ARAŞTIRMA MAKALESİ/RESEARCH ARTICLE

Transkript

1 AADOLU ÜİVERSİTESİ BİLİ VE TEKOLOJİ DERİSİ AADOLU UIVERSITY JOURAL OF SCIECE AD TECHOLOY Clt/Vol.:5-Sayı/o: : (4) ARAŞTIRA AKALESİ/RESEARCH ARTICLE O-HAI (ROSEBLOO-TSFASA) ETRİĞİE ÖRE LİEER KODLARI YAPISI ehmet ÖZE, İfa ŞİAP, Feth ÇALLIALP 3 ÖZ Bu çalışmaa ρ metğe göe lee olaı yapılaı cele. Kolaı yapılaıa fayalaılaa, bu metğe göe lee ve evl olaı mmum uzalığıı olaylıla tespt eleblğ göstel. Bu metğe bağlı olaa lee olaı ualle cele ve DS olaı ağalı sayaçlaı buluu. Aahta Kelmele: Lee Kola, o-hammg etğ, DS Kola THE STRUCTURE OF LIEAR CODES WITH RESPECT TO A O-HAI (ROSEBLOO-TSFASA) ETRIC ABSTRACT We exploe the stuctue of lea coes wth espect to the ρ metc. Tag avatage of ths stuctue, we show that the mmum stace of lea a cyclc coes ca be eteme easly. We vestgate the ual of lea coes a the weght eumeato of DS coes wth espect to ths metc. Key Wos: Lea Coes, o-hammg etc, DS Coes. İRİŞ ρ o-hammg (Rosebloom-Tsfasma) metğ [4] te yaı zamaa suulmuş ve mmum uzalı ç üst sııla spatlamıştı. [] e bu metğe göe Hammg ağılı sayaçlaı celemşt. Ayıca, [5] te ye bu o-hammg metğe göe tam ağılı sayaçlaı taımlamış ve acwllams eştlle spatlamıştı. Bc bölüme Hammg metğe bağlı olaa ble bazı temel teoem ve souçlaı velecet. İc bölüme, Hammg metğe ble ve taımlaa bazı avamla, Hammg olmaya Rosebloom-Tsfasma metğe celeecet. Ü- çücü bölüme se DS ola le ağılı sayaçlaı celeecet. q b asal sayıı uvvet olma üzee, F q ={α,α,...,α q- }, q elemalı solu b csm olsu. V(, q), Fq üzee uzuluğua bütü vetöle ümes olsu. Bu üme, b vetö uzayıı. C V(, q) ve C, V(, q) u boyutlu b alt vetö uzayı se C ye uzuluğua, boyutlu b lee o e ve ısaca [,] le göstel. C elemalaıa se osöz e. B osöze sıfıa falı bleşele sayısıa se o osözü Hammg ağılığı ya a ısaca osözü ağılığı e. İ osöz aasıa Hammg uzalığı se; bu osözle falaıı Hammg ağılığıa eştt. C e osözle sıfıa falı e üçü ağılığıa C Hammg ağılığı e ve ısaca wc ( ) le göstel. Dğe yaa, C e sıfıa falı e üçü Hammg uzalığıa se C mmum uzalığı e. Lee olaa 3 Saaya Üvestes, Fe Eebyat Faültes, atemat Bölümü, Seva, 54,SAKARYA E-Posta:oze@saaya.eu.t. azatep Üvestes, Aıyama Eğtm Faültes. Doğuş Üvestes, Fe Eebyat Faültes, atemat Bölümü. elş: Oca ; Düzeltme: 8 Kasım; Kabul; 4 ayıs 4

2 54 C ( ) = wc ( ). B vetö uzayı olaa taımlaa b C ou ç uzulu, boyut paametele yaıa mmum uzalı paametes olü ço öeml. mum uzalığa göe b ou hata üzeltme özellğ ölçülebl []. C, [,] b lee o olsu. Satılaı C bazıa oluşa b, matse C üeteç mats e. Eğe b C ouu bleşelee b pemütasyo uygulaaa C ou ele elyosa C ou le C ou bbe et e. Dat else C le C ü üç temel paametele,, ve ayıı ve olama alamıa falı yapıla eğlle. Teoem. [] F q üzee, C [,,] lee ou velğe; l sütuu boyutlu I bm mats ola = [ I, A] sta at foma üeteç matse sahp b C oua et. Hammg metğe ç çapım, C hehag x = ( x, x,..., x ) ve y = ( y, y,..., y ) osözle ç, x, y = xy şele taımlaı. = { x (, ) x,, C} C = V q c = c ual ou e. ümese C Teoem. [3] = [ I, A] staat foma üeteç matse sahp C b [ ], lee o olsu. O zama C T, H = [ A, I ] üeteçl, [, ] lee o olu. Yuaıa teoeme aı geçe H matse C ouu otol mats e. R = F q [x]/ x -, b temel eal halasıı. Ф: V(,q) R ve Ф (( c, c,..., c )) = c + c x c x se Ф, V(, q) le R aasıa b vetö uzayı zomofzmasıı. Eğe hehag b ( c, c,..., c ) C ç ( c, c,..., c ) C se C V(, q) ye b evl o e. C evl ou Ф(C) le özeşlğe R b eal oluğu göülü. Öeme 3. [3] C, R b eal olsu. Bu uuma C = f( x) ve f( x) x olaca şele b f( x) = a + ax ax, a = vaı. C, f ( x ) taafıa üetle = boyutlu ve Aaolu Üvestes Blm ve Teoloj Degs, 5 () L a K a a a L K L K = a a üeteç matsl b evl ou. f( x) x olma üzee C = f( x) evl b o (eal) olsu. x = f( x) h( x) se h(x) e, C otol polomu e Teoem 4. [3] h(x), evl C, [,-] lee ouu, R e otol polomu olsu. O zama otol mats, L h K h H = h L h K h L h K olu ve boyutlu evl ual ouu üeteç polomu h ( x) = h x h( x ). ş bölümüe temel blg ve teoemlele lgl olaa aha geş blg ç [] ve [3] ayalaıa baılabl.. O-HAI ETRİĞİE ÖRE LİEER KODLARI YAPISI x = ( ξ, ξ,..., ξ ) C osözüü o-hammg ağılığı, { ξ } max, x w( x) =., x = Hehag x, y C ç ρ ( x, y) = w ( x y ) şele taımlaa ρ fosyoua x ve y osözle o-hammg Rosebloom-Tsfasma uzalığı e. ρ b mett [4]. o-hammg metğe mmum uzalı, ( C) = m ρ(, ) ρ(, ) { } xy, C x y x y şele le göstel. o-hammg taımlaı ve ısaca metğe b C ouu mmum ağılığı se, w( C) = m x C{ w( x) x } şele taımlaı ve ısaca w ( C) le göstel. Hammg metğe oluğu gb, C lee b o se ( C) = w( C) olu.

3 Aaolu Uvesty Joual of Sce a Techology, 5 () 55.. Lee Kou Üeteç ats Satılaı boyutlu C bazıa oluşa b, mats C üeteç mats olsu. eellğ bozmaa mats so sütuuu sıfıa falı oluğu abul el. Öeme 5. C, [, ] paametel b lee o olsu.c ou, g K g s g s K g s g s g + + K s g g s g s g s gs K K + K = g K gs g s K K 3 s s s () s > s > s >... > s ve g = g =... = g = şele b üeteç matse sahpt. Kaıt: mats lee cebe ble elemate satı şlemle le (sütu şlemle yapmaa) yuaıa gb üçgesel foma ola matse ge. Taım 6. Yuaıa öemee vele ve o- Hammg metğe göe yapıla celemee temel teşl eece () matse b ou staat foma üeteç mats e. Öeme 7. o-hammg metğe göe, () staat fomua üeteç matse sahp C ouu mmum uzalığı = s olu. Kaıt: Staat foma getle matste g s, g bleşele sıfıa falıı. Bütü s,..., g s osözle bu üeteç mats satılaıı lee ombasyolaıa oluşu. Dolayısıyla ıcı satıae aha üçü ağılığa sahp osöz oluşamaz. o- Hammg metğe göe = s olu. Öeme 8. [4] (Sgleto Üst Sııı) C, F q üzee b [,, ] lee o se + olu. Kaıt:. Buaa staat fomu ullaaa bağımsız ve aha bast b spat vel. üeteç mats elemate satı şlemle soucu s = ve s = s, ve s + olaca şele () e staat foma ge. B ou osözle bu mats lee ombasyolaıa oluştuğua ele elece bütü osözle ağılılaı -+ e büyü olamaz. Dolayısıyla + olu. Taım 9. [4] Sgleto üst sıııı sağlaya olaa masmum uzalığa ayışabl (axmum Dstace Sepaable) o e. elemate satı şlemle le s =, s = s,, s = + ve A, ( -) tpe b mats olma üzee; L = A, O L staat fomua gele ou b DS o olu. üeteç matse sahp ().. Lee Kolaı Dual ve Dual Üeteç ats o-hammg metğe ç çapım, C hehag osöz = ( x, x,..., x ) x ve xy + = C y = ( y, y,..., y ) ç; x, y = şele taımlaı.[4] Öeme. () e üeteçl C, [,] lee ou-, lee o olu. u ual C, b [ ] Kaıt: C leelğ ve boyutuu oluğu Hammg metğe beze şele göstel. o-hammg metğe göe H otol mats buluuşu: Staat foma üeteç mats, -l sütu pemütasyou le, ( ) =, = [ A, I ] Hammg alamıa staat fomua getl. Bua yaalaaa Hammg metğe göe H = [ I, A Τ otol mats ele el. ] ( H ) H = olsu. e hehag b c satıı ( g, g,... g ) ve H ü hehag j c satıı ( h,..., ) olsu. le H Hammg h j, () j, ( ) alamıa bbe t. ( H ) Τ =. c satı altıa, ( g, g g ( g g () ( ) ) ve ( h j,..., h,..., ) =,,...,, j ) olsu. g h g h, () j + L +,, ( ) j = ( g,..., g ),( h,..., h ) =., (), ( ) j j He çapaa ayı ayı pemütasyou uygulaıp sale çapılısa sale çapımı eğee b eğşme

4 56 olmayacağıa, g h g h =, () j j, ( ) olu. Dolayısıyla le H Hammg alamıa t. H ye ( K = K ) pemütasyou uygulaaa satıla tes çevlğe ( H ), ele el. ( H ) = H olsu. H, ye o-hammg alamıa olu. satı pemütasyou le, H staat foma getlee ( H ) = H, ( ) tpe H otol mats buluu. Öeme. Yuaıa paagafta geçe taım le ve faele altıa, üeteç matsl b ou o- Hammg metğe göe otol mats; ( ( ( H ))) = H olu. Öe. B C ouu o-hammg ağılığa göe staat foma mats, = olsu. Öeme 7. ye göe =, [ A, I ] 3 = 3 olu. ye uygulaığıa = olu. Bua yaalaaa H = yazılı. H ye öcelle uygulaı, soa le 34 satılaı tes çevp, = satı pemütasyou 43 ullaılaa, ( ( ( H ))) = H = buluu..3. Devl Kolaı Dual ve mum Uzalı Öeme. f ( x) = a + a x a x, a = ve f( x) fosyou Aaolu Üvestes Blm ve Teoloj Degs, 5 () x bölsü. C = f( x) evl ouu o-hammg ağılığıa göe staat foma üeteç mats, K a K a a a K K = a K a K ve a ( ) = = oluğua ( C) = + olu. Kaıt: Elemate satı şlemle le staat fomu buluu. a = ve a ( ) = oluğu ç o- Hammg ağılığıa göe staat foma üeteç matse w = + oluğu çıa. Aşağıa souç taımlaa olayca ele el. Souç. Devl ola o-hammg metğe DS olaı. Souç. Devl C ual ouu H üeteç mats olsu ve a( H ) = se = + olu. Kaıt: Devl C lee ouu üeteç mats staat fomaı ve buaa A, x( ) boyutlu b matst. K = A, O K mats satılaı ye eğştlee [ A, I ] full (so sütua bm otuması) fomua getl. Bua yaalaaa Hammg alamıa yazılıp satıla tes çevlp o-hammg alamıa ola H otol mats yazılı. H = [ B, I ] full fomaı. Satıla ye eğştlee staat foma getl ve olayısı le = + oluğu H matse çıa. 3. DS KODLAR VE AĞIRLIK SAYAÇLARI C [ ] Teoem 3.,,, lee ou DS se ual ola C e DS. Kaıt. C, lee ouu mmum uzalığı olsu. C lee ou DS oluğua üeteç mats () e staat fomuaı ve a( ) = ol-

5 Aaolu Uvesty Joual of Sce a Techology, 5 () 57 uğua, = +. C lee o oluğua ( ) ve buaa a + olu. mats satılaı ye eğştlee [ A, I ] fomua getl. Bua yaalaaa. Hammg alamıa yazılıp satıla tes çevlp o-hammg alamıa ola H otol mats yazılı. H = [ B, ] full fomuaı. Dolayısıyla I = + olu. C DS oluğu göstelmş olu. = c C w W ( z) = Az = z C polomua e. ( c) C ouu o-hammg ağılı sayacı Teoem 5.F q, q elemalı solu b csm ve C, b,, + DS o olsu. A, ağılığıa [ ] osözle sayısıı gösteme ve, olma üzee; A = ( q ) q olu. Kaıt. = + oluğua C, DS ouu üeteç mats elemate satı şlemle le () e staat fomua getl. Buaa A, ( ) tpe b mats. ıcı satı ç ağılığıa olaı sayısı q tae olu. c satıa + ağılığıa olaıı sayısı se ıcı satıla lee ombasyoua, + ağılığı eğşmeyeceğe qq ( ) tae olu. c satıa + ağılığıa olaıı sayısı se ( q )( q ) olu. Tümevaım le c satıa ağılığıa olaı sayısı a ( q )( q ) olu. Dolayısıyla ç, A = ( q ) q olu. Souç 3. F q, q elemalı solu b csm ve C,,, + DS ouu ual C olma üzee [ ] C, [,, ] + DS ou olu. Ayıca üeteç mats, Taım 4. C b o ve A, C oua o- Hammg ağılığıa ola osözle sayısı olsu. K H = B, O K oluğua staat fomaı. Buaa tpe b matst., ağılığıa osözle A İ sayısıı göstes. A = ( q ) q olu. olma üzee, 7,4,4 DS ouu staat foma üeteç mats, Öe. F 3 csm üzee C, [ ] = 4 olsu. = + = 4 tü. 3 = 8 tae osöz vaı. = 4 7 ağılılaı 4 ola, A 4 = tae vaı. Ağılılaı 5 ola, A 5 = 6 tae vaı. Ağılılaı 6 ola, A 6 = 8 tae vaı. Ağılılaı 7 ola A 7 = 54 tae vaı. Sıfı osözü le toplam 8 tae osöz olu. Dual ç ; H = = + = 5 7 ç, A 5 = tae, A 6 = 6, tae A 7 = 8, tae olma üzee sıfı, osözü le toplam 7 tae osöz olu. aale üzeltmese atıa bulua haeme teşeüü b boç blz. KAYAKÇA []Doughety, S. T. a Sgaov,., () acwllams Dualty a the Rosebloom- Tsfasma etc, oscow athematcal Joual, Vol., umbe (), []acwllams, F.J. a Sloae.J.A. (977), The Theoy of Eo-Coectg Coes, oth Holla. [3]Roma, S. (99),Cog a Ifomato Theoy, Spge-Velag. [4]Rosebloom,. Yu. a Tsfasma. A. (997), Coes fo the m-metc, Poblems of Ifomato Tasmsso, Vol. 33, (), [5]Sap, I. (), The Complete Weght Eumeato fo Coes ove s ( F q) 8th IA Cofeece o Cyptogaphy a Coes, Cceste, UK,

6 58 Lectue otes o Compute Sceces Vol. 6, pp. -6. Aaolu Üvestes Blm ve Teoloj Degs, 5 () Feth ÇALLIALP, 97 yılıa Çapa Yüse Öğetme Ouluu ve İstabul Üvestes Fe Faültes atemat Bölümüü bt. 973 yılıa, Hacettepe Üvestes Fe Faültes atemat Bölümüe Assta olaa,978 yılıa Dotoasıı ve 98 yılıa Doçetlğ alı yıllaı aasıa 9 ayıs Üvestes Fe-Eebyat Faültes atemat Bölümüe Bölüm Başaı olaa çalıştı. 988 yılıa Pofesö olaa ataı yıllaı aasıa İTÜ Fe- Eebyat Faültes atemat Bölümüe Pof. olaa çalışıe yıllaı aasıa Saaya Üvestes Fe Eebyat Faültes Deaı olaa ataı yıllaı aasıa amaa Üvestes Eğtm Faültese Bölüm Başaı olaa çalışıe emel olu ve Doğuş Üvestes Fe Eebyat Faültes Pofesö aosua ataı. Hale atemat ve Fe Blmle Bölüm Başaı olaa göev yapmataı. Aaştıma alalaı; Cebsel Sayıla Teos, Halala Teos ve oül Teo üzee İfa Şap, 99 İstabul Üvestes Fe Eebyat Faültes atemat Bölümü mezuuu yıllaıa Oho State Üvestes (A.B.D) atemat alaıa sıasıyla Yüse lsas ve Dotoa eecele almıştı. - yıllaı aasıa Saaya Üvestese çalışmış. 3 yıllıa tbae Doçet olaa azatep Üvestes Aıyama Eğtm Faültes e çalışmataı. Çalışma alaı ağılılı olaa olama teos ve matemat eğtm üzee. ehmet Öze, 994 yılı Ege Üvestes Fe Faültes atemat mezuuu. 998 yılıa Yüse Lsasıı ve yılıa a Dotoasıı Saaya Üvestes e tamamlamıştı. Hale Saaya Üvestes e Y. Doç. D. olaa göev yapmataı. Çalışma alaı Cebsel Kolama Teos.