ELEKTRİK SÜRÜCÜLERİNİN TİP-2 BULANIK MANTIK VE KAYMA KİPLİ KONTROL YÖNTEMLERİ KULLANILARAK DAYANIKLI HIZ KONTROLÜ

Transkript

1 ISSN:306-3 e-journal of New World Scences Academy 008, Volume: 3, Number: Artcle Number: A0058 NATURAL AND APPLIED SCIENCES ELECTRONIC AND COMPUTER ENGINEERING Receved: September 007 Accepted: December Ayhan Altınörs Z.Hakan Akpolat Unversty of Frat Elazg-Turkye ELEKTRİK SÜRÜCÜLERİNİN TİP- BULANIK MANTIK VE KAYMA KİPLİ KONTROL YÖNTEMLERİ KULLANILARAK DAYANIKLI HIZ KONTROLÜ ÖZET Bu makalede, elektrksel sürücülern dayanıklı hız kontrolü çn tp- bulanık mantık (TBM) ve kayma kpl kontrol teknğ (KKK) üzerne kurulmuş yen br kontrol tasarımı sunulmaktadır. Önerlen kontrolörün tasarımında br kayma kpl kontrol tasarım yöntem olan erşm kuralı kontrol yaklaşımı (EKKY) kullanılmıştır. Kontrol uygulamalarına daha elverşl olması sebebyle, Takag-Sugeno-Kang (TSK) bulanık sstem ve aralık tp- bulanık küme terch edlmştr. Belrszlkler üzerndek etknlğ nedenyle Non-sngleton bulanıklaştırma uygulanmıştır. Kontrol performansı, atalet ve sürtünmeye bağlı değşmler ve harc yük moment bozucuları altında test edlmştr. Yen kontrol yaklaşımının etknlğn göstermek çn KKK ve tp- bulanık KKK (TBKKK) sstemlern deneysel sonuçları beraber sunulmuştur. Anahtar Kelmeler: Tp- Bulanık Mantık, Kayma Kpl Kontrol, Erşm Kuralı Kontrol Yaklaşımı, Dayanıklı Kontrol, Hız Kontrolü ROBUST SPEED CONTROL OF ELECTRICAL DRIVE SYSTEMS USING TYPE- FUZZY LOGIC AND SLIDING MODE CONTROL METHODS ABSTRACT In ths paper, a new control scheme based on Type- Fuzzy Logc and Sldng Mode Control (SMC) technques s presented for the robust speed control of electrcal drves. In the desgn of the proposed controller, Reachng Law Control (RLC) approach whch s a SMC desgn method s used. Takag-Sugeno-Kang (TSK) fuzzy system and nterval type- fuzzy sets are preferred due to ther sutablty for control applcatons. Non-sngleton fuzzfcaton s employed because of ts effectveness on uncertantes. The control performance s tested under nertal-frctonal varatons and external load torque dsturbances. Expermental results of the SMC and Type- Fuzzy SMC (TFSMC) systems are presented together n order to show the effectveness of the new control approach. Keywords: Type- Fuzzy Logc, Sldng Mode Control, Reachng Law Control, Robust Control, Speed Control

2 e-journal of New World Scences Academy Natural and Appled Scences, 3, (), A0058, GİRİŞ (INTRODUCTION) Sürücü sstemlernn kontrolünde karşımıza çıkan en öneml problemlerden br olan belrszlkler [], ölçme hatalarından, çözülecek br problem le lgl blg yeterszlğ veya eksklğnden, kelmelern fade edlmek stenen manadan başka şeklde anlaşılması gb durumlarda ortaya çıkablr. Belrszlklern etksn azaltmak çn gelştrlen stratejlerden br de Tp- Bulanık Mantık Teorsdr []. Kontrol edlen br sstemdek parametre değşmlerne, modellenmemş dnamklere ve harc bozucu grşlere karşı stenen performansı muhafaza eden veya kabul edleblr sınırlar çersnde tutan kontrol sstemne dayanıklı kontrol sstem ve bu sstemdek kontrolöre de dayanıklı kontrolör denr [3 ve 4]. Bu makalede, özellkle belrszlkler üzerndek etknlğnden dolayı Tp- Bulanık Mantık ve dayanıklı kontrol yöntemler arasında en etkl ve uygulanablr yöntemlerden br olması açısından Kayma Kpl Kontrol (KKK) teknğnn br arada kullanılarak gelştrldğ yen br kontrolör yapısı sunulmaktadır. Br servo sstemde elektrk motorunun dayanıklı hız veya konum kontrolü, mekank ve elektrksel parametre değşmler, gürültü ve bozucu grşler karşısında kontrol performansının kabul edleblr br düzeyde kalmasını sağlamak demektr.. ÇALIŞMANIN ÖNEMİ (RESEARCH SIGNIFICANCE) Tp- Bulanık Mantık ve KKK yöntemlernn brlkte kullanılması sonucunda yen dayanıklı kontrol yöntemlernn gelştrlebleceğ rahatlıkla söyleneblr. Ntekm son zamanlarda, kontrol alanında performansı artırmak amacıyla, Tp- Bulanık Mantık yoğun br şeklde kullanılmaya başlanmıştır. Çalışma alanı yen sayılableceğnden Tp- bulanık mantık tabanlı kontrol uygulamaları ancak son beş yıl çnde yoğun br şeklde artmıştır. Ayrıca Eylül 007 tbaryle yaptığımız son lteratür taramalarına göre, bu çalışmanın, Tp- bulanık mantığın elektrk sürücü sstemlernn hız kontrolüne uygulaması konusunda yapılan lk çalışmalardan br olduğu rahatlıkla söyleneblr. 3. TİP- BULANIK KKK NIN YAPISI (STRUCTURE OF PROPOSED TYPE- FUZZY SMC) Bu bölümde, lk önce br elektrk motorunun hız kontrolü çn erşm kural yaklaşımı le ayrık zaman KKK tasarımı yapılacak, daha sonra se aralık tp- non-sngleton TSK BMK nın kullanıldığı EKY temell önerlen kontrolörün tasarımı anlatılacaktır [5]. T L ω I q ref T e - ω + - Kontrolör K T G h (s) G p (s) + Şekl. Kapalı çevrm sayısal hız kontrol sstem (Fgure. The closed loop dgtal speed control system) Şekl de görülen hız kontrolörünün çıkışı moment akımı (I q ) stemdr ve elektrksel sürücü sstemlernn, y br moment kontrol performansına sahp olması stenr. Bu çalışma, hız kontrolü üzernde yoğunlaşmakta olup y br moment ve akı kontrolünün sağlandığı varsayılmaktadır. Bu nedenle hız kontrol çevrmne göre daha yüksek bant genşlğne sahp olan (daha hızlı olan) akım kontrol çevrm, hız kontrolör tasarımında hmal edlmştr. Buna göre, kontrol edlen T 34

3 e-journal of New World Scences Academy Natural and Appled Scences, 3, (), A0058, sstemde elektrksel dnamkler hmal edlmş ve sürücü sstemn sadece mekank dnamkler ele alınmıştır (T L =0 çn): Buna göre, kontrol edlen sstemn transfer fonksyonu; ( s ) G p( s ) = ω = () Te( s ) Js + B olur. Burada; ω: motor mlnn açısal hızı (rad/sn), T e : elektrksel moment (Nm), J: atalet moment (kgm ), B: vskoz sürtünmedr (Nms/rad). Şekl de, K T moment sabtn, I q moment akımını, T L yük momentn, T örnekleme peryodunu ve G h (s) sıfırıncı derece tutmayı (zero order hold) temsl etmektedr [4]. Buradak kontrol problem, yük moment, atalet ve sürtünme değşmler altında dayanıklı br hız kontrol performansı sağlamaktır. Ayrık zamanlı sstemlerde, br sgn(.) fonksyonu çeren erşm kuralının doğrudan uygulanmasının br çatırtı problemne sebep olduğu blnmektedr. Br hız kontrol sstemnde, modellenmemş mekank dnamkler uyararak mekank ttreşmlere neden olacağı çn, moment stemnde çatırtı stenmeyen br şeydr [6]. Çatırtıyı önlemek çn sgn(.) fonksyonu yerne br sat(.) fonksyonu kullanılablr. Fakat elektrk sürücü sstemlerndek hız kontrol uygulamalarında bu sat(.) fonksyonunu kullanmak gerekszdr, çünkü zaten kontrolör çıkışında moment stemn sınırlamak çn aşırı toplamayı engelleyc yapı (ant-wnd up ntegrator) çnde br sat(.) fonksyonu kullanılmaktadır [6]. Buna göre, sgn(.) fonksyonsuz br ayrık zaman erşm kuralı, anahtarlama fonksyonu S çn aşağıdak gb yazılablr; ΔS( k + ) = αs( k ) () Burada; k: örnekleme anı (yan k=0,,,..) α: poztf br sabt, Δ operatörü se aşağıdak gb fade edlr; f ( k + ) f ( k ) Δ f ( k + ) = (3) T {Δf(0)=0} şartı le T örnekleme zamanı olmak üzere, anahtarlama fonksyonu aşağıdak gbdr; S( k ) = λ e( k ) + Δe( k ) (4) Burada; e( k ) = ωref ( k ) ω( k ) dır. (5) Denklem () dek erşm kuralı, temel olarak anahtarlama fonksyonu S nn exponansyel olarak α nın belrledğ dnamkle sıfıra doğru azaldığını göstermektedr. Şekl dek kontrolör blokunun çıkışına br ntegratör yerleştrlmş olan kapalı çevrm hız kontrol sstem düşünelm. Sstemn darbe transfer fonksyonu (6) dak gb olacaktır [4]; G p ( z ) Z { G ( s )G ( s )} C p = h p = (6) z P p Burada; P p = exp( BT / J ) ve C p = ( Pp ) / B dr. EKY kullanılarak erşm kuralı denklem (7) dek gb türetleblr [7]; u( k ) = KS( k ) + KΔe( k ) + ( Δωref ( k + ) Pp Δωref ( k )) KTC p (7) Burada; Tα K = (+ λt )K C (8) T p 34

4 e-journal of New World Scences Academy Natural and Appled Scences, 3, (), A0058, K (+ λt )Pp = (9) (+ λt )K C T p ω ref yı br basamak stem kabul edersek, ω ref, sabt olduğu çn Δω ref (k+) ve Δω ref (k) değerler sıfıra eşt olur ve böylece (7) denklemnn üçüncü term ortadan kalkar.buna göre kontrol kuralı aşağıdak gb olur [0]; u( k ) = KS( k ) + K Δe( k ) (0) () ve (3) nolu denklemler kullanılarak, S çn aşağıdak fade elde edlr; S( k + ) = ( αt ) S( k ) () S nn çatırtı olmaksızın exponansyel olarak sıfıra yaklaşması çn 0 < α eştszlğnn sağlanması gerekr [8]. T Buna göre, br elektrksel sürücü sstemnn hız kontrolü çn, aralık tp- non-sngleton TSK BMK nın kullanıldığı EKY temell önerlen kontrolörün tasarımı aşağıda anlatılmaktadır: İk grş (S ve Δe) x X, x X ve br çıkışa u U sahp br tp- TSK BMK ü düşünelm. Kural tabanının nc kuralı () dek şeklde fade edleblr: : IF x s F ~ and x s F ~ THEN u = C x + C x () R Burada; =,..,4; ~ F ve F ~ aralık tp- varsayım bulanık kümeler; C ve C aralık tp- sonuç bulanık kümeler ve u se nc kuralın çıkışı ve aynı zamanda aralık tp- bulanık kümedr. Non-sngleton br yapı kullanıldığından x ve x grşler de aralık tp- bulanık kümelerdr. Şekl de, önerlen kontrolörde kullanılan aralık tp- varsayım bulanık kümeler görülmektedr. ( F ~ F ~ 3 4, F ~ F ~ 3 ve F ~ F ~ 4, F ~ F ~ ) μ (x ) F ~ F ~ 3 μ (x ) F ~ F ~ -M -ΔM M +ΔM -M -ΔM M +ΔM -M 0 M x -M 0 M x Şekl. Aralık Tp- varsayım bulanık kümeler (Fgure. The nterval type- antecedent fuzzy sets) Br aralık kümes sadece kend doman aralığında gösterleblr. Bu doman aralığı da kend sol ve sağ son-noktalarıyla, [L,R] şeklnde fade edleblr. Ayrıca, aralık küme, kend merkezyle ve c=(l+r)/ ve s=(r-l)/ olmak üzere, [c-s, c+s] şeklnde yayılarak da fade edleblr. Aralık kümelerde, domann her br noktasındak üyelk dereces e eşttr. Varsayımlar çn aralık tp- bulanık kümeler ve br tp- TSK kuralının sonuç kümeler çn se aralık tp- C j 35

5 e-journal of New World Scences Academy Natural and Appled Scences, 3, (), A0058, bulanık kümeler kullanıldığında, üyelk dereces μ ( x ) ve ateşleme ~ F k k kümes (çarpım veya mnmum t-norm altında) ( x ) aralık kümeler olur. Yan; C = [ c s,c s ] =,..,4 ve j=, (3) j j jl j + jr Burada; c j, C j nn merkezn ve s jl ve s jr se C j nn sağa ve sola yayılmasını göstermektedr. μ x ) = [ μ ( x ), μ ( x )] k =, (4) ( F ~ k F ~ k F ~ k k k k ( x F ~ k ~ F ( x k k k Burada; μ ) ve μ ) alt ve üst üyelk dereceler ve F ( x ) = [ f ( x ), f ( x )] (5) dr. Burada; ( x ) = μ ( x ) x ) (6) f F ~ ( F ~ f ( x ) = μ F ~ ( x ) μ ( x ) F ~ (7) R, kuralının sonucu u, da aynı zamanda br aralık kümedr. Yan, u = [ul,ur ] (8) Burada; u u L R j= c j x jl j= jl jl = x s (9) j= c j x jr + j= jr jr = x s =,..,4 (0) Burada =,..,4 çn sabtler c = K ve c = K dr. Dğer sabtler, s jl ve s jr uyarlama şlem sırasında belrlenmektedr. Non-sngleton bulanıklaştırma kullanıldığından, grşler x =[x L, x R ] ve x =[x L, x R ] veya x =[S-S s, S+S s ] ve x =[Δe-Δe s,δe+δe s ] şeklnde aralık kümeler olarak tanımlanır. Burada S, anahtarlama fonksyonu, Δe hatadak değşm, S s ve Δe s se S ve Δe nn yayılmalarıdır. Normalze edlmemş br aralık tp- TSK BMK çn çıkış aşağıdak gbdr; ul ur u = + () Burada; u f ( x ) u () = 4 L = L = 4 u R f ( x ) ur (3) = Kontrolörün çıkışı moment akımı I q, sürekl durum hatasını azaltmak çn BMS nn çıkışı entegre edlerek elde edlr. Ayrık zamanda k fark denklem aşağıdak şekldedr: I ( k ) = I ( k ) Tu( k ) (4) q q Kontrol Parametrelernn Uyarlanması (Tunng of the Control Parameters) Yapılan çalışmada, sürücü sstemn atalet (J), sürtünme katsayısı (B) ve yük moment (T L ) değerlernn net olarak blnmedğ fakat J n J 0 J n ve B n B 0 Bn sınırları arasında değşebleceğ varsayılmıştır. Önerlen TBKKK ün blnmeyen kontrol parametrelern ( s jl ve s jr, =,.,4, j=,) belrlemek çn nomnal parametreler J n, ve B n kullanan (kullanılan asenkron motorun nomnal parametreler J n =0,009 Kgm, B n =0,00063 Nms/rad) br referans kapalı çevrm hız F 36

6 e-journal of New World Scences Academy Natural and Appled Scences, 3, (), A0058, kontrol model ve öncek kısımda parametreler verlmş olan br KKK kullanılmıştır. Böylece, tasarımın lk bölümünde referans model le sstem çıkışı arasındak hata kullanılarak blnmeyen kontrol parametreler belrlenmştr. Mnmze edlecek toplam karesel hata [3], E( k ) = e ( ) ( k ) = ωm( k ) ω( k ) (6) olarak fade edleblr. Burada; ω m (k) referans modeln çıkışıdır. Eğm düşme yöntem (Gradent Descent Method), kullanılarak kontrol parametreler çn güncelleştrme kuralları aşağıdak gb verleblr [9]; E( k ) s jl( k + ) = s jl( k ) η (7) s ( k ) jl E( k ) s jr( k + ) = s jr( k ) η (8) s jr( k ) burada η, öğrenme oranıdır ve 0. seçlmştr. Zncr kuralı kullanılarak yukarıdak denklemlern türevler bulunablr. Örneğn, E( k ) E e ω u u L = (9) e s jl( k ) ω u u L s jl Kontrol parametrelernn uyarlama şlem süresnce, uygun referans grş snyal sayesnde, kontrolör çıkışının doyuma gtmes engellenmştr. 4. DENEYSEL SONUÇLAR (EXPERIMENTAL RESULTS) Gelştrlen TBKKK ve EYK Yaklaşımına göre tasarlanan KKK yöntemler, ayrıntıları [0] nolu referansta verlen deneysel düzenek kullanılarak gerçekleştrlmş ve önerlen TBKKK yöntemnn etknlğn gösteren başarılı sonuçlar alınmıştır. Şekl 3 de deneysel düzeneğn nomnal parametreler çn EKY le tasarlanan KKK yöntemyle, Şekl 4 de se gelştrlen TBKKK yöntemyle kontrol edlen sstemn br basamak grşe verdğ hız ve moment akımı cevabı görülmektedr. Gelştrlen kontrol yöntemnn belrgn üstünlüğünü görmek amacıyla kontrol performansları özellkle atalet moment gb etkl parametre değşmlernde ve bozucu yük moment altında ncelenmeldr. Bu anlamda, Şekl 5 ve 6 deneysel düzeneğn toplam atalet moment motor mlne dsk eklenerek nomnal değern yaklaşık 4 katına çıkarıldığı durum çn sırasıyla KKK ve TBKKK yöntemleryle elde edlen hız ve moment akımı cevaplarını göstermektedr. Yne, kontrol yöntemlernn performansı basamak şeklnde br yük moment uygulanarak test edlmştr. Şekl 7 ve 8 sırasıyla KKK ve TBKKK yöntemlernn basamak yük momentne karşı hız ve moment akımı tepklern göstermektedr ve karşılaştırıldıklarında, TBKKK yöntemnn KKK yöntemne göre daha y br performans sağladığı rahatlıkla söyleneblr. 37

7 e-journal of New World Scences Academy Natural and Appled Scences, 3, (), A0058, (a) Iqref ve Iq (A) ω(dev/dak) (b) Şekl 3. Deneysel sstemn nomnal parametreler çn KKK yöntem le elde edlen (a)hız cevabı (b)moment akım cevabı (Basamak referans grş ω ref = 000 dev/dak) (Fgure 3. The output responses of the SMC system for nomnal parameters of the expermental system (a) Speed response (b) The electrcal torque response (Step reference nput ω ref = 000 rev/mn)) 38

8 e-journal of New World Scences Academy Natural and Appled Scences, 3, (), A0058, ω(dev/dak) (a) Iqref ve Iq (A) (b) Şekl 4. Deneysel sstemn nomnal parametreler çn TBKKK yöntem le elde edlen (a)hız cevabı (b)moment akım cevabı (ω ref = 000 dev/dak) (Fgure 4. The output responses of the TFSMC system for nomnal parameters of the expermental system (a) Speed response (b) The electrcal torque response (Step reference nput ω ref = 000 rev/mn)) 39

9 e-journal of New World Scences Academy Natural and Appled Scences, 3, (), A0058, Iqref ve Iq (A) ω(dev/dak) (a) (b) Şekl 5. Deneysel sstemn atalet moment eklenen dsk le nomnal değern yaklaşık 4 katına çıkarıldığında KKK yöntem le elde edlen (a)hız cevabı (b)homent akım cevabı (ω ref =000 dev/dak) (Fgure 5. The output responses of the SMC system for approxmately J=4 J n, B=4 B n of the expermental system by addng a dsc (a)speed response (b)the electrcal torque response (ω ref = 000 rev/mn)) 40

10 e-journal of New World Scences Academy Natural and Appled Scences, 3, (), A0058, Iqref ve Iq (A) ω(dev/dak) (a) (b) Şekl 6. Deneysel Sstemn Atalet Moment eklenen dsk le nomnal değern yaklaşık 4 katına çıkarıldığında TBKKK yöntem le elde edlen (a)hız cevabı (b)moment akım cevabı (ω ref =000 dev/dak) (Fgure 6. The output responses of the TFSMC system for approxmately J=4 J n, B=4 B n of the expermental system by addng a dsc (a)speed response (b)the electrcal torque response (ω ref = 000 rev/mn ) 4

11 e-journal of New World Scences Academy Natural and Appled Scences, 3, (), A0058, ω(dev/dak) (a) Iqref ve Iq (A) (b) Şekl 7. Basamak yük moment uygulandığında KKK yöntem le elde edlen (a)hız cevabı (b)homent akım cevabı (Fgure 7. The output responses of the SMC system to a step load torque s appled (a)speed response (b)the electrcal torque response) 4

12 e-journal of New World Scences Academy Natural and Appled Scences, 3, (), A0058, Iqref ve Iq (A) ω(dev/dak) (a) (b) Şekl 8. Basamak yük moment uygulandığında TBKKK yöntem le elde edlen (a)hız cevabı (b)moment akım cevabı (Fgure 8. The output responses of the TFSMC system to a step load torque s appled (a)speed response (b)the electrcal torque response) 5. SONUÇ (CONCLUSION) Bu makalede, Erşm Kuralı Yaklaşımına göre tasarlanan KKK yöntem ve tp- bulanık mantık kullanılarak, parametre değşmler ve yük moment etks altındak elektrksel sürücülernn dayanıklı hız kontrolü çn yen br kontrolör yapısı önerlmştr. KKK teknğ, her ne kadar teork olarak mükemmel sonuç sağlasa da ayrık zaman gerçeklemesnde mükemmel br dayanıklı kontrol sağlayamamaktadır [3, 6 ve ]. Çatırtı problem, KKK yöntemnn ayrık zaman gerçeklemesnde ana sorundur. Bu çalışmadak KKK, Erşm Kuralı Kontrolü yaklaşımıyla tasarlanmıştır ve bu kontrolör yapısına lteratürde Eşdeğer kontrol yapısı da denlmektedr []. Kontrol uygulamalarında TSK BMK yapısı, Mamdan BMK yapısına göre daha elverşl olduğundan, önerlen kontrol yöntemnde TSK BMK yapısı terch edlmştr. Yne önerlen kontrolörde, belrszlklere karşı etknlğ ve hesaplama bastlğ sebebyle, aralık tp- kümeler ve non-sngleton bulanıklaştırma kullanılmıştır. Önerlen TBKKK ve KKK yöntemler deneysel olarak gerçekleştrlmş ve alınan sonuçlar makalede sunulmuştur. Deneysel sonuçlar, parametre değşmler ve yük moment etks altında, önerlen TBKKK ün KKK ya göre daha y br kontrol performansı sağladığını açıkça göstermektedr. 43

13 e-journal of New World Scences Academy Natural and Appled Scences, 3, (), A0058, KAYNAKLAR (REFERENCES). Utkn, V.I., (993). Sldng Mode Control Desgn Prncples and Applcatons to Electrc Drves, IEEE Trans.Ind.Electron., 40, no., pp: Mendel, J.M., (00). Uncertan Rule-Based Fuzzy Logc Systems:Introducton and New Drectons, Prentce-Hall PTR. 3. Akpolat, Z.H., (999). Applcaton of Fuzzy-Sldng Mode Control and Electronc Load Emulaton to the Robust Control of Motor Drves, Ph.D.Thess, Unversty of Nottngham. 4. Frankln, G.F., Powell, J.D., and M.L.Workman, 998, Dgtal Control of Dynamc Systems, 3 rd edn., Menlo Park, CA: Addson- Wesley. 5. Akpolat, Z.H. and Altnors, A., (007). Type- fuzzy reachng law speed control of an electrc drve, Internatonal Journal of Modelng and Smulaton, 7(3). 6. Akpolat, Z.H., Asher, G.M., and Clare, J.C., (000). A practcal approach to the desgn of robust speed controllers for machne drves, IEEE Trans.Ind.Electron., 47(), pp: Karnk, N.N., Mendel, J.M., and Lang, Q., (999). Type- fuzzy logc systems, IEEE Trans on Fuzzy Systems, 7(6), pp: Akpolat, Z.H. and Gokbulut, M., (003). Dscrete tme adaptve reachng law speed control of electrcal drves, Electr Eng., 85(), pp: Astrom, K.J. and Wttenmark, B., (995). Adaptve Control, nd edn., Mass.: Addson-Wesley. 0. Altınörs, A., (007). Tp- Bulanık Mantık ve Kayma Kpl Kontrol Yöntemler İle Servo Sstemlern Dayanıklı Kontrolü, Doktora Tez, Fırat Ünv. Fen Blmler Ensttüsü, Elazığ.. Bayındır, M.İ., (003). Ayrık Zaman Kayma Kpl Kontrol Yöntemnn Servo Sstemlere Uygulanması, Doktora Tez, Fırat Ünv. Fen Blmler Ensttüsü, Elazığ.. Slotne, J.J.E. and L, W., (99). Appled Nonlnear Control. Prentce-Hall. 44