DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Transkript

1 YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DİFERANSİYEL DENKLEMLER CİLT Prof. Yvuz AKSOY Yrd. Doç. Dr. E.Mehme ÖZKAN DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ LİNEER SİSTEMLER HOMOGEN SİSTEMLER MATRİSLER - LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ KUVVET SERİLERİ - SAYISAL YÖNTEMLER OPERATÖRLER - GRAFİK YÖNTEM ÇEŞİTLİ ALANLARDA UYGULAMALAR ÜNİVERSİTE YAYIN NO:YTÜ.FE.DK-7.95 YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BASIM-YAYIN MERKEZİ / İSTANBUL-

2 T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ Büü Hklrı Sklıdır. c 7, Yıldız Tekik Üiversiesi Bu eseri bir kısmı vey mmı, Y.T.Ü. Rekörlüğü ü izi olmd, hiçbir şekilde çoğlılmz, kopy edilemez. DİFERANSİYEL DENKLEMLER (Cil ) Prof. Yvuz AKSOY Yrd. Doç. Dr. E.Mehme ÖZKAN ISBN: Y.T.Ü. Küüphe ve Dokümsyo Merkezi Syı YTÜ.FE.DK-7.95 Bskı Yıldız Tekik Üiversiesi Bsım-Yyım Merkezi-İsbul Tel: () Yıldız Tekik Üiversiesi Yöeim Kurulu u..7 rih ve 7/3 syılı Toplısıd Alı krr göre Üiversiemiz Mbsıd 55 (Beşyüzelli) de bsırıl, Difersiyel Deklemler dlı elif eseri her ürlü bilimsel ve eik sorumluluğu yyı hzırlylr iir.

3 Prof. Yşr ÖZDEMİR i ANISINA DİFERANSİYEL DENKLEMLER ~ CİLT 7

4 Prof. Yşr ÖZDEMİR KİMDİR? Yşr ÖZDEMİR 93 yılıd, Ağrı ilii Doğu Beyzı ilçeside düyy gelmişir. Heüz çocuk ike bbsıı işi gereği İsbul gelmişler ve bud sorki yşmı burd geçmişir. Öğreimii sırsıyl Sulhme İlkokulu, Cğloğlu Or Okulu ve İsbul Erkek Lisesi de mmlmışır. Yükseköğreimii 954 yılıd bşlyrk İsbul Üiversiesi Fe Fkülesi Memik Esiüsü (Bölümü) de ypmışır. 96 yılıd mezu olduk sor, yıllrı rsıd skerlik görevii mmlmışır. 964 yılıd İsbul Tekik Okulu memik sisı olrk kbul edildi. Bu kurumu büü değişim süreçlerii bizz yşdı ve görevlerie devm ei. Akdemik çlışmlrıı devm eirdi. 974 yılıd öğreim görevlisi oldu. Bu sırd, doçelik çlışmlrı ile ilgili olrk Frs y gii. Döüşüde doçelik çlışmlrı hız verip 979 yılıd doçe oldu. Bu görev dh sor Yıldız Üiversiesi büyeside de devm ei. 987 yılıd iibre, Memik Bölümü, Aliz ve Foksiyolr Teorisi Abilim Dlı Bşklığı yürüü rihi iibriyle profesör olrk dı. 994 yılıd iibre üç yıl süreyle Memik Bölümü Bşklığı ypı. 997 yılıd emekli oldu. Prof. Özdemir öğreim üyeliği süresi içide liss ve yüksek liss eğiim progrmlrıd şu dersleri vermişir: Difersiyel ve İegrl Hesp, Memik Aliz, Kısmi Difersiyel Deklemler, Opersyoel Hesp, İki Değişkeli Lplce Döüşümleri, İleri Kısmi Türevli Difersiyel Deklemler, Özel Difersiyel Deklemler Üiversiei bzı birimleride yöeim görevleride bulumuşur. Aürk İlkeleri ve İkılp Trihi Bölümü Bşklığı; Aürk İlkeleri ve İkılp Trihi Arşırm ve Uygulm Merkezi Müdürlüğü de ypmışır. Yıldız Korum ve Yşm Dereğide, kif olrk yıllrı rsıd yöeim kurulud görev lmış, bu yıllr içide yöeim döemi, Derek Bşklığı ypmışır. O, Aksoy u 6 yıllık rkdşı, Özk ı d öğremeidir. Aksoy ile 954 yılıd bşly üiversie sııf rkdşlığı hiç kesiisiz devm emişir. 7 Ekim 6 güü rmızd yrıldı. Nurlr içide y sevgili krdeşim.

5 Ö N S Ö Z NİHAYET Bu kibımı.cildi 99 yılıd yzıldı ve ilk bskısı o yıl ypıldı. Ayı zmd bir ders kibı olmsı edeiyle kıs sürede ükedi. Ack uzu yıllr yei bir bskısı ypılmdı. Bu, o zmki ekik olksızlıklrd kykl bir souçu. Üiversiemiz Bsım ve Yyı Merkezi kurulduk bir süre sor, yılıd kibı.bskısı ypılbildi. Buu 4 yılıdki 3. Bskısı, 6 yılıdki 4.Bskısı ve ihye yılıdki 5.Bskısı izledi. Bu 5 bskıı oplm irjı 475 de oldu. Kip hle sılmkdır. Bu bskılrı hepside kibı.cildide söz edildi ve koulrı bile belirlemişi. Oys ders olrı olrk yzılım hzırdı. Yıllrc derslerde lığım koulrdı. Ack işi kip olrk düzelemesi o zmlr bizim içi bir soru oldu. O kdr yoğu memik ifdeleri ve bulrı yzbilmek içi kullılck ol o kdr çok sembol düzelemesi ypılmsı gerekiyordu ki işimizi egelleye işi bu kısmıydı. Çok sbır ve dikk gerekire bu yzılım işi, sevgili öğrecim ve mesi rkdşım Yrd. Doç. Dr. E. Mehme ÖZKAN rfıd yerie geirilmişir. Kipki iki kou ou rfıd düzelemişir. Kibı oluşumud böyle bir iş pylşımı vrdır. Kibı oluşumu kkılrı edeiyle Yrd. Doç. Dr. E. Mehme ÖZKAN çok eşekkür ediyorum. İıyorum ki r-sorul bu kip, kıs sürede ıck ve kullılckır..cildi ösözüde bir de Kısmî Türevli Difersiyel Deklemler de söz edilmişi. Bu d belki, ileriye döük yrı bir çlışm olbilir. Büü çlışmlrımızd olduğu gibi, bu kibı yzılımı sırsıd d birçok kyk eserde yrrlılmışır. Bilimsel eik gereğice kyk olrk kullıl bu eserler y dip o olrk syf llrıd y d kibı soud liseleerek göserilmişlerdir. Yrrldığımız bu eserler içi yzrlrı ve yyıcılrı eşekkür borcumuz vrdır. NİHAYET! Difersiyel Deklemler Cil dlı kibımızı gerçekleşirmiş olduk. Böylece okuyuculrımız yıllr öceside verilmiş bir sözümüzü de yerie geirmiş olmı mululuğuu yşıyorum. Bu beim 34. kibım olck. Böylece yzrlık kriyerime çok öemli bir kipl so vermiş olcğım. Sygıyl, sevgiyle Beşikş, 4 Şub 7 Prof. Yvuz AKSOY

6 Çok değerli dokor dışmım Prof. Yvuz Aksoy hocm, Bede bir ikici ösöz yzmmı ric eiğiizde duyduğum seviç ve sizi gibi kıymeli hocm ve bir o derece, memiğe dım mış ve ilerleye herkese rehber olbileceğie icımı m olduğu bir kibı muheşem yzım gücüe gölge düşürmeme elşı eşliğide, ösözleri okuyucuy yzılmsı deide yrılrk, be size ihfe üm okuyuculrıız seslemek iserim. İsı özel bir mierlığı ifde emek içi kulldığı e hrik ifdelerde biridir Teşekkürler.... Ack çoğu kez, buu içide, bu ek kelimei söyleyebileceğide dh fzlsı vrdır. Klpe geldiğide, eşekkürler çok şey ifde eder: Hyımı değişirdiiz, yolum ışık kıız, b verdiğiiz kkıı değerii ölçüsüü sosuz kıldıız, ypmk zorud olmdığıız m ypığıız her şey içi bei müeşekkir ypıız ve üm bulrı hem şhsım hem de öğrecilerime şılyck gücü ve bu i hy felsefesii öğreiiz... Ülkemizi, yşmı boyuc 33 e kip yzrlığı ypmış yegâe memikçisi ile hem mesi pylşımı hem de kdemik lmd lışverişe bulumuş olmk sosuz mululuk duyduğumu hem size hem de bu sırlrı okuy sevgili okuyucuy e klbi dileklerimle belirmek iserim. Öğrecilerimizi her dim sorduklrı Difersiyel Deklemler Cil bşlıklı kip e zm çıkck sorusu rık rhlıkl sizi de beliriğiiz gibi Nihye cevbıı veriyorum. Ylız bu ihye kelimesi sdece bu soruy yı olckır. Sizi Elved yııızı bu kibıızl çldırmızı şimdilik kıs bir mol olrk kbul eiğimi de bury o düşmek iserim. Bizleri memik lığıız kiplrd rih lığıız kiplr, şiirleriizi pylşığıız kip çevirilerii ypığıız memik kibı uz geiş spekrumd mhrum bırkmycğıız emeisiyle, bölümümüze, üiversiemize, ülkemize kığıız değerde ve yeişirdiğiiz bilerce öğreci ve her birii sizde lmış olduğu bilgi ve görgü ile dolylı olrk dokuduğuuz ile üyeleri dı bu kibı bizlerle pylşığıız içi şükrlrımı surım. Sevgi, sygı ve hürmelerimle Teşekkürler... Myıs 7, Beşikş Yrd. Doç. Dr. E. Mehme ÖZKAN

7 İÇİNDEKİLER ŞEKİL LİSTESİ.BÖLÜM GENEL BİLGİLER VE TEOREMLER [BAŞLANGIÇ BİLGİLERİ - HATIRLATMALAR].. Giriş /.. Tım /.3. Sııfldırılm /.4. Bir Difersiyel Deklemi Oluşumu /.5. Lipschiz Koşulu / 3.6. Çözüm Kvrmı / 3.7. Vrlık ve Teklik Teoremleri / 4. BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ.. Giriş / 5.. Tım / 5.3. Çözüm Kvrmı Ve Çeşileri / 7.4. Merebe / 8.5. Türeerek Yok Eme Yöemi / 8.6. Koik Sisem /.7. Norml Sisem /.8. Teorem /.9. Wroskie ve Çözümleri Lieer Bğımlılığı / 9.. Teklik Teoremi /.. Asl İegrller /.. Merebe Düşürmeye Dir Teorem / 8.3. Sbi Ksyılı Homoje Deklem Sisemleri / Krkerisik Deklemi Bsi Kökleri Bulumsı Hli / Krkerisik Deklemi Çkışık Kökleri Bulumsı Hli / Krkerisik Deklemi Krmşık Kökleri Bulumsı Hli / Alışırm Problemleri ve Yılrı / BÖLÜM SİSTEMLERİN İNCELENMESİNDE MATRİSLERİN KULLANILMASI 3.. Giriş / Bzı Tımlr / Sbi Ksyılı Lieer Difersiyel Deklem Sisemleri / Sbi Ksyılı Lieer Homoje Difersiyel Deklem Sisemleri / Sbi Ksyılı Lieer Homoje Olmy Difersiyel Deklem Sisemleri / Homoje Olmy Lieer Sisem içi Yöemler / Sbileri Değişimi Yöemi / Köşegeleşirme Yöemi / Alışırm Problemleri ve Yılrı / 57

8 4. BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN VE SİSTEMLERİN İNCELENMESİNDE LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜN KULLANILMASI 4.. Giriş / Döüşüm Hkkıd Bzı Tım Ve Teoremler / Lplce Döüşümü içi Vrlık Teoremi / Bzı Temel Foksiyolrı Lplce Döüşümleri / Bzı Özel Foksiyolrı Lplce Döüşümleri / Bsmk Foksiyou / Rmp Foksiyou / Drbe Foksiyou / Lplce Döüşümüü Temel Özellikleri / Lieerlik Özelliği / Birici Kydırm Özelliği / İkici Kydırm Özelliği / Skl Değişirme Özelliği / Türeilmiş Foksiyolrı Lplce Döüşümleri / f() i Lplce Döüşümüü Bulumsı / Periyodik Foksiyolrı Lplce Döüşümü / Bşlgıç ve So Değer Teoremleri / Bşlgıç Değer Teoremi / So Değer Toremi / Ters Lplce Döüşümü / Tım / Lerch Teoremi / Ters Lplce Döüşümüü Bzı Özellikleri / Lieerlik Özelliği / Birici Kydırm Özelliği / İkici Kydırm Özelliği / Skl Değişirme Özelliği / Türeilmiş Foksiyolrı Ters Lplce Döüşümü / Kovolüsyo Teoremi / Lplce Döüşümüü Difersiyel Deklemleri Çözümüde Kullılmsı / Lplce Döüşümüü Difersiyel Lieer Deklem Sisemlerii Çözümüde Kullılmsı / Alışırm Problemleri ve Yılrı / BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN İNCELENMESİNDE KUVVET SERİLERİNİN KULLANILMASI 5.. Giriş / Kuvve Serileri / Tylor Açılımı Yöemi / Adi Nok Tekil Nok. Frobeius Yöemi / Adi Nok / Düzgü Tekil Nok / Alışırm Problemleri ve Yılrı /

9 6. BÖLÜM LEGENDRE VE BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ 6.. Giriş / 6.. Legedre Difersiyel Deklemi / 6.3. Bessel Difersiyel Deklemi / 4 7. BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN İNCELENMESİNDE SAYISAL HESABIN KULLANILMASI 7.. Giriş / Bşlgıç Değer Problemi / Teorem (Vrlık Teoremi) / 7.4. Teorem (Teklik Teoremi) / 7.5. Sıır Değer Problemi / 7.6. Seri Yöemleri / Tylor Serisi Yöemi / Picrd İersyo Yöemi / 7.7. Tek Adım Yöemleri / Euler Yöemi / Düzelilmiş Euler ve Hue Yöemi / Ruge-Ku Yöemi / Çok Adım Yöemi / Adms Yöemi / Adms Bshforh Moulo Yöemi / Mile Yöemi / Birici Merebede Adi Difrsiyel Deklem Sisemi / BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİNİN İNCELENMESİNDE OPERATÖRLERİN KULLANILMASI 8.. Giriş / Homoje Deklem Sisemii Operörler ile Çözümü / F(D) = Deklemii Bsi Kökleri Bulumsı Hli / F(D) = Deklemii Çkışık Köklerii Bulumsı Hlı / F(D) = Deklemii Krmşık Köklerii Bulumsı Hli / Sbi Ksyılı Lieer Difersiyel Deklem Sisemii Operörler ile Çözümü / Bsi Hli İcelemesi / Geel Hli İcelemesi / Alışırm Problemleri ve Yılrı / BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN GRAFİK YÖNTEM VE ALETLER 9.. Grfik Yöem / Aleler / Doğrulu Alı / y = f (x) Foksiyouu Grfikle İegrsyou / 77

10 9.5. Birici Merebede Difersiyel Deklemleri Çözümü / Yrım Adımlr Yöemi / İzokli Yöemiyle Iegrsyo / Nomogrmlrı Kullılmsı / 85. BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN VE SİSTEMLERİN ÇEŞİTLİ ALANLARDAKİ UYGULAMALARI.. Giriş / 9.. Mekikeki Uygulmlr / 9.. Newo u Hreke Yslrı / 9... c g s sisemi vey Simere, Grm, Siye Sisemi / f p s Sisemi vey Foo, Pou, Siye Sisemi / 9.3. Elekrik Devrelerie Dir Uygulmlr / Kimy ve Kimysl Krışımlr İle İlgili Uygulmlr / Çeşili Arm ve Azlm Problemleriyle İlgili Uygulmlr / Nüfus Arış Problemleri /.7. Geomeri Kpsy Fizik Problemleri /.8. Krm Örekler / 3 BU CİLDİN HAZIRLANMASINDA YARARLANILAN ESERLER ADLAR DEYİMLER SÖZCÜKLER DİZİNİ

11 ŞEKİL LİSTESİ Şekil.. Elekrik devresi Şekil 4.. Sıçrm süreksizliği Şekil 9.. zokli Eğrisi Şekil 9.. y f ( x) foksiyouu grfikle iegre edilebilmesi- Şekil 9.3. y f ( x) foksiyouu grfikle iegre edilebilmesi- Şekil 9.4. y 3 x 4 x foksiyouu iegrl eğrisi Şekil y x x x foksiyouu iegrl eğrisi Şekil 9.6. Difersiyel deklemii iegrli ol y = f(x) eğrisi Şekil 9.7. y =- x Difersiyel deklemii iegrl eğrisi Şekil 9.8. Yrı dımlr yöemi Şekil 9.9. İzokli yöemi Şekil 9.. y + x y = Dif. deklemi içi İzokli yöemi Şekil 9.. Nomogrmlrı kullılmsı Şekil 9.. y = [x y ] / [x + y ] dif. deklemii çözümü Şekil.. Prşü problemi Şekil.. Krışırm problemi Şekil.3. Arm zlm problemi Şekil.4. Fizik problemi Şekil.5. Toricelli Kuu Şekil.6. Akışklr mekiği

12

13 . BÖLÜM GENEL BİLGİLER VE TEOREMLER [BAŞLANGIÇ BİLGİLERİ HATIRLATMALAR].. Giriş Bu bölümde difersiyel deklemler hkkıd bilimesi gereke emel ımlr ve eoremlerde söz edilecekir. Bulr.Cild i koulrı olmkl birlike, burd d kullılcğıd hırlmsıd mulk fyd vrdır. Bu edele bilgilerimizi zelemesi gerekmekedir. Sisemleri yı sır, yrıc birici y d ikici merebede deklemlerle ilgili ypılck çlışmlrd, işlemler sırsıd birçok yerde ilk cileki koulrl krşılşılcğı görülecekir. Bu demekir ki bu iki kip gerçeke bir büüdür; birbirii mmlyıcısıdır. Temel bilgiler deilice: ımd bşlyrk, ifde edilişi, vr oluşu, sııflr sıl yrıldığı, vrlık ve eklik eoremleri, çözüm kvrmı ve çeşileri ve özellikleri gibi l ypıy i bilgiler ögörülmekedir... Tım Bir y = f(x) foksiyouu, x serbes değişkei, y bğlı değişkei ve ou sıırlı syıd herhgi merebeye kdr ürevleri rsıd kurulmuş ol bir bğııy Difersiyel Deklem deir. Bu ım göre bir difersiyel deklemi geel ifdesi şu şekildedir: dy d y d y F x, y,,,..., dx dx dx Burdki ım, geel lmd üm difersiyel deklemleri kpsmış ols d uygulmd çok frklı durumlrl krşılşılır. Özellikle çözüme yöelik formlrı oluşururke, dh frklı ve özel düzeleri ımldığı ık olcğız. Bu bğlı olrk çözüm kvrmı d yrıc kou edilmeyi gerekirecekir. Yukrıdki ımd sözü edile deklemlere, ek bir serbes değişke ile kurulduklrı içi Adi Difersiyel Deklem y d sdece Difersiyel Deklem deir. Difersiyel deklem deilice, kediliğide, Adi Difersiyel Deklemler lşılckır. z = f(x,y) gibi iki serbes değişkei ol bir foksiyo söz kousu ise buu ürevleri z / x ; z / y şeklide ifde edileceğide, bulrl elde edilecek difersiyel deklemler de bu ür ürevleri içerecekir. Bulr Kısmî Türev deildiği içi, bulrl oluşck difersiyel

14 deklemlere de Kısmî Türevli Difersiyel Deklemler y d sdece Kısmî Difersiyel Deklemler deir. Aşğıd bu ür deklemler içi iki örek göserilmişir. z z z x y z z z x xy y Bu kouu difersiyel deklemler eorisi içide yrı bir yeri vrdır. Bu edele kibımızı koulrı rsıd yer lmyckır..3. Sııfldırılm Adi Difersiyel Deklemler (Difersiyel Deklemler), frklı şekillerde sııflr yrılrk iceleirler. Bulrd biri merebelerie göre bir diğeri de ksyılrıı sbi y d değişke oluşlrı göre ypılır. Bir difersiyel deklemdeki e yüksek ürev merebesi, yı zmd difersiyel deklemi merebesi olur. Bir difersiyel deklemde ürev merebesi bir ise, bulr Birici Merebede Difersiyel Deklemler olrk ılırlr. Eğer merebe iki y d dh büyük ise bu ür deklemler Yüksek Merebede Difersiyel Deklemler olrk dldırılcklrdır. Öreği, x dx +,y dy = birici merebede bir difersiyel deklem, y + 3y y = x ikici merebede bir difersiyel deklem olur. Deklemleri bir bşk sııfldırılmsı d ksyılrı sbi y d değişke oluşu göre ypılır. Bir difersiyel deklemi bzı koşullr bğlı çözümü söz kousu ise bu ür problemlere Sıır Değer Problemi y d Bşlgıç Değer Problemi deir..4. Bir Difersiyel Deklemi Oluşumu Difersiyel deklemleri çok yygı uygulm llrı vrdır. Doğrud memiği bir kousu olmkl birlike, uygulm llrıd ekolojide, ekoomiye; fizike, mühedisliği çeşili llrı kdr pek çok yerde oul krşılşmk olklıdır. Bu koud, çok yrıılı bilgiler içere bir so bölüm ypık. Ord bu deklemleri sıl kurulduğuu ve çözümleriyle sıl yorumldığıı görmek olklıdır. Biz şimdilik burd sdece ilk bilgileri vermekle yeieceğiz. Bu koud çok dh yrıılı bilgilere ulşmk içi.cildi 3. syfsıd, l bölüm.3. deki örekleri icelemek fydlı olckır. İlk ve e bsi difersiyel deklem y = y dir. y = y(x) dir. Bu bğıı ile ürevi kedisie eşi bir foksiyo vr mıdır? sorusu yı rmkdır. Buu çözümü soucud e x foksiyou ulşılır. Burd e, memik lizi emel syısı olup değeri e = şeklide uzyıp gide ve soucu odlığı hle bilimeye bir şkı (rsd) syı dır. Bir y = f(x) foksiyou üreilirse y = f (x) olur. f (x), x i yei bir foksiyou olup buu g(x) ile göserelim: y = g(x) olur. İşe bu bir difersiyel deklemdir. Bir örek olrk göserelim: y = f(x) = x 7x y = g(x) = 4x - 7 dy = (4x 7) dx y = g(x) yeide üreilirse y = g (x) = h(x) olur. Bu ise ikici merebede bir difersiyel deklem demekir.

15 3 Bir difersiyel deklemi derecesi, deklemdeki e yüksek merebede ürevi derecesidir..5. Lipschiz Koşulu Bir düzgü bölgede, psisleri x, ordilrı y ve y ol iki keyfi ok seçilmiş olsu. Ayı D bölgeside sürekli bir f(x,y) = foksiyouu vr olduğuu kbul edelim. Keyfi seçile her ok çifi içi f(x,y) f(x,y) < l y y ilişkisi gerçekleşecek şekilde bir l poziif syısı bulubiliyors, f(x,y) foksiyou, D bölgeside y ye göre Lipschiz Koşulu u sğlmış olur. < Ө < olmk üzere, Orlm Değer Teoremi f(+h, b+k) - f(,b) = h.fx(+ Өh, b+өk) + k.fy(+өh, b+өk) (.) şeklide ifde edilir. Burd (.) ifdesii elde emek içi uygu ol seçim : = x ; b = y ; h = ; k = y y dir. Bu kbullere göre f(x,y) f(x,y) = (y y) fy(x, y + Ө (y-y)) (.) olur. Buu sol yı (.) ile yıdır. Demek ki Lipschiz Koşulu, Orlm Değer Teoremi i bir soucudur. Bu iki bğıı krşılşırıldığıd f(x,y) foksiyouu kısmi ürevleri de sürekli olduğud şğıdki ifde yzılbilir. fy(x, y + Ө (y y)) < l olcğıd l sbii fy i üs sıırı olrk belirleir. Bu ise f / y l demekir. Bu göre : y f(x,y) f(x,y) = [( f / y) dy f / y dy l y y y olur. y y.6. Çözüm Kvrmı Bir difersiyel deklemi çözümü deilice, ou özdeş olrk sğlyck foksiyou bulumsı lşılckır. Bir difersiyel deklemi çözümüü bulmk içi, deklemi ürüe uygu çözüm yöemleri uygulır. Bulr çok frklı olbilmekedir. Çözümü de çeşileri vrdır. Aksi söylemedikçe çözüm, Geel Çözüm olrk lşılckır. Özel Çözüm bşlgıç koşullrı bğlı çözüm olup, bşlgıç koşullrı deklemle birlike verilmiş olmlıdır. Ayrıc Tekil (Sigüler) Çözüm ve Ylız (İzole) Çözüm de diğer çözüm çeşileridir. Geel çözüme Geel İegrl de deilmekedir. Geel çözümü emel özelliği, çözüm ol foksiyod deklemi merebesie eşi syıd keyfî sbii bulumsı zorululuğudur. E bsi lıml f(x,y,y ) = difersiyel deklemii geel çözümü, F(x,y,C) = şeklide, bir keyfi sbi içere bir foksiyo olckır. F(x,y,C) = çözümü, difersiyel deklemi özdeş olrk sğlyckır. Bu kouu diğer yrıılrı hkkıd bilgi edimek içi. Cil e.syfd iibre ypıl çıklmlr gözde geçirilmelidir. Ayrıc,.merebede bir difersiyel deklemi geel çözümüde e keyfi sbi buluur! eoremii, dı geçe kibı 34.syfsıd bulmız olklıdır.

16 4.7. Vrlık Ve Teklik Teoremleri Bir difersiyel deklemi çözümüü vrlığı ve ekliği, difersiyel deklemler eorisii e öemli koulrıd ikisidir. Bu koud ypılmış çeşili isplr bulumkdır. Biz kibımız Picrd Lidelöf rfıd ypılmış eoremi koyduk [Bkz : Cil, syf 9]. Burd bu eoremi yrıılrı girmeyeceğiz. Sdece eoremi ifdesii vermekle yeieceğiz : f(x,y) foksiyou, düzgü kplı bir D bölgeside sürekli ve ımlı bir foksiyo ise,y = f(x,y) difersiyel deklemii y = y(x) koşuluu sğly bir ve ylız bir çözümü vrdır ve bu çözüm ekir.

17 . BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ.. Giriş Bu bölümde Difersiyel Deklem Sisemleri kou edilecekir. Sisem kvrmı birde çok bğııyı bir rd göz öüe lmyı gerekirir. Bu d kedie özgü bir iceleme lı yrır. Ayrıc çeşili özellikler dikke lırk, geel bir ımd dh özel ypıdki sisemlere doğru lizler ypılbilmekedir. Bu göre çözüm çlışmlrı d çeşilemiş olmkdır. Kou ile ilgili llrd bu ür deklemlere çokç rslbilmekedir. Bulrl ilgili örekler verilecekir...tım Tek bir serbes değişkei birde çok foksiyouu birlike ele llım. Bu değişke ve bu bğlı değişke ve ou belirli bir merebeye kdr ürevleri rsıd kurulmuş bu bğıılr e olsu. Bu bğıılr opluluğuu Adi Difersiyel Deklem Sisemi deir. Ack difersiyel deklemlerde olduğu gibi, prike bu Difersiyel Deklem Sisemi olrk ılır. Deklem sisemideki bğıılr birlike ele lıcğı içi bu ür sisemlere Simule Difersiyel Deklem Sisemi de deilmekedir. Souç olrk, Difersiyel Deklem Sisemi deilice bu kvrmlr bir büü hlide böyle lşılckır. serbes değişkeii e frklı foksiyou x = x(), x = x(),, x = x() dir. Serbes değişke, bu foksiyolr ve bulrı belirli bir merebeye kdr ürevlerii içere e bğıı şğıdki gibi olsu : f (,x,x,x,, x,x,x, )= f (,x,x,x,,x,x,x, )= (.) f (,x,x,x,,x,x,x, )= Bu sisemde foksiyolr ve büü ürevleri.derecede olduğu içi yrıc bu ür sisemlere Lieer Difersiyel Deklem Sisemi y d sdece Lieer Sisem deir.

18 6 Burd dikk edilmesi gereke diğer husus, bilimeye ve deklem syısıı ( e) eşi olmsıdır. Bulrı frklı olmsı hlleride oluşck sisemler, bu çlışmd kou edilmeyecekir. Ayrıc bu ür simule sisemleri bzı ypısl özelliklerie göre ory çıkck yrıclıklı durumlrı, öreği lieer olup olmdığı, homoje olup olmdığı, sbi y d değişke ksyılı olup olmdığı bkılrk, kedi içide bir sııfldırm ypılmkdır. Bu sııfldırm çözüm yöemleri çeşilemesie ve özel bzı yöemleri oluşmsı ede olmkdır. Bulrı kou ilerledikçe göreceğiz. Ayrıc, memik lizi diğer ve frklı koulrıd yrrlrk ilgiç çözüm yöemleri gelişirilecekir. Öreği bu ür sisemleri çözümüde Mris Alizii kullmk y d Lplce Döüşümleride yrrlmk, sırım çlışmmız ilgiç bir boyu kckır. Bir memikçi olrk, bu gibi koulrı gelişirirke, hyli bilgi birikimie gereksiim olduğu lşılmkdır. Memikçi içi bu gibi çlışmlr bir mç ike, uygulyıcılr içi bu bilgileri kullmk, bir rç olmkdır. Örek. Ayı mmulü sışıı yp A ve B firmlrı, oplm sışlrı x ve y orlrıd pylşmkdırlr. Yi A ı piysdki hissesii orı x ike B iki y olmk üzere, x y dir. Her iki firm d piysdki hissesii reklm yoluyl rırmy çlışmkdır. A ve B i yıllık reklm hrcmlrı sırsıyl s ve s lirdır. A firmsıı piys hisse-sii değişme hızıı ( dx d ) izfi reklm hrcmsı ile B i piys hissesii çrpımıd B i izfi reklm hrcmsı ile kedi piys hissesi çrpımıı frkı ile orılı değişiği kbul edilmekedir. Bu çıklmlr ve kbule göre, k ve k sbi ksyılr olmk üzere, A ve B firmlrı içi şğıdki ilişkiler oluşurulbilecekir: dx k s k s y d s s s s dy k s k s x d s s s s x y Bu bğıılr, görüle ork göserimler yrdımıyl, şğıd görüle bir difersiyel deklem sisemi şeklide ifde edilmiş olckır. dx y x k s k s d, s s k s dy x y d Büle KOBU, İşleme Memiği, Cil, İÜ Yyılrı No.699, 3.Bskı, 98, s.64

19 7 Örek. Şekil.. de görüle elekrik devreside A hrı uzu süre çık bırkıldık sor = ıd kpılmkdır. Edükslrd herhgi bir eerjii depo edilmediğii, yi i()= ve i()= kbul ederek, hr kpıldık sor edükslrd geçecek ol i() ve i() kımlrıı, zmı foksiyou olrk değişim ifdelerii buluuz. Şekil.. Elekrik devresi Kirchhoff kuu sırsı ile ABCD ve ABEF gözlerie uygulırs: di i i 3i.5 d olup, yeide düzeleyelim: di i i i d di d di i 3i d.5 5i i olur. Burd verilmiş ol iki örek, değişik uygulm llrıd sıl kullıldığıı gösermek içidi. Burd sdece deklemleri kuruluşu ile ilgili bir çlışm ypılmış olup, bulrı sıl çözüleceğie dir uygulmlr so bölümde yer lckır..3. Çözüm Kvrmı ve Çeşileri (.) sisemii sğly e foksiyo x =, x =,,x = olsu. Bu foksiyolr, (.) sisemideki her bğııyı özdeş olrk sğlyckır. Bulr opluc, sisemi bir çözüm kımı olurlr. Çözüm ol bu foksiyolr yrıc lieer bğımsız olmlıdırlr. Rşi MOCAN, Difersiyel Deklemler ve Difersiyel Deklem Sisemleri, Yıldız Üiversiesi Yyıı No ,s.36

20 8 Difersiyel deklemleri çözümüde, keyfi sbileri bulumsı kurlı sisemler içi de geçerlidir. Keyfi sbileri içere bir çözüm Geel Çözüm olrk dldırılır. Eğer sisemle birlike yeerice bşlgıç koşulu verilmiş ise bulr yrdımıyl keyfi sbiler belirleir. Bu şekilde oluşck çözüme ise Özel Çözüm deir. Difersiyel deklem sisemii bir çözümü de, Tekil (Sigüler) Çözüm dür. Geel çözümde elde edilemeye ve keyfi sbi buludurmy çözüm kımı, ekil çözüm olrk dldırılır..4. Merebe Bir difersiyel deklem sisemideki her bilimeye foksiyou e yüksek ürev merebelerii oplmı, sisemi merebesi olur. Öreği, dx d y x y d d d x dy x y d d difersiyel deklem sisemide x() foksiyouu merebesi (ikici deklemde) ve y() foksiyouu meresi de (birici deklemde) olduğud sisemi merebesi + = 4 olur. Geel olrk, (.) sisemii meyd geire x(), x(),, x() bilimeye foksiyolrıı, sisem içide hgi bğııd olurs olsu, e yüksek merebeleri sırsıyl m, m,, m ise (.) sisemii mere-besi m + m + + m oplmı olckır..5. Türeerek Yok Eme Yöemi Bu yöemi ess mcı, sisemdeki bğıılrı üremek sureiyle bğıı syısıı rırrk, bulr rsıd uygu seçilmiş deklemlerle ypılck işlemler yrdımıyl bilimeye foksiyolrd birii yok emekir. Bu şekilde ek bir bilimeye foksiyo bğlı bir bğıı elde edilir ki rık bu bir difersiyel deklemdir. Bu deklem çözülürse (çözülebilirse) bu yoll bilimeyelerde biri belirlemiş olur. Diğer bilimeyei belirlemesi içi iki seçeek vrdır: ) İlk uygulmd olduğu gibi hreke emek; ) Bulu ilk soucu uygu olduğu düşüüle deklemde yerie koulrk, o bğııyı yei değişkee göre düzelemek Ack bu uygulmlrd, keyfi sbilerle ilgili bzı özel işlemlere gereksime vrdır. Frklı uygulmlr görülür. Burd lılmk iseile çözüm kvrmıı şğıd verile sisem ile çıklylım:

21 9 dx dy F, x, y,, d d dx dy G, x, y,, d d difersiyel deklem sisemide iki bğıı bulumkdır. Bulrı üreelim: F F dx F dy F d x F d y x d y d x d y d G G dx G dy G d x G d y x d y d x d y d..3 olur. (.) ve (.3) deklemleride herhgi işlemlerle y, y ', y '' çözülerek uygu görüle bir bğııd yerlerie kours, bu bğıı düzelediğide H (, x, x ', x '') (.4) elde edilir. Bu bğıı x bilimeyeie göre düzelemiş.merebede bir difersiyel deklemdir. Çözümü iki keyfi sbi içerecekir. Çözüm: x f (, C, C ) olur. Bud sor y bilimeyei belirleme içi, yukrıd çıkl yollrd biri seçilir. Ack seçile yold işlemler çısıd zorlukl krşılılırs, diğer yol kullılmlıdır. x belirlediğie göre y içi işlemlere yeide bşlmlıdır. (.) ve (.3) deklemleride bu kere x, x ', x '' bulurk, uygu bir bğııd yerlerie yzılırs G(, y, y ', y '') difersiyel deklemi elde edilir. Bu deklem çözülür. Çözümüde iki keyfi sbi buluckır. Öyle çözüm y F(, C, C ) 3 4 olur. Bulr sisemi çözüm kımı olckır. Ack sisemi merebesi olduğu içi çözüm kımıd ck iki keyfi sbi bulumlıdır. Şimdi ypılmsı gereke keyfi sbiler rsıdki ilişkileri düzee sokmkır. Bu dör keyfi sbi birbirleride lieer bğımsız olmzlr. Bu mçl bulu x ve y çözümleri seçile bir bğııd yerlerie kork, gerekli düzelemeler ypılırs C3 = u (C, C) ; C4 = v (C, C) buluur. Böylece y çözümü y = F[, u(c, C), v(c, C)] olup, C ve C keyfi sbilerii içerecek şekilde bulumuş olur. Souç sisemi geel çözümü: x = f (, C, C) y = F[, u(c,c), v(c,c)]

22 olur. İleride bu ür sisemleri çözümüe dir örekler verilecekir.6. Koik Sisem Aşğıdki özelliklere ship bir siseme Koik Sisem deir. ) Bilimeye foksiyo syısı ile deklem syısı eşi olck, ) Sisemdeki her deklem, bilimeye foksiyolrd birii e yüksek ürev merebesie göre çözülmüş olck. Bu özellike bir sisem öreği x F (, x, x, x, x, x, x ) 3 3 x F (, x, x, x, x, x, x ) 3 3 x F (, x, x, x, x, x, x ) görüüşüdedir. Bu sisem öe sürüle iki koşul d uymkdır. Aşğıdki örek kouy çıklık geirmekedir: x x y y y x y Dimike bir okı hreke deklemleri bir difersiyel deklem sisemi oluşurur. Bu deklem sisemi şudur: d x dx dy dz,,,,,, m F x y z d d d d d y dx dy dz,,,,,, m F x y z d d d d d z dx dy dz 3,,,,,, m F x y z d d d d Bu sisem, koik sisemi büü özelliklerie shipir..7. Norml Sisem Aşğıd belirilmiş özelliklere ship bir siseme Norml Sisem deir. ) Bilimeye foksiyo syısı ile deklem syısı eşi olck, ) Sisemde her bilimeye foksiyouu ck ve ck birici mere- bede ürevleri bulubilecek, 3) Sisemi her bir deklemi, bilimeye foksiyolrd birii, birici merebede ürevie göre çözülmüş olck Aşğıdki örek bu koşullr uy bir sisemi emsil emekedir:

23 dx F, x, y, z d dy F, x, y, z d dz F3, x, y, z d Norml sisem, koik sisemi özel bir durumuu emsil emekedir. Dikk edilirse, sisemdeki deklemlerde her biri bilimeye foksiyolrd birie göre çözülerek verildiğide, ikici ylrd ürevli erim bulummkdır. Aşğıdki deklem sisemi, görüü olrk böyle bir sisemi emsil emekedir. dx x y e d dy x y e d difersiyel deklem sisemi, Norml Siseme i bir örekir..8. Teorem Her koik sisem, bir orml siseme döüşürülebilir. Dh öce ım içi kulldığımız difersiyel deklem sisemii yei-de ele llım. Bu sisemde büü ürevleri birici merebeye idirgeyecek şekilde yei bilimeye foksiyolr kullrk sisemi yeide düzeleyelim. Şulrı vrsylım: x = x4 ; x3 = x5 ; x = x4 = x6 ; x3 = x5 ; x = x6. x F (, x, x, x, x, x, x ) 3 3 x F (, x, x, x, x, x, x ) 3 3 x F (, x, x, x, x, x, x ) Bu sisem yukrıd ögörüle vrsyım yrdımıyl yeide düzeleirse, x F (, x, x, x, x, x, x ) x F (, x, x, x, x, x, x ) x F (, x, x, x, x, x, x ) x x 4 x x 3 5 x x 4 6

24 olur. Bu sisem bir orml sisemi büü özelliklerii gösermekedir. Burd yei bilimeyeler kılmış olmsı edeiyle deklem syısı rmışır. Ack her iki sisemi merebeleri eşiir. İlk sisemde merebe = 6 dır. Yei sisemde ise hepsi birici merebede ol lı deklem vrdır ki bu sisemi merebe syısı d 6 dır. Demek ki bir koik sisem, bir orml siseme, merebeleri eşi olck şekilde döüşürülmekedir. Bu yrgıy göre, bir koik sisem bir orml siseme döüşürülmek isediğide, merebe syısı bkrk, öcede kç yei değişke kılcğı kesirilmiş olur. Bu eoremi bir soucu olrk so elde edile difersiyel deklem sisemii çözümüde kolyc görülebileceği gibi, sisemi geel çözümüde buluck keyfi sbileri syısı, sisemi merebesie eşi olckır. Dolyısıyl geel çözümde merebe syısı eşi keyfi sbi buluckır. Bu keyfi sbiler birbiride bğımsızdırlr. Öyleyse vrsyıl geel çözüm x f (, c, c, c, c, c, c ) x f (, c, c, c, c, c, c ) x f (, c, c, c, c, c, c ) x f (, c, c, c, c, c, c ) x f (, c, c, c, c, c, c ) x f (, c, c, c, c, c, c ) şeklide (ypısıd) olckır. Bu çözüm kımı her iki sisemime de iir. Örek. dx y d, dy x d sisemi bir orml sisem olup, çözüm içi üreme-yok eme yöemii uygulylım. Her iki bğıı üreilirse : dx d x y dy d x = x x = d d d d şeklide sbi ksyılı bir difersiyel deklem elde edilir. Bu çözülürse geel çözüm x = c + c e olur. Bu sisemde seçile bğıılrd birie göürülürse dx d y = = c e c e = c + e ce d d e elde edilir. Bu şekilde sisemi çözüm kımı bulumuş olur ki bu çözüm şğıddır: x c e c e y c e c e Bu sisemi bir özelliği dh vr. Buu rışlım. Kolyc görülüyor ki sisem x = ve y = içi de sğlmkdır. Öyleyse {x = ; y = } d bu sisemi bir çözümüdür. Ack bu souç geel çözümde elde edilemez. Ayrıc hiçbir keyfi sbi içermemekedir. Çözüm kımıd ck c = ve c = olmsı hlide yukrıdki souç elde edilebilir ki bu d

25 3 keyfi sbileri lieer bğımlı olmsı demekir. Oys dh öcede gördüğümüz gibi bulr lieer bğımlı olmzlr. x = ; y = çözümü geel çözümde elde edilemez. Bu ür çözümlere Aşikâr Çözüm y d Trivil Çözüm de deilmekedir. Örek. Difersiyel deklem sisemi bir orml sisem olup, çözümüü rşırlım : üreme yok eme yöemii uygulmk üzere her iki deklemi de üreelim : d x dx dy = 5 e 3 d d d d y dx dy = 3 e 4 d d d olur. () bğıısıı her erimii 5 ile çrpr () bğıısıı erimleri ile oplrsk, buluur. Bu souç (4) de yerie kours elde edilir. Bu ise ikici merebede sbi ksyılı, ikici ylı bir difersiyel deklem olup çözülürse, buluur. Şimdi de x() foksiyouu bulmk üzere () bğıısıı kull- lım. Buu içi () bğıısıı dx 5x y e d dy x 3 y e d dx dy 5 7 y 5e e d d dx dy 5 7 y 5e e d d d y dy dy 5 7 y 5e e 3 e d d y d d dy 8 7 y e 4e d 4 y e c si c cos e e 6 5 şeklide düzeleyelim ve y() çözümüü bury uygulylım : d dy x 3y e d d 4 4 x e c si c cos e e 3e c si c cos e e e d

26 olup, bu ifde üzeride gerekli hesplmlr ve düzelemeler ypılırs, buluckır. Böylece rşırm kousu ol orml sisemi çözümü 4 4 x e c c si c c cos e e 3 5 şeklide elde edilir. Bu bir geel çözümdür. Örek seçile sisemi merebesi dir. Dikk edilirse çözüm kımıdki keyfi sbileri syısı d dir. Örek. 4 x e c c si c c cos e e y e c si c cos e e 6 5 d y d z dy dx dx dx d y d z dy dx dx dx difersiyel deklem sisemii iceleyelim. Bu sisemi bzı özellikleri bulumkdır. Öreği () bğıısı () bğıısı uygulırs olur. Bu ifde üreilirse : y z e e x x x x e y z e y+z e e 3 dy dx dz dx x e e x olur. Buul () bğıısı gidilirse ; d y dx difersiyel deklemie vrılır ki bu değişkelerie yrılbile bir difersiyel deklemdir ve çözümü dir. Buu kullrk (3) bğıısıd z(x) de bulubilecekir x d z dx x e dy dy e e e e e dx dx x x x x x x x y x e e c Arık sisemi çözüm kımı şğıd görüldüğü şekilde ifde edilebilecekir: x x y x e e c x x z x e e c x e x x x x y z e e z y e e z e e c e e e e c x x x x x x x

27 5 Bu çözüm içide ilgiç bir souç vrdır. Çözümde sdece de keyfi sbi görülmekedir. Oys sisemi merebesi 4 olrk görülmekedir. Bu okd dikk edilmesi gereke şudur : () bğıısıı birici yı ile () bğıısıı birici yıdki ürev ifdeleri birbiride bğımsız değillerdir. Bu özelliğiyle sisem, yrıclıklı bir durum gösermekedir. Buu bir soucu olrk sisemi geel çözümüde, 4 değil sdece keyfi sbi bulumkdır. Gerçeke icelemiş ol sisem x x y z e e dy x e e dx sisemiyle eş lmlı olup, görüldüğü gibi bu sisemi merebesi dir. Örek olrk seçiğimiz bu difersiyel deklem sisemi, bir koik sisem olmdığı gibi, orml sisem hlie de geirilemez. Örek. x dy 4y z x dx dz y z dx orml sisemii iceleyelim. Sisemi merebesi dir. Türeme-yok eme yöemii kulllım. Bu mçl sisemdeki her iki bğııyı d üreelim: d y dy dz dx d z dy dz dx olup () de, y = z z olup (4) de yerie kour ve düzeleirse, 4 3 dx dx dx dx 4 z 4y z x y z 5y z x z 5 z z z x z 5z 6z x elde edilir. Bu sbi ksyılı, ikici rflı bir deklemdir. Deklem çözülürse: x 3x x 5 z c e c e 6 36 olrk z bilimeyei belirlemiş olur. y bilimeye foksiyouu bulmk içi, yeide yok eme yöemii uygulylım :

28 y 4y z x z y 4y x şeklide lıp () de yerie yzlım : 4 x z y y x y y 3y olur ki bu ilişkiyi (3) bğıısı uygulrsk, olup, bu d düzeleirse, 6 y 4y z y 4y y 6y x y 5y 6y x difersiyel deklemi elde edilir. Bu d ikici merebede, sbi ksyılı, ikici ylı bir difersiyel deklem olrk çözülürse x 3x x y c3 e c4 e 6 36 buluur. Böylece y bilimeye foksiyou d belirlemiş olur. Ack bu çözüm de iki frklı keyfi sbi içermekedir. Böylece x ve y çözümleri birlike göz öüe lııc c,c,c3,c4 gibi dör keyfi sbi buluduğu görülmekedir. Oys sisemi merebesi olduğu göre, sisemi çözüm kımıd ck keyfi sbi bulumlıdır. Demek ki yukrıd sırldığımız keyfi sbiler birbiride bğımsız olmzlr. Şimdi bize düşe iş, bulr rsıdki ilişkiyi belirlemekir. Bu mçl () bğıısıı kulllım. Yukrıdki çözümleri bury uygulylım: z y z x 3x x 3x x x 3x x 5 ce 3ce c3e c4e ce ce c e 3c e c c e c c e x 3x x 3x 3 4 Bezer erimleri ksyılrı eşileirse: c c c3 c3 c 3c c c c c buluur. Böylece keyfi sbiler rsıdki ilişkileri e olduğu ory çıkmış olur. Bu souçlr kullılrk rık sisemi çözüm kım yzılbilecekir. 4 4 x 3x x y c e c e 6 36 x 3x x 5 z c e c e 6 36

29 7 Örek. d y dy x z dx dx dz dy z dx dx difersiyel deklem sisemi bir koik sisemi büü özelliklerii gösermekedir. Buu orml siseme döüşürelim. Bu mçl yei bilimeye foksiyolr kmmız gerekiyor. Burd u = u(x) olmk üzere, dy/dx = u diyelim. y = u olur. Sisem bulr göre düzeleirse, olur ki bu bir orml sisemdir. Dikk edilirse sisemdeki her bğıı, bilimeye bir foksiyou birici ürevie göre düzelemişir. Kolyc görülüyor ki sisemi merebesi 3 ür. Buul ilgili eoremi bu vesileyle hırlmış ollım. (3),(4),(5) bğıılrıı üreelim: (4) bğıısıd du x u z 3 dx dz dx dy u z 4 u dx d u du dz dx d z du dz dx d y dx 5 6 dx dx 7 dx dx du dx dz dy z dz dx 8 yzılrk, dz/ dx, dy/dx, ve z yi u foksiyou ciside ifde edelim : du 3 de z x u dx 6 d dz d u du dx dx dx 5 de dy u dx olur. Bulr yukrıdki ilk bğıı içi düzeleirse:

30 8 d u du du x u u dx dx dx d u du 3u x dx dx olur ki bu çözülürse: 3x x x 5 u c e c e 3 9 buluur. Bu yrdımcı foksiyou kullrk ess bilimeye foksiyolrımız y ve z yi belirlemeye çlışlım. Uygu bğıılr seçelim. (5) de, dy u y udx dx ve devm ederek buluur. 3x x x 5 3x x x 5x 3 y c e c e dx c e c e c du z x u dx bğıısıı kullrk, 3x x 3x x x 5 z 3ce ce x ce ce x x 4 8 3x x 4 ce ce x ce ce x olur. Böylece orml sisemi çözümü 3x x x 5 u ce ce 3 9 3x x x 5x 3 y c e c e c x x x 4 z ce ce 3 9 olckır. u foksiyou yrdımıyl bilimeye foksiyolrımız belirleirse yi koik sisemi çözüm kımı yzılmk iseirse

31 3x x x 5x y ce ce c x x x 4 z ce ce 3 9 buluur. Dikk edilirse çözümde 3 e keyfi sbi bulumkdır. 9.9.Wroskie ve Çözümleri Lieer Bğımlılığı Bu koudki ımı örek seçilmiş bir model üzeride yplım ve rışlım. Buu içi, şğıd görüle üç değişkeli üç deklemli homoje difersiyel deklem sisemii göz öüe llım. Burd oluşurcğımız ilke ve özellikleri bilimeyeli, deklemli bir deklem sisemi içi de ifde edebiliriz. Seçiğimiz sisem şu olsu: dx x y 3 z d dy x y 3 z d dz 3 x 3 y 33 z d (.5) Bu sisemi x() =, y() =, z() = ol bir çözümü vrdır ki bu şikâr y d rivil çözümdür. Asıl mcımız bud bşk çözümlerii buluup bulumdığıı rşırmkır. Vrsylım ki sisemi çözüm kımı şğıdki gibi buludu:, y, z, y, z.6, y, z x x x Bulrl oluşurul deermi Wroskie deir ve W ile göserilir. Buul lılmk iseile şğıd göserilmişir: y z y z x W W x, y, z x y z.7 x Wroskie, yukrıd örek olrk seçiğimiz çözüm kımıı lieer bğımlı olup olmdığıı es emek içi kullılır. Buu içi şğıdki eorem dikke lımlıdır. Teorem. Seçiğimiz homoje sisemi çözüm kımıı yukrıd sembolik olrk ifde emişik. Bu çözüm kımıd yer l çözümler yrı yrı b rlığıd sürekli foksiyolr olsulr. Bu çözümlere i Wroskie = içi sıfır eşi ise W dır ve çözümler lieer bğımlıdır demekir. Şimdi c, c, c3 keyfi sbilerii göz öüe llım; ck hepsi birde sıfır olmsı. Bulrı içide olduğu şğıdki sisemi iceleyelim:

32 c x + c x +c x 3 3 c y +c y +c y c z +c z +c z 3 3 Buu cebirsel lmd düzelemiş bir sisem olrk görebiliriz. içi, x x x 3 W y y y 3 z z z 3 olmsı gerekiğii yzcğız. Bu, sisemi ksyılr deermiıdır. Sisemi şikâr çözümde bşk çözümleri olmsıı gerek şrıdır. c, c, c3 ü bu deermi yrdımıyl belirlemesi hlide, + c +c3 3 +c y +c3 y 3 z +c +c z x c x x x y c y z c z 3 3 foksiyolrıı oluşurursk, bş göz öüe lı homoje sisemii, b rlığıdki bir değeri içi sıfır eşi ol çözümleri buluur. Bu çözümler, hepsi birde yı zmd sıfır olmy c keyfi sbileri içi gerçekleşiyors, e olurs olsu, bu ck ve ck W olmsı ile olklıdır. Bu koşul vrs,, y, z, y, z, y, z x x x çözüm kımlrıı lieer bğımlı olmsıı gerekir. Bu lieer bğımlılık bir öceki sisemde görülmekedir. c x + c x +c x 3 3 c y +c y +c y c z +c z +c z 3 3 Burdki bğıılr, hepsi birde sıfır olmy c, c, c3 keyfi sbileri içi gerçekleşeceğide, her değeri içi bu görülmekedir. Bulr rsıd c, c, c3 yok edilirse W olur. Bu ür sisemleri bir çözümü dim vrdır. Bu çözümü geel çözümü ımlybilmesi içi, bilimeye foksiyo syısı eşi syıd çözümü lieer bğımsız olmsı gerekir.

33 . Teklik Teoremi dx x y 3 z d dy x y 3 z d dz 3 x 3 y 33 z d. sisemii çözümüü + c +c3 3 +c y +c3 y 3 z +c +c z x c x x x y c y z c z 3 3 şeklide göz öüe lmışık. Bu Geel Çözüm deir. Bu çözüm ekir. Bu eoremi mcı bu iddiyı kılmkır. b rlığıd, = içi x =, y =, z = olsu. Bu koşullrı birlike sğly bir ve ylız bir çözüm vrdır ki o d: x (), y (), z () dir. Bu çözüm (,b) kplı rlığıd geçerlidir. Bezer şekilde düşüerek, bu kez x =, y =, z = lıırs bu krşı gele çözüm x (), y (), z () ve bezer şekilde x =, y =, z = lıırs bu kez çözüm x 3(), y 3(), z 3() olur. Bulr ek ürlü belirleebilirler ve lieer bğımsızdırlr. Gerçeke de, y z x y z W x y z W x olduğu görülür. Bu souç, lieer bğımsız e z bir çözüm kımıı vr olduğuu ve buu ek ürlü belireceğii ifde eder., y, z, y, z, y, z x x x çözüm kımıı lieer bğımlı olmsı gerekir. Bu lieer bğımlılık bir öceki düzelemedeki foksiyolr ile belirlemekedir. Burd hepsi birde sıfır olmy c,c,c3 sbileri içi gerçekleşmekedir. Her değeri içi buu vrlığı görülmekedir. Bulr rsıd c, c, c3 yok edilirse, W olur. Sisemi emel çözüm kımı (esslı çözüm kımı) her zm mevcuur. Bulrı geel çözüme i olbilmesi içi, bilimeye foksiyo syısı eşi syıd çözümü lieer bğımsız olmsı gerekir ki bu d W olmsıı gerekirir.

34 .. Asl İegrller dy f( x, y,..., y) dx dy f( x, y,..., y ) dx dy dx f ( x, y,..., y ) şeklideki bir orml sisemi çözümüü rşırılmsıd kullıl yöemlerde biri de Asl İegrller de yrrlmkır.. merebede bu orml sisemi geel çözümü y F ( x, c,..., c ) y F ( x, c,..., c )... (.)... y F ( x, c,..., c ) olsu. Bu çözüm kımıd c, c,..., c gibi e keyfi sbi bulumkdır. Eğer bu çözüm kımı c, c,..., c sbilerie göre çözülürse, c G ( x, y,..., y )... (.3) c G ( x, y,..., y ) şeklideki bğıılr elde edilir. Bu şekilde bulu G ( x, y,..., y ) ; G ( x, y,..., y ) ;...; G ( x, y,..., y ) ; ifdeleride her birie (.) sisemii bir Asl İegrli deir. (.) ile (.3) bğıılrı yzılış bkımıd frklı olmkl birlike gerçeke yı bğıılrdır. Öyleyse (.3) bğıılrı d (.) sisemii çözü-müdür. Bulr lieer bğımlı olmzlr. Ack bulrd herhgi bir syıd lımk sureiyle meyd geirilecek bir foksiyo d yie bir Asl İegrldir. Öreği c, c, c 3 sl iegrllerii bir lieer kombiezoudur.,, sbiler olmk üzere, (,, ) ise c c c3 c c c3 c k c ( c, c, c ) G( x, y,..., y ) G ( x, y,..., y ) G ( x, y,..., y ) G ( x, y,..., y ) k 3 3 k gibi yie x, y, y,... y i yei bir foksiyouu verir. Bu ise

35 3 (.3) deki sl iegrllerle yı lmd bir foksiyodur. Bir orml sisemi, birbiride bğımsız sl iegrllerii syısı, bğlı foksiyo syısı eşiir. Böyle bir sisemi çözümüde, (.) de görüldüğü gibi e keyfi sbi vrdır. Bulr içi ifde edile (.3) deki sl iegrller de doğl olrk e olckır. Asl iegrlleri bulumsı bze koly bze güçür. Bulrı hesbı içi geel bir kurl yokur. Ack uygulmd e çok kullıl şekli şğıd çıklmışır. (.) sisemi, her bğıı dx içi çözülerek yeide düzeleirse, dx dy dy dy f ( x, y,..., y ) f ( x, y,..., y ) f ( x, y,..., y )... yzılbilir. Bu d yei bir düzelemeyle, dx dy dy... F ( x, y,..., y ) F ( x, y,..., y ) F ( x, y,..., y ) şeklide ifde edilebilir ki bu Yrdımcı Sisem vey Sisemi Simerik Şekli deir. Orı özellikleri de kullılrk, yrdımcı sisemde, F dx F dy ;...; F dx F dy ; F dy F dy ;...; F dy F dy ;...; F dy F dy gibi bğıılrı yzılmsı sureiyle elde edilecek bu difersiyel deklemleri hiçbiri çözüme elverişli değilse, şğıdki yöemi deemesi bze olumlu souçlr vermekedir. x, y, y,..., y ler içi kf kf kf... kf bğlısı sğlck şekilde k, k,..., k gibi ( ) de sbi y d foksiyo mevcu olsu. Bulr içi, ko dx + k dy + k dy + + k dy = df olck şekilde bir F( x, y, y,..., y ) foksiyou bulubiliyors, yrdımcı sisemde, orı özelliği kullılrk, kdx kdy kdy... kdy df k F k F k F... k F yzılbilir. Bu orı, kldırılbilir bir belirsizlik gösermesi hlide, yi ck df ise bir lmı olbilir. df olmsı hlide bu or ımlı olmz. Demek ki icelemeye değer durum df olmsı hlidir. Bu ise, df F( x, y, y,..., y ) c gibi bir bğıı verir ki, yrdımcı sisemle belirile sisemi sl iegrlidir. Örek. dx dy dz x sisemii sl iegrllerii bullım. Bu e bsi durumdur. Çükü burd y z orlr her değişke içi yrı yrı düzelemişir. E koly uygulm şudur:

36 4 dx dy dx dy l y l( x ) l c x dy x y y c ( x ); dx dz dx dz -l(z-) l( x ) l c x z x z c( x ) c( x ) z z c ( x ) Böylece y ve z foksiyolrı, serbes değişke seçile x içi çözümlemiş olmkdır. Ack sisemi çözümüü ifde içi souç y c ( x ) c( x ) z c( x ) yzılmlıdır. Örek. dx dy dz x y z z sisemii, sl iegrllerii belirleyerek çözelim. dx dy dx dy dy dz x y z z x y z olur. Burd şğıdki düzelemelere geçilebilir: dx dy d( x y) dz x y x y d( x y) dz l z l( x y) l C z C ( x y) x y dy dz dy zdz dy zdz y z C z Bu iki sl iegrl birlike ifde edilerek geel çözüm bulumuş olur: z C( x y) y z C Örek. dx dy dz x y ( x y z) veriliyor. Simerik şekliyle verile bu difersiyel deklem sisemii, sl iegrllerii bulrk çözelim. ;

37 Öcelikle, dx x dx dy x y dy y seçimi ypılırs: l( x ) l C l y y C ( x ) 5 buluur. Ack diğer sl iegrli bulmk bu kdr koly olmyckır. Bu kez şğıd çıkldığı gibi hreke edilir: k, k, k sbileri y d değişkeleri içi, kdx kdy kdz kdx kdy kdz df k ( x y) k y k ( x y z) k ( x ) k y k ( x y z) olmlıdır. Burd pydı sıfır olbilmesi koşuluu ko(x+) + ky k(x+y+z) = içi değerledirelim. Keyfi seçile k = k = k = içi: x + + y x y z = z olup, bu değerler içi dx dy dz d( x y z) dz z z ( x y z) ( x y z) d( x y z) ( z ) dz ( x y z) C ( z ) ( ) ( ) z x y z C ( z x y)( x y ) C İlişkisie ulşılır. Burd: buluur. Bu d sisemi ikici sl iegrli olur. Böylece sisemi çözümü y C ( x ) ( z x y)( x y ) C şeklide ifde edilmiş olur. Örek. dx dy dz 4y 3z 4x z y 3x deklem sisemii sl iegrllerii bulrk iegre edelim: k, k, k keyfi seçilmiş herhgi sbiler y d değişkeler olmk üzere: kdx kdy kdz df k (4 y 3 z) k (4x z) k ( y 3 x)

38 şeklide ifde edelim. Burd (4k 3 k) x (4k k) y (3k k) z buluur. Böylece 4k 3k 4 3 4k k 4 3k k 3 olup sisemdeki ilk iki bğıı lırk k k k ilişkisie vrılır. Bu sisemdeki üçücü bğııyı d sğlr. Uygulmd prik bir yklşıml k, k, k ile orılı syılr seçilir. Bu göre k, k 3, k 4 içi pyd sıfır olckır. Öyleyse py df x 3y 4zC şeklide çözümleerek.sl iegrl bulumuş olur. İkici sl iegrli bulmk üzere bu kez pydyı, ksyılrı ess lrk, yeide düzeleyelim : 4( k y k x) 3( k z k x) ( k z k y) buluur. Burd k y kx y x kz kx z x kz k y z y olup, ilk işleme bezer şekilde, ilk iki bğıı lıırs bulrd k k k x y z ilişkisie vrılır. E bsi uygulm şekli, orılı olrk seçile k lr içi k x, k y, k z olrk pyd sıfır olckır. Öyleyse df xdx ydy zdz x y z C F olup, bu ise x y z C şeklide düzeleerek.sl iegrl de bulumuş olur. Ack sisemi geel çözümü, bu iki sl iegrl bir ry geirilerek ifde edilir. Geel çözüm : x 3y 4z C x y z C olrk bulumuşur.

39 Örek. pdx qdy rdz ( q r) yz ( r p) xz ( p q) xy 7 deklem sisemii çözelim: Çözümü sl iegrlleri bulmk sureiyle gerçekleşirelim. Bu mçl k, k, k keyfi sbi y d değişkeleri öerilmiş olsu. k pdx kqdy kzdz df k ( q r) yz k ( r p) xz k ( p q) xy formud hrekele, pydı hgi keyfi k, k, k içi sıfır olbileceği koşullrıı rşırlım. İlk olrk pydyı p,q,r içi yeide düzeleyelim: p( k y k z) x q( k z k x) y r( k y k x) z olur. Burd k y kz z y kz kx z x kx k y y x olup, bu lieer-homoje sisemi ilk iki bğıısı lıırs burd k k k x y z ilişkisie ulşılır. Böylece göre rık df pxdx qydy rzdz px qy rz C F k x, k y, k z olrk seçmek e uygu olıdır. Bu seçime yzılrk, burd.sl iegrl px qy rz C olrk buluur..sl iegrli bulmk içi bu kez dh frklı bir düze oluşurlım. Bu kez x, y, z değişkeie göre ( k qy k px) z ( k px k rz) y ( k rz k qy) z yzılbilir. Burd kqy k px qy px k px krz rz px krz kqy rz qy olup ilk iki bğııd hrekele k k k px qy rz

40 8 ilişkisi buluur. Burd e bsi şekliyle k px, k qy, k rz seçilir. Bu göre ypılck düzelemeyle df p xdx q ydy r zdz F p x q y r z C p x q y r z C şeklide.sl iegrl de bulumuş olur. Böylece sisemi geel çözümü px qy rz C p x q y r z C şeklide ifde edilmiş olur... Merebe Düşürmeye Dir Teorem.. merebede bir orml sisemi bir sl iegrli belirleebilmiş ise, sisemi merebesi bir merebe düşürülebilecekir. Buu içi (.) sisemii göz öüe llım. Sisemi bir sl iegrli G( x, y, y,..., y ) C olur. Buu değişkelerde biri içi, öreği y içi çözelim : y H ( x, y, y3,..., y, C ) olur. Bu sisemdeki deklemlerde y yerie kork sisem yeide düzeleirse, sisemi merebesi (-) olckır. Çükü sisemdeki iki bğıı lieer bğıılı hle gelecekir. Öyleyse bulrd biri ılrk sisem yeide düzeleirse, sisemi (-). merebede olduğu görülür. Örek. dx dy dz sisemii bu eoremde yrrlrk çözelim. Öce sl iegrllerde birii x x z z bullım. Buu içi dx dz seçilerek, iegre edilirse x z C l x l x l C z x olur ki, bu sisemi.sl iegrlidir. Şimdi ikici bir bğıı olrk dx dy x x z seçilmiş olsu..sl iegrl burd yerleşirilerek dx dy C dy ( ) dx olur. İegre edilirse x C x x x

41 9 C C y x C buluur. z x x olduğud, böylece z y x C çözümüe ulşılır ki bu d sisemi.sl iegrlidir. Demek ki sisemi çözümü xz C z y z C şeklide bulumuş olckır..3 Sbi Ksyılı Homoje Deklem Sisemleri Homoje deklem sisemii ımı.9.l-bşlığı ile verile birimde ypılmışır. Ord model olrk öerile sisem yeide göz öüe lıckır : dx x b y cz d dy x b y cz d dz 3x b3 y c3z d (.4) Bu ür sisemleri x( ), y( ), z( ) d oluş bir çözüm kımı vrdır ve bu Aşikr Çözüm (Trivil Çözüm) deir. Ack bu çözüm kımı keyfi sbileri içermediğide sisemi geel çözümü lmı gelmemekedir. Bu çıklm ışığıd, öyleyse ypılmsı gereke çlışm, sisemi geel çözümü ol şikâr çözümde bşkc çözümlerii vrlığıı rşırılmsı olckır. Burd iceleecek sisem, özel olrk, sbi ksyılı olrk seçilmişir. Amç bu ür bir sisemi icelemekir. Burd,, 3;,, 3;,, 3 b b b c c c sbi ksyılrdır. Bu ür sisemler, ilk olrk öerile, üreme-yok eme yöemi uygulrk d çözümleebilir. Ack bu yöem yerie burd dh frklı bir yöem öerilecekir. k, k, k3 sbi ksyılr olmk üzere, (.4) de görüle homoje sisemi çözüm kımı x ke, y ke, z k3e şeklide seçilmiş olsu. Bulr sisemdeki her deklemi özdeş olrk sğlmlıdır. dx dy dz k e, k e, k e d d d 3 olup, bulr içi sisem şeklii lır. k e k e b k e c k e 3 k e k e b k e c k e 3 k e k e b k e c k e

42 ( ) k b k c k k ( b ) k c k (.5) k b k ( c ) k sisemie ulşılır. Bu krkerisik sisem deir. Bu, cebirsel lmd bir lieer-homoje deklem sisemidir. Açık olrk görülür ki bu sisemi k k k3 ol bir çözümü vrdır ve bu Aşikr Çözüm deir. Sisem k, k, k 3 içi düzelediğide bu değerler içi çözüm kımıd x( ) y( ) z( ) soucu ulşılır. Bu, deklem sisemii şikâr çözümüde bşkc çözümlerii olbilmesi koşuluu, sisemi ksyılr deermiıı sıfır eşi olmsı demekir. Bu göre, ( ) ile gösereceğimiz bu deermi şğıd görüldüğü gibi oluşckır: b c ( ) b c (.6) b c Bu ise y göre 3.derecede bir cebirsel deklem olup, A, B, C bu deklemdeki sbi ksyılrı gösermek üzere; 3 ( ) A B C (.7) olur. Bu Krkerisik Deklem deir. Bu cebirsel deklem olup,, 3 gibi üç de kökü bulucğıı vrsyıyoruz. Bulrı her biri içi ( ) ( ) ( 3 ) olup, her kök içi krkerisik sisem yeide düzelemelidir. ( ) d buluck,, 3 kökleri çeşili şekillerde oluşbilir. Bulr bsi kökler olbileceği gibi, çkışık kökler y d kompleks kökler de olbilecekir. Bu gibi durumlrı her biride, ilk öerile çözüm kımı, uygu şekilde yeide düzelemelidir. Bu düzelemeler ypılırke, öcede edidiğimiz difersiyel deklemlere i bilgiler bize rehber olckır. Bud sorki çlışm bu kökleri ypısıyl doğrud ilgili olduğu içi olrı yrı lbşlıklr hlide iceleyeceğiz..3. Krkerisik Deklemi Bsi Kökleri Olmsı Hli: ( ) krkerisik deklemii,, 3 olrk belirlediğimiz kökleri, bsi kökler olsulr. Öcede belirildiği gibi bulrı her biri içi ( ) ( ) ( ) 3 olckır. Bu üç durum yrı yrı icelemelidir. içi :

43 3 ( ) ( ) olup, (.5) sisemi buu içi yeide düzeleirse, sisemi çözümüde buluck k, k, k 3 değerleri, sırsıyl k, k, k 3 olsulr. ı bu değer içi çözüm kımı x k e, y k e, z k e olrk buluur. 3 içi : ( ) ( ) olup, (.5) sisemi buu içi yeide düzeleirse, sisemi çözümüde buluck k, k, k 3 değerleri, sırsıyl k, k, k 3 olsulr. ı bu değer içi çözüm kımı x k e, y k e, z k e olrk buluur. 3 3 içi : ( ) ( ) olup, (.5) sisemi buu içi yeide düzeleirse, sisemi çözümüde 3 buluck k, k, k 3 değerleri, sırsıyl k3, k3, k 33 olsulr. ı bu değeri içi çözüm kımı x k e, y k e, z k e olrk buluur. (.6) d belirile çözüm kımı bu şekilde belirlemiş olup, bulr içi oluşurulck w w( x, y, z) Wroskiei olckır. Öyleyse bulr, bu sisemi geel çözümüü oluşurmk içi yeerlidir. C, C, C 3 keyfi sbiler olmk üzere sisemi geel çözüm ; şeklide ifde edilir. Örek. Kouyu öce bsi bir örek üzeride iceleyelim. Seçiğimiz sisem dx dx y y d d dy dy 3x y 3x y d d olsu. Burd iki bilimeyele iki deklemli bir sisem vrdır. Bu sisemi çözüm kımı x k e, y k e şeklide öerilmiş olsu. Bulr sisemi özdeş olrk sğlmlıdır. dx dy k e, ke d d x( ) c k e c k e c k e 3 3 y c k e c k e c k e olup, sisem bulr içi düzeleir ve de sdeleşirse, krkerisik sisem, 3 3 ( ) 3 3 (.8) y( ) c k e c k e c k e

44 k k 3 k ( ) k k k olur. sisemi şikr çözümü olup bulr içi çözüm kımıd x( ) y( ) buluur ki, bu d difersiyel deklem sisemii şikr çözümü olur. 3 Sisemi diğer çözümlerii rşırlım. Bu mçl, öcelikle krkerisik deklemi yzlım : 3 ( ) 3 Çözüm, 3 verir. içi: ( ) ( ) ( ) olur. Sisem bu değer içi düzeleirse k k k k 3k 3k x e, y e olur. 3 içi : olur. Keyfi olrk k k seçilirse içi ilk çözüm kımı ( ) ( ) (3) olur. Sisem bu değer içi düzeleirse : 3k k k 3k olur Keyfi olrk k lıırs k 3 olup 3 içi ikici 3k k 3 3 çözüm kımı x e, y e olur. c, c keyfi sbiler olmk üzere sisemi geel çözümü x C e C e y C e 3C e 3 3 olrk ifde edilecekir. Örek. dx x y z d dy x z d dz 3x y z d difersiyel deklemii çözelim. Bu bir lieer-homoje deklem sisemi olup, buu bir çözüm kımıı x( ) k e, y( ) k e, z( ) k e şeklide olduğuu vrsylım. 3 dx dy dz ke, k e, k3e olup bulr birlike difersiyel d d d

45 33 deklem sisemii özdeş olrk sğlrlr. Böylece ke ke ke k3e ( ) k k k3 ke ke k3e k k k3 k3e 3ke ke k k 3e k ( ) k3 Bu sisem (Krkerisik Sisem) k k k3 içi sğlır Bu sisemi şikâr çözümüdür. Bu krşı gele x( ) y( ) z( ) ise, difersiyel deklem sisemii şikâr çözümüdür. olur. Şimdi bud bşk çözümleri olup olmdığı rşırılmlıdır. Öcelikle ( ) ( ) 3 olduğu hesplır. Bu göre krkerisik deklemi kökleri,, 3 olur. Şimdi bu kökleri her biri içi emel çözüm kımlrı ek ek belirlemelidir. içi: k k k3 k k k3 3k k 3k 3 ( ) ( ) ( ) olup, bu değer içi krkerisik sisem olup, buu sğly bir keyfi değer kımı k, k, k3 olrk bulu-ur. Bulr içi emel çözüm kımı x ( ) e, y ( ) * e, z ( ) e şeklide oluşur. içi: k k k3 k k3 3k k k 3 ( ) ( ) () olup, bu değer içi krkerisik sisem şeklide oluşur. Bulrd k k k3 ilişkisi buluur. Keyfi olrk k lıırs k, k olur. Böylece krşı oluş emel çözüm kımı 3 x ( ), y ( ), z ( ) şeklii lır. 3 içi: 3 3k k k3 k k k3 3k k k 3 ( ) ( ) () olup, bu değer içi krkerisik sisem

46 34 şeklide oluşur. Bulr rsıd oluş k, k3 k şeklideki ilişkide, keyfi olrk k lıırs k3 olcğıd, üçücü emel çözüm kımı d x ( ). e, y ( ) e, z ( ) e olrk bulumuş olur. Bu çlışmlrd sor rık difersiyel deklem sisemii geel çözümüü yzılmsı şmsı gelimişir. C, C, C 3 herhgi üç keyfi sbii göserdiklerie göre geel çözüm : x( ) C x ( ) Cx ( ) C ( ) 3x3( ) x Ce C y( ) C y( ) C y( ) C3 y3( ) y( ) C C3e x( ) C z( ) Cz( ) C3z3 ( ) z( ) Ce C C3e olrk buluur..3..krkerisik Deklemi Çkışık Kökleri Olmsı Hli: (.4) sisemii icelerke oluş ( ) krkerisik deklemii,, 3 kökleride ikisi y d üçü birde birbirie eşi olmsı durumud, çözüm kımlrı belirleirke ypılck seçim rık bsi köklerde olduğu şekilde olmz. Çükü biliyoruz ki bu şekilde oluşck çözüm kımlrı birbirie lieer bğımlı olmzlr. Bu edele ve bu durumd çözüm kımlrı oluşurulurke şğıd çıkldığı şekilde hreke edilmelidir. ( ) deklemii kökleri, diyelim ki, 3 şeklide bulu-muşur. Burd d her değeri içi yrı yrı hesplmlr ypılckır. Sdece frklı ol, eşi ol köklerde biri içi uygu bir düzeleme ypmk ibreir. Buu sıl ypılcğıı, di difersiyel deklemlere i bilgilerimiz yrdımıyl çözümleyeceğiz. Bu mçl, Cil. syf 99 dki çıklmlr bir kez dh gözde geçirilmelidir. ve içi, bsi köklerde olduğu şekilde işlemler yürüülür. Frklı uygulm ile çkışık ol 3 ypılckır. Buu içi ypılck düzelemede, öerile çözüm kımı ile çrpılı olmlıdır. Böylece w olmsı koşulu e bsi şekilde sğlckır. Problemi işleişi öceki öreklerde görüldüğü şekilde gerçekleşecekir. Aşğıdki örek, kouu pekişirilmesie kkı sğlyckır. Örek. dx x y d dy x 3y d sisemii iceleyelim. Sisemi bir çözüm kımı x( ) k e, y( ) k e olsu.

47 dx dy ke, ke olup bulr birlike deklem sisemii sğlmlıdır. Bu göre d d ke ke ke ( ) k k ke ke 3k k e ( 3) k 35 olur. Böylece krkerisik sisem bulumuşur. k k içi bu sisem kediliğide sğlır ki bu şikr çözümdür. Buu içi çözüm kımıd x( ) y( ) olur ki bu d difersiyel deklem sisemii şikâr çözümüdür. Şimdi diğer çözümleri rşırılmsı geçilebilir. Buu içi öcelikle krkerisik deklem bulumlıdır. 3 ( ) ( )( 3) 4 4 olup bu ise ( ) köklerii verir. Böylece çkışık köklerle krşılşılmış, olur. Çözüm kımlrı her iki kök içi yrı yrı hesplmlıdır. Ack burdki ikircikli durum çkışık köke kyklır. Buu içi gerekli çıklm şğıd ypılckır. ilk kök içi: ( ) ( ) ( ) olup bu krşı gele çözüm kımı x ( ) k e, y ( ) k e olsu. Krkerisik sisem k k k k verir. Keyfi olrk k seçilirse k olur. Böylece ilk çözüm kımı x ( ) e, y ( ) e olrk belirleir. çkışık kök içi : ( ) ( ) ( ) olur. Bu kez çözüm kımı öcekide frklı olrk düzelemelidir. Biliyoruz ki çözüm kımıı oluşur foksiyolr içi w olmlıdır. Buu lmı, x( ), y( ) i lieer bğımlı olmycklrıdır. Bu çıklmlr dikke lırk, çkışık kök içi çözüm kımı bu kez ( ) ( ) x k l e, y ( ) ( k l ) e şeklide düzelemelidir. Bulr difersiyel deklem sisemii sğlmlıdır. dx dy k e ( k l ), k e ( k l ) e d d olup, erimler e ( k k) l l k ( k k) l l k sisemie ulşılır. Burd k k k k l ( k k), l ( k k) ile sdeleşirilir ve gerekli düzeleme ypılırs

48 36 ilişkileri buluur. k k içi l k, l olduklrı hesplır. Keyfi olrk k seçilirse k, k, l, l buluur. Arık bu ikici köke krşı gele çözüm kımıı x ( ) ( ) e, y ( ) e olduğu yzılbilecekir. Bu souçlrd yrrlrk difersiyel deklem sisemii geel çözümüü ifde edilebilmesi rık olklıdır. C ve C keyfi sbiler olmk üzere x( ) C e C ( ) e y( ) C e C e buluur..3.3 Krkerisik Deklemi Krmşık Kökleri Olmsı Hli: (.4) sisemii icelerke krşılşılck bir durum d ( ) krkerisik deklemii kökleri rsıd krmşık (kompleks) syılr bulubilmesidir. Burd heme ımsılmlıdır ki bu ür syılr dim eşleiği ile birlike vr olurlr Öreği i kök ise, mulk o problemde i de kökür. Bu dikke lırk, bu sisemi geel çözümüü yzbilmemiz içi bulmmız gereke çözüm kımlrı öceki çlışmlrımızd frklı bir ypısl imjı gerekirmekedir. x( ) k e, y( ) k e, z( ) k e 3 olrk öerile çözüm kımı içi belirleyici işlemler öceki çlışmlrımızd olduğu şekilde yürüülür. Frklılık ( ) krkerisik deklemii köklerii krmşık syılr içermesi hlide ory çıkr. Seçile modelde ( ), 3.derecede bir cebirsel deklem olcğı içi, buu bir kökü reel, diğer iki kökü krmşık syılr olckır. Şuu d biliyoruz ki, ekrrlrsk, krmşık syılr, mulk eşleik kökleriyle birlike buluurlr Yi i olmk üzere, +i kök ise i d diğer kökür. Bu yrıı, problem çözerke bize kolylık sğlyckır. Kökler,,3 i olsulr. x ( ) ke, y( ) ke, z( ) k3e x ( ) k e, y ( ) k e, z ( ) k e x ( ) k e, y ( ) k e, z ( ) k e ( i ) ( i ) ( i ) 3 ( i ) ( i ) ( i ) ile bulrı ürevleri birlike (.4) deklem sisemii sğlrlr. Burd her kök y d her çözüm kımı içi krkerisik sisem yrı yrı düzeleerek rşırmy devm edilir. Öreği 3 i içi [ ( i )] k bk ck3 k [ b ( i )] k ck3 3k b3k [ c3 ( i )] k3

49 37 krkerisik deklem sisemi oluşur. Bu deklemleri ork özelliği, hepsii k k k içi şikâr olrk sğlck olmsıdır. 3 Bu krşı çözüm kımıd x( ) y( ) z( ) olur ki bu d difersiyel deklem sisemii şikr çözümüdür. Problemi çözümüü yrıılrıı diğer çıklmlrı şğıd yer verilmiş ol örek üzeride ypılckır. Örek. dx x y d dy x y d lieer-homoje difersiyel deklem sisemi verilmişir. İceleyelim: Temel çözüm kımı ( ) x ke, y( ) ke olsu. Türevleriyle birlike sisemde yerlerie kours, sdeleşirmeler soud ( ) k k k ( ) k olur. ( ) ( ) d, i buluur. Görüldüğü gibi kökler bir çif eşleik krmşık syıdır. i içi : ( ) ( ) ( ) i olup, buu içi sisemde hreke edilerek k ik buluur. Keyfi olrk k lıırs k i olur. Böylece köküe krşı gele çözüm kımı ( i) ( i) ( ), ( ) x e y ie olur.

50 38 i içi : ( ) ( ) ( i) olup, buu içi sisemde hrekele k ik buluur. Keyfi olrk k lıırs k i olur. Böylece köküe krşı d çözüm kımı ( i) ( i) ( ), ( ) x e y ie şeklide oluşur. Arık geel çözümü yzmk olklıdır. c ve c herhgi iki keyfi sbi olmk üzere x( ) c x ( ) c x ( ) x( ) c e c e y( ) c y ( ) c y ( ) buluur. Uyrı. ( i) ( i) ( i) ( i) y( ) cie cie Krmşık syılrl ilgili çlışmlrd geellikle rigoomerik ifdeler yeğlemekedir. Bu şekilde dh bsi ifdeler elde edilebilmekedir. Buu ypbilmek içi, krmşık syılr ix ilişki e cos x i si x bğıısıd yrrlmk gerekecekir. Buu yrdımıyl, keyfi sbiler de uygu düzeleerek i sl syısıd bğımsız bir souç ifde edilebilecekir. Buu problemimizi soucu uygulylım: i i i i x ce * e ce * e x e [ ce ce ] i i i i y cie * e cie * e y e [ cie cie ] x e [ c (cos isi) c (cos isi )] y e [ c i(cos isi) c i(cos i si )] x e [( c c) cos i( c c)si ] y e [ i( c c) cos ( c c)si ] c c K ( c c ) i K olrk seçilirse olur. Burd K ve K keyfi sbileri,, difersiyel deklem sisemii geel çözümü x( ) e [ K cos K si ] y( ) e [ K cos K si ] olrk, öceki souc göre çok dh sde bir şekilde düzelemiş olur. Çözümde i sl syısıı görülmediğie dikk edilmelidir.

51 39 Uyrı. Yukrıd, krmşık kökleri eşleik çifler hlide bulucğı ımsılmışır. Bu özellike yrrlrk, bu ür bir problem, çok dh kıs yold çözümleebilir. i içi çözüm kımı ( i) ( i) x( ) e, y( ) ie şeklide oluşuğu görülmüşür. i ile i kökleri krşılşırılırs frkı sdece deki i yerie de i olduğu görülür. Öyleyse yukrıdki çözüm kımıd i yerie i kork, ikici çözüm kımı, hiçbir hesb gerek klmksızı yzılbilecekir: ( i) ( i) x( ) e, y( ) ie Uyrı 3. Lieer-homoje sisemleri yukrıd beri ypıl icelemesi oldukç güçlükler rz eder; uzu hesplrı gerekirir. Oys bu deklem sisemlerii operörler yrdımıyl çözümü bzı kolylıklr sğlmkdır. Bu kou d kibımızd yer lckır..4. Alışırm Problemleri ve Yılrı Aşğıdki deklem sisemlerii üreme-yok eme yöemii kullrk çözüüz: ) x '( ) y y '( ) x Yı: x( ) C e C e y( ) C e C e ) x '( ) y y '( ) x Yı: x( ) C e C e y( ) C e C e 3) x ''( ) x y ''( ) y x( ) y( ) Aşikr çözüm Yı: x( ) C cos C si y( ) C e C e 3 4 4) x ''( ) x y ''( ) y Yı: x( ) C e C e C cos C si y( ) C e C e C cos C si

52 4 5) x '( ) 7x y y '( ) x 6y z z '( ) y 5z Yı: x( ) y( ) z( ) Aşikr çözüm x( ) C e C e C e y( ) C e C e C e z( ) C e C e C e Aşğıdki difersiyel deklem sisemlerii çözümlerii, verile bşlgıç değerlerie uyck şekilde buluuz: ) Bşlgıç koşullrı : x() ; y() x '( ) x x( ) y( ) Aşikr çözüm Yı: y '( ) x y ( ) x e ; y( ) e ) Bşlgıç koşullrı : x() ; y() x '( ) 3x y y '( ) x Yı: x( ) y( ) Aşikr çözüm x( ) e ; y( ) e Aşğıdki sisemleri, sl iegrllerii bulrk çözüüz: ) dx dy dz Yı: yz zx xy x y C x y z C ) dx dy dz x z y x y z Yı: x y z C x y C l y C

53 3.BÖLÜM SİSTEMLERİN İNCELENMESİNDE MATRİSLERİN KULLANILMASI 3.. Giriş Öceki bölümde difersiyel deklem sisemlerii elemer lmd icelemesie yer verdik. Hyli yrıılrd söz eik. Ack biliyoruz ki bu bilgiler dhi yerie göre yeerli olmuyor. Bir de yı problemi çok dh koly ve hızlı çözebilmei yol ve çreleri rşırılıyor. İşe bu kou, yı y d frklı ürde difersiyel deklemleri çözümüde mrisleri kullılmsı essı dymkdır. Kou işleirke okuyucuu yeerli düzeyde mris bilgisi olduğu vrsyılmkdır. Gerek mris cebiri ve gerekse mris lizi koulrı kullılırke, gerek görüldüğü yerlerde ve mei bş rfıd mrisler hkkıd çıklmlr ypılckır. Kuşkusuz bu kouu d yrıılrı olckır. Olrı d kou işleirke göreceğiz. 3.. Bzı Tımlr Tım. Birici merebede bir difersiyel deklem sisemii orml biçimi x f (, x,..., x ), x f (, x,..., x ), x f (, x,..., x ), (3.) ile ımlır. Burd, bğımsız değişke, { x,..., x } bğımlı değişkeler ve f,..., f verilmiş foksiyolrdır. Verile bir b rlığıd i her değeri içi (3.) sisemii sğl- y { x,..., x } foksiyolrıı ümüe birde deklem sisemii çözümü deir. Yi, bu foksiyolr sisemde yerie yzıldığıd her içi özdeş olrk sğlır. Sisem içi bşlgıç değer problemide de söz edebiliriz. (3.) sisemi ile birlike b rlığıd bir oksıd x ( ) x, x ( ) x,..., x ( ) x, (3.),,,

54 4 olrk, e verile bşlgıç koşullrı rfıd sğl probleme, sisemi bşlgıçdeğer problemi deir.. (3.) sisemii ve (3.) bşlgıç koşullrıı vekörel olrk, kısc ( ) (,,..., ), x( ) x biçimide yzbiliriz. Burd x f x x x x x x ( ), f f f, f x x( ) x( ) x ( ) olrk ımldık. x, -bileşeli reel syılr kümesi R de bir ok vey vekör, x() ise vekör-değerli bir foksiyo, yi R de bir eğri göserir. Tım. Bir difersiyel deklem sisemii boyuu, deklem syısı olrk ımlır. (3.) sisemi f i ypısı bğlı olrk, lieer y d lieer olmy diye iki sııf yrılır. Burd ess olrk lieer sisemler iceleecekir. Eğer f vekör-değerli foksiyou { x,..., x } değişkelerie göre lieer ise, siseme birici merebede lieer deklem sisemi deir. Aksi hlde lieer olmy bir sisemdir deir. Bu göre, birici merebede lieer bir sisem x( ) f ( ) x... ( ) x g ( ), x ( ) f ( ) x... ( ) x g ( ), x ( ) f ( ) x... ( ) x g ( ), şeklide yzılır. Bu sisem kısc, şğıdki mrisler yrdımıyl, x( ) A( ) x( ) g( ) (3.3) olrk yzılbilir. Burd g( ), süu-vekör foksiyou ve A( ), mris-değerli bir foksiyodur. A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), g( ) g( ) g( ) g ( ). g ( j,,..., Tım 3. Eğer (3.3) sisemide j ( ), ) foksiyolrı özdeş olrk sıfır ise sisem homoje, değilse homoje olmy sisemdir. Ayrıc, ij ( ),( i,,...,, j,,..., ) ksyılrı sbi ise, siseme sbi ksyılı lieer sisem dı verilir. Böyle bir sisem, mris göserimi ile x Ax g olrk yzılır. Yüksek merebede bir deklem her zm bir siseme döüşürülebilir.

55 Örek. 43. merebede lieer y ( ) p( ) y( ) q( ) y( ) r( ) difersiyel deklemii -boyulu bir siseme döüşürerek yzıız. x x y, x olrk ımlırs x x y p( ) x q( ) x r( ) yzılbilir. Yi, verile deklem (3.) sisemii ve f f p( ) x q( ) x r( ) içi özel biçimi olur. x, Geel olrk. merebede lieer y ( ) p ( ) y ( )... p ( ) y( ) p ( ) y( ) r( ) (3.4) ( ) ( ) difersiyel deklemi, birici merebe boyulu bir siseme döüşürülebilir. Buu içi x y, x x,..., x x ımlmlrı ypılırs sisem biçimii lır. x x 3, x x, x x, x p x p x p x r( ), A( ), p p p p g( ) r( ) (3.5) olrk ımlırs, (3.5) sisemii x( ) A( ) x( ) g( ) vekör biçimide yzbiliriz. Yi, (3.5) sisemi, (3.3) sisemii özel bir biçimi olur. Eğer y( ), (3.4) deklemii bir çözümü ise, o zm x ( ), x ( ),..., x ( ) foksiyolrı (3.5) sisemii sğlr. Tersie, (3.5) sisemi (3.4) deklemie idirgeebilir. Bu geçiş ylızc lieer deklemler içi değil lieer olmy. merebe ( ) ( ) y f ( x, y, y,..., y ) deklemi içi de uygulbilir. Bu durumd dek sisem (3.) sisemii özel bir durumu olckır.

56 Sbi Ksyılı Lieer Difersiyel Deklem Sisemleri Sbi ksyılı bir lieer difersiyel deklem sisemi; i, j,,..., ; xi ( ) ler birici merebede ürevi ol foksiyolr ij ve u i ler reel sbi büyüklükler ve x x ( ) x ( ) x ( ) ( ), olmk üzere A, u u u, u f( ) f( ) f ( ) f ( ) x( ) Ax( ) f ( ) (3.6) vey dh çık bir formd ifde emek isersek, x( ) x ( ) x ( ) x ( ) f ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) f ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) f ( ) formud bir sisemdir Sbi Ksyılı Lieer Homoje Difersiyel Deklem Sisemleri f ( ) ise (3.6) sisemi, lieer homoje difersiyel deklem sisemi olrk isimledirilir. Bu sisemi x r ue (3.7) formud bir çözümüü rşırlım. Bu mçl (3.7) yi (3.6) de yerie koylım ve düzeleyelim. x( ) Ax( ) ure r r Aue u u u r u re e u u ur u u u ur u u u u r u u u r

57 45 r u u u u r u u u u r u (3.8) vey bu dek olmk üzere A ri u elde edilir. Burd, I boyulu bir mrisir. (3.8) i u u u d frklı bir çözümüü olmsı, ksyılr mrisii deermiıı sıfır olmsıyl olklıdır. r r r (3.9) derecede bir deklem elde edilecekir. Bu r ile gösereceğimiz kökleri A mrisii özdeğerleri olrk biliir. Bu deermi çılırs, r ye göre yzılmış. deklemi r, r,..., r r i değerii (3.8) de yerie koylım ve burd bulu u, u,..., u değerleri ile oluş ( i) ( i u mrisii u ile ve böylece elde edile çözümü x ) ( ) ile göserelim : demekir. ( i) ( i) r i x ( ) u e () () ( ) x ( ), x ( ),..., x ( ) çözümlerii Wroski deermiı sıfırd frklı olduğu içi bulr bir emel çözüm kımı oluşururlr. (3.9) u klı kökü yoks x( ) Ax( ) i geel çözümü, x c u e c u e c u e () () ( ) r, r,..., ( ) ile verilir. (3.9) ü köklerii bzılrı kompleks syı ise bulrı eşleik-leri de kökür. (3.9) ü kökleri mmıı reel ve ek klı, mmıı reel fk bzılrı çok klı, bzılrıı kompleks olduğu durumlrd problemi sıl çözüleceğie, şğıd verile öreklerde çıklık geirilecekir Sbi Ksyılı Lieer Homoje Olmy Difersiyel Deklem Sisemleri Öce lieer homoje difersiyel deklem sisemi çözülür. Sor sğ rf içi bir özel çözüm buluur. Bu iki çözümü oplmı geel çözümü verecekir. İki değişkeli hl içi özel çözümü sıl bulucğı şğıd yrıılı olrk lılmkdır. Dh fzl değişke içi geelleşirme kolyc ypılbilir. İki değişkeli sbi ksyılı lieer bir difersiyel deklem sisemi r

58 formuddır. Sğ rfsızı çözümü, y d mrisyel olrk 46 x( ) x ( ) x ( ) f ( ) x ( ) x ( ) x ( ) f ( ) x ( ) c x ( ) c x ( ) x ( ) c x ( ) c x ( ) x( ) x ( ) x ( ) x( ) c c x( ) x( ) x( ) dir. x ( ) ve x ( ) i bu değerleri sğ rfsız sisemde, yi de yerie kours x( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) ve düzeleirse c x ( ) x ( ) x ( ) c x ( ) x ( ) x ( ) c x ( ) x ( ) x ( ) c x ( ) x ( ) x ( ) buluur. Bu so iki bğııı c ve c i her değeri içi gerçeklemesi ise ck ve ck x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) olmsıyl olklıdır. Sğ rf içi x ( ) L ( ) x ( ) L ( ) x ( ) ( p) x ( ) L ( ) x ( ) L ( ) x ( ) ( p) formud bir özel çözüm rır. x ( ) x ( ) p x ( ) x ( ) ( ) x ( ) L ( ) L ( ) ( p) ( p) x ve ( ) x ( ) i bu değerleri (3.) de yerie kours; Lx Lx L x L x L x L x L x L x f ( ) Lx Lx L x L x L x L x L x L x f ( )

59 47 ve düzeleirse, Lx Lx L x x x L x x x f ( ) Lx Lx L x x x L x x x f ( ) ve (3.) dikke lıırs Lx Lx f ( ) Lx Lx f ( ) (3.) buluur. L ve L i burd bulu değerleri (3.3) de yerie kork sğ rf içi özel çözüm elde edilir. Sğ rfsızı çözümü ile sğ rf içi bulu bu özel çözüm oplrk geel çözüm elde edilir. Üç deklemli hl içi (3.) u yerii, Lx Lx Lx f ( ) 3 3 Lx Lx Lx f ( ) 3 3 Lx Lx Lx f ( ) ifdelerii lcğı, yı yol izleerek kolyc göserilebilir. Örek. x x x e x 9x x si sbi ksyılı lieer difersiyel deklem sisemii çözelim. Öce sğ rfsızı çözelim : A 9 dir. A ri deklemii oluşurup köklerii bullım: A ri r 9 r u Şimdi de u u A r, r 4 olmk üzere A ri u r u ri u 9 r u dir. r koylım: deklemii oluşurlım: r u u u u u 3u u u 3 u, 9u u 9u 3u u 3 u. 9 r u

60 u seçelim. u 3 ve () u 3 olur. r 4 içi () u buluur. 3 Böylece sğ rfsızı çözümü; x ( ) x( ) c u e c u e x () r () r ( ) 4 c e 4 x( ) ce ce c e 3 3 x ( ) 3c e 3c e olup burd 48 4 x ( ) e, x ( ) e, x ( ) 3 e, x ( ) 3e 4 4 f ( ) e, f ( ) si dir. (3.4) de yerie koylım: olup, burd, Le Le e 4 3Le Le si 4 e e e L si, L e si e e e e L L ve si cos, 4si cos 3 ( p) e e e x ( ) si cos buluur e si cos e e e 4si cos e 4si cos e 7 Sğ rfsızı çözümü ile sğ rflı içi bulu özel çözümü oplmı geel çözümü verecekir.

61 İkici Yöem olrk: şeklide düzeleyerek; 49 d D olmk üzere, deklem sisemii d Dx x x e, 9x Dx x si D x x e 9x D x si formud yzlım. Burd x i çözelim : olur. Burd x e si D D e si D D D 8 9 D D D 8 x D e si 8 x x x e e si si difersiyel deklemi elde edilir. Bu sbi ksyılı bir lieer difersiyel deklem olup krkerisik deklemi ve kökleri ve sğ rfsızı çözümü r r 8 r, r 4 x C e C e 4 dir. Sğ rf içi x Asi Bcos formud bir özel çözüm hmi edilerek, işlemler soucud olur. Geel çözüm ise p 9 x p si cos x Ce Ce si cos olrk buluur x i bu değerii verile deklemleri ilkide yerleşirelim ve x yi bullım :

62 4 9 DCe Ce si cos Ce Ce si cos x e Ce 4Ce cos si Ce Ce si cos x e elde edilir. Örek. x 3x 4x x x x 7 x 3C e 3C e si cos e sbi ksyılı lieer homoje difersiyel deklem sisemii çözelim. Öce ikici rfsız deklemi çözümü bullım. 3 4 A dir. A ri deklemii oluşurup köklerii bullım : 3 r 4 A ri r u şimdi de u u A olur. r, i olmk üzere A ri u 3 r 4 u ri u r u r i koylım : 3 i u 4u u iu u seçelim. i () u ve u deklemii oluşurlım : i u 4u u iu 3 r u 4u u ru i olur.

63 () r i içi u i buluur. 5 x ( ) x( ) c u e c u e x () r () r ( ) x ( ) c e e c e e i i i i x ( ) c e e c e e olur. Euler formülü şulrdır : i i i e i cos si, i e cos isi Bu değerleri (3.) ve (3.) de yerie koylım ve düzeleyelim : x ( ) e c c cos i c c si c c c c x( ) e cos si i si cos ve c c A, i c c B diyelim : x ( ) e Acos Bsi x( ) e Acos si Bsi cos ve ihye bulrd buluur. c i e i e cos si x( ) A e B e cos si si cos i i Şimdi de frklı bir yöemle problemi yeide ele llım : Deklemleri ilkide x 3 x x 4 buluur. İkiciside yerie koylım ve düzeleyelim : 3x x x 3x x 4 4 x x 5x buluur. Bu sbi ksyılı difersiyel deklem olup krkerisik deklemi ve kökleri; r r 5 r, i

64 5 dir. Dolyısıyl, x e Acos Bsi olckır. Bu r soucu (3.) de değerledirelim: olrk çözüme ulşılır. x 3e Acos Bsi e Acos Bsi e Acos Bsi 4 e Acos si Bcos si 3.6. Homoje Olmy Lieer Sisem içi Yöemler Sbileri Değişimi Yöemi Homoje olmy lieer x x g sisemii geel çözümü, x homoje ve bir x h p özel çözümüü oplmı olrk ifde edilebilir. Yüksek merebede lieer bir deklem ile lieer bir sisem rsıd bezerlik kurulbilir. Şimdi özel çözümü bulmk içi sbileri değişimi yöemii öereceğiz. Özel çözümü xp biçimide ryıp, u sisemide yerie yzılırs y d buluur. u bilimeye vekör foksiyou belirleceğiz. Bu çözüm x x g u u u g u u g emel mrisi difersiyel deklem sisemii sğldığıd u vekör foksiyou yukrıdki bğııı sol yıdki ilk erim sıfır vekörüe eşiir ve u g (3.) cebirsel deklem sisemii çözümü olur. Buu bir kez iegre ederek u vekörüü bulmuş oluruz. Özel çözüm rdığımız içi iegrsyo sbilerii biliriz. Bu söylediklerimizi uygulyrk bşlgıç koşuluu sğly çözümü, yi, x x x g x

65 53 bşlgıç değer problemii çözümüü formüle edebilirz. Temel mris ekil olmy bir x koşuluu sğly mris olduğud ersi her zm vrdır ve (3.) bğıısıd özel çözüm u g x s g s ds olrk yzılbilir. Geel çözüm ise p x x s g s ds (3.) formülü ile hesplır. Bu çözümde yzrk bşlgıç koşuluu sğldığı kolyc görülebilir. Mrisii ımlrsk bu çözümü, biçimide ifde edebiliriz., s s,,,, x x s g s ds (3.3) o Özel olrk, eğer g sbi bir vekör ise (3.3) formülü çok bsi bir biçim lır. Öce g sbi olduğud ; yzılbilir. Diğer yd, bğıısıd x x s ds olduğu göz öüde buludurrk yzbiliriz. So bğııyı ve rsıd iegre ederek x x sisemii çözümüü,, x x biçimide ifde emiş oluruz Köşegeleşirme Yöemi x Bu yöem ylızc köşegeleşirilebilir bir mris içi uygulbilir. x y lieer döüşümü ile sisem x y y g y Dy h

66 54 biçimie döüşür. Yukrıd, D köşege mris ve h g dir. Bu kez biride bğımsız e homoje olmy difersiyel deklem iegrsyou ile krşı krşıyyız. Çözüm bileşelerle yzıldığıd buluur. Bu göre; j j j i j j y C e e e h d, j,,, j j ımlırs, ilk deklemi çözümü x j j u e e h d, j,,, y döüşümde e C u j e C u j j j j x v v v v C e u e C u olur. Yukrıdki oplmı birici erimi homoje çözüme, diğeri ise özel çözüme krşı gelir : x j C v e, h j j j x v u p j j j Bu çözümü sbileri değişimi yöemiyle elde edile çözümle krşılşırı. Örek. x x x3 x x x3 x x x sisemii Bu öreke x bşlgıç koşuluu sğly çözümü buluuz., 4 3 g dir. Öce homoje çözümü vey emel çözüm mrisii bullım :,, 3

67 55 özdeğerlerie krşı üç e lieer bğımsız özvekör bulbiliriz. Yi, ksyılr mrisi köşegeleşirilebilir. içi v v v v 3 Sisemii çözüm bı seçilebilir. içi, v v lbiliriz. Bu göre emel çözüm mrisi e e e e e e e olckır. Aşğıdki büyüklükleri hesplmmız gerekir: Özel çözüm : ve geel çözüm : e e e e e e 3 e e e, g e 3 5 6e e e 3 4 xp g d e 3 e 3 x c, C c C C 3.

68 56 biçimidedir. So olrk c keyfi sbi vekörüü belirlemek içi kulllım : 3 c c c vekörüü yukrıdki geel çözümde yzrsk ; çözümüü vey çözümü e e x e e 3 4e e 3 3 x e e x e e x3 e e bileşelerii elde emiş oluruz. Örek. x x 7x 4x e 4 3x x 7x 9x 3e sisemii x, x koşullrıı sğly çözümüü buluuz. x koşuluu Sisem orml biçimde verilmediği hlde, bsi bir kç mris işlemi ile bu biçime idirgeyebiliriz. Buu içi sisemi öce C 3, 7 4 D 7 9, e 4 f 3e mrislerii ımlyıp Cx Dx f vekör biçimide yzlım. C ekil olmy bir mrisir. Verile sisemi her iki yıı x x g, C D, C g C f orml biçimii elde ederiz. Bu öreke ile öde çrprsk C D 4 3, e g C f dir. mrisii özdeğerleri reel ve birbiride frklıdır:

69 57, 5 emel mris kolyc 5 e e 5 e e olrk buluur. Sbileri değişimi yöemi ile verile koşullrı sğly çözümü x e e e x e e e şeklide bulucğıı görmek, okuyucuy bırkılmışır. 3.7 Alışırm Problemleri ve Yılrı Aşğıdki lieer homoje difersiyel deklem sisemleri yı zmd birer orml sisem olup, bu sisemleri şikr çözümleri bilidiğie göre, bşkc çözümüü vr olup olmdığıı rşırıız ve geel çözümüü bulmy çlışıız: ) y '( x) 4y z z '( x) 4y Yı: y( x) C e cos x C e si x x x x x z( x) C e (cos x si x) C e (si x cos x) ) x '( ) y y '( ) y 3x Yı: x( ) C e C e 3 3 y( ) C e 3C e 3) x '( ) x y y '( ) y z z '( ) y Yı: x( ) C e C e C e 3 y( ) C e C e 3 z( ) 4C e C e 3 4) s '( ) 4s r r '( ) 4s Yı: s( ) C e C e r( ) C e C ( ) e 5) x '( ) 3y 4z y '( ) z z '( ) x y Yı: x( ) C e 5C e 5C e 3 3 y( ) C e C e C e 3 3 z( ) C e 4C e 3C e 3 3

70 4. BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜNDE LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜN KULLANILMASI 4.. Giriş Bu bölümde yie difersiyel deklemleri çözümlerie yöelik olmk üzere frklı bir uygulm ypcğız. Bu kez Lplce döüşümüü kullrk çözümleri rşırcğız. Bu mçl, döüşüm usurlrıı kullbilmek içi yol ve yöemler gelişireceğiz ve öereceğiz. Lplce döüşümü hkkıd okuyucumuzu yeerli bilgisi buluduğu düşüülmekedir. Ack yie de bu döüşüm uygulmsı hkkıd bşlgıç emel bilgiler verilecekir. Böylece Lplce döüşümü hkkıd bir l ypı oluşurulmsı çlışılckır. Görüyor ve lıyoruz ki koulr gelişikçe ve çeşiledikçe, rç olrk kulldığımız koulr hkkıd yeerli bilgi shibi olmı zorulu olduğu lşılıyor. 4.. Döüşüm Hkkıd Bzı Tım Ve Teoremler Bir f () foksiyouu iegrl döüşümü b T f ( ) F( s) k( s, ) f ( ) d olrk ımlır. Bu ifdedeki k(s,) foksiyou iegrl döüşümü çekirdeği deir. F(s) foksiyou verildiğide f() ye ers iegrl döüşümü deir ve T - [F(s)] ile göserilir. Lplce döüşümü iegrl döüşümleri ilk örekleride biridir. Çekirdek ve sıırlr k(s, ) = s e, =, b = olrk ımlır. Diğer öemli bir iegrl döüşüm is k(s, ) = e, =, b = ile verilir. Bu ür döüşüme Fourier döüşümü deir ve difersiyel deklemler kurmıd öemli bir yer ur. Ack biz burd ylızc Lplce döüşümlerii kullcğız. f, > zm değişkeii ek-değerli bir foksiyou ve s bir (reel vey kompleks olbilir) prmere olsu. f () i Lplce döüşümü

71 59 s F(s) = L f ( ) e f ( ) d iegrli ile ımlır. Burdki iegrl Riem lmıd öz-olmy bir iegrldir ve M M s lim e f ( ) d limii lşılckır. Eğer iegrl ykısk ise yi yukrıdki limi solu bir syı ise Lplce döüşümü ımlıdır; eğer değilse döüşüm ımlı olmz. Teorem : Bir T içi f ( ) Me vey e f ( ) M, T olck biçimde M > ve α sbileri vrs f ( ) foksiyou α üsel merebededir deir ve f ( ) O( e ) yzılır. Poliomlr, üsel foksiyolr, si ve cos rigoomerik foksiyolrı üsel merebede olduğu hlde, seçilirse seçilsi f ( ) e foksiyou üsel merebede değildir. Çükü α e kdr büyük lime e limii sürle sosuz gidecekir. Teorem : Eğer bir lim f ( ) limii vrs ve f foksiyou [, ) rlığıd solu syıd sıçrm süreksizliği dışıd her solu (, T) rlığıd sürekli ise foksiyo [, ) rlığıd prç prç sürekli foksiyodur deir. y x Şekil 4.. Sıçrm Süreksizliği Prç prç sürekli bir foksiyou bir rlık üzeride iegre emek içi sürekli olduğu l rlıklrd iegre edip oplmk yeerli olckır. Prç prç sürekli bir foksiyo iegre edilebilir. Alizde bilie bu soucu kullrk şğıdki eoremi ifde edebiliriz.

72 Lplce Döüşümü içi Vrlık Teoremi Eğer f ( ) foksiyou [, ) rlığıd prç prç sürekli ve α üsel merebede ise, s > α içi Lplce döüşümü vrdır ve mulk ykısr. İsp : f ( ) foksiyou prç prç sürekli olduğud [, M) solu rlığı üzeride sıırlı olur ve s s s e f ( ) d e f ( ) d e f ( ) d yzrk Lplce döüşümüü ykısklığıı yukrıdki ikici iegrli ykısklığı idirgemiş oluyoruz. Vrsyımd f üsel merebede olduğud s ( ) e f ( ) d e s f ( ) d M e s d yzılbilir ve iegrl ck s > α içi ykısk olur. M lim e T s ( s ) T Vrlık eoremi bir yeer koşuldur. Yi eoremi vrsyımlrı gerçeklediğide eorem Lplce döüşümüü vr olduğuu lmış olur. Ack ersi doğru değildir yi gerek koşul değildir. Vrsyımlrı gerçeklememesi durumud Lplce döüşümü vr olbilir vey olmybilir. Örek. > ve egif olmy msyı içi L döüşümüü vr olduğuu göseri. Herhgi bir α > içi e eşisizliği! e olrk yzılbildiğide r!! üsel merebede bir foksiyodur, o hlde Lplce döüşümü vrdır. Örek. si L L ve L cos döüşümlerii vr olduğuu göseri. si ve cos olduğud verile foksiyolr üsel merebede olur. Vrlık eoremide döüşümleri ımlı olduğu çıkr Bzı Temel Foksiyolrı Lplce Döüşümleri ~ ƒ() = L{ƒ()} =? L{ƒ()} = s s e ƒ()d L{} = e d = lim R R e s d

73 6 L{} = lim R R s e s sr = lime e s R = s s = L{} = s, s > ~ ƒ() = L{ƒ()} =? L{} = e L{} = lim R s s ~ ƒ() = L{ƒ()} =? s s e d = lim e d = sr R R Re s sr = s lim R, s > R s e s R s s - e L{ } = L{ } = s s e d = lim e d lim R R R R R s e s e s s d R L{ R s s R sr s } = lim e e d = lim R s s e e R s s s s L{ sr R } = limr e = lim 3 s R sr 3 s s R e R = lim sr 3 s s R se s L{ } = lim sr =, s > 3 s R 3 s e s s L{! } = s ~ ƒ() = ( e ) L{ƒ()} =? L{ e } = L{ s e R ( s ) e d = lim R e d = lim ( s ) e R s R( s ) lim e e = =, < s s R s s e } = ~ ƒ() = (si ) L{ƒ()} =? L{si } = L{si } = s e (si )d = lim R R e s (si )d s lim e s(si ) (cos ) R R s R

74 6 L{si } = R lim ) (cos ) (si s R R s e s sr L{si } = s, s > ~ ƒ() = (cos ) L{ƒ()} =? L{cos } = )d (cos s e = R s R e (cos )d lim L{cos } = R lim R s s s e ) (si ) (cos L{cos } = R lim ) (si ) (cos s R R s e s s sr L{cos } = s s, s > ~ ƒ() = (sih ) L{ƒ()} =? sih = e e L{sih } = L{ e e } = )d ( s e e e L{sih } = R s s R e ) ( ) ( d e - lim = Rlim R s s e s e s ) ( ) ( L{sih } = Rlim s e e s e e s R s ) ( ) ( = s s L{sih } = s s = s s s = s, s > ~ ƒ() = (cosh ) L{ƒ()} =? cosh = e e L{cosh } = L{ e e } = )d ( s e e e L{cosh } = R s s R e ) ( ) ( d e lim = Rlim R s s e s e s ) ( ) ( L{cosh } = Rlim s e e s e e s R s ) ( ) ( = s s L{cosh } = s s = s s s = s s, s >

75 Bzı Özel Foksiyolrı Lplce Döüşümleri Bsmk Foksiyou f ( ) L f ( ) L s e d = s ƒ() Rmp Foksiyou f ( ) f ( ) L L L f ( ) = s s s e d ƒ() Drbe Foksiyou f ( ) L L z z z f ( ) L () L (-z) z z f ( ) e sz e sz z z z 4.6. Lplce Döüşümüü Temel Özellikleri ƒ() z z Lieerlik Özelliği c ve c sbi büyüklükler ve f () ve g () ise Lplce döüşümleri, sırsıyl F(s) ve G(s) ol iki foksiyo olsu. L L f ( ) c L ( ) c f ( ) c g( ) c dir. Göserelim: L s c g ( ) ( ) c f ( ) ( ) g c F(s) c G(s) s e c f cg d c F( s) c G( s) s c e f ( ) d c e g( ) d

76 Örek. L8cos4 -e 3 6sih =? L8cos4 -e 3 3 6sih = L8cos4 - Le + L6 sih L8cos4 -e 3 3 6sih = 8L8cos4 - Le + 6Lsih s L8cos4 -e 3 6sih = 8 6 s 6 s 3 s Birici Kydırm Özelliği 64 L{ƒ()} = F(s) ise L{ e ƒ()} = F(s ) dir. Göserelim: buluur. L{ e ƒ()} = Örek. L{ e 7 cos3} =? L{cos3} = L{ e 7 cos3} = s ( s) ( ( )) ( ) ( ) e e f d e f d F s s s 9, s ( s 7) s 7 ( s 7) İkici Kydırm Özelliği L{ƒ()} = F(s) ve P() = olur. L{P()} = ƒ( 9 - ) ise L{P()} = s s s e P( ) d e P( ) d e P( ) d s s e. d e P( ) d s s e P( ) d e f ( ) d u ddu s( u) s su e f ( u) du e e f ( u) du s e F( s) s e F(s) dir. Göserelim: Örek. cos( - ) 3 3 P() = 3 L{P()} =?

77 65 olur. ƒ() = cos L{ƒ()} = L{P()} = s e F(s) = e 3 s s s s s Skl Değişirme Özelliği L{ƒ()} = F(s) ise L{ƒ()} = s L{ƒ()} = F s s e f ( ) d e f ( ) d s u s e f ( u) du F( ) Örek. L{5} =? L{} = L{5} = s 5 s 5 Örek. L{si(5)} =? L{si } = s dir. Göserelim: 5 = s u du d 5 5 s /5 s 5 L{si(5)} = Türeilmiş Foksiyolrı Lplce Döüşümü L{ƒ()} = F(s) ise = sf(s) f () L L ) L f ( ) f ( ) f ( ) = = s F(s) s f () f () dir. Göserelim: s e f ( ) d s s ue, duse d dv f ( ) d, v f ( ) s s e f ( ) s e f ( ) d s. e f () sf( s) sf( s) f ()

78 = b) L f ( ) s e f ( ) d s 66 s s e f ( ) s e f ( ) d s. e f () s L f ( ) s ue, duse d dv f ( ) d, v f ( ) s sf( s) f () f () s F( s) sf () f () Burd bulduğumuz souçlr dh yüksek merebede ürevlere kolyc geelleşirilebilir. L olduğu göserilebilir. Örek. f () = si olsu. L L Örek. f () = e olsu. L ( ) ( ) ( ) f ( ) s F( s) s f () s f ()... sf () f () si = ve si cos ve f () = si = olup s si s Lcos = s si dir. s s e = s ve e. ve e F() e olup L e L. s s e = s e s s s dir. Örek. L f ( ) F( s) ise L f ( u) du F( s) s dir. Göserelim: g( ) f ( u) du olsu. g( ) f ( ) ve g( ) dır. Her iki yı Lplce döüşümüü llım : L ( ) L ( ) g f ( ) si f sg( s) g() F( s) olsu. F( s) s ve G( s) F( s) s buluur.

79 67 olur. L siudu L cos s s s s s s s s L si f ( ) Ni Lplce Döüşümüü Bulumsı f ( ) F( s) ise L dir. Göserelim: dir. L f s F( s) e f ( ) d i her iki yıı s ye göre üreelim : d ( ) F( s) () ds s s L f ( ) F( s) e f ( ) d e f ( ) d dir. () i her iki yıı s ye göre üreelim : s ( ) s F s e f ( ) d e f ( ) d s ye göre ürev lm işlemi sürdürülürse; () = L F ( s) L f ( ) ve her iki y ile çrpılırs; buluur. L f ( ) F ( s) f ( ) Örek. L{si3} =? 3 L{si3} = s 9 Örek. L{ si } =? L{si3} = d ds s 3 9 = 3s s 9 = s 6s 9 L{si} = s si L{ } = si d = u du

80 Örek. L si L{ } = f ( ) F( s) L - u = ve r > olsu. L 68 s s r f ( ) e r f ( ) d e r f ( ) d r f ( ) F( s l r) olduğuu göserelim : s l r sl r e e f ( ) d e f ( ) d F( s l r) buluur Periyodik Foksiyolrı Lplce Döüşümleri f ( ), T periyodu ship bir periyodik foksiyo olsu. f ( ) i ımlı olduğu rlık üzeride yer l her içi f ( T ) f ( ) ilişkisi gerçeklesi. dir. Göserelim: L{ƒ()} = e s f ( ) d L{ƒ()} = T e s e ƒ()d st T T 3T s s s e f ( ) d e f ( ) d e f ( ) d... T T yzlım ve so sırd yer l iegrllerde ikiciside T u,üçücüsüde T u olsu ve değişke döüşümüü yplım ve sorsıd f ( u T ) f ( u), f ( u T ) f ( u),... ilişkilerii dikke llım : buluur. Örek. T T T L{ƒ()} = s sut sut e f ( ) d e f ( u T ) du e f ( u T ) du... T T T s st su st su e f ( ) d e e f ( u) du e e f ( u) du... T st st s e e... e f ( ) d T e s e f ( ) d st ) ƒ() = si ve f ( ) f ( ) dir. L{ƒ()} yi bullım.

81 L{ƒ()} = T e s = st s e ƒ()d e s e sid e s d L{ƒ()} = e s s e ssi cos s b) ƒ() = L{ƒ()} = e s e, - +, s s s e s, f ( ) f ( ) ile belirlee ve üçge dlg foksiyou olrk isimledirile foksiyou Lplce döüşümüü bullım. s L{ƒ()} e f ( ) d s e s s e d e d s e s s s s s e e e e e s e s s s s s s s s s e e e s s e s e s s s e e s s s e e s s e s / s / e e s s / s / h s e e s

82 7 c) f ( ), <, f ( ) f ( ) ile belirlee ve esere dişi dlg foksiyou olrk isimledirile foksiyou Lplce döüşümüü bullım. L{ƒ()} s ( ) s s e f d e d s e e s s e e s e s s s e e e s s s s s e s s s s e, < d) ƒ() =, f ( ) f ( ) ile belirlee ve kre dlg -, < foksiyou olrk isimledirile foksiyou Lplce döüşümüü bullım. L{ƒ()} s e f ( ) d s s s e s e e d e d s s s e e e s e s s s s s s e e s s e s / s / s / s / h s e e s e e s 4.9. Bşlgıç Ve So Değer Teoremleri Bşlgıç Değer Teoremi Limileri mevcu olmsı durumud dir. Göserelim: lim f ( ) lim sf( s) s L s f ( ) e f ( ) d sf( s) f () () dir. () de s içi limi llım. f ( ) lim e s f ( ) dır, dolyısıyl f ( ) i sürekli olmsı durumud s lim sf( s) f () s i üsel merebede olmsı durumud lim sf( s) f () lim f ( ) olur. s

83 7 Örek. F( s) s ƒ() = cos olsu. olur. s olup s lim cos lim s s s Örek. F( s) s ƒ() = si olsu. olur So Değer Teoremi Limileri mevcu olmsı durumud olup limsi lim s s s dir. Göserelim: lim f ( ) lim sf( s) L dır. Her iki yı s s f ( ) e f ( ) d sf ( s) f () s içi limiii llım :, lim e s f ( ) d lim sf( s) f () s s lim ( ) lim ( ) (), s e s f d sf s f s s f ( ) d lim sf( s) f (), lim f ( ) f () lim sf( s) f (), s s lim f ( ) lim sf ( s) buluur. Örek. F( s) s ƒ() = cos olsu. değer eoremi uygulmz. s dir. Fk lim f ( ) lim cos mevcu olmyıp so

84 7 Örek. ƒ() = Örek. f ( ) 7 e olsu. F( s) e ( ) s olup lim e lim s s s f i bşlgıç ve so değerlerii buluuz. 7 f ( ) F( s) s L Bşlgıç değer eoremiyle ; dır. lim7e So değer eoremiyle ; Örek. e L 3 e 5 =? L{ e 3 } = s 3 L{ƒ()} = F(s) L{ e L e L e L 3 e 5 3 e 5 3 e 5 = L 7 lim s s s 7 lim7e lim s s s, L{ e 5 } = s ƒ() } = ƒ(u)du e 3 e 5 -L = du s u 3 = lim l u 3 R - s u R s R du R du du = lim 5 lim R s u 3 Rs u 5 lim l u 5 R 3 5 e e L lim l R 3 l s 3 l R 5 l s 5 R R 3 s 5 liml l R R 5 s e e s 5 s 5 L = l l = l s 3 s 3 = R s =

85 ƒ() 73 Tblo 4.. Lplce döüşüm blosu F(s) = L{ƒ()} s s! s s e s s s s Si Cos Sih s Cosh s e ƒ() F(s ) d ds ƒ() F(s) ƒ(u)du ƒ() ƒ() F(s) s ƒ(u)du s F f ( ) s F(s) s - F() F - () 4.. Ters Lplce Döüşümü 4... Tım f foksiyo- f ( ) foksiyouu Lplce döüşümü F( s ) olsu. Bşk bir deyişle F( s ) i, L - F( s ) ile göserile ers Lplce döüüşümü, L{ƒ()} = F( s ) özelliğie ship bir ( ) udur. f ( ) ye F( s ) i ers Lplce döüşümü deir ve L - F( s ) = f ( ) 4... Lerch Teoremi ile ifde edilir. Her solu N rlığıd prç prç sürekli ve N içi üsel merebede ol f ( ) foksiyolrı içi F( s ) i ers Lplce döüşümü ek ürlü olrk belirleir. Diğer bir deyişle L - F( s ) = f ( ) ekir.

86 Ters Lplce Döüşümüü Bzı Özellikleri 4... Lieerlik Özelliği c ve c sbi büyüklükler ve F(s) ve G(s) ise ers Lplce döüşümleri, sırsıyl, f () ve g () ol iki foksiyo olsu. Örek. L - c F( s) c G( s) c L - F( s) c L - L - ( ) G s c f ( ) c g( ) dir. 3 s 3 s s 6 s 9 =? 3 s 3 L - s s 6 s 9 = 3 s L- s L- s 6 L- s 3e cos4 si3 4...Birici Kydırm Özelliği L - F( s ) = f ( ) ise L - F( s ) e f ( ) dir. Örek. ) L - si s 4 s L - 4s 8 s b) L - cos3 s 9 s L - s s olup e cos3 e si 3 dir. 3 L - s olup s L - s İkici Kydırm Özelliği e si dir. L - s L - F( s ) = f ( ) ise L - e Örek. ) L - 4 si 4 s 6 s F( s) ƒ( - ) dir. 5s olup L - 4e si4-5, 5 s 6, 5 dir.

87 75 s e s cos -, b) L - s, Skl Değişirme Özelliği L - F( s ) = f ( ) ise L - F( s) dir. f dir Türeilmiş Foksiyolrı Ters Lplce Döüşümü L - F( s ) = f ( ) ise L - F ( s) f ( ) dir. Örek. ) L - e olup s L - d L - L ds s s - e e dir. s b) L - si olup s L - d L - s ds s s si L - s si s Örek. L - l? s F( s) l foksiyouu ürevii ers Lplce döüşümü s L - F( s) L - s cos s s ile L - F( s) f ( ) bğıısı f ( ) L - cos F( s) buluur. dir. Örek. L - s? s s b s s s b L - s s s s b s b yzılır ve ers döüşümü lieerliği kullılırs; L - s L - s s s b s b

88 L - s b 4.. Kovolüsyo Teoremi 76 e cosb sib b buluur. L F s, Lg f ( ) ( ) ( ) G( s) ise L L - F( s) G( s) f ( u) g( u) du dir. Göserelim: s L f ( u) g( u) du e f ( u) g( u) dud u İçeki iegrlde u v değişke döüşümü yplım: ( ) s u f u e v g( v) dvdu u v olur. Örek. u v Kovolüsyo eoremii kullrk ve f ( u) g( u) du F( s) G( s) dir. Bir bşk deyişle su sv e f ( u) du e g( v) dv F( s) G( s) ) f ( u) si3u, g( u) u seçimii yprk L usi3udu 3 s s 3 b) f ( u) siu, g( u) e u seçimii yprk c) f ( u) buluur. u e, L u e g( u) siudu s s 3 u seçimii yprk L 3 u u e du 4 3! s s f ( u) e s g( u) ddu u Örek. ) L - ss 4 bullım.

89 77 L - L - yzlım. ss 4 s s 4 F( s) f ( ), s G( s) g( ) si s 4. si udu cos s s 4 buluur. 4 L - b) L - s s L - yi bullım. L - s s F( s) s f ( ) L - s s yzlım. e, G( s) g ( ) e s u u e e du e buluur. Örek. L - s yi bullım. s L - s s s s s s F( s) f ( ) cos, s G( s) s L - g( ) si L - s si cos u si ( u) du s olur. yzlım Lplce Döüşümüü Difersiyel Deklemleri Çözümüde Kullılmsı Bury kdr Lplce döüşümü ve Ters Lplce döüşümüe ilişki bzı öemli ve emel özellikleri ve yöemleri gördük. Uygulm olrk Lplce döüşümü ekiğii öcelikle sbi ksyılı lieer bşlgıç değer problemlerii çözümü içi kullcğız. Bu uygulm ess olrk birkç dımd oluşur:.adım: Difersiyel deklemi her iki rfıı d Lplce döüşümü lıır. Souç Y(s) bilimeye foksiyouu döüşümüü içere cebirsel bir deklemdir.

90 78. Adım : Cebirsel deklem çözülür, böylece. cebirsel deklem de çözülür ; böylece Y(s) buluur. 3.Adım : Ters döüşüm lırk, difersiyel deklemi yı zmd bşlgıç koşullrıı sğly çözümüe vrılır. Yi y( ) L - Y ( s ) buluur. Örek. Y() 3Y() + Y() = 4e deklemi içi; Y() = -3 ve Y() = 5 olduğu göre difersiyel deklemi Lplce döüşümlerii kullrk çözümüü bulu. Bşlgıç koşullrıı dikke lrk difersiyel deklemi her iki yıı Lplce döüşümüü llım : LY ( ) 3LY Y LY s y( s) sy () Y() LY sy( s) Y () LY y( s) Le ( ) ( ) 4 Le s s y( s) sy () Y() 3 sy( s) Y () y( s) 4 s 3 5 Deklemi düzeleyip y( s ) yi çözelim : s y( s) 3s 5 3 sy( s) 9 y( s) s 4 s y( s) 3 sy( s) y( s) 3s 4 s 4 3s 6s 4s 8 s 3s y( s) s 4 4 y( s) 3s s 4 s s 3s Ters döüşümle Y ( ) yi bullım : L - ( ) 3s s 4 y s L - s s A B C Y() = L - ( ) ( ) ( ) s s s

91 3s s 4 s s 79 A B C ( s ) ( s ) ( s ) s = = + B + B = 4 s = = + + C C = 7 s = + 4 = A B + 4C 3s s 4 A s s B s C s 4 = A 4 8 A = 4 Y () = 4 L - s + 4 L - ( s ) Y () = 4e + 4e 7e 7 L - s Örek. e deklemi içi ; Y() = ve Y() = - olduğu göre Y 3Y + 3Y Y = difersiyel deklemi Lplce döüşümlerii kullrk çözümüü bullım :. LY 3L 3 3 L Y LY LY L { e } Y s y( s) s Y () sy() Y() L LY sy( s) Y () LY y( s) Y s y( s) sy () Y() ( ) () () () 3 ( ) () () 3 s y s s Y sy Y s y s sy Y 3 sy( s) Y () y( s) s 3 3 s s s y s s s 3 3 ( ) 3 s y( s) 3s s s 3 6 s s s 3 6 s s s s s s 3 6 s s s s s 3 6 3

92 8 L - s L - s 3 L - s 6 5 e e Y () = e e 6 Y () = L - s Örek. Y V + Y + Y = deklemi içi; Y() = Y() = Y() = ve Y() = olduğu göre difersiyel deklemi Lplce döüşümlerii kullrk çözümüü buluuz. IV L Y LY LY L 4 3 s y( s) s Y () s Y () sy () Y () s y( s) sy () Y () y( s) 4 s y s s s y s y s ( ) ( ) ( ) 4 s y( s) s y( s) y( s) s 4 s s y( s) s s y( s) L 4 s s - ( ) s s Burd iibre kovolüsyo yöemi kullılırs : s F( s) f ( ) cos, G( s) s s Y() = f ( u) g( u) du y s L - g( ) si cosusi( u) du cosu sicosu cossiu du si cos cos cos si udu u udu cosu si u si du cos du si si u cos cos u u

93 8 si si si cos cos cos si cos( ) cos si Lplce Döüşümüü Lieer Deklem Sisemlerii Çözümüde Kullılmsı Burd birici derecede lieer deklem sisemii çözümüü Lplce döüşümü ekiğiyle ypcğız. Bu uygulm şğıdki dımlrd oluşur:.adım: Her iki dekleme de Lplce döüşümü uygulır ve bşlgıç koşullrı ekleirse deklem sisemi X(s) ve Y(s) de oluş iki bilimeyeli lieer cebirsel deklem hlie geirilir.. Adım:. dımd elde edile lieer sisemde X(s) ve Y(s) çekilir. 3. Adım: Verile bşlgıç değer problemii çözümü ol x( ) L - X ( s ) ve y( ) L - Y ( s ) elde edilir. Örek. X() = 8 ve Y() = 3 bşlgıç koşullrı lıd, X = X 3Y Y = Y X difersiyel deklem sisemii Lplce döüşümlerii kullrk çözelim. Bşlgıç koşullrıı dikke lrk deklem sisemii her iki yıı Lplce döüşümüü llım : LX LX 3 LY LY LY LX [ sx( s) X ()] X(s) 3y(s) 8 [sy(s) Y()] y( s) x( s) 3 Bu iki deklemi düzelersek; [ sx( s ) 8] x(s) 3y(s) [sy( s) 3] y( s) x( s) Bu deklem sisemide x( s ) ve y( s ) yi çözelim: ( s ) ( s ) x( s) 3y( s) 8 ( 3) x( s) ( s ) y( s) 3

94 8 ( s )( s ) x( s) 3( s ) y( s) 8( s ) 6x( s) 3( s ) y( s) 9 s s x s s 3 6 ( ) s 7 x( s) ( s 4)( s ) 8s 7 ( s ) y( s) 3 ( s 4)( s ) 6s 34 s y( s) 3 s 3s 4 3s 9s 6s 34 y( s) ( s 4)( s )( s ) (3s )( s ) 3s y( s) ( s 4)( )( s ) ( s 4)( s ) 3s y( s) ( s 4)( s ) ve ers döüşümle X ( ) ve Y ( ) yi bullım : 8s7 L - x( s) L - ( s 4)( s ) 3s L - y( s) L - ( s 4)( s ) X() = A L - (s 4) + B L- ( s ) Y() = C L - ( s 4) + D L- ( s ) s 4 A = 3 s - B = 5

95 s 4 C = s D = 5 4 X ( ) 3e 5e 4 Y ( ) e 5e Örek. X() =, X() =, Y() = ve Y () = bşlgıç koşullrı lıd, X + Y = cos Y X = si difersiyel deklem sisemii Lplce döüşümlerii kullrk çözüüz. Bşlgıç koşullrıı dikke lrk deklem sisemii her iki yıı Lplce döüşümüü llım : LX LY Lcos LY LX Lsi s x( s) s X () X () sy( s) Y () s y( s) sy () Y () x( s) s s s Bu iki deklemi cebirsel lmd düzelersek ; s s s s x( s) sy( s) s s s x( s) s sy( s) 3 s s s s x( s) sy( s) s 3 s s x( s) sy( s) s

96 84 s y( s) s x( s) s s y( s) x( s) s s 3 s s s y( s) x( s) s 3 s s s x( s) sy( s) s 3 s s x( s) s y( s) s Bu deklem sisemide x( s ) ve y( s ) yi çözelim : 3 s x( s) s y( s ) x( s) s y( s) x s 3 ( ) s 4 s s 3 s s s 4 3 s s s s s x( s) s y( s) s s ve ers döüşümle X ( ) ve Y ( ) yi bullım : L - L - s x( s) L - s s y( s) L - s X() = As B L - s Y() = Cs D L - s s As B A ; B Cs D C ; D

97 85 buluur. X ( ) cos si Y ( ) cos 4.5. Alışırm Problemleri ve Yılrı Aşğıdki difersiyel deklemleri çözümlerii, verile bşlgıç değerlerie uyck şekilde Lplce döüşümü yrdımıyl buluuz : ) y ''' 3 y '' 3 y ' y e ; y(), y '() ) y '' y si ; y() y '() Yı: 6 5 y( ) e e e Yı: y( ) si cos 3) y '' 3 y ' y 4 e ; y() 6, y '(), 4) y y e y y Yı: '' si ; () '() Yı: y( ) 3 e 3e e y( ) cos si e cos e si

98 5. BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN İNCELENMESİNDE KUVVET SERİLERİNİN KULLANILMASI 5.. Giriş İkici merebede lieer deklemleri çözümlerii, geel olrk elemer foksiyolr olrk bilie cebirsel ve cebirsel olmy foksiyolr öreği rigoomerik, ers rigoomerik, üsel, logrimik foksiyolr ürüde bulmk olksızdır. Uygulmlrd krşılşıl sbi ksyılı deklemlere idirgeebilir deklemler de oldukç sıırlıdır. Aliz, memik, fizik ve mühedislike ory çık deklemleri heme heme çoğu bu sııfı dışıd klmkdır. Böyle durumlrd kuvve serisi ile çözümler rmk bşk bir yol eredeyse yok gibidir. İşe bu okd ess olrk izleyeceğimiz yklşım, ikici merebede değişke ksyılı lieer difersiyel deklemleri kuvve serileri yrdımıyl çözmek ve bulrı kuvve serileri yrdımıyl bulubilecek çözümleri ile yei özel foksiyolr ımlyrk bulrı özelliklerii icelemek olckır. Öcelikle kuvve serilerie ilişki bzı ım ve öemli souçlr, şğıd kısc özelemişir. 5.. Kuvve Serileri. ( x x ) ( x x ) ( x x )... şeklide ifde edilmiş çılım (x x) göre yzılmış bir Kuvve Serisi deir. Burdki x oksıı x = olrk lırsk (ok orijie öelemiş olurs) oluşck yei kuvve serisi x x x... şeklide görülecekir. Bulrd ilkie Tylor çılımı, ikicisie ise Mc Luri çılımı deir.. Eğer k lim k x i solu bir değeri vrs bu x oksı civrıd ykıskır. Bu durumd serii oplmı bu limi değerie eşiir. Serii ykısklık rlığı x R şeklide

99 87 belirilir. Burd R ye Ykısklık Yrıçpı deir. Ykısklık yrıçpı R rlığıd emsil edilir. Demek ki Mc Luri serisi x R koşuluu sğly x ler içi ykısk, x R koşulu krşı ırksk olur. Kuvve serisii x = oksı civrıd her zm ykısk olcğı çıkır. R ykısklık yrıçpıı hesplybilmek içi D Alember esi uygulbilir. Bu göre, lim limii vrs bu limi R olrk lıbilir. Kuvve serisi ykısklık rlığıı uç oklrıd ykısk olbilir vey olmybilir. Bu iki durum özel olrk icelemelidir. 3. Kuvve serisi, R >, x < R içi ykısk olsu ve oplmı f ( x ) ile göserelim: f ( x) x demekir. f(x) süreklidir ve x R içi her merebede ürevi vrdır. Ayrıc erim erim üreilebilir. ( ), ( ) ( ),... f x x f x x Bu ürlü elde edile yei foksiyolr d yı rlık ykısk olurlr. Ayrıc. erim ( lmıd, ksyılr ile x= içi.ürevi bu değeri rsıd f ) () ilişkisi kurulur.! Seri erim erim iegre edilebilir. 4. Eğer f ( x ) foksiyou bir x oksıı civrıd, ( ) f ( x) f ( x) x x, biçimide bir kuvve serisi ile! göserilebilirse, bu foksiyo x oksıd liikir ve burdki seriye de x oksıd f ( x ) i Tylor serisi deir. Özel olrk, x içi bu seriye Mc Luri serisi deir. f ( x ) foksiyouu x civrıd her merebede sürekli ürevleri olduğuu vrsylım. Bu durumd, ck ve ck x civrıdki x içi lim R ( x) ise, f ( x ) foksiyou x oksıd liikir Tylor Açılımı Yöemi Tylor serisi yöemi, çoğu foksiyou kuvve serisi şeklide ifde emei bir yoludur.x = x civrıdki Tylor çılımd (x - x) büyüklüğüü üsleride oluş erimleri ksyılrı, foksiyouu ürevlerii x x dki değerlerii içerir. Buu lmı, Tylor serisi çoğu foksiyou kuvve serisi şeklide ifde emei bir yoludur. x x civrıdki Tylor çılımıd, x x büyüklüğüü üsleride oluş erimleri ksyılrı, foksiyou ürevlerii x = x dki değerleriyle oluşur. Buu lmı, bir foksiyou ve ürevlerii x = x oksıdki değerleri biliiyors bu foksiyou büü x oklrıdki değerleriyle yı değerleri verecek bir kuvve serisii yzılbilmesi demekir.

100 88 Bir y( x ) foksiyouu birici ürevi y f ( x, y) şeklide ve foksiyou bşlgıç değeri de y( x ) şeklide verilmiş olsu. Bu bilgiler kullılrk y( x ) foksiyouu x x civrıdki Tylor çılımı; y( x) y( x) 3 y( x) y( x) y( x)( x x) ( x x) ( x x)...! 3! şeklide verilir. Örek. y() ve y x y 3x dir. y( x ) içi Tylor çılımı yöemi ile yklşık bir çözüm oluşurlım. y x y 3x y x y x () 3 4 x, y y xy x y xy x x y x xy x y 3x 3 y xy x y x () x, y y y xy xy x y 4 y xy x y 4 3 y 4x x y 3x x xy x y 3x y 6x y 5x x y 3x y y x y x x y x () x, y (4) (5) (6) buluur. Gerekiyors y (), y (), y () ve y( x ) i dh yüksek merebede ürevlerii x oksıdki değerleri bezer yol izleerek elde edilir. Bu değerler y( x) i x civrıdki Tylor çılımıd yerie kork, elde edilir y( x) 4 x x x...! 3! Örek. y() 6 ve y y x 4 ür. y( x) i Tylor çılımı yöemiyle bullım. y y x 4 deklemii her iki yı x e göre üreerek y y buluur. Bir kez dh ( ) ( ) üreerek y y elde edilir. Türemeye devm ederek y y ilişkisi her içi oluşurulur.

101 89 y() y x x, y 6 y () y x, y 6 y y y y ( ) ( ) () () () () elde edilir. Öe yd, y( x ) i x civrıdki Tylor çılımı, ( ) y() y() y () y( x) y() x x x!!! dir. Her iki deklem birleşirilir ve düzeleirse; 3 x x x y 6 x! 3!! 3 x x x (5 x) ( x ) 5 x e! 3!! y 5 x e elde edilir. x x Örek. y(), y() ve y y dır. y( x ) i Tylor çılımı yöemiyle bullım. Öce verile deklemde x koyrk y () ı bullım: y( x) y( x) y() y() y() y() x Şimdi de verile deklemi bir kez üreelim ve x koylım, y( x) y( x) y( x) y( x) x y() y() buluur. Bir kez dh üreelim ve x koylım, ( ) ( ) () () (4) (4) y x y x y y x buluur. Böyle devm edilirse, y y y y (5) () () () () ( ) () y y y y (4) (6) ( ) () () () () olduğu görülür ve x x x x y( x) x ( ) 3! 5! 7! ( )! y( x) si x buluur.

102 Adi Nok Tekil Nok. Frobeius Yöemi P ( x) y P ( x) y P ( x) y ypısıd ikici merebede homoje bir difersiyel deklemi ele llım. x oksı içi, P ( ) ise bu di ok, P ( ) ise bu ekil ok deir. x oksı di ok ise ( ) ( ) ( ) ( ) y x x x x yzılrk bir çözüm rır. Bu, kuvve serisi yöemi olrk biliir. x oksı bir ekil ok ise ilk deklem R ( x) R ( x) x x y y y şeklide yzılbilir. R ( x ) ve R ( x ) foksiyolrı x oksı civrıd seriye çılbilirse x oksı düzgü ekil ok, R ( x ) ve R ( x ) foksiyolrı ise x oksı civrıd liikir deilir ve c c ( ) ( ) y x x x ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) c c c c formud bir çözüm rır. Bu yöem, Frobeius yöemi olrk biliir. P(x) ve R(x) i yerie koulup gerekli düzelemeleri ypılmsıd sor oluş deklemde e küçük kuvveli x i ksyısıı sıfır eşileyerek elde edile ilişkiye idis deklemi deir. İkici derecede bir deklem ol idis deklemii kökleri içi üç frklı durum söz kousudur: i. Kökler birbiride frklı ve rlrıdki frk bir m syıd frklıdır. ii. Kökler birbirie eşiir. iii. Kökler birbiride frklı ve rlrıdki frk bir m syı kdrdır. Bu şmd x oksıı di bir ok vey düzgü bir ekil ok olduğu durumlr içi örekler vereceğiz Adi Nok Örek. y xy y difersiyel deklemii y() bşlgıç koşuluu gerçekleye formud bir özel çözümüü bullım. y x

103 P ( x), dır. P () dır. Yi bir di ok söz kousudur. 9 Öyleyse, y x formud bir çözüm rybiliriz: y x x 3 x 3 dir., b gibi herhgi iki serii çrpımıı, b b ( b b ) ( b b b ) ( b b b ) bğıısıyl biçimledire Cuchy çrpımıı kullrk, y. y y ( x x x )( x x x ) ( ) ( ) x x ( ) x buluur. y, y ', y i bu değerleri ile dekleme gidelim ve düzeleyelim : x x o x ox o x o x x 3x 3 ( ) x ( ) x ( ) x o o o o 3 olup şimdi, eşiliği her iki yıd bulu yı kuvvee x leri ksyılrı krşılıklı olrk eşileirse :, ( ), 33 ( ) (5 ) 3 (5 ), 6 buluur. y x de yerie koylım : 3 y o ox ( ) x (5 ) x 6 3 y() bşlgıç koşulud ve y x x x elde edilir. o

104 9 Örek. y xy difersiyel deklemii y x formud bir çözümüü bullım. P ( x) ; ve P () dır. Yi bir di ok söz kousudur. ( ) dir. Dekleme gidelim ve düzeleyelim : y x ( ) x x (3. ) x (4.3 ) x (5.4 ) x x ( ) 3 Burd,, 3, 4, 5,, elde edilir. 3 3! ( ) Böylece rekürs bğıısı bulumuş olur., 5, 8,,... diziii elemlrıı rekürs bğıısı göre edelim:, 5, 8,, ciside ifde olurlr. Şimdi de, 3, 6, 9,... dizisii elemlrıı rekürs bğıısı göre ciside ifde edelim:, 3, 6, 9, olurlr. So olrk, 4, 7,,... diziii elemlrıı rekürs bğıısı göre ciside ifde edelim :, 4, 7,, olurlr. Bulu büü bu değerlerii edelim : y x y x x x ( ) x x x x ( ) x x x x ( ) seriside yerlerie koyrk çözümü elde

105 93 Örek. y y difersiyel deklemii y x formud bir çözümüü bullım. P ( x) ; ve P () dır. Yi bir di ok söz kousudur., y x y x Burd, ( ) x x (. ) (3. ) x (4.3 3 ) x dir. Dekleme gidelim ve düzeleyelim : ( ) x 3, 3, 4,,,! 3 3! 4 4! ( )! elde edilir. Bulduğumuz bu değerlerii y x seriside yerleşirir ve düzelersek : 3 x x x y x! 3! ( )! 3 x x x x! 3! ( )! c c e x buluur. Burd c, c olrk lımış ve 3 x x x x e x! 3! ( )! bğıısı kullılmışır. Örek. y xy ( x ) y difersiyel deklemii y x bullım. x olsu. d dx ve dy dy d dy dir. dx d dx d d y d dy d dy d d dy d y dx dx dx d dx dx d d d formud bir çözümüü olduğu dikke lıırs verile difersiyel deklemi, bğımsız değişke olmk üzere;

106 94 y ( ) y y formud yzbiliriz. Ve problem bu deklemi bulumsı problemie idirgemiş olur., ( ) y y değerleri ile dekleme gidelim : y formud bir çözümüü ( ) ( ) Açılımıı yprk : ( )( ) olup düzelersek, ve burd d buluur. y de yerie kour ve düzeleirse, y

107 ve yerie x kork, x x x x x y x çözüm bulumuş olur Düzgü Tekil Nok.Durum: İdis Deklemii Köklerii Klı ve Arlrıdki Frkı Tm Syı Olmdığı Durum : Örek. 3x y xy x y difersiyel deklemii geel çözümüü bullım. Deklemi öce x y y y 3x 3x formud yzlım. Burd x R ( x), R ( x) olup her ikisi de x oksı 3 3 civrıd seriye çılbilirler, yi liikir. Dolyısıyl x oksı bir düzgü ekil okdır ve deklemi bir çözümü olckır. Şimdi c c formud y x x x c ve y c x y c c x ile verile değerlerii deklemde yerie koylım : c c c 3x c c x c cx c c x c c c c x c c c x cx c x c x c olup düzeleirse c x x c c c c x x x x c 3 c x c c c x 3c c c c x 3 c c c + c x 3 c c c

108 c x 3c 5c c x 3 c c c x 3 c c + 96 c x 3 c c Bu oluşumd e küçük dereceli x i içere erimi vrsyımı lıd sıfır eşilemesi ile idis deklemi buluckır: 3c 5c c 3c c, c 3 olup, geri kl erimleri ksyılrıı sıfır eşilemesi ile, c c 3 3 c c 3 c c olur. c c 3 olrk buluur. 3 c c de rekürs bğıısı Rekürs bğıısı ve gerçeği ile birlike değerledirilirse, elde edilir. c içi : olur. Burd, yzılrk buluur.,, y ( x) x x x

109 97 c içi : olur. Burd 3 7 4, 4, 6, yzılrk, y ( x) x x x x 4 64 / buluur. Geel çözüm : y( x) Ay( x) By( x) ypısıd olckır. Örek. x y xy x y difersiyel deklemii geel çözümüü bullım. Deklemi öce x y y y x x formud yzlım. Burd x R ( x), R ( x) olup her ikisi de x oksı civrıd seriye çılbilirler, yi liikir. Dolyısıyl x oksı bir düzgü ekil okdır ve deklemi c c formud bir çözümü olckır. y x x x c ; c y c c x y c x ile verile değerlerii deklemde yerie koylım: c c c x c c x c cx c c x c c c x c c c x cx c x c x c c x x c c c c x x x x olur. Bulr düzeleirse c c x c c c x c c c c x c c c +

110 98 c x c c c c x c 3c c x c c c x c c + c x c c Bu oluşumd, e küçük dereceli x içere erimi vrsyımı lıd sıfır eşilemesi ile idis deklemi buluckır : c 3c c c c, c Geri kl erimleri ksyılrıı sıfır eşilemesi ile c c c c 3 olup rekürs bğıısı c c olrk buluur. c içi : olup, bulrd c c c c c c 3,, 3, elde edilir. Bu değerler kullılrk buluur. 3 y( x) x x x x

111 99 c içi : olrk buluur.,, 3, ve bu değerler içi 3 y( x) x x x x yzılbilecekir. Böylece geel çözüm : ypısıd ifde edilecekir. y( x) Ay ( x) By ( x) Örek. Hipergeomerik Deklem : A ve B herhgi iki reel syı ve C ise m syı olmy herhgi bir reel doğl syı olmk üzere ; x x y C A B x y ABy ile verilir. x oksı civrıd geel çözümüü bullım. x oksıı düzgü ekil bir ok olduğu göserilebilir. Buu lmı, deklemi c y x ile verile bir seri çözümüü bulumsıdır. y, y ve y yi deklemde yerie koyr ve düzelersek idis deklemi, ve rekürs bğıısı ; olrk buluur. c C c c c C c c A B AB İdis deklemii kökleri c ve c C dir. C i m syı olmmsı edeiyle c c C de m syı değildir. İdis deklemii kökleri klı olmdığı gibi rlrıdki frk d m syı değildir. Rekürs bğıısıd c koylım ve düzeleyelim :

112 Burd, AB AB C! C C A B AB A B C C C C A B A A B B! A B A A A B B B 3 C 3! C C C 3 elde edilir. Bululr deklemde yerie kours : BB C C AB A A F A, B, C; x x x! C! olmk üzere y ( x) F A, B, C; x 3! C C C A A A B B B elde edilir. F A, B, C; x serisi, Hipergeomerik Seri olrk isimledirilir. x içi ykısk olduğu kolyc göserilebilir. y ( x) F A, B, C; x olckır. Buu lmı, hipergeomerik serii, hipergeomerik deklemi bir çözümü olmsıdır. Şimdi de rekürs bğıısıd c olrk seçilmesi durumud C C koylım ve düzeleyelim : C A B C AB x 3 A C B C C Yukrıd ypıllr ekrrlır, ler ciside belirleir ve olrk seçilirse; buluur. y x x F A C B C C x ( ) C,, ; y( x) Ay ( x) By ( x) Geel çözüm şeklide ifde edilecekir :.Durum : İdis Deklemii Köklerii Klı Olduğu Durum y c x i deklemde yerie koulup düzelemei mmlmsıd sor x i e küçük kuvvei f ( c ) olmk üzere

113 f ( c) P ( x) y P( x) y P ( x) y c c x formud bir ilişki ory çıkckır. x i dh büyük kuvvelerii ksyılrı, ksyılrıı rlrıd oluş rekürs bğıısıı bir soucu olrk sıfır olckır. y i, x i ve c i foksiyou olduğuu, dolyısıyl y ve y yü de x i ve c i foksiyou olrk düşüülebileceğii ve ürevleri y y y y c c x x c c y y y y c c x x c c şeklide oluşcğı dikke lırk, difersiyel deklemi her iki yıı c ye göre üreelim: y y y f ( c) f ( c) P ( x) P ( x) P ( x) c c x c c x f ( c)l x c c c buluur. Sğ yd c c bir çrpdır, yi c c içi sğ y rf sıfır olmkdır. Buu lmı: y c cc Örek. y c cc içi so ifdei sol rfıı sıfır olmsıdır. Bu durumd deklemi bir çözümü olur. x y xy x y difersiyel deklemi, merebesi sıfır ol Bessel Difersiyel Deklemi olrk biliir. Geel çözümüü bullım. Deklemi öce x y y y x x formud yzlım. Burd R ( x), R ( x) x olup her ikisi de x oksı civrıd seriye çılbilirler, yi iki foksiyo d liikir. Dolyısıyl x oksı bir düzgü ekil okdır ve deklemi çözümü olckır. Şimdi y ve y yü oluşurlım ve dekleme gidelim: c c c x c c x c cx c c x c c c x c c c c x cx c x c x c x y c x formud bir

114 x x x x x c c c c formud bir çözümü olckır. Bu düzeleirse c c c x c x c x c c 3c 3 x 3 c x c olur. Bu oluşumd e küçük dereceli x i içere erimi vrsyımı lıd sıfır eşilemesi ile idis deklemi buluckır: c c İdis deklemii iki klı bir kökü vrdır : c c Geri kl erimleri ksyılrıı sıfır eşilemesi ile c c c c 3 c olur ki bulr göre rekürs bğıısı c olrk buluur. Burd, olduğu görülmekedir c, Arık verile deklemi x ve c ye bğlı olrk oluşurul çözümü şğıdki gibi yzılbilecekir : y x, c x x x olur. c c c4 c6 x... c c 4 c c 4 c 6 c y x, c de c koylım ve y x çözümüü bullım :, y x y x 4 6 k k x x x x 4 6!! 3! k k!

115 3 4 6 k k x x x x k J ( x) Bu souç yi J ( ) x, merebesi sıfır ol Bessel foksiyou olrk biliir. Şimdi de y ( x ) i bullım. Bu mçl y( x, c ) yi c ye göre üreelim : y( x, c) c c c x l x x x l x 3 c c c olur. Burd c koylım : y( x, c) y( x) c c x c4 4c c c 4 c c 4c x l x 4 c c l x x x l x x x x l x x 4 l x l x x 4!! 4 x x 4!! 4 x x y( x)l x 4!! buluur. Geel çözüm : y( x) Ay( x) By( x) ypısıd olckır. Bu deklem bir sorki bölümde dh kpsmlı iceleecekir. Örek. xy y y difersiyel deklemii geel çözümüü bullım. Deklemi öce x y y y x x formud yzlım. Burd R ( x), R ( x) x olup her ikisi de x oksı civrıd seriye çılbilirler, yi liik foksiyolrdır. Dolyısıyl x oksı bir düzgü ekil okdır ve deklemi y c x formud bir çözümü olckır. y ve y yü oluşurlım ve deklemde yerie koylım: c c c x c c x c cx c c x

116 c c c x 4 c c c cx c c x c x x x x x c c c c olup buu düzeleyelim : c c x c c c x c c c c x c c c c x c x c c c x c + c x c c x c c x c Bu oluşumd e küçük dereceli x i içere erimi vrsyımı lıd sıfır eşilemesi ile idis deklemi buluckır : ( c ) c c buluur. Geri kl erimleri ksyılrıı sıfır eşilemesi ile c c c olup rekürs bğıısı, c olrk buluur. c c c x ve c i foksiyou olrk çözüm : y( x, c) x x x c c c c c c c c c c c c c x c () ile verilir. Burd c koulurs y ( x ) buluur : x x y( x) x

117 5 Şimdi de y ( ) x i bullım. Bu mçl () i c ye göre üreip, y ( x, c ) c x l x x x c c c x l l x c c c c c c c x l x c c c c oluşuc, c koymmız yeerli olckır : x ( ) l y x x x x 3 y( x)l x x x buluur. Geel çözüm : y( x) Ay( x) By( x) ypısıd olckır. 3.Durum : İdis Deklemii Kökleri Arsıdki Frkı Tm Syı Olduğu Durum İdis deklemii kökleri c ve c ve c c ve c ile c rsıdki frk m syı olsu. Büyük kök ol c dim bir çözüm verir. Küçük kök ol c ise soru çıkrbilir. Bu b c c seçimi ypılırs çözüm kdirde ile verilir. Örek. x y x x y y y y Ay B cc c difersiyel deklemii geel çözümüü bul-lım. Deklemi öce x y y y x x formud yzlım. Burd R ( x) x, R ( x) olup her ikisi de x oksı civrıd seriye çılbilirler, yi liikir. Dolyısıyl x oksı bir düzgü ekil okdır ve deklemi verile değerlerii deklemde yerie koylım : y cc c x formud bir çözümü olckır. Şimdi y ve y i

118 6 c c c x c c x c cx c c x c c c x c c c c x x cx c x c x c x x x x x c c c c olup düzeleyelim : c c x c c c x c c c c x c c c c x c c c c c Bu oluşumd e küçük dereceli x içere erimi vrsyımı lıd sıfır eşilemesi ile idis deklemi buluckır : c c c c c, c Geri kl erimleri ksyılrıı sıfır eşilemesi ile c c c c c c c 3 c olup, böylece rekürs bğıısı, c c c c olrk buluur. Verile deklemi x ve c ye bğlı olrk oluşurul çözümü, y( x, c) x x x c c 3 c c c c şeklide oluşckır. c 3 c c y( x, c ) de c koylım ve y ( x ) çözümüü bullım : x c y( x,) y( x) x x x x y( x, c ) de c koylım ve y ( ) x çözümüü bullım : x x y x y x x x 3 (, ) ( ) x x x x!!

119 7 dır. Geel çözüm : y( x) Ay( x) By( x) ypısıd olckır. Örek. x y xy x y difersiyel deklemii geel çözümüü bullım. Deklemi öce x y y y x x formud yzlım. Burd R x, R x x olup her ikisi de x oksı civrıd seriye çılbilirler, yi liikirler. Dolyısıyl x oksı bir düzgü ekil okdır ve deklemi y oluşurlım ve y ile birlike deklemde yerie koylım : c x formud bir çözümü olckır. y ve y yü c c x y xy x y x c c x c cx c c x c c c x c c x olup düzeleirse, x y xy x y c c c x cx c x c x c c c c x x x x x c c x cc c x c c c c x c c x c c c c c x c c c c x c c x c c x c buluur. Burd, e küçük dereceli x içere erimi vrsyımı lıd sıfır eşilemesi ile idis deklemi buluckır: c c c, c Geri kl erimleri ksyılrıı sıfır eşilemesi ile c c c olup rekürs bğıısı, + c, c

120 olrk buluur. 8 Rekürs bğıısı ve gerçeği dikke lıırs olduğu görülecekir Rekürs bğıısıd c c koylım:, olur ve burd hrekele, 4!! 4 6!3! !4! buluur. Bulrd geelleme yprk k k k k, k,, 3, k!! yzılır. İdis deklemii c c köküe krşı gele çözümü olckır. y( x, c) y( x,) y ( x) x x!! Şimdi de rekürs bğıısıd c c köküü koylım : c buluur. yi bulmk mcıyl koyck olursk pydı sıfır olmsı edeiyle bir souç lımyckır. Yi, dolyısıyl k olmk üzere lrı belirleyebilmemiz olklı olmyckır. Bu şmd idis deklemii bu köküü kullmd, 4, ksyılrıı ve y( x, c ) yi oluşurlım :,, 3 c c 5 c3 c c 4 k c c 4c y( x, c) x x x 3 c c 5 c3 c c ()

121 Şimdi b c c b c 9 ile içi bir seçim yplım ve () de bu seçimimizi değerledirelim: c c 4c y( x, c) b c x x x 3 c c 5 c3 c c c c 4c b c x x x 3 c 5 c3 c c 4 b x c x x 3 c 5 c3 c Bulduğumuz bu y( x, c ) çözümüü, rdığımız deklemde yerie koyr ve leri rsıdki i ilişkileri değerledirecek olursk, c (, ) (, ) (, ) x y x c xy x c x y x c b x c c elde ederiz. Bu deklemi bir çözümüü elde edebilmek olklı ise y( x, c) (, ) y x c olcğı çıkç görülmekedir. Bir bşk çözümü ise, yı deklemi sğ yıd yer l c çrpıı kuvveii derecesii olmsı edeiyle, dolyısıyl c c c c bx c c b x l xc c x c x c c c ilişkisii c içi de gerçeklemesi edeiyle bir çözüm olckır. y( x, c) c c y( x, c) c 4 b x l x c x x c 3 c 5 c3 c 4 4 c x x x b x 3 3 c 5 c 3 c 5 c3 c olur. c c koulurs : y x, y( x) c 4 b x l x x x x x x b x b xl x x b x x x olup, çözüm y(x) = A.y + B.y ypısıd oluşckır.

122 5.7. Alışırm Problemleri ve Yılrı ) y '' y dif. deklemii y x formud bir çözümüü buluuz. Yı: y x x... x x x...! 4! 3! 5! ) 3 xy '' y ' x y dif. deklemii geel çözümüü buluuz. Yı: x x... 3 x x y A Bx ) xy '' y ' y dif. deklemii geel çözümüü buluuz. x 3 Yı: y ( ABl x) x... B x ( ) x ( ) x... (!) (!) 3 (3!) 4) xy '' 3 y ' xy dif. deklemii geel çözümüü buluuz. Yı: y ( A B l x) x x... B x x !

123 6. BÖLÜM LEGENDRE VE BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ 6.. Giriş Bu bölümde kou edilecek ol difersiyel deklemler çok özel olup, ck kuvve serileri y d seriye çılımlr yoluyl iceleebildiği içi burd yer lmış olmkdırlr. Bu ür deklemler, bzı çlışmlr ypılırke bilim islrıı krşısı çıkr ve bulrl uğrşmk yepyei bir ilgi lı oluşurur. İşe Legedre ve Bessel Difersiyel deklemleri de dlrı deklemlere verilmiş bilim islrı rfıd bulumuşur. Bulrd biri Adrie Mrie Legedre (75-833) olup kedi dıyl ıl difersiyel deklemi bulmuşur. Buu soucud, yie kedi dıyl ıl Legedre Poliomlrı ory çıkmışır. Bessel Difersiyel Deklemi çok dh özel bir deklemdir. Bu deklemle ilk ilgilee J.Beroulli olmuşs d deklemi m olrk ory çıkr bilim isı Friedrich Wilhelm Bessel ( ) olmuşur. Bu deklemi, gezegeleri hrekeleri üzerie ypığı çlışmlr sırsıd gelişirmişir. Bessel difersiyel deklemi ve od elde edile Bessel Foksiyolrı uygulmlı memik içi öemli bir deklem olup, kışklr mekiği, elsisie eorisi, posiel eori, difüzyo ve dlg yyılımı gibi çok frklı ve çeşili llrd uygulbilirliği görülmekedir. Teorik fizike de kullılmkdır. 6.. Legedre Difersiyel Deklemi Legedre difersiyel deklemi,, rlığıd ımlı, oklrıd kldırılbilir ekilliğe ship bir deklemdir. Kplı formu Ly şeklide göserilir. Burd L, Legedre operörüdür. d d L x p p dx dx ; p, Deklem Frobeius yöemi ile çözülürse ve y x, y x, y x ifdeleri deklemde yerlerie kours, Ly x y xy p p y

124 x x x x p p x p p x x p p x x p p x elde edilir. Bu eşilike çık krkerisik deklem ise p p p p 3 3 p p şeklide buluur. Çözümü solu olbilmesi içi x lim x şrı sğlmsı gerekiğide, krkerisik deklem yrdımıyl elde edile çözümü solu olmsı, ck p vey p şeklide serii kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluş poliomlr Legedre Poliomlrı deir, dolyısıyl bu poliomlr Legedre difersiyel deklemii çözümüdür. Örek. p poziif bir m syı olmk üzere x y xy p p y difersiyel deklemie, Legedre Difersiyel Deklemi deir. Legedre difersiyel deklemii x civrıd bir çözümüü p -ici derecede bir poliom olduğuu göserelim. x di bir okdır. Bu edele y formud bir çözümüü rybiliriz. x, ( ) y x y x

125 3 olup, bu değerler ile dekleme gidelim: olup, buu düzeleyelim: x ( ) x x p p x x x x p p x ( ) ( ) p p x 6 p p 3 olur. p p p p x p p olduğuu dikke lrk, p p rekürs bğıısıı elde edelim. Bu bğııyı değerledirerek büyüklüklerii ve ciside ifde edelim: p p. p p 3 3. p p 3 p p p p ! 4 p 3 p 4 p 3 p p p ! 5 3 leri bu değerlerii buluur. y x 3 p p p p p p y x x! 4! de yerie koylım ve düzeleyelim: 4 p p p 3 p p p x x x 3! 5! y y Rekürs bğıısıd yer l p çrpıı dikke lrk p içi olduğuu, dolyısıyl p4 p6 p8 olcğıı söyleyebiliriz. Bu göre şu değerledirmeyi ypbiliriz: p

126 4 (i) p poziif ek m syı ise p olmk üzere üm ek idisli ler sıfırdır. (ii) p poziif çif m syı ise p olmk üzere üm çif idisli ler sıfırdır. p Buu lmı : y vey y i derecesi e büyük ol x olmk üzere solu syıd erim içermesidir ; yi p -ici derecede bir poliom olmsıdır. seçelim. y() koşulu gerçeklemek kydıyl,, 4,... So bğııd ı lcğı değerler ve bu bğlı olrk y i p içi edidiği ypılr Legedre Poliomlrı olrk dldırılır. Aşğıd bu poliomlrd bzılrı verilmişir: 4 P ( x), P ( x) 3x, P4 ( x) 35x 3x 3, 8 Şimdi de yı bğııd seçelim. Yie y() bşlgıç koşulu gerçeklemek kydıyl p, 3, 5,... koylım; böylece elde edile Legedre Polomlrı d üç esi dh şğıd verildiği gibidir : P ( x) x, P3 ( x) 5x 3 x, P5 ( x) 63x 7x 5 x, Bessel Difersiyel Deklemi p -ici merebede bir Bessel Difersiyel Deklemi x y xy x p y şeklidedir. Frobeius yöemi ile bir çözümüü rşırlım. Deklemi öce x p y y y x x formud yzlım. Burd R ( x), R ( x) x p olup her ikisi de x oksı civrıd seriye çılbilirler, yi liikirler. Dolyısıyl x oksı bir düzgü ekil okdır ve deklemi y x c formud bir çözümü olckır. y c x i ve burd hrekele oluşurul y ve y değerlerii deklemde yerie koyduk sor gerekli sdeleşirmeleri yprsk, c c c x c p x c p x c p

127 c x c p olup burd d, 5 c p, c p, c p buluruz. ile rsıd oluş rekürs bğıısı şeklide oluşckır. c p İdis deklemi c p ve kökleri, p egif olmmk üzere p ve p dir. c p olgusuu rekürs bğıısıd kullırsk ve, p! p! p p p ! 3 p p p p k ve dolyısıyl 3 5 ve k k k k! p k p k p p buluur. Ardığımız çözüm : y x x x x x c p k ( ) k k x p k k olckır. büyüklüğü, geel olrk içi değerledirelim : k k x k! p k p k p p p p olrk seçilir. Bu seçimi so ifde

128 6 p ( ) x p k p k y x elde edilir. k k p x p k! p k k k p k p k k! p k x J p ( x) Örek. k k p k p k k k k k k x x k! p k k! p k bğıısı gerçekleyelim. Öce k krşı gele erimi diğerleride yırrk k k p k p k k k k k k x k x k! p k k! p k yzlım. Şimdi de j k değişke döüşümüü yplım : j j p j p j j j j p j p j j x j x j j! j! Örek. j j j x j j p j j p j! k k p k p k k k k p k p x k x k! p k k! p k bğıısıı gerçekleyelim. j k değişke döüşümüü yplım: j j x j p j j p j! x k k p j j p x k! p k j! p j k p j p k j j j p x j p j j p j! olup so oplmd py ve pydyı j ile çrprk, j j p j j p j x j! p j

129 7 buluur. Bu ypıdki bir oplmı j de değil, j d bşlırsk j krşı gele erim sıfır olcğıd herhgi bir şey değişmez, yi, j j j j j p j p j x j x j p j p j! p j j! p j yzbiliriz. Bu so oluşumd d j yerie k lck olursk isee souç elde edilmiş olur. Örek. d x p J ( ) p ( ) p x x J p x dx bğıısıı gerçekleyelim. Bessel foksiyouu emsil ede seriyi erim erim üreelim: k p d p d p x x Jp ( x) x! k kp dx dx k k k p k k p x d k p dx k k! k p k k p k k p k k p k p x! ve k p k p k p ilişkisi dikke lıırs, py ve pydd bulu k p k p dx k k k p k k p p x p p d x J ( x ) x J p( x )! ilişkisie ulşılcğı görülecekir. Özel olrk p ise; çrplrıı sdeleşeceği ve olckır. d xj ( x ) xj ( x ) dx Örek. xj ( x) pj ( x) xj ( x) bğıısıı gerçekleyelim. p p p Öcelikle k k p k k p x x pj p( x) xj p( x) p k p k p k k! p k k k! p k

130 8 yzlım. Şimdi de eşiliği sğ yıd yer l ikici oplmı pyıı ve pydsıı p k p k p k p k ilişkisii dikke llım : ile çrplım ve k k p k k p p p k x pj p( x) xj p( x) k p k p k k! p k k k! p k k Örek. y k kp k! pk xj ( x) p p k x i kp k k k k p p x kp k! p k xj ( x) xy y x J( x) deklemii bir çözümü olduğuu göserelim. J ( ) x, merebesi ol Bessel difersiyel deklemii bir çözümüdür. x J ( x) xj ( x) x J ( x) olrk difersiyel deklemi sğlr. Verile deklemde y xj ( x) koylım : xxj( x) xj( x) x J ( x) x J xj ( x) J( x) xj ( x) x J ( x) olrk J ( x) J( x) ilişkisii ve yukrıdki bğııyı dikke lrk yeide düzeleyelim : x J xj ( x) J ( x) xj ( x) x J ( x) x J ( x) xj ( x) x J ( x) buluur. Örek. y xj ( x) 3 i J ( x ) 3, merebesi 3 x y x y deklemii bir çözümü olduğuu göserelim. ol Bessel difersiyel deklemii bir çözümüdür. 9 x J 3 ( x) xj 3 ( x) x J3 ( x) 4 Verile deklemde y xj ( x) 3 koylım : x xj 3 ( x) x xj 3 ( x) yzılırs, r işlemlerde sor 9 x x J 3 ( x) xj 3 ( x) x J3 ( x) 4 olur. Bu souç, ilk bğıı dikke lırk buluur. p

131 7. BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN İNCELENMESİNDE SAYISAL HESABIN KULLANILMASI 7.. Giriş Difersiyel deklemler kısmi liik çözümlere shipirler. Ack, uygu-lmlı bilimlerde krşılşıl difersiyel deklemleri büyük bir çoğuluğu liik olrk, kplı çözümler vermezler. Bu difersiyel deklemleri çözümleri içi syısl yöemleri heme heme hepsi belli oklrd belli syısl souçlr verir, fk problem bir çözüme ship değilse bulrı hiçbir lmı yokur. ( ) ( ). merebede di difersiyel deklem eğer y f x, y, y ',..., y koumu geirilebiliyors ve ilk bölümde ifde edile Lipschiz koşullrıı sğlıyors, bu domede böyle bir difersiyel deklemi G X, Y, c,..., c şeklideki geel çözümü e keyfi sbi içere bir eğri ilesidir. Difersiyel deklem hgi ürde olurs olsu, belli koşullrd çözüm eğrisi üzerideki oklrı syısl olrk belirlemesi Syısl Çözüm olrk ifde edilir. Her çözümde ess, difersiyel deklemi. merebede bir di difersiyel dekleme y d di difersiyel deklem sisemie idirgemekir. Yi difersiyel deklemi syısl çözümlerde, f x, y, y ' şeklide. merebede di difersiyel deklemi syısl çözümleride hreke edilir. Adi difersiyel deklemleri syısl çözümleride çözüm eğrisi y d çözüm yüzeyii bulmk içi bzı koşullrı verilmesi gerekir. Verile bu ö koşullr göre difersiyel deklemler gruplr yrılır. 7.. Bşlgıç Değer Problemleri f x y y y y ( ) ( ),, ',...,, şeklide. merebede di difersiyel deklemi x (bşlgıç oksıd) y( ), y '( ),..., y ( ) gibi e değeri veriliyors, bu Bşlgıç Değer Problemi dıı lır. Burd hedef, bu okı sğı y d solu doğru hreke ederek diğer oklrdki çözümleri bulumsıdır. y ' f ( x, y) y( x ) y

132 şeklideki bşlgıç değer problemii çözümüü vrlığı ve ekliği şğıdki eoremlerle göserilebilir Teorem. (Vrlık Teoremi) Eğer (, ) f x y foksiyou, R ( x, y) : x x, y y şeklide ımlmış bir R dikdörge bölgeside sürekli ise bşlgıç değer problemi x x mi(, / M ) içi y( x) şeklide bir çözüme shipir. Burd M, R dikdörge bölgeside f ( x, y) değeridir. i mksimum 7.4. Teorem (Teklik Teoremi) f Eğer f ( x, y) ve x, R ( x, y) : x x, y y şeklide ımlmış bir dikdörge bölgede sürekli iseler, bşlgıç değer problemi xx mi(, / M) rlığıd ek bir çözüme shipir Sıır Değer Problemleri ( ) f x, y, y',..., y şeklideki. merebede di difersiyel deklemim ımlı olduğu rlık vey dh fzl okd oplm olrk e değeri biliiyors bu Sıır Değer Problemi deir. x '' f (, x, x ') x( ), x '( ) şeklideki bşlgıç değer problemi x deklem sisemie döüşürülebilir. ' x x x ( ) ' x f (, x, x ') x ( ) Bu şekilde problem kolyc çözülebilir. x ve x x' deerek şğıdki şekilde. derece bir x '' f (, x, x') Ack, şeklideki problem içi bşlgıç değer problem yöemleri x( ), x( b) uygu olmyckır. Bu problem ipik bir sıır değer problemidir Seri Yöemleri Tylor Serisi Yöemi y ' f ( x, y), y( x) y bşlgıç değer problemi verilsi. y( x) ( x x ) ( x x )... şeklide bir özel çözüm lısı. x x d y( x ), ( ) y '( x ),, y ( x ) ürevleri mevcus, difersiyel deklemi çözümü seri yöemiyle hesplbilir. Ar y( x ) foksiyou x oksı civrıd Tylor serisie çılırs

133 y '( x ) y ''( x ) y '''( x) 3 y( x) y( x) ( x x) ( x x) ( x x )...!! 3! vey x x h ise y '( x ) y ''( x ) y '''( x ) y x y x h y x h h h!! 3! 3 ( ) ( ) ( )... yzılbilir. Serii ürev değerlerie bkck olursk; y ' f ( x, y) y '' f '( x, y) f ( x, y) f ( x, y) y ' x y ''' f ''( x, y) [ f ( x, y) f ( x, y) y ']' x y y f x y f x y y f x y y f x y y f x y y xx (, ) xy (, ) ' xy (, ) ' yy (, ) ' y (, ) '' f x y f x y y f x y y f x y y xx (, ) xy (, ) ' yy (, ) ' y (, ) '' Örek. dy x y dx ve x, y bşlgıç şrlrı veriliyor. h. içi Tylor serisii ilk 3 erime çrk y ve y değerlerii buluuz. y '() y ''() y y(.) y(.) y() (.) (.)!! y() y '() y '' y ' y ''() ( ) y (.) (.4).84 y '(.) y ''(.) y y(.4) y(..) y(.) (.) (.)!! y(.).84 y '(.) y ''(.) (.64) y.84.64(.) (.4).4 Örek. y ' 3 y, y() bşlgıç değer problemi verilsi. h. olmk üzere y (.) değerii Tylor seri yöemi ile oplm 4 erim krk buluuz.

134 y '() y ''() y '''() y(.) y() (.) (.) (.)!! 3! y() y '() 3 y ' y y '' 3 3 y ''() y '' y ' y 4 y ''' y '''() y(.) (.) (.4) (.8) Picrd İersyo Yöemi dy y ' f ( x, y), y( x) y bşlgıç değer problemi verilsi. f ( x, y) dy f ( x, y) dx dx hlie gelir. Buu her iki yıı x x rlığıd iegre edersek;, x x x dy x f ( x, y) dx x y( x) y( x ) f ( x, y) dx x x x y( x) y( x) f ( x, y) dx elde edilir. y ' içi ilk yklşım y yerie y koymkl elde edilir. y y f ( x, y ) dx x x Buu y içi verile deklemde yerie koyup ekrr iegre edersek y y f ( x, y ) dx ikici yklşımıı elde ederiz. İşlem, bu yoll iseile syıd ekrr x edilirse. yklşım olrk buluur. x x y y f ( x, y ) dx x

135 3 Örek. y ' x y, y() bşlgıç değer problemii x. deki çözümüü Picrd yöemi ile 3 iersyol buluuz. x x x dy ( x y) dx dy ( x y) dx y( x) y() ( x y) dx x x y y() ( x y ) dx ( x ) dx x x x x x x y y() ( x y ) dx ( x x ) dx x x 6 x 3 x x x x y y() ( x y ) dx ( x x x ) dx x x y( x) y ( x) y(.) y (.) 3 3 (.) (.) y (.) (.) (.) Tek Adım Yöemleri Bir y ' f ( x, y) bşlgıç değer problemii her bir dımdki çözümüü, bir öceki dımd verileler yrdımıyl yklşık olrk bulmyı sğly yöemler, ek dım yöemleri olrk dldırılır Euler Yöemi Tylor serisii ilk iki erimii lrk hespl ve birici merebede ürevleri kpsy çıım Euler yöemidir. Bu yöemde bir x i oksıdki bğımlı değişkei değeri, öceki okd geçe bir doğru boyuc eksrpolsyo ile buluur. y ' f ( x, y), y( x) y bşlgıç değer problemii y( x h) değeri ; y( x h) y hy '( x ) y hf ( x, y ) şeklide elde edilir. x x h lırsk, x x h lırsk, şeklide devm edersek ; y( x ) y( x ) hf ( x, y ) y( x ) y( x ) hf ( x, y )

136 4 yi yi hf ( xi, yi ) elde edilir. Örek. x y y ' ve y() bşlgıç değer problemi veriliyor. y(.) ve y (.4) değerlerii Euler y x yöemi ile buluuz. x y f ( x, y) y x, x, y, h. y( x ) y( x ) hf ( x, y ) y(.) y() (.) f (,) () y(.) (.).4 () y( x ) y( x ) hf ( x, y ) y(.4) y(.) (.) f (.,.4) (.).4 y(.4).4 (.).6 (.4). Örek. y ' x 3 y ve y() bşlgıç değer problemi ve h. veriliyor. x ) y (.) değerii 4 erime çrk Tylor seri yöemi ile b) y (.4) değerii Euler yöemi ile buluuz. ) y ''() y '''() y(.) y() y '()(.) (.) (.)! 3! y() y '() 3 y ' x y y '' 3 y ''() 4 x y '' x y ' y ' x xy y ''' 3 y '''() 6 4 x x 4 6 y y(.) (.) (.4) (.8).88 6 y y hf ( x, y ) b) y.88 y(.4).88 (.) Örek. y ' y 3x ve y() bşlgıç değer problemi verilsi. h. değerleri Euler yöemi ile hesplyıız. içi [,] rlığıdki

137 5 y ' f ( x, y) 3x y f (.) y() (.) f (,) (.)(3() ).8 f (.4) y(.) (.) f (.,.8).8 (.)(3(.).8).76 f (.6) y(.4) (.) f (.4,.76).76 (.)(3(.4).76).848 f (.8) y(.6) (.) f (.6,.848).848 (.)(3(.6).848).384 f () y(.8) (.) f (.8,.384).384 (.)(3(.8).384) Düzelilmiş Euler ve Hue Yöemi Bu yöemde sdece birici dımd eğri üzerideki bir okd bşlır. Dh sorki dımlrd hep eğrii dışıd ol oklrd hreke söz kousu olduğud bşlgıç oksıd uzklşıkç hlrı büyüyeceği çıkır. Bu hlrı bir mikr gidermek içi iegrl hesp fydlrk değişik formüller kullılır. ) yi yi hfi (Bsi Euler Formülü) h h ) yi yi hf ( xi, yi fi ) (Euler Or Nok Formülü) h 3) yi yi [ fi f ( xi h, yi hfi )] (Euler Ymuk Formülü-Hue Yöemi) Örek. y ' y ve y().5 bşlgıç değer problemii. deki çözümüü ) Euler Or Nok formülü ile b) Euler Ymuk formülü ile buluuz. ) f (, y) y,, y.5, h. h h y y hf (, y f ) f f (,.5) y.5 (.) f (,.5.5).5 (.) f (.,.65).88 h y y [ f f ( h, y hf )]. y.5 [.5 f (.,.5.(.5))].86 b) Ruge-Ku Yöemleri ) II. Merebe Ruge-Ku : Ruge-Ku yöemleri yüksek merebede ürevleri hesplmy kmd, Tylor serisi emelide gelişirile yöemleri, isee eğim değerii doğruluğuu belirlemesi essı dyır.

138 6 y ' f ( x, y) ve y( x i ) y i verilmiş olsu. h xi xi olmk üzere xi oksıdki y( x ) y çözümü, i i k hf ( xi, yi ) k hf ( x mh, y mk ) olmk üzere i i y i y i k bk () şeklide buluur. Burd, b ve m sbiirlerdir. y( x) foksiyouu.merebede ürevli erimlere kdr Tylor serisie çrsk y '( xi ) y ''( xi ) y( x) y( xi ) ( x xi ) ( x xi )!! x lırsk ve y ''( x ) yerie f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) yzrsk, xi i x i i y i i i i y '( x ) f x( xi, yi ) f y ( xi, yi ) f ( xi, y ) i i y( xi ) y( xi ) ( xi xi ) ( xi xi )!! f x( xi, yi ) f y ( xi, yi ) f ( xi, yi ) y( xi ) y( xi ) y '( xi )( xi xi ) ( xi xi )! elde edilir. f f f ( xi mh, yi mk ) f ( x, y) mh mk x y olcğıd f f f f k hf ( x mh, y mk ) hf ( x, y) mh mk hf ( x, y) mh mhk x y x y i i f f yzılır. k hf ( xi, yi ) ve k hf ( x, y) mh mhk x y () değerlerii () de yerie yzrsk ; f f yi yi hf ( xi, yi ) b hf ( x, y) mh mhk x y f y y ( b) hf ( x, y ) bmh h k x i i i i f y (3) () ile (3) ü birbirie eşilersek ; h f ( xi, yi ) h f x( xi, yi ) f y ( xi, yi ) f ( xi, yi ) ( b) hf ( xi, yi ) bmh fx ( xi, yi ) f y ( xi, yi ) f ( xi, yi )

139 7 Burd b ve bm deklemleri çıkr. İki deklem ve üç bilimeye olduğud biri keyfi sbi olrk seçilir. m lıırs, k hf ( xi, yi ) k hf ( xi h, yi k) olrk buluur. b olur. Bu durumd, y i y i ( k k ) b) IV. Merebe Ruge-Ku : Tylor serisie 4.merebede ürevleri de eklersek k hf ( xi, yi ) k hf ( x mh, y mk ) i i k hf ( x h, y k ) 3 i i k hf ( x rh, y rk ) 4 i i 3 olmk üzere y y k bk ck dk şeklide buluur. i i 3 4, b, c, d, m, ve r değerlerii hesplmk isersek, yedi bilimeyeli, yedide z deklem ile lieer y d lieer olmy deklem sisemi ory çıkr. O hlde m,, r,, b, c ve k hf ( xi, yi ) k hf ( xi h, yi k) k3 hf ( xi h, yi k) k hf ( x h, y k ) 4 i i 3 ve y y k k k k 6 i i 3 4 olrk buluur. d olrk seçersek ; 6

140 8 Örek. y ' xy ve y() bşlgıç değer problemi veriliyor. h.içi.merebe Ruge-Ku ile çözüüz. k hf ( x, y ) (.) f (,) (.)( ()). k hf x h y k f (, ) (.) (.,.8) (.)(.(.8) ).344 y y ( k k ) (..344).838 Örek. y ' y 3x ve y() bşlgıç değer problemi verilsi. x. deki çözümü. ve 4. merebede Ruge-Ku ile çözüüz..merebe : y ' f ( x, y) 3x y k hf ( x, y ) (.) f (,). k hf ( x h, y k ) (.) f (.,.8).4 y(.) y() ( k k ) (..4).88 4.merebe : k hf ( x, y ) (.) f (,). h k k hf x y (, ) (.)(3(.).8). h k k hf x y 3 (, ) (.)(3(.).95).3 k hf ( x h, y k ) (.)(3(.).87) y(.) y(). (.) (.3) Çok Adım Yöemleri Çok dımlı yöemleri çoğud çözüme bşlrke kullılbilecek bzı bilgiler mevcuur. Bu bilgiler elde olduğu göre, bu bilgileri kullrk çok ok kull bir yöeme döüşürülebilir. Bu yöemleri emel presibi, geçmiş bğımlı değişke değeri( y ) ve/vey bğımlı değişke ürev ( y ') değerleri kullılrk bu değerlere eğri uydurup, bulu foksiyou eegrlii lıp çözüme ulşmyı hedeflemekir.

141 Adms Yöemi Bu yöem, diğer yöemlere göre çok dh fzl kullıl ve krrsızlıklrı olmy bir yöem olrk biliir. İki Noklı Adms Yöemi : y ' f ( x, y) difersiyel deklemi verilsi. xi ve x i oklrıdki yi ve y i değerlerii bilidiğii vrsylım. O hlde verile difersiyel deklemi iegre edelim ( x i de xi e). xi xi xi xi xi y ' f ( x, y) dy f ( x, y) dx y( x ) y( x ) f ( x, y( x)) dx i i xi xi xi xi xi f ( x, y ( x )) x xi y( x ) y( x ) ( x) dx i i xi şeklide kbul edilirse ; x i h, x i, x i h lıırs ; y ( x ) y ( x ) h i i h elde edilir. Burd ve bilimeyedir. Bulrı bulubilmesi içi f ( x, y( x)) x foksiyou ( xi, fi ) ve ( xi, f i ) oklrıd geçeceğie göre ; f x i i fi xi ve xi, x i h yzılırs ; f ve ( f ) i f elde edilir. Bu değerleri deklemde yerie yzrsk; i h i h yi yi (3 fi fi ) elde edilir. Örek. y ' x y ve y() bşlgıç değer problemi veriliyor. y(.) değerii Euler yöemiyle hespldık sor y (.) değerii iki oklı Adms kesirme yöemii kullrk buluuz. y y hf ( x, y ) y (.) f (, ) (.). h y y (3 f f), f.... y. (3(.) ).45

142 3 Üç Noklı Adms Yöemi : y ' f ( x, y) difersiyel deklemi verilsi. Bu deklemi kullrk xi y( xi ) y( xi ) f ( u, y( u)) du ifdesii yzbiliriz. İegrl içerisideki poliom.derecede bir poliom olrk lıırs f ( x, y) x x xi olcğıd xi ( i) ( i ) ( ) xi y x y x u u du ve xi, x i h lıırs ; 3 h h h h y( xi ) y( xi ) h y( xi ) h( ) 3 3 elde edilir. Burd, ve bilimeyelerdir. Bulrı bulubilmesi içi f ( x, y) x x foksiyouu ( xi, f i ), ( xi, fi ), ( xi, fi ) oklrıd geçme koşulu kullılırs ; f x x i i i f x x i i i f x x ve xi, x i h, xi h yzılırs; i i i fi f i h h fi h 4h deklemleride; h yi yi (5 fi 6 fi 3 fi ) 6 elde edilir. Örek. y ' y x ve y() bşlgıç değer problemi veriliyor. h.5 lrk çözüme i iki okyı Euler formülü ile elde eike sor y (.5) değerii üç ok Adms kesirme yöemi ile buluuz. y y(.5) y() (.5) f (, ) (.5)( ).5 y y() y(.5) (.5) f (.5,.5).5 (.5)(.5).5.5 y3 y(.5) y() [5( ) 6(.5) 3(.5)]

143 3 Dör Noklı Adms Yöemi : h yi yi ( 9 fi3 37 fi 59 fi 55 fi ) Adms-Bshforh-Moulo Yöemi Bu yöemde kesirme yöemleride bulu formülleri dh hsss souçlr verecek şekilde düzelilmesi imklrı üzeride durulckır. İki Noklı Kesirme Düzelme Formülleri : Kesirme yöemleride öceki iki okı bilimesi hlide yei bir okı h yi yi (3 fi fi ) formülü ile hesplbileceği ifde edilmişi. O hlde mevcu iki yei okd geçe Lgrge Eerpolsyo formülü yzılbilir. Bu oklr ( xi, f i ), ( xi, fi ) oklrı olsu. ( x x ) ( x x ) f f L ( x) f f ( x x ) ( x x ) i i i i i i i i ( xi xi ) ( xi xi ) h h xi fi fi i i ( i) ( i ) h h x i y y x x x x dx, x i, xi h h fi fi yi ( x h) dx xdx h h hf hf h ( ) i i yi yi fi fi K h yi yi (3 fi fi ) D h yi yi ( fi fi ) h Örek. y ' x y ve y() bşlgıç değer problemi veriliyor. y(.4) düzelme formülü ile hesplyıız. h. dir. değerii kesirme y y(.) y hf ( x, y ) (.) f (, ) (.)(.44).88 K h y y (3 f f ) f.44, f.99 K. y.88 (3(.99).44).746

144 3 D h y y ( f f) f (.) D. y.88 ( ).786 Üç Noklı Kesirme Düzelme Formülleri : K h yi yi (5 fi 6 fi 3 fi ) D h yi yi (5 fi 8 fi fi ) Dör Noklı Kesirme Düzelme Formülleri : K h yi yi ( 9 fi 37 fi 59 fi 55 fi ) 4 D h yi yi ( fi 5 fi 9 fi 9 fi ) Mile Yöemi Bu yöemi de bşlılbilmesi içi y de öceki üç değeri yi i y i, yi, yi bir yöemle bulumsı gerekir. 4 h Deeme formülü ; yi yi3 ( fi fi fi ) 3 h Düzelme formülü ; yi yi ( fi 4 fi fi ) 3 Örek. i bşk Aşğıdki blod y ' x y difersiyel eşiliğii ek dımlı bir yöemle belirlemiş ilk dör değeri verilmişir. y(.4) değerii Mile yöemi ile buluuz. x y f ( x, y ). - -(.)-(-)= h y4 y ( f3 f f ) 3

145 33 4(.) ((.4547) (.743)) f4 (.4) (.89678).9678 h y4 y ( f 4 f3 f4 ) ( (.4547).45693) Birici Merebede Adi Difersiyel Deklem Sisemleri Bu uygulmlrd krşımız birde fzl birici merebede di difersiyel deklemler çıkbilir. Böyle bir deklem sisemi geel olrk y f ( x, y, y,..., y ), ( i,,..., m) ' i i m y ( x ) y i i şeklide m e bşlgıç şrı ile berber yzılbilir. Burd x bğımsız değişkei y i ise bğımlı değişkeleri gösermekedir. Bu ip deklem sisemii çözmek içi yukrıd verile herhgi bir yöem kullılbilir. Euler Yöemii Sisemlere Uygulışı : ' yi fi ( x, y, y,..., ym ) sisemi ve yi ( x) yi bşlgıç şrlrıı göz öüe llım ( i,,..., m). Bu siseme Euler ile çözüm yöemi şöyle uygulır. y ( x h) y hf ( x, y, y,..., y ), ( i,,..., m) i i i m Örek. ' y x y y ' deklem sisemi y x y 3y y (), y () bşlgıç değerleri ile veriliyor. y (.) ve y (.) değerlerii buluuz. f x y y f x y 3y f (,, ) () ( ) f (,, ) () 3( ) 5 y (.) y () hf (,, ) (.).

146 34 y (.) y () hf (,, ) (.)( 5).5 Hue Yöemii Sisemlere Uygulışı : y ' f ( x, y, z) y( x ) y z ' g( x, y, z) z( x) z bşlgıç değer problemii ele llım. y( x h) ve z( x h) değerii Euler yöemi ile ; y( x h) y( x ) hf ( x, y, z ) z( x h) z( x ) hg( x, y, z ) şeklide hesplybiliyorduk. Eğer x ve x h deki eğimleri rimeik orlmsı lıırs gerçeğe ykı souçlr elde edilebileceğii biliyoruz. O hlde x dki eğim y '( x ) ve z '( x ) ile x h dki Euler yöemi ile bulu () y x h y x hf x y z ( ) ( ) (,, ) () z x h z x hg x y z ( ) ( ) (,, ) değerlerii f ve g de yerlerie yzılmlrıyl y x h f x h y z () () '( ) (,, ) z x h g x h y z () () '( ) (,, ) şeklide buluur. Böylece () () () f ( x, y, z) f ( x h, y, z ) y ( x h) y( x ) h () () () g( x, y, z) g( x h, y, z ) z ( x h) z( x) h ikici hmi deklemleri buluur. Bezer işlemlere devm edilerek sorkiler hesplır. (3) y, (3) z ve dh Örek. y ' y z x z ' y 3z x Deklem sisemi y() =, z() = - bşlgıç değerleri ile veriliyor. h.5 lrk sisemi Hue yöemi ile çözüüz. f ( x, y, z) y z x g( x, y, z) y 3z x

147 35 f (,, ), g(,, ) 5 y () (.5) y() (.5) f (,, ) z () (.5) g() (.5) g(,, ) 3.5 y '(.5) f (.5,, 3.5) 6.5 z '(.5) g(.5,, 3.5) 4 () 6.5 y (.5) () 5 4 z (.5).5 5,375 Ruge-Ku Yöemii Sisemlere Uygulışı : y ' f ( x, y, z) z ' g( x, y, z) y( x ) y z( x ) z k hf ( xi, yi, zi ) k hf ( xi h, yi k, zi k) i i i bşlgıç değer problemii ele llım. h xi xi olmk üzere; y( xi h) yi ( k k ) l hg( xi, yi, zi ) z( xi h) zi ( l l ) l hg( x h, y l, z l ) Örek. 3x y '' 3 y ' y e, y(), y '().merebede sbi ksyılı lieer difersiyel deklemi, bşlgıç koşullu.merebede difersiyel deklem sisemie döüşürerek.merebede Ruge-Ku ile çözüüz. ( h.5 ) y ' z, y '' z ' 3 3 ' 3 x x z z y e z ' e 3z y y ' z f ( x, y, z) z e z y g x y z 3x ' 3 (,, ) y() z() y '() k hf ( x, y, z )(.5) f (,,) (,5) k hf ( x h, y k, z k ) (.5) f (.5,.3).5 y y ( k k ) (.5).5

148 36 l hg x y z g e 3() (,, ) (.5) (,, ) (.5)( 3() ()) 3 l hg x h y l z l g e z z ( l l) ( ).46 3(.5) (,, ) (.5) (.5,, ) (.5)( 3( ) ( )) 3.83 Tylor Seri Yöemii Sisemlere Uygulışı : y ' f( x, y, y) y ' f( x, y, y) y ( x ) y y ( x ) y koşullrıyl bşlgıç değer problemii ele llım. i. okd foksiyo değerleri belli ike ( i ). okd değerler; 3 ' h '' h ''' y ( xi ) y( xi ) hy ( xi ) y ( xi ) y ( xi )...! 3! 3 ' h '' h ''' y( xi ) y( xi ) hy( xi ) y( xi ) y( xi )...! 3! elde edilir. Bu formüllerdeki ürevler y ' f( x, y, y), y ' f( x, y, y) deklemleriyle hesplır. İseile ürev merebesi kdr erim, oplm kılır. Örek. y ' y y x y ' 3y 4y x y () y () koşullrıyl bşlgıç değer problemii h.5 lrk ve Tylor seri çılımıd. merebede ürevlerii hesb kck şekilde hesplyıız. y '(,, ) () 5 y '(,, ) 3() 4() d y '' ( y ') y ' y ' x y ''(,,) (5) () 4 dx d y '' ( y ') 3 y ' 4 y ' y ''(,, ) 3(5) 4() 64 dx h (.5) y ( xi ) y( xi ) hy '( xi ) y ''( xi ) (.5)5 4.8! h (.5) y( xi ) y( xi ) hy '( xi ) y ''( xi ) (.5) 64.68! Picrd Yöemii Sisemlere Uygulışı : y ' f ( x, y, z) z ' g( x, y, z) y( x ) y z( x ) z koşullrıyl bşlgıç değer problemii ele llım. Picrd yöemii bu siseme uygulrsk ;

149 37 emel formülleri elde edilir. x y( x) y f ( x, y, z ) dx x x z( x) z g( x, y, z ) dx x Örek. y ' 3y z y() z ' y z() bşlgıç değer problemii Picrd yöemi içi iki iersyod çözüüz. x x x y ( x) y (3 y z ) dx (3() ) dx dx x x z ( x) z ( y ) dx dx x x x x x x y ( x) y (3 y z ) dx [3( x) ( x)] dx dx x x z ( x) z y dx ( x) dx x x x

150 8. BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİNİN İNCELENMESİNDE OPERATÖRLERİN KULLANILMASI 8..Giriş Operörler yi işlemciler memike zm zm kullılmk ve olr bzı işlemleri dh koly ypılmsıı sğlybilmekedir. Opersyoel Hesp memike bşlı bşı bir kou hlie gelmiş olup, operörleri e öemli özelliği cebire ilişki üm kurllr uyum gösermiş olmlrıdır. d D ile ürevi emsil edilmiş olsu. ( ) dx y y x foksiyouu ' dy y ürevi bud dx yrrlrk y ' Dy şeklide ifde edilebilecekir. Uyrı: D operörü sdece işlemi emsil eiğide mulk ve mulk foksiyod öce, yi y i sol rfıd yzılmlıdır. yd gibi bir yzılımı hiç m hiç bir lmı yokur. D, D, D 3 frklı üç operör ise ) ) ( D D ) y ( D D ) y D. D ) y ( D. D ) y [ D ( D D )] y [( D D ) D ] y 3 3 [ D.( D. D )] y [( D. D ). D ] y 3 3 3) 3 3 Değişme özelliği Birleşme özelliği [ D.( D D )] y [ D. D D. D ] y Dğılm özelliği Bulrı dışıd olr çrplrı yrılbilir, üreilebilir h iegre edilebilir. Bu kıs ıımd sor ess koumuz döülürse, operörleri kullrk, bir difersiyel deklem sisemii çözümü rşırılırke e gibi kolylıklr sğldığı görülmüş olckır.

151 Homoje Difersiyel Deklem Sisemii Operörler ile Çözümü Bu bölümde de yie (.4) deki sisemi model olrk seçip, bu difersiyel deklem sisemi ile çlışcğız. Burd vrıl bzı souçlr geelleerek bilimeyeli deklemli bir lieerhomoje difersiyel deklem sisemie geişleme ypılbilecekir. dx x b y cz d dy x b y cz d dz 3x b3 y c3z d (8.) sisemi, d D ürev operörü olmk üzere d ( D ) x b y c z x ( D b ) y cz 3x b3 y ( D c3) z (8.) şeklide ifde edilecekir. Bu sisemleri öcede de belirildiği gibi x( ) y( ) z( ) ol bir çözümü vrdır ki bu şikr (rivil) çözüm deildiğii biliyoruz. Burd d sisemi çözümü deilice mç, şikr çözümde bşkc çözümlerii vr olup olmdığı rşırılmlıdır. Bu ür çözümleri vrs sisemi, buu ö koşulu (8.) deki sisemi ksyılr deermiıı sıfır eşi olmsıdır. D b c F( D) D b c b D c (8.3) Bu sğlıyors, çözümleri rşırılmsı geçilebilir. F( D) deklemi öceki uygulmmızdki krkerisik deklem yerie geçmiş olckır. Burd D operörü, prmeresii rolüü üslemiş olmkdır. F( D) deklemii kökleri D, D, D 3 ise bulr ye,, 3 kökleri gibi işleme sokulcklrdır. D D, D D, D D3 içi F( D ) F( D ) F( D3 ) olcğıd, bulrı belirlemesiyle geel çözümü yzılmsı olklı hle gelecekir. Uygulmy geçmede öce F( D) deklemii bir bşk özelliğide dh söz emek gerekmekedir. F( D ) bir cebirsel çok erimli olup buu derecesi, geel çözümde bulumsı gereke keyfi sbileri syısıı gösermekedir.

152 Örek. dx d dy d 3x y x 5y 4 lieer-homoje sisemii bir kez ürev operörüü kullrk iceleyelim. d D d şeklii lır. olmk üzere sisem ( D 3) x y x ( D 5) y D 3 F D D 5 ( ) ( D 4) olur. Demek ki D, 4 içi d F( D) dır.. İki klı kök (çkışık kökler) vrdır. Öceki icelememizdeki çözüm kımlrı şimdi doğrud yzılbilir. 4 4 ( ) x k e, y( ) k e olsu. D 4 içi sisemde k k kımı x ( ) k e, y ( ) k e 4 4 buluur. Keyfi olrk k seçilirse k olup, çözüm olur. D 4 (çkışık kök) içi iceleme şu şekilde gerçekleşirilir: x( ) ( k l ) e, y( ) ( k l ) e 4 4 öerilirse, sisemde k k ve l l k ilişkileri buluur. k keyfi olrk seçilirse k olup l l demekir. Keyfi olrk l l seçilirse ikici kök içi emel çözüm kımı x ( ) ( ) e, y ( ) ( ) e 4 4 şeklide elde edilir. F( D) deklemi ikici derecede olup sisemi geel çözümüde iki keyfi sbi buluckır. Bulr C ve C olsulr. Öyleyse geel çözüm şeklide oluşmuşur. 4 4 x( ) Ce C( ) e y( ) C e C ( ) e 4 4

153 4 Bu bsi öreklemede sor (8.) sisemi üzeride dh kpsmlı bir çlışmy geçilebilecekir F(D)= Deklemii Bsi Kökleri Bulumsı Hli : (8.3) de sözü edile F( D) krkerisik deklemii köklerii bsi ve yrık kökleri bulumsı hlide şğıd çıkldığı şekilde bir çlışm yeğleecekir. F( D) deklemii kökleri D, D, D 3 olsu. Bulr içi çözüm kımlrı x ( ) k e, y ( ) k e D D x ( ) k e, y ( ) k e D D x ( ) k e, y ( ) k e D3 D şeklide düzeleecekir. Görülüyor ki bulr D operörü yrdımıyl bir hmlede yzılbilmekedir. Burd hesplmsı gerekeler k, k, k3; k, k, k 3 ksyılrıdır. Bulrı belirlemek içi her D değerie i işlemler yrı yrı gerçekleşirilmelidir. Bu dir yrıılr şğıdki örek üzeride görülmekedir. Örek. dx 4z 4y 3x d dy 4z 5y x d dz 5z 6y x d sisemii iceleyelim. d D ürev operörü olmk üzere, sisem d ( D 3) x 4y 4z x ( D 5) y 4z x 6 y ( D 5) z şeklii lır. D F D D D D D 3 ( ) D 5 olup burd D, D, D3 3 buluur. Demek ki emel çözüm kımlrı

154 4 x ( ) k e, y ( ) k e, z ( ) k e 3 x ( ) k e, y ( ) k e, z ( ) k e 3 x ( ) k e, y ( ) k e, z ( ) k e şeklide ifde edilebileceklerdir. İş sdece ksyılrı belirlemesie klmışır. Bulrı d sırsıyl gerçekleşirelim : D içi F D ( ) F( ) olup, sisemde k k k3 k k k k 3k k 3 3 ilişkisie vrılır. Keyfi olrk k3 seçilirse k k olur. Bulr içi emel çözüm kımı şeklide oluşur. D içi F D x ( ) e, y ( ) e, z ( ) e ( ) F() olup, sisemde k k k 3 k 3k 3k 3 k, k k 3 ilişkisie vrılır. k keyfi olrk lıırs k3 olur. Böylece çözüm kımı şeklide oluşur. D3 3içi; F D3 x ( ), y ( ) e, z ( ) e ( ) F(3) olup, sisemde k3 k33 k k k k k k k3 3k3 4k ilişkisie vrılır. Keyfi olrk k3 seçilirse k 3 k 33 olur. Böylece çözüm kımı x ( ) e, y ( ) e, z ( ) e şeklide oluşur Arık geel çözüm ypılbilecekir. C, C, C 3 keyfi sbiler olmk üzere buluur. 3 x( ) Ce C3e y( ) C e C e C e z( ) C e C e C e

155 F(D)= Deklemii Çkışık Köklerii Bulumsı Hli : (8.3) de sözü edile F( D) krkerisik deklemii köklerii bir kez çkışık olduklrı vrsyılmkdır. Çkışık kökler D D D3 olsu. Bulrı her biri içi emel çözüm kımlrıı belirlemesi gerekmekedir. D D içi orml bir rşırm ypılckır (ilk kök). Temel çözüm kımı x ( ) k e, y ( ) k e, z ( ) k e D D D 3 olsu. F( D) F( D ) olcğıd, (8.) de ( D ) x b y cz ( D ) k bk ck 3 x ( D b ) y cz k ( D b ) k ck3 3x b3 y ( D c3) z 3k b3k ( D c3) k3 olup burdki bğıılr rlrıd lieer bğımlıdır. Dolyısıyl k k k3 şeklide bir ilişki oluşckır. k, k, k3 orılı olduğu syılrl eşleşirilirse (e bsi seçim k, k, k olur. Böylece ilk emel çözüm kımı budur) 3 şeklide buluur. x ( ) e, y ( ) e, z ( ) e D D D D D içi (çkışık köklerde ilki) : F( D ) dır ve (8.) sisemide ( D ) x b y cz x ( D b ) y cz 3x b3 y ( D c3) z cebirsel sisemi buluur ki emelde ilk sisemle bezer özelliklere shipir. Öreği bu sisemi ksyılr deermiı sıfır eşiir ve buu bir soucu olrk sisemdeki bğıılr, rlrıd lieer bğımlıdır. Bulrd, ksyılr deermiı sıfırd frklı ol iki bğıı ilk iki bğıı olrk seçilirse, D b D olmk koşuluyl sisem şeklide düzeleirse, ( D ) x b y cz x ( D b ) y c z

156 44 D b c b D c ; ; D b c D b c lımk sureiyle, gerekli düzelemeler ypıldığı kdirde x y z D ilişkisi buluckır. D D içi e çrpı kullılcğıd, çözüm kımı, olrk ifde edilecekir. x e, y e, z e D D D D D (çkışık kökleri ikicisi ) içi yie F( D ) dır. Sisemde D yerie D koyrk bir düzelemeye gider ve çözüme ulşmy çlışırsk, bir öceki souc ye ulşılck, bşk bir frk oluşmyckır. Yi bu kök içi yei bir souc ulşılmış olumyckır. x, y, z çözüm kımıyl lieer bğımlı olmy bir bşk çözüm kımı elde edebilmek içi k, k, k 3 hesplmsı gereke sbi erimler olmk üzere, bu kez x ( k ) e ; y ( k ) e ; z ( k ) e D D D öerilir. Bu çözüm kımı (8.) sisemii sğlmlıdır. Bu çözüm kımı yzılırke, leri ksyılrı, çkışık kökleri ilki içi bulu ksyılr olrk seçilmişir. Bu hesplmlrd, priklik çısıd oldukç kolylıklr sğlckır. dx3 Dx3 ( D Dk ) e d dy3 Dy3 ( D Dk ) e d dz3 Dz3 ( D Dk3 ) e d ürevleriyle siseme gidilirse ve gerekli düzelemeler ypılırs, [( D ) b c ] ( D ) k b k ck 3 [ ( D b ) c ] k ( D b ) k ck3 [ 3 b3 ( D c3) ] 3k b3k ( D c3) k3 D D D olur. Burd i ksyılrı ol köşeli prez içideki ifdeler yrı yrı sıfır eşiir. Çükü bu x y z ilişkisii bir doğl soucudur. Öyleyse yukrıdki sisem ( D ) k b k c k 3 k ( D b ) k c k 3 k b k ( D c ) k

157 45 sisemie döüşür. Ksyılr deermiı sıfır eşi olduğud bu bir Crmer sisemi olmyıp ck burd k, k, k3 hesplbilecekir. Bu sisemi özelliği edeiyle (ksyılr deermiı sıfır eşi idi ) özel bir iceleme gerekir. D b D b olmk koşuluyl sisem ( D ) k b k c k 3 k ( D b ) k c k 3 şeklide düzeleirse, k ve k ; k3 prmeresie bğımlı olrk; şimdi bir Crmer sisemi gibi ele lımk sureiyle, k c k b 3 c k D b 3 D b D b ; k D c k 3 c k 3 D b D b buluur. Bulr ise k k c b b c D b D b. k3 D b D b D b D b D c D c. k3 D b D b D b D b şeklide de ifde edilebilirler ki burd çık olrk, k ve k prmerelerii k3 ciside e şekilde ifde edilmiş olduğu görülmekedir. Deermilrı mmı sbi değerlerde ibreir ki bu d ilişkilerdeki ksyılrı oluşurckır. k3 keyfi seçilerek, bu ilişki düzei içide k ve k değerleri k 3 prmeresii seçimie bğlı olrk değerledirilmiş olur. Öreği, keyfi bir değer olrk k3 3 olurs, bu göre k, k değerlerii lmış olsu. Öyleyse çözüm kımı olrk belirleecekir. x ( ) e ; y ( ) e ; z ( ) e D D D Çözüm kımlrıı belirlemesi, geel çözümü yzılbilmesii gerekli ve olklı kılr. Bu göre C, C, C3 keyfi sbiler olmk üzere ;

158 46 yzılbilecekir. x( ) C e C e C ( ) e y( ) C e C e C ( ) e z( ) C e C e C ( ) e Çkışık kök olmsıı dh geel hli D D D 3 D D D 3 D D D 3 3 F D D D 3 ( ) ( ) olmsıdır. Sisemimiz 3 içi düzelediğide, burd büü kökler içi klılık hli söz kousudur. Bu durum d geel çözümü yzılbilmesi içi, çözüm kımlrıı e şekilde belirleebileceğii rışcğız. D D klı kökleri ilki olup, F( D ) dır. Buu içi sisem ( D ) x b y c z x ( D b ) y cz 3x b3 y ( D c3) z olur. Bu öcede icelediğimiz ürde bir sisem olup, şikr çözümde bşk çözümlerii bulubilmesi koşulu, ksyılr deermiıı sıfır eşi olmsıdır. Bu sisemi ilk iki deklemi D b D b olmsı koşuluyl, ( D ) x b y cz x ( D b ) y cz şeklide düzeleyelim. D b c b D c ; ; D b c D b c olrk lıırs, bulrd ve sisemde x y z D ilişkisi yzılbilecekir. D D içi e çrp olrk kullılcğıd, x e, y e, z e D D D çözüm kımı bu şekilde buluckır. D D çkışık kökleri ikicisi olup buu içi de F( D ) dır. Bu kez,, öceki çözüm kımıd kulldığımız sbiler olmk üzere ; x ( k ) e ; y ( k ) e ; z ( k ) e D D D 3

159 47 lmk sureiyle düzeleirse, uygulm çısıd bzı kolylıklr sğlmış olckır. Burd leri ksyısı olrk sırsıyl μ,, λ syılrıı kullıldığı dikk edilmelidir. Bu çlışmı souçlrıı ikici çkışık kök içi sıl değerledirildiğii bir öceki icelememiz sırsıd gördük; bu yrııyı burd yielemiyoruz. Yukrıdki bezerii yı souçlrıı yı yorumlrl lırsk, ikici çözüm kımıı şeklide ifde emiş oluruz. x ( ) e ; y ( ) e ; z ( ) e D D D 3 D D çkışık kökleri üçücüsü ve bu modelimiz içi soucusudur. Buu içi de F( D ) dır. Bu kez öcekide de frklı bir uygulmy girme zorululuğu ory çıkckır. Bu kez çözüm kımıı x, y, z de olduğu şekilde de seçemeyiz. m, m, m3 hesplmsı gerekli prmereler olmk üzere, yei çözüm kımı ; x ( m ) e ; y ( m ) e ; z ( m ) e D D D D şeklide seçilmelidir. Bu kez e i ksyılrı ye göre ikici derecede çok erimlilerdir ve yie uygulmd bzı kolylıklr sğlmk üzere ve li erimleri ksyılrı, öceki çözüm kımlrıdki ksyılr olrk lımışır. Bulrı ürevleriyle siseme gidilir ve gerekli sdeleşirmeler ve düzelemeler ypılırs, ( D ) m b m cm 3 m ( D b ) m cm 3 m bm ( D c ) m3 3 olur. Burd,, 3 ile m, m, m3 syılrıı ve,, syılrıı orılı ilişkiler içide olduklrı lşılır. Bu sisemdeki bğıılrı, lieer bğımlı oluşlrıı ory koyduğu kçıılmz bir souçur. Bu sisemi ksyılr deermiı F( D ) dır. Yi m, m, m3 syılrı D D içi x, y, z ile orılı ilişkiler içide demekir ve bu d yukrıdki çıklmı ışığıd değerledirilmelidir. Öyleyse m, m, m3 prmereleri bu sisemde, bir lieer bğımlılık ilişkisi içide, ıpkı k, k, k3 sbilerii hesplmsıd olduğu gibi hesplbilecekir. x3, y3, z3 çözüm kımı d bu şekilde belirlemiş olckır. Arık geel çözüm yzılbilecekir. Örek. dx d dy d dz d x y z x 3y z y difersiyel deklem sisemi, orml-homoje bir sisem olup, buu x( ) y( ) z( ) şikr çözümüde bşk çözümleri buluup bulumdığıı rşırmk isiyoruz.

160 48 d D d ürev operörü olmk üzere, şeklide düzeleir. ( D ) x y z x ( D 3) y z y Dz ( D ) F D D D D ( ) 3 ( )( ) olup burd D, D D3 (iki klı kök) buluur. D D içi : F( D) F( D ) F() dır. Sisem D içi : x y z x y z y z D şeklide bir cebirsel siseme döüşür. Bu bğıılr, rlrıd lieer bğımlıdır. Bulrd x y z ilişkisie vrılır. D içi yrdımıyl, buluur. D D içi : e x e ; y e ; z e çrpı kullılcğıd, z e lıırs yukrıdki ilişki Bu çkışık (klı) kökleri ilki olup buu içi F( D) F( D ) F() dır. Bu kök içi uygulm bsi köke olduğu gibi ypılckır. Sisem, y z x y z y z şeklii lır. Burd, bğıılrı rlrıd lieer bğımlı olmdıklrıı bir soucu olrk x y z ilişkisie vrılır. D içi e çrpı kullılcğıd, z e lıırs,

161 49 buluur. D D 3 içi : x e ; y e ; z e Bu çkışık kökleri ikicisidir. Buu içi de F( D) F( D3 ) F() dır. Bu kök içi hesplr öcekide olduğu gibi düzeleemez. Bu kez, x, y, z çözüm kımıı ksyılrı kullılrk, çözüm kımı x ( k ) e ; y ( k ) e ; z ( k ) e olrk seçilmelidir. Burdki k, k, k3 sbiler, sisemi sğlyck şekilde hesplmlıdır. Öerile çözüm kımıı siseme uygulylım: ( D )( k) e ( k) e ( k3) e ( k) e ( D 3)( k) e ( k3) e ( k) e D( k3) e Gerekli işlemler ve sdeleşirmelerde sor, k k3 k k k 3 k k3 sisemie vrılır. Bu elde edilirke, ksyılr öcede uygu seçildiği içi li erimleri (ksyılrı sıfır olduğu içi) ord klkığı dikk edilmelidir. Bu sisem gerçeke k k3 k k k 3 sisemide ibreir. Bulrd, k3 keyfi bilimeye seçilmek sureiyle k k ; k k 3 3 ilişkisi yzılbilir. k3 keyfi olrk lıırs ; k, k, k3 buluur. Bu değerler içi çözüm kımı x ( ) e ; y ( ) e ; z ( ) e 3 3 3

162 olrk belirleir. 5 Bu şekilde, her köke krşı gele çözüm kımlrı belirlediğie göre, yzılır. İseirse bu souç şeklide de düzeleebilir. x( ) Ce Ce C3( ) e y( ) C e C e C ( ) e z( ) Ce Ce C3( ) e 3 x( ) Ce ( C C3) e C3e y( ) C e ( C C ) e C e z( ) Ce ( C C3) e C3e F(D)= Deklemii Krmşık Köklerii Bulumsı Hli: Yie yı model sisemi kullrk kouyu icelemeye çlışlım. Bu mçl orml-homoje sisem olrk (.4) sisemii göz öüe llım. Ack kouy yklşımımız operörleri kullılmsı olduğu içi sisemi (8.) ile verile şekli üzeride çlışlım. Bu sisemde, (8.) ile ifde edile F(D)= deklemii, D i 3. derecede bir cebirsel deklemi olrk olrk belireceğii biliyoruz. Diyelim ki bu deklemi, bir reel kökü yısır diğer iki kökü kompleks syılrdır. Bulrı eşleik kompleks kökler olmsı gerekiğii biliyoruz. Bu deklem,. derecede bir cebirsel deklem olsydı, herhlde frklı y d klı olmk üzere dh çok syıd kompleks kökleri vrlığı d srlbilirdi. Burd ory koycğımız ilkeler, çözüm şmsıd, dh geel uygulmlr içi bir fikir vermeye yeerli olckır. x x( ), y y( ), z z( ) olmk üzere, ( D ) x b y cz x ( D b ) y cz 3x b3 y ( D c3) z sisemii ksyılr deermiı Δ=F(D) ile göserilirse D b c D b c F( D) b D c olmsı koşuluyl, x( ) y( ) z( ) şikr çözümüde bşkc çözümlerii vrlığıd söz edilebilecekir. F(D)= deklemi, kökleride biri reel, diğer ikisi eşleik kompleks kökler ise :

163 5 F D D D D ( ) ( )( ) şeklide ifde edilebilir. Öyle ki burd D ; D,3 4. i 4 dır. Burd kökler, olrk belirleir. Eğer A ; B 4 ile göserilirse kompleks kökler D,3 A ib şeklide ifde edilmiş olur. Klı kökler bulummsı edeiyle, uygulmy kouluşud, reel y d kompleks kök oluşu bkılmksızı, öcede uyguldığı rzd bir yol izlemesii gerekir. D D içi, F( D ) F( ) olup, sisem buu içi düzeleirse, ( ) x b y cz x ( b ) y cz 3x b3 y ( c3 ) z olur. Bu bir cebirsel sisem olup, ck ksyılr deermiı sıfır eşi olduğud, bir Crmer sisemi değildir. Öyleyse bu sisemdeki bğıılr rlrıd lieer bğımlıdır. Bu şekilde düşüülecek, keyfi seçilecek bğıılr ve bilimeyee göre sisem düzeleerek, x, y, z rsıdki ilişki belirledike sor, bu çözümde e λ çrpıı d kullılcğı hırlrk, ilk çözüm kımı x, y, z olrk buluckır. D D,3 A ib içi de F ( D,3) F ( A ib) dır. Sisem bu kökler içi düzeleirse ; [( A ib) ] x b y c z x (( A ib) b ] y cz 3x b3 y [( A ib) c3] z şeklii lır. Gerçeke bu (+) ve (-) syılr içi iki yrı sisemi emsil emekedir. Bu sisemdeki bğıılr d rlrıd lieer bğımlıdır. Yie lieer cebiri kurllrı uygu hreke edersek, burd x, y, z rsıdki ilişkiler yrı yrı buluur. Uuulmmlıdır ki bu ilişkilerde biri ( A ib) e çrpıı; diğeri ( A ib) e D A ib içi x, y, z D3 A ib içi x3, y3, z 3 çrpıı kbul edecekir. Böylece bulu çözüm kımlrı; olsu. Bulr yrdımıyl, sisemi geel çözümü ifde edilmiş olckır. Ack bu ifde rzı, bu şekliyle kompleks ifdeleri içermekedir. Bu rz pek geçerli olmdığıd, öcede de ypıldığı gibi ; bulrı rigoomerik göserimie geçilmesi yeğleecekir. ( AiB) A e e B i B (cos si ) yzılbilecekir. Souç, bu ifdei de kkısıyl ve C, C, C3 düzeleerek, iseile şekilde biçimledirilebilecekir. Bu koudki yrıılrı şğıdki örek üzeride, dh iyi çıklmk olklıdır. keyfi sbileri yeide

164 Örek. Dx Dy z ( D ) x Dz x 4 y ( D 7) z 5 homoje difersiyel deklem sisemii iceleyelim: D D F D D D D D D D D D 3 ( ) 3 ( )( 4 5) 4 D 7 olur ki burd F(D)= içi D, D,3 i buluur. Demek ki sisemi x( ) y( ) z( ) şikr çözümüde bşk çözümleri, D i bu değerleri içi bulubilecekir. Dikk edilirse, sisemi veriliş özelliğide öürü serbes değişkei e olduğu e olrk biliememekedir. Biz bu değişkei olduğuu kedimiz belirlemiş oluyoruz. Bu değişkei bir bşk hrfle de emsil edebilirdik. Ack, bu hrf herhlde x, y, z de biri olmyckır. D=D= içi: F(D)=F(-)= olup sisem buu içi düzeleirse : x y z 3y z x 4y 9z olur. Bu sisemi ksyılr deermiıı sıfır oluşu, bu bğıılrı rlrıd lieer-bğımlı olduğuu göserir. Bu şekilde, x, y, z rsıd x y z ilişki buluur. Bu oluşumd e çrpı kullılckır. z yi keyfi bilimeye seçer, diğer ikisii bu göre ifde edersek, ilk çözüm kımı olrk buluur. 7 x e ; y e ; z e 6 3 D D i içi F( D ) F( i) dır. Sisem düzeleirse ( i) x ( i) y z ( i) y ( i) z x 4 y (5 i) z olur. Bu d öceki sisemi özelliklerie ship olduğud, sisemdeki deklemler rlrıd lieer-bğımlıdırlr. x, y, z rsıdki ilişki 5 x y z 7 4i i i

165 53 şeklide belirleir. Burd keyfi olrk z seçilir ve olrk buluur. 3i 3 i x e ; y e ; z e ( i) ( i) ( i) ( ) z e i lıırs, ikici çözüm kımı D D3 i içi de F( D3 ) F( i) dır. Sisem buu içi düzeleirse ( i) x ( i) y z ( i) y ( i) z x 4 y (5 i) z olur. Bu sisemde de bğıılr, rlrıd lieer-bğımlıdır. Bu özelliği bir soucu olrk ; x, y, z rsıd 5 x y z 7 4i i i ilişkisi belirleir. Keyfi olrk z değişkei seçilirse olrk buluur. 3i 3 i x e ; y e ; z e ( i) ( i) ( i) ( ) z e i içi üçücü çözüm kımı Bu şekilde belirlee çözüm kımlrı yrdımıyl, geel çözüm C, C, C 3 keyfi sbiler olmk üzere 7 3i 3i x( ) C x ( ) C x ( ) C x ( ) C e C e C e 6 3 i 3 i y( ) C y ( ) C y ( ) C y ( ) C e C e C e 3 ( i) ( i) z( ) Cz ( ) Cz( ) C3z3( ) Ce Ce C3e ( i) ( i) ( i) ( i) olrk ifde edilecekir. Ack bu souç geel uygulmd yeerli bir souç kbul edilememekedir. Çükü kompleks syılrı içermekedir. Öcede de değiildiği gibi bu syılr ve ifdeler i e cos i si bğıılrı yrdımıyl yeide düzelemelidir. Elemer syılbilecek çeşili işlemler ypılrk, çözüm ifdesi yeide düzeleir. K, K, K3 yei keyfi sbileri göserdiklerie ve C C3 C C3 K C, K, K3 i olmk koşuluyl geel çözüm

166 54 buluur. Örek. d D d 7 x( ) K e [(55K 5 K ) cos (5K 55 K )si ]. e 6 y( ) Ke [(3 K K3) cos ( K 3 K3)si ]. e 3 z( ) Ke [(K cos K3 si ]. e olmk üzere 3 3 4( D ) x ( D ) y (5D ) z (4D 3) x (D 3) y (5D ) z ( D 8) x ( D ) y ( D D 6) z difersiyel deklem sisemii iceleyelim. Bu sisemi öcede icelediklerimizde, öreği öcekideki gibi sisemlerde bir yrıclığı, orml sisem olmmsıdır. Ack, bu rğme, bir lieer homoje sisem olrk, bu sisemi de öceki icelememizde uyguldığımız yoll iegre edilebileceğii rışbileceğiz. Ksyılr deermiı F(D) hesplırs F( D) ( D ) 3 buluckır. Bu sisemi x( ) y( ) z( ) şikr çözümüde bşkc çözümleri vrs, bulr ck F D D D 3 ( ) ( ) (üç klı kök) içi vr olbilecekir. D D (ilk kök) içi F( D ) F( ) dır. Sisemde x z x z y, z x x y z ilişkileri buluur. Keyfi olrk olur. x e x e ; y ; z e lıırs, ilk çözüm kımı D D (ikici kök ) içi : yie F( D ) F( ) dır. Ack bu kez ilk köke olduğu gibi hreke edilemez. Çükü çkışık kökür. Öyleyse x, y, z yeide düzeleerek öerilmelidir.,, 3; b, b, b3 hesplmsı gereke ksyılr olmk üzere ikici çözüm kımıı x ( b ) e ; y ( b ) e ; z ( b ) e 3 3 şeklide seçilmesi gerekecekir. Buu siseme uygulylım. Bu mçl öce ürevleri hesplylım :

167 55 dx Dx ( b ) e ; d dy Dy ( b ) e ; d dz Dz ( 3 3 b3 ) e ; d d x D x (4 4 4 b ) e ; d d x D z ( b3 ) e d Siseme uygulylım. Bzı sdeleşirmeler ve düzelemeler ypılmk sureiyle sisem, ( 3) (4 b 53 b3 ) ( 3) (4 b 53 b3 ) ( 3 ) (4 b b 53 b3 ) şeklii lır. Bu bğıılr özdeş olrk sğlcğıd ; leri ksyılrıd sisemi ; sbi erimlerde de 4 b 53 b3 4 b 53 b3 4 b b 53 b 3 sisemi elde edilir. İlk sisem x, y, z 3 lıdığı kdirde öceki sisemle mme yıdır. Öyleyse yı değerledirme ypılırs (ki bu bir bkım zoruludur.),, 3 buluur; ( x= keyfi seçilmiş olrk). Bu değerler içi ikici sisemi düzeleyelim : olur. Bu sisem b b3 b b b 3 b b3 b b b3 şeklide düzeleirse, bulrd b buluur. Bu değer içi her iki deklem

168 b b3 56 bğıısı idirgemiş olur. Burd keyfi olrk b seçilirse b3 buluckır. Böylece, öerile büü ksyılr belirlemiş olur. Öyleyse rık ikici çözüm kımıı ifde emek olğı vrdır. Bu d şeklide belirleecekir. x e ; y e ; z ( ) e D D 3 (üçücü kök) içi de F( D3 ) F( ) dır. Ack bu kere de ikici kök içi ypıld olduğu gibi hreke edilemez. Bu kez çözüm kımıı;,, 3; b, b, b3 ; c, c, c3 hesplmsı gereke sbiler olmk üzere x ( b c ) e ; y ( b c ) e ; z ( b c ) e şeklide düzelemek gerekir. Yi ksyılr i ikici derecede çokerimlileri olrk ifde edilmişir. Öce ürev işlemlerii gerçekleşirerek, öerile bu çözüm kımıı siseme uygulylım : dx3 Dx3 [ ( b ) b c] e d dy3 Dy3 [ ( b ) b c] e d dz3 Dz3 [ 3 ( 3 b3 ) b3 c3] e d d x D x b b c e d d x3 D z3 [4 3 4( 3 b3 ) ( 3 b3 c3)] e d 3 3 [4 4( ) ( )] olup, bulr içi sisem, bzı sdeleşirmeler ve düzelemeler ypılırs, ( 3) (8 b 4 3 b3 ) (4b c b 5b3 c3) ( 3) (8 b 4 3 b3 ) ( 4b c b 5b3 c3) ( 3) (8 b 4 b 3 b3 ) (4b c b c 5b 3 c3 ) şeklii lır. Bu bğıılr özdeş olrk sğlcğıd, sırsıyl, leri ksyılrıd ( 3) ( 3) ( 3) sisemi ; leri ksyılrıd,

169 57 8 b 4 3 b3 8 b 4 3 b3 8 b 4 b 3 b 3 sisemi ve ihye sbi erimlerde 4b c b 5b3 c3 4b c b 5b3 c3 4b c b c 5b3 c 3 sisemi yzılır. Bulrd ilki, ilk kök uygulmsıd krşılşıl sisemde frklı değildir. Öyleyse yı yorumlr ekrrlrk bu sisemdeki,, 3 ksyılrıı,, 3 olrk lırız. Bu şekilde seçim ypmk bir bkım bir zorululukur d. Bulr yrdımıyl ikici sisemi düzeleyelim : b b3 6 b b b3 ( b b3 ) b olur. Bu sisem gerçeke b b3 6 b b b3 şeklide göz öüe lıırs, burd kolyc b olmsı gerekiği belirleir. Böylece so 6 iki deklem de lieer-bğımlı hle gelir ki bulrd, öreği keyfi olrk b seçilirse b3 olur. Böylece b, b, b3 ksyılrı d 6 şeklide belirlemiş olur. b, b, b3 6 6 Bulu bu değerler içi üçücü sisemi değerledirelim :

170 58 7 ( c c3) 6 7 ( c c3) 6 7 ( c c3) c 6 olur. Öceki iki sisemi yorumlrke göz öüde buludurul hususlr, bu sisem içi de ye ekrrlckır. Bu düşücede hreke edilerek, buluur. Böylece sisem 7 c c3 7 c c3 66 c c 3 c 7 6c bğıısı idirgemiş olur. Keyfi olrk c seçilirse, c3 c, c, c3 ksyılrı olrk belirlemişlerdir. 7 7 c, c, c buluur. Demek ki, Ksyılrı bu işlemler soucu belirlemeside sor, üçücü kök içi üçücü çözüm kımı 7 7 x e, y ( ) e, z ( ) e olckır. Arık icelemeke olduğumuz sisemi geel çözümü ifde edilebilecekir. Gerekli düzelemeleri de ypıldığı vrsyımıyl, C, C, C3 keyfi sbiler olmk üzere, geel çözüm x( ) Ce Ce C3 e 7 y( ) Ce ( ) C3e z( ) C e ( ) C e ( ) C e olrk ifde edilecekir. H bu souç yei bir düzelemeyle,

171 59 şeklide de yzılbilecekir. x( ) ( C3 C C ) e y( ) [ C3 (6C 7 C3)] e z( ) [ C ( C C ) ( C C C )] e Örek. dx dy dz 6 5 x z d d d d y d z dx dy dz x 4y 6z d d d d d dx dy dz 6 5 x z d d d difersiyel deklem sisemii, her e kdr orml bir homoje sisem değilse de, öceki öreğimizde olduğu gibi, operörleri kullrk iceleyelim d D olmk üzere sisem yeide düzeleirse d ( D ) x 6 Dy (5D ) z ( D ) x 6 Dy (5D ) z ( D ) x ( D D 4) y ( D D 6) z şeklii lckır. Bu sisemi, x( ) y( ) z( ) şikr çözümüde bşkc çözümüü vr olup olmdığıı rşırıyoruz. Bu mçl öce ksyılr deermiıı hesplylım: olur. F D 3 ( ) ( D ) ( D ) 6D 5D F( D) D D D 4 D D 6 ( D ) 3 D 6D 5D içi D,,3 (üç klı kök) buluur. Oys D içi sisem düzeleirse ; y z y z y z y z y z sisemie geçilir. Bu y,z bilimeyeleri içi düzelemiş x de bğımsız bir lieer homoje sisemdir. Bu sisemde, y z d bşk çözüm bulubilmesi yi y ve z i hesplbilir olmsı koşulu, bu sisemi ksyılr deermiıı sıfır olmsıdır. Oys,

172 6 dır. Demek ki bu homoje sisemii, şikr çözüm dışıd sğly bşkc bir çözüm bulumz. Bu souc bğlı olrk icelemeye ldığımız difersiyel deklem sisemii x( ) y( ) z( ) d bşk bir çözümü bulumyckır. Ayrıc şikr çözüm olrk dldırdığımız bu çözüm de, öcede de zm zm belirildiği gibi, keyfi sbileri içermediğide geel çözüm ieliğide değildir. Souç olrk, seçile difersiyel deklemi geel çözümü mevcu değildir Sbi Ksyılı Lieer Difersiyel Deklem Sisemii Operörler ile Çözümü Bsi Hli İcelemesi Öcelikle bu ür sisemleri, lışıldığı biçimde, bir bsi model üzeride iceleyelim. Bu şekilde oluş kvrmlrı ve yöemleri geellersek, geel hle vrmy çlışlım. Model olrk, yie üç bilimeye foksiyou üç bğııd oluş bir özel sisemii seçelim. Bu sisem ;( i,,3; j,,3) sbilerde oluş ksyılr ; ij f( ), f( ), f3( ) foksiyolrıd e z biri sıfırd frklı olmk üzere, dx x y 3z f( ) d dy x y 3z f( ) d dz 3x 3 y 33z f3( ) d (8.4) şeklide seçilmiş olsu. f( ), f( ), f3( ) gibi foksiyolr bze, homojeliği bozucu foksiyolr d deilmekedir. Gerçeke, eğer f( ) f( ) f3( ) olsydı, (8.4) sisemi bir lieer-homoje sisemde bşk bir şey olmyckı. Bu ür bir sisem, ilkel bir yklşıml, üreme yok eme yöemii kullılmsıyl iegre edilebilir. Ack yöemi fzl prik olmmsı edeiyle sisemi geel oluşumuu icelerke göreceğimiz gibi, dh krmşık sisemlerde bu yöemi uygulmsı pek de koly olmyckır. Bu edele, heüz bu bsi hli icelerke, bu yöemi kullmyı öermeyerek; bizim içi dh yrrlı ve üzeride geellemeye gimeye orm hzırlybilecek bir çözüm ekiği olrk, burd d operörlerde yrrlılmsı yeğleecekir. Kldı ki bud öceki lbölümde operörlerle ypıl çlışmlr, bize bu koud hyli deeyim kzdırmış olmlıdır. Yukrıd çıkl gerekçeye dylı olrk, (8.4) difersiyel deklem sisemi, olmk üzere yeide düzeleirse sisem d D d

173 6 ( D ) x y 3 z f( ) x ( D ) y 3z f( ) 3x 3 y ( D 33) z f3( ) (8.5) şeklide ifde edilmiş olckır. Bu sisemi, ksyılr deermiı sıfırd frklı olmsı koşuluyl, böyle bir siseme, cebirsel lmd bir homoje sisem gibi yklşmk olğı vrdır. D 3 ( D) D 3 D olsu. f ( ) 3 f ( ) D ( ) ; x 3 f ( ) D y D f ( ) 3 f ( ) ( ) ; 3 f ( ) D D ( ) z D 3 3 D olrk hesplbildiğie göre, Crmer eoremi gereğice, x ( ) y ( ) z 3( ) x ; y ; z ( D) ( D) ( D) ( D) ( D) ( D) yzılbilecekir. ( D) ifdesi, modelimize göre D i 3.derecede bir m çokerimlisidir. Bu göre çözüm yeide düzeleirse; ( D) x ( ); ( D) y ( ); ( D) z ( ) olur ki bulr, krkerisik deklemleri ( D) olrk yı ck ikici ydki foksiyolr iibriyle frklı birer di ve sbi ksyılı difersiyel deklemdirler. Bu ür difersiyel deklemleri geel çözümlerii e şekilde bulucğı dir, büü yrıılrı d içere bilgiler. cile bulumkdır. Yi öceliği iibriyle bu çözümler, bizce bilimekedir. İcelemeye yrı yrı lcğımızd, bu difersiyel deklemleri her biri üçücü merebede bir deklem olup, geel çözümleri ifde edildiği zm, x( ) (, c, c, c3) h ( ) y( ) (, c4, c5, c6) h ( ) z( ) 3(, c7, c8, c9 ) h3 ( ) (8.6)

174 6 şeklide çözümlerle krşılşılckır. Alşılcğı gibi foksiyolr birbirlerie bğlı olmksızı çözümlediğide, her seferide frklı keyfi sbileri kullılmsı zorululuğu soucud, ory dokuz frklı keyfi sbi çıkmışır. Oys sisemi merebesi, lbölüm 3. deki ım uygu olrk 3 ür. Biliyoruz ki sisemimizi geel çözümüde de, sisemi merebesie eşi syıd keyfi sbi buluckır. Bu edele iddi edilebilir ki (8.6) çözümüde yer l keyfi sbiler, rlrıd lieer bğımlıdır. Öyleyse bu ilişkii belirlemesi ve buu yrdımıyl (8.6) çözümüü ım uygu olrk yeide düzelemesi gerekir. (8.6) çözümüdeki h ( ), h ( ) ve h ( ) 3 foksiyolrı ise difersiyel deklemleri ikici ylrıd bulu foksiyolrl iliili olrk elde edile özel çözümlerdir. Keyfi sbiler rsıdki ilişkileri belirlemeside, sisemdeki deklemlerde yrrlılır. (8.6) çözümü, sisemdeki her bğııyı yrı yrı özdeş olrk sğlyckır. Bu kvrmd hreke ederek, (8.6) de ifde edile çözüm siseme uygulırs, keyfi sbiler rsıd sisemlere bğlı ilişkiler böylece düzelemiş olur. Bu sisemlerde, c, c, c3 keyfi bilimeyeler olrk seçilmek sureiyle, c u ( c, c, c ); c u ( c, c, c ) c u ( c, c, c ); c u ( c, c, c ) c u ( c, c, c ); c u ( c, c, c ) şeklide ifdelere vrılıyors, geel çözüm sdece c, c, c3 keyfi sbilerii içerecek şekilde düzeleebilecekir. Böylece geel çözüm x( ) (, c, c, c3) h ( ) y( ) [, u( c, c, c3), u( c, c, c3 ), u3( c, c, c3)] h ( ) z( ) 3[, u4( c, c, c3 ), u5( c, c, c3), u6( c, c, c3 )] h3 ( ) şeklide ifde edilebilecekir. Örek. dx dy 4 y e d d dx dy y e d d 5 difersiyel deklem sisemi verilmekedir. Sisemi ikici yıd homojeliği bozucu foksiyolr vrdır. Sisem sbi ksyılıdır. d D d olur. olmk üzere sisemi operör kullrk yeide düzeleyelim: Dx ( D ) y e Dx ( D ) y e 4 5 D D D D ( D) 4D D

175 63 dır. Öyleyse bu sisemde, Crmer eroremi yrdımıyl x( ) ve y( ) foksiyolrı, birbirlerie bğımlı olmksızı iceleebilecekir. olrk 4 e D x ( D ) e ( D ) e 6e 4e 5 e D D e y D( e ) D( e ) 5e 8e 5 D e x y ( ) 6e 4e ( D) ( D) 4D D x y ( ) 5e 8e ( D) ( D) 4D D 5 4 yzılbilecekir. Burd d ekik iceleme sırsıd çıkldığı gibi ( D 4 D) x 4e 6 e ;( D 4 D) y 8e 5e şeklideki difersiyel deklemlere vrılckır. Bu deklemleri yrı yrı iegre edelim : ( D 4 D) x 4e 6 e ;( D 4 D) y 8e 5e difersiyel deklemlerii homoje kısmı, ( D 4 D) x ve ( D 4 D) y olup D 4D ork krkerisik deklemdir. Bud D ve D 4 buluur. Bu göre her iki deklem içi, ikici ysız deklemleri geel çözümleri, frklı keyfi sbiler kullılrk ; şeklide ifde edilecekir. Özel çözümlere gelice : x c c e ; y c c e ( D 4 D) x 4e 6e içi h ( ) e e ( D 4 D) y 8e 5e içi ( ) h e e buluckır. Bulrl ilgili ve öceki bilgilere dy işlemler okuyucuy bırkılmışır. Bu şmlrd sor x( ) ve y( ) foksiyolrıı geel çözümü yzılbilecekir. 4 3 x( ) x h c c e e e 5 y( ) y h c c e e e olur. x( ) ve y( ) foksiyolrıı bu şekilde belirlemesie krşı, bu souç sisemi geel çözümü olrk lımz. Çükü ( D) 4D D olrk D i. derecede bir m çok erimlisidir. Bu, sisemi merebelerii olduğuu, bşk bir yklşıml d, sisemi geel çözümüde ck ve ck iki e keyfi sbileri bulubileceğii göserir. Bu düşücede

176 64 hreke ederek, c, c, c3, c4 keyfi sbileri rsıdki ilişkiyi belirlemeye çlışlım. Buu içi sisemdeki bğıılr gidelim : 4 Sisemdeki ilk bğııd : (4c 3 c4 ) e c3 4 Sisemdeki ikici bğııd : (8c 6c ) e c 4 3 buluckır. Gerçeke bulr d birbirleriyle yı bğıılrdır. Bu bğıılr özdeş olrk sğlcklrıd, c3 c3 8c 6c c c buluur. Burd dikki çeke, c keyfi sbiii bu bğıılrd yer lmmsıdır. Bu her zm böyle gerçekleşmez. Ack burd olduğu gibi souç bir keyfi sbile bğımlı olmksızı düzeleebilmişse, geel çözüm yzılırke bu keyfi sbi y ye bırkılır (bu çözümde olduğu gibi) y d öyle gerekiriyors, yerie bir keyfi syı koulbilir. H ifdeyi bozmycks yerie sıfır koulmsı dhi yeğleebilir. Souç olrk; 4 c c ; c c ; c ; c c lımk sureiyle, geel çözüm yeide düzeleirse, sisemi çözümü buluur. 3 4 x( ) c c e e e 5 4 y( ) c e ( ) e e Geel Hli İcelemesi Sbi ksyılı ve lieer bir difersiyel deklem sisemii geel ifdesi, operörler d kullılmk sureiyle, şğıd olduğu şekilde göserilebilir. D olmk üzere ve Fij ( D) d ifdeleri ( i,,..., ; j,,..., ), D i. dereceye kdr lieer m çok erimlisi olduğu göre F( D) x F( D) x... F ( D) x f( ) F( D) x F( D) x... F ( D) x f( ) (8.7) : F ( D) x F ( D) x... F( D) x f( ) şeklide bir simule sisem, ımlmk iseile deklem sisemii emsil emekedir. x ( ), x ( ),..., x ( ) bilimeye foksiyolrı içi oluşurul bu sisemde, ksyılr operörle

177 65 ifde edildiğide, sisemi çözümüde mme lieer cebir kurllrı uygulmk olğı vrdır. Öreği bu sisem bir Crmer sisemi gibi bkmk olsıdır. Ack bir koşul öcelikle sğlmlıdır: ksyılr deermiı sıfırd frklı olmlıdır. Bir öceki l bölümde, böyle bir sisemi dh bsi hlii (dh özel hlii) lrk iceledik. Ord oluş bilgi birikimii, bu deklemi çözümüde kullılmsı yrrlı olckır. Ksyılr deermiıı sıfırd frklı olmsı ve çözümde bu deermiı kullılmsı gibi... Sisemi ksyılr deermiı ( D) ile göserelim. Bu göre; olmk koşuluyl F ( D) F ( D)... F ( D) F ( D) F ( D)... F ( D) : : : ( D) ( D) j F ( D) F ( D)... F ( D) F( D)... F, j( D) f( ) F, j( D)... F ( D) F... ( D) F, j( D) f( ) F, j( D)... F ( D) : : : : : F ( D)... F ( D) f ( ) F ( D)... F ( D), j, j deermilrı hesplbilecekir. ( D) deermilrı ek ek hespldığıd ki syıc j edir, bulr i birer foksiyou y d sbiler olrk buluckır. Bulrı ( D) ( ); j,,..., j j ile göserelim. x j bilimeye foksiyolrı emsil eiğie göre j ( ) x j ( ) ( D) x j ( ) j ( ) ( D) çözümlerie ve dolyısıyl difersiyel deklemlerie ulşılır. ( D) x ( ) ( ) ( D) x ( ) ( ) : ( D) x ( ) ( ) difersiyel deklemleri icelemeli ve çözülmelidir. İlk deklemi çözümüde x ( ) (8.8) ; ikici deklemi çözümüde x ( ) ve giderek soucu deklemi çözümüde de x ( ) bilimeye foksiyolrı belirleecekir. Ack bu böyle olmkl birlike birer sbi ksyılı, ikici ylı lieer difersiyel deklem ol bu deklemi geel çözümlerii yzılmsıd keyfi sbileri bir kurl göre düzelemesi gerekmekedir. Aksi hlde elde edile souçlr, bir sisemi çözümü olrk bir ry geirildiğide, bu sisemi geel çözümü deilemeyecekir. İşe bu düzeleme içi sıl hreke edileceği şğıd çıklmışır: ( D) x ( ); j,,..., j j

178 66 difersiyel deklemlerii bir ork özelliği ( D) i büü deklemlerde yı olmsıdır. ( D) yı zmd, ksyılr deermiı olup, D i bir m çok erimlisidir. Bu yı zmd difersiyel deklemleri krkerisik deklemi olrk görülmekedir, yeer ki ( D) lımış olsu. ( D) i derecesi, sisemi merebesii belirmekedir. Bu bğlı olrk, sisemi geel çözümüde yer lck keyfi sbileri syısıı d düzelemekedir. Şimdi bu olgulr göz öüde buludurulrk, x ( ), x( ),..., x( ) foksiyolrıı çözümleri sırsıd ory çık keyfi sbileri syısıı kç e olmsı gerekiği böylece spbilecekir. Buu üsüde kl syıdki keyfi sbiler öcekilerle lieer bğımlılık ilişkisi içidedirler. ( D) krkerisik deklemii k. derecede bir cebirsel deklem olduğuu vrsylım. Burd k ve m syı olbileceği gibi, k y d k olmsı gerekiği de spbilir. Yi bir bşk yklşıml k içi solu olmk koşuluyl, bir üs sıır belirlemek bu şmd olksızdır. Bu k syısı, her problem içi, ou koşullrı göre belirleecekir. Ack bu syıı özelliği, sisemi merebesii k olduğuu belirmesidir. Diğer yd, (8.8) deki difersiyel deklemlerii her biri içi, m, m,..., mk sbi ksyılrı olmk üzere, ( D) m D m D... m D m k k k krkerisik deklemide D, D,..., Dk gibi, k e cebirsel syıd oluş kökler elde edilecekir. Bulrı, her bir deklem içi değerledirilmesi, ikici ysız deklemlere göre, sırsıyl, x ( ) c e c e... c e D D k x ( ) c e c e... c e : D D k x ( ) c e c e... c e D D k olup, bulrd oplm olrk k e keyfi sbi kullıldığı görülmekedir. Çükü, her bilimeye foksiyo içi ypıl çözüm, öcekilerde bğımsız olrk gerçekleşirildiğide, öcede ypıl çözümlerde kulldığımız keyfi sbileri ekrr kullılmsı rık olksızdır. k Dk Dk Dk (8.9) Sisemi merebesi k olmsı, (8.8) çözümleride hrekele geel çözüm ifde edilirke ck k e keyfi sbii seçerek, diğer geriye kl ( ). k e keyfi sbii bulr ciside ifde edilmesii gerekli kılmkdır. Bu iş her sisemdeki bğııd yrrlılrk sğlır. (8.8) ifdeleri, ikici ylı difersiyel deklemlerdir. Öyleyse ikici yd yer l j ( ) foksiyolrıd öürü, birer özel çözümü buluup, (8.9) çözümlerime eklemelidir. Eğer bu çözümleri h ( ); j,,..., olduklrı vrsyılırs (8.9) dki difersiyel deklem çözümleri j her biride bğımsız olrk, birer geel çözüm ieliğie kvuşurlr. Böylece ; x ( ) c e c e... c e h ( ) D D Dk k x ( ) c e c e... c e h ( ) : D D Dk k x ( ) c e c e... c e h ( ) D D Dk k (8.)

179 67 olurlr. Bulr içi öcede göz öüe lı sisemii herhgi bir bğıısı seçilerek bir uygulm ypılır. Bilidiği gibi x ( ), x( ),..., x( ) foksiyolrı (8.7) sisemie iir ve bu sisem, bu foksiyolr rfıd sğlmlıdır. Bu işlemleri keyfi sbiler rsıdki lieerbğımlılık ilişkileri m olrk belirleiceye kdr sürdürülür. Buu içi gerekirse, (8.7) sisemii diğer bğıılrı d kullılır. Keyfi sbiler rsıdki ilişkiler belirledike ve keyfi sbiler k e keyfi sbie göre düzeledike sor, bulr içi bilimeye foksiyolr yeide düzeleir, İşe bu şekilde düzelemiş ol (8.) çözümleri, (8.7) sisemii geel çözümüü belirler. Örek. ( D 3) x 6y Dx ( D 3) y e difersiyel deklem sisemii geel çözümüü bullım. D 3 6 D D 3 ( D) ( D 3) 6D D 9 olrk, Crmer eoremi uygulbilecekir : olup, 6 e D 3 x( D) 6e 3 ( ) D 3 x( D) e ( ) D e x( D) ( ) 6e 3 x ( D) ( D) D 9 y buluur. Bulrd ( D) ( ) e y ( D) ( D) D 9 ( 9) 6 3 D x e ( 9) D y e difersiyel deklemlerie vrılır. Bu deklemler yrı yrı çözülür. Ack krkerisik deklemleri orkır. Burd D 9 D, 3i D 9 x ( ) c cos3 c si 3 y ( ) c cos3 c si yzılckır. Şimdi de özel çözümleri bullım. Öceki bilgilerimize göre bu çözümler düzeleir ve gerekli işlemler ypılırs sırsıyl,

180 y e 5 9 x e buluur. Bulr dikke lırk, difersiyel deklemleri geel çözümü y( ) y( ) y( ) c3 cos3 c4 si 3 e 5 9 x( ) x ( ) x( ) c cos3 c si 3 e şeklide düzelemiş olckır. Şimdi, bu iki çözümü birlike, verile sisemi geel çözümüü oluşurmsı koşuluu rışlım. Görüldüğü gibi, ( D) D 9 olup, D i. derecede birçok erimlisidir. Öyleyse sisemi merebesi olup, sisemi geel çözümüde ck ve ck iki e keyfi sbi bulubilecekir: Oys yukrıdki çözümler iceleirse c, c, c3, c4 gibi dör de keyfi sbi kullıldığı görülür. Demek ki bulrd ikisi, diğer ikisiyle lieer bğımlılık ilişkisi içidedir. Bu ilişkiyi belirlemek içi, sisemdeki ikici bğııyı kulllım: olrk uygulırs Dx ( D 3) y e ; dx 3 Dx 3c si 3 3c cos3 e d dy 3 ( D 3) y 3y 3c3 si 3 3c4 cos 3 e 3c3 cos3 3c4 si 3 e d c si 3 3c cos3 e 3c3 si 3 3c4 cos e 3c3 cos3 3c4 si 3 e e olup, burd ; 3( c c c )si 3 3( c c c ) cos3 bğıısı vrılır. Burd d c c c c c c c c3 c4 c c3 c4 ilişkileri spır. Böylece çözümüe ulşılır ki bu geel çözümdür y( ) c3 cos3 c4 si 3 e 5 9 x( ) ( c3 c4 )cos3 ( c3 c4)si 3 e

181 69 Örek. Dy y3 y Dy Dy3 ( D ) y Dy 3Dy3 difersiyel deklem sisemi de, sbi ksyılı bir lieer sisem olup, geel çözümüü rşırlım. Bu mçl, öcelikle ksyılr deermiıı hesplylım: ( ) 3 D D D ( D) D D 3D 3 D D 3D D y D() D 3D D D 3D D D D y D D y D D buluur. Bu souçlrd yrrlrk rık, Crmer eoremi gereğice y y (D 3 D) y ( D) D 3D y y (D 3 D) y ( D) D 3D y3 y3 (D 3 D) y 3 ( D) D 3D difersiyel deklemlerie ulşılır. Bulr yrı yrı iegre edilirse x y c c e y c c e y c c e x x x ; 3 4 ; buluckır. Diğer yd bu çözümler birlike göz öüe lıırs lı e frklı keyfi sbi kullıldığı görülür. Oys ( D) D 3D olduğu ve bu d. derecede olduğud, gerçeke icelee sisemi merebesi dir. Öyleyse y, y, y birlike bu sisemi geel çözümüü oluşurcks, ck ve ck iki keyfi sbi 3 içermelidirler. Bu mçl y, y, y3 çözümlerii kullrk siseme gidelim. Burd ilgiç ol, bir öceki öreke olduğu gibi, sisemi ek bir deklemiyle souc gidilmesideki ;

182 7 güçlükür. Bu edele gerekiği kdr bğıı kullılckır. Aşğıdki işlemlerde buu izliyoruz. Sisemi 3. bğıısı lıırs : olup burd y Dy Dy x x x x c ce D( c3 c4e ) D( c5 c6e ) x 3 x 3 x c ce c4e c6e x c ( c c4 c6) e 3 c c c c4 c6 c ( c4 c6 ) elde edilir. Sisemi. bğıısı lıırs : olup burd Dy y x x 5 6 D( c c e ) c c e x x ce c5 c6e 3 3 x c5 ( c c6 ) e 3 3 c ; c c c c elde edilir. Ayı şekilde. bğıı kullılırs ; ( D ) y Dy 3Dy x x x x ( D D ) c ce D( c3 c4e ) 3 D( c5 c6e ) x x x ( ) ( ) D c c e D c c e c c e 3 3 x x x D( c3 c4e ) 3 D( c5 c6e ) c e c e c c e c e c e x x x x x x c ( c 3c c 3 c4 c6) e 3 4

183 7 yzılrk burd ; c c c 3c c 3c4 c6 c 3c4 c c 4(3 c4 c6 ) 3 3 olup, c6 c olduğud c4 c buluur. 6 Böylece, bu espilerimize göre keyfi sbiler rsıdki ilişkiler c, c3 keyfi sbileri ciside düzeleebilecekir. Bu göre 3 3 c, c c, c c, c c, c, c c olmk üzere, sisemi geel çözümü ; 3 x y( ) ce x x y ( ) c3 ce x y ( ) ce şeklide ifde edilebilecekir. Örek. Bu örek, difersiyel deklem sisemlerii ıılmsı şmsıd göz öüe lı ve bir elekrik devresi içi, ekiği bir problemi olrk, kuruluşu.bölüm, 7. syfd ypılmış ol di d di d,5 5i i i i 3 difersiyel deklem sisemii icelemesie yöelikir. Ayrıc bu sisem i()= ve i()= bşlgıç koşullrı içi çözümleeceğide, bir difersiyel deklem sisemii özel çözümüü bulumsı dir bir örek oluşurmkdır. Göz öüe lı sisem, d D ürev operörü kullılrk yeide düzeleirse d ( D ) i 4i i ( D 3) i

184 7 olup, bulrd D 4 D 3 ( D) D 3D ; 4 D i ; i 6 D 3 i i ( D 3D ) i ( D) D 3D i 6 i ( D 3D ) i 6 ( D) D 3D difersiyel deklemlerie ulşılckır. Bu iki deklemde, krkerisik deklem yı olup F D D D D D ( ) 3, buluur. Öyleyse, ikici ysız deklemleri geel çözümleri, c, c, c3, c4 keyfi sbiler olmk üzere ( i ) c e c e ;( i ) c e c e 3 4 olrk ifde edilecekir. Deklemlere i özel çözümler ise 3 ( i ) ;( i ) şeklide hesplmış olckır. Böylece, i() ve i() içi geel çözüm i ( ) ce ce 3 i ( ) c3e c4e foksiyolrı olrk buluckır. Ack bu ikilii, sisemi geel çözümüü oluşurbilmesi içi ck iki keyfi sbi içermesi gerekmekedir. Çükü ( D) ikici derecededir. c, c, c3, c4 rsıdki ilişkii belirleebilmesi içi sisemdeki deklemlerde yrrlılır. Bu işlemler ypı-lırs ; c c ; c c buluur. Böylece sisemi geel çözümü olrk şekilleir. i ( ) ce ce 3 i ( ) ce ce 4

185 73 Öreğimizi bir de özel çözümüü bulumsı gerekmekedir. Sisemi i () i () bşlgıç koşullrı uy çözümüü bulmk içi, bu koşullrı geel çözüm ifdesie uygulylım. Bu göre; i () c c c c 3 i () c c c 8c 4 sisemi oluşur. Bu sisem çözülürse c, c elde edilir. Böylece sisemi verile 99 9 bşlgıç koşullrı uy özel çözümü şeklide belirleecekir. i ( ) e e i ( ) e ce Alışırm Problemleri ve Yılrı Aşğıdki homoje deklem sisemlerii geel çözümüü buluuz ) ( D ) x ( D ) y ( D 3) x y Yı: x( ) K cos K si y( ) K (si 3cos ) K (cos 3si ) x( ) y( ) Aşikr çözüm ) ( D ) x ( D ) y ( D 3) x ( D ) y Yı: x( ) 9Ce 8 35 y( ) Ce 7 8 Aşğıd verilmiş sbi ksyılı lieer difersiyel deklem sisemlerii geel çözümüü buluuz. ) ( D ) y Dz x (D ) y Dz x y( x) x 3 Yı: 4 z( x) x x C 3 ) ( D ) x ( D ) y e ( D 3) x y x( ) C cos C si e Yı: y( ) ( C 3 C )si (3 C C )cos e

186 3) ( D ) x ( D ) y si ( D 3) x ( D ) y 4cos 74 8 x( ) Ce cos si 5 5 Yı: 5 8 y( ) Ce si cos 7

187 9. BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN GRAFİK YÖNTEM VE ALETLER 9.. Grfik Yöem Difersiyel deklemleri grfik yrdımıyl çözümüü elde emek e lm geliyor? Bir difersiyel deklem iegre edildiği zm, elde edile foksiyou göserdiği grfiğe yklşıklığı mümkü merebe fzl ol bir eğrii bulumsı lşılckır. Burd bilhss birici ve ikici merebe difersiyel deklemlerle, bzı özel difersiyel deklem ipleri üzeride rşırm ypılckır. Difersiyel deklemleri grfikle çözümlerii rşırılmsıd çeşili yöemler ve yklşıklık derecesii rır fikirler ileri sürülmüşür. Bu yöemlerde bzılrıı bud sorki bölümlerde ele lcğız. 9.. Aleler Difersiyel deklemleri grfik yöemle çözümüü emi emek kousud çlışlr, zml, bu işi mekik olrk ypck ol leler ory koymuşlrdır. Doğrulu llrıı vey ımıı bud sorki bölümde vereceğimiz izokli oklrı i doğrulrı çizilmeside kullılmk üzere V.Bjerkes ve V.Södeberg rfıd meyd geirilmiş leler vrdır. Doğrulu llrı çize leler ypıldığı gibi bzı difersiyel deklemleri iegrl eğrilerii doğrud doğruy çize leler de ypılmy çlışılmışır. Öreği Korr rfıd ypıl bir le y (x) = f(y ) + g(y) + h(x) difersiyel deklemii çözmeke kullılmkdır. Ack buu elde edilebilmesi içi f(y ), g(y), h(x) foksiyolrı i eğrileri çizilmiş olmsı gerekmekedir. Bir kım uçlr bu eğriler üzeride hreke eirilerek iegrl eğrilerii elde edilmesi mümkü olmkdır. Bir bşk le Bush rfıd ypılmışır. Bu le z'( x) z fr y'( x) z fl

188 76 şeklideki bir difersiyel deklem sisemii ve buu krşıı ol ikici merebe difersiyel deklemii iegrlii lbilmekedir. Burd f, f, f, f foksiyolrı x, y, z değişkeleride birie bğlı keyfi foksiyolrdır. Bulr i eğriler çizildiği kdirde, bhsedile le y(x) ve z(x) eğrilerii çizebilmekedir. 939 yılıd Oslo d iml edile bir bşk le ise, bir lıcı merebe difersiyel deklemii çözebildiği gibi, iki üçücü merebe difersiyel deklemde meyd gelmiş bir sisemi de çözmeye yrmkdır. Bu leler geellikle mekik çlışmk, bulrd elekrike fydlılmdığı görülmekedir. Ack bzı lelere koul fooelekrik kmerd isifde edilerek, leleri çlışmsı oomikleşirilmekedir. Bir kım memik yöemler öcelikle y f x y g x y h x ' ( ) ( ) ( ) ipideki Ricci difersiyel deklemlerii ve y f x y g x y h x y k x 3 ' ( ) ( ) ( ) ( ) ipideki Abel difersiyel deklemlerii çözülmelerii sğlmkdır. Ayrıc W.Thoeo, iersyo yöemi yrdımıyl çözülecek y f ( x), y ' difersiyel deklemi içi ypıl r hesplrıd iegrlleri lmy yry bir le ypmışır. Büü bulrı dışıd, çeşili kişiler rfıd bu mçlr hizme ede birçok le gelişirilmişir Doğrulu Alı F(x,y,y ) = difersiyel deklemii lyışı uy bu oklrd difersiyel deklemi krşı uuğu doğrululrı belirmeye yeecek syıd bol ok seçilir. Bu difersiyel deklemi y ' G ( x, y) şeklide ele lırsk, buu liik lmıı O(x,y) i herhgi bir oksıdki değeri, buu üree foksiyou o okdki eğeii eğimidir. şeklide ifde emek mümkü olur. Bu ise α eğim çısıı gösermek üzere y ' G ( x, y ) g olrk göz öüe lıırs, G(x,y) i lcğı değerlere göre, α d çeşili değerler lckır. Hlbuki birçok hllerde α, verile difersiyel dekleme göre, her okd yı doğruluy ship olbilirler. Bu doğruluy i oklrı ımlrıı bulumsı d oldukç kolydır. Ayı α doğrulusuu belire oklrı geomerik yerie İzokli eğrisi deir. İzokliler çizilebildiği ve bulrı değer doğrululrı bilidiği kdirde, doğrulu lı belirlemiş olur (Şekil 9.).

189 77 Şekil 9.. İzokli Eğrisi 9.4. y = f (x) Foksiyouu Grfikle İegrsyou Bir difersiyel deklemi iegrsyouu grfik yöemle ypmd öce, herhgi bir y f ( x) foksiyouu grfikle iegre edilebilmesi hususuu ele llım. Böylece, grfikle iegrl işlemi ypm fikrii öreklemiş olcğız. y f ( x) foksiyouu bir (,b) rlığıd sürekli olduğuu vrsylım. (,b) rlığıı ise x, x, x,..., x b gibi kısmî rlığ yırlım. y = f(x) foksiyouu eğrisii sıırldığı l bir merdive eğrisi (çizgisi) yrdımı ile yklşık olrk göserilebilir, (Şekil 9.). Bu merdive Şekil 9.. y f ( x) foksiyouu grfikle iegre edilebilmesi- çizgisii deklemii y ( x) ile göserelim. Burd x oklrı foksiyou sürekli olduğu oklr olup, bir sıçrm oksı olmyckır. Bu merdive çizgisi xi xi f ( x) dx ( x) dx xi xi bğlısı uyck rzd çizilir. Burd merdive çizgisie i lı oluşumu kolyc görülebilir ve h çok z bir dikkle büyüklüğü hkkıd bir fikir ediilebilir. y f ( x)

190 78 eğrisi ile meyd gele llrı krşılşırm imkı d kolyc mümkü olur. y ( x) çizgisii lı x T ( x) ( x) dx ile bulubileceği gibi, bu iegrli değeri çizim yolu ile de bulubilir. x oklrıd T ( x) F ( x) dir. Yi x F( x) f ( x) dx iegrl eğrisii x oksıdki ordiı ile T(x) i yı x oksıdki ordiı birbirie eşiirler, ( Şekil 9.). Şekil 9. de görüle merdive çizgileri, şekil 3 de görüle kırık çizgiler şeklie döüşürülmesi işi gye bsi bir rzd oluşurulur. z = d iibre rlığı içie doğru gidildikçe merdive çizgiye i rslıl bir kısmi rlık ou göserdiği doğrulu, yı eşel ile çizilmiş diğer bir koordi sisemi içie krılbilir. Şekil 9. ve Şekil 9.3 birlike göz öüe lıırs, A y i doğrulu OA doğrulusu, B ye i doğrulu AB doğrulusu, C ye i doğrulu BC doğrulusu ve ihye D ye i doğrulu CD doğrulusu krşı gelmekedir. Şekil 9.3 ilkide x, x, x3,..psislerii de lmk sureiyle, kullışlı kılıır. OA, AB, BC, CD eğelerie x, x, x, x3 psisli değme oklrıd uygu rzd iibk eirilmiş bir eğri, y f ( x) foksiyouu iegrl eğrisii yklşık bir rzd bize verecekir. Örek. y x x Şekil 9.3. y f ( x) foksiyouu grfikle iegre edilebilmesi- 3 4 foksiyouu iegrl eğrisii bir bsi örek olrk rşırlım. Bu foksiyou göserdiği eğriyi xoy dik koordi sisemi içie çizelim, (Şekil 9.4 ). Bu eğrii x ile x3 psisleri rsıd kl kısmıı sürekli olduğuu biliyoruz. Bu rlığ x ve x psislerii de kullrk (bulr keyfi seçilmişir.) üç kısmi rlığ bölmüş ollım. (x,x3) rlığıd y ( x) ile göserdiğiiz, merdive çizgilerle bir foksiyo kurlım, (Şekil 9.4) Ox eksei üzeride O d iibre egif yöde birim gidilerek A oksı işreleir. Sor sırsıyl merdive çizgiye i belirli oklrı Oy eksei üzeride izdüşüm yklrı

191 79 bulup, bulrı A oksı birleşirelim. Böylece eğe doğrululrı bulumuş olur. Şimdi yı eşelleri kullrk bir bşk ve bulgulrımızı bury krlım, (Şekil 9.5).. x, x, x, x3 psislerii yei koordi sisemie şıylım. x ı yie orijide olduğu görülmekedir. Dh sor x d iibre bulu eğe Şekil 9.4. y 3 x 4 x foksiyouu iegrl eğrisi doğrululrı burd sırsıyl çizilmek sureiyle belirilir ve ihye bulr eğe klck ve belirli oklrd geçecek şekilde çizilecek uygu bir eğri, iegrl eğrisii yklşık olck verecekir, ( Şekil 9.5 ). y x x 3 4 foksiyou Şekil Gerçeke verile foksiyou iegre edersek 3 y x x x y x x x foksiyouu iegrl eğrisi buluur. Bu ise Şekil 9.5 e görüle eğrii göserdiği büü özellikleri şımkdır. Burd iegrl sbii, bşlgıç şrı bkımıd keyfi olrk sıfır lımışır Birici Merebede Difersiyel Deklemleri Çözümü y ' f ( x, y) difersiyel deklemii göz öüe llım. Buu, grfik yöem uygulmk sureiyle bir çözümüü rşırmk isiyoruz.

192 8 ( x, y ) oksı içi verile difersiyel deklemi hesplylım. y ü bu değeri ( x, y ) Bir oksıdki eğe doğrulusuu vereceğide, bu souç y' f ( x, y ) şeklide ifde edilebilir. Burd rcg f ( x, y ) x yzmk olklıdır. Böylece psisli okdki eğe doğrulusu belirlemişir. Geelleşirmek isersek, i =,, 3, olmk üzere yzbiliriz. (, ) c f ( x, y ) x x rlığıı kısmi rlıklr bölelim. x x x y, y, y,..., (x,y) oksıd y değerlerii lmış olsulr. rcg f ( x, y ) i i,,,..., x psislerie krşılık foksiyo olrk, doğrulusud, x = x doğrulusu rslyıcy kdr bir doğru çizelim. Sor rcg f ( x, y ) doğrulusud, x de iibre ve ilk çizimi kldığı okd bşlyrk x = x doğrusu rslyıcy kdr bir doğru çizelim. Ve işlemlere böylece devm edelim. Buu soucu (x,x), (x,x3), (x3,x4), rlıklrıı her birie, o rlık foksiyou eğe doğrulusuu vere ve her biri uçuc eklemiş bir kırık çizgi foksiyou vrılmış olur. Bu doğru prçlrıı her birie eğe klck şekilde çizilmiş bir uygu eğri y = f (x,y) difersiyel deklemii iegrli ol y = f(x) foksiyouu göserdiği eğriye yklşık bir çizim olrk buluckır. Bu çıklmlr i grfik görüü Şekil 9.6 dki gibidir. Şekil 9.6. Difersiyel deklemii iegrli ol y = f(x) eğrisi

193 8 Bu yklşık eğriye i bzı koordi oklrıı bulmk sureiyle ierpolsyo yöemleri (Lgrge ve Newo ierpolsyo yöemleri gibi) kullılrk bu eğrii deklemi yzılbilecekir. Örek. y = - x difersiyel deklemii bir bsi örek olrk seçmiş ollım. Arlıklrı d işi bsileşirmek içi, cm uzuluğud seçelim. (x,x) rlığıı d bu örek içi (, 5) olrk llım. olrk düşüülürse, burd y = - x i- = gi- (i =,, 3, 4, 5) i- = rcg (-x i-) yzılbilir. Burd, şğıdki iceleme yoluyl, sırsıyl her rlıkki eğe doğrululrıı bulmuş oluyoruz : i = içi : = rcg (-x) = rcg (-) de = 35 i = 3 içi : = rcg (-x) = rcg (-) de 7 i = 4 içi : 3 = rcg (-x3) = rcg (-3) de 7 i = 5 içi : 4 = rcg (-x4) = rcg (-4) de değerleri buluur. Bir dik koordi sisemi içide bu doğrululrı kedilerie i rlıklr içide işreleyelim. (Şekil 9.7). Şekil 9.7. y =- x difersiyel deklemii iegrl eğrisi Burd görüldüğü gibi y = - x difersiyel deklemii iegrl eğrisi elde edilmiş olur. Şekil 9,7 de görülmeke ol eğri prçsı, iegrl eğrisii seçmiş olduğumuz rlıkki kısmıdır. y = - x difersiyel deklemi iegre edilirse y = ½ x buluur ki bu şekildeki eğri ile bezer özellikleri şımkdır.

194 9.6. Yrım Adımlr Yöemi 8 Bu yöem, yukrıd verile yöemi dh sğlıklı bir şekilde uygulbilmesie olk sğlyckır. Bu mçl kullılır. Yöemi uygulmsı öcekide olduğu gibi bşlır. Yi bşlgıç oksıdki doğrulu, y = f (x,y) difersiyel deklemide elde edilir. Bşlgıç oksıı koordilrı x, y ise y = f (x,y) bize, bşlgıç oksıdki eğe doğrulusuu verecekir. Yrım dımlr yöemi olrk, bu ilk doğrulud bir mikr gidilir. Vrıl bu ok,b olsu, (Şekil 9.8). Bu ilk yrım dımdır. Şekil 9.8. Yrı dımlr yöemi Şimdi,b oksı içi difersiyel deklemde b doğrulu ksyısı hesplır. Bu doğrulud, yie bşlgıç oksıd hrekele ilk dımı iki kı kdr gidilerek x,y oksı vrılır. Bu ok ilk m dımdır ve iegrl eğrisie iir. Bu işlemler iseildiği kdr devm eirilebilir. Böylece iegrl eğrisie i çok syıd ok belirlemiş olur. Ack öcelikle belirmek gerekir ki bu oklr eorik olrk iegrl eğrisie iirler. Gerçeke bu eğrii civrıdki oklrdır. Yrım dımlr yöemii bir kez dh uygulmk isersek bu kere x,y oksıı bşlgıç oksı seçmek gerekir. Bu ok içi y = f (x, y) olup, x deki eğe doğrulusu bulumuş olur. Bu doğrulud bir mikr gidilir ve bu ok,b olrk işreleir : (Şekil 9.8 de izleyiiz). Difersiyel deklemde b doğrulu ksyısı belirleerek, x,y de iibre bu doğrulud ilk uzuluğu iki kı kdr gidilerek x,y oksı vrılır ki bu ok ikici m dımdır. Böylece devm edilerek x,y oklrıı bulmk olklı hle gelir. Bu yöemi sğlıklı bir şekilde uygulbilmesi içi yrım dımlr, olbildiği kdr küçük seçilmelidir.

195 İzokli Yöemiyle İegrsyo y = f (x,y) difersiyel deklemi verilmiş olsu. Bu deklemi, m herhgi bir okdki eğimi gösermek üzere f (x,y) = m ypısıd ele lmk olklıdır. Bu bize bir eğri göserir. Bu eğriyi E ile göserelim. E eğrisii üzerideki her A oksıd bir C iegrl eğrisi geçer. Bu C eğrilerii ork özelliği ise A oklrıdki eğelerii eğimlerii m olrk birbirlerie eşi olmsıdır. Bu özelike öürü E eğrilerie İzokli Eğrileri deir. m i her değeri içi bir E eğrisi çizilebileceği şikârdır. Bu yı zmd, f (xi,yi) = m olduğud, yi bir (xi;yi) oksıı koordilrı içi m yi edileceğide, her bir (xi;yi) oksıd, bu eğrilerde bir e geçiğii ifde emiş olur. Arık izoklilerde yrrlmk sureiyle y = f (x,y) difersiyel deklemii iegrl eğrilerii e şekilde bulubileceğii rşırlım. f (x,y) = m olrk düşüüldüğü ımsırs, m ye verilecek birkç uygu değer içi elde edile E eğrileri çizilir. Bu çizimler düzgü bir şekilde ypılmlıdır. Bu eğrileri sır ile E, E, E3, ile göserelim. Ayı zmd m ye verile değerleri de Oy eksei üzeride işreleyelim : (Şekil 9.9). Şekil 9.9. İzokli yöemi Bulr sırsıyl m = OA, m = OA, m3 = OA3, olsulr. Sor Ox eksei üzeride O d iibre egif yöde birim gidilerek, P oksıı işreleyelim. Bud sor P ile A, A, A3, oklrıı birleşirmek sureiyle m, m, m3, değerlerie krşı gele

196 84 doğrululrı çizgisel olrk belirmiş oluyoruz. Bu iegrl eğrilerii, her bir izokli ile kesişiği okdki eğeii eğimii belirlemiş olmsı demekir. E izokli eğrisii M oksıı llım. Bu okd PA e bir prlel çizelim. E ve E izoklileri rsıd ord bir yerde MM doğrusu sıırldırılır. Şimdi de M de PA ye bir prlel çizelim. Bu d MM3 olrk E ile E3 izoklileri orsıd bir yerde sıırldırılır. Nihye M3 oksıd PA3 e bir prlel çizelim. Böylece MMM3 poligou elde edilmiş olur. Bu poligo, izokli eğrilerii sır ile K, K, K3, oklrıd keser (Şekil 9.9 d izleyiiz). Bu hzırlıklrd sor K de MM doğrusu; K de MM3 doğrusu; K3 de M3M4 doğrusu eğe olck şekilde çizeceğimiz eğri, rdığımız iegrl eğrisii bir yklşık şekli olckır. Özel olrk, y + x (y ) + (y ) = şeklideki Lgrge Difersiyel Deklemi içi izoklileri birer doğrud ibre olduğu heme söyleebilir. Gerçeke, y = f (x,y) = m olrk lıırs, m bir prmere olduğud, yukrıdki deklem y + x (m) + (m) = vey bu d (m) = ; (m) = b değerleride olduklrı kbul oluurs y + x + b = şeklide bir doğru deklemi göserecekir. Örek. y + x y = difersiyel deklemii izokli yöemiyle çözmeye çlışlım: y = m = - x y olrk llım. x.y = - m foksiyolrıı ikizker hiperboller ilesi olduğuu biliyoruz. Burd m ye verilecek çeşili değerler yrdımıyl bu ikizker hiperboller yrı yrı belirleecekir ; (Şekil 9.). Şekil 9.. y + x y = dif. deklemi içi İzokli yöemi

197 85 m = -4, -, -, -½, -¼, ¼, ½,,, 4, değerlerii ldığıı vrsylım. Bu değerler sırsıyl, deklemleri xy = 4, xy =, xy =, xy = ½, xy =¼, xy = -¼,xy=½, xy=-, xy = -, xy = -4 olrk belirlee ikizker hiperboller elde edilir. Bulr şekilde görüldüğü gibi, yı bir koordi sisemi içie hep birlike çizilir. Şekildeki oklı çizilmiş eğriler bu hiberbollerdir. Şimdi O oksıd iibre poziif ve egif yölerde birim gidilirse P ve P oklrı buluur ve işreleir. Burd P egif m değerleri içi, P ise poziif m değerleri içi kullılckır. Şuu ilk öce işre edelim ki Şekil 9. d P oksıı sıl seçildiği ımsırs, burd P ve A, A, A3, oklrıı sırsıyl Ox ve Oy ekselerie göre simerik olrk yerleşirdiğimiz kdirde PA, PA, PA3, doğrululrıd değişe bir şey olmyckır. Bu durum göz öüde uulrk m i değerlerii Oy ekseii egif rfıd işrelemeke bir skıc yokur. m içi Oy ekseide işrelee bu oklrı sırsıyl P ve P kuup oklrı birleşirelim. Böylece izokliler üzerideki iegrl eğrisie i değme oklrıı eğe doğrululrı belirlemiş olur. Büü bu hzırlıklrd sor, Şekil 9 d görüle çizim yolu burdki değerler kullılrk bu probleme uygulırs, Şekil 9. de görüle ve E ve E olrk dldırdığımız poligolr elde edilir. Bulr yrdımıyl difersiyel deklemi iegrl eğrilerii heme heme vermiş olcklrdır. Şekil 9. de görüle Ç Eğrisi (Guss Eğrisi) böyle elde edilmiş olmkdır. Gerçekede verile difersiyel deklemi elemer olrk çözümü ypılırs, C bir keyfi sbii göserdiğie göre y Ce x olduğu görülecekir. Bu foksiyo ise, liik olrk, ç eğri ilesii gösermekedir Nomogrmlrı Kullılmsı y = f (x,y) difersiyel deklemii çözülmesi içi grfik yöemi uygulmsı hlide, öemli olı, hgi x,y oklrı krşı gele doğrululrı bulumsı olckır. Bzı difersiyel deklemlerde omogrmlr kullılrk bzı çlışmlr ypılbilir. H.Heirich omogrmlrı kullmk sureiyle, bzı durumlrd bu doğrululrı bulumsıı kolyc olklı olduğuu svumuşur. g( x) g( y) y' f ( x) f ( y) ipideki difersiyel deklemleri göz öüe llım. Bu ip difersiyel deklemleri doğrulu lıı bulmk üzere, Heirich rfıd gelişirile omogrfik yöem şğıd çıklmışır : g( x) g( y) y' f ( x) f ( y) difersiyel deklemide, prmereleri x ve y ol ve dik çılı bir u, v sisemi içide,

198 86 X(x) : u = f (x), v = g (x) Y(y) : u = f (y), v = g (y) eğrileri çizilmiş olsu. x ve y prmerelerii bir x ve y premerik değerlerie krşı X(x) ve Y(y) eğrilerii bu oklrd kese bir doğrusuu Ou ekseiyle ypığı çı ise g( x ) g ( y ) f ( x ) f ( y ) olrk hesplır, (Şekil 9.). doğrusu öeleerek, doğrulu çısıı içere izoklie i x, y koordilrı elde edilmiş olur. Şekil 9.. Nomogrmlrı kullılmsı Uygulmd bzı hesplrı ypılmsı gerekmekedir. Öce problemi şu şekilde ele llım : difersiyel deklemii çözümüü F (x, y, y ) = F (x, y, C) = formud bir souç olmsı gerekiğie göre, C keyfi sbiii lcğı değerler iibriyle bu bir eğri ilesi göserecekir. Bu eğriler ise düzlemi doldurckır. Keyfi bir bşlgıç oksı seçmeke bir skıc yokur. Çükü bu ok mulk eğri ilesideki eğrilerde biri üzeride olmk zoruddır. Bu yöemi uygulmsı sırsıd, dh öce kou edilmiş ol yrım dımlr yöemi de kullılck ve yklşıklık derecesii rırmk bkımıd fydlı olckır. Örek. y = [x y ] / [x + y ] difersiyel deklemi veriliyor. Bu, yukrıd beliriğimiz ipe uy bir deklemdir. Buu prmerik olrk ifde edelim :

199 ve bulr birleşirilerek yzılbilecekir. H 87 X(x) : u = x ; v = x Y(y) : u = - y ; v = y X(x) eğrisi içi v = u Y(y) eğrisi içi v = - u v = u = ; v = - u = koşullrı d oluşurulbilecekir. Buu lmı şudur : Her ikiside de birimleme sdece poziif yödeki kollr üzeride ypılckır. v = u ve v = -u, uov koordi sisemi içide birer doğru göserirler. Bu doğrulr xoy dik koordi sisemi içide, biricisi X(x), ikicisi Y(y) olrk çizilirler. Ack her sisemde birimleme keyfi ypılbileceği gibi, v = u ve v = -u doğrulrıı bşlgıç oksı xoy düzlemi içide keyfi olrk yerleşirilebilir. Bu çıklmlrı dh iyi kvrybilmek içi şğıdki öreği iceleyelim : Örek olrk seçilmiş ol difersiyel deklemi x =, y = 8 ol bir iegrl eğrisii bulmk iseyelim: Yrım dımlr yöemii uygulyrk, verile bşlgıç koşullrı içi difersiyel deklemi hesplylım : g = y ( ; 8) = [4 64] / [4 + 64] = - 5 / 7 olur. Burd hesplırs, = olduğu görülür. Bu doğrulu- d x =, y = 8 oksıd iibre bir mikr (öreği cm) ilerle- yelim. İşreleyeceğimiz ok A olsu, (Şekil 9.). Yrım dımlr yö-emii uygulmy devm edelim. Buu içi A oksıı koordilrıı bilmek gerekir. Dikk edilirse, A oksı, merkezii koordilrı ( ; 8) ve yrıçpı cm ol (öyle seçmişik) bir çember ile (, 8) oksıd geçe ve eğimi g = - 5 / 7 ol bir doğruu ork oksıdır. Bu bilgiler ışığıd şğıd görüle sisem kurulbilir : Bu sisem çözülürse (x ) + (y 8) = y 8 = - (5/7) (x ) x =.75 ; y = 7,34 buluur. Bu ilk yrım dımdır. Yrım dımlr yöemi ımsırs, bu kez bu koordilr içi difersiyel deklem yeide hesplckır. g = y (,75 ; 7,34) = [7,575 53,8756] / [7, ,8756] = - [46,33] / [6,448] = - [46,3] / [6,45] olup değeri üzeride hesplırs = 43 olduğu görülür. Bu göre yie (;8) oksıd bşlmk ve bu doğrulud bu kez misli ( cm) gidilerek B oksı vrılır.

200 88 Bu ilk m dımdır. Demek ki B oksı iegrl eğrisie i bir ok olmlıdır. B oksıı koordilrı yukrıd olduğu gibi düşüülerek, Şekil 9.. y = [x y ] / [x + y ] dif. deklemii çözümü (x ) + (y 8) = 4 y 8 = - [46,3 / 6,45] (x -) deklem sisemii çözümüde elde edilir. Bu sisem çözülürse B oksıı koordilrı B (3,6 ; 6,85) olrk buluckır. B oksı iegrl eğrisie i olduğu göre bu okdki eğe doğrulusu edir? Buu rşırlım. X(x) eğrisi üzeride kedi birimlemesie göre 3,6 oksı işreleir. Ayı işlem Y(y) eğrisi üzeride 6,85 oksı işrelemek sureiyle ekrrlır (Şekil 9. e izleyiiz). Bu iki ok birleşirildiğide B oksıd çizilecek eğei doğrulusu belirlemiş olur. Arık B oksıd bu doğruluy bir prlel doğru çizmek yeerlidir. Bu örek içi yı iegrl eğrisie i bir üçücü ok bulmk üzere işlemlere devm edelim. Bu kere çıkış okmız B dir. Bu okd yrım dımlr yöemii uygulylım. B oksıı koordilrı içi difersiyel deklemi hesplylım : g = y (3,6 ; 6,85) = [,96 46,95] / [, ,95] = = - [33,96] / [59,88] olup burd hesplırs ; = 5 5 buluckır. B oksıd iibre bu doğrulud cm ilerleirse C oksı vrılır. Tm dım ulşmk üzere işlemlere devm edelim. Buu içi C oksıı koordilrıı belirlemek üzere, yukrıdki işlemleri bezerii yplım

201 89 y 6,85 = - [33,96 / 59,88] (x 3,6) (x 3,6) + (y 6,85) = deklem sisemii çözersek x = 4,5 y = 6,4 buluur. Dolyısıyl C oksı belirlemiş olur : C(4,5 ; 6,4). Şimdi C i koordilrı içi difersiyel deklemi yeide hesplmsı gerekmekedir. g 3 = y (4,5 ; 6,4)= [,5 4,96] / [,5 + 4,96] = - [,7 / 6,] olup burd 3 hesplırs : 3 = 6 buluur. B oksıd bşlyrk 3 = 6 doğrulusud bu kez cm ilerleirse D oksı vrılckır. Bu ise iegrl eğrisi üzeride ol (olmsı gereke) bir okdır. D oksıdki eğe doğrulusuu çizebilmek içi bu okı koordilrıı bilimesi gerekmekedir. y 6,85 = - [,7 / 6,] (x 3,6) (x 3,6) + (y 6,85) = 4 sisemi çözülmelidir. Sisem çözülürse x = 5,5 y = 6, buluur. Bir öceki m dımd olduğu gibi bu değerler sırsıyl X(x) ve Y(y) eğrileri üzeride işreleir ve elde edile oklr birleşirilirse eğe doğrulusu belirlemiş olur. D oksıd bu doğrusu çizilecek bir prlel, bu okd geçecek ol iegrl eğrisii eğe klcğı doğruluyu belirmiş olur. Iegrl eğrisie i bşk oklr elde edilmek iseildiğide uygulm burd olduğu gibi devm eirilmelidir. Ack r hesplr oldukç uzu olck ve belirli bir yklşıklıkl çlışmk gerekecekir. Yklşık hesplmlr soucud, iegrl eğrisii de souç bir yklşık eğri olcğı kbul edilmelidir. Bu kouu ikici merebede difersiyel deklemleri icelemeside kullılmsı gibi bir olk vrs d biz kibımız bu bölümü koymdık. Çükü Grfik Yöem bşlığı lıd ypığım yukrıdki çlışmd görüldüğü gibi, bu koud çözüm üremek hyli güç ve zhmeli olmkdır. Çözüm üremek yerie, di difersiyel deklemler içi birz d özel bir durum rz emekedir. Kouyu bury koyrke şöyle düşüdük: Demek ki bu koud grfik yöem bşlığı lıd ypılmış çlışmlr d vrmış! Bu bölüme i yukrıdki çlışmlr ypılırke gerçeke okuyucumuzu, böyle bir yöemi vrlığıd hberdr emeki. Ack prike görülüyor ki kolyc uygulbilir değildir. Okuyucumuz birz d buu gösermek isemişik.

202 . BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN VE SİSTEMLERİN ÇEŞİTLİ ALANLARDAKİ UYGULAMALARI.. Giriş Difersiyel deklemleri ve sisemleri, bş d belirildiği gibi, pek çok bilim lıd uygulm llrı bulumkdır. Bulr ek düze sırd koulr olmmkl birlike dh çok Mekik, Elekrik Devreleri, Geomeri, Rokeler, Kimy, Rdyokivie, Kirişleri eğilmesi gibi koulrd krşımız çıkr. Ayrıc vereceğimiz bzı örekler ilgiç h şşırıcı olckır. Difersiyel deklemler sdece memiği değil kou eiğimiz llrdki problemleri kurulup çözülmesie de yrdımcı olmkdır... Mekikeki Uygulmlr Fizik koulrı, fiziksel âlemi biıı belirleye kulrı rşırmkl uğrşır. Fiziksel âlemde erf görüle, om ve moleküller gibi görülmeye şeyleri büüü lşılır. Cisimleri hrekeii icelemesi mekiği bir dlıdır; bu dimik deir. Newo u üç hreke kuu, dimik çlışmlrıı emel dyğı şeklidedir... Newo u Hreke Yslrı İlk olrk Newo rfıd ory çık üç ys şğıdki gibidir. *Üzerie dış kuvveler eki emedikçe dur bir cisim durmy devm eder, hrekeeki bir cisim ise hrekeii bir doğru üzeride değişmez hızl devm eirir. *Bir cismi momeumuu zml değişmesi cisme eki ede e kuvvele ilgili orılı ve yı doğruluddır. *Her ekiye eşi ve zı bir epki vrdır. İkici ku göre bir cismi momeumu, m külesi ile v hızıı çrpımı olrk rif edilir. Bu göre momeumu zml değişimi d ( mv ) dir. Cisme eki ede e kuvve F ile göserilirse ikici ku göre d d ( mv ) F (.) d dir. Burd işrei orılı olduğuu gösermekedir. Orı k ile göserilirse;

203 9 d ( mv ) kf d elde edilir. Eğer m değişmez ise, bu şeklide yzılbilir. Burd dv m kf vey m kf d dv ivmedir. Böylece; d m F (.) k olduğu görülür. k ı değeri kullılmk isee birimlere bğlıdır. Bugü bu iki emel sisem kullılmkdır.... c g s sisemi vey Simere, Grm, Siye Sisemi Bu sisemde uzuluklr simere(cm), küleler grm(gr) ve zmlr siye(s) ile ölçülür. k içi e bsi değer k dir. (.) deki ku F m (.3) olur. Eğer belirli bir kuvve grmlık bir külede siyede bir simere cm / s lik bir ivmeye ulşırs, bu kirde (.3) de F g., cm / s g cm / s elde edilir. Bu kuvvee dye deir. c g s sisemie merik sisem de deir...3. f p s Sisemi vey Foo, Pou, Siye Sisemi Bu sisemde de k olrk kullılbilir. Böylece ys F s olur. Eğer belirli bir kuvve pou (b) luk bir külede siyede foo ivmeye ulşırs bu kuvvee poudl deir. Böylece; F m d poudl lb f / s elde edilir. Newo yssıı diğer bir ifde şekli, cismi külesi yerie ğırlığıı kullrk buluur. Bir cismi külesii düy üzeride her yerde yı olmsı krşı üzerie sdece W ğırlığı eki ede bir cisim iceleirse krşı ivmei g yerçekimi ivmesi olduğu görülür. Burd kuvve W dir. Newo yssı gereğice olur. (.3) deklemi (.4) deklemi ile bölüerek ; W F W mg (.4) vey g W F (.5) g elde edilir. (.5) deklemi hem c g s hem de f p s birimleri ile kullılbilir.

204 Örek. 9 Bir prşüçü durgu hlde bşlyrk düşmekedir. Prşüçüü ve prşüü oplm ğırlığı W libredir. Prşü üzerie (hv direci dolyısıyl) eki ede bir kuvve vrdır. Ve bu kuvve, düşme essıd, herhgi bir dki hızl doğru orılıdır. Prşüçüü düşey olrk şğıy doğru düşüğüü ve m ldığı d prşüüü çıldığıı kbul ederek, meyd gele hrekei belirleyiiz. Fiziksel kuvve diygrmı çizelim. A yı bşlgıç oksı olrk ve AB yöüü poziif x eksei olrk kbul edelim. Eki ede koşullr ; () şğı doğru eki ede W oplm ğırlığı ; (b) yukrı doğru eki ede R hv direcidir. Şekil. Prşü problemi Poziif (şğı doğru) yödeki e kuvve W- R dir. Direç hızl doğru orılı olduğud R v vey R v yzılır. Burd orı değişmezidir. Ve dim poziif olduğud mulk değer işreie gerek yokur. Kısc R v yzılbilir. Böylece e kuvve ; W- v ve Newo yssı kullılrk; W dv. g d W v elde edilir.prşüçü durgu hlde hrekee bşldığıd d v dır. Böylece m memiksel bğıı ; olur. W dv. g d W v, d v Difersiyel deklem değişkelerie yrılbilir ipedir. Bu göre ; olur. ike v olduğud Wdv W v W lw c W gd vey l W v g c

205 93 ve, dır ve W W l W v g lw W g l W v W W v e g W ve; ike v i W gibi değişmez bir limi hız yklşığı dikk edilmelidir. Bu, belirli bir zm geçike sor prşüü, yklşık olrk, düzgü hızl hreke emesii edeii çıklr. Ayrıc prşüçüü ldığı yol d zmı bir foksiyou olrk belirleebilir. deklemide; dx W e d g W W W g x e W c g elde edilir. ike x olm koşulu kullılrk ; buluur. Böylece; olur. c W g W W g W W x e g g.3. Elekrik Devrelerie Dir Uygulmlr Mekikeki Newo yslrı gibi, elekrike de elekrik devrelerii özelliklerii iceleye Kirchhoff yslrı vrdır. Gerçeke elekrik eorisi, elekromgeik eoride Mxwell deklemleri dee belirli birkç dekleme dyır. Cisimleri bsi hrekelerii icelemek içi Newo yslrıı sıl yeerli ise, elekrik devrelerii bsi özelliklerii icelemesi içi de Kirchhoff yslrı yeerlidir. E bsi elekrik devresi bir seri devredir. Bu devrede bir bry y d jerör gibi eerji kyğı olrk kullıl bir e m k (elekromoiv kuvve) ve bir elekrik mpulü, elekrik ocğı vey diğer bşk leler gibi bu eerjiyi kull bir direç vrdır. Elemeer fizike e m k i devredeki kıml ilgili olduğu görülür. I i kımı e m k ile doğru orılıdır. Formül olrk;

206 I E vey E I dir. Bu göre; olur. E 94 I R (.6) Burd R orı değişmezidir. Bu direç ksyısı vey sdece direç deir. Geel olrk <Prik birimler> ciside E i birimi vol, I ı birimi Amper ve R i birimi Ohm dur. (.6) deklemi Ohm kuu olrk biliir. Direçe bşk elemlrı d kpsy devreler dh krışık fk birçok durumd dh priklerdir. İki öemli elem bobi (iducor) ve kodsör dür. Bir bobi kımı değişmesie krşı koyr. Mekike külei le ekisi gibi, elekrike de bobii le ekisi vrdır. Bir kodsör ise eerji depo ede bir elemdır. Bir direç üzerideki volj düşmesi direçe geçe kıml orılıdır. Direç üzerideki volj düşmesi ER I vey E direç deir. R E R ve kım I ise, bu kirde; RI dir. Burd R orı ksyısıdır ve bu direç ksyısı vey kısc Bir bobi üzerideki volj düşmesi kımı zm göre i değişmesi ile orılıdır. Bobi üzerideki volj düşmesi E L ise bu kirde ; di di EL vey EL L dir. d d Burd L orı değişmezidir. Ve bu öz idüksiyo ksyısı vey kısc idüks deir. Bir kodsör üzerideki volj düşmesi kodsör üzerideki i elekrik yükü ile orılıdır. Kodsör üzerideki volj düşmesi E C ve i yük Q ise bu kirde; EC Q vey biliir. E C Q dir. Burd orı sbii I lımışır. C sığ vey kpsis olrk C C Kirchhoff Yssı Bir elekrik devresideki büü volj düşmelerii cebirsel oplmı sıfırdır. Yi uygul volj (e m k) volj düşmelerii oplmı eşiir. di Kirchhoff yssı göre, uygul e m k (E) bobi üzerideki volj düşmesi ( L ) ile d direç üzerideki volj düşmesii ( RI ) oplmı eşi olcğıd, devrei difersiyel deklemi; olur. di L RI E d

207 95 Örek. E m k i vol ol jeerör ohm luk bir direç ve herilik bir bobile seri bğlmışır. ıd K hrı kpırs, kım içi bir difersiyel deklem yzıız. Ve ıdki kımı belirleyiiz. Uygul volj = vol, direç üzerideki volj düşmesi ( RI) I, bobi üzerideki volj düşmesi ( L di ) di dir. d d Bulr göre Kirchhoff yssıd I di di vey 5I 5 dir. (.7) d d ıd hr kpıldığıd ike I dır. (.7) difersiyel deklemi, iegrsyo çrpı deklemdir. Bu çrpl çrpılıc, 5 e ol birici merebede doğrusl bir Yi I d e I e d 5 ce olur. 5 5 ( ) 5 vey 5 5 e I e c ike I olduğud c dur. Böylece ; I 5 ( e ) dir..4. Kimy ve Kimysl Krışımlr Ai Uygulmlr Difersiyel deklemleri kimysl olylrd birçok uygulmlrı vrdır. Örek. Rdyokif Bozulm ve Krbo 4 ( C 4 ) Yş Tyi Yöemi 4 Ö bilgi : c yş yi yöemi, çok eski çğlrd klm rıklrı yşıı belirlemede kullıl bir yöemdir. Yöem, krbo omuu öemli bir özelliğii kullmkdır. Amosferi üs bklrıd bulu C omu kozmik bombrdım soucud iki öro lrk C izoopu döüşmekedir. C e zml bir elekro kybederek zo ( N ) 4 döüşmekedir. C rdyokif izoopuu bozulm süresi (yrılm ömrü) 573 yıldır. Bu 4 4 syı 94 de W.S. Libby rfıd bulumuşur. Yi, gr C, 573 yıl sor.5 gr N 4 olmkdır. Amosferde C ı C e orıı sbi olduğu kbul edilmekedir. Yşy clı 4 4 vrlıklr C gibi C ü de kullmkdır. Bu or mosferdeki gibi sbiir; ck C bozumy uğrdığı içi öle bir clıı vücududki bu or, yukrıd belirile değere uyck şekilde değişmekedir.

208 96 4 Ypıl deeyler C ü zml bozum mikrıı külesi ile doğru orılı olduğuu 4 gösermekedir. O hlde, burd hrekele bir klııdki C mikrı ölçülerek fosili yşı yi edilebilir. C i C 4 orıı mosferde ship olduğu kbulüü doğru olmdığı ve oluşm orıı bozulm orıd %38 dh fzl olduğu Souher Clifori Uiversiy de Hs Svez ; Uh Uiversiy de Melvi Cook rfıd göserilmişir. Bu göre emel kbullerde biride ylışlık vrdır. Tekiği bzı eslerde bşrıyl geçerke bzılrıd ise mme ylış souçlr verdiği gözlemişir. Ayrıc, diğer meolrl krşılşırıldığıd 4 C meoduu olmsı gerekede dh z bir değer verdiği espi edilmişir. 4 C ü herhgi dki külesi ( ) edildiğide ; dm d M olsu. Bozulmı küle ile orılı olduğu iddi M yzılbilir. Burd, orılılık ksyısıdır. (-) işrei zlmyı ifde eder. Deklemi bsi iegrsyou; verir. M M e Burd M, bşlgıçki küledir. ı değeri heüz bilimemekedir. Ack, M izoopuu yrı ömrü 573 yıl olduğu göre bu kdr yıl sor M külesi ye iecek 4 ve diğer yrısı N e döüşecekir. O hlde bu bilgiyi yukrıd kullrk yı bulbiliriz: 4 C buluur. O hlde: M M (573) e e 573 e 573 dur. Meodu uygulmk içi şöyle bir örek seçelim: 4 Çok eski zmlrd kldığı düşüüle bir fosil icelemiş ve C mikrıı mosferdeki değerii %5 ie idiğii gözlemlemiş olduğuu kbul edelim. Bu fosil kç yşıddır? Yukrıdki deklemi ve değerii kullrk; buluur..5m M e M 573 l.5 l yıl

209 Örek. Krışırm Problemi 97 Sürekli krışırıl bir kı içide bşlgıç kilogrmı uz ol oplm 8 kg krışım bulumkdır. Her bir kuusu.9 kg çözülmüş uz içere kg lık beş de uzlu su bidou her dkikd bir k boşlılmk ve mme homoge bir krışım elde edildike sor k yı ord pomplmkdır. Herhgi bir d k bulu y( ) uz mikrı edir? Tkki uzu zm göre değişim orı, k uz girişi orı ile çıkış orıı frkı olmlıdır. Tk gire dkik dkik bşı uz mikrı 5x.9=4.5 kg/dk dır. Gire ve çık yı olduğu göre k dim 8 kg krışım vrdır. O hlde, herhgi bir d k bulu uz orı y( ) /8 dür. Tk dkikd çık kg olduğu göre çık krşımdki uz mikrı y/8=.5 y( ) dir. Bu göre kurulck memiksel model: dy y ' Gire uz orı- Çık uz orı = y( ) (.8) d şeklide olmlıdır. Bu deklem yrışırılbilir bir difersiyel deklemdir. Öyleyse, (.8) deklemi iegre edilirse; y d; y dy 8 Şekil.. Krışırm problemi.5d l y 8.5 c y.5 8 ce (.9) elde ederiz. c yi bulmk içi ıd y () = kg olduğu dikk edelim. (.9) deklemide; buluruz. O hlde,.5() 8 ce c 6 (.) y( ) e

210 98 dır. Tkki uz mikrıı sürekli rığı görülebilir. Değişimi (,8) rsı olduğu şikrdır..5. Çeşili Arm ve Azlm Problemleri ile İlgili Uygulmlr Bir y büyüklüğüü zm göre değişme hızıı y ile orılı olduğu dy y d difersiyel deklemi ile belirleir. Eğer orı sbii poziif ve y de poziif ise dy/d poziif ve bu d y i rığıı göserir. Bu kirde y içi rıyor deir. Bu problem, bir rm problemidir. Diğer rf d eğer egif ise ve y poziif ise dy/d egif ve bu d y i zldığıı göserir. Bu kirde bir zlm problemidir. Örek. Bir mikr su, kym oksı ol C ye kdr ısıılıyor. Sor sıcklık kyğıd lııp 6 C değişmez sıcklıkki bir ody göürülerek muhfz ediliyor. 3 dkik sor suyu sıcklığı 9 C olrk ölçülüyor. ) 6 dkik sor su sıcklığıı buluuz. b) Su sıcklığıı e zm 75 C ve e zm 6 C olcğıı buluuz. Suyu sıcklık kyğıd uzklşırılmsıd dkik sorki sıcklığıı U ile göserelim. Od ile suyu sıcklığı rsıdki frk U-6 dır. U u zm göre değişme orı; du d dir. Şekil.3. Arm zlm problemi Deeylere dyrk (U-6) e büyük değere ship ike sıcklığı e hızlı, (U-6) küçük ike ise e yvş şekilde değişeceği söyleebilir.

211 99 U sıcklıkki değişme mikrıı, ise bu değişmei meyd gelmesi içi gerekli zm rlığıı gösersi. Küçük bir zm rlığıı ldığımız kirde U i du/d ye çok ykı olcğıı vrsybiliriz. - U i (U-6) göre grfiği çizildiğide, şekildekie bezer bir grfik ory çıkr. Grfike görüle bğıı bir doğru olduğud yklşık olrk du d olduğu vrsyılır. Yi : du d (U-6) i (U-6) ile orılı Burd orı ksyısıdır. Şimdi (U-6) poziif ike du d egif k olmk üzere =k yzlım. Bu kdirde: du k( U 6) d olur. Bu deklem fizike Newo soğum kuu dı ile ıır ve birçok sıcklık problemleride öemlidir. Bu deklem içi bilie koşullr: içi U= C ve 3 dkik içi U 9 C dir. Deklemi değişkelerie yırm yöemi ile çözersek: buluur. du U 6 kd l( U 6) k c vey U 6 ce k içi U olduğud c=4 dır. Dolyısıyl : 3 içi U 9 olduğud ; U 6 4e k dir. dür. Burd d Yi ; elde edilir. 3 3k 3 k e e U 6 4( e k ) U 6 4 (.) 4 6 dkik sor sıcklık : (4) deklemide 6 kours U 8.5 C buluur.

212 Sıcklığı 75 C ve 6 C olduğu zmlr : Deklemde U 75 C kours: U 6 C kours : ve. ; ve 38.5 buluur. Böylece C dki suyu sıcklığıı 75 C içi de 38.5 dkik geçmesi gerekmekedir. ye düşmesi içi. dkik, 6 C ye düşmesi.6. Nüfus Arış Problemi Örek. ıd üfus syısı N( ) olsu. Birey bşı rış orıı, üfus büyüme mikrıı oplm üfus orı olrk ımlylım. Mesel, doğum orı % 3.7 ve ölüm orı %.9 ise, rış orı % (3.7-.9) = %.8 =.8 dir. Bu göre : dn d =.8 N dir. Verile bu oplulukki orlm doğum orıı sbi olduğuu frz edelim. Orlm ölüm orı oplulukki birey syısı ile orılıdır. Bu orı ksyısı olsu. dn d opluluğu rış orı olduğud, birey bşı rış orı: dn N d dir. O hlde opluluğu rışı dir difersiyel deklem : dn N d (.3) N (.4) dir. (.4) deklemi üfus rış deklemi (lojisik deklem) ve bze de Verhuls Deklemi dıı lmkdır. Bu deklemi öerdiği büyüme orı d lojisik rış olrk biliir. (.4) deklemi, değişkelerie yrılbilir olduğud, yzbiliriz. Buu iegrli : dn N( N) d N N N N

213 şeklide bsi kesirlere yrışırıp iegrsyou gerçekleşirerek: l N l N c olup burd N l c N elde ederiz. Birz kez dh düzeleirse : N ce N (.5) buluruz. Burd c e c ldık. koyrk : N() c N() buluruz. Buu (.5) deklemide yerie koyrsk ; N( ) verir. olduğud, rıkç ulşılbilir. N() e N() N() e e N() e sıfır yklşır. Öyleyse, e fzl sıır değerie.7. Geomeri Kpsy Fizik Problemleri Fizik problemlerii pek çoğu, geomeri ile ilişkilidir. Öreği yrısı kdr su ile dolu ve eksei erfıd sbi bir çısl hız ile döe bir dik diresel silidir düşüelim. Su yüzeyii şekli, silidiri çısl hızı ile belirleecekir. Burd fizik, su yüzeyii geomerik şeklii belirler. Örek. Kesii değişmez ve A ol bir kp H yüksekliğie kdr su ile doludur. Su kbı dibideki B kesili bir delike dışrı kmkdır. Herhgi bir d suyu yüksekliğii ve kı boşlmsı içi geçe süreyi buluuz.

214 Şekil.4. Fizik problemi Kp şekil.4 e görüldüğü gibi olsu. A, kbı değişmez kesi lı ve B de deliği kesi lıdır. ıd kki su yüksekliği h (düzey ) ve ıdki yükseklik h h (düzey ) olsu. Kullcğımız emel presip, düzey, de ye düşüğüde kybedile su mikrı delike çık su mikrı eşiir, şeklidedir. Su düzeyi de ye düşüğüde kybedile hcim, syısl olrk, A h dır. Bu rd işrelere dikk edilmelidir. Gerçeke h egif bir büyüklük olduğud, zm rlığıd gerçek hcim kybı Ah dır. Delike çık suyu hcmi ise, kesii B ol ve s uzuluğudki bir silidiri hcmi kdrdır. Burd s, su yy olrk hreke eirebildiği kirde zm rlığıd hreke edebileceği mesfedir. Böylece : Ah B s buluur. ile bölüp içi limi lıırs, dh ds A B Bv d d vey Adh Bvd (.6) ds elde edilir. Burd v delikeki kış hızıdır. Şimdi delikeki kış hızıı belirlemesi d gerekmekedir. Su düzeyi yüksek ise v de büyük olur. Gerçeke idel koşullr içi, v gh olduğuu gösermek zor değildir. Böylece (.6), Adh B ghd (.7) olur. Bşlgıçki yükseklik H olduğud, ike h H dır. (.7) deki bğıı değişkelerie göre yrılırs, dh B g d h B A, h g c A buluur. ike h H olduğu kullılırs, c H elde edilir ve :

215 3 B h g H (.8) A şeklide yüksekliği zmı bir foksiyou olrk ifde ede bir deklem çıkr. Tkı boşlmsı içi geçe süre ise h içi bulurk elde edilir. (.8) de, A H B g elde edilir..8. Krm Örekler Bu bölümde yukrıdki koulrı dh iyi lşılmsı çısıd çeşili örekler bulumkdır. Örek. Rdyum u %5 ii yıld kybolduğu hesplmışır. ) yıld külei % kçı kybolur? b) Rdyum u yrı ömrü edir? A, gr. ciside Rdyum u yıl soudki mikrıı gösersi. Bu kdirde da d (memiksel yklşım yöemi düşüülürse) Rdyum u çözülme hızıı göserir. yzılbilir. da A d vey da A d da Burd orı ksyısıdır. Dim A ve zldığıd ve dolyısıyl egif d olmlıdır. k ile göserilerek, yzılır. da ka d Vrsylım ki, A, gr. ciside Rdyum u bşlgıçki külesii gösersi. Bu kdirde verile bilgiye göre yılsoud.5 A gr. klmış olckır. Dolyısıyl içi A A ve yıl içi A.995 A yzılbilir. Değişkelerie yrılbile iegrl hesbı ile, l A k c vey A ce k bulbiliriz. içi A A olduğud c A dır. Burd yzılbilir. A A e k içi A.995 A olduğud,

216 Dolyısıyl, 4 k k k.995 A Ae, e.995, e (.9) k k A Ae A e A.995 (.) olrk (.9) deklemide k çözülürse, k.48 buluur. Burd : dır. A.48 A e (.) yılı soud kybol % küle : kours (.) ve (.) de A.658 A vey külei %34. sii kybolcğı hesplır. Rdyum u yrı ömrü : Rdyokif yok olmı yrı ömür süresi, külei yrısıı kybolduğu zm olrk ımlır. Böylece problemimizde A A olduğu zmı bulmmız isemekedir. (.) deklemii kullrk, yıl olrk buluur. Örek. Toricelli Kuu e ifdeside Bir kbı içideki sıvıı, kbı lı çıl delike e kdr zmd boşlcğıı bilmek iseyebiliriz. Fizik ilkesi sıvı boşlm orıı, dv kav d ile verileceğii ögörmekedir. Burd v( ), herhgi bir ıd kp bulu sıvıı hcmi, A ; deliği kesi lı ve k d sıvı viskoziesi ve delik şeklie bğlı bir sbiir. k ı deeysel olrk belirlee değeri ile rsıddır. Bu ilkeye ilve olrk kp içideki sıvı prçcıklrıı serbes düşe bir cisim gibi hreke eiklerii kbul edelim. Bu kbule göre delike çıkış hızıı bulmk içi delike h() yüksekliğide bulu m küleli prçcık içi y=h() ve y= koumlrı rsıd eerjii koumuu yzbiliriz : mgh( ) mv ; v( ) gh( ) Bu değeri yukrıdki dif. deklemlde yerie koyrsk : dv ka gh( ) d (.) elde edilir. Bir örek olrk yrı küresel kı boşlmsıı iceleyelim.

217 5 Şekil.5. Toricelli Kuu Öce v ile h rsıdki bğııyı bullım. r, ıdki sıvı yüzeyii yrıçpı olsu. T ı ile + ı rsıd kp döküle v sıvı hcmi h klılığıdki ve r() yrıçpıdki diski hcmie eşi olmlıdır. Bu göre : ve dolyısıyl d, olur. limi hlide, v r h v ( r( )) dv d h dh d olur. (.) ve (.3) deklemleride, dh d r (.3) r ka gh (.4) elde ederiz. Eğer r yrıçpı h ciside yzılbilirse, (.4) e sdece h ile ye bğlı bir difersiyel deklem elde edilmiş olur. Şekli geomerisii dikke lrk, buluur. Şimdi (.4) deklemi, şeklii lır. (.5) deklemi, r ( h) h h dh d h h ka gh( ) (.5) h h h ka gd şeklide yrışırılbilir olduğud, iegrsyol,