İstatistik Araştırma Dergisi, Cilt: 02, No: 02, Sayfa: , 2003.

Transkript

1 İstatst Araştırma Dergs, Clt: 0, No: 0, Sayfa: 03-7, 003. İstatstsel Parametre Kestrm Teler Webull Dağılımıı Parametreler Hesaplamasıda Kullaımı Ve Deprem Verler Webull Dağılımıa Uygulaması Veysel YILMAZ * Murat ERİŞOĞLU ** ÖZET Bu çalışmada statstsel parametre estrm telerde E Ço Olablrl Teğ, E Küçü Kareler Teğ ve Mometler Teğ Webull Dağılımıı Parametreler hesaplamasıda ullaımı alatılmıştır. Farlı örelem büyülülerde sözü edle teler çersde hag teğ daha y olduğuu gösterme amacı le arşılaştırmalar yapılmış ve arşılaştırma souçları gözöüe alıara deprem verlere Webull dağılımıı br uygulamasıa yer verlmştr. Aahtar Kelmeler: Webull Dağılımı, E Ço Olablrl Teğ, E Küçü Kareler Teğ, Mometler Teğ, Deprem -WEİBULL DAĞILIMI X, ve parametreler le Webull rasssal değşe olsu. X olasılı yoğulu fosyou aşağıda gb yazılır. ep( ;0, 0, 0 f ( ;,... ( 0 ; d.d Ölçe parametres baze araterst yaşam parametres olara da smledrlr. bçm parametres dağılımı çarpılığıı belrler. fade edlr. İ parametrel Webull dağılımıı brml dağılım fosyou aşağıda gb F( ep( (... ( İ parametrel Webull dağılımıı güverll fosyou ( relablty fucto; R( F( R( ep( (... (3 şelde taımlaır. * Osmagaz Üverstes Fe-Edb. Fa. İstatst Bölümü Meşel Kampüsü Esşehrvylmaz@ogu.edu.tr (haberleşme adres ** Osmagaz Üverstes İstatst Bölümü- mersoglu@mal.com

2 İstatst Araştırma Dergs, Clt: 0, No: 0, Sayfa: 03-7, 003. İ parametrel Webull dağılımıı belee değer aşağıda gbdr E ( X (... (4 -İSTATİSTİKSEL PARAMETRE KESTİRİM TEKNİKLERİNİN WEİBULL DAĞILIMININ PARAMETRELERİNİN KESTİRİMİNDE KULLANIMI.- E Ço Olablrl Teğ (Mamum Lelhood Method İ parametrel Webull dağılımı ç olablrl fosyou, L(, f ( ; L(, ep( şeldedr. Olablrl fosyouu doğal logartması alıırsa, IL(, I I ( IL(, I I ( I I elde edlr. E ço olablrl teğ le parametre estrm temel, olablrl fosyouu e büyüleme esasıa dayaır. Buu ç olablrl fosyouu parametrelere göre türevler alıara sıfıra eştler. IL(, ( 0... (5 IL (, I I I I 0... (6 (5 ve (6 le fade edle eştllerde yı elerse (7 eştlğ elde edlr. l l l... (7 (7 eştlğ çözümüde ya stadart teratf teler ullaılır ya da deeme yaılma teğ (tral ad error techque ullaır. ( 7 le fade edle eştlğ çözümüde elde edle, (8 le gösterle eştlte yere oara elde edlr.

3 İstatst Araştırma Dergs, Clt: 0, No: 0, Sayfa: 03-7, (8 (7 olu eştlğ çözümüde Newto terasyoları ç geel terarlı şlem basamaları şöyledr. / ( (/ / (/ B C H B B C A Burada ullaıla A, B, C ve H fadeler açılımları aşağıda sırasıyla verlmştr. A l, B, C l ve H (l Bu terasyolar ç başlagıç otası olara 0 ı estrm se şöyledr. / 0 l (l 6 ı başlagıç estrm değer olara 0 ı ullaıldığı zama 0,000 duyarlılıla tam olara elde etme ç, ya ardışı tahm arasıda 0,000 veya daha az br mutla far elde etme ç ortalama 4 Newto terasyouu gerel olduğu gözlemştr (Şah, E Küçü Kareler Teğ ( Least Squares Method E üçü areler teğ statst estrm uramıda geellle ullaıla telerde brdr. Büyü hacml örelemler ç te olduça y souçlar vermese arşı üçü hacml örelemlerde dğer estrm telere göre yetersz almatadır. Mote Carlo bezetm le yapıla çalışmalarda e üçü areler teğ le hesaplaa parametreler ç bulua hata areler toplamıı, üçü hacml örelem durumuda dğer teler uyguladığıda hesaplaa hata areler toplamıda daha büyü olduğu görülmüştür ( Al. Zebl, 99. ( olu eştl de gösterle Webull dağılımıı brml dağılım fosyou ep( ( ep( ( F F

4 İstatst Araştırma Dergs, Clt: 0, No: 0, Sayfa: 03-7, 003. { F( } ep(... (9 şelde düzeleere (9 olu eştl elde edlr. Elde edle eştlğ doğal logartması alıırsa, l{ F( } (... (0 elde edlr. Elde edle (0 olu eştlğ terar doğal logartması alıırsa, l[ l{ F( }] l l... ( eştlğ elde edlr. ( olu eştlğe baara, l le l[ -l {- F( ] arasıda doğrusal br lş olduğuu söyleyeblrz. {l[ l( F( ] l[ l( E( F( ]}... ( İ parametrel Webull dağılımıı parametreler ( olu eştlğ e üçülemeye çalışılara estrlr. ve parametreler (3 ve (4 olu eştller ullaılara estrlr. l l[ l{ F( }] l l[ l{ F( }]... (3 l { l } l l[ l{ F( }] ep{ }... (4.3- Mometler Teğ ( Method of Momets Mometler teğ bel de estrm teler e essdr. Eğer estrm edlece parametre varsa, bu parametrelere bağlı l evre momet, arşılı gele örelem mometlere eştledğde bu parametreler buludura sayıda eştl elde edlr. Elde edle bu sayıda delem, blmeye parametreler ç çözülere estrm değerler buluur. Webull dağılımıı parametreler estrm mometler teğ le estrmde dağılımı sıfır etrafıda brc ve c mometler ullaılır. İ parametrel Webull dağılımıı sıfır etrafıda. momet, E( X (... (5 şeldedr. (5 olu eştl ullaıldığıda sıfır etrafıda l momet, E ( X (

5 İstatst Araştırma Dergs, Clt: 0, No: 0, Sayfa: 03-7, 003. E ( X ( şeldedr. E(X ares E(X ye bölümes le yalızca parametrese bağlı br fosyo elde edlecetr. (... (6 { } { ( }... (7 ( (7 olu eştl deeme yaılma teğ ullaılara ya da stadart teratf teler yardımıyla çözülere parametres estrlr. Daha sora elde edle, (6 de yere oulara parametres estrlr. ( 3- PARAMETRE KESTİRİM TEKNİKLERİNİN WEİBULL DAĞILIMI İÇİN KARŞILAŞTIRILMASI Bu bölümde Webull dağılımıı parametreler estrm telerde, E Ço Olablrl Teğ (MLE, E Küçü Kareler Teğ (LSM ve Mometler Teğ (MOM arşılaştırılması yapılaca ve hag durumda hag teğ daha y souç vereceğ belrleecetr. Bçm parametres ve ölçe parametres ı ble değerler ç 0, 30, 50, 00 ve 0 brml örelemler üretlecetr. Üretle örelemlere üç farlı te uygulaara her örelem ç ve hesaplaacatır. Her br te ç aşağıda formülü verle Toplam Değşel (TD hesaplaacatır (Al- Fawza, 000. TD... (8 Burada ve ble parametreler, ve telerle estrle parametrelerdr. Kestrm teler her br ç hesaplaa Toplam Değşeller (TD çersde e üçü TD değere sahp te, e y te olara belrleecetr. Karşılaştırmalar sorası Tablo elde edlr. Tablo celedğde geel olara 50 arşılaştırmaı sde MLE, 4 üde MOM ve 04 üde LSM e y parametre estrm teğ olara seçlmştr. Bua göre MLE tüm durumları %48,8 de e y te olara seçlere arşılaştırıla üç te çersde e y te olara seçlmştr.

6 İstatst Araştırma Dergs, Clt: 0, No: 0, Sayfa: 03-7, 003. Tablo : Karşılaştırma Souçlarıı Özet MLE % MOM % LSM % EN İYİ TEKNİK 0 5 0,50 6 0, 9 0,38 MLE 30 0,4 8 0,6 0,4 MLE-LSM ,46 4 0,08 3 0,46 MLE-LSM 00 0,4 3 0,06 6 0,5 LSM 0 3 0,64 3 0,06 5 0,3 MLE GENEL 0, , ,46 MLE Örelem hacm 0 olduğu 50 arşılaştırma yapılmış ve bu arşılaştırmaları 5 de MLE, 6 sıda MOM ve 9 uda LSM e y parametre estrm teğ olara seçlmştr. Örelem hacm 0 olduğuda yapıla arşılaştırmaları %50 sde MLE e y te olara seçlere 0 brml örelemler ç arşılaştırıla üç te çersde e y te olara seçlmştr. Örelem hacm 30 olduğu 50 arşılaştırmada erde MLE ve LSM e y teler olara ortaya çıare, MOM sadece 8 de e y te olara seçlmştr. 30 brml örelemler ç arşılaştırıla üç te çersde %4 şerl yüzdelerle MLE ve LSM e y teler olara ortaya çımıştır. Örelem hacm 50 olduğu 50 arşılaştırmada 3 erde MLE ve LSM e y teler olara ortaya çıare, MOM sadece 4 üde e y te olara seçlmştr. 50 brml örelemler ç arşılaştırıla üç te çersde %46 şarlı yüzdelerle MLE ve LSM e y teler olara belrlemştr. Örelem hacm 00 olduğu 50 arşılaştırma yapılmış ve bu arşılaştırmaları de MLE, 3 üde MOM ve 6 sıda LSM e y parametre estrm teğ olara seçlmştr. Örelem hacm 00 olduğuda yapıla arşılaştırmaları %5 sde LSM e y te olara seçlere 00 brml örelemler ç arşılaştırıla üç te çersde e y te olara seçlmştr. Örelem hacm 0 olduğu 50 arşılaştırma yapılmış ve bu arşılaştırmaları 3 sde MLE, 3 üde MOM ve 5 de LSM e y parametre estrm teğ olara seçlmştr. Örelem hacm 0 olduğuda yapıla arşılaştırmaları %64 üde MLE e y te olara seçlere 0 brml örelemler ç arşılaştırıla üç te çersde e y te olara seçlmştr. Tablo -:Karşılaştırmalarda Ortalama TD ve TD Stadart Sapması MLE MOM LSM Ortalama TD 0, , , TD s.sapması 0,574 0,9009 0,009 Ortalama TD 0, , , TD s.sapması 0,933, ,96535 Ortalama TD 0,794 0, , TD s.sapması 0, ,7050 0,34003 Ortalama TD 0, ,4464 0, TD s.sapması 0,0765 0, ,06537 Ortalama TD 0, , , TD s.sapması 0, , , Ortalama TD 0,846 0, ,8308 GENEL TD s.sapması 0, , ,64343

7 İstatst Araştırma Dergs, Clt: 0, No: 0, Sayfa: 03-7, 003. Tablo de arşılaştırmalar ç ortalama TD ve TD stadart sapması verlmştr. Karşılaştırmaları geele baıldığıda MLE teğde ortalama TD 0.846, MOM teğde ortalamatd ve LSM teğde TD olara ortaya çımıştır. Tablo celedğde MLE, MOM ve LSM telerde örelem hacmler arttıça ortalama TD azaldığı görülmetedr. MOM teğ ç ortalama TD mmumolduğu örelem hacm 0 brmdr. Bu souçlar ışığıda örelem hacmler büyü olması durumuda, estrmler gerçe değere daha yaı olduğuu söylerz. 30 ve 50 brml örelemler ç MLE ve LSM e y teler olara ortaya çımışlardı. Tablo de ortalama TD llere baara te arasıda br terch yapablrz. 30 brml örelemler ç 0,36755 ortalama TD l le LSM teğ e y te olara seçere, 50 brml örelemler ç 0,794 ortalama TD lle MLE teğ e y te olara terch edeblrz. 4-KUZEY ANADOLU FAY ZONUNDA DEPREM RİSKİNİN SAPTANMASINDA WEİBULL DAĞILIMININ KULLANILMASI Bu çalışmada, Kuzey Aadolu Fay Zouu üform özell göstere ve ayı teto rejm soucu oluşa depremler yer aldığı boylamları arasıda ala yalaşı 00 m geşlğde orta esm celeme bölges olara seçlmştr (Kolça, Altıo ve Güdoğdu. Ülemzde Webull dağılımı ullaılara celeme alalarıda bell br magtüde sahp depremler olma rs saptadığı çalışmalar da geel olara zama olara yıl alımış ve bölümledrlmş sılı dağılımı le çalışılmıştır. Bölümledrlmş sılı dağılımı le çalışılıre zate yetersz ola verlerde blg aybı yapılıyor ve zama yıl olara alıara da duyarlılı ytrlyordu. Bu saıcalar date alıara yapıla uygulamalarda zama brm olara gü alımış ve sılı dağılımı olara dz terch edlmştr. Webull dağılımı ullaılara yapıla çalışmalarda temel br hata da her zama ç parametre estrmler ç E Küçü Kareler Teğ ullaılmasıdır. Bu çalışmada arşılaştırma souçları gözöüe alıara örelem hacmler date alıaca ve parametre estrmler ç e uygu te ullaılacatır. X rassal değşe, KAFZ ı uzey elemler le doğu boylamlarıda magtüdü 6 veya yuarı büyülüte (M 6 ard arda meydaa gele deprem arasıda geçe zama (gü olara taımlası. KAFZ ı uzey elemler le doğu boylamlarıda yılları arasıda magtüdü 6 veya yuarı büyülüte (M 6 meydaa gele depremlere at ver set düzelerse Tablo 3 e ulaşılır. Şel de uzey elemler le doğu boylamıda yılları arasıda magtüdü 6 veya yuarı büyülüte meydaa gele depremler gösterlmştr.

8 İstatst Araştırma Dergs, Clt: 0, No: 0, Sayfa: 03-7, 003. Şel-: uzey elemler le doğu boylamıda yılları arasıda magtüdü 6 veya yuarı büyülüte meydaa gele depremler * Tablo 3: Uygulamaya İlş Düzelemş Ver Set (gü (gü (gü (gü (gü (gü X, ve parametreler le Webull rassal değşe olduğuu abul ederse, X olasılı yoğulu fosyou; ep( ; 0, 0, 0 f ( ;, 0 ; d.d şeldedr. 30 brml örelem hacmler ç E Ço Olablrl Teğ veya E Küçü Kareler Teğ ullaılmasıı öermşt. İ te arasıda br terch yapma amaçı le 30 brml örelem hacmler ç teler ortalama TD lere bamış ve daha üçü ortalama TD ye sahp E Küçü Kareler Teğ seçmşt. Bu seçme bağlı alara, uygulamamızda 4 brml örelem hacmde, parametre estrmlerde ullaacağımız te E Küçü Kareler Teğdr. Parametre estrmler Webull++6 paet programıda gerçeleştrlmştr. Parametre estrm souçları Tablo 4 de verlmştr. Tablo-4: Parametre Kestrm Değerler 0, , uzey elemler le doğu boylamıda magtüdü 6 veya yuarı büyülüte meydaa gele depremler ortalama yeleme peryodu aşağıda gb buluur. * Deprem verler adresde alımıştır.

9 İstatst Araştırma Dergs, Clt: 0, No: 0, Sayfa: 03-7, 003. E ( X ( E(X= ( 0,7796 E(X=450, gü uzey elemler le doğu boylamıda magtüdü 6 veya yuarı büyülüte meydaa gele depremler ortalama yeleme peryodu 45 güdür. Bua göre, uzey elemler le doğu boylamıda magtüdü 6 veya yuarı büyülüte meydaa gele br deprem sorası ortalama 45 gü sora magtüdü 6 veya yuarı büyülüte br deprem meydaa gelmes belemetedr uzey elemler le doğu boylamıda magtüdü 6 veya yuarı büyülüte meydaa gele br depremde sora farlı güler çersde, celeme bölgesde magtüdü 6 veya yuarı büyülüte br deprem meydaa gelme rsler göstere tasarım peryodu Tablo 5 de verlmştr. Tablo-5:Farlı ler İç Tasarım Peryodu (gü F( 0, , , , , , , , , , , , , , ,0000 Tablo 5 de değerler yorumlamasıa br öre olması amaçı le =500 gü ç yorumumuzu yapalım. Hesaplamalara göre uzey elemler le doğu boylamıda magtüdü 6 veya yuarı büyülüte meydaa gele br depremde sora 500 gü çersde magtüdü 6 veya yuarı büyülüte br deprem meydaa gelme olasılığı %38,59 dr. Şel de brml dağılım fosyou F( grafğ verlmştr.

10 İstatst Araştırma Dergs, Clt: 0, No: 0, Sayfa: 03-7, 003.,0 F( 0,5 0, Şel : Brml Dağılım Fosyou F( Grafğ Farlı ler ç hesaplaa güverll fosyou değerler Tablo 6 da gösterlmştr. Tablo-6: Farlı ler İç Güverll Fosyou R( Değerler (gü R( 0, , , , , , , , , , , , , , ,000 Tablo 6 da değerler yorumlamasıa br öre olması amaçı le =00 gü ç yorumumuzu yapalım. Hesaplamalara göre uzey elemler le doğu boylamıda magtüdü 6 veya yuarı büyülüte meydaa gele br depremde sora 00 gü çersde magtüdü 6 veya yuarı büyülüte br deprem meydaa gelmeme olasılığı %87,0 dr. Şel 3 de güverll fosyouu grafğ verlmştr.

11 İstatst Araştırma Dergs, Clt: 0, No: 0, Sayfa: 03-7, 003. Şel-3: Güverll Fosyou R( Grafğ Kuzey Elemler İle Doğu Boylamıda Magtüdü 6 veya yuarı büyülüte meydaa gele br depremde sorası 000 gü çersde magtüdü 6 veya yuarı büyülüte br deprem meydaa gelmes olasılığı %56,7 dr. Yııcı, ca ve mal ayıplara ede olablece M 6 büyülüğüde br deprem 000 gü çersde terarlama olasılığıı bu adar yüse olması Türye de deprem gerçeğ gözler öüe sermetedr. 5- SONUÇ E Ço Olablrl Teğ, E Küçü Kareler Teğ ve Mometler Teğ statstsel parametre estrm teler arasıda e yaygı ullaıla telerdr. Bu teler Webull dağılımıı parametre estrmde ullaılmasıa yöel arşılaştırma soucuda geel olara E Ço Olablrl Teğ performası e y ola te olara belrlemştr. 00 brml örelem hacmler ç yapıla arşılaştırmada E Küçü Kareler Teğ e y te olara tespt edlmştr. 30 ve 50 brml örelem hacmlerde E Ço Olablrl Teğ le E Küçü Kareler Teğ bezer performas göstermşlerdr. 0 ve 0 brml örelemlerde se E Ço Olablrl Teğ e y te olara belrlemşdr. Mometler Teğ se yapıla arşılaştırmalarda dğer teğe göre performası y değldr. Bu çalışmada, yapıla arşılaştırma soucu gözöüe alıara çözümleme E Küçü Kareler Teğ ullaılara gerçeleştrlmştr Örelem büyülüler değştçe y performas göstere teğ değştğ soucu le arşılaşıldığıda buda sora yapılaca çalışmalarda parametre estrm teğ seçlre örelem hacm gözöüe alımalı ve çözümleme e uygu te le yapılmalıdır. Webull dağılımı ullaılara deprem rs saptamasıa yöel çalışmalarda görüle zaaflar date alıara gerçeleştrle çözümleme sorası celeme alaıda deprem rs so derece yüse olduğu görülmüştür. Deprem üles ola ülemzde depremle yaşamaı gereler yapmaı zorululuğu bu çalışma sorası br defa daha gözler öüe oulmuştur.

12 İstatst Araştırma Dergs, Clt: 0, No: 0, Sayfa: 03-7, 003. KAYNAKLAR A.ZENBİL El-Bashr (99, Estmato Techques For A Class Of No-Regular Dstrbutos: The Webull Case., Dotora Tez, ODTÜ Al- Fawza Mohammad A. (000, Methods for Estmatg the Parameters of the Webull Dstrbuto, Emal: mfawza@acst.edu.sa KOLÇAK D.- ALTINOK Y.- GÜNDOĞDU Y, Kuzey Aadolu Fay Zouda Webull Olasılı Dağılımı İle Deprem Rs Saptaması, Deprem Araştırma Bülte, 76, Şah S. (000 İstatstsel Kalte Kotrolüde Üstel ve Webull Dağılımları X-Kotrol Graflere Uygulaması Üzere Teor Br Yalaşım, Dotora Tez- Cumhuryet Üverstes The Use Of Statstcal Parameter Estmato Methods I The Calculato Of The Parameters Webull Dstrbuto Ad The Aplcato Of Webull Dstrbuto To Earthquae Data ABSTRACT I ths study, Mamum Lelhod Method, Least Squares Method ad Method of Momets whch are the statstcal parameter estmato methods of use the calculato of the parameters Webull dstrbuto s beg eplaed. We compare ths methods dfferet sample szes to show whch oe s the best ad the results of ths compare s used to apply the webull dstrbuto to earthquae dates. Key Words: Webull Dstbuto, Mamum Lelhod Method, Least Squares Method Method Of Momets, Earthquae