Elektromagnetik dalgaların düzgün olmayan yüzeye sahip bir yarı-uzay içine gömülü cisimlerden saçılması

Transkript

1 itüdergii/d mühendilik Cilt:6 Sayı: 7-4 Şubat 7 Elektromagnetik dalgaların düzgün olmayan yüzeye ahip bir yarı-uzay içine gömülü ciimlerden açılmaı Yaemin ALTUNCU * İbrahim AKDUMAN İTÜ Fen Bilimleri Entitüü Elektronik ve Haberleşme Mühendiliği Programı 4469 Ayazağa İtanbul Özet Bu çalışmada engebeli yüzeyler altına gömülü ciimlere ilişkin elektromagnetik açılma problemlerinin çözümü için yeni ve efektif bir yöntem verilmiştir. Söz konuu problemler dielektrik mayınların tepiti tahribatız muayene yer kabuğu altındaki çatlak ve fayların belirlenmei gibi pek çok uygulama alanına ahip olmaları ebebiyle elektromagnetik teoride büyük öneme ahiptirler. Her ne kadar bu uygulamalar ter açılma problemlerinin konuu olarak biline de bunlara ilişkin düz açılma problemlerinin çözümü ter problem algoritmalarının elde edilmei ıraında ortaya çıkan zorlukların üteinden gelinmeine büyük katkılar ağlamaktadır. Bu çalışmada verilen yöntemde ilk olarak düzlemel olmayan bir arayüzeyle birbirinden ayrılmış iki parçalı uzaya ilişkin Green fonkiyonu kullanılarak engebeli yüzey altına gömülü ciimlerden açılma problemi ikinci tip bir Fredholm integral denkleminin çözümüne indirgenmiştir. Elde edilen integral denklemin çözümü Moment yöntemi kullanılarak yapılmıştır. Diğer taraftan arayüzeyi engebeli iki parçalı uzayın Green fonkiyonunun belirlenmei de ayrı ve zor bir problemdir. Bu problemin çözümü gömülü ciim yaklaşımı adını verdiğimiz ve yüzeydeki pürüzlülük ve engebelerin düzlemel arayüzeyle birbirinden ayrılmış olan iki parçalı uzaya gömülü ciimler olarak kabul edilmei eaına dayalı bir yaklaşım kullanılarak yapılmıştır. Bu tür bir yaklaşım problemi düzlemel arayüzeyle birbirinden ayrılmış iki parçalı uzaya gömülü ilindirik ciimlerden ilindirik dalgaların açılmaı problemine dönüştürmeye olanak vermektedir. Yöntem lokal bir aralıkta değişimi naıl olura olun düzgün olmayan tüm yüzeyler için oldukça iyi onuçlar vermektedir. Yapılan ayıal uygulamalar ile yöntemin doğruluğu ve çeşitli parametrelerin açılan alana etkii göterilmiştir. Anahtar Kelimeler: Gömülü ciim yaklaşımı elektromagnetik açılma engebeli yüzey. * Yazışmaların yapılacağı yazar: Yaemin ALTUNCU. yaltuncu@ehb.itu.edu.tr; Tel: ( Bu makale birinci yazar tarafından İTÜ Fen Bilimleri Entitüü Elektronik ve Haberleşme Mühendiliği Programı nda tamamlanmış olan "Buried object approach for olving electromagnetic cattering problem involving rough urface" adlı doktora tezinden hazırlanmıştır. Makale metni tarihinde dergiye ulaşmış tarihinde baım kararı alınmıştır. Makale ile ilgili tartışmalar..7 tarihine kadar dergiye gönderilmelidir.

2 Y. Altuncu İ. Akduman Scattering of electromagnetic wave by bodie buried in a half-pace with rough urface Extended abtract In thi work a novel and effective method i preented for the olution of the problem related to object buried beneath rough urface. Such problem are of great importance in electromagnetic theory due to the their potential application in practice uch a detection and location of dielectric mine non-detructive teting determination of underground crack and earthquake etc. Although thee application are recognized a an invere cattering problem in electromagnetic theory the olution of the related direct cattering problem make a valuable contribution to overcome difficultie which may occur in the invetigation of inverion algorithm. In thi work we conider cylindrical bodie buried in a half-pace having one dimenional locally rough urface in the cae of plane wave illumination. The upper and lower half pace eparated by a rough interface are filled with imple non-magnetic material. The material of the buried bodie are aumed to be inhomogeneou. Geometry of the problem i homegenoeu in the Ox direction. The cattering problem conidered here i to determine the effect of the buried body a well a the roughne of the urface on the propagation of electromagnetic wave excited in the upper half pace. To thi end the bodie are illuminated by a time harmonic plane wave whoe electric field vector i alway parallel to Ox direction namely; ik ( x coφ + x inφ ui ( x x = e where φ i the incidence direction and k i the wave number of the upper half pace. Then the problem i reduced to calar one and the total field function u (x atifie the reduced wave equation ( u + k x u = in the ene of ditribution (İdemen 97 where k (x denote the wave number of the whole pace and x = ( x x R. The contribution of the buried body to the total field i.e.: cattered field conit in the difference u ( x = u ( x u ( x and atifie the equation u + k ( x u = k υ( x u under Sommerfeld radiation condition. Here υ (x tand for the o called object function related to buried body and it i zero outide the body. Through the Green function of the two-part pace with rough interface G differential equation for the cattered field u (x i reduced to the olution of a Fredholm integral equation of econd kind namely u ( x = k G υ ( ( u ( + u ( dy B where B i the cro ection of the body in Ox x plane. The above integral equation i olved here by uing Method of Moment (MoM. On the other hand the determination of the Green' function contitute a eparate and difficult problem in the cae of two-half pace characterized by different media and eparated by a rough interface. Here we give a new and general method called buried object approach (BOA which i baed on the aumption that the perturbation of the rough urface from the planar one are object located at both ide of the planar boundary. The Green function can be written a G = G + G where G i the well known Green function related to two-part pace with planar boundary. The econd term G i the contribution of the urface roughne and atifie the equation G = k G( x; z υr ( z( G ( z; + G ( z; dz B where υ R i the object function related to urface roughne. Modelling the roughne in uch a way lead u to formulate the problem a cattering of cylindrical wave from finite number of buried homogeneou cylindrical bodie which i olved through a numerical method baed on MoM. The preent method i very effective for urface having a localized roughne arbitrary rm height and lope. The locality limitation of the urface i to guarantee to have finite number of object in the evaluation of the Green function. The method permit u to obtain both near and far field expreion of the cattered wave for buried object of arbitrary number and hape and there i no retriction on the level of the roughne. Keyword: Buried object approach electromagnetic cattering rough urface. 8

3 Elektromagnetik dalgaların açılmaı Giriş Elektromagnetik dalgaların tabakalı bir ortam içine gömülü ciimlerden açılmaının analizi hem teorik hem de mühendilik uygulamalar açıından elektromagnetik teori içeriinde önemli bir problem grubunu oluşturmaktadır. Bu önemin nedeni özkonuu analizlerin onuçlarının dielektrik mayınların belirlenmei tahribatız muayene yeraltındaki boru hatlarının ve tünellerin belirlenmei yer kabuğu içeriindeki fayların ve çatlakların tepit edilmei gibi birçok alanda uygulamaya ahip olmaından kaynaklanmaktadır. Her ne kadar yukarıda özü edilen uygulamalar elektromagnetik teori içerinde bir ter açılma problemi oluştura da bu problemlere ilişkin düz açılma problemlerinin çözümü karşılaşılabilecek değişik türden zorlukların üteinden gelinebilmeinde önemli katkılar ağlayacaktır. Örneğin diğer ciimlerin varlığı ve nemli toprak içeriine RF dalgaların düşük iletimi nedeniyle dielektrik mayınların belirlenmeinde birçok zorluk ortaya çıkar. Bu hallere ilişkin açılma problemlerinin incelenmei kullanılacak dalgaların yapıı frekanı uygun yöntem vb. birçok paramatrenin eçiminde yol göterici olur. Son otuz yıllık dönem içeriinde gömülü ciimlerden belirli dalgaların (elektromagnetik akutik elatik v.b. açılmaı probleminin çözümü için çeşitli analitik ve ayıal yöntemler geliştirilmiş olmaına karşın bunların pek çoğunda ciimlerin gömülü olduğu tabakaların düzlemel yüzeylerle birbirinden ayrıldığı kabul edilmiştir (Mahoud vd. 98; Hill 988; Elli ve Peden 995; Akduman ve Alkumru 995. Oya gerçek uygulamalarda tabakaları birbirinden ayıran yüzeyler düzlem değildir ve daha geçerli ve uygulanabilir çözümler elde edilebilmei için gerçeğe uygun modellemeler yapılarak problemin çözülmei gerekir. Son yirmi otuz yıllık dönem içeriinde bu tür problemlere giderek artan bir ilgi vardır. Genelleştirilmiş ınır koşulu yaklaşımı altında bir integral denklem kullanılarak inüoidal yüzey altına gömülü ciimlerden açılma probleminin çözümü Cotti ve Kannelopoulo (99 ve Cotti ve diğerlerinde (996 incelenmiştir. Mertebei oldukça düşük olan engebeli yüzeyler altına gömülü ciimlerden açılma problemlerinin çözümü için küçük pertürbayon yaklaşımı temeline dayalı bir analitik yöntem Lawrance ve Sarabandi ( tarafından unulmuştur. Chiu ve Sarabandi (999 ve Johnon da ( ie yine bu çalışmada olduğu gibi engebeli yüzeyin mertebeinin çok düşük olduğu durumlarda geçerli olan yaklaşık analitik çözümler verilmiştir. Diğer taraftan düzgün olmayan iki boyutlu (D yüzeyler altına gömülü üç boyutlu (D ciimlerden elektromagnetik dalgaların açılmaı problemi iki boyultu açılma problemine yani ilindirik ciimlerden açılma problemine göre daha karmaşık ve daha büyük CPU zamanı gerektiren bir problemdir. Bu konuda yapılmış az ayıdaki çalışmadan birkaçı Johnon ve Burkholder (4; Morgenthaler ve Rappaport (; El-Shenawee nın ( yapmış olduğu çalışmalardır. Bu çalışmanın amacı düzlemel olmayan bir yüzey tarafından ınırlandırılmış homojen bir yarı uzay içeriine gömülü ciimlerden düzlemel elektromagnetik dalgaların açılmaı probleminin çözümü için yeni ve etkin bir yöntem unmaktır. Gömülü ciimlerin homojen olmadığı yani dielektrik kayayıları ve iletkenliklerinin konumun fonkiyonu olduğu varayılmıştır. Yöntem düzgün olmayan bir arayüzeyle birbirinden ayrılmış iki yarı uzaydan oluşan uzayın Green fonkiyonunun elde edilmei temeline dayanmaktadır. Bu Green fonkiyonunun elde edilmei genelde zor ve karmaşık bir problem olarak ortaya çıkar. Bu çalışmada özkonuu Green fonkiyonunun elde edilmei için yeni ve etkin bir yöntem geliştirilmiştir. Yöntem düzlemel olmayan yüzeyin düzlemel yüzeyden apmalarının birer ciim olarak kabul edilmeine dayanır. Böylece problem düzlemel bir yüzey ile ayrılmış iki parçalı uzay içeriine gömülü ciimlerden açılma problemine indirgenmiş olur. Green fonkiyonunun bilinmei ile düzlemel olmayan yüzey altına gömülü ciimlerden açılma problemi ikinci çeşit bir Fredholm integral denklemine indirgenerek çözümü Moment yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Burada verilen yöntem hem düşük hem de yükek mertebeden engebeli yüzeyler halinde oldukça iyi onuçlar vermektedir. Elde edilen onuçlar literatürde varolanlarla karşılaştırılmış ve değişik parametreler için doğruluğu oldukça yükek onuçların elde edildiği görülmüştür. 9

4 Y.Altuncu İ. Akduman Bu çalışmada zamana bağımlılık kabul edilmiştir. i t e ω olarak Problemin formülayonu Problemin geometrii Şekil de verilmiştir. Bu konfigürayonda uzay Γ arakeit yüzeyi ile iki yarı uzaya ayrılmıştır. Γ x = f ( x şeklinde bir fonkiyonla tanımlı olabileceği gibi ratgele olarak da üretilmiş olabilir. x > f ( x ve x < f ( x bölgeleri dielektrik geçirgenlikleri ve iletkenlikleri ıraıyla ε σ and ε σ olan magnetik olmayan bait malzemeler ile doldurulmuştur. şeklindedir. Burada φ düzlemel dalganın geliş doğrultuunu göterirken k ie x > f ( x bölgeine ait dalga ayıını götermektedir. Problemin Ox ekeni doğrultuunda homojen olmaı ebebiyle toplam elektrik alanda Ox ekenine paralel olacaktır. Yani E ( x = ( u( x şeklindedir. Bu da problemin u(x bakımından iki boyutlu kaler probleme indirgenmeine olanak verir ve u (x indirgenmiş dalga denklemi olan u ( x + k ( x u( x = ( ε σ µ ε σ µ Γ x φ u i ε ( x µ σ ( x x denklemini radyayon koşulu altında ditribüyon anlamında ağlar (İdemen 97. Burada k (x tüm uzaya ilişkin dalga ayıını götermektedir. D ciminin olmamaı durumunda ( deki gelen dalga için tüm uzaydaki toplam alanı u ile göterelim. Bu alan D u x + k( x u ( x ( ( = Şekil. Problemin geometrii x < f ( x alt yarı uzayında Ox x düzlemindeki keiti B olan onuz uzun ilindirik bir D cimi Ox ekenine paralel olarak yerleştirilmiştir. Cimi oluşturan malzemenin dilektrik geçirgenliği ve iletkenliği konumun fonkiyonu olarak noktadan noktaya değişebilmekte ve ıraıyla ε (x ve σ (x ile göterilmektedir. Burada x = ( x x konum vektörüdür. Burada ele alınacak problem x > f ( x bölgeinde uyarılmış düzlemel dalganın D ciminden açılmaını incelemekten ibarettir. Bu amaçla ciim elektrik alan vektörü daima Ox ekenine paralel olan düzlemel bir dalga ile aydınlatılmıştır. Gelen dalga olarak adlandıracağımız bu dalganın elektrik alan vektörü i i E ( x = ( u i u ( x = e ( x ik ( x coφ + x inφ x > f ( x ( denklemini ditribüyon anlamında ağlar. Burada k x > f ( x k ( x = (4 k x < f ( x Γ yüzeyi ile ayrılmış iki parçalı uzaya ait dalga ayııdır. D ciminin toplam alana katkıını başka bir ifadeyle D ciminden açılan alanı u ile göterelim. Bu alan u ( x u ( x u ( x = farkına eşittir ve u ( x + k ( x u ( x = k υ( x u( x (5 denklemini radyayon koşulu altında ağlar. Bu ifadedeki υ (x ciim fonkiyonu olarak adlandırılır ve

5 Elektromagnetik dalgaların açılmaı σ ( x ε ( x + i υ( x = ω (6 σ ( x ε ( x + i ω ile tanımlıdır. Burada: yerleştirilen birim çizgiel kaynak ebebiyle x R noktaında oluşan toplam alandan başka bir şey değildir. Başka bir ifadeyle G yi elde edebilmek için Γ yüzeyinden ilindirik dalgaların açılmaı problemini çözmek yeterlidir. ε x > f ( x ε ( x = (7 ε x < f ( x ve σ x > f ( x σ ( x = (8 σ x < f ( x (6 ya göre B bölgei dışında υ (x ciim fonkiyonun ıfıra eşit olacağı açıktır. ε σ ε µ D D µ σ x D B z Γ B B B 4 D 4 B 5 B 7 B 6 D 6 y x D 5 D 7 x Düzgün olmayan Γ yüzeyi ile ayrılmış iki parçalı uzayın Green fonkiyonunu G ile göterelim. G kullanılarak (5 denklemi u (x için aşağıdaki ikinci tip Fredholm integral denklemine dönüştürülebilir. u ( x = k G υ ( u( dy (9 B G bilindiği taktirde (9 daki integral denklem moment yöntemi temeline dayalı bir yöntem kullanılarak çözülebilir (Richmond 964. Düzgün olmayan bir arayüzeyle ayrılmış iki parçalı uzayın Green fonkiyonu Tanım gereği düzgün olmayan Γ yüzeyi ile ayrılmış iki parçalı uzayın Green fonkiyonu G G + k ( x G = δ ( x ( denklemini x için radyayon koşulu altında G ağlar. Ayrıca Γ boyunca G ve üreklidir. Burada n normal doğrultuunu götermek- n tedir. Diğer taraftan G y R noktaına Şekil. Düzgün olmayan yüzeyin gömülü ciim modeli Şimdi x = düzlemini göz önüne alalım ve uzayın bu düzlem ile iki parçaya ayrıldığını varayalım (Bkz. Şekil. Bu halde Γ yüzeyi ile x = düzlemi tarafından ınırlanan ınırlı bölgelerin bir kımı x > yarı uzayında bir kımı da x < yarı uzayında kalacaktır. Bu bölgelerden x > yarı uzayında kalanları D D... DN x < yarı uzayında kalanları da D D4... DN olarak göterelim. Bu durumda D D... DN bölgelerinin dielektrik katayıları ve iletkenlikleri ıraıyla ε ve σ D D4... DN bölgelerinin ie ε ve σ dir. Bu halde D... D bölgeleri N Ox x düzlemindeki keiti B... BN olan ve x > ve x < yarı uzayları içine gömülü ciimler olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle bu yaklaşım ile x = f ( x şeklinde bir fonkiyonla tanımlı olan veya ratgele olarak değişen bir arayüzey ile birbirlerinden ayrılmış iki parçalı uzaya ait Green fonkiyonunun belirlenmei problemi x = düzlemi ile birbirlerinden ayrılmış iki

6 Y.Altuncu İ. Akduman parçalı uzaya gömülü olan N tane ciimden açılma problemine dönüştürülmüş olur. Problemi uygun bir şekilde düzenleyebilmek için G yi G = G + G ( şeklinde yazalım. Burada G ( x; D... DN ciimlerinin olmamaı durumunda yani ınırı düzlem olan iki parçalı uzaya ait Green fonkiyonu iken G D... D ciimlerinin N G ye katkıını götermekte olup G + k ( x G = k ( x υr( x G( x; ( denklemin radyayon koşulu altında ve ditribüyon anlamında ağlar. Burada: k ( x ve k = k x x > < ε υ = x D... D N ε υ R ( x = ( ε υ = x D... D N ε υ R (x D... DN ciimlerine ilişkin ciim fonkiyonu olarak adlandırlır ve ( ten açıkça görüleceği üzere B... B bölgeleri dışında ıfırdır. N Arayüzeyi düzlem olan iki parçalı uzayın Green fonkiyonu olan G bilindiği taktirde ( ifadei aşağıdaki gibi ikinci tip bir Fredholm integral denklemine dönüştürlebilir: N G = kυ G i= B N + kυ G i= B i i z( G ( z; + G ( z; dz (4 z( G ( z; + G ( z; dz G için lineer bir integral denklem olan (4 bilinen ayıal tekniklerden biri kullanılarak çözülebilir. Sayıal onuçlar Bu bölümde yöntemin doğruluğunu ipatlamak ve çeşitli parametrelerin çözüm üzerine etkilerini götermek için bazı örnekler verilecektir. İlk örnek hariç bütün örneklerde gerçek problemlere uygunluk açıından alt yarı uzay kuru toprak üt yarı uzay ie hava olarak eçilmiş olup çalışma frekanı MHz olarak alınmıştır. Yöntemin doğruluğunu götermek amacıyla ilk olarak inüoidal değişime ahip bir yüzey altına gömülü daireel keitli dielektrik ilindir gözönüne alınmıştır. Bu örneğin parametreleri Lawrance ve Sarabandi de ( verilenlerle aynı eçilmiştir. Yani iki yarı uzayı ayıran düzgün olmayan ara yüzeyin değişimi π f ( x =.64λ co x fonkiyonuyla.6λ belirli olup üt ve alt yarı uzayın parametreleri 5 ıraıyla ε = ε ve ε = 4ε σ =. şeklindedir. Silindirik cimin yarıçapı.6λ parametreleri ie ε =.5ε σ = olarak eçilmiş olup x = düzleminden.λ kadar aşağı gömülmüştür. Burada λ gelen dalganın üt yarı uzaydaki dalga boyunu götermektedir. π Düzlemel dalganın geliş açıı φ = olarak eçilmiştir. Daireel keitli ilindirik cimin düzlemel ve inüoidal yüzey altına gömülü olma durumları için uzak alan radar keiti (RCS nin açılma açıına bağlı değişimi Şekil te verilmiştir. Elde edilen onuçlar Lawrance ve Sarabandi de ( verilen onuçlarla birebir örtüşmektedir. Şekil 4 te 6 λ 4λ lık dikdörtgen bir bölgede toplam alanın genliği çizilmiştir. Bu örnekte alt yarı uzayın parametreleri 5 ε =.6ε σ = ( S / m (kuru toprak gömülü cimin parametleri ie ε = 5.5ε σ =.5( S / m olarak eçilmiştir. Gömülü ciim boyutları λ. 5λ olan dikdörtgen keitli bir ilindir olup x = düzleminden λ aşağı gömülmüştür. Üt yarı uzay ve alt yarı uzayı ayıran arayüzey x doğrultuunda

7 Elektromagnetik dalgaların açılmaı ratgele bir değişime ahiptir. Düzlem dalganın π geliş açıı ie φ = tür. 4 Son örnekte ie uçurtma damla ve daire şeklinde keitlere ahip olan ilindirik ciimlerin varlığı durumunda toplam alan yine dikdörtgen bir bölge üzerinde heap edilmiş ve değişimi Şekil 6 da göterilmiştir. Bu örnekte ciimlerin parametreleri ıraıyla ε = ε σ = ( S / m ε = ε σ =.5( S / m ε = ε σ = ( S / m dir. Yüzey ratgele olarak değişirken düzlemel dalganın geliş açıı π dir. Saçılma açıı Şekil. Sinüoidal olarak değişen yüzeyin açılma paternine etkii Şekil 5. Ratgele olarak değişen yüzey altına gömülü farklı yarıçaplı daireel keitli ciimlerin varlığı durumunda toplam alan Şekil 4. Ratgele olarak değişen bir yüzey altına gömülü dikdörtgen keitli bir cimin varlığı durumunda toplam alan Şekil 5 te yine ratgele değişime ahip bir yüzey altına gömülü yarıçapları.λ ve.5λ olan iki daireel ilindirik cimin varlığı durumunda 6 λ 5. 5λ lık bir dikdörtgen bölgede toplam alanın genliği çizilmiştir. Gömülü ciimlerin parametreleri ε = 6ε σ =.( S / m olup düzlemel dalga φ π = lik bir açıyla gelmektedir. Şekil 6. Ratgele olarak değişen yüzey altına gömülü farklı keitli ciimlerin varlığı durumunda toplam alan Sonuçlar Bu çalışmada düzgün olmayan engebeli yüzeyler altına gömülü ciimlere ilişkin açılma problemlerinin çözümü için yeni bir yöntem veril-

8 Y.Altuncu İ. Akduman miştir. Bu yöntemin kullanılmaıyla elde edilen uzak alan radar keiti (RCS değerleri (Lawrance ve Sarabandi de verilen değerlerle karşılaştırılmış ve onuçların birbirleriyle çok iyi uyuştuğu görülmüştür. Verilen yöntem kullanılarak hem uzak alan hem de yakın alan heabı yapılabildiği gibi yöntemin geçerlilik aralığı oldukça geniştir. Yüzeyin değişimi eviyei gömülü ciimlerin geometrii ayıı ve elektrikel parametreleri üzerinde yöntem açıından bir kııtlama yoktur. Bununla birlikte engebelerin eviyeinin çok yükek olmaı gömülü ciimlerin boyutlarının ve ayıının fazla olmaı heaplama ürei artırmaktadır. Kaynaklar Akduman I. Alkumru A. (995. A generalized ART algorithm for invere cattering problem related to buried cylindrical bodie Invee Problem 5-5. Cotti P.G. ve Kannelopoulo J.D. (99. Scattering of electromagnetic wave from cylindrical inhomogeneitie embedded inide a loy medium with inuoidal urface Journal of Electromagnetic Wave and Application Cotti P.G. Vazoura C.N. Kalamatiano C. ve Kannelopoulo J.D.(996. Scattering of TM wave from a cylindrical catterer buried inide a two-layer loy with inuoidal urface Journal of Electromagnetic Wave and Application 5-. Chiu T. Sarabandi K. (999. Electromagnetic cattering interaction between a dielectric cylinder and lightly rough urface IEEE Tranaction on Antenna and Propagation Elli G.A. and Peden I.C. (995. An analyi technique for buried inhomogeneou dielectric object in the precence of an air-earth interface IEEE Tranaction on Geocience and Remote Sening El-Shenawee M. (. Scattering from multiple object buried beneath two-dimenional random rough urface uing the Steepet Decent Fat Multipole Method IEEE Tranaction on Geoience and Remote Sening Hill D.A. (988. Electromagnetic cattering by buried object of low contrat IEEE Tranaction on Geocience and Remote Sening İdemen M. (97. Maxwell equation in the ene of ditribution IEEE Tranaction on Antenna and Propagation Johnon J.T. (. Thermal emiion from a layered medium bounded by a lightly rough interface IEEE Tranaction on Geocience and Remote Sening Johnon J.T. Burkholder R.J. (4. A tudy of cattering from an object below a rough urface IEEE Tranaction on Geocience and Remote Sening Lawrance D.E. ve Sarabandi K. (. Electromagnetic cattering from a dielectric cylinder buried beneath a ilightly rough urface IEEE Tranaction on Antenna and Propagation Mahoud S.F. Ali S.M. Wait J.R.(98. Electromagnetic Scattering from a buried cylindrical inhomogeneity inide a loy earth Radio Science Morgenthaler A.W. ve Rappaport C.M. (. Scattering from loy dielectric object buried beneath randomly rough ground: validiting the emi-analytical mode matching algorithm with - D FDFD IEEE Tranaction on Geocience and Remote Sening Richmond J.A. (964. Scattering by a dielectric cylinder of arbitrary cro ection hape IEEE Tranaction on Antenna and Propagation 4-4 4