Ardışık sayılar YILLAR

Transkript

1 YILLAR ÖSS-YGS ÇÖZÜM 1: ARDIŞIK SAYILAR +(+1)+(+)++(+14)=085 Belli bir kurala göre ard arda sıralaa sayılara ardışık sayılar deir Z olmak üzere; =085-4,-,-,-1,0,1,,,+1, Ardışık Çift sayılar: -4,-,0,,4,6,(+) =1 ÇÖZÜM : sayı adedi tek ise sayıları toplamı sayı adedie bölüerek ortaca sayı buluur 085:15=19 (ortadaki sayı yai 8sayı) Ardışık tek sayılar: -,-1,1,,5,7(-1),(+1) geel terimli ardışık sayılar: 0,1,4,9,16,5,,(+1) geel terimli ardışık sayılar: -7,-8,-1,0,1,8,7,,(+1) Aralarıda er sayı fark ola arda Sayılar: -9,-6,-,0,,6,9,1,,(+), ÖRNEK(1) Ardışık 6 çift sayıı toplam t ise bu sayılarda e büyüğüü a ciside değerii bulu ilk çift sayıya dersek +(+) +(+4) +(+6) +(+8) +(+10)=t 6+0=t 6=t-0 t 0 t = = t +10= + 5 buluur 6 ÖRNEK() Ardışık 15 pozitif tamsayıı toplamı 085 ise bu sayıları e küçüğü kaçtır (ÖYS-95) wwwglobalderscom 1 e küçüğü ise 19-7=1 olur Terim: Bir ifade de artı (+) veya eksi(-) işaretleriyle birbirleride ayrıla, tek başıa, çarpa halide, bir paratez içide Bir kesir yada bir kök altıda bulua çokluklarda her birie terim deir, -x +x x ² 1 _ y-(x+y)+ 1 x² y+ 1 ifadeside, x, x²y, (xx+y), 1 x² birer terimdirler x¹ y+ 1 ARDIŞIK SAYILARIN SONLU TOPLAMLARI HĐKAYE Bu kouu iyi alaşılması içi size gerçek bir hikaye alatayım Zamaı biride GAUS adıda bir çocuk varmış Bu çocuk daha küçükke zeki olduğu her halide belliymiş Bir gü okulda hocaları sııfa bir soru sormuş - Çocuklar be size dört işlemi öğrettim mi? (hep bir ağızda) - -Eveeet - Peki o zama tahtaya yazacağım şu işlemi bakalım öce kim bitirecek! (ve soruyu tahtaya yazar)

2 Evet çocuklar tahtaya yazdığım soruu cevabıı bulmaızı istiyorum ( der ve masasıa oturum gazetesii okumaya koyulur ve içide asıl olsa soruyu çözmeleri uzu sürer be gazetemi bitiririm bu arada der Fakat GAUS u zekasıı hesap edemez Bir süre sora ) GAUS: arkadaşlarım başta başladı toplama becerimiz ayı olduğua göre beim soruyu daha hızlı çözebilmem içi başka bir yol bulmam lazım Acaba bir başta, bir de soda toplasam e olur ( der ve dediğii yapar Matematik içi doğal, kedisi içi çok ilgiç bir durumla karşılaşır) GAUS: Allah Allah, hep ayı souç çıkıyor Aferi evladım Be de size buu öğretecektim Hadi yazı bakalım formül: (ilk Terim+So Terim)(Terim Sayısı) (Aslıda hoca bu formülü bilmiyordu GAUS zekasıyla bir formül bulmuştu) Evet geçler bu hikaye ardışık sayıları toplamı hususuda bize oldukça faydalı olacaktır Biz de bu yötemle terim sayısıı bildiğimiz bir çok soruyu pratik olarak çözebiliriz Terim Sayıay ( Đlk terim So terim )( ) A SST = + So terim - Đlk terim Terim Sayısı = + 1 Ortak fark Đki formülü birleşimi: T ( Soterim+ Đlkterim)( Soterim Đlkterim+ = fark fark) 101 GAUS: Demek ki toplamları 101 ede 50 sayı çifti var O halde cevap 10150=5050 dir (heme cevabı hocaya götürür Hoca öce iamak istemez Git bi daha kotrol et Arkadaşları daha sayı toplamışke se asıl 100 sayıyı topladı diye de azarlamaya kalkar (GAUS ısrar edice hoca çözüme bakmak zoruda kalır ve bakar ki GAUS doğru çözmüştür) -Nasıl yaptı evladım söyle bakayım!! (GAUS birazda ukalaca) -Çok kolay hocam ĐLK TERĐM ĐLE SON TERĐMĐ TOPLADIM, TERĐM SAYISININ YARISI ĐLE ÇARPTIM wwwglobalderscom ÖRNEK() toplamıı bulu Terim sayısı = + 1=6 GAUS formülü=(17+87)(6/) = 187 ÖRNEK(4) toplamıda kaç terim vardır Terim sayısı = + 1=1 4

3 ÖRNEK(5) 10 ile 5 arasıda bulua ve 5 ile kalasız bölüebile sayıları toplamı kaçtır? Öce sayıları yazalım Terim sayısı = + 1=49 5 GAUS formülü=(105+50)(49/) = 1175 (ÖYS-96) Örek (7 ) a,b,c ardışık tek saylar olmak üzere a+c ifadesii değeri edir? b a=1, b=, c=5 olsu 1+ 5 = olur Örek (8 ) Ardışık beş doğal sayıı toplamı 85 ise ortadaki sayı kaçtır? 85:5=17 (ortaca sayı) Örek (9 ) x,y,z ardışık tek sayıları içi ( x z) ( z y) x<y<z ise işlemii soucu x y edir? x=1 y= z=5 olsu ( 1 5) ( 5 ) 1 16 = = -16 Örek (10 ) Ardışık 6 tek doğal sayıda küçüğü büyüğe oraı /5 ise küçük sayı kaçtır? sayılarımız,(+),(+4),(+6),(+8),(+10) olsu = = + 0 = 0 =15 buluur Örek (11 ) Ardışık üç doğal sayıda küçüğü iki katı ile büyüğü dört katıı toplamı 50 ise ortaca say kaçtır? sayılarımız,(+1),(+) olsu +4(+)= =50 6 = 4 = 7 ortaca sayı +1 olduğuda 7+1=8 olur ÇOK KARŞILAŞILAN ÖZEL TOPLAMLAR; ( + 1) = = ( + 1) = 1 1 r 1+ r+ r + r + + r = 1 r ( + 1)( = 6 + Örek (1 ) =? ÇÖZÜM : =(+1) =70 = =56=160 1) = 160 (+4) = 154 wwwglobalderscom

4 Örek (1 ) =? = -1=6 = = = =104 ( ) = 999 NOT: bu tür toplamlarda eğer temel formülde eksik ola kısım çok ise iki ayrı formül kullamak gerekir ki bu da işimizi zorlaştırır Bu yüzde bu tür sorularda e iyisi GAUS u formülüü kullamaktır Örek (14 ) =? Terim sayısı = + 1=0 GAUS formülü=(14+71)(0/) = 850 Örek (16 ) x,y ardışık iki çift tamsayı, x>y ve x y = 8 ise x=? ÇÖZÜM 1 : x= ve y= - seçilirse ( ) ( x = = 8 olur ÇÖZÜM : = ) = = 8 4 = = 8 x y = 8 (x-y)(x+y)=8 (iki kare farkı) (x+y) = 8 x+y=14 o halde sayılarımız 8 ve 6 dir Cevap x = 8 olur Örek (17 ) (+5) ve ( ) ardışık iki tamsayıdır Bua göre i alabileceği değerler çarpımı kaç olur? Örek (15 ) toplamıda 1ci terimler şer arttırılır, ci terimler şer azaltılırsa toplam asıl değişir istee toplamı yazıp alt alta çıkaralım bu toplamı hesaplarsak =6 =1 çift sayıları toplam formülüde (+1)=114 = 18 artar Ardışık iki tamsayı arasıdaki fark 1 dir Kimi büyük olduğu belli olmadığıda; çözülür (-)-(+5) = 1 veya (+5)-(-) = 1 deklemleri (-)-(+5) = = 1 = 8 (+5)-(-) = = 1 - = -6 = 6 o halde cevap 86=48 olur wwwglobalderscom 4

5 Örek (18 ) Bir sayıı oralarıı (bölelerii) toplam faktörleri öbür sayıı yarısıı veriyorsa bu iki sayı kardeş sayıdır? Bua göre aşağıdaki hagi iki sayı kardeştir? A) B) C) D) 0 84 E) = = o halde cevap D şıkkıdır Örek (19 ) 7 farklı sayıı toplamı 105 ise e büyüğü e az kaçtır? E büyüğü e az veya e küçüğü e çok sorularıda sayılar mümkü ise ardışık seçilir(sayılar farklı olmak kaydıyla) Ardışık 7 sayıı ortacasıı buluma yötemide 105:7= 15 (ortaca sayı yai 4cü sayı) o halde büyük sayı 15+=18 olur Örek (0 ) 4 sayıı toplamı 56 ise e küçüğü e fazla kaçtır? ÇÖZÜM-1: Sayılar ardışık seçilemediğide ardışık olması içi mümkü ola e küçük sayı, toplama ekleerek ardışık olması sağlaır Çıkarıla bu sayı büyük olaa ekleir +(+1)+(+)+(+)=58 ( ekledik) 4+6=58 4=5 =1 sayımız 1 çıkar ÇÖZÜM : 56:4=14 wwwglobalderscom 5 14,14,14,14 seklide sayılar yazıldıkta sora eksilt ekle yötemiyle istee bulumaya çalışılır 1,14,14,15 (soruda farklı demediği içi bazıları ayı seçilebilir) cevap 1 olur Örek (1 ) 4 farklı sayıı toplamı 56 ise e küçüğü e fazla kaçtır? ÇÖZÜM-1: Sayılar ardışık seçilemediğide ardışık olması içi mümkü ola e küçük sayı, toplamda çıkarılır ardışık olması sağlaır +(+1)+(+)+(+)=54 ( çıkardık) 4+6=54 4=48 =1 sayımız 1 çıkar ÇÖZÜM : 56:4=14 14,14,14,14 seklide sayılar yazıldıkta sora eksilt-ekle yötemiyle istee bulumaya çalışılır 1,14,14,15 (soruda farklı dediği içi sayıları tekrar değiştiririz) 1,1,15,16 cevap 1 olur Örek ( ) Bir a doğal sayısı + ile bölüdüğüde farklı kalaları toplamı 55 ise kaçtır? Kala bölede küçük olacağıda Kalalar: (+) = 55 (+ )(+ ) (Formülde) = 55 (+)(+)=110

6 (+) ve (+) ardışık olduğuda çarpımları 110 ede ardışık iki sayı buluur Bular 10 ve 11 dir +=10 ve =8 buluur ÜNLÜ MATEMATĐKÇĐLER Örek ( ) 1 de ( 1) e kadar ola ardışık tek sayıları toplamı a, 10 da büyük olup ()ê kadar ola çift sayıları toplamı b ve b a=70 ise kaçtır? (-1)=a = a = b =(+1) = (+1)-( ) b = +-0 b-a = ( +-0) - =70-0 = 70 = 100 buluur Örek (4 ) x çift bir sayı ve 1 de (x+1) e kadar ola tek doğal sayıları toplamı a, de (x ) ye kadar ola çift doğal sayıları toplamı da b olsu Bua göre 1 de x e kadar ola doğal sayıları toplamı kaç olur? (x-)+(x-1)+(x+1) = a (x-4)+(x-)=b bu iki deklem alt alta toplaırsa (x-)+(x-1)+(x+1) = a+b (x-)+(x-1)+x = a+b-1 buluur wwwglobalderscom 6 Gauss ( ) Alma astroomu, matematikçisi ve fizikçisidir Daha çocukluğuda, erke gelişmiş zekası, matematiğe karsı zekasıyla sivrildi ve Brouseweig düküü ilgisii çekti Dük, okul masraflarıı üzerie alarak O' u Göttige Üiversitesie göderdi Heüz 16 yasidayke Herschel'i 1781 de kesfettigi Uraüs gezegeii yörüge elemalarıı hesaplayarak, Yer'i bir oktasida yapıla ölçülerle, bu gezegei yörüge elemalarıı bulmaya yaraya ve güümüzde hala kullaıla bir metot ortaya koydu 1798 de Helmesdt'e yaptıgı bir iceleme geziside sora, Brauschweig'a dödü ve birkaç yıl içide kedisii büyük matematikçiler sırasıa koyacak bir seri çalısma raporu yayımladı Sayılar üzerie icelemeleri topladığı Disqvisitioes Arithmetice'de (Aritmetik Arastirmalara) (1805), eşitlikleri, ikici derecede şekilleri, serileri yakısaklıgıi vb ele aldı Piazzi tarafıda 1810 da, küçük geze Cerez'i keşfide sora Gauss, çesitli gökmekaiği arastırmaları yaptı, hayatıı soua kadar bağlı kalacağı Göttige rasathaesie müdür oldu (1807) Theoria Motus Corporum Coelestium I Sectioibus Coicis Solem Ambietium (Koik kesitii? gökcisimlerii gües çevresideki hareket kurami) (1808) adlı ülü eserii yazdı Legedre ile heme ayı zamada düşüdüğü ve daha öce 1797 de yararladığı - e küçük kareler metoduda (181) başka, yaılmalar teorisi ve iki terimli deklemleri çözümü içi geel bir metot buldu; uygu-tasvir üzerie arastırmalar, yüzeyleri eğriliği ve Disqvisitioes Geerales Carca Sperficie Curvas'ta (egri yüzeyler üzerie geel arastirmalar) (187), ispat ettiği ülü teoremi de yazmak gerekir Bu teoreme göre, bükülebile fakat uzatılamaya bir yüzeyi egriligi, yai egriliklerii

7 çarpımı degismez Göttige ile Altoa arasıdaki meridye yayıı ölçülmesi sırasıda (181,184), Gussu, geodezi çalısmalarıda ışıklı işaretler verebilmek içi, kedi adıı tasıya Helyotropu tasarladı Optik alaıda, eksee yakı ışık ışıları içi düzelemiş merkezi optik sistemlerii geel teorisii kurdu Elektrikle özeliikle magetizma ile ilgiledi, bu alada magetometreyi icat etti Ve Resultate Aus De Beabochtuge Des Maetische Vereis (Yer magetizmasii geel kurami) (189), adlı eseride, magetizmai, matematik teorisii formülleştirdi Suclides'ci olmaya hiperbolik geometrii keşfide, bu kouda hiç bir şey yayımlamamış olmakla birlikte, Gauss, Balyai ve Labocewsky'de öce çalısmalar yapmış ve başarı sağlamıştı EĞLENCE CEVABI ARKADA(HEMEN BAKMAYIN ) YAZAN ĐBRAHĐM HALĐL BABAOĞLU Matematik Öğretmei wwwglobalderscom wwwglobalderscom 7