ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ. Hareket geometrisinde sabit ivmeli eğriler. Nemat ABAZARI MATEMATİK ANABİLİM DALI

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ DOKORA EZİ Hee eomeiside sbi ivmeli eğile Nem ABAZARI MAEMAİK ANABİLİM DALI ANKARA He hı slıdı i

2 ÖZE Doo ezi HAREKE GEOMERİSİNDE SABİ İVMELİ EĞRİLER Nem ABAZARI A Üivesiesi Fe Bilimlei Esiüsü Memi Abilim Dlı Dışm: Pof. D. Yusuf YAYLI Bu çlışmd ı heeleii Lie ubu ol üzeidei eğilei sbi ivmeli olm şlı şıılmışı. Buu içi çeşili hipoezle veilmişi. Bu ez 7 bölüm hlide düzelemişi.. Bölüm iişe yılmışı.. bölüm emel vml yılmışı.. bölümde üzeidei eğilei sbi ivmeli olm şlı şıılmışı. 4. bölümde yüzey üzeide bi eği ve bu eğii jeodezi çısı ydımıyl üzeide bi eği ımlmış bu eğii sbi ivmeli olm şlı icelemişi. 5. bölümde eği bi-ivy meiğe ship Lie uplı üzeide lımış ve eğii sbi ivmeli olm hipoezlei veilmişi. 6. bölümde omp Riem mifoldlıd bi eğii sbi ivmeli olmsı içi şl icelemişi. So bölümde Loez uzyıd bi eği ele lımışı. Bu eğii elsi eği olmsı içi hipoezle veilmişi. Oc 6 Syf Ah Kelimele: Kı cisim heei Sbi ivme Jeodezi çı Geel helis Lie ubu Elsi eği Spcelie imelie Yı-Riem Mifoldu. i

3 ABSRAC Ph.D. hesis Sıoy cceleıo cuve ı moıo eomey Nem ABAZARI A Uivesiy Gdue School of Nul d Applied Scieces Depme of Mhemics Supeviso: Pof. D. Yusuf YAYLI I his hesis codiios of he cuves o he Lie oup SE() of iid body moios o be i he sioy cceleio se hve bee sudied. Fo his eso diffee ids of hypoheses hve bee ive. his hesis cois seve secios. he fis secio hs bee ioducio. he secod secio hs bee composed of bsic coceps. I he hid secio codiios of cuves o o be wih sioy cceleio hve bee sudied. I he foh secio cuve o he sufce d ohe cuve o wih he help of eodesic fme of he fome cuve hve bee descibed d sioy cceleio siuios of his cuve hve bee discussed. his cuve hs bee cosideed i Lie oup wih bi-ivi meic i he fifh secio d sioy cceleio hypoheses hve bee ive fo i. I he sixh secio sioy cceleio codiios of cuve i compc Riemi mifolds hve bee ivesied. I he ls secio cuve i he Loez spce hve bee cosideed. Hypoheses fo his o be elsic cuve hve bee ive. Juy 6 pes Key Wods: Riid body moio Sioy cceleio Geodesic fme Geel helix Lie oup Elsic cuve Spcelie imelie Idefiie-Riemi Mifold. ii

4 EŞEKKÜR Bu ez çlışmsıı he şmsıd ydım öei ve eşviiyle b yol ösee üm iyi iyei hoşöüsü ve bili biiimi ile ee isi eese demi elişimimde büyü emeği bulu ez dışmım Syı Pof. D. Yusuf YAYLI y (A Üv. Fe F. Memi Böl.) içe eşeüleimi suım. Çlışmlım boyuc hem demi hem de ei dese sğly fiileiyle bei yöledie Syı Pof. D. H Hilmi. HACISALİHOĞLU (Bileci Üv. Fe Edebiy F. Memi Böl.) ve Syı Doç. D. Nej EKMEKÇİ ye (A Üv. Fe F. Memi Böl.) ve Syı Pof. D. Bi KARLIĞA y (Gzi Üv. Fe F. Memi Böl.) eşeüü bi boç biliim. ezi üçe düzelemeside b ypığı ydımlı içi Syı D. Çğıl KADEROĞLU içe eşeu edeim. Mddi ve mevi lmd bei hiçbi zm ylız bımy ço sevili em Hol ADL ve bbm Mous ABAZARI ye b ösedilei üm sevi hoşöü ve sbılı içi sosuz eşeüleimi suım. üm yşmım boyuc sevisii ve deseğii he oşuld hisseiğim e iyi dşım eem Bsi BARADARAN ve he büyü uhu ile bize dese ol dedem Ghf ABAZARI ye üm emelei içi; ve yıc sevili ızım Seld ABAZARI ve ziz oğlum Shd ABAZARI ve eşim Rveyeh AZIZZADEH ye ise hyımı olbildiğice üzelleşidilei içi içelile eşeü edeim. Ayıc ziz ve sevili doslım Sho FADAKAR Sid VESALIAN ve Ai VESALIAN hyımd b vedilei mevi deselei içi üm smimiyeimle eşeü edeim. Nem ABAZARI A Oc iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZE... i ABSRAC... İİ EŞEKKÜR... İİİ SİMGELER VE KISALMALAR DİZİNİ... V. GİRİŞ.... EMEL KAVRAMLAR SABİ İVMELİ EĞRİLER JEODEZİK ÇAI HAREKEİ Bİ-İNVARİAN MERİĞE SAHİP OLAN BİR LİE GRUBUNDA SABİ İVMELİ EĞRİLER KOMPAK RIEMANN MANİFOLDUNDA SABİ İVMELİ EĞRİLER BOYULU YARI-RİEMANN MANİFOLDUNDA KLASİK ELASİK EĞRİLER Fee Delemlei Klsi Elesi Delemi imelie eği Spcelie eği SONUÇLAR KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ... 6 iv

6 SİMGELER ve KISALMALAR DİZİNİ Reel syıl cismi Ψ Ψ X boyulu ölid uzyı osıdi veö cümlesi üzeide opoloji uzy opoloji mifold u osi bi hiesı vey oodi omşuluğu opoloji mifold u bi lsı meebeside difesiyelleebili M mifoldu üzeidei j veölei cümlesi M mifoldu üzeide he meebede difesiyelleebili eel fosiyol M mifoldu üzeide veö llıı cümlesi Lie opeöü veö lı öe ovy üev opeöü Weie döüşümü İç çpım yöüde Lie üevi Lie ubuu sol opeöü Lie ubuu sğ opeöü G Lie uubu üzeide üm sol-ivy veö llı cümlesi i boyuc ovy üevi Riem eğiliği de döme ubu ubuu Lie cebii Noml eğili Jeodezi eğili Jeodezi buulm j veö lı Noml veö lı Bi-oml veö lı v

7 Ω Fee çısı Dboux veöü w i x i-simei mis öseimi üm olsı ı cisim heelei uzyı ol Lie ubu ubuu Lie cebii Eeğili Buulm de boyulu üe ici eğili Kesisel eğili misle cümlesi vi

8 . GİRİŞ Miimum ivme eğilei vmı Zef ve Kum (998) ve old bğımsız ol Noes Heizie ve Pde fıd ele lımışı. Bu çlışmlı mçlı splie eğileii ısme up eğilei ve özelile de oboilele ilili upl hlie eimei. Mesel ı cisim hee ubu ei bi eği ı bi cismi yöüesi ol düşüülebili. Bu sebeple bu fiilei hee pllm ve iepolsyo uyulmlı vdı. Bhsi eçe çlışmld upi bi-ivy meile ullıl liz elmışı. Roboilede obo bğlılıı ı cisim ol bul eme olğdı. Bu sebeple obou heei ei bi eği ol lıbili. Bu eğilei eomeisii deylı bi şımsıı oboilede biço uyulmsı olbili. Mesel doğl ol oy çı bi sou bi obou uç-eileicilei (ed-effeco) içi bi bşlıç ve biiş osı veilse uç-eileicilei içi e iyi yol e oludu? Ee bi öei ol obou uç-eileicilei bi döme heei boyuc zolybileceği söyleebili. Yi sbi bi ese efıd döme yı ese üzeide öeleme ile devm ede. Bi oumd diğeii içie hee ede bezesiz bi döme heei he zm vdı. Bu heele ı cisim heelei ubud e pmeeli l upl ve upi jeodezilee şılı eli. Budi jeodezi up ıml bi-ivy meile ilili sbi yy uzululu eğidi. F bud döme heelei ullılmmışı. Çüü bzı bşlıç ve biiş o çiflei uç-eileicileii şıı eiş heeleie sebep ol döme heelei oluşumdı. Roboile ve bilisy fileii he iiside de yıll boyuc splie eğilei oluşumlı içi bi ço loim öe süülmüşü; c bu meol içi ullıl eomei ço çı değildi. So zmld biomei çlışmlı islı el ol ve bc heeleii miimum ieme ile eçeleşidileii ösedi. Ac bu fiidei üçlü iemei ye değişimei üçücü üevi olmsı ve bu biomei çlışmld is elidei iemei ylızc bi oy d ölçülmüş olmsıdı. Eli diğe

9 ısımlıdi iemei de miimize olduğu çı değildi. Yi bu ı cisim heelei fii eel ol Zef ve Kum (998) fıd ı cisim ivmelemesi ı cisim heeii ovy üevi ve ieme de iici ovy üevi olc şeilde çılmışı. Zef ve Kum (998) dh so d bu ölçümlei miimize ede eğile üzeie çlışmışı. Kovy üevi çıls oomi ol oodisız ol eğile diyebiliiz mesel oodildi değişililee öe ivy y d efes osı seçimi bu öei. Ne yzı i bu çlışmd bi diğe belisizli ise ovy üevi upi meiği seçimie bğlı olmsıdı. İvme y de ieşimi miimize emeese meiği poziif sosuzd olmsı dh öemlidi. F e seçilebilece ço fzl mei vdı. Bi süe öce Noes ve diğelei (989) ei miimum ivme eğilei içi ol delemlei üevide yı ivme ımıı ullmışı. Yuıdi belisizliği döme ubud poziif bi-ivy ımıı ull yo symışldı. Neyse i e poziif ımlı bi-ivy meilei olmdığı iyi bilii. Buu yeie Zef ve Kum (998) poziif ımlı sol-ivy meilei ulldı. Bu solivy meile ı cisimle içi eylemsizli sesöü ol düşüülebili. Aslıd bu ibi meile içi jeodezile miimum sü eğilei ve dış uvvelei ousu değil; ı cisimle içi dimi delemlei bsi çözümleidi. Bu youml bilie Zef ve Kum ı (998) seçiği mei üesel simei cismi eylemsizli esöüdü. Bu ez çlışmsıd ei bi-ivy meile ullıl Zef ve Kum ı çlışmlı eldı. Bu meile poziif sosuzd olmdığı içi ıml eğile miimum olmycı f sbii. Aslıd e Zef ve Kum (998) e de Noes ve diğelei (989) eğileii miimum olduğuu ve miiml özelileii sod ullılmdığıı ool emişi. Bud öseile üev Zef ve Kum d lımışı f oml ol souçl Noes ve diğelei (989) ile ıpıp yıdı. Buul bilie bi-ivy meile

10 bud çlışıldığı üzee bğııdi sd souçlı ve eğiliği çılmyı ıslm içi ullılbili. Aslıd bud ıml eğile ullıl belili bi-ivy meilele ilili değildi. Bu sebeple bu eğile ubu eçe içsel özelileidi bul oodi çısı seçimie y d efes osı bğlı değildi. Bud dolyı bu eğilei bi lmd doğl bul edebiliiz ve çözümü e zıd eoi çıd bsi olcğıı umbiliiz. Bu ğme eği delemlei plı fomd eellile çözülebili değildi olduç bsi şeilde bulubilece biço plı fom çözümü vdı. Bu ez çlışmsıd Zef ve Kum (998) ı fiilei Ölid uzyıd ıml bi yüzey üzeidei eğile içi jeodezi çı ullıl yeide ele lımışı. Ayıc bu çlışmd bi-ivy meiğe ship ol -boyulu bi Lie ubud üesel eel helisi sbi ivmeli olm şlı şıılmışı. Elsi ol bilie lsi eği 744 de Diel Beoulli fıd Leohd Eule e öeile esemeye ice bi eli eseli eejisii miimize ede vysyoel poblemi çözümüdü (Love 97). Bu poblemi memisel idelizsyou veile biici deece sıı oşullıı yeeli olduğu sbi uzululu eğile içi eğiliği esii ielii miimize edilmesidi. Riem mifoldudi bi α(s) eğisi içi ii iceli ımlı: uzulu L(α) ve eğiliği esii oplmı E(α). Sbi L uzululu eğile uzyı ısılmış E fosiyoelii ii bi osı ol α eğisie bi elsi dei. Elsi vmı epey esidi. F bu vml ilili difesiyel eomeidei mode ylşıml dh yeidi. J. Le ve D. A. Sie Ölid uzyıdi üm plı elsilei sııfldımışı (Le 984). Ayıc N. Koiso Ölid uzylıı duumuu ele lmışı ve bi elsiğe yısy bi bşlıç değe poblemii e bi uzu zmlı çözümüü bulmuşu (Koiso 996). N. Koiso u bi diğe çlışmsıd (Koiso 99) l mifold ısılmış bi elsi ele lımışı.

11 Elsiği omples izdüşümsel düzlemde eğili sbiiyle bilie m ol sııfldıılmsı Bos u 999 ihli çlışmsıd eçeleşiilmişi. Sie (7) ı çlışmsıd elsi delemeleii üeme içi vysyo hesplmlıı lsi yöemlei ullılmışı. Ölid uzyıdi lsi vysyoel poblem ve ou Riem mifoldlı eelleşiilmesi de yı çlışmd öseilmişi. Se () de esisel eğiliği duumu çlışılmışı. Bu çlışmd lsi vysyoel poblem -boyulu belisiz Riem mifoldud ele lımışı. 4

12 . EMEL KAVRAMLAR ım. bi cümle ve i l cümleleii bi olesiyou şğıdi öemelei doğuls üzeide bi opoloji dıı lı:... (Hcıslihoğlu ). ım. Bi cümlesi ve üzeidei bi opolojiside oluş iilisie bi opoloji uzy dei (Hcıslihoğlu ). ım. bi opoloji uzy olsu. i ve ibi flı olı içi de sısı ile ve olıı içie l ve çı l cümlelei olc biçimde bulubilise opoloji uzyı bi Husdoff uzyı dei (Hcıslihoğlu ). ım.4 bi opoloji uzy olsu. içi şğıdi öemele doğu ise bi opoloji -mifold du dei. i. bi husdoff uzyıdı. ii. i hebi çı l cümlesi e vey i bi çı lcümlesie homeomofu. iii. syılbili çolu çı cümlelele öülebili (Hcıslihoğlu ). 5

13 ım.5 bi opoloji mifold olsu. osıı dei bi çı omşuluğu i bi çı l cümlesie homeomof ol lıbili. Bu homeomofizimi Ψ: ile öseelim. Ψ iilisie i osi bi hisı vey oodi omşuluğu dei (Hcıslihoğlu ). ım.6 bi opoloji -mifold ve i bi çı öüsü olsu. çı cümleleii idisleii cümlesi olm üzee öüsü içi yzılı. de y bi Ψ homeomofizimi lıd homeomof ol çı cümle olsu. Böylece oy çı Ψ olesiyou bi ls dei (Hcıslihoğlu ). ım.7 opoloji -mifolduu sııfıd bi lsı v ise ye sııfıd difesiyelleebili mifold dei (Msushim 97). ım.8 M bi difesiyelleebili mifold ve bi osı P M olsu. Bi X :C M R R fosiyou M üzeide e z bi eğii P osıdi j veöü ise X ye M i P osıdi bi j veöü dei. M üzeidei j veöleii cümlesi P ile öseili. 6

14 üzeide şğıdi şeilde ıml iç ve dış işlemle syeside bi eel veö uzyı olu. İç işlem: öyle i içi di. Dış işlem: öyle i içi di (Hcıslihoğlu ). ım.9 bi difesiyelleebili mifold ve osıdi j veölei uzyı olsu. veö uzyı i osıdi j uzyı dei (Hcıslihoğlu ). 7

15 ım. bi difesiyelleebili mifold olsu. üzeide bi veö lı diye ö ol ıml fosiyou dei ve üzeide veö llıı cümlesi ile öseili (Hcıslihoğlu ). ım. Bi difesiyelleebili mifoldu üzeide veö llıı uzyı veilsi. Ozm öyle i içi şelide ımlı döüşümüe üzeide Lie opeöü dei (Hcıslihoğlu ). Lemm. Lie opeöü üzeide şğıdi özelilee shipi: i. ii. iii. (Jobi özdeşliği) 8

16 İsp (O Neill 98). eoem. Bi difesiyelleebili mifoldu üzeide veö llıı uzyı veilsi. O zm ve içi di (Hcıslihoğlu ). İsp (Hcıslihoğlu ). ım. bi difesiyelleebili mifold ve üzeide eel değeli sııfıd bi fosiyo f olsu. O zm f i bi osıdi difesiyeli diye içi şelide ımlı fosiyou dei. Geçe ım eeğice içi di. Bud elde edili (Hcıslihoğlu ). 9

17 ım. M bi mifold olsu. üzeide veö llıı uzyı ve eel değeli fosiyolı hlsı olm üzee şelide bi iç çpım ımlı ise ye bi Riem mifoldu dei (Hcıslihoğlu ). ım.4 bi mifold olsu. üzeide veö llıı uzyı ve eel değeli fosiyolı hlsı olm üzee fosiyou ) -liee ) simei ) ( özelileii sğlıyo ise ye yı-riem mifoldu dei (Hcıslihoğlu ). ım.5 bi mifold olsu. üzeide veö llıı uzyı olm üzee

18 fosiyou içi i. ii. özelilei sğlıyos ye mifoldu üzeide bi fi oesiyo ve e de e öe ovy üev opeöü dei (Hcıslihoğlu ). üzedei bi veö lı ol i bi diğe X veö lı yöüdei üevi olm üzee ol ımlı (O Neill 98). ım.6 bi mifold ve bi çı lı olsu. döüşümü difesiyelleebili ise y üzeide difesiyelleebili bi eği dei (Msushim 97). Bud difesiyelleebili eği yeie ısc eği diyeceğiz. ım.7 bi (-)-mifold olsu.

19 fosiyou bi immesiyo ise mifoldu i bi hipeyüzeyi dei (Hics 974). ım.8 (Weie döüşümü): i bi hipeyüzeyi ve i biim oml veö lı olsu. dei ovy üev olm üzee içi ol ıml liee döüşümüe üzeide şeil opeöü vey i Weie döümüşü dei. Böylece ıml döüşümü self djoii (Hics 974). ım.9 (Guss delemi): de bi hipeyüzey ve şeil opeöü olsu. dei ovy üev olm üzee içi şelide ımlı opeöüe üzeide Guss lmıd ovy üev opeöü dei ve yuıdi deleme de Guss delemi dei (Hics 974). Jeodezile de i hipeyüzeylei üzeide öyle özel eğiledi i bul de doğulı oydığı olü üzeide oyl. ım. de hipeyüzeyi üzeide Jeodezi dee eği öyle bi pmei eğidi i bu eğii he osıdi ivme veöü ye oooldı. Yi eği

20 ise dı (Hcıslihoğlu ). Bud şu souç elde edili; eoem. Jeodezilei he odi hız veöleii uzululı sbii. İsp (Hcıslihoğlu ). Öe. dei üesi üzeidei hebi msiml jeodezi y bi büyü çembedi y d bi e odı (Hcıslihoğlu ). Öe. Bi silidi içi de msiml jeodezile y doğul y d bul di ol çembeledi vey d helisledi (Hcıslihoğlu ). ım. bi cisim olsu. üzeide ol bi veö uzyı Lie cebii dei eğe i ship olduğu bi Lie opeöü de şğıdi özelile üm ve içi sğlıyos: ) ) ) 4).

21 ım. difesiyelleebili bi mifold üzeide deeceside ovy esö lı şelide ol öyle bi döüşümdü i şğıdi oşulu üm ve içi sğl:. Lemm. Riem oesiyou ol şğıdi özelilei üm ve içi sğl: ) ) ) 4) 5). esie eğe yuıdi ()-(5) özelilei sğlıyo ise bi Riem oesiyoudu. İsp (Gy 99). 4

22 eoem. yı-riem mifoldu üzeide e bi oesiyou vdı öyle i: i. ii. üm. Budi ye üzeide Levi-Civi oesiyou dei ve şğıdi Koszul fomülü ile elde edili:. (O Neill 98). ım. olsu. esö üevie e öe bi Lie üevi dei eğe şğıdi özelile sğlıyo ise: i. ü ç ii. ü ç (O Neill 98). Lemm. olsu. Lie üevi şğıdi özelilei sğl: i. ii. iii.. 5

23 ım.4 difeesiyelleebili mifold ve yı zmd up olsu. up işlemi ve içi elemıı elemı öüe döüşüm difesiyelleebili ise ye Lie ubu dei (Sebe 995). ım.5 Lie ubu olsu. : ve : döüşümleie sısıyl sol ve sğ öeleme dei. ve döüşümlei diffeomofizimledi. Bu döüşümlei eslei ve di (O Neill 98). ım.6 Lie ubu ve üzeide veö lı olsu. içi ise veö lı sol-ivy veö lı dei. sol-ivy ise di (O Neill 98). eoem.4 içi olc şeilde bi e sol-ivy veö lı vdı. ubu biim elemıdı (Ke 99). Lie uubu üzeide üm sol-ivy veö llıı cümlesii ile öseiyouz. eoem.5 bi Lie ubu ve olsu. Ozm i. ii. 6

24 iii. dı (Ke 99). ım.7 bi Lie ubu ve `i biim elemı olsu. ı solivy veö llı sısıyl olm üzee şelide ımlı. Bu duumd Lie ubuu biim elemıdi j uzyı bi Lie cebi olu. Bu Lie cebie Lie ubu i Lie cebi dei ve ile öseili (Ke 99). eoem.6 bi Lie ubu ve `i Lie cebi olsu. Ozm di içi exp di (Sebe 994). ım.8 bi Lie ubu ve bi mei olsu. içi i. ise meiğie sol-ivy mei ii. ise meiğie sğ-ivy mei dei. ım.9 meiği hem sol-ivy hem de sğ-ivy ise meiğie bi-ivy mei dei. 7

25 ım. Uzyd ı heele ubu ile öseili ve şğıdi ibi ımlı: de. Ayıc bi Lie ubu ve bi mifolddu (Zef 995). ım. Lie ubu i Lie cebii ile öseili ve Ω Ω Ω Ω dı. Bud Ω lü sbi bi i-simei misi. Ayıc Ωx olm üzee bi e vdı. Bud uzyıdi veöel çpımıdı. Ayıc he elemı veölei ile veilebili. Bud bş içi dı. 8

26 . SABİ İVMELİ EĞRİLER Bu bölümde üzeide lı bi eğii e zm sbi ivmeli bi eği olcğıı şıcğız. Buu içi Zef ve Kum (998) ve Seli i (7) çlışmlıı ele lcğız. Bi eği boyuc hee ede bi ı cismi beliiği hee olsu. Bud eğii pmeesidi. olm üzee ivmei ieli şğıdi ibi ımlı J V V d. Bud X Y osyou bi-ivy meiği öseiyo ve bu meiği ımldığı ovy üev opeöüdü. ielii veö lı boyuc Lie üevi lııs S V V d V V d elde edili. Riem eğili esöü W W W olm üzee ied V V ifdesii şğıdi şeilde yzbiliiz V V R S V V V. Ayıc V V V V V V 9

27 yzbiliiz. Riem oesiyou içi (.) dı. Bud ve S i sııld sıfıldığıı bul eiğimiz içi V i ielii de sıfıldığıı bul edeiz. Bud (.) delemide V V S S V V delemi elde edili. Ayıc so eşiliği ye öe biici üevii e lıs şğıdi delemi yzbiliiz V V V V V. Bi ez dh yuıdi delemi biici eimii ieli lıbili f sıı olıd sıfılı. İed i iici eimi beze işlemle el V V V R S V V V elde edili. sol-ivy veö lı olm üzee

28 (.) yzılbili. Bu eşilile Milo (969) d bulubili. Böylece ieli biici vysyou şu şele eli; 4 V V. vysyou eyfi olduğud yuıdi delemi sıfı eşilemesi hlide 4 V V elde edili. Bud eğe V V yeie oulus o zm sbi ivme oşuluu sğly delem; V V (.) olu. Şimdi meiği bi-ivy olm özeliği ullılıs V

29 buluu. Bud olu ve böylece; 4 olu. Ayıc bu delemi (.) de ullıs; (.4) elde edili. (.4) delemi sğlıyo ise eği sbi ivmelidi. Geçee (.4) de iel l; (.5) soucu elde edili. Şimdi ifdesii sbi olduğuu öseelim.. Ayıc (.4) dei delem yeie sbi ivmeli eğilei bulm içi şğıdi yolu izleyebiliiz.

30 Eğe içi Eşiliğii sğlyc şeilde bi sbi veöü v ise eğimiz sbi ivmelidi. Geçee (.4) delemii sğldığıı öebiliiz. Bu eşiliği doğuluğuu öme içi ifdesii ull yuıdi delemi üevi lııs elde edili. Bud yi bulm içi delemii üevii l elde edili. Böylece. Böylece (.4) delemi eçelemiş olu. Ayıc de i sbi olmsı sğlcı.

31 4. JEODEZİK ÇAI HAREKEİ Bu bölümde bi yüzey üzeide y bi eğii jeodezi çısı ele lı sbi ivmeli eğile şıılcı. eoem 4. E ü S yüzeyi üzeide biim hızlı α eğisii sbi ivmeli eği olmsı içi eeli ve yeeli ş oml eğiliği buulmsıı i bi liee ifdesi olmsıdı. jeodezi eğiliği ve jeodezi İsp α eğisi E ü bi S yüzeyi üzeide biim hızlı bi eği olsu. S yüzeyii bi α () osıd α eğe veö uzyıı bi ooml bzı { ( ) Y( ) Z( )} ( ) R olsu. Bud Z Z oα S yüzeyii α eğisi boyuc oool biim veö lıdı ve Y Z olm üzee R( ) ( Y Z ) SO() çısı α : I S üzeide bi jeodezi çı dei. Böylece şğıdi delemle sğlı: α ( ) Y Z Y Z Z Y Bud oml eğili jeodezi eğili ve jeodezi buulm ol dldıılı. Eğe α eğisii Fee çısı { N B} üzee olus ve γ Z ve B i sıdi çı olm siγ cosγ τ γ yzılbili. α eğisii Dboux veöü w Y Z di. Geçee 4

32 w Y w Y Z w Z di. Dboux veöüü özelileide R ( ) ( Y Z ) olm üzee R ΩR yzılbili. Bud Ω w i i-simei mis öseimidi. Böylece Ω elde edili. Kı hee ubu () cümlesii elemlıı R( ) α( ) G( ) şelide lbiliiz. G ( ) SE( ) Lie ubud bi eği olu. Bu eğii sbi ivmeli olm hipoezleii şılım. İl ol V d GG d hesplıs 5

33 6 ) ( ) ( ) ( R R R V α α Ω α R R R Ω Ω α elde edili bud α di. Ayıc üev lııs Ω α w V dı e üev lııs Ω α α w w V Ω w w α Ω Z Y w α Ω Y Z w α elde edili. Ayıc Dboux veöü Z Y w ifdeside

34 7 Z Y Z Y w ( ) ( ) ) ( Y Z Z Y Z Y Z Y yzılbili. Bud beze şeilde ( ) ( ) ( ) Z Y w elde edili. Şimdi Ω α α α R Y Z w R R VG G Ω Ω ) ( Y Z w R R R R α α ) Ω Y R Z R R R olu. Bud VG G (4.6)

35 8 elde edili. Bizim mcımız sbi ivmeli eğiyi bulmı. Buu içi G V G i sbi olmsıı isiyouz. b b b eel değeli syıl olm üzee (4.6) ifdeside dı. Bud b b di. Ayıc (4.6) ifeside dı i eğe ve i değelei yeleie oulus ( ) b delemi elde edili. Şimdi ve b olm üzee b b olu. Bu difesiyel delemi çözümü c e b e d b d b

36 9 ( ) ( ) c b b b c c ol elde edili. Bud c ve b c b olm üzee b di. Bu duumd b b b ve b b c olm üzee b ve c olu. Dolyısıyl b b c c VG G 4 4 lü sbi bi mis olu. Böylece i bi liee ifdesi olu. esie eğe i bi liee ifdesi isele o zm G V G sbi bi misi. Böylece ) ( G eğisi ) ( SE üzeide sbi ivmeli bi eğidi.

37 Souç 4. S yüzeyi üzeide lı bi jeodezi (simoi) eği ydımıyl ıml SE( ) dei eğii sbi ivmeli eği olmsı içi eeli ve yeeli ş ve τ τ i sbi olmsıdı. İsp Eğe α S yüzeyi üzeide lı bi jeodezi eği ise o hlde ve (4.6) y öe γ π ve τ eşilileii elde edebiliiz. Böylece G VG τ τ τ τ τ τ dı. Eğe α simpoi bi eği ise dı ve (4.6) de γ ve τ olduğuu buluuz. Böylece G VG τ τ τ τ τ τ olu. Eğe u sbi ise olmlıdı. Bu difesiyel delemi çözümüde u u fosiyou elde edili. Şimdi τ τ delemii yeie değei oulus buulm içi çözüm bi diğe liee fosiyo ol τ α β dı. Bud α u β ω ve τ dı (Seli 5). u Öe 4. (Silidi yüzeyide jeodezile): Diesel α helisi R de C silidii üzeide spil bezeye bi eğidi i pmei delemi

38 x cosu y siu z bv şelidedi. Bud yıçp ve de silidiii yüseliğidi. Diesel α helisii eğiliği ve buulmsıı hespls b τ b b elde edili. Diesel α helisi C silidii üzeide bi jeodezii. α eğisii eğiliği ve τ buulmsıı he iisi de sbi olduğu içi α ydımıyl SE ( ) de elde edile G eğisi sbi ivmelidi. G V G sbi bi misdi. Bu edele Öe 4. v ( siucosu v ) doğulı ( u v ) ( siucosu v ) silidiide simoi eğiledi. Bi doğuu eğiliği sıfı olduğud silidi yüzeyidei hehi bi doğu simoi bi eğidi. Ayıc doğuu buulmsı d sıfı olduğud Souç 4. ye öe bu doğu ydımıyl SE ( ) de elde edile G eğisi sbi ivmelidi. Souç 4. Eğe γ ve sbi ise S yüzeyi üzeide eğili çizisi ydımıyl SE ( ) de elde edile G eğisi sbi ivmelidi. İsp Eğe α bi eğili çizisi ol bi eği ise bu duumd olu böylece G VG olu.

39 γ sbi olduğud τ dı ve Souç 4. e öe ve he iisi de i liee fosiyolıdı. Bu sebeple α α ve β β yzbiliiz dolyısıyl ω sbi olduğuu elde emiş oluuz. Bu sbilie dolyı α β α β ω ve olduğuu olylıl elde edeiz. O hlde G V G misi sbi olduğu öe α eğisi S yüzeyi üzeide bi sbi ivmeli eğidi. Öe 4. β : ( b ) R bi biim hızlı eği olsu. β ı > c yıçplı ve q R meezli üesi üzeide olduğuu vsylım. Eğe β yıçpı c ol bi çembe ise o hlde ve olu ve dolyısıyl olduğu c içi β ı buulmsı sıfıdı (Gy 99). Böylece Souç 4. e öe β ydımıyl SE ( ) de elde edile G eğisi sbi ivmelidi.

40 5. Bİ-İNVARİAN MERİĞE SAHİP OLAN BİR LIE GRUBUNDA SABİ İVMELİ EĞRİLER Bi-ivy mei e ship ol bi Lie ubu ve ou Levi Civi oesiyou olsu. i Lie cebii olsu. Dolysıyl olduğuu biliyouz. Bud e G i biim elemıdı. Ayıc ve dı. Bud dı. ım 5. bi pmeeli eği olsu. Bu duumd y eel helis dei eğe ı eğe veö lı bi sol-ivy veö lı ile sbi çı sğl ise. ım 5. Eğe yy pmeeli eği olsu ve eğe ı Fee çısıı ile ösemiş olus şelide ı buulmsıı ımlybiliiz. eoem 5. ( Lce ): bi Lie ubu olsu. de bi eğii eel helis olmsı içi ee ve yeeli ş dı bud sbii.

41 İsp (Çifçi 9). ım 5. bi Lie ubu ve i Lie cebii ve bi yy pmeeli eği olsu. O zm eğisie eğisii sol şifi dei eğe olu ise. Bud sol öelemedi. ım 5.4 y bi üesel eği dei eğe eğisi biim üe üzeide ise yi. eoem 5. Lie ubu üzeide eğisi içi olsu. ı bi eel üesel helis olmsıı ee ve yeeli şı ve dı. İsp (Çifçi 9). bi-ivy meiğe ship ol bi Lie ubu olsu ve i üzeide bi : eğisii Fee çısı olm üzee 4

42 delemlei vdı. Bud i Levi- Civi oesiyou ve ile sısıyl eğisii eğili ve buulm fosiyolıdı. Şimdi Fee heeide eğisi üzeide hee ede bi oyı ele llım. Mis öseimi ull hee (5.7) ile öseili. Bud bi eği ve biim veölee ship döme misidi. Böylece di. Dolyısıyl Dboux veöü olm üzee delemlei sğlı (Msh 5). Böylece Ω di. Bud Ω ; veöüe şılı ele lü isimei misi ve ; Dboux veöüdü. Bud 5

43 Ω di. eğisi biim hızlı olduğud olu. Böylece Ω dı. Böylece eşiliğide Ω olu. Bud ve dı. 6

44 Şimdi hespldığıd (5.8) buluu. Şimdi eğisii sbi ivmeli bi eği olmsı içi ee ve yee oşul (5.9) dı. Bud C 4 4 lü sbi bi misi: (5.) di. Bud sbiile (Seli 7). Bu duumd (5.9) ve (5.) d ve değişeli şğıdi üç difesiyel delem elde edili:. Ayıc biliyouz i α eğisii G Lie ubud sbi ivmeli bi eği olmsıı ee ve yeeli şı misii 4 4 lü sbi bi mis olmsıdı. eoem 5. bi bi-ivy meiğe ship ol Lie ubu olsu de bi üesel eel helis eğisi ydımıyl elde edile m ( ) eğisii sbi ivmeli bi eği olmsı içi ee ve yeeli ş ve τ biici deecede fosiyo olmsıdı. İsp α eğisi Lie ubud bi üesel eel helis olsu. O zm 7

45 di. Eğe α de sbi ivmeli bi eği ise di ve bud elde edili. Ayıc di ve dolyısıyl delemii elde edeiz. Bud 8

46 dı. Bud ve dı. Ayıc τ oşulu sğlmlıdı. Bud ve delemleide olu ve dolyısıyl elde edili. Böylece ve ı pmeesii liee fosiyou olduğuu isp emiş oluyouz. Eğe bi-ivy meiğe ship ol Lie ubud üesel eel helis ol α eğisi içi ve pmeesii liee fosiyou ise o zm eğisii bi sbi ivmeli eği olduğu şidı. 9

47 6. KOMPAK RIEMANN MANİFOLDUNDA SABİ İVMELİ EĞRİLER Riem mifolduu bi üç boyulu omp ve iiblı l mifoldu olsu. O hlde bi-ivy ol bi Riem meiğie shipi. Ayıc : eğisii Fee çısı olm üzee Fee fomülsyou öe delemlei elde edili. Bud M i Levi- Civi oesiyou ve ile sısıyl eğisii eğili ve buulm fosiyolıdı. Şimdi M 4 S R biim yıçplı ve oiji meezli bi üeyi ele llım. üzeidei bi α : I R S eğisi 4 R üzeide de bi eği ol iceleebili. Şimdi α eğisii 4-boyulu Ölid uzyıdi Fee çısı E E E } ve eğii { Fee çısı { N B κ τ } E olm üzee κ (6.) ve τ κ (6.) dı (Moede 4). 4

48 eoem 6. : I R S α biim hızlı ve yy uzululu pmeeye ship ol bi uzy eğisii sbi ivmeli eği olmsı içi ee ve yee ş ( s ) ± b ve ( s b) ( ps q) ( s b) dı. Bud b p q sbiile ve i i içi α eğisii 4 boyulu Ölid uzyıdi i-ici eğiliğidi. İsp α : I R S biim hızlı eğisi S üzeide olsu. Şimdi biliyouz i Fee- See heeide (ı cisim heeide) bi o α eğisi boyuc hee ede. Heeli cisimde oodi çısı bu eğii eğei omli N ve biomli B de oluşu. Bud hee (5.7) fomud beliilebili. Bu heele ilili döme misi ( N B) R dı. Biliyouz i α eğisii sbi ivmeli bi eği olmsıı ee ve yee şı G VG C dı. Bud C (6.) fomu öe 4 4 lü bi sbi misi. dese (6.) de κ x elde edili ve κ c4 dı. Bud x xx c x 4 (6.) dı. Şimdi dx x ds olduğud (6.) de 4

49 c 4 xdx ds x (6.4) dı. (6.4) de bi ee iel lııs x c s c (6.5) 4 5 elde edili. Bud c5 iel sbii di. (6.5) de x ( c s ) ± c 4 5 di. Ayıc x ve y dese (6.) de x y τ (6.6) x elde edili. Şimdi (6.6) d s ye öe üev lııs x y yxx yx x τ (6.7) x x ( x ) delemi elde edili. Şimdi (6.6) (6.7) ve τ κ κτ c delemleide x c y xy x( x ) x x yzbiliiz. Bu difesiyel delemde 4

50 x ( x ) c y 6 ds c (6.8) x x buluu. Bud 6 ullıs c sbi bi syıdı. Şimdi ( ) x c s c 4 5 delemii (6.8) de ( c s c5 ) c ( ( c s c ) c ( c s c ) y 4 c ) olu. Bud c 7 bi sbi syıdı. Bud ve κ c4 de κ dı. O zm (6.) de şğıdi difesiyel delemi yzbiliiz x x x ( x ) x x bud x ( x ) x x (6.9) olu. Şimdi (6.6) d ii ee s ye öe üev lııs şğıdi difesiyel delem elde edili: τ x yx ( x ) xyx 4x xy x ( x ) 4 4xxy 8x yx x ( x ) x yx ( x ) yx x x x y. ( 6. ) 4

51 Ayıc τ c olduğud x 4xx y x ( x ) xx ( x y ) (x ( x ) ) x y c dı. Eğe (6.9) delemi (6.) de ullılı ise x 4xx 6x x y y y c (6.) x ( x ) ( x ) olu. Eğe c4 b c5 p c4c7 ve içi c q c5c7 olu ise o zm x y y c4 ve y mılı x ( s b) ( s b) y ( s b) ( ps q) ( s b) y ( s b)( ps q) ( s b) ( ps q) p( s b) ( s b) ( s b) ( s b) ) y 8 ( s b) ( s b) ( ps q)( ) ( s b) ) ( s b) ) ( ps q) 4p( s b) 4( s b) ( s b) ( p( s b) ( s b)( ps q) ) ( s b) ) 44

52 olu. Şimdi x d x (6.) de yeleie oulus şğıdi iici meebede ol difesiyel delem elde edili: ( s b ) 4 y ( s b ) ( s b ) 6 y ( s b ) 4 y c. So ol eğe y y ve y i değeleii yuıdi difesiyel delemde ullıs o zm c olu. Bud şğıdi delemle ( s ) ± b (6.) ve ( s b ) ( ps q ) (6.) ( s b ) ve c yı ullıl G VG C c c c 4 olu. Bud C 4 4 lü bi sbi misi. Bud ivmeli olm oşuluu sğll. değelei α eğisii sbi 45

53 esie eğe ve (6.) ve (6.) dei ibi olus o zm (6. ) ve (6. ) de dolyı κ s b ve τ ps q olu. Ayıc (5.8) de G V G mis olu. Bud α sbi ivmeli bi eği olm oşuluu sğl. 4 4 lü sbi bi 46

54 7. -BOYULU YARI-RIEMANN MANİFOLDUNDA KLASİK ELASİK EĞRİLER 7. Fee Delemlei M bi -boyulu yı -Riem mifoldu ve ou yı-riem meiği ( X Y ) X Y x y x y x y olsu bud X ( x x ) Y ( y y ) dı. x y α : I M -boyulu yı-riem mifoldu M üzeide bi eği ve ν ( ) α ( ) eğili buulm τ ve Fee çısı { N B} olsu. O zm Fee delemlei εκn N εκ ετb B ε τn di. Bud ε N N ve ε B B dı (Ael Fedez 6). ε ım 7.. V veö lı V V > vey V olmsı hlide spcelie V V < olmsı hlide imelie V V ve V hlide ise lihlie dei. 7. Klsi Elsi Delem X ve Y veö llı içi Bce fomülü Y X Y X [ X Y ] XY YX di. 47

55 α ( ) M de bi eği olsu. O zm hız veöü V ν dı ve jeodezi eğiliği esi κ dı. α ( ) ( w ) eğile ilesi içi Fee çısıı ( N B ) w ile öseiyouz. Böylece W W( w ) α w ve α V( w ) v( w ) ( w ) dı. Bud V hız veöü ds v ve s yy-uzuluğu pmeesidi. d Eule delemleide [ W V ] [ W ν ] W( ν ) νw ] elde edili (Sie 7). Bud W( ν ) [ W ] ν 48

56 49 dı. Dolyısıyl ) ( ) ( W W V V V W W V W ν ν ν τ dı. Ayıc ) ( W W ν ν dı ve dolyısıyl ) ( 4 ) ( W R W W κ κ elde edili. Bud eğili esöü R ) ( ] Z Z Z Z Y X R Y X X Y Y X şelidedi. Şimdi M () : α bi eği ve ou uzuluğu L olsu. Bu duumd eyfi bi sbi syı λ içi elde edili. Bud W bi veö lı olm üzee W α içi yuıdi fomül hesplıs ) ( ) ( ) ( d L ds ds F L L ν λ λ κ λ κ α λ

57 5 olu. Bud W R ) ( yeie W R ) ( ifdesi yzılmışı. Şimdi W de ısmı iesyo yöemii ull ] ) ( [ ) ( ) ( ) ( L L w W W ds E W ds W W R W W F dw d Λ λ κ κ α λ elde edili. Bud ) ( ) ( ) ( R E Λ di ve κ λ Λ di (Sie 7). 7.. imelie eği -boyulu yı-riem mifoldu ol M i içide ) ( α bi imelie eği olsu. Eğii oml veö lı N ve bioml veö lı B spcelie olm üzee ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ds W R W ds W d W W F dw d L w λ κ κ λ κ κ ν λ κ ν κ α λ

58 α( ) ν κn N κ τb B τn yzbilii. Bud κ ve τ α eğisii sısıyl eğili ve buulmsıdı. eoem boyulu esisel eğiliği C ol yı-riem mifoldu M üzeide α ( ) bi imelie eği olsu. O zm α ( ) i bi elsi eği olmsı içi ee ve yee ş α ı κ eğiliği ve τ buulmsı içi κ c τ c C c Olcı.Bud c c sbiile ve c 5 λ c c dı. İsp M mifoldu esisel eğiliği C olduğud E i fomülüü E ( ) ( Λ ) C ( κn Λ C ) C ( κ N ( κ Λ C ) κτb ) C 6κκ ( κ κ Λκ Cκ κτ ) N (κ τ κτ ) B s s ss s s s s ol yzbiliiz. Böylece κ ss 5κ λκ Cκ κτ E 6κκ s N (κ sτ κτs ) B (7.4) dı. E eşiliğii sğlmsı içi 5

59 κκ s κ 5κ λκ Cκ κτ ss κ τ κτ s s olmlıdı. Yuıdi sisemi çözese κ c τ c C c elde edili. Bud c c sbiile ve c 5 λ c c di. esie κ τ ve C (7.4) de yeleie ous E delemii elde edeiz. Böylece α ı bi elsi eği olduğuu ösemiş oluuz. 7.. Spcelie eği -boyulu esisel eğiliği C ol yı-riem mifoldu M i üzeide α ( ) bi spcelie eği olsu. Bu duumd ye bğlı üç flı duum vdı: eoem boyulu esisel eğiliği sbi ol yı-riem mifoldu M i üzeide α bi spcelie elsi eği ve α ı ovy üevi olsu. Eğe veö lı spcelie ise bu duumd α ı eğiliği κ m( q s ( s p )) ve c buulmsı τ κ pmeesidi. dı. Bud c m p q ve sbiile ve s de yy-uzuluğu İsp spcelie ise 5

60 α( ) ν κn N κ τb B τn di. Bud κ ve τ sısıyl α ı eğili ve buulmsıdı. Bu duumd E i fomülü olylıl hesplbili: E κ ss κ λκ Cκ κτ N (κ τ κτ ) B. s s Bud s yy-uzuluğu pmeesidi. Elsi delemi E d κ κ λκ Cκ κτ ss κ τ κτ s s difesiyel delemlei elde edili. Bud iici delemde iel lııs κ τ c olu. Bud c sbii. Eğe biici delemi zm s ile çpı so iel lıs o s 4 κ ( C λ/) κ c 4 / κ A elde edili. Bud A sbii. Ayıc eğe u κ olus o zm 5

61 u s u λ 4( C ) u 4 Au 4c (7.5) olu. Bu delem u s p( u ) şelide olduğud sd eilei ull elipi fosiyol biçimide ol çözümü elde edebiliiz. Bud P üçücü deecede bi poliomdu. P (u ) poliomud P () 4c ve lim P( u ) m dı. Böylece u ± eğe u κ olus o zm (7.5) delemii sbi olmy bi çözümü vdı. Bud P (u )> olmsı eei. Böylece P (u ) u üç eel öü vdı. Bud dolyı ii duum vdı:. hl: α α α. hl: α α α. (7.5) delemii u s u α )( u m α )( u α ) (7.6) ( şelide yzbiliiz. Böylece (7.6) delemii çözümü u u( s ) α ( q s ( s p )) dı. Bud p α ± α α ± α αq q α ± α α ± α α 4 p dı. 54

62 Ayıc α α ve α ile P (u ) u syılı sıd şğıdi bğııl vdı: 4C λ mα mα α 4c α α α 4A ± α α α α α α. Bud l ve üs sembolle sısıyl. ve. hllei ösemeedi. eoem boyulu esisel eğiliği C ol yı-riem mifoldu M i üzeide α bi spcelie eği ve α ı ovy üevi olsu. Eğe imelie ise o zm α ( ) ı bi elsi eği olmsı içi ee ve yee ş α ı eğiliği κ buulmsı τ ve esisel eğiliği C olm üzee κ c τ c C c olmsıdı. Bud c c sbiile ve 5c λ c c dı. İsp imelie ise α( ) ν κn N κ τb B τn di. Bud κ ve τ sısıyl α ı eğiliği ve buulmsıdı. Bu duumd E i fomülü olylıl hesplbili: κ ss 5κ λκ Cκ κτ E 6κκ s N (κ sτ κτs ) B. (7.7) 55

63 Bud s yy-uzuluğu pmeesidi. Elsi delemi E d κκ s κ 5κ λκ Cκ κτ ss κ τ κτ s s olu. Biici ve üçücü delemlede iel lıs κ c τ c di. Bud 5c λ c c olm üzee C c di. esie eğe κ τ ve C yi (7.7) de yeleie oys E delemii elde edeiz Bu d α ı bi elsi eği olmsı demei. eoem boyulu esisel eğiliği sbi C ol yı-riem mifoldu M i üzeide α bi spcelie elsi eği ve α ı ovy üevi olsu. Eğe lihlie ise o zm eğili κ ve buulm s e τ d s e τ s c τ d ( c s ) d > d d < di. Bud λ C d ve c iel sbiidi. İsp lihlie olduğud α ı Fee delemlei 56

64 57 ) ( B B N N N τ τ ν α di. Bud κ ve τ α i buulmsıdı. Bud E i fomülü hesplıs; N C E s λ τ τ olu. Şimdi E delemide λ τ τ C s vey d s τ τ (7.8) dı. Bud C d λ dı. d sbi olduğud (7.8) delemii eel çözümü < ) ( > d s c d d c s d d e e s s τ τ τ di. Bud c iel sbiidi.

65 8. SONUÇLAR Bu ezde difesiyel eomeii eğile eoisi hee eomeiside uyulmışı. Bu çlışmd hee eomeiside sbi ivmeli eğile ele lımışı. Bu mçl veile emel ımlı yı sı SE() ubu üzeide ele lı bi eğii sbi ivmeli olm duumu icelemişi. Bi soi şmd ise bu eğii bi yüzey üzeide ele lımsı hlide sbi ivmeli olm oşullı şıılmışı. Bi eğii sbi ivmeli olmsı Seli (7) fıd hee uplı içi icelemişi. Bud icelee eği uzyd düşüülmüşü. Ac eğii yüzey üzeide vey eel ol hehi bi mifold üzeide ele lımsı esi lmışı. Bu ez çlışmsıd yuıd bhsedile esiliği ideilmesi hedeflemişi. Bu çıd bıldığıd bud elde edile souçl iemi içi öemli bi uyulmy ship olcı. Bi diğe souç ol bi-ivy meiğe ship Lie uplı üzeide lı bi eğii sbi ivmeli olm hipoezlei veilmişi. Bul e ol bi eğii omp Riem mifoldlıd sbi ivmeli olmsı içi eeli oşull icelemişi. Ayıc Loez uzyıd ele lı bi eğii elsi olmsı içi hipoezle oy oulmuşu. Beze çlışmlı diğe uzyld d ypılmsı öeilebili. 58

66 KAYNAKLAR Bos M. Gy O. J. d Sie D. A Elsice wih cos sl i he complex pojecive ple d ew exmples of willmoe oi i five sphees ohou Mh. J Vol. 5 pp Boem O. d Roh B. 99. heoeicl Kiemics. New Yo: Dove Publicios. Çifçi Ü. 9. A eelizio of Lce s heoem. Joul of Geomey d Physics Vol. 59 pp Dvis H Iodcio o olie diffeeil d iel equios Dove New Yo. Fedez A. Gueeo J. Jvloyes M. A. d lucs P. 6. Picles wih cuvue d buulm i -dimesiol psedo-riemi spce foms J. Geom. Phys Vol. 56 pp Gy A 99. Mode Diffeeil Geomey of Cuves d Sufces wih Mhemic. Liby of Coess Uied Se of Ameic. Hcıslihoğlu H. H.. Difesiyel Geomei Cil I IV. Bsı. Özel Yyı. Hics Noel J Nos o Diffeeil Geomey V Nosd Reihold Compy Lodo pp. -6. Ke A. d Nov J Spce Kiemics d Lie Goups Godo d Bech Sciece Publishes. Koiso N O he moio of he cuve owds elsic Aces de l ble ode de eomeie diffeeielle e I hoeu de Mcel Bee (Collecio SMF Semiies Coes o ed. A. L. Besse) pp Koiso N. 99. Elsice i iemi submifold Os J. Mh Vol. 9 pp Le J. Sie D. A Koed elsic cuves i R J. Lodo Mh Vol. pp Lopez R. 8. Diffeeil eomey of cuves d sufces i Loez-Miowsi spce Uivesiy of Gd. Love A. E. H. 97. A eise o he Mhemicl heoy of Elsiciy Cmbide Uivesiy PessCmbide Eld. Msh D. 5. ime deivives of scews wih pplicios o dymics d siffess. Mech. Mch. heoy Vol. 4 pp

67 Msushim Y. 97. Diffeeible Mifold Mcel Dee Ic. New Yo. (sled by E.. Kobyshi) pp Moede J. 4. Cuves wih cos cuvue ios. Xiv:mh/4v [mh.dg]. Noes L.. Nullcubics d Lie qudics. J. Mh. Physics Vol. 44 pp Noes L. Heızıe G. d Pde B Cubic splies o cuved spce. IMA J. Mh. Cool If. Vol. 6 pp O Neill B. 98. Semi-Riemi eomey Acdemic Pess. Se I. Abzi N. Emeci N. d Yyli Y.. he Clssicl Elsic Cuves i Loez-Miowsi Spce I. J. Coemp. Mh. Scieces Vol. 6 No. 7 pp. 9. Seli J. M. 5. Geomeic Fudmel of Roboics d. New Yo: Spie. Seli J. M. 7. Cuves of sioy cceleio i SE(). IMA J.Mh. Cool If. Vol. 4 pp Sie D. A. 7. Lecues o Elsic Cuves d Rods Cse Wese Reseve Uivesiy Cleveld OH P. Sebe S Goup heoy d Physics Cmbide Uivesiy Pess. Zef M. d Kum V wo mehods fo iepoli iid body moios. Poceedis of he IEEE Ieiol Cofeece o Roboics Auomio Vol. 4 Leuve Belium pp Zef M. Kum V. d Coe C O he eeio of smooh heedimesiol iid body moios IEEE scios o Roboics d Auomio. 6

68 ÖZGEÇMİŞ Adı Soydı Doğum Yei : Nem ABAZARI : Psbd I. Doğum ihi : 97 Ybcı Dili : İilizce Eğiim Duumu Lise: Adzoo Lisesi (99). Liss: biz Üivesiesi Fe Füesi Memi Bölümü (994). Yüse Liss: Vli As Üivesiesi Fe Fülesi Memi Bölümü (). Doo: A Üivesiesi Fe Bilimlei Esiüsü Memi Abilim Dlı ( Şub 7 Oc ). Çlışığı Kuuml ve Yıl: Adbil Islmi Azd Üivesiesi Fe Fülesi Memi Bölümü 4... Yyıl: Abzi N. Yyli Y.. Sioy Acceleio Cuves of Geodesic Fme i SE() Ausli Joul of Bsic d Applied Scieces Vol. 5 No. 9 pp Abzi N.. A Opiml Cool Poblem fo Riid Body Moios i Miowsi Spce Applied Mhemicl Scieces Vol. 5 No. 5 pp

69 Abzi N.. he Fee Fme d Dboux Veco of he Dul Cuve o he Oe-pmee Dul Spheicl Moio Applied Mhemicl Scieces Vol. 5 No Se I. Abzi N. Emeci N. Yyli Y.. he Clssicl Elsic Cuves i Loez-Miowsi Spce I. J. Coemp. Mh. Scieces Vol. 6 No Abzi N. Bhmpou K.. A oe o Bss umbes of Aii locl cohomoloy modules Ausli Joul of Bsic d Applied Scieces Vol. 5 No. pp Abzi N. Bhmpou K.. O he fiieess of Bss umbes of locl cohomoloy modules Joul of Aleb d Is Applicios Vol. No. 4 pp Abzi N. Yyli Y.. Sioy cceleio cuves i Lie oup wih bi-ivi meic (Değeledime şmsıd). Abzi N. Yyli Y.. he Clssicl Elsic Cuves i -Dimesiol Idefiie-Riemi Mifold (Değeledime şmsıd). Abzi N. Hcisliholu H. H.. he Pich he Ale of Pich d he Disibuio Pmee of Closed Ruled Sufce (Değeledime şmsıd). 6