BİR KARMAŞIK SİSTEMİN GÜVENİLİRLİK BLOK DİYAGRAMI İÇİN OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONUNUN OLUŞTURULMASI VE İSTATİSTİKSEL GÜVENİLİRLİK HESAPLAMALARI*

Transkript

1 BİR KARMAŞIK SİSTEMİN GÜVENİLİRLİK BLOK DİYAGRAMI İÇİN OLILIK YOĞUNLUK FONKSİYONUNUN OLUŞTURULMI VE İSTATİSTİKSEL GÜVENİLİRLİK HESAPLAMALARI* Costructo O Probablty Desty Fucto For The Relablty Block Dagram O A Complex System Ad Statstcal Relablty Computatos Ayça Hatce TÜRKAN İstatstk Aablm Dalı Hamza EROL İstatstk Aablm Dalı ÖZET Bu çalışmada, br karmaşık sstem güvelrlk blok dyagramı ç olasılık yoğuluk oksyouu oluşturulması ve karmaşık sstem statstksel güvelrlk hesaplamaları celemştr. Karmaşık sstem güvelrlk blok dyagramı ç olasılık yoğuluk oksyou olarak karma dağılım model öerlmştr. İstatstksel güvelrlk hesaplamaları br uygulama üzerde açıklamıştır. Aahtar Kelmeler: Güvelrlk, sstem, olasılık yoğuluk oksyou. ABSTRACT I ths work, costructo o probablty desty ucto or the relablty block dagram o a complex system ad statstcal relablty computatos o a complex system studed. Mxture dstrbuto model proposed as the propablty desty ucto or the relablty block dagram o a complex system. Statstcal relablty computatos explaed o a applcato. Key Words: Relablty, system, probablty desty ucto. Grş Güümüzde sstemler, alt sstemler ve bleşeler güvelrlğ tahm etmek statstksel güvelrlk aalzde öeml problemlerdedr. Güvelrlk, br ese taımlamış br amacı bell br zama aralığıda, tam olarak yere getrme olasılığıdır (Betley, 1993; Adrews ve Moss, 00). Brçok alada yaygı olarak kullaıla statstk blm, güvelrlk aalzde de olasılık dağılımlarıyla brlkte öeml br yer edmştr. Güvelrlk aalzde, olasılık dağılımlarıda keskl dağılımlar; belrl br zama aralığıda gerçekleşe hata sayısı gb keskl olayları ve sürekl dağılımlar; zamaa karşı dayama süres gb gerçel değer ala değşkeler modellemek ç kullaılır (Moss, 005). Olasılık dağılımları; sstemler, alt sstemler veya bleşeler ç zamaa karşı bozulma ya da arızalama modeller olarak yaygı bçmde kullaılır (Hah ve Shapro, 1967; Betley, 1993). Br sstem yaşam süres; üretm mktarı, üretm ç kullaıla madde veya çevresel koşullardak değşm gb brçok aktöre bağlıdır. * Yüksek Lsas Tez-MSc. Thess 66

2 İstatstksel güvelrlk aalzde, öce sstem ya da sstem br alt sstem veya sstem br bleşe ç süre br rastgele değşke olarak alıarak zamaa karşı bozulma ya da arızalama ç uygu br olasılık model oluşturulur. Sora oluşturula olasılık modeldek parametreler tahm edlr. Ayrıca oluşturula olasılık modeller sağ kalım (survval) oksyou, rsk (hazard) oksyou gb bazı özellkler celer (Meeker ve Escobar, 1998). Bu çalışmada, br karmaşık sstem güvelrlk blok dyagramı (Elsayed, 1996) ç başarısızlık olasılık yoğuluk oksyouu oluşturulması (Campo ve Vestrucc, 007) ve karmaşık sstem statstksel güvelrlk hesaplamaları (Mettas ve Savva, 001) celemştr. Karmaşık sstem güvelrlk blok dyagramı ç olasılık yoğuluk oksyou olarak karma dağılım model (McLachla ve Peel, 000) öerlmştr. İstatstksel güvelrlk hesaplamaları br smülasyo çalışması üzerde açıklamıştır. Materyal ve Metot Bu bölümde; br karmaşık sstem güvelrlk blok dyagramı açıklamıştır. Br karmaşık sstem güvelrlk blok dyagramı ç başarısızlık olasılık yoğuluk oksyou olarak karma dağılım model verlmştr. Ayrıca br karmaşık sstem güvelrlk blok dyagramı ç başarısızlık karma olasılık yoğuluk oksyoudak parametreler tahm hesaplamıştır. Materyal Br sstem, uygu perormas ve güvelrlk değerler le brlkte stee oksyoları gerçekleştrmek ç belrl br tasarıma göre sıralamış bleşeler topluluğudur (Elsayed, 1996). Kullaıla bleşeler tp, kaltes ve tasarımı sstem perorması ve güvelrlğ üzerde drek etkye sahptr. Sstem tasarlaır, düzeler, güvelrlğ belrler ve kabul edleblr br güvelrlk düzey le karşılaştırılır. Gereke düzeye ulaşılamamışsa sstem yede tasarlaır, düzeler ve güvelrlğ yede belrler. Tasarım sürec sstem arzu edle perormas ve güvelrlk düzeye ulaşıcaya kadar yeler. Br sstem güvelrlğ değerledrmek ç lk adım sstem güvelrlk blok dyagramıı oluşturmaktır. Güvelrlk blok dyagramı br sstemdek bleşeler asıl bağladıklarıı, brbre bağlı blokları kullaılarak gösterldğ sstem güvelrlk aalz güçlü araçlarıda brdr. Bu dyagramlar sstem bleşeler br ağı şeklde gösterr. Dyagramlar zksel ola ya da olmaya bağlatıları yasıtır. Br blok, güvelrlk blok dyagramıda e düşük düzey temsl eder ve değştrleblr br bleşe gösterr. Sstem, alt sstemlerde ve alt sstemler daha küçük elemetlerde ya da bleşelerde oluşur. Dört bleşel br sstem ç güvelrlk blok dyagramı öreğ Şekl 1 de gösterlmştr. Osekz bleşel br sstem ç güvelrlk blok dyagramı öreğ de Şekl de gösterlmştr. 67

3 Şekl 1. Br sstem güvelrlk blok dyagram öreğ (Campo ve Vestrucc, 007). Şekl. Br sstem güvelrlk blok dyagram öreğ (Mettas ve Savva, 001). Metot Br karmaşık sstem güvelrlk blok dyagramı ç başarısızlık karma olasılık yoğuluk oksyouu oluşturulması, Şekl 1 de gösterle sstem güvelrlk blok dyagramı (Campo ve Vestrucc, 007) üzerde açıklaacaktır. Br karmaşık sstem güvelrlk blok dyagramı ç zamaa göre g bleşel başarısızlık karma olasılık yoğuluk oksyou, g ( t ; ) w ( t ; ) (1) 1 le taımlaır. Burada g w 1 w, 0 w 1 olmak üzere ve 1 olacak şeklde. bleşedek ver oktalarıı karma oraıı gösterr.. bleşe koşullu olasılık yoğuluk oksyou ( t ; ), blmeye parametre vektörüe bağlıdır (McLachla ad Peel, 000). Bu çalışmada karmaşık sstem ç başarısızlık karma olasılık yoğuluk oksyou oluşturulurke, karmaşık sstemdek her br bleşe 68

4 ç olasılık yoğuluk oksyou blgs kullaılır ve karmaşık sstemdek bleşeler brbrde bağımsız olduğu varsayılır. Şekl 1 de güvelrlk blok dyagramı (Campo ve Vestrucc, 007) verle karmaşık sstem ( S ) ç dört bleşel S ( t ; ) başarısızlık karma olasılık yoğuluk oksyou oluşturulurke öce karmaşık sstem k alt sstem ( ) çerdğ düşüülerek, ( t ) w ( t ; ) w ( t ; ) () S ; yazılır. Burada ( t ; ) ve ( t ; ) sırasıyla brc alt sstem ( 1 ) ve 1 1 kc alt sstem ( ) ç başarısızlık olasılık yoğuluk oksyolarıı göstermektedr. w 1 ad w sırasıyla 1 ve ç 0 w 1 olmak üzere ve w 1 olacak şeklde karma oralarıı göstermektedr. 1 sadece br 1 bleşe çermektedr. se 1 ve şeklde k alt sstemde oluşmaktadır. Bu durumda ç ( t ; ) başarısızlık karma olasılık yoğuluk oksyou, ( t ; ) w ( t ; ) w ( t ; ) (3) şekldedr. Burada ( t ; ) ve ( t ; ) sırasıyla 1 ve ç 1 1 başarısızlık olasılık yoğuluk oksyolarıı göstermektedr. w 1 ad w sırasıyla 1 ve ç 0 w 1 olmak üzere ve w 1 olacak şeklde karma oralarıı göstermektedr. 1 sadece br bleşe çermektedr. se 1 ve şeklde k alt sstemde oluşmaktadır. Bu durumda ç ( t ; ) başarısızlık karma olasılık yoğuluk oksyou, ( t ; 1 ) w ( t ; ) w ( t ; ) (4) şekldedr. Burada ( t ; ) ve ( t ; ) sırasıyla 1 ve 1 1 ç başarısızlık olasılık yoğuluk oksyolarıı göstermektedr. w 1 ad w sırasıyla 1 ve ç 0 w 1 olmak üzere ve w 1 olacak şeklde karma oralarıı göstermektedr. 1 ve sadece brer bleşe çermektedr. Bu durumda karmaşık sstem ç S ( t ; ) karma olasılık yoğuluk oksyou, 1 69

5 S ( t ; ) w w ( t ; ) w ( t ; w ( t ; ) w w ( t ; ) w ( t ; ) w w ( t ; ) w w ) w w ( t ; ( t ; ) w w w ( t ; ) (5) olarak elde edlr. Burada w w w w w w w w w 1 1 dr. Br karmaşık sstem güvelrlk blok dyagramı ç başarısızlık karma olasılık yoğuluk oksyoudak parametreler tahm, Şekl 1 de güvelrlk blok dyagramı (Campo ve Vestrucc, 007) verle karmaşık sstem ç dört bleşel S ( t ; ) başarısızlık karma olasılık yoğuluk oksyou üzerde açıklaacaktır. Br karmaşık sstem güvelrlk blok dyagramı ç başarısızlık karma olasılık yoğuluk oksyoudak parametreler tahm, bleşeler olasılık yoğuluk oksyolarıı yapısıa bağlı olarak elde edlr. Şekl 1 de güvelrlk blok dyagramı (Campo ve Vestrucc, 007) verle karmaşık sstem ç S ( t ; ) başarısızlık karma olasılık yoğuluk oksyoudak dört bleşe; ( t ; ) 1 1, ( t ; ) 1 1, ( t ; ) 1 1 ve ( t ; ) olasılık yoğuluk oksyoları sırasıyla Webull, LogNormal, Webull ve Webull olsu. Karmaşık sstem bleşeler ç k arklı tp olasılık dağılımı kullaılmıştır. Bular, 1 t t t;, exp t (6) olasılık yoğuluk oksyouyla yayılım ve şekl olmak üzere k parametrel Webull dağılımı ve 1 1 lt t;, exp 0 t,, 0 (7) t olasılık yoğuluk oksyouyla koum ve yayılım olmak üzere k parametrel LogNormal dağılımdır. Karmaşık sstem ç S ( t ; ) başarısızlık karma olasılık yoğuluk oksyoudak parametreler tahm elde etmek amacıyla Webull dağılımıa sahp bleşeler ç ve 1 ˆ 1 ˆ ˆ t ) (8) 70

6 1 ˆ ˆ 1 ˆ l l t t t t (9) eştlkler kullaılır (Johso ve ark., 1994). LogNormal dağılıma sahp bleşe ç ve 1 ˆ lt (10) ˆ lt l t 1 1 (11) eştlkler kullaılır (Elsayed, 1996). Karma oraları ç wˆ (1) wˆ (13) wˆ (14) eştlkler kullaılır. Burada 1 1, ve dr. 1 S ( t ; ) başarısızlık karma olasılık yoğuluk oksyoua sahp T rastgele değşke R S (t) güvelrlk oksyou, R s 1 t u du w u du w u du w R t t s 4 t 1 1 t 1(t) 1 ( t ; 1 4(t) ( t ; olarak elde edlr. Burada ), (t) ( ; ), (15) 1 t 1 3(t) 1 ( t ; 1 ) ve ) dr. Ayrıca w w w, w w w w ve w w w w dr. w1 w 1, R t se. bleşe ç güvelrlk oksyoudur. Ayı zamada karma oralarıı tahmler, Rs ( t) wˆ I R ( t) (16) R ( t) le taımlaa bleşe güvelrlk öem ölçüsüe (Aoym, 007) eşttr. Bua göre güvelrlk blok dyagramı ç oluşturula karma olasılık yoğuluk oksyouda her br bleşe ç karma oraı, her br bleşe ç güvelrlk öem ölçüsü değere karşılık gelmektedr. Şekl 1 de güvelrlk blok dyagramı (Campo ve Vestrucc, 007) verle ve S (t) karma olasılık yoğuluk oksyoua sahp br karmaşık sstem ç S (t) 71

7 le gösterle sağ kalım oksyou ya da R s (t) le gösterle güvelrlk oksyou brbre eşdeğer olup (15) dek eştlkte verlmştr. h s (t) le gösterle rsk oksyou se 4 1 t w s t 1 h s t (17) R 4 s t w R t le taımlaır (Elsayed, 1996). Şekl 1 de güvelrlk blok dyagramı (Campo ve Vestrucc, 007) verle karmaşık sstem S (t) karma olasılık yoğuluk oksyouu ve bleşeler (t) olasılık yoğuluk oksyolarıı grakler Şekl 3 de verlmştr. - 1 t --- t... 3 t t -..- t s Şekl 3. Şekl 1 de güvelrlk blok dyagramı (Campo ve Vestrucc, 007) verle karmaşık sstem, GRAPHER paket programı kullaılarak oluşturula S (t) karma olasılık yoğuluk oksyouu ve bleşeler (t) olasılık yoğuluk oksyolarıı grakler. Şekl 1 de güvelrlk blok dyagramı (Campo ve Vestrucc, 007) verle karmaşık sstem R s (t) sstem güvelrlk oksyouu ve R (t) bleşe güvelrlk oksyolarıı grakler Şekl 4 de ve h s (t) sstem rsk oksyouu ve h (t) bleşe rsk oksyolarıı grakler Şekl 5 de verlmştr. 7

8 - R 1 t --- R t... R 3 t -.-. R 4 t -..- R s t Şekl 4. Şekl 1 de güvelrlk blok dyagramı (Campo ve Vestrucc, 007) verle karmaşık sstem, GRAPHER paket programı kullaılarak oluşturula R s (t) sstem güvelrlk oksyouu ve R (t) bleşe güvelrlk oksyolarıı grakler. - h 1 t --- h t... h 3 t -.-. h 4 t -..- t h s Şekl 5. Şekl 1 de güvelrlk blok dyagramı (Campo ve Vestrucc, 007) verle karmaşık sstem, GRAPHER paket programı kullaılarak oluşturula h s (t) sstem rsk oksyouu ve h (t) bleşe rsk oksyolarıı grakler. 73

9 Araştırma Bulguları Şekl 1 de güvelrlk blok dyagramı (Campo ve Vestrucc, 007) verle karmaşık sstem s (t) karma olasılık yoğuluk oksyou ve (t) bleşe olasılık yoğuluk oksyoları oluşturulmuştur. s (t) ve (t) 74 ler grakler Şekl 3 de gösterlmştr. s (t) 'ye dayalı olarak R s (t) sstem güvelrlk oksyou ve R (t) bleşe güvelrlk oksyoları oluşturulmuştur. R s (t) ve (t) ler grakler Şekl 4 de gösterlmştr. s (t) 'ye dayalı olarak h s (t) sstem rsk oksyou ve h (t) bleşe rsk oksyoları oluşturulmuştur. h s (t) ve h (t) ler grakler Şekl 5 de gösterlmştr. Tartışma ve Souçlar Bu çalışmada br karmaşık sstem güvelrlk blok dyagramı ç (t) başarısızlık karma olasılık yoğuluk oksyou oluşturulmuştur. Ayrıca s (t) ye dayalı olarak R s (t) sstem güvelrlk oksyou ve h s (t) sstem rsk oksyou taımlamıştır. Karma olasılık yoğuluk oksyoları kullaılarak verle herhag br t aıda ya da değerde br karmaşık sstem ve sstem bleşeler ç güvelrlk oksyou ve rsk oksyou değerler eş zamalı olarak hesaplaablr. Kayaklar ANDREWS, J.D., MOSS, T.R. 00. Relablty ad Rsk Assessmet. Secod Edto. Proessoal Egeerg Publshg Lmted: Lodo ad Bury St Edmuds, UK. 540s. BENTLEY, J.P A troducto to Relablty ad Qualty Egeerg. Logma Scetc ad Techcal. Joh Wley & Sos, Ic. New York. CAMPIONI, L., VESTRUCCI, P O system alure probablty desty ucto. Relablty Egeerg ad System Saety. ELSAYED, E.A Relablty Egeerg. Addso Wesley Logma, Ic. HAHN, G.J., SHAPIRO, S.S Statstcal Models Egeerg. Joh Wley & Sos, Ic. JOHNSON, N.L., KOTZ, S., BALAKRISHNAN, N Cotuous Uvarate Dstrbutos. Volume1: Secod Edto. Wley Seres Probablty ad Mathematcal Statstcs. A Wley Iterscece Publcato: Joh Wley & Sos, Ic. MCLACHLAN, G., PEEL, D Fte Mxture Models. Wley Seres Probablty ad Statstcs Appled Probablty ad Statstcs Secto. A Wley Iterscece Publcato: Joh Wley & Sos, Ic. MEEKER, W. Q., ESCOBAR, L. A Statstcal Methods or Relablty Data. Joh Wley & Sos Ic. METT, A., SAVVA, M System Relablty Aalyss: The Advatages o Usg Aalytcal Methods to Aalyze No-Reparable Systems. Copyrght 001 by the Isttute o Electrcal ad Electrocs Egeers. Reprted rom R s

10 "001 PROCEEDINGS Aual RELIABILITY ad MAINTAINABILITY Symposum," Phladelpha, Pesylvaa, USA, Jauary -5. MOSS, T.R The Relablty Data Hadbook. Proessoal Egeerg Publshg Lmted: Lodo ad Bury St Edmuds, UK. 87s. ANONYM, 007. RelaSot. 1 Jue