m Dx Sarkacı et hareket ettire kuvvet, å F ma dır. Şekilde D x ld q Dx Dq dx dq l olarak düzeleir ise, l elde edilir ve Dt Dt dt dt yazılır ve d x d q l olarak yazılabilir. dt dt Newtou. Kauu yazılırsa, k hava ile sürtüme katsayısı (söüm katsayısı) olmak üzere, d x dx m + k + mg siq dt dt d q dq ml + kl + mg siq dt dt q q + + siq dt m dt l d k d g Sarkaç sistemi diamik deklemi elde edilir. Bu ifade yardımı ile öce durum değişkeleri taımlaır sora durum deklemleri elde edilir; 5

78 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir x i) Durum değişkeleri taımlaır. q koum x dx dt dq dt hız taımlaa durum değişkeleri q q - - siq ifadeside yazılır ise, dt m dt l d k d g d dt dx dt q olmak üzere, é dx ( t) dt é é x ( t) g k dx ( t) si x x ( t) - - l m ë dt û ) dx ( t) k g - x- si x. Durum deklemi. dt m l dx ( t) x. Durum deklemi. dt dx Sistemi dege oktası içi x ve x dır. ürevleri, eğer dt ve dx > orji dt (,) sistem içi dege oktasıdır. dx x, ( x x içi) dt æ dx dx ö ç, (,) dır, è dt dt ø dx g k - si ()- () dır. dt l m x x Orji dege oktasıdır. ) Orjide asimtotik kararlımıdır, yoksa sadece kararlımıdır? Asimtotik kararlılık testi içi Lyapoov foksiyou 6

79 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir v() ü ý v( x) > ( kesi pozitif ) þ dv( x) < ( kesi egatif ) dt kesi pozitif şartlarıı sağlar ise sarkaç sistemi asimtotik kararlıdır. Eğer, dv( x) şartıı sağlar ise sadece kararlıdır. dt i) Öce Lyapoov foksiyouu yazmaya çalışalım. LF (Liapuov fok.) sisemi Lyapoov foksiyou potasiyel ve kietik eerjileri cicide yazılacak, a) Sarkaç sistemii kietik eerjisi; q E E k mv dq m ( l ) dt k Þ V Çizgisel Hız V w* l dq w ( açısal hız) dt dq V l dt Sarkaç sistemii Kietik eerjisi E E b) Sarkaç sistemii potasiyel eerjisi > p k ml mgh dq ( ) dt 7

80 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir q q cosq h h l-l cosq Þ h l(- cos q) Sarkaç sistemii potasiyel eerjisi E mgl(- cos q) Sarkaç sistemii toplam eerjisi; E Ek + Ep dq ( ) + (- cos q) dt E ml mgl Lyapoov foksiyou, durum değişkeleri ciside, V ( x) E ( x) ml x + mgl(- cos x ) olarak elde edilir. Liapuov foksiyou - x içi x x Þ V () ' dır. p x ¹, x ¹ Þ V( x) > ' dır. kesi pozitif bir foksiyodur. - Liapuov foksiyou. ürevi alıır. dv ( x) dv æd x ö dv æd x ö + dt d x dt d x dt ç ç è ø è ø (zicir kuralı uygulayarak, dv ( x) dt elde edilir) dv ( x) d x mgl si x d x x d t dv ( x) d x ml x d x k g - x- si x tüm türevler dt m l dv ( x) dt de yerie koulur> dv ( x ) mgl si x * x+ ml x( - k x g - si x ) dt m l 8

81 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir dv ( x) dt mgl si x * x -kl x - mgl si x * x - kl x dv ( x) dv ( x) Asimtotik kararlımıdır? < olmalıydı. < e bakılır ise, tüm x değerleri dt dt dv ( x) dv ( x) içi < değildir. x içi göz öüe alıır ise dır. dt dt!dikka: Liapuov a göre sistem sadece kararlı gözükmektedir, asimtotik kararlı değildir. Acak sarkaç sistemii göz öüe aldığımızda, sarkaç, zamala söüm katsayısıda dolayı, eerjisi zamala azalacak (,) orji de dege oktasıda duracaktır. Ve asimtotik olarakta kararlıdır. Zamala Değişmeye Sistemleri Liapuov Foksiyou; dx Ax dt olarak verilsi, Liapuov foksiyou, V( x) x px olarak seçilsi ve. mertebede türevi alıır ise, dv ( x) dx dx Px+ x P dt dt dt dx Ax dt olduğu göz öüe alıır ise, ( Ax) px+ x pax A x px+ x pax dv ( x) dt x ( A p+ pa ) x Q V(x) skaler foksiyouu Liapuov foksiyou olabilmesi içi olması gerekmektedir. Buu içi Q kesi pozitif olmak üzere dv ( x) dt i kesi egatif dv ( x) - x Qx biçimide yazılabilir. dt 9

82 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir { A p pa I} Örek: + - yapılarak çözüm buluur. ) dx é-4 3 x dt - - sistemi kararlılığıı belirleyiiz. Simetri p matrisi; A p+ pa- Q ve Q I matrisi olarak seçelim. é-4 -é p p é p pé-4 3 é p p p p deklem çözülürse; (p matrisi kesi pozitif ise sistem asimtotik olarak kararlıdır) [-4 p - p + 3p - p - 4p - p + 3p - p ] -4 p - p - 4 p - p - -4 p - p + 3p - p 3p - p + 3p - p 3p - p + 3p - p - é p - 3 ë 7 7û 9 D > D - > Miörler pozitiftir. Sistem asimtotik olarak kararlıdır. Örek: ) dx é- x dt - kararlılığı iceleyiiz. A p+ pa-q ve Q I matrisi olarak seçelim. é- é p p é p pé- é- + - p p p p p + p - p+ p -ü é ï p + p - p ý p - p- p - ï þ kararlıdır. ë6 û D > 3 D - > sistem asimtotik

83 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir ÖRNEK:. x -x - x. x x - 4x sistemi dege durumuda kararlılığıı iceleyiiz. (stability of the equilibrium state) ÇÖZÜM: Dege oktası orjidedir veya x dır. é dx dt é- -é x dx 4 x ë - û ë dt û A' p+ pa-i p p ' é- é p p é p pé- - é p p p p p p - ü é - ï 6 - p - 5p + p ý p -7-4 p - 8p - ï þ ë 6 6û 63 D > D - > P matrisi kesi poazitif matristir. Sistem orjide asimtotik olarak kararlıdır. Liyapoov foksiyou, [ ] é é x - ë 6 6û 7 x V ( x) x ' px x x é 3 x - 4 x x + x 6 dv ( x) -x - x dt ë û ve türevi ise dir.

84 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir EK Bilgi: Quadratik Form (Karesel Form): x gerçek simetrik A matrisi ve gerçek - boyutlu x vektörü olmak üzere, x Ax ååaij xi x j aij aij dir. i j Gerçek quadratik form olarak adladırılır. ÖRNEK: é - é x 4 x - xx + 4xx3 + x + 8x3 x x x x [ 3 ] - x x ë 8 ûë x 3 û Quadratik form içi kesi pozitiflik kriteri (sylvester kriteri): x Ax quadratik formu kesi pozitif olabilmesi içi gerek ve yeter koşul a a a a a a >, >, a a a >,..., ve A > olmalıdır. 3 3 a a a3 a3 a33 A x Ax Quadratik form kesi egatiflik kriteri (sylvester kriteri): a a a a < a a,, <,..., 3 > a a a3 a a a3 a3 a33 A > ( çift) A < ( tek) simetrik matris içi, dikkat miörler içide, tek ise det<, çift ise det> dır. Quadratik form içi yarı kesi pozitiflik kriteri (sylvester kriteri): aii aij aik a ³, aji ajj ajk ³,, A i< j< k ij aki akj akk Quadratik form içi yarı kesi egatiflik kriteri (sylvester kriteri): a ij a gerçek ji

85 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir aii aij aik aii aij a ij, a ji a ³ aji ajj ajk,, A i< j< k jj aki akj akk ZAMANLA DEĞİŞMEYEN AYRIK-ZAMAN LİNEER SİSEMLERİN LYPONOV KARARLILIK ANALİZİ Ayrık-zama sistem, x( k+ ) Gx( k) ile taımlı olsu. x dege oktasıdır. Liapuov foksiyou olarak, V( x( k)) x ( k) px( k) olarak seçelim. P kesi pozitif gerçek simetrik matristir. D V( x( k)) V( x( k+ )) -V( x( k)) x ( k+ ) px( k+ ) - x ( k) px( k) ve x( k+ ) Gx( k) olduğu düşüülür ise, [ ] [ ] Gx( k) p Gx( k) - x ( k) px( k) x ( k) G pgx( k) - x ( k) px( k) D V( x( k)) x ( k) é ëg pg- p û x( k) Asiptotik kararlılık içi V(x(k)) kesi pozitif seçilmelidir. Buu içi D V( x( k)) kesi egatif olmalıdır. D V( x( k)) - x ( k) Qx( k) Q-( G pg- p) kesi pozitif olmalıdır. ( G pg- p) - Q p i kesi pozitif olması gerek ve yeter koşuldur ÖRNEK: é x ( k+ ) é é x ( k) x( k+ ) x k) ë ( û G sistemi orji kararlılığıı belirleyiiz. Q I seçelim. G pg- p- Q 3

86 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir é -.5é p pé é p p é p p p p Eğer p matrisi kesi pozitif ise oriji x da geiş alamda asimtotik olarak kararlıdır..5p- p - ü é 8 ï 5 5.5( - p + p) - p ý p 8 4 p- p ï þ ë 5 5 û , p, p, p ) 5 > dır. ) det( p) p ( - ) ve de p kesi pozitif matristir. 4

87 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir KONROLEDİLEBİLİRLİK VE GÖZLEMLENEBİLİRLİK KONROLEDİLEBİLİRLİK Eğer bir sistemi tüm durumları her hagi bir ilk değerde istee bir değere solu zamada getirilebiliiyor ise o sistemi tüm durumları kotrol edilebilir deir. Herhagi bir durum değişkei kotrol işaretide bağımsız ise, bu durum değişkeii kotrol etmek imkasızdır. Buda dolayı bu sistemi tüm durumları kotrol edilemez. Kotrol edilebilirlik, özdeğer atama (kutup yerleştirme), optimal kotrol, sistem taımlama v.b gibi birçok kotrol problem çözümü içi gerek koşuldur. aım: x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) sistemi, eğer u(),u(),...,u(n-) solu N adet girişleri ile sistemi durum değişkeleri x() ilk değeride so durum x(n-)'e getirilebiliiyorsa sistem kotrol edilebilir deir. Yukarıda verile taım acak, u( k) geliğii sıırsız olması durumuda geçerlidir. Eğer u( k ) geliği sıırlı ise, örekleme N adette daha fazla olması gerekmektedir. Bu teoreme göre, açık çevrim x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) sistemii tüm durumları kotrol edilemiyor ise, A sistem matrisii e az bir adet öz değeri kotrol kuralı u(k) ile değiştirilemez. Bu gibi durumlarda tüm öz-değerleri ataabilmesi içi geri besleme kuralıda itegral ve türev terimleri bulua diamik kotrolör kullaılmak zorudadır. Diamik kotrolör sistem derecesie artırmaktadır. Şekilde verile kotrol sistemide u(k) kotrol işaretii üst blokta(moda) herhagi bir etkisi olmamaktadır. Buda dolayı sistemi tüm durumları kotrol edilemez. u(z) z z-.9 z z-.8 Y(z) üm durumları kotrol edilemeye sistem.

88 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir üm durum değişkelerii Kotrol edilebilirlik şartıı elde dilmesi: Lieer zamala değişmeye ayrık zama sistem, x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) ve x () biliiyor. y( k) Cx( k) sistemide k,,..n içi x(k+) yazarsak, k x() Ax() + Bu() k x Ax + Bu A x + ABu + Bu () () () () () ()... N N- x( N) A x() + A Bu() ABu( N- ) + Bu( N- ) ifadesi éu( N-) u( N- ) é... ë u() û N N- A x() + ë B AB... A B û KotrolEdilebilirlikMatrisi éu( N-) é u( N ) - B AB... A B x N - A x... ë V û ë u() û N- N... ( ) () şeklide düzeleir ise, x(n) ve x() bilidiğie göre, N adet bilimeyei çözülebilmesi içi N adet deklem gereklidir. Durum vektörü x(k) ı derecesi 'dir. Çözümüü olabilmesi içi katsayı matrisii rak[ V] olmalıdır. Bir ayrık sistemi tüm durumlarıı kotrol edilebilmesi içi kotrol edilebilirlik matris [ V ] i rakıı tam olması gerekir. Sistemi derecesi ise rak[ V] olmalıdır.

89 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Souç olarak, N- rak[ V] rak[ B AB... A B] şartı tüm durum değişkeleri kotrol edilebilirlik içi gerek ve yeter koşuldur. ÖRNEK: A B é-. é x( k+ ) x( k) + u( k) -.8 [ ] y( k) - x ( k ) C Durum deklemi ile verile sistemi kotrol edilebilirlik testii yapıız: AB é-. é é é -. V [ B AB] -. rak[ V ] dir., x matris tersi alıamaz. Matrisi rak Sistem derecesi dir. Sistemi adet durum değişkei mevcuttur. Acak Kotrol edilebilirlik matrisi rak[ V ] dir. Acak bir durum değişkei u(k) işareti ile kotrol edilebilir. matrisii tersi alıamaz. Matrisi rak sistemi tüm durum değişkeleri kotrol edilemez.(matrisi tersi alıamaz). 3

90 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir z-düzlemide tüm durumları kotrol edilebilirlik şartı: Darbe trasfer foksiyouda, tüm durumları kotrol edilebilirlik gerek ve yeter koşul içi darbe trasfer foksiyouda pay ve payda arasıda yok etme oluşmamalıdır. Oluşur ise sistem yok edile mod doğrultusuda kotrol edilemez. Y( z) z+. z+. ÖRNEK: U( z) z + z+.6 ( z+.8)( z+.) z+.8 Bu yok etmede dolayı sistem durum değişkeleri tümüyle kotrol edilemez. Ayı souç durum değişkeleri ile de elde edilir. Sistem durum ve çıkış deklemleri, é x ( k+ ) é é x ( k) é + u( k) x ( k+ ).6 x ( k).8 ë- - û ë- û ile gösterilebilir. é x ( k) y( k) [ ] x( k) ë û ë û é -.8 V [ B AB] rak[ V].8.64 Þ ë- û dir. Kotrol edilemez. é KONROLEDİLEBİLİRLİK dx( t) dt Ax( t) + Bu( t) durum deklemide, z t döüşüm yapılır ise, - L P AP, B P B, * - * C - ( ) P x( t) olmak üzere lieer CP olur. dz( t) dt * L z( t) + B u( t), L diag{ li} diag{ l, l, l3,... l} durum deklemide L matrisi diagoal matris olmak üzere, tüm x( t ) durum değişkelerii kotrol edilebilmesi içi, sıfır değerli satırı olmamalıdır. * B matrisii hiç bir 4

91 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir æ dx ( t) ö ç dt æ- öæ x ( t) ö æö u( t) è ø ç è dt ø ç ç ç + dx ( t) x( t) ç ç è - ø èø (Sistem matrisi diagoal (köşege) formuda!!!!) dx ( t) - x ( t), x dt ( t ) durum değişkei u( t ) girişii bir foksiyou değildir. Buda dolayı x ( ) t durum değişkei u( t ) girişi tarafıda etkileemez. Dolayısı ile, x ( ) t durum değişkei kotrol edilemez. dx ( t) - x( t) + u( t) u( t ) girişi dt x ( t ) durum değişkeii ektilediğide x ( t) değişkei u( t) girişi ile kotrol edilebilir. Yukarıda çözüle örek tekrar ele alııp kotrol edilebilirliği iceleecektir. A é-. é x( k+ ) x( k) + u( k) -.8 [ ] y( k) - x ( k ) C B A matrisii özdeğerleri z.8 ve z-. dir. Bu öz-değerler içi elde edile öz-vektörlerde oluşa döüşüm matrisi p elde edilir ve A matrisi diagoal hale getirilir. é.77 p > Öz-vektörlerde oluşa döüşüm matrisi. - é.8 p AP -. - é p B.44 x k P APx k P Bu k - - ( + ) ( ) + ( ) 5

92 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir é x ( k+ ) é.8 é x ( k) é + u( k) x ( k+ ) -. x ( k).44 ë û ë û x ( k ) durum değişkei u(k) kotrol işareti ile kotrol edilememektedir. GÖZLENEBİLİRLİK: x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) y( k) Cx( k) Durum deklemi ile verile sistemi herhagi ilk durumu x(), N adet solu y(), y(),.,y(n-) ölçümde tüm x () durum değişkeleri hesaplaabiliyor ise, sistem tümüyle gözleebilir deir. Gözleebilirlik, ölçülemeye durum değişkelerii elde edilmeside kullaılır. Bazı geri beslemeli gerçek zama kotrol sistem uygulamalarıda, bir kısım durum değişkelerii ölçümü içi o durum değişkelerie doğruda erişemeyebilir. Bu durumda, geri besleme kotrol işaretii oluşturmak içi ölçülemeye durum değişkelerii kestirilmesi gerekmektedir. Durum kestirmekte gözlemleebilirlik öemli rol oyar. u(z) z z-.9 z z-.8 Y(z) Yukarıda verile şekilde, sistemde üst blok u çıkışa etkisi olmadığıda o mod a ait durum gözleemez (durum değişkei hesap edilemez). üm durum değişkelerii Gözleebilirlik içi gerek ve yeter şartlarıı elde edilmesi; x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) durum deklemide u( k ) alıır (edei aşağıda açıklaacaktır). 6

93 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir k,,,..,n- içi [ ] x ( k+ ) Ax( k) ve y( k) cx( k) Yazılır ise, x() Ax() x Ax A x... () () () x N A x N- ( - ) () y() Cx() y() Cx() CAx()... y N Cx N CA x N- ( - ) ( - ) () Elde edilir. X(N-) ifadesi y(n-) de yerie koyulur ise, matrisel formda, é y() é C é C y() CA CA x () O elde edilir ë y( N-) û ë CA N N û CA - O üm durumları gözleebilmesi içi, [ O ] Gözleebilirlik Matrisi olmak üzere, gerek ve yeter koşul rak[ O] ë û NO: Gözleebilirlik şartıı elde edilmeside Serbest davraışı alıma sebebi; k- k k- j- å x( k ) A x() + A Bu( j) j y( k ) Cx( k ) + Du( k ) A,B,C,D matrisleri ve u(k) girişleri bilimektedir. Buda dolayı çıkış deklemi; k- k k- j- å y( k ) CA x() + CA Bu( j) + Du( k ) j SabitBilieDeğerlerdir e elde edilir. Çıkış deklemide k- k- j- CA Bu j + Du k å j ( ) ( ) terimi sabitlerde oluşmaktadır ve bilimektedir. 7

94 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Bilie bu sabit değerler gözlee y(k) değeride çıkarılabiliir. ÖRNEK: A é-. é x( k+ ) x( k) + u( k) -.8 [ ] y( k) - x ( k ) C Durum deklemi ile verile sistemi Gözleebilirlik testii yapıız: é-. CA [ ] [.8.8] C O é é - CA durumları gözlemleemez sadece adet durum gözleebilir. Z-düzlemide gözleebilirlik şartı: B sistem derecesi. rak[o] dir. Sistemi tüm üm durumları gözleebilir olması içi, trasfer foksiyouda kutup-sıfır yok etmesi bulumamalıdır. Eğer, kutup-sıfır yok etmesi oluşur ise, çıkışta yok edile mod gözleemez. ÖRNEK: é é A, B, C 4 5 ë û [ ] u(k), tüm durumları gözleebilirliğide bir etkisi yoktur. Basitçe u(k) yazabiliriz. é C é 4 5 C CA Þ det( O), rak( O) ë CA û ë 6 5 -û dir. İki adet durum gözleebilir. rasfer foksiyou buluur; Y( z) ( z+ )( z+ 4), (z+) çarpıı pay ve paydada birbirii yok eder. y(k) U( z) ( z+ )( z+ )( z+ 3) ölçümleri ile bu (z+) durum değişkei hesap edilemez. 8

95 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir GÖZLENEBİLİRLİK æ dx ( t) ö ç dt æ- öæ x ( t) ö æö ç ç ç + u( t) dx ( t) x( t) ç è - øè ø èø ç è dt ø æ x ( t) ö y( t) ( ) ç è x( t) ø Yukarıdaki deklemler iki diferasiyel dekleme ayrılabilir. dx ( t) - x ( t) + u( t) x dt ( t ) durum değişkei sadece u( t ) ye bağlıdır. dx ( t) - x( t) + u( t) x dt ( t ) durum değişkei sadece u( t ) ye bağlıdır. y( t) x ( t) y( t ) çıkışı sadece sadece x ( t ) ye bağlıdır. x ( ) t i çıkışa her hagi bir etksi yoktur. Buda dolayı çıkış x ( t ) durum değişkeie ait bilgi içermez. Souç olarak y( t ) ölçümü ile x( t ) belirleemez. Sisteme ait üm durum değişkeleri gözleemez. dz( t) dt * L z( t) + B u( t), L diag{ li} diag{ l, l, l3,... l} * y( t) C x( t) + Du( t) Çıkış deklemi olmak üzere, tüm x( t ) durum değişkelerii gözleebilmesi içi, C matrisii hiç sıfır değerli sütüü olmamalıdır. ÖRNEK: Aşağıda durum deklemi verile sistemi gözleebilirliğii sistem matrisii diagoal forma getirerek iceleyiiz. A é-. é x( k+ ) x( k) + u( k) -.8 [ ] y( k) - x ( k ) C B A matrisii özdeğerleri z.8 ve z-. dir. Bu öz-değerler içi elde edile öz-vektörlerde oluşa döüşüm matrisi p elde edilir ve A matrisi diagoal hale getirilir. 9

96 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir.77 P é > Öz-vektörlerde oluşa döüşüm matrisi. CP é.77 [- ] [ ].77 [ ] y( k) é x ( k) x( k) ë ı ölçülmesi ile x ( k ) hesap edilemez. Örek: C û x ( k ) durum değişkeii y( k ) çıkışıa etkisi yoktur. y( k ) U(s) R R C Y(s) Devresi göz öüe alısı, Y ( s) U ( s) ifadesi yazılır ise, Y( s) R ( RC s+ ) U( s) R ( R C s+ ) + R ( R C s+ ) Y( s) R ( RCs+ ) U( s) R ( R C s+ ) + R ( R C s+ ) olarak elde edilir. RC RC olarak alıır ise, ise Y( s) R U( s) R + R olur.. Devredeki kodasatör C ve C gerilimleri kotrol edilemez. Giriş ve çıkış verileride kodasatör ilk gerilim değerleri hesap edilemez. Görüldüğü gibi devrede RC RC alıır ise, Devre durum değişkeleri kotrol edilemez ve gözleemez.

97 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir DURUM-UZAYI ASARIM MEODLARI: ) KONROLEDİLEBİLİR KANONİK FORMA DÖNÜŞÜRME: Herhagi bir ayrık-zama sistem durum deklemlerii kotrol edilebilir kaoik forma döüştürülmesi: x(k)x (k) c r(k) x(k) y(k) r(k) X (k) c y(k) KotroL edilebilir Kaoik Form x( k+ ) Ax( k) + Br( k) x ( k+ ) A x ( k) + B r( k) c c c c y( k) Cx( k) y ( k) C x ( k) c c c Kotrol edilebilirlik diamik sistem matrisleri; - Ac A - Bc B C c C Ac, Bc, C c katsayı matrisleri rasfer foksiyo katsayılarıda elde edilebilir. rasfer foksiyou: - ( z) C( zi A) B D - + ifadeside elde edilebilir. det( li- A) li- A l + a l al+ a karakteristik deklem katsayılarıda, - - A c é a -a -a. -a -a ë - -û matrisi elde edilir.

98 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir B c é... ëû matrisi stadart formda yazılır. A B matrislerie karşılık kotrol edilebilirlik matrisi c c, c V, A, B matrislerie karşılık kotrol edilebilirlik matrisi é ë û V B AB... A - B V, olmak üzere V é ë B A B... A B û dir. c c c c c c V c Kotrol edilebilirlik matriside - Ac A ve Bc - B yazılır ise, é é ë û Vc - B - - A B B AB... A B I Vc - V dir Elde edile ifade aşağıda verildiği gibi düzeleebilir V V c de döüşüm matrisi, VV - c olarak elde dilir. A, B ve Ac, B matrisleri bilidiğide döüşüm matrisi elde edilir. c döüşüm matrisi ile, kotrol edilebilir kaoik form içi, Cc C yardımı ile hesaplaır.

99 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir ÖRNEK: é.5 é- A, B, C [.5]. katsayı matrisleri ile verile ayrık-zama sistem durum deklemlerii kotrol edilebilir kaoik formda elde ediiz. Hatırlatma: Kotrol edilebilir Kaoik form Y( z) b z + b z b U z z + a + a + + a ( ) z z... Öce karakteristik deklemi yazılır; éz-.5 zi- A det z. ë - - û i) z -.7z+. z + az+ a rasfer foksiyou ile verile sistemi kotrol edilebilir kaoik formu, é x ( k+ ) é... é x ( k) é x( k )... x( k) + + u( k) ë x ( k+ ) û ë -a -a- -a-...- a ûëx( k) û ëû - - F( z) z + a z + az a Karakteristik deklem. çıkış deklemi ise, [ ] y( k) b b b... b b - - é x ( k) x( k). ëx ( k) û Karakteristik deklem katsayılarıda Kotrol edilebilir Kaoik form sistem matrisi, A c é é Þ Ac -a -a -..7 Ve stadart olarak B c é olarak yazılır. yazılır. 3

100 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir C c i belirlemesi; Öce döüşüm matrisi edilir. VV - hesaplaır. Sora c c C C elde é- é.5 é- é- -.5 V [ B AB] ] Þ V Þ det( V ) V ë ë ûû.7 Vc [ Bc é é é é é Vc V - A - c B c] ] Þ Þ c ë ë. ûû - é- -.5é-.7 é. - VVc Þ ve é. - Cc C Þ Cc ë- û [.5] [.35.5].yol > rasfer foksiyouda; - éz-.5 é- ( z) C( ZI- A) B [.5] Þ - z-. -.5z-.35 ( z) z -.7z+. - ;trasfer foksiyou katsayılarıda Ac, Bc, C c matrisleri, b b z + b z+ b ( z) Þ b a -.7 a. z + az+ a A c b é -..7 é B c C [ b -b a b - a b ] c [-.35- * (-.7)*] HAIRLAMA: Y( z)... U( z) z a z... a - b z + b z + + b é x ( k+ ) é... é x ( k) é x( k )... x( k) + + u( k) x ( k+ ) -a -a... -a x ( k) ëû ë û ë - ûë û é x ( k) y( k) [ b - ba... b - ab ]... >m ë x ( k) û [.35.5] C - - c 4

101 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Durum Uzayıda asarım Kutup Yerleştirme asarım Metodu: Lieer zamala değişmeye ayrık-zama sistem, x(k+)ax(k)+bu(k) ile verilsi. Bütü x(k), durumlarıı bilidiği ve erişebildiği kabul edilsi. u( k) B x( k+ ) - z I x( k) A Bu sisteme, lieer durum geri-besleme kotrol kuralı olarak u( k) Kx( k) kapalı-çevrim sistem x( k+ ) x( k+ ) Ax( k) + B( -Kx( k) ) Þ x( k+ ) ( A- BK) x( k) olur. - uygulası ve u( k) B x( k+ ) - z I x( k) A -K Lieer durum geri-besleme kuralı ile kapalı çevrim sistem Kotrolör matrisi (statik durum geri-besleme katsayı matrisi) K, kapalı-çevrim sistemii performasıı iyileştirecek şekilde seçilebilir. Performası iyileştirme yollarıda biri kutup yerleştirme yötemidir. Bu metod kullaılarak, açık çevrim sistemii davraışı öemli 5

102 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir ölçüde iyileştirilebilir. Bu metod kararsız bir sistemi kararlı yapabilir, cevap hızıı arttırabilir veya azaltabilir, sürekli hal hatasıı arttırabilir, azaltabilir, sistem bat geişliğii daraltabilir, geişletebilir. üm bu edelerde dolayı, kutup yerleştirme yötemi pratikte yaygı olarak kullaılmaktadır. Kutup yerleştirme veya kutup atama problemi aşağıdaki gibi taımlaabilir: l, l,..., l ler açık-çevrim sistemii öz-değerleri olsu { x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) ı ve l, l,..., l ler ise ( A- BK) kapalı-çevrim sistem matrisii istee öz-değerleri olsu. Kompleks özdeğerler, kompleks eşleik çiftler halidedir. Ayı zamada, p(z) ve p( z) olsu. sırası ile karakteristik poliomlar (karakteristik deklem) Açık çevrim sistemii karakteristik deklemi; Õ p( z) ( z- l ) zi- A z + a z a z+ a i - i - Kapalı çevrim sistemii (durum geri-beslemeli) karakteristik deklemi; p ( z) ( z li) zi A BK z a z a z a - + Õ i (*) p( z) deklemii sağlayacak ola K matrisii buluması gerekmektedir. eorem: Açık-çevrim sistemii tüm durum vektörleri kotrol edilebilir ise kapalıçevrim sistem ( A BK) - matrisii öz-değerlerii herhagi bir l, l,..., l öz-değerlerie ataya bir durum geri-besleme matrisi, K, vardır. S B AB A B... A - B Kotrol Edilebilirlik Matrisi é ë û üm durumları kotrol edilebilmesi içi, Kotrol edilebilirlik matriside, rak[ S] olmalıdır. Bu teoreme göre, açık-çevrim sistemii üm durumlarıı kotrol edilemediği durumlarda, durum geri besleme kuralı ile A matrisii e az bir tae öz-değeri değiştirilemez olarak kalır. Bu gibi durumlarda, bütü öz değerleri ataabilmesi içi, geri-besleme kuralı olarak diamik 6

103 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir kotrolör uygulamalıdır. ürev ve iregral terimleri ihtiva ede diamik kotrolörler sistemi derecesii arttırdıklarıda dezavataja sahiptirler. ek girişli sistem ele alısı. B matrisi kolo vektör b, K matrisi satır vektör döüşür. - p( z) ( z- i) zi- A+ Bk z + a z a- z+ a Õ i l k ye Deklemii k ya göre çözümü tektir. K ı belirlemeside birçok yötem amaçlamıştır. E popüler yötem Bass ve Gura ya göredir ve aşağıda verile basit yötem ile çözülür.. Yol: - k é ëw s û ( a- a ) S; kotrol edilebilirlik matrisi é é a... a a - éa... a a - w, a a, a ë... û ë aû a. Yol: eğer verile sistem matrisi faz-değişke (Kotrol edilebilir) kaoik formda ise, A é a... a... a ë... - û veya A é , ë -a -a- -a-... -aû ve é b... ëû Ve é ë û S B AB A B... A - B w s I dır (olur) I æ ö ç ç ç.... ç è ø ve ç ( I) ) - I dır. 7

104 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir é a é a a a - a -, a ë a û ë a û olmak üzere, é a- a a - a K I( a a... ë a- a - - I( ( - ) û durum geri besleme matrisi kolayca hesap edilebilir. 3. Yol: K matrisii hesaplamasıda diğer bir yötem Ackerma tarafıda öerilmiştir. - k e s p A ( ) é ë û S B AB A B... A - B e [... ] kotrol edilebilirlik matris, p( A) p( z) Þ karakteristik deklemide z A koyularak elde edilir. ( ) - p z A + a A a- A+ a I Geel olarak, çok girişli sistem durumuda K matrisii belirlemesi biraz karışıktır(zordur). K qp olarak q ve p -boyutlu matrisler olmak üzere, A BK A Bqp A b p - - -, b Bq çok girişli sistem tek girişli sisteme idirgemiş olur. Kotrol edilebilirlik matrisi, başvurulabilir. S éb Ab... A b - olmak üzere yötemlere Metod4: Kapalı çevrim karakteristik deklem ile istee karakteristik deklem karşılaştırılır ve katsayılar eşitleerek durum geri belsem vektörü k elde edilir., x( k+ ) ( A- BK) x( k) - det( zi- ( A- BK)) p( z) z + a z a- z+ a ÖRNEK: Ayrık-zama durum deklem katsayılar matrisi aşağıda verilmiş ola sistem içi 8

105 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir A é - ve é b olduğua göre, kapalı çevrim sistem öz-değerlerii l- ve l.5 olabilmesi içi durum geri besleme katsayı vektörü k yı buluuz. z - p( z) zi- A Þ Þ z + açık-çevrim sistemi karakteristik deklemi z p( z) ( z l )( z l ) ( z )( z.5) z.5z.5 z az a istee karakteristik deklem (Kapalı-çevrim karakteristik deklem) a.5 ve a -.5 Metod: sistem faz değişke kaoik formuda olduğu içi k é a - a é-.5- é a- a Þ k ì Not : z + az+ a z + Þ í î a, a Metod: a w é é ve é é é é s s Þ - ë û w s é é é ve - é ( w s ) - é ìé.5 éü é-.5 k ( w s ) ( a- a) í - ý î þ Metod3: Ackerma yaklaşımı ile durum geri besleme katsayı matrisi k ı çözüm, p( z) z.5z poliomda z yerie A matrisi yazılır ise, p( A) A + a A+ Ia elde edilir. - é é é.5 é.5.5 p( A) é s [ b Ab] e [ ] dir. 9

106 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir - é é-.5.5 k e s p( A) [ ] [.5.5] Metod4: x( k+ ) ( A- BK) x( k) é x ( k+ ) éé é é x ( k) - [ k k ] x( k+ ) - x( k) ëë û û é x ( k+ ) éé é é x ( k) - x ( k+ ) - k k x ( k) ëë û û ë û ë û ë û é x ( k+ ) é é x ( k) x( k+ ) - - x k) ë k -k ûë ( û A c éz é det( zi- Ac ) z - -- k -k ë û é z - k z k ë + + û z + z+ + k k z z z z + k + + k k.5 ve + k -.5 ise k -.5 k [ k k ] [-.5.5] olarak elde edilir. Elde edile durum geri besleme matrisi K değerleri yerlerie yazılır. x( k+ ) Ax( k) + B( -Kx( k) ) Þ x( k+ ) ( A- BK) x( k) x( k+ ) ( A- BK) x( k) é x ( k+ ) éé é é x ( k) - [ k k ] x( k+ ) - x( k) ëë û ûë û

107 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir é x ( k+ ) éé é é x ( k) - [-.5.5 ] x ( k+ ) - x ( k) ëë û û ë û ë û é x ( k+ ) éé é é x ( k) - x ( k+ ) x ( k) ë û ë û ë û é x ( k+ ) é é x ( k) x( k+ ) x k) ë ( û A c Kapalı çevrim sistem elde edilir. z - det( zi- Ac ) -.5 z+.5 ise z z z z ,.5 tir. Referas girişli kotrol sistemi: Kotrol edilmek istee sisteme ait ayrık-zama durum uzay modeli vektör matris formuda aşağıda verilmiştir. x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) y( k) Cx( k) verilsi. Sisteme ait kotrol blok diyagram B x( k+ ) x( k) u( k) C y( k) - z I Sistem A Kotrol edile sisteme aşağıda verildiği gibi durum geri-besleme ile beraber r( k ) referas işaret uygulası.

108 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir r( k) K u( k) B x( k+ ) - z I x( k) C y( k) Sistem A -K Referas giriş li durum geribeslemeli sistem. r( k) K v( k) u( k) Sistem y( k) -K Referas giriş li durum geri-beslemeli kompakt olarak verilmiş sistem. Referas girişli durum geri-beslemeli sistem ait kotrol işareti yazılır ise, u( k) K r( k) - Kx( k) olarak ifade edilir. Bu ifade durum deklemide yerie yazılır x( k+ ) Ax( k) + BK r( k) - BKx( k) Þ x( k+ ) ( A- BK) x( k) + BK r( k) olarak elde edilir. Karakteristik deklem, zi- A+ BK olarak yazılır. üm durum geri-beslemesi ile, sistemi karakteristik deklemi değiştirilebilir, acak sistemi sürekli hal kazacıda değişir. Buda dolayı, sistemde ayarlaabilir, K, kazacı gereklidir. K, birim basamak giriş içi y ( ) olacak şekilde ayarlamalıdır. ÖRNEK:

109 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir é é x( k+ ) x( k) + u( k) é x ( k) y( k) [ ] x( k) ise, kapalı çevrim kutuplarıı z.5+ j.5, z.5- j.5 olması istemektedir. zi A BK z j z j z z - + ( )( ) - +.5Þ z K [.34 - ] olarak elde edilir. R( z) birim basamak giriş içi z - K, kullaılarak trasfer foksiyou hesaplaır; ü G A- BKï ý Þ - H ï BK þ - G( z) C( zi G) H é é é é é G - [.34 - ] H K ise H K é z - é K G( z) ( ) z Þ K z z [ ] G z z K Y( z) K Þ y( ) lim( z-) z- Þ R( z) z - z+.5 z z - z+.5 K Þ K.5.5 3

110 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir r( k).5 v( k) u( k) B æö ç èø Sistem x( k+ ) - z I æ ö ç A è-.6 -ø x( k) ( ) C y( k).34 - Durum geribeslemesi Bilgi otu: Kotrol edilmek istee sisteme ait ayrık zama durum deklemleri, x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) y( k) Cx( k) olarak verilsi. u( k) - Kx( k) durum geri-besleme kotrol kuarlı olsu, yerie koyulur ise. x( k+ ) Ax( k) + B( -Kx( k)) [ ] x( k+ ) A- BK x( k)) elde edilir. Yukarıda verile sisteme lieer döüşüm ve durum geri-besleme kotrol kuralı uygulası. x k ' ( ) x ( k) ve uygulaır ise, ' - x k x k ( ) ( ) ' - x ( k+ ) x( k+ ) lieer döüşüm ve geri-besleme ' - ' - x k+ Ax k + Bu k ( ) ( ) ( ) y k ' ( ) Cx ( k) olur. Kotrol kuralıa lieer döüşüm uygulaır ise, u( k) - Kx( k) u k ' ( ) - Kx ( k) u k ' ( ) fx ( k) - elde edilir. f K dir. 4

111 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Lieer döüşüm ve durum geri-besleme uyguladıkta sora elde edile karakteristik deklem lieer döüşümsüz durum geri-beslemeli sistemi karakteristik deklemi ile ayıdır. Aşağıda ispatı verişmiştir. ' ' x k Ac x k Bcu k ( + ) ( ) + ( ) ;lieer döüşüm uygulamış durum deklemleri. y k ' ( ) Ccx ( k) ' Lieer döüşümde sora u( k) - fx ( k) durum geri-beslemesi uygulaır ise x ( k+ ) A x ( k) + B (- fx ( k)) ' ' ' c c [ ] ' ' x k Ac Bc f x k ( + ) - ( ) elde edilir. Döüşümde sora karakteristik deklemler değişmeyeceğide, det( zi- A+ BK) det( zi- A + B f ) olmalıdır. NO: özellik, c c - P A P A dır. det( zi- A + B f ) ifadesii açıp yukarıda verile özellik göz öüe alıır ise, c c det( zi- Ac + Bc f ) det( z I- A+ Bf ) z I- A+ Bf ve f K yazılır ise, - zi- A+ BK zi- A+ BK olur. Burada, lieer döüşüm uyguladıkta sora durum geri besleme matrisi f elde edilir. Bu matriste, döüşüm uygulamamış sistem durum geri besleme matrisi K f - ile elde edilir. f : f i raspozu 5

112 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Durum Uzayıda asarım Kutup Yerleştirme asarım Metodu: Lieer zamala değişmeye ayrık-zama sistem, x(k+)ax(k)+bu(k) ile verilsi. Bütü x(k), durumlarıı bilidiği ve erişebildiği kabul edilsi. u( k) B x( k+ ) - z I x( k) A Bu sisteme, lieer durum geri-besleme kotrol kuralı olarak u( k) Kx( k) kapalı-çevrim sistem x( k+ ) x( k+ ) Ax( k) + B( -Kx( k) ) Þ x( k+ ) ( A- BK) x( k) olur. - uygulası ve u( k) B x( k+ ) - z I x( k) A -K Lieer durum geri-besleme kuralı ile kapalı çevrim sistem Kotrolör matrisi (statik durum geri-besleme katsayı matrisi) K, kapalı-çevrim sistemii performasıı iyileştirecek şekilde seçilebilir. Performası iyileştirme yollarıda biri kutup yerleştirme yötemidir. Bu metod kullaılarak, açık çevrim sistemii davraışı öemli ölçüde iyileştirilebilir. Bu metod kararsız bir sistemi kararlı yapabilir, cevap hızıı arttırabilir veya azaltabilir, sürekli hal hatasıı arttırabilir, azaltabilir, sistem bat geişliğii daraltabilir, geişletebilir. üm bu edelerde dolayı, kutup yerleştirme yötemi pratikte yaygı olarak kullaılmaktadır.

113 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Kutup yerleştirme veya kutup atama problemi aşağıdaki gibi taımlaabilir: l, l,..., l ler açık-çevrim sistemii öz-değerleri olsu { x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) ı ve l, l,..., l ler ise ( A- BK) kapalı-çevrim sistem matrisii istee öz-değerleri olsu. Kompleks özdeğerler, kompleks eşleik çiftler halidedir. Ayı zamada, p(z) ve p( z) olsu. sırası ile karakteristik poliomlar (karakteristik deklem) Açık çevrim sistemii karakteristik deklemi; Õ p( z) ( z- l ) zi- A z + a z a z+ a i - i - Kapalı çevrim sistemii (durum geri-beslemeli) karakteristik deklemi; - p( z) ( z- i) zi- A+ BK z + a z a- z+ a Õ i l (*) p( z) deklemii sağlayacak ola K matrisii buluması gerekmektedir. eorem: Açık-çevrim sistemii tüm durum vektörleri kotrol edilebilir ise kapalıçevrim sistem ( A BK) l l l - matrisii öz-değerlerii herhagi bir,..., ataya bir durum geri-besleme matrisi, K, vardır. S B AB A B... A - B Kotrol Edilebilirlik Matrisi, öz-değerlerie é ë û üm durumları kotrol edilebilmesi içi, Kotrol edilebilirlik matriside, rak[ S] olmalıdır. Bu teoreme göre, açık-çevrim sistemii üm durumlarıı kotrol edilemediği durumlarda, durum geri besleme kuralı ile A matrisii e az bir tae öz-değeri değiştirilemez olarak kalır. Bu gibi durumlarda, bütü öz değerleri ataabilmesi içi, geri-besleme kuralı olarak diamik kotrolör uygulamalıdır. ürev ve iregral terimleri ihtiva ede diamik kotrolörler sistemi derecesii arttırdıklarıda dezavataja sahiptirler. ek girişli sistem ele alısı. B matrisi kolo vektör b, K matrisi satır vektör döüşür. k ye

114 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir - ( ) ( - i) Õ p z z l zi A Bk z a z a z a i Deklemii k ya göre çözümü tektir. K ı belirlemeside birçok yötem amaçlamıştır. E popüler yötem Bass ve Gura ya göredir ve aşağıda verile basit yötem ile çözülür. x( k+ ) x( k) u( k) B C y( k) Sistem - z I A Açık-çevrim sistem u( k) B x( k+ ) - z I A -K Kapalı-çevrim sistem x( k) Açık-çevrim sistem karakteristik deklem: Õ p( z) ( z- l ) zi- A z + a z a z+ a i - i - (Olması istee ) Kapalı-çevrim sistem karakteristik deklem: w - ) - i p( z ( z l ) zi A Bk z a z... a z a Õ i. Yol: a ve w matrisleri açık-çevrim sistem karakteristik deklem poliom katsayılarıda, é a... a- éa... a a -, a matrisleri ve ë... û ëaû a matrisi ise kapalı-çevrim sistem karakteristik deklem poliom katsayılarıda é a a a... a sırası ile elde edilir. Bu katsayılar matrisleri kullaılarak statik durum geri-besleme matrisi K, S, kotrol edilebilirlik matrisi olmak üzere, K é ëw s û ( a- a ), ifadesi ile hesap edilir. - é ë û S B AB A B... A - B 3

115 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. Yol: eğer verile sistem matrisi faz-değişke (Kotrol edilebilir) kaoik formda ise, A é a... a... a ë... - û veya A é , ë -a -a- -a-... -aû ve é b... ëû Ve é ë û w s S B AB A B... A - B I dır (olur) I æ ö ç ç ç.... ç è ø ve ç ( I) ) - I dır. é a é a a a - a -, a ë a û ë a û olmak üzere, é a- a a - a K I( a a... ë a- a - - I( ( - ) û durum geri besleme matrisi kolayca hesap edilebilir. 3. Yol: K matrisii hesaplamasıda diğer bir yötem Ackerma tarafıda öerilmiştir. - k e s p A ( ) é ë û S B AB A B... A - B e [... ] kotrol edilebilirlik matris, p( A) Þ p( z) karakteristik deklemide z A koyularak elde edilir. ( ) - p z A + a A a- A+ a I Geel olarak, çok girişli sistem durumuda K matrisii belirlemesi biraz karışıktır(zordur). K qp olarak q ve p -boyutlu matrisler olmak üzere, 4

116 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir A BK A Bqp A b p - - -, b Bq çok girişli sistem tek girişli sisteme idirgemiş olur. - Kotrol edilebilirlik matrisi, S é ë b Ab... A b û olmak üzere yötemlere başvurulabilir. Metod4: Geel Kutup Yerleştirme. Derecede sistem modeli; x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) olsu. Kotrol işareti, u( k) - Kx( k) ve K [ K K... K ] olmak üzere, x( k+ ) ( A- BK ) x ( k ) olur. Ac İstee kutup yerleri; z l, l,..., l olmak üzere Kapalı çevrim sistem karakteristik poliom, a ( z) zi- A+ BK zi- A ( z-l )( z-l )...( z-l ) olsu. c c Bu deklemde adet K, K,..., K bilimeye ve sağ tarafta ise adet bilie poliom katsayıları mevcuttur. Katsayılar eşitleerek bilimeye katsayılar K, K,..., K hesaplaır. 5

117 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir ÖRNEK: Güç Kuvvetledirici Rotor Kotrollu DC Makia Bozucu (rüzgar) K Vsi(wt) C IGB sürücü R L E İfsbt Jm Bm Ölçme Ate U(t) Uort Koum Hız X(t) X(t) u(s).s u(s) * -e -s s u(s) s(s+) Y(s) Şekilde servo sisteme ait açık-çevrim kotrol blok diyagramı ve aşağıda durum uzay modeli verilmiştir. é.95 é.484 x( k+ ) x( k) u( k) y( k) x( k) [ ] u(k) - K x(k) durum geri-beslemesi ile yerleşme zamaı (%) t 4 s ve Aşım@ %6 ( x.46) olması istemektedir. Durum geri-besleme matrisi K yı hesaplayıız. istee yerleşme zamaı ve aşımı sağlayacak ola kapalı-çevrim kutupları; 4 %, t s 4 xw w w w.7 rad / s, x.46 xw Þ Þ x Þ.46 Þ s z e e e e -x w.46*.7*..46 *., jw -x - j -.7* Þ z l.95ð±.4þ z l.888 j.745,,,, Olması istee karakteristik deklem l, kullaılarak; ( z) ( z- )( z- ) ( z j.745)( z j.745) z z+.89 a l l a ( z) z z+.89 İstee Karakteristik deklem 6

118 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Durum geri-besleme matrisi K dört farklı yolda sırası ile aşağıda elde edilecektir..yol : Geri-besleme matrisi, - K é ëw s û ( a- a ) ifadesi ile hesap edilecektir. æéz- -.95ö a zi- A ç z - z+ z-.95 èë ûø det( ) det deklem ( z) z.95z.95 z az a a Açık çevrim Karakteristik a z z - z+ z + a z+ a c İstee Kapalı çevrim ( ) Karakteristik deklem Açık-çevrimde elde edile katsayılar matrisleri w é a a - a éa a -, a ë... û ëaû é -.95 w é-.95 a.95 Kapalı-çevrimde elde edile katsayı matrisi é a a a... a é-.776 a.89 Kotrol edilebilirlik matrisi: S [ B AB] éé.484ìé.95é.484ü.95 í ý ë îþû é S K æé é.48.95ö æé-.776 é-.95ö ç ç èø è ø K é. 7

119 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir.YOL: Durum deklemleri faz kooik şeklie getirilerek, durum geri-besleme matrisi [ ] é a- a a- - a- K ( a I( - a ) ifadesi ile hesap edilecektir.... a- a ë û é.95 é.484 x( k+ ) x( k) u( k) y( k) x( k) Durum deklemleri verile sistem kotrol edilebilir kaoik form (faz-değişke kaoik form) döüştürülür. Verile sistemi karakteristik deklemide deklem ( z) z.95z.95 z az a a Açık çevrim Karakteristik faz-değişke Kaoik formu sistem matrisi elde edilir. A c yazılır. é Þ a a A é c ë û ë û ve stadart olarak é B c olarak a ( z ) z - c.776 z+.89 z + a z+ a İstee Kapalı çevrim Karakteristik deklem éa- a é K a.95 (.776) ë - a û.86 K é -.9 VV - c V é S elde edilmişti. 8

120 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir é é é é Vc Bc Ac Bc Vc V - Þ Þ ë ë.95 ûû [ A c B c] c ] c - é.48.39é-.95 é VVc Þ ë- û é é.86 é k K k é NO: Elde edile döüşüm matrisi i doğruluğuu oaylamak içi, verile durum deklemii kotrol edilebilir kaoik forma döüştürülsü. x k Ax k Br k - - c( + ) c( ) + ( ) y ( k) Cx ( k) c c - - é é.95é A ë- û ë- û é ë- û - - é é.484 B ë- û é é C [ ] [.47.48] é.95 é.484 x( k+ ) x( k) + u( k) y( k) [ ] x( k) Döüşümde sora kotrol edilebilir kaoik (faz-değişke kaoik )form aşağıda verilmiştir. é é xc ( k+ ) xc ( k) + r( k) yc( k) [ ] xc( k)

121 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir 3. YOL: Ackerma ifadesi, - k e s p A ( ) ile durum geri besleme matrisii buluması. e [... ] ise [ ] e dir. é S ise é S dir. - p( z) A + a A a- A+ a I é.95 é.95 é é.43.3 p( z).37 k k é é.43.3 [ ] [ 4.5.] elde edilir. 4.YOL: Geel kutup yerleştirme yötemi ile durum geri-besleme matrisii buluması. [ ] K K K durum geri besleme matrisi kullaılarak istee karakteristik deklem elde edilir. æéz é.484 ac det( zi- A+ BK) det + K K z è [ ] ç ö ø æéz é.484k.484k ö detç z K.95K èë - û ë ûø æéz K.484K ö detç.95k z K èë Durum geri beslemeli sistem karakteristik deklem aşağıda verilmiştir. ûø

122 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir ( ) ( ) a z z + K + K - z K K + c Olması istee kapalı-çevrim Karakteristik deklem a ( z) z z z az a Açık çevrim Karakteristik deklem a c( z) ve a ( z) poliom katsayıları eşitleir Þ a ( z c ) a ( z ).484K +.95K Þ.484 K +.95K K -.95K Þ.4683K -.95K -.86 K K 4.5 ( pozisyo içi). ( hız içi) olarak elde edilir. D(t) K Vsi(wt) Güç Kuvvetledirici C IGB sürücü U(t) Uort R Rotor Kotrollu DC Makia İfsbt L E Jm Bm Ölçme X(t) Hız Koum X(t) Ate Bozucu (rüzgar) q (t) Sayısal İşlemci DAC K. 4.5 K ADC ADC Durum Geribeslemesi Durum geri beslemeli DC makie kotrolüe ait basitleştirilmiş doaım. Sayısal İşlemci - e s s s+ X (t) X (t) s q (t) K. Hız Koum K 4.5 Durum geri beslemeli DC makie kotrolüe ait basitleştirilmiş kotrol blok diyagramı.

123 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Kotrol işareti u(k) B Sistem x(k+) A zi x(k) C y(k) K. X (k):hız K 4.5 X (k):koum Durum geri-besleme Durum geri beslemeli DC makie kotrolüe ait basitleştirilmiş ayık-zama kotrol blok diyagramı. x () q() ve x () V().75 içi hız ve koumu zamaa göre değişimi. Elde edilmiş ola durum geri-besleme kotrol işareti servo sisteme uygulaarak elde edile kapalıçevrim sisteme ait yei durum deklemi aşağıda verilmiştir. Kotrol işareti, ( ) é x ( k) é x k u( k) - [ K K] [ 4.5.] x( k) - x( k) dir.

124 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir é.95 é.484æ é x ( k) ö x( k+ ) x( k) [ 4.5.] ç - x( k) è ø x ( k) x( k+ ) é x( k).95 - é é x( k) é x( k+ ) x( k) ë û A c A c Durum geri-beslemeli kapalı-çevrim sistem matrisidir. İstee karakteristik deklem elde edilip edilmediği doğrulaması ise aşağıda yapılmaktadır. asarımı başlagıcıda istee kriterleri sağlayacak ola karakteristik deklem a ( z) z z+.89 İstee Karakteristik deklem Olarak elde edilmiştir. asarım souda elde edile sistem matrisi kullaılarak kapalı-çevrim karakteristik deklem, æéz ö ac det( zi- Ac ) detç.499 z èë ûø a olarak elde edilir ve olması istee karakteristik deklem ile ayı c z z olduğu görülmektedir, souç olarak tarsımı doğruluğu gösterilmiştir. MALAB komutu: Aşağıda verile sisteme durum geri beslemesi uygulaacaktır. é.95 é.484 x( k+ ) x( k) + u( k) ë.95 û ë û u( k) B x( k+ ) - z I x( k) [ ] A y( k) x( k) B A C -K P: Olması istee kapalı-çevrim kutupları. p[ i i] Kacker(A,B,p) veya Kplace(A,B,p) K olarak elde edilir. NO: Place komutu ile değeri sıfır ola katlı kutuplar verilemiyor. Acker komutu ile verilebilir. 3

125 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir ÖNKOMPANZASYONLU (Referas Girişli) SAİK DURUM GERİBESLEME Kotrol edile sistemde durum geri-beslemesi ile sistemi diamik davraışı düzeleebilmektedir. Sistem cevabıı istee bir referas değere gitmesi isteebilir. Bu durumda, sistem kazacıı bir olmalıdır. Bu amaç içi referas giriş ile beraber bir kazaç terimi ilave edilmeli ve hesaplamalıdır. Kazaç hesabı içi öerile iki yol aşağıda verilmiştir I.YOL: Kotrol edilmek istee sisteme ait ayrık-zama durum uzay modeli vektör matris formuda aşağıda verilmiştir. x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) y( k) Cx( k) verilsi. Sisteme ait kotrol blok diyagram B x( k+ ) x( k) u( k) C y( k) - z I Sistem A Kotrol edile sisteme aşağıda verildiği gibi durum geri-besleme ile beraber r( k ) referas işaret uygulası. r( k) K u( k) B x( k+ ) - z I x( k) C y( k) Sistem A -K Referas giriş li durum geri-beslemeli sistem. 4

126 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir r( k) K v( k) u( k) Sistem y( k) -K Referas giriş li durum geri-beslemeli kompakt olarak verilmiş sistem. Referas girişli durum geri-beslemeli sistem ait kotrol işareti yazılır ise, u( k) K r( k) - Kx( k) olarak ifade edilir. Bu ifade durum deklemide yerie yazılır x( k+ ) Ax( k) + BK r( k) - BKx( k) Þ x( k+ ) ( A- BK) x( k) + BK r( k) olarak elde edilir. Karakteristik deklem, zi- A+ BK olarak yazılır. üm durum geri-beslemesi ile, sistemi karakteristik deklemi değiştirilebilir, acak sistemi sürekli hal kazacıda değişir. Buda dolayı, sistemde ayarlaabilir, K, kazacı gereklidir. K, birim basamak giriş içi y ( ) olacak şekilde ayarlamalıdır. II. YOL: Referas girişi takip edebile statik durum geri besleme ele alıacaktır. Referas giriş, r olsu; e( k) r- y( k) kotrol hatasıdır. r( k ) v( k) N u( k) -K Sistem y( k) x( k) e(k) u( k) - Kx( k) + N r 5

127 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir e( k ) olduğuda x( k) durum vektörüü sürekli hal değeri x, ve u( k ) kotrol vektörüü sürekli hal değeri u ss olsu. ss e(k) r N v(k) u ss Sistem y r ss -K x ss Amacımız, istee sürekli hal ölçüle çıkış değerii sağlaya, statik durum geri besleme kuralı u( k) - Kx( k) yı ayarlamaktır. Bu ise kotrol kuralıda durum vektör ofseti (dekleştirme, kaydırması) ile yapılır. Sürekli rejim içi Kotrol işaret ide edilerek kotrol işareti, Kx ss çıkar ve sürekli rejim içi gerekli ola u( k) -K( x( k) - x ) + u olarak yazılır. Böylece ölçüle çıkış değeri y, referas giriş r e eşit olur. ss ss u ss ilave x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) x( k+ ) Ax( k) - BK( x( k) - xss ) + Buss burada u(k) yerie yazılır > Sürekli halde, x( k+ ) x( k) xss olur xss Axss + Buss veya Buss xss- Axss yerie koulur ise, xss Steady State( sürekli hal) X(k) Sürekli rejimde x ( k) x ( k+ ) x ( k) x ( k+ ) k x( k+ ) Ax( k) - BK( x( k) - x ) + x - Ax Þ x( k+ ) - x ( A- BK)( x( k) - x ) ss ss ss ss ss 6

128 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Bu deklem, statik durum geri-beslemesii ( x( k) - x ss ) durum vektörüe uyguladığı gibi yorumlaabilir. x x( k) olduğuda r y( k) dır. Ö kompazatörü uygu seçilmesi ss kotrol sistemi çıkışıı r ye yakısamasıı sağlar. Ökompazatör ilavesi sistemi kutuplarıı etkilemez. Sürekli hal cevabı göz öüe alıır ise, x Ax + Bu y y ss ss ss ss ss Cx r ss olur. Ax - x + Bu Þ ( A- I) x + Bu ss ss ss ss ss Cx + u r ve ( A- I) x + Bu deklemleri ile arttırılmış durum vektörü, ss ss ss ss éa- I Béxss é C u ss r yazılabilir. Burada, - éxss éa- I B é u ss C r elde edilir. Ve u(k) da yerie yazılır > u( k) - Kx( k) + Kxss + uss öce u(k) düzeleir. éxss - Kx( k) + [ K ] u ë ssû - éa- I B é - Kx( k) + [ K ] r ë C û ë û û u( k) -K( x( k) - x ) + u ss u( k) - Kx( k) + N r ss N - éa- I B é N [ K ] C olarak elde edilir. ÖRNEK: é é x( k+ ) x( k) + u( k) ve y( k) [ ] é x ( k) x( k) ë û ise, kapalı çevrim kutuplarıı z.5+ j.5, z.5- j.5 olması istemektedir. 7

129 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Çıkışı istee referas değere gidebilmesi içi Durum geri besleme matrisi K ve giriş kazacı K ı hesaplayıız. Açık-çevrim karakteristik deklem: zi A z z z az a İstee Kapalı-çevrim karakteristik deklem: zi- A+ BK z- - j z- + j z - z+ z + a z+ a (.5.5)(.5.5).5 Sistem matrisi faz değişke kaoik formdadır. k é a - a é.5-.6 é a- a Þ k Durum geri-besleme matrisi, K [.34 - ] olarak elde edilir. Ö Kompazatör kazacı farklı iki yolda hesaplaabilir. I. YOL: rasfer foksiyou ve so değer teoremi kullaılır. z R( z) birim basamak giriş içi z - K, kullaılarak trasfer foksiyou hesaplaır; ü G A- BKï ý Þ - H ï BK þ - G( z) C( zi G) H é é é é é G - [.34 - ] H K ise H K é z - é K G( z) [ ] G( z) z Þ K ë - û z - z+.5.5 z K Y( z) K Þ y( ) lim( z-) z- Þ R( z) z - z+.5 z z - z+.5 K Þ K.5.5 II. YOL: Elde dilmiş ola kazaç ifadesi doğruda kullaılır. éa- I B é N K [ K ] C ifadesi kullaılır. - 8

130 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir N K N K N K.5 éé é é [.34 ].6 - é - ë- - û ë [ ] û - é - é [.34 - ] ë û ë û - r( k).5 v( k) u( k) B æö ç èø Sistem x( k+ ) - z I æ ö ç A è-.6 -ø x( k) ( ) C y( k).34 - Durum geribeslemesi Bilgi Botu: Kotrol edilmek istee sisteme ait ayrık zama durum deklemleri, x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) y( k) Cx( k) olarak verilsi. u( k) - Kx( k) durum geri-besleme kotrol kuarlı olsu, yerie koyulur ise. x( k+ ) Ax( k) + B( -Kx( k)) [ ] x( k+ ) A- BK x( k)) elde edilir. Yukarıda verile sisteme lieer döüşüm ve durum geri-besleme kotrol kuralı uygulası. x k ' ( ) x ( k) ve uygulaır ise, ' - x k x k ( ) ( ) ' - x ( k+ ) x( k+ ) lieer döüşüm ve geri-besleme 9

131 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir ' - ' - x k+ Ax k + Bu k ( ) ( ) ( ) y k ' ( ) Cx ( k) olur. Kotrol kuralıa lieer döüşüm uygulaır ise, u( k) - Kx( k) u k ' ( ) - Kx ( k) u k - elde edilir. f K dir. ' ( ) fx ( k) Lieer döüşüm ve durum geri-besleme uyguladıkta sora elde edile karakteristik deklem lieer döüşümsüz durum geri-beslemeli sistemi karakteristik deklemi ile ayıdır. Aşağıda ispatı verişmiştir. ' ' x k Ac x k Bcu k ( + ) ( ) + ( ) ;lieer döüşüm uygulamış durum deklemleri. y k ' ( ) Ccx ( k) ' Lieer döüşümde sora u( k) - fx ( k) durum geri-beslemesi uygulaır ise x ( k+ ) A x ( k) + B (- fx ( k)) ' ' ' c c [ ] ' ' x k Ac Bc f x k ( + ) - ( ) elde edilir. Döüşümde sora karakteristik deklemler değişmeyeceğide, det( zi- A+ BK) det( zi- A + B f ) olmalıdır. NO: özellik, c c - P A P A dır. det( zi- A + B f ) ifadesii açıp yukarıda verile özellik göz öüe alıır ise, c c det( zi- Ac + Bc f ) det( z I- A+ Bf ) z I- A+ Bf ve f K yazılır ise, - zi- A+ BK zi- A+ BK olur. Burada, lieer döüşüm uyguladıkta sora durum geri besleme matrisi f elde edilir. Bu matriste, döüşüm uygulamamış sistem durum geri besleme matrisi K f - ile elde edilir. f : f i raspozu

132 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir ÖNKOMPANZASYONLU (Referas Girişli) SAİK DURUM GERİBESLEME Kotrol edile sistemde durum geri-beslemesi ile sistemi diamik davraışı düzeleebilmektedir. Sistem cevabıı istee bir referas değere gitmesi isteebilir. Bu durumda, sistem kazacı bir olmalıdır. Bu amaç içi referas giriş ile beraber bir kazaç terimi ilave edilmeli ve hesaplamalıdır. Kazaç hesabı içi öerile iki yol aşağıda verilmiştir I.YOL: Kotrol edilmek istee sisteme ait ayrık-zama durum uzay modeli vektör matris formuda aşağıda verilmiştir. x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) y( k) Cx( k) verilsi. Sisteme ait kotrol blok diyagram B x( k+ ) x( k) u( k) C y( k) - z I Sistem A Kotrol edile sisteme aşağıda verildiği gibi durum geri-besleme ile beraber r( k ) referas işaret uygulası. r( k) K u( k) B x( k+ ) - z I x( k) C y( k) Sistem A -K Referas giriş li durum geri-beslemeli sistem.

133 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir r( k) K v( k) u( k) Sistem y( k) -K Referas giriş li durum geri-beslemeli kompakt olarak verilmiş sistem. Referas girişli durum geri-beslemeli sistem ait kotrol işareti yazılır ise, u( k) K r( k) - Kx( k) olarak ifade edilir. Bu ifade durum deklemide yerie yazılır x( k+ ) Ax( k) + BK r( k) - BKx( k) Þ x( k+ ) ( A- BK) x( k) + BK r( k) olarak elde edilir. Karakteristik deklem, zi- A+ BK olarak yazılır. üm durum geri-beslemesi ile, sistemi karakteristik deklemi değiştirilebilir, acak sistemi sürekli hal kazacıda değişir. Buda dolayı, sistemde ayarlaabilir, K, kazacı gereklidir. Bbirim basamak giriş içi K kazacı SON DEĞER teoremide y ( ) olacak şekilde ayarlamalıdır. II. YOL: Referas girişi takip edebile statik durum geri besleme ele alıacaktır. Referas giriş, r olsu; e( k) r- y( k) kotrol hatasıdır. r( k ) v( k) N u( k) -K Sistem y( k) x( k) e(k) u( k) - Kx( k) + N r

134 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir e( k ) olduğuda x( k ) durum vektörüü sürekli hal değeri x, ve u( k ) kotrol vektörüü sürekli hal değeri u ss olsu. ss e(k) r N v(k) u ss Sistem y r ss -K x ss Amacımız, istee sürekli hal çıkışı ölçüle değeri y ss i sağlaya, statik durum geri besleme kuralı u( k) - Kx( k) yı ayarlamaktır. Bu ise kotrol kuralıda durum vektör ofseti (dekleştirme, kaydırması) ile yapılır. Sürekli rejim içi Kotrol işaret ide edilerek kotrol işareti, Kx ss çıkartılır ve sürekli rejim içi gerekli ola u( k) -K( x( k) - x ) + u olarak yazılır. Böylece ölçüle çıkış değeri y, referas giriş r e eşit olur. ss ss u ss ilave x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) x( k+ ) Ax( k) - BK( x( k) - xss ) + Buss burada u(k) yerie yazılır > Sürekli halde, x( k+ ) x( k) xss olur xss Axss + Buss veya Buss xss- Axss yerie koulur ise, xss Steady State( sürekli hal) X(k) Sürekli rejimde x ( k) x ( k+ ) x ( k) x ( k+ ) k x( k+ ) Ax( k) - BK( x( k) - x ) + x - Ax Þ ss ss ss x( k+ ) - x ( A- BK)( x( k) - x ) ss ss Bu ss 3

135 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Bu deklem, statik durum geri-beslemesii ( x( k) - x ss ) durum vektörüe uyguladığı gibi yorumlaabilir. x x( k) olduğuda r y( k) dır. Ö kompazatörü uygu seçilmesi ss kotrol sistemi çıkışıı r ye yakısamasıı sağlar. Ökompazatör ilavesi sistemi kutuplarıı etkilemez. Sürekli hal cevabı göz öüe alıır ise, x Ax + Bu y y ss ss ss ss ss Cx r ss olur. Ax - x + Bu Þ ( A- I) x + Bu ss ss ss ss ss Cx + u r ve ( A- I) x + Bu deklemleri ile arttırılmış durum vektörü, ss ss ss ss éa- I Béxss é C u ss r yazılabilir. Burada, - éxss éa- I B é u ss C r elde edilir. Ve u(k) da yerie yazılır > u( k) - Kx( k) + Kxss + uss öce u(k) düzeleir. éxss - Kx( k) + [ K ] u ë ssû - éa- I B é - Kx( k) + [ K ] r ë C û ë û û u( k) -K( x( k) - x ) + u ss u( k) - Kx( k) + N r ss N [ ] - éa- I B é ë C û ëû N K K olarak elde edilir. 4

136 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir ÖRNEK: é é x( k+ ) x( k) + u( k) ve y( k) [ ] é x ( k) x( k) ë û ise, kapalı çevrim kutuplarıı z.5+ j.5, z.5- j.5 olması istemektedir. Çıkışı istee referas değere gidebilmesi içi Durum geri besleme matrisi K ve giriş kazacı K ı hesaplayıız. Açık-çevrim karakteristik deklem: zi A z z z az a İstee Kapalı-çevrim karakteristik deklem: zi- A+ BK z- - j z- + j z - z+ z + a z+ a (.5.5)(.5.5).5 Sistem matrisi faz değişke kaoik formdadır. Karakteristik deklem katsayılarıda, a -, a.5, a - a -.6 yazılabilir. k é a - a é.5-.6 é a- a Þ k Durum geri-besleme matrisi, K [.34 - ] olarak elde edilir. Ö Kompazatör kazacı farklı iki yolda hesaplaabilir. I. YOL: rasfer foksiyou ve so değer teoremi kullaılır. z R( z) birim basamak giriş içi z - Kotrol kuralı u( k) - Kx( k) + Kr( k) durum geri-besleme durum deklemide yerie koyulur, x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) ise x( k+ ) Ax( k) + B( - Kx( k) + Kr( k)) x( k+ ) ( A- BK ) x ( k ) + BK r( k) G H Durum deklemlerie ait katsayılar matrisleri kullaılarak trasfer foksiyou hesaplaır. 5

137 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir ü G A- BKï ý H ï BK þ - G( z) C( zi G) H Þ - sisteme ait kapalı-çevrim trasfer foksiyou. durum geri-beslemeli ve ö-kompazatör girişli é é é é é G - [.34 - ] H K ise H K é z - é K G( z) [ ] G( z).5 z K Þ ë - û z - z+.5 Y( z) K G( z) Þ so değer teoremide, R( z) z - z+.5 z K y( ) lim( z-) z- Þ z z - z+.5 K Þ K. 5 olarak elde edilir.. 5 II. YOL: Elde dilmiş ola kazaç ifadesi doğruda kullaılır. éa- I B é N K [ K ] C ifadesi kullaılır. N K N K N K.5 - éé é é [[.34 ] ].6 - é - ë- - û [ ] - é - é [.34 - ] ë û ë û - 6

138 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir r( k).5 v( k) u( k) B æö ç èø Sistem x( k+ ) - z I æ ö ç A è-.6 -ø x( k) ( ) C y( k).34 - Durum geribeslemesi Bilgi Botu: Kotrol edilmek istee sisteme ait ayrık zama durum deklemleri, x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) y( k) Cx( k) olarak verilsi. u( k) - Kx( k) durum geri-besleme kotrol kuarlı olsu, yerie koyulur ise. x( k+ ) Ax( k) + B( -Kx( k)) [ ] x( k+ ) A- BK x( k)) elde edilir. Yukarıda verile sisteme lieer döüşüm ve durum geri-besleme kotrol kuralı uygulası. x k ' ( ) x ( k) ve uygulaır ise, ' - x k x k ( ) ( ) ' - x ( k+ ) x( k+ ) lieer döüşüm ve geri-besleme ' - ' - x k+ Ax k + Bu k ( ) ( ) ( ) y k ' ( ) Cx ( k) olur. Kotrol kuralıa lieer döüşüm uygulaır ise, u( k) - Kx( k) u k ' ( ) - Kx ( k) u k - elde edilir. f K dir. ' ( ) fx ( k) 7

139 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Lieer döüşüm ve durum geri-besleme uyguladıkta sora elde edile karakteristik deklem lieer döüşümsüz durum geri-beslemeli sistemi karakteristik deklemi ile ayıdır. Aşağıda ispatı verişmiştir. ' ' x k Ac x k Bcu k ( + ) ( ) + ( ) ;lieer döüşüm uygulamış durum deklemleri. y k ' ( ) Ccx ( k) ' Lieer döüşümde sora u( k) - fx ( k) durum geri-beslemesi uygulaır ise x ( k+ ) A x ( k) + B (- fx ( k)) ' ' ' c c [ ] ' ' x k Ac Bc f x k ( + ) - ( ) elde edilir. Döüşümde sora karakteristik deklemler değişmeyeceğide, det( zi- A+ BK) det( zi- A + B f ) olmalıdır. NO: özellik, c c - P A P A dır. det( zi- A + B f ) ifadesii açıp yukarıda verile özellik göz öüe alıır ise, c c det( zi- Ac + Bc f ) det( z I- A+ Bf ) z I- A+ Bf ve f K yazılır ise, - zi- A+ BK zi- A+ BK olur. Burada, lieer döüşüm uyguladıkta sora durum geri besleme matrisi f elde edilir. Bu matriste, döüşüm uygulamamış sistem durum geri besleme matrisi K f - ile elde edilir. f : f i raspozu 8

140 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir ÖRNEK: Bir öceki statik durum geri-beslemeli DC makie kotrolüde ölçüle çıkışı aşağıda verildiği gibi referas girişi takip etmesi istemektedir. Ö kompazatör kazacıı hesaplayıız. D(t) K Vsi(wt) Güç Kuvvetledirici C IGB U(t) sürücü R Uort Rotor Kotrollu DC Makia İfsbt L E Jm Bm Ölçme X(t) Hız Koum X(t) Ate Bozucu (rüzgar) q ( t) u(t) DAC Sayısal İşlemci N K. ADC 4.5 ADC K Durum Geribeslemesi r(k) referas girişq ( k) r Sistemi durum modeli; é.95 é.484 x( k+ ) x( k) + u( k) ë.95 û ë û [ ] A y( k) x( k), C B Durum geri-besleme kazaç matrisi K [ 4.5.] olarak verilmiştir. - éa- I B é N [ K ] C A- I é é é [[4.5.] ].95 ë - û.95 - ara işlemler yapıldıkta sora, N 4.5 olarak elde edilir. 9

141 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir D( t ) rüzgar etkisi sıfır ve r( t) u( t) referas giriş içi servo sistem cevabı. 8 D( t- 8) u( t- 8),. içi k 8 rüzgar etkisi başlagıcı aı ve r( t) u( t). referas giriş içi servo sistem cevabı. ess

142 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Örekte görüleceği gibi, statik durum geri-beslemesi ile ö kompazatörlü sistem bozucu yoksa referas girişi iyi bir şekilde izler. Eğer bozucu mevcutsa, izleme performası zayıftır, e sürekli hal hatası oluşur. ss D(t) K Vsi(wt) Güç Kuvvetledirici C IGB U(t) sürücü R Uort Rotor Kotrollu DC Makia İfsbt L E Jm Bm Ölçme X(t) Hız Koum X(t) Ate Bozucu (rüzgar) q ( t) u(t) DAC Sayısal İşlemci 4.5 K. ADC 4.5 ADC K Durum Geribeslemesi r(k) referas giriş q r( k) DİNAMİK-DURUM GERİBESLEMESİ Hem referas girişi takip ede hemde bozucu etkisii gidere (yok ede) durum uzay yapısı ele alıacaktır. Başlagıç oktamız, durum vektörüü kotrol hatası e( k) r- y( k) yı ihtiva edecek şekilde arttırmaktır. r(k) x ı (k+)x ı (k)+e(k) x (k) ı K I u(k) Sistem y(k) x(k) -K p Diamik durum geri-besleme kotrol sistem blok diyagramı İtegre edilmiş kotrol hatası; x ( k+ ) x ( k) + e( k) Þ e( k) r- y( k) r-cx( k) Þ I I x ( k+ ) x ( k) + r( k) -Cx( k) I I é x( k) Arttırılmış durum vektörü, xi ( k) dır. Kotrol kuralı, é x( k) u( k) -ë ék p KIû x ( k) olur. I

143 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir x( k ) durum vektörü x boyutlu ise, K p [ K p K p... K p ] dir. Diamik durum geri-beslemeli kotrolü karakteristik deklemi: Arttırılmış-durum uzay modeli; verildiği gibi elde edilir. x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) x ( k+ ) x ( k) + r( k) -Cx( k) I I ifadeleri kullaılarak aşağıda é x( k+ ) é A é x( k) é B é + u ( k ) + r xi ( k+ ) -C xi ( k) Kotrol kuralı u(k) yerie koyulur ise, é x( k+ ) æé A éb öé x( k) é ç - [ K P K I] + r xi ( k+ ) -C xi ( k) è ø Karakteristik poliom, ìï æé A éb öüï detízi-ç - [ KP KI] ý -C ïî èë û øïþ dır. K P ve ÖRNEK: K I ı seçilmesi ile kapalı-çevrim sistem diamiği ayarlaır. é.3 é.69 A, B, C Artırılmış durum-uzay modeli; [ ] é x ( k+ ) é.3 é x ( k) é.69 é x ( k+ ) x ( k) + u( k) + r ë xi ( k+ ) û ë - - ûëxi ( k) û ë û Kotrol kuralı u(k) yerie koyulur ise, é x ( k+ ) æé.3 é.69 öé x ( k) é x ( k ) ç [ KP KP K I] x ( k) u( k) + ç r xi ( k ) ç ë + û èë - - û øë xi ( k) û

144 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir é x ( k+ ) é.3-.69k P -.69K P -.69 KIé x ( k) é x ( k+ ) x ( k) + u( k) + r ë xi ( k+ ) û ë - - ûëxi ( k) û Diamik durum geribeslemeli sistemi artırılmış durum-uzay modeli. Problem; KP, KP, K I katsayılarıı hesabıdır. 3

145 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir DİNAMİK-DURUM GERİBESLEMESİ Hem referas girişi takip ede hemde bozucu etkisii gidere (yok ede) durum uzay yapısı ele alıacaktır. Başlagıç oktamız, durum vektörüü kotrol hatası e( k) r- y( k) yı ihtiva edecek şekilde arttırmaktır. r(k) e(k) x ı (k+)x ı (k)+e(k) x (k) ı K I u(k) Sistem y(k) x(k) -K p Diamik durum geri-besleme kotrol sistem blok diyagramı İtegre edilmiş kotrol hatası; x ( k+ ) x ( k) + e( k) Þ e( k) r- y( k) r-cx( k) Þ I I x ( k+ ) x ( k) + r( k) -Cx( k) I I é x( k) Arttırılmış durum vektörü, xi ( k) dır. Kotrol kuralı, é x( k) u( k) -é ëk p K Iû xi ( k) olur. x( k ) durum vektörü x boyutlu ise, K p [ K p K p... K p ] dir. Diamik durum geri-beslemeli kotrolü karakteristik deklemi: Arttırılmış-durum uzay modeli; verildiği gibi elde edilir. x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) x ( k+ ) x ( k) + r( k) -Cx( k) I I ifadeleri kullaılarak aşağıda é x( k+ ) é A é x( k) é B é + u ( k ) + r xi ( k+ ) -C xi ( k) Kotrol kuralı u(k) yerie koyulur ise, é x( k+ ) æé A éb öé x( k) é ç - [ K P K I] + r xi ( k+ ) -C xi ( k) è ø Karakteristik poliom, ìï æé A éb öüï detízi-ç - [ KP KI] ý -C ïî èë û øïþ dır.

146 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir DURUM-UZAY GERİBESLEME İÇİN KUUP YERLEŞİRME ASARIMI asarım amacı, yerleşme zamaıı t s ve maximum aşımı j - Kapalı-çevrim kutupları z, re ± q hesaplayıız. - İstee karakteristik deklemi oluşturu, F( z) ( z r cos q z r )( z.5 r) durum uzay boyutu. * M p değerii geçmemesidir. r e - 4 t jq - jq ( z-e )( z- e ) z - r cosq z+ r log( r) q p log( M ) s, * p 3- Modellee karakteristik poliomu, x( k+ ) Ax( k) - BKx( k) yı oluşturu ve açı, K [ K K ],..., olmak üzere, modellee karakteristik deklem, det[ zi- ( A- BK)] 4- K lar hesaplaır, istee karakteristik deklem katsayıları ile modellee karakteristik deklem katsayıları eşitleir (ayı derecedeki poliomlar) ve deklem çözülür. 5- Souç doğrulaması yapılır, kapalı-çevrim kutuplarıı birim dairede içide olup olmadığı kotrol edilir, rasiet cevabı istee performası sağlayıp sağlamadığıı simüle edilir.

147 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Örek: Aşağıda servo sisteme ait şekil a) doaım ve b) açık-çevrim kotrol blok diyagram verilmiştir. Güç Kuvvetledirici Rotor Kotrollu DC Makia K Vsi(wt) C R L E İfsbt Jm Bm Ölçme Ate IGB sürücü Uort Hız Koum U(t) a) Servo sistem doaımı Kotrol işareti u(s) Bozucu D(s) s+ Hız W( s) s Koum q ( s) X(t) X(t) b) Servo sisteme ait açık-çevrim kotrol blok diyagram isteeler: i) Statik ve diamik durum geri-beslemeli servo sisteme ait doaım blok diyagramı çiziiz. ii) Statik ve diamik durum geri-beslemeli servo sisteme ait Kotrol blok diyagramı çiziiz. iii) Servo sistemde x.46 ve % kriterie göre t 4s olması istemektedir. Sistemi referas girişi takip edilebilmesi ve bozucu etkisii gidermesi istemektedir. Servo sisteme ait ayrık- zama durum deklemleri.s içi, s é.95 é.484 x( k+ ) x( k) u( k) y( k) x( k) [ ] olarak verilmektedir. statik ve diamik durum geri-besleme katsayıları K p, K p, K I hesaplayıız. iv) Statik ve diamik durum geri-beslemeli servo sisteme ait durum ve çıkş deklemlerii elde ediiz. 3

148 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir v) Statik ve diamik durum geri-beslemeli servo sisteme ait ayrık-zama rasfer foksiyouu elde ediiz. vi) Statik ve diamik durum geri-beslemeli kotrol kurallı ayrık-zama sayısal kotrole ait programıı sembolik dilde yazıız. ÇÖZÜM: i) Statik ve diamik durum geri-beslemeli servo sisteme ait doaım blok diyagramı. D(t) K Vsi(wt) Güç Kuvvetledirici C IGB U(t) sürücü R Uort Rotor Kotrollu DC Makia İfsbt L E Jm Bm Ölçme X(t) Hız Koum X(t) Ate Bozucu (rüzgar) q u(t) DAC Sayısal İşlemci K I ADC ADC K K Durum Geribeslemesi z z- e(k) İtegral y(k)x(k) r(k) referas giriş ii) Statik ve diamik durum geri-beslemeli servo sistem ait Kotrol blok diyagramı : 4

149 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir Bozucu D(t) r(k) z z- K I u(k) u(k) s - e u(k) s s+ s K K Hız x (t) Koum x (t) Sayısal İşlemci y(k)x(k) iii- Statik ve diamik durum geri-besleme katsayıları K p, K p, K I hesap edilmesi. r(k) e(k) x ı (k+)x ı (k)+e(k) x (k) ı K I u(k) Sistem y(k) x(k) -K p Yukarıda verile sistemde, istee kriterleri sağlayacak ola [ K p K p K I ] katsayıları hesaplaacaktır. - Kapalı-çevrim sisteme ait karakteristik deklem: ìï æé A éb öüï F( z) detízi-ç - [ K KI] ý -C îï èë û øïþ A ì æ ö B æ ö ü ïéz ç é.95é ç é.484 ï ï ç det z.95 ï ç í.95 -ç - ç [ K K KI] ý ï z ç ï ï [- ] ç ç ï ï è ø è î C ø þï ìæéz é.484k.484k.484k iöü ïç ï det z.95.95k.95k.95k íç - - i ý ïç z- ï îè øþ 5

150 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir ìéz--.484k K -.484Kiü ï ï det.95k z.95.95k.95k í i ý ï z- ï îë ûþ Staik ve diamik durum geribeslemeli servo sisteme ait parametrik karakterisrik deklem. F( z) z + (-.95 K K ) z + 3 (.576 K K K ) z K K K i i F z z a z a z a 3 ( ) İstee karakteristik deklem; x.46, % t 4s Þ w.7 rad / s s s -x w jw - x -.46*.7 j Þ s, j.968,, s -(.998 j.968). z e Þ z e Þ z ± j, r abs( z) r. 95 a ( z) ( z j)( z j)( z-.5*.95) Þ 3 a ( z) z -.9 z +.z-.853 istee karakteristik deklem a ( z) z + a z + a z+ a 3 3 F( z) a( z) yazılır ve katsayılar eşitleir ise, -.95 K K K K.9 6

151 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir.576 K K K i K K K i.4688 K K K i K K K i é ék é K -.59 Þ ë ûë K iû ë.797û ék é é.9 K Þ ë K iû ë û ë.797û - ék é é.9 K Þ ë K iû ë ûë.797û ék é-.79 K ë K iû ë 3.33 û é x ( k) u( k) - Kx( k) -[ K K K I] x( k) ë xi ( k) û Kotrol işareti. é x ( k) -[ ] x ( k) ë xi ( k) û Artırılmış sistem Karakteristik deklemii elde edilmesi. r(k) e(k) x ı (k+)x ı (k)+e(k) x (k) ı K I u(k) Sistem y(k) x(k) -K p Artırılmış sistem içi durum deklemleri yazılır. 7

152 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. é x( k+ ) é A é x( k) éb é + u ( k ) + r ( k ) xi ( k+ ) -C xi ( k) Bir öceki bölümde servo sisteme ait diamik durum geri besleme tasarımı yapılmış olup tüm kotrol blok diyagramı aşağıda verilmiştir. Şekilde görülebileceği gibi u( k ) kotrol işareti ve r( k ) ise referas giriştir. r( k ) alıarak daha öce verilmiş ola Bass-Gura, faz kaoik form içi verilmiş Bozucu ola (rüzgar) basitleştirilmiş yötem ve Ackerma ıı öerdiği her bir yötem ayrı ayrı uygulaarak Güç Kuvvetledirici Rotor Kotrollu DC Makia durum geri besleme matrisi K hesap edilebilir. Aşağıda sırası ile verilmiştir. K İfsbt R L A æ C ö B Bm Uort æ ö.95 ( + ) ç é é E Jm Ölçme x ( k) ç.484 Vsi(wt) é x k é é ç.95 ( ) x k+ x( k) ç.95 ç ë IGB û + ç r( k) U(t) sürücü X(t) xi ( k ) ç ë + û - ë x ( k) û ç [ ] u(t) ç ADC ADC è C ø I Sayısal İşlemci ø è.79 G H DAC Durum Geribeslemesi Hız Koum X(t) Ate D(t) q z z- İtegral y(k)x(k) r(k) referas giriş Kotrol blok diyagramıda görüldüğü ve durum uzay tasarımıda ifade edildiği gibi kotrol edilebilir bir sistemde tüm kutupları istee yere ataabilmesi içi tüm durum değişkelerii ölçülmesi gerekmektedir. üm durum değişkelerii ölçülmesi yerie tüm durum değişkeleri gözleebile bir sistemde çıkış ölçülerek sisteme ait tüm durum değişkeleri hesap edilebilir, gözleebilir (kestirilebilir). üm durumları gözlee sisteme tüm durum geri-besleme uygulaabilir. 8

153 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. DURUM GÖZLEYİCİ (KESİRİCİ) D(t) Bozucu (rüzgar) K Vsi(wt) Güç Kuvvetledirici C R Uort Rotor Kotrollu DC Makia I İfsbt L E Jm Bm Ölçme Ate q IGB U(t) sürücü U(t) Akım X(t) X(t) Hız Koum X3(t) Sayısal İşlemci DAC ADC ADC ADC K3 K K Yukarıda verile servo sistemde tüm durum geri-besleme içi üç adet durum değişkeleri akım,koum ve hız ölçülmelidir. Aşağıda alatılacak ola gözleyici ve tasarımı ile sadece çıkış (koum) ölçülecek ve gözleyici ile akım,koum ve hız ai değerleri hesap edilecektir. Geel olarak, bir sistemi tüm durumlarıı ölçülmesi pratik olmayabilir, acak ilgileile sistemde elde edile bilgilerde sistemi durumları kestirilebiliir. Geel olarak, bir sistemi durumlarıı kestire sisteme gözleyici (observer) veya durum kestirici (state estimator) deir. x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) y( k) Cx( k) Verile sistemi herhagi bilimeye ilk x() durumları içi, N adet solu y(), y(), y(n-) ölçümüde tüm x () durum değişkeleri hesaplaabiliyor ise, sistem tümüyle gözleebilir deir. Sistemi tüm durumlarıı gözleebilmesi içi Gözleebilirlik matrisi, rak ( O) olmalıdır, A x :sistem matrisi. é C CA O... N CA -,

154 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. Lueberger Gözleyici Durum vektörleri gözleecek ola sistem modeli, x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) y( k) Cx( k) x Î R, Durum vektörü x( k ) ı, yaklaşık değeri ( ) deklemi, y x k p Î R ve uî R m olarak verilsi. ile verilsi. Gözleyici modelie ait durum x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) + Ly( k) ile verilir. x( k) Î R ve A, B ve L bilimeye matrisleridir. Gözleyici, u( k ) giriş vektörü ve y( k ) çıkış vektörü, girişleri de oluşa iki girişli bir diamik sistemdir. x( k) ve x( k ) ayı boyutlu ise gözleyici tam dereceli/ tüm dereceli (full- order) gözleyici olarak adladırılır. x( k) ı derecesi x( k ) da küçük ise düşük-dereceli gözleyici olarak adladırılır. giriş u(k) Sistem Durumlar x(k) X(k+)Ax(k)+Bu(k) C Çıkış Gözleyici y(k) X(k+)Ax(k)+Bu(k)+Ly(k) Kestirile Durumlar x(k) Sistem ve gözleyicii basitleştirilmiş gösterimi Hata vektörü, e( k) x( k) - x( k) olarak taımlası. Gözleyici tasarlama problemii taımı, mümkü ola e yüksek hızda e( k ) yı sıfır yapacak ola A, B ve L Problemi çözümü içi, matrislerii belirlemesidir. e( k+ ) x( k+ ) - x( k+ ) yazılır ve durum deklemleri yerlerie yazılır > Ax( k) + Bu( k) - A x( k) - Bu( k) - LCx( k) düzeleir > y( k ) 3

155 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. e( k) x( k) - x( k) Þ x( k) x( k) -e( k) olduğu göz öüe alıır ise, Ax( k) + Bu( k) - A[ x( k) -e( k) ]- Bu( k) - LCx( k) e( k+ ) Ax( k) + Bu( k) - Ax( k) + Ae( k) - Bu( k) - LCx( k) düzeleir ise, hata diamiği, e( k+ ) Ae( k) + [ A- A- LC] x( k) + [ B- B] u( k) olarak elde edilir. e( k ) ı x( k) ve u( k ) da bağımsız olarak sıfıra gidebilmesi içi aşağıda verile 3 şart sağlamalıdır; - A A - LC - B B 3- A matrisi kararlı olmalıdır. ve ifadeleri yerlerie koyulur ise, x( k+ ) ( A- LC) x( k) + Bu( k) + Ly( k) Ax( k) + Bu( k) + Ly( k) - LC x( k) x( k+ ) A x ( k ) + Bu ( k ) + L [ y ( k )- C x ( k )] Gözleyici durum deklemi Kestirici Düzeltici terim, geellikle rezidül olarak adladırılır (artık kala, arta) Bu souçlarda e( k) aşağıda verile fark deklemi ile yazılır. e( k+ ) Ae( k) e( k ) ( A LC) e( k) + - Hata diamiği.. x( k+ ) A x ( k ) + Bu ( k ) + L [ y ( k ) - C x ( k )] Gözleyici durum deklemie ait Kestirici Düzeltici terim Düzeltici terim sayısal gerçekleştirme diyagramı aşağıda verilmiştir. Gözleyici durum deklemi x( k+ ) ( A- LC) x( k) + Bu( k) + Ly( k) olarak düzeleir. 4

156 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. u( k) giriş B x( k+ ) - z I x( k) C y(k) çıkış Sistem A x(k) Kestirile durumlar Sürekli rejimde x(k) x(k) B z - A C I y(k) e(k) L C x(k) Durum Gözleyici (kestirici) Gözleyici durum deklemie ait sayısal gerçekleştirme diyagramı. Gözleyici tasarım problemi; A A - LC matriside L matrisii elde edilmesi bir kutup yerleştirme problemie döüşür. Gözleyici tasarımıda, L matrisii var olabilmesi ve A A - LC i istee öz değerlere sahip olabilmesi içi gerek ve yeter şart ( A, C ) i gözleebilir olmasıdır. rak[ O], gözleebilirlik matris rakı tam olmalıdır. O Gözleebilirlik Matrisi æ C ö ç CA ç ç... ç CA - è ø Gözleyici de durum geribesleme matris L i tasarımı: i- l, l,..., l Gözleecek sistem matrisi A ı özdeğerleri, P( z ) gözleecek sistem karakteristik deklemi olsu. - ( ) - ( - li ) i P z zi A Õ z z a z a olarak yazılabilir. ii- l, l,..., l gözleyici sistem matrisi A A- LC i istee özdeğer leri ve P( z) GÖZLEYİCİ karakteristik deklemi olsu. ise 5

157 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. P ( z) zi A ( z li ) z a z a i Õ olarak yazılabilir. Problem: gözleyicii istee öz değerlere sahip olabilmesi içi L e olmalıdır? L i buluması, daha öcede verile yötemlerde herhagi biri kullaarak yapılabilir. P( z) gözleyici karakteristik deklem seçimide, gözleyici cevap hızı durum değişkeleri kestirilecek sistem cevap hızıda 3~ kat daha hızlı olacak şekilde seçilmesi tavsiye edilir. L matris hesabı içi aşağıda verile yötemlerde faydalaılabiliir. I-YOL i- Gözleecek sistem karakteristik deklemi, - P( z) z + az a olmak üzere, w é a... a... a ë û ve éa a a... ë aû Karakteristik deklem katsayılarıda elde edilir. é C CA O... N CA - gözleebilirlik matris, ii- Gözleyici karakteristik deklem P ( z) z a - z... a katsayılarıda é a a a... a elde edilir. iii- Gözleyici katsayı matrisi - L é ëw O û ( a- a ) ifadesi ile hesaplaır. 6

158 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. II-YOL Olması istee gözleyici karakteristik deklem P ( z) z a - z... a olmak üzere, L matrisi içi Ackerma eşitliği, z A içi yazılır, Gözleyici katsayı matrisi III-YOL - é C é CA L P( A) ëca û ëû ifadesi ile hesaplaır. Durum değişkeleri kestirilecek (gözleecek) ola sistem durum deklemleri gözleebilir kaoik formuda ise, Gözleyici katsayı matrisi VI-YOL æ ö ç a - a ç L ( a a) a - - ç - a- ç... ç ç a a è - ø ifadesi ile hesaplaır. üm durum değişkeleri gözleecek sistemde ayrık-zama A A - LC matrisie ait karakteristik deklem ile olması istee gözleyici karakteristik deklemi karşılaştırılır ve katsayılar eşitleerek durum geri besleme vektörü L elde edilir., x( k+ ) ( A- LC) x( k) + Bu( k) + Ly( k) Lueberger gözleyici durum deklemi - p( z) z a z... a- z a Olması istee gözleyici karakteristik deklemi. - det( zi- ( A LC)) p( z) z + a z a- z+ a - eşitleir ve L katsayıları elde edilir. 7

159 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. Örek: D(t) Bozucu (rüzgar) K Vsi(wt) Güç Kuvvetledirici C R Uort Rotor Kotrollu DC Makia I İfsbt L E Jm Bm Ölçme Ate q IGB U(t) sürücü u(t) X(t) X(t) X3(t) Akım Hız Koum R 5 W, L mh, K. V / rad / s Ki. Nm / A,, J. kgm 5 b Yukarıda verile servo sisteme ait parametreler yada verilmiştir. Aşağıda verile düzeekte görüldüğü gibi Çıkış işaretii ölçerek x ( t ), x ( t ) ve x ( ) 3 t durum değişkelerii kestiriiz D(t) Bozucu (rüzgar) K Vsi(wt) Güç Kuvvetledirici C R Uort Rotor Kotrollu DC Makia İfsbt L E Jm Bm Ölçme y(t) Çıkış Ate q IGB U(t) sürücü u(t) Sayısal İşlemci x(t) Kotrol İşaret x(t) : akım x(t) : koum x3(t) : Hız 8

160 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. Çözüm: Öce sisteme ait diamik deklemler yazılır. t-domeide di( t) uort ( t) Ri( t) + L + e( t) dt ( t) K i( t) e e( t) K w( t) b i dwm ( t) m ( t) J + y ( t) dt ( t) ( t) m e dq ( ) m t wm ( t) dt q y ( t) qm( t) q m( t) s-domeide Uort ( s) - E( s) I( s) Ls+ R ( s) K I( s) e i e ( s) - y ( s) W m( s) Js E( s) K W ( s) b ( s) ( s) m ( ) W ( ) m s qm s s q ( s) q ( s) y e m S-domei deklemler kullaılarak Rotor Kotrollü DC-makieye ait kotrol blok diyagram aşağıda verilmiştir. E ( ) a t Rotor Kotrollu DC makie e( t) sl+ R i( t) K i y ( t) Js s w ( ) m t q ( t m ) ( ) q t y K b x ( t) x ( t) x ( t) 3 akım hız koum Yukarıda yazıla diamik deklemler kullaılarak Rotor Kotrollü DC-makieye ait sürekli zama durum deklemler aşağıda elde edilmiştir. 9

161 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. Diamik deklemler düzeleir di( t) uort ( t) Ri( t) + L + Kbw( t) dt di ( t ) Kb - R i ( t )- w ( t ) + u ort ( t ) dt L L L dw( t) Kii( t) J + y ( t) dt dw( t) Ki i( t) - y ( t) ve durum değişkeleri taımlaır dt J J x ( t) i( t) akım x ( t) q( t) koum dq ( t) x3( t) w( t) Açısal hız dt ve durum deklemleri vektör matris formuda yazılır é dx ( t) é R K é x ( t) Uort ( t) ë J û b dt - - L L é x ( t) L dx ( t) + dt K i x3( t) dx3( t) ë dt û Durum deklemleri Ve Çıkış deklemi, y( t) q ( t) q ( t) y m é x ( t) y( t) [ ] x( t) elde edilir. Parametre değerleri yerlerie yazılır ise durum ë x3( t) û deklemleri ve katsayı matrisleri elde edilir. é dx ( t) dt é é x ( t) é5 x ( t) U ( t) dx ( t) + dt x t) dx3 ( t) ë 5 ûë ( 3 û A B ë dt û ort é x ( t) y( t) x t) [. ] ( ( C ëx x3( t) û Ayrık-zama durum deklemleri aşağıda verile MALAB komut yardımı ile elde edilmiştir. MALAB Komutu: [G H]cd(A,B,),.4 s L alımıştır. R

162 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. Rotor Kotrollu DC makiaya ait, é x ( k+ ) é é x ( k) é.9 x ( k+ ).4.4 x ( k) + u( k) x3( k+ ) x k ( ).9 3 ë û G H durum ve é x ( k) y( k) [. ] x( k) ë x3( k) û çıkış deklemleri elde edilir. Gözleebilirlik testi: Sistem matrisi 3x3 tür, 3 alıır. O Gözleebilirlik Matrisi æ ö ç ç ç [. ] æ C ö ç ç æ C ö ç é ç CA ç ç CA [. ].4.4 ç... ç CA ç ç ç CA - è ø è ø ç ç é ç [. ].4.4 ç ç è ë û ø æ. ö ç O.8..8 ç è ø rak( O ) 3 tüm durumlar gözleebilir.. Çıkış işareti ölçülerek akım, koum ve hızı kestirilecek ola Rotor Kotrollü DC-makieye ait karakteristik deklem, ìéz é ü z ï ï F( z) det( zi- G) det z.4.4 í - ý -.4 z- -.4 ï z ï î þ -.93 z F( z) z z z-.949 Rotor Kotrollü DC-makie ye ait karakteristik deklem, Karakteristik deklem kökleri, öz değerler, z z.9958 z.986

163 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. Gözleyici karakteristik deklemi: Sistem karakteristik deklemleri: Gözleecek sistem zama sabiteleri, Seçile gözleyici karakteristik kökleri z z.5 g z.9958 z g.49 z z 3g.7 z g.5z yapılmıştır. P( z) ( z-z )( z-z )( z- z ) ( z-)( z-.49)( z-.7) g g 3g 3 P( z) z.476z.536 z Gözleyici Karakteristik deklem. Ackerma Formülü ile hesap: æ. ö ç O.8..8 ç è ø elde edilmişti tersi alıır ise ö ç 5 ç è ø æ - O - olarak elde edilir 3 P( z) z.476z.536 z karakteristik deklemide z G yazılır ve P( G) elde edilir. 3 é é P( G) ë û ë û é é ë û ë û é P( G).3.3 ë û

164 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. - é C é CG é- - æ - öæ ö L P( G).3.3 ç ç ç ç ë - ûè ç - øè ç ø ëcg û ëû é-95.8 L 7.4 ë 583. û Gözleyici kazaç matrisi elde edilir MALAB komutu ile tasarım: z; z.9958; % Gözlee sistem karakteristik deklem kökleri. z3.986; ---- Gozleyici tasarim... po.5*[z z z3]; %Gözleyici istee karakteristik deklem kutupları [L]place(G',C',po)' %Gözleyici kazaç matrisi L hesabı 3

165 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. D(t) K Vsi(wt) Güç Kuvvetledirici C R Uort Rotor Kotrollu DC Makia İfsbt L E Jm Bm Ölçme y(t) Çıkış Ate Bozucu (rüzgar) q IGB U(t) sürücü Kotrol işareti u(t) Sayısal İşlemci ADC ADC x(t) Gözleyici - z I x(t) : akım x(t) : koum G x3(t) : Hız H L e y(k) y(k) C [. ] Gözleyici ile rotor kotrollü DC makie durum değişkelerii kestirilmesi.. Durum gözleyiciye ait ayrık-zama durum deklemi aşağıda verilmiştir. x( k+ ) A x( k) + Bu( k) + L[ y( k) - C x( k)] é é é x ( k+ ) x ( k) x ( k) é é.9 é-95.8 x( k+ ).4. 4 x( k) + u( k) [ y( k) -[. ] x( k) ] x3( k+ ) x3( k) ë û x3( k) Aşağıda verile kotrol işaret ve bozucu girişleri içi bezetim çalışması yapılmıştır. 4

166 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. Bezetim çalışması soucuda, gözleyici ile kestirile durum değişkeleri ile gerçek zama durum değişkelerii zamaa göre değişimleri aşağıda sırası ile verilmiştir. Gerçek zama ve kestirile hız 5

167 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. Gerçek zama ve kestirile koum Gerçek zama ve kestirile akım 6

168 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. SONLU ZAMAN KONROL (DEADBEA CONROL) Solu zama kotrol yalızca ayrık-zama sistemlere uygulaabilir. Sürekli-zama sistemleri içi böyle bir solu zama cevap (deadbeat respose) yoktur. Solu zama kotrolde, skaler kotrol geliği u(k) sıırladırılmamış ise, herhagi bir sıfır olmaya hata vektörü e fazla -örekleme periyoduda sıfır yapılır. Eğer örekleme periyodu çok küçük seçilir ise, yerleşme zamaı çok küçük olur, buda kotrol işaret geliğii çok aşırı derecede büyük olmasıı gerektirir. Aksi takdirde, hata cevabıı çok kısa sürede sıfıra getirme imkaı olmaz. Solu zama kotrol de örekleme periyodu, tek tasarım, parametresidir. Buda dolayı, solu-zama cevap isteiyor ise, sistemi ormal çalışma koşullarıda çok aşırı büyük kotrol işaret geliği gerektirmemesi içi tasarım ve örekleme periyodu çok dikkatli seçilmelidir. Fiziksel olarak kotrol işaret geliğii sıırsız büyütme imkaı yoktur. Gelik, yeteri kadar arttırıldığıda doyum olayı her zama gerçekleşir. Kotrol işaret geliğide doyum olayı gerçekleştiği zama, cevap artık solu-zama cevap olmaz. Gerçek solu-zama sistem tasarımıda, tasarımcı kotrol işaret geliği ve cevap hızı arasıda bir tercih yapmak zorudadır. Solu-zama cevabı: x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) ile taımlaa sistemi göz öüe alalım. Durum geri-besleme u( k) - Kx( k) olmak üzere; x( k+ ) Ax( k) + BKx( k) Þ x( k+ ) ( A- BK) x( k) bu deklemi çözümü k x( k) ( A- BK) x() dır. Eğer (A-BK) matrisii özdeğerleri l i, i,,..., birim daire içide iseler, sistem asimtotik olarak kararlıdır ve (A-BK) ı bütü özdeğerlerii sıfır seçerek, l i solu zama cevap elde etmek mümküdür. Solu-zama cevapta yerleşme zamaı de küçük veya eşittir. Solu zama kotrolde olması istee karakteristik deklem, F( z) z dir. ÖRNEK: d y t ( ) u( t), diferasiyel deklemi ile verile sistemi dt i) Ayrık-zama durum deklemlerii matris formuda yazıız. ii) Solu-zama(deadbeat) kotrol içi durum geri-besleme vektörü f matrisii buluuz.

169 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. CEVAP: Sürekli zama durum deklemlerii elde edilmesi; y( t) x ( t) dy( t) dx( t) x( t) dt dt æ ö d ç dy( t) dx ( t) u t dt ç dt Þ ç dt è x ( t) ø ( ) u( t) dx ( t) A é B dt é é x( t) é u( t) dx( t) + x( t) ë û ë dt û é é x( t) y( t) x( t) ë C û i) Ayrık-zama durum deklemi; Ayrık zama durum deklemi çözümü k x[ ( k+ ) ] f( ) x( k ) +ò f( l) Bu( l) dl Vektör-matris formuda [ ] x ( k+ ) fx( k ) + Bu( k ) - - é f f( ) ë é( si- A) û t é é l bò dl B veya ë ë û û ìé léü b ò í ýdl îë ûþ é l l é l ise él é él b d l ò ë l û ë û

170 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. é é é Þ b ë û Diğer yol ile çözüm. é f( ) olarak hesaplamıştı. é - A é é é -t é g ( ) f( ) ò e t dt B dt ò ë û ë û éé t é t - é t ë ë û û é é - é é é - ë û é é - ë û ë û é é x[ ( k+ ) ] ( ) é é x k u( k ) x[ ( k ) ] + x( k ) ë + û ë û Ayrık zama karakteristik deklemii yazarsak; z- ( ) - f z- p z zi z z z a z a deklem ve deklemde, a - a olduğu görülür. açık çevrim karakteristik 3

171 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. p( z) z z a z a + + istee karakteristik deklem. Katsayılar a a dır. w é a é - é 3 ë û ve s [ b fb] w s é ë - û é é- é ( a- a) - - é f w s ( a- a) Þ - ë û durum geri-besleme matrisi, f é 3 olarak elde edilir. Kapalı çevrim sistem matrisi; é é é é 3 4 f- bf - ë û - - ë û Kapalı çevrim karakteristik deklemi; é z p( z) zi- f+ bf z z+ ë û Kotrol işareti u(k) yi iceleyelim; ( ) ( ) é 3 é x k é x k é u( k ) - f x( k ) - ; x( k ) x( k ) K; é 3 é x () é 3 é 3 u() - u() x() - > - + ë û K; NO 4

172 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. u() - f x( ) - f é ëf- bf û x() é é 3 4 é - ë û - - ë û u() x () + x() [ ] x ( k+ ) é ëf- bf û x( k ) k x( ) é ëf- bf û x() k ; x( ) é ëf- bf û x( ) x( ) é ëf- bf é ûëf- bf û x() x( ) é ëf- bf û x(... x( ) é ëf- bf û x() K; u( ) - f x( ) - f é ëf- bf û x() u( ) u(t) s s s - e u(t) x ( t ) x ( t) q ( t) s Sayısal İşlemci u(k) K Hız Koum K 5

173 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. 6

174 Dijital Kotrol Sistemleri Doç. Dr. Ayha Özdemir. 7