Çarpımsal Ceza Modeli İle Tamsayılı Programlama

Transkript

1 Dokuz Eylül Ünverstes Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Clt: 10, Sayı:3, 2008 Çarpımsal Ceza Model İle Tamsayılı Programlama Sabr Erdem Özet Doğrusal olmayan optmzasyon problemlernn çözüm yöntemlernden brs, kısıtların sağlanmama durumlarında amaç fonksyonunu olumsuz yönde değştrecek br ceza uygulanmasıdır. Çarpımsal ceza model, son dönem çalışmalarında henüz yer almakla brlkte, lteratürde farklı yaklaşımlara sahp ceza teknkler de yer almaktadır. Tamsayılı programlama problemlernn çözümünde kullanılan yöntemler arasında kesme düzlem yaklaşımları, dal sınır yöntemler ve evrmsel optmzasyon uygulamaları sayılablr. Bu çalışma kapsamında lk kez tamsayılı optmzasyon problemlernn çözümünde çarpımsal ceza temell kısıt sağlama yöntem uygulanmıştır. Yöntem doğrusal olmayan ortak test problemlernden Hmmelblau üzernde test edlmş. Yöntemn, problemn komplekslğ ve büyüklüğü karşısındak davranışı gözlemlenmştr ve performansı da, dğer yaklaşımlarla karşılaştırmalı bçmde analz edlmştr. Anahtar Sözcükler: Çarpımsal Ceza, Tamsayılı Programlama, Evrmsel Optmzasyon Dokuz Eylül Ünverstes, İşletme Fakültes, 141

2 Abstract One of the soluton methods for the nonlnear optmzaton problems s to apply penalty that changes the value of objectve functon as contrary to optmzaton drecton. Multplcatve penalty method, has been already taken place n the recent studes whereas there can be found other approaches n the lterature. Cuttng plane approaches, branch and bound methods and evolutonary optmzaton applcatons can be regarded as essental solutons to nteger programmng problems. In scope of ths study t s frst tme that the multplcatve penalty approach s used for nteger programmng as a new constrant handlng method. The method s tested on the Hmmelblau s problem whch s one of the common test problems n the nonlnear optmzaton area. Method was also tested aganst complexty and sze of the problem n terms of ts performance as compared to exstng methods results. Keywords: Multplcatve Penalty, Integer Programmng, Evolutonary Optmzaton 1 GİRİŞ Tamsayılı programlama özellkle knc dünya savaşı sonrası gelştrlen yöntemler le son dönem optmzasyon çalışmalarında genş yer tutmaktadır. Gerçek hayat problemlernn tamsayılı programlama le fade edlmes özellkle atama, ulaştırma, gezgn satıcı problemler ve maksmum akış en kısa yol problemlerne en y çözüm arayışlarını gündeme getrmektedr. Bu tarz problemler blndğ üzere çoğunlukla NP-tam (NP-Complete) çözüm komplekslğne sahptrler. Dolayısıyla matematksel programlama sınıfında bulunan kesme düzlem, ç nokta (nteror pont) yaklaşımı, dal-sınır algortmaları gb yöntemler bu tarz problemlernn çözümünde yetersz kalmaktadır. 142

3 NP-tam türü gerçek hayat problemlerne son yıllarda evrmsel optmzasyon sınıfındak yöntemlerle çözümler getrlmeye çalışılmaktadır. Bunlar arasında sıklıkla kullanılan yöntem genetk algortmalardır. Genetk algortmalar özellkle kısıtsız problemler çn etkl çözümler sunmaktadır. Bununla brlkte kısıtlı problemlern genetk algortma gb evrmsel hesaplama yöntemleryle çözümünde farklı yaklaşımlar bulunmaktadır. Kısıt sağlama yöntem olarak ceza yaklaşımları, onarım algortmaları, amaç fonksyonu ve kısıtların brlkte alındığı ortakevrmleşme (co-evolutonary) ve çok amaçlı optmzasyon yaklaşımları, melez (hbrd) yöntemler ve dğer gösterm şekller ve operatörler sayılablr. Evrmsel hesaplama yöntemlernn sıklıkla kullandığı yöntemlerden brs ceza fonksyonu yöntemdr. Ceza yöntem de farklı şekllerde uygulanmaktadır. Bunlar arasında statk ceza yaklaşımı, dnamk ceza yaklaşımı, ölü ceza, tavlama yaklaşımlı ceza, adaptf ceza ve ortak-evrmleşme (co-evolutonary) ceza yaklaşımı sayılablr. Genel olarak ceza temell evrmsel hesaplama yöntemlernde kullanılan ceza fonksyonu Denklem 1 dek gb verlmektedr (Coello, 2001) F( x) = m p f ( x) ± r G + c = 1 j= 1 j L j (1) Burada F(x ) genşletlmş amaç fonksyonu, G ve L j problem kısıtlar g(x ) ve h(x ) e lşkn fonksyonlar, r ve c j ceza faktörü olarak ntelendrlen sabtlerdr. G ve L j fonksyonlarının en yaygın formu Denklem 2 ve 3 tek gbdr. G = max [ 0, g ( x) ] β γ L = h (x) (3) j j (2) 143

4 Burada β ve γ genellkle 1 veya 2 olarak seçlrler. Ceza temell yöntemler Denklem 1 den görüleceğ üzere sağlanamayan kısıtların olduğu durumlar çn toplamsal bçmde, ceza fonksyonu tarafından üretlen ceza değerlernn amaç fonksyonuna, fonksyonun değern olumsuz yönde değştrecek bçmde eklenmektedr. Burada sunulan çalışma se ceza fonksyonuna yen br yaklaşım getrerek çarpımsal olarak ele almaktadır. Yöntem lk olarak Erdem (2007) tarafından tanıtılmıştır ancak tamsayılı programlamaya lk defa bu çalışma dahlnde uygulanmaktadır. 2 MATERYAL VE YÖNTEM 1.1 Doğrusal Olmayan Kısıtlı Optmzasyon Problemler Çalışmanın bu bölümünde br öncek optmzasyon problemlerne lave olarak model karar değşkenlernn oluşturduğu kısıtların da çnde bulunduğu doğrusal olmayan optmzasyon model ele alınmaktadır. Optmzasyon model, Model (4) te tanıtılmaktadır. mn f(x) g (x) b = 1,2,..., p h (x) = 0 j = 1,2,..., l (4) j n f: R R x E, E R n Burada çözüm vektörü x = ( x1, x2,..., xn), p: eştszlk çeren kısıt sayısı, l: eştlk çeren kısıt sayısıdır. 144

5 1.2 Yöntemn Yapısal Analz Burada önerlen kısıt şleme model, en küçüklemeye dayalı tek amaç fonksyonlu problemler ele almaktadır. Model, dğer modeller gb, var olan kısıtları ceza temell olarak amaç fonksyonuna dahl etmektedr. Ceza temell modellerde kısıtlar sağlanmadıkları takdrde amaç fonksyonunu da çne alan uygunluk fonksyonunu olumsuz yönde değştrmektedrler. Çalışmadak çarpımsal model de benzer şeklde br H(x) uygunluk fonksyonunu olumsuz yönde değştrmeye çalışmaktadır. Ancak geleneksel modeller gb uygunluk fonksyonunu toplamsal olarak değl, br çarpan olarak etklemektedr. Çarpımsal model daha önceden, Gen ve Cheng (1996) tarafından yapılan çalışmada nakledldğ üzere, Yokota v.d. (1995) tarafından Model (5) te verlen optmzasyon model çn, Denklem (6- a), (6-b) ve (7) de görüldüğü bçmde önerlmştr. Yokota v.d. nn bu model Smth, Tate ve Cot n yaklaşımı olan (Smth ve Tate, 1993) ceza fonksyonunun çarpımsal model olarak fade edlmesdr. Smth v.d. çalıştığı, Model (5) te verlen doğrusal olmayan optmzasyon modelnde eştlk kısıtına yer vermemektedrler (Gen ve Cheng, 1996). max f(x) (5) g (x) b = 1,2,..., p Denklem (6-a) dak ftness(x ) uygunluk fonksyonudur. P(x) Denklem (6-b) dek gb fade edleblr: ftness( x) = f ( x) P( x) (6-a) m 1 b ( x) P( x) = 1 (6-b) m = 1 b 145

6 Burada m: toplam kısıt sayısı ve, b ( x) = max 0, g ( x) b [ ] (7) Burada b (x), kısıtının sağlanmama mktarına karşılık gelmektedr. Daha öncek benzer çalışmalardan ayrı olarak burada tanıtılan yöntem, bahsedldğ gb, sadece kısıtların sayıca sağlanma oranına ya da sadece kısıt sağlama oranına bakmaz, kısıtlardak bu her k durumu da çarpımsal olarak dkkate alır. Eğer amaç fonksyonu brleştrlmş ve en küçüklenmeye çalışılan br sezgsel model gb düşünülürse, önerlen kısıt şleme model Denklem (8) dek gb olacaktır. H(x) =1.Parça 2.Parça 3.Parça, (8) Önerlen çarpımsal modelde çarpan termler aşağıdak gb gruplanmıştır: 1. Parça: f (x) (en küçüklenecek olan amaç fonksyonu) 2. Parça: Kısıtlardan sapmaların mktarına bağlı fonksyon 3. Parça: Bütün kısıtların sağlanmasına lşkn fonksyon 2. ve 3. Parçalar k olursuz çözüm üzernde br kıyaslamaya da olanak tanımaktadır. 2. Parça çözüm noktalarındak kısıtların sağlanamamasının görecel br ölçüsünü temsl etmektedr. Dğer taraftan 3. Parça kısıtların sayıca sağlanma oranıyla lglenmektedr. Bu açıklamalardan yola çıkılırsa, br tarafta br kısıtın sağlanmasında büyük sapmaya sahp ancak dğerlernn hepsn sağlamış br çözüm noktası, dğer tarafta se bütün kısıtları çok küçük sapmalarla sağlayan çözüm noktası durmaktadır. Kısıtlar sağlanmadığında, dğer olası bütün durumlar bu k taraf arasında yer almaktadır. 146

7 Çarpımsal olarak elde edlen uygunluk fonksyonu H(x) n yen durumdak yapısı se Denklem (9) da görülmektedr. H( x) = H f ( x), r( x), t( x) (9) Burada, ( ) f (x) : En küçüklenecek olan amaç fonksyonu r(x) : kısıtlardak toplam sapma mktarına bağlı fonksyon t(x) : kısıtların sayıca sağlanma oranına bağlı fonksyon 1. Parça: Amaç fonksyonunu çeren parça: W ( f ( x ) ε ) 1 + (10) Burada ε sıfıra yakın poztf br reel sayıyı temsl etmektedr. Amaç fonksyonunun değernn H(x) fonksyonu çersnde en uygun bçmde yer alablmes W 1 değerne bağlıdır. ε se amaç fonksyon değernn sıfır olması durumunda da H(x) değernn hesaplanmasını sağlamaktadır. Gerçek hayat problemlernden olan tasarım uygulamalarında, kar enbüyüklemes ya da malyet enküçüklemes temell problemlerle çalışılacağı çn amaç fonksyonu değer her zaman poztf değerler alacaktır. Ancak matematksel modellerde amaç fonksyonun negatf W 1 değerler aldığı durumda 1. Parça f ( x ) + ε bçmnde alınarak H(x) değer hesaplanmalıdır. 147

8 2. Parça: Sağlanmayan her br kısıt çn sapma mktarı: g ( x ) + b sapma = h ( x) b kısıt " " eştszlğ çeryorsa kısıt " = " çeryorsa (11) Buna bağlı olarak görecel sapma mktarı, sapma / b d = sapma b 0 aks halde (12) Görecel toplam sapma mktarı fonksyonu, r x ) = 1/ Exp( W ) ( 2 d (13) Kısıtların sağlanma durumunda sapma sıfır olarak alınmalıdır. Dğer br deyşle poztf farklar sapma olarak kabul edlmemeldr. Çünkü buradak amaç çözüm noktalarının yaratableceğ kısıt hlallern dkkate almaktır. Kısıt hlal yaratmayan farklar sapma olarak kabul edlmemeldr. Dolayısıyla Denklem (11) ve (12) dek fadelere göre sağlanmayan br kısıtın sapma değer negatf ve bunların toplamından oluşan d değer de yne negatf değerler alacaktır. 2. Parça W d e 2 olduğuna göre poztf br W 2 çn, 2. Parça bütün kısıtların sağlanması durumunda 1 değern alacaktır. Kısıtların sağlanmama durumlarında se 1 den büyük değerler alarak H(x) değern büyütmeye çalışacaktır. 148

9 3. Parça: Sağlanan kısıtların sayıca oranı fonksyonu: W3 t ( x ) = u ( m / m ) f ( x) > 0 u = 1/( m / m ) aks halde (14) (15) m : toplam kısıt sayısı m : sağlanan kısıt sayısı Bütün kısıtların sağlandığı durumda 3. Parça 1 değern alacaktır. En az br tane kısıtın sağlanmadığı durumda se 3. Parça 1 den daha büyük br değer alacaktır (W 3 >0). Yan f(x) n küçültülmeye çalışıldığı br durumda, eğer en az br kısıt sağlanmıyorsa 2. ve 3. Parça değer 1 den büyük olacaktır. Dolayısıyla bütün kısıtların sağlandığı k çözüm vektörü kıyaslanırken, 2. Parça ve 3. Parçanın değer 1 olacağından, karar krter sadece f(x) fonksyon değerler olacaktır. Aks durumlarda karar krter her zaman H(x) fonksyon değer olacaktır. Aslında, buradak 3 parçanın brbrne göre ağırlıklandırılmasında, kıyaslamalar ve kame lşkler de dkkate alınmalıdır. H( x) = W d 2 W1 W3 ( f ( x) + ε ) e u (16) Önerlen yöntemn brleştrlmş ve bütünleşk yapısı se + Denklem (16) da görülmektedr. Burada W 1, W2, W3 R bahsedldğ üzere her br bleşenn brbrne göre görecel ağırlığını göstermektedr ve bu değerlern değştrlmes seçlen k farklı çözüm vektörü arasında br kıyaslama ve kame olanağı vermektedr. 149

10 2.1 Örnek Deneysel Problem Burada verlen problem lk olarak Hmmelblau (1972) tarafından ortaya atılmıştır ve aynı smle anılmaktadır. Problem dğer genetk algortma benzer ceza yöntem kullanan yaklaşımlar çn br kıyaslama problem halne gelmştr (Gen ve Cheng, 1997). Problem 5 karar değşken (x1, x2, x3, x4 ve x5), doğrusal olmayan kısıt fonksyonları ve sınır değerlern çermektedr. Bu çalışmada lave olarak bütün karar değşkenler tamsayılı olarak ele alınmıştır. Enküçükle: 2 f ( x) = x x1 x x1 40, (17) g1( x) = x2 x x1x x3 x5 (18) 2 g 2( x) = x 2x x 1x x 3 (19) g3(x) = x 3x x1 x x3 x (20) 4 0 g 1( x) 92 (21) 90 g 2 ( x) 110 (22) 20 g 3( x) 25 (23) 78 x (24) 33 x 2 45 (25) (26) (27) (28) ve x 1, x 2, x 3, x 4 ve x 5 tamsayı 150

11 Tablo 1 ve 2, Hmmelblau problemnn tamsayılı olmayan halndek mevcut ceza yöntemleryle çözülmüş sonuçlarını statstksel olarak ortaya koymaktadır. Tablo 1 Ceza temell bazı kısıt sağlama yöntemlernn Hmmelblau problem performansları Yöntem En İy Ortalama En Kötü Std. MGA Sapma Gen N/A N/A N/A Statc Penalty (Hmmelblau, 1972) N/A N/A N/A 8 Coello Dynamc Annealng Adaptve Death Penalty Kaynak: Coello (2001) 3 BULGULAR Çözüm çn başlangıç parametreler olarak W 1 =0.2, W 2 =0.4 ve W 3 =0.4 alınarak öncelkle kısıtların sağlanmasına ağırlık verlmştr. Başlangıç popülasyonu olarak 30, 60 ve 100 breyl üç ayrı standart genetk algortma çözümü 100 er nesl çn denenmştr. Her popülasyon çn bulunan değerler statstksel olara Tablo 2 de verlmştr. Her nesl ortalaması da ayrıca Şekl 1 de, nesl sayısına karşılık amaç fonksyon hesaplama sayısındak değşm Şekl 2 de verlmştr. Buradak tablolarla karşılaştırılmak üzere çarpımsal ceza yaklaşımı le tamsayılı olmayan çözüm Tablo2 de ve tamsayı kısıtının da bulunduğu durumdak çözüm Tablo 3 de verlmektedr. 151

12 Tablo 2. Çarpımsal ceza yöntemnn Hmmelblau problem üzerndek performansı Başlangıç Çözüm Noktası Ortalama Standart Sapma En Kötü En İy Kaynak: Erdem (2007) Tablo 3. Çarpımsal ceza yöntemnn Hmmelblau tamsayılı problem üzerndek performansı Başlangıç Çözüm Noktası Ortalama Standart Hata En Kötü En İy

13 Amaç Fonk. Değer 30,400 30,300 30,200 30,100 30,000 29,900 29,800 29,700 29,600 29,500 y = Ln(x) R 2 = Jenerasyon Şekl 1. Nesllerde bulunan ortalama amaç fonksyon değer Amaç fonksyonu hesaplama sayısı, gelştrlen yöntemlern performans karşılaştırmalarında verlen ölçütlerden brsdr ve lteratürde de arzu edlen değerler ve daha altındak değerler olarak görüleblr. Yöntemn performansı Şekl 2 dek gbdr. 16,000 14,000 Fonk. Hesap Sayısı 12,000 10,000 8,000 6,000 4,000 2,000 - y = x R 2 = Jenerasyon Şekl 2. Nesllerde elde edlen ortalama amaç fonksyonu hesaplama sayısı 153

14 4 SONUÇLAR Sonuçlara bakıldığında ortalama değerlern Coello (2001) de verlen yöntemlerden, MGA ve Coello tarafından kullanılan yöntemlern dışındaklerden daha y olduğu söyleneblr. Buradak çarpımsal yöntemde lave olarak, br de tamsayı kısıtı bulunduğu dkkate alınırsa yöntemn dğer problemler üzernde de kullanılableceğ söyleneblr. Şekl 1 dkkatle ncelendğnde amaç fonksyonu değer nesller lerledkçe logartmk olarak yleşmektedr. Buna karşılık nesllerle amaç fonksyon hesaplama sayısı arasında tam br doğrusal lşk bulunduğu da Şekl 2 de görülmektedr. Nesl sayısının 100 e yaklaştığı durumda amaç fonksyon hesaplama sayısı 30 bnler sevyesne gelmektedr ve bu da yöntemn performansı açısından tatmn edcdr. Önerlen yöntem, özellkle keskl fonksyonlara sahp, türevl çözümlern uygulanamadığı ve klask çözüm yöntemlernn etksz kalabldğ durumlarda şletme ve ktsad alanlardak doğrusal olmayan kısıtlı problemlern çözümünde rahatlıkla uygulanablecek br yapıdadır. Çözüm çn öneml olan ceza fonksyonunu ve uygun çalışma parametrelern seçeblmektr. Bundan sonrak çalışmalarda W 1, W 2 ve W 3 ün farklı değerlerle çalıştırılması ve bunun problem çözümüne etks araştırılablr. Aynı zamanda yöntem atama, ulaştırma ve dğer grup tamsayılı problemler üzernde denenp sonuçlar analz edlerek yöntemn br sonrak lerleme yolu araştırılablr. 154

15 Kaynaklar Coello Carlos A. (2001). Theoretcal and Numercal Constrant Handlng Technques used Wth Evolutonary Algorthms: A Survey of State of the Art, Cvl Engneerng and Envronmental Systems Coello, Carlos. A. ve Montes, E. M. (2002), Constrant-handlng n genetc algorthms through the use of domnance-based tournament selecton, Advanced Engneerng Informatcs 16, pp: Erdem Sabr, (2007). Evolutonary Algorthms for the Nonlnear Optmzaton, Yayınlanmamış Doktora Tez, Dokuz Eylül Ünv. Fen Blmler Ensttüsü Gen Mtsuo ve Cheng Runwe. (1996). A survey of Penalty Technques n Genetc Algorthms. In ToshoFukuda and Takesh Furuhash, edtors, Proceedngs of the 1996 Internatonal Conference on Evolutonary Computaton, pp , Nagoya, Japan Gen Mtsuo ve Cheng Runwe. (1997). Genetc Algorthms & Engneerng Desgn, John Wley and Sons, Inc, New York Hmmelblau D. M. (1972). Appled Nonlnear Programmng McGraw- Hll Smth A.E. ve Tate D.M. (1993). Genetc Optmzaton Usng a Penalty Functon. In Stephanes Forrest edtor, Proceedngs of the 5. Internatonal Conference on Genetc Algorthms, , San Mateo Calforna Yokota, T., Gen, M., Ida, K. ve Taguch, T. (1995). Optmal Desgn of System Relablty by an Improved Genetc Algorthm. Transactons of Insttute of Electroncs, Informaton and Computer Engneerng, J78-A(6): , (Çalışma aslen Japonca olup Gen ve Cheng (1996) dan nakledlmştr). 155