NEDEN MATEMATİK VADİSİ? GENETİK KOPYA YÖNTEMİ MATEMATİK VADİSİ NİN KADROSU

Transkript

1

2 Kitabýn dý. Sýnýf nalitik Geometri Doðrunun nalitiði Genetik Kopa Serisi Yaýn Editörü lpaslan ERN M.V. Gen. Yaýn Yönetmeni Seri dý ve Numarasý Genetik Kopa Serisi: 9 Kapak Promeda Dizgi Kevser ÜNLÜ Yaýn ve Ýnceleme Kurulu Sagýn DÝNÇER Eüp Kamil YEÞÝLYURT Ýbrahim KUÞUÐLU Gürkan GÜLEML lpaslan ERN aský Tarihi ðustos 8 aský Genel Daðýtým Katkýlarýndan dolaý TMZ (Türkie Matematik Öðretmenleri Zümresi) öðretmenlerine teþekkür ederiz. Ýþler Daðýtým ( ) Ýletiþim ilgileri dres: lýnteri ulvarý. Sok. No: 7 stim / nkara Tel: Fa: Web: www. genetikkopa.com E-posta: bilgi@matematikvadisi.com.tr opright u kitabýn bütün haklarý saklýdýr. Ýçeriði ve hazýrlanýþ sistematiði kesinlikle kopalanamaz. Kitabýn tamamýnýn a da bir kýsmýnýn kitabý aýmlaan þirketin önceden izni olmaksýzýn fotokopi a da elektronik, mekanik herhangi bir kaýt sistemile çoðaltýlmasý, aýmlanmasý ve depolanmasý asaktýr.

3 Sagıdeğer Öğretmenler Sevgili Öğrenciler Matematik çoğu öğrencinin eğitim haatı bounca korkulu rüası olmuştur. irçok kimse nezdinde hak ettiğinin ötesinde olumsuz bir imaja sahiptir. una karşılık matematiği tutkula sevenler de vardır. Matematiğe karşı dugusal tavrımız ne olursa olsun, hepimizin bildiği tartışma götürmez bir gerçek matematik olmadan olmaacağı gerçeğidir. Özellikle de bir öğrenci iseniz! NEDEN MTEMTİK VDİSİ? Matematik Vadisi, matematiği tutkula seven bir grup matematik öğretmeninin; matematiği seven sevmeen herkesin matematikte en azından eteri kadar başarılı olabileceğini göstermek için haata geçirdiği bir projedir. Matematik Vadisi, sloganından anlaşılacağı gibi, sadece matematikle ilgilenecektir. Matematikle ilgili her şe, ana sınıfından akademik hatta ansiklopedik düzee kadar Matematik Vadisi nin ilgi alanı içindedir. u projenin bel kemiği, okullara takvie ve sınavlara hazırlık amaçlı hazırlanmış aınlar olacaktır. Temel iddiamız şudur: Matematik Vadisi nin imza attığı her eserde usta eli değmiş dedirtecek özgünlüğü, ekip çalışması sonunda varılabilecek bir olgunluğu ve pedagojik alt apıı hemen hissedeceksiniz. Kısaca, Matematik Vadisi nin uzmanlığını fark edeceksiniz. GENETİK KPY YÖNTEMİ Genetik Kopa Yöntemi ülkemizde agın olan, matematik korkusu nun aşılmasını sağlamak için geliştirilmiş bir öntemtir. Temel tezi u çözümü anladısan çok benzerini de apabilirsin, apabildiğini görürsen daha da cesaretlenirsin. şeklinde özetlenebilir. u kitabın sistematiğinde temel bilgii vermek amacıla arıntılı şekilde çözdüğümüz soruu, DN die adlandırıoruz. ikonu ile verilen sorular ise, DN da verilen sorua bire bir benzeen niteliktedir. Yani onun Genetik Kopasıdır. ölece DN için apılan çözüm anlaşılmış ise, bu soru da rahatça çözülebilecektir. ölece öğrencinin, apılan çözümü kavraması, benzer soruları kendisi de çözerek iice özümsemesi hedeflenmiştir. İnanıoruz ki Genetik Kopa öntemi ideal bir matematik öğrenme ve öğretme öntemidir. MTEMTİK VDİSİ NİN KDRSU Matematik Vadisi, matematiği tutkula seven bir grup matematikçinin başını çektiği bir kadro tarafından kurgulanmıştır. nkara dan lpaslan eran ve Sagın Dinçer, İstanbul dan Eüp Kamil Yeşilurt, İzmir den İbrahim Kuşcuoğlu, Kona dan Gürkan Gülcemal, bu projenin mimarı olan kişilerdir. Matematik Vadisinde içkin olan Matematik tutkusu, çok kısa sürede aınlanacak onlarca özgün eserle, eşerecektir. lpaslan ERN Matematik Vadisi Yaın Editörü

4 KİTIMIZIN RGNİZSYN ŞEMSI Hazine ir Noktan n rijine Uzakl ğ : (a) noktas n n orijine uzakl ğ, koordinat n n mutlak değerine eşittir. = a Hazine vı ndan elde ettiğimiz ve DN çözümlerinde işimize en çok araacak olan, teorem niteliğindeki değerli bilgiler bu ikonla gösterilmiştir. I k 4 rta Nokta: (a), (b) ve G() olmak üzere, G = G a = b a = b azen Hazine vı ndan, bazen de Hazine vı na ihtiaç duulmadan elde edilen ve DN çözümlerinde olumuza IŞIK tutacak olan, küçük teorem niteliğindeki değerli bilgiler bu ikonla gösterilmiştir. DN 4 Eğimi ve olan doğrular aras ndaki geniş aç n n ölçüsü kaç derecedir? Kendinden hemen önce verilen DN ve IŞIK ların kullanımını gerektiren KÖK SRU lar bu ikonla gösterilmiştir. ) 5 ) ) 5 D) 5 E) 65 DN da kullanılan sorunun biraz değiştirilmiş şekli, ani Genetik Kopası bu ikonla gösterilmiştir. DN için verilen arıntılı çözümler bu ikonla gösterilmiştir. Uarı IŞIK nin karş t doğru değildir. + = a b c dir. Noktalar n çak ş k olmas durumu ihmal edilmemelidir. Soruu çözerken öğrencinin apabileceği muhtemel hataa düşmemesi için apılan öğütler bu ikonla gösterilmiştir.

5 Hatırlatma p h k h = p k Euclid Teoremi ni sağlaan üçgen dik üçgendir. Soruu çözebilmek için gerekli olan ancak farklı konularla ilgili olan bilgiler bu ikonla gösterilmiştir. ir üçgensel bölgenin ağ rl k merkezi kenarortalar n n kesişim noktas d r. (, ) G HZİNE ve IŞIK lar kadar oğun kullanılmaan, ancak ine de bilinmesi gereken bazı bilgiler bu ikonla gösterilmiştir. (, ) (, ) Not NT etmemiz gereken, IŞIK ve HZİNE lere nazaran daha az ihtiaç duacağınız bilgiler, bu ikonla gösterilmiştir. Kısaol Sa doğrusunda, a + b c eşitsizliğini sağlaan lerin oluşturduğu doğru parças n n uzunluğu birimdir. c a Sadece o tip soruda kullanılabilecek kestirme çözüm olu için kullanılabilecek bilgiler bu ikonla gösterilmiştir. Teneffüs Zaman Hesab Her sabah hesab n za 86.4 TL at ran bir banka dü ünün. Gün bou istedi iniz kadar para harcamakta vea harcamamakta serbestsiniz. Fakat sa- Öğrencii dinlendirmek, biraz da bilgilendirmek için hazırlanmış azılar bu ikonla gösterilmiştir.

6 Kitabımızın rganizason Şeması...Safa: 4-5 ÖLÜM - Giriş...Safa: 7-8 ÖLÜM - Saı Doğrusu...Safa: 9-8 ÖLÜM - Eksenler ve ölgeler...safa: 9-4 ÖLÜM - rta Nokta...Safa: 4-6 ÖLÜM - 4 lan ve ğırlık Merkezi...Safa: 6-86 ÖLÜM - 5 Eğim...Safa: 87 - ÖLÜM - 6 Doğru Denklemleri...Safa: - 68 ÖLÜM - 7 Simetri...Safa: 69-9 ÖLÜM - 8 Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri...Safa: 9-7 EK - Grafikler... Safa: 8

7 DĞRUNUN NLİTİĞİ - ÖLÜM GİRİŞ GİRİŞ kuma azmaı eni öğrendiğimde, ilkokul öğretmenimiz hepimizden defterlerimize adresimizi azmamızı istemişti. Örneğin ben, Yeşilpınar Mahallesi, anan Sokak, No: /6 Eüp, İstanbul azmıştım. Çocukluk bu a! Yanımdaki arkadaşım, öğretmenimize Öğretmenim, neden hepimizin bir adresi var? die sordu. Öğretmenimizin Eğer kimsenin adresi olmasadı, çok büük karmaşa çıkardı. Mesela, kimsee mektup gönderemezdik. cevabını verdiğini ii hatırlıorum. Gerçekten de, neden hepimizin bir adresi olduğunu hiç düşündünüz mü? dres nedir? en bu sorunun cevabının şu olduğunu düşünüorum: dres, içinde aşadığımız dünada, istediğimiz ere gidebilmek, nesnelerin konumlarını net olarak belirleebilmek ve tarifte kolalığı sağlaabilmek amacıla tanımlanmış apıdır. dresleme sistemi olmadan önce, şu gibi konuşmalar muhtemelen çok agındı: hmet ğa: kşama sizi çocuklarla eni aptırdığım eve emeğe bekliorum. Tamam mı, Dursun ğa? Dursun ğa: Yeni evini neree aptırdın ki hmet ğa? hmet ğa: Dereboundaki ikinci söğütten ukarı doğru çık. Dosdoğru ürü, bizim evi bulursun. Zannediorum, bu dialog adresleme sisteminin ne kadar önemli ve gerekli olduğunu anlatmaktadır. İşte analitik geometri de, geometrik şekillerin birer adresinin olmasını sağlaan apıdır. nalitik geometri, geometrik problemlerin çözümünde bir koordinat sistemi kullanır ve bir geometrik şeklin her bir noktasını, koordinatlar adı verilen bir takım saılarla eşler. ölece her bir nokta tarafından sağlanması gereken koşullar, denklemler vea eşitsizliklerle ifade edilebilir. u anlamda geometrik bir problem, cebirsel bir probleme indirgenmiş olur ki, çoğu insan cebirsel bir problemle çok daha kola bir biçimde baş edebilir. ebirsel çözüm elde edildikten sonra, bu çözümün geometrik orumunun belirlenmesi gerekir. u öntem, René Descartes tarafından 66 ılında aınlanan La Géometrie kitabında kullanılmıştır. Descartes tan önce geometrik muhakeme sadece geometride kullanılıordu. Descartes ten itibaren geometrik fi kirlerin gelişimi çoğunlukla, Descartes ın öntemi saesinde gerçekleşmiştir. Geometri uzamsal kavramlarla ilgilenir. Fizik, astronomi, mühendislik vs. problemleri sadece uzaı değil, genellikle zamanı da içerir. u problemleri çözmek için kullanılan öntem, analitik geometrinin kullandığı önteme benzer. Fakat geometrik problemler, zaman kavramı olmadığından, biraz daha koladır. u kitabın amacı, okuucua matematiksel düşünmesi için ilham vermektir.. SINIF NLİTİK GEMETRİ 7

8 Giriş Doğrunun nalitiği - ölüm 8. SINIF NLİTİK GEMETRİ

9 Doğrunun nalitiği - ölüm Saı Doğrusu TNIM Saı Doğrusu Doğru üzerindeki her noktaa karşılık, reel saılar kümesinin bir elemanı eşleştirilmiş doğrulara Saı Doğrusu vea Eksen denir. Nokta ile eşleşen reel saıa o noktanın koordinatı denir. Sıfır saısının eşlendiği noktaa saı doğrusunun orijini vea başlangıç noktası denir ve harfi ile gösterilir. noktasının koordinatı sıfır olduğu için () biçiminde gösterilir (), (), (),..., ( ), ( ), ( ),... Hazine ir Noktanın rijine Uzaklığı: (a) noktasının orijine uzaklığı, koordinatının mutlak değerine eşittir. = a Saı doğrusunda ( ) noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir? ) ) ) D) E) Işık İki Nokta rasındaki Uzaklık: (a) ve (b) noktaları arasındaki uzaklık, koordinatlar farkının mutlak değerine eşittir. = a b Uarı a b = b a olduğundan = dır. DN Saı doğrusunda orijine uzaklığı 5 birim olan noktaların koordinatlarının oranı kaçtır? ) ) ) D) E) DN Saı doğrusunda ( 4) ve (7) olduğuna göre, kaç birimdir? ) ) 4 ) D) E) rijinden 5 birim uzaklıkta olan nokta (a) olsun. = 5 a = 5 a = 5 vea a = 5 Koordinatlar oranı 5 = dir. 5 Doğru Seçenek IŞIK den, = 4 7 = = birim buluruz. Doğru Seçenek D. SINIF NLİTİK GEMETRİ 9

10 Saı Doğrusu Doğrunun nalitiği - ölüm Kısaol Saı doğrusunda ( ) ve = 7 birim olduğuna göre, noktasının koordinatı en az kaçtır? ) ) 4 ) D) 4 E) a ve b birer tam saı olmak üzere; a b aralığında b a + tane tam saı vardır. a < < b aralığında b a tane tam saı vardır. a b aralığındaki tam saıların toplamı a+ b ( b a + ) dir. DN Saı doğrusunda () ve () noktaları verilior. ile arasındaki uzaklık en çok 5 birimdir. una göre, in tam saı değeri kaç tanedir? ) ) ) 9 D) 8 E) 7 Saı doğrusunda ( 7) ve () noktaları verilior. ile arasındaki uzaklık en çok birimdir. una göre, in tam saı değeri kaç tanedir? ) 7 ) 8 ) 9 D) 4 E) 4 IŞIK den, 5 birim TNIM rada lma: Saı doğrusunun farklı üç,, noktası için, + = ise noktası, ile nin arasındadır denir. 8 buluruz. [, 8] aralığındaki tam saılar, {,,,,,, 4, 5, 6, 7, 8} olduğundan, in alabileceği değerler tanedir. Doğru Seçenek Işık (a), (b), (c) olmak üzere, a < b < c + = dir. Yani, (b) noktası, (a) ile (c) arasındadır.. SINIF NLİTİK GEMETRİ

11 Doğrunun nalitiği - ölüm Saı Doğrusu Uarı IŞIK nin karşıtı doğru değildir. + = a b c dir. Noktaların çakışık olması durumu ihmal edilmemelidir. a b c Saı doğrusunda ( ), ( 4), () ve noktası, ile arasındadır. una göre, in tam saı değerlerinin toplamı kaçtır? ) 57 ) 69 ) 6 D) 69 E) 6 + = a b + b c = b a + c b = c a = DN 5 DN 4 Saı doğrusunda (), ( 4), () ve noktası, ile arasındadır. una göre, in tam saı değerlerinin toplamı kaçtır? Saı doğrusunda () noktası, () ile ( 5) arasında ve = 7 dir. una göre, kaç birimdir? ) 4 ) 8 ) 9 D) E) ) 7 ) 5 ) D) 5 E) 8 IŞIK den, + = eşitliğini azarız. 4 < < ve tam saı olduğundan azılabilir. = 7 DN te verdiğimiz KISYL dan, in tam saı değerleri toplamı, ( + + ) = 5 a da ( ) + ( ) + ( ) + + = 5 buluruz. Doğru Seçenek dir. + + = = 4 = birim = birim Doğru Seçenek E. SINIF NLİTİK GEMETRİ

12 Saı Doğrusu Doğrunun nalitiği - ölüm DN 6 Saı doğrusunda () noktası, ( ) ile ( 5) arasında ve = 5 dir. una göre, kaç birimdir? Uç noktaları ( ) ve ( 4 ) olan [] nın uzunluğu kaç birimdir? ) 7 ) 6 ) 5 D) E) ) 6 ) 8 ) D) E) 6 TNIM Doğru Parçası: ir saı doğrusunun farklı iki noktası ve olsun., ve bunların arasında kalan noktaların kümesine doğru parçası denir ve [] sembolü ile gösterilir. ve noktalarına doğru parçasının uç noktaları denir. IŞIK ten, = ( 4 ) = = 7 birim buluruz. Doğru Seçenek : doğrusu Uç noktaları (6) ve ( 4) olan doğru parçasının (a) (b) uzunluğu kaç birimdir? []: doğru parçası ) ) 4 ) 6 D) 8 E) (a) P() (b) ][: açık doğru parçası a b vea [a, b] Not (a) P() (b) = ise ile noktaları çakışıktır. a < < b vea ]a, b[ vea (a, b) Farklı bir deişle; = dır. [[: arı açık doğru parçası (a) P() (b) TNIM a < b vea [a, b[ vea [a, b) Işık Doğru Parçasının Uzunluğu: (a) ve (b) olmak üzere, : doğru parçasının uzunluğu = a b dir. Işın: Uzunluğu sıfırdan farklı bir [] doğru parçası verilsin. noktası, ile P noktası arasında kalacak biçimdeki P noktalarının kümesi ile [] nın birleşim kümesine ışını denir ve [ biçiminde gösterilir. noktasına ışının başlangıç noktası denir. [: ışını (a) P() a vea [a, ). SINIF NLİTİK GEMETRİ

13 Doğrunun nalitiği - ölüm Saı Doğrusu TNIM Yarı Doğru: aşlangıç noktası dahil edilmemiş ışına arı doğru denir. K = { R: 7} kümesinin saı doğrusundaki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir? ]: arı doğrusu ) 5 ) 5 (a) P() ) 5 D) 4 a < vea (a, ) E) 4 Kısaol DN 7 Saı doğrusunda () ve () noktaları verilior. noktası, ile P() noktası arasında kalacak biçimde P noktalarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) { R: } ) { R: } ) { R: > } D) { R: > } E) { R: < } Saı doğrusunda, a + b c eşitsizliğini sağlaan lerin oluşturduğu doğru parçasının uzunluğu birimdir. TNIM rta Nokta: ir doğru parçasının üzerindeki, uç noktalarına eşit uzaklıkta bulunan noktaa, o doğru parçasının orta noktası denir. c a (a) G() (b) () () P() Işık 4 > rta Nokta: Doğru Seçenek D (a), (b) ve G() olmak üzere, G = G a = b Eğer P noktalarının geometrik eri sorulsadı, cevap; arı doğru olurdu. dir. a = b a b = +. SINIF NLİTİK GEMETRİ

14 Saı Doğrusu Doğrunun nalitiği - ölüm TNIM Eş Doğru Parçaları, Simetri, ğırlık Merkezi: IŞIK 5 ten, Uzunlukları eşit olan doğru parçalarına, eş doğru parçaları denir. (a) G a + b (b) = D [] [D] [] nın orta noktası G ise ve noktaları G noktasına (a) G a + b (b ) göre simetriktir denir. Doğru parçasının orta noktasına, doğru parçasının ağırlık merkezidir denir. GG = buluruz. a+ b a+ b = = 6 birim Işık 5 Doğru Seçenek E ğırlık Merkezi: (a), (b) için [] nın ağırlık merkezi G a+ b dir. Kısaol ir doğru parçası her iki uçtan m birim kesildiğinde ağırlık merkezinin koordinatı değişmez. Not Saı doğrusunda, a + b c eşitsizliğini sağlaan lerin oluşturduğu doğru parçasının orta noktasının koordinatı b a dır. DN 8 Uzunluğu 8 birimden büük ve ağırlık merkezi G olan bir doğru parçası verilior. Doğru parçasının bir ucundan birim kesildiğinde kalan doğru parçasının ağırlık merkezi G noktası oluor. Yukarıda verilenlere göre, GG kaç birimdir? ) 7 ) 998 ) 4 D) E) 6... ir doğru parçasının alnız bir ucundan m birim kesildiğinde ağırlık merkezi diğer uca doğru m birim kaar.... ir uçtan m birim diğer uçtan n birim kesildiğinde ağırlık merkezi kesilen büük parçadan küçük olana doğru m n birim kaar. ( 96), () ve () noktaları verilior. doğru parçasının ağırlık merkezi G, doğru parçasının ağırlık merkezi H noktasıdır. Yukarıdaki verilenlere göre, GH kaç birimdir? ) 4 ) 8 ) D) 6 E) 4 4. SINIF NLİTİK GEMETRİ

15 Doğrunun nalitiği - ölüm Saı Doğrusu TNIM ölen Nokta: oranında içten bölen nok-, [] doğru parçasını tadır. IŞIK 6 dan, () () (5), [] doğru parçasını noktadır., [] doğru parçasını noktadır. oranında dıştan bölen oranında dıştan bölen = = 5 = 4 Işık 6 () ( ) (5) k k k parçada 6 azalma varsa, k parçada azalma vardır. una göre, = = 4 tür. Saı doğrusunda, (a), (b) ve (c) noktaları verilsin. Doğru Seçenek a < b < c olsun. (a) (b) (c) zaman, dir. enzer şekilde, eşitliği de azılabilir. b a = c b b a = c a ( ), (5) ise [] doğru parçasını dıştan = oranında dıştan bölen () noktasının koordinatı kaçtır? ) 4 ) 5 ) D) 5 E) 5 DN 9 ( ), (5) ise [] doğru parçasını dıştan = oranında dıştan bölen () noktasının koordinatı kaçtır? ) 4 ) ) D) 8 E) TNIM Doğrudaşlık: nı bir doğrunun üzerindeki noktalara doğrudaş vea doğrusal noktalar denir. D E Yukarıdaki şekilde,,,, D, E noktaları doğrudaştır.. SINIF NLİTİK GEMETRİ 5

16 Saı Doğrusu Doğrunun nalitiği - ölüm DN Saı doğrusunda ( ), () ve değişken bir P() noktası verilior. una göre, P + P toplamı en az kaç birimdir? ) 6 ) 4 ) D) 7 E) 6 P [] ise P + P = P [] ise P + P > olduğundan P + P toplamının en küçük değeri dir. TNIM Geometrik Yer: Geometride geometrik er, geometrik şekil anlamında kullanılan bir kavramdır. nalitik geometride, noktaların koordinatlarının bileşen saısı kadar değişken içeren bağıntılar geometrik bir şekil belirtir, hem bu şekle hem de bağıntısına geometrik er denilir. Matematikte değişkenler için genellikle,, z,... harfl eri kullanılır. Örneğin; Saı doğrusunda sadece bir tane değişken olduğundan, < 4 eşitsizliği arı doğru, aralığı bir doğru parçası, = eşitliği bir nokta belirtir. = = 4 birimdir. Not Doğru Seçenek DN Saı doğrusunda (5), () dir. P + P = 7 birimdir. una göre, P noktasının geometrik eri aşağıdakilerden hangisidir? Saı doğrusu üzerindeki her,, P noktası için, dir. P + P ) ) () ) [] D) [ E) ] P + P = olduğundan P [] dir. Doğru Seçenek Saı doğrusunda (5), ( 7) ve koordinatı tam saı olan P noktası verilior. P + P toplamını en küçük apan kaç tane P noktası vardır? ) ) ) D) E) (5) ve () noktaları arasında bulunan noktaların geometrik eri aşağıdakilerden hangisidir? ) ışını ) ışını ) açık doğru parçası D) kapalı doğru parçası E) doğrusu 6. SINIF NLİTİK GEMETRİ

17 Doğrunun nalitiği - ölüm Saı Doğrusu TEST -. Saı doğrusunda ( + ) ve ( 9) noktaları verilior. una göre, doğru parçasının uzunluğu kaç birimdir? ) 4 ) ) 8 D) 6 E) 4 4. Saı doğrusunda (), (7) ve (5) noktaları verilior. una göre, aşağıdakilerden hangisi anlıştır? ), ve noktaları doğrudaştır. ) noktası, ile arasındadır. ), [] nın orta noktasıdır. D) = 4 birimdir. E) = dir. 5. Saı doğrusunda,. Saı doğrusunda, noktasının koordinatı 5, noktasının koordinatı ve = dir. Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının koordinatı aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) ) ) D) E) 7 noktasının koordinatı 4, noktasının koordinatı 6 ve = dir. Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının koordinatının negatif değeri kaçtır? ) ) 5 ) 6 D) 9 E) 6. Saı doğrusunda, noktasının koordinatı,. Saı doğrusunda, başlangıç noktası orijin olan ve ( 4) noktasından geçen ışını üzerinde ve () noktasına uzaklığı 5 birim olan bir K noktası verilior. Yukarıdaki verilenlere göre, K noktasının koordinatı kaçtır? ) ) ) D) E) 5 noktasının koordinatı 6 noktasının koordinatı ve + = dir. Yukarıdaki verilenlere göre, in tamsaı değerleri kaç tanedir? ) 6 ) 7 ) 8 D) 9 E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 7

18 Saı Doğrusu Doğrunun nalitiği - ölüm 7. Saı doğrusunda, noktasının koordinatı 6, noktasının koordinatı 4, noktasının koordinatı ve [] [] dir.. ( ), (5) ve () olmak üzere, + 5 farkı aşağıdaki verilenlerden hangisine eşittir? ) + ) ) D) E) Yukarıdaki verilenlere göre, kaçtır? ) 4 ) ) D) E). Saı doğrusunda birbirinden farklı, ve noktaları verilior. una göre, + toplamının en küçük değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) ) ) D) E) 8. Saı doğrusunda (5), () ve, doğru parçasının orta noktasıdır. una göre, noktasının koordinatı kaçtır? ) ) ) 4 D) 6 E) 8. Saı doğrusunda ( ), (4), () ve T = verilior. una göre, T nin en büük değerini alması için aşağıdakilerden hangisi eterli değildir? ), ile arasında olmalıdır. ), ile arasında olmalıdır. 9. Saı doğrusunda ( ) noktasının () noktasına göre simetriğinin koordinatı kaçtır? ) 8 ) 7 ) 6 D) 5 E) 4 ) ile anı nokta olmalıdır. D) ile anı nokta olmalıdır. E) T = 7 olmalıdır D 6.E 7.D E.D. 8. SINIF NLİTİK GEMETRİ

19 DĞRUNUN NLİTİĞİ - ÖLÜM EKSENLER VE ÖLGELER TNIM nalitik Düzlem: aşlangıç noktasında birbirine dik olan iki saı doğrusunun oluşturduğu sisteme dik koordinat sistemi vea kartezen koordinat sistemi denir. Yata konumda olan saı doğrusuna ekseni, düşe konumda olan eksene ekseni, bu eksenlerin kesiştiği noktaa dik koordinat sisteminin başlangıç noktası (orijin) ve bu doğruların belirlediği düzleme analitik düzlem denir. nalitik düzlem R vea R R biçiminde ifade edilir. eksenine, ata eksen, apsisler ekseni vea ekseni ve eksenine de, düşe eksen, ordinatlar ekseni vea ekseni denildiği de olur. R = R R = {(, ): R ve R} kümesinin (, ) biçimindeki elemanlarına reel saı ikilisi denildiğini hatırlaınız. nalitik düzlemin her noktasına bir reel saı ikilisi ve her reel saı ikilisine de analitik düzlemin bir noktası karşılık gelir; ani noktalarla reel saı ikilileri birebir eşleşir. u eşleşmenin nasıl apıldığını anlamak için aşağıdaki şekle bakınız. b K a K noktasının eksenindeki dik izdüşümüne karşılık a, eksenindeki dik izdüşümüne karşılık b saısı varsa, düzlemdeki K noktasına karşılık (a,b) reel saı ikilisi eşleşmiş demektir. u eşleşme K(a,b) biçiminde gösterilir ve (a,b) ikilisine K noktasının koordinatları vea kartezen koordinatları denir. (a,b) ikilisindeki birinci bileşen olan a saısına, K noktasının apsisi, ikinci bileşen olan b saısına da, K noktasının ordinatı denir. Hazine Eksen üzerindeki nokta: psisi sıfır olan noktalar ekseni üzerindedir. K(,) noktası ekseni üzerindedir. rdinatı sıfır olan noktalar ekseni üzerindedir. K(,) noktası ekseni üzerindedir. Koordinatları (,) olan nokta, hem hem de ekseni üzerindedir. Yani eksenlerin kesiştiği ortak noktadır. u nokta koordinat sisteminin başlangıç noktası vea orijindir ve (,) biçiminde gösterilir. DN (a + b, a b + 8) noktası analitik düzlemin başlangıç noktası olduğuna göre, a b çarpımı kaçtır? ) 6 ) 5 ) D) E) 5 noktasının koordinatları (,) olduğundan, a+ b = + a b+ 8 = a+ 6 = a = veb = 5 a b = 5 Doğru Seçenek. SINIF NLİTİK GEMETRİ 9

20 Eksenler ve ölgeler Doğrunun nalitiği - ölüm (a + b + 4, a b + 6) noktası analitik düzlemin başlangıç noktası olduğuna göre, a oranı kaçtır? b ) 6 ) 5 ) D) E) 5 nalitik düzlemde, a 5 a, noktası ekseni üzerinde ve (a b, a + b) noktası ekseni üzerinde- a a + dir. Yukarıdaki verilenlere göre, a b çarpımı kaçtır? ) 4 ) ) D) E) 4 DN DN nalitik düzlemde a 5 a, noktası a a + ekseni üzerinde ve (a b, a + b) noktası ekseni üzerindedir. Yukarıdaki verilenlere göre, a b çarpımı kaçtır? ) 4 ) ) D) E) 4 nalitik düzlemde (a, 5a) noktasının koordinatları aralarında asal doğal saılardır. una göre, noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) 6 ) ) 8 D) 4 E) ralarında asal olan iki doğal saının E leri olmalıdır. a ile 5a nın E lerinin a olduğu âşikârdır. Demek ki, a = dir. a = olduğundan noktasının koordinatları toplamı; a + 5a = + 5 = 6 noktasının ordinatı, noktasının apsisi olmalı, a b = a = b dir. a = a = a = ± a + dir. dır. Doğru Seçenek a = değeri noktasının apsisini tanımsız aptığından, a dir. Dolaısıla a = olur. a = b = olduğundan, a b = ( ) ( ) = dir. Doğru Seçenek D nalitik düzlemde (a + b, a c) noktasının koordinatları aralarında asal doğal saılardır. noktasının apsisinin ordinatına oranı 8 dir. una göre, noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) 6 ) 9 ) D) 5 E) 8. SINIF NLİTİK GEMETRİ

21 Doğrunun nalitiği - ölüm Eksenler ve ölgeler Hazine Noktanın Eksenlere ve rijine Uzaklığı: a K(a,b) b b b a a ekseni üzerindeki (a,) noktasının orijine uzaklığı a birim, ekseni üzerindeki (,b) noktasının orijine uzaklığı b birimdir. (4, ) noktasının, eksenine uzaklığı = birim eksenine uzaklığı 4 = 4 birim orijine uzaklığı = 4 + ( ) = 5 birim olup, bu uzunlukların toplamı = birimdir. Doğru Seçenek K(a,b) noktasının eksenindeki dik izdüşümü noktası, eksenindeki dik izdüşümü noktası ise K dikdörtgendir. Dikdörtgenin, karşılıklı kenar uzunlukları eşit olduğundan, K = = b birim K = = a birimdir. Dikdörtgende köşegen uzunlukları eşittir, Pisagor Teoremi nden, = K = a + b birimdir. K dikdörtgeninin çevresi ( a + b ) birim ve alanı a b birim karedir. nalitik düzlemde (, 4) noktasının eksenlere ve orijine olan uzaklıklarının toplamı kaç birimdir? ) 7 ) ) D) E) 5 K(a,b) noktasının, eksenine uzaklığı b birim eksenine uzaklığı a birim orijine uzaklığı K = a + b birimdir. DN 4 nalitik düzlemde (4, ) noktasının eksenlere ve orijine olan uzaklıklarının toplamı kaç birimdir? ) 7 ) ) D) E) 5 DN 5 nalitik düzlemde köşeleri (,), (5,), (5, ), (, ), D(, 5) ve E(, 5) olan DE altıgeninin çevresi kaç birimdir? ) ) ) 4 D) 8 E). SINIF NLİTİK GEMETRİ

22 Eksenler ve ölgeler Doğrunun nalitiği - ölüm Verilen noktaları analitik düzlemde işaretleelim. 5 dik üçgeninde Euclid Teoremi ni azalım: 5 E (, ) (5, ) D(, 5) K k = = k k = 4 Çevre(DE) = D + DE + E = = birim Şekle göre, noktası ekseni üzerinde orijinden 4 birim uzaklıkta olduğundan noktasının apsisi 4 tür. Doğru Seçenek E Çevre(DE) = Çevre(KE) olduğuna dikkat ediniz. Doğru Seçenek nalitik düzlemde nalitik düzlemde köşeleri (, ), (, ), (, ), (, ), D(, ) ve E(, ) olan DE altıgeninin çevresi kaç birimdir? ) ) 9 ) 8 D) 7 E) 6 DN 6 [] [] (, 6), (4, ) ve noktası ekseni üzerindedir. Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının apsisi kaçtır? ) 9 ) ) D) E) 4 nalitik düzlemde [] [] (, ), (, ) ve noktası ekseni üzerindedir. Teneffüs Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının apsisi kaçtır? ) 5 ) 6 ) Dünada her dakika iki tane düşük şiddette deprem olmaktadır. D) E) 4. SINIF NLİTİK GEMETRİ

23 Doğrunun nalitiği - ölüm Eksenler ve ölgeler TNIM DN 7 ölgeler: Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört arık bölgee aırır. u bölgeler saatin ters önünde I. bölge, II. bölge, III. bölge ve IV. bölge olarak isimlendirilir. Verilen bir noktanın koordinatlarının işaretlerine bakarak noktanın hangi bölgee ait olduğunu söleebiliriz. ölgelerin arık olmasından kastedilen, herhangi iki bölgenin kesişiminin boş küme olmasıdır. Değişik bir ifadele, herhangi bir nokta iki bölgede birden bulunamaz. Eksenler üzerindeki noktalar hiçbir bölgee dahil edilmemiştir. (, ), (, ), (, 7), D,6 ve E(, 9) noktalarından kaç tanesi analitik düzlemin II. bölgesindedir? ) 5 ) 4 ) D) E) (, ) noktası II. bölgede, II.bölge (, +) (, ) III.bölge I.bölge (+, +) (+, ) IV.bölge (, ) noktası IV. bölgede, (, 7) noktası ekseni üzerinde, D,6 noktası II. bölgede, Uarı Matematikte bir saının işareti, o saının dan büük vea küçük olmasıla ilgilidir. İşaret incelemek, eşitsizlik vea eşitsizlik sistemi çözmek demektir. E(, 9) noktası III. bölgededir. II. bölgede tane nokta vardır. Doğru Seçenek D nalitik geometride eşitsizlik sistemleri belli bir taralı bölge ifade eder. unları ilerleen bölümlerde detalı inceleeceğiz. Hazine 4 (, ), (, ), (, ), D(, ) ve E(, ) noktalarından kaç tanesi analitik düzlemin II. bölgesindedir? ) 5 ) 4 ) D) E) ölgeler: K(,) noktası verildiğinde, > ve > K(,) noktası. bölgededir. < ve > K(,) noktası. bölgededir. < ve < K(,) noktası. bölgededir. > ve < K(,) noktası 4. bölgededir. I II III IV psis () + + rdinat () + + DN 8 a >, b < olduğuna göre, ( b, a) noktası analitik düzlemin hangi bölgesindedir? ) I ) II ) III D) IV E) ekseni. SINIF NLİTİK GEMETRİ

24 Eksenler ve ölgeler Doğrunun nalitiği - ölüm a > a < b < b > b > b > ( b, a) noktası (+, ) olduğundan IV. bölgededir. (a, b) analitik düzlemin III. bölgesinde olduğuna göre, (a + b, a b) hangi bölgededir? ) I ) II ) III D) IV E) rijin Doğru Seçenek D DN a >, b < olduğuna göre, ( b, a) noktası analitik düzlemin hangi bölgesindedir? ) I ) II ) III D) IV E) ekseni (a +, ) ve (4, 4 a) noktaları analitik düzlemin anı bölgesinde olduğuna göre, a nın tam saı değeri kaç tanedir? ) 5 ) 4 ) D) E) noktasının ordinatı pozitif olduğundan noktasının da ordinatı pozitif olmalıdır. DN 9 (a, b) analitik düzlemin III. bölgesinde olduğuna göre, (a b, a + b) hangi bölgededir? ) I ) II ) III D) IV E) rijin 4 a > a < 4 noktasının apsisi pozitif olduğundan noktasının da apsisi pozitif olmalıdır. a + > a > < a < 4 aralığındaki tam saılar 4 tanedir. Doğru Seçenek noktası III. bölgede olduğundan a <, b < dır. a b > ve a + b < noktası, (+, ) olduğundan IV. bölgededir. Doğru Seçenek D (a 5, ) ve (, a) noktaları analitik düzlemin anı bölgesinde olduğuna göre, a nın en büük tam saı değeri kaçtır? ) 5 ) 4 ) D) E) 4. SINIF NLİTİK GEMETRİ

25 Doğrunun nalitiği - ölüm Eksenler ve ölgeler Hatırlatma a < < b c < < d e < < f gibi birden fazla eşitsizliklerin ortak çözüm aralığı; ma{a, c, e} < < min{b, d, f} (Yani, küçüklerin büüğü ile büüklerin küçüğü olan aralık alınır.) (a 6, a 4) noktası analitik düzlemin I. bölgesinde olduğuna göre, (a +, a) noktası hangi bölgededir? ) I ) II ) III D) IV E) ekseni DN (a 9, a + ) noktası analitik düzlemin II. bölgesinde olduğuna göre, (a 4, a + 4) noktası hangi bölgededir? ) I ) II ) III D) IV E) ekseni Hatırlatma a + b + c = denkleminin kökü oksa (Δ = b 4ac < ise) a nın işareti ile a + b + c nin işareti anıdır ani, a < ise a + b + c < a > ise a + b + c > noktası II. bölgede olduğundan a 9 < ve a + > olmalıdır. a < 9 a < < a < a + > a > olduğundan < a < u eşitsizlikte her tarafa 4 ekleerek nin apsisinin işaretini tespit edelim. enzer şekilde +4 ekleerek ordinatın işaretini bulalım. 4 < a 4 < 4 5 < a 4 < nin apsisi negatif + 4 < a + 4 < + 4 < a + 4 < 7 nin ordinatı pozitif olduğundan noktası, II. bölgededir. Doğru Seçenek DN R olduğuna göre, (, + ) noktası analitik düzlemin hangi bölgesindedir? ) I ) II ) III D) IV E) ekseni = denkleminde Δ = b 4ac < olduğundan kökü oktur, bu durumda, her için < dır. + = denkleminin Δ < olduğundan kökü oktur, bu durumda, her için + > dır. noktası, (, +) olduğundan II. bölgededir. Doğru Seçenek. SINIF NLİTİK GEMETRİ 5

26 Eksenler ve ölgeler Doğrunun nalitiği - ölüm R olduğuna göre, ( +, + ) noktası analitik düzlemin hangi bölgesindedir? ) I ) II ) III şağıdaki şekilde ( 7, 9) noktasının ( 5, 8) noktasına ötelenişini inceleiniz. düþe eksen ( 7,9) br artýþ ( 5,9) 9 br azalýþ 8 ( 5,8) D) IV E) ekseni 7 5 ata eksen TNIM Ötelenme: DN nalitik düzlemde bir noktanın, eksenlere paralel olan doğrular üzerinde konum değiştirmesine ötelenme denir. irim karelerden oluşan andaki şekil analitik düzlemin Işık 7 bir parçasıdır. (, ) Ötelenme: ir noktanın ötelenmesi o noktanın koordinatlarına bir saı eklendiğinde olur. Koordinatlara eklenen saı pozitif ise nokta eksenin pozitif önüne, negatif ise, eksenin negatif önüne ötelendiği düşünülür. Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) 4 D) 6 E) 7 i. Yata eksene göre öteleme: a > düþe eksen () (,) ( a, ) (, ) ( + a, ) br artýþ a br azalýþ a br artýþ (, ) 4 br artýþ ii. Düşe eksene göre öteleme: ata eksen () Şekil, analitik düzlemin bir parçası olarak verildiğinden, ata kenarlar analitik düzlemin eksenine, düşe kenarlar eksenine paraleldir. b > düþe eksen () b br artýþ (, + b) (, ) (, ) noktası, noktasına ötelenmiş die düşünelim. Şekle göre ata eksende ( ekseninde) 4 br artış, düşe eksende ( ekseninde) br artış olmuş. ( + 4, + ) (,) nin koordinatları toplamı, b br azalýþ (, b) + = 4 tür. ata eksen () Doğru Seçenek 6. SINIF NLİTİK GEMETRİ

27 Doğrunun nalitiği - ölüm Eksenler ve ölgeler irim karelerden oluşan andaki şekil analitik düzlemin bir parçasıdır. k k k k 4 k 5 k 6 d 4 d (, ) (, ) d Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) 4 D) 6 E) 7 Teneffüs d (, 5) Yata doğrular analitik düzlemin eksenine, düşe doğrular eksenine paraleldir. (, 5) noktası ötelendiğinde koordinatları (, ) olan nokta elde edilsin. ( + a, 5 + b) = (, ) + a = Delikanlı Öğrenciden İnciler Delikanlı öğrenci uzun bolu öğretmenlerin tahtaa azdığı sorulara cevap vermeebilir; çünkü; delikanlı öğrenci boundan büük işlere karışmaz. a = 5 noktası atada 5 birim arttırılmalı, 5 + b = b = noktası düşede birim arttırılmalıdır. Şekilde olarak gösterdiğimiz bu nokta d ile k 6 nın kesişim noktasıdır. Doğru Seçenek D DN 4 k k k k 4 k 5 k 6 d 4 d d d nalitik düzlemin bir parçası olan andaki şekil birim karelerden oluşmaktadır. noktasının koordinatları (, 5) dir. k k k k 4 k 5 k 6 d 4 d d d nalitik düzlemin bir parçası olan andaki şekil birim karelerden oluşmaktadır. noktasının koordinatları (, ) dır. Yukarıdaki verilenlere göre, hangi iki doğrunun kesişim noktasının koordinatları (, ) dür? ) d 5, k ) d 4, k 6 ) d, k 4 D) d, k 6 E) d, k Yukarıdaki verilenlere göre, hangi iki doğrunun kesişim noktasının koordinatları (, ) tür? ) d 5, k 4 ) d 4, k 5 ) d, k 4 D) d, k 6 E) d, k. SINIF NLİTİK GEMETRİ 7

28 Eksenler ve ölgeler Doğrunun nalitiği - ölüm Uarı Sorularda ızgaraları oluşturan kareler her zaman birim kare olarak verilmez. unun erine özdeş karelerden oluştuğu ifade edilir. nalitik düzlemde ekseni üzerinde apsisi olan noktanın orijine uzaklığı ne kadar olursa olsun birim olarak kabul edilir. Yine her soruda karelerin karşılıklı kenarları eksenlere paralel olmak zorunda da değildir. (, ) noktasının (, ) noktasına ötelendiğini düşünelim, koordinatlara göre apsis br azalmış, ordinat br artmış. u duruma ugun öteleme şekilde taralı olarak gösterilmiştir. Şekle bakarak noktasını e öteleelim. noktasının apsisi 4 br azalırsa elde edilir. nın ordinatı br artarsa elde edilir. halde (,) olduğundan, nin koordinatları çarpımı ( ) = dır. Doğru Seçenek DN 5 irim karelerden oluşan andaki ızgarada (, ), (, ) ve noktaları şekildeki gibi işaretlenmiştir. Karelerden birinin bir kenarı, koordinat eksenlerin- den birine paraleldir. Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının koordinatları çarpımı kaçtır? irim karelerden oluşan andaki ızgarada (, ), (, 4) ve noktaları şekildeki gibi işaretlenmiştir. Karelerden birinin bir kenarı, koordinat eksenlerinden birine paraleldir. Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının koordinatları çarpımı kaçtır? ) 6 ) 4 ) D) E) 4 ) 4 ) ) D) E) 4 ekseni br azalma ekseni (, ) br artma (,) Şekilde verilen ata doğruların eksenine mi oksa eksenine mi paralel olduğunu bilmioruz. u nedenle hem noktaların koordinatlarına hem de şekildeki birim karelerin kenar saısına dikkat etmemiz gerekecek. DN 6 (,) Dört özdeş karelerden oluşan andaki ızgarada (4, 4), (, ) ve noktaları işaretlenmiştir. Karelerden birinin bir kenarı, koordinat ek- (4, 4) senlerinden birine paraleldir. Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının apsisi kaçtır? ) ) 4 ) 8 D) E) 6 8. SINIF NLİTİK GEMETRİ

29 Doğrunun nalitiği - ölüm Eksenler ve ölgeler ekseni (,) Şekilde verilen ata doğruların k eksenine mi oksa k eksenine mi paralel olduğunu hatta karenin bir kenar uzunluğunun (4, 4) kaç birim olduğunu bilmioruz. dan e öteleme düşünelim. Verilen koordinatlara göre apsis 8 birim artmış, ordinat 4 birim artmış. Şekle baktığımızda k ve k birimlik ötelemenin olduğunu görüoruz. halde, apsis k birimde 8 artarsa k birim de 4 artar ve noktasının apsisi = 8 olur. Doğru Seçenek DN 7 D [D], eksenine paraleldir. irim karelerden oluşan ukarıdaki şekilde,,, D noktaları verilior. Yukarıdaki verilenlere göre, ile D noktalarının koordinatları toplamı, ile noktalarının koordinatları toplamından kaç fazladır? ) ) ) D) 4 E) 5 (,) Dört özdeş karelerden oluşan andaki ızgarada (4, 4), (, ) ve noktaları işaretlenmiştir. Karelerden birinin bir (4, 4) kenarı, koordinat eksenlerinden birine paraleldir. Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının ordinatı kaçtır? ) ) 4 ) 8 D) E) 6 Herhangi bir noktaı orijin seçip tüm noktaların koordinatlarını azarak sonuca gidebilirsiniz. Noktaların koordinatlarını tek tek azmadan da koordinatlar toplamındaki artışı tespit etmek mümkündür. unun için analitik düzlemde kefi bir referans noktası seçip en kısa oldan, ve noktalarına gidebilecek olları toplamak ve çıkarmak eterlidir. D Teneffüs Mekansal Zeka: Kişinin önünü bulup bulamadığı mekansal zekanın göstergesidir. Mimarlar ve futbolcular için oldukça gerekli bir etenektir. Referans noktamız noktası olsun. dan a br, dan e 6 br ol alındığından ve noktalarının koordinatları toplamı 6 + k dır. (k referans noktasının koordinatları toplamıdır.) Şimdi ve D için anı şeleri tekrarlaalım. dan e br, dan D e 6 br ol alındığından ile D noktalarının koordinatları toplamı 9 + k dır. ile D nin koordinatları toplamı, ile nin koordinatları toplamından fazladır. Doğru Seçenek. SINIF NLİTİK GEMETRİ 9

30 Eksenler ve ölgeler Doğrunun nalitiği - ölüm (,4) (5,5) K (, ) D K(,) (,) (,) [D], eksenine paraleldir. irim karelerden oluşan ukarıdaki şekilde,,, D noktaları verilior. (,) (5,) Yukarıdaki verilenlere göre, ile D noktalarının koordinatları toplamı, ile noktalarının koordinatları toplamından kaç fazladır? ) ) ) D) 4 E) 5 [] // [ ], [] // [ ], [] // [ ] [] [ ], [] [ ], [] [ ] ve dir. Uarı nalitik düzlemde noktasının koordinatları toplamı a, noktasının koordinatları toplamı b ise orijin herhangi bir noktaa ötelendiğinde, a b farkı değişmez. DN 8 (a, b) noktası analitik düzlemin I. bölgesinde olduğuna göre, (a, b + ) noktası aşağıdaki taralı bölgelerden hangisindedir? ) ) TNIM Şekli Öteleme: nalitik düzlemde verilen bir şeklin tüm noktalarının anı ) D) önde anı miktar ötelenmesine geometrik şeklin ötelenmesi denir. Şekillerin ötelenmesinde geometrik öze- likler (açılar ve uzunluklar) korunur. Yani medana gelen şekil ilk şekle eş ve karşılıklı kenarları paraleldir. E) şağıdaki dik üçgeninin (,) noktası, orijin olacak şekilde ötelenmesi için, şeklin tüm koordinatlarının apsislerine, ordinatlarına eklenmelidir.. SINIF NLİTİK GEMETRİ

31 Doğrunun nalitiği - ölüm Eksenler ve ölgeler DN 9 I. bölgedeki (a, b) noktasının apsisi negatif önde birim, ordinatı pozitif önde birim ötelenirse (a, b + ) noktası elde edilir. una göre, noktasının bulunduğu I. bölgenin grafi ği ekseninde birim negatif öne, ekseninde birim pozitif öne ötelenmiş olur. nalitik düzlemde (, ) noktalarının medana getirdiği grafi k anda verilmiştir. una göre, ( +, ) noktalarının oluşturduğu grafik aşağıdakilerden hangisidir? ) ) aşka bir ol olarak; (,) noktası I. bölgee dahil olmaan sınırdaki noktadır, öteleme sonucunda (,) noktası da istenen bölgee dahil olmaan sınır nokta ola- ) D) caktır. Doğru Seçenek E) (a, b) noktası analitik düzlemin I. bölgesinde olduğuna göre, (a +, b + ) noktası aşağıdaki taralı bölgelerden hangisindedir? ) ) (, ) noktasının üzerinde bulunduğu grafiğin apsislerini pozitif önde birim, ordinatlarını negatif önde birim ötelersek noktasının, üzerinde bulunduğu grafi k elde edilecektir. ) D) (,) noktalarından ( +, ) noktaların- E) oluşan grafi k dan oluşan grafi k ( noktalarının ötelenmiş hali) Doğru Seçenek E. SINIF NLİTİK GEMETRİ

32 Eksenler ve ölgeler Doğrunun nalitiği - ölüm DN nalitik düzlemde (,) (, ) (, ) K(, ) nalitik düzlemde (, ) noktalarının medana getirdiği grafi k ukarıda verilmiştir. una göre, ( +, ) noktalarının oluşturduğu grafik aşağıdakilerden hangisidir? K(, ) (, ) noktaları verilior. Yukarıdaki verilenlere göre, K noktasının doğru parçasına uzaklığı kaç birimdir? ) 5 ) ) 9 5 D) 5 E) ) ) K noktasını orijine gelecek biçimde öteleelim. K nokta- ) D) sının doğru parçasına uzaklığının değişmemesi için [] doğru parçasını da anı miktarda ötelemek gerekir. u durumda, K(, ) K (,) (apsislere, ordinatlara eklenir.) (, ) (,4) E) (, ) (, ) K ani orijin noktasının [ ] doğru parçasına uzaklığına h dersek Euclid Teoremi nden h hesaplanabilir. = + 4 = 5 birim 4 K h 5 (Pisagor Teoremi) a h = b c (Euclid Teoremi) 5 h = 4 h = birimdir. 5 Doğru Seçenek. SINIF NLİTİK GEMETRİ

33 Doğrunun nalitiği - ölüm Eksenler ve ölgeler Hazine 5 nalitik düzlemde İki nokta arasındaki uzaklık: K 5, 7, 5 7 K, noktaları verilior. Yukarıdaki verilenlere göre, K noktasının doğru parçasına uzaklığı kaç birimdir? (, ) ve (, ) noktaları arasındaki uzaklık, = ( ) + ( ) ) 5 ) ) 9 5 D) 5 E) dir. TNIM İki Nokta rasındaki Uzaklık: [] doğru parçasının uzunluğuna ile noktaları arasındaki uzaklık denir ve şeklinde gösterilir. ir noktanın orijine olan uzaklığını Pisagor Teoremi le hesaplamaı öğrenmiştik. [] doğru parçasını vea noktalarından birini orijine öteleerek ile noktalarının arasındaki uzaklığı bulabiliriz. Not nalitik geometride formüllerin akılda kalması ve etkin kullanılması için zihnimizde çağrışım apacak ve bizi önlendirecek kodlamalar apmak gerekir. Örneğin, iki nokta arasındaki uzaklık formülü için; " ler farkı ile ler farkına Pisagor ugulanır" gibi zihninizde bir kodlama apabilirsiniz. (,) nalitik geometride formül azılmaz, verilen değerlerle (,) (,) (, ) hemen ugulanır. ncak böle davrandığınız sürece analitik geometrinin formül ığını olmadığını düşünürsünüz. Uç noktaları (, ), (, ) olan [] doğru parçasını noktasını orijine gelecek şekilde ötelersek, (, ) elde ederiz. ( dörtgeninin paralelkenar olacağına dikkat ediniz.) DN nalitik düzlemde (8, ) ile (5, ) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? dir. = = ( ) + ( ) birim ) 5 ) 6 ) D) E). SINIF NLİTİK GEMETRİ

34 Eksenler ve ölgeler Doğrunun nalitiği - ölüm = ( 8 5) + ( ) = + 4 = 5 birimdir. nalitik düzlemde (, ) noktasından 5 birim uzaklıkta ve IV. bölgede bulunan (k, ) noktasının apsisi kaçtır? ) ) ) D) 4 E) 5 Doğru Seçenek nalitik düzlemde (, ) ile (5, ) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? ) 5 ) 6 ) D) E) DN nalitik düzlemde (, ) ve (, ) noktalarından eşit uzaklıkta olan, ekseni üzerindeki noktanın apsisi kaçtır? ) 4 ) ) 8 D) E) DN nalitik düzlemde (, ) noktasından 5 birim uzaklıkta ve III. bölgede bulunan (k, ) noktasının apsisi kaçtır? ) ) ) D) 4 E) 5 = ( k) + ( + ) ekseni üzerindeki nokta K(k, ) olsun, K = K ise ( k) + ( ) = ( k) + ( ) k + k+ + 4 = k 4k k = 8 4 k = Doğru Seçenek 5 = ( k ) + 9 (k ) = 6 k = ± 4 k = 5 vea k = noktası III. bölgede olduğundan, nin apsisi tür. Doğru Seçenek Hatırlatma (a b) = (b a) a b = b a 4. SINIF NLİTİK GEMETRİ

35 Doğrunun nalitiği - ölüm Eksenler ve ölgeler DN 4 nalitik düzlemde (, ) ve (, 4) noktalarından eşit uzaklıkta olan, ekseni üzerindeki noktanın apsisi kaçtır? ) ) 8 ) 7 D) E) 5 nalitik düzlemde (5, ), (, ), ve = verilior. Yukarıda verilenlere göre, orijine en akın noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) ) 8 ) 4 D) E) 6 Hazine 6 psisler a da rdinatlar eşitse: (5, ) ve (, ) noktalarının ordinatları eşit olduğundan doğrusu eksenine paraleldir. olduğundan noktasının da ordinatı dir. noktasının apsisi olsun, = 5 = 5 b c (a,b) b c (a,c) 5 = 4 5 = 4 vea 5 = 4 = 9 vea = a (9, ) vea (, ) dir. psisleri eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık ordinatlar farkının mutlak değerine eşittir. (psisleri eşit olan noktalar eksenine dik olan doğru üzerindedir.) (a, b), (a, c) = b c birimdir. rijine (, ) noktası daha akın olduğundan koordinatları toplamı; + ( ) = dır. noktasının ile çakışık olduğuna dikkat ediniz. Doğru Seçenek D b (a,b) a c (c,b) a c rdinatları eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık apsisleri farkının mutlak değerine eşittir. (rdinatları eşit olan noktalar eksenine paralel olan doğru üzerindedir.) (a, b), (c, b) = a c birimdir. nalitik düzlemde (5, ), (5, ), ve = verilior. Yukarıda verilenlere göre, orijine en akın noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) ) 4 ) 5 D) 6 E) 8. SINIF NLİTİK GEMETRİ 5

36 Eksenler ve ölgeler Doğrunun nalitiği - ölüm DN nalitik düzlemde dik üçgen [] [] = 4 5 br (,) ve (,) Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir? ) ) ) 5 D) 6 E) 5 ( 4, 4) nalitik düzlemde dik üçgen [] [] = 5 birim ( 4, 4) Yukarıda verilenlere göre, kaç birimdir? ) 6 ) DN 6 ) 5 D) 8 E) nalitik düzlemde D D kare ve noktaları eksenler üzerindedir birim H Yukarıda verilenlere göre, noktasının apsisi, D noktasının ordinatından kaç fazladır? ) ) ) D) E) = H ( 4 5) = H H = 8 birim H = 8 = birim H = H H H = 8 = 4 birim H dik üçgeninde Pisagor Teoremi nden, [DK] [H] D K = a b = b olsun. a b a H, H ve DK üçgenleri eşittir. buluruz. = 4 + = 5 birim Doğru Seçenek E noktasının apsisi a + b D noktasının ordinatı a + b olup, bu ikisi birbirine eşit olduğundan fark dır. Doğru Seçenek 6. SINIF NLİTİK GEMETRİ

37 Doğrunun nalitiği - ölüm Eksenler ve ölgeler DN 7 nalitik düzlemde D kare D (, ) (4, ) Yukarıda verilenlere göre, noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) D) 4 E) 5 nalitik düzlemde üçgen [DE] // D E(4,) D = D E(4, ) Yukarıda verilenlere göre, noktasının apsisi, noktasının apsisinden kaç fazladır? ) ) 6 ) 7 D) 6 E) 4 Teneffüs Zaman Hesabı Her sabah hesabınıza 86.4 TL atıran bir banka düşünün. Gün bou istediğiniz kadar paraı harcamakta vea harcamamakta serbestsiniz. Fakat sadece bir şart var. Harcamadığınız para ne kadar olursa olsun ertesi güne devredemez. ma ertesi gün bir önceki günün parasını harcasanız da harcamazsanız da ine 86.4 TL alacaksınız. Thales Teoremi nden, D DE = olduğunu bilioruz. ED = k birim ise = k birim olur. ED = 4 birim olduğundan, = 6 birimdir. Doğru Seçenek öle bir durumla karşılaşsadınız ne apardınız? Herhalde bu paraı her gün harcamak için çabucak bir ol bulurdunuz. İhtiacınız olan her şei almaa başlardınız. ncak zeki iseniz bu paraı her gün atıracak bir er bulup uzun vadede en büük getirii almaa çalışırdınız. Farkında olun a da olmaın haatınızın her gününde böle bir durumla karşı karşıasınız. Zaman bir banka dır ve size her gün istediğiniz şekilde harcaabileceğiniz 86.4 sanie verior. u zamanı kullanmaı başaramazsanız onu ebedien kabedeceksiniz. aşarılı insanlar, zamanın değerinin farkındadır. nalitik düzlemde üçgen [DE] // D E(,k) D = D E(, k) Yukarıda verilenlere göre, noktasının apsisi, noktasının apsisinden kaç fazladır? ) ) 8 ) 6 D) 4 E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 7

38 Eksenler ve ölgeler Doğrunun nalitiği - ölüm TEST -. (m n, n m ) noktası analitik düzlemin başlangıç noktasıdır. 4. (m + n, m n) noktası analitik düzlemin II. bölgesinde olduğuna göre, (m, n) noktası hangi bölgededir? ) I ) II ) III D) IV E) rijin una göre, m + n kaçtır? ) 5 ) 4 ) D) E) 6 5. p Z olmak üzere, (p 5, 4p ) noktası analitik düzlemin II. bölgesindedir.. (m m +, m m ) noktası herhangi bir eksen üzerinde değildir. una göre, noktası analitik düzlemin hangi bölgesindedir? Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) 4 ) ) D) E) ) I ) II ) III D) IV E) rijin. 6. nalitik düzlemde koordinatları tam saı olan noktalara kafes noktası denir. K(a, a + ) noktası II. bölgede bir kafes noktasıdır. Yukarıdaki verilenlere göre, kaç tane K noktası vardır? E ) 64 ) 49 ) 6 D) 9 E) 8 D Yukarıdaki şekle göre, aşağıdakilerden hangisi anlıştır? ) noktası analitik düzlemin I. bölgesindedir. ) noktası analitik düzlemin II. bölgesindedir. ) noktası analitik düzlemin III. bölgesindedir. D) D noktası analitik düzlemin IV. bölgesindedir. E) E noktası I. ve IV. bölgelerin kesiştiği eksen üzerindedir. 7. nalitik düzlemde koordinatları tam saı olan noktalara kafes noktası denir. (a, ) ve (a, a 4) noktaları analitik düzlemin anı bölgesinde bulunan kafes noktalarıdır. Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının koordinatlarının çarpımı en az kaçtır? ) 8 ) 6 ) 4 D) E) 8. SINIF NLİTİK GEMETRİ

39 Doğrunun nalitiği - ölüm Eksenler ve ölgeler 8. = {(, ): <, = ve Z} kümesinin analitik düzlemde görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?. = { R: } ve = { R: = } dir. una göre, kümesinin analitik düzlemdeki görüntüsü nedir? ) ) ) ) ) D) ) D) E) E) 9. = { R : < } ve = {, } olduğuna göre, kümesinin analitik düzlemdeki görüntüsü nedir? ) ) ) D). ( +, ) noktası analitik düzlemin II. bölgesinde olduğuna göre, (, ) noktası aşağıdaki taralı bölgelerden hangisindedir? ) ) ) D) E) E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 9

40 Eksenler ve ölgeler Doğrunun nalitiği - ölüm. (, a + 4) noktası analitik düzlemin III. bölgesinde olduğuna göre, (a, ) noktası aşağıdaki taralı bölgelerden hangisindedir? ) ) 4. = {(, ):, > } kümesinin analitik düzlemdeki görüntüsü nedir? ) ) ) D) ) D) E) E) 4. (m, n + ) noktası analitik düzlemin I. bölgesinde olduğuna göre, (m +, n) noktası aşağıdaki taralı bölgelerden hangisindedir? ) ) 5. = {(, ): <, + } kümesinin analitik düzlemdeki görüntüsü nedir? ) ) ) D) ) 4 D) E) E) D.E 4. 5.E 6.E D.E.D 4. 5.E 4. SINIF NLİTİK GEMETRİ

41 DĞRUNUN NLİTİĞİ - ÖLÜM RT NKT TNIM Paralelkenar: Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgenlere paralelkenar denir. DN nalitik düzlemde köşeleri (4, ), (, ), (, 5) ve D(, ) olan D dörtgeni paralelkenar olduğuna göre, + kaçtır? ) ) 8 ) D) 4 E) 8 Işık 8 Paralelkenar oluşturma şartları: D paralelkenar ise [] // [D], [D] // [], = D ve D = dir. Karşılıklı iki kenarı eşit uzunlukta ve paralel olan dörtgenler paralelkenardır. ile, ile D karşılıklı köşeler olduğundan, 4 + ( ) = + ve + 5 = + D(4, 4) (, ) D = = ve = 6 + = + 6 = 8 dir. (, ) (, ) (,) = (,) [D] doğru parçasını noktası orijine gelecek biçimde ötelersek, (,) ve D ( 4, 4 ) olur. den a ve den D e koordinatlardaki artışlar sabittir. [] doğru parçasını noktası orijine gelecek biçimde ötelersek, (,) ve (, ) olur. D(,) (,5) ve çakışık ise D ve çakışıktır ani koordinatları eşittir. 4 = ve 4 = (karşılıklı artışlar eşit) (4,) (,) + = + 4 ve + = + 4 (, ), (, ), (, ) ve D( 4, 4 ) noktalarını köşe kabul eden D dörtgeninin paralelkenar olması için, + = + 4 ve + = + 4 olmalıdır. (Karşılıklı köşelerin apsisleri toplamı eşittir. Karşılıklı köşelerin ordinatları toplamı eşittir.) Paralelkenara ait tüm özellikler, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve karede geçerlidir. psisler için, den 4 e artış, den e artış olmalı = + = dir. rdinatlar için, den e artış, 5 den e artış olmalı = 5 + = 6 + = + 6 = 8 dir. Doğru Seçenek. SINIF NLİTİK GEMETRİ 4

42 rta Nokta Doğrunun nalitiği - ölüm G noktasına, [] doğru parçasının ağırlık merkezi denir. nalitik düzlemde köşeleri (, ), (, ), (, ) ve D olan D dörtgeni paralelkenar olduğuna göre, D noktasının koordinatlarının çarpımı kaçtır? ) 6 ) 8 ) 4 D) E) ve noktalarına G noktasına göre simetriktir denir. Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortaladığından, köşegenlerin kesişim noktasına paralelkenarın simetri merkezi denir. Simetri merkezi paralelkenarın ağırlık merkezidir. D TNIM G rta Nokta: G [] olmak üzere G = G ise G noktası, [] doğru parçasının orta noktasıdır. irbirini ortalaan iki doğru parçasının uç noktaları paralelkenar oluşturur. (, ), (, ) olsun. (, ) G(, ) G, (,), G (,) (, ) noktasının G(, ) noktasına göre simetriği noktası ise (, ) dir. (rtadakinin iki katı eksi uçtaki) (, ) [G] doğru parçasını noktası orijine gelecek biçimde ötelersek, (, ) ve G (, ) olur. [G] doğru parçasını G noktası orijine gelecek biçimde ötelersek, G (, ) ve (, ) olur. ve G çakışık olduğundan G ve çakışıktır. = ve = (karşılıklı artışlar eşit) DN nalitik düzlemde (, 4), (5, ) olmak üzere [] doğru parçasının orta noktasının koordinatları çarpımı kaçtır? ) 6 ) 8 ) D) E) 4 dir. + ve + = = Hazine 7 (, ), (, ) olmak üzere, [] doğru parçasının orta noktası G + +, dir. [] doğru parçasının orta noktası G , G(, 7) ise G nin koordinatları çarpımı 7 = 4 tür. 4. SINIF NLİTİK GEMETRİ

43 Doğrunun nalitiği - ölüm rta Nokta dan G e, G den e br deki artış miktarı eşit olduğundan, dan e ani birimdeki artış miktarı kat olacaktır. Yani orantılı artış söz konusudur. 6 artýþ artýþ (, 4) (5, ) G(, ) psisler için, den 5 e 6 br artış ( br de) br de br artış olur. = + = rdinatlar için, 4 den a 6 artış ( br de) br de artış olur. = 4 + = 7 G nin koordinatları çarpımı 7 = 4 tür. ekseni üzerindeki nokta (a, ) olsun. ile noktaları noktasına göre simetrikse, noktası [] doğru parçasının orta noktasıdır. rdinatların eşitliğinden apsislerin eşitliğinden m 5+ m+ m + ( ), m 4 m 4, ve ( a, ) m 4 =, m = 4 ve m a = = = = 4 Doğru Seçenek E tür. Doğru Seçenek nalitik düzlemde (, 6), (5, 8) olmak üzere [] doğru parçasının orta noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) 6 ) 8 ) D) E) 4 nalitik düzlemde (, 5) ile (5, 7) noktası, noktasına göre simetriktir. una göre, noktasının apsisi ordinatından kaç fazladır? ) 4 ) ) D) E) 4 DN nalitik düzlemdeki (m 5, m ) ile (m +, ) noktası, ekseni üzerindeki noktasına göre simetriktir. una göre, noktasının apsisi kaçtır? ) 4 ) ) D) E) 4 DN 4 nalitik düzlemde ( 9, 5), (m, m + 4), ( 6 m, m) dir. una göre, üçgeninin [] kenarına ait kenarortaının uzunluğu kaç birimdir? ) 5 ) ) D) 5 E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 4

44 rta Nokta Doğrunun nalitiği - ölüm [] kenarının orta noktası D olsun, ( 9,5) Eksenlere dik olmaan bir doğru üzerinde bulunan,, noktaları ve bu noktaların eksenler üzerindeki izdüşümleri,,,,, olmak üzere, noktalar arasındaki uzaklıkların oranı ile izdüşümlerinin arasındaki uzaklıkların oranları eşittir. (m, m + 4) D( 4,) ( 6 m, m) = D m + ( 6 m ) m+ 4 + m, dir. D( 4, ) D = ( 9 ( 4)) + ( 5 ) = birim Doğru Seçenek Özel olarak,,, noktalarının apsisleri eşitse bu noktalar eksenine dik olan doğru üzerindedir. Noktalar arasındaki uzaklıklar oranı, eksenindeki izdüşümleri arasındaki uzaklıklar oranına eşittir. = nalitik düzlemde (, ), (, 4), (, ) dir. una göre, üçgeninin [] kenarına ait kenarortaının uzunluğu kaç birimdir? ) 5 ) ) D) 5 E) nı mantıkla,,, noktalarının ordinatları eşitse bu noktalar eksenine dik olan doğru üzerinde sıralanır. Noktalar arasındaki uzaklıklar oranı, eksenindeki izdüşümleri arasındaki uzaklıklar oranına eşittir. u NT un hemen ardından, aşağıdaki IŞIK ı verebiliriz. Not Işık 9 (, ) Î (, ) (, ) Yukarıdaki şekilde, = = dir. = = 44. SINIF NLİTİK GEMETRİ

45 Doğrunun nalitiği - ölüm rta Nokta DN 5 nalitik düzlemde üçgen halde dir. k + 5 = k = E F( n, ) (n,k) D [D] [E] = {F} E = E Doğru Seçenek ile noktalarının apsislerinin toplamı 8n, ordinatlarının toplamı dur. (n, k) ve F( n, ) Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının ordinatı kaçtır? ) ) ) D) 4 E) 5 nalitik düzlemde üçgen E [D] [E] = {F} F(5,) E = E (,4) D ile noktalarının apsislerinin toplamı 4, E( 4n,5) F( n,) (n,k) D (, 4) ve F(5, ) Yukarıdaki verilenlere göre, E noktasının ordinatı kaçtır? ) ) ) D) E) E, [] nin orta noktası 8n E, E( 4n, 5), F, E noktaları doğrusal ve F n ( n) n = = = F = FE FE n ( 4n) n dir. F, [E] nin orta noktasıdır. (nı sonuca, ile E noktalarının apsisleri toplamının arısının F noktasının apsisine eşit olduğunu görerek de ulaşabilirsiniz.) DN 6 nalitik düzlemde [] ve = olmak üzere, (, ), (, 4) ve (a, b) noktaları verilior. una göre, a + b toplamı kaçtır? ) 4 ) 7 ) D) 7 E) 4. SINIF NLİTİK GEMETRİ 45

46 rta Nokta Doğrunun nalitiği - ölüm Noktaların koordinatlarındaki artış miktarı orantılı artar. (a,b) (, ) (,4) k k (a,b) k (, ) k (,4) apsisler: a ordinatlar: b 4,, noktaları arasındaki uzaklıkların oranı, eksenler üzerindeki izdüşümlerinde de anı olduğundan a değerini bulmak için sadece apsislerin kullanılması eterlidir. = a = a = 4 a = 7 nı mantıkla b değeri için ordinatları kullanmalı, apsisler: a +4 + ordinatlar: b 6 4 psislere dikkat edilirse, k birimde den a artış miktarı + dir. una göre k birimde artış +4 olmalıdır. nın apsisi +4 arttırılırsa a = + 4 = 7 dir. rdinatlara dikkat edilirse, k birimde den a 6 artış (6 azalış) olmuş demek ki k da artış olmalı, nın apsisi arttırılırsa b = = 4 tür. a + b = 7 4 = 7 dir. Doğru Seçenek E = b = 4 ( ) b = b = 4 İşlem hızlılığı için mutlak değer işlemini atlaabiliriz alnız çıkarılacak koordinatlar anı önde olmalıdır. Örneğin, b değerini bu olla tekrar bulalım: nalitik düzlemde [] ve = olmak üzere, (, ), (, ) ve (a, b) noktaları verilior. una göre, a + b toplamı kaçtır? ) ) ) D) E) = b ( ) = ( 4) b = 4 = b = (4 ( )) b = 4 Not nı doğru üzerinde bulunan noktaların apsisleri ve ordinatları daima sıralıdır. nı önde çıkarma aparken mutlak değerlerin ikisini birden a pozitif a da negatif almış oluoruz. Mutlak değerlerin ikisi birden negatif olsa bile oran söz konusu olduğundan sonuçta eşitlik bozulmaz. DN 7 nalitik düzlemde (, ), (, 5), (a, b) noktaları doğrusal ve = tür. una göre, a b çarpımı en az kaçtır? ) 6 ) ) 54 D) 4 E) SINIF NLİTİK GEMETRİ

47 Doğrunun nalitiği - ölüm rta Nokta (, ) ve (, 5) noktalarını işaretleelim. = koşulunu sağlaan iki farklı noktası vardır. k k + k psisler: rdinatlar: Şu halde, noktası a (, 4) a da (9, 4) olur. 4 = ve 9 4 = 6 noktasının ordinatının en küçük olması için,, noktalarının hangi sıralanışta olması gerektiğini tespit edelim. unun için noktaları ordinatlarına göre sıralamak ve verilen oranın sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek gerekir. k k ordinatlar azalma önü zalma önüne göre nin en küçük değeri ukarıdaki dizilişte mümkündür. = = = 9 Doğru Seçenek olduğundan, a b en az dir. Doğru Seçenek nalitik düzlemde (, ), (, 5), (a, b) noktaları doğrusal ve = tür. una göre, a b çarpımı en çok kaçtır? nalitik düzlemde (, ), (7, ), (a, b) noktaları doğrusal ve = tür. una göre, noktasının ordinatı en çok kaçtır? ) ) ) D) 4 E) 5 ) 6 ) ) 54 D) 4 E) 6 DN 8 nalitik düzlemde (, ), (7, ), (, ) noktaları doğrusal ve = tür. una göre, noktasının ordinatı en az kaçtır? ) 9 ) 8 ) 7 D) E) DN 9 nalitik düzlemde (a,a), (a, 4a + ), (6a, 8a + 4) noktaları doğrusaldır. una göre, oranının en büük değeri kaçtır? ) ),5 ) D),5 E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 47

48 rta Nokta Doğrunun nalitiği - ölüm Noktalar arasındaki uzaklık, eksenler üzerindeki izdüşüm noktaları arasındaki uzaklıkla orantılıdır. Eksenler üzerindeki noktaların arasındaki uzaklıkları bulmak için apsisler vea ordinatlar farkını almak etiordu.,, noktaları eksenlere dik olmaan bir doğru üzerinde ise DN nalitik düzlemde (, ), (4, ), (, ) noktaları doğrusal ve + = dir. una göre, in alabileceği tam saı değerleri ile ten bağımsız nin alabileceği tam saı değerlerinin toplamı kaçtır? ) 4 ) ) D) E) 6a a a = = = =, ( a ) a a a 5,, noktaları eksenine dik doğru üzerinde ise üç noktanın da apsisi eşit olmalı. a = a = 6a eşitliklerini sağlaan a değeri dır. a = için (, ), (, ), (, 4) olduğundan, = 4 =,, noktaları eksenine dik doğru üzerinde ise üç noktanın da ordinatı eşit olmalı, a = 4a + = 8a + 4 eşitliklerini sağlaan a değeri oktur. halde, oranının en büük değeri,5 tur.,, doğrusal ve + = olduğundan [] Doğrusal noktaların apsisleri ve ordinatları sıralı olduğundan, 4 {,,, 4} {,,, } Tüm değerlerin toplamı; ( ) + ( ) + ( ) + = 4 tür. Doğru Seçenek Doğru Seçenek nalitik düzlemde (a, a), (a, 4a + ), (6a, 8a + 4) noktaları doğrusaldır. una göre, oranının en küçük değeri kaçtır? ) ),5 ) D),5 E) nalitik düzlemde (, ), (4, ), (, ) noktaları doğrusal ve + = dir. una göre, nin alabileceği tam saı değerlerinin toplamı kaçtır? ) 6 ) ) D) 6 E) 48. SINIF NLİTİK GEMETRİ

49 Doğrunun nalitiği - ölüm rta Nokta DN nalitik düzlemde (, 6), (, ), (, ), [] ve < dir. una göre, in alabileceği tam saı değerleri ile ten bağımsız nin alabileceği tam saı değerlerinin toplamı kaçtır? DN nalitik düzlemde olmak üzere, (, ), (, ) ve (, + ) olduğuna göre, in en küçük değeri kaçtır? ) ) ) D) E) ) 5 ) 4 ) D) E) (, 6) G(, ) (,) (,) [] doğru parçasının orta noktası G olsun, [] ve < olması için [G[ olmalıdır. Doğrusal noktaların apsisleri ve ordinatları sıralı olduğundan, < {, } 6 < { 6, 5, 4, } Tüm değerlerin toplamı; + + ( 6) + ( 5) + ( 4) + ( ) = tür., ve noktalarının doğrusal olmak zorunda olmadığından iki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılmalıdır; ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) in en küçük değeri dir. Doğru Seçenek E Doğru Seçenek nalitik düzlemde (, 6), (7, ), (, ), [] ve < dir. una göre, in alabileceği tam saı değerleri kaç tanedir? ) ) ) D) 4 E) 5 nalitik düzlemde olmak üzere, (, ), (, ) ve (a, a + ) olduğuna göre, a nın en küçük değeri kaçtır? ) ) ) D) E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 49

50 rta Nokta Doğrunun nalitiği - ölüm DN TNIM (,m) E D(p,4) (k,4) (,) (,n) nalitik düzlemde [] [E] = {D} [E [ = {} (k, 4), (, n), (, m) D(p, 4), (, ) ölen Nokta: [] ise noktasına, [] doğru parçasını içten bölen nokta denir.,, doğrusal ve [] ise noktasına, [] doğru parçasını dıştan bölen nokta denir. Doğru parçasını bölen nokta, ifadesi kullanıldığında noktaların doğrusal olduğu kabul edilir. Yukarıdaki verilenlere göre, E kaç birimdir? ) ) 4 ) 5 D) 6 E) 8 noktası, [] doğru parçasının dıştan bölen noktası ise, noktası [] nin a da noktası [] nın içten bölen noktasıdır. E(, ) olsun, (, n), (, m) noktalarının apsisi eşit olduğundan ve bu noktalarla doğrusal olan E(, ) noktasının apsisi de değişmeeceğinden = tür. (k, 4), D(p, 4) noktalarının ordinatı eşit olduğundan ve bu noktalarla doğrusal olan E(, ) noktasının ordinatı da değişmeeceğinden = 4 tür. DN 4 nalitik düzlemde (4, ), (, ) noktaları verilior. [] doğru parçasını = oranında dıştan bölen noktasının koordinatları toplamı a + dir. Yukarıdaki verilenlere göre, a kaçtır? ) ) ) D) E) E(, 4) noktasının orijine uzaklığı E = 5 birimdir. Doğru Seçenek k k (4, ) (,) (,) (,m) nalitik düzlemde [] [E] = {D} [E [ = {} E (k, 5), (, n), (k,5 ) D(p,5) (,) (,n) (, m) D(p, 5), (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, E kaç birimdir? dıştan bölen nokta olduğundan noktası orta nokta olacak şekilde sıralanırlar, = ( ) 4 = 8 = () ( ) = 7 + = a + = a = dir. Doğru Seçenek ) ) 5 ) 7 D) E) 5 5. SINIF NLİTİK GEMETRİ

51 Doğrunun nalitiği - ölüm rta Nokta DN 5 nalitik düzlemde (4, ), (, ) noktaları verilior. [] doğru parçasını = oranında dıştan bölen noktasının apsisi en çok kaçtır? ) 6 ) ) 8 D) 6 E) nalitik düzlemde köşeleri (, ), (, ), ( 4, 6) olan üçgensel bölgesinin ağırlık merkezinin koordinatları G(, ) dir. una göre, kaçtır? ) 4 ) ) D) E) 4 TNIM Üçgenin Kenarortalarının Kesişim Noktası: Üçgenin kenarortaları bir noktada kesişir, bu nokta, üçgensel bölgesinin ağırlık merkezidir. G + + ( 4) + ( ) + 6, G(, ) (, ) = ve = k G tür. = = 4 k (, ) D (, ) Doğru Seçenek E D noktası, [] kenarının orta noktası ve G noktası, [D] doğru parçasını G = GD oranında içten bölen noktadır. Işık Üçgenin Kenarortalarının Kesişim Noktası: Köşeleri (, ), (, ), (, ) olan üçgenin kenarortalarının kesişim noktasının koordinatları; nalitik düzlemde köşeleri (, ), (a, ), ( 4, b) olan üçgensel bölgesinin ağırlık merkezinin koordinatları G(, ) dir. tür. G , una göre, a + b toplamı kaçtır? ) 6 ) 8 ) D) E) 4. SINIF NLİTİK GEMETRİ 5

52 rta Nokta Doğrunun nalitiği - ölüm Hatırlatma Menelaus Teoremi: üçgeninde [D] köşegeni çizilirse paralelkenarda köşegenler birbirini ortaladığından DL = L olur. F E D [] [DF] = {E} D F E = D F E F DE = D EF (,4) D(9, ) K E L (8,) eva Teoremi: E = E verildiğinden K noktası, D üçgeninin kenar- ortalarının kesişim noktasıdır. F P D E üçgeninde [D] [E] [F] = {P} F D E = F D E K ( ), K(6, ) Koordinatların çarpımı 6 = dir. Doğru Seçenek Euclid ranı: c b p k c = b p H k DN 6 D(9, ) K D paralelkenar [] [DE] = {K} (,4) E (8,) E = E (, 4) (8, ) D(9, ) Yukarıdaki verilenlere göre, K noktasının koordinatları çarpımı kaçtır? ) ) 5 ) 6 D) 8 E) D paralelkenar D(9,) [] [DE] = {K} K E = E (, 4) (,4) E (4,) (4, ) D(9, ) Yukarıdaki verilenlere göre, K noktasının koordinatları çarpımı kaçtır? ) ) 5 ) 6 D) 8 E) 5. SINIF NLİTİK GEMETRİ

53 Doğrunun nalitiği - ölüm rta Nokta DN 7 D(c,d) (4, ) D dikdörtgen D(c,d) (4, ) [] [DE] = {K} L k (,8) K(,) E (a,b) E = E (, 8), (a, b) (4, ), D(c, d) K(, ) K k k (,8) E (a,b) [D] i çizelim ve [D] [] = {L} dielim. Yukarıdaki verilenlere göre, çarpımı kaçtır? ) ) ) 6 D) 8 E) K, D üçgeninin kenarortalarının kesiştiği nokta olduğundan KL = k ve K = k L = k Köşegenler birbirini ortaladığından, L = L = k K = 4k K noktası, [] doğru parçasını K k K = 4k = Dikdörtgende paralelkenar özellikleri geçerlidir. a + c = + 4 ve b + d = 8 + ( ) a + c = 5, b + d = 7 dir. oranında içten bölen noktadır. n K n (,8) (,) (4, ) [D] köşegeni çizilirse, medana gelen D üçgeninin kenarortalarının kesişim noktası K dır. psisler n de artarsa, n de artar, = + = D(c,d) (,8) K(,) E (4, ) a c = + + = + ( 5) = ve (a,b) 8 b d = = + ( 7) = 5 = 5 = rdinatlar n de 9 artarsa, n de artar, = 8 = 5 =, = 5 = 5 = dur. Doğru Seçenek dur.. SINIF NLİTİK GEMETRİ 5

54 rta Nokta Doğrunun nalitiği - ölüm FD ile FE üçgenlerinin benzerliğinden D (5,) D dikdörtgen [] [DE] = {K} E = E (,7) K(,) E (, 7), (5, ) K(, ) Yukarıdaki verilenlere göre, çarpımı kaçtır? ) ) 5 ) 6 D) 8 E) F F = dür. F noktası, [] doğru parçasını F = F oranında içten bölen noktadır. F(, ) olsun, apsiler 4n de 4 artarsa n de artar, = + = rdinatlar 4n de 8 artarsa, n de 6 artar, = + ( 6) = DN 8 + = + ( ) = D F E D kare [] [DE ] = {F} E = E dir. Doğru Seçenek D (, ) (, 5) Yukarıdaki verilenlere göre, F noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) D) E) D D kare E = k olsun, E = k, = D = k D k n F n (, 5) k E k F [] [DE ] = {F} E E = E (, ) (6, ) Yukarıdaki verilenlere göre, F noktasının koordinatları toplamı kaçtır? (,) ) ) ) 4 D) 5 E) SINIF NLİTİK GEMETRİ

55 Doğrunun nalitiği - ölüm rta Nokta DN 9 üçgen, E, D doğrusal E [E] ve [E] (, ) D( 6,) açıorta = 4 (, ), D( 6, ) Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının koordinatları toplamı kaçtır? üçgen, E, D doğrusal E [E] ve [E] açıorta (, ) D (9, ) = 4 (, ), (9, ) Yukarıdaki verilenlere göre, D noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) 5 ) 4 ) D) E) ) ) ) 8 D) 4 E) Üçgenin iç açıortaları bir noktada kesiştiğinden [D] açıortadır. çıorta teoremine göre, D 4k k = = 4 E D 4a a (, ) D( 6,) (,) psisler 4a da 8 artarsa, a da 6 artar, = 6 + ( 6) = rdinatlar 4a da 4 artarsa, a da artar, DN 75 (,4) D (5,) üçgen m( D ) = md ( ) = 75 = D (, 4) (5, ) Yukarıdaki verilenlere göre, D noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) D) 6 E) = + = 4 dir. + = + 4 = 8 k 75 k 75 Doğru Seçenek (,4) D (5,) [] doğru parçası, D üçgeninin dış açıortaıdır.. SINIF NLİTİK GEMETRİ 55

56 rta Nokta Doğrunun nalitiği - ölüm Dış çıorta Teoremi ne göre, = = D D D = D ani, D orta noktadır. D , D(, ) DN nalitik düzlemde, ( 8, 9) ve (8, 9) noktaları verilior. una göre, i = oranında dıştan bölen noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) ) 4 ) 5 D) 6 E) 7 Koordinatları toplamı tür. Doğru Seçenek E nın koordinatlar toplamı: = 4 7 (,4) D (5,6) üçgen m( D ) = 4 md ( ) = 7 = D (, 4), (5, 6) nin koordinatlar toplamı: 8 9 = dir. nin koordinatlar toplamı k olsun. k +4 + Yukarıdaki verilenlere göre, D noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) 4 ) ) 9 D) 6 E) birimde artış var ise, birimde 4 artış olur. tir. k = + 4 = 5 Doğru Seçenek nı doğrunun üzerindeki, eşit aralıklarla alınan noktaların apsislerinin ve ordinatlarının birer aritmetik dizi oluşturduğunu zaten bilioruz. Pratiklik sağlaması açısından, buna çok benzeen IŞIK i verelim. Işık nı doğrunun üzerindeki, eşit aralıklarla alınan noktaların koordinatlar toplamı, koordinatlar farkının mutlak değeri,... aritmetik dizi oluşturur. nalitik düzlemde ( 8, 8) ve ( 7, ) noktaları verilior. una göre, [] i, = oranında içten bölen noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) D) E) SINIF NLİTİK GEMETRİ

57 Doğrunun nalitiği - ölüm rta Nokta TEST -. nalitik düzlemde (, a), (, 4), (b, 6) ve, [] nın orta noktasıdır. 4. nalitik düzlemde (, 5) ile noktası, (5, ) noktasına göre simetriktir. una göre, noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 D) E) una göre, a b çarpımı kaçtır? ) ) ) D) E) 4. nalitik düzlemde (, ) ve (5, 8) noktalarından eşit uzaklıkta bulunan K noktası, doğrusu üzerindedir. una göre, K noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? 5. nalitik düzlemde,, noktaları doğrusaldır. (a, a), (b + 5, b + ) ve = dir. Yukarıdaki verilenlere göre, noktası aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) (, ) ) (, ) ) (, ) D) (, ) E) ( 99, ) ) (, ) ) (, 5) ) (5, ) D) (, 4) E) (4, ). nalitik düzlemde K, doğru parçasının orta noktasıdır. (a +, b), (4 a, b + 7) dir. una göre, K noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) 4 ) ) 9 D) 8 E) 6 6. nalitik düzlemde noktası, [] nın orta noktasıdır. noktasının koordinatlarının toplamı 7, noktasının koordinatlarının toplamı tür. Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının koordinatlarının toplamı kaçtır? ) 8 ) 9 ) D) E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 57

58 rta Nokta Doğrunun nalitiği - ölüm 7. nalitik düzlemde (, 7), (, 4) ve (9, 6) olan üçgeninde [] kenarına ait kenarorta [D] dir. Yukarıdaki verilenlere göre, D kaç birimdir? ) 5 ) ) 5 D) 7 E). D(9,) N (,6) M P K (, 6) L (,) nalitik düzlemde K, L, M, N noktaları D dörtgeninin kenar orta noktalarıdır. [KM] [NL] = {P} Yukarıdaki verilenlere göre, P noktasının eksenine uzaklığı kaç birimdir? ) ),5 ) D),5 E) 8. nalitik düzlemde ardışık köşeleri (, ), (, ), (5, ) ve D olan D dörtgeni paralelkenardır. una göre, D noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? ) (4, ) ) (, 4) ) (4, ) D) (, ) E) (, ). nalitik düzlemde (, ) ve (5, 5) noktaları verilior. noktası, [] doğru parçasını = oranında içten bölen noktadır. una göre, noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? ) (4, ) ) (, ) ) (, ) D) (, 4) E) (4, ) 9. nalitik düzlemde eşkenar dörtgendir. noktasının apsisi 5. (,) N( 4,) nalitik düzlemde bir üçgen [N] açıorta noktasının apsisi 8 Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? ) (, 4) ) (, 4) ) (, 4) D) (4, 4) E) (5, 4) = (, ) N( 4, ) Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) ) 4 ) 6 D) 8 E) 58. SINIF NLİTİK GEMETRİ

59 Doğrunun nalitiği - ölüm rta Nokta. (,4) D ( 5,) nalitik düzlemde [] açıorta = D (, 4) ( 5, ) Yukarıdaki verilenlere göre, D noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) ),4 ),5 D) E), 6. F D E nalitik düzlemde üçgen [E] [D] = {F} E = E D = D (, 6), D(5, ) Yukarıdaki verilenlere göre, F noktasının ordinatı kaçtır? ),5 ) ),5 D) 4 E) 4,5 4. (,7) H (9,7) nalitik düzlemde [] [] [H] [] = (, 7), (9, 7) Yukarıdaki verilenlere göre, H noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) 6 ) 6,5 ) 7 D) 8 E) 8,5 7. (,5) nalitik düzlemde üçgen D [] [] (, 7) D = D (, 5) (, 7) Yukarıdaki verilenlere göre, D kaç birimdir? ) 5 ) 5,5 ) 6 D) 6,5 E) 7 5. nalitik düzlemde 8. nalitik düzlemde D E P F üçgen [E] [F] [D] = {P} D = D F = F kare, ve noktalarının apsisleri toplamı dir. noktasının apsisi, noktasının apsisi Yukarıdaki verilenlere göre, E noktasının apsisi kaçtır? ) ) 4 ) 5 D) 6 E) 9 Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? ) (, ) ) (, ) ) (4, 4) D) (6, 6) E) (6, 4). SINIF NLİTİK GEMETRİ 59

60 rta Nokta Doğrunun nalitiği - ölüm 9. 9 D nalitik düzlemde D dikdörtgen noktasının apsisi 9 noktasının ordinatı. (,) H (,) nalitik düzlemde [H] [] (, ) (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, D noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) 7 ) 9 ) D) E) Yukarıdaki verilenlere göre, H kaç birimdir? ) 5 ) 6 ) 7 D) E). nalitik düzlemde = F F(, ) D(,) E(,4) = E = D D(, ), E(, 4) F(, ) Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının koordinatlarının toplamı, noktasının koordinatlarının toplamından kaç fazladır?. nalitik düzlemde ][, (4, ), (, ) olmak üzere, + = dir. una göre, noktasının koordinatları toplamının en küçük ve en büük tam saı değerlerinin çarpımı kaçtır? ) ) 4 ) 6 D) E) 8 ) ) ) D) E). nalitik düzlemde, (m, n), (n, m), P(m + n, m n ), P = P ve, P, doğrusal olduğuna göre, n kaçtır? ) ) ) D) E) 4. nalitik düzlemde ( 8, 7) ve (7, 9) noktaları verilior. una göre, i = olacak biçimde dıştan bölen noktasının koordinatlarının toplamı kaçtır? ) ) ) D) E)...D 4.E E 9..D..D D 6. 7.D E..D SINIF NLİTİK GEMETRİ

61 DĞRUNUN NLİTİĞİ - ÖLÜM 4 LN VE ĞIRLIK MERKEZİ Hatırlatma DN nalitik düzlemde c hb ha hc b (, 4) ( 4, ) a a h b h c h lan( ) a = = b = c 4 (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, lan() karedir? kaç birim ) ) 6 ) 8 D) 9 E) c b lan( ) b c sin( ) a c sin( = = ) = a bsin( ) u = a+ b+ c a olmak üzere, lan( ) = u ( u a) ( u b) ( u c) Taban: = 4 ( ) = br Yükseklik: = 4 br 4 lan( ) = = = 6 br Doğru Seçenek c r r E a r b lan( ) = u r nalitik düzlemde (, 8) ( 6, ) (, ) c a b R a b c lan( ) = 4R kaç birim ka- Yukarıdaki verilenlere göre, lan() redir? ) 4 ) 8 ) D) 6 E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 6

62 lan ve ğırlık Merkezi Doğrunun nalitiği - ölüm 4 DN DN 5 nalitik düzlemde, ve D doğrusal = 4 (, 5) (, ) D D(, ) Yukarıdaki verilenlere göre, lan() kaç br dir? nalitik düzlemde üçgen [D] açıorta D(6,) [] // [D] (6, ) (6,) D(6, ) Yukarıdaki verilenlere göre, lan() dir? kaç br ) 64 5 ) 54 5 ) 44 5 D) 5 E) 5 ) ) ) 6 D) 8 E) 4 D = + = 5 br sin( D ) = sin( ) = 5 = 4 br ise = 4 = 4 4 = 6 br lan( ) = sin( ) dir. = = br 5 5 Doğru Seçenek a ile D iç ters, ile D öndeş a D(6,) a 6 (6,) açılardan eş olduğundan = dir. nalitik düzlemde = 6 br D D = D D( 4, ) (, ) = D = br çıorta Teoremi nden = D D Yukarıdaki verilere göre, üçgeninin alanı kaç br dir? ) 5 ) ) 5 D) 4 E) 5 D = a olsa, = a D ve noktalarının apsisi 6 ise D [] dir. 6. SINIF NLİTİK GEMETRİ

63 Doğrunun nalitiği - ölüm 4 lan ve ğırlık Merkezi dik üçgeninde Pisagor Teoremi nden dir. 6 + (a + ) = (a) a = 5 br = = br, = 8 br 8 lan( ) = = 4 br Doğru Seçenek E K (4,4) S S H [H] [] [K] [] H = K = 4 br K ile H üçgenleri eş olduğundan alanları eşittir. lan() = lan(kh) = + S = 4 4 = 6 br Doğru Seçenek D nalitik düzlemde üçgen [D] açıorta [] // [D] (5, ) D 5, Yukarıdaki verilenlere göre, lan() kaç br dir? nalitik düzlemde = (5,5) (5, 5) Yukarıdaki verilenlere göre, lan() kaç br dir? ) 5 ) ) 5 D) E) 5 ) ) 48 ) 6 D) 7 E) 78 DN 4 DN 5 nalitik düzlemde nalitik düzlemde (4,4) = (4, 4) ( 7,) 4 D üçgen [] [] = D = br D = 4 br Yukarıdaki verilenlere göre, lan() kaç br dir? ) ) 6 ) 4 D) E) ( 7, ) Yukarıdaki verilenlere göre, lan(d) kaç br dir? ) 4 ) 5 ) 6 D) 8 E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 6

64 lan ve ğırlık Merkezi Doğrunun nalitiği - ölüm 4 nalitik düzlemde r = D = r olsun dir D r 4 lan( D) = = 6 br dik üçgeninde Pisagor Teoremi nden, ( 9,) 5 D üçgen [] [] = D = br D = 5 br ( 9, ) Yukarıdaki verilenlere göre, lan(d) kaç br dir? ) 9 ) ) 5 D) 6 E) 8 ( + r) + (4 + r) = 7 r + 6r r + r = 49 r + 7r = eşitliği r cinsinden elde edilecek aşağıdaki alan formülünde erine azılırsa önce üçgeninin alanı bulunur. DN 6 ( + r) ( 4+ r) + ( 7r + r ) lan( ) = = = dir. + ( ) = = br lan(d) = lan( ) lan( D ) = 6 = 6 br E ( 5,4) D nalitik düzlemde D eşkenar dörtgen E [] ( 5, 4) Doğru Seçenek Yukarıdaki verilenlere göre, lan(de) kaç br dir? ) ) 5 ) 6 D) E) 5 Kısaol üçgeninde c a b [] [] = c = b = a ( 5,4) E 5 D 4 a ( b c) lan( ) = 4 noktasının apsisi 5 ise D = 5 br D noktasının ordinatı 4 ise D = 4 br 64. SINIF NLİTİK GEMETRİ

65 Doğrunun nalitiği - ölüm 4 lan ve ğırlık Merkezi D eşkenar dörtgeninin taban uzunluğu 5 br, üksekliği 4 br olduğundan, lan(d) = 5 4 = br Koordinatları ilinen Üçgenin lanı: Köşeleri (, ), (, ) ve (, ) olan üçgeninin alanını hesaplamak için; dir. lan( D) lan( ED) = = = br Doğru Seçenek, ve noktalarından geçen eksenlere dik doğrular çizilir, doğruların medana getirdiği dikdörtgenin alanından dik üçgenlerin alanları atılarak üçgeninin alanı bulunur. K(, ) (, ) M(, ) Hatırlatma K D (, ) L(, ) (, ) S S lan(klm) = ( ) ( ) D paralelkenar ise lan(d) = (S + S ) lan( K) = S + S ( ) ( ) lan( K) = ( ) ( ) lan( L) = ( ) ( ) lan( M) = lan( ) =lan(klm) lan( K) lan( L) lan( M) nalitik düzlemde Koordinatlar cinsinden elde edilen bu formül düzenlenerek genel bir formül elde edilir. Formül kullanışlı olmadığından öğrencinin daha kola işlem apabilmesi için delta tekniği denilen bir öntem geliştirilmiştir. u tekniğe geçmeden önce birkaç durum bilinmelidir. E D D eşkenar dörtgen E [] ( 5, k) (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, lan(de) kaç br dir? ) ) 5 ) 6 D) E) 5 Elde edilen formülde çıkarma işleminden dolaı kimi zaman negatif bir değer çıkar, alan hiçbir zaman negatif olmaacağından böle durumlarda çıkan sonucun mutlak değeri alınır. azen de sonuç sıfır çıkabilir. unun nedeni rastgele alınan üç noktanın doğrusal olmasıdır.,, noktaları doğrusal ise lan( ) = dır.. SINIF NLİTİK GEMETRİ 65

66 lan ve ğırlık Merkezi Doğrunun nalitiği - ölüm 4 Hazine 8 Delta tekniği: (, ), (, ) ve (, ) olsun, Koordinatlar alt alta azılır (en baştaki nokta en sona tekrar azılır), ok önündeki saılar çarpılır, çarpımlar alt alta toplanır ve toplamlar farkının arı sı alınarak alan bulunur ( ) lan( ) = = br Doğru Seçenek D + + M N M lan() = N nalitik düzlemde köşelerinin koordinatları (, ), (, 4), (, ) olan üçgeninin alanı kaç birim karedir? Uarı ) 6 ) 8 ) D) E) 4 M = N,, noktaları doğrusaldır. DN 8 DN 7 nalitik düzlemde köşelerinin koordinatları (, ), (, 4), (, 4) olan üçgeninin alanı kaç birim karedir? ) 6 ) 8 ) D) E) 4 nalitik düzlemde köşelerinin koordinatları (a, ), (, ), (, 4) olan üçgeninin alanı 6 br olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? ) ) ) D) E) 66. SINIF NLİTİK GEMETRİ

67 Doğrunun nalitiği - ölüm 4 lan ve ğırlık Merkezi a a a 4 a 4a 5 a 8 a a a a 9a + a a a + = a + = vea a + = a = vea a = 5 a nın alabileceği değerler toplamı; + ( 5) = Doğru Seçenek D dir. 9 a = Doğru Seçenek nalitik düzlemde (a, a), (, ), (, ) noktaları doğrusal olduğuna göre, a kaçtır? nalitik düzlemde köşelerinin koordinatları (a, ), ) ) ) D) 4 E) 5 (, ), (, ) olan üçgeninin alanı br olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? ) ) ) D) 4 E) 6 Uarı DN 9 nalitik düzlemde (a, a), (, ), (, 5) noktaları doğrusal olduğuna göre, a kaçtır? ) ), ),4 D),6 E),8 Delta tekniği ile köşelerin koordinatları bilinen tüm çokgenlerin alanı bulunabilir. Rastgele verilmiş noktalar her zaman çokgen oluşturmaabilir, bu nedenle istenen çokgenin köşeleri sırasına göre koordinatlar alt alta azılmalı ve delta tekniği anen ugulanmalıdır. (Delta tekniğinde en başa azılan saıları en son sıraa tekrar azmaı unutmaınız.). SINIF NLİTİK GEMETRİ 67

68 lan ve ğırlık Merkezi Doğrunun nalitiği - ölüm 4 DN nalitik düzlemde köşelerinin koordinatları (, ), (, ), (4, ), (, ) ve D(, 4) olan D beşgeninin alanı kaç birimkaredir? ) 9 ) ) D) E) nalitik düzlemde köşelerinin koordinatları (, ), (, ), (4, ) ve (, 4) olan dörtgeninin alanı kaç birimkaredir? ) 9 ) ) D) E) Soruda istenen çokgen D olarak belirtildiği için delta tekniğinde kullanılacak sıra soruda belirtilmiştir. DN nalitik düzlemde (, ), (, ), (, ) ve D(, ) noktaları verilior. a) D dörtgeninin alanı kaç br dir? + + b) D dörtgeninin alanı kaç br dir? c) D dörtgeninin alanı kaç br dir? lan = = 9 br dir. Doğru Seçenek nalitik düzlemde,,, D noktaları ile konveks D(,) (,) dörtgen elde edilemez. u (,) noktalarla elde edilebilecek üç farklı konkav dört- Uarı (, ) gen vardır. Konkav (İç büke) Çokgenlerin lanı: a) D dörtgeni b) D dörtgeni Köşelerinin sırası belli olmaan çokgenler analitik düzleme taşınarak, çokgenin ardışık köşeleri tespit edilme- lidir. Eğer konveks (dış büke) çokgen elde edilemior- D(,) (,) D(,) (,) sa birden fazla konkav çokgen çizilebilir ve her birinin alanı farklı olabilir. u nedenle problemde istenen erin (,) (,) tam olarak belirtilmiş olması gerekir. (, ) (, ) 68. SINIF NLİTİK GEMETRİ

69 Doğrunun nalitiği - ölüm 4 lan ve ğırlık Merkezi c) D dörtgeni c) D sırasına göre, D(,) (,) (,) (, ) u dörtgenlerin alanlarını delta tekniğile bulmak istediğimizde hangi noktadan başlanacağı önemli değildir, önemli olan noktaların hangi sırada alındığıdır. D, D, D, D,... sıralanışları anı dörtgeni belirttiğinden alanları eşittir. dir lan( D) = 8 = 95, br Uarı a) D sırasına göre, lan( D) = = 55, br dir. Köşelerinin sırası belli olmaan çokgenler analitik düzleme taşınarak, çokgenin ardışık köşeleri tespit edilmelidir. nalitik düzlemde (, ), (, ), (, ) ve (, ) noktaları verilior. a) dörtgeninin alanı kaç br dir? (4, 5) b) dörtgeninin alanı kaç br dir? (, 5) c) dörtgeninin alanı kaç br dir? () b) D sırasına göre, dir ( 7) lan( D) = = br DN nalitik düzlemde (, ), (, ), (, ) ve (4, ) noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanı kaç br dir? ) ),5 ) 4 D) 4,5 E) 5. SINIF NLİTİK GEMETRİ 69

70 lan ve ğırlık Merkezi Doğrunun nalitiği - ölüm 4 Uarı Verilen noktalarla konveks dörtgen çizilebildiğinden elde edilen dörtgen tektir. (ksi belirtilmedikçe istenen, konveks dörtgenin alanıdır.) Delta tekniğile elde edilen saılar vektörel çokluklardır, ani başlangıç noktası ve ön önemlidir. Delta tekniğinde temel prensip başlangıç noktası ile bitiş noktasının anı olmasıdır. Çokgenlerin kenarları (,) (,) sıralanırken uç noktalar saat önünde vea saatin ters önünde sıralıdır. (,) (4,) Delta tekniğinde sıralama apılırken, çokgenlerden biri pozitif, diğeri negatif önde alınıorsa, elde edilen sonuç bu çokgenlerin alanlarının farkıdır. dörtgeninin alanı delta tekniğile hesaplanırsa; 4 DN lan( ) = = 45, br nalitik düzlemde (, ), (, ), (, ) ve (, ) noktaları verilior. una göre, ile üçgenlerinin alanları farkının pozitif değeri kaç br dir? ) 5 ) 4 ) D) E) dir. Doğru Seçenek D,,,,... dörtgenlerinin alanları eşittir.,,... dörtgen oluşturmadığına dikkat ediniz. üçgeninin alanı; nalitik düzlemde koordinatları (, ), (, ), (, ) ve (, ) olan noktaları köşe kabul eden dörtgenin alanı kaç br dir? ),5 ) 4,5 ) 5,5 D) 6,5 E) 7,5 dir ( 6) lan( ) = = 5 br 7. SINIF NLİTİK GEMETRİ

71 Doğrunun nalitiği - ölüm 4 lan ve ğırlık Merkezi üçgeninin alanı; + + lan( ) = = br dir. lan( ) lan( ) = 5 = 4br Not sırasına göre vea sırasına göre işlem apabiliriz. Yine anı cevabı buluruz. Uarı (,) (,) (, ) Delta sıralamasında üçgenlerin kapatıldığına ve ilk başlangıç noktasıla bitirildiğine dikkat ediniz.,,... gibi delta sıralanışları alanlar toplamını verir. sırasına göre delta tekniği ugulanırsa ile üçgenlerinin alanları bulunur. (uradaki sıralanışa dikkat edilirse, saatin ters önünde, saat önündedir.) Uarı 4 6 Delta tekniğile alanlar farkı vea alanlar toplamı hesaplanırken köşelerden biri diğer köşelerle doğrusal ise sıralamada etkisizdir, ani sıralamaa azılmadan alan hesabı apmak mümkündür. DN ve Genetik Kopasının cevaplarının anı çıkmasının nedenini düşününüz dir. lan( ) lan( ) = 4 4 = 4 br Doğru Seçenek nalitik düzlemde (, ), (, ), (, ), (, ) ve D(, ) noktaları verilior. una göre, ile D üçgenlerinin alanları toplamı br dir? ) 5 ) 6 ) 7 D) 8 E) 9. SINIF NLİTİK GEMETRİ 7

72 lan ve ğırlık Merkezi Doğrunun nalitiği - ölüm 4 DN 4 Uarı (,) K (,) (,) D(4,) nalitik düzlemde [D] [] = {K} (, ), (, ) (, ), D(4, ) D sırasında delta tekniği ugulanırsa elde edilen değer, K ile KD üçgenlerinin alanları farkının pozitif değeri olur. İleride iki doğrunun kesişim noktasını bulmaı öğrendiğinizde K noktasını da kullanarak değişik sıralamalarla alanları hesaplaabilirsiniz. Yukarıdaki verilenlere göre, K ile KD üçgenlerinin alanları farkının pozitif değeri kaç br dir? ) ),5 ) D),5 E) KKDK gibi azılışlarla istenen sonuca ulaşılamaz, delta tekniğinde hangi nokta ile başlanmışsa o nokta ile biteceği unutulmamalıdır. Örneğin, KKKDK sıralanışıla K ile KD üçgenlerinin alanları farkı, KKKDK sıralanışıla alanları toplamı bulunur. D sıralamasına göre delta tekniği ugulanırsa K ile KD üçgenlerinin farkı bulunur. Sıralanışa dikkat edilirse K saat önünde, KD saatin ters önünde sıralanmıştır. K D nalitik düzlemde [D] [] = {K} (, 5), (, ) (, 4), D(, ) 9 4 Yukarıdaki verilenlere göre, K ile KD üçgenlerinin alanları farkının pozitif değeri kaç br dir? ) ),5 ) D),5 E) dir. 7 5 lan( K) lan( KD) = = br Doğru Seçenek Not ir üçgenin alanını hesaplarken, üçgenin köşelerinden biri orijin ile çakışacak biçimde öteleme aparsak, daha akılda kalıcı bir formülle çözüme gidebiliriz. 7. SINIF NLİTİK GEMETRİ

73 Doğrunun nalitiği - ölüm 4 lan ve ğırlık Merkezi Işık (, ), (a, b), (c, d) ise, lan( ) = ad bc Köşelerinin koordinatları (, ), (, ) ve (, ) olan üçgeninin alanı kaç birim karedir? ) 4 ) 5 ) 6 D) 7 E) 8 dir. Uarı DN 5 Köşelerinin koordinatları (, ), (, 6), (, ) olan üçgeninin alanı kaç birim karedir? nalitik Geometri deki bu alan formülü,. sınıfta işlediğimiz Üçgende lan ile ilgili bazı problemlerin çözümünde pratiklik sağlar. unu DN 6 ile gösterelim. ) ) ) 5 D) E) 7 DN 6 ni, noktası orijin ile çakışacak biçimde öteleelim. unun için apsislere, ordinatlara ekleriz. (, ) (, ) (, ) (,) (, ) (, 6) 4 D E Yukarıdaki verilere göre, (E) D D DE = br = br D = 4 br DE = br nin alanı kaç birim karedir? ) ) 7 ) 4 D) 9 E) 5 buluruz. lan( ) = lan( ) = ( ) ( ) ( ) 5 = br (, ) dersek, (, ) ve E(, 4) olur. IŞIK den, lan( E) = ( ) ( 4) = 5 br Doğru Seçenek dir. Doğru Seçenek E. SINIF NLİTİK GEMETRİ 7

74 lan ve ğırlık Merkezi Doğrunun nalitiği - ölüm 4 TNIM D 4 D DE = 4 br D 6 E = D = br DE = 6 br Yukarıdaki verilere göre, (E) nin alanı kaç birim karedir? ) 6 ) 7 ) 8 D) 9 E) ğırlık Merkezi vea Denge Noktası: Tüm noktaların ağırlıklarının eşit olduğu kabul edilir. İç noktaları dahil olmaan geometrik şeklin ağırlığı, uzunlukları kabul edilir. Doğru parçasının ağırlığı uzunluğudur, üçgenin ağırlığı vea çemberin ağırlığı çevresidir... gibi. İç noktaları dahil olan geometrik şekillerin ağırlığı, alanı kabul edilir. Üçgensel bölgenin ağırlığı vea dairenin ağırlığı alanıdır... gibi. Üç boutlu geometrik şekillerin ağırlığı, hacimleri kabul edilir. Kürenin vea prizmanın ağırlığı hacmi olarak alınır. Geometrik şekilleri erçekimine karşı dengede tutan noktaa denge noktası vea ağırlık merkezi denir ve D g vea G ile gösterilir. irden fazla geometrik şeklin bir araa gelerek medana getirdikleri eni şekle geometrik sistem vea kısaca sistem denir. Işık Teneffüs rabaa Tekrar inelim ir makine mühendisi, bir elektrik mühendisi ve bir bilgisaar mühendisi üç arkadaş kiraladıkları araba ile olculuk aparken araba bozulur. Makine mühendisi hemen olaa el koarak kesin motordandır der ve arabanın altına girip motorla ilgili birkaç vida ile onar. İşini bitirdiğinde bakarlar araba hala bozuk. Elektrik mühendisi hemen atlaıp bu elektrik problemi der ve hemen tüm kablo ve sigortaları kontrol eder birtakım bağlantılar apar. ma arabada hala tık ok. İkisi birden bilgisaar mühendisine dönerler, kendisine sıra geldiğini anlaan bilgisaar mühendisi biraz kekeledikten sonra şöle der: a arabadan çıkıp bir daha girsek! ğırlık Merkezi: ir sistemi oluşturan geometrik şekillerin, ağırlık merkezinin koordinatları ve her şeklin ağırlığı biliniorsa sistemin ağırlık merkezinin koordinatı aşağıdaki öntemle bulunur; Sistemi oluşturan,. şeklin ağırlık merkezi G (, ) ve ağırlığı g,. şeklin ağırlık merkezi G (, ) ve ağırlığı g,. şeklin ağırlık merkezi G (, ) ve ağırlığı g,... n. şeklin ağırlık merkezi G n ( n, n ) ve ağırlığı g n olsun, u n tane şeklin bir araa gelerek oluşturduğu geometrik sistemin ağırlık merkezi G(,) ise g g g g = n n g+ g + g gn g g g g = n n g+ g + g gn 74. SINIF NLİTİK GEMETRİ

75 Doğrunun nalitiği - ölüm 4 lan ve ğırlık Merkezi Hazine 9 ir noktanın denge noktası (, ) kendisidir. G(, ) İki noktadan medana gelen sistemin ağırlık merkezi, bu noktaları uç nokta kabul eden doğru parçasının orta noktasıdır. DN 7 nalitik düzlemde (, ), (, ), (4, 8) ve (,) noktalarından medana gelen geometrik sistemin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) D) E) (, ) ve (, ) noktalarının ağırlıkları (eşit olduğundan) g olsun, G g + g g+ g, g+ g g+ g G + +, ise G HZİNE 9 dan, Herhangi üçü doğrusal olmaan üç noktadan medana gelen sistemin ağırlık merkezi, bu noktaları köşe kabul eden üçgenin kenarortalarının kesiştiği noktadır. (, ), (, ) ve (, ) noktalarının ağırlıkları g olsun, G g + g + g g+ g+ g, ise g+ g+ g g+ g+ g G + +, + + G ( 8) +, 4 4 G(, ) olduğundan koordinatlarının toplamı, dir. + ( ) = Doğru Seçenek D Geometrik orumu: (, ) Uarı ir doğru parçasının denge noktası orta noktasıdır. G(,) (, ) (, ) n tane noktadan medana gelen sistemin ağırlık merkezinin apsisi, o sistemi medana getiren noktaların apsislerinin aritmetik ortalaması, ağırlık merkezinin ordinatı ise sistemi medana getiren noktaların ordinatlarının aritmetik ortalamasıdır. (, ) (, ) G Uç noktaları (, ) ve (, ) olan [ ] doğru parçasının ağırlık merkezinin koordinatları; G + +, Doğru parçasının ağırlığı uzunluğudur.. SINIF NLİTİK GEMETRİ 75

76 lan ve ğırlık Merkezi Doğrunun nalitiği - ölüm 4 nalitik düzlemde (, ), (, ), (4, 6) ve (,) noktalarından medana gelen geometrik sistemin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) D) E) G(,4) (6,8) G(9,8) (,8) (,) = = br ve [] nın ağırlık merkezi G (, 4) = 6 = 6 br ve [] nin ağırlık merkezi G (9, 8) İki doğru Parçasından Medana Gelen Sistemin Denge Noktası: Uzunluğu m, ağırlık merkezi G (, ), uzunluğu m, ağırlık merkezi G (, ) olan iki doğru parçasının medana getirdiği sistemin ağırlık merkezi G olsun, G m + m m+ m, dir. m+ m m+ m Eğer, m = m G + +, dir. Sistemin ağırlık merkezi, Koordinatların toplamı tür G, G, = Doğru Seçenek DN 8 nalitik düzlemde (, ), (6, 8), (, 8) olmak üzere, [] ve [] doğru parçaları verilior. [] ve [] doğru parçalarının medana getirdiği sistemin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? ) 9 4 D) 45 4 ) 4 4 E) 47 4 ) 4 4 nalitik düzlemde ( 5, ), (, ), (, ), D(6, ) olmak üzere, [] ve [D] doğru parçaları verilior. [] ve [D] doğru parçalarının medana getirdiği sistemin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) D) 4 E) SINIF NLİTİK GEMETRİ

77 Doğrunun nalitiği - ölüm 4 lan ve ğırlık Merkezi DN 9 nalitik düzlemde (, ), (6, 8), (5, 8) olmak üzere, [], [] ve [] doğru parçalarının medana getirdiği üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? Uarı [] [] [] sistemi üçgenidir. Üçgenin ağırlık merkezi kenarortaların kesiştiği nokta değildir. Üçgenin ağırlık merkezinin geometrik orumları; ) ) ) D) 4 E) 5 K D L G F E M G(,4) (,) G,8 (6,8) (5,8) G 5 G,4 = = br ve [] nın ağırlık merkezi G (, 4) = 5 6 = 9 br ve [] nin ağırlık merkezi G, 8 Üçgenin ağırlık merkezi, kenar orta noktalarını köşe kabul eden üçgenin iç açıortalarının kesiştiği noktadır. G noktası, DEF üçgeninin iç teğet çemberinin merkezidir. [KF], [LE] ve [MD] doğru parçaları üçgenin çevresini iki eşit parçaa böler. Üçgen ile üçgensel bölge farklı şekillerdir. Üçgensel bölge iç noktaları dahil edilmiş üçgendir. Yani içi dolu bir bölgedir. Üçgensel bölgenin ağırlık merkezi kenarortalarının kesiştiği noktadır. = = 7br 5 ve [] nın ağırlık merkezi G, 4 Sistemin ( üçgeninin) ağırlık merkezi, G , G(7, 5) Koordinatlarının toplamı = dir. Doğru Seçenek nalitik düzlemde (, ), (6, ) ve (, 8) noktalarını köşe kabul eden üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarının toplamı kaçtır? ) ) 4 ) 5 D) 6 E) 7. SINIF NLİTİK GEMETRİ 77

78 lan ve ğırlık Merkezi Doğrunun nalitiği - ölüm 4 ir üçgensel bölgenin ağırlık merkezi kenarortalarının kesişim noktasıdır. (, ) üçgensel bölgesinin ağırlık merkezi, G , G(7, ) Koordinatlarının toplamı 7 + = dur. G Doğru Seçenek (, ) (, ) Köşeleri (, ), (, ), (, ) olan üçgensel bölgesinin ağırlık merkezi, G , Kenarorta üçgenin alanını iki eşit parçaa aırır. Üçgensel bölgenin ağırlığı alanıdır. ğırlığı s, ağırlık merkezi G (, ), ağırlığı s, ağırlık merkezi G (, ) olan iki üçgensel bölgenin medana getirdiği sistemin ağırlık merkezi G olsun. G s + + s s+ s, dir. s+ s s+ s Eğer, s s G + + =, dir. nalitik düzlemde (, ), (6, 8), (, ) noktalarını köşe kabul eden üçgensel bölgesinin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) D) E) 4 DN nalitik düzlemde (, ), (, 6), (6, ) ve (, ) noktalarını köşe kabul eden dörtgensel bölgesinin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? ) 5 ) ) 7 D) 8 E) DN (,6) nalitik düzlemde (, ), (6, 8), (5, ) nokta- G larını köşe kabul eden üçgensel bölgesinin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) D) E) 4 (,) G G (6,) (, ) 78. SINIF NLİTİK GEMETRİ

79 Doğrunun nalitiği - ölüm 4 lan ve ğırlık Merkezi Dörtgen, iki üçgenden medana gelen sistem olduğundan ağırlık merkezi bulunabilir. 6 6 s = lan( ) = =8 br üçgensel bölgenin ağırlık merkezi; nalitik düzlemde (, ), (, 6), (, ) ve (, 6) noktalarını köşe kabul eden dörtgensel bölgesinin ağırlık merkezinin apsisi kaçtır? dir G, G(, ) ) ) 5 ) D) 5 E) dir. 6 s = lan( ) = = 9 br Işık 5 üçgensel bölgenin ağırlık merkezi; ( ) G, G(, ) Sistemin ( dörtgensel bölgenin) ağırlık merkezi, ( ) 9 8 G, G , Koordinatlarının çarpımı 8 = 8 tür. Doğru Seçenek D ir geometrik şeklin simetri ekseni varsa, ağırlık merkezi simetri ekseni üzerindedir. ir geometrik şeklin simetri merkezi varsa, ağırlık merkezi simetri merkezidir. Simetri merkezi olan geometrik şekillerin iç noktaları dahil edilsin a da edilmesin ağırlık merkezi değişmez. Paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve karenin köşegenlerinin kesişim noktası simetri merkezidir. Çember, daire, kürenin merkezi simetri merkezidir. Kenar saısı çift saı olan düzgün çokgenlerin açıortalarının kesiştiği nokta simetri merkezidir. Kenar saısı tek saı olan düzgün çokgenlerin simetri merkezi oktur, fakat birden fazla simetri ekseni vardır. Tüm düzgün çokgenlerde simetri eksenleri bir noktada kesişir. u nokta düzgün çokgenin ağırlık merkezidir. Işık 4 Sistemin ve sistemi medana getiren geometrik şekillerin ağırlık merkezleri doğrusaldır. ğırlığı g, ağırlık merkezi G olan geometrik şekil ile ağırlığı g, ağırlık merkezi G olan geometrik şeklin birlikte medana getirdikleri sistemin ağırlığı g, ağırlık merkezi G ise g = g + g ve G noktası, [G G ] doğru parçasını GG g = oranında bölen noktadır. GG g Verilen sistemler ağırlık merkezi bulunabilen geometrik şekillere parçalanarak sistemin ağırlık merkezi bulunur. DN D E(,4) nalitik düzlemde D ikizkenar amuk [D] // [] (,a) (5,b) D = DE = E (, a), (5, b), E(, 4) Yukarıdaki verilenlere göre, D dörtgensel bölgenin ağırlık merkezinin apsisi kaçtır? ) ) ) D) E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 79

80 lan ve ğırlık Merkezi Doğrunun nalitiği - ölüm 4 EK doğrusu, D D E(,4) ikizkenar amuğunun (,a) K (5,b) simetri ekseni olduğundan D dörtgensel bölgenin ağırlık merkezi EK doğrusu üzerindedir. [] doğru parçasının orta noktası olan K noktasının apsisi, E noktasının da apsisi olduğundan EK doğrusu üzerindeki diğer tüm noktaların da apsisi dir. D dörtgensel bölgesinin ağırlık merkezinin apsisi dir. Doğru Seçenek E D nalitik düzlemde D paralelkenar (, a) (5, b) Yukarıdaki verilenlere göre, D dörtgensel bölgenin ağırlık merkezinin apsisi kaçtır? ) ) ) D) E) (, ), (, ), (a, 4) noktaları doğrusal olduğundan ordinatlara göre noktası ile arasındadır. (,) (,) (a,4) [] [] nin ağırlık merkezi ile [] nın ağırlık merkezi anı olacağından a değerinin bulunması gerekir.,, noktaları doğrusal olduğundan lan( ) = Yani delta tekniğinde M = N dir. a + 4 a 4 a 4 a 4 = 5 a = (, ), (, 4) ise [] nın ağırlık merkezi G + + 4, G(, ) ise koordinatları toplamı + = tür. Doğru Seçenek D DN nalitik düzlemde (, ), (, ) ve (a, 4) noktaları doğrusaldır. una göre, [] [] geometrik şeklinin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) D) E) 4 nalitik düzlemde (, ), (, 4) ve (4, a) noktaları doğrusaldır. una göre, [] [] geometrik şeklinin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) 4 D) 5 E) 6 8. SINIF NLİTİK GEMETRİ

81 Doğrunun nalitiği - ölüm 4 lan ve ğırlık Merkezi DN 4 (5,8) nalitik düzlemde (5, 8), (, ) (, 5), D(, a),, D noktaları (,) nalitik düzlemde (, ) (, ) (, ) (,) (,5) D(,a) doğrusaldır. (,) (,) D(,a) D(, a) una göre, ile D üçgensel bölgelerinden oluşan sistemin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? ) 9 ) 8 ) 7 D) 6 E) 5,, D noktaları doğrusaldır. una göre, ile D üçgensel bölgelerinden oluşan sistemin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? ) 6 ) 5 ) 4 D) E) DN 5 nalitik düzlemde, (, ), (, 5), D(, a) noktaları doğrusal olduğundan, 5 6 a 5 5 a + a + 9 a + a + 4 a + = a + 4 a = 7 [] doğru parçasının ağırlık merkezi G (, a) [D] doğru parçasının ağırlık merkezi G (, b) ve [] [D] sisteminin ağırlık merkezi G(, c) dir. Yukarıdaki verilenlere göre, oranı kaçtır? D ) 5 ) ) D) E) ile D üçgensel bölgelerinin oluşturduğu sistem D üçgensel bölgesi olduğundan ağırlık merkezi, G(,a) G(,c) G(,b) G , dir. GG = = = D GG G(, 6) ise koordinatları toplamı + 6 = 9 dur. Doğru Seçenek Doğrusal noktaların aralarındaki uzaklığın oranının, eksenler üzerindeki izdüşümlerinin oranına eşit olduğunu hatırlaınız. Doğru Seçenek E. SINIF NLİTİK GEMETRİ 8

82 lan ve ğırlık Merkezi Doğrunun nalitiği - ölüm 4 (, ), (4, ) olduğundan nalitik düzlemde, [] doğru parçasının ağırlık merkezi G (, a) [D] doğru parçasının ağırlık merkezi G (, b) ve [] [D] sisteminin ağırlık merkezi G(, c) dir. Yukarıdaki verilenlere göre, oranı kaçtır? D ) 5 ) ) D) E) DN 6 D nalitik düzlemde D kare (, ) ve (, ) G, G(, ) olduğundan koordinatları farkı dır. D Doğru Seçenek D nalitik düzlemde D kare (, ) ve (, ) Yukarıda verilenlere göre, D dörtgeninin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? ) 5 ) 4 ) D) E) DN 7 Yukarıda verilenlere göre, D dörtgeninin ağırlık merkezinin koordinatları farkı kaçtır? ),5 ),4 ), D) E) D E nalitik düzlemde D kare [E] [] [H] = D = birim G (4,) ile H üçgenleri eş olduğundan, H noktasının apsisi + = 4, ordinatı tür. Karenin ağırlık merkezi köşegenlerin kesişim noktası olan simetri merkezi olacağından, [] doğru parçasının orta noktası karenin ağırlık merkezidir. E = 4 ve noktasının apsisi, E noktasının apsisi dur. Yukarıda verilenlere göre, kare ve [E] doğru parçasından oluşan sistemin ağırlık merkezinin apsisi kaçtır? ) ),5 ) D),5 E) 4 D G H G G E = br = br E E = 8 br dir. 8. SINIF NLİTİK GEMETRİ

83 Doğrunun nalitiği - ölüm 4 lan ve ğırlık Merkezi Kare tanımı gereği iç noktaları dahil olmaan şekildir. Karenin ağırlık merkezinin apsisi + =, [E] nın ağırlık merkezinin apsisi + = 6 dır. K G L [E] nin ağırlığı karenin ağırlığına eşit olduğundan siste- N min ağırlık merkezi [G G ] doğru parçasının orta noktası- G dır. G nin apsisi 6 + = 5, tur. Doğru Seçenek D noktasını orijin seçelim, M (, ), M(, 4), N(7, ) ( 4) + G, D E nalitik düzlemde D kare [E] [E] E = 4 ve noktasının apsisi, E noktasının apsisi 5 tir. Yukarıda verilenlere göre, kare ve [E] doğru parçasından oluşan sistemin ağırlık merkezinin apsisi kaçtır? ) 4 ) 7 ) D) E) 4 G noktasının koordinatları toplamı ( 5, ), K(, 6), L(, ) G, G noktasının koordinatları toplamı dir. G noktasının koordinatları toplamı, G noktasının koordinatları toplamından fazladır. Doğru Seçenek DN 8 nalitik düzlemin bir parçası olan andaki şekil birim karelerden oluşmakta ve üçgenlerin köşeleri, karelerin köşeleri üzerindedir. (ir karenin ata kenarları eksenine, düşe kenarları eksenine paraleldir.) Yukarıda verilenlere göre, bir köşesi olan üçgensel bölgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı, bir köşesi olan üçgensel bölgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamından kaç fazladır? ) ) ) D) 4 E) 5 nalitik düzlemin bir parçası olan andaki şekil birim karelerden oluşmakta ve üçgenlerin kö- şeleri, karelerin köşeleri üzerindedir. (ir karenin ata kenarları eksenine, düşe kenarları eksenine paraleldir.) Yukarıda verilenlere göre, bir köşesi olan üçgensel bölgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı, bir köşesi olan üçgensel bölgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamından kaç fazladır? ) ) ) D) 4 E) 5. SINIF NLİTİK GEMETRİ 8

84 lan ve ğırlık Merkezi Doğrunun nalitiği - ölüm 4. TEST - nalitik düzlemde 5. D(,) (5,) nalitik düzlemde (, ) (5, ) (,5) (, 5) (, ) 5 (5, ) D(, ) (,) (7,) (7, ) Yukarıdaki verilenlere göre, lan(d) kaç br dir? Yukarıdaki verilenlere göre, üçgeninin alanı kaç birim karedir? ) 6 ) 8 ) 9 D) E) ) 5 ) 4 ) D) 5 E). nalitik düzlemde 6. (,) (4,5) (4,4) K nalitik düzlemde [] [] = {K} (, ) [] [] (, 6) (9, ) Yukarıdaki verilenlere göre, lan() kaç br dir? (4, 5) (4, 4) Yukarıdaki verilere göre, lan(k) lan(k) farkı kaç birim karedir? ) ) ) D) E) ) 9 ) 4 ) 48 D) 5 E) (, 4), (, ), (, ), D(, ). nalitik düzlemde köşeleri (, ), (, 4) ve (, ) olan üçgeninin alanı kaç birim karedir? ) ) ) D) 4 E) 5 Yukarıdaki verilere göre, D dörtgeninin alanı kaç br dir? ) ) 8 ) 6 D) 4 E) 4. nalitik düzlemde köşeleri (, ), (4, 4), (4, 5), (, ) olan dörtgeninin alanı kaç br dir? ) ) ) 4 D) 5 E) 6 8. rdışık köşeleri (, ), (4, 4), (, ) ve D(, ) olan D dörtgensel bölgesinin alanı kaç birim karedir? ) 6 ) 7 ) 8 D) 9 E) 84. SINIF NLİTİK GEMETRİ

85 Doğrunun nalitiği - ölüm 4 lan ve ğırlık Merkezi 9. rdışık köşeleri (, ), (4, 4), (, ) ve D olan D dörtgeni paralelkenardır. Yukarıdaki verilere göre, D paralelkenarının alanı kaç birim karedir?. (, ), (, ) ve ekseni üzerinde bir noktası verilior., ve noktaları doğrusaldır. Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının apsisi kaçtır? ) ) 8 ) 6 D) 4 E) ) ) 5 ) D) 5 E) 7. D, E, F noktaları üçgeninin kenar orta D F E noktalarıdır. D(, ) E(, ) 4. (, ), (, a), (b, ) noktaları verilior. Her b R için,, noktaları doğrusal olduğuna göre, a kaçtır? F(, ) Yukarıdaki verilenlere göre, üçgeninin alanı kaç birim karedir? ) ) ) D) E) ) 4 ) 6 ) 8 D) E) 6. dörtgeninin alanı 9 birim karedir. 5. (a, b + c), (b, a + c), (c, ) noktaları doğrusal olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisine eşittir? (,) (,) (, ) ) a ) a + b ) a + b + c (, ) D) b a E) a b noktası ekseninin pozitif tarafındadır. Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının apsisi kaçtır? ) 8 ) 7 ) 6 D) 5 E) 4 6. [] [] D = E D + E = b a br. a olmak üzere, D (a,) (b,) E Köşeleri (a, a), (, 4), (6, ) olan üçgeninin alanı birim karedir. Yukarıdaki verilenlere göre, a kaçtır? ) 48 7 ) 6 7 ) 4 7 D) 8 7 E) 9 7 Yukarıdaki verilenlere göre, lan( DE ) oranı lan(de) kaçtır? ) ) ) D) E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 85

86 lan ve ğırlık Merkezi Doğrunun nalitiği - ölüm 4 7. nalitik düzlemde uç noktalarının koordinatları (, 7) ve (6, ) olan doğru parçasının ağırlık merkezinin koordinatları nedir?. ) (, 4) ) (4, ) ) (, ) F E 7, 9 D) (, 4) E) (, ) (, ) D nalitik düzlemde 8. D (,) F, üçgensel bölgesinin ağırlık merkezi (, ), E 7, 9 (,4) D paralelkenar (, 4), (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, F noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) 8 ) 5 ) 4 D) 9 E) 6 Yukarıdaki verilenlere göre, D dörtgensel bölgesinin ağırlık merkezinin koordinatları çarpımı kaçtır? ) 6 ) 8 ) D) E) 4. (, ) E D F D paralelkenar [D] [E] = {F} 9. nalitik düzlemde ( 7, ), (, 5) noktaları verilior. doğru parçasını köşegen kabul eden D dörtgeni paralelkenardır. Yukarıdaki verilenlere göre, D dörtgeninin ağırlık merkezinin koordinatları nedir? (, 5) (,) E = ED Yukarıdaki verilenlere göre, F noktasının koordinatları çarpımı kaçtır? ) 4 ) ) D) E) ) (, ) ) (5, 4) ) (4, 5) D) (, ) E) (, ). Köşeleri (6, ), (, 5) ve (, 7) olan üçgensel bölgesinin ağırlık merkezinin koordinatları nedir? ) (, ) ) (, ) ) (, ). Köşeleri (, ), (, ) ve (4, ) olan üçgensel bölgesinin ağırlık merkezi G noktasıdır. Yukarıdaki verilenlere göre, G noktasının doğrusuna uzaklığı kaç birimdir? D) (, ) E) (, ) ) ) 4 ) 5 D) E) 7.E..D E..E 4.E 5. 6.E 7.E 8. 9.D SINIF NLİTİK GEMETRİ

87 DĞRUNUN NLİTİĞİ - ÖLÜM 5 EĞİM Hatırlatma Hatırlatma Tanjant ranı: q a c a b b dik üçgeninde m ( ) = 9 m ( ) = β m ( ) = α α + θ = 8 Özel çıların Tanjant ranı: tanα = α + β = 9 Karşı dik kenar uzunluğu Komşu dik kenar uzunluğu tan = tan = tan45 = tan6 = tanα = b a a tanβ= tan( 9 α) = b b tanθ= tan( 8 α) = tanα = a Dar açının tanjantı pozitif, geniş açının tanjantı negatiftir. a tanα+ tanβ tan( α+ β) = tanα tanβ tan9 = Tanımsız tan = tan6 = tan5 = tan45 = tan5 = tan = tan8 = tan = a a tanα tanα = tan α a-b tan( β) = tanβ b a tanα tanβ tan( α β) = + tanα tanβ DN nalitik düzlemde üçgen (, ) (, ) (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, açısının ölçüsü kaç derecedir? ) 9 ) 5 ) D) 5 E) 45. SINIF NLİTİK GEMETRİ 87

88 Eğim Doğrunun nalitiği - ölüm 5 a b m( ) = α m( ) = β olsun, m( ) = α + β tanα = = (Koordinatlar değil, uzunluklar alınır.) tanβ = = tanα+ tanβ + tan( α+ β) = tan( α+ β) = tanα tanβ DN nalitik düzlemde (,) (, ) ( 5, ) ( 5, ) Yukarıdaki verilenlere göre, [] doğru parçası ile ekseni arasında kalan dar açının tanjantı kaçtır? ) ) ) D) 4 E) 5 tan(α + β) = α + β = 5 Doğru Seçenek D a ( 5, ) a 5 (,) tanα = = 6 = Doğru Seçenek nalitik düzlemde Hatırlatma üçgen (, ) (, ) Yönlü çı: itiþ kenarý aþlangýç kenarý (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, açısının ölçüsü kaç derecedir? ) 9 ) 5 ) D) 5 E) 45 +a a aþlangýç kenarý itiþ kenarý Saat önünde alınan açılar negatif, saatin ters önünde alınan açılar pozitif kabul edilmiştir. 88. SINIF NLİTİK GEMETRİ

89 Doğrunun nalitiği - ölüm 5 Eğim d nalitik düzlemde a a (,) (, ) ( 5, ) c) α = 9 ise m = tan9 tanımsız olduğundan, d doğrusunun eğimi oktur denir. ( 5, ) Yukarıdaki verilenlere göre, [] doğru parçası ile ekseni arasında kalan geniş açının tanjantı kaçtır? ekseninin ve eksenine dik olan diğer doğruların eğimi oktur. d ) ) ) D) E) a = 9 d) α = ise m = tan = dır. d doğrusu eksenine paraleldir. TNIM ekseninin ve eksenine paralel olan diğer doğruların eğimi sıfırdır. d Eğim çısı ve Eğim: nalitik düzlemde başlangıç kenarı ekseni, bitiş kenarı bir d doğrusu üzerinde, ölçüsü [, 8 ) aralığında olan pozitif önlü açıa d doğrusunun eğim açısı, eğim açısının tanjantına da d doğrusunun eğimi denir. d doğrusunun eğim açısı α ise, bu doğrunun eğimi m = tanα dır. α < 8 ve < m < + DN Uarı Eğimin eksenile bir ilgisinin olmadığına dikkat ediniz. nalitik düzlemde açısının ölçüsü derecedir. a) < α < 9 ise m = tanα > d a a b) 9 < α < 8 ise m = tanα < Yukarıdaki verilenlere göre, doğrusunun eğimi kaçtır? ) ) ) D) E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 89

90 Eğim Doğrunun nalitiği - ölüm 5 a doğrusunun eğim açısı α olsun, üçgeninin dış açılarının ölçüleri toplamından α = 6 d a a 4 d doğrusunun eğim açısı α olsun, tür. m = tanα = = 4 tür. α = 5 m = tan5 = tan = Doğru Seçenek D Doğru Seçenek Uarı nalitik düzlemde nalitik düzlemde koordinatların işaretlerinin oranının açısının ölçüsü derecedir. eğimin işaretile bir ilgisi oktur. Eğimin işareti, doğrunun eksenile pozitif önde aptığı açının dar vea geniş açı olup olmadığıla ilgilidir. Yukarıdaki verilenlere göre, doğrusunun eğim açısı kaç derecedir? ) 9 ) 5 ) D) 5 E) 5 DN 4 4 d nalitik düzlemde d doğrusu eksenleri (4, ) ve (, ) noktalarında kesior. una göre, d doğrusunun eğimi kaçtır? d nalitik düzlemde d doğrusu eksenleri (, ) ve (, ) noktalarında kesior. ) ) ) D) E) 4 una göre, d doğrusunun eğimi kaçtır? ) 4 ) ) D) E) SINIF NLİTİK GEMETRİ

91 Doğrunun nalitiği - ölüm 5 Eğim Hazine İki Noktası ilinen Doğrunun Eğimi: Uarı Eğim hesabında, çıkarma işleminde ön önemlidir. a a (, ) ve (, ) noktalarından geçen doğrusunun eğim açısının ölçüsü α ve eğimi m ise, nalitik düzlemde (, 8) ve (5, 4) noktalarından geçen doğrusunun eğimi kaçtır? m = tanα = ) ) ) D) E) dir. DN 5 nalitik düzlemde (, 8) ve (5, 4) noktalarından geçen doğrusunun eğimi kaçtır? ) ) ) D) E) DN 6 nalitik düzlemde ( 5, ), (, 5) ve (k, 9) noktaları doğrusal olduğuna göre, k kaçtır? ) ) 4 ) 6 D) 7 E) 8 ler farký (, 8) (5, 4),, noktaları doğrusal ise, ve doğruları çakışık olduğundan eğimleri eşit olmalıdır. una göre, ler farký 6 m = m dir. 8 m = ( 4) = 5 dır. 5 = 5 9 = 4 5 k = 6 k k Doğru Seçenek E Doğru Seçenek. SINIF NLİTİK GEMETRİ 9

92 Eğim Doğrunun nalitiği - ölüm 5 Uarı m = m = m,, noktaları doğrusaldır. Yani,,, doğruları çakışıktır. nalitik düzlemde (a, 6), (4, ) noktalarından geçen doğrunun eğimi dir. una göre, noktasının apsisi kaçtır? ) ) ) D) E) nalitik düzlemde (, ), (, ) ve (k, ) noktaları doğrusal olduğuna göre, k kaçtır? ) ),5 ) D),5 E),5 DN 8 6 d DN 7 nalitik düzlemde (a, 8), (4, ) noktalarından geçen doğrunun eğimi dir. nalitik düzlemde (6, ) ve (, ) noktaları d doğrusunun üzerindedir. una göre, d doğrusunun eğimi kaçtır? una göre, noktasının apsisi kaçtır? ) 6 ) ) D) E) 6 ) ) ) D) 4 E) 5 m = tir. 8 = a 4 = a = 5 a 4 tür. m = ( ) = = 6 ( ) 9 Doğru Seçenek E Doğru Seçenek 9. SINIF NLİTİK GEMETRİ

93 Doğrunun nalitiği - ölüm 5 Eğim nalitik düzlemde ( 4, ) ve (, ) olmak üzere [] doğ- 4 5 d 4 ru parçası verilior. nalitik düzlemde (5, ) ve ( 4, ) noktaları d doğrusunun üzerindedir. una göre, d doğrusunun eğimi kaçtır? una göre, doğrusunun eğim açısı kaç derecedir? ) ) 45 ) D) 5 E) 5 ) 6 ) ) D) E) 6 DN DN 9 6 nalitik düzlemde (, 6) ve (, 9) olmak 4 nalitik düzlemde doğrusunun eğim açısı 5 = 4 birim üzere [] doğru parçası verilior. Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının apsisi kaçtır? 9 una göre, doğrusunun eğim açısı kaç derecedir? ) ) 45 ) D) 5 E) 5 ) ) ) D) 9 E) 6 doğrusunun eğim açısı α olsun, 6 m = = ( 9) tanα = α = 5 dir. 5 4, -6-9 üçgeni olduğundan, = birim ve = birimdir. Şekle göre, noktasının apsisi tür. Doğru Seçenek D Doğru Seçenek. SINIF NLİTİK GEMETRİ 9

94 Eğim Doğrunun nalitiği - ölüm 5 doğrusunun eğimi den büük olduğundan, m( ) > 45 4 nalitik düzlemde doğrusunun eğim açısı = 4 birim dir. una göre, dir. m( ) = 75, m( ) = 5 Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının apsisi kaçtır? doğrusunun eğim açısı 8 5 = 65 dir. Doğru Seçenek E ) ) ) D) 9 E) 6 nalitik düzlemde DN [] [] noktasının ordinatı 4 nalitik düzlemde noktasının apsisi [] [] noktasının ordinatı noktasının apsisi doğrusunun eğimi den küçüktür. Yukarıdaki verilenlere göre, doğrusunun eğim açısı kaç derecedir? ) 5 ) ) 5 D) 5 E) 65 doğrusunun eğimi den büüktür. Yukarıdaki verilenlere göre, doğrusunun eğim açısı kaç derecedir? ) 5 ) ) 5 D) 5 E) 65 Işık 6 İki Doğrunun Paralellik Şartı: d d H = birim a a = birim = 4 H olduğun- Eğim açıları eşit olan doğrular birbirine paraleldir. 75 H 65 5 dan dik üçgeni üçgenidir. Eğimi olmaan doğrular da birbirine paraleldir. d // d m = m 94. SINIF NLİTİK GEMETRİ

95 Doğrunun nalitiği - ölüm 5 Eğim DN nalitik düzlemde [] // [] doğrusunun eğimi, (k, ) (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, doğrusunun eğim açısı kaç derecedir? ) 75 ) 6 ) 45 D) E) 5 nalitik düzlemde [] // [] doğrusunun eğimi, (k, ) (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, doğrusunun eğim açısı kaç derecedir? ) 75 ) 6 ) 45 D) E) 5 6 (,a) (, a) olsun // ise m = m (k,) H a = k (,) a = 6 H = 6 = 4 birim dir. (k, ), (, ) noktaları için, m = = k k = 4 Uarı rijinden ve (, ) noktasından geçen doğrunun eğimi m = tir. Eğimleri eşit olan doğruların eksenile aptığı dar açılar eşittir. (a, b), (a, c) için // d ise d doğrusu üzerindeki tüm noktaların apsisleri eşittir. (a, b), (c, b) için // d ise d doğrusu üzerindeki tüm noktaların ordinatları eşittir. H = 4 birim una göre, H ikizkenar dik üçgendir. H açısının ölçüsü 45 olduğundan doğrusunun eğim açısı 45 dir. Doğru Seçenek. SINIF NLİTİK GEMETRİ 95

96 Eğim Doğrunun nalitiği - ölüm 5 Hazine Eğimi ilinen İki Doğru rasındaki Dar çının Tanjantı: Doğrular arasındaki açı θ ise a d q d b tanθ= + = = 6 5 = 6 m m dir. d doğrusu için, m = tanα ve d doğrusu için m = tanβ olsun, θ = β α eşitliğinin her iki tarafının tanjantı alınıp düzenlenirse tanθ = θ = 45 dir. tanθ = tan( β α) tanβ tanα tanθ = + tanβ tanα Doğru Seçenek m tanθ= m + m m m m işleminin sonucu pozitif ise θ dar açı, + m m negatif ise θ geniş açıdır. Eğimleri m ve m olan doğrular arasındaki dar açı m θ ise tanθ = m + m m Eğimi ve olan doğrular arasındaki geniş açının ölçüsü kaç derecedir? ) 5 ) 5 ) D) 5 E) 9 DN DN 4 Eğimi ve olan doğrular arasındaki dar açı- Eğimi ve olan doğrular arasındaki geniş nın ölçüsü kaç derecedir? ) 75 ) 6 ) 45 D) E) 5 açının ölçüsü kaç derecedir? ) 5 ) ) 5 D) 5 E) SINIF NLİTİK GEMETRİ

97 Doğrunun nalitiği - ölüm 5 Eğim d d ile doğruları arasında kalan açısının tanjantı, q 45 5 m = m = Doğrular arasındaki açı θ ise θ = 5 45 = 5 dir. Doğru Seçenek tür. m = dir. tan = m ( ) = m ( ) = = 5 br = ,5-67,5 gibi açıların tanjant değerlerini ezbere bilmiorsanız, iki doğru arasındaki açının tanjant formülü işinize aramaacaktır. u nedenle eğimleri bilinen doğruların eğer eğim açısı bulunabiliorsa açıları kullanmalısınız. Doğru Seçenek D Eğimi ve olan doğrular arasındaki dar açının ölçüsü kaç derecedir? ) 75 ) 6 ) 45 D) E) 5 DN 5 (,) nalitik düzlemde doğrusunun eğimi 5 doğrusunun eğimi 5 noktasının apsisi nalitik düzlemde doğrusunun eğimi doğrusunun eğimi Yukarıdaki verilenlere göre, kaç birimdir? ) ) ) 6 D) 5 E) 4 ( 5,) 4 noktasının apsisi 5 Yukarıdaki verilenlere göre, kaç birimdir? ) ) ) 6 D) 5 E) 4. SINIF NLİTİK GEMETRİ 97

98 Eğim Doğrunun nalitiği - ölüm 5 DN 6 nalitik düzlemde [H] noktasının ordinatı noktasının apsisi 5 H H noktasının apsisi 4 Yukarıdaki verilenlere göre, açısı kaç derecedir? ) 9 ) 5 ) D) 5 E) 5 nalitik düzlemde [H] noktasının ordinatı 6 noktasının apsisi H H noktasının apsisi 4 Yukarıdaki verilenlere göre, açısı kaç derecedir? ) 5 ) 5 ) D) 5 E) 9 H = birim H 4 H = 4 birim = 5 birim doğrusunun eğimi, doğrusunun eğimi Hazine İki Doğrunun Diklik Şartı: tan( ) = dir. + = 5 d d Eğimi m olan d ile eğimi m olan d doğrusu dik ise arasındaki açının ölçüsü 9 olacağından, m tan9 m = + m m = m m = + m m d d m m = tanımsız olduğundan açısının ölçüsü 9 dir. Doğru Seçenek d k için d doğrusunun eğimi oksa k doğrusunun eğimi dır. Yani, d doğrusu eksenine dik, k doğrusu eksenine paraleldir. Hatırlatma DN 7 h = p k nalitik düzlemde (a, 8), (4, ) noktalarından ge- p h k Euclid Teoremi ni sağlaan üçgen dik üçgendir. çen doğru, eğimi olan d doğrusuna diktir. una göre, noktasının apsisi kaçtır? ) ) ) D) 4 E) SINIF NLİTİK GEMETRİ

99 Doğrunun nalitiği - ölüm 5 Eğim d m m d = H olmalı m = 8 a 4 m d = 8 = a 4 a = tür. Doğru Seçenek (,) a b = 5 H(a,b) (5,) orantı özelliğine göre, m m H = a+ b a b = a b + a b = 8 = 4 b = 5 a tür. nalitik düzlemde (a, 8), (4, ) noktalarından geçen Doğru Seçenek doğru, eğimi olan d doğrusuna diktir. una göre, noktasının apsisi kaçtır? ) ) ) 4 D) 6 E) 8 Not noktasının d doğrusuna en akın olan noktası, dan d doğrusuna inilen dikmenin, d doğrusunu kestiği H noktasıdır. H noktasına dikme aağı da denir. d DN 8 H Dikme aaðý nalitik düzlemde (, ) (5, ) noktasının, doğrusuna en akın noktası H(a, b) dir. Yukarıdaki verilenlere göre, a+b oranı kaçtır? a b ) 8 ) 4 ) D) E) 4 nalitik düzlemde (, ) (4, ) noktasının, doğrusuna en akın noktası H(a, b) dir. Yukarıdaki verilenlere göre, a+b oranı kaçtır? a b ) 4 ) ) D) E) 4. SINIF NLİTİK GEMETRİ 99

100 Eğim Doğrunun nalitiği - ölüm 5 TNIM Döndürme: nalitik düzlemde d doğrusu K noktası etrafında α kadar döndürüldüğünde d doğrusu elde edilsin. d doğrusu düzlemin başka herhangi bir noktası etrafında da α kadar döndürüldüğünde d doğrusu elde ediliorsa d // d dür. d a a a a d K K K noktasından d doğrusuna çizilen dikme aağı H olsun, H noktası K noktası etrafında döndürüldüğünde elde edilen nokta H ise H noktasından geçen ve [KH ] arıçapına dik olan d doğrusu istenen doğrudur. DN 9 nalitik düzlemde K noktasından geçen ve eğimi olan d doğrusu, pozitif önde K noktası etrafında 6 döndürülüor. una göre, d doğrusunun son durumdaki eğimi kaçtır? ) ) ) Noktanın nokta etrafında döndürülmesi; noktasının K noktası etrafında pozitif önde α kadar döndürülmesi; noktasının, merkezi K ve arıçapı [K] olan çember üzerinde kadırılmasıdır. Doğrunun nokta etrafında döndürülmesi; d doğrusunun K noktası etrafında pozitif önde α kadar döndürülmesi; d doğrusu üzerindeki her noktanın K noktası etrafında α kadar döndürülmesidir. Örneğin, ukarıdaki şekilde d üzerindeki noktasını K noktası etrafında döndürmek için [K] arıçaplı çember çizilmiştir. d doğrusu üzerindeki başka bir noktasını, K noktası etrafında döndürmek için K merkezli [K] arıçaplı çemberin çizilmesi gerektiğine dikkat ediniz. d doğrusu üzerindeki her nokta için farklı bir çember çizilecek olsa da dönme sonucunda elde edilen noktalar doğrusal olacaktır. d D) E) Tanımsız d 6 K 6 m = Eğim açısı dir. Pozitif önde 6 döndürüldüğünde eğim açısı + 6 = 8 Yani eksenine paralel olduğundan eğimi dır. Doğru Seçenek u işlem uzun süreceği için pratik olarak aşağıdaki gibi bir öntem tercih edilir; d doğrusu, K noktası etrafında pozitif önde α kadar döndürülmesi için, d nalitik düzlemde K noktasından geçen ve eğimi olan d doğrusu, negatif önde K noktası etrafında döndürülüor. H a K H d una göre, d doğrusunun son durumdaki eğimi kaçtır? ) ) ) D) E) Tanımsız. SINIF NLİTİK GEMETRİ

101 Doğrunun nalitiği - ölüm 5 Eğim DN nalitik düzlemde eğimi olan d doğrusu, dışındaki bir nalitik düzlemde eğimi K noktası etrafında pozitif önde 9 döndürülüor. olan d doğrusu, dışındaki bir K noktası etrafında pozitif önde 9 döndürülüor. una göre, d doğrusunun son durumdaki eğimi kaçtır? una göre, d doğrusunun son durumdaki eğimi kaçtır? ) ) ) D) E) ) ) ) D) E) Tanımsız DN nalitik düzlemde köşeleri (, ), (, 4), (, ) olan üçgeni düzlemin bir noktası etrafında 9 döndürüldüğünde üçgeni elde edilior. una göre, üçgeninin alanı kaç br dir? d d 9 K 6 5 ),8 ) ), D),4 E),5 m = Eğim açısı 5 dir. d doğrusu pozitif önde 9 döndürüldüğünde = 4 olduğundan eğim açısı 6 dir. m = tan6 = tür. d doğrusu 9 döndürüldüğünde d doğrusu elde edilsin, d ile d arasındaki açı 9 olduğundan ani d d olduğundan, bu iki doğrunun eğimleri çarpımı dir. una göre, m m = m = tür. Doğru Seçenek Geometrik şekillerin döndürme sonucunda geometrik özellikleri korunur. Yani ilk şekil ile döndürme sonunda elde edilen geometrik şekiller birbirine eştir. Sadece analitik düzlemdeki konumları değişir. üçgeni ile üçgeni eş olduğundan, lan( ) = lan( ) lan( ) = = =, br dir. 5 Doğru Seçenek E. SINIF NLİTİK GEMETRİ

102 Eğim Doğrunun nalitiği - ölüm 5 nalitik düzlemde köşeleri (, ), (, 4), (, ) olan üçgeni düzlemin bir noktası etrafında döndürüldüğünde üçgeni elde edilior. una göre, üçgeninin alanı kaç br dir? ) ) ) D) 4 E) 5 nalitik düzlemde (,4) noktası orijin etrafında pozitif önde 45 döndürüldüğünde noktası elde edilior. una göre, doğrusunun eğimi kaçtır? ) ) 5 ) 5 D) E) 5 DN nalitik düzlemde (,4) noktası orijin etrafında pozitif önde 5 döndürüldüğünde noktası elde edilior. una göre, doğrusunun eğimi kaçtır? DN nalitik düzlemde d ile d doğrusu arasındaki açının açıortalarından birinin eğimi 5 dir. diğerinin eğimi m ) ) 5 ) 5 D) 5 E) una göre, m kaçtır? ) 5 ) 5 ) D) 5 E) 5 k k k olduğundan 5 4 d k d 5 m = m = 5 ile doğruları arasındaki açının ölçüsü 5 dir. Doğru Seçenek D doğrusunun eğimi, doğrusunun eğimi m ise, 4 m tan( 5 ) = 4 + m 4 nalitik düzlemde d ile d doğrusu arasındaki açının tir. = 4 m = 4 + m m 5 açıortalarından birinin eğimi 5 una göre, m kaçtır? diğerinin eğimi m dir. Doğru Seçenek D ) 5 ) 5 ) D) 5 E) 5. SINIF NLİTİK GEMETRİ

103 Doğrunun nalitiği - ölüm 5 Eğim DN 4 DN 5 nalitik düzlemde köşeleri (, ), (, ), (4, ) olan üçgenin köşesindeki iç açıorta doğrusu N doğrusudur. Eğimleri ve olan iki doğrunun arasında kalan açının açıortalarından birinin eğimi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) D) E) 5 una göre, N doğrusunun eğimi kaçtır? ) ) ) D) E) k a a d, m = k d, m = m m ( ) + = m = + m ( ) m Şıklarda m = verilmiş. (996 - ÖSS) çıorta doğrularından birinin eğimi m olsun, α = α tanα = tan α m = vea m = Doğru Seçenek m = a a N 4 m = vea m = dir. İç açıortaının eğimi dir. m = = m N = m olsun m = = 4 α = α tanα = tanα m m = + ( m) + m Doğru Seçenek Eğimleri ve olan iki doğrunun arasında kalan açının açıortalarından birinin eğimi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) D) E) 5 nalitik düzlemde köşeleri (, 6), (, ), (9, ) olan üçgenin köşesindeki iç açıorta doğrusu N doğrusudur. una göre, N doğrusunun eğimi kaçtır? ) ) ) D) E). SINIF NLİTİK GEMETRİ

104 Eğim Doğrunun nalitiği - ölüm 5 Uarı α = α tanα = tanα k d k dir. m = + ( ) + m m = 7 d d ile d doğruları arasındaki açının açıorta doğruları k ve k ise d ile d doğrularına k doğrusuna göre vea k doğrusuna göre simetriktir denir. [] d ve K = K olmak üzere, d Uarı Tanjant açılımında eğimleri farkı azılırken anı önde çıkarma apıldığına dikkat ediniz. K Doğru Seçenek D d doğrusuna [] doğru parçasının orta dikme doğrusu denir. ile noktaları orta dikme doğrusuna göre simetriktir. DN 6 nalitik düzlemde (, ), (4, 5), (, 6) olmak üzere, doğrusunun doğrusuna göre simetriğinin eğimi kaçtır? nalitik düzlemde (, ), (, ) ve (, ) olmak üzere, doğrusunun doğrusuna göre simetriğinin eğimi kaçtır? ) ) ) ) ) ) D) E) 4 D) 7 E) 8 doğrusunun doğrusuna göre simetriği d doğrusu ve d doğrusunun eğimi m olsun, (,) a a d 5 m = (,6) 4 = 6 m = (4,5) = DN 7 nalitik düzlemde (, 7), (, 5), (, 6) olmak üzere, doğrusunun doğrusuna göre simetriğinin eğimi kaçtır? ) ) ) D) E) Yoktur 4. SINIF NLİTİK GEMETRİ

105 Doğrunun nalitiği - ölüm 5 Eğim 5 7 m d = = 6 m = 7 = m m = olduğundan doğrusunun doğrusuna göre simetriği kendisidir. Doğru Seçenek D Uarı ir doğrunun kendisine dik olan bir doğrua göre simetriği ine kendisidir. (,4) 4 m = = ( ) (,5) K(a,b) b mk = 5 a (,) K olduğundan m m K = 5 b b a 7 a 7 b a = + = = K(7 b, b),, doğrusal olduğundan m K = m = b 4 b b b b = 4 = = 5, 5 ( ) tur. Doğru Seçenek nalitik düzlemde (, ), (4, ), (, 5) olmak üzere, doğrusunun doğrusuna göre simetriğinin eğimi kaçtır? ) ) ) Uarı D) E) nalitik düzlemde (, 4), (, ) olmak üzere, doğrusunun orijine en akın noktasının ordinatı kaçtır? ), ), ), D),4 E),5 d için noktasının d doğrusuna göre simetriği kendisidir. DN 8 nalitik düzlemde (, 5), (, 4), (, ) olmak üzere, doğrusunun noktasına en akın noktası K(a, b) dir. una göre, K noktasının ordinatı kaçtır? ) 6,5 ) 5,5 ) 4,5 D),5 E),5 DN 9 nalitik düzlemde (, 4), (7, 4) ve [] doğru parçasının orta dikme doğrusu eksenini noktasında kesior. una göre, üçgeninin çevresi kaç cm dir? ) 6 ) ) D) 6 E) 8. SINIF NLİTİK GEMETRİ 5

106 Eğim Doğrunun nalitiği - ölüm 5 4 (,4) H (7,4) (4,) H orta nokta olduğundan H(4, 4) (,5) (a,a) H(,4) (4,) Çevre ( ) = + + = = 6 birimdir. Doğru Seçenek D H orta nokta olduğundan H(, 4) H olduğundan m m H = 5 a 4 = a = 4 a dir. (a,a) nalitik düzlemde (, ), (9, ) ve [] doğru parçasının orta dikme doğrusu eksenini noktasında kesior. una göre, üçgeninin çevresi kaç cm dir? ) 6 ) ) D) 6 E) 8 (,5) (4,) = ( a ) + ( a 5) = ( a 4) + ( a ) a = dir. Doğru Seçenek DN nalitik düzlemde (, 5), (4, ) ve [] doğru parçasının orta dikme doğrusu üzerinde (a, a) noktası verilior. Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının apsisi kaçtır? nalitik düzlemde (, 5), (4, ) ve [] doğru parçasının orta dikme doğrusu üzerinde (a, a) noktası verilior. Yukarıdaki verilenlere göre, noktasının ordinatı kaçtır? ) ) ) D) 4 E) 5 ) ) ) D) E) 5 6. SINIF NLİTİK GEMETRİ

107 Doğrunun nalitiği - ölüm 5 Eğim TEST -. nalitik düzlemde (, ) (, ) Yukarıdaki verilere göre, doğrusunun eğimi kaçtır? ) ) ) (5,4) nalitik düzlemde (5, 4) (, ) Yukarıdaki verilere göre, doğrusunun eğimi kaçtır? ),4 ),5 ), D),5 E),4 D) E). nalitik düzlemde (, ) (, ) Yukarıdaki verilere göre, doğrusunun eğimi kaçtır? ) ) ) 5. (, ) nalitik düzlemde (, ) (, ) Yukarıdaki verilere göre, doğrusunun eğimi kaçtır? ) 4 ) ) D) E) 4 D) E). nalitik düzlemde 5 = 5 birim (, ) Yukarıdaki verilere göre, doğrusunun eğimi kaçtır? 6. (, a) ve (7, 7) noktalarından geçen doğrunun eğimi dir. una göre, noktasının ordinatı kaçtır? ) 5 ) 4 ) 4 D) 4 E) 4 ) ) ) D) 7 E) 8. SINIF NLİTİK GEMETRİ 7

108 Eğim Doğrunun nalitiği - ölüm 5 7. nalitik düzlemde (, ) (, ) Yukarıdaki verilere göre, doğrusunun eğim açısı kaç derecedir? ) ) 45 ) 6 D) E) 5. doğrusunun eğimi den büük, [] [] = 8 birim noktasının ordinatı dir. Yukarıdaki verilenlere göre, doğrusunun eğim açısı kaç derecedir? ) 5 ) ) 5 D) 5 E) nalitik düzlemde = birim (, ) Yukarıdaki verilere göre, doğrusunun eğim açısı kaç derecedir? ) ) 6 ) D) 5 E) 5. nalitik düzlemde [] [] doğrusunun eğim açısı 6 noktasının ordinatı dir. Yukarıdaki verilere göre, noktasının ordinatı kaçtır? ) 4 ) ) D) E) 9. doğrusunun eğim açısı 5 = birim. [] // = noktasının apsisi 4 Yukarıdaki verilere göre, noktasının ordinatı kaçtır? noktasının apsisi ) ) ) D) E) Yukarıdaki verilere göre, doğrusunun eğim açısı kaç derecedir? ) 5 ),5 ) D) 45 E) 6 8. SINIF NLİTİK GEMETRİ

109 Doğrunun nalitiği - ölüm 5 Eğim. nalitik düzlemde 5. [] [] = D Yukarıdaki verilere göre, doğrusunun eğim açısı kaç derecedir? ) 75 ) 6 ) 54 D) 45 E) D doğrusunun eğimi = m( D ) = m( D ) Yukarıdaki verilere göre, doğrusunun eğim açısı kaç derecedir? ) 5 ) ) 5 D) 5 E) doğrusunun eğimi (, ) 6 noktasının ordinatı 6 (4, ) noktasının apsisi (,) (4,) Yukarıdaki verilere göre, doğrusunun eğimi kaçtır? Yukarıdaki verilere göre, noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) 4 D) 4 E) ) ) ) D) 4 E) 6..E. 4.E 5. 6.D 7. 8.D 9..E...D 4. 5.E 6.D. SINIF NLİTİK GEMETRİ 9

110 Eğim Doğrunun nalitiği - ölüm 5 TEST - 4. // D doğrusunun eğim açısı 5. (, 4), (, ) ve (, a) noktaları verilior. ile doğruları çakışık olduğuna göre, noktasının apsisi kaçtır? ) 4 ) ) D) E) 4 D = birim D(, ) Yukarıdaki verilere göre, noktasının ordinatı kaçtır? ) ) ) D) E). a d (, a) (, ) (, ) noktaları d doğrusu üzerindedir (,) // (, ) ( 6, ) Yukarıdaki verilere göre, noktasının ordinatı kaçtır? ) ) 5 ) D) 7 E) 4 Yukarıdaki verilere göre, noktasının ordinatı kaçtır? ) 6 ) 4 ) D) E). // D (, ) (a, ) (, ) 6. (,5) // (, 5) D D(, ) Yukarıdaki verilere göre, noktasının apsisi kaçtır? ) ) ) 7 D) 4 E) 9 Yukarıdaki verilere göre, noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) D) 4 E) 5. SINIF NLİTİK GEMETRİ

111 Doğrunun nalitiği - ölüm 5 Eğim 7. (a, a + b), (b, 7), (, ), D(, ) noktaları verilior. ile D doğruları çakışık olduğuna göre, noktasının ordinatı kaçtır?. D [] [] D = D doğrusunun ) 6 ) 4 ) D) E) eğimi 4 Yukarıdaki verilere göre, doğrusunun eğimi kaçtır? ) 6 ) 5 ) 4 D) E) 8. 6 d d (, 6) (, ) Yukarıdaki verilere göre, d doğrusunun eğimi kaçtır? ) ) ) D) E). D 5 [D] [] D = (, ) (5, ) Yukarıdaki verilere göre, doğrusunun eğimi kaçtır? ) ) 7 ) 6 D) 5 E) 9. D 4 a+ a 6 D (, a + ) (, a) D( 4, ) (6, ). [] açıorta [] = birim noktasının ordinatı Yukarıdaki verilere göre, doğrusunun eğim açısı kaç derecedir? ) 5 ) ) 5 D) 5 E) 65 Yukarıdaki verilere göre, doğrusunun eğim açısı kaç derecedir? ) 5 ) ) 5 D) 5 E) 65. SINIF NLİTİK GEMETRİ

112 Eğim Doğrunun nalitiği - ölüm 5. D [D] [] D = birim (, ) (, ) Yukarıdaki verilere göre, ile doğruları arasındaki geniş açının ölçüsü kaç derecedir? ) ) 5 ) 45 D) 5 E) (, ) (, ) (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, ile doğruları arasındaki geniş açının ölçüsü kaç derecedir? ) 65 ) 5 ) 5 D) E) 5 4. (, ) 6. üçgen (, ) (4, ) doğrusunun 4 Yukarıdaki verilere göre, ile doğruları arasındaki açı ölçüsü kaç derecedir? (, ), (, ) eğimi 4 doğrusunun eğimi ) 65 ) 5 ) 5 D) E) 9 Yukarıdaki verilenlere göre, kaç birimdir? ) 5 ) 4 ) D) E)...E 4.D D 9..E..D. 4.E 5. 6.D. SINIF NLİTİK GEMETRİ

113 DĞRUNUN NLİTİĞİ - ÖLÜM 6 DĞRU DENKLEMLERİ TNIM Geometrik Yer ve Denklemleri nalitik düzlemin tüm noktalarını, bir temsilci (değişken) nokta ile ifade etmek mümkündür. Herhangi bir kısıtlama oksa ve değişkenleri tüm gerçek saılar kümesinden değerler alır. P(, ) noktası analitik düzlemin temsilci noktası vea değişken noktasıdır. ile arasında azılan her bağıntı için P(, ) noktası, analitik düzlemde bir şekil ifade eder. u şekle, P(, ) noktasının geometrik eri, ile arasında azılan bağıntıa geometrik er bağıntısı vea geometrik erin kartezen bağıntısı, bu bağıntı bir eşitlik bağıntısı ise geometrik er denklemi vea geometrik erin kartezen denklemi denir. ve birbiri türünden vea başka bir değişkenin birer bağıntısı olarak azılırsa bu azılışa geometrik erin parametrik bir azılışı, parametrik azılışta kullanılan değişkene parametre denir. Örneğin, = eşitliği, P(, ) noktasının belirttiği geometrik erin denklemidir. P(, ) ifadesi, P noktasının belirttiği geometrik erin parametrik bir azılışı vea parametresine göre bir azılışıdır. ve değişkenleri, t değişkeninin birer bağıntısı olarak azılabilir. Geometrik erin t parametresine bağlı bir azılışı için; (t) = t, (t) = t alınırsa, P(t, t ) olarak, (t) = t, (t) = (t ) alınırsa P(t, t t + ) olarak azılabilir. DN nalitik düzlemde parametrik denklemi, (t) = t, (t) = t olan geometrik erin kartezen denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = + ) = ) = + D) = E) = + (t) = t (t) = t parametrik denklemi P(t, t) noktalarının geometrik erinin denklemidir. = t, = t eşitliklerinde t parametresini ok etmek için birinci eşitlikte t erine azılırsa; = eşitliği elde edilir. u eşitlik geometrik erin kartezen denklemi vea kısaca denklemidir. Elde edilen denklem şıklarda nalitik düzlemde denklemi, = olan geometrik erin parametrik denklemi (t) = t, (t) = t dir. Fakat (t) = t, (t) = t anı geometrik erin parametrik denklemi değildir. Çünkü ilk denklemde t = alınırsa P(, ) elde edilir. sa diğer denklemde hiçbir zaman P(, ) noktası elde edilemez. olarak verilmiştir. = + Doğru Seçenek. SINIF NLİTİK GEMETRİ

114 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 nalitik düzlemde parametrik denklemi, (t) = t, (t) = t olan geometrik erin kartezen denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = + ) = Her kefi değerine karşılık bir değeri elde edilir vea her kefi değerine karşılık bir değeri elde edilir. u değerlerle elde edilen P(, ) noktaları analitik düzlemde doğrusunu belirtir. Yani doğrusu üzerindeki tüm noktaların koordinatları bu denklemle belirlenmiş olur. Elde edilen denklem düzenlenerek değişik biçimlerde de azılabilir. Sonuçta hepsi anı doğrunun denklemidir; = 4 ) = + D) = = = E) = =... Doğru Seçenek DN nalitik düzlemde (, ) ve (, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = + 4 ) = 4 ) = + D) = E) = 4 nalitik düzlemde (, ) ve (, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = + ) = + ) = D) = + 4 E) = + P(, ) noktası, (, ), (, 4) noktalarından geçen doğrusunu üzerinde olacak şekilde kısıtlanmıştır. urada ile arasında azılacak eşitlik doğrusunun denklemi olacaktır. P(, ), (, ), (, 4) noktalarının doğrusal olması için; m = m P 4 4 = eşitliği sağlanmalıdır. ile arasında bulunan bu eşitlik doğrusunun denklemidir. DN nalitik düzlemde (, ) noktasından 5 birim uzaklıktaki noktaların geometrik erinin denklemi nedir? ) ( ) + ( ) = 5 ) ( + ) + ( ) = 5 ) ( + ) + ( + ) = 5 D) ( ) + ( + ) = 5 E) ( + ) + ( ) = 5 4. SINIF NLİTİK GEMETRİ

115 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri nalitik düzlemde (, ) noktasına uzaklığı 5 birim olan noktaların temsilcisi P(, ) olsun; P = 5 birim ( ( )) + ( ) = 5 eşitliği istenilen geometrik erin denklemidir. Düzenlenirse, ( + ) + ( ) = 5 elde edilir. DN 4 nalitik düzlemde denklemi = olan geometrik er üzerinde K(k, k) noktası verilior. una göre, k nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? ) ) ) D) E) Uarı u denklemin, bir çember belirttiğine dikkat ediniz. Doğru Seçenek K(k, k) geometrik er üzerinde olduğundan, = k ve = k değerleri denklemi sağlar. = k k = k k = (k ) (k + ) = nalitik düzlemde merkezinin koordinatları (, ) ve arıçapı 4 birim olan çemberin denklemi nedir? ) ( ) + ( ) = 6 ) ( + ) + ( ) = 6 ) ( + ) + ( + ) = 6 k vea k + = k = vea k = k nın alabileceği değerlerin toplamı + ( ) = dir. Doğru Seçenek D D) ( ) + ( + ) = 6 E) ( + ) + ( ) = 6 Hazine Geometrik er üzerindeki her noktanın koordinatları, geometrik erin denklemini sağlar. Koordinatları bir denklemi sağlaan nokta, denklemin belirttiği geometrik er üzerindedir. nalitik düzlemde denklemi + = olan geometrik er üzerinde K(, k) noktası verilior. una göre, K noktasının ordinatı kaçtır? ) ) ) D) E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 5

116 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 DN 5 aşlangıç noktası olan analitik düzlemde, denklemi 4 = olan geometrik er, eksenini ve eksenini noktalarında kesior. una göre, kaç birimdir? ) ) ) D) E) aşlangıç noktası olan analitik düzlemde, denklemi 4 = olan geometrik er, eksenini ve eksenini noktalarında kesior. una göre, kaç birimdir? ) ) 4 ) 5 D) 6 E) 7 ekseni üzerindeki noktaların ordinatı olduğundan, denklemde = azılırsa bulunan değeri, geometrik erin eksenini kestiği noktanın apsisidir. = için 4 = = 4 olduğundan (4, ) ve = 4 birim ekseni üzerindeki noktaların apsisi olduğundan, denklemde = azılırsa bulunan değeri, geometrik erin eksenini kestiği noktanın ordinatıdır. dir. = için 4 = = olduğundan (, ) ve = birim = 4 = birim Doğru Seçenek D Not DĞRU DENKLEMLERİ İki nokta bir doğru belirttiğinden (, ), (, ) noktalarından geçen doğrusunun denklemi bulunabilir. doğrusunun temsilci (değişken) noktası her zamanki gibi P(, ) olsun. P,, noktaları doğrusal olduğundan m P = m = denklemi, doğrusunun denklemidir. Fakat bu denklem tüm doğruları temsil etmez. Çünkü = olabilir. Denklemde tanımsızlık riskini ortadan kaldırmak için içler dışlar çarpımı apılmalıdır. ( ) + = ( ) + ( ) ( ) + + = ( ) ( ) + = u denklemlerdeki sabit saılara denklemin kat saıları, ve koordinatlarına da denklemin değişkenleri denir. Kat saıları daha sadece göstermek amacıla = a Verilen bir denklemin analitik düzlemde belirttiği geometrik erinin ne olabileceği konusunda önceden fi kir sahibi olabiliriz. unun için temel şekiller incelenerek genel denklemlerinin nasıl olabileceği konusunda önceden fi kir edinilmiştir. nalitik geometrinin temel problemi geometrik er ve denklemleri arasındaki ilişkileri ortaa komaktır. ( ) = b = c dielim doğrusunun genel denklemi a + b + c = biçiminde birinci dereceden iki bilinmeenli bir denklemdir. Tersine birinci dereceden bir bilinmeenli vea iki bilinmeenli denklemler analitik düzlem- 6. SINIF NLİTİK GEMETRİ

117 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri de bir doğru belirtir. a a da b den biri sıfır olabilir. a ve b katsaılarının ikisinin birden sıfır olması = ve = olması anlamına gelir ki, ve noktaları çakışıktır. ir nokta bir doğru belirtmediğinden a ve b katsaılarının ikisi birden sıfır olursa denklem doğru belirtmez. n a = m+n 4a + b + c = genel doğru denkleminin özelliği analitik düzlemdeki tüm doğruları temsil edebilmesidir. Genel doğru denkleminin azılışında sırala, ve sabit saı azılışı matematikçilerin düzenli ve tertipli olma alışkanlıklarının bir geleneğidir. Çoğu zaman "a + b + c = denkleminin belirttiği doğru" erine "a + b + c = doğrusu" sölemi tercih edilir. Genel denklem değişik biçimlerde azılarak, temsil ettiği doğrunun özellikleri hakkında kısa oldan bilgi edinilmesi mümkün olur. Öğrenci özel denklem azılışlarından istifade ederek problemlere daha kısa çözümler üretebilir. Örneğin, genel denklemde eşitliğin bir tarafında değişkenini alnız bırakırsak: elde ederiz. a + b + a c = b c = b = m + n doğrusunun eğimi m; eksenini kestiği noktanın ordinatı n dir. (m = tanα) = (eğim) + ( eksenini kestiği değer) eksenini kestiği noktanın apsisi k, eksenini kestiği noktanın ordinatı n olan doğrunun denklemi; n k + n Doğrunun eğimi m = tanα = dır. Doğru eksenini n k ordinatlı noktada kestiğinden doğrunun denklemi, n = k + n dir. n Düzenlenirse, + = n k + n = nk ve eşitliğin iki ta- k rafı nk ile bölünürse k k n a = + = elde edilir. n a = b c b denkleminde a b = mve c b = n azılarak kat saılar daha sade biçimde ifade edilebilir. eksenini kestiği değer + eksenini kestiği değer = = m + n azılışından, bu denklemin temsil ettiği doğrunun eğimi ve eksenini kestiği noktanın ordinatı kolaca tespit edilebilir. a m = = = doğrunun eğimidir. b ( ) ekseni üzerindeki noktaların apsisi olduğundan, c = için a + b + c = = = b n dir. Doğru eksenini (, n) noktasında keser. (, ) noktasından geçen eğimi m olan doğrunun denklemini bulalım; Doğru üzerindeki noktaların temsilcisi P(, ) olduğundan, m P = m = m (aranan doğru denklemi) içler dışlar çarpımı apılırsa, = m ( ) elde edilir.. SINIF NLİTİK GEMETRİ 7

118 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Elde ettiğimiz doğru denklemlerinde eşitliğin bir tarafı sıfır olacak biçimde azılışına doğrunun kapalı denklemi denir. Örneğin; m ( ) = k + = n m + n = a + b + c =,... gibi. u denklemlerin hepsi F(, ) = biçiminde gösterilir. Genel çözüm apılırsa, dir. = 5 4 = = + İki Noktası ilinen Doğrunun Denklemini Yazma ve Yorumlama: (, ), (, ) noktalarından geçen doğrusunun denklemi; (, ) ve (4, 5) koordinatlarına dikkat edilirse, "ordinat = apsis + " biçiminde ortak bir bağıntı vardır. halde doğrusunun denklemi = + dir. Doğru Seçenek (,) (,) = nalitik düzlemde, koordinatlarındaki artış miktarı orantılı olan noktaların (apsislerindeki artış, ordinatlarındaki artışla orantılı noktaların) geometrik eri bir doğrudur. DN 6 nalitik düzlemde (, ) ve (4, 5) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = + ) = + D) = E) = nalitik düzlemde (, ) ve (4, ) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = + ) = + D) = E) = 8. SINIF NLİTİK GEMETRİ

119 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri DN 7 nalitik düzlemde (, ) ve (4, ) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = ) = + D) = E) = Genel çözüm apılırsa, = ( ) 4 ( ) = = = dir. b Kısaol (a,b) (,) (c,b) (a, b), (c,b) noktalarından geçen doğrusunun denklemi: = b vea b = dır. ekseninin denklemi = dır. (a,b) (a,c) a (a, b), (a, c) noktalarından geçen doğrusunun denklemi: = a vea a = dır. ekseninin denklemi = dır. (a,b) (a, b) ve orijinden geçen doğrusunun denklemi, b b a = vea = a dır. DN 8 (, ) ve (4, ) koordinatlarına dikkat edilirse, "ordinat = " biçiminde ortak bir bağıntı vardır. halde doğrusunun denklemi = dir. Doğru Seçenek E nalitik düzlemde ( 4, 4) ve ( 4, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = ) = 4 D) = 4 E) = 4 nalitik düzlemde (, ) ve (, ) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = ) = D) = E) = Genel çözüm apılırsa, ( 4) 4 ( 4) = = ( 4) 4 ( 4) + 4 (Genel doğru denklemini hatırlaınız tanımsızlıktan kurtul-. SINIF NLİTİK GEMETRİ 9

120 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 mak için içler dışlar çarpımı apılıordu.) ( + 4) = 8 ( + 4) + 4 = vea = 4 mutlak değerce eşit olan noktalar doğrusaldır. u noktalardan geçen doğrua II. açıorta doğrusu denir. (a, a), ( b, b), ( a, a), D(b, b), E(c, c) noktalarından geçen doğru II. açıorta doğrusudur. II. açıorta doğrusunun denklemi, ( 4, 4) ve ( 4, 4) koordinatlarına dikkat edilirse, ikisinde de "apsis = 4" biçiminde ortak bir bağıntı vardır. halde doğrusunun denklemi = 4 tür. ( b,b) (,) (a, a) Doğru Seçenek D = vea + = dır. DN 9 şağıdakilerden hangisinde, verilen noktalardan geçen doğrunun denklemi anlış azılmıştır? nalitik düzlemde (4, 4) ve (4, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = ) = 4 D) = 4 E) = 4 ) (, ), ( 4, 4) ise : = ) (5, 5), (, ) ise : = ) (4, ), (, ) ise : = D) (, ), (, ) ise : + = 4 E) (, ), (, ) ise : + = TNIM çıorta Doğrusu: nalitik düzlemde apsisleri ile ordinatları eşit olan noktalar doğrusaldır. u noktalardan geçen doğrua I. açıorta doğrusu denir. E) (, ), (, ) ise : = doğrusu olmalıdır. Doğru Seçenek E (a, a), (b, b), ( a, a), D(c, c) noktaları doğrusaldır. u noktalardan geçen doğru, I. açıorta doğrusudur. I. açıorta doğrusunun denklemi; (a,a) (b,b) (,) = vea = dır. nalitik düzlemde apsisleri ile ordinatları ters işaretli ve şağıdakilerden hangisinde, verilen noktalardan geçen doğrunun denklemi anlış azılmıştır? ) (, ), (, ) ise : = ) (, ), (, ) ise : = ) (, ), (, ) ise : = D) (, ), (, ) ise : + = E) (, ), (, ) ise : + =. SINIF NLİTİK GEMETRİ

121 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri DN nalitik düzlemde apsisleri, ordinatlarının katından 4 eksik olan noktaların geometrik erinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? doğrusunun denklemi için, + = denkleminde k n k =, n = azılırsa ) + 4 = ) 4 = ) + 4 = D) + 4 = E) 4 = + = = elde edilir. Doğru Seçenek Geometrik er üzerindeki noktaların koordinatları arasında "apsis = ordinat 4" biçiminde ortak bir bağıntı vardır. halde geometrik er, denklemi = 4 olan doğrudur. Doğru denklemi düzenlenirse; nalitik düzlemde eksenini (, ) noktasında, eksenini (, ) noktasında kesen doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + = ) = dır. + 4 = ) + + = D) + = E) = Doğru Seçenek nalitik düzlemde apsisleri, ordinatlarının katından 4 fazla olan noktaların geometrik erinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + 4 = ) 4 = ) + 4 = D) + 4 = E) 4 = Işık 7 Eğimi ve ir Noktası ilinen Doğrunun Denklemini Yazma ve Yorumlama: (, ) noktasından geçen, eğimi m olan doğrunun denklemi; DN nalitik düzlemde eksenini (, ) noktasında, eksenini (, ) noktasında kesen doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + = ) = ) + + = D) 4 = E) = = m vea = m( ) (m = tanα, α eğim açısı) (, n) noktasından geçen, eğimi m olan doğrunun denklemi; = m + n rijinden geçen, eğimi m olan doğrunun denklemi; = m tir.. SINIF NLİTİK GEMETRİ

122 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 DN nalitik düzlemde eğimi olan ve (, 4) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = 8 ) = 4 D) = + 4 E) = + 8 DN nalitik düzlemde eğim açısı 5 olan ve eksenini (, ) noktasında kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = + ) = ) = + D) = E) = = m + n denkleminde m eğim, n eksenini kestiği değer olduğundan m ve n değerleri kolaca bulunabilir. m = tan5 =, n = olduğundan, doğrunun denklemi dir. 4 = 4 = ( ) = + 8 tür. = + Doğru Seçenek = m + n denkleminde m doğrunun eğimini gösterdiğinden istenen doğrunun denklemi = + n biçimindedir. (, 4) noktasının denklemi sağlaması gerektiğinden 4 = () + n olmalıdır. n = 8 elde edilir. halde istenen doğrunun denklemi = + 8 dir. Doğru Seçenek E nalitik düzlemde eğim açısı 45 olan ve eksenini (, ) noktasında kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = + ) = ) = + D) = E) = nalitik düzlemde eğimi olan ve (, 4) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = 8 ) = 4 D) = + 4 E) = + 8 DN 4 + = denkleminin analitik düzlemde belirttiği doğrunun eğim açısı kaç derecedir? ) ) 6 ) D) 5 E) 5. SINIF NLİTİK GEMETRİ

123 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri = + m= tanα = α = Doğru Seçenek m > < α < 9 : Doğrunun eksenile aptığı açı, dar açıdır. = m + n biçimindeki denkleminde in katsaısı (eğim) pozitiftir. d d: = m + n a m > a < α < 9... m < 9 < α < 8 : Doğrunun eksenile = denkleminin analitik düzlemde belirttiği doğrunun eğim açısı kaç derecedir? ) ) 6 ) D) 5 E) 5 aptığı açı, geniş açıdır. = m + n biçimindeki denklemde in katsaısı (eğim) negatiftir. d d: = m + n a m < a 9 < α < 8... Not m = α = : Doğru eksenidir vea eksenine paralel herhangi bir doğrudur. Denklemde li terim oktur. : = b (a,b) (c,b) b m = α = =, ekseninin denklemidir, eğim açısı dir.... m tanımsız α = 9 : Doğru eksenidir vea eksenine dik herhangi bir doğrudur. Denklemde li terim oktur. : = a (a,b) (a,c) Eğimi ok a α = 9 =, ekseninin denklemidir, eğim açısı 9 dir.... = = I. açıorta doğrusu orijinden geçen ve eğimi (α = 45 ) olan doğru olduğundan denklemi = tir. II. açıorta doğrusu orijinden geçen eğimi (α = 5 ) olan doğru olduğundan denklemi = tir. DN 5 nalitik düzlemde açısının ölçüsü (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = + ) = + D) = E) = +. SINIF NLİTİK GEMETRİ

124 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 nalitik düzlemde 5 6 açısının ölçüsü 6 (, ) Doğrunun eğim açısı 5 olduğundan eğimi, m = tan5 = (, ) noktasından geçtiği için doğrusunun denklemi = ( ( )) = tür. Yukarıdaki verilenlere göre, doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = + ) = + D) = E) = + Not üçgeninde kenar uzunluklarına göre doğrunun eksenleri kestiği değerler hesaplanır ve doğrunun denklemi = m + n biçiminde düşünülürse, tan = = dür. Doğrunun eğim açısı geniş açı olduğundan eğimi negatiftir. m= ven= = tür. Grafi ği verilen doğrunun eğimi bulunurken, önce eksenile aptığı dar açının tanjantı bulunur, eğim açısının dar vea geniş olmasına göre eğimin işareti sonradan belirlenir. Eğim açısı dar açı ise eğim pozitif, geniş açı ise negatif alınır. DN 6 D nalitik düzlemde = = 4 D doğrusunun denklemi = 4 noktasının apsisi noktası, II. açıorta doğrusunun üzerindedir. Yukarıdaki verilenlere göre, doğrusunun eğimi kaçtır? Doğru Seçenek ) ) ) 4 D) E) 4 4. SINIF NLİTİK GEMETRİ

125 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri Işık 8 d ( 4,4) D = H 5 8 ir noktası, d doğrusunun üzerinde ise, noktasının koordinatları d doğrusunun denklemini sağlar. = 4 ise nın ordinatı 4 tür. = ise nın apsisi 4 tür. = br, H = 4 br ise H = br H dik üçgeninde Pisagor Teoremi nden = 5 br = = 5 br, H = + 5 = 8 br H dik üçgeninde tan( H) 4 = = 8 DN 7 (, k) noktası d : = 5 doğrusunun üzerinde olduğuna göre, k kaçtır? ) ) ) D) E) doğrusunun eğim açısı geniş açı olduğundan m = dir. Doğru Seçenek = ve = k değerleri d doğrusunun denklemini sağlamalıdır. k = 5 = nalitik düzlemde dir. D = 4 = D doğrusunun denklemi Doğru Seçenek = 4 noktasının apsisi noktası, II. açıorta doğrusunun üzerindedir. Yukarıdaki verilenlere göre, doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + 4 = ) 4 = ) = D) + 4 = E) = (, k) noktası d : = + 5 doğrusunun üzerinde olduğuna göre, k kaçtır? ) 6 ) 7 ) 8 D) 9 E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 5

126 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 DN 8 (, ) ve d : + k + = verilior. d olduğuna göre, d doğrusunun eğimi kaçtır? ) ) ) D) E) denklemi tektir. Matematiksel operasonlarla denklemin azılışı değiştirilebilir. Örneğin, tüm denklemi sıfırdan farklı bir saı ile çarpma, bölme, eşitliğin bir tarafında değişkenini alnız bırakma... vs. gibi işlemlerle denklemin azılışı değiştirilebilir, fakat hepsi anı doğrunun denklemleridir. şağıdaki denklemleri inceleiniz; d : + 8 = d : = d ( ) + k () + = 8 + k = k = 8 d : = d : 8 = = + d m d = : ( ) dir. Doğru Seçenek d : = + 8 d 4 : = + 4 Denklemlere dikkat edilirse, d denklemi, d denkleminin ile genişletilmiş halidir. d denklemi, d denkleminde eşitliğin bir tarafında nin alnız bırakılmış halidir. d 4 denklemi ise d denkleminin her tarafı ile bölünmüş halidir. u işlemler çoğaltılabilir. Matematiksel operasonlar ugulanırken nokta kabı olmamasına vea fazladan nokta eklenmemesine özen gösterilmelidir. d 5 : 4 = +8 Üs alma işlemile apılan bu operasonda da nokta kabı olmadığına dikkat ediniz, fakat d denkleminde eşitliğin her iki tarafının karekökü alındığında elde edilen aşağıdaki denklemde, (, ) ve d : + k + = verilior. d olduğuna göre, d doğrusunun eğimi kaçtır? ) ) ) D) E) d6 : = + 8 ve + 8 terimlerinin negatif değeri alınamaacağı için nokta kabı olmuştur. d 6 denklemi diğer denklemlerden farklı olduğundan grafi kleri de farklıdır. d 6 denkleminin geometrik eri ışındır. d 7 : = ( + 8) nalitik Düzlemde İki Doğrunun Durumları ) Çakışık lma Durumu denklemi diğer denklemlerden daha fazla nokta içerdiğinden grafiği farklıdır. d 7 denkleminin geometrik eri, = + 8 ve = 8 denklemlerinden oluşan iki doğrudur. d d Tüm noktaları anı olan doğrulara çakışık doğrular denir. Farklı iki nokta bir tek doğru belirttiğinden herhangi iki doğrunun iki noktası ortak ise diğer noktaları da ortaktır. u doğruların analitik düzlemdeki görüntüsü ve kartezen d8 + : = 8 denklemi d denkleminin değişkenine bölümünden elde edilmiştir. d 8 denkleminin geometrik eri, = için tanım- 6. SINIF NLİTİK GEMETRİ

127 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri sızlık söz konusu olduğundan d doğrusunun eksenini kestiği noktada kopmuş iki arı doğrudur. halde, d ile d 8 denklemlerinin grafi kleri çakışık değildir. nalitik düzlemde verilen iki denklemin belirttiği geometrik erlerin çakışık olup olmadığını anlamak için, nokta kabı vea nokta eklenmesi olmadan anı formda azılabilmeleri gerekir. Doğru denkleminin her iki tarafı sıfırdan farklı bir saıla çarpılabilir, hatta birbirlerile toplanabilir. Elde edilen denklemlerin belirttiği doğrular değişmez (çakışıktır). a + b + c = a + b + c = ka + kb + kc = (k R \ {}) Sonuç olarak, aşağıdaki IŞIK ı verebiliriz. DN 9 + a b = ve = denklemlerinin analitik düzlemde belirttiği doğrular çakışık olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ) ) ) D) E) Işık 9 d : a + b + c = d : a + b + c = doğrularının çakışık (d = d ) olması için a b c = = olmalıdır. a b c = denklemi ile bölünürse, = olur. + a b = denklemi ile karşılaştırılırsa, in kat saıları eşit olduğundan diğer kat saıların da eşit olması gerekir. (Polinom eşitliği gibi) DN + a a b = ve 4 + b + = denklemlerinin analitik düzlemde belirttiği doğrular çakışık olduğuna göre, a kaçtır? ) ) ) D) E) a = 4 ve b = 6 olmalıdır. b = olduğundan dir. a + b = 4 + ( ) = Doğru Seçenek E + a a b = denklemi ile genişletilirse, 4 + a 4a 6b = olur. + a + 6 = ve b = denklemlerinin analitik düzlemde belirttiği doğrular çakışık olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ) ) ) 4 D) 6 E) b + = denklemi ile karşılaştırılırsa, in kat saıları eşit olduğundan diğer terimlerin de eşit olması gerekir. (Polinom eşitliği gibi düşünülebilir) a = b ve 4a 6b = elde edilir. 4a 6 (a) = a = dir.. SINIF NLİTİK GEMETRİ 7

128 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 çakışık olması için kat saılar eşit olmalı, = a = a b denklem sistemi çözülürse a = bulunur. 4 b Doğru Seçenek tir. a =, b = a + b = + = 5 Doğru Seçenek E + a a b = ve + b = denklemlerinin analitik düzlemde belirttiği doğrular çakışık olduğuna göre, a kaçtır? ) ) ) D) E) nalitik düzlemde = ve + = denklemlerinin a b belirttiği doğrular çakışıktır. una göre, a + b toplamı kaçtır? ) 6 ) ) D) 4 E) 5 DN ) Paralel lma Durumu d d nalitik düzlemde = ve = denklemlerinin belirttiği doğrular a b çakışıktır. una göre, a + b toplamı kaçtır? ) 6 ) ) D) 4 E) = 8 = 4 64 = 6 = +6 = = 6 + = = ile = a b a a nalitik düzlemde herhangi bir ortak noktası olmaan doğrulara paralel doğrular denildiğini öğrenmiştik, şimdi ise paralel doğruların denklemleri arasındaki ilişkileri inceleeceğiz. Çakışık doğruların ve paralel doğruların eğimleri eşit olduğundan sadece eğimlere bakarak doğruların paralel olacağını sölemek eterli değildir. İki doğrunun paralel olması için varsa eğimleri eşit ve birbirinden farklı doğrular olması gerektiğine göre, bu bilginin denklemde nasıl orumlanması gerektiğine bakalım; d : = m + n d : = m + n d, d doğrularının eğimleri eşittir. n = n olduğunda d = d ani doğrular çakışıktır. n n olduğunda d d olacağından d // d dir. 8. SINIF NLİTİK GEMETRİ

129 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri d : = m + n doğrusunun eğimini değiştirmeden d doğrusundan farklı bir doğru (d doğrusuna paralel) elde etmek için ve kat saıları sıfırdan farklı herhangi bir saı ile çarpılabilir vea sadece n saısı den farklı bir saıla çarpılabilir. d : = m + n d : k = k m + n (k ) DN (k + ) + + k = ve + (k ) + = denklemlerinin analitik düzlemde belirttiği doğrular paralel olduğuna göre, k nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? ) 4 ) ) D) E) d : = m + k n (k ) ise d // d // d olur. d : a + b + c = d : a + b + c = d, d doğrularının eğimleri eşitir. c = c olduğunda d = d ani doğrular çakışıktır. c c olduğunda, d d ani d // d dir. k + k = k k + = k k k + 6 = k = vea k = olmalı, k k k k k vea k olduğundan d : + = a b d k a k : + = b d : a + b = k k değeri sadece olabilir. Doğru Seçenek k değerine göre doğruların çakışık ve paralel olma durumlarını düşününüz. ir doğru denkleminde ve kat saıları anı saı ile çarpılırsa vea sadece sabit terim değiştirilirse paralel doğrular elde edilir. (k + ) k = ve + k + = denklemlerinin analitik düzlemde belirttiği doğrular paralel olduğuna göre, k nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? ) 4 ) ) D) E) 4 Sonuç olarak, aşağıdaki IŞIK ı verebiliriz. Işık d : a + b + c = d : a + b + c = doğrularının paralel (d // d ) olması için, a b c = olmalıdır. a b c DN nalitik düzlemde her k reel saısı için, + k + 4 = denkleminin belirttiği doğrulardan biri, orijinden ve (a, k) noktasından geçtiğine göre, a kaçtır? ) ) ) D) E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 9

130 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 + k + 4 = denkleminin belirttiği paralel doğru demetinde denklemi = olan doğru orijinden geçeceğinden k + 4 = k = olmalıdır. (a, ) noktası bu doğru üzerinde olduğundan denklemi sağlaacağı için a ( ) = a = nalitik düzlemde (k + ) + (k + a) 6 = ve k R { 6} olmak üzere, her k değerine karşılık gelen doğrular birbirine paralel olduğuna göre, a kaçtır? ) ) 6 ) D) E) 4 dir. Doğru Seçenek D TNIM a, b, c sabit saılar olmak üzere, nalitik düzlemde her k gerçek saısı için, + k + 4 = denkleminin belirttiği doğrulardan biri, eksenini 4 noktasında kestiğine göre, k kaçtır? ) ) ) D) E) a + b + k c = denkleminde her k gerçek saısına karşılık gelen doğrular birbirine paraleldir. u doğrulara paralel doğru demeti denir. Paralel iki doğrunun denklemlerinin taraf tarafa toplanmasıla elde edilen doğrunun geometrik orumu; d : a + b + c = d : a + b + c = DN 4 nalitik düzlemde (k ) + (k + a) + = ve k R {6} olmak üzere, her k değerine karşılık gelen doğrular birbirine paralel olduğuna göre, a kaçtır? ) ) 6 ) D) E) 4 k Eğim; m = sabit olmalıdır. Yani k sadeleşmelidir. k+ a ( k 6) m = 6 = a k + a olursa eğim sabit olacağından, a = tür. Doğru Seçenek birbirine paralel olan d ile d doğrularının denklemleri taraf tarafa toplanırsa elde edilen denklem d doğrusu olsun, c c d : a + b + c + c d : a+ b+ + = d, d, d doğru denklemlerinin geometrik orumu; G d = a + b + c = d = a + b + c + c = d = a + b + c = d, d olsun, ve noktalarının orta noktası d doğrusu üzerindedir. Yamuk ve üçgenlerin orta taban doğrusunun denklemlerini orumlaınız. d : a + b + c = d : a + b + c = d : a + b+ c = d 4 : a + b + c 4 =.... SINIF NLİTİK GEMETRİ

131 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri d i doğruları sırala eşit aralıklarla birbirine paralelse, c i sabit terimleri aritmetik dizi oluşturur. Yani c i sabit saılarındaki artış miktarı eşittir. d = a + b + c = d = a + b + c + r = 4 E k K D F k D: + = EF: + = d = a + b + c + r = : + + c = d4 = a + b + c + r = d n : a + b + c + (n ) r = dır. DN 5 K noktası, [] doğru parçasını oranında bölen noktadır. Paralel doğruların vea kat saıları anı olmak şartıla, bölen noktalar için kullanılan çözüm öntemi sabit terimlere ugulanabilir. k birimde den e artış olduğundan k birimde 4 artış olacağından c = 4 = 7 D nalitik düzlemde dir. E K F EF = {K} K = K Doğru Seçenek E D : + = EF : + = : + + c = D nalitik düzlemde Yukarıdaki verilenlere göre, c kaçtır? ) ) 4 ) 5 D) 6 E) 7 E K F EF = {K} K = K D : + + = EF : + + = Yukarıdaki verilenlere göre, c kaçtır? : + + c = ) ) 4 ) 5 D) 6 E) 7 D D: + = E F EF: + = K d d: + + c = : + + c = D ile EF doğrularının denkleminde sabit terimin artış miktarı olduğundan, c = = 5 ve c = 5 = 7 dir. DN 6 nalitik düzlemde (, ) noktasından geçen ve = + 7 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + 5 = ) + 5 = ) + 5 = D) = E) + + =. SINIF NLİTİK GEMETRİ

132 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 = + 7 ile istenen doğru paralel olduğundan, aranan denklem = + n biçimindedir. Doğru (, ) noktasından geçtiğine göre, = ( ) + n n = 5 = = dır. Doğru Seçenek = + 4 doğrusunun eğimi olduğundan bu doğrua dik olan doğrunun eğimi dir. Eğimi olan ve (, ) noktasından geçen doğrunun denklemi, = ( ) + = dır. Doğru Seçenek nalitik düzlemde (,) noktasından geçen + = doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) 5 = ) + 5 = ) + 5 = D) = nalitik düzlemde (,) noktasından geçen ve = + 4 doğrusuna dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + + = ) + = ) + = D) + = E) + = E) + + = ) Kesişme Durumu TNIM DN 7 nalitik düzlemde (, ) noktasından geçen ve = + 4 doğrusuna dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + + = ) + = ) + = D) + = E) + = d: a + b + c = d: a + b + c = K(, ) m = a m = a b b nalitik düzlemde alnız bir ortak noktası olan doğrulara kesişen doğrular, ortak noktaa kesişim vea kesim noktası denir. İki doğru paralel vea çakışık değilse, kesişen iki doğrudur. halde iki doğrunun kesişmesi için eğimlerinin farklı olması eterlidir.. SINIF NLİTİK GEMETRİ

133 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri d : a + b + c = d : a + b + c = doğrularının kesişmesi için a b a b olmalıdır. Hazine 4 a + b + c = ve a + b + c = doğrularının kesişim noktası; eğer varsa; DN 8 (k + ) + + k = ve + (k ) + = denklemlerinin analitik düzlemde belirttiği doğrular tek noktada kesiştiğine göre, k aşağıdakilerden hangisi olamaz? a + b + c = a + b + c = denklemleri ortak çözülerek bulunur. ( = apsis, = ordinat) ) 4 ) ) D) E) DN 9 nalitik düzlemde, k + k k + k 6 + = + 4 = doğrularının kesişim noktasının koordinatlarının toplamı kaçtır? ) ) ) D) 4 E) 5 k vea k dir. Doğru Seçenek Verilen iki denklemi kullanarak, + toplamını elde etmemiz gerekior. unun için, bu iki denklemi taraf tarafa toplaalım: + = = = + = (k + ) + + k = ve + (k + ) + = denklemlerinin analitik düzlemde belirttiği doğrular tek noktada kesiştiğine göre, k aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) 4 ) ) D) E) bulunur. Doğru Seçenek. SINIF NLİTİK GEMETRİ

134 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 ün orumu; nalitik düzlemde, 8 = 9 = doğrularının kesişim noktasının koordinatlarının toplamı kaçtır? d d d (, ) : = d4 d d : 9 = d : = d 4 : = doğruları (, ) noktasında kesişirler. ) ) ) D) 4 E) 5 TNIM DN nalitik düzlemde d : 9 = ve d : = doğrularının kesiştiği noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) D) (, ) E) (, ) ir noktada kesişen doğruların medana getirdiği geometrik şekle doğru demeti denir. Kesişim noktasına doğru demetinin merkezi denildiği de olur. Doğru demetinin eksenlere dik olan doğrularına doğru demetinin asal elemanları vea asal doğruları denir. Örneğin, = ve = doğruları, merkezi K(, ) olan doğru demetinin asal elemanlarıdır. Doğru demetinin asal elemanlarının denklemlerinin taraf tarafa toplamı vea farklarından elde edilen denklemlerin belirttiği doğrular, doğru demetinin elemanlarıdır. radığımız nokta d ve d doğru denklemlerinin ikisini de sağlaan P(, ) dir. u nokta, verilen denklem sistemini çözmekle bulunabilir; / 9 = = nalitik düzlemde d : + 8 = ve d : ++6 = doğrularının kesiştiği noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? ) ( 4, ) ) ( 4, ) ) (, ) D) (, ) E) (, ) + = = = dir. değeri ilk denklemde erine azılırsa, DN ( ) 9 = = elde edilir. P(, ) = P(, ) dir. Doğru Seçenek şağıdakilerden hangisi, merkezi K(, ) olan doğru demetinin bir elemanı değildir? ) = ) = ) + = D) + = E) = 4. SINIF NLİTİK GEMETRİ

135 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri K(, ) noktası, = denklemini sağlamadığından, = doğrusu demetin bir elemanı değildir. ( = denkleminde nin kat saısı sıfır olarak düşünülmelidir. + = gibi) Doğru Seçenek E d mn : m( + ) + n( ) = denklemine doğru demetinin genel denklemi denir. Herhangi bir gerçek saıı temsil eden m ve n değişkenlerine doğru demetinin parametreleri denir. Parametre saısını ikiden bire indirgeebiliriz. Genel denklemin her tarafı m (vea n) değerine bölünürse elde edilen denklem de doğru demetinin denklemidir; fakat buna genel denklem denilmez. Çünkü doğru demetinin tüm doğrularını (elemanlarını) temsil etmez. d mn : m( + ) + n( ) = d mn : ( + ) + n ( ) =, m n m = k dersek şağıdakilerden hangisi, merkezi K(, ) olan doğru demetinin bir elemanıdır? ) = ) = ) + = D) + = E) = Merkezi K(, ) olan doğru demetinin denklemlerinin bulunuşu: macımız K noktasını üzerinde bulunduran tüm doğruları temsil eden bir denklem bulmaktır. d : = vea + = (doğru demetinin asal elemanı) d : ( + ) = d : ( + ) =... d m : m( + ) = (m R) d : = vea = (doğru demetinin asal elemanı) d : ( ) = d k : + + k( ) = vea d k : + k + k = denklemleri, merkezi K(, ) olan doğru demetinin k parametresine göre bir denklemidir. Doğru demetinin asal elemanları erine herhangi iki elemanı seçilerek de doğru demetinin denklemini değişik biçimlerde azmak mümkündür. Örneğin, + =, = doğrularını taraf tarafa toplaıp çıkarırsak elde edilen + = ile + = doğruları da K(, ) noktasından geçer. u doğruları kullanarak anı merkezli doğru demetinin bir başka denklemini azabiliriz, m ve n parametre olmak üzere, m( + ) + n( + ) = k parametresine göre + + k( + ) = vea ( + k) + ( k) + k = denklemi, merkezi K(, ) olan doğru demetinin k parametresine göre bir başka denklemidir. d : ( ) =... d n : n = n vea n n = vea n( ) = (n R) d mn : m( + ) + n( ) =, (m, n R) u denklemde her kefi m ve n değerlerine karşılık bir doğru denklemi elde edilir. Elde edilen bu doğruların K(, ) noktasından geçtiği çok açıktır. Uarı ir doğru demetinin birden fazla parametrik denklemi vardır.. SINIF NLİTİK GEMETRİ 5

136 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 DN nalitik düzlemde k parametre olmak üzere, denklemi (k ) + (k + ) + 5 = olan doğru demetinin merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) D) E) 6 DN nalitik düzlemde k parametre olmak üzere, denklemi (k ) + (k + ) + 8 = olan doğru demetinin eğimi olan elemanının, eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır? ) 8 ) 6 ) D) 4 E) 6 İki kefi k değeri, verilen demet denkleminde erine azılırsa, iki doğru denklemi elde edilir. u doğruların kesiştiği nokta doğru demetinin merkezidir. Fakat k erine kefi değerler vermek erine, sonuca kola ulaşabilmek için ugun değerlerin seçilmesi işlemleri kolalaştıracaktır. (k ) + (k + ) + 5 = denkleminde k = azılırsa değeri, k = azılırsa değeri bulunur. k = için = = k = için = = (k ) + (k + ) + 8 = denkleminde eğimi apan k değeri bulunmalıdır. k k + = olması için k = olmalıdır. Demet denkleminde bu değerle birlikte, eksenini kestiği noktanın bulunması için = azılırsa = = 8 6 doğru demetinin merkezi (, ) olduğundan koordinatları toplamı + ( ) = dır. Doğru Seçenek dır. Doğru Seçenek E nalitik düzlemde k parametre olmak üzere, denklemi (k + ) + (k ) + 5 = olan doğru demetinin merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) D) E) 6 nalitik düzlemde k parametre olmak üzere, denklemi (k ) (k + ) + 8 = olan doğru demetinin eğimi olan elemanının eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır? ) 8 ) 6 ) D) 4 E) 6 6. SINIF NLİTİK GEMETRİ

137 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri DN 4 nalitik düzlemde = ve = doğrularının kesişim noktasından geçen ve eğimi olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + = ) 4 5 = ) = D) = nalitik düzlemde = ve = doğrularının kesişim noktasından geçen ve eğimi olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + + = ) = ) + + = D) + + = E) = E) = =, = ve istenilen doğru anı noktadan geçtiğine göre doğru demeti oluştururlar. Demetin tüm elemanlarını içeren genel denklem (iki parametreli denklemi) azılırsa istenen koşula göre kesişme noktasını bulmadan sonuca gidebiliriz. a ve b parametresine göre doğru demetinin genel denklemi, a(4 + 4) + b(5 + 6) = biçimindedir. DN 5 nalitik düzlemde + = ve + = doğrularının kesiştiği noktadan geçen ve eksenine dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = ) = D) = E) = (4a + 5b) (a + b) + 4a + 6b = u denklemde eğimin olması için, 4a+ 5b = a b b = a oranı elde edilir. Doğru demetinde b erine a azılırsa istenen doğru denklemi elde edilir. a (4 + 4) + a(5 + 6) = a ( ) = = dır. Doğru Seçenek D + =, + = doğrularının K(a, b) kesim noktasından geçen ve eksenine dik olan doğrunun denklemi = a dır. Yani istenen doğru denkleminde li terim oktur. Verilen denklem sisteminde li terimler ok edilirse istenen doğrunun denklemi bulunmuş olur. / + = / + = = + 6+ = Not b = a oranı, demet denklemine azılırken a =, b = gibi sabit değerler azılabileceğine dikkat ediniz. olur. 7 = = Doğru Seçenek. SINIF NLİTİK GEMETRİ 7

138 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 u doğrulardan eğimi olanını bulmak için a ile b arasındaki oranı bulalım, nalitik düzlemde + = ve + = doğrularının kesiştiği noktadan geçen ve eksenine dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = ) = D) = E) = a+ b = 8a 4b = a b 4a b a = b dir. a =, b = seçilerek demet denkleminde azılırsa, ( + 4 4) + ( + ) = = = = dır. DN 6 Doğru Seçenek E nalitik düzlemde = ve + = doğrularının kesiştiği noktadan geçen ve + + = doğrusuna dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + = ) + = ) = D) = E) = nalitik düzlemde = ve + = doğrularının kesiştiği noktadan geçen ve + + = doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + = ) + = ) + 6 = D) = + + = doğrusunun eğimi m = olduğundan bu E) + = doğrua dik olan doğruların eğimleri m = dir. (Dik doğruların eğimleri çarpımı ) ranan doğru ile = ve + = doğruları anı noktadan geçtiğine göre doğru demeti medana getirirler. Doğru demetinin a ve b parametresine göre denklemi; DN 7 nalitik düzlemde üçgen a( + 4 4) + b( + ) = olsun. Denklem düzenlenirse; (a + b) + (4a b) 4a + b = elde ederiz. : + = H : + = H : + a = Yukarıdaki verilenlere göre, a kaçtır? ) ) ) D) E) 8. SINIF NLİTİK GEMETRİ

139 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri,, H doğruları noktasında kesiştiğinden, H doğrusunun denklemi ve doğru denklemleri kullanılarak bulunabilir. H doğrusunun denkleminde li terim olmadığından, ve denklemlerindeki değişkenleri ok edilmelidir. + = DN 8 nalitik düzlemde + k =, + =, + = doğruları tek noktada kesiştiğine göre, k kaçtır? ) 8 ) 7 ) 6 D) 4 E) + + = + = olduğuna göre, a = dir. Doğru Seçenek + k = doğrusu, a( + ) + b( + ) = denkleminden elde edilebilir. Uarı d, d, d doğruları bir noktada kesişiorsa; (a + b) + (a + b) (a + b) = = a+ b taraf tarafa çıkarılırsa, b = 5, a = 7 = a+ b d: a+ b+ c= a b c d : a+ b+ c = a b c = a b c d : a+ b+ c = Determinant konusuna bakınız ve analitik geometri bilgilerile kıaslaınız... dir. k = a b k = ( 7) 5 = 8 Doğru Seçenek nalitik düzlemde üçgen : + + = H : + = H : + a = Yukarıdaki verilenlere göre, a kaçtır? ) 5 ) ) 9 D) 6 E) 5 nalitik düzlemde + + k =, + + =, + + = doğruları tek noktada kesiştiğine göre, k kaçtır? ) 4 ) ) D) E) 4. SINIF NLİTİK GEMETRİ 9

140 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 DN 9 nalitik düzlemde = doğrusunun, + = doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) 5 6 = ) = D) + 6 = E) + 6 = nalitik düzlemde + + = doğrusunun, + + = doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) 5 6 = ) + 6 = D) + = E) = Simetri k, doğru d ve eğimi m olsun, =, m = a a + =, m = d, m α = α tanα = tanα NKTNIN DĞRUY UZKLIĞI Noktanın doğrua uzaklığıla ilgili formülün hangi öntemler kullanılarak bulunacağını basit bir örnek üzerinde ugulamalı gösterelim. m m m m = + m m + m m m m m = = + + Doğrular bir noktada kesiştiğinden demet medana getirirler. Simetri doğrusu, kesişim noktası bulunmadan da demet denklemi ardımıla bulunabilir. DN 4 nalitik düzlemde (, ) noktasının = 4 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir? ) 5 ) ) D) E) a( ) + b( + ) =, a+ b = b a b = a olduğundan demet denkleminde a =, b = azarak simetri doğrunun denklemini bulmuş oluruz. ( + ) = + 6 = + 6 = ebirsel öntem ile problemin çözümü: (,) P(,) d: = 4 Değişik çözüm öntemleri için simetri konusunu inceleiniz. Doğru Seçenek E d doğrusu üzerinde P(, ) noktası alalım. noktasının doğrua uzaklığı, P uzunluğunun en küçük değerini alması ile mümkündür. halde iki nokta arasındaki uzaklıktan P uzunluğunu azalım; 4. SINIF NLİTİK GEMETRİ

141 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri P = ( ) + ( ) = ( ) + 4 = P 8 6, ile (, ) noktaları arasındaki uzaklık, noktasının d doğrusuna olan uzaklığa eşittir P = birim + = + = = dir. 5 = + 4 enzerlik ile çözüm (geometrik çözüm öntemi): ifadesi 5 = olduğunda en küçük değerini alır. 4 P en az birim olabilir. halde, noktasının doğrua uzaklığı birimdir. (,) 4k 5k P L k 4 K d: = 4 noktasının apsisi ise K = br md = ise KL = br 4 4 Diğer andan cebirsel işlemler sonucunda elde edilen = 8 5 değerini orumlaalım: 8 değeri, noktasının d doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün apsisidir. Yani noktasından d doğrusuna 5 inilen dikme aağının apsisi 8 5 tir. KL ile PL benzer üçgenler olduğundan, LP = k ise P = 4k, L = 5k noktasının ordinatı olduğundan, P = 4k = birimdir. K = br 5k + = 4 k = 4 nalitik çözüm öntemi: (,) lan hesabı ile çözüm: (,) P(,) d: = 4 noktasının doğru üzerindeki dik izdüşümü P(, ) olsun. maç P noktasının koordinatlarını bulmak ve ile P noktası arasındaki uzaklığı hesaplamaktır. P, tir. 4 [P] d olduğundan eğimleri çarpımı olacağından, = = ve = = d: = 4 (,) H (4,) d doğru üzerinde birbirinden farklı iki kefi nokta seçilir. noktası ve seçilen noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı delta öntemile bulunur. Seçilen iki nokta arasındaki uzaklık taban ve noktasının d doğrusuna uzaklığı ani üçgenin üksekliğini bulabiliriz. d doğrusu üzerinde seçilen noktalar kefi olduğundan üçgenin üksekliği bazen dışarıda olabilir. Fakat bu durum işlemleri etkilemez.. SINIF NLİTİK GEMETRİ 4

142 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 = için = = 4 olduğundan, (, ) kefi seçtiğimiz ilk nokta olsun. Diğer kefi nokta = 4 için = 4 4 = olduğundan (4, ) olsun. (, ), (, ), (4, ) noktalarını köşe kabul eden üçgenin alanını delta öntemile bulalım: lan( ) = = br Üçgenin tabanı = + 4 = 5 br köşesine ait ükseklik h br olsun; 5 h 5 an l ( ) = = h = birim Formül ile çözüm: (, ) noktasının = 4 = doğrusuna uzaklığı h olsun; h = = = birim Kapalı doğru denklemi olarak, = alınabilirdi. u 4 durumda da çözüm, 4 h = + ( ) 4 biçiminde olacaktı. = birim Doğru Seçenek E halde, noktasının doğrua uzaklığı birimdir. Uarı Hazine 5 irbirinden farklı bu beş olun öğrenci tarafından bilinmesi gerekir. Gereksiz die öğrenmediğiniz ol çözemeeceğiniz soru tipi demektir. Noktanın Doğrua Uzaklığı: (, ) noktasının a + b + c = doğrusuna uzaklığı h birim ise; a + b + c h = a + b dir.... Nokta kapalı doğru denkleminde azılır. ile nin katsaılarına pisagor ugulanır. nalitik düzlemde (, ) noktasının 4 + = doğrusuna uzaklığı kaç birimdir? ) ) ) D) E) SINIF NLİTİK GEMETRİ

143 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri DN 4 nalitik düzlemde 4 + = doğrusunun orijine uzaklığı kaç birimdir? ) ),6 ),4 D),8 E),6 nalitik düzlemde + 4 = doğrusunun orijine uzaklığı kaç birimdir? ) ) ) D) 4 E) 5 DN 4 Euclid Teoremi nden, nalitik düzlemde (4, ) noktasının, h 4 = + h = h 4 h = = 4, birim = doğrusuna uzaklığı kaç birimdir? 4 ) ) 6 D) E) 7 ) 5 (, ) noktasının 4 + = doğrusuna uzaklığı h ise dir. h = = + 4 = = 4, birim 5 d: + 6 = Doğru Seçenek, h 4 4, 4 (4, ) Kısaol + = doğrusunun orijine uzaklığı h birim ise, a b dir. = + h a b noktasının d doğrusuna uzaklığı h birim olsun, Euclid Teoremi ni ugulaabilmek için (4, ) noktasını diklik merkezi kabul eden dik üçgenini oluşturalım; = 4 için (4) + 6 = = 4, 4, 4 = için () + 6 = =,,. SINIF NLİTİK GEMETRİ 4

144 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Euclid Teoremi nden, dir. 4 = = 5 = 4 5 = = + h = + = h h = 5 birim Değişken noktasının geometrik eri = + doğrusudur. (, ) noktasının + = doğrusuna uzaklığı istendiğinden; ( ) + 9 min( ) = h = = birim + 5 dir. DN 4 ün. çözüm mantığını kullanarak farklı bir çözüm elde edebilirsiniz. u işi siz çalışkan öğrencilerimize bırakıoruz. Doğru Seçenek (4, ) noktasının d : + 6 = doğrusuna uzaklığı; h = = + 5 birim dir. Doğru Seçenek nalitik düzlemde (, 7), (a, a ) olduğuna göre, uzunluğu en az kaç birimdir? nalitik düzlemde ( 4, ) noktasının = ) 7 ) 5 ) 5 D) 5 E) doğrusuna uzaklığı kaç birimdir? ) ) 4 ) 5 D) 6 E) 7 DN 4 nalitik düzlemde (, ), (a, a + ) olduğuna göre, uzunluğu en az kaç birimdir? ) ) ) D) E) 5 5 DN 44 nalitik düzlemde d : = ile d : = doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir? ) ) ) D) E) SINIF NLİTİK GEMETRİ

145 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri Verilen doğruların paralel olduğuna dikkat ediniz. Paralel doğrular arasındaki uzaklık sabit olduğundan, d doğrusu üzerinde kefi bir noktası seçip, noktasının d doğrusuna uzaklığını hesaplaabiliriz. d üzerinde, = için d : = d : = h = = + 4 h = birimdir. 5 Doğru Seçenek = =, (, ) noktasını alalım. (, ) noktasının d : = doğrusuna uzaklığı; + 4 ( ) + h = = + 4 h = birimdir. 5 nalitik düzlemde d : = ile d : = doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir? ) ) ) D) E) 4 Hazine 6 Paralel Doğrular rasındaki Uzaklık: a + b + c = ve a + b + c = Paralel doğruları arasındaki uzaklık h birim ise; c c h = a + b dir.... Formül ugulanmadan önce paralel doğruların karşılıklı ve katsaıları eşitlenmelidir. Sabitler farkı ile nin katsaılarına pisagor ugulanır DN 45 nalitik düzlemde d : = ile d : = doğruları verilior. Karşılıklı kenarları d ve d doğrusu üzerinde bulunan karenin alanı kaç br dir? ) ) ) 8 D) 6 E) 5. SINIF NLİTİK GEMETRİ 45

146 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Verilen doğruların paralel olduğuna dikkat ediniz. Karenin bir kenarı a birim ise, paralel doğrular arasındaki uzaklık a birimdir. d doğrusu üzerinde P(, ) değişken noktasını alalım. a d: = d: + 8 = P noktası noktasına en akın olduğunda [P] d olur. noktasının d doğrusuna uzaklığı h birim olsun, (,) a = 8 = + h P(, ) d: + = a = birimdir. min( P ) = h Karenin lanı: a = br dir. Doğru Seçenek + ( ) + ( ) = + ( ) + ( ) = nalitik düzlemde d : 4 8 = ile d : = doğruları verilior. Karşılıklı kenarları d ve d doğrusu üzerinde bulunan karenin alanı kaç br dir? ) ) ) 8 D) 6 E) 5 (u adımda elde edilen denklem daima tam karedir. Dolaısıla denklemin kökü kolaca bulunabilmektedir.) 9 6+ = = = = = 5, d doğrusu üzerinde P(, ) değişken noktasını alalım. P noktası noktasına en akın olduğunda [P] d olur. DN 46 nalitik düzlemde d : + = doğrusunun (, ) noktasına en akın noktasının apsisi kaçtır? ), 4 ) ), D), E),5 (,) P(, ) d: = + m P m d = ( ) = = = 5, Doğru Seçenek E 46. SINIF NLİTİK GEMETRİ

147 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri P(, ) noktası verilen iki doğrua da eşit uzaklıkta olduğundan nalitik düzlemde d : + = doğrusunun başlangıç noktasına en akın noktasının apsisi kaçtır? ), 4 ) ), D),5 E),5 h = h = = + 6 ise, 4 = + 6 vea Not nalitik düzlemin (a, b) noktası, (, ) noktasına ötelendiğinde, F(, ) = doğrusu da F ( + a, + b) = doğrusuna ötelenir. u durumda noktasının F doğrusuna uzaklığı ile noktasının F doğrusuna uzaklığı eşittir. 4 = + 6 dır. 4 = 6 vea 4 + = dır. vea + = dır. Her iki doğrua eşit uzaklıktaki noktaların geometrik eri, + = doğrusudur. DN 47 nalitik düzlemde 4 = ve = doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik erinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + = ) + = 4 = + 6 = + c = ) + = D) + 4 = E) + 7 = Paralel doğrular eşit aralıklı olduklarından sabit saılar aritmetik dizi oluşturur. İstenen doğrunun denklemi + c = biçimindedir. c = = Verilen doğrular paraleldir. olduğundan, her iki doğrua eşit uzaklıktaki noktaların h P(,) 4 = geometrik eri + = doğrusudur. Doğru Seçenek h + 6 =. SINIF NLİTİK GEMETRİ 47

148 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 P(, ) noktası verilen iki doğrua da eşit uzaklıkta olduğundan, nalitik düzlemde = ve = doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik erinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + = ) + = ) + = D) + 4 = E) + 7 = h = h = + + denklemi istenen geometrik erin denklemidir. u denklemin analitik düzlemde görüntüsü birbirine dik iki doğrudur. u doğrular; 4 = = vea 4 = ( + + 6) Işık Kesişen iki doğrua eşit uzaklıktaki noktaların geometrik eri, bu iki doğrunun açıortalarıdır. = vea + + = Geometrik erin denklemi = ve + + = doğrularıdır. u doğrular üzerindeki tüm noktalar istenen noktalardır. Doğru Seçenek DN 48 nalitik düzlemde 4 = ve = doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik erinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + = ve ) = ve + + = + + = ) = ve D) + = ve Uarı "vea" bağlacı, mutlak değerli denklemin iki türlü eşit olabileceğini gösterir. "ve" bağlacının ise istenen şartı sağlaan tüm noktaları ifade etmek için kullanıldığına dikkat ediniz. Mutlak değerli denklemler için daha fazla bilgi, ileri safalarda verilmiştir. + + = + + = E) + 7 = ve k + + = k 4 = h h P(,) = nalitik düzlemde 4 = ve = doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik erinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + = ve ) = ve + + = + + = ) + + = ve D) + + = ve 5 = + + = E) + 7 = ve 5 = 48. SINIF NLİTİK GEMETRİ

149 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri Hazine 7 İki Doğrua Eşit Uzaklıktaki Noktaların Geometrik Yeri: d : a + b + c = ve d : a + b + c = doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik eri; a + b + c a+ b+ c = a b + a + b a + b + c = a + b + c a + b a + b a + b + c = ve a + b + c = paralel olan doğrulara eşit uzaklıktaki noktaların geo- c + c metrik eri a + b + = doğrusudur. = + 4 ifadesi diğer doğru denkleminde erine azılırsa, 4 ( + 4) + = = 4 7 dir. K üçgeninin üksekliği KH = 4 7 olduğundan, lan( K) = = 4 br dir. 7 7 br ve tabanı = br lan( K) = lan( ) lan( K) olduğundan, dir. lan(k) = = br 7 7 Doğru Seçenek D DN 49 nalitik düzlemde 4 + =, + 4 = ve eksenlerle sınırlı olan dörtgensel bölgenin alanı kaç br dir? ) 5 7 D) 54 7 ) 5 7 E) 55 7 ) 5 7 nalitik düzlemde 4 + =, + 4 = ve ekseni ile sınırlı olan üçgensel bölgenin alanı kaç br dir? ) ) ) D) 4 E) K H D = ile + 4 = doğrusunun kesişim noktası K olsun, DN 5 nalitik düzlemin başlangıç noktası, d doğrusunun denklemi =, d doğrusunun denklemi + = ve d ile d doğrularının kesişim noktası K dır. Yukarıdaki verilenlere göre, K, d ve eksenile sınırlı bölgenin alanı kaç br dir? ) 4 ) 5 ) 6 D) 7 E) 9. SINIF NLİTİK GEMETRİ 49

150 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 MUTLK DEĞERLI İFDELER Grafi ği doğrusal noktalardan oluşan cebirsel ifadeleri inceleelim. Genel olarak a, b, c sıfırdan farklı saılar olsun. d 8 d K S D S 6 + S 6. a + b + c = a + b + c = vea a + b + c = doğruları çakışık olduğundan; a + b + c = denkleminin analitik düzlemdeki görüntüsü, a +b + c = doğrusudur. lan( D) = = br a + b + c = lan( DK) = S olsa lan (KD) = S, a + b + c = lan( K) = 6+ S olur. 6 8 lan( ) = = 4 br 6 + 6S = 4 S = DN 5 dir. lan( K) = + S = 6 br Doğru Seçenek nalitik düzlemde (, ) ve (, ) noktalarından geçen doğru- sunun grafi ği verilmiştir. Yukarıdaki verilenlere göre, doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) + + = ) + + = ) + = D) = E) + 4 = 4 nalitik düzlemin başlangıç noktası, d doğrusunun denklemi =, d doğrusunun denklemi + = ve d ile d doğrularının kesişim noktası K dır. Yukarıdaki verilenlere göre, K, d ve eksenile sınırlı bölgenin alanı kaç br dir? doğrusunun eğimi olmadığı için denklem = olamaz. Diğer denklemler doğrusunun denklemidir. Doğru Seçenek D ) 6 ) 9 ) D) 5 E) 8 5. SINIF NLİTİK GEMETRİ

151 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri DN 5 nalitik düzlemde (, ) ve (, ) noktalarından geçen doğrusunun grafi ği verilmiştir = denkleminin analitik düzlemde belirttiği geometrik er d ve d doğrularından oluşmaktadır. una göre, d ile d doğruları arasındaki uzaklık kaç br dir? una göre, doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) 5 ) D) E) ) = ) + = ) + + = D) + = E) + = = + 4 = = = 5 d : = ve d : = Paralel doğrular arasındaki uzaklık;. a + b + c = denkleminin analitik düzlemde görüntüsü; h = = = 5 birim i) c > ise a + b + c = denkleminin analitik düzlem- dir. de görüntüsü oktur. Doğru Seçenek Örneğin; = denklemini sağlaan hiçbir (, ) ikilisi olmadığından (çözüm kümesi olduğundan), + = denkleminin analitik düzlemde görüntüsü oktur. ii) c < ise a + b + c = denkleminin analitik düzlemde görüntüsü birbirine paralel olan a + b + c = ile a + b c = doğrularıdır. iii) a + b = denkleminin analitik düzlemdeki görüntüsü orijinden geçen a + b = doğrusudur. a + b + c = + 4 = denkleminin analitik düzlemde belirttiği geometrik er d ve d doğrularından oluşmaktadır. a + b + c = a + b c = una göre, d ile d doğruları arasındaki uzaklık kaç br dir? ) 5 ) 4 ) D) E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 5

152 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6. a + b + c = denkleminin analitik düzlemde görüntüsü; c aşlangıç noktası ekseni üzerindeki, noktası olan iki ışının medana getirdiği açıdır. eksenini b açının kolları vea uzantısı keser; a, b, c > ise a + b + c = = için = =, çının köşesi (, ) noktasıdır. = için + + = =, = ± 4 olamaz. halde açının kollarının uzantısı eksenini +4 ve 4 de- c a c b c a ğerlerinde keser. una göre, = açısının grafiği, a + b + c = a + b + c = çının kolları, a + b + c =, a + b + c = doğruları üzerindedir. ekseni, a + b + c = açısının açıortaıdır. Yani açının kolları eksenine göre simetriktir = = Doğru Seçenek DN 5 nalitik düzlemde denklemi = olan açının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? ) ) nalitik düzlemde denklemi = olan açının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) D) ) D) 4 4 E) E) SINIF NLİTİK GEMETRİ

153 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri 4. a + b + c = denkleminin analitik düzlemde görüntüsü; aşlangıç noktası ekseni üzerindeki c a, noktası olan iki ışının medana getirdiği açıdır. eksenini açının kolları vea uzantısı keser; a, b, c > ise, a + b + c = ın grafi ği aşağıdaki gibidir. a + b + c = a b + c = c a c b c b = için + + = = 4 çının köşesi ( 4, ) noktasıdır. = için = 4 =, = ± olamaz. halde açının kollarının uzantısı eksenini + ve değerlerinde keser. una göre, = açısının grafiği, = 4 çının kolları, a + b + c =, a b + c = doğruları üzerindedir. 4 + = ekseni, a + b + c = açısının açıortaıdır. Yani açının kolları eksenine göre simetriktir. Doğru Seçenek DN 54 nalitik düzlemde denklemi = olan açının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? ) ) 4 4 ) D) nalitik düzlemde denklemi = olan açının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? ) ) 5 5 ) D) 4 4 E) E) SINIF NLİTİK GEMETRİ 5

154 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 DN 55 nokta- c aşlangıç noktası ekseni üzerindeki, b sı olan iki ışının medana getirdiği açıdır. 5. a + b + c = denkleminin analitik düzlemde görüntüsü; nalitik düzlemde denklemi = olan açının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? a, b, c > ise a + b + c = ın grafiği aşağıdaki ) ) gibidir. 4 4 a + b + c = a (b + c) = c a c b c a b + c = çının kolları, a + b + c =, a (b + c) = doğruları üzerindedir. b + c = doğrusu, a + b + c = açısının açıortaıdır. Yani açının kolları = doğrusuna göre simet- c b riktir. Uarı Mutlak değer içindeki ifadei sıfıra eşitleerek elde edilen doğru simetri eksenidir. çının köşesinin simetri ekseni üzerindedir. Genel olarak açının köşesinin kolların kesiştiği nokta olduğuna dikkat ediniz. Önceki açı denklemlerini inceleerek ilişki kurunuz. Teneffüs ) 4 4 E) 4 4 çının kollarını taşıan doğrular; ± (4 + ) = ve bu doğruların kesiştiği (, ) noktası açının köşesidir. Simetri ekseni 4 + = = doğrusudur. D) 4 çının eksenini kestiği noktaı bulalım; = için = = 4 çı grafiği ( 4, ) noktasından geçtiğine göre, grafik aşağıdaki gibidir. ir bal arası arım kilo bal için.75. defa bir çiçeğe konup kalkması gerekir. ir küçük tahta kurusu sert bir kerestei sabaha kadar deler. ir karınca vücut ağırlığının 5 katını üklenmekten çekinmez. rıda bu ağırlık katına çıkar. Kunduz iki gecede cm çapındaki ağacı kemirebilir = 4 + = 4 4 Doğru Seçenek 54. SINIF NLİTİK GEMETRİ

155 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri DN 56 nalitik düzlemde denklemi = olan açının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? nalitik düzlemde denklemi = olan açının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? ) ) 5 5 ) ) 4 4 ) D) ) D) 5 5 E) E) b + a + c = denkleminin analitik düzlemde görüntüsü; aşlangıç noktası b ± (a + c) = doğrularının kesiştiği ekseni üzerindeki c a, noktası olan iki ışının medana getirdiği açıdır. çının kolları a + c = doğrusuna göre simetriktir. b + a + c = açısının eksenini kestiği nokta c, dır. b a, b, c > ise b + a + c = ın grafiği aşağıdaki gibidir. c a çının kollarını taşıan doğrular; 4 ± ( + ) = doğruların kesiştiği ( 4, ) noktası açının köşesidir. Simetri ekseni + = = 4 doğrusudur. çının eksenini kestiği noktaı bulalım; = için = = çı grafiği (, ) noktasından geçer. una göre, = açısının grafiği aşağıdaki gibidir. 4 4 ( + ) = = b (a + c) = c b b + a + c = Doğru Seçenek D a + c =. SINIF NLİTİK GEMETRİ 55

156 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 nalitik düzlemde denklemi = olan açının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? ) ) a + b + c = a b + c = a + b + c = a + b c = 5 5 Denklemin eksenleri kestiği noktalar bulunarak grafi ği çizilir. ) D) DN 57 E) 5 5 nalitik düzlemde + 4 = eşitliğini sağlaan (, ) sıralı ikililerinin oluşturduğu grafik aşağıdakilerden hangisidir? ) ) 4 4 ) D) vea li terimlerden biri mutlak değer içinde, diğeri mutlak değer içinde değilse, denklemin analitik düzlemdeki görüntüsü açıdır. Mutlak değerli ifade sıfıra eşitlenerek elde edilen doğru denklemi açının kollarının simetri eksenidir. çının köşesi simetri ekseninin ekseni kestiği noktadır. çının kollarının vea uzantılarının diğer ekseni kestiği nokta bulunarak açının grafi ği çizilir. E) a + b + c = denkleminin analitik düzlemdeki görüntüsü: i) c = a + b = denkleminin görüntüsü sadece (, ) noktasıdır. ii) c > a + b + c = denkleminin görüntüsü oktur. iii) c < a + b + c = denkleminin görüntüsü, eksenleri köşegen kabul eden eşkenar dörtgendir. a > ve b > için; + 4 = + 4 = denkleminin eksenleri kestiği noktaları bulalım; = için eksenini + 4 = = ± değerlerinde keser. = için eksenini + 4 = = ± 4 değerlerinde keser. 56. SINIF NLİTİK GEMETRİ

157 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri + 4 = eşkenar dörtgeninin grafiği aşağıdaki gibidir. a + b + c + d = e 4 4 b d denklemi simetri merkezi, olan eşkenar dörtgendir. a c 8. a b + c = denkleminin analitik düzlemdeki gö- Doğru Seçenek E rüntüsü: c c = için, b ve, b noktaları elde edilir. nalitik düzlemde = eşitliğini sağlaan (, ) sıralı ikililerinin oluşturduğu grafik aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ekseni üzerindeki bu noktaları köşe kabul eden kolları diğer ekseni kesmeen iki açıdır. 5 5 = için a b + c = denkleminin kökü olmaacağı için diğer ekseni kesmez. ) D) 9. a b + c = denkleminin analitik düzlemdeki görüntüsü: c = için, b ve c b, noktaları elde edilir. E) 5 5 ekseni üzerindeki bu noktaları köşe kabul eden kolları diğer ekseni kesmeen iki açıdır. Uarı + 4 =, 4 + =, + 4 =,... gibi denklemlerin anı grafi ği göstereceğine dikkat ediniz. Elde edilen eşkenar dörtgenin çevresi ve alanını bulmaa çalışınız. Not Verilen mutlak değerli ifadelerin eksenleri kestiği noktaları bulmak denklemin analitik düzlemdeki grafiği için eterlidir. Şimdie kadar incelediğimiz ve şimdiden sonra inceleeceğimiz denklemler için pratiklik sağlaacağına dikkat ediniz.. SINIF NLİTİK GEMETRİ 57

158 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 DN 58 nalitik düzlemde denklemi 4 = olan geometrik erin grafiği aşağıdakilerden hangisidir? ) ) nalitik düzlemde denklemi 5 5 = olan eşkenar dörtgenin grafiği aşağıdakilerden hangisidir? ) ) 4 4 ) 5 5 E) D) ) 5 5 E) D) = 4 = denkleminin eksenleri kestiği noktaları bulalım; = için 4 = = ± olamaz. Yani açının kolları eksenini kesmez. = için = = ± 4 olur. Yani açının kolları eksenini keser.. a + b + c = denkleminin analitik düzlemdeki görüntüsü;, c b noktasıdır.. a + c + b = denkleminin analitik düzlemdeki görüntüsü, c a noktasıdır.. a b + c = denkleminin analitik düzlemde görüntüsü; a + b + c = ve a b c = olan iki doğrudur. 4 = ; eksenine göre simetrik, köşeleri (4, ) ve ( 4, ) olan iki açıdan oluşan grafiği, 4 4 Doğru Seçenek c Yani,, b noktasında kesişen iki doğrudur. a + b c + d = denkleminin analitik düzlemdeki görüntüsü,, noktasında kesişen iki doğrudur. b d a c 58. SINIF NLİTİK GEMETRİ

159 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri TEST -. Denklemi = + olan doğrunun eğimi kaçtır? 5. (a, a + 4) noktası, = + a doğrusu üzerinde olduğuna göre, a kaçtır? ) ) ) D) E) 4 ) ) ) D) E) 6. nalitik düzlemde = a + (a + ) 6 denklemi bir d doğrusunun denklemidir. una göre, d doğrusunun eksenleri kestiği noktaların koordinatları toplamı kaçtır?. Denklemi = olan doğrunun eğimi kaçtır? ) ) ) D) E) ) ) ) 5 D) E) 7. Denklemleri, + = ve (m + ) + n + =. Denklemi = olan doğrunun eğim açısı kaç derecedir? olan doğrular çakışık olduğuna göre, m + n kaçtır? ) ) ) D) E) ) 5 ) ) 45 D) 6 E) Denklemleri, + + = ve 4. Denklemi + += olan doğrunun eğim açısı kaç derecedir? ) 65 ) 5 ) 5 D) E) (a + 4) + = olan doğrular paralel olduğuna göre, a kaçtır? ) 6 ) 4 ) D) E). SINIF NLİTİK GEMETRİ 59

160 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 9. Denklemleri, a 4k + = ve + a + a = olan doğrular birbirine dik olduğuna göre, k kaçtır?. = + = + doğruları arasındaki dar açının ölçüsü kaç derecedir? ) 5 ),5 ) ) ) 4 ) D) E) 4 D) 45 E) 75. (, ) noktasından geçen ve = + 5 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = ) = 4 D) = 5 E) = 7 4. = + 4 = 6 doğruları arasındaki geniş açının ölçüsü kaç derecedir? ) ) 5 ) 45 D) 5 E) 65. (, ) noktasından geçen ve = + doğrusuna dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = ) = D) = E) = = = doğruları arasındaki dar açının tanjantı kaçtır? ) ) 4 ) 5 D) 6 E) 7 6. Denklemleri,. (a + ) + (a ) + 6 = doğrusu eksenini noktasında dik kesior. una göre, noktasının apsisi kaçtır? ) ) ) D) E) + 4 = ve + + = olan doğruların kesişim noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) ) ) D) 4 E) 5..E.D E E...D E 6.D 6. SINIF NLİTİK GEMETRİ

161 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri TEST -. (, ) noktasından geçen ve eğimi 4 olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) 4 + = ) + 4 = 4. d doğrusu, eksenini,, eksenini, noktasında kesior. ) 4 + = D) 4 + = E) 4 + = Yukarıdaki verilenlere göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + = ) + = ) + + = D) + + = E) =. (, ) ve (, ) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = ) 4 5 = D) = E) = 5. doğrusunun eğim açısı (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = + ) = + D) = E) = +. 5 doğrusunun eğimi (, 5) 6. D // D (, ) (, ) (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = + 5 ) = 5 + ) = + 5 D) = 5 + E) = Yukarıdaki verilenlere göre, D doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + + = ) + = ) + = D) + + = E) + + =. SINIF NLİTİK GEMETRİ 6

162 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 7. (,). D = + E F G d 8. (,) (,) G, üçgensel bölgenin ağırlık merkezi, [] // d Yukarıdaki verilenlere göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = + ) = + D) = + E) = + D amuk (,) D doğrusunun denklemi = + D // EF //, DE E =, (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, EF doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = + 5 ) = + 6 ) = + 7 D) = + 8 E) = + 9 d 4. (,) d (, ) d d // d, (, ), (, ), (4, ) Yukarıdaki verilenlere göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = 6 ) = 8 ) = + 8 D) = E) = + Yukarıdaki verilenlere göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) = ) = D) = E) + = 9. d. (,) (, ) (, ) (4,) (5,) d doğrusu [] doğru parçasının kenar orta dikmesidir. (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) + = ) + 9 = D) = E) + = Yukarıdaki verilenlere göre, ve doğrularının denklemleri sırasıla aşağıdakilerden hangisidir? ) =, = ) =, = ) =, = D) =, = E) =, = 6. SINIF NLİTİK GEMETRİ

163 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri. nalitik düzlemde, I. açıorta doğrusuna dik olan ve (, ) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir? ) = + 5 ) = + ) = 5 D) = + E) = 5. 5 D E, E, doğrusal DE kare (, 5) (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, D ve noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + = ) + = ) = D) = E) = 4. (, ) noktasının II. açıorta üzerindeki dik izdüşümü noktasıdır. noktasından geçen = doğrusuna dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + 6 = ) 6 = ) + 6 = D) 6 = E) = E D 5 DE = {} = 8 birim (, ) ( 5, ) D(5, ) Yukarıdaki verilenlere göre, D doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + 5 = ) = ) = D) = E) =..D E 9.D E 6.E. SINIF NLİTİK GEMETRİ 6

164 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 TEST -. Her m gerçek saısı için, P(m +, m ) noktalarının analitik düzlemdeki görüntüsünün denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = + 5 ) = 5 5. Denklemleri + = ve + = olan doğrular noktasında kesişior. una gröe, noktasından ve orijinden geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + 5 = ) 5 = ) 5 + = D) 5 = E) + = 7 ) = D) = 4 E) = 6. Her m gerçek saısı için, ( m) + (m + ) + 4 =. t R olmak üzere, P( t, t + 4) doğrularının kesiştiği noktanın koordinatları çarpımı kaçtır? ) ) ) D) E) 4 noktalarının belirttiği doğrunun eğimi kaçtır? ) ) 6 ) D) E) 6 7. m R için, (m + ) + ( m) + 6m =. Her m gerçek saısı için, K(t, 4 t) noktalarının belirttiği doğrunun eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır? doğrularının kesiştiği noktadan ve orijinden geçen doğrunun denklemi nedir? ) + = ) = ) + = D) = E) + = ) 4 ) ) 4 D) E) 8. k R olmak üzere, (k ) + (k + ) + 4k = 4. Her m gerçek saısı için, P(m, m ) noktalarının belirttiği doğru ile = + doğrusunun kesişim noktasının apsisi kaçtır? ) 7 ) 6 ) 5 D) 4 E) doğrularının kesişim noktasından geçen ve + = doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi nedir? ) + = ) + + = ) + + = D) + + = E) = 64. SINIF NLİTİK GEMETRİ

165 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri 9. nalitik düzlemde, =, =, = ve = doğruları arasında kalan bölgenin alanı kaç birim karedir? ) 6 ) 8 ) D) E) 4. (, ) (, ). = 4 = doğrusunun denklemi = doğrusunun denklemi = 4 Yukarıdaki verilenlere göre, (, ) noktasının doğrusuna uzaklığı kaç birimdir? 4 ) ) 4 ) D) 5 E) 5 Yukarıdaki verilenlere göre, üçgeninin alanı kaç birim karedir? ) ) ) 4 D) 6 E) 8. = + 6 D K doğrusunun denklemi = + 6 D = {K} (, ) D(, ) 4. H G G noktası, üçgensel bölgesinin ağırlık merkezi [GH] [] doğrusunun denklemi, = Yukarıdaki verilenlere göre, GH kaç birimdir? ) ) ) D) 4 E) Yukarıdaki verilenlere göre, K noktasının eksenlere olan uzaklıkları toplamı kaç birimdir? ) 7 ) ) 9 D) 6 E) 7 5. (, ) noktasının + 5 = doğrusuna uzaklığı kaç birimdir? ) ) ) D) 4 E) 5. = = + = = doğruları arasında kalan bölgenin alanı kaç birim karedir? = doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir? ) 4 ) ) D) 9 4 E) 5 ) ) ) D) 4 E) 5...D D 7. 8.E 9...D.D.E 4.D SINIF NLİTİK GEMETRİ 65

166 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6 TEST - 4. İki kenarı, + + = ve = doğrularının üzerinde bulunan karenin alanı kaç birim karedir? ) ) 4 ) = = doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik erinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) ( + + ) ( + ) = ) ( + + ) ( + ) = ) ( + + ) ( ) = D) ( + + ) ( ) = E) ( + + ) ( ) = D) E). ikizkenar üçgen [D] açıorta = D doğrusunun denklemi (,7) D = (, 7) Yukarıdaki verilenlere göre, kaç birimdir? ) ) ) D) 6 E) = + + = doğrularının kesişmesile medana gelen açıların açıortalarının denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + + =, + + = ) + + =, + = ) + =, + = D) + =, + + = E) + =, =. + + = = doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik erinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + = ) + = ) + 4 = D) + + = E) + + = 6. (, ) ve (, 4) noktalarından eşit uzaklıktaki noktaların geometrik erinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + 5 = ) 5 = ) = D) + = E) = 66. SINIF NLİTİK GEMETRİ

167 Doğrunun nalitiği - ölüm 6 Doğru Denklemleri 7. nalitik düzlemde hiçbir noktası I. ve III. bölgede bulunmaan doğru (, ) noktasından geçtiğine göre, anı doğru aşağıdakilerden hangisinden geçer? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) E) (6, 4). nalitik düzlemde m ve n parametrelerine göre, (m + n) + (m n) + m 4n = doğruları sabit bir noktadan geçer. u doğrulardan biri 5 + a = olduğuna göre, a kaçtır? ) 4 ) 5 ) 7 D) 8 E) 9. nalitik düzlemde k parametresine göre, (k + ) (k + a) + k + = 8. (a, b + ) ( a, b) ( a, b) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? doğruları birbirine paraleldir. u doğrulardan birinin denklemi a + b = olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ) ) ) D) E) ) = ) = + ) = D) = + E) =. D E d (,) nalitik düzlemde D paralelkenar [D] d = {E} d // [] DE = E 9. nalitik düzlemde, + = ve = doğruları noktasında kesişior. una göre, noktasından geçen eğimi olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? D doğrusunun denklemi = + 4, (, ) Yukarıdaki verilenlere göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = ) + + = ) = D) = ) = + 5 ) = + 9 ) = + 4 E) = D) = 8 E) = 9. SINIF NLİTİK GEMETRİ 67

168 Doğru Denklemleri Doğrunun nalitiği - ölüm 6. = {(, ): = t, = t ve t R} kümesi analitik düzlemde bir d doğrusu belirtir. 5. nalitik düzlemde üçgen una göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + + = ) + = D D = D = D ) = D) + = E) + = doğrusunun denklemi + =, (, k) Yukarıdaki verilenlere göre, doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + + = ) + = ) + = D) + = E) + = 4. D E nalitik düzlemde [] [D] = {E} doğrusunun denklemi + k = (, ), D(k, ), k Z lan( DE) = lan( E) Yukarıdaki verilenlere göre, D noktasının apsisi kaçtır? ) ) ) D) E) 4 6. d D E d nalitik düzlemde d ve d doğrularının denklemi = = Yukarıdaki verilenlere göre, ED dörtgeninin alanı kaç birim karedir? ) 8 ) 4 5 ) 4 5 D) 4 5 E) 44 5.D E 8.D E 5.E SINIF NLİTİK GEMETRİ

169 DĞRUNUN NLİTİĞİ - ÖLÜM 7 SİMETRİ GİRİŞ nadaki görüntümüz anaa göre simetriğimizdir. Görüntü ile cisim birbirine göre simetriktir deriz. Nee göre simetrik? ralarındaki anaa göre. İki çeşit simetri vardır, bunlardan biri noktaa göre simetri, diğeri doğrua göre simetridir. u konu ile ilgili problemleri çözmek için şimdie kadar öğrendiğimiz bilgiler eterlidir. u konuu başlı başına incelemekteki amacımız, test sınavlarında öğrencie hız kazandırmak ve arıntılara dikkat çekmektir. DN nalitik düzlemde (4, ) noktasının (, ) noktasına göre simetriği noktasıdır. noktası, + k = doğrusu üzerindedir. una göre, k kaçtır? ) 5 ) ) 5 D) E) 5. NKTY GÖRE SİMETRİ [ ] doğru parçasının orta noktası K olsun, ile ı noktalarına K noktasına göre simetriktir denildiğini hatırlaınız. K noktasının K noktasına göre simetriği noktası olsun. u durumda, K, doğrusal ve K = K olması gerektiğini anlıoruz. tir. (4, ) (,) ( 8,7) + k = ( 8) + 7 k = k = 5 Doğru Seçenek Hazine 8 (, ) noktasının K(a, b) noktasına göre simetriği, (a, b ) noktasıdır.... noktasının K noktasına göre simetriği ifadesi için aşağıdaki gibi bir gösterim kullanarak azım kolalığı sağlanabilir. K(a, b) (, ) (a, b ) ortadakinin katı eksi uçtaki, K, doğrusal olduğundan apsisler kendi arasında orantılı, ordinatlar kendi arasında orantılı olur. Yani artış miktarı ile koordinatları bulabileceğimizi hatırlarsanız; den a a artış miktarı ile a dan a e artış miktarı anıdır. u durum ordinatlarda da geçerlidir. nalitik düzlemde (4, ) noktasının (, ) noktasına göre simetriği noktasıdır. noktası, + + k = doğrusu üzerindedir. una göre, k kaçtır? ) ) 5 ) 8 D) E) 5. SINIF NLİTİK GEMETRİ 69