SÖZDE RASTSAL SAYI ÜRETĐMĐNĐN KRĐPTOGRAFĐK AÇIDAN ĐNCELENMESĐ

Transkript

1 SÖZDE RASTSA SAYI ÜRETĐĐNĐN KRĐPTOGRAFĐK AÇIDAN ĐNCEENESĐ Fata BÜYÜKSARAÇOĞU, Erca BUUŞ Trakya Üerstes, ühedslk arlık Fakültes, Blgsayar ühedslğ, EDĐRNE Naık Keal Üerstes, Çorlu ühedslk Fakültes, Blgsayar ühedslğ, Çorlu- TEKĐRDAĞ ÖZET Sözde Rastsal Sayı Üretec (Pseudorado Nuber Geerator-PRNG), öğeler arasıda kolay kolay lşk kurulaayacak br sayı dzs ürete algorta türlerdr. Krptografk Sözde-Rastsal Sayı Üreteçler şfrelee yöteler aahtar üret sürecde öel rol oyaaktadır. So döelerde akış şfrelee algortalarıı da gelşesyle bu üreteçler kullaıı e algortk yapıları üzerde gelşeler sağlaıştır. Çalışaızda bu üreteçler ç kullaıla e yaygı e öel algortk yapı ola FSR (eer Feedback Shft Regster- Doğrusal Ger Besleel Öteleyc Saklayıcı) lara e bu yapıya uygu öreklere yer erlştr. Sayı üreteçler kullaııı gelşes üretle sayıları güelrlğ sorusuu doğuruştur. Şfrelee teel ola güelk kousu uygulaa test yöteleryle gderleye çalışılıştır. Çalışaızda ayrıca üretle sayıları asıl test edleceğ kousuda da öreklere yer erlştr.. GĐRĐŞ Krptografde kullaıla Rastgele Sayı Üreteçlerde aaç krptografk uygulaalar ç öreğ aahtar üret rastgele sayılar üretektr. Krptografk açıda sahte-rastgele (pseudo-rado) sayılar kullaak şfrelee gücüü arttıraktadır. Bu tp sayıları üretek ç sözde rastsal sayı üreteçler (pseudorado uber geerator) kullaılaktadır[9]. Rastgelelk çerek aacıyla geelde (blerce btte oluşa) geş br hauz kullaılır e hauzdak her br bt grş gürültüsüü (put ose) her br bte e hauzdak dğer her bte krptografk olarak güçlü br yolla bağılı yapılır. Öel ola okta, er herhag br dış gözlec ç kestrleez olasıdır. Krptografk Sözde rastsal Sayı Üreteçler tpk olarak, rastgelelk çere geş br hauza ('çekrdek değer') sahptr. Hauzda er alıarak hauza ade edle btler hauzu çerğ ortaya çıkasıı öleek ç (ery seçlk olarak) br şfrelee foksyou üzerde çalıştırırlar. Daha fazla bte htyaç olduğuda hauzdak her br bt dğer her bte bağılı yapa uygu br rastgele aahtarla (hauzu hç kullaılaış tarafıda olablr) hauzu çerğ şfreleyerek hauzu karıştırır. Öcek eya gelecektek kestrler daha da zorlaştırak ç hauz karıştırılada öce ye çeresel gürültüler hauza ekleeldr. Rastgele Sayı Üretec yetersz yapılışsa sste e zayıf oktaları olacaklardır []. Sözde rastsal sayı üreteçler deterstk br blgsayarda çalıştıkları ç detersttk algortalardır e bu tür br algorta le üretle sayı dzs gerçek br rastsal dzde olaya br özellğ olacaktır: peryodklk. Şurası kesdr k, eğer üreteç sabt ktarda hafıza kullaıyorsa yeterl sayıda dögü adııda sora ayı çsel durua kc kez gelecektr e oda sora da sosuza dek tekrar edecektr. Peryodk olaya br üreteç tasarlaablr acak bu tür br sste htyaç duyduğu hafıza ktarı sste çalıştıkça büyüyecektr. Bua ek olarak br sözde rastsal sayı üretec keyf br başlaa oktasıda, ya da çekrdek duruuda, başlatılablr e o ada tbare özdeş br sayı dzs üretr. Peryodklğ pratk öe sıırlıdır. Eklee her br hafıza bt le aksu peryot k katıa çıkar. Herhag br blgsayarı ere beklee yaşa süres boyuca hesaplayaayacağı kadar uzu peryoda sahp sözde rastsal sayı üreteçler şa etek üküdür. Şfre bldek ceaplaaış sorularda br de y tasarlaış br sözde rastsal sayı üretec çıktısıı, çekrdeğ (başlagıç paraetreler) blede, gerçek rastsal gürültüde ayırt ete ükü olup olayacağıdır. Şfre bldek pek çok uygulaa uygu br sözde rastsal sayı üretec çıktısıı gürültüde ayırt edleyeceğ arsayııa dayaır. E bast öreğ akış şfresdr. Bu algorta gzl br esajı, rastsal sayı üretec çıktısı le XOR şlee tab tutar. Bu tür rastsal sayı üreteçler tasarıı br hayl zordur e çoğu progra çok daha bast üreteçler kullaır. Uygulaada, pek çok sözde rastsal sayı üretec statstksel olarak öel testler geçeler egelleye bazı durular sergler. Bularda sadece brkaçıı söyleek gerekrse: Bazı çekrdek (başlagıç) duruları ç bekleede daha kısa peryotlar Kötü boyutsal dağılı Brbr takp ede değerler bağısız olaası Bazı btler dğerlerde 'daha rastsal' olables Tekbçllk eksklğ [9]

2 Şfre blsel olarak uygu ola br sözde rastsal sayı üretec rastsallık testler geçeye ek olarak bazı ek şfre blsel koşulları da sağlaak zorudadır. Bazı şfre blsel olarak güel sözde rastsal sayı üretc algortalar şulardır: Couter (sayıcı) odda eya çıktı beslee oduda çalışa akış eya blok şfreler. Güelk kaıtı ola özel tasarılar. Ör. Blu Blu Shub algortasıı güçlü br koşullu güelk kaıtı ardır acak yaaş çalışaktadır. Şfre blsel olarak güelğe dkkat ederek tasarlaış özel sözde rastsal sayı üreteçler. Ör. ISAAC algortası [],[].. TASARI EKANĐZAARI Bu bölüde çalışaızı teel kapsaya Sözde rastsal Sayı üretde kullaıla FSR (ear Feedback Shft Regsters-Doğrusal Ger Besleel Öteleyc Saklayıcı) ları tasarı e ateatksel yapıları açıklaacaktır. FSR (ear Feedback Shft Regsters-Doğrusal Ger Besleel Öteleyc Saklayıcı) lar brçok aahtar dzs üretecde kullaılaktadır. Buu ede olarak doaısal uygulaalarda uygulukları, geş peryoda sahp olaları, üretle ser y statstksel özellkler gösteres e cebrsel tekklerle kolayca aalz edlebleler gösterleblr. uzuluğuda br FSR (ear Feedback Shft Regster) da e kadar uaralaış her br br bt depolayable yeteeğ ola, br grş e br çıkışa sahp e er hareket kotrol ede br saate sahp ola tae gecke ütes çerr. FSR başlagıçta keyf olarak seçle elea le yükleerek başlagıç fazı elde edlr. Ger beslee katsayıları e başlagıç duruu XOR şlee sokularak FSR ı karakterstk polouu elde edles sağlaır [], [],[8]. : FSR ı boyu Başlagıç fazı: σ a, a +,..., a, a Ger beslee katsayıları: c c,..., c, c Ζ {,}, Bua göre; a c a c σ : a a c a + + +, a c a + a,..., a +... c a, a... c a c a c a Geel olarak: a ca c a +... ca ca Bu recurse bağıtıı polou ayı zaada FSR ı karakterstk poloudur. Bua göre karakterstk polo: ( x) x + c x + cx... + c _x+ c FSR ı bağlayıcı polou: C D + c D+ cd c D + c ( ) D Bağlayıcı polo le karakterstk polo arasıdak bağıtı şu şekldedr: ( x) x C x Br FSR, boyu e bağlayıcı polou C(D) le FSR, C D belrler: ( ) Örek: 4 ( D) + D FSR 4, C + D c, c c3, c4 f x, x, x x x x ( 3, 4) 4 Bu FSR ı çalıştırak ç başlagıç fazı σ ( ) olarak alıırsa, peryodu 5 ola dzs üretlr. FSR ı foksyou doğrusal olduğuda f (,,...,) dır. Dolayısıyla başlagıç fazı ektörü alıırsa ger besler. ektörüde başka faz görülez. da farklı br ektörle başlaırsa ektörü hç görülez. Boyu ola br FSR ı ürettğ dz peryodu e fazla olablr. Çükü FSR da faz olarak uzuluğudak ektörler alıır. uzuluğuda adet ektör ardır. FSR da ektörü görülezse e fazla adet değşk ektör görüleblr. Ya; FSR e fazla adı sora başlagıç oktasıa ger döer., C D FSR ıı ürettğ dz peryodu ( ) C( D) polouu çarpalarıa ayrılablr olup olaasıyla e başlagıç fazıyla lşkldr. Eğer ( ) D C çarpalarıa ayrılablyorsa üretle dz peryodu başlagıç fazıa göre değşr.

3 Örek: 4 ( D) + D, C + D c, c, c3, c4 f x, x, x x x x ( 3, 4) 4 4 ( D) + D + D ( + D D ) C Frekas Test Verle br dzde bulua e 'ler oraıı kotrol eder. Test herhag br paraetres yoktur. Testte kullaıla referas dağılı yarı oral dağılıdır. Test souda elde edle p-değer çok küçük çıkası dzdek ' ler ya da ' ları sayısıı bekleede fazla olduğuu gösterr. Test geçerl olables ç dz uzuluğuu e az bt olası gerekr. Test dekleler kullaılarak üretle değer ola p >. se dz rastsal olarak kabul edlr [], [4], [5]. : Bt dzs boyutu ε: RNG (Rado Nuber Geerator-Rastsal Sayı Üretec) eya PRNG le üretle bt dzs aksu peryotta dz üreteblek ç C ( D) polouu çarpalarıa ayrılaaz olası gerekr. Eğer C ( D) çarpalarıa ayrılaıyorsa dz peryodu başlagıç fazıa bağlı değldr p e C ( D) polouu böldüğü + D pololarıda e küçük derecel olaı dereces üretle dz peryodua eşttr. Buradak p sayısı sayısıı br böledr. Dz peryoduu aksu ya C D polouu böldüğü e Örek: olası ç ( ) küçük derecel polo + D olalıdır. Buu sağlaya C ( D) poloua lkel (prte) polo der [], [],[8]. 3,+ D+ D f ( x3, x, x) x x x x x3 z ( ) 3. SÖZDE-RASTSA SAYI ÜRETEÇERĐNĐN TEST EDĐESĐ Sözde-Rastsal Sayı Üreteçler test etek ç statstksel testler kullaılır. Sayı üreteçler rastsallığıı kotrol etek ç br statstksel test yeterl değldr. Bu kouda brçok test paket üretlştr (FIBS 4 - Queeslad Uersty, DeHard - Florda State Uersty, NIST). NIST paketde seçle bazı testler açıklaası aşağıda erlştr. S obs S erfc:hata foksyou P-değer erfc Örek: S obs erfc( z) π z e u du ε S S. P-değer >. olduğuda dz rastsal kabul edlr. 3.. Blok Frekas Test Verle br dzde bulua e 'ler oraıı btlk bloklar çde kotrol eder. Test tek paraetres blok uzuluğudur (). Blok uzuluğu olarak alıdığıda blok frekas test, frekas teste döüşür. Her br bloktak 'ler beklee oraı 'dr. Testte kullaıla referas dağılıı k-kare dağılııdır. Test souda elde edle p-değer çok küçük çıkası, dzdek bloklarda 'ler e 'ları oraıı 'de fazlasıyla saptığıı gösterr. Test geçerl olables ç blok uzuluğuu e az bt, dz uzuluğuu da e az bt olası gerekr [], [5], [7]. π ε ( ) + j j obs

4 χ ( obs) 4 π N P-değer gac (gaa foksyou) Örek: N N χ, ε π 3 5, π, π 3, π 3 4 5, π 5, π 6 5, π 7, π 8 5, π 3 9 5, π χ ( obs) N χ alue gac, alue gac ( 5,) r() r(6) r() r(6) r() r(6) r(3) r(36) r(4) r(46) r(5) r(56) r(6) r(66) r(7) r(76) r(8) r(86) r(9) r(96) r() r(7) r() r(7) r() r(7) r(3) r(37) r(4) r(47) r(5) r(57) r(6) r(67) r(7) r(77) r(8) r(87) r(9) r(97) r(3) r(8) r(3) r(8) r(3) r(8) r(33) r(38) r(43) r(48) r(53) r(58) r(63) r(68) r(73) r(78) r(83) r(88) r(93) r(98) r(4) r(9) r(4) r(9) r(4) r(9) r(34) r(39) r(44) r(49) r(54) r(59) r(64) r(69) r(74) r(79) r(84) r(89) r(94) r(99) r(5) r() r(5) r() r(5) r(3) r(35) r(4) r(45) r(5) r(55) r(6) r(65) r(7) r(75) r(8) r(85) r(9) r(95) P-değer. olduğuda dz rastsal kabul edlr Akış Test (Rus Test) Bu test bt dzsdek akışları topla sayısıyla lgldr. Akış ardışık ayı bt sıralaasıı fade eder. Böylece lar e ler arasıdak dalgalaaları kotrolü sağlaarak üretle bt dzs yaaş ya da hızlı olableceğ kousuda fkr err [], [5]. V (obs) : Akışları sayısı π :Bt dzsdek ler sayısı j ε j π k π V ( obs) r( k) + k ε k+ τ τ ε se r( k) dğer durularda r( k) olarak kabul edlr. V değ. erfc Örek: ( obs) π ( π ) π ( π ) ε π.5 τ V ( obs).484 P-değer., olduğuda dz rastsal kabul edlr Bloktak E Uzu Brler Test Test, -btlk bloklarda bulua e uzu brler grubu üzerde odaklaşır. Test tek paraetres blok uzuluğudur (). Dz -btlk tae bloğa bölüür e her blok çersdek e uzu brler öbeğ uzuluğua bakılır. Bu değerler frekasları beklee değerlerle kıyaslaır e cdd br sapa olup oladığı kotrol edlr. Testte kullaıla referas dağılı k-kare dağılııdır. Dz uzuluğua göre blok uzuluğu e blok sayısıa karar erlr [], [5]. u P( ) χ ( obs) r K P( r) r ( Nπ ) Nπ

5 Tablo. K e değerler aldığı değere göre hesaplaa olasılık tablosu K5, 8 Sııflar 3 4 Olasılıklar π, 48 π, 367 π, 35 π 3, 875 K5, 8 Sııflar Olasılıklar π, 74 π, 43 π, 493 π 3, 75 π 4, 7 π 5, 4 K5, 5 Sııflar Olasılıklar π, 74 π, 46 π, 53 π 3, 755 π 4, 5 π 5, 77 K5, Sııflar Olasılıklar π, 37 π, 437 π, 45 π 3, 74 π 4, π 5, 88 K6, Sııflar Olasılıklar π, 88 π, 9 π, 483 π 3, 933 π 4, 8 π 5, 675 π 5, 77 Çalışaızda kulladığıız K e değerler ç lgl tablo şu şekldedr: K N K χ ( obs) değ. gac, Örek: K 3 e 8 ε 8 Alt Blok ax-ru Alt Blok ax-ru () () () () (3) () () () () () () (3) () (3) () (), 9, 3, χ P-değer.869. olduğuda dz rastsal kabul edlr Dz Test Bu test bt dzsdek örtüşe -btlk öbekler test eder. ψ ( obs) e ψ ( obs) değerler -btlk öbekler frekasıı hesaplaak ç kullaılır [], [5], [6]. ψ ψ ψ ψ ψ ψ değ. gac değ. gac Örek: ψ (, ψ ) 3 (, ψ ) ψ ψ + ψ ε

6 ψ 3 ψ ψ ( ) ( ) ( 4+ 6) Nuber Geerators ad Pseudo Rado Nuber Geerators for Cryptographc Applcatos,. [6] I. J. Good, The seral test for saplg ubers ad other tests for radoess," Proc. Cabrdge Phlos. Soc. 47, pp , 953. [7] Nck aclare, Cryptographc Pseudo-rado Nubers Sulato, Cabrdge Securty Workshop o Fast Software Ecrypto. Dec [8] P. Ekdahl, O FSR Based Strea Cphers, PHd Thess, Noeber 3. [9] ψ 3.84 ψ değ. gac değ. gac (,.84).39 (, 3.6) P değ.. olduğuda dz rastsal kabul edlez. P değ.. olduğuda dz rastsal kabul edlr. 4. SONUÇ Bu çalışada sözde rastsal sayı üret FSR lar kullaılarak elde edles e üretle sayı dzler test edles üzerde duruluştur. Sözde rastsal sayılar rastsal sayılar üzerdek tartışalara alteratf olarak gelştrle e şfreleede hale öe koruaya dea ede yapılardır. Çalışaızda suduğuuz örekler e tasarı ekazaları sözde rastsallığa yapıla yaklaşılardır. Gerçekleştrş olduğuuz çalışa teel aalzler e tasarı ekazaları üzerde daha öce gerçekleştrle yaklaşılarla paralellk çerektedr. Bu blgler ışığıda krptografk uygulaalarda kullaılak üzere sözde rastsal sayı üret ç ye tasarı ekazaları e yaklaşılar gelştrleye dea edlecektr. KAYNAKAR [] A. eezes, P.. Oorschot, ad S. Vastoe, Hadbook of Appled Cryptography, CRC Press, 997. [] Uygulaalı ateatk Esttüsü Krptograf Bölüü, Krptografye Grş Ders Notları, ODTÜ, 4 [3] Ae Cateaut, Strea Cphers, Ecyclopeda of Cryptography ad Securty, 5. [4] Ka a Chug, Eleetary Probablty Theory wth Stochastc Processes, New York: Sprger- Verlag, 979 [5] Resed NIST Specal Publcato 8-, A Statstcal Test Sute for the Valdato of Rado