ÖNSÖZ. 1) Laboratuara hazırlıklı gelin. Yapacağınız laboratuar çalışmasıyla ilgili ön bilgileri kitaplar ve ders notlarından okuyun.

Transkript

1

2 ÖNSÖZ Đstatistik Laboratuarı 99 yılıda itibare bölümümüz müfredatıda yer ala derslerde birisidir. O yıllarda: yürütmekte olduğumuz bu laboratuar çalışmalarıda, yer ve alet imkasızlıklarıa rağme öğrecilerimizi büyük bir istekle deeyleri yaptıkları ve değişik bir bilgi elde etmei mutluluğu ile çalışmalarıı yürüttüklerii gözlüyoruz. Öümüzdeki yıllarda daha geiş mekalarda her öğreciye bir bilgisayar düşecek şekilde her yıl içi e az bir laboratuar dersii yer aldığı bir programı özlemi ve gerçekleşeceği iacı içideyiz demişiz. Evet, bugü bilgisayar problemimiz yok, acak mekâ sıkıtısı alatılacak gibi değil ve yakıda çözülecek gibi görümüyor. Tüm sıkıtılara rağme deeylerimizi ve çalışmalarımızı yapmaya devam edeceğiz. Bu laboratuar kılavuzu ĐST 5 Đstatistik Laboratuarı deeyleri içi hazırlamıştır. Buradaki deeyler ve çalışmaları amacı, şu aa kadar görüle dersleri çerçeveside, rasgelelik olgusuu alaşılması ve alatılması (modellemesi) problemii kavratabilmek, öğreile temel bilgileri pekiştirmek ve ileride öğreilecek istatistik kavram ve yötemleri öğremede kolaylık sağlayacak sezgisel bir altyapı oluşturmaktır. Bu laboratuar kılavuzuu istatistik kavramlar ve yötemler öğrete bir kitap olmadığıı; deeyler yapmaızı, grafikler çizmeizi, bilgisayar programları yazmaızı, istatistik paket programları çalıştırmaızı, veri aalizi ve yorumlar yapmaızı, üstelik buları kedi gayretiizle yapmaızı isteye bir rehber olduğuu uutmayı. ) Laboratuara hazırlıklı geli. Yapacağıız laboratuar çalışmasıyla ilgili ö bilgileri kitaplar ve ders otlarıda okuyu. ) Laboratuar kılavuzudaki bilgisayar programlarıı gözde geçiri ve çalışır hale getiri. 3) Yaıızda cetvel, kurşu kalem, silgi ve bilgisayar buluduru. 4) Laboratuar çalışmalarıızı mümkü olduğuca sessiz ve bireysel yürütüüz. Bitiremediğiiz deey veya raporlarıızı evde tamamlayıız. Birçok kusuruu var olacağıı doğal karşıladığımız bu laboratuar kılavuzuu iyileştirilmesi hususuda öğrecilerle meslektaşlarımız tarafıda gelecek her türlü öeri ve eleştiri içi öcede teşekkür eder öğrecilerimize çalışmalarıda başarılar dileriz. Ağustos Akara

3 3 ĐÇĐNDEKĐLER GĐRĐŞ Sayfa LABORATUAR ÇALIŞMASI Olgu-Deey-Model-Bezetim (Simülasyo) LABORATUAR ÇALIŞMASI Bazı Modelleme Örekleri LABORATUAR ÇALIŞMASI 3 Rasgele Sayılar ve Üretimi 8 LABORATUAR ÇALIŞMASI 4 Olasılık Dağılımlarıda Sayı Üretme.. 39 LABORATUAR ÇALIŞMASI 5 Bir Boyutlu Kesikli Dağılımlar.. 45 LABORATUAR ÇALIŞMASI 6 Poisso Dağılımı ve Uygulamaları LABORATUAR ÇALIŞMASI 7 Bir Boyutlu Sürekli Dağılımlar LABORATUAR ÇALIŞMASI 8 Üstel ve Gamma Dağılımı. Güveilirlik Aalizi LABORATUAR ÇALIŞMASI 9 Normal Dağılım ve Uygulamaları.. 9 LABORATUAR ÇALIŞMASI Çok Boyutlu Dağılımlar. Marjial ve Koşullu Dağılımlar LABORATUAR ÇALIŞMASI Bağımsız Rasgele Değişkeleri Toplamı ve Ortalaması.... LABORATUAR ÇALIŞMASI Büyük Sayılar Kauu LABORATUAR ÇALIŞMASI 3 Merkezi Limit Teoremi.... 8

4 4 Giriş DERSIN KODU ĐST 5 DERSIN ADI Đstatistik Laboratuvarı I DERSIN TÜRÜ Zorulu DERSIN SINIF VE DÖNEMĐ.sııf / Güz DERSĐN VERĐLDĐĞĐ BÖLÜM Đstatistik DERSĐN KREDĐSĐ: (,, ) AKTS 4 DERSĐ VEREN ÖĞRETĐM ÜYESĐ/ÜYELERĐ DERSĐN AMACI,ÖĞRENĐM HEDEFĐ, ÖĞRENĐM METODU, ÖĞRETME VE ÖĞRENME MATERYALĐ ) DERSĐN AMACI ) DERSĐN ÖĞRENĐM HEDEFLERĐ Đstatistik eğitimii amacı ola rasgelelik olgusuu modellemesi problemii öğrecilere kavratabilmek, birici sııfta ediile temel istatistik bilgilerii pekiştirmek ve ileride öğreilecek istatistiksel kavram ve yötemleri alamada kolaylık sağlayacak bir alt yapı oluşturmak. Örek uzay, olay, olasılık ölçüsü, olasılık uzayı, rasgele değişke, KAZANDIRILAN BĐLGĐ olasılık (yoğuluk) foksiyou, dağılım foksiyou, beklee değer, varyas v.s. gibi kavramlar. Lisas öğreimi boyuca kullaılacak temel kavramları pekiştirilmesi ve KAZANDIRILAN BECERĐ istatistik yötemleri deey ortamıda öğreilmesi. 3) ÖĞRETĐM METODU Gerçek ve saal deeyler yapmak. Değişik deey araç ve gereçleri, 4) ÖĞRETME MATERYALI bilgisayar. Laboratuar kılavuzudaki ödev ve deey souçlarıı haftalık 5) DERSĐN ÖLÇME VE DEGERLENDĐRME YÖNTEMLERĐ değerledirilmesi, ara sıav ve döem sou sıavı

5 5 DERS PLANI VE ĐÇERĐĞĐ HAFTA Laboratuar Çalışmasıı Kousu Deey-model-bezetim (simülasyo). Dik atış: modellemesi ve bezetimi. Tazı-tavşa kovalamacası. Bazı modelleme örekleri. Rasgelelik içere olguları modellemesi. 3 Rasgele sayılar ve üretimi. 4 Olasılık dağılımlarıda sayı üretme. 5 Bir boyutlu kesikli dağılımlar. 6 Poisso dağılımı ve uygulamaları. 7 Bir boyutlu sürekli dağılımlar. 8 Üstel ve Gamma dağılımı. Güveilirlik aalizi. 9 Normal dağılım ve uygulamaları. Çok boyutlu dağılımlar. Marjial ve koşullu dağılımlar. Bağımsız rasgele değişkeleri toplamı ve ortalaması. Büyük Sayılar Kauu 3 Merkezi Limit Teoremi 4 Ara Sıav F. Öztürk, L. Özbek ve F.M. Kaya (993) Đstatistik Laboratuarı I, Akara. KAYNAKLAR F. Öztürk () Olasılık ve Đstatistiğe Giriş I, Gazi Kitabevi, Akara. ĐST, ĐST ve ĐST Ders Notları. SINAVLAR Ara sıav ve döem sou sıavı. Sıavlar yazılı veya deeysel olarak yapılır. Laboratuar kılavuzudaki ödev ve deey souçları ile ilgili değerledirmeler başarı otua katkıda buludurulur.

6 6 Laboratuar Çalışması Olgu-Deey-Model-Bezetim (Simülasyo) Aklımız ile gerçek düyadaki olguları alamaya ve alatmaya çalışırız. Bu alamaalatma işie modelleme ve alatımı kedisie de model deir. Modellemede, dilde sora, aklımızı kulladığı ifade araçlarıda e öde geleleri matematik ve istatistiktir. Model, gerçek düyadaki bir olguu ilgili olduğu bilim sahasıı (fizik, kimya, biyoloji, jeoloji, astroomi, ekoomi, sosyoloji,...) kavram ve kaularıa bağlı olarak ifade edilmesidir. Model gerçek düyadaki bir olguu bir alatımıdır, bir tasviridir. Gerçek düyaı çok karmaşık olması sebebiyle modeller, alatmak istedikleri olgu ve sistemleri basitleştirerek belli varsayımlar altıda ele almaktadır. Modeller gerçeği kedileri değildir ve e kadar karmaşık görüseler de gerçeği bir eksik alatımıdırlar. Model deile şey model kurucuu gerçeği alayışıı bir ürüüdür, bir saıdır. Simülasyo (bezetim) model üzeride olguu irdelemesidir, model üzeride deey yapmaktır diyebiliriz. Simülasyo yoluyla elde edile verilere saal veri diyelim. Saal veriler, olguu gerçeğide elde edile verilere (gözlemlere) bezemektedir, maket modellerde olduğu gibi. Olguları modellemede düşüce tarzı aşağıdaki gibidir. Gerçek Düya Olgu Ölçme Veri (Data) Model Matematik çözümleme Đstatistik çözümleme Souç çıkarım Bir modeli yararlı olması içi verilerde, souçları asıl çıkarılacağıa dair bir çözüm yötemii bilimesi gerekir. Öreği belli bir olgu bir diferasiyel deklem ile modellediğide bu deklemi çözüm yoluu da bilimesi gerekir. Bu, matematiği bir soruudur. Eğer model stokastik ise çözümleme istatistiği bir soruudur. Verileri asıl toplaacağı da istatistiği bir soruudur. Kısaca, istatistik yukarıdaki dögüü her safhasıda yer almaktadır. Olguya temas ölçme ile olmaktadır. Ölçme, içide istatistik de barıdıra başlı başıa bir koudur. Fizik, kimya, biyoloji, jeoloji, astroomi, ekoomi, sosyoloji ve başka birçok bilim dalıı gerçek düyada ilgilediği kedi kouları (sahaları) vardır ve çoğuu arakesiti boş değildir. Matematik ve Đstatistiği gerçek düyada bir kousu olmamasıa rağme, gerçek düyadaki olguları alama ve alatmada, yai modellemede isa aklıı e güçlü iki aracı matematik ve istatistiktir. Đstatistik, rasgelelik içere olguları modellemeside öe çıkmaktadır. Bu laboratuar çalışmasıda sebep-souç ilişkileri kesi, başka bir ifade ile determiistik modelleri ele alacağız.

7 7 Dik Atış Yukarıya doğru atıla bir cismi hareketii ele alalım. Ölçümler mks sistemide yapılsı, yai uzuluğu birimi metre (m), kütlei birimi kilogram (kg) ve zamaı birimi saiye (s) olsu. Hareketi doğrusal, hava ile sürtüme olmadığı ve yerçekimi ivmesii yükseklikle değişmediği gibi bazı varsayımlar yaparak ve Newto presipleride. Eylemsizlik presibi,. Etki-tepki presibi, 3. Mometum presibi, Fdt = dmv, dv F = m = ma dt faydalaarak hareketi matematiksel olarak modellemeye çalışalım. Hareketi, yeryüzüe dik bir ekse üzeride irdeleyelim. Yerçekimi kuvveti P, yerçekimi kuvvetii büyüklüğü P = mg olmak üzere, t = aıda cismi koumu y ( ) = ve hızı v ( ) = v olsu. Bir t aıda cisme etki ede kuvvet, sadece yerçekimi kuvveti P olmak üzere, eşitliğideki kuvvetleri büyüklükleri içi y ekseii yöü de göz öüe alıarak, F = P veya ma d y = mg dv = g dt dt = g y ( t) = g yazılır. Başlagıç değerlerle birlikte, y ( t) = g y ( ) =, y '() = v diferasiyel deklemi, hareketi matematiksel bir alatımıdır, yai bir matematiksel modeldir.

8 8 Diferasiyel deklem kavramı matematiği bir kavramıdır. Bu deklemi çözmeye çalışalım. Deklemi her iki yaıda, itegrallerii alımasıyla, t y ( t) dt = y ( t) = gt + v t gdt elde edilir. Böylece, t aıda cismi hızıı vere formülü elde etmiş olduk. Cismi koumu içi, t y ( t) dt = ( gt + t v ) dt ve y( t) = gt + vt formülü elde edilir. Hareketi yol-zama ve hız-zama grafikleri, gibidir. Yol-zama grafiğide t de t aıa kadar geçe zama aralığıdaki yol miktarı y( t ) y( t) farkıa eşittir. Bu yol miktarıı hız-zama grafiğideki karşılığı taralı alaa eşittir. Yol-zama grafiği ya da hız-zama grafiği de tek başıa bu hareketi alatmaktadır. Dolayısıyla bular da hareketi birer matematiksel modelidir. Modelde, cismi e kadar bir yüksekliğe çıkabileceği, e kadar bir zama sora yere düşeceği, yere düştüğü adaki hızı, belli bir ada buluduğu koumu ve hızı gibi hareket ile ilgili souçlar elde edilebilir. Bu souçlar deey souçları ile karşılaştırılarak modeli geçerliliği sıaır. Modeli verdikleri ile gerçek düyada olup biteleri tamamıyla ayı olduğu söyleemez. Modeller, gerçek olguları eksik birer alatımıdır. Öreği, başlagıç aıda modeli alattığıa göre hız aide v değerie ulaşmaktadır. Bu gerçeğe ters düşmektedir. Cisim atılırke eler olmaktadır? Buu da göz öüe alarak bir model asıl kurulabilir? Yeryüzüe dik doğrultuda atıla bir cismi hareketii gözlemlemek, bazı ölçümler almak bir deeydir. Zamaa bağlı olarak koum hesaplaması yapıp, bir kâğıda çizili bir ekse üzeride işaretlee bir oktaı hareketii izlemek dik atışı kâğıt üzeride bir simülasyoudur (bezetimidir). Buu, bir moitörde yapmak bir bilgisayar simülasyoudur. QBASIC dilide yazılmış aşağıdaki gibi bir bilgisayar programıyla dik atışı görütülü bir simülasyou (aimasyo) yapılabilir.

9 9 SCREEN WINDOW (-, 5)-(, -) LINE (-, )-(, ) INPUT "Başlagıç hızı="; vo INPUT "deltat="; deltat FOR t = TO * vo / 9.8 STEP deltat y = vo * t - ( / ) * 9.8 * t ^ IF t<vo/9.8 THEN CIRCLE (, y),., ELSE CIRCLE (, y),., END IF NET t Serbest Düşme Belli bir h yüksekliğide düşe cismi hareketii modellemeye çalışalım. Dik atıştakie bezer varsayımlar ve düşücelerle, y ( t) = g y ( ) =, y ( ) = diferasiyel deklemie ulaşılır. Bu deklemi çözülmesiyle, y ( t) = gt buluur. Bua göre, cismi yere düşüceye kadar geçirdiği zama süresi, * gt = h t = h / g ve yere düştüğü adaki hızı, * * * v( t ) = y ( t ) = gt = gh olarak buluur. metre yükseklikte yeryüzüe sürtümesiz düşe bir cismi uygu bir koordiat sistemide hız-zama ve yol-zama grafiklerii çiziiz. Cismi yere düşüceye kadar geçirdiği zama süresii ve yere düştüğü adaki hızıı hesaplayıız. Yerçekimi

10 ivmesii 9.8 m / s alıız. Bu hareketi simülasyouu yapa bir bilgisayar programı yazıız ve işletiiz. Sürtümeli Düşme Hareketi

11 Şimdi, cismi hareketide hava ile sürtüme de gözöüe alısı. Diğer varsayımlar dik atıştaki gibi kalsı. Cisme etki ede kuvvetler içi F= P Fs yazılabilir. Sürtüme kuvvetii yöü hareketi ters yöüde olduğu açık, acak büyüklüğü edir? Sürtüme kuvvetii büyüklüğüü hızı büyüklüğü ile oratılı olduğu varsayılırsa, yazılabilir. Böylece, m y ( t) = mg ky ( t) k y ( t) + y ( t) = g m y ( ) =, y ( ) = modeli oluşturulabilir. Burada, m y( t) = g k e k t m m m + g t g k k buluur. Yol formülüde türev alıırsa, cismi hızı içi y ( t) = v( t) = g m k e k t m + m g k elde edilir. Her e kadar hareket sosuza kadar sürmese de, k m t m m m lim g e + g = g t k k k limiti, zama ilerledikçe düşe cismi hızıı sabitleşeceğii söylemektedir. Gerçek düyada bu sabitleşme k ve m sabitlerie bağlı olmakla birlikte, kısa bir zamada gerçekleşmektedir. Yai kısa bir zama sorası düşe cismi hızı limit değere ulaşmakta ve sabitleşerek daha fazla artmamaktadır. Yağa yağmur taeciklerii veya paraşütle yüksekte atlaya birisii yeryüzüe düştüğüdeki hızıı büyük olmaması buda olsa gerek. Aşağıdaki Matlab programıı işletiiz. Sürtüme katsayısıı değişik değerleride, sürtümeli hareketi (mavi çizgi) gözleyiiz.

12 clc clear all close all axis ( [ 5 ]) k=.3; y=; g=-9.8; hold o for i= : 5 t(i)=i*.; y(i)=y+.5*g*(t(i)^); y(i)=y+g*(/k^)*exp(-k*t(i))+g*(/k)*t(i)-g*(/k^); ed if (y>) h=plot(y, 'r');%sürtüme yok set(h,'erasemode', 'oe'); drawow; ed if(y>) h=plot(y, 'b');% sürtümeli set(h,'erasemode', 'oe');drawow; ed Not: Yatay ekse zamaı temsil etmektedir (gerçek zama değil). Tazı-Tavşa Kovalamacası Bir tazıı bir tavşaı gördüğü doğrultu ve yöde kovaladığıı, tavşaı dosdoğru yuvasıa doğru kaçtığıı ve her ikisii de koşabilecekleri e büyük hızları ile yorulmada koştuklarıı varsayalım. Tavşa kedi yuvasıı metre doğusuda bulusu ve her ikisi de birbirii ayı ada fark etsi. Tazıı koumu, Durum : tavşaı metre batısıda, Durum : tavşaı metre güeyide, Durum 3: tavşaı metre güey batısıda, olsu. Tazıı ( ) tavşaı ( ) yuvasıa ( ) varmada öce yakalaması içi hızıı büyüklüğü tavşaıkii kaç katı olmalıdır? Başka bir ifade ile hızları büyüklükleri oraı e olmalıdır? Durum Durum Durum 3 Tavşaı hızıı V ve tazıı hızıı V vektörü ile gösterelim. Birici durumda, tazıı tavşaı yakalaması içi V > V olması gerektiğii heme söyleyebiliriz. Durum de tazıı yörügesi bir doğru parçası olmayacaktır (aşağıdaki gibi bir eğri olabilir). Tazıı hızıı büyüklüğü sabit olup doğrultusu her a değişecektir. Tavşaı gördüğü yere doğru koşması matematik dilide e alama gelmektedir?

13 3 Birici durumdaki koşma olgusuu biraz daha yakıda irdeleyelim. Tazıı hızı V = metre/saiye ve tavşaı hızı V = 5 metre/saiye olsu. Küçük t ( t =,) gibi zama aralıkları souda tazı ile tavşaı koumlarıı bir ekse üzeride işaretleyerek hareketi gelişimii izleyebiliriz. Her t zama aralığıda birer adım attıklarıı düşüürsek, tazıı adım uzuluğu metre ve tavşaı adım uzuluğu,5 metre olmak üzere, ilk üç işaretleme souda tazı ile tavşaı koumları aşağıdaki gibi olur. Đkici ve üçücü durumlar içi t gibi küçük zama aralıkları içide hareketi sabit hızla (doğrultu, yö ve büyüklük olarak) yapıldığıı düşüerek Durum deki gibi bir işaretleme ile hareketi gelişimii izleyebiliriz. Kovalamacadaki heyecaı yaşayabilmek içi aşağıdakileri adım adım kediiz de çiziiz.

14 4 Zama aralığı t yi küçük tutarsak, yaptığımız çizimlerle hareket olgusua daha iyi yaklaştığımızı söyleyebiliriz. Yeterli gördüğümüz küçük bir t seçip, değişik V / V oraları içi tavşaı yakalaıp yakalamadığıı görebiliriz. Çizerek deeyi.

15 5 Şimdiye kadar elle yaptığımız bu çizimleri bir bilgisayara yaptırmaya kalkışsak, asıl olur? Öreği, Durum de tazıı hızı V = (m/s), tavşaı hızı V = 5 (m/s) ve t zama aralığı. ve. olduğuda bilgisayarda çizile yörügeler, y y x 5 x dır. Bu çizimlere bezer çizimleri, çok kolay bir programlama dili ola QBASIC dilide, aşağıdaki programı işleterek bilgisayarıızda yapabilirsiiz. CLS : SCREEN WINDOW (-, )-(, -) LINE (-, )-(, ) LINE (, )-(, -) CIRCLE (, ), INPUT "tavsai hizii giriiz, v=", v INPUT "tazii hizii giriiz,v=", v INPUT "deltat degerii giriiz, deltat=", deltat x = : y = : x = : y = PSET (x, y): PSET (x, y) x = x+deltat * v: y = x = x+deltat*(x - x)/sqr((x - x)^ +(y - y)^)*v y = y+deltat*(y - y)/sqr((x - x)^ +(y - y)^)*v IF SQR((x - x)^+(y - y)^)<. THEN IF x> THEN 3 GOTO PRINT "tavsa yakaladi":goto 4 3 PRINT "tavsa kurtuldu" 4 END Küçük bir t seçip değişik V / V oraları içi bilgisayar programıı işleterek tavşaı yakalaıp yakalamadığıı gözleyiiz. V / V oraı hagi sayıda büyük olduğuda tavşa yakalamaktadır? Belirlemeye çalışıız.

16 6 Kayak: Bir Tazı-Tavsa Kovalamacası

17 7 Laboratuar Çalışması Bazı Modelleme Örekleri Aklımız ile gerçek düyadaki olguları alamaya ve alatmaya çalışırız. Bu alamaalatma işie modelleme ve alatımı kedisie de model deir. Öceki laboratuar çalışmasıda, y ( t) = g y ( ) =, y '() = v gibi bir diferasiyel deklemi (türev buludura deklem) dik atış hareketii modellediğii (alattığıı) gördük. Ayrıca, * Determiistik (sebep-souç ilişkileri kesi) * Stokastik (rasgelelik içere) modellerde söz ettik. Yukarıdaki model determiistik bir modeldir. Bu laboratuar çalışmasıda bazı stokastik model örekleri üzeride duracağız. Elektroik Parçaları Dayama Süresi Dayama süreleri rasgele ola belli bir tür elektroik parça içi bozulma oraıı (beli bir zamaa kadar dayaa parçalarda bir birim zama aralığıda bozulaları oraı) sabit kaldığı gözlemiş olsu. T rasgele değişkei dayama süresi olmak üzere, bozulma oraı ile ilgili söylee matematiksel olarak ifade edilirse, lim t P( t < T t + t / T t > t) = c P( t < T t + t) lim t t P( T > t) F( t + t) F( t) lim t t F( t) = c = c F ( t) F( t) = c

18 8 f ( t) = c F( t) yazılır. Burada F, f sırasıyla T i dağılım ve yoğuluk foksiyouu göstermektedir. F ( t) = r( t) F( t) diferasiyel deklemii F ( ) = başlagıç değerie bağlı çözümü F( t) = e t r ( t) dt dır. Bua göre, ct ce, t > f ( t) =, d.y. olarak elde edilir. Dayama süresi üstel dağılıma sahiptir. Başka bir ifade ile bu parçaları dayama süresi üstel dağılım ile modellemektedir (alatılmaktadır). Bu modelde c sabitii değerii bilimesi gerektiğie dikkat edi. Parçaları dayama süresii beklee değeri (ortalaması) ve varyası, E ( T ) =, Var( ) = c c dır. F ve f foksiyolarıı grafikleri şekildeki gibidir. Sürekli bir rasgele değişkei belli bir aralıkta olması olasılığı dağılım foksiyouda yorumladığıda, aralığı uç oktalarıda foksiyo değerleri arasıdaki fark (grafikte yükseklik), yoğuluk foksiyouda yorumladığıda, bu aralığı üzeride yoğuluk foksiyouu itegrali (grafikteki ala) olmaktadır. Bu düşüce tarzı yol-zama ve hızzama grafikleride de ayıdır. Yol-zama grafiğide foksiyo değerleri arasıdaki fark ve hız-zama grafiğide belli bir aralığı üzerideki ala yol miktarıı alatmaktadır.

19 9 Basamak foksiyou biçimide ola dağılım foksiyoları basamakları buluduğu oktalarda, basamak yükseklikleri büyüklüğüde olasılıklar bulua kesikli olasılık dağılımlarıı alatımıda kullaılmaktadır. Basamak foksiyou biçimide ola bir yolzama grafiğii (foksiyouu) alatmak istediği hareket asıl bir şey olabilir? Bir örek veri. Düzgü Bir Tavla Zarıı Atılması Deeyi uzay, Düzgü bir tavla zarıı atılması ve üste gele yüzeyi gözlemesi deeyide örek Ω = Ω olmak üzere, tüm olaylar ile ilgilediğimizde sigma cebir U= olur. Zar düzgü olduğuda, P : U R ( A) A P( A) = ( Ω ) olasılık ölçüsü kullaılabilir. Özetlersek, bu deey Ω Ω =, U=, Olasılık Uzayı ile modelleebilir (alatılabilir). ( A) P( A) = ( Ω )

20 rasgele değişkei üste gele yüzeydeki okta sayısı olsu. Ω = R rasgele değişkei i dağılım foksiyou, ve grafiği, F : R [,] x F( x) = P( x), x< x F ( x) = P( x) =, x< 6 6, x 6 F(x) 5/6 4/6 3/6 /6 / x dır. i olasılık foksiyou, f ( x) = P( = x) =, x D =,,3,4,5,6 6 ve grafiği, grafik( f ) = ( x, f ( x)) : x=,,3,4,5,6 { } { } f(x) olmak üzere, bu grafik / x

21 f(x) / x biçimide de gösterilir. Okları yükseklikleri o oktalardaki olasılıkları göstermektedir. Dağılım foksiyouda ise basamakları yükseklikleri olasılıkları göstermektedir. Suda Çözüle Madde Miktarı x C sıcaklıkta gr su içide çözüle bir maddei kütlesi ( y) aşağıdaki gibi gözlemiştir. x o C y(gr) Bu gözlemlere dayaarak y ile x arasıda bir bağıtı araştıralım. Gözlemleri bir xo y koordiat sistemideki görütüsü (serpilme diyagramı) aşağıdaki gibidir. Belli bir x sıcaklığıda gr su içide çözüle madde miktarı içi farklı farklı değerler gözleebilmektedir. Bu sebeple çözüle madde miktarıı bir Y rasgele değişkei aldığı değer olarak görebiliriz. Belli bir x değeride Y rasgele değişkeii ortalaması (koşullu ortalaması) µ Y / x= E( Y / x) olmak üzere, E ( Y / x) = a + bx varsayımı altıda, Y a + + ε =, i =,,..., i i bx i

22 deklemii (regresyo modelii) göz öüe alalım. Burada ε ler birer rasgele değişkedir. i i i i hata kareler toplamı miimum olacak i= i= a ve b katsayılarıı ε = [ y ( a+ bx )] şekilde belirlediğimizde, b ˆ = i= ( x i i= x)( yi y) =.66 ( x x) a ˆ = y bˆ x = i buluur. Bu katsayılar, gözlem oktalarıı arasıda gözlemlere yakı olacak şekilde çizile doğruu eğimii ve ordiatı kestiği oktayı göstermektedir. µ ˆ = x Y / x deklemi yardımıyla belli x sıcaklığıda gr su içide çözüle ortalama madde miktarıı tahmi edebiliriz. Bua tahmi deklemi diyelim. C C Regressio Aalysis: C versus C The regressio equatio is C = 49,9 +,66 C Predictor Coef SE Coef T P Costat 49,88,68 3,, C,66,589,5, S =,56938 R-Sq = 95,% 95 S ca tterplot of C v s C C C 4 5 6

23 3 xo y koordiat sistemideki serpilme diyagramıdaki ( xi, yi ) oktaları, z i = x i döüşümü soucu, ( z, y ) oktaları olarak zoy koordiat sistemide yeide i i işaretlediğide aşağıdaki gibi bir serpilme diyagramı ortaya çıkmaktadır. Bu serpilme diyagramıa bakıldığıda, ve E( Y / z) = c+ dz Y= c+ dz+ δ = i i i, i,,..., i i i kareler toplamı i= i= gibi bir model uygu görümektedir. Katsayılar, δ = [ y ( c+ dz )] miimum olacak şekilde belirlediğide, tahmi deklemi µ ˆ = z Y / z µ ˆ = x Y / x olarak elde edilir. Her iki model içi i= y ( ˆ ˆ i a bxi ) + = 5.8 ˆ yi cˆ dx i i= ( + ) = 4. olmak üzere, bu değerlere göre ikici model daha iyi görümektedir.

24 4 ĐST5 dersii ala öğreciler içi boy uzuluğua bağlı olarak ağırlığı vere bir bağıtı bulmaya çalışıız.

25 5 Top Çekme Deeyleri Đçide 5 beyaz, 3 mavi ve sarı top bulua bir torbada rasgele bir top çekilmesi ve regii gözlemesi deeyii örek uzayıı yazıız. Bu deey ile ilgili bir olay taımlayıız. Deeyi bir kez yapıız. Taımladığıız olay gerçekleşti mi? Çekile topu torbaya geri atarak ard arda 3 top çekilmesi deeyii örek uzayıı yazıız. Bu deey ile ilgili bir olay taımlayıız. Deeyi bir kez yapıız. Taımladığıız olay gerçekleşti mi? Torbada 3 topu ayı ada (çekilei yerie koymada ) çekilmesi deeyide örek uzayı yazıız. Bu deey ile ilgili bir olay taımlayıız. Taımlaa olay gerçekleşti mi? Yukarıdaki deeyleri e az kez tekrarlayıız ve gele beyaz topları sayılarıı kaydediiz. Bu sayıları kaç kez geldiğii ve gözlee sıklıklar (frekaslar) içi bir grafik (çubuk diyagramı) çiziiz. Gele beyaz topları sayısıı ortalamasıı buluuz.

26 6 Bocuk Deeyleri Tabaı kear uzuluğu cm ola bir dik kare prizma içie küçük bir bocuk (yarıçapı çok küçük ola bir bilye) atılması ve düştüğü oktaı gözlemesi deeyii örek uzayıı yazıız. Tabaa bir üçge çiziiz. Bocuğu bu üçgei içie düşmesi olasılığıı uygu gördüğüüz bir olasılık uzayıda hesaplayıız. Deeyi 5 kez yapıız. Bocuğu, üçgei içie düşme oraıı gözleyiiz ve bu oraı yukarıda hesapladığıız olasılık ile karşılaştırıız. Tabaı köşegeleride bir taesii çiziiz ve deey soucuda bilyei düştüğü oktaı çizile bu köşegee uzaklığıı gözleyiiz. Bir rasgele değişke ola bu uzaklığı olasılık dağılımıı buluuz. Deeyi e az 5 kez tekrarlayıız. Gözlee uzaklıklar içi histogram çiziiz.

27 Evde: Bir masada (veya herhagi düz bir zemide) işaretlemiş bir okta üzerie cm yükseklikte bir bocuk bırakıız. Bocuk düşüp koumladıkta sora işaretlemiş ola oktaya uzaklığıı gözleyiiz (ölçüüz). Buu e az 5 kez tekrarlayıız. Gözlemler içi histogram çiziiz. Uzaklığı olasılık dağılımı hakkıda e söyleyebilirsiiz? Uzaklığı ortalaması ve varyası hakkıda e söyleebilir? 7

28 8 Bu laboratuarda: ile taışacaksıız. Laboratuar Çalışması 3 ) Rasgele Rakamlar Tablosu (RRT) ) (,) Aralığıda Rasgele Sayı Üretimi 3) Gerçek ve Saal Deey Rasgele Rakamlar Tablosu (RRT) Kediize yukarıdaki gibi yarım sayfalık bir RRT hazırlayıız.

29 9 RRT ile,,,99 sayılarıda birii rasgele seçilmesi deeyii asıl gerçekleştirebilirsiiz? Eliizdeki RRT yardımıyla tae 6 rakamlı sayı üretebilir misiiz? Varsa, soru edir?

30 3 (,) Aralığıda Rasgele Sayı Üretimi (,) aralığıdaki reel sayılarda (oktalarda) rasgele bir sayı (okta) çekme deeyi yapılabilir mi? Buu asıl gerçekleştirebilirsiiz? RRT ile asıl gerçekleştirebilirsiiz? Aşağıdaki bilgisayar programlarıı çalıştırıp çıktılarıı gözleyiiz. QBasic Matlab FOR I = TO >> rad(,) PRINT RND NET I Programı bir kez daha çalıştırıız. Souç? Aşağıdaki bilgisayar programlarıı birkaç kez çalıştırıız ve çıktıları gözleyiiz. PRINT RND RANDOMIZE 345 PRINT RND RANDOMIZE TIMER PRINT RND

31 3 Aşağıdaki çıktıları gözde geçiriiz. >> rad('seed',34) >> rad as =.996 >> rad('seed',34) >> rad as =.996 >> rad('seed',345) >> rad as =.868 >> rad('seed',345) >> rad as =.868 >> rad('seed',) >> rad as =.549 >> rad as =.558 >> rad as =.47 >> rad as =.45 QBASIC deki RND veya Matlab daki rad foksiyou ( komutu ) asıl çalışmaktadır?

32 3 [,) Aralığıda Rasgele Sayı Üretilmesi [,) aralığıdaki reel sayılarda rasgele bir sayı çekilmesi başka bir ifade ile [,) aralığıdaki oktalarda rasgele bir okta seçilmesi asıl gerçekleştirilebilir? Yapılabilir mi sorusuu bir tarafa bırakarak, deriliğie imeksizi, buu iki yolda yapmaya çalışacağız. Biri doğal (gerçek düyadaki) rasgeleliği kullaarak, diğeri ise aklımızı (soyut) düyasıda bir şeyler yapacağız. Bir tahta üzerie çizilmiş, uzuluğu bir metre ola bir çember milimetre ciside ölçeklemiş olsu. Saat yelkovaı gibi ice uçlu bir ibre bu çemberi merkezi etrafıda rahatça dödürülüyor olabilsi. Böyle bir alete dödürgeç diyelim. Çevirip, ibre durdukta sora metre ciside okua sayıyı [,) aralığıda çekile bir rasgele sayı olarak düşüebiliriz. Acak, dikkat edilirse bazı sayılar hiç çekilmeyecektir (gözleemeyecektir). Ölçeği, milimetrei alt birimie idirme imkâımız olsa bile ibre ve okuma soruu ortaya çıkacaktır. Yie de, imkâlar çerçeveside [,) aralığıda rasgele sayı çekebildiğimizi düşüebiliriz. Deeyebilirsiiz (evde).,,...,9 rakamlarıda birii rasgele olarak çekilmesi deeyi çok değişik biçimde gerçekleştirilebilir. Öreği, üzeride bu rakamlar yazılı teis topu bir torbaya koup iyice karıştırıldıkta sora biri çekilebilir. Bezer bir işlem mekaik olarak milli piyago çekilişlerideki makielerde yapılmaktadır.,,,...,9 rakamlarıı rasgele üretilmesi problemi çözüldüğüde [,] aralığıdaki her reel sayıı bir odalık açılımıı olduğu göz öüe alıırsa, [,] aralığıdaki sayılarda birii rasgele üretilmesi soruu da çözülebilecek gibi görümektedir. Acak, [,] aralığıdaki reel sayılar ile buları odalık açılımları arasıdaki bire-bir eşlemeye dikkat edilirse,, , 3 = = =.5 =.5,.,.9 = =, π 3 =,47... olmak üzere,,,...,9 rakamlarıı rasgele üretilmesi ile bir sayı elde etmek içi sosuz tae rakam üretmek gerekecektir. Buu pratik olarak gerçekleştirilmesi mümkü değildir. Yie de ihtiyaçlarımızı karşılayacak kadar, [,] aralığıda rasgele sayı çekecek bir yötem olarak kullaılabilir. Buu da kolayca deeyebilirsiiz.

33 33 Düzgü bir paraı atılması deeyide, yazı gözlediğide, tura gözlediğide rakamları yazılsı. Paraı atılmasıyla, rakamlarıda oluşa belli uzuluklu rasgele diziler elde edilebilir. Böyle bir dizii elemaları -li sayma sistemide, tam kısmı sıfır ola bir sayıı virgülde soraki basamaklarıı doldursu. Bu sayı -lu sayma sistemie çevrilebilir. Böylece para atışı ile de [,] aralığıda sayı üretilebilir. Olgulardaki doğal rasgelelikte faydalaarak rasgele sayı üretmek içi pek çok yötem geliştirilebilir. Milli piyago çekilişlerideki işlem, heme heme hiç kimsede şüphe bırakmayacak şekilde ihtiyacı karşılamaktadır. Acak zama açısıda hiç de elverişli değildir. Milyarlarca rasgele üretilmiş sayıya ihtiyaç olduğuda böyle bir yötem, hattâ çekilişleri öcede yapıp, kayda geçirip bu kayıtlarda istifade etmek şeklide olsa bile, bilgisayarlarda yer tutma açısıda çok uygu değildir. Rasgele sayı üretmek içi çok değişik yötemler düşüülmüştür. Bu yötemleri çoğu, belli bir sayıda ( u ) başlayıp belli bir döüşüm kuralıa göre ardışık olarak, u = g( ) u u 3 = g( u ) = g( g( u)) = g ( u) u = g u ) g ( ) ( = u dizisii üretmektir. Kesi bir kurala göre elde edile böyle sayılara sözde rasgele sayılar (pseudo radom umbers) deir. Sayı üreteçleri arasıda e yaygı olaları Lieer Kogrüas Üreteçler dir. Kogrüas hesap, modüler hesap veya saat aritmetiği doğal sayılara, belli bir bölee (modüle) göre kalaıı karşılık getire bir işlemdir. Lieer kogrüas üreteçler: m ( m > ) bir doğal sayı olmak üzere, {,,..., m } başlagıç değerii seçip, i+ = a i + c ( mod m) algoritmasıa göre,,... sayılarıı ve bu sayılar yardımıyla,, 3 u= / m, u = / m, u = / m,... [,) 3 3 sayılarıı üretmektedir. IBM bilgisayarlarıda a = 687 veya a = 63366, c=, m = 3 değerleri alımıştır. m = 35 ve 3 a = 5 olduğuda üreteci devir uzuluğu, yai kogrüas hesabıda ortaya çıka bir kalaı tekrarlaması içi atıla adım sayısı 33 dır.

34 34 ( mod m) = i+ a i + c gibi bir kogrüas üretecide a, c, m ye değişik değerler vererek elde edeceğiiz sayıları gözde geçirebilirsiiz. Bu amaçla aşağıdaki gibi bir bilgisayar programı kullaabilirsiiz. INPUT "Deeme sayısı=",n DIM (N) INPUT "A sabiti=",a: INPUT "C sabiti=",c INPUT "MOD=",M : INPUT "Başlagıç değer=",() FOR I= TO N (I)=A*(I-)+C IF (I)< M THEN GO TO W=INT((I)/M) (I)=(I)-W*M PRINT "(I)=",(I) NET I Kesi matematiksel formüllere dayalı olarak sayı üreteçleri ile üretile sayılar esasıda rasgele olmayıp, görüüşte rasgeledir. Sayılarda belli bir özelliği (örütüü) ortaya çıkması rasgeleliği bozulmasıı bir göstergesi olabilir. Öreği belli bir sayıı belli aralıklarda tekrar etmesi böyle bir özelliktir. Rasgeleliği boza bir özelliği taımlamasıda sora var olup olmadığıı ortaya çıkara bir test geliştirilebilir. Bu şekilde çok sayıda test geliştirilmiştir. Bulara geel olarak, rasgelelik testleri demektedir. Uzu yıllar bilgisayarlarda kullaımda ola bazı rasgele sayı üreteçleri, soraki yıllarda yapıla istatistik testleride başarılı olamamıştır. Rasgele sayı üretimii kedi başıa bir araştırma sahası olduğuu belirtelim.

35 35 Gerçek ve Saal Deey. a) Düzgü bir tavla zarıı 5 kez atıız ve gele okta sayısıı gözleyiiz. b) RRT tablosu kullaarak 5 atış yapıız. c) RND yi kullaarak 5 atış yapıız.

36 36. a) Bir parayı kez atıız ve üste gele yüzeyi yazı (Y), tura (T) olarak gözleyiiz. b) RRT tablosu kullaarak atış yapıız. c) RND yi kullaarak 5 atış yapıız. 3. Varsa kameraızı veya cep telefouuzu kullaarak a) şıklarıdaki gerçek deeyleri bilgisayarda izlettirebilir misiiz? Bua e deiyor? 4. RND yi kullaarak c) şıklarıda yapıla saal deeyler içi QBASIC de kalmak şartıyla aimasyo yaptırabilir misiiz? 5. Bilgisayarlardaki tavla oyularıda zar atışları asıl yapılmaktadır?

37 37 6. Đçide 3 beyaz, mavi top bulua bir torbada rasgele bir top çekilmesi ve regii gözlemesi deeyii örek uzayıı yazıız. Bu deey ile ilgili bir olay taımlayıız. Deeyi bir kez yapıız. Taımladığıız olay gerçekleşti mi? Çekile topu torbaya geri atarak ard arda 3 top çekilmesi deeyii örek uzayıı yazıız. Bu deey ile ilgili bir olay taımlayıız. Deeyi bir kez yapıız. Taımladığıız olay gerçekleşti mi? Torbada 3 topu ayı ada (çekilei yerie koymada) çekilmesi deeyide örek uzayı yazıız. Bu deey ile ilgili bir olay taımlayıız. Taımlaa olay gerçekleşti mi? Yukarıdaki deeyleri e az kez tekrarlayıız ve gele beyaz topları sayılarıı kaydediiz. Bu sayıları kaç kez geldiğii ve gözlee sıklıklar (frekaslar) içi bir grafik (çubuk diyagramı) çiziiz. Yukarıdaki top çekme deeylerii bilgisayarda yapıız (saal olarak gerçekleştiriiz).

38 38 7. Tabaı yarıçapı cm ola bir silidiri içie çok küçük bir bilyei (küçük bocuk) rasgele atılması ve düştüğü oktaı gözlemesi deeyii örek uzayıı yazıız. Bu deey ile ilgili bir olay taımlayıız (tabada bir bölge belirleip, bocuğu bu bölgeye düşüp düşmediğie bakılabilir). Deeyi bir kez yapıız. Taımladığıız olay gerçekleşti mi? Tabaı merkezi ile bocuk arasıdaki uzaklığı gözleyiiz. Deeyi e az 3 kez tekrarlayıız. Deeyleri bilgisayarda yapıız (saal olarak gerçekleştiriiz).

39 39 Laboratuar Çalışması 4 Olasılık Dağılımlarıda Sayı Üretme Ters Döüşüm Yötemi F dağılım foksiyoua sahip bir rasgele değişkei dağılımıda sayı üretmek içi e çok kullaıla yötemlerde biri, F dağılım foksiyouu geelleştirilmiş tersi dee F : (,) R { } u F ( u ) = if x : F ( x ) u foksiyoua dayalı = F ( U ) döüşümüü kullamaktır. Burada U rasgele değişkei (,) aralığı üzerideki düzgü dağılıma, yai U (, ) dağılımıa sahiptir. = F ( U ) döüşümü itegral döüşümü olarak bilimektedir. sürekli bir rasgele değişke olduğuda dağılımı destek kümesi üzeride F arta bir foksiyo olmakta ve bu durumda yukarıdaki döüşüm = F ( U ) biçimii almaktadır. Bu durumda, = F ( U ) rasgele değişkeii dağılım foksiyou, dır. P( x) = P F ( U ) x = P F ( F ( U )) F ( x) = P U F ( x) = F ( x) U (, ) düzgü dağılımda üretile sayılar itegral döüşümü soucuda rasgele değişkei dağılımıda üretilmiş sayılar olacaktır. Böylece herhagi bir rasgele değişkei dağılımıda sayı üretme işlemi çözülmüş gibi görümektedir, acak buradaki zorluk bazı dağılımlar içi F geelleştirilmiş ters foksiyouu açık bir ifadesii elde edilememesidir. Öreği ~ N (,) içi, ve olmak üzere, F ( u ) hesaplaamamaktadır. x z ( ), F x = e dz x R π F ( u) = F ( u), u (,) değerleri u ya bağlı olarak açık bir şekilde kolayca yazılıp

40 4 F dağılım foksiyouu F ters foksiyouu değerlerii hesaplaabilir olması durumuda sürekli bir rasgele değişkeii dağılımıda sayı üretmek içi algoritma aşağıdaki gibidir. Algoritma. U (, ) dağılımıda U üretilir. = F ( U ) hesaplaır Örek : rasgele değişkeii olasılık yoğuluk foksiyou ve dağılım foksiyou, x, x f ( x) =, d. y. / olup, = F ( U ) = U = U, x < F( x) = x, x, x > döüşümü ile rasgele değişkeii dağılımıda sayı üretilebilir. E az 5 tae sayı üretiiz ve üretile sayıları bu dağılımda gelip gelmediğii irdeleyiiz.

41 4 Örek: θ parametreli üstel dağılımı olasılık yoğuluk foksiyou ve dağılım foksiyou, ve olmak üzere, f ( x) = e θ x θ,, x d. y. F ( u) = θ l( u), < u < = F ( U ) = θ l( U ) F( x) = e x θ,, x < x döüşümü ile üretile rasgele sayıları üstel dağılımda üretilmiş sayılardır. U ~ U (,) içi U rasgele değişkeii de U (,) düzgü dağılımıa sahip olduğu göz öüe alıırsa, θ parametreli üstel dağılımda sayı üretmek içi = θ l(u ) döüşümü de kullaılabilir. θ parametresie bir değer verip e az 5 tae sayı üretiiz ve üretile sayıları bu dağılımda gelip gelmediğii irdeleyiiz.

42 4 Kesikli rasgele değişkeler içi F foksiyouu belirlemek zor değildir. Örek: rasgele değişkeii olasılık foksiyou =x 3 f(x)..5.3 olsu. Kesikli bir rasgele değişke ola i dağılım foksiyou, x <., x F ( x) =.7, x < 3, x 3 dır. F foksiyou,, F ( u) =, 3, olmak üzere, < u.. < u.7.7 < u <, < U. = F ( U ) =,. < U.7 3,.7 < U < döüşümü ile rasgele değişkei dağılımıda sayı üretilebilir. E az tae sayı üretiiz ve üretile sayıları bu dağılımda gelip gelmediğii irdeleyiiz.

43 43 Kabul-Red Yötemi rasgele değişkeii olasılık yoğuluk foksiyou f ve aldığı değerler kümesi D olsu. V rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou g ve aldığı değerleri kümesi D olmak üzere V sayıları kolayca üretilebilsi. a > sabiti ve x D içi f ( x) a g( x) koşulu sağlası. Bu durumda aşağıdaki algoritma ile olasılık yoğuluk foksiyou f ola dağılımıda sayı üretilebilir. Algoritma ) V sayısı olasılık yoğuluk foksiyou g ola dağılımıda üretilsi ) V de bağımsız olarak U ~ U (, ) üretilsi. U a g( V ) f ( V ) ise = V kabul edilsi yai bir sayısı üretilmiş olsu, aksi durumda reddedilsi yai. adıma geçilsi (başka bir ifade ile Y ~ U (, a g( V )) üretilsi. Y < f (V ) ise kabul edilsi, aksi durumda reddedilsi.) Algoritmayı aşağıdaki gibi de yazabiliriz. ) Birbiride bağımsız olarak V ~ g ve U ~ U (,) üretilsi. f ( V ) ) Eğer U ise = V olsu ve sayısı çıkılsı. ag( V ) Örek: rasgele değişkeii olasılık yoğuluk foksiyou π x( x), < x < f ( x) =, d.y. olsu, uygu bir g foksiyou da, < x < g ( x) =, d.y. şeklide seçilsi. Bu durumda a = içi f ( x) g( x) ( x (,) ) dır. Bua göre algoritma aşağıdaki gibi olacaktır. f(x) ) U ~ U (,) dağılımıda bir U sayısı üretilip V = U alıır. U(,) dağılımıda bir U sayısı üretilir. ) Eğer U V ( V ) π yai U V ( V ). π ise = V alıır ve sayısı çıkılır. x

44 44 Yukarıdaki algoritmaya dayalı, BASIC programlama dilide aşağıdaki program yazılabilir. =*RND IF RND < (/3.4)*SQR(*(-)) THEN PRINT Bilgisayar programıda V sayısıı ile göstermek ( adresie yazdırmak) ikici adımda kolaylık sağlamaktadır. Karışıklığa yol açmadığı takdirde algoritmaı birici adımıda g olasılık yoğuluk foksiyoua sahip dağılımda üretile V sayısı yerie yazılabilir. Bua göre algoritma aşağıdaki şekli alır. ) Birbiride bağımsız olarak ~ g ve U ~ U (,) üretilir. f ( ) ) Eğer U ise kabul edilir aksi halde red edilir. ag( ) Kolayca sayı üretilebile yardımcı dağılımı olasılık yoğuluk foksiyou ola g foksiyou f foksiyoua e kadar çok beziyorsa ve grafikleri birbirie yakısa simülasyo zamaı kısadır, red olumalar o kadar az olur. g foksiyou seçildikte sora a f ( x) f ( x) sabiti x D içi a olacak şekilde ve değerleri bire yakı olacak şekilde g( x) ag( x) seçilmelidir. Bu şartlar altıda g seçildikte sora a sabiti, a= sup x D f ( x) g( x) olarak seçilebilir. Yukarıdaki örekte sayı üretilmek istee dağılımı olasılık yoğuluk foksiyou π x( x), < x < f ( x) =, d.y. ve yardımcı dağılımı olasılık yoğuluk foksiyou, < x < g( x) =, d.y. dır. f ( x) = x( x) g( x) π olmak üzere, f ( x) 4 f () 4 a= sup = max x( x) = = g( x) x D π g() π x D olarak seçilirse algoritmadaki Uag( ) f ( ) eşitsizliği U ( ) biçimide olur.

45 45 Algoritma: ) Birbiride bağımsız olarak ~ U (,) ve U ~ U (,) üretilir. ) Eğer U ( ) ise kabul edilir aksi halde red edilir. BASIC deyimleri: =*RND IF RND < SQR(*(-)) THEN PRINT. olmak üzere, bu algoritma (program) ile bir öceki, =*RND IF RND < (/3.45)*SQR(*(-)) THEN PRINT algoritmasıı (programıı) hız açısıda karşılaştırmak amacıyla her ikisi ile üretile er tae sayısı içi dögü sayılarıı gözleyiiz. Örek: Olasılık yoğuluk foksiyou x e f ( x) = π, x, d. y. ola dağılımda sayı üretilmek istesi. Dikkat edilirse bu dağılım stadart ormal dağılımı sağ yarısıdır. Bu dağılıma sahip rasgele değişkei ile gösterelim. Kabul-red yötemie göre bu dağılımda sayı üretmek içi olasılık yoğuluk foksiyou bu dağılımıkie bezeye ve kolayca sayı üretilebile bir dağılım olarak θ = parametreli üstel dağılım seçilsi. Bua göre, x g( x) = e, x dır. a f ( x) = max g ( x) = max π x x f ( x) olmak üzere x = değeride ( ) g x e ( x x) f () maksimum değerie ulaşır. Bu durumda a = = e değerii alır ve birbiride bağımsız olarak üretile ~ g ve U ~ U (,) sayıları içi U yai f ( x) a. g( x) üretilebilir. ( x ) U e ise kabul edilir. Aşağıdaki program ile bu dağılımda sayı = -LOG(RND) IF RND < EP (-(-)^) THEN PRINT g () π

46 46 Bu dağılımda üretile sayılar kullaılarak stadart ormal dağılımda da sayı üretilebilir. Bu amaçla yazıla bilgisayar programı aşağıda verilmiştir. = -LOG(RND) IF RND>EP (-(-)^) THEN GOTO IF RND <.5 THEN PRINT ELSE PRINT E az 5 tae sayı üretiiz ve üretile sayıları stadart ormal dağılımda gelip gelmediğii irdeleyiiz.

47 47 Örek: Stadart ormal dağılımı bir d ( d > ) sayısıı sağıda kala kısmıda (kuyruğuda) sayı üretme problemii ele alalım. Başka bir ifade ile olasılık yoğuluk foksiyou x ce, x d f ( x) =, d.y. ola dağılımda sayı üretilmek istesi ( c sabiti f bir olasılık yoğuluk foksiyou olacak şekildedir). Kolayca sayı üretilebilecek yardımcı dağılım olarak ötelemiş üstel dağılım, yai olasılık yoğuluk foksiyou e g( x) = ola dağılım seçilmiş olsu. x+ d, x d, d.y. olmak üzere, ve d > içi x + x x f ( + x d x) = ce g( x) e ifadesi x < içi arta x > içi azala olduğuda, < d, içi f ( x) a = max = x d g( x) f ( x) a = max = x d g( x) dır. Bua göre algoritmada yer ala Uag( ) f ( ) eşitsizliği, < d durumuda ve d > durumuda U e U e ( ) ( d ) e f () g() ( ) = ce d f ( d) = ce g( d) biçimide olacaktır. Đlgili bilgisayar programı BASIC dilide aşağıdaki gibi olabilir. e d / INPUT D =-LOG(RND)+D A=EP(-.5*(-)^ IF D<= AND RND<A THEN PRINT IF D> AND RND<A*EP(.5*(D-)^) THEN PRINT

48 48 Örek: >> z=rad(,); >> [z(:,) z(:4,) z(4:6,) z(6:8,) z(8:,)] >> hist(z) Radom Number Geerators betard biord chird copulard evrd exprd frd gamrd geord gevrd gprd hygerd iwishrd Radom umbers from beta distributio Radom umbers from biomial distributio Radom umbers from chi-square distributio Radom umbers from copula Radom umbers from extreme value distributio Radom umbers from expoetial distributio Radom umbers from F distributio Radom umbers from gamma distributio Radom umbers from geometric distributio Radom umbers from geeralized extreme value distributio Radom umbers from geeralized Pareto distributio Radom umbers from hypergeometric distributio Radom umbers from iverse Wishart distributio

49 49 johsrd lhsdesig lhsorm logrd mhsample mrd mvrd mvtrd bird cfrd ctrd cxrd ormrd pearsrd poissrd radg radom radsample radtool raylrd slicesample trd uidrd uifrd wblrd wishrd Radom umbers from Johso system of distributios Geerate lati hypercube sample Geerate lati hypercube sample with ormal distributio Radom umbers from logormal distributio Markov chai Metropolis-Hastigs sampler Radom umbers from multiomial distributio Radom umbers from multivariate ormal distributio Radom umbers from multivariate t distributio Radom umbers from egative biomial distributio Radom umbers from ocetral F distributio Radom umbers from ocetral t distributio Radom umbers from ocetral chi-square distributio Radom umbers from ormal distributio Radom umbers from Pearso system of distributios Radom umbers from Poisso distributio Gamma distributed radom umbers ad arrays (uit scale) Radom umbers from specified distributio Radom sample, with or without replacemet Iteractive radom umber geeratio Radom umbers from Rayleigh distributio Markov chai slice sampler Radom umbers from Studet's t distributio Radom umbers from discrete uiform distributio Radom umbers from cotiuous uiform distributio Radom umbers from Weibull distributio Radom umbers from Wishart distributio >> hist(rad(,)) 3 >> hist(trd(,,))

50 5 Laboratuar Çalışması 5 Bir Boyutlu Kesikli Dağılımlar Düzgü Dağılım Bazı Kesikli Dağılımlar o.f. f ( x ) =, x = a,,..., a a ai e t m.ç.f. M ( t ) =, t R i= ai i= ortalama E( ) = a = varyas Var( ) = i= ( a a ) parametre a, a,..., a R, {,,... } Beroulli o.f. x f ( x ) = ( ) x p p, x=, Dağılımı b(, p ) m.ç.f. t M ( t ) = p + pe, t R ortalama E( ) = p varyas ( ) p p Biom b, p ( ) Hipergeometrik Var = ( ) parametre p (,), {,,... } o.f. x x f ( x ) = p ( p ), x =,,..., x m.ç.f. M ( t ) t = ( p + pe ), t R ortalama E( ) = p varyas ( ) p p Var = ( ) parametre p (,), {,,... } o.f. m.ç.f. ortalama varyas parametre i f ( x ) = a N a N x x açık biçimi yok a E( ) = N N a a Var( ) = ( ) N N N N, a,,,..., a < N, < N { }

51 5 Poisso Geometrik Negatif Biom o.f. x e λ f ( x ) = x!, x =,,,... m.ç.f. M ( t ) λ e t = e, t R ortalama E( ) = λ varyas Var( ) = λ parametre λ (, ) o.f. x f ( x ) = ( p) p, x =,,... m.ç.f. M ( t ) = t pe p e ( ) t, t < l( p) ortalama E( ) = p varyas p Var( ) = p parametre p (,) o.f. x k k r f ( x ) = p ( p), x = k, k +,... k m.ç.f. ortalama t M ( t ) pe = t ( p) e E( ) = k p k, t < l( p) varyas k( p) Var( ) = p parametre p (,), k {,,... } Probability Desity Fuctios biopdf Biomial probability desity fuctio geopdf Geometric probability desity fuctio hygepdf Hypergeometric probability desity fuctio bipdf Negative biomial probability desity fuctio poisspdf Poisso probability desity fuctio uidpdf Discrete uiform probability desity fuctio Cumulative Distributio Fuctios biocdf Biomial cumulative distributio fuctio ecdf Empirical cumulative distributio fuctio geocdf Geometric cumulative distributio fuctio hygecdf Hypergeometric cumulative distributio fuctio poisscdf Poisso cumulative distributio fuctio uidcdf Discrete uiform cumulative distributio fuctio Iverse Cumulative Distributio Fuctios bioiv Iverse of biomial cumulative distributio fuctio geoiv Iverse of geometric cumulative distributio fuctio hygeiv Iverse of hypergeometric cumulative distributio fuctio biiv Iverse of egative biomial cumulative distributio fuctio poissiv Iverse of Poisso cumulative distributio fuctio uidiv Iverse of discrete uiform cumulative distributio fuctio

52 5 b( = 3, p= ) olsu. Bu dağılım ile ilgili aşağıdaki Matlab çıktılarıı gözde geçiriiz. >>x=:3 x = 3 >> biopdf(x,3,/) as = >> plot(x,biopdf(x,3,/),'.') >> biocdf(x,3,/) as = >> stairs(x, biocdf(x,3,/))

53 53 b( =, p= ) >> x=: x = >> biopdf(x,,/) as = >> plot(x,biopdf(x,,/),'.') >> stairs(x,biocdf(x,,/))

54 54 5 tae top arasıda 4 taesi beyaz ve taesi siyah olsu. Birii, rasgele, bilgisayarda sayı üreterek seçmek istersek QBASIC programlama dilide, IF RND<.8 THEN PRINT beyaz ELSE PRINT siyah deyimii kullaabiliriz. Đadeli olarak çekiliş yapmak istersek, FOR i= TO IF RND<.8 THEN PRINT beyaz ELSE PRINT siyah NET i deriz. çekiliş yapıız. Đadesiz olarak çekilişi asıl yaptırırız? Bilgisayar programı yazıız ve çalıştırıız.

55 Bir torbada 4 beyaz ve siyah top bulusu. Đadeli olarak siyah top geliceye kadar toplar çekilmektedir. Bu çekilişleri yapa ve çekiliş sayısıı () çıka bir bilgisayar programı yazıız. Bu programı 5 defa işletiiz ve i aldığı değerleri kaydedip çubuk diyagramı çiziiz. i olasılık tablosu ile karşılaştırı. 55

56 56 Bir torbada 4 beyaz ve siyah top bulusu. Đadeli olarak çekilişler yapa ve 5 ici defa siyah top geldiğide durup, çekiliş sayısıı () çıka bir bilgisayar programı yazıız. Bu programı 5 defa işletiiz ve i aldığı değerleri kaydedip çubuk diyagramı çiziiz. i olasılık tablosu ile karşılaştırı.

57 Numaralamış 3 tae teis topu, ayı şekilde,,3 olarak umaralamış 3 kutuya rasgele atılsı. * Örek uzayı yazıız. * Top umarası ile kutu umarasıı ayı olmaması olasılığı edir? * Top umarası ile kutu umarası ayı olduğuda, o kutuda eşleme vardır deir. rasgele değişkei eşleme sayısı olsu. rasgele değişkeii olasılık foksiyouu buluuz ve grafiğii çiziiz. i beklee değerii ve varyasıı buluuz. * Bu deeyde (oyuda) top umarası ile kutu umarası ayı olursa, yai eşleme olursa, her eşleme içi TL kazaılsı. Kazacı olasılık dağılımıı buluuz. Oyuu dürüst olması içi kaç TL ye oyatılmalıdır. 57

58 58 Top ve kutu sayısı 5 olsu. rasgele değişkei eşleme sayısı olsu. rasgele değişkeii olasılık foksiyouu buluuz. i beklee değeri ve varyası edir?

59 Top ve kutu sayısı olsu. rasgele değişkei eşleme sayısı olsu. i beklee değeri ve varyası edir? 59

60 6 Laboratuar Çalışması 6 Poisso Dağılımı ve Uygulamaları Poisso Dağılımı, sürekli (zama, ala, hacim gibi) ortamlarda kesikli souçlar vere ve aşağıdaki a),b),c) şıklarıda belirtile özelliklere sahip deeyleri modellemeside kullaıla bir dağılımdır. Poisso Dağılımı ile ilgili açıklamaları ortamı zama olması halide yapalım. (,t] zama aralığıda meydaa gele souçları (bir olayı gerçekleşme) sayısı olsu. Souçları ortaya çıkara deey ile ilgili aşağıdaki özellikler geçerli olsu: a) Küçük t uzuluklu bir zama aralığıda bir başarı elde etme olasılığı t ile oratılıdır. b) Küçük t uzuluklu bir zama aralığıda iki veya daha çok başarı elde etme olasılığı yaklaşık olarak sıfırdır. c) t uzuluklu ayrık aralıklar içi elde edile souçlar bağımsız birer Beroulli Deemesidir. (,t zama aralığıda meydaa gele souç sayısı, kesikli bir rasgele değişke ] olmak üzere, i aldığı değerler x =,,, dır. i olasılık foksiyouu bulmaya t çalışalım. (,t] aralığıı yeterice küçük t uzuluklu, = tae alt aralığa t parçalayalım. Belli bir parçada veya tae souç ortaya çıkabilir diyebiliriz. t zama aralığıda bir souç çıkması veya çıkmaması bir Beroulli Deemesi olup, soucu ortaya çıkması olasılığı t ile oratılıdır. Bu olasılık, c bir sabit olmak üzere, p= c t olsu. (,t] aralığıda tae t uzuluklu ayrık aralık bulumakta ve bu aralıklarda bağımsız souçlar vere p= c t olasılıklı Beroulli Deemeleri gerçekleşmektedir. O zama (,t] aralığıda elde edile souçları sayısı b( = t, p = c t) Biom Dağılımıa sahip olacaktır. t t t t içi =, p = c t = ct = λ olmak üzere, b( = t, p = c t) Biom t t t Dağılımıdaki olasılıkları limitleri Poisso Dağılımıdaki olasılıkları verecektir. Başka bir ifade ile, (,t] zama aralığıda meydaa gele souç sayısı ola ve Poisso dağılımıa sahip ola rasgele değişkeii olasılık foksiyou, t / t f x P x c t c t x ( ) = ( = ) = lim ( ) ( ) t x λ x λ = ( ) ( ) x lim x t x t