T.C. SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ BĐR VĐNÇTEKĐ YÜK SALINIMININ BULANIK MANTIK TABANLI KONTROLÜ Selçuk UÇUK YÜKSEK LĐSANS TEZĐ MAKĐNA MÜHEDĐSLĞĐ ANABĐLĐM DALI KONYA, 009

2

3 ÖZET YÜKSEK LĐSANS TEZĐ BĐR VĐNÇTEKĐ YÜK SALINIMININ BULANIK MANTIK TABANLI KONTROLÜ Selçuk UÇUK Selçuk Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Makne Mühendslğ Anablm Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Koray KAVLAK 009, 86 Sayfa Jür: Yar. Doç. Dr. Koray KAVLAK Yar. Doç. Dr. Mete KALYONCU Yar. Doç. Dr. Arf ANKARALI Bu çalışmada klask (PD, PID) denetleycler ve bulanık (fuzzy) denetleyc, br köprülü vncn mnmum salınımlı konum kontrolünü sağlamak amacıyla tasarlanmıştır. Denetm sstemler, klask denetleycler ve bulanık denetleycler açıklanmıştır. Daha sonra sstemn hareket denklemler elde edlmştr. Vncn bulanık mantık kontrolü çn sstem Matlab Smulnk yazılımı yardımıyla modellenmştr. Doğrusal olmayan hareket denklemler, doğrusallaştırıldıktan sonra klask kontrol ( PD ve PID ) tasarımında kullanılması çn transfer fonksyonu bulunmuştur. Bu denetleycler ssteme uygulanarak konum-zaman ve salınım-zaman grafkler elde edlmş ve denetleycler karşılaştırılmıştır. Anahtar Kelmeler: Köprülü Vnç, Denetm Sstemler, Klask Denetleycler, Fuzzy Denetleycler, Matlab, Smulnk.

4 ABSTRACT Master s Thess FUZZY LOGIC BASED CONTROL OF THE LOAD VIBRATIONS OF A CRANE Selçuk UÇUK Selçuk Unversty Graduate School of Natural and Appled Scences Department of Mechancal Engneerng Advsor: Assst. Prof. Dr. Koray KAVLAK 009, 86 Page Jury: Assst. Prof. Dr. Koray KAVLAK Assst. Prof. Dr. Mete KALYONCU Assst. Prof. Dr. Arf ANKARALI In ths study, the conventonal controllers (PD, PID) and fuzzy controller are desgned wth the am to obtan poston control by mnmum oscllaton of an overhead crane. The control systems, conventonal controllers and fuzzy controllers are explaned. Then equatons of moton of the system are obtaned. The system s modelled for fuzzy logc based control of crane by means of Matlab Smulnk software. After nonlnear equatons of moton are lnearzed the transfer functon s found to be use n conventonal control desgn. The conventonal (PD, PID) and fuzzy controllers are appled to system and poston-tme, oscllaton-tme graphs are obtaned and fnally controllers are compared Key Words: Overhead Crane, Control Sytems, Conventonal Controllers, Fuzzy Controllers, Matlab, Smulnk.

5 ÖNSÖZ Öncelkle, bu tez hazırlamamda hçbr zaman yardımlarını esrgemeyen değerl danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Koray Kavlak a ve Sayın Yrd. Doç. Dr. Mete Kalyoncu ya teşekkürlerm sunarım. Sadece tez dönemnde değl, hayatım boyunca sonsuz desteklern benden esrgemeyen aleme ve bu tezde, az veya çok emeğ geçen tüm arkadaşlarıma, dostlarıma şükranlarımı sunarım. Selçuk UÇUK

6 ĐÇĐNDEKĐLER ÖZET... Đ ABSTRACT... ĐĐ ÖNSÖZ... ĐĐĐ ĐÇĐNDEKĐLER... ĐV SĐMGELER... VĐ KISALTMALAR... VĐĐ 1. GĐRĐŞ KAYNAK ARAŞTIRMASI OTOMATĐK DENETĐM SĐSTEMLERĐ Matematksel Modelleme Kontrol Yöntemler Açık çevrm kontrol yöntemler Kapalı çevrm kontrol yöntemler Kontrol Sstemlernde Kararlılığın ncelenmes Zaman tanım düzlemnde kararlılık analz Karmaşık düzlemde kararlılık analz Klask Kontrol Yöntemler Kontrol organının kazanç katsayılarının ayarlanması Bulanık Mantık Denetm Bulanık kümeler Üyelk fonksyonu Bulanık kümelerde şlemler Bulanık kümelern özellkler Bulanık modelleme VĐNÇ KONTROL SĐSTEMĐNĐN TASARLANMASI Grş Vnç Sstemnn Matematksel Modellenmes Lagrangan dnamkler analz Çalışma noktası yakınında doğrusallaştırma Sstemn transfer fonksyonu... 5 v

7 4.3. Sstemn Kararlılık Analz Geleneksel Denetleyclern Tasarımı PD denetleyc tasarımı PID denetleyc tasarımı Bulanık Mantık Denetleyc Tasarımı TARTIŞMA SONUÇ VE ÖNERĐLER KAYNAKLAR v

8 SĐMGELER K p K d K T T d t d t r t p M p :Oransal kazanç :Türev kazancı :Đntegral kazancı :Đntegral zaman sabt :Dferansyel zaman sabt :Geckme zamanı :Yükselme zamanı :Tepe zamanı :Maksmum aşma t s :Oturma zamanı u ( t) :Kontrol snyal e ( t) :Hata A ( x) µ :Üyelk fonksyonu M m g x :Vncn kütles :Sarkaç yükünün kütles :Yer çekm vmes :Arabanın yatay pozsyonu x 1 θ y l L T U D :Sarkacın yatay pozsyonu :Salınım açısı :Sarkacın dkey pozsyonu :Sarkaç p uzunluğu :Lagrangan :Sstemn toplam knetk enerjs :Sstemn toplam potansyel enerjs :Sürtünmede kaybolan enerj F : x ( t) ve ( t) :q serbestlk derecesnde oluşan net kuvvet θ serbestlk dereceler q :Genelleştrlmş kordnatlar v

9 KISALTMALAR PD PID ISE TSK KDS ANFIS YSA Ref. BMD Der. Rad. :Oransal Türevsel Kontrol (Proportonal Dervatve Control) :Oransal Đntegral Türevsel Kontrol (Proportonal Integral Dervatve Control) : Hatanın Karesnn Đntegral (Integral of Squared Error) :Takag-Sugeno-Kang :Karar Destek Sstem : Adaptve Neuro Fuzzy Đnference System : Yapay Snr Ağları : Referans noktası : Bulanık Mantık Denetleyc : Derece : Radyan v

10 1. GĐRĐŞ Günümüzde sanayde ve lmanlarda ağır nesnelern br yerden başka br yere taşınmasında en çok vnçler kullanılmaktadır. Ancak yükün salınım hareket, yükün taşınması şlemnn vermn ve güvenlğn azaltmaktadır. Bu nedenle yükün salınım açısının düşürülmes son derece öneml br problemdr. Bu problem vnç sstemlernn salınım kontrolü olarak blnr ve kontrol mühendslernn uzun zamandır lgsn çekmektedr. Kontrol mühendsler bu problem çözmek amacıyla brçok denetleyc gelştrmşlerdr. Gelştrlen denetleyclerde aranan temel özellk; daha önceden br ön blg olmadan genş br aralıktak yükler taşırken salınımı en aza ndrerek pozsyon kontrolünü sağlayablmelerdr. Bu durum endüstryel br vnçte olması gereken br özellktr. Bu amaçla tasarlanan denetleycler arasında daha çok bulanık mantık denetleycler ve PID denetleycler dkkat çekmektedr. PID denetleycler genel olarak bast, güvenlr ve etkndr. Düşük malyetl ve kullanımı kolaydır. Ayrıca alt düzey doğrusal sstemlerde performansı çok yüksektr. Bu nedenlerle modern endüstrlerde en çok blnen ve en çok kullanılan denetleyclerdr. Bunun yanı sıra sabt kazanımlı olduklarından dolayı sstemdek parametre değşklklern telaf edemez ve çevredek değşklklere uyum sağlayamazlar (Baykal ve Beyan 004). PID denetm teknğnde sstemn matematksel modellemes ve denetleycnn parametre ayarı, denetleyc yürürlüğe konulmadan önce yapılır. Bulanık mantık denetleycs otomatk denetm alanına, Ebrahm Mamdan nn 1974 yılında Sedrak Asslan le beraber Londra Ünverstes Quenn Mary Colege da yaptığı buhar maknesnn bulanık denetm uygulaması le grmştr (Elmas 003). Denetm alanındak yüksek performansı ve matematksel olarak modellenemeyen sstemlere ble uygulanablmes nedenyle ev eşyalarından otomotv sanayne kadar endüstrnn her alanında oldukça genş br uygulama alanı vardır. Bu çalışmada klask kontrol yöntemler (PD, PID) ve ler kontrol yöntemlernden bulanık mantık denetleycler le br köprülü vncn pozsyonu ve yük salınımları kontrol edlmş ve denetleyclern performansı karşılaştırılmıştır. 1

11 Sstemn sürtünmeler hmal edlerek matematksel model elde edlp, klask kontrol le lgl şlemlerde elde edlen modeln salınım açısı sıfır derece yakınlarında olduğu varsayılarak doğrusallaştırılmış ve transfer fonksyonu elde edlmştr. Bu transfer fonksyonuna Matlab Smulnk ortamında PID bloğu eklenp bloğun katsayı ayarları yapılmak suret le sstemn klask denetleycler le denetm sağlanmıştır. Bulanık mantık yöntemnde se Bulanık Koşullu Çıkarım Mekanzması (Fuzzy Condtonal Rules Đnference) olarak adlandırılan kurallar kullanılmaktadır. Bu yöntem le EĞER.. O HALDE kurallarına dayanarak sebep ve sonuçlara göre bulanık denetleyc tasarlanmış ve doğrusal olmayan Smulnk model üzerne uygulanmıştır.

12 . KAYNAK ARAŞTIRMASI Br köprülü vncn modellenmes ve kontrolü uzun zamandır araştırma konusu olmaktadır. Brçok araştırmacı vnçlern salınım kontrolü konusu üzernde çalışmıştır. Çalışmalar genel olarak k grupta toplanablr: Açık çevrm kontrol Kapalı çevrm kontrol Açık çevrm kontrol dış etkenlerden kaynaklanan salınım hareketn bastıramazlar. Aynı zamanda genş br yük yelpazesnde tatmn edc performans verememektedrler. Dğer taraftan salınım hareketnn kapalı çevrm metodu, var olan salınım hareketn bastırarak mnmze eder ve eklenen sensörlern yardımıyla dış etklerden kaynaklanan hataları gderr. Omar ve Nayfeh (005), köprülü vnçler çn çeştl uzunluklardak halat ve yük durumlarında pozsyon ve ttreşm denetm yapablen kazanç programlayan uyarlamalı ger beslemel br denetleyc tasarlamışlardır. Sürtünmenn etksn en aza ndreblmek çn tahmn br matematksel sürtünme model gelştrmşlerdr. Gelştrdkler bu modele göre sürtünmeye karşı br kontrol eylem uygulamışlardır. Br deney düzeneğ kurarak yaptıkları denetleycy, bu düzenekte çalıştırmışlardır. Sonuç olarak mekank sstemlerde sürtünme etksn azaltmak çn sürtünmey karşılama teknğnn etkleyc br yaklaşım olduğunu, kapalı çevrm br kontrolörün bozucuları (dsturbance) yok etmekte etkl ayrıca sstem parametrelernn değşmne karşı duyarsız olduğunu belrtmşlerdr. Tasarladıkları kontrolörün yükün salınımını azaltmada ve uygun zamanda taşınmasında etkl olduğunu göstermşlerdr. Omar ve ark. (003), br köprülü vncn pozsyon ve ttreşm kontrolü sağlamak amacıyla vncn ler-ger ve sağa-sola hareketlern göz önüne alarak k özdeş bulanık denetleycden oluşan bulanık mantık tabanlı br denetleyc gelştrmşler, tepe vncnn prototpn yapıp üzernde denemşlerdr. PID denetleyc le karşılaştırarak bulanık denetleycnn PID denetleycye göre çok daha başarılı olduğunu, değşk yük ve taşıyıcı halat uzunluğunda salınım ve pozsyon kontrolünü 3

13 başarı le gerçekleştrdğn ayrıca değşk vnç türlernde de gerekl ayarlamalar yapıldığı takdrde başarılı olableceğn belrtmşlerdr. Lu ve ark. (005), k serbestlk derecel köprülü vncn pozsyon ve ttreşm kontrolünü sağlamak çn uyarlamalı değşken tp br bulanık mantık tabanlı denetleyc tasarlayıp br prototp düzeneğ kurmuşlardır. Kurdukları bu prototpte vncn hareketn br servo motor le gerçekleştrp yük ttreşmlern sensör vasıtasıyla ölçmüşlerdr. Deneyler sonucunda kontrol kuralları tasarımının pozsyon ve ttreşm kontrolünü garant edeceğn ve yaptıkları denetm sstemnn kararlılığının ve performansının yüksek olduğunu fade etmşlerdr. Mahfouf ve ark. (000), br köprülü vncn ttreşm kontrolünü sağlamak çn bulanık mantık tabanlı br denetleyc tasarlayıp kontrolörün değşk yük ve sarkaç uzunluğu altında çalışmalarını Matlab smulasyonları le ncelemşlerdr. Bulanık mantık br kontrolörün genş yük yelpazesnde oldukça y performans gösterdğn belrtmşlerdr. Wahyud ve Jalan (006), köprülü vnçler çn ttreşm ve konum kontrolü yapan bulanık mantık temell br denetç gelştrmşlerdr. Yaptıkları bulanık mantık denetleyc le PID denetçler karşılaştırarak bulanık mantık denetleycnn parametre değşmlerne karşı daha yüksek performans gösterdğn fade etmşlerdr. Y, Yubazak ve Hrota (003), k serbestlk derecel br köprülü vncn pozsyon ve ttreşm kontrolünü sağlamak çn bulanık mantık tabanlı br denetleyc tasarlamışlardır. Tasarladıkları kontrolcünün değşk p uzunluklarında verml olduğunu ve kapalı döngü br PID denetleycye göre salınımı daha hızlı zole ettğn bulmuşlardır. Yağsan (005), köprülü vncn konum ve ttreşm kontrolünü sağlamak amacı le önce Zegler-Nchols metodu le PID kazanç katsayılarını ( K, K ve p d K ) bulmuş ve ssteme bozucu koyarak smülasyon yapmıştır. Daha sonra genetk algortma kullanarak PID katsayılarının optmzasyonunu yapmış burada, ISE ( hatanın karesnn ntegral) krtern baz alarak, mnmum karesel hatanın ntegral değernn, üst aşım ve yerleşme süresn mnmum yapmasını beklemştr. Đk yöntem karşılaştırarak genetk algortmaların, sstemn tam olarak blnmedğ ve parametrk belrszlğn yüksek olduğu sstemlerde PID kontrolörlere göre çok daha 4

14 y sonuç verdğ, ele alınan sstemn belrszlğ çok yüksek olmasa da genetk algortmaların daha verml br kontrol sağladığı sonucuna varmıştır. Chang ve Hwang (006), köprülü vncn konum ve ttreşm kontrolünü gerçekleştrmek çn bulanık mantık tabanlı br denetleyc tasarlamışlardır. Bulanık mantık denetleyc çn sstemn karmaşık matematksel kuralları gerektrmedğn, bunun yerne bulanık kurallar kullanıldığını ve bu kuralların tecrübel operatörlern çalışmasını temel aldığını, ayrıca yüklern daha hızlı ve daha düzgün taşınması çn tasarladıkları denetleycnn güvenlr olduğunu fade etmşlerdr. Chang (007), köprülü vnçler çn bulanık mantık tabanlı uyarlamalı br denetleyc gelştrmştr. Kullandığı bulanık mantık denetleycde karmaşık matematksel denklemler yerne, bulanık kurallar ve br uyarlama algortması vardır. Uyarlama algortması, parametreler ayarlamak çn kullanılmıştır. Uyarlamalı bulanık mantık denetleycnn, ttreşm kontrolünde çok etkl br yöntem olduğunu ve bu yöntemn dğer brçok sstemde kullanılableceğn belrtmştr. 5

15 3. OTOMATĐK DENETĐM SĐSTEMLERĐ Br sstemn davranışının stenlen br ş akışı doğrultusunda çalışmasını sağlamak amacı le yapılan çalışmalara "kontrol" denr. Davranışları kontrol eden sstemler se "denetm sstemler" olarak adlandırılırlar. Dnamk sstemlern kontrolünün temeln oluşturan ger besleme kavramının blncne 19. yüzyılın sonunda varılmış olmasına rağmen esk çağlardan ber blndğ ve başarı le uygulandığı anlaşılmaktadır (Kuo 1995). Br kontrol sstem genel anlamda dört temel öğeden oluşur; Grş brmler Çıkış Kontrol edlen sstem: Çıkışları kontrol edlecek sstem. Denetleyc (Kontrolör): Kontrol edlen sstemn verlen amaca yönelk çıkışları üretmes çn gerekl olan kontrol şaretlern üreten elemanlar topluluğu (genelde elektronk br devre ve/veya bu devre üzernde döngüsel çalışan programlardır). Şekl 3.1 Genel br denetm sstem yapısı 3.1. Matematksel Modelleme Sstem oluşturan elemanlar, bu elemanların brbr le nasıl bağlı olduğu, her br elemana lşkn denklemler, sstemn matematksel modeln oluşturur. Blnen Fzk, Kmya v.b. kanunlar kullanılarak sstem çersndek şaretlern brbr le lşkler matematksel olarak fade edlr. Özellkle sstemn grş şaret le çıkış şaret arasındak bağıntı transfer fonksyonunu verr. 6

16 3.. Kontrol Yöntemler Matematk model belrlenen br sstem kontrol etmek çn kullanılablecek kontrol yöntemler, açık çevrm ve kapalı çevrm olarak k ana gruba ayrılır Açık çevrm kontrol yöntemler Kontrol şaret çıkış şaretnden etklenmeyen sstemlere açık çevrm denetm sstemler denr. Örnek olarak klask çamaşır maknes, trafk lambaları verleblr. Sekl 3. Açık çevrm kontrol sstem Açık çevrm denetm sstem; sstemde oluşan değşklkler veya ssteme etkyen bozucu faktörler neden le sstemn çıkışında oluşablecek etkler düzeltemez. Örneğn; aşağıda temsl edlen oda sıcaklık kontrolü; Şekl 3.3 Açık çevrm sstemle oda sıcaklık kontrolünün yapılması 3... Kapalı çevrm kontrol yöntemler Ssteme etkyen kontrol şaretnn, sstem çıkışının da göz önüne alınarak üretldğ kontrol sstemlerne kapalı çevrm (ger beslemel) kontrol sstemler denr. Çıkışın aşağıda görüldüğü gb sstem grşn etklemesne ger besleme denr. 7

17 Şekl 3.4 Kapalı çevrm kontrol sstem Açık çevrm oda sıcaklığı kontrol örneğ kapalı çevrm le yapılırsa aşağıdak gb olur: Şekl 3.5 Kapalı çevrm sstemle oda sıcaklık kontrolünün yapılması 3.3. Kontrol Sstemlernde Kararlılığın ncelenmes Kurulan modellere göre transfer fonksyonu elde edlen br sstemn dnamk davranışı, geçc durum cevabından saptanır. Denetm sstemlernn, kararlılık, hızlı cevap ve küçük kalıcı hal hatası şeklnde asgar üç özellğ sağlaması gerekr. Br denetm sstemnn dnamk davranışının en öneml özellğ kararlılığıdır. Kararlı sstem, sınırlı grşe sınırlı br cevap veren sstem olarak tanımlanır. Dğer br fade le, eğer sstem sınırlı br referans grş ve bozucu grş karşısında sınırlı büyüklükte br cevap veryorsa kararlıdır denr. Kararlı br sstem, br bozucu grş karşısında geçc durum davranışı gösterdkten sonra tekrar denge konumuna dönen sstemdr. 8

18 3.3.1 Zaman tanım düzlemnde kararlılık analz Sstemlern test edleblmes çn bazı öneml grş fonksyonları tanımlanmıştır. Bu grş fonksyonları yardımıyla matematksel çözümler gerçekleştrleblr. Zaman tanım bölges davranışı brm basamak cevabına göre nceleneblr. Đknc mertebeden brm ger beslemel br sstemn zaman tanım bölges cevabının tpk br fades ve grafğ aşağıdak gbdr, burada ζ sönüm oranıdır ve karalı sstemler çn 0 < ( ζ ) < 1 arasındadır. c 1 ζwnt 1 ( t) = 1 e sn( 1 ζ t + ζ ) cos 1 ζ (3.1) Şekl 3.6 Zaman alanı cevabı parametreler Zaman cevabının ncelenmesnde kullanılan parametreler grafk üzernde gösterlmştr. Bunların tanımları aşağıdak gbdr. Geckme Zamanı, td: Geckme zamanı, cevabın nha değernn yarısına lk defa ulaşması çn geçen zamandır. Yükselme Zamanı, tr: Yükselme zamanı, cevabın nha değernn %10 dan %90 nına, %5 den %95 ne veya %0 dan %100 üne kadar ulaşması çn geçen 9

19 zamandır. Aşırı sönümlü brnc dereceden sstemler çn %0-100 yükselme zamanı kullanılır. Salınımlı sönümlü sstemlerde se genel olarak % yükselme zamanı kullanılır (Yağsan 005). Tepe Zamanı, tp: Tepe zamanı cevabın nha değern lk defa aşarak br tepe yaptığı noktaya erşmes çn gerekl zamandır. Maksmum Aşma, Mp: Cevap eğrsnn t = tp ken aldığı genlk değerdr. Eğer cevabın nha kalıcı durum değer brm değerden farklı se, aşağıdak formül le tanımlanan maksmum aşmanın yüzde değer kullanılır. ( t ) C ( ) Maksmum Aşım Yüzdes = % C p 100 (3.) C ( ) Maksmum aşmanın mktarı doğrudan doğruya sstemn bağıl kararlılığını belrler. Brnc dereceden geckmel sstemlerde cevap eğrs hçbr zaman olması gerektğ nha değer aşmadığından maksmum aşma tanımlanmaz, sıfırdır. Oturma Zamanı, ts: Oturma zamanı, cevap eğrsndek salınım genlklernn müsaade edleblr tolerans değer sınırlarına erşmes çn geçen zamandır. Müsaade edleblr tolerans değerler se, genellkle nha değern %5 veya % lk aşma değerler olarak tanımlanır. Oturma zamanı denetm sstemnde tanımlanan en büyük zaman sabtdr. Brnc dereceden geckmel sstemlerde oturma zamanının yükselme zamanına eşt olduğu kabul edleblr. Sönüm Oranı (ζ ): Ssteme herhang br grş uygulandıktan sonra meydana gelen geçc hal söner ve gerye kararlı hal hataları kalır. Sstemde genellkle basamak, rampa ve parabolk test fonksyonları kullanılır. Sönüm oranı ( ζ ), kararlı sstemler çn 0 < ( ζ ) < 1 arasındadır. ζ küçüldükçe aşım artar. Yukarıda tanımlanan zaman alanı cevabı le lgl özellkler sstemlern uygun cevap hızlarına göre tasarımlarında büyük önem arz ederler. Eğer td, tr, tp, Mp ve ts değerler belrleneblrse sstemn cevap eğrsnn bçm saptanablr. Burada tanımlanan tüm özellklern verlen herhang br duruma uygulanması gerekl değldr. Örneğn aşırı sönümlü knc derece ve brnc derece sstemler çn tepe zamanı ve maksmum aşma tanımları geçerl değldr. 10

20 Çok düşük genlkl ttreşmlern dah müsaade edlmedğ bell uygulamalar dışında, sstemn geçc durum cevabının yeter kadar hızlı ve yeter kadar sönümlü olması gerekr. Buna göre knc dereceden br sstemden arzu edlen br geçc durum cevabı elde edleblmes çn sönüm oranının 0.4 le 0.8 arasında olması gerekr. 0.4 den küçük sönüm oranı değerlernde geçc durum cevabında aşırı büyüklükte br aşma değer ve buna karşılık sönüm oranın değernn 0.8 den büyük olduğu durumlarda se sstem cevabı çok yavaştır. Gerçekte se maksmum aşma değer le oturma zamanı değer brbrne göre zıtlık teşkl eder (Yağsan 005). Dğer br deyşle sstemn aynı anda hem maksmum aşma ve hem de oturma zamanı değerler küçük tutulamaz. Eğer bunlardan brs küçük tutulacak olursa dğernn büyük tutulması gerekr. Br kontrol sstemnde, zaman alanında, c(t) çıkışının; yükselme süres, geckme zamanı, yerleşme zamanı ve maksmum aşım değerlernn küçük olması stenr. Bunların dışında kalıcı hal hatasının küçük kalması da kontrol sstemnden beklenen en büyük özellklerden br tanesdr. Grş le kalıcı hal çıkışı arasındak bu küçük farka kalıcı veya sürekl hal hatası denr ve ess le gösterlr. Grş r(t), çıkış y(t) le tanımlanırsa sürekl hal hatası; e(t) = r(t) y(t) (3.3) olarak fade edlr Karmaşık düzlemde kararlılık analz Kapalı döngü br sstemn kararlılığı, transfer fonksyonu kutuplarının karmaşık düzlemdek (s-alanı) yerlerne göre saptanablr. Sstemn kutupları se transfer fonksyonun paydası olan karakterstk denklemn kökler olarak bulunur. Br ger beslemel sstemn kararlı olablmes çn gerek ve yeter şart sstem transfer fonksyonu kutuplarının negatf gerçek kısımlara sahp olmasıdır. Transfer fonksyonu kutuplarının karmaşık düzlemdek yer, sstemn kararlılığının yanında dnamk davranışını da tanımlar. Đstenlen kararlı br cevaptır. Bu nedenle br sstemn mutlak olarak kararlı olablmes çn, tüm kutuplarının sol yarı s-düzlem çnde yer alması gerekr. Kutuplardan br tanes dah sağ yarı düzlemde yer alırsa sstem kararsız olur. 11

21 Br ger beslemel denetm sstemnn kararlılığının belrleneblmes çn, transfer fonksyonunun paydası olan karakterstk denklemn köklernn belrlenmes gerekr. s nn br polnomu olan karakterstk denklemn dereces küçük se kökler kolaylıkla belrlenr. Buna karşılık polnomun dereces büyüdükçe köklern bulunması zorlaşır. Dğer taraftan sadece sstemn kararlı olup olmadığının bulunması gerektğnde karakterstk denklemn köklernn şaretnn belrlenmes yeter kadar blg sağlayablr. Bu durumda köklern bulunmasına gerek kalmadan kararlılığın ncelenmes yeterldr. Karmaşık sayı düzlemnde köklern bulunmasına gerek kalmadan kararlılığın ncelenmes, Routh-Hurwtz kararlılık ölçütü le yapılablmektedr. Şekl 3.7 Köklern s-düzlemndek yerlerne bağlı olarak değşen an darbe cevap eğrler 1

22 3.4. Klask Kontrol Yöntemler Klask kontrol yöntemlernden üç terml kontrol edc olan PID kontrol edcler, günümüzde endüstrde kullanılan otomatk ger beslemel kontrol chazlarının %90 nında kullanılmaktadır (Sarıoğlu1999). Geçmşte PID kontrol edcler frekans analz metotları yardımı le ayarlanır ken şu an modern yaklaşımda klask denetleyclern ayarları süreç modelne bağlı olarak oluşturulmaktadır. Kolayca gösterlebleceğ gb PI (oransal + ntegral) kontrol edc, brnc dereceden doğrusal zamanla değşmeyen sstemler çn optmum br çözüm sunmaktadır. Benzer olarak PID (oransal + ntegral + türevsel) kontrol edc de, knc dereceden doğrusal zaman geckmes çermeyen sstemler çn optmum çözüm sunmaktadır. Fakat gerçek hayattak sstemler çoğu zaman doğrusal değldr ve zamanla süreç karakterstkler değşklk göstermektedr. Dolayısıyla doğrusal br model çn seçlmş başlangıç, kontrol edc sstemn zaman le değşerek farklı br bölgede şlemeye başladığı durumlarda uygulanablrlkten çıkacaktır. Buna br çözüm brden fazla kontrol edc tanımlamalarının daha önceden hafızaya alınması veya br yerde tutulması ve süreç çalışma bölgesn değştrdkçe buna uygun kontrol edcnn devreye grmesnn sağlanmasıdır. Bu stratej parametrk- veya kazanç- tarfl kontrol olarak adlandırılır ve çalışma bölgesnn değştğ süreçlerde oldukça yaygın br kullanım alanı bulmaktadır. Daha y br teknk se kontrol edcy adaptf olacak şeklde ayarlamaktır. Bu şeklde doğrusal modeln parametreler o ank sürecn karakterstklerne bağlı olarak sürekl güncellenecek, yenlenecektr. Bu yöntemden kontrol edcnn ayarları sürekl olarak süreç modelndek değşmlere bağlı olarak güncellenmektedr. Bu gb yapılar genelde otomatk-ayarlı / adaptf / kendnden ayarlı gb tanımlamalar le ntelendrlr. Aşağıda temel ger beslemel br sstem gözükmektedr. 13

23 Şekl 3.8 Ger beslemel kontrol sstem Burada denetleyc, kontrol edlecek sstem çn uyarıyı sağlayıp sstem denetlemek çn tasarlanmıştır. PID Kontrol edcnn transfer fonksyonu aşağıdak şekldedr: 1 de ( t) u( t) = K e t + e t dt + p ( ) ( ) τ d τ dt Burada T = K / K p ve Td = sabtler olarak smlendrlrler ve ve K d / (3.4) K p dr. T ve Td ntegral ve türev zaman K p de kontrol edc kazancıdır. Burada K p, K, sırası le oransal, türev ve ntegral kazançlarıdır. U(t) kontrol edcnn çıkışı, e(t) de hata snyal ve kontrol edcnn grşdr. Değşken (e) zleme hatası, stenlen grş değer (R) le gerçek çıkış değer (Y) arasındak farkı gösterr. Bu hata snyal (e), PID denetleycye gönderlr ve denetleyc bu hata snyalnn hem türevn hem de ntegraln hesaplar. Denetleycnn ürettğ (u) snyal, oransal kazanç ( K ) le hata değer, ntegral kazancı ( K ) le hatanın ntegral, türevsel kazanç ( K ) le hatanın türev çarpımlarının toplamına eşttr. Üretlen bu (u) snyal denetlenen ssteme gönderlr ve yen çıkış (y) elde edlmş olur. Elde edlen (y) çıkış snyal algılayıcıya ger gönderlerek yen hata snyal (e) bulunur. Denetleyc hatayı sıfırlayana kadar aynı şlemler tekrar eder. Yukarıdak eştlk br başka formda; u( s) e( s) = K p 1 + sτ d olarak fade edleblr. τ + s d p K d (3.5) 14

24 Klask denetleyc tasarımının temel hedef K p, K d, K veya K p, katsayılarının bulunması ve verlen kapalı döngü sstemn performans koşullarını sağlayacak şeklde ayarlanmasıdır. τ, τ d Kontrol organının kazanç katsayılarının ayarlanması Uygulamada, kullanılan kontrol organlarının y sonuç verecek şeklde ayarlanması öneml br kontrol problemdr. Kontrol organının tpne bağlı olarak, orantı kazancı K nın, ntegral zaman sabt τ nn ve dferansyel zaman sabt τ d nn en y ayarı çn deneysel ve hesaplamaya dayanan metotlar gelştrlmştr Kontrol organının deneysel ayarı Kapalı çevrm kontrol sstemnn referans değernde basamak fonksyonu şeklnde br uyarı sağlandığı zaman, sstem cevabının yen dam rejm değerne en kısa zamanda ve kararlı br şeklde erşmesn sağlayan kontrol organı ayarı en y ayar kabul edlr. Bu amaçla seçlen br ölçüt, kontrol büyüklüğü c t eğrsnn knc aşama genlğ g nn, brnc aşama genlğ g 1 e oranı dörte br olmalıdır: g / g1 = 1/ 4 (Şekl 3.9). Genlk oranı ölçütünün matematksel br dayanağı olmamasına rağmen, hızlı cevap ve çabuk sönümleme sağladığı deneysel olarak saptanmıştır. Ancak bu ölçüte göre bulunacak kontrol organı ayar değerlernn tek olmadığı da blnmektedr. 15

25 Şekl 3.9 Genlk oranı ölçütü Zegler ve Nchols metotları 1. Sürekl ttreşm metodu Deneysel metotlar arsında en tanınmış olanlardan brdr. Bu metodun esası kapalı çevrml br kontrol sstemn sadece orantı kazancı le deneye tab tutmaktır. Ssteme brm basamak grş uygulanır. K kazanç değer, sstem sürekl ttreşm yaptıracak değere ayarlanır. Bu K değerne peryoduna se Pu denr. K u denr, bu durumdak ttreşm Şekl 3.10 Sürekl ttreşm grafğ Kontrol organı tpne göre kazanç katsayıları aşağıdak tablodak şlemler yapılarak bulunur. 16

26 Tablo 3.1 Sürekl ttreşm metodu le denetleyc ayar tablosu. Proses reaksyon eğrs metodu Zegler ve Nchols tarafından önerlen knc metot olan bu metodun esası, açık çevrml sstemn brm basamak grşne verdğ cevabın ncelenmesnden barettr. Şekl 3.11 Proses reaksyon eğrs Kontrol organının en y ayar değerler, başlangıçtak zaman geckmes L ve eğrnn maksmum eğm T parametreler vasıtasıyla aşağıdak gb hesaplanır: 17

27 Orantı (P) kontrol organı çn K = 1 L. N (3.6) Orantı + ntegral (PI) kontrol organı çn K = 0.9 L. N (3.7) τ = L 0.3 (3.8) Orantı + ntegral + türev (PID) kontrol organı çn K = 1, L. N (3.9) τ = L 0.5 (3.10) τ d = 0.5.L (3.11) Burada g g 1/ 4 genlk oranı şartının orantı (P) kontrol çn tek çözümü / 1 = vardır. Fakat dğer kontrol organları (PD, PID) çn brden fazla çözümü vardır. Yukarıda anlatılan metotlarda sadece en y kontrol organı ayarına yakın değerler bulunur. Bulunan bu değerler, yalnızca başlangıç değerler olarak ele alınmalı ve daha y çalışma şartları sağlanıncaya kadar deneylere devam edlmeldr Bulanık Mantık Denetm Bu yaklaşım lk defa Amerka Brleşk Devletlernde düzenlenen br konferansta 1956 yılında duyurulmuştur. Ancak bu konudak lk cdd adım 1965 yılında Lotf A. Zadeh tarafından bulanık mantık veya bulanık küme kuramı adı altında ortaya konmuştur. Zadeh bu çalışmasında nsan düşüncesnn büyük çoğunluğunun bulanık olduğunu, kesn olmadığını belrtmştr. Bu yüzden 0 le 1 gb değşkenlerden oluşan Bolean mantık bu düşünce şlemn yeterl br şeklde fade edememektedr. Đnsan mantığı açık, kapalı, sıcak, soğuk, 0 ve 1 gb değşkenlerden oluşan kesn fadelern yanı sıra, az açık, az kapalı, sern, ılık gb ara değerler de 18

28 göz önüne almaktadır. Bulanık mantık klask mantığın aksne k sevyel değl, çok sevyel şlemler kullanmaktadır. Ayrıca Zadeh nsanların denetm alanında, mevcut maknelerden daha y olduğunu ve kesn olmayan dlsel blglere dayanarak etkl kararlar alabldklern savunmuştur. Klask denetm uygulamalarında karşılaşılan zorluklar nedenyle, bulanık mantık denetm alternatf yöntem olarak çok hızlı gelşmş ve modern denetm alanında genş uygulama alanı bulmuştur (Elmas 003). Bulanık mantıklı kontrolün klask kontrol yöntemlerne göre brçok üstünlükler mevcuttur. Koşulların ve kaynakların ntel, kesnlksz ve belrsz olduğu durumlarda özellkle lneer olmayan sstemlerde bu metot oldukça avantaj sağlar. Ancak bu metodun olumsuz yönler de vardır. Bu zorluklar kural tanımlama güçlükler, optmzasyon problemler, hesaplamadak güçlükler ve malyet olarak sıralanablr Bulanık kümeler Klask küme kuramında br nesne o kümenn ya elemanıdır ya da değldr. Hçbr zaman kısm üyelk olamaz. Nesnenn üyelk değer 1 se kümenn elemanı, 0 se elemanı değldr. Başka br fade le klask kümelerde elemanların üyelkler yalnızca 0 ve 1 değerlern alır. Bulanık kümelerde se br nesne o kümenn belrl br üyelk derecesnde elemanıdır. Örneğn üyelk dereces 0 se nesne kümenn elemanı değldr, 1 se kümenn tam elemanıdır. Ara değerlerde se nesne kümenn kısmen elemanıdır. Kısm üyelğn başlaması demekse, aynı zamanda kısmen üye olmama durumunun da başlaması anlamına gelr. Klask Mantık Bulanık Mantık Şekl 3.1 Klask ve bulanık küme farkı 19

29 Bulanık kümelern gösterm A, X nesneler uzayında br bulanık küme olsun. Eğer A bulanık kümesnn elemanları keskl se, A = n = 1 µ A ( x ) / x = µ A ( x1 ) / x1 + µ A ( x ) / x µ A ( x n ) / x n (3.1) Sürekl se, µ (3.13) A = A ( x) / x şeklnde gösterlr. Burada sgma, ntegral ve kesr şaretlernn matematksel br anlamı yoktur. Brlktelğ gösterrler. ( ) µ ; A bulanık kümesnn üyelk A x fonksyonudur. Bu fonksyonun alacağı değere de kümesndek üyelk değer denr ve ( ) (Görgülü 007). A x x elemanının A bulanık µ [0,1] şeklnde gösterlr Üyelk fonksyonu Evrendek her eleman herhang br derecede br bulanık kümenn üyesdr. Bulanık kümelerde, elemanlar bell br derecede üyelğe sahptrler. Üyelkler sıfırdan farklı olan elemanlar kümesne bulanık kümenn dayanağı denr. Evrendek her x elemanının br bulanık kümeye atlk derecesn veren fonksyona, üyelk fonksyonu ( x) konusudur: µ denr. Üyelk fonksyonlarının tanımlanmasında k yöntem söz A Sayısal tanımlama Bu durumda, br bulanık kümenn üyelk fonksyonunun değer, boyutu ayrıklaştırma derecesne bağlı sayılardan oluşan br vektör olarak temsl edlr. n a µ f = (3.14) u = 1 0

30 Fonksyonel tanımlama Burada üyelk fonksyonları br fonksyonla tanımlanır. Gaussan, üçgen, yamuk gb fonksyonlar olablr. Bu fonksyonlar bulanık mantık denetmnde kullanılablr. Çünkü bu fonksyonların normalzasyonu ve değşmlere uyarlanablme artmetğ daha kolaydır. Br üyelk fonksyonu beş kısımdan oluşur. Bunlar, üyelk fonksyonunun çekrdeğ, desteğ, sınırları, dönüm noktası ve yükseklğdr (Şekl 3.13). Bulanık kümenn tam üyelğe sahp elemanlarının oluşturduğu topluluğa üyelk fonksyonunun çekrdeğ (özü) denr ve ( x) µ = 1 şeklnde gösterlr. Üyelk dereces sıfırdan büyük olan elemanların oluşturduğu topluluk üyelk fonksyonunun desteğ olarak adlandırılır. Matematksel olarak { x E ( ) > 0} DESTEK A = µ A x (3.15) şeklnde gösterlr. Br üyelk fonksyonunun sınırları, 0 le 1 arasında üyelk derecelerne sahp elemanların oluşturdukları bölgedr. Genelde tüm üyelk fonksyonlarında br çekrdeğn sağında ve br de solunda olmak üzere k sınır bölges vardır. Bulanık kümelerde 0.5 üyelk derecesne sahp elemanların oluşturdukları bölge üyelk fonksyonunun dönüm noktası olarak tanımlanır. Br bulanık kümenn yükseklğ üyelk dereces en yüksek olan elemana karşılık gelr. Elemanlardan en az brne at üyelk dereces 1 se bu bulanık küme normal bulanık küme olarak tanımlanır (Şekl 3.13). Normal olmayan bulanık kümede bulunan tüm elemanların üyelk derecelernn en büyük üyelk derecesne bölünmes le normal hale dönüştürüleblr (Baykal ve Beyan 004). A Şekl 3.13 Üyelk fonksyonunun kısımları 1

31 Üçgen Üyelk Fonksyonu Üçgen üyelk fonksyonu a 1, a ve a 3 olmak üzere 3 parametre le tanımlanır. a parametres bu üyelk fonksyonunun çekrdeğn oluştururken a1 - a 3 parametreler arasında kalan değerlerde desteğn oluşturmaktadır. Yan çekrdektek eleman sayısı 1 olan üyelk fonksyonlarıdır. Üçgen üyelk fonksyonu kullanılarak br elemanın üyelk derecesnn hesaplanması, elemanın değerne (x) göre yapılır. Fonksyon a1< x< a ( x a1) /( a a1) µ A ( x; a1aa3 ) = a < x< a3 ( a3 x) /( a3 a ) (3.16) x > a3ve. x < a1 0 olarak tanımlanır ve aşağıdak gb gösterlr: Yamuk Üyelk Fonksyonu Şekl 3.14 Üçgen üyelk fonksyonu Yamuk üyelk fonksyonu a 1, a, a 3 ve a 4 olmak üzere dört parametre le tanımlanır. Aslında üçgen üyelk fonksyonu yamuk üyelk fonksyonunun özel br durumudur. Bu fonksyonda a1 - a ve a3 - a 4 arasında kalan değerler fonksyonun sınırlarını oluşturmaktadır. Fonksyonun çekrdeğ se a - a 3 parametreler arasında kalan noktalardır. Yamuk üyelk fonksyonunda değer x olan br elemanın üyelk derecesnn hesaplanması a1< x< a ( x a1) /( a a1) a < x< a3 1 µ A( x; a1, a, a3, a4 ) = (3.17) a3< x< a4 ( a4 x) /( a4 a3) x > a4ve. x < a1 0 olarak tanımlanır ve Şekl 3.15 dek gb gösterlr:

32 Şekl 3.15 Yamuk üyelk fonksyonu Gaussan üyelk fonksyonu Bu üyelk fonksyonu m ve σ parametreler le ( x u f ) µ f ( x) = exp (3.18) σ f olarak tanımlanır ve Şekl 3.16 dek gb gösterlr: Şekl 3.16 Gaussan üyelk fonksyonu Bu fonksyonda m fonksyona at olan dağılış σ da dağılışın şekln belrler. Eğer σ küçük olursa üyelk fonksyonunun göstermş olduğu dağılış daha svr olur. Bu değer büyüdükçe dağılış yayvanlaşacaktır (Baykal ve Beyan 004). Gaussan üyelk fonksyonunun çekrdeğ m dr. Çekrdeğn sağında ve solunda kalan elemanların oluşturduğu bölge se fonksyonun sınırlarını oluşturmaktadır. 3

33 Sgmodal Üyelk Fonksyonu Sgmodal β ve α olmak üzere k parametre le 1 x (3.19) 1 + e µ ( ; β, α ) = A β ( x α ) olark tanımlanır ve Şekl 3.17 dek gb gösterlr: Şekl Sgmodal üyelk fonksyonu Bu üyelk fonksyonunda β ; eğrnn eğmn göstermektedr. α parametres se eğrnn dönüm noktası olup üyelk dereces dama 0.5 e eşttr. Sgmodal üyelk fonksyonunun çekrdeğ z, x le z arasında kalan elemanların oluşturduğu bölgede sınırlıdır. S Üyelk Fonksyonu S üyelk fonksyonu a 1, a ve a 3 parametreler le tanımlanan br fonksyondur. Bu fonksyonun adı şeklnn S harfne benzemesnden kaynaklanmaktadır. Eğer fonksyon artış eğlmnde se < x< a1 0 a1< x< a [( x a ) /( a3 a1) ] µ A ( x; a1, a, a3) = (3.0) a < x< a3 1 [( x a ) /( a3 a1) ] a3 < x < + 1 olarak tanımlanır ve Şekl 3.18 dek gb gösterlr: 4

34 Şekl 3.18 Artış şeklndek S üyelk fonksyonu Fonksyon azalış eğlmnde se < x< a1 1 a1< x< a 1 [( x a1) /( a3 a1) ] µ A ( x; a1, a, a3) = (3.1) a < x< a3 [( x a ) /( a3 a1) ] a3 < x < + 0 olarak tanımlanır ve Şekl 3.19 dak gb gösterlr: Şekl 3.19 Azalış şeklndek S üyelk fonksyonu Bu fonksyonda a parametres fonksyonun dönüm noktasıdır ve x eksenndek yer dama a 1 ve a 3 parametrelernn tam ortasıdır. Her k şeklde de a 1 ve a 3 parametrelernn arasında kalan değerler fonksyonun sınırlarını oluşturur. P üyelk fonksyonu P üyelk fonksyonu 4 parametre le tanımlanmaktadır. Fonksyonun sm şeklnn p smgesne benzemesnden kaynaklanmaktadır. S fonksyonundan farklı olarak fonksyon üyelk değer k taraflı 0 değerne doğru asmpotk olarak azalır. lp ve rp parametreler arasında kalan değerler fonksyonun çekrdeğn oluştururken, ld ve rd noktaları dönüm noktalarıdır. P üyelk fonksyonu 5

35 x< lp lw / lp + lw x ( x; lw, lp, rp, rw) = lp< x< rp 1 x > rp rw /( x rp + rw) µ A (3.) olarak tanımlanır ve Şekl 3.0 dek gb gösterlr (Baykal ve Beyan 004). lw = lp ld (3.3) rw = rd rp (3.4) şeklnde tanımlanır. Şekl 3.0 P üyelk fonksyonu Bulanık kümelerde şlemler Klask kümelerdek şlemlere benzer olarak bulanık kümelerde de kesşm, brleşm ve değl şlemler yapılmaktadır. Kesşm şlem çn mnmum şlemc brleşm çn maksmum şlemc kullanılmaktadır Kesşm şlem Đk bulanık kümenn ortak elemanlarının üyelk derecelernn büyüklüğü dkkate alınarak kesşm noktaları ve bu noktalara at üyelk dereceler tespt edlr. Zadeh ortaya koyduğu bulanık küme teorsnde, bu üyelk derecelernden en küçük olanlarının alınacağını belrtmştr. A ve B olarak smlendrlen k bulanık kümenn kesşm, { x E mn.( µ A ( x), µ ( x)) } A B = (3.5) B şeklnde gösterlr. Bu eştlkte verlen bulanık kümenn üyelk fonksyonu da { x E mn.( µ ( x), ( x)) } µ A B = A µ B (3.6) olarak tanımlanır (Görgülü 007). 6

36 Brleşm şlem Đk bulanık kümenn brleşm kümesnn elemanları maksmum şlemc le gösterlr. Her k kümede üyelk değer olan elemanlardan en büyük üyelk derecesne sahp olan elamanlar, brleşm kümesn oluşturmaktadır. { x E maks.( µ A ( x), µ ( x)) } A B = (3.7) B Đk bulanık kümenn brleşm (3.7) denklemndek gb gösterlr (Zadeh 1965; Dualbe 003). Bu brleşm kümesnn üyelk fonksyonu da (3.8) denklemndek gb tanımlanır (Görgülü 007). { x E maks.( µ ( x), ( x)) } µ A B = A µ B (3.8) Tümleyen şlem A bulanık kümesnn tümlemeyen ( A ), A kümesnn değl olarak anlaşılablr. Bulanık A kümesnn tümleyen, A { x E µ = 1 ( )} = (3.9) µ x A ( x ) A şeklnde gösterlr (Zadeh 1965). Burada görüldüğü gb br elemanın üyelk derecesn 1 e tamamlayan değer bulunarak o elemanın tümleme şlem gerçekleştrlmektedr. Buna göre br kümenn tümleyen bulunması çn bütün elemanlarının tümleyen bulunmalıdır. Örneğn elemanları keskl tanımlanmış br A kümes çn; A =,, kümesnn tümleyen (3.31) eştlğnde verlen tanıma göre A =,, olur Aynı özellk Şekl 3.1 de elemanları sürekl tanımlanmış A ve B kümeler çn; Şekl 3.1 Elemanları sürekl tanımlanmış bulanık kümeler 7

37 kümelernn tümleyen (3.9) eştlğnde verlen tanıma göre Şekl 3. dek gb olur: Şekl 3. Sürekl tanımlı bulanık kümelern tümleyen Fark Đşlem (k kümenn farkı) Đk bulanık kümenn farkı, brnc küme le knc kümenn tümleyennn kesşmnden oluşur. A B = (A \ B) = A B (3.30) B A = (B \ A) = B A (Baykal ve Beyan 004). (3.31) Fark şlemnn grafksel olarak gösterm Şekl 3.3 dek gbdr: Şekl 3.3 Bulanık kümelerde fark şlem Bulanık kümelern özellkler Brleşme özellğ A (B C) = (A B) C (3.3) A (B C) = (A B) C (3.33) Dağılma özellğ A (B C) = (A B) (A C) (3.34) A (B C) = (A B) (A C) (3.35) 8

38 Tek kuvvet özellğ A A = A A A = A (3.36) (3.37) E ve φ le yutma özellğ A E =E, A φ = φ (3.38) Etksz eleman özellğ A E = A A φ = A (3.39) (3.40) Geçşllk Özellğ A B C se O HALDE A C (3.41) Tümleyennn tümleyen özellğ A = A (3.4) Değşme özellğ A B = B A A B = B A (3.43) (3.44) Yutma özellğ A (A B) = A (3.45) A (A B) = A (3.46) 9

39 Demorgan kuralı ( A B) = A B (3.47) ( A B) = A B (3.48) Denklk formülü ( A B) ( A B) = ( B) A ( B) A (3.49) Smetrk fark formülü ( A B) ( A B) = ( B) A ( B) A (3.50) Üçüncünün olablrlğ ve çelşeblrlk özellğ Bu özelk bulanık kümeler klask kümelerden ayıran tek özellktr, dğer özellkler k küme tp çnde geçerldr. Klask kümelerde üçüncünün olmazlığı ve çelşmezlk lkes (A A = E, A A = φ ) vardır. Bulanık kümelerde se bu kural geçerllğn kaybederek yerne çelşeblrlk ve üçüncünün olablrlğ lkes gelr. A A E, A A φ (3.51) Şekl 3.4 Çelşeblrlk ve üçüncünün olablrlğ Bulanık modelleme Karmaşık sstemlern modellenmes çok zor br ştr. Karmaşık br sstemde, hatalı modellemeler kararsız sstemlere ya da kararsız sstem performansına yol açablr. Bulanık mantık denetleme, matematksel modellenmes zor veya mkânsız 30

40 olan sstemlern denetm algortmasını oluşturmak çn nsanın karar verme şlemnn ntel durumunu kullanarak alternatf br seçenek sunar. Bulanık mantık denetleyclerde genel olarak, bulandırma ara yüzü, çıkarım motoru (karar verme mantığı), durulama ara yüzü ve blg tabanı olmak üzere dört bölümden söz edleblr. Şekl 3.5 de bulanık mantık denetleyclern genel yapısı görülmektedr. Şekl 3.5 Bulanık mantık denetleyclern genel yapısı Bulandırma ara yüzü Bulanıklaştırmanın k anlamı vardır. Bunlardan brncs, kesn br değern üyelk dereces le fade edlen bulanık br değere dönüştürülmesdr. Đkncs se, sayısal br grd değernn, uygun üyelk fonksyonu kullanılarak bell br üyelk dereces le sözel br değşkene dönüştürülmes şlemdr. Bu amaçla bu aşamada kullanılacak üyelk fonksyonları, bu fonksyonların x eksenndek konumu ve sayısı (alt küme sayısı) belrlenr. Pratkte üyelk fonksyonları denetlenecek sstemn durumuna göre uygulayıcı tarafından yamuk, üçgen, çan eğrs gb çok değşk şekllerde seçleblr. Üyelk fonksyonları genelde küçük, orta, büyük olarak 3; küçük, orta küçük, orta, orta büyük, büyük olarak 5; veya çok küçük, küçük, az küçük, sıfır, az büyük, büyük, çok büyük olarak 7 etketle tek sayı olarak tanımlanmaktadır. Aşağıdak şeklde 7 etketl br üçgen üyelk fonksyonu görülmektedr: 31

41 Şekl 3.6 Yed etketl üçgen üyelk fonksyonu Özetle bulandırıcı arabrm şu fonksyonları sağlar; Grş değşkenlernn ölçüsünü belrlemek, Sözü edlen uzaya karşı gelen grş değşkenlernn oranını dönüştüren performans ölçeklemes yapmak, Bulandırıcının fonksyonları bulanık kümelern etketler olarak görüleblecek uygun dlsel değşkenlere, grş verlern dönüştürmey sağlamak (Bolat 006) Blg tabanı Blg tabanı, karar verme brmnn kural tabanının da kullandığı blgler aldığı ver tabanı (data base) ve denetm amaçlarına uygun dlsel denetm kurallarının bulunduğu kural tabanı (rule base) olmak üzere k kısma ayrılablr. Sonuç çıkarım üntes karar verme şlemlernde, blg tabanına gdp, ver tabanından üyelk fonksyonlarıyla lgl blgler, kural tabanından se değşk grş değerler çn tespt edlmş olan kontrol çıkışları blgsn alır. Bu bakımdan blg tabanı ve çıkarım üntes sürekl lşk halndedr. Kural ve ver tabanı aşağıdak şeklde olmaktadır: Ver tabanı Kısaca dlsel kavramları (bulanık değşkenler) bulanık çıkarım sstemnde kullanablmek çn gerekl tanımları çerr. Başlıca grş, çıkış değşkenlerne at dlsel uzayların tanımlarını, üyelk fonksyonlarını, eğer sstemde değşkenler 3

42 normalze edlmşse ve keskl hale dönüştürülmüşse bu şlemlerle lgl blgler ve bulanık çıkarımda da kullanılan bulanık şlemlernn tanımlarını kapsar. Denetm yapılan sstemle lgl, bulandırma, bulanık çıkarım, durulama şlemler sırasında gerek duyulan üyelk fonksyonu ve kural tablosu blgler ver tabanından kullanıma sunulmaktadır. Kural tabanı Uygulama alanındak uzman kşlern kontrol hedeflern ve kontrol sırasında takp ettkler yöntemler karakterze etmey sağlayan dlsel değşkenlerden oluşturulan kurallar kümesdr. Oluşturulan bu kurallara bulanık kurallar denr. Dlsel kural tabanı, sstemde dlsel-bulanık grş değşkenlerne hang dlsel-bulanık değşkenlernn çıkışa verleceğnn fade edldğ bölümdür. Genellkle kurallar şart cümlelernden (EĞER X=A ĐSE Y=B) oluşur. Kuralların sayısı ve doğruluğu sstemn performansını etkleyen en öneml faktörlerdr. Sstemn kural tabanını oluşturmak çn bugüne kadar değşk yollar kullanılmıştır. Bunlardan brs uygulanacak sstem y tanıyan br uzman blgs le sstem grş-çıkış değşkenler ve kontrol kuralları belrlenr. Kurallar grş çıkış değşkenlernn dlsel fadelernden oluştuğundan bu şlem uzmanın kend kontrol stratejsnn kural tabanına aktarımının en kolay ve güvenl yoludur. Dğer br yol se daha önceden operatörün kontrol yöntemnn taklt edlmesdr. Bazı endüstryel sstemlerde modellenemeyen ve ancak br operatör yardımıyla kontrol edleblen süreçlern; operatörün zlenmesyle, yaptığı şlemlern (blnçl yada blnçsz) şart cümlelerne (EĞER. ĐSE) dönüştürerek kural tabanının elde edlmesdr (Aytan 007). Br çok sstemde, kurallar şu şeklde verlr: 1. Eğer (hata) Neg ve (hatanın değşm) Neg O halde (çıkış) NB. Eğer (hata) Neg ve (hatanın değşm) Sıfır O halde (çıkış) NO 3. Eğer (hata) Neg ve (hatanın değşm) Poz O halde (çıkış) SIFIR 4. Eğer (hata) Sıfır ve (hatanın değşm) Neg O halde (çıkış) NO 5. Eğer (hata) Sıfır ve (hatanın değşm) Sıfır O halde (çıkış) SIFIR 6. Eğer (hata) Sıfır ve (hatanın değşm) Poz O halde (çıkış) PO 33

43 7. Eğer (hata) Poz ve (hatanın değşm) Neg O halde (çıkış) SIFIR 8. Eğer (hata) Poz ve (hatanın değşm) Sıfır O halde (çıkış) PO 9. Eğer (hata) Poz ve (hatanın değşm) Poz O halde (çıkış) PB Sıfır, Neg (Negatf), Poz (Poztf), NB (Negatf Büyük), NO (Negatf Orta), PO (Poztf Orta) ve PB (Poztf Büyük) bulanık kümenn etketlerdr. Aynı kural set lşksel yapıda ve daha sıkıştırılmış olarak Tablo 3. de gösterlmştr: Tablo 3. Bulanık kural tablosu Yukarıda en üsttek satırda değşkenlern smler verlmştr. Đlk k kolonun grş değşken son kolonun da çıkış değşken olduğu kolayca anlaşılmaktadır. Her satır br kuralı göstermektedr. Bu yapı, kural tabanını hızlı br şeklde gözden geçrmek steyen deneyml br kullanıcı çn daha uygundur. Üçüncü yapı se Tablo 3.3 de verlmştr: Tablo 3.3 Sıkıştırılmış bulanık kural tablosu 34

44 Bu yapı daha da sıkıştırılmış şekldedr. Grş değşkenler eksenlerde ve çıkış değşkenler se tablonun çnde verlmştr Çıkarım motoru (Karar verme brm) Bulanık mantık denetleycn en öneml arabrmdr. Blg tabanında tanımlanan bulanık kavram ve kuralları kullanarak grş değşkenlernn durumuna göre uzman br kşden beklenen kontrol hareketlern dlsel fade olarak üretr. Çıkarım aşamasında her mantıksal fade sonunda br sonuç (sonuç aşaması), bu sonuçların brleştrlmes le de en son sonuç değerne veya sonuç kümesne ulaşılır (brleştrme aşaması). Çıkışta dlsel değşken ve üyelk fonksyonu bell bulanık sayılar veya bulanık küme elde edlr. Şekl 3.7 de çıkarım motorunun çalışma şeması görülmektedr: Şekl 3.7 Çıkarım motoru çalışma şeması Kuralda VE mantıksal bağlantı şlemcs kullanılmışsa eşk değer ( w ) en küçük üyelk derecesne VEYA mantıksal bağlantı şlemcs kullanılmışsa eşk değer ( w ) en büyük üyelk derecesne sahp olur. Bulanık çıkarım şlemnde kullanılan Mamdan yöntem, Larsen yöntem ve bunun gb değşk yöntemler kullanılmaktadır. 35

45 Mamdan yöntem Bulanık küme teors temel alınarak oluşturulan lk kontrol sstemnde kullanılan bulanık çıkarım yöntemdr. Đlk kez 1974 yılında Ebraham MAMDANI tarafından kullanılmıştır. Bu lk çalışma bulanık uzman sstemlern kullanılablrlğn göstermş ve kendsnden sonra brçok çalışmaya örnek olmuştur. Bulanık çıkarım yöntemler çersnde en yaygın kullanılan yöntemdr. Bu yöntemn kural yapısı IF ( x 1 = A 11 ) ve ( x = A 1 ) se ( z 1 = C 1 ) (3.5) IF ( x 1 = A 1 ) ve ( x = A ) se ( z = C ) (3.53) şeklndedr. Bura x 1 ve x grd değşkenler z se çıktı değşkendr. A 11 ve A 1 grd değşkenlernn at olduğu üyelk fonksyonlarıdır. C se her kuralın sonunda çıkan bulanık sonuç kümesdr. C bulanık kümeler Mamdan çıkarım yöntemnde sonuç kısmında eşk değernn kestğ noktanın altında kalan alandan oluşmaktadır. Kurallar sonucu oluşan bulanık sonuç kümeler brleşm aşamasında bulanık kümelerde brleşm kuralı gereğnce brleştrlerek brleşm kümes elde edlr. Mamdan yöntemnde sonuç kesn sayı olmayıp yne br bulanık küme olduğu çn, bu kümeler kesn kontrol değern elde etmek amacı le durulaştırma şlemne tab tutulmaktadır. Şekl 3.8 Mamdan çıkarım yöntemnn gösterm 36

46 Larsen çıkarım yöntem Bu yöntem Mamdan çıkarım yöntemne benzemekle brlkte temel farkı, sonuç aşamasında bulanık sonuç kümesn bulurken çarpım (product) şlemcsn kullanmasıdır. Bu şlemn matematksel gösterm; µ ( z ) = w. ( z ) (3.54) C µ C (3.54) eştlğnde görüldüğü gb eşk değer le sonuç kümesnde bulunan elemanlara at üyelk dereceler çarpılarak bulanık sonuç kümeler (C) elde edlr. Larsen yöntemne at kural yapısı, IF ( x 1 = A 11 ) ve ( x = A 1 ) se ( z 1 = C 1 ) (3.55) IF ( x 1 = A 1 ) ve ( x = A ) se ( z = C ) (3.56) Kurallar sonucu oluşan bulanık sonuç kümeler brleşm aşamasında bulanık kümelerde brleşm kuralı gereğnce brleştrlerek brleşm kümes elde edlr. Larsen yöntemnde sonuç kesn sayı olmayıp yne br bulanık küme olduğu çn, bu kümeler kesn kontrol değern elde etmek amacı le durulaştırma şlemne tab tutulmaktadır. Şekl 3.9 Larsen çıkarım yöntemnn gösterm Mamdan ve Larsen çıkarım yöntemler daha çok karar destek sstemlernn (KDS) oluşturulmasında kullanılır. Bu KDS nn doğru karar verp vermedğn kontrol etmek çn sstemn vermş olduğu kararlar le konunun uzmanının vermş olduğu kararlar karşılaştırılır. Sstem le uzmanın vermş olduğu kararların % 90 nın üzernde benzer olması stenr. 37

47 Takag-Sugeno-Kang (TSK) Bu çıkarım yöntem tek başına Sugeno olarak da adlandırılmaktadır. Brçok bakımdan Mamdan le benzer özellklere sahptr. Bu k yöntem arasındak temel farklılık, TSK yöntemnde çıktı değşken bulanık br küme değl, doğrusal br fonksyon veya sabt br değerdr. Bu nedenle durulaştırma şlemne htyaç duymaz. Kullanımının bast olması ve özellkle sayısal verlerle çalışıldığında oldukça başarılı sonuçlar vermesnden dolayı yaygın olarak kullanılmaktadır. TSK yöntemne at kural yapısı IF ( x 1 = A 11 ) ve ( x = A 1 ) se ( z 1 = p 10 + p11x1 + p1 x ) (3.57) IF ( x 1 = A 1 ) ve ( x = A ) se ( z = p 0 + p1x1 + p x ) (3.58) veya IF ( x 1 = A 11 ) ve ( x = A 1 ) se ( z 1 = c 1 ) (3.59) IF ( x 1 = A 1 ) ve ( x = A ) se ( z = c ) (3.60) Şekl 3.30 TSK çıkarım yöntemnn gösterm Bu yöntemde br veya brden çok grd değşken tek br çıktı değşken (z) vardır. Çıktı değşken olan z, x 1 ve x grd değşkenlernn doğrusal br fonksyonu olabldğ gb sabt ( c ) br sayıda olablr. Çıktı değşken doğrusal br fonksyon olarak tanımlandığında p 0, p 1 ve p bu fonksyonun parametrelerdr. Bu parametreler her kural çn farklı değerlere sahptr. Parametre değerler hesaplanırken başlangıçta grd değşkenlernn lk değerler çn rasgele değerler atanır. Bu lk parametre değerlernn hçbr önem yoktur. Đstenrse bu değerler olay 38

48 hakkında hçbr blgs ve tecrübes olmayan br kş tarafından da rasgele belrleneblr. Bu başlangıç p tahmnler kullanılarak grd değşkenlerne at ( x 1 ve x ) tüm değerler çn çıktı değşkennn ( z ) değerler tahmn edlr. Bu değerler ve her br kural çn tespt edlen eşk değerler kullanılarak; Sonuç değerler N = 1 = N = 1 w w z yardımıyla br sonuç değerne ulaşılır. Bu değere tahmn değer de denr. (3.61) Çıktı değşkenne at elde edlen tahmn değerler le önceden blnen gözlem değerler arasındak farklar hata olarak kabul edlr. Tahmn edlen değerler, gözlem değerlerne ne kadar yakın olursa, hata o kadar küçük olacak demektr. Hata değer stenlen sınırlar çersnde olmadığında p 0, p 1 ve p parametreler değştrlerek sonuç değerler yenden hesaplanır. Nha p değerler bağıl hata değernn %5 veya %10 un altında olmasını sağlayan değerdr. Bağıl hata, b ç H = 100 (3.6) b yardımıyla hesaplanır. Burada, b ; nc gözlenen sonuç değerdr. ç ; nc tahmn edlen sonuç değerdr. Bağıl hata stenlen sınırlara ndğnde, grd değşkenlernn lk değerler çn parametreler sabtlenmş olur. Grd değşkenlernn knc değerler çn, çnde bağıl hata değer stenen sınırlar çersnde kalırsa grd değşkenlernn üçüncü değerlerne geçlr. Bağıl hata burada stenlen sınırların dışına çıkarsa, parametrelere atanan lk değerler değştrlr ve tüm şlemler grd değşkenlernn lk değerlernden başlanarak tekrar yapılır. Bu şleme grd değşkenlerne at tüm değerler çn, bağıl hatayı stenen sınırlar çersnde yapacak parametre değerler elde edlnceye kadar devam edlr ve sonra parametreler sabtlenr. Dğer br fade le parametreler hata değerlernn stenen sınırlar çersnde olmasını sağlayacak şeklde herhang br başlangıç değernden başlanarak terasyon yapılarak elde edlr. Çıktı değşken ( z ) sabt br değer ( c ) olarak tanımlandığında, değerler araştırmacının verlernde yer alan gözlenen sonuç değerlerdr. Modeln başarısı, çıktı değşkennn doğrusal fonksyon olarak tanımlandığı modeln p 39

49 değerlendrlmesnde olduğu gb (3.6) eştlğ yardımıyla hesaplanan bağıl hata değerler le kontrol edlr. Tüm bu şlemlern elle yapılması mkânsız denecek düzeyde zordur. Bu nedenle bu şlemlern hem daha kısa sürede, hem de daha doğru olarak yapılması çn Matlab programı çersnde yer alan ANFIS (Adaptve Neuro Fuzzy Inference System) edtör kullanılmaktadır. ANFIS n temeln Yapay Snr Ağları (YSA) oluşturmaktadır. ANFIS parametrelern tahmnnde YSA kullanmaktadır. Öğrenmel eğtm olarak adlandırılan eğtm modeln kullanan ANFIS en y tahmn yapan parametre değerlern elde edene kadar parametrelere farklı değerler vermektedr. Tsukamoto yöntem Bu yöntem TSK yöntemnn braz değştrlmes le elde edlmştr. TSK yöntemnden farkı, her bulanık kuralın çıktı değer ( z ), eşk değernn sstem çersnde tanımlanan br monotonk üyelk fonsyonunu kestğ noktadak değerdr ( Şekl 3.30 ). Bu durumda bu yöntemde çıktı değer monotonk üyelk fonksyonu tarafından temsl edlen br bulanık küme elemanı olur. Monotonk fonksyon x 1, x A çn x < x çn f ( x ) < f ( ) (Artan fonksyon) (3.63) 1. 1 x x < x çn f ( x ) < f ( ) (Azalmayan fonksyon) (3.64) 1. 1 x x < x çn f ( x ) > f ( ) (Azalan fonksyon) (3.65) 1. 1 x x < x çn f ( x ) > f ( ) (Artmayan fonksyon) (3.66) 1. 1 x koşullarından brn sağlayan fonksyona denr. Tsukamato yöntemnde kural yapısı IF ( x 1 = A 11 ) ve ( x = A 1 ) se ( z 1 = C 1 ) (3.67) IF ( x 1 = A 1 ) ve ( x = A ) se ( z = C ) (3.68) şeklndedr. 40

50 Şekl 3.31 Tsukamoto çıkarım yöntemnn gösterm Bu yöntemde aşağıdak eştlk kullanılarak sonuç kesn br değer olarak hesaplanır. Sonuç değerler N = 1 = N = 1 w w z (3.69) Bu nedenle TSK yöntemnde olduğu gb Tsukamoto yöntemnde de durulama şlemne gerek yoktur. Tsukamato yöntem dğer çıkarım yöntemlerne nazaran daha kullanışsız br yöntemdr. Kullanımının zorluğu ve Matlab gb bulanık mantık uygulamaları yapablen blgsayar programları tarafından desteklenmedğ çn de çok fazla kullanılmamaktadır Durulama Bulanık model oluşturmanın son aşaması durulaştırmadır. Bu aşamaya çıkarım aşamasında sonuç değerlernn bulanık br küme olarak elde edlen Mamdan ve Larsen çıkarım yöntemler kullanılırsa htyaç duyulur. Sonuç değern kesn değer olarak veren TSK ve Tsukamato çıkarım yöntemler kullanıldığında durulaştırma aşamasına gerek yoktur. Durulaştırma, bulanık blglern kesn sonuçlara dönüştürülmes şlemdr. Pratk uygulamalarda çoğu zaman kesn sayılara gerek duyulmaktadır. Bu durumlarda bulanık olarak elde edlmş veya verlmş blglerden yararlanarak gerekl cevapların verleblmes çn kullanılan çok sayıda durulaştırma yöntem vardır. Bunlardan en çok kullanılanları, en büyük üyelk lkes, 41

51 ağırlık merkez yöntem, ortalama en büyük üyelk, ağırlıklı ortalama yöntem, en büyüklern en küçüğü ve en büyüklern en büyüğü yöntemlerdr ( Baykal ve Beyan 004). En Büyük Üyelk Đlkes Bu yöntemn dğer br adı yükseklk yöntemdr. Yöntemn kullanılablmes çn çıkarım aşamasında elde edlen bulanık brleşm kümesnn tepe noktasının olması gerekr. Durulaştırılmış değer bulanık brleşm kümesnde en yüksek üyelk derecesne sahp değere eşttr. Şekl 3.8 de gösterlen bu durulaştırma yöntemnn artmetk notasyon le gösterm µ ( y ) > µ ( y ) y B (3.70) B B şeklndedr. Burada B; Mamdan ve Larsen çıkarım metotlarında brleştrme aşamasında elde edlen bulanık brleşm kümesdr. y ; bulanık brleşm kümesnn nc öğesdr. y* ; durulaştırılmış değer olup, bu küme çersnde en büyük üyelk derecesne sahp olan elemanıdır. Şekl 3.3 En büyük üyelk dereces durulaştırması Ağırlık merkez yöntem Ağırlık Merkez Metodu (Centrod Method): Bu yöntem, netleştrme yöntem olarak en çok kullanılan yöntemlerden brdr ve ağırlık merkez hesaplanarak yapılmaktadır (Şekl 3.33). 4

52 y = N = 1 N y. µ ( y ) = 1 B B µ ( y ) (3.71) Şell 3.33 Ağırlık merkez yöntem le durulama şlem Ağırlıklı ortalama yöntem Bu yöntem yalnızca smetrk çıkışlı üyelk fonksyonları çn kullanılmaktadır. Her br smetrk üyelk değernn tepe noktası değer belrlenerek, ortalamaların alınmasıyla yapılmaktadır (Şekl 3.34). y a. µ ( a) + b. µ ( b) = (3.7) µ ( a) + µ ( b) Şekl 3.34 Ağırlıklı ortalama yöntem le durulama Ortalama en büyük üyelk yöntem Bulanık brleşm kümes çersnde brden çok en büyük üyelğe sahp eleman olduğunda, en büyük üyelk lkes yöntem geçerllğn kaybetmektedr. Bu sorunu çözmek amacı le ortalama en büyük üyelk veya başka br adıyla en büyüklern ortası yöntem kullanılır (Şekl 3.35). y1 + y y y = k k (3.73) 43

53 Şekl 3.35 Ortalama en büyük üyelk yöntem le durulama En büyüklern en küçüğü Bu durulaştırma yöntemnde tüm çıktıların brleşm olarak ortaya çıkan bulanık brleşm kümesnde en büyük üyelk derecesne sahp küme elemanları çersnde en küçük değere sahp eleman durulaştırılmış değer olarak kabul edlr (Şekl 3.36) (Baykal ve Beyan 004). Şekl 3.36 En büyüklern en küçüğü yöntem le durulama En büyüklern en büyüğü Bu durulaştırma yöntemnde en büyüklern en küçüğü yöntemnn tam tersne tüm çıktıların brleşm olarak ortaya çıkan bulanık brleşm kümesnde en büyük üyelk derecesne sahp küme elemanları çersnde en büyük değere sahp eleman durulaştırılmış değer olarak kabul edlr (Şekl 3.37) (Baykal ve Beyan 004). Şekl 3.37 En büyüklern en büyüğü yöntem le durulama 44

54 4. VĐNÇ KONTROL SĐSTEMĐNĐN TASARLANMASI 4.1. Grş Bu çalışmada vnçlerdek pozsyon ve ttreşm kontrolünü sağlamak amacı le PD, PID ve bulanık mantık denetleycler tasarlanmıştır. Bu amaçla öncelkle sstemn hareket denklemler elde edlp, bu denklemler klask denetleyc tasarımının gerçekleştrlmes çn doğrusallaştırılmıştır. Bulanık denetleycnn Matlab ortamında çalışmasının ncelenmes çn doğrusal olmayan hareket denklemlernn Smulnk model, klask denetleyclern tasarımı ve ncelenmes çn doğrusallaştırılmış denklemlern transfer fonksyonu model kullanılmıştır. 4.. Vnç Sstemnn Matematksel Modellenmes Bu bölümde vnc oluşturan araba ve sarkaç sstemnn matematksel modelnn elde edlmes açıklanmıştır. Durum denklemler, enerj denklemlernden faydalanılarak Lagrangan yaklaşımı le bulunmuş ve Matlab ortamında denklemlern Smulnk model elde edlmştr. Bulunan doğrusal olmayan denklem çalışma noktası yakınlarında doğrusallaştırılarak sstemn transfer fonksyonu bulunmuştur Lagrangan dnamkler analz Đlk olarak genelleştrlmş koordnatlar seçlmş; enerj fonksyonları ve Lagrangan denklemler kullanılarak hareket denklemler elde edlmştr. 45

55 Şekl 4.1 Tepe vnc sstemnn şematk gösterm Şekl 4.1 de bast br köprülü vnç sstem genel olarak gösterlmş olup analzler çn bu model kullanılmıştır. Burada vnç ağırlığı M, sarkaç ağırlığı m olarak adlandırılmış; kullanılan pn ağırlıksız ve rjt olduğu kabul edlmştr. Ayrıca sstem sürtünmesz kabul edldğnden sürtünme bleşenler modelde gösterlmemştr. x : Vncn yatay pozsyonu (m) x 1: Yükün yatay pozsyonu (m) y: Yükün dkey pozsyonu (m) θ : Salınım açısı (rad.) l: Taşıyıcı halat uzunluğu (m) Đk serbestlk derecesne sahp bu sstemn model Lagrangan dnamkler kullanarak elde edlmştr. Lagrangan eştlkler hareket denklemlernn, sürtünmel ve sürtünmes hmal edlmş sstemler çn elde edlmesn sağlar. Sürtünmesz yaklaşımda sstemn enerj kaybının olmadığı kabul edlr. Lagrangan eştlkler kullanan br sstemn dnamklern elde etmek çn gerekl matematksel eştlkler, aşağıda verlmştr: 46

56 L Knetk ve potansyel enerj denklemlernden = T U = E K E P (4.1) d dt L q& L q D + q& = F L: Knetk ve potansyel enerjden oluşan Lagrangan sstem T: Sstemn toplam knetk enerjs ( E K ) (4.) U: Sstemn toplam potansyel enerjs ( E P ) D: Sürtünmede kaybolan enerj F: q serbestlk derecesnde oluşan net kuvvet : x(t) ve θ (t) serbestlk dereceler (number of degrees of freedom) q : Genelleştrlmş koordnat setler ; =1,,3...n Lagrangan fonksyonu oluşturmak çn toplam knetk enerjden sstemn toplam potansyel enerjsnn çıkartılması gerekmektedr. Hareket halndek sstemn knetk enerj model Vncn knetk enerjs: 1 dx T 1 = M (4.3) dt Yükünün knetk enerjs: 1 dx 1 dy T + = m dt dt (4.4) Burada x 1 = x + l. sn θ, y = l.cosθ (4.5) x & = x& + l θ& cos θ, y& = lθ& sn θ (4.6) 1 Vnç ve yükün knetk enerjs toplamı E K [( x& + lθ & cos θ ) + ( lθ& θ ) ] 1 1 = T1 + T = M ( x& ) + m sn (4.7) 47

57 olarak bulunur. Buradan 1 1 = T = ( M + m) x& + mxl & & θ cos θ + m & [( lθ ) ( cos θ + sn θ )] E K (4.8) elde edlr. Sstemn potansyel enerjs Vnç sadece yatay eksende hareket ettğ çn, sstemn potansyel enerjs sadece yükün dkey eksendek (y eksenndek) hareketnden kaynaklanmaktadır. U = EP = mgl mgl.cosθ (4.9) Lagrangen denklem (4.8) ve (4.9) eştlklernde bulunan enerj denklemler (4.1) denklemnde yerlerne yazılarak aşağıdak denklem elde edlr: [( lθ ) (cos θ sn θ )] 1 1 L = T U = ( M + m) x& + mxl & & θ cos θ + m & + mgl ( 1 cos θ ) (4.10) Sstemde vnce ve salınım dnamklerne etk eden sadece br adet dış kuvvet bulunmaktadır. Bu kuvvet ssteme yatay eksende hareket kazandıran Fx kuvvetdr. θ (t) koordnat sstemne herhang br dış kuvvet drekt olarak etk etmemektedr. Ayrıca smülasyon çalışmasında k serbestlk dereces çn de sürtünme kayıpları hmal edldğnden D=0 alınmıştır. Bu durumda (4.) eştlğ aşağıdak gb olur: d dt d dt L x& L x = F (4.11) L L = θ = 0 & F (4.1) θ θ 48

58 q(t)= θ (t) Serbestlk Dereces çn Lagrange Denklem L θ& = ml θ& + ml x& cos θ (4.13) d dt L θ& = ml && θ + ml&& x cos θ ml x& θ sn θ & (4.14) L = mlx & θ snθ mgl snθ θ & (4.15) (4.13), (4.14) ve (4.15) denklemler, (4.1) denklemndek yerlerne yazıldığında; l & θ + & x cos θ + g sn θ = 0 (4.16) elde edlr. q(t)= x(t) Serbestlk dereces çn lagrange denklem Vnce uygulanan kuvvet F( t) F x = : L = ( M + m) x& + ml & θ cosθ x& d dt L x& = ( M + m) && x + ml&& θ cosθ ml & θ snθ (4.17) (4.18) L x = 0 (4.19) (4.17), (4.18) ve (4.19) denklemler, (4.11) denklemndek yerlerne yerleştrldğnde; ( M + m) x& + ml&& θ cosθ ml& θ snθ = F( t) bulunur. & (4.0) 49

59 Vnç sstem k serbestlk derecesnde olduğu çn k ayrı (4.16) ve (4.0) denklemler aşağıdak gb bulunmuştur: l θ& + & x cos θ + g snθ = 0 & (4.16) ( M + m) x& + ml&& θ cosθ ml & θ snθ = F( t) & (4.0) Bu denklemlern smülasyon model Matlab Smulnk ortamında Şekl 4. dek gb elde edlmştr. Şekl 4. Doğrusal olmayan vnç sstemnn Matlab Smulnk model 50

60 4... Çalışma noktası yakınında doğrusallaştırma Elde edlen model lneer değldr. PID denetleycnn tasarlanması çn önce sstemn lneerleştrlmes sonrada transfer fonksyonunun bulunması gerekmektedr. Sarkacın denge noktası θ 0 etrafında küçük br değşm gösterdğ kabul edlerek yen değer θ le gösterlrse: = 0 θ θ + ε & θ = & ε (4.1) (4.) Taylor Sers açılımından, θ nın herhang br fonksyonunun brnc derece yaklaşımı; df f ( θ ) f ( θ0) + ε dθ (4.3) θ 0 olup, aynı zamanda daha büyük derecel termler hmal edldğnden, & ε 0 o & 0 o ε ve o θ = 0 çn: (4.4) o θ [ sn 0 ] 1 o θ [ cos 0 ] θ o cos θ cos 0 + = o θ sn 0 + = sn (4.5) yazılablr. Sonuçlar elde edlen (4.16) ve (4.0) Lagrange eştlklernde yerlerne ko;nulursa; ( M + m) x& + ml & θ = F( t) l θ& + & x + gθ = 0 & (4.6) & (4.7) lneer dferansyel denklemler elde edlr ve düzenlenrse; & ( M + m) 1 θ ( t) = g θ ( t) F ( t) Ml Ml m 1 x &( t) = g θ ( t) + F ( t) M M (4.8) & (4.9) bulunur. 51

61 4..3. Sstemn transfer fonksyonu Dferansyel denklemlerden, θ (t) nn F(t) le; x(t) nn se hem θ (t) hem de F(t) le bağlantılı olduğu görülür. Bu sürec brbrne bağlı k transfer fonksyonu le göstermek mümkündür: T 1 θ ( s) = F( s) T X ( s) θ ( s) = (4.30) (4.9) denklemnn Laplace dönüşümü yapıldığında; ( M + m) 1 s θ ( s) + g θ ( s) = F ( s) (4.31) Ml Ml m 1 s X ( s) + g θ ( s) + F( s) (4.3) M M Bu denklemlerden T ( s) s) = θ = F( s) Mls 1 ( 1 + g( M + m) (4.33) X ( s) T ( s) = θ ( s) = g + ls s (4.34) elde edlr Sstemn Kararlılık Analz Sstemde M = 10 kg, m = 5 kg, l = 1 m, ve g = 10 m / sn alındığı zaman (4.33) ve (4.34) denklemleryle tanımlanan ( ) T ve T ( ) 1 s s 5

62 T 1 1 = 10s (4.35) T s 10 = s olarak elde edlr. Bu k transfer fonksyonu brbrne ser olarak bağlıdır. (4.36) s + 10 T = T1 * T = (4.37) 4 10s + 150s Karmaşık düzlemde kararlılık analz yapmak çn sstemn kutupları aşağıdak gb bulunur: 10s s = s (10s Bu denklemden; s 1, = 0 s3,4 = 15 j + 150) = 0 katlı kökler elde edlr. Sstemn sanal eksende kökler bulunduğundan sınırlı kararlıdır. Şekl 4.3 s düzlem 53

63 4.4. Geleneksel Denetleyclern Tasarımı Zegler-Nchols yöntem le denetleycnn kazanç katsayıları aşağıdak gb ayarlanmıştır: K u = 8 de sürekl salınım yapan cevap eğrs elde edlmştr. Şekl 4.4 Sürekl salınım grafğ K u P u = 8 = 4.7 olarak hesaplanır PD denetleyc tasarımı Zegler-Nchols yöntemnde Tablo 3.1 den PD kontrol çn kazanç ayarları; K = 0. 6 τ d K p K u d = P u 8 = τ K d olduğuna göre; K p = 16.8 p K d = 10 değerler elde edlr. 54

64 Bu yöntemle elde edlen kazanç değerler başlangıç değerlerdr. Daha y çalışma şartlarını elde etmek çn; K p = 16 K d = 35 olarak alınmış ve PID denetleyc bloğunda ntegral etksn yok etmek çn K = 0 alınarak aşağıdak konum-zaman, salınım-zaman ve kuvvet-zaman grafkler elde edlmştr PD denetleycnn doğrusal modele uygulanması Şekl 4.5 PD denetleyc doğrusal model denetm bloğu 55

65 a) ref=1 b) ref= Şekl 4.6 PD denetm doğrusal model Zaman-Konum grafğ a) ref=1 b) ref= Şekl 4.7 PD denetm doğrusal model Zaman- Salınım grafğ 56

66 a) ref=1 b) ref= Şekl 4.8 PD denetm doğrusal model Zaman- Kuvvet grafğ PD denetleycnn doğrusal olmayan vnç modelne uygulanması Şekl 4.9 PD denetleyc doğrusal olmayan model denetm bloğu 57

67 a) ref=1 b) ref= Şekl 4.10 PD denetm doğrusal olmayan model Zaman-Konum grafğ a) ref=1 b) ref= Şekl 4.11 PD denetm doğrusal olmayan model Zaman-Salınım grafğ 58

68 a) ref=1 b) ref= Şekl 4.1 PD denetm doğrusal olmayan model Zaman-Kuvvet grafğ PID denetleyc tasarımı Zegler-Nchols yöntemnde Tablo 3.1 den PID kontrol çn kazanç ayarları; K = 0. 6 p K u τ = P u τ d K = P u 8 = τ K p K d = τ K d p olduğuna göre; K = 16.8, K = 7, K = 10 değerler bulunur. Daha y çalışma şartlarını elde etmek p d çn; K = 13, K =, K = 9 alındığında aşağıdak grafkler elde edlmştr: p d 59

69 PID denetleycnn doğrusal modele uygulanması Şekl 4.13 PID denetleyc doğrusal model denetm bloğu a) ref=1 b) ref= Şekl 4.14 PID denetm doğrusal model Zaman-Konum grafğ 60

70 a) ref=1 b) ref= Şekl 4.15 PID denetm doğrusal model Zaman-Salınım grafğ a) ref=1 b) ref= Şekl 4.16 PID denetm doğrusal model Zaman-Kuvvet grafğ 61

71 PID denetleycnn doğrusal olmayan vnç modelne uygulanması Şekl 4.17 PID denetleyc doğrusal olmayan model denetm bloğu a) ref=1 b) ref= Şekl 4.18 PID denetleyc doğrusal olmayan model Zaman-Konum grafğ 6

72 a) ref=1 b) ref= Şekl 4.19 PID denetleyc doğrusal olmayan model Zaman-Salınım grafğ a) ref=1 b) ref= Şekl 4.0 PID denetleyc doğrusal olmayan model Zaman-Kuvvet grafğ 63

73 4.5. Bulanık Mantık Denetleyc Tasarımı Bulanık mantık denetleyc tasarımında Şekl 4. de verlmş lneer olmayan vnç sstemnn Matlab Smulnk model kullanılmıştır ve çıkarım yöntem olarak Mamdan, durulama yöntem olarak se ağırlık merkez yöntem kullanılmıştır. Denetleycnn üyelk fonksyonları Sstemn üyelk fonksyonları grş fonksyonları olarak pozsyon üyelk fonksyonu ve hız üyelk fonksyonu olup, çıkış fonksyonları se güç üyelk fonksyonudur. Bu üyelk fonksyonları beş etketl üyelk fonksyonlarıdır ve aşağıdak gbdr: Şekl 4.1 Pozsyon hatası üyelk fonksyonları Şekl 4. Hız üyelk fonksyonları 64

74 Şekl 4.3 Kuvvet üyelk fonksyonları Denetçnn bulanık kuralları Denetleyc k adet beş etketl grş üyelk fonksyonuna sahp olduğu çn 5 adet bulanık kurala sahptr. Bu etketler Pb (Poztf büyük), P (Poztf), S (Sıfır), Nb (Negatf büyük), N (Negatf) tr. Bulanık kurallar aşağıdak gbdr: 1- If (Pozsyon hatası s Nb) and (Hız s Nb) then (Kuvvet s Nb) - If (Pozsyon hatası s Nb) and (Hız s N) then (Kuvvet s Nb) 3- If (Pozsyon hatası s Nb) and (Hız s S) then (Kuvvet s N) 4- If (Pozsyon hatası s Nb) and (Hız s P) then (Kuvvet s N) 5- If (Pozsyon hatası s Nb) and (Hız s Pb) then (Kuvvet s S) 6- If (Pozsyon hatası s N) and (Hız s Nb) then (Kuvvet s Nb) 7- If (Pozsyon hatası s N) and (Hız s N) then (Kuvvet s Nb) 8- If (Pozsyon hatası s N) and (Hız s S) then (Kuvvet s N) 9- If (Pozsyon hatası s N) and (Hız s P) then (Kuvvet s N) 10- If (Pozsyon hatası s N) and (Hız s Pb) then (Kuvvet s S) 11- If (Pozsyon hatası s S) and (Hız s Nb) then (Kuvvet s N) 1- If (Pozsyon hatası s S) and (Hız s N) then (Kuvvet s N) 13- If (Pozsyon hatası s S) and (Hız s S) then (Kuvvet s S) 14- If (Pozsyon hatası s S) and (Hız s P) then (Kuvvet s P) 15- If (Pozsyon hatası s S) and (Hız s Pb) then (Kuvvet s P) 16- If (Pozsyon hatası s P) and (Hız s Nb) then (Kuvvet s S) 17- If (Pozsyon hatası s P) and (Hız s N) then (Kuvvet s P) 65

75 18- If (Pozsyon hatası s P) and (Hız s S) then (Kuvvet s P) 19- If (Pozsyon hatası s P) and (Hız s P) then (Kuvvet s Pb) 0- If (Pozsyon hatası s P) and (Hız s Pb) then (Kuvvet s Pb) 1- If (Pozsyon hatası s Pb) and (Hız s Nb) then (Kuvvet s S) - If (Pozsyon hatası s Pb) and (Hız s N) then (Kuvvet s P) 3- If (Pozsyon hatası s Pb) and (Hız s S) then (Kuvvet s P) 4- If (Pozsyon hatası s Pb) and (Hız s P) then (Kuvvet s Pb) 5- If (Pozsyon hatası s Pb) and (Hız s Pb) then (Kuvvet s Pb) Tablo 4.1 Bulanık denetleyc kural tablosu Denetleycnn kontrol yüzey Bulanık mantık denetleycnn çalışması kontrol yüzeyne bağlıdır. Çünkü bu yüzey grdlere karşı bulanık kurallar doğrultusunda verlecek çıkışların üç boyutlu haldr. Bu nedenle bulanık mantık denetç tasarımı esasen denetm yüzeynn tasarımı anlamına gelmektedr. Şekl 4.4 Kontrol yüzey 66

76 4.5.1 Bulanık mantık denetleycnn doğrusal olmayan Smulnk vnç modelne uygulanması Şekl 4.5 Bulanık mantık doğrusal olmayan model denetm bloğu a) ref=1 b) ref= Şekl 4.6 Bulanık mantık denetm doğrusal olmayan model Zaman-Konum grafğ 67

77 a) ref=1 b) ref= Şekl 4.7 Bulanık mantık denetm doğrusal olmayan model Zaman-Salınım grafğ a) ref=1 b) ref= Şekl 4.8 Bulanık mantık denetm doğrusal olmayan model Zaman-Kuvvet grafğ 68

78 4.5. Bulanık mantık denetleycnn doğrusal modele uygulanması Şekl 4.9 Bulanık mantık doğrusal model denetm bloğu a) ref=1 b) ref= Şekl 4.30 Bulanık mantık denetm doğrusal model Zaman-Konum grafğ 69

79 a) ref=1 b) ref= Şekl 4.31 Bulanık mantık denetm doğrusal model Zaman-Salınım grafğ a) ref=1 b) ref= Şekl 4.3 Bulanık mantık denetm doğrusal model Zaman-Kuvvet grafğ 70

80 5. TARTIŞMA Şekl 5.1, Şekl 5. ve Şekl 5.3 de tasarlanmış olan denetleyclern farklı referans noktalarında çalışmaları verlmştr. Bu şekllerde vncn referans noktası büyüdükçe tüm denetleyclerde vnce uygulanan kuvvetn ve yüktek salınımların aynı oranda arttığı aynı zamanda oturma sürelernde öneml br değşklk olmadığı görülmektedr. Bunun yanı sıra farklı referans noktalarında da bulanık denetleycnn klask denetleyclere göre salınım genlklernn ve harcanan kuvvetn daha küçük ayrıca vncn konum zaman grafklerne göre oturma zamanının daha kısa olduğu görülmektedr. a) Zaman-Konum grafğ b) Zaman-Salınım grafğ c) Zaman-Kuvvet grafğ Şekl 5.1 PD denetleycnn farklı referanslardak performans karşılaştırması 71

81 a) Zaman-Konum grafğ b) Zaman-Salınım grafğ c) Zaman-Kuvvet grafğ Şekl 5. PID denetleycnn farklı referanslardak performans karşılaştırması 7

82 a) Zaman-Konum grafğ b) Zaman-Salınım grafğ c) Zaman-Kuvvet grafğ Şekl 5.3 Bulanık mantık denetleycnn farklı referanslardak performans karşılaştırması Şekl 5.4, Şekl 5.5 ve Şekl 5.6 da tasarlanan denetleyclern doğrusal model ve doğrusal olmayan modelle çalıştırılarak karşılaştırılması verlmştr. Karşılaştırma grafklernden klask denetleyclern doğrusal ve doğrusal olmayan modele göre performanslarında fark görülmemektedr. Buna karşılık bulanık denetleycnn doğrusal olmayan modelde salınımlarının ve harcanan kuvvetn, doğrusal modele göre çok büyük fark olmamakla brlkte daha düşük olduğu görülmektedr. 73

83 a) Zaman-Konum grafğ b) Zaman-Salınım grafğ c) Zaman-Kuvvet grafğ Şekl 5.4 PD denetleyc doğrusal model denetm ve doğrusal olmayan modeln denetm karşılaştırması 74

84 a) Zaman-Konum grafğ b) Zaman-Salınım grafğ c) Zaman-Kuvvet grafğ Şekl 5.5 PID denetleyc doğrusal model denetm ve doğrusal olmayan modeln denetm karşılaştırması 75

85 a) Zaman-Konum grafğ b) Zaman-Salınım grafğ c) Zaman-Kuvvet grafğ Şekl 5.6 Bulanık mantık denetleyc doğrusal model denetm ve doğrusal olmayan modeln denetm karşılaştırması 76

86 PD ve PID denetleyclern konum grafkler karşılaştırıldığında Şekl 5.7 den PID denetleycnn oturma zamanının 6 sn cvarında, maksmum aşmanın se %0 cvarında olduğu, PD denetleyc oturma zamanının 10 sn cvarında olmakla beraber aşma olmadığı görülmektedr. Şekl 5.7 PD ve PID denetleyclern konum grafklernn karşılaştırılması Aşağıdak Şekl 5.8 ve Şekl 5.9 dan da görüleceğ gb bulanık mantık denetleycnn oturma zamanı 8 sn cvarında ve aşma olmamaktadır. Konum kontrolünde Şekl 5.7, Şekl 5.8 ve Şekl 5.9 dak karşılaştırmalar göz önüne alındığında bulanık mantık denetleycnn, geleneksel denetleyclere göre oturma zamanının daha kısa olduğu görülmektedr. 77

87 Şekl 5.8 PD ve bulanık mantık denetleyclern konum grafklernn karşılaştırılması Şekl 5.9 PID ve bulanık mantık denetleyclern konum grafklernn karşılaştırılması 78

88 Aşağıdak Şekl 5.10 da PID denetleyc le PD denetleyc salınım grafklernn karşılaştırılması sonucunda salınımların neredeyse eşt ve k denetleycnn de oturma zamanlarının 8 sn cvarında olduğu, ancak PID denetleycnn en büyük salınım genlğnn, PD denetleycnn en büyük salınım genlğnden daha küçük olduğu görülmektedr. Şekl 5.10 PD ve PID denetleyclern salınım grafklernn karşılaştırılması Aşağıdak Şekl 5.11 ve Şekl 5.1 den, bulanık mantık denetleycnn en büyük salınım genlğnn 0.8 derece cvarında olduğu, klask denetleyclerde se en büyük salınım genlklernn 5 derece cvarında olduğu görülmektedr. 79

89 Şekl 5.11 PD denetleyc le bulanık mantık denetleycnn salınım grafklernn karşılaştırılması Şekl 5.1 PID denetleyc le bulanık mantık denetleycnn salınım grafklernn karşılaştırılması 80

90 Aşağıdak Şekl 5.13, Şekl 5.14 ve Şekl 5.15 dek kuvvet grafkler karşılaştırıldığında, bulanık mantık denetleycnn klask denetleyclere göre daha düşük br kuvvet harcadığı, en fazla kuvvetn se PD denetleycde harcandığı görülmektedr. Şekl 5.13 PD ve PID denetleyclern kuvvet grafklernn karşılaştırılması 81

91 Şekl 5.14 PD ve bulanık mantıkk denetleyclern kuvvet grafklernn karşılaştırılması Şekl 5.15 PID ve bulanık mantıkk denetleyclern kuvvet grafklernn karşılaştırılması 8