KESİRLİ MERTEBEDEN KONTROLÖRLER VE UYGULAMALARI. YÜKSEK LİSANS TEZİ İlhan MUTLU

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KESİRLİ MERTEBEDEN KONTROLÖRLER VE UYGULAMALARI YÜKSEK LİSANS TEZİ İlh MUTLU Abilim Dlı : Korol ve Oomsyo Mühedisliği Progrmı : Korol ve Oomsyo Mühedisliği Tez Dışmı: Prof. Dr. Leyl GÖREN SÜMER HAZİRAN 2

2

3 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KESİRLİ MERTEBEDEN KONTROLÖRLER VE UYGULAMALARI YÜKSEK LİSANS TEZİ İlh MUTLU (5483) Tezi Esiüye Verildiği Trih : 7 Myıs 2 Tezi Svuulduğu Trih : Hzir 2 Tez Dışmı : Prof.Dr. Leyl GÖREN SÜMER (İTÜ) Diğer Jüri Üyeleri : Doç.Dr.Mehme Tur SÖYLEMEZ (İTÜ) Yrd. Doç. Dr. Osm K EROL (İTÜ) HAZİRAN 2

4

5 ÖNSÖZ Korol mühedisliği çısıd bkıldığıd yei syılbilecek bu rşırm lı ilk def ilgi duymmı sğly, eşsiz vsiyeleri ve yol gösericiliği ile ezimi çok dh iyi bir seviyeye geirmemde yrdımcı ol sevgili hocm Prof. Dr. Leyl Göre Sümer e büü öerileri, lyışı ve yöledirmeleri içi çok eşekkür ediyorum. Birlike yığımız ve b göre çok değerli ol kdemik rışmlr bu ezi ory çıkmsıd büyük bir rol oymışır. Bu ezdeki deeysel çlışmlrı gerçekleşirmemde çok yrdımcı ol İsbul Tekik Üiversiesi Mekroik Eğiim ve Arşırm Merkezi (İTÜ MEAM) e ve çlışlrı eşekkür ediyorum. Ayrıc her zm beimle birlike ol ve bu ez çlışmsı sırsıd sürekli b desek ol çok sevgili ileme lyışlrı ve göserdikleri sbır içi çok eşekkür ediyorum. So olrk yüksek liss eğiimim boyuc sğldıklrı mddi desek edeiyle Türkiye Bilimsel ve Tekolojik Arşırm Kurumu (TÜBİTAK) çok eşekkür ediyorum. Myıs 2 İlh MUTLU Korol Mühedisi v

6 vi

7 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ... v İÇİNDEKİLER... vii KISALTMALAR... ix ÇİZELGE LİSTESİ... xi ŞEKİL LİSTESİ... xiii ÖZET... xv SUMMARY... xvii. GİRİŞ KESİRLİ MERTEBEDEN KALKULÜS Türev ve İegrl Oerörlerie İlişki Ork Göserim Kesirli Merebede Türev ve İegrl Tımlrı Grüwld-Leikov ımı Riem-Liouville ımı Kesirli Merebede Türevleri Bzı Özellikleri Doğrusl olm Leibiz kurlı Kesirli Merebede Türevlerle İlgili Bzı Heslmlr Bir sbii kesirli merebede ürevi f()= b gibi bir kuvve foksiyouu kesirli merebede ürevi Llce Döüşümü Kesirli merebede ürevleri llce döüşümleri KESİRLİ MERTEBEDEN SİSTEMLER Kesirli Merebede Sisemleri Yklşıklıklrı Kesirli Merebede Sisemleri Ayrık-Zmlı Modelleri Dolylı yrıklşırm Doğrud yrıklşırm KESİRLİ MERTEBEDEN KONTROLÖR TASARIM YÖNTEMLERİ Kesirli Merebede PID Korolörler Kesirli merebede PID ile korol edile sisemleri çık çevrim yılrı Kesirli merebede PID ile korol edile sisemleri klı çevrim yılrı Geleeksel PID ve kesirli merebede PID korolörlerii krşılşırılmsı Freks Tım Bölgeside Tsrım Nümerik Oimizsyo Algorimlrı ile Kesirli Merebede Korolör Tsrımı Birici merebede ölü zmlı sisemler içi kesirli merebede korolör srımı Arç süssiyo sisemii kesirli merebede PID ile korolü Syf vii

8 4.3.3 Ters srkcı kesirli merebede PID ile korolü DC mooru kesirli merebede PD ile korolü SONUÇ KAYNAKLAR viii

9 KISALTMALAR R-L G-L PID KMS TMS KMPID KMT TMT KMİ TMİ : Riem-Liouville : Grüwld-Leikov : Prooiol Iegrl Derivive : Kesirli Merebede Sisem : Tm syılı Merede Sisem : Kesirli Merebede PID : Kesirli Merebede Türev : Tm syılı Merebede Türev : Kesirli Merebede İegrl : Tm syılı Merebede İegrl ix

10 x

11 ÇİZELGE LİSTESİ Syf Çizelge 3. : Model rmereleri ve ilgili erforms ölçüüü değerleri Çizelge 3.2 : s i yklşıklık ifdeleri Çizelge 3.3 : Doğrud yrıklşırm yöemleri Çizelge 4. : Geeik lgorim ile belirlee korolör ksyılrı Çizelge 4.2 : IP2 deey düzeeğideki DC moor rmere değerleri xi

12 xii

13 ŞEKİL LİSTESİ Şekil 2. : f ( ) c foksiyouu c= içi,.8 ici,.5 ici ve.2 ici merebede ürevleri... 5 Şekil 2.2 : foksiyouu.8,. 5 ve.2 lırk elde edile kesirli merebede ürevleri... 6 Şekil 3. : (3.4) ve (3.5) ifdeleri ile verile modeller içi rmere uzylrı Şekil 3.2 : Sisem ımd kullıl Simulik diygrmı Şekil 3.3 : Elde edile modelleri ve kesirli merebede sisemi birim bsmk yılrı Şekil 3.4 : Tsrl korolör içi gerçek sisemi ve modeli birim bsmk yılrı Şekil 3.5 : s sisemii (3.8) ile verile yklşıklığıı freks cevbı Şekil 3.6 : Birim bsmk girişi içi s sisemii, (3.8) ile verile yklşıklığıd elde edile ve liik olrk hesl cevlrı krşılşırmlı olrk göserilimi Şekil 3.7 : (3.8) ve (3.) yklşıklıklrıı freks cevlrı Şekil 3.8 : s sisemii yklşıklık ifdelerii birim bsmk yılrı... 3 Şekil 3.9 : Sürekli ve yrık yklşıklıklrı birim bsmk yıı Şekil 4. : PID ile PI D i merebe düzlemide krşılşırılmsı Şekil 4.2 : Kesirli merebede PID ile korol edile bir sisemi geel blok diygrmı Şekil 4.3 : PID korolörü ile korol edile siseme ilişki bezeim souçlrı... 4 Şekil 4.4 : KMPID korolörü ile korol edile sisemi birim bsmk yıı... 4 Şekil 4.5 : KMPID ile korol edile sisemi freks cevbı Şekil 4.6 : KMPID ile korol edile sisemi birim bsmk yıı Şekil 4.7 : PI ve kesirli merebede PI ile korol edile sisemi birim bsmk yılrı Şekil 4.8 : PI ve kesirli merebede PI ile üreile korol işrelerii birlike göserimi Şekil 4.9 : Prmereleri değşke olduğu durumu bezeimi içi oluşurul Simulik modeli Şekil 4. : Sisem remerelerii belirsiz olduğu durum içi PI ve kesirli merebede PI'ı krşılşırmsı Şekil 4. : Sisem remerelerii belirsiz olduğu durumd üreile korol işreleri Şekil 4.2 : ¼ Arç süssiyo sisemi Şekil 4.3 : Arç süssiyo korol sisemii blok diygrmı... 5 Şekil 4.4 : Arç süssiyo korol sisemii Simulik diygrmı... 5 Şekil 4.5 : PI D ve PID korolörlerii bşrımlrıı krşılşırılmsı... 5 Şekil 4.6 :. merelik birim bsmk bozucu içi korol işreleri Syf xiii

14 Şekil 4.7 : Yük değişimleri lıd PI D ve PID korolörlerii bşrımıı krşılşırılmsı Şekil 4.8 : Yük değişimleri lıd PI D ve PID korolörlerii üreikleri korol işreleri Şekil 4.9 : Bir rcı üzerie moe edilmiş ers srkç Şekil 4.2 : Arcı ve srkcı serbes cisim diygrmı Şekil 4.2 : Drbe bozucusu lıd doğrusl model kullrk bezeimi yıl ers srkç sisemii PID ve PI D ürü korolör ile elde edile sisem cevlrı krşılşırılmsı Şekil 4.22 : Ters srkç sisemii doğrusl olmy modeli kullılrk yıl bezeim soucu elde edile cevlr Şekil 4.23 : Quser IP2 deey sei Şekil 4.24 : Bezeim içi oluşurul Simulik modeli Şekil 4.25 : Geleeksel PD ve kesirli merebede PD korolörler ile korol edile sisemi bezeim souçlrı... 6 Şekil 4.26 : Geleeksel PD korolörüü deeysel souçlrı... 6 Şekil 4.27 : Kesirli merebede PD korolörüü deeysel souçlrı... 6 Şekil 4.28 :.45kg lık ek yük içi PD korolörüü erformsı Şekil 4.29 :.45kg lık ek yük içi kesirli merebede PD korolörüü erformsı xiv

15 KESİRLİ MERTEBEDEN KONTROLÖRLER VE UYGULAMALARI ÖZET So yıllrd, memik lierürüde 3 yılı şkı bir süredir vr ol kesirli merebede ürev ve iegrl kvrmlrıı, sisem modellemede korolör srımı, korol mühedisliğii bir çok lıd d kullılbileceği görülmüşür. Bu çlışmd öcelikle 9. yy d ory ıl ve lierürde sıklıkl kullıl Riem-Liouville ve Grüwld-Leikov kesirli merebede ürev ve iegrl ımlrı verilmişir. Ayrıc bu ürevleri lieer olm ve Leibiz kurlı gibi bzı özellikleri ele lımış ve kesirli merebede ürevler ile m syılı merebede ürevleri ilişkilerie değiilmişir. Ayrıc kesirli merebede ürevleri Llce döüşümlerii elde eme yöemleri üzeride durulmuş ve Riem-Liouville kesirli merebede ürev ımıı Llce döüşümüde ory çık sorulr belirlemiş ve bu sorulrı gidere lierürde öerilmiş Cuo kesirli merebede ürev ımı verilmişir. Dh sor kesirli merebede difersiyel deklemleri dimik sisemleri modellemede çok dh ekili olduğu göserilmiş ve m syılı merebede modeli doğruluğu kbul edilerek srl korolörleri, gerçek sisem kesirli merebede olduğud bşrımlrıı sıl ekileeceği icelemişir. Ayrıc kesirli merebede ürevleri yklşıklık ifdelerii sürekli ve yrık zmd elde edilmesie yöelik yöemler verilmiş ve bu yöemleri özellikleri icelemişir. So olrk d, bu ez çlışmsıd kesirli merebede korolör srım yöemlerie ve kesirli merebede korolörleri geleeksel korolörler ile krşılşırılmsı yer verilmişir. Bu ksmd, kesirli merebede PID ıılmış ve freks ım bölgeside kesirli merebede PID srımı gerçekleşirilmişir. Bir rç süssiyo sisemii ve ers srkç sisemii korolü, kzç ve merebe ksyılrı ümerik rm lgorimlrı ile belirlee kesirli merebede PID korolörleri ile gerçekleşirilmişir. So olrk ise bir DC mooru yörüge izleme korolüü, kesirli merebede bir PD korolörü ile yıldığı deeysel bir çlışm gerçekleşirilmişir. xv

16 xvi

17 FRACTIONAL ORDER CONTROLLERS AND THEIR APPLICATIONS SUMMARY I rece yers i is see h frciol order derivive d iegrl which re ivolved i mhemics lierure for more h 3 yers c be used i vrious fields of corol egieerig from sysem modelig o coroller desig. I his hesis firsly Riem-Liouville d Grüwld-Leikov frciol order derivive defiiios which re frequely used i lierure is give. Afer h frciol order derivives some roeries which re lieriy d Leibiz rule re hdled d he relioshi bewee he frciol order derivives d ieger order derivives is discussed. Furhermore, Llce rsforms of frciol order derivives re obied. Problems h my be occur i obiig he Llce rsform of he Riem Liouville frciol order derivives re deermied d Cuo frciol order derivive defiiio h solves hese roblems is give. Afer h i is show h frciol order differeil equios re more efficie h he ieger order differeil equios i sysem modellig. A erformce evluio of he corollers which re desiged uder he ssumio h he sysem is ieger order while he rel sysem is frciol order is exmied. I ddiio o his coiuous d discree ime roximio mehods for he frciol order derivives re give d he roeries of hese mehods re ivesiged. Filly, i his hesis frciol order coroller desig echiques d comriso bewee he erformces of he rdiiol d frciol order corollers re give. Wihi his coex, frciol order PID corollers re iroduced d frciol order PID coroller is desiged i frequecy domi. Frciol order PID corollers; i which umericl serch lgorihms re used o fid he gi, differeiio d iegrio orders coefficies re lied o corol he vehicle susesio sysem d ivered edulum. Lsly, exerimel sudy is mde by usig frciol order PD coroller, i order o relize he referece rckig corol of DC moor. xvii

18

19 . GİRİŞ Türev ve iegrl kvrmlrı ilk def 7. yüzyılı ikici yrısıd Leibiz ve Newo rfıd birbirleride hbersiz olrk gelişirilmişir. Leibiz ve Newo rfıd yrıılı olrk icelee m syılı merebede ürev ve iegrl işlemlerii bir geelleşirmesi olrk kbul edile kesirli merebede ürev ve iegrl kvrmı d, slıd m syılı merebede ürev ve iegrl kdr eskidir. Kesirli merebede ürev ile ifde edilmek isee slıd herhgi bir merebede ürevdir. Bir çok kyk d değiildiği gibi kesirli merebede ürev ifdesi ilk def 695 yılıd Leibiz i L Hosil e yzdığı bir meku geçmekedir []. Bu mekubud Leibiz L Hosil e Tm syılı merebede ürevleri lmı m syılı olmy ürevlere geişleilebilir mi? diye sormuşur. Tm syılı ürev işlemide olduğu gibi, kesirli merebede ürev içi de lierürde çeşili ımlr verilmişir ck kesirli merebede ürev sıl ımlırs ımlsı ürev merebesi m syıy eşi olck şekilde seçildiğide ory çık ifde Leibiz ve Newo rfıd öerile m syılı merebede ürev ifdesi ile yı olmkdır. Lierürde e çok söz edile ımlr, dh sorki bölümlerde yrıısıyl değiilecek ol Grüwld-Leikov ve Riem-Louville kesirli merebede ürev ımlrıdır. Yıl çlışmlrd bu iki ımı bzı durumlrd birbiriyle eşdeğer olduğu göserilmişir [2,6]. Yygı kullıl bu iki ımı dışıd lierüre birçok kesirli merebede ürev ımı bulmk mümküdür. Öreği Cuo kesirli merebede ürev ımı, Riem-Louville ımıı Llce döüşüm ifdesii uygulmlrıd ory çık bşlgıç değerleri heslmsı vey deeysel yoll ölçülmesi roblemii ord kldırmk içi 96 lı yıllrd İly memikçi M. Cuo rfıd öerilmişir. Bşlgıç, ür memiği bir kousu ol kesirli merebede difersiyel deklemler, bilgisyr ekolojisideki hızlı gelişmeler ve yıl çlışmlr syeside güümüzde kedisie bir çok uygulm lı bulmuşur [3]. Bu uygulmlrı öemli bir kısmıı, krmşık dimik sisemleri modellemesi ve kesirli merebede korolörleri lizi ve srımı olduğu söyleebilir.

20 Bilidiği gibi, dimik sisemler bzı vrsyımlr lıd modelleir. Bu vrsyımlrı geçerli olduğu kbulü ile sisem dimiklerii e iyi ifde ede bir memiksel model elde edilir. Bu vrsyımlrı bşıd d, sisemi oluşur elemlrı idel olduğu vrsyımı gelir ve bu vrsyım lıd dimik sisemler, m syılı merebede ürev ve iegrller içere difersiyel deklemler ile modelleir. Diğer rf, m syılı merebede difersiyel deklemleri birçok dimik sisemi modellemede yeersiz kldığı d bilimekedir. Bu sisemlere örek olrk, viskoelsisie, viskoelsik sisemler; difüzyo, ısı ve em rsfer olgusu; ekoomik ve biyolojik sisemler verilebilir [3]. Korolör srımı çısıd ise m syılı merebede korolörlerde, seçile herhgi bir mç ölçüüü sğlmk üzere, sdece kzç ksyılrı serbes seçilebilirke; kesirli merebede korolörlerde bulr ek olrk -korolörü ürüe bğlı olrk- ürev vey iegrl merebeleri de serbes seçilebilir. Bu edele, kesirli merebede korolörleri, srımd büyük bir eseklik sğldığı, sisemi bşrımıı rırdığı ve sisemdeki rmere değişimlerie krşı dh z duyrlı olduğu bilimekedir. Bu olumlu özelliklerii yıd, kesirli merebede sisemleri zm ım bölgesideki cevlrıı elde edilmesii oldukç krmşık işlemleri gerekirmesi liz ve srım yöemleri gelişirme de sorulrl krşılşılmsı sebe olur. Bu edele, lierürdeki çlışmlrı büyük bir bölümüde, öerile srım yöemleri, y freks ım bölgeside y d syısl bir rm lgorimsı kullılrk gelişirilmişir. Ayrıc, ilgili lierürede bu sisemleri liz ve srımıd kullılbilecek çeşili yklşıklık yöemleri öerilmişir ve bu yöemler syeside kesirli merebede ürevler ile çlışırke oluşbilecek heslm yüküü zlmk mümkü olmkdır [4]. Bu ez çlışmsıd kesirli merebede sisemler ve kesirli merebede korolör srım yöemleri icelemiş, doğrusl ve doğrusl olmy çeşili sisemler içi korolörler srlmış ve çeşili syısl ve deeysel uygulmlr yılmışır. Tezi içeriği söyle özeleebilir; öce kesirli merebede ürev ve iegrl ımlrı ve bu ımlrı özellikleri ve birbirleriyle ol ilişkileri üzeride durulck, dh sor lierürde sıklıkl kullıl kesirli merebede ürevleri Llce Döüşümleri elde edilecek ve elde edile döüşümleri mühedislik uygulmlrıd e kdr kullılbilir olduğu üzeride durulckır. Ardıd kesirli merebede sisemler ele lıck ve kesirli merebede ürevi sürekli ve yrık zmdki yklşıklıklrı 2

21 iceleecekir. So olrk d kesirli merebede korolör srım yöemleri üzeride durulck ve çeşili syısl ve deeysel souçlr verilecekir. 3

22 4

23 2. KESİRLİ MERTEBEDEN KALKULÜS Kesirli merebede difersiyel deklemleri emelleri 695 yılıd Leibiz i L Hosil e göderdiği bir meku ılmışır. Bu meku Leibiz Tmsyılı merebede d y dx ürevii lmı msyı olmy değerlere geelleşirilebilir mi? diye sormuşur. L Hosil ise bu soruy bir bşk soru ile cev verir: / 2 olurs e olur? L Hosil bu sorusuyl belki de frkıd olmd lierüre ilk def yrı ürev kvrmıı kzdırmışır. / 2 olduğu durumd oeröre yrı ürev oerörü deir. Yrı ürev oerörü bir foksiyo rd rd iki def uyguldığıd o foksiyou. merebede ürevie eşdeğer bir souç elde edilir. Dh sor [5] e göre S.F. Lcroix, J.B.J. Fourier, N.H. Abel, J. Liouville, B. Riem, K. Grüwld, A.V. Leikov, J. Hdmrd, G.H. Hrdy vb. bir çok ülü memikçi bu kou üzeride çlışmlr ymışır. Lierürde birçok kesirli merebede ürev ve iegrl ımı bulumkdır ck bulrı e öemlileri Grüwld-Leikov ve Riem-Liouville ımlrıdır. Bşlgıç sf memiksel bir l olrk görüle kesirli merebede difersiyel deklemler özellikle so elli yıldır mühedisliği birçok brşıd kedie kullım lı bulmuşur. Sisem modelleme ve korolüde kesirli merebede yılrı msyılı merebede yılr göre dh iyi souç verdiği göserilmişir. Ayrıc viskoelsisie, ısı rsferi, elekrik devreleri ve log gerçekleme ile ilgili olrk lierürde birçok çlışm bulumkdır. 2. Türev ve İegrl Oerörlerie İlişki Ork Göserim Bu bölümde geellikle yrı göserime shi ürev ve iegrl oerörleri yı göserim lıd birleşirilecekir. Bu birleşirme işlemi msyılr içi yılckır. Bu birleşirmei edei ifdeleri dh sor verilecek ol kesirli merebede ürev 5

24 ve iegrl ımlrıı ek bir oerör ile göserilmesii yzımd ve heslrd kolylık sğlmsıdır. Öce y f () şeklideki bir foksiyou göz öüe llım. i msyı olduğu durumd. merebede ürev, f ( ) ( ) ( ) d f d lim h h r ( ) r r f ( rh) (2.) şeklide ımlmışır. Burd biom ksyısıdır, r r ( )( 2)...( r! r ). (2.2) (2.) ifdesii geelleşirmek içi şğıdki yı kullılbilir: f ( ) ( ) lim h h r ( ) r r f ( rh). (2.3) Burd (2.3) ifdesideki erimi herhgi bir msyıyı gösermekedir yı şekilde de yie bir msyıdır. (2.3) ifdeside olduğu içi de sorki büü erimler sıfır içi bu eşilik ici merebede ürevi ifde ederke i egif değerleri içi ise iegrl ifdeleri elde edilir. Yzm kolylığı içi, r ( )( 2)...( r! r ) (2.4) göserimi kullılırs, r ( )( 2)...( r! r ) r r (2.5) şeklide bsi olrk ifde edilebilir. (2.3) ifdesideki erimi olrk değişirilir ve (2.5) eşiliği bu ifdede yerie koulurs: f ( ) ( ) lim h h r ( ) r ( ) r r f ( rh) lim h h r r f ( rh), (2.6) lim h h f ( h ) ( ) D f ( ) (2.7) elde edilir. = içi ise, 6

25 f ( ) ( ) h f ( rh) (2.8) r yzılbilir. Ayrıc edilirse h lıır ve f () foksiyouu sürekli olduğu kbul ( ) lim f ( ) D f ( ) f ( z) dz f ( ) d (2.9) h h h soucu ulşılır. Bu ifde geelleşirilse: D f ( ) lim h f ( rh) ( ) f ( ) h h r r ( )! d. (2.) elde edilir. Bu ifdei doğruluğu ümevrım yöemiyle islbilir. Tümevrım yöemiyle (2.) ifdesii elde emek içi herhgi bir içi doğru olduğu kbul edili, + içi de doğru olduğuu göserilmesi gerekir. Bu mçl, şğıdki foksiyou ımlylım: f ( ) f ( ) d (2.) Burd f ( ) olduğu görülmekedir. D f ( ) lim h f ( rh) (2.2) h h r r lim h f( rh) lim h f( ( r ) h) (2.3) h h h r r h r r bu ifdede, (2.4) e yrrlrk şğıdki ilişki kullılbilir. r r r (2.4) (2.4) özelliği (2.3) ifdesideki ilk olm erimide kullılır ve ikici olmdki r ifdesi r- ile değişirilirse[6] y göre: 7

26 8 ) ( lim ) ( lim ) ( lim ) ( r h h r h h r h h rh f r h rh f r h rh f r h f D, (2.5) ) ) ( ( lim ) ( ) ( h f h f D f D h h, (2.6) ) ( lim ) ( ) ( ) ( f f D f D (2.7) elde edilir. Bu ifdede (2.) de yığımız ım kullılırs, ) ( lim f (2.8) yzılbilir. Gm foksiyouu limi göserimi, ) (! ) 2)...( )( ( lim lim (2.9) göz öüde buludurulur ve (2.7) ve (2.9) birleşirilirse, d f f D f D ) ( )! ( ) ( ) (, (2.2) d f f f D ) (!! ) ( ) (, (2.2) d f f D ) (! ) ( (2.22) elde edilir. Bu şekilde (2.) ifdesii doğruluğu islmış olur. Şimdi (2.) eşiliğii -klı bir iegrl ifdesi olduğuu göserelim. İfdei ürevi lıck olurs ) ( ) ( 2)! ( ) ( 2 f D d f f D d d (2.23) yzılbilir ve bu (2.23) ifdesii, d f D f D )) ( ( ) ( (2.24) şeklide iegrli lıır ve

27 2 D f ( ) ( D f ( )) d (2.25) elde edile (2.24) ve (2.25) ifdeleri birleşirilirse, 2 D f ( ) d D f ( ) d, (2.26) 3 D f ( ) d d D f ( ) d, (2.27) D f ( ) d d... f ( ) d (2.28) def elde edilir. Bu şekilde ürev ve iegrl oerörleri ek bir göserilim lıd birleşirilmiş olur ve e geel hlde, D f r ( ) lim h ( ) f ( rh) (2.29) h h r r gibi göserilebilir. Burd m oziif bir msyı olmk üzere =m olduğud m ici merebede ürev elde edilir. =-m olduğud ise m klı iegrl elde edilir. Tmsyı merebede ( msyı) ürev ve iegrl ( msyı) (2.29) u özel birer hli olrk ory çıkr. Türev ve iegrl işlemlerii ork göserilimi olrk düşüülebilecek ol D oerörü bzı kyklrd üreviegrl oerörü olrk geçer. Bu ifde doğl olrk ürev ve iegrl merebelerii reel syılr h krmşık syılr geelleşirilebileceği düşücesii oluşurur. Bud sorki bölümlerde bury kdr msyı olrk göz öüe ldığımız merebesi reel syılr geelleşirilecekir ve KMT ve KMİ ımlrı ory kock ve bu ürev ve iegrlleri özellikleri üzeride durulckır. 2.2 Kesirli Merebede Türev ve İegrl Tımlrı Tmsyılı ürevde olduğu gibi, kesirli merebede ürev içi de lierürde çeşili ımlr verilmişir. Lierürde yygı olrk kullıl iki ım Grüwld- Leikov (G-L) ve Riem-Liouville (R-L) ımlrıdır. Bzı özel durumlr içi bu ımlrı birbirie özdeş olduklrı göserilmişir. 9

28 Bu bölümde Grüwld-Leikov ve Riem-Liouville ımlrı yer verilmişir. Bu iki ım dışıd, lierürde çok çeşili ımlr bulmk d mümküdür. Öreği 96 lrd İly memikçi Michele Cuo rfıd ory ıl Cuo KMT ımı, özellikle Llce döüşümü lıdığıd dh kullışlı bşlgıç değer ifdeleri içerdiği içi uygulmlı llrd ve mühedislike sıklıkl ercih edilir Grüwld-Leikov ımı Bu ım öce 867 de Ao Krl Grüwld rfıd öerilmiş dh sor 868 yılıd [7] eseride Aleksey Vsilievich Leikov rfıd gelişirilmişir. Grüwld-Leikov ürev ımı [8] e göre olmk üzere, D f r r ( ) lim h ( ) f ( rh) lim h ( ) f ( rh) (2.3) h h h r r h r ( r ) ( r ) ( ) ifdesiyle verilir. Bu ımı şğıdki şekilde ifde edilebileceği [6] d göserilmişir. D f ( ) k m f ( k ) ( )( ( ) k ) k ( m ) ( ) m f ( m ) ( ) d. (2.3) Bu ifdede m, - de büyük bir msyıdır. E küçük m içi m m ( ) ifdesi geçerlidir. Ayrıc (2.3) ifdesie [,] klı rlığıd f k ( ), ( k,2,..., m ) ürevlerii sürekli olduğu vrsyımı lıd ulşılmışır. İegrl ımı ise yie olmk üzere D f ( ) lim h f ( rh), (2.32) h h r r D f ( ) lim h f ( rh) ( ) f ( ) h h r r ( ) d (2.33) şeklide verilmişir Riem-Liouville ımı Riem-Liouville ürev ımı KMT leri ifde emede kullıl e yygı ımdır. Bu ım ile sıfırd büyük herhgi bir syı olmk üzere f () foksiyouu ici merede ürevi

29 m d m D f ( ) ( ) f ( ) d, d ( m m ) (2.34) ifdesi ile verilir. Riem-Liouville ımı ile Grüwld-Leikov ımı rsıdki ilişkiyi belirlemek içi f () foksiyouu m def ürevii lıbildiğii kbul RL edelim. Bu kbul lıd D GL f (), Riem-Liouville ürevii, D f(),grüwld-leikov ımıı gösermek üzere (2.34) ifdesie rd rd kısmi iegrsyo uygulırs: m RL d m D f ( ) ( ) f ( ) d d (2.35) RL D f ( ) k m f ( k ) ( )( ( ) k ) k ( m ) ( ) m f ( m ) ( ) d GL D f ( ) (2.36) soucu ulşılır. Görüldüğü gibi f () foksiyou m kez ürevleebile bir foksiyo ise Riem-Liouville ve Grüwld-Leikov ürev ımlrı eşdeğer olmkdır. Memiksel çıd bu özellikeki foksiyolr sııfı sıırlı ols d uygulmd krşılşıl foksiyolrı geellikle bu özelliğer shi olduğu söyleebilir. Riem-Liouville iegrl ımı ise, olmk üzere, D f ( ) ( ) f ( ) ( ) d (2.37) şeklidedir. Burd dır (2.34) ile verile ürev ve (2.37) ile verile iegrl ifdeleri birleşirilirse, k k d D f ( ) ( ) f ( ) d d ( ) k.merebede α.merebede ürev( k ) iegrl( ) k d ( ) ( ) ( ) k D f f d ( ) d (2.38) ifdesi elde edilir. Burd ve k bir m syı olmk üzere k koşulu sğlır.

30 2.3 Kesirli Merebede Türevleri Bzı Özellikleri Bu bölümde KMT leri özellikleri ve iki foksiyou çrımıı ürevii lmd kullıl Leibiz kurlıı merebei m syı olmdığı durumlrd sıl ifde edilebileceği üzeride durulckır Doğrusl olm Tmsyılı merebede ürevlerde bulu lieerlik özelliği yı zmd kesirli merebede ürev ifdeleride de mevcuur. D Riem-Liouville vey Grüwld-Leikov ürevii ifde emek üzere bu iki ürev ımıı d, D ( f ( ) g( )) D f ( ) D g( ) (2.39) doğrusl olm özelliğii sğldığı göserilebilir. Öce Riem-Liouville ürevi ele lıırs. ürev merebesi, k, ( k k) özelliğideki bir m syı olmk üzere k d k D ( f ( ) g( )) ( ) ( f ( ) g( ) k ( k ) d yzılbilir. İegrli içideki erim yrı yrı yzılırs: d (2.4) D ( ( k f ( ) g( )) d ) d k k ( ) ( k k g( d ) d ) d k k ( ) k f ( ) d, (2.4) D ( f ( ) g( )) D f ( ) D g( ) (2.42) ifdesi elde edilir ki, bu souç Riem-Liouville ürev oerörüü lieer olduğuu göserir. Ayı şekilde Grüwld-Leikov ürev oerörüü de doğrusllığı göserilebilir. Bu mçl, r D ( f ( ) g( )) lim h ( ) ( f ( rh) g( rh) (2.43) h r yzılbilir. Bu ifde düzeleirse: h r D ( f ( ) lim h h h g( )) r ( ) r lim h h h r g( rh) r ( ) r r f ( rh), (2.44) 2

31 D ( f ( ) g( )) D f ( ) D g( ) (2.45) ifdesi elde edilir ki bu souç Grüwld-Leikov ürev oerörüü lieer olduğuu göserir Leibiz kurlı İki foksiyou çrımıı TMT ii heslmsı içi kullıl Leibiz kurlı; () ve f () iki foksiyo, bir m syı olmk üzere d d ( ) f ( ) k k ( k ) ( ) f ( k ) ( ) (2.46) ilişkisi ile verilir. (2.46) ile verile ım ifdeside msyısı, sıfırd büyük ( k ) reel syısı ile değişirilirse f ( ) m syılı merebede ürev D k f () şeklide kesirli merebede üreve döüşür. Bu durumd, ( k ) k ( ) D f ( ) (2.47) k k şeklide bir ım kullılrk. uzu heslmlr soucud ( ) f ( ) çrımıı ici merebede ürevii ( k ) k D ( ) f ( ) ( ) D f ( ) (2.48) k k şeklide elde edilebileceği [6] d göserilmişir. (2.48) ifdesi lierürde kesirli merebede ürevler içi Leibiz kurlı olrk biliir. 2.4 Kesirli Merebede Türevlerle İlgili Bzı Heslmlr Öceki bölümlerde KMT ımlrı ve bulrı bzı özellikleri üzeride duruldu. Bu bölümde ise KMT kvrmıı dh iyi lşılbilmesi içi bzı foksiyolrı; bir sbii dh sor d ürevleri heslckır Bir sbii kesirli merebede ürevi b şeklideki bir güç foksiyouu kesirli merebede Türevi merebesi msyı olduğud bir sbii ürevi her zm sıfır eşi olur ck ürev merebesi kesirli olduğud rık sbii ürevi sıfır eşi olmybilir. Bu 3

32 durumu çıklmk içi, f ( ) c şeklideki bir sbi foksiyou kesirli merebede ürevi (2.38) ifdesi kullrk, d D c ( ) ( ) d c d D c ( ) ( ) d cd d, (2.49), (2.5) şeklide heslır. Burd ise (2.5) ile verile ifdedeki iegrl ve elde edile soucu ürevi, ( ( ) ( ) ( ) ) d (2.5) d d (2.52) şeklide heslır. Bu (2.52) ve (2.5) ifdesi birleşirilirse f ( ) c şeklideki bir sbi foksiyou ( ) ici merebede ürevi c ( ) D c (2.53) olrk buluur. Bu souç görüldüğü gibi, olmk üzere f ( ) c sbi foksiyouu ( ) ici merebede ürev ifdesi D c sıfır eşi değildir. c içi, f ( ) c i.8 ici,.5 ici ve.2 ici merebede ürevlerie ilişki çizimler Şekil 2. e görülmekedir. 4

33 Şekil 2. : f ( ) c foksiyouu c= içi,.8 ici,.5 ici ve.2 ici merebede ürevleri f()= b gibi bir kuvve foksiyouu kesirli merebede ürevi Bu bölümde f ) b ( şeklideki bir foksiyou kesirli merebede ürevi elde edilecekir. Bu mçl (2.38) eşiliğide yrrlılırs: m b d m D ( ) d ( m ) b d (2.54) m b d m D ( ) ( m ) d b d (2.55) yzılbilir. Burd ürev merebesi, m ise m koşuluu sğly herhgi bir msyıdır. (2.55) ifdesii sğ rfıdki iegrli heslbilmesi içi v şeklide bir değişke döüşümü yılırs, m b d m b m b D ( v) v dv (2.56) ( m ) d şeklide bir eşilik elde edilir. Burd be foksiyouu özelliği kullılck olurs: m b ( b ) ( m ) d m b D (2.57) ( m ) ( b m ) dx b ( b ) b ( m b ) D. (2.58) ( b m ) ( m b m ) 5

34 elde edilir, bu ifde düzeleirse f ) b ( foksiyouu ıcı merebede ürevi D ( b ( b ) ) b b (2.59) şeklide elde edilir. b ( foksiyouu b=,.8,. 5 f ) ve.2 lırk elde edile kesirli merebede ürevlerii çizimleri Şekil 2.2 de verilmişir. Şekil 2.2 : foksiyouu.8,. 5 ve.2 lırk elde edile kesirli merebede ürevleri 2.5 Llce Döüşümü Bu bölümde kesirli merebede ürev ve iegrlleri Llce Döüşümleri iceleecekir. Bu mçl öce Llce döüşümü ile ilgili geel bilgiler ve Llce döüşümüü vrlık eoremi verilecek dh sor ise kesirli merede ürevleri Llce döüşümleri ile ilgili lierürde bulu bilgiler özeleecekir. Bir iegrl döüşümü, b T [ f ( )] F( s) k( s, ) f ( ) d T (2.6) şeklide ımlır. Burd k ( s, ) foksiyou iegrl döüşümüü çekirdeği deir. Bu çekirdek ve iegrli sıırlrı k ) s ( s, e, lıdığıd oluş iegrl döüşümüe Llce döüşümü deir., b olrk 6

35 s F( s) L f ( ) e f ( ) d (2.6) şeklide yzılır. Bu iegrli mulk ykısk olbilmesi içi f () foksiyou [, ) rlığıd rç rç sürekli ve üsel merebede olmsı gerekir [9]. Vrlık eoremii islmd öce, üsel merebe ımıı verilmesi yrrlı olckır. Tım[]: Bir f () foksiyou içi her T içi ( Me vey her T f ) içi f ( ) Me koşullrıı sğly M ve sbileri vrs f ( ) foksiyou üsel merebededir ve üsel merebesi de dır deir. Teorem: Eğer f () foksiyou [, ) rlığıd rç rç sürekli ve üsel merebesi ise, s içi Llce Döüşümü vrdır ve mulk ykıskır. İs: f () foksiyou rç rç sürekli olduğud [, M) solu rlığıd sıırlı olur ve s s s e f ( ) d e f ( ) d e f ( ) d (2.62) yzılırs Llce döüşümüü ykısklığıı yukrıdki ikici iegrli ykısklığı idirgemiş oluruz. Diğer rf f () üsel merebede olduğu içi s s ( s ) ( s ) e f ( ) d e f ( ) d e d lim e (2.63) s M yzılbilir ve iegrl ck s içi ykısk olur. Llce döüşümü olsılık roblemleride, lieer difersiyel deklemleri çözümüde ve mühedislik roblemlerii lizide öemli bir rol oyr. Lieer sbi ksyılı difersiyel deklem sisemleri Llce döüşümü kullıldığıd cebirsel deklem sisemie döüşürler. Bu cebirsel deklem kımıı çözümü difersiyel deklemleri s-ım bölgeside çözümü olcğı içi, zm ım bölgesideki çözüme ers döüşüm kullılrk ulşılır. Ters Llce Döüşümü, c i s f ( ) L F( s) e F( s) 2i c i c Re( s) c (2.64), 7

36 şeklide ımlmışır. Burd c iegrli, F(s) foksiyouu ykısm bölgeside uck bir reel syıdır. F(s) foksiyou rsyoel olmdığı zm (2.64) eşiliğii kullrk ers döüşümü belirlemek her zm koly değildir Kesirli merebede ürevleri llce döüşümleri Riem-Liouville iegrl ifdesi kovolüsyo işlemii ımı kullılrk D f ( ) ( ) f ( ) d * f ( ) (2.65) ( ) ( ) şeklide ifde edilebilir. Burd erimii Llce döüşümü G ( s) L ( ) s (2.66) şeklide belirleebilir []. Diğer rf, Llce döüşümüü kovolüsyo özelliği, L f ( )* g( ) F( s) G( s) (2.67) kullılır ve, (2.67) ve (2.66) ifdeleri (2.65) e yerie yzılırs bir f () foksiyouu kesirli merebede Riem Liouville iegrlii Llce döüşümü L D f ( ) L * f ( ) L L f ( ) s F( ) (2.68) s şeklide elde edilir. Bir f () foksiyouu kesirli merebede Riem-Liouville ürevii Llce döüşümüü bulbilmek içi öce egif olmy bir msyı olmk üzere, ( ) D f ( ) g ( ), (2.69) ( ) D f ( ) ( ) f ( ) ( k ) g( ) d, ( ). (2.7) ımlrıı ylım. (2.69) u Llce Döüşümü lıır ve sğ rf içi m syı merebede ürevleri Llce döüşümü özelliği kullılırs, k ( k ) L D f ( ) s G( s) s g () (2.7) k elde edilir. Ayı şekilde (2.7) deklemii de iki rfıı Llce döüşümü lıı Riem-Liouville iegrlii Llce döüşüm özelliği kullırs G( s) s ( ) F( s) (2.72) 8

37 ifdesie ulşılır. Ayrıc Riem-Liouville kesirli ürevii, g ( k ) ( ) d d k k D ( ) f ( ) D k f ( ) (2.73) özelliği de kullılır ve (2.72) ve (2.73) ifdeleri (2.7) de yerie yzılırs, bir f () foksiyou Riem-Liouville kesirli merebede ürevii Llce döüşümü k k D f ( ) s F( s) s [ D f ( )] k L, ( ) (2.74) şeklide elde edilir. Bu döüşüm ifdesi memiksel olrk geçerli ols d, olm ifdesii içide bulu, foksiyou kesirli merebede ürevlerie ilişki bşlgıç değerlerii heslmsı y d bilimesi koly olmdığı içi kullılmsı ile ilgili bzı sorulrı vrdır.lierürde, bu zorluğu ord kldır Cuo kesirli ürev ımı öerilmişir [6]. Bu ez çlışmsıd, Cuo kesirli ürev ımı üzeride yrıılı olrk durulmyck sdece Riem-Liouville ımıyl rsıdki frkı gösermek içi Cuo kesirli ürev ımıı Llce döüşümü verilecekir. Cuo kesirli ürev ımıı Llce döüşümü, C k ( k) L D f ( ) s F( s) s f (). (2.75) k şeklide verilir [7]. Eğer ve l sıır değer = ise, Grüwld-Leikov kesirli merebede ürev ımıı Llce döüşümü içi, f () D f ( ) ( ) f '( ) d (2.76) ( ) ( ) ifdesi kullılbilir.. Bu ifdei Llce döüşümü lıır ve (2.66) ile verile güç foksiyouu Llce döüşüm özelliği kullılırs Grüwld-Leikov kesirli mereede ürevii Llce Döüşümü L f () D f ( ) sf( s) f () s F( ) (2.77) s s s şeklide elde edilir. 9

38 2

39 3. KESİRLİ MERTEBEDEN SİSTEMLER So yıllrd rşırmcılr kesirli merebede difersiyel deklemleri m syılı merebede difersiyel deklemlere kıysl dimik sisemleri modellemeside çok dh ekili olduğuu ory koymuşur [2]. Ayrıc, lierürde verile yklşımlr ve bilgisyr ekolojisideki hızlı gelişmeler sisemleri modelii, kesirli merebede difersiyel deklemler olrk elde ede sisem ım ekiklerii gelişirilmesii ve kullılmsıı mümkü kılmışır. Bilidiği gibi, dimik sisem modelleme yöemleri bzı vrsyımlr lıd gerçekleşirilir ve bulrı geçerli olduğu kbulü ile sisem dimiklerii e iyi ifde ede memiksel model elde edilir. Bu vrsyımlrı bşıd ise sisemi oluşur elemlrı idel olduğu gelir, bu vrsyım lıd dimik sisemler TMT ve TMİ içere difersiyel deklemler ile modelleir. Oys bu vrsyım birçok durumd geçerli değildir. Öreği viskoelsisiede kı mlzemeler Hooke yssı ile sıvı mlzemeler ise Newo yssı ile ifde edilmekedir. Oys bu kulr sdece idel kı ve idel sıvı mlzemeleri dvrışıı memiksel modelleridir. İdel kı ve sıvı mlzemeleri eredeyse doğd yer lmdığı düşüülürse bu yklşımlrı eksikliği lşılır. Bu eksikliği gidermek mcıyl, Mxwell, Kelvi ve Voig rfıd viskoelsik mlzemeleri dvrışlrıı dh iyi modellemesie yöelik bzı frklı yklşıklıklr öerilmişir. Ack bulr d doğdki bzı mlzemeleri modellemesie yeersiz klmkdır. Bu edele, lierürde bsıç ile gerilme rsıdki ilişkii kesirli merebede bir difersiyel deklemle verildiği çeşili çlışmlr vrdır. Bu çlışmlr gösermekedir ki; doğdki mlzemeleri dvrışıı modellemede, kesirli merebede difersiyel deklemler çok dh bşrılıdır. [6, 3, 4]. E geel hlde kesirli merebede lieer zml değişmeye bir sisem, giriş u() ve çıkış y() olmk üzere, N M m D y( ) b D u( ) (3.) m m 2

40 şeklide bir difersiyel deklem ile modelleebilir. İlk koşullrı sıfır olduğu kbulü lıd (3.) ile verile bir sisemi giriş çıkış ilişkisii vere rsfer foksiyou s-ım bölgeside, M m bs M M m m bm s bm s bs N N N s Ns N s s H( s), m (3.2) şeklide elde edilir. Bu şekilde kesirli merebede doğrusl sbi rmereli bir difersiyel deklem ile emsil edile sisemler kesirli merebede dimik sisemler (KMS) olrk dldırılırlr. Bir dimik sisemi modellemek içi çok dh fzl rmere seçeeğie shi olmsı edeiyle bu şekilde elde edile bir memik model gerçeği emsil emede dh bşrılı olckır. Öreği m syılı ve N. merebede bir difersiyel deklem ile modellee bir sisem (TMS) içi serbes seçilebile e fzl 2N- rmere buluurke, yı sisem M m b xm x( M ) m s m bms bm s b N x( N ) N N Ns N s s H ( s), M (3.3) şeklide bir kesirli merebede rsfer foksiyou ile modelleirse serbes rmere syısı N+M+ e yükselecekir. Seçilebilecek rmere syısı keyfi olrk rırılbildiği içi, KMS leri TMS e orl modellemede dh fzl eseklik sğlycğı çıkç görülmekedir. Edüsride sıklıkl krşılşıl sisemleri birçoğu birici merebede difersiyel deklemler ile yklşık olrk modelleebilirler. Herhgi bir dimik sisemi memik modeli içi, Hs () K s (3.4) şeklide bir yı seçilmiş ise, deey souçlrıd hrekele sisem kzcı ve sisemi zm sbii olmk üzere iki rmere sisem ım ekikleri kullılrk belirlemeye çlışılır. Oys sisemi modeli içi, Hs () K s (3.5) şeklide bir yı seçildiğide ise kzç (K) ve sözde zm sbii ( ) ile birlike sisem merebesi d serbes seçilebile bir model rmeresi olckır. Souç 22

41 olrk, (3.4) ve (3.5) ifdeleri ile verile sisemler içi rmere rm uzylrı Şekil 3. de görülmekedir. Şekil 3. : (3.4) ve (3.5) ifdeleri ile verile modeller içi rmere uzylrı Öreği, rmereleri K=, ve.7 ol bir sisemi birim bsmk bir cevbı [6] çlışmsıd verildiği gibi h( ) E ( ) E ( ) (3.6).3.7,.7,.7 şeklide liik olrk elde edilebilir. Burd E Agrwl rfıd klsik Mig- Leffler foksiyouu bir geelleşirmesi olrk 953 e öerile iki rmereli Mig-Leffler foksiyouu ifde emekedir. E, ( z) k k z ( k ) (3.7) Bu cevbı liik olrk heslbilmesi içi öcelikle (3.7) ile verile iki rmereli Mig Leffler foksiyou heslmsı gerekir. Bu ifdei kullılmsı heslm yüküü rırcğı içi bu ez çlışmsıd liik olrk hesl cevb çok ykı souç vere Crlso yklşıklığı kullılckır. Kesirli merebede modelleri bşrısıı gösermek mcıyl, rmereleri ve.7 ol kesirli merebede bir sisemde elde edile veriler kullılrk, sisem ım yöemleri ile birici merebede bir model elde edilebilir. Bu çlışmd, sisem ile model çıkışı rsıdki frk üzeride ıml çeşili mç ölçülerii e z y rmereler bulumy çlışılmışır, kullıl Simulik diygrmı Şekil 3.2 de görülmekedir. 23

42 Şekil 3.2 : Sisem ımd kullıl Simulik diygrmı Oimizsyo yöemi olrk, geeik lgorim kullılrk çeşili erforms ölçülerii miimize ede rmereler belirlemişir. Çizelge 3. de ilgili erforms ölçüleri içi h olersıı -9 olduğu durumd geeik lgorimı kç esil sor rmyı soldırdığı, erforms ölçüüü değeri ve bu erforms ölçü değerii vere model rmereleri görülmekedir. Şekil 3.3 e ise geeik lgorim ve frklı erforms ölçüleri ile belirlee sisemleri ve kesirli merebede sisemi birim bsmk yıı görülmekedir. Çizelge 3. : Model rmereleri ve ilgili erforms ölçüüü değerleri Performs Ölçüü Nesil K ISE ITSE IAE ITAE

43 Şekil 3.3 : Elde edile modelleri ve kesirli merebede sisemi birim bsmk yılrı Tım işlemi soud elde edile modelleri hiç birii, zm ım bölgesi cevlrıı uyguluğu çısıd kbul edilebilir bir yklşıklığ shi olmdığı Şekil 3.3 e görülmekedir. Elde edile modelleri geri beslemeli korol lıdki dvrışlrıı lizi içi, ISE ölçüüü miimize ede birici merebede model emel lırk bsmk girişi lıd sisem cevbıı %2 lik bdı içerisie.3 siyede girmesii ve şım ymmsıı sğly bir PI korolörü, 5.35 Cs ( ) s şeklide olckır. Şekil 3.4 e görüldüğü gibi, eğer sisem elde edile birici merebede model gibi dvrmış olsydı isee srım krierleri sğlmış olckı. Ack gerçek sisemi -KMS- korol lıdki cevbıı yerleşme zmı.79 siye olrk gerçekleşmişir. 25

44 Şekil 3.4 : Tsrl korolör içi gerçek sisemi ve modeli birim bsmk yılrı 3. Kesirli Merebede Sisemleri Yklşıklıklrı Kesirli merebede sisemler üzeride çlışırke krşılşıl e büyük soru, zm ım bölgesi cevlrıı elde edilmesii zorluğudur [5]. Geellikle kesirli merebede bir sisemi cevbıı liik olrk heslmsı koly değildir. Ack özellikle so 2 yıld KMS leri msyılı merebede yklşık modellerii, sürekli ve yrık zmd elde edilmesie yöelik birçok çlışm yılmışır. KMS leri msyılı merebede yklşıklık ifdelerii belirleebilmeside izleeebilecek bir yol; öce kesirli merebede ürev ve iegrli yklşıklıklrıı elde edilmesi, sor bu yklşıklıklr kullılrk üm siseme i yklşıklık modeli elde edilmesi olrk özeleebilir. İlgili lierürde, sisem krkerisiğie ve girişi freks sekrumu bkılrk kesirli merebede sisemi dvrışı sıırlı bir freks rlığıd eşi ol m syılı merebede bir sisem krşı düşürülebilir. Öreği, iegrli [6] de öerile Ouslou yklşıklığı, s ( ) kesirli s C [ A, B] ( ) s / s / h b (3.8) 26

45 şeklidedir. Burd h yklşıklığı geçerli olduğu freks bdıı üs sıırıı, b ise l sıırıı ifde emekedir. C( ) ise, h ve b değerlerie bğlı C ( ) j j b h h b (3.9) şeklide bir sbiir. Bu yklşıklık ile elde edile ve kesirli merebede iegrl işlemie krşı düşe sisemi freks cevbı ve birim bsmk yıı Şekil 3.5 ve Şekil 3.6 d görülmekedir. Şekil 3.5 : s.25 sisemii (3.8) ile verile yklşıklığıı freks cevbı.25 Şekil 3.6 :Birim bsmk girişi içi s sisemii, (3.8) ile verile yklşıklığıd elde edile ve liik olrk hesl cevlrı krşılşırmlı olrk göserilimi 27

46 Freks cevbı çısıd (3.8) ile verile yklşıklık icelediğide, çı değişimii yüksek ve düşük frekslrd sıfır ykısdığı görülür. Bu sik hı zlılmsı içi Li [7] yüksek ve düşük frekslrd sisemi dvrışıı birici merebede iegrle krşı düşüre, s [ A, B] C ( ) s s / s/ h b (3.) şeklide bir yklşıklık öermişir. (3.8) ve (3.) yklşıklıklrıı birlike çizdirilmiş freks cevlrışekil 3.7 de görülmekedir. Şekil 3.7 :(3.8) ve (3.) yklşıklıklrıı freks cevlrı Bir bşk yklşıklık ise frekslrd ise birici merebede iegröre yklş, düşük frekslrd kzç gibi dvr yüksek s ( s) s / B A B [ A, B] 2 ( A) ( s Bs ( ) A B) s / A (3.) yklşıklık ifdesi [5] çlışmsıd öerilmişir. Ayı çlışmd (3.) e ek olrk yüksek frekslrd kzç gibi dvr, düşük frekslrd ise iegrör gibi dvr, ( ) s s s / 2 A B A B B [ A, B] s B( A s) s / A s yklşıklığı d öerilmişir. (3.2) 28

47 Lierürde verile (3.8-2) ifdelerideki irrsyoel kısımlr Tylor seri çılımı, sürekli kesir çılımı vey yielemeli kuu sıfır dğıımı yöemi kullılrk heslbilir. (3.8-2) deki irrsyoel kısımlr, us () olmk üzere, s/ A s/ s / A B (3.3) s / s / B A ( us ( )) (3.4) Şeklide yzılbilir. Açıkç görüldüğü gibi u(s) geliği ilgili freks rlığıd de küçük olduğu içi seri çılımıı ykısk olduğu söyleebilir. Sürekli kesir çılımı ile (3.4) ( us ( )) us () us () us () (3.5) şeklide yzılbilirke, Tylor Serisi Açılımı ile ise i ( u( s)) ( u( s)) i i (3.6) biçimide elde edilir. (3.5) ve (3.6) ile verile çılımlr sosuz olm ve sosuz bölme işlemleri içerdiği içi heslrd ck solu syıd işleme shi yklşıklıklrı kullılbilir. Tımlrı ve lizleri yukrıd verile (3.8), (3.-2) yklşıklıklrıı freks cevlrı verilmişir. s.5 i yklşıklığı içi lierürde yer l diğer yöemlerde bzılrı ve bu yöemler soucud elde edile rsfer foksiyolrı Çizelge 3.2 de görülmekedir. 29

48 Çizelge 3.2 : s.5 i yklşıklık ifdeleri Yöem Yklşık İfde [ ] b ORA s 6.92s 537.s 72s 34.4s s 34.4s 72s 537.s 6.92s.362 [. ] CRONE s 97.6s 354.5s 62.48s s 62.48s 354.4s 97.6s s [. ] Crlso 4 s 3 36s 2 26s 84s 9 4 9s 3 84s 2 26s 36s [. ] Msud s 4.877s 2.84s 2.995s s 3s 2.84s 4.876s.855 [. ] E Küçük Kreler s 5.99s 4.7s 44.29s s 8.7s 56.s 7.97s.2685 Bu yklşıklıklr ilişki krşılşırmlı souçlr ise Şekil 3.8 de görülmekedir. Şekil 3.8 :.5 s sisemii yklşıklık ifdelerii birim bsmk yılrı 3

49 3.2 Kesirli Merebede Sisemleri Ayrık-Zmlı Modelleri Kesirli merebede sisemleri korolör olrk kullbilmek içi kesirli merebede ürev ve iegrlleri yrık-zm krşılıklrıı elde edilmesi gerekir. Burd yrık zm krşılıklr deildiğide ks edile z i reel kuvvelerii içere ifdeler değil, s düzlemideki kesirli merebede ürev ve iegrl ifdelerii yklşıklıklrıı z ım bölgesideki krşılıklrıı elde edilmesidir. Lierürde, yrıklşırm yöemleri dolylı yrıklşırm ve doğrud yrıklşırm olmk üzere iki sııf iceleir Dolylı yrıklşırm Dolylı yrıklşırm iki dımd yılır; öce kesirli merebede ürev vey iegrli Bölüm 4. de verile yöemler kullılrk sürekli zmd rsyoel foksiyo olrk elde edile yklşık ifdeleri elde edilir, sor s-ım bölgeside elde edile rsfer foksiyoud z-ım bölgesie geçilir. Çizelge 3.2 de verile yklşık rsfer foksiyolrı kullılrk.5 s sisemii yrık krşılıklrı elde edilebilir. Öreği, Crlso yöemii kullıldığı ve örekleme zmıı. s olduğu durumd.5 s sisemii yrık krşılığı, z.3897z.587z.3859z z 4.939z 9.757z 9.636z 4.757z.9394 (3.7) olrk belirleir. Aliik olrk elde edile çıkış değerleri, Crlso sürekli zm yklşıklığı ve bu yklşıklık kullılrk elde edile yrık yklşıklığı birim bsmk yılrı Şekil 3.9 d verilmişir. 3

50 Şekil 3.9 : Sürekli ve yrık yklşıklıklrı birim bsmk yıı Doğrud yrıklşırm Doğrud yrıklşırm yöemleri, sürekli zmd ifde edile kesirli merebede ürev ve iegrli doğrud yrık krşılıklrıı elde edilmesi ilkesie dyır. Kesirli merebede ifde s i doğrud yrıklşırılmsı içi öerile yöemlere [8] d yer verilmişir. Geriye frk lm kurlı, Tusi, Al-Aloui ve Simso oerörü doğrud yrıklşırm yöemleride e sık kullıllrıddır [9]. Bu oerörler ve Tylor Seri Açılımıd sor elde edile yklşıklık ifdeleri Çizelge 3.3 e verilmişir. Çizelge 3.3 :Doğrud yrıklşırm yöemleri Euler s Oerör z T Yklşıklık s ( ) 2 z z T 2... Tusi s 2 T z z 2 s z z T Al-Aloui Simso s s 8 z 7T z / 7 3 ( z )( z ) T 4z z s z z s z z ( 3)... Doğrud yrıklşırmd sıklıkl kullıl oerörlerde biri ol Al-Aloui oerörü Euler ve Tusi oerörlerii bir krışımı gibidir. Bu oerorü %25 i Euler oerörüde oluşurke %75 i de Tusi oerörüde oluşur. Al-Aloui oerörüü üreici foksiyou, 32

51 8 D ( z) TSE D ( z) 7T z / 7 8 M 7 T N ( z ) m( z ) z (3.8) şeklide ifde edilebilir, [2]. Bu ifdede, T örekleme eriyodu, TSE (Tylor Series Exsio) ise Tylor Serisi Açılımı dır. 33

52 34

53 4. KESİRLİ MERTEBEDEN KONTROLÖR TASARIM YÖNTEMLERİ Kesirli merebede difersiyel deklemlerle ile ifde edile korolörlere kesirli merebede korolörler dı verilir. Bu korolörler, ürev ve iegrl merebeleri reel syılr kümeside değer lbildiği içi msyılı merebede korolörleri bir geelleşirilmesi olrk değerledirilebilir. Tm syılı merebede korolörlerde sdece kzç ksyılrı serbes seçilebilirke kesirli merebede korolörlerde bu ek olrk ürev ve iegrl merebeleri de seçilebilir. Kesirli merebede korolörleri srımd büyük bir eseklik sğldığı ve korol sisemii bşrımıı rırdığı bilimekedir [2]. Ayrıc, yıl birçok çlışm, kesirli merebede korolörler ile korol edile sisemleri dvrışıı, sisemdeki rmere değişimlerie krşı dh z duyrlı olduğuu gösermişir [4]. Diğer rf kesirli merebede korolörler ile korol edile sisemleri zm ım bölgesideki bsmk vey imuls yılrıı elde emek geellikle çok krmşık heslmlrı gerekirir. Bu edele, zm ım bölgeside kesirli merebede korolörleri srımı içi gelişirilmiş kullışlı ve ekili yöemlere rslmmkdır. Lierürdeki çlışmlrı büyük bir bölümüde, öerile srım yöemleri, y freks ım bölgeside y d syısl bir rm lgorimsı kullılrk gelişirilmişir. 4. Kesirli Merebede PID Korolörler Güümüzde hle PID korolörler ve ürevleri (PI, PD) e sık kullıl korolör yılrıddır. Bsi yılrı ile roses edüsrileride sıklıkl kullılmkdır [22]. PID ii korolörleri srlmsı ile ilgili ilk yyılr Ziegler ve Nichols rfıd yılmışke bu koudki rşırmlr güümüzde de devm emekedir. Kesirli merebede korol yılrıı dimik sisemleri korol emeke kullm fikri ise Ouslou iir. Birici esil CRONE (Commde Robuse d Ordre No Eier) korolör srımı ve CRONE ile PID i krşılşırılmsı [23] e verilmişir. Dh sor Podluby PI D ii korol yısıı ory mışır, [4]. PID ile 35

54 krşılşırıldığıd ve sırsıyl iegrsyo ve ürevleme işlemlerii merebeleri olmk üzere, PI D de fzld 2 rmere dh bulumkdır. Bşk bir deyişle, geleeksel PID korolörleride srım rmereleri sdece kzçlr ike PI D ii korolörlerde bulr ek olrk iegrsyo ve ürevleme merebeleri de birer srım rmeresi olrk kullılbilmekedir. Zm ım bölgeside kesirli merebede bir PI D korolörü u( ) K e( ) K D e( ) K D e( ) (4.) i d şeklide ifde edilebilir. Açıkç görüldüğü gibi klsik PID korolörler (4.) ifdesii özel bir hli gibi düşüülebilir. Yi ve ksyılrı sırsıyl ve olrk seçilirse klsik PID elde edilir ve şğıdki gibi yzılbilir: u( ) K e( ) K D e( ) K D e( ) (4.2) i d PI D ii bir korolörü rsfer foksiyou ise şğıdki gibidir: G s K K s K s (4.3) () c i d Geleeksel PID korolörü merebeler düzlemide bir ok ile göserilirke, PI D korolörü ise bir düzleme krşı düşmekedir. Eğer vey ksyılrıd biri, vey olrk seçilirse bu durumd ok doğruy geişlemiş olur. PID ile PI D i merebe düzlemide krşılşırılmsı Şekil 4. de görülmekedir. Şekil 4. :PID ile PI D i merebe düzlemide krşılşırılmsı Kesirli merebede PI D korolörü ile korol edile klı çevrimli bir sisemi rsfer foksiyou, korol edile sisem m syılı merebede ols bile kesirli merebede olckır. Şekil 4.2 de kesirli merebede bir korolör ile korol edile bir sisemi blok diygrmı görülmekedir. 36

55 Şekil 4.2 : Kesirli merebede PID ile korol edile bir sisemi geel blok diygrmı Bilidiği gibi. merebede lieer bir sisemi rsfer foksiyou, bir m syı olmk üzere, m m ms m s... s G ( s), m (4.4) b s b s... b s b şeklide verilir. Şekil 4.2 deki klı çevrimli sisemi rsfer foksiyou, (4.3) ve (4.4) ifdeleri kullılrk, G m k ks K s Ki Kds k cl () s m l k l k i d l k b s s K s K K s (4.5) olrk elde edilir. Bu ifdede çıkç görüldüğü gibi kesirli merebede bir korolör ile korol edile m syılı merebede bir sisemi krkerisik deklemi de kesirli merebede olckır. 4.. Kesirli merebede PID ile korol edile sisemleri çık çevrim yılrı İki rmereli Mig-Leffler foksiyou kullılrk, k k (, y;, ) E ( y ), ( k,,2...) (4.6) ( k), şeklide bir foksiyo ımlbilir. Burd ve iki rmereli Mig-Leffler foksiyouu rmerelerii, k d Mig-Leffler foksiyouu ürev merebesii gösermekedir.[6] d (4.6) ile verile bir foksiyou Llce Döüşümü s ks! e k (, y;, ) d, (Re( s) y ) k s y (4.7) şeklide elde edilmişir. Diğer rf, kesirli merebede bir rsfer foksiyou ile G () s f s s... s s (4.8) 37

56 şeklide ifde edile bir sisemi imuls cevbı, ers Llce döüşümü ve (4.7) eşiliği kullılrk, ( m; k, k,..., k 2) muliomil ksyılr olmk üzere, m ( ) g( ) ( m; k, k,..., k 2) m! m k k... k 2 m k ;... k 2 k 2 i 2 i m j kj i j (, ;, ( ) ) (4.9) şeklide elde edilebilir [6]. Ayrıc, Llce Döüşümü, N F( s) b s i G ( s ) (4.) i i şeklide ol bir foksiyou Ters Llce Döüşümü, N f ( ) b D i g ( ) (4.) i i olrk elde edilir, burd D kesirli merebede ürev oerörüdür. Diğer rf, (4.8) ile verile ve kesirli merebede bir PID ile korol edile bir sisemi çık çevrim rsfer foksiyou, Gol ( s) ( K Kis Kds ) G ( s ) (4.2) olrk belirleir. (4.) ve (4.2) ifdeleri bezer bir yıddır. Bu durumd, kesirli merebede bir PID ile korol edile ve rsfer foksiyou (4.8) ile verile bir sisemi birim imuls yıı, gol ( ) K g( ) KiD g( ) KdD g( ) (4.3) olrk elde edilir. Birim bsmk yııı elde emek içi ise birim imuls yııı (4.3) ü iegrli lımlıdır Kesirli merebede PID ile korol edile sisemleri klı çevrim yılrı Kesirli merebede bir PID ile korol edile ve rsfer foksiyou (4.8) deki gibi ol sisemi klı çevrim rsfer foksiyou ise, 38

57 G klı () s k K s K K s i d s K s K K s k k i d (4.4) şeklide elde edilir. Klı çevrimli sisemi imuls cevbıı elde emek içi, (4.4) ü ydsıı Ters Llce Döüşümü (4.9) kullılrk belirleir ve sor (4.) kullılrk (4.4) ü Ters Llce Döüşümü elde edilir [6]. Klı çevrimli sisemi birim bsmk yıı ise elde edile bu ifdei iegrli lırk buluur Geleeksel PID ve kesirli merebede PID korolörlerii krşılşırılmsı Bu bölümde [24] e verile ısıl sisem ele lıck ve geleeksel PID ile KMPID korolörleri erformslrı bu örek sisem üzeride krşılşırılckır. Sisem üzeride yıl deeyler soucu elde edile veriler kullılrk siseme ilişki msyılı merebede bir model, GTMS () s s 4893s.93 olrk elde edilmiş, yı verilerde sisemi kesirli merebede modeli ise (4.5) GKMS () s s 69.5s.69 (4.6) şeklide belirlemişir. Model doğrulm sırsıd kesirli merebede modeli gerçek sisemi dimiğii çok dh iyi emsil eiği gözlemişir. Korolör srımıd, [25] e öerile yöemi kullbilmek içi (4.5) ile verile ikici merebede model yerie birici merebede ölü zmlı yklşıklığı ol,.583 GTMS () s e s 4.97 (4.7) kullılckır. Asrom-Hgglud srım yöemi [25] kullıldığıd, elde edile geleeksel PID korolör,.8 GPID ( s) s s (4.8) şeklide olur. Bu korolör ile korol edile sisemi, msyılı merebede modeli (4.5) ve kesirli merebede modeli (4.6) kullılrk bezeimler yılmış elde edile birim bsmk yılrı Şekil 4.3 e verilmişir. 39

58 Şekil 4.3 : PID korolörü ile korol edile siseme ilişki bezeim souçlrı Şekil 4.3 e görüldüğü gibi PID ile korol edile msyılı merebede model ve kesirli merebede model kullılrk yıl bezeim souçlrı rsıd oldukç büyük bir frk vrdır. Ayı sisem içi [2] çlışmsıd verile ve freks ım bölgeside gelişirilmiş yöem kullılrk, kesirli merebede bir korolör srlbilir. Fz yı ve kzç yı sırsıyl m 6 Am. olck şekilde, ve iegrl ve ürev merebeleri.6 ve.35 şeklide seçildiğide KMPID korolörü,.5885 G ( s) s PI D.6 s.35 (4.9) olrk belirleir. Bu korolör ile korol edile kesirli merebede sisemi Şekil 4.4 e verile birim bsmk yıı icelediğide hem sisem cevbıı hızlmış olduğu görülmekedir. hem de şımı ve yerleşme zmıı öemli bir ölçüde zldığı 4

59 Şekil 4.4 : KMPID korolörü ile korol edile sisemi birim bsmk yıı 4.2 Freks Tım Bölgeside Tsrım Dh öce de söz edildiği gibi, KMPID korolörleride PID korolörlere kıysl, ürev ve iegrl merebeleri de serbes seçilebildiğide fzld iki srım rmeresi dh vrdır. Bu eseklikleri edeiyle, KMPID korolörler, geleeksel PID ile sğlmy bzı ek krierleri de sğly korol sisemleri srlbilimesie olk verirler [22]. Freks ım bölgeside srım içi şğıd bu ım bölgesideki krierleri ımlrı verilmişir. Fz Pyı ve Kzç Geçiş Freksı: Sisemi çık çevrim rsfer foksiyou F(s) olmk üzere, fz yı ve kzç geçiş freksıı ımı ve sğlmsı gereke koşullr, Arg( F( j cg )) Arg( C( j cg ) G( j cg )) m (4.2) F( j ) C( j ) G( j ) db (4.2) şeklidedir. cg db cg cg Kzç Pyı ve Fz Geçiş Freksı: Kzç yı ve fz geçiş freksı ımlrı ve sğlmsı gereke koşul şğıdki gibidir. C( j ) G( j ) c c g m (4.22) Kzç Değişimlerie Krşı, Sisemi Dyıklılık Ölçüü: Korol edile sisemi kzcıd meyd gelebilecek olsı değişimlere krşı 4

60 sisem yııı dyıklılığıı - şımı yklşık olrk sbi klmsıölçüü ve bu ölçüü sğlmsı gereke koşul, d( Arg( C( j ) G( j ))) d cg (4.23) şeklidedir [26]. Bu koşul sğldığıd sisemi fzıı, civrıd yklşık olrk sbi klmsı sğlır. cg freksı Yüksek Freks Gürülülerie Krşı Sisemi Dyıklılık Ölçüü: Yüksek frekslı gürülüleri bsırılmsı ve sisem erformsıı yüksek frekslı gürülüler lıd iyileşirilebilmesii ölçüü ve bu ölçüü sğlmsı gereke koşul, C( j ) G( j ) T ( j ) AdB, db C( j ) G( j ) db rd / s T ( j ) AdB db (4.24) duyrlılık foksiyou üzeride verilir. Burd A / rd s freks bölgeside isee gürülü bsırm seviyesidir. Çıkış Bozuculrı Krşı Sisemi Dyıklılık Ölçüü: B isee bozucu bsırm seviyesi olmk üzere rd s / s freks bölgesideki çıkış bozuculrıı ekisii bsırılm ölçüü mmlyıcı duyrlılık foksiyou ile ımlır ve isee bsırm seviyesi sğlmsı içi gereke koşul, C( j ) G( j ) S( j ) B db, db C( j ) G( j ) db rd / s S( j ) B db s s db (4.25) ilişkisi ile verilir. Freks ım bölgeside srım ölçüleri (4.2-25) ile verile olm 6 koşuld oluşur. Oys kesirli merebede bir PID korolörde serbes seçilebile 5 rmere olduğu içi bu ölçülerde 5 i seçilerek srım yılmlıdır. Seçile krierleri sğly korolörü rmere kümesii belirlemek içi lierürde öerilmiş liik bir yöem bulummkdır. Krierleri sğly rmereleri belirlemesi geellikle oimizsyo yöemleri rcılığıyl gerçekleşirilmişir. Bzı çlışmlrd öreği, [22] de Eşilik ve/vey eşisizlik kısılmlı çok değişkeli lieer olmy bir foksiyou miimumuu belirlemede kullıl MATLAB ı fmico foksiyou 42

61 kullılırke, [27] de ise geeik lgorim ve fmico komuuu birlike kullıldığı hibri bir yı öerilmişir. Prmereleri belirlemeside kullılbilecek bir bşk yöem de yie kısılmlı lieer olmy foksiyolrı miimumuu belirlemede kullılbile kullılbile Memic yzılımıd bulu NMiimize komuudur. Bu bölümde korol edilecek sisem olrk, Gs ().55 62s ve srım krierleri olrk ise: Kzç geçiş freksı cg rd / s Fz yı m.44 8 derece Sisem kzcıd meyd gelebilecek değişimlere krşı dyıklılık T( j ) 2dB rd / s db S( j ) 2dB. rd / s db s (4.26) seçilmişir. Bu krierleri sğly kesirli merebede PID korolörü MATLAB ı fmico komuu kullılrk, 98.2 G ( s) s PI D.578 s.4 (4.27) şeklide belirleebilir. Bu korolör ile korol edile sisemi çık çevrim freks cevbı ve klı çevrimli sisemi birim bsmk yıı sırsıyl Şekil 4.5 veşekil 4.6 d görülmekedir. Şekil 4.5 : KMPID ile korol edile sisemi freks cevbı 43

62 Şekil 4.6 : KMPID ile korol edile sisemi birim bsmk yıı Şekil 4.5 eki freks cevbıd görüldüğü gibi isee fz yı ve kzç geçiş freksı krierleri sğlmışır. Ayrıc çeşili kzç değerleri içi yıl bezeimler soucud sisemi şımıı yklşık olrk yı kldığı birim bsmk yııd d görülmekedir. Souç olrk, srl korolörü sisem kzcıdki değişimlere krşı dyıklı olduğu söyleebilir. 4.3 Nümerik Oimizsyo Algorimlrı ile Kesirli Merebede Korolör Tsrımı Kesirli merebede korolörleri zm ım bölgesideki liik ifdelerii elde edilmesii çok krmşık heslrı gerekirmesi ve freks ım bölgesideki srımlrı liik çözümlerii elde edilmesideki zorluklr edeiyle, lierürde kesirli merebede korolör srımı içi syısl oimizsyo lgorimlrıı kull bir çok çlışm bulumkdır. Bu çlışmlrd kullıl lgorimlrı bşıd geeik lgorim [28] ve rçcık sürü oimizsyou [29] (Pricle Swrm Oimizio) gelmekedir. Bu ez çlışmsıd, belirlee erforms ölçüüü miimize ede korolör rmerelerii belirlemek içi doğl seçilim ve geeik kurllr dy ve globl bir rm lgorimsı ol geeik lgorim kullılmışır. Poülsyo, kromozom, ge, çrzlm ve musyo gibi geeik kvrmlr dy ve bu kvrmlrı bir foksiyou globl miimumuu belirlemede kull geeik lgorimlr lierürde hem korol uygulmlrıd hem de diğer llrd sıklıkl yer verilmekedir. Geeik lgorimlr ile ilgili dh 44

63 yrıılı bilgi [3,3] kyklrıd elde edilebilir. Tsrım işlemi içi MATLAB yzılımı ercih edilmiş ve MATLAB i geeik lgorim rç kuusu kullılmışır. Ayrıc, kesirli merebede korolörleri bezeimi içi ise Duero Vlerio rfıd oluşurul ieger rç kuusud yrrlılmışır Birici merebede ölü zmlı sisemler içi kesirli merebede korolör srımı Bu bölümde kesirli merebede PI korolörü ile lierürde ve edüsride sıklıkl krşılşıl sisemlerde biri ol birici merebede ölü zmlı örek bir sisemi korolü yılckır. Örek olrk ele lıck sisem [22] çlışmsıd d kullıl G() s.55 e 62s s (4.28) sisemidir. İlgili çlışmd (4.28) ile verile sisemi korolü içi freks ım bölgeside srım yılmışır. Bu bölümde ise geeik lgorim kullılrk ISE erforms ölçüüü miimize kesirli merebede PI ve klsik PI ksyılrı buluckır. Ayrıc ölü zm rmeresii ve kzç rmeresii değişimie krşı her iki korolörü de erformslrı sıckır. Korol işreii çok yüksek değerlere ulşmmsı içi bezeimlerde sürsyo elemı kullılmış ve korol işreii büyüklüğü +5 ile -5 rsıd uulmuşur. Geeik lgorim ile belirlee korolör ksyılrı ve bu ksyılr içi ISE erforms ölçüüü değeri Çizelge 4. de görülmekedir. Çizelge 4. : Geeik lgorim ile belirlee korolör ksyılrı K P K I Performs Ölçüüü Değeri PI PI Bu korolörler kullıldığıd elde edile sisem cevbı ve korol işrei sırsıyl Şekil 4.7ve Şekil 4.8 de görülmekedir. 45

64 Şekil 4.7 : PI ve kesirli merebede PI ile korol edile sisemi birim bsmk yılrı Şekil 4.8 : PI ve kesirli merebede PI ile üreile korol işrelerii birlike göserimi Bilidiği gibi korol sisemlerii büyük bir çoğuluğu rmere belirsizliği içerirler. Tsrl bir korolörü ekiliğii bir ölçüü de sisem cevbıı rmere değişimleride e ölçüde ekilediğidir. Bu bölümde sisemi kzcıı.25 K ve sisemdeki ölü zmıd.5 T.5 rlığıd değişiği vrsyılrk bezeimler ekrrlmışır. Bu mçl oluşurul Simulik modeli, Şekil 4.9 d görülmekedir. d 46

65 Şekil 4.9 : Prmereleri değşke olduğu durumu bezeimi içi oluşurul Simulik modeli Şekil 4.9 dki Simulik modeli kullılrk bezeim essıd kzç ve ölü zm sırsıyl.25 K ve.5 T.5 rlığıd değişirilerek her iki korolörü de d sisem rmerelerideki bu değişimler lıd sıl bir cev vereceği sımışır. Elde edile sisem cevbı Şekil 4. d görülmekedir. Korol işreii değişimi ise Şekil 4. dedir. Şekil 4. : Sisem remerelerii belirsiz olduğu durum içi PI ve kesirli merebede PI'ı krşılşırmsı 47

66 Şekil 4. : Sisem remerelerii belirsiz olduğu durumd üreile korol işreleri Her iki şekilde de görüldüğü gibi kesirli merebede korolör sisem rmerelerii omil olduğu durumd çok frklı çıkmmışır. Bu durumd kesirli merebede PI korolörüü, sisem rmerelerii belirsizlikler içerdiği durumlrd d klsik PI d dh bşrılı souçlr vereceği söyleebilir Arç süssiyo sisemii kesirli merebede PID ile korolü Arç süssiyo sisemleri yol ile rç rsıdki ylıımı sğlyrk egebeli yollrd rç gövdesii mümkü olduğuc sbi uulmsıı sğly, böylece rcı koforuu rır sisemlerdir. Süssiyo sisemide beklee, yük değişimleride ve yoldki bozuculrd kykl slıımlrı hızlı bir şekilde södürmesidir. Akif süssiyo sisemleri, sif ollr göre slıım södürme bşrımıı rırmk mcıyl srlmış bir korol sisemi içerirler. Bu ür süssiyo sisemleride, slıımı södürmek içi gerekli eerjii siseme krılmsı işlemi bir eyleyici vsısıyl yılır. Lierürde, kif süssiyo sisemlerii korolü içi LQG (Lier Qudrik Gussi), durum uzyı, bulık korol ve klsik PID korol gibi çok çeşili korol yöemlerii kullıldığı çlışmlr mevcuur [32 34]. ¼ rç süssiyo sisemii ilkesel şemsı Şekil 4.2 de görülmekedir. 48

67 Şekil 4.2 : ¼ Arç süssiyo sisemi Lierürde vr ol souçlrl sğlıklı bir krşılşırm ybilmek içi sisemi fiziksel rmereleri olrk [35] e verile ve şğıd liselee değerler kullılmışır. m 25 kg, rç gövdesii külesi k 8N/m, süssiyo sisemii yy sbii b 35 Ns/m, süssiyo sisemii söüm sbii m 2 32 kg, süssiyo külesi k 5N/m, ekerleği yy sbii b 52 Ns/m, ekerleği söüm sbii u Korol girişi, (kuvve boyuud) Arç gövdesii küle merkezi ile yol rsıdki uzklığı ölçülmesie göre, rç gövdesii küle merkezi ile süssiyo sisemii küle merkezi rsıdki mesfei ölçülmesi dh koly olduğu içi, sisem çıkışı olrk x x 2 i lımsı uygu olckır. Newo u hreke yslrı kullılrk sisemi hreke deklemleri, m x b ( x x ) k ( x x ) u 2 2 m x b ( x x ) k ( x x ) b ( w x ) k ( w x ) u (4.29) şeklide elde edilir ve bu deklemlerde yrrlrk korol girişi u() de ve bozucu giriş w() de çıkış sisemi rsfer foksiyolrı G u (s) ve G w (s) 49

68 heslbilir. Souç olrk, klı çevrimli sisemi blok diygrmı Şekil 4.3 eki gibi olckır. Şekil 4.3 : Arç süssiyo korol sisemii blok diygrmı G () u s ve G () s rsfer foksiyolrı, w () s m m s m b b b m s m k k b b k m s b k k b s k k (4.3) olmk üzere, G () s u X( s) X 2( s) m m s b s k U ( s) ( s) (4.3) G () s w X ( s) X ( s) m b s m k s W ( s) ( s) (4.32) şeklide elde edilir. Bezeimlerde kullıl SIMULINK diygrmı Şekil 4.4 e verilmişir. Şekil 4.4 : Arç süssiyo korol sisemii Simulik diygrmı 5

69 PI D korolörüü rmerelerii seçimi içi, siseme.m lik bsmk biçimide bir bozucu uygulmış dvrış ölçüü olrk kresel h iegrli (ISE) seçilmiş ve geeik lgorim esil içi çlışırılmış souç korolör, G ( s) s PI D.2 s.846 (4.33) şeklide belirlemişir. KMPID korolörü ile korol edile sisem içi dvrış 7 ölçüüü değeri 2.4 x olrk elde edilirke, yı sisem [35] e öerile PID 6 korolörü ilekorol edildiğide dvrış ölçüüü değeri ise 4.49x olrk elde edilmişir. Bu ez çlışmsıd srl PI D korolörü ve [35] e verile klsik PID korolörü ile korol edile sisemleri cevlrı bezeim yolu ile elde edilmiş ve souçlr krşılşırmlı olrk Şekil 4.5 e verilmişir. Bezeimlerde,.m lik bsmk bozucusu bşlgıç siye sor uygulmışır. Şekil 4.5 : PI D ve PID korolörlerii bşrımlrıı krşılşırılmsı Aşım ve yerleşme zmı çısıd, iki korolörü bşrımı krşılşırılırs, PI D korolörü içi % şım ve yklşık.38 siyede yerleşme zmı elde edilirke, geleeksel PID içi %4.49 şım yklşık 2.28 siyede yerleşme zmı elde edilmişir. Elde edile bu souçlr, kesirli merebede korolörü bşrımıı geleeksel PID de çok dh iyi olduğuu gösermekedir. Her iki korol sisemi içi kullıl korol işreleri Şekil 4.6 d görülmekedir. 5

70 Şekil 4.6 :. merelik birim bsmk bozucu içi korol işreleri Arç süssiyo sisemide beklee e öemli özellikleride biri değişke yük lıd d yoldki bozuculrd kykl slıımlrı söümledirmekir. Bu ez çlışmsıd srl kesirli merebede korolörü ve geleeksel PID i bşrımlrıı yük değişimlerie krşı dyıklılığıı sımk içi rç gövdesii külesi m, 25kg d 35kg rırılmış, bezeimler ekrrlmışır. Bozucu olrk, merelik bsmk işrei lımış ve elde edile souçlr Şekil 4.7 ve Şekil 4.8 de verilmişir. Şekil 4.7 : Yük değişimleri lıd PI D ve PID korolörlerii bşrımıı krşılşırılmsı 52

71 Şekil 4.8 : Yük değişimleri lıd PI D ve PID korolörlerii üreikleri korol işreleri Arç gövdesii ğırlığı 25kg d 35kg rığıd geleeksel PID ile korol edile sisemi şımı %5.35 e yükselirke yerleşme zmı d 2.59 siyeye çıkr. Oys PI D ile korol edile sisemi yerleşme zmı ve şımıd görüle rışlr ise oldukç düşükür. PI D ile korol edile sisemi şımı %.5 olurke yerleşme zmı d.86 siye olur. Elde edile bu souçlr, PI D korolörü ile korol edile sisemi PID ile korol edilee göre dh dyıklı olduğuu ory koymuşur Ters srkcı kesirli merebede PID ile korolü Bir rcı üzerie moe edilmiş ers srkç sisemleri, dimik modeli birçok krmşık sisemi dimik modelie bezer olduğu içi, srl yei korol yılrıı ve lgorimlrı ekiliğii sımd sıklıkl kullıl sisemlerdedir. Bu ez çlışmsıd, kesirli merebede korolörleri bir uygulmsı olrk rbsrkç sisemii isee koumd krrlı kılımsı soruu d ele lımışır. Bu bölümde, klsik PID ve kesirli merebede PID korolörler, sisemi doğrusl modeli kullılrk srlck ve srl bu korolörleri bşrımı öce sisemi doğrusl olduğu vrsyımı lıd krşılşırılck, sor yı korolörler doğrusl olmy model kullılrk bezeimi yıl sisemi korol emek içi kullılck ve bşrımlrı irdeleecekir. Bir rcı üzerie moe edilmiş ers srkcı ilkesel şemsı Şekil 4.9 d görülmekedir. 53

72 Şekil 4.9 : Bir rcı üzerie moe edilmiş ers srkç Srkcı külesi ( m ) ve rcı külesi ( mc ) sürümesi () b.5kg olrk seçilmişir. Arcı ise. N/ m / sec dir. Srkcı eylemsizliği () I,.6 2 kg. m olrk seçilirke uzuluğu (2 l ).6 m lımışır. Ters srkcı hreke deklemlerii elde edebilmek içi Newo u ikici yssı kullılbilir [36]. Arcı ve srkcı serbes cisim diygrmı Şekil 4.2 de verilmişir. Şekil 4.2 : Arcı ve srkcı serbes cisim diygrmı Arc yy doğrulud ekiye kuvveler, u bx H m cx (4.34) şeklide yzılbilir, burd H srkç gele eki kuvveidir. Srkc yy doğrulud ekiye kuvveler, H m x m l ml 2 cos si (4.35) şeklidedir. Srkc dik ol ekiye kuvveler olırs, 54

73 V si H cos m g si m l m xcos (4.36) ifdesie ulşılır. Srkcı döel hrekei göz öüde buludurulur, momeler külei merkezde olduğu vrsyımı lıd heslır ve Newo u hreke yslrı uygulck olurs: V l si N l cos I (4.37) elde edilir. Bu ifdede I küle merkezi erfıdki eylemsizliği ifde emekedir. (4.34) ve (4.35) ifdeleri birleşirilecek olurs ilk hreke deklemi u m m x bx ml m l 2 c cos si (4.38) şeklide elde edilir. Ayı şekilde (4.36) ve (4.37) ifdeleri birleşirilir ve H, V değişkeleri yok edilirse ikici hreke deklemi I m l m gl si m lx cos (4.39) 2 olrk belirleir. Srkcı dik koumu civrıdki küçük hrekeleri içi ers srkç sisemii doğrusl modeli elde edilebilir. cos,si ve deklemleri ı küçük olduğu vrsyımı lıd 2 olrk lıbilir. Bu vrsyımlr lıd hreke civrıd doğrusllşırılbilir. u mc m x bx ml, (4.4) I m l m gl m lx (4.4) 2 Sisemi rsfer foksiyouu elde edebilmek içi yukrıdki doğrusl difersiyel deklemleri Llce döüşümleri kullılırs, U( s) m m X ( s) s bx ( s) s m l ( s) s, (4.42) 2 2 c I m l ( s) s m gl ( s) m lx ( s) s (4.43) ifdeleri elde edilir. So olrk bzı cebirsel işlemlerde sor Us () ile () s rsıdki ilişki, 2 2 c m l I m l m m olmk üzere, ml s () s 2 Us () b I m lg lg 3 l m 2 c m m bm s s s (4.44) şeklide buluur. 55

74 Her iki ürde korolörü srımı sisemi doğrusl modeli emel lırk ve hı kresii iegrlii (ISE) e küçük olck şekilde yılckır. Korolör ksyılrı geeik lgorim yrdımıyl belirleecekir. Algorim, korolör ksyılrı ile rsıd sıırldırrk ve sisem drbe bozucusu lıd ike 2 esil içi çlışırılmışır. Elde edile klsik PID ksyılrı şğıdki gibidir. 6.7 GPID ( s) s s Kesirli merebede PID korolörü ise G ( s) s PI D.3 s.9 (4.45) (4.46) şeklide elde edilmişir. Klsik PID içi elde edile dvrış ölçüüü e küçük değeri 5.56x 3 ike PI D korolörü içi ise bu değer 2.97 x 3 dir. Doğrusl model kullrk bezeimi yıl ers srkç sisemii drbe bozucusu lıd klsik PID ve PI D ile elde edile sisem cevlrı Şekil 4.2 de verilmişir. Şekil 4.2 : Drbe bozucusu lıd doğrusl model kullrk bezeimi yıl ers srkç sisemii PID ve PI D ürü korolör ile elde edile sisem cevlrı krşılşırılmsı Şekil 4.2 de kesirli merebede korolör ile korol edile sisemi şımıı klsik PID ye göre birz dh fzl olduğu görülmekedir, ck kesirli merebede korolör, sisemi cevbıı çok hızlı bir şekilde isee değere yerleşmesii sğlmışır. Kuşkusuz dh lmlı bir krşılşırm, sisemleri doğrusl olmy modelii kullıldığı bezeim souçlrı üzeride yılbilir. Bu şekilde yıl bezeimi souçlrı Şekil 4.22 de suulmuşur. 56

75 Şekil 4.22 : Ters srkç sisemii doğrusl olmy modeli kullılrk yıl bezeim soucu elde edile cevlr Şekil 4.22 de de görüldüğü gibi doğrusl olmy sisem içi kesirli merebede PI D korolörü bşrımı klsik PID de çok dh iyidir DC mooru kesirli merebede PD ile korolü Bu bölümde Şekil 4.23 e görüle Quser firmsıı üremiş olduğu IP2 deey seide bulu DC mooru koumuu öcede belirlemiş bir yörügeyi ki emesi içi gerekli korol işlemii kesirli merebede bir PD ile yılmsı soruu ele lımışır. Sisemde sürücü olrk 6V omil gerilimi ol ve 3.23W çıkış gücüe shi Fulhber Coreless DC Moor (2338s6) kullılmışır. Tsrl korolörleri gerçeklemesi ise gerçek zmlı bir korol yzılımı ol Qurc- Simulik kullılrk yılmışır. Şekil 4.23 : Quser IP2 deey sei Moor koumuu, öcede üreilmiş koum refers yörügesii ki emesi içi kesirli merebede bir PD korolörü srlck, erformsı ve dyıklılığı geleeksel PD ile krşılşırılckır. Tsrım içi kullıl DC mooru memik 57