ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE

Transkript

1 AADOLU ÜİERSİTESİ BİLİM E TEKOLOJİ DERGİSİ AADOLU UIERSIT JOURAL OF SIEE AD TEHOLOG ilt/ol.:0-saı/o: : (009) ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARH ARTILE KAIP GÖZLEM OLDUĞUDA KİTLE ORTALAMASII TAHMİİ Esa SATII em KADILAR ÖZ Bu çalışmada kaıp gözlem olması duumuda kitle otalamasıa ilişki Sigh ve Ho (000) Sigh ve Deo (003) ve Rueda vd. (005) taafıda suula tahmi edicile icelemiş ve bulaa alteatif iki ei tahmi edici öeilmişti. Öeile tahmi edicilei Hata Kaele Otalamalaı () buluaak öeile tahmi edicile Sigh ve Ho (000) Sigh ve Deo (003) tahmi edicileile kaşılaştıılmıştı. Elde edile koşulla altıda öeile tahmi edicilei daha etki olduğu gözlemişti. Aahta Kelimele : Kaıp gözlem Hata kaele otalaması adımcı değişke bilgisi. ESTIMATIO OF THE POPULATIO MEA WHE SOME OBSERATIOS ARE MISSIG ABSTRAT I this pape the estimatos i Sigh ad Ho (000) Sigh ad Deo (003) ad Rueda et al. (005) ae ivestigated i the case of missig data ad two ew estimatos alteative to these estimatos ae poposed. The mea squaed eo epessios (MSE) fo the poposed estimatos ae obtaied ad compaed aalticall with MSE of the estimatos i Sigh ad Ho (000) ad Sigh ad Deo (003). B this wa we show the efficiet coditio fo the poposed estimatos. Kewods: Missig data Mea squae eo Auilia ifomatio.. GİRİŞ Kaıp gözlem 970 lede bu aa tatışıla bi poblemdi. Çeşitli alteatif aklaşımla geliştiilmesie ağme biçok çalışmada kaıp gözlemle silimekte ve geie kala eksiksiz gözlemle üzeide istatistiksel aalizle ugulamaktadı. Bu ötem bazı aaştımalada amputaso olaak adladıılmaktadı. Bu duum sadece öemli bilgilei kabıa değil aı zamada öeklem büüklüğüü küçülmesie ede olduğuda tahmilei güveililiğii azalmasıa aı atmasıa ede olmaktadı. Kaıp gözleme aklaşım 4 aa başlık altıda toplaabili (Little ve Rubi 00): ukaıda bahsedile amputaso ötemii aıda ağılıkladıılmış ötem imputaso ve model tabalı çözümlemele de mevcuttu. Ağılıkladıılmış ötem cevapsız biimi ağılığıı değiştiilmesi esasıa daaı. Model tabalı çözümle de gözlee veile üzeide oluştuula modele göe kaıp gözlemlei tamamlamasıdı. Bua kaşılık imputaso tekiklei kaıp gözlemi tahmii ile tam vei kümesi oluştuaak bilie klasik istatistiksel ötemlei ugulamasıa olaak sağlamaktadı. Çok saıda imputaso ötemi öeilmişti: Öeklemdeki diğe gözlem değeleii kullaa hot-deck imputasou cevaplılaı oluştuduğu alt öeklem otalamasıı kullaa otalama imputasou ve egeso modelide tahmi değelei elde ede egeso imputasou bulada başlıcalaıdı. Aıca bu tekli Hacettepe Üivesitesi Fe Fakültesi İstatistik Bölümü Betepe/AKARA Tel: (03) E-posta: eelagoz@hacettepe.edu.t Geliş: 5 Maıs 008; Düzeltme: 7 Kasım 008; Kabul: 3 Hazia 009

2 550 imputaso ötemleie kaşılık hebi kaıp değe içi bide fazla değe üeteek alteatif tam vei kümesii oluştuma esasıa daaa çoklu imputaso ötemi de mevcuttu. Bu çalışmaı. bölümüde so ıllada Sigh ve Ho (000) Sigh ve Deo (003) ve Rueda vd. (005) taafıda liteatüe kazadııla tahmi edicile icelemiş; 3. bölümüde öeile tahmi edicile taıtılaak liteatüdeki tahmi edicilele etkilik öüde kaşılaştımış ve 4. bölümüde ise apılabilecek ei çalışmala içi öeide buluulmuştu.. LİTERATÜRDEKİ TAHMİ EDİİLER Öekleme kuamıda ilgileile değişke ile ilgili kitle kaakteistiklei tahmiide ilgileile değişke ile ilişkili bi başka değişke (adımcı değişke) bilgisii kullamak tahmi güveililiğii atımaktadı. Kaıp gözlem olması duumuda kitle otalaması tahmii ile ilgili liteatüde e ala çalışmalaı adımcı değişke kullama ve kullamama adımcı değişkede de kaıp gözlem olması vea olmaması şeklide sııfladımak mümküdü. Bu sııfladımada adımcı değişke bilgisi kullaılmada kitle otalaması tahmiie ilişki çalışmaa Gamot (007) öek veilebili. Sigh ve Ho (000) Sigh ve Deo (003) ve Rueda vd. (005) taafıda apıla çalışmala ise kaıp gözlem olması duumuda adımcı değişke bilgisi kullaılaak kitle otalaması tahmi edicisi elde etmee öelik çalışmalada bazılaıdı. Fakat Sigh ve Ho (000) Sigh ve Deo (003) adımcı değişkede kaıp gözlem olmadığıı vasaake Rueda vd. (005) adımcı değişkede de kaıp gözlem olması duumuu dikkate almıştı. Solu biimli kitlede eie komada basit asgele öekleme ile biimlik öeklem çekilsi. evaplı biimlei e aldığı küme A ve cevapsızlaı kümesi A c olsu. Bua göe elema saısı ola A kümeside he i A içi i değei gözlemektedi. Buula bilikte i A c biimi içi i değei kaıptı ve bu biimle içi imputaso ötemie başvuulabili. Otalama imputaso ve oasal imputaso ötemleie göe kitle otalaması tahmi edicilei sıasıla aşağıda veilmişti: m i i () Aadolu Üivesitesi Bilim ve Tekoloji Degisi 0 () oa () Buada ( / ) i ( / ) ve ( / ) i i i göstemektedi. i i adımcı değişke bilgisii kullaa Sigh ve Ho (000) ve Sigh ve Deo (003) otalama ve oasal imputaso ötemleide fadalaaak sıasıla aşağıdaki imputaso ötemii ve bua bağlı olaak ilgileile değişkei kitle otalaması ( ) tahmi edicileii öemişledi: γi + ( γ) b ˆ i i A. i (3) c ( γ) b ˆ i i A ) SH γ + ( γ (4). i i i i A i i A i A c (5) SD (6) Buada cevaplı biimlei oluştuduğu A kümesideki ilgileile değişkei öeklem otalamasıı A kümesideki adımcı değişkeii öeklem otalamasıı; adımcı değişkei biimli öeklemii otalamasıı; b ˆ ; ve γ tahmi edicilei Hata Kaele Otalamalaıı () e küçüklee sabitlei göstemektedi. Sigh-Ho ve Sigh-Deo tahmi edicileii ( SH ve SD ) e küçüklee sıasıla γ değelei ve bulaa bağlı olaak e küçük eşitliklei aşağıda veilmişti:

3 Aadolu Uivesit Joual of Sciece ad Techolog 0 () 55 γ ρ ρ (7) mi ( SH ) ρ ( ) B mi SD. (8) Buada ve sıasıla adımcı değişkee ve ilgileile değişkee ait kitle değişim katsaılaıı; ve sıasıla adımcı değişkee ve ilgileile değişkee ait kitle vaaslaıı; ρ kitle içi adımcı değişke ve ilgileile değişke aasıdaki ilişki katsaısıı ve B kitlee ait egeso katsaısıı göstemektedi. Bu iki tahmi edicii etkilik öüde bibileie göe üstülüklei oktu ifadelei eşitti. Fakat bu iki tahmi edici de () ve () de sıasıla veile otalama ve oasal tahmi edicileie göe daha etki tahmi ediciledi (Kadıla ve Çıgı 008). Ugulamada he zama ilgileile değişkee ilişki tam gözlem apılamadığı gibi adımcı değişkee ilişki de tam gözlem apılamaabili. adımcı değişkede kaıp gözlem olması duumuda çekile s öeklemii s s ve s 3 olmak üzee üç paçada iceleebiliiz. Bua göe (-p-) biimli s öeklem paçasıda tam gözlemi elde edilebildiği vasaılmaktadı. p biimli s öeklem paçasıda adımcı değişkee ait gözlemle elde edilebili. Fakat ilgileile değişkede bua kaşılık gele gözlemle kaıptı. Aı şekilde s 3 öeklem paçasıda ilgileile değişkee ait gözlem bilgisi mevcut ike adımcı değişkede bulaa kaşılık değele kaıptı. ukaıda bahsedile s öeklem biimleii göütüsü aşağıda gösteildiği gibidi: s {i s/ i i elde edilebili} -p- biimli s {i s/ i elde edilebili i kaıp} p biimli s 3 {i s/ i elde edilebili i kaıp} biimli. p ve i 0<p </ koşullaıı sağlaa tamsaı olduklaı vasaımı altıda Rueda vd. (005) adımcı değişkede de kaıp gözlem olması duumuda kitle otalaması tahmii içi aşağıdaki tahmi edicii öemişledi: k + k + k Bˆ (9) ueda s s3 Buada s s öeklem paçasıda ilgileile değişkee ait öeklem otalamasıı; s3 s 3 öeklem paçasıda ilgileile değişkee ait öeklem otalamasıı; s s öeklem paçasıda adımcı değişkee ait öeklem otalamasıı; Bˆ öekleme ait egeso katsaısıı; k p( p) ( p) ( p) p k ve k 3 sabitlei göstemektedi. ( p) ueda tahmi edicisii eşitliği ise aşağıda veildiği gibidi: 3 s ( ) k a k b k k c ( ueda ) + + ( ) + B k d + k B ke+ k f 3 3 (0) Buada a b c d e f katsaılaı kitle biimie ve ukaıda ifade edile p ve öeklem biimleie bağlı olaak aşağıdaki eşitliklede elde edilmektedi: a p b p c d p p > p

4 55 p e p p f p p < p p p > p 3. ÖERİLE TAHMİ EDİİLER Bu çalışma kapsamıda kitle otalaması tahmii içi adımcı değişkede kaıp gözlem olmadığı vasaılmıştı. Bua göe ilgileile değişkede p gözlem kaıptı. Daha öceki taımlamala ışığıda biim cevaplı olmaktadı. Bu duumda -p eşitliği olacağı açıktı. adımcı değişkee ilişki kitle otalamasıı bilidiği duumda (6) da veile tahmi edici düzeleeek basit asgele öeklemede aşağıdaki tahmi edici öeilmişti: öei () i i Buada adımcı değişkee ait kitle otalamasıı göstemektedi. ( öei ) eşitliğii e küçük apa sabitti. Teoem : () de veile tahmi edicii içi e küçük eşitliği aşağıda veilmişti: ρ ( ) mi öei p ( ρ ) () Taıt: Biici deecede Talo seisi aklaşımı kullaılaak Aadolu Üivesitesi Bilim ve Tekoloji Degisi 0 () ( öei ) p + p p azılabili (Aıtıla EK de veilmişti). ( ) öei 0 eşitliğide aşağıdaki gibi elde edili: (3) değei ρ (4) (4) (3) de eie azıldığıda () de veile eşitliğie ulaşılı (Aıtıla EK de veilmişti). (9) da veile tahmi edici adımcı değişkede kaıp gözlem olmadığı vasaımı altıda düzeleeek aşağıdaki ikici tahmi edici öeilmişti: öei s B ˆ s f + f (5) Buada adımcı değişkede kaıp gözlem olmadığı duumda öeklem iki paçada icelemektedi. Gözlee ilgili değişke biimleii oluştuduğu. öeklem paçası -p elemalı gözlemee ilgili değişke biimleii oluştuduğu. öeklem paçası p elemalıdı. s. öeklem paçasıdaki ilgileile değişkeii otalamasıı s ise. öeklem paçasıdaki adımcı değişkei otalamasıı p p f ve f göstemektedi. Teoem : (5) de veile tahmi edicii eşitliği aşağıda veilmişti: ( + öei ) f µ + f λb f f τb (6) Buada ilgileile değişke ile adımcı değişke aasıdaki kitle kovaasıı göstemekte ve µ λ τ katsaılaı da aşağıdaki gibi taımlamaktadı:

5 Aadolu Uivesit Joual of Sciece ad Techolog 0 () 553 µ p λ p p τ p Taıt: ( s ) ve p p ov( s s ) p p / p > / p ( s) p / p > / olmak üzee biici deecede Talo seisi aklaşım ötemi kullaılaak ( ) + f B ( ) f f Bov( ) + ( öei ) f s s s s azılabili. Buada vaas ve kovaas ifadelei eie azıldığıda (6) da veile eşitliği elde edili. 4. ETKİLİK KARŞILAŞTIRMASI Buada () ve (5) de öeile tahmi edicile (6) da veile Sigh ve Deo (003) tahmi edicisi ile kaşılaştıılmıştı: () de öeile biici tahmi edicii (6) da veile Sigh ve Deo (003) tahmi ediciside dolaısıla aı zamada (4) de veile Sigh ve Ho (000) tahmi ediciside he zama daha etki olduğu () de veile eşitliğii (8) de veile eşitliği ile teoik kaşılaştıması apılaak göülmüştü (Aıtıla Ek 3 de veilmişti). Teoem 3: (5) de öeile ikici tahmi edici p</ vasaımı altıda aşağıda veile koşulda (6) da veile Sigh ve Deo (003) tahmi ediciside daha etkidi: [ ( p) ][ p] ( p) + + ( p) [ ] ρ < (7) p Taıt: ( öei ) < ( SD ) eşitsizliğide (6) ve (8) azılaak + p p p p p ( p) p p p + < p + p p p ( p) + p ( p) < p p + p p ρ p ( p) + p p ( p) < elde edili. Daha soa geekli sadeleştimele apıldıkta soa ( ) 3 ρ + p + p p < ( p) ( p) ve buada ρ < p [ ( p) ][ p] ( p) + + ( p) biçimide buluu. [ ]

6 SOUÇ Bu çalışmada Sigh ve Ho (000) Sigh ve Deo (003) Rueda vd. (005) taafıda suula tahmi edicile iceleeek kaıp gözlem olması duumuda kitle otalamasıa ilişki alteatif iki ei tahmi edici öeilmişti. Öeile tahmi edicilee ait eşitliklei elde edileek bu tahmi edicile teoik olaak Sigh ve Ho (000) Sigh ve Deo (003) tahmi edicilei ile kaşılaştıılmıştı. () de veile biici öeile tahmi edici he zama içi daha etki bi tahmi edici olaak buluuke (5) de veile ikici tahmi edici (7) koşulu altıda liteatüdeki tahmi edicilede daha etki olduğu Teoem 3 ile gösteilmee çalışılmıştı. Bu çalışma ışığı altıda buda soa apılabilecek çalışmala kaıp gözlem olması duumuda faklı öekleme ötemlei içi daha etki kitle otalaması tahmi edicilei elde etmee öelik olabili. EK Talo seisi açılımı p ( ˆ ˆ... ˆ ) h(... ) + d ( ˆ ) R( ˆ ) h p p j j j + j biçimide taımlamaktadı. Buada p paamete saısıdı ve R ( ˆ ) kalaı göstemekte olup biici deecede Talo seisi aklaşımıda ihmal edili. Öeile tahmi edici içi p olmaktadı ve h( t) d j t T ˆ j ˆ Bua göe d d ˆ. () t h( ) öei h h( t) ˆ h( t) + ˆ olaak buluu. Değele eie azıldığıda öei ( ) ( ) + Aadolu Üivesitesi Bilim ve Tekoloji Degisi 0 () öei ( ) ( ) olu ve he iki taafı kaesi alıaak beklee değe alıdığıda ( ) ( ) + ( ) ov( ) E öei biçimide elde edili. Buada p ve p ( ) ( ) ov p ( ) eşitliklei eie azıldığıda öei p + p p elde edili. EK ( ) ( öei ) ifadeside otak paatezie alıısa öei + ( ) p p p

7 Aadolu Uivesit Joual of Sciece ad Techolog 0 () 555 p + p ρ p biçimide elde edili. Buada ve ρ göstemektedi. Optimal değei içi ( öei ) ρ p eşitliği çözüldüğüde ρ p olaak buluu. Bu ifade ( ) de eie azılısa ( ) mi öei p + ρ ρ p p öei 0 elde edili. Geekli sadeleştimele apıldığıda mi ) öei ( ) ( ρ p biçimide elde edili. EK 3 mi ( öei ) < mi ( SD ) eşitsizliğide () ve (8) eie azılaak p ( ρ ) < B elde edili. adımcı değişkede kaıp gözlem olmadığı vasaımı altıda taımlamalaa göe -p olmaktadı. Bua göe B < p p ( ρ ) p ρ p < + p p ( ρ ) p ρ < < p p > ve buada < koşulu elde edili. Bu koşul he zama sağladığıda teoik olaak he zama içi öei tahmi edicisii SD tahmi ediciside daha etki olduğu söleebili. KAAKLAR ρ Gamot W. (007). Mea value estimatio usig two-phase samples with missig data i both phases. Acta Applicadae Mathematica

8 556 Little R.J.A. Rubi D.B. (00). Statistical Aalsis with Missig Data Wile- Itesciece ew Jese USA. Aadolu Üivesitesi Bilim ve Tekoloji Degisi 0 () Rueda M.M. Gozalez S. Acos A. Roma. Matiez M.D. ve Muoz J.F. (005). Estimatio of the populatio mea usig auilia ifomatio whe some obsevatios ae missig Poceedigs of Ith Iteatioal Smposium o Applied Stochastic Models ad Data Aalsis (ASMDA 005) ss Best Face 7-0 Ma 005. Kadıla. ve Çıgı H. (008). Estimatos fo the Populatio Mea i the ase of Missig Data. ommuicatios i Statistics: Theo ad Methods Sigh S. ve Deo B. (003). Imputatio b powe tasfomatio Statistical Papes ol.44 o Sigh S. ve Ho S. (000). ompomised imputatio i suve samplig. Metika