ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Sad İNCEOĞLU SONLU BASİT YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY) MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA006

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SONLU BASİT YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY) Sad İNCEOĞLU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu Tez././006 Tarhnde Aşağıda Jür Üyeler Tarafından Oybrlğ İle Kabul Edlmştr. İmza:.. İmza:... İmza:.. Prof. Dr. Blal VATANSEVER Yrd. Doç. Dr. Fret KUYUCU Yrd. Doç. Dr. Ersn KIRAL DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu Tez Ensttümüz Matemat Anablm Dalında Hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. Azz ERTUNÇ Ensttü Müdürü İmza ve Mühür Not: Bu tezde ullanılan özgün ve başa aynatan yapılan bldrşlern çzelge şel ve fotoğrafların ayna gösterlmeden ullanımı 5846 sayılı Fr ve Sanat Eserler Kanununda hüümlere tabdr.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ SONLU BASİT YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY) Sad İNCEOĞLU ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman: Prof. Dr. Blal VATANSEVER Yıl: 006 Sayfa:58 Jür: Prof. Dr. Blal VATANSEVER Yrd. Doç. Dr. Fret KUYUCU Yrd. Doç. Dr. Ersn KIRAL Br G grubu üzernde S [ G; I Λ; P] µ Rees matrs yarıgrup olsun. Bu tezde bast yarıgrupların etnlğ le yapılan çalışmalar tasnf edlecetr. S nn nc ( ) ( Λ ) homolojs ( S) H ( G) Z Ι H dr. S nn herhang br A R tadm çn A ranh ( S) olduğu y R blnyor. Bazı tadmler çn eştl sağlanırsa S nn effcent olduğunu söylerz. G nn br A R tadm verlsn. S çn br A R tadm buluruz öyle ( I )( Λ ) R A R A dr. Bunun da ötesnde eğer R özel formda br lş çerrse R A nın azaltılabldğ blnyor. G sonlu abelyan grup ya da dereces çft olan dhedral grup se yuarıda sonuç ullanılara S nn effcent olduğunu gösterleblr. Anahtar Kelmeler: Yarıgruplar Effcency Rees Matrs Yarıgrupları İnc Homoloj Grubu I

4 ABSTRACT MSc THESIS ON THE EFFİCİENCY OF FİNİTE SİMPLE SEMİGROUPS Sad İNCEOĞLU DEPARTMANT OF MATHEMATICS INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervsor: Prof. Dr. Blal VATANSEVER Year: 006 Pages: 58 Jury: Prof. Dr. Blal VATANSEVER Asss.Prof. Dr. Fret KUYUCU Asss.Prof.. Dr. Ersn KIRAL Let S be a fnte smple semgroup gven as a Rees matrx semgroup µ [ G ; I Λ; P] over a group G. In ths thess we revew progress on the effcency of smple semgroups. ( ) ( Λ ) Second homology of S s H ( S) H ( G) Z Ι. It s nown that for any fnte presentaton ( ) A R of S we have R A ranh S ; we say that S s effcent f equalty s attaned for some presentaton. Gven a presentaton A R for G there s a presentaton A R for S such that A R A ( I )( Λ ) R. Further f of a specal form t s shown that R contans a relaton R A can be reduced by one. Ths result has been used to prove that S s effcent whenever G s abelan or dhedral of even degree. Key Words: Semgroups Effcency Rees Matrx Semgroup Second Homology Group II

5 TEŞEKKÜR Bu tezn hazırlanmasında yardımını esrgemeyen danışmanım Sayın Prof. Dr. Blal VATANSEVER e destelernden dolayı Arş. Görevller Demet PARLAK ve Nazar Şahn ÖĞÜŞLÜ ve tüm Matemat Bölümü personelne eşm Derya İNCEOĞLU na ve aleme teşeürlerm sunarım. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ..I ABSTRACT...II TEŞEKKÜR III İÇİNDEKİLER... IV.GİRİŞ.... TEMEL TANIM VE TEOREMLER REES MATRİX SEMİ GRUPLAR İÇİN REWRİTİNG SİSTEM REES MATRİS YARIGRUPLARIN İKİNCİ HOMOLOJİSİ.38 5.REES MATRİS YARIGRUPLARI İÇİN BİR KÜÇÜK TAKDİM REES MATRİS YARIGRUPLARININ ETKİNLİĞİ BASİT OLMAYAN YARIGRUPLARIN ETKİNLİĞİ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ 58 IV

7 .GİRİŞ Sad İNCEOĞLU.GİRİŞ Bu tezn amacı sonlu bast yarı grupların effcency sn araştırmatır. G br grup ve I ve Λ boş olmayan ümeler olsun. P ( ) grubundan alınan br matrs olma üzere I G Λ {( a ) de Λ I tpnde bleşenler G P I a G Λ} ümesn alalım. Bu üme üzernde ( a ).( j b µ ) ( ap b µ ) tanımlanmış olsun. l şlem I G Λ ümes yuarıda l şlemlerle brlte br grup oluşturur. Bu yarıgruba Rees matrs yarıgrubu denr ve notasyon olara ta [ G ; I Λ; P] µ le gösterlr. Br sonlu S yarıgrubunun bast olması çn gere ve yeter oşul br [ G ; I Λ; P] G µ Rees matrs yarıgrubuna zomorf olmasıdır. G grubunun brm elemanı olsun. Λ ve Ι olma üzere eğer p p G oluyorsa o tadrde Ρ matrsne normal matrs denr. Burada Ρ normal matrs olara alınablr. A br alfabe olsun ve A da A üzernde tanımlanan br serbest yarıgrubu j temsl etsn. Br tadm A R şelnde br sıralı ldr öyle R A A dır. Br S yarıgrubu çn S A ρ se (ρ burada R tarafından tanımlanan ongruans) S yarıgrubu A R tadm tarafından tanımlanır denr. Eğer A ve R sonlu ümeler se A R ye sonlu tadm denr ve S ye sonlu tadm edlmş denr. Br sonlu P A R tadmnn defcencys R A olara tanımlanır ve def ( P) le gösterlr. Sonlu tadm edlmş br S yarıgrubunun defcencys def ( S) mn{ def ( P) P S çn sonlu tadm } şelnde tanımlanır. S br yarıgrup olsun. S yarıgrubuna br brm eleman elenmesyle elde edlen S ümesne br monod denr. Br sonlu S yarıgrubu çn de ( S) 0 def olduğu y blnyor. Son zamanlarda S. J. Prde tarafından gösterld sonlu yarıgrubun

8 .GİRİŞ Sad İNCEOĞLU defcencys çn daha güzel br alt sınır vardır. Bu alt sınırda ( S) ran( H ( S) ) şelndedr. Burada H ( S) S nn nc ntegral homolojsdr. S sonlu br yarıgrup olsun. S nn ( P) ranh ( S) def def olaca şelde br P A R tadm varsa S ye etndr denr. As halde etn olmaz denr. (Ayı H.000) de etn ve etn olmayan yarıgruplara örneler verlmştr. Ayrıca sonlu rectangular bantların etn olduğuda gösterlmştr. Rectangular bandların bast olduğu açıtır. Bu tezde öncelle br genel sonlu bast S [ G : I Λ : P] grubun nc ntegral homolojsn hesaplayacağız. µ yarı Eğer G etn se P tarafından tanımlanan S yarıgrubu çn ( P) ran( H ( S) ) def eştlğ sağlanaca şelde br P tadm bulablrz. Bu tadm modfe edere bu tadmn def n br azaltablrz. G nn sonlu abelyan ya da D n (n çft) dhedral grup olması durumunda S nn etn olduğunu göstereceğz. Herhang br sonlu grup çn bunun yapılıp yapılmayacağı blnmyor. Hatta ( P) ran( H ( S) ) blnmyor. def olaca şelde br sonlu G grubun varlığı ble Son olara aşar olmayan nc homolojye sahp bast olmayan etn yarı grupların varlığını göstereceğz.

9 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU. TEMEL TANIM VE TEOREMLER.. Yarıgrup Tanımları Bu bölümde lerde ullanacağımız yarıgrup teorde öneml tanım ve teoremler vereceğz. Tanım... (.) S ls br grupod olsun. Eğer x y z S çn ( yz) ( xy)z x (Bleşe özellğ) se ( S.) lsne br yarıgrup denr. Tanım... S br yarıgrup olsun. monod denr. s S çn s s s olaca şelde S mevcut se S ye Tanım..3. S br monod olsun. grup denr. s S çn s s s s olaca şelde s S var se S ye br Tanım..4. Eğer br S yarıgrubunun brm elemanı yosa S ye S de olmayan ve le göstereceğmz br brm eleman eleneblr. O halde her s S çn. olara tanımlanırsa S { } brm eleman le br yarıgrup olur. s s s ve S S S {} S yosa olara tanımlanır. yarıgrup denr. S e eğer gerel se S ye br brm eleman elenere elde edlen 3

10 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU Tanım..5. Eğer br S yarıgrubunun sıfır elemanı yosa S ye S de olmayan ve 0 le göstereceğmz br sıfır eleman eleneblr. O halde her s S çn 0 ss0 0 ve olara tanımlanırsa S { 0} sıfır eleman 0 le br yarı grup olur. S 0 S S olara tanımlanır. yarıgrup denr. {} 0 0 S yosa 0 S a eğer gerel se S ye br sıfır eleman elenere elde edlen Tanım..6. S ve T yarıgrup ve Φ S den T ye br dönüşüm olsun. () Her x y S çn ( xy) Φ( x) Φ( y) () T nn ( S) { Φ( s) s S} Φ se Φ ye homomorfzma denr. Φ : alt ümesne Φ nn görüntü ümes denr. Ayrıca Φ ( S) nn T nn alt yarıgrubu olduğu aşardır. Tanım..7. S ve T yarıgrup ve Φ S den T ye br homomorfzma olsun. zomorfzma denr. () Eğer Φ brebr se Φ ye br monomorfzma () Eğer Φ örten se Φ ye br epmorfzma () Eğer Φ hem monomorfzma hem de epmorfzma se Φ ye br (v) Eğer Φ S den S ye br homomorfzma se Φ ye br endomorfzma (v) Eğer Φ S den S ye br zomorfzma se Φ ye br otomorfzma (v) S T şelnde yazılır. Φ S den T ye br zomorfzma se S T ye zomorftr denr ve 4

11 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU Tanım..8. S ve T yarıgrup olsun. s s S ve t t T olma üzere S T artezyen çarpımı ( s t)( s t ) ( ss tt ) şelnde tanımlı çarpma şlem le br yarıgruptur. Bu yarıgruba S ve T nn dre çarpımı da denr... Bağıntılar ve Denller Tanım... Eğer X Ø br üme se X X n br ρ alt ümesne X üzernde br bağıntı denr. X üzernde tüm bağıntıların ümesn B ( X) le gösterelm. Ø X X ve X {( ): } I xx x X ümelern X üzernde bağıntılara örne olara vereblrz. Tanım... ( X) ρ σ B olma üzere ρo σ ümes {( x y) X X : z X ( x z) ρ ( z ) σ} ρo σ y olara tanımlanır. Her ρ σ τ B( X) çn ρ σ se ρoτ σ oτ veτ oρ τ oσ olduğu açıtır. Ayrıca B( X ) o şlem le br yarıgruptur. Tanım..3. ρ X üzernde herhang br bağıntı olsun. Eğer I X ρ se ρ ya yansımalı ρ ρ se ρ ya smetr ρo ρ ρ se ρ ya geçşmel denr. ρ yansıma smetr geçşme özelllerne sahp se ρ ya X üzernde br denl bağıntısı denr. Dat edlece olursa ρ br denl bağıntısı se o zaman 5

12 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU dom ran ( ρ ) dom( x) X ( ρ ) ran( x) X olup ( ρ ) ran( ρ ) X dom Eğer ρ X üzernde br denl bağıntısı se o zaman ( y) ρ xρyveya y( mod ρ) x yazacağız. [ x] x yerne bazen ρ ümesne ρ -sınıfı veya denl sınıfı dyeceğz. X ρ notasyonu le tüm denl sınıflarının ümesn göstereceğz. Tanım..4. ρ : X X ρ dönüşümü her dönüşüme doğal dönüşüm denr. x X çn ρ ( x) ρ[ x] olara tanımlanır ve bu Tanım..5. Eğer Φ: X Y br fonsyon se Φ oφ er Φ le gösterlr. ümesne Φ nn çerdeğ denr ve Dat edlece olursa ρ br denl bağıntısı se er ρ ρ dur. Eğer { ρ : Ι} X üzernde denl bağıntılarının boş olmayan br ales se { ρ : Ι} I de X üzernde br denl bağıntısıdır. R X üzernde herhang br denl bağıntısı se R y çeren denl bağıntılarının br ales boş değldr en azından X X denl bağıntısı vardır. Böylece X üzernde R y çeren tüm denl bağıntılarının esşm de br denl bağıntısıdır. Bu denl bağıntısı X üzernde R y çeren en üçü denl bağıntısıdır. R X üzernde br denl bağıntısı olsun. X üzernde R y çeren tüm denl bağıntılarının esşmn e R le göstereceğz. R e I { ρ X X : ρ br denl bağıntısı ve R ρ} 6

13 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU ümesne R nn denl apanışı denr. Önerme... e R X üzernde br denl bağıntısı olsun. ( x y) R olması çn gere ve yeter oşul ya ( z z ) R x y veya N olma üzere sonlu br n her {... n } çn ya ( z z ) R ya da x z z... z n y dzsnn olmasıdır. İspat: S R R x ve W da x y veya N n her {... n } çn ya ( z z ) R ya da ( z z ) R olma üzere sonlu br x z z... z n y dzs mevcut olaca şelde tüm ( x y) X X açıça n her {... n } çn ( z z ) S llernn ümes olsun. W olma üzere x z z... z n y dzs mevcut olaca şelde tüm ( x y) X X S W dur. n ve ( ) vardır. O halde ( x y) W gösterme çn ( x y) W n e bze ( ) llernn ümesdr. Özel olara x y S n olsun. O zaman yuarıda belrtldğ üzere br dz dur. Böylece R e W olduğu gösterlmş olur. Tersn alalım. O halde yne yuarıda gb br dz vardır. Bu x y S R olduğunu gösterr. Böylece e W R dr. 7

14 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU.3. KONGRÜANSLAR Kongrüanslar yarıgrup teorde en öneml avramlardan brdr. Bu avram grup teorde bölüm gruplarında yer alan normal alt grup avramının eslğn gderr. Tanım.3.. S br yarıgrup R de S de br bağıntı yan ( R S S) çn olsun. Eğer her x y a S ( x y) R ( ax ay) R se R ye sol uyumlu ( x y) R ( xa ya) R se R ye sağ uyumlu denr. Her a b S çn ( x y) R ( axb ayb) R se R ye uyumlu denr. Sol uyumlu br denl bağıntısına sol ongrüans sağ uyumlu br denl bağıntısına sağ ongrüans uyumlu br denl bağıntısına da ongrüans denr. Teorem.3.. ρ br S yarıgrubu üzernde br ongrüans olsun. () Eğer ( x ) ρ ve ( y) ρ se o zaman ( xy ) ρ x ~ y ~ xy ~ ~ dur. () a b S çn S ρ üzernde çarpmayı [ a] ρ[ b] ρ[ ab] ρ 8

15 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU olara tanımlayalım. homomorfzmadır. S ρ bu şlem le br yarıgrup ve ρ : S S ρ br İspat: () ( x ) ρ ve ( y) ρ olsun. ρ br denl bağıntısı olduğundan ( y y) ρ x ~ y ~ xy ~ ~ ~ x ~ ~ olur. ρ dur. ρ uyumlu olduğundan ( xy ) ρ dur. Benzer şelde ( y xy) ρ xy ~ ~ dur. geçşme özellğne sahp olup ( xy ) ρ () ( [ a] ρ[ b] ) ρ[ c] ρ[ a] ( ρ[ b] ρ[ c] ) [ a] ρ[ a] ρ ρ olup S ρ bu şlem le br yarıgruptur. Ayrıca olara tanımlarsa [ a] ρ [ b] ρ[ a] ρ[ b] ρ[ ab] ρ [ ab] ρ olup ρ : S S ρ br homomorfzmadır..4. Tadmler Bu bölümde öncelle yarıgrup çn doğuray ve serbest yarıgrup avramları verlece. Daha sonra ısaca grup monod ve yarıgrup tadmlernn ne fade ettğ ve aralarında lşlerden bahsedlecetr..4.. Doğuraylar Tanım

16 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU S br yarıgrup A da S nn br alt ümes olsun. A yı çeren S nn en üçü yarıgrubuna A nın doğurduğu yarıgrup denr. A ya da bu yarıgrubun doğuray ümes denr. Bu alt yarıgrubu A le göstereceğz. Lemma.4... S br yarıgrup A da S nn boş olmayan br alt ümes olsun. O zaman { U U A I : A yı çeren S nn alt yarıgrubu} dr. İspat: U I{ U U A yı çeren S nn alt yarıgrubu} olsun. U A yı çeren br alt : yarıgrup olup A U dur. Ayrıca A A yı çeren br alt yarıgrup olduğundan A { U U A yı çeren S nn altyarıgrubu} : dır. O halde U I{ U U A yı çeren S nn alt yarıgrubu} A : olup A U dr. Teorem.4.. S br yarıgrup ve Ø A S olsun. O zaman dr. A { a a a : a A n N}... n Eğer S A olaca şelde S nn sonlu br A alt ümes var se S ye sonlu doğuraylı yarıgrup denr. 0

17 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU ( S) mn { A : A S A S} r olara tanımlanan r ( S) doğal sayısına S nn ranı denr. Tanım.4... S br yarıgrup olsun. S nn te elemanlı br A { a} doğurayı varsa S ye monogenc yarıgrup denr. S a yazılır. S a monogenc br yarıgrup olsun. Eğer her j N çn j a a se S sonsuz olup S ye serbest monogenc yarıgrup denr. Serbest monogenc yarıgrup ( N ) yarıgrubuna zomorftr..4.. Serbest Yarıgruplar Tanım.4... A Ø br üme (alfabe) olsun. ε boş elmey gösterme üzere A da tüm elmelern ümesn ümesn l şlem A boş elmeden farlı tüm sonlu a... A le göstereceğz. Dat edlece olursa A A { ε} a an elmelernn dr. A da ( a a... an )( bb... bm ) aa... anbb... bm olara tanımlayalım. Böylece yuarıda tanımlanan bu l şlem le yarıgruptur. A ya A üzernde br serbest yarıgrup denr. A br Teorem.4... S br yarıgrup A br alfabe ve f A S br dönüşüm olsun. O zaman Φ f olaca şelde br te Φ : A S homomorfzm vardır. A

18 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU İspat: Φ : A S dönüşümü ω a a... an A çn Φ ( a a a ) f( a ) f ( a )... f( )... n a n tanımlayalım. Φ homomorfzma ve Φ f dr. Ψ : A S Ψ f olaca A A şelde başa br homomorfzma olsun. O zaman her ω a a... an A çn ( a a a ) Ψ( a ) Ψ( a ) Ψ( ) Ψ n a n ( a ) f( a ) f ( ) f... Φ ( a a... ) a n a n olup Ψ Φ dr. O halde Φ tetr. S br yarıgrup ve a da S yarıgrubunun doğurayı se Ψ( a ) a Ψ : A S homomorfzması vardır. olaca şelde br Sonuç.4... Her yarıgrup br serbest yarıgrubun homomorf görüntüsüdür Yarıgrup Tadmler Yarıgrup tadmnde tp problem vardır. Brncs verlen yarıgrubun br tadmn bulma ncs verlen br tadm tarafından temsl edlen yarıgrubu bulmatır. Bu bölümde bu temel problem çözme çn uygulanan yöntemler vereceğz. Tanım.4.3..

19 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU R S üzernde br bağıntı olsun. R y çeren S üzernde en üçü ongruansa R nn doğurduğu ongruans denr ve s R le gösterlr. Tanım A br alfabe ve R A A olma üzere br yarıgrup tadm R A lsdr. A R tarafından tanımlanan yarıgrup ( ρ R y çeren A üzernde en üçü ongrüans olma üzere) A ρ yarıgrubudur. Teorem S br A doğuray ümes le br yarıgrup ve ( z) R ω çn ω z lşsn sağlıyor se her A R A A olsun. Eğer S her a çn ( a ) a σ le br te σ homomorfzması olma üzere aşağıda dagram değşmel olaca şelde br te Ψ : A R S homomorfzması vardır. İspat: S ( R ) α olsun. S R de lşler sağladığından her ( ω z) R çn ( ω) σ ( z) S σ dr. Böylece R er σ dır. er σ br ongrüans olup R er σ dır. Tanım A R br tadm ve ω ω A olsun. A { } A β ε ( u v) R α veya ( v u) R çn ω αu β ω αvβ se ω R de br lş br ez uygulanara ω den elde edlmştr denr. ω ω veya α ullanılara elde edlmş olma üzere elmelern sonlu br R de br lş br ez ω ω α α... α n 3

20 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU dzs varsa ω ω den elde edlmştr denr. Hatta çoğu zaman ω ω A R nn br sonucudur dyeceğz. Teorem A R br tadm ρ da R y çeren en üçü ongrüans S A ρ ve ω ω A olsun. O zaman ω / ρ ω / ρ nn R nn br sonucu olmasıdır. olması çn gere ve yeter oşul ω ω İspat: {( α β ) A A : α β A R σ nn br sonucudur } olara tanımlayalım. ( ω ω ) σ ve ω ω se o zaman α R de br lş br ez ullanılara elde edlmş olma üzere elmelern sonlu br ω ω α α... αn dzs vardır. Eğer α γuδ ve α γvδ se ( γ / ρ )( u / ρ)( δ / ρ ) ( γ / ρ)( v / ρ )( δ / ρ) α ρ α ρ / / dr. Böylece ω / ρ ω / ρ ve σ ρ dur. R σ olduğu σ nun tanımından açıtır. Ayrıca σ ongrüans olup ρ σ dur. O halde ρ σ dır. Aslında ω ω nn anlamı ω ve ω elme olara özdeştr ω ω nn anlamı ω / ρ ω / ρ dr. Önerme

21 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU A R br tadm S bu tadm tarafından tanımlanan yarıgrup ve ω ω A olsun. O zaman S de ω ω olması çn gere ve yeter oşul ω nn R de lşler ullanılara ω den elde edlyor olmasıdır. Önerme S br A ümes tarafından doğurulan br yarıgrup ve R A A olsun. A R nn S çn br tadm olablmes çn gere ve yeter oşul aşağıda oşulların sağlanmasıdır. () () elme se o zaman S R de tüm lşler sağlar ve u v lşs S de sağlanıyor olaca şelde u v R nn br sonucudur. u v A herhang İspat: A R S çn br tadm olsun. O zaman S R de tüm lşler sağlar. () nn sağlandığı açıtır. Tersn gösterme çn () ve () nn sağlandığını abul edelm. Φ : A S dönüşümü I : A A brm dönüşümünün genşlemes olan br epmorfzm ve η de R y çeren A üzernde en üçü ongrüans olsun. S R de tüm lşler sağladığından R er Φ dr. Böylece η er Φ dr. Dğer yandan eğer ( v) er Φ u se o zaman S u v lşsn sağlar. O halde u v R nn br sonucudur. Yuarıda önermeden ( v) η u dür. Böylece η er Φ dr. O halde S A / er Φ A / η yarıgrubu A R tarafından tanımlanan yarıgruptur. Tanım A üzernde boş ümey çeren en üçü ongrüans ( ω) Böylece R se AR tadm le tanımlanan yarıgrup { ω : ω A } ümesdr. A serbest yarıgrubudur. 5

22 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU Teorem A R br tadm ve S de bu tadm tarafından tanımlanan yarıgrup olsun. Br B ümes tarafından doğurulan herhang br T yarıgrubu ve f : A B örten br dönüşüm çn f nn te homomorf genşlemes olaca şelde Φ : A T tanımlansın. Her ( u v) R çn eğer ( u) Φ( v) çn Ψ( s ρ ) Φ( s) / br epmorfzmadır. Φ se o zaman Ψ : S T s S İspat: Ψ nın y tanımlı olduğunu gösterme yeterl olacatır. s ρ / ρ le / s s s A elemanlarını alalım. ( u v ) R α βvδ olaca şelde veya ( v u ) R le β uδ α ve s α α... α s n br dz vardır. O zaman Φ ( α ) Φ( β ) Φ( ) Φ( ) u δ ( α ) Φ( β ) Φ( ) Φ( ) Φ v δ dr. Faat hpotezden dolayı T de Φ( α ) Φ( ) olup böylece Φ( ) Φ( α ) Bunu her çn yaparsa Φ( s ) Φ( ) s v dr. α dr. Tanım A R br tadm ve S de bu tadm tarafından tanımlanan yarıgrup olsun. Bu tadmde A ve R sonlu se S ye sonlu tadmldr denr. 6

23 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU Sonlu br yarıgrup tadm P A R çn defcency R A olara tanımlanır ve def ( P) le gösterlr. Sonlu tadml br S yarıgrubu çn yarıgrup defcency s def S ( S) le gösterlr ve def S ( S) mn{ def ( P) : P S çn br sonlu yarıgrup tadm } olara tanımlanır. Br sonlu S yarıgrubunun defcencys veya br sonlu G grubunun defcency s çn br alt sınır nc ntegral homoloj grubunun ranı ullanılara sırasıyla aşağıda şelde verleblr. ( S) ran( H ( T )) ve ( G) ran( H ( G) ) def S def G Eğer yuarıda eştszllerde defcencyler bu alt sınıra eşt olursa sonlu yarıgruba ve gruba etndr denr as halde etn değldr denr. Böylece l baışta sonlu gruplar çn grup etnlğ ve yarıgrup etnlğ olma üzere ayrı avram vardır. Aslında yarıgrup etnlğ ve grup etnlğnn bazı durumlarda şaşırtıcı br şelde çaıştıları görülmetedr. Benzer şelde monod etnlğ de tanımlanablr Monod Tadm Tanım A ε ε ve her ω A çn ωε εω ω çarpması le { ε} A olara tanımlanır. A br alfabe R de A A nn br alt ümes olma üzere br monod tadm A R lsdr. A R tarafından tanımlanan monod R R de boş elme yerne e yazılmış olma üzere A e R e e ae a ea a ( a A) 7

24 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU tarafından tanımlanan yarıgruptur. Dat edlece olursa her yarıgrup tadm aynı zamanda br monod tadmdr. Eğer S A R tarafından tanımlanan yarıgrup ve M de aynı tadm tarafından tanımlanan monod se M bastçe yen br brm elenmş S dr. Eğer S brm elemana sahp se bu eleman yen elenen brm eleman üzernde brm gb davranamayacatır. Böylece M S dr. Tanım.4.4. Sonlu br yarıgrup (monod ya da grup)tadm Ρ A R nn defcencys R A dır ve def ( P) le gösterlr. Sonlu tadm edlmş br S yarıgrubunun defcencysönce sayfada tanımlanmıştı. Sonlu tadm edlmş br M monod çn monod defcencys de def M ( M ) mn{ def ( P) P M çn sonlu br tadm } şelndedr. Sonlu tadm edlmş br G grubunun defcencys se def G ( G) mn{ def ( P) P G çn sonlu br tadm } şelnde verlr. Bu durumda br G grubu çn 3 tane defcency vardır. def ( G) def ( G) def ( G). Benzer şelde br M monod çn tane defcency S M den bahsedeblrz; def ( M ) def ( M ) G S M. Teorem Eğer S sonlu tadme sahp sonlu br yarıgrup se bu durumda ( ) 0 S def S 8

25 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU dır. Faat bunun ters doğru değldr. Yan ( S) 0 def S se sonlu tadml S yarıgrubu sonlu olma zorunda değldr. Sonlu da sonsuz da olablr Grup Tadm Tanım A br alfabe A { a : a A} ( A ) ( A A ) A le brebr eşlenen br alfabe ve R A n br alt ümes olma üzere br grup tadm A R lsdr. A R tarafından tanımlanan grup A A R aa a a ε ( a A) tarafından tanımlanan br monoddr. R de lşler sağlayan ve A tarafından doğurulan her grup A R tarafından tanımlanan grubun br homomorf görüntüsüdür. A tarafından tanımlanan gruba A üzernde serbest grup denr. A üzernde serbest grubu F le gösterelm. {( aa ε )( a a ε ): a A} η ümesn çeren en üçü ongrüans olsun. O zaman F le ( A A )/ η zomorftrler. Tanım Sonlu A R grup tadm sonlu br G grubunu tanımlıyorsa R A ran ( H ( G) ) olduğu blnmetedr. Eğer sonlu br G grubu R A ran ( H ( G) ) 9

26 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU olaca şelde br grup tadmne sahp se G grubuna etndr denr. tadmne de etn grup tadm denr. A R Yaın zamanda Steve Prde tarafından M sonlu monodnn sonlu A R monod tadm çn R A ran ( H ( M )) olduğu gösterld. Teorem Br A R grup tadm tarafından tanımlanan grup G F de A üzernde serbest { } grup N ( u )( u ) / η / η : ( u v) R nn normal apanışı ( a a... a ) a a a olma üzere F / N ye zomorftr. n n n... İspat: Φ : ( A A ) G ve Ψ ( A A ) F : doğal homorfzmalarını göz önünde bulunduralım. Dat edlece olursa bu homomorfzmalar epmorfzmdr ve er Φ er Ψ dr. O zaman Φ ξψ olaca şelde br ξ : F G homomorfzm vardır. { x F : ( x) } N er ξ ξ olsun. Böylece F N G G / dr. ( ) N N herhang br elemanı olsun. O zaman ξ Ψ( ω) G olup ( ) G sağlanır ve R { aa a a a A} α βuδ α βvδ Ψ ω nn Φ ω dr. ω ε G de ε nn br sonucudur. Böylece ve ( u v ) R { aa a a a A} ε olma üzere ω α α... α n ε 0

27 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU dr. O zaman her Bunların hepsn çarparsa çn Ψ( α ) Ψ( β ) Ψ( u ) Ψ( v ) ( ) ( ( β )) α dr. Ψ Ψ ( ω ) Ψ( β ) Ψ( u )( Ψ( v )) ( Ψ( β )) Ψ( β )( u / η )( v / η ) ( Ψ( β )) fades elde edlr. O halde ( ) ( )( ) Ψ ω u / η v / η nn onjugelernn br çarpımı olara yazılablr. Böylece N { ( u )( v ) / / η : ( u v) R } η nn normal apanışıdır. Dat edlece olursa A ( A A ) ( A A ) tadm aynı zamanda br grup tadmdr. A olduğundan her yarıgrup Teorem P A R br yarıgrup tadm ve şelde e A olsun. () Eğer her a A çn ea a (sol brm) ve u a a e (sol ters) olaca u a A var se veya () Eğer her a A çn ae a (sağ brm) ve au a e (sağ ters) olaca şelde u a A var se Bu durumda P br grup tanımlar. İspat: () Öncelle ea a ve u a a e olduğunu abul edelm ve ae a ve au a e olduğunu gösterelm. Kabul edelm u a aa... am öyle a A olsun. ( au a ) a( u a a) u a aea a... am

28 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU dr. Böylelle ( aua ) aua aa a... am au a elde edlr. a A olduğundan öyle u A (... m) vardır u a e( m) dr.... ( u m... u ) uaaaa... am um... ueaa... am u... u a a... m a m u... u ea... m a m u... u a... m a m... u a m m e dr. Yuarıda elde edlen sonuçlardan aua eaua e ( um... u ) uaauaaua ( u u ) u ( au ) m... a a ( um... u ) uaaua ve ae a ( u a) ( au ) a ea a a a elde edlr. ω A ve ω a a... an a A olsun.

29 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU ( a e) a a a ω ω e a a... n... n Benzer şelde e ω ω dır. a A se ua A öyle u a e a dr. (Doğuraylar çn gösterld.) ω ua n... u a dr. elde edlr. ( ua a) a an ω ω ua n... u... a 3 e u n... a a... ua ea n ( ua a ) a an ua n... u 3... a3 3 e u n... a... a... ua ea 3 3 ua n a n e Benzer şelde ωω e elde edleblr. () nn spatıda benzer şelde yapılablr. n Teorem P A R br yarıgrup tadm olsun. S P tarafından tanımlanan yarıgrup ve G P tarafından tanımlanan grup olsun. P y grup tadm olara düşündüğümüzde () Eğer S sonlu se bu durumda G S nn homomorf görüntüsüdür. () Eğer S br grup se bu durumda G S ye zomorftur. İspat: ()Kolayca gösterleblr. 3

30 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU () S de her lş G de de br lş olup Φ : S G homomorfzmn her a S y a G ye götürece şelde tanımlayablrz. S br grup olup Φ aslında br epmorfzmdr. Bu tadmde S çnde herhang br lş G çn de br lşdr. Ayrıca bunun ters de doğru olup Φ brebr ve örtendr. Teorem P G A R G grubu çn sonlu br grup tadm olsun. P M A A R aa a monod tadmn düşünelm. A { a a A } bağıntısında nın br opyası ve R R nn her a (eğer varsa) yerne a a oyulara elde edlmş olsun. O halde G y monod olara tanımlar. Bu durumda G nn grup olara etn olması çn gere ve yeter oşul G nn monod olara etn olmasıdır. P M İspat: ( aa a) ( aa a) a a a a a a aa olduğundan a a aaa aa a a aa a a olup a nn a nün ters ve durumda Teorem.4.5. den olduğu açıtır. ( Teorem () ) a a nün a nın ters olduğu sonucunu çıarırız. Bu P M br grup tanımlar. Bu grubun G grubuna zomorf G monod olara düşünüldüğünde etn se monod tadmn grup tadm olara düşünere grup olara da etn olduğu söyleneblr. ( P ) def ( ) def olduğundan G P M 4

31 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU eğer G grubu grup olara düşünüldüğünde etn se monod olara düşünüldüğünde de etndr. Şmd etn grupların monod olara etnlğ le lgl başa br spat verelm. Bu spat sadece sonlu gruplar çndr faat önce teoremde monod tadmnde şmd verlece olan monod tadmnden braç geren fazla ullanılmıştır. Teorem δ G A R sonlu G grubu çn sonlu br tadm olsun. Bu durumda G δ G nn defcency s le aynı olan A gerenl br monod tadmne sahptr. Bununla brlte G defcency s R olan A gerenl br yarıgrup tadmne sahptr. İspat: { a a } δ üzernde sonlu br tadm olsun. G sonlu olduğu G A R A... a n çn R n dr. (G sonlu olduğundan def ( δ ) 0 dır.) ve n tane bağıntının G u a... a ( n) ( a... ) formunda olduğunu varsayablrz. r s rs rs ( a... a ) a δ M A b R a... a b n monod tadmn düşünelm. ( a ba a ) R R nn her br bağıntısında eğer varsa a le a... n... n yerdeğştrmesyle elde edlmş olsun. Şmd her gerenn br sol tersnn olduğunu gösterelm. ( a... anba... a ) a ( ua... a )( a... anba... a a ) u ( a... anb) a... a u a... a 5

32 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU ve a... an b olduğundan her gerenn sol ters mevcuttur. Bu durumda Teorem.4.5. den δ M br grup tanımlar. Bu grubun G grubu olduğu açıtır ve spat teoremn l ısmını tamamlar. m a n dereces ve R R de görünen her bağıntıda le m a nn yer değştrmesyle elde edlmş olan δ S m m m A b R a... a b a a a a a b b n ( n) yarıgrup tadmn düşünelm. m a nn δ S tarafından tanımlanan S yarıgrubu çn br m sol brm olduğu açıtır. Şmd a a a ve m ua a a... olduğundan m ( a a ba... a ) a ( a a... a ba... a )... n n ( ua... a ) a... anba... a u ( a... anb) a... a m ( a a ) a a u... u a... m a a ve m a anb a... bağıntısından her gerenn br sol ters olduğu görülür. Bu durumda Teorem.4.5. den S br gruptur. G nn S ye zomorf olduğu açıtır. Bu teoremde A geren ullanılmıştır. Teorem de se bu teoremden farlı olara A gerenl br tadm ullanılmıştı. Ayrıca gerçeten δ S tadmnn geren sayısı A ve bağıntı sayısı A R olup def ( ) R δ dr. S Teorem Br G grubu çn her yarıgrup tadm br grup tadm ( Teorem ) olduğundan def S ( G) def G ( G) ve def ( G) defg ( G) M dr. 6

33 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU.4.6. Yarıgrup Tadm Bulma İçn Genel Metodlar Br S yarıgrubu çn tadm buluren üç genel metot vardır. ) Dret Metot (Tahmn ve İspat) ) Tetze Dönüşümler 3) Yarıgrubun yapısını ullanma Dret Metot genellle en ço ullanılan metoddur. Bazı varyasyonları olmasına rağmen genellle aşağıda adımları çerr. ) S çn br A doğuray ümes bulma. ) S y tanımlama çn yeterl ve A da doğuraylar tarafından sağlanıyor olaca şelde br R lşler ümes bulma. 3) R de lşler ullanılara dönüştürüleblme üzere br spatlama. W A ümes bulma. A da her elme W da br elmeye 4) W da farlı elmelern S de farlı elmeler temsl ettğn Yuarıda son oşulu sağlayan W ümesne genellle S çn anon (normal) formların br ümes denr. Aşağıda teoremde aslında A R nn S çn br tadm olduğunu spatlayacağız. Önerme S br yarıgrup A ümes S çn br doğuray ümes R A A lşlern br ümes ve () W A olsun. Aşağıda oşulların sağlandığını abul edelm. S nn A da doğurayları R de tüm lşler sağlar. () Her ω A elmes çn ω ω R nn br sonucu olaca şelde br ω W elmes vardır. () Eğer u v W u v se o zaman S de u v dr. O zaman A R A da doğuraylar vasıtasıyla S y tanımlar. İspat: 7

34 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU ω ω S de sağlanıyor olaca şelde ω ω A herhang elme olsun. () den dolayı ω ω ve ω ω R nn br sonucudur. () den dolayı ω ω R nn br sonucudur. O halde Rusuc N. (995) Proposton.3. den dolayı A R S yarıgrubunu tanımlar. Önerme S br sonlu yarıgrup A S çn br doğuray ümes R A A lşlern br ümes ve W A olsun. Aşağıda oşulların sağlandığını abul edelm. (I) S nn A da doğurayları R de tüm lşler sağlar. (II) Her ω A elmes çn ω ω R nn br sonucu olaca şelde br ω W elmes vardır. (III) W S. o zaman A R S çn br tadmdr. İspat: (I) (II) (III) oşulları yuarıda önermenn () oşulunu verr. (I) ve (II) oşulları yuarıda önermenn l oşuluna özdeştr. O halde () nn (I) (II) (III) oşullarından elde edldğn göstermemz yeterldr. A doğurayları R de lşler sağladığından S nn her elemanı (II) den dolayı W da br elme tarafından temsl edlr. O halde W S dr. (III) den dolayı W S dr. Bunun anlamı W nun farlı elemanları S nn farlı elmanlarını temsl eder. Br yarıgrup çn tadm bulmanın nc metodu Tetze dönüşümlerdr. Tetze dönüşümler tanımladığı yarıgrubu değştrmeszn br tadme alternatf br başa tadm tanımlama metodudur. Br P A R tadm le başlayıp yen br P A R tadmn aşağıda yollardan br le nşa edeceğz. (T) Br doğuray eleme. b A ve { ω} R R b olara tanımlayalım. ω A alalım. A A { b} ve 8

35 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU (T) Br doğuray çıarma. b A ve (A b ω formunda br lş çersn. Φ A (A Φ ( a ) a ( ) ω \{ b ω}) R Φ(R : \{ }) ω \{ }) b olma üzere R b homomorfzmasını a b çn \{ b }) Φ b olara tanımlayalım. O zaman A (A olara tanımlanır. (T3) Br lş eleme. u v R nn br sonucu olan herhang br lş olsun. O zaman ve R R { u v} A A olara tanımlanır. (T4) Br lş çıarma. u v R nn br sonucu olaca şelde R br u v lşsn çeryor olsun. O zaman A A ve R R \{ v} u olara tanımlanır. ve Teorem A B R ve Q sonlu olma üzere A R ve B Q tadmlernn zomorf yarıgrupları tanımlaması çn gere ve yeter oşul B Q nun Tetze dönüşümlernn sonlu br dzsnn uygulanması le A R den elde edlyor olmasıdır. İspat: Öncelle eğer B Q nun Tetze dönüşümlernden br tanesnn br ez uygulanması le A R den elde edlyor se o zaman A R ve B Q tadmlernn zomorf yarıgrupları tanımladığını göstermemz gereldr. Sırasıyla her br Tetze dönüşümlern ontrol edelm. ρ A üzernde R tarafından doğurulan br ongrüans ρ de (T) B üzernde Q tarafından doğurulan br ongrüans olsun. Ψ : A / ρ B / ρ dönüşümünü Ψ ( a / ρ ) ( a / ρ ) olara tanımlayalım. ω / ρ ω / ρ se o zaman ω R de lşler uygulanara ω den elde edlmştr. Böylece ω ω ρ ω / ρ Q R de lşler uygulanara ω den elde edlmştr. O halde / olup Ψ y tanımlıdır. Ψ ( / ) a / ρ örtendr. ( ω ρ) ( ω / ρ ) a ve Ψ ( / ) b / ρ ρ a ρ olup Ψ Ψ / Ψ se ω / ρ ω / ρ dür. Böylece ω R de lşler uygulanara ω den elde edlmş olup Ψ brebrdr. R de lşler uygulanıren oluşan dzde b her göründüğünde yerne ω yazablrz. Böylece ω R de lşler 9

36 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU uygulanara ω den elde edlmştr ve olduğu açıtır. O halde (T) ( / ρ ) ( ω / ρ) ω / ρ ω / ρ dur. Ψ nn br homomorfzma A / ρ ve B / ρ zomorftr. Ψ: B / ρ A / ρ dönüşümünü b a çn Ψ ( / ρ ) ( a / ρ ) a ve Ψ b olara tanımlayalım. Eğer ω / ρ ω / ρ se o zaman ω R de lşler uygulanara ω den elde edleblr. Bu dzde b yerne ω yazablrz. O halde Φ ( ω )/ ρ Φ( ω )/ ρ dr. Böylece ( ω / ρ) Ψ( ω / ρ ) Ψ ve Ψ y tanımlıdır. Ψ açıça br epmorfzmadır. Ψ nn brebr olduğunu gösterme yeterldr. ω / ρ ω / ρ se ω O halde ω / ρ ω / ρ dr. R R den lşler uygulanara ω den elde edleblrdr. (T3) Burada A B ve ρ ρ olup sonuç açıtır. (T4) Yne A B ve ρ ρ dür. Tersn gösterme çn A R ve B Q tadmlernn zomorf yarıgrupları tanımladığını abul edelm. Tanımladıları bu yarıgrubu S le gösterelm. R R( A) yazacağız. Bunun anlamı R de lşler A da doğuraylar vasıtasıyla yazılmıştır. Benzer şelde Q Q( B) yazacağız. İspata R( A) b b( A) b S elmesnn S çn R( A) uygulayara B( A) A tadm le başlayacağız. A tadm vasıtasıyla fades olsun. (T) B lşsyle B de doğurayları eleyelm. O halde şmd ( A) B B( A) A B R tadmne sahbz. Her a A doğurayına B Q tadm tarafından tanımlanan zomorf yarıgrubun br elemanı olara baablrz. Böylece (T3) vasıtasıyla ( B) A A lşsn eleyeblrz. Bu durumda ( A) B B( A) A A( B) A B R tadmne sahbz. (T) y ullanara A da doğurayları çıarablrz. O halde 30

37 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sad İNCEOĞLU ( A( B) ) B B( A( B) ) B R olur. Hala bu tadm S çn br tadm olduğundan Q ( B) de lşler bu yarıgrupta sağlanır. Böylece (T3) uygulayara ( A( B) ) B B( A( B) ) Q( B) B R tadmn elde ederz. Bu tadm le tanımlanan yarıgrup Q( B) B tarafından tanımlanan S yarıgrubuna abulümüzden dolayı zomorftr. Böylece ( A( B) ) B B( A( B) ) lşler ( B) atablrz. O halde stendğ gb Q( B) R ve Q nn br sonucudur. (T4) uygulayara bu lşler B elde edlr. Br yarıgrup çn br tadm bulmanın üçüncü metodu yarıgrubun yapısı yardımı le tadm bulmatır. Bu metotta br S yarıgrubunu daha bast vasıtasıyla fade etmeye çalışırız. Sonra I I T yarıgrupları T yarıgrupları çn tadm bulup S çn br tadm bulma üzere bu tadmler bell şellerde br araya getrrz. 3

38 3.REES MATRİS YARIGRUPLAR İÇİN REWRİTİNG SİSTEM Sad İNCEOĞLU 3.REES MATRİX SEMİ GRUPLAR İÇİN REWRİTİNG SİSTEM (AyıH.000) de ( m )( n ) R mn rectangular bandların nc ntegral homolojsnn Z olduğunu gösterme çn bar resoluton ullanıldı. Ayrıca (AyıH.000) de sağ veya sol sıfır elemanlı yarı grupların. n nc ( n ) homolojsnn aşar grup olduğu gösterld. Bz burada(squerc.987) de Squer tarafından tanımlanan başa br resoluton ullanacağız. Çünü bu resoluton rewrtng sstemn sonlanmasını te br şelde belrleyen bağıntılar ümesn çeren br tadm yardımıyla tanımlanır. İl önce rees matrs yarıgrubu çn bağıntılarının ümes bu şelde br sstem oluşturan br tadm bulacağız. Rewrtng sstemn bazı temel özelllern verelm. A br üme olsun. olsun. Br R rewrtng sstem A da A üzernde br serbest monod A A ın br alt ümesdr. ω ω A çn ω ω den elmelerse bunu ω ω şelnde yazarız. Eğer b c A ve ( u v) R se öyle ω buc ve ω bvc o zaman ω ω den elde edlmştr derz. Ve bunu ω a ω şelnde gösterrz. a ~ denl bağıntısını doğurur ve yansıma ve geçşme özelllern sağlar. Br ω elmes çn eğer a da a ω a z olaca şelde z elmes varsa ω ndrgeneblr derz. As halde ndrgenemezdr derz. Eğer a ω y ve y ndrgenemez se y ye ω nn br ndrgenemez formu denr. Eğer her n çn ω n a ω n olaca şelde (ω n ) sonsuz dzs yosa o tadrde R ye br sonlanan rewrtng sstem denr. Bz ω yı ω elmesnn uzunluğu dye tanımlayacağız. Eğer her ( u v) R çn u > v se R ye uzunluğu azaltılablr derz. Eğer R uzunluğu azaltılablr rewrtng sstem se o tadrde R br sonlanan rewrtng sstemdr. x a y ve x a z olduğunda eğer her x y z A çn aω y ve z aω oşullarını sağlayaca şelde br confluenttr derz. ω A elemanı bulunablrse o tadrde R ye 3

39 3.REES MATRİS YARIGRUPLAR İÇİN REWRİTİNG SİSTEM Sad İNCEOĞLU Eğer br rewrtng sstem hem sonlanan ve hem de confluent se R ye tam rewrtng sstem denr. Verlen br R çn R ümesn R { rr A ve bazı çn ( r s) R } şelnde tanımlayalım. Eğer br ( r s) R çn R A ra { r} de R ndrgenemez se o tadrde R sstem ndrgeneblrdr. Br s A ve s R A ndrgeneblr tam rewrtng ssteme te br şelde sonlanan rewrtng sstem denr. A Lemma 3.: R br sonlanan rewrtng sstem olsun. O tadrde aşağıdaler dentr. ) R confluenttr(bu yüzden tamdır.) ) r boştan farlı br elme olma üzere her br ( r r s ) ( r r s ) R çn a 3 a s r ω r s ω olaca şelde br ω A elmes vardır. Ayrıca her br ( r r r s ) ( r s ) R 3 3 çn elmes vardır. )Herhang br s a ω r s a ω olaca şelde br 3r3 ω A ω A elmes te br ndrgenmez forma sahptr. Ayrıca ω ~ω olması çn gere ve yeter oşul ω ve ω nün aynı ndrgenmez forma sahp olmasıdır. İspat çn (GubaV.S.996) veya (SquerC.987) e baınız [( r r s ) ( r r s )] ve [( r r s ) ( r s )] 3 tanımlayalım. 3 r formunda sıralı ller overlap olara Burada ( r r s ) ( r r s ) ( r r r s ) ( r s ) R elmelerdr ve 56 r ve r 5 boş olmayan İl önce normal matrsl br Rees matrs yarıgrubu çn br tadm verelm. Notasyonun olaylığı çn I ve Λ nn elemanını çerdğn abul edelm. Teorem3.. [ G : I Λ P] S µ : br Rees matrs yarıgrup olsun. Burada G br grup P P ) de Λ I tpnde bleşenler G grubundan alınan br normal matrs olma üzere X R ( 33

40 3.REES MATRİS YARIGRUPLAR İÇİN REWRİTİNG SİSTEM Sad İNCEOĞLU G çn br yarıgrup tadm ve e X G nn brmn temsl eden boş olmayan br elme olsun. Ayrıca Y ümes de { } { y I { }} Λ { } Y X olsun. z o tadrde Y ( I { } Λ { } ) R y e y ey e z e e ez z z y P Tadm {( ) x X } { ( e) I { } } { ( ı e ) Λ { } } x doğuray ümesnn elemanları cnsnden S y tanımlar. İspat (HoweJ.M) de verlen teorem 6. nn özel br sonucudur. Yuarıda tadmde (br önce tadmde) bazı overlapslar vardır. Örneğn [ y e y e y e] gb. Dolayısıyla bu örne tadmn lşlernn ümesnn te türlü sonlanan rewrtng sstem olmadığını gösterr. Şmd lşler br te sonlanan rewrtng sstem oluşturan br tadm nşa edeceğz. X R tadmn Cayley table olaca şelde alablrz öyle X G ve R { ( x x x ) x x x X x x x G } dr. R X üzernde te türlü sonlanan rewrtng sstemdr. x 0 X de G nn brmn temsl eden br eleman olsun. e x0 alalım ve ( X { x }; I { } Λ { } ) x çn S de sağlanan 0 xy x z x x y y y ve z z z yen bağıntılarını elemele Y R y x0 y xy x y y y z x x x0z z z z z z y ( I { } Λ { } x X ) p tadmn elde ederz. 34

41 3.REES MATRİS YARIGRUPLAR İÇİN REWRİTİNG SİSTEM Sad İNCEOĞLU Bu tadm S [ G : I Λ : P] µ y tanımlar. Notasyonun olaylığı çn G grubunu sonlu grup olara ve X ümesn de X { x x... } olara alalım. 0 x m Bundan öte P matrsnn edldğn abul edelm. P bleşenlernn uzunluğu olan elmelerle temsl Teorem3.3: X R tadm br sonlu G grubunun Cayley table olsun. x 0 X brm elemanın temslcs olsun. Yuarıda notasyonları le bu tadm Y R y x0 y x y x y y y z x x x0z z z z z z y ( 0 m I { } Λ { } ) p Y üzernde lşlernn ümes te türlü sonlanan rewrtng sstem olan br S [ G : I Λ : P] µ Rees matrs yarıgrubunu tanımlar. İspat: P nn lşlernn ümes Q olsun. R çnde bütün rewrtng uralları ( x x ) x3 x x x X formuna sahp olduğunu hatırlayalım. Öyle Q çnde bütün 3 rewrtng uralları uzunlu azaltılablme özellğne sahptr. Bundan dolayı Q sonlanandır. Q nun ndrgeneblr olduğu açıtır. Q nun cofluent olduğunu spatlama çn şmd overlapsları lsteleyelm: 35

42 3.REES MATRİS YARIGRUPLAR İÇİN REWRİTİNG SİSTEM Sad İNCEOĞLU [( x x x ) ( x x x )] U l l [( x x x ) ( x y x )] U l U [( x x x ) ( x z z )] 3 Ο Ο [( y x y ) ( x x x )] U 4 Ο Ο U [( y x y ) ( x y x )] U [( y x y ) ( x z z )] 6 Ο Ο [( x y x ) ( y x y )] U 7 Ο [( x y x ) ( y y y )] U 8 [( y y y ) ( y x y )] U 9 Ο [( y y y ) ( y y y )] U 0 [( z x x ) ( x x x )] U l [( z x x ) ( x y x )] U [( z x x ) ( x z )] U z 3 Ο Ο Ο [( x z z ) ( z x x )] U 4 Ο 36

43 3.REES MATRİS YARIGRUPLAR İÇİN REWRİTİNG SİSTEM Sad İNCEOĞLU [( x z z ) ( z z )] U z 5 Ο U [( x z z ) ( z y p )] 6 Ο [( z z z ) ( z x x )] U 7 [( z z z )( z z )] U z 8 U [( z z z ) ( z y p )] 9 [( z y p ) ( y x y )] U 0 Ο [( z y p ) ( y y y )] U ( I { }; { }; m) ve Lemma 3. () nn uygulamasıyla sonuç görülür. 37

44 4. REES MATRİS YARIGRUPLARIN İKİNCİ HOMOLOJİSİ Sad İNCEOĞLU 4. REES MATRİS YARIGRUPLARIN İKİNCİ HOMOLOJİSİ Şmd sonlu br Rees matrs yarı grubunun nc homolojsn hesaplama çn (SquerC.987) de Squer tarafından verlen Z nn resolutonu nu tanımlayacağız. S br monod olsun ve A R de S çn br tadm olsun. Öyle bu tadmde R de te türlü sonlanan rewrtng sstem olsun. Squer Z nn serbest resolutonu aşağıda gb tanımlamıştır. P a 3 3 P a P ε a P 0 0 a Z a 0 burada P 0 te formal sembol [ ] üzernde serbest ZS -modüldür. ε genşletme homomorfzm ε : P ε 0 a Ζ ([ ]) olara tanımlanır. P modüldür ve x A olma üzere [ x ] formal sembollernn ümes üzernde br serbest ZS - : P a P 0 ([ x ]) ( x )[ ] şelnde tanımlansınayrıca burada P her br ( r s) R çn [ s] ZS -modüldür. x A dır. Bundan öte; r formal sembollernn ümes üzernde br serbest x A çn tümevarımla şöyle br fonsyon tanımlayalım; x a Ζ x x : A A ( ) 0 ( ω x) ( ω) ω( ω A ) x 38

45 4. REES MATRİS YARIGRUPLARIN İKİNCİ HOMOLOJİSİ Sad İNCEOĞLU ( ω ) ( ω) x y x ( ω A ve y x ) Bu fonsyon türev fonsyonu adını alır. Şmd fonsyonunu : P a P ([ r s] ) x Α Φ ( ( r) ( s) )[ x] x x şelnde tanımlarız burada Φ : ZA a ΖS dönüşümü A a S ye doğal homomorfzma tarafından elde edlr. (nduced edlr) P [( r s ) ( r r s )] 3 ZS -modüldür. r R de overlopsların ümes üzernde serbest 3 3 ω A da br elme olsun. u da ω nın br ndrgenmez formu olsun. O tadrde aşağıda zncre sahp oluruz. ω b r c b s c b r c... b s c u b c A ; q q q ve ( r s ) R q olma üzere... Φ : A a P q ( ) Φ( b )[ r s ] Φ ω şelnde tanımlansın. Şmdde fonsyonunu : P a P 3 3 ([( r r s ) ( r r s )]) r [ r r s ] [ r r s ] Φ( r s ) Φ( s r ) şelnde tanımlayalım. 39

46 4. REES MATRİS YARIGRUPLARIN İKİNCİ HOMOLOJİSİ Sad İNCEOĞLU (Squer.C. 987) de Squer R br te türlü sonlanan rewrtng sstem olduğunda aşağıda dznn tam dz olduğunu gösterd. P a P a P a P0 a Z a 0 Bz şmd sonlu [ G : Ι Λ : P] hesaplama çn bu resolutonu ullanacağız. µ Rees matrs yarıgrubunun nc homolojsn Teorem4.4: [ G : Ι Λ P] S µ : br sonlu Rees matrs yarıgrup olsun: S nn nc ntegral ( ) ( Λ ) homolojs ( S) H ( G) Z Ι H dr. İspat: Genellğ bozmadan P y normal abul edeblrz. Teorem3. de verlen Y üzernde te türlü sonlanan rewrtng sstem olan Q yu ve Q nuın ullanılmasıyla Z nn resolutonunu göz önüne alalım. Bu resolutona Z ZS functorunun uygulanmasıyla 3 3 Z P a Z P a Z P a Z P 0 ε a Z Z a 0 zncrn elde ederz. Bu zncr daha bast olara aşağıda şelde yazablrz. P 3 3 a P a P a Z a 0 Burada P P ve P3 sırasıyla [ x ] ( x Y ) [ r s] (( r s) Q) [( r s ) ( r r s )] 3 3 ve r formal semboller çn ümeler üzernde serbest değşmel gruplardır. 40

47 4. REES MATRİS YARIGRUPLARIN İKİNCİ HOMOLOJİSİ Sad İNCEOĞLU : P a P ve : P ap 3 3 tanımlanmıştır. dönüşümler sırasıyla aşağıda şelde ve ([ r s] ) [ ( r de geçen x lern sayısı)-( s de geçen x lern sayısı) ] [ x ] x Y ([( r r s ).( r r s )]) [ r r s ] [ r r s ] Φ( r s ) Φ( s r ) Eğer ( ) Φ( b )[ r s ] q Φ ω şelnde se o tadrde Φ de q ( ) [ r s ] Φ ω şelnde tanımlanablr. S nn nc homolojsn ( ) 3 G ( G) er G m H / 3 H s Ker / m hesaplamadan önce G olduğunu abul edelm. Burada { / j J} er ümes W j üzernde serbest değşmel gruptur ve G m 3 de { v l l L} ümes üzernde serbest abelyan (değşmel) grup olduları G nn Cayley Table(çarpım tablosu) üzernde Squer resolutonu ullanılara bulundu. G sonlu br grup olduğu çn H ( G) de sonludur ve dolayısıyla J L dr. Bundan başa: ([ x u ] [ u x u ]...[ u x x] ) n [ x] G n x x () G olduğundan ran( m ) X G dr ve dolayısıyla J L G G eştlğne sahp oluruz. Burada x X u x ve x n x n uvvetdr. Teorem3. ün spatında overlapslar ullanılara m 3 çn br doğuray ümes (geren ümes) buluruz. İl önce ( ) U 3 nn br geren ümes verdğn gözlemleyelm. Bu geren üme G m 3 çn baz olan { v l l L } ye ndrgeneblr. 4

48 4. REES MATRİS YARIGRUPLARIN İKİNCİ HOMOLOJİSİ Sad İNCEOĞLU ' ' ( x x ) [ x. x x ] Φ ve Φ ( x y ) [ x. y x ] l l l l olduğundan ( U ) [ x y x ] [ x x x ] Φ( x x ) Φ( x y ) 3 [ x. y x ] [ x y x ] l l l elde edlr. Benzer şelde aşağıdaler hesaplayablrz. ( U ) [ x z z ] [ x x x ] 3 3 Ο Ο ( U ) [ x x x ] [ y x y ] 3 4 Ο Ο ( U ) [ x y x ] [ y y y ] 3 5 Ο Ο ( U ) [ x z z ] [ y x y ] 3 6 Ο Ο ( U ) [ y x y ] [ x x x ] 3 7 Ο Ο ( U ) [ y y y ] [ x y x ] 3 8 ( U ) [ y x y ] [ y x y ] 3 9 Ο Ο ( U ) [ y y y ] [ y y y ] 3 0 ( U ) [ z x x ] [ z x x ] 3 l l 4

49 4. REES MATRİS YARIGRUPLARIN İKİNCİ HOMOLOJİSİ Sad İNCEOĞLU ( ) 0 U 3 ( U ) [ z z z ] [ z x x ] 3 3 Ο Ο ( U ) [ x z z ] [ x x x ] 3 4 Ο Ο ( U ) [ x z z ] [ x z z ] 3 5 Ο Ο ( U ) [ x z z ] [ x p p ] 3 6 Ο Ο ( U ) [ z x x ] [ z z z ] 3 7 ( U ) [ z z z ] [ z z z ] 3 8 ( U ) [ z z z ] [ z p p ] 3 9 ( U ) [ y x y ] [ p x p ] 3 0 Ο Ο ( U ) [ y y y ] [ p y p ]. 3 m 3 çn daha üçü br geren ümes olduğunu görme olaydır. [ y x y ] [ x x x ] V [ y y y ] [ x y x ] V Ο Ο [ xοz z ] [ xοx x ] V [ z z z ] [ z x x ] V 43

50 4. REES MATRİS YARIGRUPLARIN İKİNCİ HOMOLOJİSİ Sad İNCEOĞLU ( 0 m; I { }; Λ { } ). çn { V l l L} geren ümesdr. Örneğn G m 3 ( ) 3 U Vl V ve ( U 3 ) V ([ x xo x ] [ xox x ] 3 olduğunu gözlemleyeblrz. Şüphesz ([ x x ] [ x x x ]) spatlar benzerdr. Bundan dolayı G x o o 3 dr. Ger alan B { V V V V V l L;0 m; I { }; Λ { }} l ümes m 3 y gerer. Bundan sonra adımda da ([ z z z ]) [ z ] olduğundan () ullanılara er çn br baz bulalım. ([ y y y ]) [ y ] ve ran ( m ) ran( P) G ( Λ ) ( Ι ) olduğu görülür. Dolayısıyla ran ( er ) ran( P ) ran( P ) dr. ( G G ) G ( ( Λ ) ( Ι ) ) ( Λ ) ( Ι ) ( Λ )( Ι ). α P de her α m m α [ ] x x x [ Ο ] [ ] x xl α yx y α yy y α 0 [ x y x ] 3 Ι {} Ι {} 0 44

51 4. REES MATRİS YARIGRUPLARIN İKİNCİ HOMOLOJİSİ Sad İNCEOĞLU m β [ x Οz z] β [ zz z ] β3 Λ Λ 0 Ι {} {} [ zx x] γ [ zy p ] {} formunda olduğundan ve tüm atsayılar tamsayı olduğundan α er olablmes çn gere ve yeter oşul m 0 ( α ) x x ([ x] [ x ] [ xl] ) 0 α α [ xο] α [ y] α3 [ y] {} {} Ι Ι 0 m ( β [ x0] β [ z ] {} {} [ z ] ' 3 Λ Λ 0 m β ([ z ] [ y ] [ p ]) Ι {} γ ) dr. Buna den olara α er olablmes çn gere ve yeter oşul ( αx x αx x α ) m x x α x x β γ I {} Λ {} Λ {} Ι {} p x0 α () dr. ( αx x αx x α ) m αx x x x x 0 ( m) (3) Λ {} Ι {} p x γ 45

52 4. REES MATRİS YARIGRUPLARIN İKİNCİ HOMOLOJİSİ Sad İNCEOĞLU m α α3 Ι { } Λ α Ι { } γ 0 {} ( ) (4) m β β3 γ Λ { } 0 Ι {} β Λ { } ( ). (5) I ve Λ nın den büyü veya eşt olduğunu varsaydı. Ayrıca nn br orta eleman olduğunu varsaydı. I veya Λ durumları benzer şelde rdelend. Yuarıda denlemler sstemn ullanara er çn br baz buluruz. İl önce eğer α α α3 β β β 3 ve γ lern hepsn sıfır olara alırsa o tadrde ([ x ] [ x ] [ x ]) 0 α x x l x x X elde edlr bu da bze G çn j } { W j J bazını verr. Burada ( G ) G G H m 3 er dr. Şmd eğerα alır ve () den (5) adar olan tüm denlemlern sağ taraflarında değşenler sıfıra eştlerse o tadrde α elde ederz. Dolayısıyla aşağıda gerenler elde ederz. x 0 x0 W [ y x y ] [ x x ] I { } ( ). Benzer düşünceler ullanara aşağıda dğer bazı gerenler elde ederz W [ x z z ] [ x x ] Λ { } ( ) W [ y y y ] [ x y x ] 0 m { } ( I ) 46

53 4. REES MATRİS YARIGRUPLARIN İKİNCİ HOMOLOJİSİ Sad İNCEOĞLU W [ z z z ] [ z x x ] 0 m Λ { } ( ) W [ y y y ] [ y y y ] I { } ( ) W [ z z z ] [ z z z ] Λ { } ( ) ' Ker çn br baz nşa etme çn ( )( ) htyacımızın olduğunu not edeblrz. Λ I sayıda bağımsız elemana daha Z { W W W W W W W W j J;0 ; j m { }( ) ; Λ { }( ) }. I bazının ( Λ { }; I { } ) W geremedğn göreceğz. alan elemanlarını belrlememzn Şmd de B de V ler Z de W lar cnsnden fade edelm. İl önce H ( G) nn hesaplanışında olduğu gb her l L çn Vl lern W j ( j J ) cnsnden fade edlşn V l ( W ) şelnde yazalım. Aşağıdaler gözlemleyeblrz. V ([( x x x ) ( x x )]) 0 W V W x ( 0) 0 V ([( x x x ) ( x x x )]) ( 0) 0 W V W V W V W W ( ) V W V W W ( ). 47

54 4. REES MATRİS YARIGRUPLARIN İKİNCİ HOMOLOJİSİ Sad İNCEOĞLU H ( S) çn aşağıda abelyan grup tadmn elde ederz. Z V l ( W ) 0 W 0 W V ( W ) 0( 0) W 0 W ( W ) ( 0) W 0 W W 0 V 0 W 0 W W 0( l L;0 m; Λ { } ; Λ { } ; I { }; I { }) Burada V ( W ) [( ) ( )] 3 x x x x x x ( yı W j ler cnsnden fade eder ve benzer durum V ( W ) lar çn de geçerldr. Yuarıda tadmde bazı bağıntılar gereszdr. Geresz bağıntıları elmne edere aşağıda abelyan grup tadmn elde ederz. ( j J; Λ { }; I { } ) V ( W ) 0( l L) V W j l Bu tadm ( I )( Λ ) ( G) Z H abelyan grubunu tanımlar. Buda stenlen sonuç olur. 48

55 5.REES MATRİS YARIGRUPLARI İÇİN BİR KÜÇÜK TAKDİM Sad İNCEOĞLU 5.REES MATRİS YARIGRUPLARI İÇİN BİR KÜÇÜK TAKDİM [ G; I Λ P] S µ ; rees matrs yarıgrubu çn teorem 3. de verlen aşagıda tadm düşünelm. P Y R y e y ey e( m) (6) z e e ez z ( n) (7) ( m n) z y p Burada P normaldr ve e de G nn brmnn boş olmayan br temslcsdr ve ayrıca { } ve Λ {...n} dr. Bundan sonra S [ G; I Λ; P] I...m [ G; m n P] S µ ; yazacağız. P n defcency s def ( P ) def ( ) ( )( n ) ( m ) ( n ) P G µ yerne m dr. Burada P G X R G nn yarıgrup tadmdr. Yuarıda notasyonla S çn def ( P G ) ( )( n ) m defcency sne sahp br tadm vereceğz. Bu tadmn defcency s H ( S) nn ranından br fazladır(ba. Teorem4.4). Burada P G nn G çn br etn tadm olması gerer. Önerme 5.5: m n > olma oşulu le P Y R ey e y y y ( m ) (8) ez z z z ( n ) (9) z y z e y (0) m n m 49

56 5.REES MATRİS YARIGRUPLARI İÇİN BİR KÜÇÜK TAKDİM Sad İNCEOĞLU ( m n) z y p tadm S µ [ G; m n; P] rees matrs yarıgrubunu tanımlar. İspat. (6) dan y y ( y e) y y ( ey ) y e y ( ). m elde edlr. Benzer şelde (7) den de z z ( ). z n elde edlr. Bundan başa (7) ve (6) dan y z e y e m n m y m elde edlr. Dolayısıyla P de her bağıntı S de sağlanır. Şmd de P de her bağıntının P de bağıntıların br sonucu olduğunu görelm. Tümevarımla (8) den y y y ( < m) olduğu elde edlr. Özel olara y ym y ve y y y ( m). () elde edlr. Benzer şelde (9) dan z z n z n ve z z z ( n). () 50

57 5.REES MATRİS YARIGRUPLARI İÇİN BİR KÜÇÜK TAKDİM Sad İNCEOĞLU elde edlr. G sonlu olduğundan ve e de G nn brmnn temslcs olduğundan p nm e olaca şelde br N { z y p } n m nm n m eştlğ vardır ve dolayısıyla ( z y ) e R de bağıntıların br sonucu olara ortaya çıar. () (9) ve (0) dan z ( z z ) e ( ez ) z e ez e ( z y ) z ( y z e) ( z y ). n e n n n n m n m n n m e (3) elde edlr. Bundan başa e e eştlğ R de lşlern br sonucu olduğundan ve (0) dan dolayı m ( ymzne) e ymzne ym y e (4) elde edlr. () ve (4) den ( y y ) e y ( y e) y y y ( ) y e m m m m elde edlr ve (8) ve () den ey ( ey ) y e( y y ) ey e( m) 3 elde edlr. Benzer şelde (9) () ve (3) den ez ( n) z 3 ve ( ) z e e n 5

58 5.REES MATRİS YARIGRUPLARI İÇİN BİR KÜÇÜK TAKDİM Sad İNCEOĞLU dda edldğ gb elde edlr. 5

59 6.REES MATRİS YARIGRUPLARININ ETKİNLİĞİ Sad İNCEOĞLU 6.REES MATRİS YARIGRUPLARININ ETKİNLİĞİ P tadm etn değldr faat aşağıda sonuçların elde edlmesnde yararlı olmuştur. (AyıH.000) de yarıgrup olara r nn çft olması durumunda dhedral grupların ve sonlu abelyan grupların etn olduğu spatlandı. Özel olara D r x R x x formunda etn yarıgrup tadmler buldu. Bu tadmde x brm elemandır. Bundan sonra teoremde P de forma benzer olara grup yerne yarı grup tadmler alara rees matrs yarıgrupları çn etn tadm bulmaya çalıştı. Teorem 6.6 [ G; m n P] S µ ; br sonlu Rees matrs yarıgrubudur.( P normal olma üzere) Eğer G xu brm le ( X u X ) x P G X R xux x formunda br yarıgrup tadmne sahpse o tadrde S de deffcencys ( P ) ( m )( n ) yarıgrup tadmne sahptr. def G olan br İspat: Önce S çn P tadmn göz önünde bulunduralım ve m n > olduğunu abul edelm. e xu alalım (8) ve (3) ten xuy xu zn x x ve xux x bagıntılarının S de sağlandığı görülür. Ayrıca bz ( xuy ) z x xu( z x) xux x xuy zn x n n elde ederz. Bundan dolayı P tadmne xuy z n x x bağıntısının elenmesyle ve xuy xu ve xux x bagıntılarının çıarılmasıyla elde edlen tadm tarafından tanımlanan T yarıgrubunun homomorf görüntüsü olan S tanımlanır. P3 Y R xuyzn x x (5) y y y ( m ) (6) xuz z (7) 53