ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Leyla BUGAY YARIGRUPLARIN BRUCK-REILLY GENİŞLEMELERİNİN SONLU TAKDİM EDİLEBİLİRLİĞİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YARIGRUPLARIN BRUCK-REILLY GENİŞLEMELERİNİN SONLU TAKDİM EDİLEBİLİRLİĞİ Leyla BUGAY YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu Tez././ Tarhnde Aşağıdak Jür Üyeler Tarafından Oybrlğ/Oyçokluğu le Kabul Edlmştr..... Doç. Dr. Hayrullah AYIK Prof. Dr. Yusuf ÜNLÜ Yrd. Doç. Dr. Ersn KIRAL DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu Tez Ensttümüz Matematk Anablm Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. İlham YEĞİNGİL Ensttü Müdürü Bu Çalışma TÜBİTAK-BİDEB Tarafından Desteklenmştr. Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bldrşlern, çzelge ve fotoğrafların kaynak gösterlmeden kullanımı, 5846 sayılı Fkr ve Sanat Eserler Kanunundak hükümlere tabdr.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ YARIGRUPLARIN BRUCK-REILLY GENİŞLEMELERİNİN SONLU TAKDİM EDİLEBİLİRLİĞİ Leyla BUGAY ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman : Doç. Dr. Hayrullah AYIK Yıl : 2, Sayfa: Jür : Doç. Dr. Hayrullah AYIK : Prof. Dr. Yusuf ÜNLÜ : Yrd. Doç. Dr. Ersn KIRAL Bu çalışmada, bazı yarıgrup yapılarının sonlu takdm edleblrlğ le lgl olarak yakın zamanda elde edlen bazı sonuçlar ncelenmştr. Özellkle sonlu takdml br monodn herhang br altgrubunun ve br M monodnn (grubunun) M nn br θ endomorfzm le olan Bruck-Relly genşlemes BR( Mθ, ) nın sonlu takdm edleblrlğ hakkındak problemler çalışılmıştır. Sonlu takdml br monodn sonlu ndekse sahp herhang br altgrubunun da monod olarak sonlu takdml olduğu gösterlmştr. Ayrıca M sonlu doğuraylı / takdml br monod ken BR( Mθ, ) nın da sonlu doğuraylı / takdml olduğu gösterlmştr. Son olarak, G br grup ken BR( Gθ, ) nın sonlu doğuraylı olması çn gerek ve yeter koşulun A G sonlu br küme olmak üzere G nn U Aθ formundak küme tarafından doğurulablr olması olduğu ve BR( G, θ ) nın sonlu takdm edleblr olması çn de gerek ve yeter koşulun R lşklern sonlu br kümes olmak üzere G grubununun, lşkler R= U Rθ formunda olan takdm tarafından tanımlanablyor olması olduğu gösterlmştr. Anahtar Kelmeler: Yarıgrup, Monod, Grup, Takdm, Bruck-Relly Genşlemes I

4 ABSTRACT MSc. THESIS FINITE PRESENTABILITY OF BRUCK-REILLY EXTENSIONS OF SEMIGROUPS Leyla BUGAY ÇUKUROVA UNIVERSITY INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATICS Supervsor : Assoc. Prof. Dr. Hayrullah AYIK Year : 2, Pages: Jury : Assoc. Prof. Dr. Hayrullah AYIK : Prof. Dr. Yusuf ÜNLÜ : Asst. Prof. Dr. Ersn KIRAL In ths study, we survey some recent result concernng fnte presentablty of several semgroup constructons. Namely we study problems regardng fnte presentablty of an arbtrary subgroup of a monod defned by a fnte presentaton; and of Bruck-Relly extensons BR( Mθ, ) of a monod (group) M wth respect to an endomorphsm θ of M. It s proved that any subgroup of a fntely presented monod wth fnte ndex s also fntely presented as a monod. Also t s proved that f M s a fntely generated / presented monod than BR( Mθ, ) s fntely generated / presented. Fnally, t s proved that when M s a group, BR( Mθ, ) s fntely generated f and only f G can be generated by a set of the form U Aθ, where A G s fnte; and BR( Mθ, ) s fntely presented f and only f G can be defned by a presentaton wth relatons of the form R= U Rθ for some fnte set of relatons R. Key Words: Semgroup, Monod, Group, Presentaton, Bruck-Relly Extenson II

5 TEŞEKKÜR Ç. Ü. Matematk bölümünde (lsans öğrencs olarak) öğrenme başladığım lk günden bu yana ve özellkle bu tezn hazırlanması aşamasında yardımlarını ve desteğn esrgemeyen değerl danışman hocam Doç. Dr. Hayrullah Ayık a çok teşekkür ederm. Ayrıca, sonsuz sevgs ve güvenyle ben bu günlere getren sevgl babam Esat Tangüler ve annem Sabha Tangüler e, sevgl aleme, eşm Mehmet Can Bugay a, Ç. Ü. Matematk bölümünün saygıdeğer öğretm üyelerne ve araştırma görevls arkadaşlarıma yardım, destek ve teşvklernden dolayı teşekkür ederm. Son olarak da yüksek lsans yaptığım süre çersnde aldığım burstan dolayı TÜBİTAK Blm İnsanı Destekleme Dare Başkanlığına teşekkür ederm. III

6 İÇİNDEKİLER ÖZ... I ABSTRACT... II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER...IV ŞEKİLLER DİZİNİ V. GİRİŞ TEMEL TANIM ve TEOREMLER Yarıgruplar Bağıntı ve Denklk Homomorfzmler Kongrüanslar Green Denklk Bağıntıları Regüler (Düzgün) Yarıgruplar Bast Yarıgruplar Doğuray Kümeler Yarıgrup ve Monod Takdmler Grup Takdmler Takdm Bulmak İçn Kullanılan Bazı Yöntemler Drekt Yöntem Tetze Dönüşümler MONOİDLERİN ALTGRUPLARI İÇİN TAKDİM ELDE ETME BRUCK-REILLY GENİŞLEMELERİ ve SONLU TAKDİM EDİLEBİLİRLİĞİ Bruck-Relly Genşlemeler Bruck-Relly Genşlemelernn Takdm Grupların Bruck-Relly Genşlemeler... 9 KAYNAKLAR... 7 ÖZGEÇMİŞ... 9 IV

7 ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA Şekl 2... İzomorfzm Teorem nn Dyagramı Şekl 2.2. Green Denklk Bağıntılarının Hasse Dyagramı Şekl 2.3. Br D-Green Denklk Sınıfı Örneğ V

8 . GİRİŞ Leyla BUGAY. GİRİŞ Yarıgrup teors cebrn en temel dallarından brdr. Yarıgrup term lk olarak 94 te Monseur l Abbé J. A. Séguer n Éléments de la Théore des Groupes Abstrats adlı ktabında yer almış, 926 ve 928 yıllarında A. K. Sushkevch n br sonlu yarıgrubun mnmal dealnn yapısını belrlemesyle gelşm sürecne başlamıştır. Bu dönemden tbaren çalışmalar hızla artmış ve nhayet 95 l yılların sonunda yarıgrup teorsnn kends modern cebrn başlı başına br alt dalı halne gelmştr. Yarıgrupların zengn br soru çerğne sahp olmasının yanı sıra grup ve halka teors başta olmak üzere matematğn dğer alanları le olan bağlantısı yarıgrup teorsnn önemn arttırmıştır. Dğer cebrsel teorlerde olduğu gb yarıgrup teorsnde de temel problemlerden br, yarıgrupların sınıflandırılmasını sağlayacak ve onların yapısını tanımlayacak belrl özellklerle fade edlp edlemeyeceğn gösteren yöntemler bulmaktır. Bu yöntemlerden br takdm bulma yöntemdr. Br yarıgrubun takdmn bulma problem yarıgrup teorsnde çok uzun zamandır çalışılan br konudur. Matematkçler tarafından bu amaçla gelştrlen GAP ve MAGMA gb blgsayar programlarını kullanablmek çn de cebrsel yapıların (varsa) sonlu takdmlernn blnmes gerekmektedr. Bu nedenlerden dolayı cebrn br alt dalı olan yarıgrupların sonlu takdm edleblrlğ başlı başına br araştırma konusu olmuştur. 99 yılında E. F. Robertson le Y. Ünlü nün gelştrdkler br blgsayar programı ve bu programın gelştrlmes sayesnde bu konuda yayınlanan çalışmalar hızla artmıştır. Bz de bu çalışmada bazı özel yarıgrup yapılarının Bruck-Relly genşlemelernn sonlu takdm edleblrlğn nceleyeceğz. M, brm elemanı M olan br monod ve θ, M üzernde br endomorfzm olsun. θ dönüşümünü M üzerndek brm dönüşüm olarak alalım ve negatf olmayan tamsayılar kümesn M ( m, a, n), ( p b, q) le gösterelm. ={,, 2, 3, }. kümes üzernde br kl şlem (çarpma şlem), her, M çn r max{ n, p} = olmak üzere

9 . GİRİŞ Leyla BUGAY ( m, a, n) ( p b, q) r n r p, = ( m n + r, ( aθ )( bθ ), q p + r) şeklnde tanımlansın. M kümes bu şlem le brm elemanı (,,) M olan br monoddr. Bu monode M monodnn θ le olan Bruck-Relly genşlemes denr ve BR ( M,θ ) le gösterlr. Bu yapı Bruck, Relly ve Munn tarafından oluşturulan yapıların genelleştrlmş haldr ve tersnr yarıgrup teorsnde öneml br rol oynamaktadır. Bruck-Relly genşlemelernn nşa edlme sürec, Bruck un 958 de her S yarıgrubunun br bast monod çersne gömülebleceğn göstermesyle başlamıştır. Bruck, S kümes üzernde S n her elemanını S n brm elemanına eşleyen θ homomorfzm le yukarıdak çarpma şlemn tanımladı ve bu yapının S ye zomorfk olan br altyarıgrubu çeren (bu altyarıgrup {(, s,) : s S} dır) br bast monod olduğunu gösterd. Elde edlen bu yapıya Bruck genşlemes denr. 966 yılında Relly aynı yapıyı br G grubu üzernde ve θ homomorfzmnn G üzernde herhang br endomorfzm olmasına zn vererek tekrar nşa ett. Bu yapıya se Relly genşlemes denr. Relly bu yapıyı kullanarak, elde edlen monodn br katlı-bast w-yarıgrup olduğunu ve tersne br katlı-bast w-yarıgrubun da brmlernn oluşturduğu altgrubunun (şmdk adlandırılışıyla) Bruck-Relly genşlemes olduğunu gösterd. 97 de Munn bu genşlemeler genelleştrerek Bruck-Relly genşlemes termn ortaya koydu ve bunu, herhang br M monodnn M den M nn brmlernn oluşturduğu gruba tanımlanan θ homomorfzm le olan genşlemes olarak tanımladı. Bz Bruck-Relly genşlemes termn, θ homomorfzmnn monod üzerndek herhang br endomorfzm olduğunu vurgulamak stedğmzde kullanacağız. Ayrıca, Munn-Bruck-Relly genşlemes termn de θ homomorfzmnn, monodden monodn brmlernn oluşturduğu gruba tanımlı olan homomorfzm olduğunu vurgulamak stedğmzde kullanacağız. 2

10 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Bu bölümde, yarıgrup teorsnde yer alan ve lerde kullanacağımız bazı temel tanım ve teoremler vereceğz. 2.. Yarıgruplar S boş olmayan br küme olmak üzere S S den S ye tanımlı br µ fonksyonuna S üzernde br (kapalı) kl şlem denr. Her xy, S çn x ve y elemanlarına uygulanan bu kl şlem xµ y şeklnde gösterlr. Eğer µ, S üzernde br kl şlem se ( S, µ ) klsne br grupod denr. ( S, µ ) br grupod olsun. Eğer µ kl şlem S üzernde brleşme özellğne sahp yan xyz,, S çn xµ ( yµ z) = ( xµ y) µ z oluyorsa ( S, µ ) grupodne br yarıgrup denr. Bz bu çalışmamızda genellkle kl şlem yerne çarpma şlem dyeceğz ve bu şlem le göstereceğz. Eğer çarpma şlemnn ne olduğu çerkten bell se ( S,) yerne S ve x y yerne de xy yazacağız. Tanım 2..: Br S yarıgrubu değşme özellğne sahp se yan xy, S çn xy = yx oluyorsa S yarıgrubuna değşmel yarıgrup denr. Tanım 2..2: S br yarıgrup ve e S olsun. Eğer x S çn ex= e oluyor se e ye S nn br sol sıfır elemanı ve eğer x S çn xe= e oluyor se e ye S 3

11 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY nn br sağ sıfır elemanı denr. Eğer e S hem sol hem de sağ sıfır eleman se e ye S nn br sıfır elemanı denr. Aşağıdak önermeden dolayı sıfır eleman le gösterlr. Önerme 2..3: Br S yarıgrubunun sıfır elemanı varsa tektr. İspat: ve, S nn k sıfır elemanı olsun. O halde = (,sıfırelemanolduğundan) = (,sıfırelemanolduğundan) dır. Tanım 2..4: S br yarıgrup olsun. Eğer x S çn ex= x olacak şeklde br e S varsa e ye S nn br sol brm elemanı ve eğer x S çn xe= x olacak şeklde br e S varsa e ye S nn br sağ brm elemanı denr. Eğer e S hem sol hem de sağ brm eleman se e ye S nn br brm elemanı denr ve genellkle S veya kısaca le gösterlr. Önerme 2..5: Br S yarıgrubunun brm elemanı varsa tektr. İspat: ve, S nn k brm elemanı olsun. O halde = (,brmeleman olduğundan) = (,brmeleman olduğundan) dr. monod denr. Tanım 2..6: S br yarıgrup olsun. Eğer S nn brm elemanı varsa S ye br S br yarıgrup olsun. O zaman 4

12 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY S ; S brmonodse S = S {} ; S brmonoddeğlse kümesn ele alalım. Bu kümenn, üzernde xy, S çn xy ; x, y x ; y = xy = y ; x= ; x= y = şeklnde tanımlanan çarpma şlem le br monod olduğu açıktır ve bu monode S ye gerekrse brm eleman eklenerek elde edlen monod denr. Tanım 2..7: S br yarıgrup ve e S olsun. Eğer 2 e = ee = e oluyor se e ye S nn br dempotent elemanı denr. S yarıgrubunun tüm dempotent elemanlarının kümes ES ( ) le gösterlr. Eğer S yarıgrubunun tüm elemanları brer dempotent eleman yan ES ( ) se S ye br band denr. Eğer S yarıgrubu hem değşmel hem de br band se S ye br yarılats denr. = S Örnek 2..8: Tam sayılar kümes, rasyonel sayılar kümes, reel sayılar kümes ve karmaşık sayılar kümes, üzerlernde tanımlanan blnen toplama ve çarpma şlemler le brer monoddr. Doğal sayılar kümes, tam sayılar kümes üzernde tanımlı blnen toplama şlem le br yarıgrup ve blnen çarpma şlem le brm elemanı olan br monoddr. 5

13 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY { } = kümes tam sayılar kümes üzernde tanımlı blnen toplama şlem le brm elemanı olan br monoddr. { } Örnek 2..9: = ( mn, ) : mn, kümes (, ),(, ) ve r max { np, } = olmak üzere mn pq ( mn, )( pq, ) = ( m n+ rq, p+ r) şeklnde tanımlanan kl şlem le brm elemanı (, ) olan br monoddr. Bu monode k-devrl (bcyclc) monod denr. Tanım 2..: S br yarıgrup olsun. Eğer x S çn Sx = S ve xs = S oluyorsa S ye br grup denr. Bu tanım çok kullanılan br tanım değldr ve genellkle bu tanıma denk olan aşağıdak tanım kullanılır. S br yarıgrup olsun. ( ),( ) e S s S es = s ( ),( ) s S s S s s = e koşulları sağlanıyorsa S ye br grup denr. Bu tanım da aslında grup teorsnde kullanılan aşağıdak tanıma denktr. S br yarıgrup olsun. ( ),( ) e S s S es = se= s ( ),( ) s S s S s s = ss = e 6

14 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY koşulları sağlanıyorsa S ye br grup denr. Burada e S ye grubun brm elemanı ve s S ye s elemanının ters denr. Sadece brm elemandan oluşan { } kümes br grup olup bu gruba aşkâr grup denr. Tanım 2..: S br yarıgrup ve T S olsun. Eğer T, S dek çarpma şlemne göre kapalı yan xy, T çn xy T 2 ( T T) oluyor se T ye S nn br altyarıgrubu denr ve T Örneğn; S şeklnde gösterlr. 2 SS = S S olup S S dr. S de br sıfır eleman var se { } S ve S br monod se { } S dr. Bu altyarıgruplara aşkâr altyarıgruplar ve bunların dışındak altyarıgruplara öz altyarıgruplar denr. S br yarıgrup ve T de S nn br altyarıgrubu olsun. Eğer T, S dek çarpma şlemyle br monod oluyorsa T ye S nn br altmonod, eğer br grup oluyorsa T ye S nn br altgrubu denr. Benzer şeklde br monodn altmonod, br monodn altgrubu ve br grubun altgrubu kavramları tanımlanablr. Tanım 2..2: S br yarıgrup ve G S de S nn br altgrubu olsun. Eğer S nn G H S olacak şeklde br H altgrubu mevcut ken H = G veya H = S olmak zorunda kalıyor se G ye S nn maksmal altgrubu denr. Tanım 2..3: S, brm elemanı olan br monod ve x S olsun. Eğer yx = olacak şeklde br y S varsa x elemanına S nn br sol brm ve xz = olacak şeklde br z S varsa x elemanına S nn br sağ brm denr. x S hem sol hem de sağ brm se yx = ve xz = olacak şeklde yz, S vardır. Bu durumda ( ) ( ) y = y= y xz = yx z = z = z olur. 7

15 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY Eğer x S hem sol hem de sağ brm se x elemanına S nn br brm denr ve S monodnn tüm brmlernn kümes U( S ) le gösterlr. U( S ) nn S nn br altgrubu olduğu kolayca gösterleblr. Bu gruba S nn brmler grubu denr. ( ) = { : çn = = } U S x S y S xy yx Tanım 2..4: S br yarıgrup ve I S olsun. Eğer s S ve a I çn sa I yan SI I se I ya S nn br sol deal ve eğer s S ve a I çn as I yan IS I se I ya S nn br sağ deal denr. Eğer I, S nn hem sol hem de sağ deal se I ya S nn br deal denr ve I Örneğn; < S le gösterlr. 2 SS = S S olup S < S dr. S de br sıfır eleman varsa { } S = { } { } ve S { } = { } { } olup { } denr. deal denr. < S dr. Bu deallere aşkâr dealler S yarıgrubunun I S ve I { } olacak şeklde br deal varsa bu deale öz Dkkat edlrse, her deal br altyarıgruptur. Tanım 2..5: S ve T k yarıgrup olsun. ( ) {, :, } S T = st s S t T kümesne S le T nn kartezyen çarpımı denr. ss, S ve tt, T olmak üzere S T kartezyen çarpım kümes, üzernde tanımlanan (,)( st s, t ) = ( ss, tt ) çarpma şlem le br yarıgrup olup bu yarıgruba S le T nn drekt çarpımı denr. Tanım 2..6: G br grup ve H, G nn br altgrubu olsun. Herhang br x G çn tanımlanan xh { xh: h H} = ve Hx { hx: h H} = kümelerne sırasıyla 8

16 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY H nn G dek sol koset ve sağ koset denr. Ayrıca, H nn G dek tüm sol kosetlernn kümes sol( H ) ve sağ kosetlernn kümes sağ ( H ) le gösterlr. Önerme 2..7: G br grup, H G ve xy, G olsun. O halde () x xh. () xh = H x H. () xh = yh x yh. (v) xh yh y x H =. (v) ya xh = yh ya da xh yh = dr. İspat: Karakaş (28), Ders 7, Önerme 2 ye bakınız. Tanım 2..8: G br grup ve H kümesne taşınablyor olması demek xh, yh sol( H) G olsun. G nn kl şlemnn sol( H ) çn ( xh)( yh) = ( xy) H şeklnde tanımlanan şlemn y tanımlı yan ( ) ( ) xh = ah, yh = bh xy H = ab H koşulunu sağlıyor olup br kl şlem olması demektr. Teorem 2..9: G br grup ve H brbrne denktr. G olsun. O halde aşağıdak önermeler () G nn kl şlem sol( H ) kümesne taşınablrdr. () x G çn xh = Hx dr. () x G çn xhx = H dr. 9

17 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY (v) x G çn xhx H dr. İspat: Karakaş (28), Ders 8, Teorem e bakınız. Tanım 2..2: G br grup ve N G olmak üzere Teorem 2..9 un denk olan önermelernden br sağlanıyorsa N ye G nn br normal altgrubu denr ve N < G le gösterlr. G değşmel br grup ken her altgrubu br normal altgruptur. N < G ken N nn her sol koset aynı zamanda br sağ koset olduğundan sağ koset ve sol koset yerne kısaca koset denr. Bu durumda N nn G dek tüm kosetlernn ales { : } GN = xn x G le gösterlr. Bu küme xn, yn GNçn ( xn)( yn) = ( xy) N şeklnde tanımlanan çarpma şlem le brm elemanı N olan br grup olup bu şleme koset çarpımı ve bu gruba da G nn N le olan bölüm grubu denr. Tanım 2..2: G br grup ve R G olsun. G nn R y çeren en küçük normal altgrubuna R nn normal kapanışı denr ve N( R ) le gösterlr Bağıntı ve Denklk X ve Y boş olmayan k küme olmak üzere X X ten Y ye br bağıntı ve X Y n her br ρ altkümesne X n her br ρ altkümesne X üzernde br bağıntı denr. X üzerndek tüm bağıntıların kümes BX ( ) le gösterlr. Yan

18 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY { ρ ρ } BX ( ) = : X X olur. ρ, X üzernde br bağıntı olmak üzere ( xy, ) ρ yerne xρ y de yazablrz., X = X = {( xx, ): x X} kümes ve X X n kends, X üzernde brer bağıntıdır. Bu bağıntılara sırasıyla boş bağıntı, brm bağıntı ve evrensel bağıntı denr. Ayrıca, ρ BX ( ) olmak üzere ρ {( xy, ) X X :( yx, ) } X X = ρ bağıntısına ρ nun ters bağıntısı (ters) ve { ( ) ρ} { :(, ) ρ} ;ve : çn (, ) ρ domρ = x X : y X çn xy, ; xρ = y X xy { } mρ = y X x X xy kümelerne de sırasıyla ρ bağıntısının tanım kümes, x X n ρ altındak görüntü kümes ve ρ bağıntısının görüntü kümes denr. Tanımlar dkkatle ncelenrse αβ, B( X) çn α β domα domβ ve mα mβ ; ( ) α = α ; α β α β olduğu kolayca görülür. Tanım 2.2.: X boş olmayan br küme olsun ve ρσ, BX ( ) olmak üzere B ( X ) üzernde br çarpma şlem o {( xy, ) X X : z X çn ( xz, ) ρ ve ( z, y) σ} ρ σ =

19 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY şeklnde tanımlansın. BX ( ) bu şlemle br yarıgruptur ve bu yarıgruba (tüm) bağıntılar yarıgrubu denr. Ayrıca B ( X ) n, brm elemanı X olan br monod olduğu da kolayca gösterleblr. dır. αβγα,,,, K, α BX ( ) olsun. O halde n α β αoγ β o γ ve γ oα γ o β ve o 2oLo n = n oko 2 o ( ) α α α α α α Tanım 2.2.2: ρ B( X) olsun. Eğer x X çn xρ se ρ ya X üzernde br kısm dönüşüm ve x X çn xρ = se ρ ya X üzernde br dönüşüm (fonksyon) denr. ρ B( X) br (kısm) dönüşüm ve ( xy, ) ρ se genel olarak ( x) ρ = y veya xρ = y şeklnde gösterlr. ρ B( X) olsun. A X olmak üzere a A çn ( a) ρ = ( a) ρ şeklnde tanımlanan ρ : A X dönüşümüne ρ nun A kümesne kısıtlanışı denr ve ρ şeklnde gösterlr. A Benzer şeklde, X A olmak üzere a A çn ( a) ρ = ( ) ( ) a ρ ; a X se a ρ ; a X se şeklnde tanımlanan ρ : A A dönüşümüne de ρ nun A kümesne genşlemes veya ρ dönüşümünü A kümesne geren dönüşüm denr. 2

20 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY Tanım 2.2.3: X boş olmayan br küme ve ρ, X üzernde herhang br bağıntı olmak üzere X ρ se ρ ya yansımalı bağıntı; ρ = ρ se ρ ya smetrk bağıntı; ρ ρ se ρ ya ters-smetrk bağıntı; ve X ρo ρ ρ se ρ ya geçşmel bağıntı denr. Eğer ρ bağıntısı yansımalı, smetrk ve geçşmel bağıntı se ρ ya X üzernde br denklk bağıntısı denr. Eğer { ρ : I}, X kümes üzerndek denklk bağıntılarının boştan farklı br ales se kolayca gösterleblr k, I ρ de X üzernde br denklk bağıntısıdır. I ρ, X üzernde br denklk bağıntısı ve x X olmak üzere xρ = { y X :( xy, ) ρ} kümesne br denklk sınıfı ve X n tüm denklk sınıflarının ales olan X ρ = { xρ: x X} kümesne de X n ρ le elde edlen bölüm kümes denr. Önerme 2.2.4: ρ, X üzernde br denklk bağıntısı olsun. O halde xρ, yρ X ρ çn ya xρ yρ = ya da xρ = yρ dur. İspat: Karakaş (28), Ders, Teorem e bakınız. Tanım 2.2.5: ρ, X üzernde br denklk bağıntısı olmak üzere 3

21 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY x X çn ( x) ρ * = xρ olarak tanımlanan ρ * : X X ρ dönüşümü örten br dönüşüm olup bu dönüşüme X üzerndek doğal dönüşüm denr. Tanım 2.2.6: X, Y boş olmayan k küme olsun. φ, X ten Y ye br dönüşüm olmak üzere φo φ = xy X X xφ = yφ {(, ) : } şeklnde tanımlanan küme X üzernde br denklk bağıntısı olup bu bağıntıya φ nn çekrdeğ denr ve kerφ = φo φ le gösterlr. Tanım 2.2.7: X boş olmayan br küme ve R, X üzernde br denklk bağıntısı olsun. O halde R X X olup X üzernde R y çeren en az br denklk bağıntısı vardır. X üzernde R y çeren tüm denklk bağıntılarının arakest de R y çeren br denklk bağıntısı olup bu denklk bağıntısına R tarafından doğurulan denklk bağıntısı denr ve e R le gösterlr. e R = I { ρ: R ρ ve ρ, X üzernde br denklk bağıntısı } = I R ρ, ρ, X üzernde brdenklk bağıntısı ρ Dkkat edlrse R e R, R y çeren en küçük denklk bağıntısıdır. Ayrıca e = R = X ; R br denklk bağıntısı e R = ( R ) e e R = R; 4

22 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY olur. Tanım 2.2.8: X boş olmayan br küme ve R, X üzernde yansımalı br bağıntı yan X R olsun. O zaman R= or RoR R R X R = or RoR R R X 2 ; ; olup bu şeklde devam edlr se R R R R 2 3 n L L olur. Bu durumda X üzernde R bağıntısı R = U + n R n olarak tanımlanır. Önerme 2.2.9: X boş olmayan br küme olmak üzere X üzerndek herhang br R yansımalı bağıntısı çn tanımlanan R, X üzernde R y çeren en küçük geçşmel bağıntıdır. İspat: Howe (995), Lemma.4.8 e bakınız. Tanım 2.2.: X boş olmayan br küme ve R, X üzernde yansımalı br bağıntı olsun. O zaman geçşmel kapanışı denr. R = n U R olarak tanımlanan R bağıntısına R nn + n 5

23 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY Önerme 2.2.: X boş olmayan br küme ve R, X üzernde herhang br bağıntı olsun. O halde e R = [ R R X ] olur. İspat: Howe (995), Proposton.4.9 a bakınız Homomorfzmler S ve T k yarıgrup ve φ de S den T ye br dönüşüm ( φ : S T) olsun. Eğer xy, S çn ( xy) φ = ( x) φ( y) φ oluyor se φ ye S den T ye br homomorfzm denr. φ : S T br homomorfzm olmak üzere eğer φ bre-br se φ ye br monomorfzm, eğer φ örten se φ ye br epmorfzm ve eğer φ hem bre-br hem de örten se φ ye br zomorfzm denr. Başka br fade le; : S S S S ve : T T T T brm dönüşümler olmak üzere eğer φφ = ve T T φ φ = S S olacak şeklde br φ :T S homomorfzm varsa φ ye br zomorfzm ve φ e de φ nn ters denr. Eğer S den T ye br zomorfzm varsa S le T ye zomorfk yarıgruplar denr ve S T şeklnde gösterlr. Ayrıca eğer φ, S den S ye br homomorfzm se φ ye br endomorfzm ve eğer φ, S den S ye br zomorfzm se φ ye br otomorfzm denr. S ve T k monod ve φ : S T br (yarıgrup) homomorfzm olsun. Eğer S, S nn brm elemanını ve T, T nn brm elemanını olmak üzere 6

24 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY () φ = S T oluyor se φ ye br monod homomorfzm denr. Yukarıdak dğer tanımlar monodler çn benzer şeklde genelleştrleblr. zaman Tanım 2.3.: S ve T k yarıgrup, ve φ : S T br homomorfzm olsun. O {( xy) S S x y } ker φ =, : φ = φ { : } mφ = Sφ = xφ x S olarak tanımlanan kümelere sırasıyla φ nn çekrdek kümes ve görüntü kümes denr. mφ T olduğu açıktır. Ayrıca xy, S olmak üzere xφ, yφ mφ çn ( )( ) ( ) xφ yφ = xy φ mφ olup mφ T dr. Eğer Tanım 2.3.2: S ve T k yarıgrup ve α : S T br homomorfzm olsun. j çn α = α olacak şeklde k varsa α homomorfzmne sonlu k+ j k derecel homomorfzm denr Kongrüanslar S br yarıgrup ve R, S üzernde br bağıntı olsun. Eğer a S ve (,),( st s, t ) R çn ( as, at) R se R bağıntısına sol uyumlu; ( sa, ta) R se R bağıntısına sağ uyumlu; 7

25 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY ( ss, tt ) R se R bağıntısına uyumlu bağıntı denr. Ayrıca, sol uyumlu br denklk bağıntısına sol kongrüans, sağ uyumlu br denklk bağıntısına sağ kongrüans ve uyumlu br denklk bağıntısına kongrüans denr. S br yarıgrup ve { ρ : I} S üzerndek kongrüansların br ales se kolayca gösterleblr k I ρ de S üzernde br kongrüanstır. I Önerme 2.4.: S br yarıgrup ve R, S üzernde br denklk bağıntısı olsun. R nn br kongrüans olması çn gerek ve yeter koşul R nn hem sol hem de sağ kongrüans olmasıdır. İspat: Howe (995), Proposton.5. e bakınız. Tanım 2.4.2: S br yarıgrup ve R, S üzernde br denklk bağıntısı olmak üzere tanımdan kolayca görülüyor k R nn br kongrüans olması çn gerek ve yeter koşul R nn S S nn br altyarıgrubu olmasıdır. O halde S S nn alt yarıgrubu olan ve S S, S üzernde brer kongrüanstır. Bu kongrüanslara sırasıyla S nn S aşkâr kongrüansı ve evrensel kongrüansı denr. Tanım 2.4.3: S br yarıgrup ve ρ, S üzernde br kongrüans olsun. S nn ρ le elde edlen bölüm kümes S ρ üzernde br çarpma şlem xρ, yρ S ρ çn ( x ρ)( yρ) = ( xy)ρ şeklnde tanımlansın. S ρ, bu çarpma şlem le br yarıgrup olup bu yarıgruba S nn ρ le elde edlen bölüm yarıgrubu denr. Kolayca görülüyor k, eğer S brm elemanı olan br monod se brm elemanı ρ olan br monoddr. S ρ da 8

26 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY Tanım 2.4.4: S br yarıgrup ve ρ, S üzernde br kongrüans olsun. ρ * : S S ρ aa aρ şeklnde tanımlanan * ρ, örten br homomorfzm olup bu homomorfzme doğal homomorfzm denr. durumda Önerme 2.4.5: ST, k yarıgrup ve φ : S T br homomorfzm olsun. Bu = o = =, ker φ φ φ {( xy, ) S S: xφ yφ} S üzernde br kongrüanstır. İspat: Howe (995), Theorem.5.2 ye bakınız. Teorem 2.4.6: (. İzomorfzm Teorem) ST, k yarıgrup ve φ : S T örten br homomorfzm se S kerφ T dr. İspat: α: S kerφ T dönüşümü ( skerφ) a sφ olarak tanımlansın. S φ T 9

27 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY ( kerφ ) * α S kerφ Şekl 2... İzomorfzm Teoremnn Dyagramı Bu dönüşümün mα = mφ olacak şeklde br homomorfzm olduğu kolayca gösterleblr. Ayrıca φ örten olduğundan mα = mφ = T olup α da örten br homomorfzmdr. Her x, y S çn ( xkerφ) α = ( ykerφ) α olsun. Bu durumda xφ = yφ olup ( xy), kerφ ve buradan y xkerφ dr. Ayrıca y ykerφ olup Önerme ten xkerφ = ykerφ dr. O halde α bre-brdr. Tanım 2.4.7: S br yarıgrup ve R, S üzernde herhang br bağıntı olsun. O halde R S S olup S üzernde R y çeren en az br kongrüans vardır. S üzernde R y çeren tüm kongrüansların arakest de R y çeren br kongrüans olup bu kongrüansa R tarafından doğurulan kongrüans denr ve # R le gösterlr. { ρ: ρ ve ρ, üzernde br kongrüans } # R = I R S = I R ρ, ρ, X üzerndebr kongruans ρ Tanımdan kolayca görülüyor k # R, R y çeren en küçük kongrüanstır. üzere Tanım 2.4.8: S br yarıgrup ve R, S üzernde herhang br bağıntı olmak c R kümes {(, ):,,(, ) } c R = xay xby xy S ab R 2

28 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY şeklnde tanımlansın. Bu durumda kolayca görülüyor k c R, R y çeren en küçük sol ve sağ uyumlu bağıntıdır. Ayrıca Q da S üzernde herhang br bağıntı olmak üzere c c R Q R Q ; dr. ( ) c c R ( R ) = ; ( ) c c c R Q = R Q ; R br kongrüans se c R = R Teorem 2.4.9: S br yarıgrup ve R, S üzernde herhang br bağıntı olmak # c üzere R ( R ) e = dr. İspat: Howe (995), Proposton.5.8 e bakınız Green Denklk Bağıntıları S br yarıgrup ve a S olsun. S nn a elemanını çeren en küçük sol, sağ ve k taraflı dealler sırasıyla {} { : }, {} { : },ve {} { :, } Sa= Sa a = xa x S as = as a = ay y S SaS = SaS Sa as a = xay xy S olur. Bunun yardımı le S üzernde tanımlanan { ab, S S: Sa Sb } L ( ) = =, { ab, S S: as bs } R ( ) = =, ve 2

29 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY { ab, S S: SaS SbS } J ( ) = = bağıntılarına sırasıyla sol-green bağıntısı (L-Green ), sağ-green bağıntısı (R Green) ve Green bağıntısı (J Green) denr. Bu bağıntıların brer denklk bağıntısı olduğu açıktır. Önerme 2.5.: S br yarıgrup ve ab, S olmak üzere () a L b a= xb ve b= ya olacak şeklde () a Rb a= bx ve b= ay olacak şeklde () a Jb a= xby ve b= uav olacak şeklde xy, xy, S vardır. S vardır. xyuv,,, S vardır. İspat: () ( ) x S vardır. Benzer şeklde b ya ve ( ) a Sb= Sya Saolup a L b Sa = Sb a Sb olup a= xb olacak şeklde = olacak şeklde = xb ve b= ya olacak şeklde xy, y S olduğu gösterleblr. S var olsun. Sa= Sb ve buradan ( ab, ) L dr. Dğerler benzer şeklde gösterleblr. Sa= Sxb Sb Önerme 2.5.2: S br yarıgrup olmak üzere S üzerndek sol-green bağıntısı L ve sağ Green bağıntısı R değşmel yan Lo R=Ro L dr. İspat: Howe (995), Proposton 2..3 e bakınız. Tanım 2.5.3: S br yarıgrup olsun. L, R sırasıyla S yarıgrubu üzerndek L -Green ve R-Green bağıntıları olmak üzere H=L R 22

30 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY olarak tanımlanan denklk bağıntısına H-Green bağıntısı ve S yarıgrubu üzernde L ve R bağıntılarını çeren en küçük denklk bağıntısına da D-Green bağıntısı denr. O halde D = L R =(L R) e olur. Dkkat edlrse L le R smetrk ve yansımalı k bağıntı olduğundan (L R )=( L R ) ve S L R olup (L R ) ( L R ) S = L R dr. Ayrıca L LoR, R LoR ve Lo R = RoL olduğundan (L R )o ( L R ) =(L o L) (L o R) (Ro L) (Ro R) = L (Lo R) (L o R) R = Lo R ve ( L R ) (Lo R )=L [ R (L o R ) ] = LoR olduğu elde edlr. Dolayısıyla n 2 çn ( L R ) n = LoR olur. O halde D = (L R) e = [( L R ) ( L R ) S ] = U n + [( L R ) ( L R ) S ] n = U (L R ) n n= = (L R ) U (L R ) n n = 2 23

31 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY = (L R ) ( n= 2 = (L R ) L o R = Lo R U Lo R ) dr. Br S yarıgrubu üzerndek L, R, J, H ve D Green denklk bağıntıları çn X H L, R D J S S olup aralarındak bu lşk aşağıdak dyagram le fade edleblr. Bu dyagrama Hasse Dyagramı denr. S S J D L R H X Şekl 2.2. Green Denklk Bağıntılarının Hasse Dyagramı Önerme 2.5.4: G br grup se L=R=J=H=D=G Golur. İspat: ab, G çn ( ) ( ) a= ae= ab b = ab b ( ) ( ) b= be= b a a = ba a 24

32 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY olup x ab G = ve y ba G = alınırsa a= xb ve b= ya olacak şeklde xy, G bulunmuş olur. O halde ab, G çn a L b olup L= G G dr. Benzer şeklde R =G G olup L=R=J=H=D= G G olduğu elde edlr. Önerme 2.5.5: S değşmel br yarıgrup se L=R=H=D olur. İspat: a L b olsun. O halde a S değşmel olduğundan aynı zamanda a = xb ve b= ya olacak şeklde xy, S vardır. = bx ve b= ay olup a Rb olur. Böylece L R olduğu görülür. Benzer şeklde R L olup L=R =H=D olduğu elde edlr. Tanım 2.5.6: S br yarıgrup olmak üzere S üzerndek J, D, L, R, H Green denklk bağıntılarına göre elde edlen denklk sınıflarının kümeler sırasıyla S /J, S /D, S /L, S /R, S /H ve a S çn a yı çeren J, D, L, R, H Green denklk sınıfları sırasıyla Ja, Da, La, Ra, H a le gösterlr. Eğer J, D, L, R, H Green denklk bağıntılarının S yarıgrubu üzernde tanımlı olduğu çerkten bell olmuyor se bu denklk bağıntıları sırasıyla J S, D S, L S, R S, H S le gösterlr. S br yarıgrup ve a S olmak üzere Ha L, a Da Ha Ra Da Ha = La Ra olduğu ve D-Green denklk bağıntısının tanımından dolayı da a Db Ra Lb La Rb 25

33 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY olduğu açıktır. O halde br D-Green denklk sınıfı D, ayrık L-Green denklk ve R - Green denklk sınıflarının brleşmdr. Bu yüzden Clfford ve Preston br D sınıfını, her satırı br R-sınıfını, her sütunu br L-sınıfını ve her hücres de br H-sınıfını temsl eden br yumurta kutusu olarak düşünmüşlerdr. Da La Ra Ha Şekl 2.3. Br D-Green Denklk Sınıfı Örneğ Teorem 2.5.7: (Green Teorem) S br yarıgrup ve ab, S olmak üzere () Eğer ( ab, ) R se as = bve bt = a olacak şeklde st, S var olup ρ : L L, xa xs, s a b ρ : L L, y a yt t b a şeklnde tanımlanan ρ s ve ρ t dönüşümler brbrnn ters olan k bre-br ve örten dönüşümlerdr. Ayrıca R-sınıfındak H-sınıfına eşler. Benzer şeklde ρ s, L a dak her br H-sınıfını L b de bu H-sınıfının bulunduğu bu H-sınıfının bulunduğu R-sınıfındak H-sınıfına eşler. () Eğer ( ab, ) L se sa ρ t de L b dek her br H-sınıfını L a da = bve tb= a olacak şeklde st, S var olup λ : R R, xa sx, s a b λ : R R, y a ty t b a şeklnde tanımlanan dönüşümdür. Ayrıca λ s ve λ s, λ t dönüşümler brbrnn ters olan k bre-br ve örten R a dak her br H-sınıfını R b de bu H-sınıfının bulunduğu 26

34 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY L-sınıfındak H-sınıfına eşler. Benzer şeklde λ t de bu H-sınıfının bulunduğu L-sınıfındak H-sınıfına eşler. R b dek her br H-sınıfını R a da İspat: Howe (995), Lemma 2.2. ve Lemma ye bakınız. Sonuç 2.5.8: Ha, H b aynı D-sınıfında k H-sınıfı se Ha = Hb olur. İspat: Howe (995), Lemma e bakınız. Sonuç 2.5.9: S br yarıgrup olsun. Eğer H, S de br H-sınıfı se 2 H H altgrubudur. = veya 2 H = H olur. Ayrıca 2 H = H olduğunda H, S nn br İspat: Howe (995), Theorem e bakınız. Sonuç 2.5.: S br yarıgrup ve H, S de br H-sınıfı olsun. Eğer H br dempotent eleman çeryor se S nn br altgrubudur. Sonuç 2.5.: S de br H-sınıfı en fazla tane dempotent eleman çerr Regüler (Düzgün) Yarıgruplar S br yarıgrup olsun. Eğer br a S çn axa= a olacak şeklde br x S varsa a elemanına S nn br regüler elemanı denr. Eğer S nn her elemanı regüler se S ye br regüler yarıgrup denr. Örneğn; S br yarıgrup ve e S br dempotent eleman se e br regüler elemandır. Ayrıca, her grup br regüler yarıgruptur. L a ve Önerme 2.6.: S br yarıgrup ve a S olsun. Eğer a br regüler eleman se R a sınıflarının her elemanı regülerdr. 27

35 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY İspat: S br yarıgrup, a S br regüler eleman olsun. O halde axa= a olacak şeklde x S vardır. Herhang br b La sa = b ve tb= a olacak şeklde st, S mevcut olup yan (, ) ab L alalım. O zaman b( xt) b= bx( tb) = bxa = saxa = s( axa) = sa = b olduğundan b L regülerdr. a Benzer şeklde c Ra elemanının da regüler olduğu gösterleblr. Sonuç 2.6.2: S br yarıgrup ve a S olsun. Eğer a br regüler eleman se D a nın her elemanı da regülerdr. Sonuç den kolayca görülüyor k br D-Green denklk sınıfı D nn ya hç regüler elemanı yoktur ya da tüm elemanları regülerdr. D nn tüm elemanları regüler se D ye regüler D-sınıfı denr. Önerme 2.6.3: Regüler br D-sınıfında her L-sınıfı ve her R-sınıfı en az br tane dempotent eleman çerr. İspat: D br regüler D-sınıfı ve a D olsun. O halde axa = a olacak şeklde x S vardır. Bu durumda ( xa )( xa) = x( axa) = xa ( ax )( ax) = ( axa) x = ax olup xa ve ax brer dempotent elemandır. Ayrıca a ( xa) = a ve ( a) xa x = ; 28

36 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY ( ax ) a = a ve ( a ) x = ax olup bu eştlklerden sırasıyla xa L a ve ax R a yan xa La ve Ra ax olduğu görülür. Sonuç 2.6.4: Regüler br D-sınıfı en az br tane dempotent eleman çerr. halde e, Önerme 2.6.5: S br yarıgrup ve e S br dempotent eleman olsun. O R e nn br sol brm elemanı ve L e nn br sağ brm elemanıdır. İspat: e br dempotent eleman ve a Re olsun. O halde a = ex olacak şeklde x S mevcut olup 2 ( ex) = e x = ex a ea = e = olur. Benzer şeklde, b L çn be= b olduğu da gösterleblr. e Tanım 2.6.6: S br yarıgrup ve a S olmak üzere eğer axa= a ve xax= x olacak şeklde br x S varsa x elemanına a nın br ters denr ve a nın tüm terslernn kümes V( a ) le gösterlr. ( ) = { : =, = } V a x S axa a xax x Eğer e S br dempotent eleman se eee e = olup e V( e) dr. Önerme 2.6.7: S br yarıgrup olmak üzere a S nn br tersnn var olması çn gerek ve yeter koşul a S nn regüler olmasıdır. 29

37 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY İspat: a S nn br ters varsa aynı zamanda regüler olduğu tanımdan kolayca görülüyor. Tersne; a S regüler ken a nın br tersnn var olduğunu gösterelm. a S regüler ken axa= a olacak şeklde br x S var olup y = xax olarak alırsak aya = a( xax) a= ( axa) xa= axa= a, yay = ( xax) a( xax) = x( axa)( xax) = xa( xax) = x( axa) x = xax= y olduğundan ya, nın br ters olur. Teorem 2.6.8: S br yarıgrup, D br D-sınıfı ve a D olsun. se a D dr. Ayrıca Ra L a ve Ra La H-sınıfları () a V( a) sırasıyla aa ve aa dempotent elemanlarını çerr. () b D çn Ra Lb ve Rb La H-sınıfları sırasıyla e ve f dempotent elemanlarını çeryor olsunlar. O halde aa = e ve aa = f olacak şeklde a V( a) vardır. Ayrıca a Hb dr. () a nın brden fazla tersn çeren H-sınıfı yoktur. İspat: Howe (995), Theorem e bakınız. Önerme 2.6.9: S br regüler yarıgrup ve ab, S olsun. = olacak şeklde a V( a) ve b V( b) () a Lb aa bb () a Rb aa bb vardır. = olacak şeklde a V( a) ve b V( b) () a Hb aa = bb ve aa bb vardır. vardır. = olacak şeklde a V( a) ve b V( b) İspat: Howe (995), Proposton 2.4. e bakınız. 3

38 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY 2.7. Bast Yarıgruplar S, sıfır elemansız br yarıgrup ve S nn kends dışında başka deal yok se S ye br bast yarıgrup denr. S, sıfır elemanlı (ve sıfırın dışında en az br başka elemanı olan) br yarıgrup 2 olsun. Eğer S nn { } le kends dışında başka deal yok ve { } -bast yarıgrup denr. S se S ye br Önerme 2.7.: S, sıfır elemanlı br yarıgrup ken S nn -bast yarıgrup olması çn gerek ve yeter koşul a S { } çn SaS = S olması ve bunun çnde gerek ve yeter koşul ab, S { } çn sat = b olacak şeklde st, S elemanlarının var olmasıdır. İspat: Howe (995), Proposton 3.. e bakınız. Sonuç 2.7.2: S, sıfır elemansız br yarıgrup ken S nn br bast yarıgrup olması çn gerek ve yeter koşul a S çn SaS = S olması ve bunun çnde gerek ve yeter koşul ab, S çn sat = b olacak şeklde st, S elemanlarının var olmasıdır. Örnek 2.7.3: Her grup br bast yarıgruptur. Ayrıca, sol sıfır yarıgruplar, sağ sıfır yarıgruplar ve dkdörtgensel bandlar bast yarıgruptur Doğuray Kümeler S br yarıgrup ve X S olsun. S nn X kümesn çeren tüm altyarıgruplarının arakest de X kümesn çeren br altyarıgrup olup bu altyarıgruba S nn X tarafından doğurulan altyarıgrubu denr ve S < X > le gösterlr. 3

39 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY { :, } S< X >= I T X T T S Dkkat edlrse S < X >, X kümesn çeren en küçük altyarıgruptur ve X üzerndek tüm sonlu çarpımların kümesdr. { 2K : + ;, 2, K, } < X >= xx x n x x x X S n n Benzer şeklde X tarafından doğurulan altmonod ve X tarafından doğurulan altgrup da tanımlanablr. Bunlar da sırasıyla + { 2 : ;, 2,, } { } < X >= xx Kx n x x K x X ve M n n ε ε2 εn + { 2 K : ;, ε {, },2, K, } < X >= x x x n x X + = n G n olur. Tanımdan kolayca görülüyor k X { x : x X} = olarak tanımlanırsa G< X >= S< X X > olur. Eğer X kümesnn br yarıgrup, monod veya grup doğuray kümes olduğu çerkten anlaşılıyorsa X tarafından doğurulan altyarıgrup, altmonod veya altgrup kısaca X le gösterlr. S br yarıgrup, X S ve Y S olmak üzere X Y se X Y olduğu açıktır. Tanım 2.8.: S br yarıgrup olmak üzere eğer S = X olacak şeklde br X S kümes var se bu X kümesne S nn br yarıgrup doğuray kümes, X n her br elemanına S nn br doğurayı ve S ye de X tarafından doğurulan yarıgrup denr. 32

40 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY Eğer S =< X > olacak şeklde S nn sonlu br X altkümes varsa S ye sonlu doğuraylı yarıgrup denr. Özel olarak, sonlu br yarıgrup aynı zamanda kends çn br sonlu doğuray kümes olup sonlu doğuraylıdır. S br yarıgrup ve S =< X > olsun. Eğer X ={ x } şeklnde tek elemanlı br küme se S ye monojenk (tek doğuraylı) yarıgrup denr ve S yazılablr. Benzer tanımlar monod ve grup çn de yapılablr. = x şeklnde de Örnek 2.8.2: blnen toplama şlem le br yarıgrup ve aynı zamanda br gruptur. Eğer y br yarıgrup olarak düşünürsek = {, + } düşünürsek { } = + = olur. G ve br grup olarak S Tanım 2.8.3: S, sonlu doğuraylı br yarıgrup olmak üzere { X S = X X } mn : ve sonlu S tam sayısına S nn yarıgrup rankı denr ve rank ( ) monod rankı ve grup rankı da tanımlanablr. S S le gösterlr. Benzer şeklde Önerme 2.8.4: ST, brm elemanları sırasıyla S, T olan k monod ve X, Y sırasıyla S le T nn brer doğuray kümes olsun. O halde {( T) } ( S ) { } Z = x, : x X, y : y Y kümes S T monodnn br doğurayıdır. 33

41 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY t yy 2 yn İspat: ( st, ) S T olsun. O halde s S ve t T olup s = xx 2L xm ve = L olacak şeklde x X, {,2, K, m} ve y Y, j {,2,, n} Bu durumda j K vardır. ( st, ) = ( xx Lx, yy Ly ) = ( x, ) K( x, )(, y ) K (, y ) 2 m 2 n T m T S S n olup S T = Z olur. Sonuç 2.8.5: S ve T sonlu doğuraylı k monod se S T de sonlu doğuraylıdır. Örnek 2.8.6: İk-devrl (bcyclc) monod kümes tarafından doğurulur. { }, X = (, ),, ( ) İspat: m ve n { } çn ( m,) = (,) m ve ( ) ( ) ( mn, ) (,) çn ( mn, ) ( m,)(, n) (,) m (,) (,) = (,)(,) olduğundan = X olur., n =, n olup = = ve ayrıca n Örnek 2.8.7: İk-devrl monod monodnn br altmonodne zomorftur., üzerndek dönüşümler İspat: üzernde = n + nα ( n ) ve β =, = n nβ ( n ) şeklnde tanımlanan dönüşümler tarafından doğurulan B { α, β} = altyarıgrubunu alalım. Burada αβ = B olup B br altmonoddr. Şmd ϕ : B m n dönüşümünü ( m n) a β α olduğunu gösterelm., olarak tanımlayalım ve bu dönüşümün br zomorfzm 34

42 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY ( m, n), ( q) p, çn ( m, n) = ( q) m n p q β α = β α olduğundan ( m n) ϕ ( p, q)ϕ Ayrıca, r max{ n, p} = olmak üzere p, ken m= p ve n= q olup, = olur. Dolayısıyla ϕ y tanımlıdır. ve (( mn, )( pq, )) ϕ = ( m n+ rq, p+ r) = β α m n+ r q p+ r ( ) ( ) m q p+ n β α ; r = n n p se = m n+ p q β α ; r = p p> n se ϕ ( mn, ) ϕ( pq, ) ϕ = m n p q ( β α )( β α ) = m n p q β ( αβ ) α β α = β m n p+ q α m+ p n q ; n p se ; p > n se olup (( m, n)( p, q) )ϕ = ( mnϕ, ) (, ) ( mnϕ, ) =(, ) ( x) β α ( x) m n p q pqϕ olsun. O halde = β α olup, özel olarak ( ) β α ( ) m n p q pqϕ olur. O halde ϕ br homomorfzmdr. β α çn = β α, yan m n p q = β α ( β m ) α n = ( β p ) α q n q α = α n= q x çn olur ve bu sonuç kullanılarak, k max { mp, } > çn ( k) β α ( k) m n p q m n = p q ( k m) α n = ( k p) = β α ( kβ ) α ( kβ ) α k m+ n= k p+ q m= p elde edlr. O halde ( mnϕ, ) = ( pqϕ, ) ( mn, ) ( pq, ) αβ = olduğundan u B { αβ, } B = olup ϕ bre-brdr. Ayrıca = elemanı u α m n = β α ( mn, ) q 35

43 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY formundadır. Burada ( mn, ) olup ( mn, ) örtendr. ϕ m n = β α = u olduğundan ϕ Önerme 2.8.8: S sonlu doğuraylı br yarıgrup ve A, S nn herhang br doğuray kümes olsun. O halde S nn br doğuray kümes olacak şeklde sonlu br A A altkümes vardır. İspat: S sonlu doğuraylı br yarıgrup ve A, S nn herhang br doğuray kümes olsun. B { b b b } b B ( =,2, K, n) çn =, 2, K, n, S nn br sonlu doğuray kümes olmak üzere b = aa L a 2 r olacak şeklde a, a, K, a A ve 2 r n r vardır. A = { a, a,, K a 2 } U olarak = r tanımlanır se A nn br doğuray kümesdr. A, sonlu br kümedr ve S = B A A = S olup A, S 2.9. Yarıgrup ve Monod Takdmler A boş olmayan br küme olsun. Bu kümenn elemanlarını br alfabe sstemnn tüm harfler olarak düşünürsek +, n { } a,..., an A çn w a L an fadesne uzunluğu n olan br kelme denr ve w kelmesnn uzunluğu (boyu) lw ( ) veya w le gösterlr. Eğer lw ( ) sonlu br tamsayı se w kelmesne br sonlu 36

44 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY kelme denr. Özel olarak lw= ( ) se w kelmesne boş kelme denr ve ε veya le gösterlr. A boş olmayan br küme (alfabe) olmak üzere, A üzerndek tüm boş olmayan sonlu kelmelern kümes A + le ve A + {} ε = A + {} kümes de gösterlr. * A le { L n : ve, K, n } + + A = a a n a a A { L n K n } * A a a n a a A A ε A = : {} ve,, = {} = {} Tanım 2.9.: A br alfabe ve w A + olsun. + * () Eğer w uvu 2 ( v A ; u, u2 A ) denr. se v ye w nun br alt kelmes () Eğer w vu2 ( vu, 2 A + ) se v ye w nun br ön kelmes denr. () Eğer w uv ( u, v A+ ) se v ye w nun br son kelmes denr. Tanım 2.9.2: A + kümes, u a an, v b bm A + + L L ( nm, ) çn uv ( a La )( b Lb ) = a Lab L b n m n m şeklnde tanımlanan çarpma şlem le br yarıgrup olup bu yarıgruba A üzerndek serbest yarıgrup denr. Dkkat edlrse, * A kümes yukarıda tanımlanan şlemle brm elemanı olan br monoddr ve bu monode serbest monod denr. Tanım 2.9.3: F br yarıgrup, A F ve : A F, a A çn ( ) a = a olarak tanımlanan gömme dönüşümü olsun. Eğer her S yarıgrubu ve her φ : A S fonksyonu çn 37

45 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY A F φ ψ S dyagramı değşmel yan o ψ = ψ = φ olacak şeklde br tek ψ : F S homomorfzm varsa F, A üzernde br serbest yarıgruptur denr. Bu durumda ψ A = φ olur. A +, A üzernde br serbest yarıgruptur. Teorem 2.9.4: Br A kümes üzernde zomorfzme göre br tek serbest yarıgrup vardır. İspat: F ve F, A kümes üzernde k serbest yarıgrup olsun. O halde A F ψ F dyagramı değşmel olacak şeklde br tek ψ : F F homomorfzm ve benzer şeklde A F ψ F dyagramı değşmel olacak şeklde br tek ψ : F F homomorfzm vardır. Yan ψ = ve ψ A= dr. O halde a A A çn ( a) ψψ = a olup ψψ : F F, ψψ A = olacak şeklde br homomorfzmdr. Ayrıca F br serbest yarıgrup olduğundan 38

46 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY A F α F dyagramı da değşmel yan α A = olacak şeklde br tek α : F F homomorfzm var olup teklkten dolayı α = ψψ olur. F : F F brm homomorfzmn düşünelm. Dkkat edlrse F = olup F A = dr ve yne teklkten dolayı α = F = ψψ olur. Benzer şeklde ψψ = ' olup F F F olur. A üzerndek bu tek serbest yarıgrubu A + olarak alacağız. Tanım 2.9.5: S ve T k yarıgrup olsun. Eğer S kümesnden T kümesne br φ örten homomorfzm varsa T ye S nn br homomorfk görüntüsü denr. görüntüsüdür. Önerme 2.9.6: Her yarıgrup br serbest yarıgrubun homomorfk İspat: S br yarıgrup ve A S de S nn br doğuray kümes olsun. üzernde serbest olduğundan φ = olarak alındığında + A, A A A + ψ S dyagramı değşmel yan ψ = olacak şeklde br tek ψ : A + S homomorfzm vardır. S = A olduğundan s S çn s = a L an olacak şeklde a,..., an A, + n vardır ve aynı zamanda a + Lan A olup 39

47 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY ( a La ) ψ = ( a ) ψl( a ) ψ = ( a ) L( a ) = a L a = s n n n n olduğundan ψ örtendr. O halde S, A + nın br homomorfk görüntüsüdür. Buradak ψ : A + S epmorfzmne doğal homomorfzm denr ve genellkle π le gösterlr. + + Tanım 2.9.7: A br alfabe ve R A A olmak üzere AR klsne br yarıgrup takdm denr. # R, A + üzernde R tarafından doğurulmuş kongrüans olmak üzere AR tarafından takdm edlen yarıgrup A + R # bölüm yarıgrubu olarak tanımlanır. Eğer * * R A A se AR klsne br monod takdm denr. # R, * A üzernde R tarafından doğurulmuş kongrüans olmak üzere AR tarafından takdm edlen monod se * # A R olarak tanımlanır. Önerme 2.9.8: Her yarıgrubun br takdm vardır. İspat: S br yarıgrup ve A, S nn br doğuray kümes olsun. A +, A üzerndek serbest yarıgrup ve br gömme dönüşüm olmak üzere A S π π A = A + dyagramı değşmel olacak şeklde br tek π : A + S homomorfzm vardır ve bu homomorfzmn örten olduğu açıktır. O halde. zomorfzm teoremnden 4

48 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY A + kerπ S olur. kerπ br kongrüans olup R kerπ, kerπ nn br kongrüans doğurayı (böyle br doğuray mevcuttur, en azından R = kerπ alınablr) olmak üzere S AR olur. Tanım 2.9.9: S br yarıgrup olsun. + S A R # olacak şekldek br AR yarıgrup takdmne S nn br yarıgrup takdm denr. Bu durumda S nn elemanları A + üzerndek kongrüans sınıfları le bre-br eşlenmştr. Başka br fadeyle de A + dak her kelme S nn br elemanını temsl eder. S br monod ken nn br monod takdm denr. * # S A R olacak şekldek AR monod takdmne S Br monod aynı zamanda br yarıgrup olduğundan hem yarıgrup hem de monod takdmnden bahsedleblr. Bu durumda yarıgrup takdm S AR ve monod takdm M AR le gösterlr. Eğer A ve R sonlu kümeler se AR ye br sonlu takdm ve eğer br S yarıgrubunun/monodnn sonlu br takdm varsa S ye sonlu takdml yarıgrup/monod denr. Tanım 2.9.: AR br yarıgrup takdm olsun. Eğer ( rs, ) R se bu elemana tanımlayıcı lşk (bağıntı) denr ve genellkle ( r = s) R veya sadece r = s şeklnde yazılır. + Eğer A= { a K a } ve R= { r = s K r = s } mn, { },, m,, n n se AR yerne a, K, am r = s, K, rn = sn yazılablr. ( ) şeklnde w, w2 A + olmak üzere eğer w le w 2 tamamen aynı kelme se w w2 şeklnde ve eğer w le w 2 S = AR nn aynı elemanını temsl edyor yan 4

49 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY # ( w, w ) R 2 se w = w2 şeklne yazılır. Bu durumda w = w2, S de sağlanıyor denr. Örneğn; A= { ab, } ve R { ab ba} = = ken aba 2 = abfakat aba 2 ab. w Tanım 2.9.: AR br yarıgrup takdm ve w, w2 A + olsun. Eğer urv ve w2 usv olacak şeklde uv, * A ve (, rs) w 2, w den R dek br lşk kullanılarak elde edlmştr denr. Eğer w w2 veya her =,2, K, n çn α +, kullanılarak elde edlmş olmak üzere kelmelern sonlu br R (veya ( sr, ) R) var se α den R dek br lşk w α α L α w 2 n 2 dzs varsa w 2, w den R dek lşkler kullanılarak elde edlmştr veya sadece w = w R nn br sonucudur denr. 2 Önerme 2.9.2: P = AR br yarıgrup takdm ve S, P tarafından tanımlanan yarıgrup olsun. w, w2 A + olmak üzere w = w2 nn S de sağlanıyor olması çn gerek ve yeter koşul w = w2 nn R nn br sonucu olmasıdır. İspat: Howe(995), Proposton.5.9 a bakınız. Önerme 2.9.3: P = AR br yarıgrup takdm ve S, P tarafından tanımlanan yarıgrup olsun. Ayrıca T, br B kümes tarafından doğurulan yarıgrup olsun. Eğer f : A B örten br fonksyon var ve π : A + T, f nn tek genşlemes olarak tanımlanan doğal homomorfzm olmak üzere ( rs, ) S nn br homomorfk görüntüsüdür. R çn rπ = sπ se T, 42

50 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY İspat: Ruškuc (995), Proposton 2. e bakınız. Sonuç 2.9.4: S, AR takdm le tanımlanan yarıgrup ve T, A kümes tarafından doğurulan yarıgrup olmak üzere eğer R dek her lşk T de sağlanıyor se T, S nn br homomorfk görüntüsüdür. Sonuç 2.9.5: S = AR ve T = AQ olsun. Eğer R homomorfk görüntüsüdür. Q se T, S nn br Sonuç 2.9.6: S, AR takdm le tanımlanan yarıgrup ve T = A = A + serbest yarıgrup olsun. R olup S, T nn br homomorfk görüntüsüdür. Dolayısıyla her yarıgrup br serbest yarıgrubun homomorfk görüntüsüdür. Önerme 2.9.7: S, A kümes tarafından doğurulan br yarıgrup ve + + R A A olsun. O halde, AR klsnn S nn br yarıgrup takdm olablmes çn gerek ve yeter koşul () R dek tüm lşklern S de sağlanıyor yan ( rs, ) olması ve R çn S de r = s () uv, A + çn u = v S de sağlanıyor ken u = v lşksnn R nn br sonucu olmasıdır. İspat: Ruškuc (995), Proposton 2.3 e bakınız. Sonuç 2.9.8: S, X S kümes tarafından doğurulan br yarıgrup, A + + herhang br küme, f : A X br örten fonksyon ve R A A olsun. O halde AR klsnn S nn br yarıgrup takdm olması çn gerek ve yeter koşul π, f nn tek genşlemes olarak tanımlanan homomorfzm olmak üzere () (, rs) R çn () r π = () s π olması ve 43

51 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY () uv, A + çn ( u) π = () v π ken u = v lşksnn R nn br sonucu olmasıdır. Sonuç 2.9.9: S br yarıgrup, A herhang br küme ve f : A S br fonksyon olsun. O halde AR klsnn S nn br yarıgrup takdm olması çn gerek ve yeter koşul π, f nn tek genşlemes olarak tanımlanan homomorfzm olmak üzere () ( A) f nn S çn br doğuray kümes olması, () (, rs) R çn () r π = () s π olması ve () uv, A + çn ( u) π = () v π ken u = v lşksnn R nn br sonucu olmasıdır. Örnek 2.9.2: A boş olmayan br küme olmak üzere A + kümes üzernde boş kümey çeren en küçük kongrüans ( ) { ww, : w A + } tarafından tanımlanan yarıgrup A + serbest yarıgrubudur. olup A takdm {( 2, )} Örnek 2.9.2: 2 aa = a takdm { a } aşkâr yarıgrubunu tanımlar. Burada a a kümes tarafından doğurulan kongrüansın { } kongrüans olduğu açıktır. a + kümes üzerndek evrensel Örnek : aa + = a takdm n elemanlı (dereces n olan) devrl n k grubu tanımlar. Gerçekten de, a {} a + kelmesnn 2 n { aa,,, a } aa n n a + = a lşks kullanılarak K kümesnn br elemanına dönüştürülebldğ açıktır. O halde + = a takdm tarafından tanımlanan yarıgruba S dersek S en fazla n tane eleman çerr. Ayrıca mod n ye göre düşünüldüğünde aa 2 n,, K, a kelmelernn S nn farklı elemanlarını temsl ettkler de kolayca görülüyor. O halde 44

52 2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Leyla BUGAY 2 n {,,, } S = aa K a olup brm elemanı n a ve dereces n olan devrl gruptur. Daha da genel olarak aa n+ r r = a takdm dereces n r + olan monojenk (tek doğuraylı) yarıgrubu tanımlar. Örnek : T herhang br yarıgrup, A { a : t T} { x y xy :, } = br alfabe, R= aa = a xy T ve S, AR takdmnn tanımladığı yarıgrup olsun. φ : S T, ax x şeklnde tanımlanan dönüşüm br epmorfzmdr. Ayrıca w, w2 A + çn ( w ) φ ( w ) = φ olduğunu kabul edelm. w = ax ve w2 = ay S de 2 sağlanıyor olacak şeklde xy, T var olup ( ax) φ = ( ay) φ yan x= y olur. O halde t a x = a olup φ br zomorfzmdr. Ayrıca lşklern seçmnden dolayı R dek y lşkler T de sağlanıyor olup T de AR takdm le tanımlanır. Bu örnek bze her yarıgrubun br takdmnn var olduğunu ve özel olarak her sonlu yarıgrubun da sonlu br takdmnn var olduğunu gösterr. Önerme : M br monod olsun. Eğer AR, M nn br yarıgrup takdm se w A +, brm elemanı temsl eden br kelme olmak üzere ARw, = ε M nn br monod takdmdr. Dğer taraftan da eğer BQ, M nn br monod takdm se e B ve Q, Q dak lşklerde ε yerne e yazılması le elde edlen 2 lşkler kümes olmak üzere,,, ( ), yarıgrup takdmdr. BeQbe= beb= b b B e = e M nn br Sonuç : M br monod olsun. M nn sonlu monod takdml olması çn gerek ve yeter koşul sonlu yarıgrup takdml olmasıdır. 45